Traité sur l'art de la charpente, théorique et pratique

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  - L ART DE LA CHARPENTE
  - THEORIQUE ET PRATIQUE.
  - Publié par J. Ch. KRAFFT, Architecte.
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  - THEORETISCH - PRAKTISCHEN
  - ZIMMERMANNS-KUNST.
  - Herausgegeben von J. Ch. KRAFFT, Baumeister,
  - TREATISE
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  - THE ART OF CARPENTRY,
  - WITH THE THEORT AND PRACTICE,
  - Published bj J. Ch. KRAFFT, Architecte
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  - | L’AUTEUR, rue de Bourgogne, n° a5. ez( FIRMIN DIDOT, Imprimeur du Roi, rue Jacob, n oJy A Man h ei m, chez Artaria,
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- - AVANT-PROPOS.
  - Encouragé par les éloges qu’a reçus du Public mon premier Recueil de Charpente, publié en i8o5, je promis de lui donner une suite, afin de compléter cette partie intéressante des arts. J’ai, en conséquence, continué mes recherches et redoublé d’efforts pour mériter encore mieux un si favorable accueil; je n’ai épargné ni soins , ni peines pour ajouter à mes observations. C’est ainsi que je suis parvenu à former également sur la théorie et la pratique de la Charpente, un traité complet. Il offre les détails les plus variés et les plus instructifs qui aient encore été présentés sur ce sujet.
  - Plusieurs hommes distingués se sont successivement occupés de perfectionner l’art de la Charpente ; ils nous ont transmis leurs traités et leurs procédés qui tendent tous à applanir les difficultés qui peuvent se présenter dans cette partie si utile de l’art.
  - Philibert Delorme nous a laissé une nouvelle découverte pour la construction des combles, en assemblage de planches, soit pour voussures , coupoles, etc. Ce genre de construction fut employé dans divers édifices existants, et resta encore long-temps dans l’oubli. Son élégance et son mérite furent enfin appréciés par feu Legrand et Molinos, tous deux Architectes, qui en firent la plus heureuse comme la plus belle application dans la magnifique coupole de la Halle-aux-Blés de Paris.
  - La beauté et la hardiesse de cette coupole, qui fait et fera toujours l’admiration des connaisseurs, ont dès-lors fait revivre le système de Philibert Delorme, dont l’usage fut appliqué dans diverses autres constructions, tant publiques que particulières.
  - Mathurin Jousse et Désorges ont fait également un Traité sur la Charpente ; mais le peu de clarté qui règne et dans leurs dessins et dans leur texte, l’ont fait oublier depuis long-temps.
  - François Derand a fait aussi un Traité, mais sur l’art du Trait seulement ; ce Traité est écrit avec intelligence et précision, et laissait peu à desirer à cette époque.
  - Nicolas Fourneau en a fait un depuis sur le même sujet, et auquel il a donné beaucoup plus d’étendue : c’est le Traité dont se servent le plus communément aujourd’hui les praticiens.
  - Cependant, malgré tout ce qui a déjà été écrit sur la Charpente, nous sommes loin de posséder un traité complet de cet art. Les nouvelles découvertes, les bons modèles,
  - VORREDE.
  - 13er allgemeine Beifall, mit welchem das Publicum im Jahre 18o5 meine ersten Beitrâge zur Zimmermannskunst aufnahm, machte mir es zur Pflicht, diesen interessanten Theil der bildenden Künste, durch eine Fortsetzung jenes Werkes, vollstândig auszuführen. Diesem zu Folge verdoppelte ich meinen Eifer und meine Arbeiten, um mich jenes schmeichel-haften Beifalls noch würdiger zu machen ; und so haben mich die angestrengten Bemü-hungen, mit welchen ich meine Beobachtun-gen so reichhaltig als moglich zu machen suchte, in den Standgesetzt, eine vollstàndige Abhaudlung über die theoretisch-praktische Zimmermannskunst zu liefern. Dieselbe über-trifft an Mannigfaltigkeit und lehrreichen Beinerkungen aile bis jetzt über diesen Ge-genstand ersehienene Schriften.
  - Mehrere, durch Erfahrung und ausgebrei-tete Kenntnisse ausgezeichnete Mânner, haben es sich zwar angelegen seyn lassen, die Zimmermannskunst moglïchst zu vervoll-kommnen ; auch haben sie in den Schriften und Anweisungen , welche wir ihnen über diesen Gegenstand verdanken, ihr Absehen darauf gerichtet, die verschiedenen, bei die-ser so nützlichen Kunst obschwebenden Schwierigkeiten aus dem Wege zu ràumen.
  - So bat uns z. B. Philibert Delorme eine neue Entdeckung, in Betreff der, aus zusam-mengesetzten Bretern zu erbauenden, und zu Bogen-Gewolben, Kuppeln, u. s. w. bestimm-teri Dachstühlen hinterlassen. Diese Bauart, welche bei verschiedenen, noch jetzt vorhan-denen Gebâuden angewendet wurde, blieb aber,ihrer Schonheit und ihres Verdienstes ohngeachtet, eine lange Zeit hindurch gànz-lich vernachlâssigt ; bis endlich die Baumei-ster Legrand und Molinos dieselbe der langen Yergessenheit wieder entrissen, und sie bei der prachtvollen Kuppel der Pariser Mehl-und Getraidehalle, mit dem glücklichsten und schonsten Erfolge, von neuem in Ausü-bung brachten.
  - Diese Kuppel, deren Schonheit und kühner Bau die gerechte Bewunderung der Kenner erregt, und stets erregen wird, machte, dass Philibert Delorme’s System aus dem Dunkel der Yergessenheit wieder hervortrat, und bei mehrern, sowohl offentlichen als Privat-Ge-bâuden, mit allgemeinem Beifall angewendet wurde.
  - Auch Mathurin Jousse und Désorges haben ebenfalls über die Zimmermannskunst ge-schrieben ; da ihrer Abhandlung aber die no-thige Deutlichkeit, in den Zeichnungen sowohl, als im Contexte mangelt, so sind die darin aufgestellten Grundsâtze von keinem der jetzt lebenden Baukundigen beachtet, und in Àusübung gebracht worden.
  - Franz Derand gab ebenfalls eine Abhandlung über diesen Gegenstand in den Druck ; allein sie beschrânkt sich lediglich nur auf die Kunst, Zeichnungen und Risse zu ver-fertigen. Dieses Werk ist übrigens mit Ge-nauigkeit und Scharfsinn geschrieben, und liess für jene Zeit wenig zu wünschen übrig.
  - Seitdem hat endlich auch Nicolaus Fourneau ein Werk über die Zimmermannskunst, nach einem ausgedehntern Plane herausge-geben ; und da der Inhalt desselben seinem Zwecke noch ara meisten entspricht, so wird solches gegenwârtig bei der Errichtung von Gebâuden am hâufigsten zum Grunde gelegt.
  - Ohngeachtet aller dieser Schriften aber, besitzen wir dennoch über die Zimmermannskunst noch immer kein vollstândiges Werk. Die verschiedenen, in neuern Zeiten gemach-
  - PREFACE.
  - Encouraged by the kind réception the Public gave to my first Essay on the art of Carpentry published in i8o5, I promised to compose a sequel to it, in order to complété as far as it lies in my power this interesting branch of the Arts. I therefore continued my researches and strove by redoubled efforts to render myself still more worthy of public faveur ; I kpared neither time nor pains to make useful additions to my former observations ; and by unremitting application I succeeded in presenting to the Public a complété Treatise on the theory and practice of the art of Carpentry, which contains more various and instructive Details than any other work written to this day on the same sub-ject.
  - Several respectable and learned authors have,at different periods, made great efforts towards the perfection of the art of Carpentry , they hâve transmitted down to us their treatises and ingenious processes which are ali calculated to smooth the difficulties that are to be met with in this useful art.
  - Philibert Delorme presented us with a new discovery for the construction of Roofs, in Assemblages made with boards, either for Covings, Cupolas, etc. This kind of construction was made use of in various buildings that are still existing, but the practice of it has for a long time been laid aside. The merit and elegance of that sort of construction received at last the well deserved approbation of the two renowned Architects Legrand and Molinos, who made a most successful application of it in the magnificent cupola in the Corn Repository (Halle-au-Blé), in Paris. ‘
  - The beauty and bold élévation of that Cupola, which will ever be the admiration of Connoisseurs, has,from that time, revived the System of Philibert Delorme, and it was since made use of in several public as well as private buildings.
  - Mathurin Jousse and Désorges hâve also written a Treatise on Carpentry, but the obscurity of their text and the inaccuracy of their draughts hâve been the cause of that work being sunk into oblivion.
  - Francis Derand composed also a Treatise, but on the art of the Trait only ; this work which is written with pretly much précision and intelligence was as complet as it possibly could be at the time it was published.
  - Nicholas Fourneaux has since expatiated on the same subject, and his treatise is the one most commonly used at this présent time.
  - Nevertheless in spite of the laborious works that hâve to this day been written on Carpentry, we are far from being able to boast as yet of a complété Treatise on this art. The new Discoveries that hâve been made, the fine models that hâve been executed, the perfection attained in Assemblages, in the Trait, and especially in the building of
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- - le perfectionnement des assemblages, celui du trait, et sur-tout celui des escaliers qui, depuis quelques années, se sont multipliés à l’infini, et dont la coupe est aussi variée ' qu’élégante ; a dis que, malgré le mérite de quelques-uns des ouvrages précités,la science du Charpentier a fait un si grand pas depuis la mort des auteurs de ces divers ouvrages , qu’ils sont devenus, sinon inutiles, du moins très - incomplets , et conséquemment d’une très-faible ressource pour ceux qui se livrent aujourd’hui à l’étude théorique et pratique de l’art de la Charpente.
  - C’est pourquoi, pénétré de cette vérité, j’entrepris ce nouveau travail, auquel j’ai donné le plus de perfection possible : netteté du dessin, clarté du texte, tel est le but où s’est dirigé le fruit de mes veilles.
  - En conséquence, je me suis borné dans la publication de ce nouvel ouvrage, qui fait une suite indispensable à mon premier Recueil, à Je classer par ordre de matière, et à le diviser en six parties, de manière que chacune d’elles, contenant trente planches, pourra être vendue séparément.
  - La ire partie contient les divers assemblages , les armements de poutres, les pans de bois, et les planchers ; le tout avec une description précise, et des tables contenant l’expression de la force des bois.
  - La 2e forme un traité complet du tracé, des escaliers de diverses formes, avec le principe de leurs coupes dans tous leurs développements.
  - La 3e renferme les principes des coupes et assemblages de différents combles d’édifices particuliers.
  - La 4e comprend les combles exécutés sur divers édifices publics, tant en France que chez l’étranger.
  - La 5e contient les combles d’églises, de tourelles, de clochers, de flèches, de beffrois, et de différentes coupoles exécutés dans divers pays.
  - La 6e livraison enfin a rapport aux combles des salles de spectacle, avec les détails des diverses machines propres à faire mouvoir les décorations.
  - tenEntdeckungen, die vortrefflichen Muster, die vervollkommneten Zusammensetzungen und Zeichnungen, und besonders die vervollkommneten Treppen, deren mannigfal-tige und sclione Gestalten sich seit einigen Jahren unendlich vermehrt haben , sind die Ursache, dass ohnerachtet wir einigen der ob-genannten Abhandlungen die verdiente Ge-rechtigkeit nicht versagen konnen, die Zim-mermannskunst, seit dem Tode jener Schrift-steller, nichts destoweniger solche bedeu-tende Fortschritte gemacht hat, dass jene Werke, wenn auch nicht ganz unnütz, doch wenigstens unvollstândig, und mithin ein nur schwaches Hülfsmittel fur diejenigen ge-worden sind, welche gegenwârtig das theo-retisch-praktische Studium dieser K.unst be-treiben.
  - Von der Wahrheit dieser Betrachtungen durchdrungen, legte ich mir bei der Unter-nehmung dieser neuen Arbeit die Verbind-lichkeit auf, derselben die grosstmoglichste Vollkommenheit zu geben. Reinheit der Zeichnung, und Deutlichkeit des Styls waren das Endziel, dessen Erreichung ich mir bei der AÙsführüng meines Vorhabens zur an-gel egentl ichsten Pflicht machte.
  - Bei der Herausgabe dieses neuen Werkes, welches als nothwendige Fortsetzuug meiner ersten Beitrâge zur Zimmermannskunst be~ trachtet werden muss, habe ich die Einrich-tung getroffen, die abzuhandelnden Gegen-stânde nach ihrer Ordnung zu classificiren, und das ganze Werk in sechs verschiedene Theile abzutheilen, so dass die Kâufer in den Stand gesetzt werden, sich die verschiedenen Theile, von denen ein jeder dreissig Tabellen enthâlt, einzeln verschaffen zu konnen.
  - Der iteTheil handelt von den verschiedenen Zusammensetzungen der Holzer, von der Ver-bindung der Balken mit Eisen, von den Holz-wânden , von den Decken und Gebâlken ; begleitet mit einer ausführlichen Beschrei-bung der Tabellen, und einer genauen Aus-mittelung der Widerstandskraft des Holzes.
  - Der 2te Theil enthâlt eine vollstândige Ab-handlung von Zeichnungen und Rissen, so wie von Treppen, und ihren verschiedenen Formen,nebst ausführlicher Darstellung ihrer Durchschnitte.
  - Der 3te Theil beschâftigt sich mit den Durchschnitten undZusammensetzungen ver-schiedener Dachstühle bei Privatgebâuden.
  - Der 4te Theil hat mehrere bei offentlichen Gebâuden , sowohl ^n Frankreich , als im Auslande ausgeführte Dachstühle zum Ge-genstande.
  - Der 5te Theil beschreibt mehrere, in verschiedenen Lândern ausgeführte Kirchen-und Thurm - Dachstühle, Glockenstühle und Kuppeln.
  - Der 6te Theil endlich bezieht sich auf Dachstühle der Schauspielhâuser, und auf die verschiedenen Maschienen, wodurch die Déco rationen in Bewegung gesetzt werden.
  - stair-cases which , of late years, hâve been so multiplied with so much variety and ele-gance in their forms, are the cause that, in spite of the intrinsic merit of some of the above mentioned works, the art of Carpentry having made such amazing progress since the death of the Authars of those works, their performances bave become, if not use-less, at least very incomplète, and conse-quently offer but scanty resources to such persons as apply themselves now to the study of the theory and practice of the art of Carpentry.
  - Impressed with that truth , I therefore undertook this new arduous task which I brought as near to perfection as I possibly could ; and I sincerely hope that the clear-ness of the text, and above ail the accuracy and purity of the draughts will meet with general approbation.
  - My principal aim , in this new publication which is indispensably necessary as a sequel to my former treatise, has been to set every matter in due order, and to divide it into six parts, so that each of them being fur-nished with thirty Plates, may be sold separ rately.
  - The i3t part contains the various Assemblages, the Iron-belted-beams, the Plastered walls and the Floors, the whole is accom-panied with descriptions and tables contai-ning the calculated force of résistance of various kinds of timber.
  - The 2nd part forms a complété Treatise on the art of the Trait, the Stair-cases of various forms with set rules for cutting the timber, including ail the particulars.
  - The 3rd part includes the principles for the sections and Assemblages of various roofs in private buildings.
  - The 4th part contains the Roofs executed in various public buildings, as well in France as in foreign countries.
  - The 5th part contains the Roofs ofChurches, Towers, Steeples, Spires, etc., and various Cupolas executed in different countries.
  - The 6th part relates to the Roofs of Play-houses, with the details of the various machines used for the shifting of the scçnes,
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- - TRAITE
  - SUR
  - L’ART DE LA CHARPENTE
  - THÉORIQUE ET PRATIQUE.
  - TE PARTIE.
  - Dans certains ouvrages <le charpente placés horizontalement, quand des pièces de bois sont croisées par juxtaposition l’une sur 1 autre, une cheville ou une chevillette est parfois suffisante pour les tenir fixées : mais, quand les pièces de bois doivent être placées entre des plans parallèles ; quand l’une aboutit à l’autre, ou quelle la traverse, soit rectangu-lairement, soit obliquement, il faut façonner leur partie de rencontre pour opérer leur encastrement, afin que leurs faces inférieure et supérieure se confondent avec les plans qui mesurent leur hauteur. Entaille est le nom générique des encastrements , mais ces entailles ou assemblages sont susceptibles de formes différentes, selon les sortes d’échantillons de bois, ou selon la place qu’une pièce occupe dans l’ouvrage : l’artiste qui compose un projet, ne doit pas dans tous les cas en laisser le choix à l’ouvrier.
  - Les praticiens ont donné aux variétés de forme des entailles, des noms particuliers dont l’explication suit :
  - Divers procédés pour assembler lespièces de bois dans les
  - dispositifs de charpente horizontale. PI. I, fîg. i,
  - 2,3, etc.
  - Entaille a mi-bois ou à moitié bois.
  - PLANCHE I. O
  - ver Cas. Lorsque deux pièces se croisent, on procède comme l’indiquent les Fig. i, 2,3,4 > 5, 6,7 et 8.
  - 1. les deux pièces de bois AB, Fig. 1, ont même hauteur.
  - 2. Dans la surface supérieure de celle A, on a évidé une entaille de la moitié de sa hauteur, figurée en cdefghij, Fig. 2, pièce a ; la longueur de cette entaille égale la largeur de la pièce B : cette même pièce b, ayant une semblable entaille, leur mise dedans s’effectue comme l’indique la Fig. 1.
  - 3. Aux pièces AB et a b, Fig. 3 et 4 •> on a tracé de semblables entailles j mais à la pièce A, a, après avoir fait une première entaille, un peu moins qu’à mi-bois, on a fait deux secondes entailles latérales qui peuvent pénétrer un peu plus qu’à mi-bois, en réservant au milieu de l’entaille totale, une Nervure projetée en abcd, Fig. 3, et qui est figurée en cdefghij, Fig. 4. A la pièce B b, on a fait de même d’abord une entaille générale, puis au milieu de celle-ci, une seconde entaille pour l’occupation de la nervure et pour rendre possible la mise dedans.
  - 4. Pour cela il faut avoir soin que les dimensions de chaque face de \'évidement soient respectivement égales à celles des réserves de l’autre pièce.
  - 5. Aux Fig. 5 et 6 on a seulement évidé une portion de la hauteur de l’entaille à la pièce A a, elle a été ensuite achevée par deux évidements projetés abc, dcfy attenant les faces verticales en forme de prisme triangulaire qui achèvent la profondeur de l’entaille, et pour l’occupation du bossage ou renfort conservé,on a recreusé dans la
  - ANWEISUNG
  - Z U R
  - THEORETISCH -PRAKTISCHEN
  - ZIMMERMANNS-KUNST.
  - ERSTER THEIL.
  - Von der Zusammensetzung der Hôlzer. L^XikeHj GiloCécêitiFu^
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  - Bei gewissen horizontal zusammengesetzten Zim-merwerken, ist, wenn die Holzer kreuzweis iiber einander aufliegen , bisweilen ein grosserer oder kleinerer holzerner Nagel zu ihrer Befestigung hin-reichend. Sollen aber die Holzer zwischen Parallel-Flàchen zusammengesetzt werden, und reicht ein Holz bis an das andere, oder geht rechtwinkelig oder schràg darùber hinweg, so muss, um das Zu-sammenkammen derselben zii bewirken, der Berüh-rungspunkt eingeschnitten werden, damit die un-tere und obéré Seite mit der Hohe eine und die-selbe Flâche bekomme.
  - Man bezeichnet dieses Zusammenkammen mit dem allgemeinen Namen Einschnitt.
  - Nach der Yerschiedenheit der Stàrke des Holzes und des Platzes, den ein Stück einnimmt, konnen aber diese Einschnitte und Zusammensetzungen verschiedentlich gestaltet seyn, und hierin darf der Baumeister welcher einen Bau entwirft, die Wahl schlechterdings nicht den Arbeitern iiberlassen.
  - Man bezeichnet in der Praxis die verschiedentlich gestalteten Einschnitte mit besondern Namen, welche nachstehend erklàrt werden.
  - Verschiedene Art die Bauhôlzer horizontal zusam-
  - menzusetzen. I. Tabelle, Fig. 1, 2, 3, u. s. w.
  - Einschnitt in halbe Hozldiclce. TABELLE I. (*)
  - Erster Face. Wenn zwei Holzer sich kreutzen, so verfàhrt rnan nach Massgabe der Figuren 1,2, 3, 4i 5, 6, 7 und 8. ,
  - 1. Die beiden Holzer AB, Figur 1 , haben ei-nerlei Hohe.
  - 2. In die obéré Flèche des Holzes A, ist ein Einschnitt angebracht, welcher die Hàlfte der Tiefe betr’âgt, die in cdefghij. Fig. 2, bei a zu sehen ist. Die Lange dieses Einschnittes ist gleich der Breite des Holzes B. Da das Holz b einen ahnlichen Einschnitt hat, so wird das Zusammenkammen nach Massgabe der Figur 1 bewerkstelligt.
  - 3. AB und a b, in Fig. 3 und 4 , haben àhnliche Einschnitte; allein bei den Holzern A , a, hat man erstlich einen Einschnitt bis nicht ganz in die halbe Holzdicke, sodann aber zwei andere Einschnitte, an jeder Seite, welche etwas mehr als die halbe Holzhohe betragen konnen, angebracht : in der Mitte des Gesammt-Einschnittes ist eine Rippe ge-lassen , welche in abcd, Fig. 3 angedeutet, und cdefghij, Fig. 4 vorgestellt ist. Ebenso befindet sich bei dem Holze B, b, zufbrderst ein allgemeiner Einschnitt, sodann aber in der Mitte desselben ein zweiter, um die Rippe aufzunehmen , und die Ein-setzung moglich zu machen.
  - 4. Zu diesem Behufe muss man darauf bedacht seyn, dass aile Seiten des Einschnittes mit der im andern Holze gelassenen Rippe der Lange und Breite nach vollkommen übereinstimmen.
  - 5. Bei der Fig. 5 und 6 hat man bloss einen Theil der Tiefe des Holzes A a ausgeschnitten ; dieser Ausschnitt ist sodann durch zwei andere triangel-formige va abc,def, vorgestellte Einschnitte voll-st’ândig gemacht worden.
  - Um den Vorstoss (Yorsprung) einzusetzen , machte man in den Holzern B, b, die Ausschnitte
  - TREATISE
  - ON
  - THE ART OF CARPENTRY,
  - WITH THE THEORY AND PRACTICE.
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  - PART I.
  - eobvop I.
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  - In certain works of Carpentry,horizontally placed, when some of the pièces of Timber are laid across each other by juxta - position, a thick or a small peg is sometimes sufficient to keep them fast to-gether ; but when such pièces of timber are to be placed between parallel plans, and one of them meets the other, or lies across over it in a rectan-gular or oblique manner, their meeting points are to be fashioned so as to be properly fitted in, and their lower and upper surfaces must be closely joined with the plans equal to their height.
  - A Notch is the generical term for ail sorts of joints ; but those notches or assemblages may be made different ways, aceording to the various kinds of Timber, or the place occupied by the piece in the work : the Artist who composes a Plan, ought not, in ail cases, to leave the choice of the assemblages to the Mechanick.
  - Practitioners hâve given to the various forms of Notches peculiar names, the explanation of which runs as follows :
  - Virions modes of assembling the pièces of Timber
  - in horizontal Timber frames. PI. I, Fig. 1, 2
  - 3, etc.
  - Notch ha f wap into the wood.
  - PLATE I. O
  - Case I. When two pièces of Timber are laid across, one must proceed as indicated in Fig. 1, 2, 3,4; 5,6,7 and 8.
  - 1. The two picces of Timber, AB, Fig. 1, are of an equal height.
  - 2. In the upper surface of the piece A, a Notch has been grooved of half its height, represented by cdefghij, Fig. 2, piece a ; the length of that Notch is equal to the breadth of the piece B : that saine piece b having a similar Notch, their insertion is effected as pointed out in Fig. 1.
  - 3. On the pièces A B and a b, Fig. 3 and 4, bave been traced similar Notches, but with regard to the piece Aa, after having hollowed out a first Notch, rather less than half way into the wood, two second latéral Notches hâve been made,which may penetrate a little more than half way into the wood, reserving in the middle ofthe entire Notch a Nerve projected in a, b, c, d, Fig. 3, which is figured by cdefghij, Fig. 4- — A general Notch has also previously been made in the piece B, b, and then,in the middle of that notch, a second one has been eut for the placing of the Nervey and to render the insertion possible.
  - 4- To thateffect, care must be taken that the dimensions of each side of the groove be respectively equal to the sides of the reserves of the other piece.
  - 5. In the Fig. 5 and 6, only part of the height of the Notch has been hollowed in the piece Aa, it has been afterwards finished with two grooves projected in ab c, defy contiguous to the vertical surfaces , in the form of triangular prisms which termi-nate the depth of the Notch, and, for the occupation of the Bossage that was reserved, fresh groovings
  - (*) Les lettres h indiquent lei surfaces horizontales des pièces de bois, et celles v les urfaces verticales.
  - (*) Die Buchstaben h bezeichnen die horizontal Flâche der Holzer, so wie v ihre vertical Flâche andeutet.
  - (*) The letter h , indicates the horizontal surfaces of the pièces of timber, and the letter v, the vertical ones.
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- - pièce B, b, les refouiliements ghi,jkl, de même forme et de même dimension que le renfort, c’est-à-dire en double queue.
  - 6. Aux Fig. y et 8, après avoir évidé une portion de la profondeur de l’entaille à la pièce A, on a fait deux évidements en prismes triangulaires, projetés en aeb,c ed, Fig. y, et figurés Fig. 8 ; attenant aux faces verticales de la pièce, et contigus par leurs arêtes en e ; réservant ainsi deux auties prismes triangulaires semblables, projetés en aed, bec, attenant aux deux autres faces de l’entaille: et dans la pièce B b, on a opéré de même, réservant deux prismes triangulaires /g]*, h ij , pour l’occupation des premiers évidements; et en évidant deux autres pour loger les réserves de la pièce A a.
  - 2e Cas. Lorsque des pièces de bois doivent être assemblées bout à bout, telles que les plates-formes, etc., on procède comme l’indiquent les. Fig 9, 10, 11, 12 , i3 et 14-
  - y. Le parallélogramme abcd, Fig. 9, est la projection des portions conservées aux pièces B b, Aa; donc a b ou cd mesurent la longueur de chaque entaille, qui, étant évidée à mi-bois, présentera les deux parallélogrammes efgh, ijkl, Fig. 10.
  - 8. Fig. 11 et 12. Après avoir exécuté une entaille (y) à la pièce b, on tracera au bout de la partie conservée la longeur a b, et en arasement celle c d ; les deux évidements faits, il restera le prisme efgh, ijkl, dont la base est un trapèze nommé Queue d’aronde , ou seulement Queue: pour pouvoir opérer la mise dedans , il faut refouler dans la pièce A, l’entaille mnop, qrst (4).
  - 9. Fig. i3 et 14. Les entailles à mi-bois, faites aux pièces A a, Bb, comme il a été expliqué [y) pour les Fig. 9 et 10 ; on a converti en queue , comme il a été expliqué précédemment ( 8 ) pour les Fig. 11 et 12, environ la moitié de la longueur de chacune des parties conservées qui doivent se recouvrir^ mais les évidements pour recevoir les-diies queues doivent être refoulés dans la partie de chaque pièce où l’épaisseur est restée entière, comme ij kl, pièce a, Fig. 14 et K1 m n, pièce b , même figure, et attenant l’arasement, comme lindiquent aussi leurs projections, abcd, à la pièce A ; et c d e f, à la pièce B, Fig. 13.
  - 3e Cas. Lorsque l’une des pièces aboutit à la partie intermédiaire de l’autre.
  - 10. Le bout de la pièce B doit être réuni à un endroit quelconque de la pièce A. Les projections Fig. i5, iy, 19, 21 et 23 indiquent cinq sortes de procédés pour en exécuter l’assemblage.
  - 11. Par simple entaille a mi-bois : on a fait à la pièce A, Fig. i5, un évidement dont le quarré, abcd, est la projection horizontale, ou tracé, et dont la profondeur contient la moitié de la hauteur de la pièce de bois ; cet évidement est configuré en ef, g h, ij, kl, pièce a, Fig. 16.
  - 12. Au bout de la pièce b, même Fig., on a fait une entaille ij, kl, mn, aussi de la moitié de la hauteur de la pièce de bois: après la mise dedans, la partie réservée remplit l’évidement abcd, Fig. 15.
  - i3. Fig. iy et 18. On a entaillé le bout de la pièce b, aussi de la moitié de sa hauteur comme on vient de l’expliquer (12) : mais aux rives de la partie réservée, on a retranché deux prismes à base triangulaire, pour lui donner la forme de queue, efgh, ijkl; ainsi qu’il a été expliqué (8). L’entaille efgh, de la pièce A , est de même forme : car pour opérer la mise dedans, il faut que les dimensions de chaque face de l’évidement soient respectivement égales à celles des réserves de l’autre pièce (4)-
  - 14. Fig. 19 et 20. L’entaille du bout effectuée à la pièce b, (comme il est déjà expliqué (12) pour la Fig. i5), on a seulement retranché de la partie réservée, deux portions de forme prisme triangulaire, ig l, krs, de la moitié de la hauteur de ladite portion réservée ; ce qui a formé la queue, g rh l, lspo ; les deux petites parties réservées ne difforment pas la surfant cunérieure de cet assemblage, qui, après
  - g h i,j kl, welche mit der Gestalt und Dimension des Vorstosses übereinstimmen , das heisst eine dop-pelte Yersatzung bilden.
  - 6. Fig. y und 8. Nachdem man einen Theil der Tiefe des Ilolzes in A ausgeschnitten , so hat man zwei triangelformige in a eb, c e d, Fig. y, ange-deutete, und in Fig. 8 , abgebildete Einschnitte ge-macht : dieselben stossen an die vertical Flàchen des Holzes, und laufen mit ihren Spitzen in e zu-sammen. Auf diese Weise hat man zwei andere àhnliche dreickige in aed, b ec, vorgestellte Prisma gelassen , welche an die beiden arulern Seiten des Einschnittes stossen. Bei B b, hat man auf dieselbe Weise verfahren, und zngleich zwei triangelformige Kamme (Prisma) f gj, h ij, erhoht gelassen, um die ersten Einschnitte auszufiillen ; endlich hat man zwei andere Einschnitte angebracht in welche die erhohten triangelformigen Kamme (Prisma) in den Holzern A a , eingesetzt werden.
  - Zweiter Fall. Sollen Holzer mit ihren Enden zusammen verbunden werden, wie z. B. Mauer-lattten,u. s. w., so verfàhrt man wie aus den Figu-ren 9, 10,11, 12, i3und i4 zu ersehen ist.
  - y. Das Parallelogramm abcd, in Fig. 9 stellt die in den Holzern Bb, Aa, gelassenen Blatter vor, wovon a b oder c d die Lange eines jeden Einschnittes bezeichnen; dieser ist in halbe Holzdicke geschehen, und stellt die beiden Parallélogramme, efgh, ijkl, in Fig. 10 vor.
  - 8. Fig. 11 und i2. Man macht zuforderst einen Einschnitt (y) in das Holz b, und zieht sodann am Ende des gelassenen Blattes die Linie cd ; sind die beiden Einschnitte geschehen , so bleibt das Viereck ef g h, ij kl, wovon die Grundlinie ein Trapezium (ungleichseitiges Viereck) bildet, und Schwalben-schwanz genennt wird. Um die Einsetzung zu bewerkstelligen, muss in das Holz a der Einschnitt mnop, qrst, (4) gemacht werden.
  - 9. Fig. 13 und 1l\. Sind die Holzer A a, B b , auf dieselbe Weise, wie vorstehend bei den Fig. 9 und 10 (7) gezeigt worden , in halbe Holzdicke einge-schnitten , so macht man , wie bei den Fig. 11 und 12 (8), einen ahnlichen schwalbenschwanzformigen Kamm aus ungefahr der halben Lange der gelasse nen Blatter welche übereinander aufzuliegen kom-men ; um aber diese Kamme einzusetzen , miissen die Einschnitte in den in seiner volligen Stàrke gelassenen Theil eines jeden Holzes (man sehe in der i4 Figur ij kl, beim Holz a, und kl m n beim Holz b), und zwar auf der Oberflàehe eingeschnitten werden , wie solches aus abcd beim Holze A, und aus c de f beim Holz B, in der i3 Figur ebenfalls zu ersehen ist.
  - Dritter Fall. Wenn ein Holz in der Mitte eines andern eingesetzt werden soll.
  - 10. Das Ende des Holzes B soll mit dem Holze A, an einem beliebigen Orte verbunden werden. Nach Massgabe der Fig. i5, iy, 19,21 und 23, kann diese Zusammensetzung auf fünffache Weise bewirkt werden.
  - 11. Durch einen ganz einfachen Einschnitt in halbe Holzhohe : zu diesem Behufe ist in dem Holze A, Fig. 16, ein quadratformiger Ausschnitt gemacht worden, dessen horizontale Vorstellung sich aus abcd ergiebt. Seine Tiefe betràgt die halbe Holzdicke ; dieser Ausschnitt ist aus ef, g h, ij, k l, im Holze a, Fig. 16 zu ersehen.
  - 12. Am Ende des Holzes b, hat man in derselben Figur ebenfalls einen Einschnitt ij, kl,m n,gemacht, weleher wiedcrum die halbe Holzhohe betràgt. Das nach der Einsetzung übrig gebliebne Biatt füllt den Ausschnitt abcd, Fig. i5 aus.
  - 13. Fig. iy und 18. Das Ende des Holzes b, wird wie vorstehend bei (12) gezeigt worden, ebenfalls in halbe Holzhohe eingeschnitten; woraufman sodann an den Seiten des gelassenen Blattes zwei triangelformige Prisma wegschneidet, um ihm die Gestalt eines Schwalbenschwanzes, efgh,ijkl,
  - ( 8 ) zu geben. Der Einschnitt e f g h , im Holze A muss, der Einsetzung wegen, von derselben Gestalt seyn, und mithin die nàmliche Lange und Breite haben (4).
  - 14. Fig. 19 und 20. Nachdem der Einschnitt in das Ende des Holzes b, auf gleiche Weise, wie jn (12) erklàrt worden, geschehen ist, so hat man bloss zwei triangelformige Prisma igl, krs, halb so hoch, als das gelassene Biatt ausgeschnitten, um den Schwalbenschwanz grht,lspo zu bilden. Da die beiden gelassenen Blatter die obéré Flàche nicht veràndern, so hat diese Zusaramenkàmmung, wenn
  - liave been made in the piece B,b, viz : ghi,jkl, of the same form and dimensions as the Bossage ; that is, witli a double tail.
  - 6. In the Fig. y and 8, after having grooved out« part of the depth of the Notch in the piece A, two grooves hâve been made in the form of triangular prisms, projected in aeb,ced, Fig y,and represen-ted in Fig. 8, close to the vertical surfaces of the piece, and contiguous by their edges in e, rescrving thus two other similar triangular prisms, projected in aed, bec, close to the two other surfaces of the Notch, and the same operation lias been made in the piece B b, reserving two triangular prismsfgjihij, to occupy the first grooves, and hollowing out two more grooves to put the reserves of the piece A a in.
  - Case 2. When some pièces of Timber are to be assembled end to end, such as in Platforms,ele/, one must proceed as indicated in the Fig. 9, 10, 11, 12 , i3 and 14.
  - y. The Parallelogram abcd, Fig. 9, is the projection of the parts reserved in the pièces B b, Aa; therefore a b or cd, are of the same length as each Notch, which being eut half way into the wood will representthetwoparallelograms efgh, ij k l, Fig. 10.
  - 8. Fig. 11 and 12. After having eut a Notch, (y) in the piece b, one must trace at the end of the jutty that has been reserved the length ab, and on alevel, cd; the two grooves being hollowed out, there will remain the prism efgh, ijkl, the base of which is a trapezium named Dove-tail,or only Tail : and in order to be able to make the insertion, one must groove afresh in the piece a, the notch mnop, qrst. (4)
  - 9. Fig. i3 and 14. The notches being eut half way into the wood in the pièces A a, B b, as it has been explained (y) for the Fig. 9 and 10 ; it was necessary to convert into a tail, as elucidated above (8) for the Fig. 11 and 12 , about half the length of each of the parts reserved, which are to be wrapped over one ano-ther ;but the grooves in which those tails are tobe in-troduced must be hollowed afresh in the part of each piece where the thickness has remained entire, as ijkl, piece a, Fig. 14 ; and k 1 m n , piece b, in the same figure, and contiguous to the level part, as indicated also by their projections abcd ; in the piece A, and edef, in the piece B, Fig. i3.
  - Case 3. When one of the pièces of timber reaches as far as the intermedial part of the other.
  - 10. The end of the piece B must be joined in any part of the piece A. The projections, Fig. i5, iy, 19, 21, 23, point out five different ways of effecting the assemblage.
  - 11. By a Single Notch half way into the wood. A groove has been made in the piece A, Fig. i5,
  - the square of which abcd, is the horizontal projection, and the depth contains half the height of the piece of timber ; this groove is configured by ef, g h, ij, kl, in the piece a, Fig. 16.
  - 12. At the end of the piece b, in the same Fig. has been eut a notch ij, kl, mn, which is also half the height of the piece of timber : after the insertion has been made, the part which was reserved fills up the groove abc d, Fig. i5.
  - 13. Fig. iy and 18. A notch has been made at the end of the piece b, half way into the wood, as already explained in (12) : but, on the edges of the part that was reserved, two prisms with a triangular base hâve been eut off, to give that part the form of a tail, efgh, ijkl, as explained in (8). The notch efgh, in the piece A, is of the same form : for, in order to operate the insertion, the dimensions of each side of the groove must be respectively equal to those of the reserves in the other piece (4)-
  - 14. Fig. 19 and 20. A notch at the end having been eut in the piece b, (as already explained in ( 12),and for Fig. i5)two portions in the form ofa triangular prism igl, krs, hâve been retrenched from the reserved part, that are exactly half the height of the said reserved part, whereby a tail has been formed ,grht, Ispo: and the two little parts reserved making no alteration in the form of the upper surface of that
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- - la mise dedans, a l’apparence de celui de la Fig. i5. Dans la pièce A, l’entaille a d’abord été faite en parallélogramme à j bois seulement ; puis une deuxième entaille a été faite en queue, jusqu’à mi-bois.
  - 15. Fig. 21 et 22. Cet assemblage diffère de celui de la Fig. 17 et 18 en ce qu’à la pièce b, Fig. 22, il a été conservé à la partie étroite de la queue, et à trois de ses faces, un fdet de renfort, j m n i ; la projection horizontale dudit fdet est df et ce; celle de la queue , g hlk, et fa b e.
  - 16. Fig. 28 et 24. A la pièce A, Fig. 23 , on a d’abord fait un premier évidement, abcd, d’une dimension moindre que la moitié de la hauteur de la pièce de bois , comme e i f j, pièce A , Fig. 24 ; mais pour compléter à mi-bois l’évidement de la pièce A, on a approfondi seulement le parallélogramme a bf e, aussi indiqué par gh, pièce a. A la pièce b, Fig. 24, une seconde entaille a été approfondie pour l’occupation de la nervure, ghij, réservée à la pièce A : car il faut (4) que les dimensions de chaque face de l’évidement soient respectivement égales à celles des réserves de l’autre pièce.
  - Aux bois qui sont dans une disposition verticale tels que poteaux, etc., on nomme enture les assemblages qui les réunissent bout à bout.
  - 17. Fig. 25. Projection ou plan d’un poteau de barrière disposé diagonalement, dans lequel plan on aperçoit la largeur et l’épaisseur du tenon. La Fig. 26 est la représentation de la partie supérieure du poteau vu sur l’angle ; son tenon sur le plat et sa barbe rallongée. La Fig. 27 est celle de la lisse supérieure aussi disposée diagonalement avec mortaise à son arête inférieure. Les Fig. 28, 29 et 3o sont les mêmes pièces, mais vues sur un autre angle ; on y voit le tenon sur son épaisseur et l’évidement de la mortaise de la lisse.
  - 18. Ente a mortaise entaillée, et tenon épaulé. La Fig. 3i est la projection delà section supérieure d’un poteau quarré évidé d’une mortaise à une des faces; la Fig. 32 son élévation,et la Fig. 33 la partie inférieure du poteau supérieur avec son tenon.
  - Observation. Cet assemblage a lieu lorsque la hauteur ne permet pas d’effectuer la mise dedans par mouvement dans la direction verticale.
  - 19. Les Fig. 34, 35 et 36 sont pareillement les représentations détaillées de deux pièces de bois entées à mortaise entaillée et tenon en équerre ; assemblage très-usité pour les poteaux corniers, et Von a soin d’établir en-dehors les faces non mor-taisées.
  - 20. Enture a double enfourchement. Les Fig. 37, 38 et 39 sont relatives à une enture a double enfourchement y formé de quatre mortaises entaillées, et quatre tenons épaulés, un sur chaque face des pièces. Cet assemblage peu usité n’est guères qu’un objet de curiosité.
  - ai. Enture a tourillon. Fig. 4° 1 41 et 42- Cette manière d’enter deux pièces de bois serait la plus parfaite, mais n’est point mise en usage à cause de la difficulté du recreusement de la mortaise.
  - On peut y rapporter le tourillon ou tenon, que l’on exécute aux poteaux que l’on place sur un dé ou un parpaing de pierre, dans un refoulement qui y a été préparé.
  - PLANCHE II.
  - Assemblage a embrevement.
  - La Fig. 1 est en usage pour réunir à un poteau A, des linteaux, des lisses, ou des sablières, B B, qui pénètrent l’intérieur du poteau.
  - 22. En supposant la pièce B être une lisse ou une sablière à scellement d’un bout, et avec assemblage de l’autre, l’opération se réduit à faire un tenop ordinaire abcd y efgh; et au poteau, une entaille nommée embrèvement, a b c dy efg h : à la
  - ( 3 )
  - das Einsetzen geschehen ist, das Ansehen von der in Fig. i5 beschriebenen Zusammenkàmmung. Bei dem Holze A,ist zuforderst ein Parallelogramm-for-miger Einschnitt in j Iiolzdicke, sodann aber ein schwalbenschwanz - formiger Einschnitt in halbe Holzhohe gemacht worden.
  - 15. Fig. 21 und 22. Diese Zusammensetzung un-terscheidet sich von der in Fig. 17 und 18 dadurch, dass bei dem Holze b, Fig. 22 , eine vorstehende Yerstàrkung ,j m n i, an drei Seiten des Kammes, und zwar an den beiden Neben-und untern Seiten gelassen worden ist, die horizontale Vorstellung des Ganzen ergibt sich aus df, ce,ghlhy und fa b e.
  - 16. Fig. 23 und 24. Der Einschnitt abcd\ im Holze A, Fig. 23, wird anfànglich nicht ganz in halbe Holzhohe gemacht (man sehe e i f j, beim Holz A, Fig. 24) ; um ihm sodann die vollstàndige Tiefe in die halbe Holzdicke zu geben , so wird bloss das Parallelogramm abfey welches auch durch gh, beim Holz A angedeutet ist, ausgeschnitten. Das Holz B in Fig. 24,zeigt einen zweiten Einschnitt, in welchen, die Rippe g h i j, im Holze a, eingesetzt wird. Die Seiten eines jeden Einschnittes müssen, wie in (4) bemerkt worden , mit dem im andern Holze gelassenen Theile, der Lange und Breite nach vollkommen übereinstimmen.
  - Bei senkrecht stehenden Holzern , wie z. B. Pfos-ten , u. s. w, nennt man Yerzapfung diejenigen Zusammensetzungen, welche sowohl durch die Yereinigung eines stehenden und liegenden Holzes, als auch durch Vereinigung zweier Holzer an den Enden geschehen konnen.
  - 17. Dië 25 Figur stellt einen überEck gestellten Pfosten vor, wobei zugleich die Breite und Dicke des Zapfens sichtlich ist. In Fig. 26 sieht man den obern Theil des Pfostens mit seinein Winkel, sei-nem Zapfen auf der flachen Seite, und seinem ver-làngerten Barte : Fig. 27 stellt einen ebenfalls über Eck gelegten Unterzug (Pfette), mit dem an der untern Spitze befindlichen Zapfenloehe vor. Die Fig. 28, 29,3oenthalten dieselben Theile, jedoch von der andern Seite : man sieht daselbst die Dicke des Zapfens, so wie auch das Zapfenloch, welches in der Pfette angebracht ist.
  - 18. Einschnitt mit Zapfenloch und gedchselten Zapfen. Die 3i Figur zeigt den obern Durchschnitt eines viereckigen Pfostens mit einem Zapfenloehe an der einen Seite ; die 32 Figur stellt den obern Theil des Pfostens, und Fig. 33 den untern Theil des obern Pfostens mit seinem Zapfen, welcher in den untern eingesetzt wird, vor.
  - Bemerkung. Diese Zusammensetzung wird dann angewendet, wenn die Einsetzung von oben , in gerader Richtung nicht geschehen kann.
  - 19. Die Figuren 34, 35 und 36 enthalten eben-falîs eine ausführliehe Darstellung von der Zusam-menzapfung zweier Holzer, wovon der Zapfen einen YVinkel bildet. Diese Zusammensetzung ist vorzüglich bei Eckpfosten gebràuchlich, wobei man darauf sehen muss, dass die nicht eingeloch-ten Seiten, auswàrts zu stehen kommen.
  - 20. Die Fig. 37, 38 und 39, geben eine Anwei-sung zu einer Zusammensetzung mit vier Zapfen. Diese entstehet aus vier eingeschnittenen Zapfen-lochern und vier Zapfen, von denen auf jeder Seite der Holzer einer stehet. Diese wenig gebràuchliche Zusammensetzung geschieht bloss der Seltenheit wegen.
  - 21. Einzapfung in runde Pfosten. Diese in den Figuren 4° 5 41 und 42 vorgestellte Einzapfung zweyer Holzer, wàre allerdings die vollkommenste ; allein sie ist wegen des schwer einzulochenden Zapfenloches nicht gebràuchlich.
  - Diese Art Zapfen wird oft. bei freistehenden, auf einem Steinwürfel ruhenden Pfosten, welche zur Unterstützung der Durchzüge bestimmt sind , an-/ gebracht.
  - TABELLE IL
  - Zusammensetzung mit Zapfen-Versatzungen, Fig. 1.
  - Selbige wird angewendet , wenn Pfetten oder Schwellen BB, welche in das Innere des Pfostens A hineingehen, mit demselben verbunden werden sollen.
  - 22. Gesetzt das Holz B ist eine Pfette oder Schwelle, welche mit einem Ende eingezapft, und mit dem andern eingesetzt werden soit, so macht man bloss einen gewbhnlichen Zapfen abedy efgh y und in die Pfosten einen Einschnitt, Versatzung
  - assemblage, it looks, after the insertion is made, like that in Fig. i5. In the piece A,the notch has previously been made as a parallelogram, only one fourth part in the wood, and then a second notch has been made in the form of a tail, half way into the wood.
  - 15. Fig. 21 and 22. This assemblage differs frojn that in Fig. 17 et 18, in this , that in the piece b, Fig. 22, in the narrow part of the tail, and on three of its sides, a strengthening fillet has been reserved j m n i : the horizontal projection of the said fillet is, df and ce, and that of the tail, ghlk, and fabe.
  - 16. Fig. 23 and 24. In the piece A, Fig. 23, a first groove, abcd, has previously been made, of a dimension less than half the heîght of the piece of timber, as in e i f j, piece A, Fig. 24 : but in order to complète the grooving of the piece A half way into the wood, nothing has been hollowed but the parallelogram abfey as indicated by gh, piece A. In the piece B , Fig. 24, a second notch has been eut for the occupation of the nerve, g h i j, reserved in the piece A : for the dimensions of each side of the groove (4) must be respectively equal to those of the reserves in the other piece.
  - In the pièces of timber which are vertically pla-ced, such as Posts, etc., the assemblages that join them at their extremities are called scarfs.
  - 17. Fig. 25. A projection or plan of a post at a bar-gate diagonally disposed, in which is seen the breadth and thickness of the tenon. The Fig. 26, represents the upper part of the post seen on the angle, together with the fiat part of the tenon and its lengthened end.
  - The Fig. 27, represents the upper rail, also diagonally disposed, with a mortise at the lower edge of it. The Fig. 28,29,an<^ 3° are the saine pièces, but seen on another angle : there is seen the thickness of the tenon y and the groove of the mortise in the rail.
  - 18. ^ Scarf with a notched mortise and a shoulde-redtenon. — The Fig. 3i is the projection of the upper section of a square post, with a mortise grooved in one of the surfaces ; the Fig. 32 it its élévation ; the F. 33 is the lower part of the upper post with its tenon.
  - Observation. That assemblage is used when, on account of the height, the insertion can not be conveniently made in a vertical direction.
  - 19. The Fig. 34 , 35 and 36 are likewise the detai-led représentations of two pièces of wood scarfed with a notched mortise and a squared tenon : this assemblage is very much used for corner-posts, and care has been taken to put outside the surfaces that hâve no mortises in them.
  - 20. Double crossed scarf. The Fig. 37, 38 and 39 relate to a double crossed scarf y composed of four notched mortises, and four shouldered tenons, one of which is on eachsurface of the pièces. This assemblage, which is seldom used, is a mere object of curiosity.
  - 21. Spindle or Pivot scarf y Fig. 4o, 41 and 42.
  - This manner of scarfing two pièces of timber is by
  - ail means the most perfect, but seldom used, on account of the difficulty of grooving again the mortise.
  - The same spindle or the same tsnon may be adapted to it, which is used for such posts as are fixed upon a die or dado , or upon a large massive stone placed in a cavity dug to that purpose.
  - PLATE II.
  - Tusky or Bevel - shoulder assemblage.
  - Fig. 1. It is used to join to a post A, either Lin-tels y rails y or sablières BB, which penetrate into the post.
  - 22. Suppose the piece B is a rail, or a sealing sablière at one end, and an assemblage at the other, the operation will consist in making a common tenon abcdyefghy and in cutting into the post a notch called tusk abcd,efgh: and at the place of
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- - mise dedans, les deux épaulements du tenon s’ajusteront aux deux joues renfoncées de la mortaise.
  - 23. Mais si la pièce était un linteau, après avoir tracé la largeur de baie comprise entre les poteaux ijkl, etc., on rallongera chaque épaulement ou embrèvement de tenon, mnop, etc., de la profondeur de l’entaille d’embrèvement que l’on veut donner à la mortaise.
  - Observation. Beaucoup de charpentiers rallongent seulement la partie inférieure : alors chaque épaulement est oblique, ainsi que chaque embrèvement de mortaise.
  - Fig. 2. Moise est le nom de deux pièces de bois, B, B, qui servent à modérer la flexibilité des poteaux A A, en embrassant tout leur contour ou seulement une partie.
  - 24. Pour exécuter cet assemblage, on fait quatre entailles aux quatre faces de chacun des poteaux ; il reste un prisme dont le côté est moindre que le côté de la base du poteau : on fait ensuite à chaque moise une entaille qui embrasse environ la moitié du prisme réservé ; mais il faut boulonner les deux moïses.
  - AA, Fig. 3. Sablières de chambrée, traversant un paroi ou cloison de charpente, et dont linfé-rieure reçoit les bouts des solives d’un plancher.
  - 2?). Les faces du dessous des solives, B,B,B, ont près de leur bout des entailles avec mentonnet, qui se placent dans l’entaille de la surface supérieure de la sablière inférieure ; et à la face du dessus, une queue ayant peu de relief, qui occupe l’entaille de même forme faite à la face du dessous de la sablière supérieure.
  - Les autres surfaces horizontales desdites sablières reçoivent les assemblages choisis pour les poteaux d’huisseries, tournices, décharges, etc.
  - Assemblages ci rainure et languette, Fig. 4-
  - 26. On joint de cette manière les planches de chêne ou de sapin clouées sur des solives ; et, dans certains cas, les palplanches d’ouvrages hydrauliques, A, A, A , planches dressées aux rives avec une languette et une rainure à chacune. B représente une solive.
  - 27. Lorsque les dimensious d’équarrissage d’une pièce de bois sont insuffisantes pour occuper une hauteur donnée, on y supplée en lui réunissant avec le même assemblage une deuxième pièce qui achève la hauteur, Fig. 5. Pour éviter toute crainte de disjonction on donne quelquefois à la languette, Fig. 6, la forme de queue ; la rainure doit avoir la même forme, mais alors la mise dedans ne peut s’effectuer que par un mouvement longitudinal.
  - Ces sortes de doublages sont peu usités ; et quand ils sont nécessaires, on supplée à leur assemblage par des étriers de fer, qui ont souvent un office accessoire à remplir.
  - Assemblage a double paume grasse et à double repos.
  - Cet assemblage a lieu à quelques pièces d’étaie-ment ou de cintres de voûtes.
  - 28. Les surfaces abc d, efgh, Fig. y, pièce b, sont les deux paumes grasses, ainsi nommées à cause de leur inclinaison ; et les horizontales, be, c h ,fi,gj, sont les repos. L’entaille de la pièce A, doit avoir même forme (4).
  - 29. On réunit aussi bout à bout les sablières par tenon et mortaise a enfourchement simple, Fig. 8, ou bien on donne à l’un et à l’autre la forme de queue. Fig. 9.
  - Assemblage à tenon et mortaise, le plus usité dans les ouvrages de charpente.
  - 3o. A et B, fig. 10, sont les deux pièces assemblées ',abcd est la projection du tenon ', a b onde, sa longueur; et b c, sa largeur : à la pièce b, les six
  - ( 4 )
  - genannt, abcd,efgh. Wenn die Einsetzung ge-schieht, so schliessen sich die beiden Kanten des Zapfens an die beiden vertieften Baeken des Zap-fenloches an.
  - 23. Ist das Holz B aber ein Sturz, so misst man erst die Breite zwischen den Pfosten ijkl, etc., und verlàngert sodann eine jede Achsel oder Kerbe des Zapfens mnop, etc. bis zur Tiefe derYersat-zung, welche man dem Zapfenloche geben will.
  - Bemerkung. Mehrere Zimmerleute verlangern bloss den untern Theil ; alsdann ist jede Achsel und jede Yersatzung schief.
  - Fig. 2. Band nennt man die beiden Holzer B, B, welche die Pfosten AA ganz oder theilweise um-schliessen, wodurch selbige mehrere Festigkeit erhalten.
  - 24. Um diese Zusammensetzung zu vollführen, macht man an den vier Seiten eines jeden Pfostens vier Einschnitte ; es bleibt sodann ein Yiereck, dessen Seite kleiner ist, als die Seite der Grund-flache des Pfostens. Man macht sodann an jedem Bande einen Einschnitt, welcher ehngefahr die Halfte des gebliebenen Vierecks einschliesst ; man muss aber die beiden Bander mit einem Bolzen oder Schraube befestigen.
  - AA. In Figur 3 sind Zimmerschwellen, welche durch eine Mauer oder Riegelwand gehen vorge-stellt. In die untern werden die Enden der Balken eingesetzt.
  - 25. Die untern Seiten der Balken B,B,B,haben an ihren Enden einen einfachen Ramm, welcher in den an der obern Seite der untern Schwelle be-findlichen Einschnitt eingesetzt wird. An der obern Seite ist ein nur wenig erhabener schwalbenschwanz-fdrmiger Kamm angebracht, welcher einen âhnlich gestalteten, in der untern Seite der obern Schwelle befindlichen Einschnitt ausfüllt.
  - In die andern horizontalen Seiten der gedach-ten Schwellen kommen die zu den Thiir - Pfosten, Stelzen, Biigen ( Strebe-Pfosten ), etc. bestimmten Zusammensetzungen.
  - Zusammensetzungen durch Nuthen und Zungen, Fig. 4.
  - 26. Auf diese Weise werden eichene oder tan-nene, auf die Balken genagelte Breter zusammen gefiïgt. In gewissen F’âllen werden die Grund-Planken bei Deichen und Dammen ebenfalls auf diese Weise mit einander verbunden A, A, A, sind Breter oder Planken, welche mit ihren Kanten durch Nuthen und Zungen zusammengefügt sind ; B, ist der Balken.
  - 27. Wenn ein viereckiges Holz die erforderliche Dimension oder Grosse niclit hat, um eine gewisse Hbhe auszufüllen, so fiigt man noch ein zweites, auf ahnliche Weise gearbeitetes hinzu, und vollendet so die Hohe, man sehe die 5 Figur. Um jeder Auseinanderweichung vorzubeugen , gibt man der Zunge bisweilen die Gestalt eines Kammes , Fig. 6 ; wobei aber die Nuthe von gleicher Gestalt seyn muss ; auch kann sodann die Einfahrung nicht an-ders als von der Seite geschehen. Diese Art von doppeltem Aufsatz wird jedoch sehr seiten ange-wendet ; machen ihn aber die Umstànde nothwen-dig, so wird die Zusammensetzung mit eisernen Bandern, welche hierbei oft mit zu einem Neben-zwecke dienen, befestigt.
  - Zusammensetzung mit dobbelter schrdger Tersatzung und doppelter Auflage oder Ruhepunkte.
  - Diese Zusammensetzung findet Statt bei einigen Stiitzen oder GewÔlbbÔgen, so wie in Gebâlken.
  - 28. Die Flachen abcd,efgh, im Holze b, Fig. 7, sind die beiden schragen Yersatzungen welche diese Namen wegen ihrer Neigung führen; die horizontalen Linien b ech,fi, gj , sind die Ruhe-Punkte. Der Einschnitt im Holz a, muss von gleichei* Gestalt seyn (4)-
  - 29. Man setzt die Schwellen auch mit ihren Enden vermittelst eines Zapfens und einfachen Gabelzapfenloches nach Massgabe der 8 Fig. zusammen ; auch gibt man beiden bisweilen die Gestalt eines Schwalbenschwanzkammes wie in Fig. 9 zu sehen ist.
  - Zusammensetzung mit Zapfen und Zapfenloche, wie solche beiden Zimmerwerken am gebrauchlichsten ist.
  - 30. A und B, in der 10 Figur, sind die beiden zu-samraenverbundenen Holzer ; a b c d ist der Zapfen ; a. b oder d e, ist seine Lange, und b c, die Breite : bei
  - insertion, the two epaulments of ilie tenon will just fit the two sunk cheeks of the mortise.
  - 23. But if the piece was a lintel, after liaving traced the breadth of the aperture between the posts ijkl, etc, one must lengthen eacli epaulmcnt or tusk of the tenons mnop, etc., of the saine depth as the tuslc-notch that is intended to be given to the mortise.
  - Observation. Many carpenters lengthen only the lower part, and then each epaulment is oblique, as well as each tusk of the mortises.
  - Fig. 2. Binding piece, or Notchcd rail, is the name of two pièces of timber B ,B, that serve to moderate the flexibility of the posts KA,hj encompassing their periphery, or only part of it.
  - 24. In order to execute that assemblage, four no telles must be made in the four surfaces of each of the posts, and there remains a prism the side of which is less than the side of the base of the post: one makes afterwards in each binding piece (moise) a notch which en compassés about half theprism reserved ; but the two binding pièces must be fastened with bolts.
  - AA, Fig. 3. Sablières (de chambrée), going through a wooden - partition , the lower part ol which recieves the ends of the joists of a floor.
  - 25. The surfaces of the under part of the joists B, B, B, hâve near their end notches with a catch, which are placed in the notch of the upper surface of the lower sablière, and in the uppermost surface, there is a tail with very little relievo , which fills up the notch of the same form eut in the undermost surface of the upper sablière.
  - The other horizontal surfaces of the a fore said sablières bave the same assemblages made use of in Jautns or uprightposts, inclirwd sablières, (tournices': discharging posts, etc.
  - Assemblage with Plough and Tongue, Fig. 4*
  - 26. The oak or fir planks nailed upon the joists are joined in this manner ; as also , in certain cases , the planks used in hydraulical Works.
  - A, A, A, represent planks planed on the edges, with a plough and tongue to each. B , is a joist.
  - 27. When the squared dimensions of a piece of timber are insufficient to reach a given height, it may be remedied to by joining to it, with this same assemblage, a second piece which complétés the height required, as in Fig. 5.
  - In order to avoid every fear of disjunction,one gives sometimes to the tongue,Fig. 6, the form of a tail,and the plough must be of the same form ;but then the insertion can onlybe effectedby a longitudinal motion.
  - Those sorts of casings are seldom used, and when they are necessary, that assemblage may be replaced by iron-hooks which often fill up an ac-cessary office in the work.
  - Assemblage with double Dove-tail, and double notch, ( repos ).
  - This assemblage is utsed for sonie staying or prop-ping pièces, as also for the arches of vaults.
  - 28. The superficies abc d,efgh, Fig. 7, piece b, are the two double dove-tails so called on ac-count of their inclination ; and the horizontal lines b e,ch ,fi, gj, are the double notches (repos). The notch in the piece a must be of the same form (4).
  - 29. The sablières may also be joined end to end by a tenon and mortise with a single Crossing, as in Fig. 8, or both may be shaped in the form of a tail, as in Fig. g.
  - Assemblage with Tenon and Mortise, mostlj used in the works of carpentry.
  - 3q, A and B, in Fig. 10, are the two pièces of timber assembled : abcd, is the projection of the tenon ; a b, or de, are its length ; and bc, is its breadth ;
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- - arêtes c d, d e, e f, g h, h i, i j, indiquent la forme entière dudit tenon ; k 1 c f, m n g j, ses deux épau-lements.
  - Les lignes gc ,cf,fj ,jg, sont le pourtour de la mortaise ; celles kl, cf, m n, gj, ses joues.
  - Observation. Le plus souvent les praticiens placent l’assemblage dans le milieu de la pièce : ce procédé convient mieux aux poteaux, décharges et tournées , qu’aux bois des planchers. Si en traçant les assemblages des solives, chevêtres, etc., on divisait la hauteur en sept parties égales, trois seraient réservées à- la joue inférieure de la mortaise, et les quatre autres seraient réparties entre le tenon et la joue supérieure : car la portion sous le tenon soutient tout le fardeau ; et c’est sans doute cette considération qui a suggéré à la prudence l’application des étriers en fer, que l’on ajoute dans certains cas à cet assemblage.
  - Assemblage à mortaise, et tenon avec renfort à mordant,ou selon quelques-uns à mors-d’ânefig. 11.
  - 31. Cet assemblage diffère du précédent en ce qu’à la surface supérieure du tenon , au lieu dévider quarrément Xèpaulemcnt, on le taille obliquement à partir de la meme ligne du tracé ; ensorte qu’il projette sur le tenon un renfort qui s’y avance plus ou moins, et lui procure une force bien plus considérable. On doit préférer cet assemblage quand le tenon a un grand fardeau à soutenir.
  - Assemblage à double tenon et mortaise, Fig. 12 , plus fort que celui à tenon simple.
  - 32. Il a en outre l’avantage d’empêcher le devers des pièces de bois : aussi est - il préféré pour les pièces qui ont un fardeau à soutenir, telles que les chevêtres, linçoirs, quelques pièces des pont-levis, etc.
  - 33. Assemblage a queue et avec fdet de renfort (i5), Fig. i3.
  - PLANCHE III.
  - Assemblages obliques. Fig. 1,2,3,4)5,6, 7,8,
  - 9, 1 o , 11 et 12.
  - 34. Le plan A, Fig. 1, est la représentation de la surface supérieure d’un bout de tiran ou d'entrait ; abcd est la projection horizontale de Xembrevement ou pas de Varbalétrier ; et efg h celle de la mortaise j ijkl, mnop, celle du pied de la jam-bette : la Fig. 2 , leurs projections verticales ; A, entrait $ B, arbalétrier ; et C fambette.
  - Fig. 3. La partie e f est nommée la gorge du tenon, et celle g h g'h' Xabout : les mêmes noms sont appliqués à la mortaise ; m n o p est sa gorge en pente ; et qrst, son about à l’équerre (un tenon est plus facile à revêtir quand il est abouté à l’équerre).
  - 35. Les Fig. 4 et 5 sont les projections d’un pareil assemblage : mais à la pièce b , Fig. 6, les deux épauleinents du tenon contiennent chacun deux renforts projetés à l'équerre, edefg,hijkl, qui touchent les diverses parties des entailles d’embrèvement , qui ont même forme (4).
  - 36. Fig. 7 et 8. Même projection d’assemblage, mais à double tenon : et chaque épaulement à la pièce b, Fig. 9, a une partie en gorge, c d, taillée à l’équerre sur la pièce ; le renfort ralongé , d e, est, pareillement taillé à l’équerre en ef (4).
  - 37. Fig. 10 et 11. Même projection d’assemblage à double tenon : et chaque épaulement à la pièce b , fig. 12 , est ralongé de trois renforts aussi taillés à l’équerre.
  - Les Fig. i3, i4, i5, 16; 17, 18, 19,20; 21 ; 22 , 23, 24, a5 et 26, représentent les détails d’un brisis de comble dont la hauteur est divisée par un plancher.
  - 38. Fig. i3. Plan d’une plate-forme A, du bout du tiran B ; et G, une lisse basse d’une ferme brisée ; abcd, est la projection du pied de la jambe de force ; et efg h, la mortaise qui reçoit son tenon : ijkl, mortaise qui reçoit le tenon de la deuxième jambe de force. La figure 14 en est le profil : A est
  - (5)
  - dem Holze b zeigen die sechs Spitzen c d, d e, ef, gh,hi,ij, die Gestalt des Zapfens, und klcf, m n gj seine beiden Achseln. Die Linien gc,cf,fj,jg sind der Umkreis des Zapfenloches, so wie kl, cf ', mn, gj, die Backen desselben vorstellen.
  - Bemerkung. In der Praxis bringt man diese Zu-sammensetzung ara hàufigsten in der Mitte des Hol-zes an. Diese Verfahrungsweise ist fiir Pfosten, Strebepfosten und Stelzen schicklicher als fiir De-ckenholz. Wenn man bei der Zusammensetzung der Balken, Stichbalken , etc. , die Hohe in sieben gleiche Theile theilen wollte, so kàmen drei auf den untern Backen des Zapfenloches und die vier andern auf den Zapfen und den obern Backen ; weil der Theil unter dem Zapfen die ganze Last tràgt, so wendet man aus Vorsicht bisweilen eiserne Bander an.
  - Zusammensetzung mit Zapfenloch und Zapfen, nebst Ferstàrkung.
  - 31. Diese Zusammensetzung unterscheidet sich von der vorhergehenden dadurch, dass die Achseln an der obern Seite des Zapfens niclit viereckig, sondera von derselben Linie an, schiefgeschnitten sind, so dass an dem Zapfen ein mehr oder minder vor-ragender Vorstoss bleibt, wodurch die Kraft des Zapfens betràclitlich vermehrt wird. Diese Zusammensetzung ist vorziiglich dann rathsam, wenn der Zapfen eine grosse Last zu tragen bat.
  - Zusammensetzung mit doppelten Zapfen und Zap-fenloche.
  - Die Kraft ist hier noch st'ârker als bei einfachen Zapfen.
  - 32. Ein anderer Yortheil der aus dieser Zusammensetzung entspringt, ist der, dass sich die Hol-zer nicht werfen ; auch wird sie vorzugsweise bei Holzern angewendet, welche Lasten zu tragen haben wie z. B. die Stichbalken, und Wechsel, einige Holzer bei Zugbrücken, etc.
  - 33. Zusammensetzung mit Kamm und vorste-hender Kerstdrkung (i5), Fig. i3.
  - TABELLE III.
  - ScHIEFE ZüSAMMENSETZUNGEN. Fig. I , 2,3, 4) 5 , G,
  - 7, 8,9, 10, 11 und 12.
  - 34- Der Plan A , Fig. 1, stellt die obéré Seite ei-nes Durchzuges, oder Spannriegels ara En de desselben vor ; abcd, ist die horizontale Ansicht der Kerbe oder des Einschnittes der Dachstuhlsàule, und efg h, die des Zapfenloches; ijkl, mnop, ist der Fuss des Stützbandes, ebenfalîs in hori-zontaler Vorstellung. Die 2 Figur enthalt die ver-ticalen Ansichten derselben. A, ist der Spannriegel, B, die Dachstuhls'àule, und C , das Stützband.
  - In Fig. 3, heisst der Theil , ef, die Kehle oder Ranke desZapfens, und der Theil gh g' h' die Stirne : gleiche Bennennungen fin den bei dem Zapfen-loche Statt; mn op, ist seine Kehle, in sich neigen-
  - Ider schràger Richtung, qrst, seine Stirne, in Gestalt eines Winkels. (Ein Zapfen làsst sich leichter einsetzen oder verkleiden, wenn das Ende desselben einen Winkel bildet).
  - 35. Die Fig. 4 und 5, stellen eine àhnliche Zusammensetzung vor ; allein bei dem Holze b , in Fig. 6, sind bei jeder der beiden Stirnen des Zapfens zwei winkelformige Versatzungen edefg, h ijkl angebracht, welche an die verschiedenen Theile der àhnlich gestalteten (4) Kerbeneinschnitte anstossen und sie ausfüllen.
  - 36. Fig. 7 und 8. Die n'âmliche Zusammensetzung, nur mit doppeltem Zapfen : jede Stirne bei b, in der 9 Figur, liât überdiss noch einen kehlfor-migen Theil c d, welcher winkelformig geschnitten ist ; die verlàngerte Yerstàrkung d e , ist ebenfalîs in ef (4) winkelformig geschnitten.
  - 37. Fig. 10 und 11. Die Zusammensetzung ist dieselbe, nâmlich mit doppeltem Zapfen,: jede Achscl beim Holz b, Fig. 12, ist ausserdem nocli mit drei, ebenfalîs winkelformigen Verstarkungen versehen.
  - Die Fig. i3, 14, i5, 16,17, 18,19,20,21, 22, 23,24,25 und 26 stellen ein gebrochenes Dach vor, dessen Iiohe durch ein Geb’àlk getheilt wird.
  - 38. Fig. i3. Ansicht einer Mauerlatte A, am Ende des Balkens B ; C, ist die Schwelle eines ge-brochenen Dachstuhls ; a b c d, der Fuss des Sparrens, und A,das, zur Einsetzung desZapfens bestiinmte Zapfenloeh : ijkl, ist das Zapfenloch, welches den Zapfen der Sthulsàule ausfüllt. In der 14 Fig. sieht
  - in the pieceb,the si xedges cd, de,ef, gh, h i, i j, show the entire form of the said tenon ; and k 1 c f, m n g j, show its two epaulments.
  - The Unesgc,cf,fj,jg, are the periphery of the mortise, and the lines kl, cf,ni n, g j, are its cheeks.
  - Observation. Practitioners mostly place the assemblage in the middle of the piece ; that manner is more proper for discharging posts, inelirfed sablières, etc., than for the timber used in floors. If in tracing the assemblages of the joists, binding joists, etc., the height was divided into seven equal parts, three of them should be reserved for the lower cheek of the mortise, and the four remaining ones should be divided between the tenon and the upper cheek ; for the portion under the tenon sustains the whole burthen ; and it is doubtless for that very reason that prudence has suggested it to apply iron - hooks, which are added in certain cases to that assemblage. ' / Assemblage with a Mortise, and a tenon with a bent-back reenforcement. Fig. 11.
  - 31. This assemblage differs from the other,be-cause, at the upper surface of the tenon, instead of the epaulment being grooved in a square manner, it is eut bevel - ways, from the line traced in the projection ; so that a reenforcement juts more or less on the tenon, and procures it a much greater strength. This assemblage ought to be preferred when the tenon must bear a considérable burthen.
  - Assemblage with a double Tenon and Mortise.
  - Fig 12. It is stronger than that with a single tenon.
  - 32. This assemblage has besides the advantage of preventing the warping of the pièces of timber ; so it is preferred for such pièces as hâve a burthen to bear; viz : Binding joists, long joists, (linçoirs), and some pièces in draw-bridges, etc.
  - 33. Assemblage with a Tail and a reenforcing fillet or listel (i5), Fig. i3.
  - PLATE III.
  - Obliqué Assemblages. Fig. 1, 2,3,4? 5,6, 7,8,
  - 9, 10, 11 und 12.
  - 34. The Plan A, Fig. 1, is the représentation of the upper surface of the end of a Collar, or of a Tie-beam ; abcd, is the horizontal projection of the tusk-joint, orfurrow of the principal rafter ,* and efgh, is that of the mortise; ijkl,mnop, that of the foot of the Count-timber : the Fig 2, shows their vertical projections : A, is the Tie-beam ; B , is the principal Rafter; C, is the Count-timber.
  - Fig. 3. The part ef, is called the Gorge of the Tenon, and the part g h g' h' is named the squared abutrnent : the same names are given to the Mortise j m n o p show the shelving gorge : q r s t, is its shelving abutrnent. ( A Tenon, when squared, is easier to be wrapped over, )
  - 35. The Fig. 4 and 5 are the projections of a si-milar assemblage; but in the piece b, Fig. 6, the two epaulments of the tenon contain each of them two squared projected reenforcements , edefg, hijkl, that touch the different parts of the tusked Notches , which are of the same form (4).
  - 36. Fig. 7 and 8. They contain the same projection with regard to the Assemblage, only there is a double tenon, and each epaulment in the piece b, in Fig. 9, has a part of it in the form of a gorge c d, eut square in the piece ; the lengthened reenforcement de is likewise eut square, as ef (4)-
  - 37. Fig. 10 and 11. They contain the same projection with regard to the Assemblage, there is also a double tenon, and each epaulment in the piece b, Fig. 2, is lengthened by three reenforcements also eut square.
  - The Fig. i3,14, i5,i6 ; 17,18,19, 20 ; 21 ; 22, 23, 24,25 and 26, represent the details of a Fiat curved-roof, the height of the top being divided by a floor.
  - 38. Fig. i3, represents the Plan of Platform A, at the end of the collar B ; and C, is the lower rail of a middle rafter \ abcd, is the projection of the foot of the principal rafters (jambes de force) and efgh, the Mortise which receives the tenon : ij kl, is the Mortise that receives the Tenon of the second principal
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- - la section verticale de la plate-forme; B est une des faces d’à-plomb du bout du tiran ; et C, la section verticale de la lierne : D, partie extérieure de la jambe de force ; et E, partie inférieure de la deuxième jambe de force.
  - 39. On voit dans la Fig-. i5 que la plate-forme, a , contient à sa surface supérieure une entaille a b c defg h ; et le tiran , une autre , b ij ckehl, fixées l’une dans l’autre : m n op est le fond de l’entaille faite à la face supérieure du tiran pour recevoir le cours de lierne ; et q rs t, la mortaise qui reçoit le tenon de la jambe de force d, Fig. 17.
  - On voit dans la Fig. 16 que la lierne c contient à sa surface supérieure une entaille et une mortaise qui reçoivent l’assemblage à embrèvement de la deuxième jambe de force.
  - 4o. La rencontre du plancher dans le milieu de la hauteur de brisis exige un choix d’assemblages convenables à leur réunion. La Fig. 19 en est le profil ; d, jambe de force; e, partie supérieure de la deuxième jambe de force ; f, section de la lierne haute ; g , une des moises formant le premier entrait ; h , faux entrait.
  - La Fig. 18 est la projection horizontale dudit profil contenant comme celle de la figure treize les principaux détails d’assemblage et un des boulons de fer (24).
  - 4r. Au bout supérieur de la deuxième jambe de force est une entaille, avec réserve d’un petit tenon, pour le passage de la lierne haute, représentée Fig. 21, laquelle a uni à une de ses faces une entaille qui se réunit à la partie réservée du bout de la deuxième jambe de force e ; et à la face du dessous est une mortaise qui s’assemble à chapeau sur le petit tenon réservé à l’about de la pièce e. Fig. 20 est une autre entaille qui reçoit le tenon à queue du faux entrait h : la partie inférieure de celui-ci a en outre une petite coupe en tas de charge ralongée dans la pièce e. La figure 22 contient la représentation des entailles faites à la jambe de force pour recevoir les queues des deux moises g, Fig. 19.
  - Les Fig. 23, 24, 2 5 et 26 indiquent l’assemblage d’une moise pendante K.
  - 42. Dans la Fig. 23, qui en est le plan ou la projection horizontale, on voit en K la mortaise du faux entrait h qui reçoit le tenon inférieur de la pièce K ; les deux liernes IJ, entaillées pour embrasser partiellement ladite pièce K qui est elle-même entaillée pour les recevoir. Lesdites liernes ont chacune sur la face verticale opposée deux mortaises pour recevoir les tenons qui terminent les deux cours de moises g g.
  - La Fig. 24 est la projection verticale ou profil des mêmes pièces, où elles sont timbrées des mêmes lettres.
  - 43. Fig. 2 5. Aspect de la pièce h et de la mortaise qui reçoit le tenon de celle K. Fig. 26, autre aspect de la pièce K des cours de moises IJ du faux entrait h et des moises g g, le tout après son assemblage.
  - PLANCHE IV.
  - Fig. 1 et 2. Détail d’ajustement de quatre pièces de bois dont deux AAaa placées horizontalement et les deux autres B B b b placées verticalement.
  - 44- La Fig. 1 est la projection horizontale desdites pièces: le parallélogramme cdef indique la partie de bois qui se trouve réservée après que les entailles ont été faites aux pièces AA,c dmn,fekl3 indiquent les parties de bois réservées aux pièces B B dont les entailles sont représentées par cdef, ghij, Fig. 2.
  - Fig. 3 et 4* Même combinaison de pièces verticales et horizontales avec deux pièces passantes sous les moises.
  - 45. Fig. 3. EF. Projection horizontale d’une aiguille ou clé pendante composée de deux pièces de bois ef retenue en joint au moyen de deux moises AB ab efgh9 indique les dimensions des parties
  - man davon das Profil ; A, ist der verticale Durch-schnitt der Mauerlatte ; B, stellt eine der senkrech-ten Seiten am Ende des Balkens, so wie C, den ver-ticalen Durchschnitt der Dachstuhlsehwelle vor. D, ist der untere Theil des Sparrens und E, der untere Theil der Dachstuhls’àule.
  - 39. Die i5 Figur zeigt auf der obern Seite der Mauerlatte a , einen Einschnitt abc defg h ; der Balken enthalt ebenfalls einen Einschnitt bijc, kehl; wobei einer in den andern eingeschnitten ist : mnop ist der Grand von dem in der obern Seite des Balkens gemachten Einschnitte, in wel-chen die Breite der Dachstuhlsehwelle eingesetzt wird, und qr st stellt das zur Ausfüllung des Spar-renzapfens d, Fig. 17, bestimmte Zapfenloch vor.
  - Wir sehen in der 16 Fig. , dass auf der obern Seite der Dachscwelle C, jein Einschnitt und ein Zapfenloch angebracht ist, worein der Sparren eingesetzt wird.
  - 40. Soll eine Decke im Kehlgeb'âlke angebracht werden, so muss die Zusammensetzung der Holzer den Umstanden gemass geschehen. Die 19 Figur zeigt hiervon das Profil ; d, den Sparren ; e, den obern Theil der Dachstuhlsaule ; f, den Durchschnitt der Dachpfette ; g, den Kehlbalken, und h, den Spann-oder Brustriegel.
  - Die 18 Fig. zeigt die horizontale Vorstellung des gedachten Profils mit den vorzüglichsten in Fig. 13 beschriebenen Zusammensetzungen, inglei-chen einen eisernen Bolzen oder Schraube (24).
  - 4 r. An dem obern Ende der Dachstuhlsaule be-findetsich ein Einschnitt mit einem kleinen Zapfen, worein die in Fig. 21, vorgestellte Dachpfette kommt; diese Pfette hat ebenfalls an der einen Seite einen Einschnitt, welcher zur Ausfüllung des am Ende der Dachstuhlsaule e, gelassenen Ohrs bestimmt ist ; an der untern Seite befindet sich ein Zapfenloch, in welches der jkleine, am Ende der Stuhlsaule e, ge-lassene Zapfen eingesetzt wird. An dem andern, am Ende der Stuhlsaule e, in Fig. 20 gelassenen Ohre befindet sich eine Vezsatzung nebst Zapfenloch, in welches der Zapfen des Spann- oder Brustriegels h eingesetzt wird. In der 22 Figur sehen wir die Einschnitte, welche in dem Sparren zur Einsetzung der Kâmme der beiden Kehlbalken g, angebracht sind. Fig. 19.
  - Die Fig, 23,24,a5 und 26, stellen die Zusammensetzung eines hangenden Bandes K vor.
  - 42. Die 23 Figur enthalt dessen horizontale An-sicht ; man sieht bei K das Zapfenloch im Spann-riegel h,'in welches der untere Zapfen der Hang-saule K eingesetzt wird ; ferner die beiden Quer-bander IJ, welche eingeschnitten sind, um die ge-dachte HangsauleK,theilweise einzuschliessen; diese hat ebenfalls Einschnitte, in welche die gedachten Querbander eingesetzt werden.
  - Ein jedes von diesen Querb'àndern hat auf der entgegengesetzten verticalen Seite zwei Zapfen-locher, in welche die Zapfen an den breiten Seiten der Kehlbalken gg, eingesetzt werden.
  - Die 24 Figur zeigt die verticale Ansieht oder das Profil von denselben Holzern, welche mit den nâmlichen Buchstaben bezeichnet sind.
  - 43. Die 25 Figur enthalt die Ansieht des Spann-oder Brustiiegels und des Zapfenloches , worein der Zapfen der Hangsauîe K eingezapft wird. Die 26 Fig. stellt eine andere Ansieht dieser Hange-saule, so wie die Richtung der Bander IJ, ferner den Spannriegel h, und die Kehlbalken g g, nach geschehener Zusammensetzung vor.
  - T ABEL LE IV.
  - Fig. 1 und 2. Zusammensetzung von vier Holzern , von denen zwei K A aur, horizontal, und die beiden andern B2? b b, vertical gestellt sind.
  - 44- Die Figur 1 zeigt die horizontale Vorstellung derselben. Das Parallelogramm cdef, bezeichnet den Theil, welcher gelassen wird, nachdem die Einschnitte in die Holzer A A , geschehen sind ; c dmn,fekl, bezeichnen die in den Holzern B B, gelassenen Theile ; die Einschnitte in dieselben er-geben sich aus cdef, ghij, in Fig. 2.
  - Fig. 3 und 4* Die Holzer sind hier ebenfalls horizontal und vertical zusammengesetzt. Unter den Bandera gehen iiberdiss noch zwei Holzer hindurch.
  - 45. Fig. 3. EF. Man sieht hier die horizontale Abbildung einer Hàngsâule, welche aus zwei Holzern ef, zusammengesetzt ist. Diese leztern werden durch zwei Bander A B, a b, verbunden und zusam-
  - rafter. The Fig, i4 is the profile of it : A is the vertical section of the Platform ; B, is one of the level surfaces of the end of the Collar ; an am C, is the vertical section of the rail called Lierne: D, is the lower part of the principal rafter ; and E, is the lower part of the second principal rafter.
  - 39. One may perceive in Fig. i5, that the Platform a, has on its upper surface a Notch, abcdy efgh ; and the Collar has another, bijc, kehl, placed one within the other : mnop , is the bot-tom of the Notch made in the upper surface of the Collar, to receive the range of rails ; and q rst7 the mortise that receives the tenon of the principal rafter d, Fig. 17.
  - One sees in Fig. 16, that the Lierne C, has in its upper surface a Notch and a Mortise which receive the tusk assemblage of the second principal rafter.
  - 40. The meeting of the floor, in the middle of the height of the fiat curved roof, requires a choice of Assemblages suitable to their junction. The Fig. 19, is the profile of it : d, is a principal rafter ; e, is the upper part of the second principal rafter ; f, is a section of the upper Lierne; g, one of the binding pièces forming the first tie-beam ; h, is a second tie-beam.
  - The Fig. 18 is the horizontal projection of the said profile, containing as that of Fig. i3, the principal details of the Assemblage and one of the iron-bolts (24).
  - 4r. At the upper end of the second principal rafter, is a Notch with the reserve of a small tenon, for the passage of the upper Lierne, represented Fig. 21, which has a Notch in one of its surfaces that is joined to the part reserved for the end of the second principal rafter e ; and in the undermost surface, isa Mortise which is assembled with a head-piece on the small tenon reserved at tlieshelving abutment of the piece e. In the otlier part reserved at the shelving ex-tremity of the piece e, Fig. 20, is another notch that receives the tailed tenon of the second tie-beam h, the lower part of which has besides a small particular notch lengthening into the piece e.The Fig. 22 con-tains thg représentation of the notches made in the principal rafter, to receive the tails of the two binding pièces g, Fig. 19.
  - The Fig. 23,24, and 26, show the assemblage of a hanging binding piece k.
  - 42. In Fig. 23, which is the plan or horizontal projection of the same, is seen in K, the Mortise of the second tie-beam h , which receives the lower tenon of the piece K ; the two liernes I J, are noteh-ed to encompass only part of the said piece K, which has in it Notches to receive them. The above liernes hâve each on their opposite vertical surface two Mortises to receive the tenons which terminate the two ranges of binding pièces g g.
  - The Fig. 24 is the vertical projection or profile of the same pièces, where they are marked with the same letters.
  - 43. The Fig. 2 5 , présents a view of the piece h, and of the Mortise that receives the tenon of the piece K. The Fig. 26 présents another view of the piece K, of the ranges of binding pièces IJ, of the second tie-beam h, and of the binding pièces g g, the whole after the insertion of the assemblage has taken place.
  - PLATE IV.
  - Fig. 1 and 2. Details concerning the adjustment of four pièces of Timber, two of which are hori-zontally placed >AA,aa, and the two others B B, b b, are in a vertical position.
  - 44- The Fig. 1, is the horizontal projection of the aforesaid pièces : the parallelogram cdef3 shows the part of the wood which was reserved after the Notches were eut in the pièces AA : c d mn,fekl, show the parts of the wood reserved in the pièces B B, the Notches of which are represented by cdef, ghij, Fig. 2.
  - The Fig. 3 and 4 contain the same combinations of vertical and horizontal pièces, with two pièces passing under the binding pièces.
  - 45. In Fig. 3, EF is the horizontal projection of a Puncheon or hanging Key, composed of two pièces of timber ef, jointed by means oftwo binding piece* AB, ab: efgh, show the dimensions
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- - de bois réservées aux pièces verticales, E F, ef, et les deux entailles faites aux deux moises A<zBÆ (44) rnnop indique pareillement celles de la partie réservée au droit des pièces passantes C D c d, le tout représenté pàr les lignes c h f g, q m, n r, Fig. 4>
  - Fig. 5, 6 et 7. Combinaison de huit pièces de bois qui se moisent réciproquement. Elle n’a point d’objet réel, puisque les deux dernières ne maintiennent que des pièces déjà maintenues par d’autres.
  - 46. La Fig. 5 en est la projection horisontale ij k l parallélogramme des deux entailles faites aux pièces Aa, B b pour contenir les parties réservées aux pièces Ce, D d, qui elles-mêmes sont entaillées à • leurs surfaces opposées sur les mêmes lignes de projection ijkl: les entailles et réserves des pièces gh, sont semblables et faites sur les mêmes projections, ainsi que celles des pièces a b qui les moisent. Les projections des entailles et réserves des pièces Ee, Ff, sont les lignes mnop.
  - Les Fig. 6 et 7 sont des aspects qui représentent toutes les pièces après la mise dedans (44 » 45,24)•
  - Combinaisons de courbes appliquées à une charpente de grand comble pour y former une voûte en berceau : détail particulier des principaux assemblages nécessaires pour fixer les deux systèmes l’un à l’autre, Fig. 8,9, 10, n , 12, i3 ; i4» i5, 16, 17 et 18.
  - Observation. i° La Fig. 8 est une description horizontale prise à la ligne de trave du comble, et la Fig. i4 une même description, mais prise à la hauteur de la seconde enrayure ; 20 la pièce AA n’appartient à aucun des systèmes ; et quoique les Fig. 8 et 9 la contiennent, on doit seulement la considérer dans cet exemple comme support.
  - 47. La Fig. 8 contient les projections horizontales des pièces : B, vue de la surface supérieure d’un tiran ou d’un blochet ; C D, section horizontale des deux moises pendantes ; G H, section à la naissance des deux pièces qui forment la courbe du berceau; et EF, pièces moisant horizontalement toutes les fermes.
  - Les réserves, entailles et contre-entailles de toutes ces pièces ont été tracées et évidées comme celles précédemment détaillées (44» 45» 4b). La Fig. 9 est le profil ou projection desdites pièces \B, une des faces verticales du tiran; C, une des faces d’une moise pendante ; GH, une face des deux pièces qui composent la courbe ; E F, sections des moises horizontales (24).
  - ( 7 )
  - mengehalten, ef gh, zeigen die Grosse der in den Vertical-Holzern E F, ef, gelassenen Theile, so wie die zwei, in den beiden Bandera Aa, Bb (44) ge-machten Einschnitte : Aus mnop ergibt sich die Grosse des rechts an den durchgehenden Holzern G D, c d, gelassenen Theils ; das Ganze ist durch die Linien chfg, qm,nr, in Fig. 4 vorgestellt.
  - Die 5,6 und 7 Fig. stellt die Zusammetsetzung von acht sich wechselseitig verbindenden Holzern vor. Diese Zusammensetzung kann aber eigentlich nicht als selbststândig betrachtet werden,weil die beiden lezten Holzer bloss solche zusammenhalten, welche wiederum von andern zusam mengehalten werden.
  - 46. Die 5 Fig. enthalt die horizontale Abbildung dieserZusammensetzung. DasParallelogramm ijkl, zeigt die beiden , in den Hangs’âulen A a, B b, ge-machten Einschnitte, vermittelst welcher die in den Holzern Ce, Dd, gebliebenen Theile zusammen-gebalten werden. Diese leztern sind ebenfalls an ihren entgegengesetzten Seiten, und nach Masgabe derselben Linien ijkl, eingeschnitten. Die Einschnitte und gebliebenen Theile an den Holzern g h, sind von gleieher Gestalt, und mit âhnlichen Linien bezeichnet, so wie auch die Hangs’âulen ab, durch welche jene verbunden werden. Die Linien mnop dezeichnen endlich die in den Holzern E e, F f, gemachten Einschnitte und gebliebenen Theile.
  - In der 6 und 7 Fig. sieht man sâmmtliche Holzer nach geschehener Einsetzung derselben (44» 45,24).
  - Verbindung der Bogen-Holzer oder Biegen in grossen Dachwerken,worinnTonnen-Gewolbe ange-bracht werden, nebst besonderer Beschreibung der vorzüglichsten und nothigsten Zusam mensetzun-gen, wodurch die beiden in den Fig. 8,9,10, xi, 12, i3, 14» t5, ib, 17 und 18 aufgestellten Système mit einander verbunden werden.
  - Bemerkung. Die 8 Fig. stellt eine horizontale von der Stuhlwandlinie ausgehende Abbildung vor. Die i4 Fig. enthalt dieselbe Abbildung, nur dass sie von der Hohe des zweiten Gebâlkes genommen ist. Das Holz A A gehort zu keinem von diesen Systemen, und ohnerachtet selbiges in der 8 und 9 Fig. enthalten ist, so kann es hier dennoch nicht anders , als bloss als Durclizug, oder Tragbalken betrachtet werden.
  - 47. In der 8 Fig. sind die Holzer in horizontaler Lage vorgestellt ; B, ist die Ansicht der obéra Seite eines Binde-oder Stichbalkens ; G D, der horizontale Durchschnitt der beiden Hângsâulen ; GH, der Durchschnitt vom Anfang der beiden Holzer des Bogens, welcher das Tonnengewolbe bildet, und EF, die Bander welche aile Hauptbünde horizontal zusammenhalten.
  - Die gelassenen Hâlse, Einschnitte und Gegen-einschnitte an sâmmtlichen Holzern , sind ganz wie in N° 44» 45 und 46 gezeichnet und geschnitten. Die 9 Fig. enthalt das Profil der gedachten Holzer; B, zeigt eine von den verticalen Seiten des Balkens; G, die eine Seite der Bund-S’âule ; G H , eine Seite der beiden Holzer, welche den Bogen bilden, und EF, die Yorstellung der horizontalen Bander(24).
  - of the parts of the wood reserved in the vertical pièces EF, ef, and the two Notches eut into the two inding pièces AaBb, (44) : mnop, show li-kewise those of the part reserved directly with the passing pièces CD, cd : the whole is represented by the lines ehfg,^7ra,rcr,in the Fig. 4*
  - The Fig. 5,6 and 7, represent a combination of eight pièces of timber reciprocally fastened with binding pièces. This is of no real utility, since the two last serve only to keep together some pièces already maintained by others.
  - 4b. The Fig. 5 , is the horizontal projection : ijkl, is a parallelogram of the two Notches eut into the pièces A a, B b, to keep together the parts reserved in the pièces C c, D d, which are them-selves notched in their opposite surfaces on the same lines of projection ij kl: the Notches and the reserves of the pièces g h, are similar and made on the same projections, as well as those of the pièces a b, that fasten them with binding pièces. The projections of the Notches and reserves of the pièces Ee, Ef, are marked by the lines mnop.
  - The Fig. 6 and 7 are prospects that represent ail the pièces after the insertion lias been made (44,45,24).
  - Combinations of curves or crooks applied to the timber - work of a large roof, to form a semi - cir-cular vault : particular details of the principal assemblages necessary to join the two Systems or frames together. Fig. 8, 9, 10 11, 12, i3; i4,i5, 16,17 et 18.
  - Observation. i° The Fig. 8 is a horizontal description , taken from the line of the hay of joists in the roof, and the Fig. 14, is a similar description but commencing on a level line with the second Platform ;
  - 20 The piece A A belongsto no one of the Systems ; and though it be employed in Fig. 8 et 9, it ought only to be considered in that model as a prop or support.
  - 47. The Fig. 8 , contains the horizontal projections of the pièces : B, is a view of the upper surface of a collar or of a tie-piece ; C D, is the horizontal section of the two hanging binding pièces; G H is the section at the very beginning of the two pièces that form the semi - circular arched - roof ; and EE, the pièces horizontally fastening ail the rafters with binding pièces.
  - The reserved notches and counter-notches of ail those pièces liave been traced and grooved as those detailed in the preceding numbers (44» 45, 4b).
  - The Fig. 9, is the profile or projection of the said pièces, B, is one of the vertical surfaces of the Collar; C, is one of the surfaces of a hanging binding piece ; GH, is a surface of the two pièces which the curve or crook is composed of; EF, are sections of the horizontal binding-pieces (24).
  - 48. Fig. 10 and 11. They show a view of the forms of ail the parts that were eut for the Assemblages in the pièces a b. The letters a b c d, ef g h, Fig. 10, show the notch made in the piece a , for the occupation of a part of the piece b, Fig. 11; this last piece has also a notch efgh, Ikji, which, at the point of insertion , descends on a part of the piece a : this last piece has also two mortises ni n, to receive the tenons m n of the Fig. i3 : the piece b, contains besides two notches, mno q ,q r st, u m xy, etc., to serve as a passage to the hanging binding pièces cd ; and between these two notches , there is a Mortise, O, to receive the two tenons o o, at the very beginning of the curves in Fig. i3 : the notch eut in the upper surface of the aforesaid piece b, for the purpose of receiving the horizontal binding pièces, is sufficiently indicated by the figure itself. In the pièces e, f, Fig. 12, are also seen, in their vertical interiour surfaces, some double notches, p q rs, tu vx, etc. to serve as a passage to the hanging binding pièces c, d, as also for the occupation of the end of the curves g, h.
  - 4g. One may see in the Fig. 9, i3, i5 , 16 et 17, that the surfaces which are contiguous to each other in the two pièces of the curve, liave been eut in the form of a rack ( crémaillère ), that they may keep
  - 48. Fig. 10 et 11. Aspects indiquant les formes des parties qui ont été taillées pour assemblages aux pièces a b. Les lettres abcd, efgh, Fig. 10, indiquent l’entaille faite à la pièce a pour l’occupation d’une partie de la pièce b, Fig. 11 ; cette dernière ayant aussi une entaille efgh,lkij, qui, à la mise dedans, descend sur une portion de la pièce a : cette dernière a aussi deux mortaises m n, pour recevoir les tenons m n de la Fig. i3, la pièce b a en outre deux entailles rnnop,qrst, u vxy, etc., pour le passage des moises pendantes c d ; et entre ces deux entailles une mortaise, o, pour recevoir les deux tenons 00 de la naissance des courbes, Fig. 13 : l’entaille faite à la surface supérieure de ladite pièce b, pour recevoir les moises horizontales, est suffisamment indiquée par la figure. Aux pièces e, f, Fig. 12, on voit aussi à leurs faces verticales intérieures des entailles doubles p q r s, tu vx, etc., pour le passage des moises pendantes, c,d, et l’occupation du bout des courbes g, h, Fig. i3.
  - 49. On voit aux Fig. 9, i3 , i5, 16 et 17 , que les surfaces qui se touchent aux deux pièces de la courbe, ont été taillées en crémaillère, pour quelles conservent l’état de stabilité qu’on leur
  - 48. Die Fig. 10 und 11, zeigen; wie die zur Zusammensetzung der Holzer a b, gemachten Einschnitte gestaltet seyn miissen. Die Buchstaben a b cd,efgh, in Fig. 10, bezeichnen den in dem Holze a gemachten Einschnitt, in welchen ein Theil des Holzes b, Fig. 11 eingesetzt wird ; in diesem leztern befindet sich ebenfalls ein Einschnitt efgh,lkij, welcher nach der Einsetzung bis auf einen Theil des Holzes a herabgeht. Dieses leztere hat seiner-seits zwei Zapfenlocher m n, in welche die Zapfen m n, in Fig. i3 eingezapft werden ; das Holz b, hat überdiss noch zwei Einschnitte mnop,qrst, wv xf, etc. , worein die Bundsâulen c d kommen ; zwischen diesen beiden Einsehnitten hat es endlich noch ein Zapfenloch O, in welches die beiden Zapfen 00,am Anfang der Bogenholzer in Fig. i3, eingesetzt werden. Der auf der obéra Seite des gedachten Holzes b, zur Einsetzung der horizontalen Bander angebrachte Einschnitt, ergibt sich satt-sam aus der Figur selbst. In den Holzern ef, Fig. 12, befinden sich an den innern verticalen Seiten doppelte Einschnitte pqrs,tuvx, etc., durch welche die Bundsâulen c,d, gehen, und worein fer-ner noch das Ende des Bogens g, h, eingesetzt wird.
  - 49. Aus den Fig. 9, i3, i5, 16 und 17, sehen wir, dass die innern Seiten der Bundsâule den Bogen berühren und in demselben auf eine gewisse Tiefe eingelassen oder eingeschnitten sind, damit
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- - donne par l’opération du levage. Des moises hori-sontales, I, J, sont établies pour relier ces mêmes courbes aux fermes de charpentes.
  - Les Fig. 14, i5, 16,17 et 18 contiennent les divers détails à la hauteur de la deuxième enrayure.
  - 5o. Supposant la section horizontale on coupe la prise un peu au-dessus de la deuxième enrayure, sa projection horizontale sera Fig. 14 ; les sections des moises pendantes, C, D, auront même forme et seront dans la même position que dans la Fig. 8; les moises horizontales, LIKk, auront aussi les mêmes situations que celles FE; màis la courbure des pièces g h aura déjà subi un déplacement, et leur section prise à cette dernière hauteur, fera que leur projection se trouvera ici en GH ; mais on retient cet éloignement au moyen de deux moises IJ, avec queue en relief réservée à leur entaille, qui entre dans des entailles faites aux courbes. Le profil, Fig. i5, indique cet assemblage à queue, des pièces ghi, etc. Les Fig. 16, 17 et 18 sont des aspects qui indiquent les entailles faites aux moises pendantes c d, celles pour le passage des moises kl, et celles d’attraction IJ.
  - PLANCHE Y.
  - (8)
  - das Auseinanderweichen derselben verhindert werde. Die horizontalen Bander I, J,verbinden den Bogen mit dem Hauptgebâlke.
  - Die Fig. 14, i5, 16,17 und 18, enthalten die bei der Hohe des zweiten Werksatzes nothigen Beschreibungen.
  - 5o. Gesetzt der Durchsnitt ist horizontal, so ge-schielit derselbe ein wenig oberhalb des zweiten Werksatzes, wovon die i4 Fig. die horizontale Vor-stellung enthâlt. Die Bunds'àulen C , D , sind dann eben so gestaltet, und eben so gesetzt, wie in Fig. 8 ; auch haben die horizontalen Bander LIKk, die-selbe Stellung wie die in FE ; allein die Holzer des Bogens g h, sind nicht mehr an dem nümlichen Orte, und die Abbildung derselben befindet sich wegen der Hohe des genommenen Durchschnittes in G H. Dieser Abstand wird aber vermittelst zweyer Bander IJ, welche mit einem Kamme versehen sind, zusammengehalten. Dieser Kamm ist beim Ein-schnitt dieser Bander gelassen worden, und füllt die in dem Bogen gemachten Einschnitte aus. Die i5 Fig. zeigt diese Zusammensetzung bei den Hol-zern ghi, etc. im Profil. In der 16,17,un(^ *8 Fig. sieht man die in die Bundsàulen cd gemachten Einschnitte ; man sieht darinn ferner die zur Ein-setzung der Bander kl, bestimmten Einschnitte, so wie endlich die Kehl-oder Stichbalken IJ.
  - TABELLE V.
  - the position of stability given them by the operation of the raisiijg or lifting up. Some horizontal binding pièces I, J, are established to fasten those samecur-ves to the principal rafters of the timber-work.
  - The Fig. i4, i5, 16,17 and 18 contain the various details on a level line with the second Platform.
  - 5o. Supposing the horizontal section or eut is ta-ken a little above the second platform, the horizontal projection of it will be found in Fig. i4 : the sections of the hanging binding pièces C, D, must be of the same form and hâve the same position as in Fig. 8 : the horizontal binding pièces , LIKk, must also hâve the same positions as those F E , but as the flexure of the pièces g h, has already been put out of its place and their section being taken in this last point, will cause their projection to be found liere in G H ; but the disjunction is prevented by means of two binding pièces IJ, with a tail in relievo, reserved in the notch, which gets into the several notches eut in the curves. The profile, Fig. i5, shows that tail-assemblage in the pièces ghi, etc. The Fig. 16, 17 and 18, represent several views that show the notches made in the hanging binding pièces c d, as also those intended for the passage of the binding pièces k 1, and those of attraction ij.
  - PLATE Y.
  - Secoure' Sechtor).
  - (Ao&àcfôiM/bu, 1.1.
  - IL
  - Traits de Jupiter.
  - Les entures plus composées que celles précédemment détaillées (17, 18,19, 20 et 21, ont reçu des praticiens le nom particulier de Traits de Jupiter. Cette sorte d’assemblage doit être exécutée d’après la solution de la question suivante.
  - Question. Combiner à leur interruption , par le choix des surfaces taillées, les fibres de la substance ligneuse de deux pièces de bois, de manière que celles retranchées à l’une soient remplacées par la résistance de celles réservées à l’autre , et qu’en outre, ces formes les empêchent de s’abandonner à leur densité et à leur désunion.
  - Les pièces que l’on peut voir dans les ouvrages exécutés qui ont reçu cet assemblage; les modèles et dessins que possèdent plusieurs artistes, prouvent qu’on a avidement recherché diverses combinaisons pour exécuter cet assemblage : chaque artiste a tracé la forme dont la convenance s’est présentée favorablement à sa méditation ; mais la théorie générale de cet assemblage, principalement pour les pièces horizontales, est restée incomplète.
  - Assemblage par biscutailles simples et obliques avec une clé. Fig. 1,2, 3 et 4-
  - Exempte Ier.
  - 5i. Fig. 1 et 2. Projection horizontale et verticale des deux pièces AB ; A, B, mise dedans.
  - Fig. 1, abcd ,efgh, projection des petites coupes d’about ; ij k l,mnop, projection des quatre arêtes de la clé.
  - Fig. 2. Ces arêtes et ces coupes sont représentées pour la pièce A par les lettres da, ak, kl, le, eh, et pour la pièce B par les lettres he, ey,y i, za, ad. ^
  - La Fig. 3 est un aspect qui montre les formes des parties taillées à la pièce a avec les mêmes lettres qu’à la description horizontale et la Fig. 4 montre celles taillées à la pièce b.
  - Exemple II.
  - 52. Les Fig. 5, 6, 7 et 8 sont les détails d’un pareil assemblage (5i) màis auquel on a réservé des tenons aux abouts qui entrent dans des mortaises évidées ( 4 ) pour les recevoir, et qui empêchent tout glissement l’une sur l’autre des surfaces tail-
  - Von DEN BLITZFORMIGEN ElNSCHNITTEN UND ZüSAMMENSETZUNGEN.
  - Diejenigen Einschnitte, welche zusammengesetzter sind, als die in N° 17, 18, 19,20 und 21 erklàrten , werden von den Baukundigen mit dem besondern Namen Blitzschnitte belegt , die Art une Weise dieser Zusammensetzung ergibt sich aus folgendem Theorem.
  - Die Fasern zweier Holzer werden *da, wo sie durch die Dazwischenkunft geschnittener Flàclien unterbrochen werden, so gestellt, dass die an dem einen Holze gelassenen Theile, durch ihren Wider-stand, die an dem andern Holze abgeschnittenen ersetzen , und zwar ohne dass sie dadurch weder von ihrer Kraft verlieren noch ausweichen.
  - Die nacli diesem Plane ausgeführten Zimmer-werke, so wie die Zeichnungen und Risse, welche mehrere Baumeister darüber gefertigt haben, be-weisen, mit welchem Eifer man diese Zusammensetzung durch die mannigfaltigsten Verbindungen auszuführen gesucht hat. Ein jeder Kiinstler hat die Gestalten derselben so entworfen, wie sie ihm die scliicklichsten zu seyn schienen ; nichts desto-weniger kann aber die allgemeine Théorie dieser Zusammensetzungen , besonders bei horizontalen Holzern, noch keineswegs als vollstàndig betrachtet werden.
  - Zusammensetzung mit zwei einfachen schrâgen Zâhnen, nebst einem Keile. Fig. 1, 2,3 und 4*
  - Die hieher gehorigen Exempel sind folgende.
  - ExempelI.
  - 51. Die 1 und 2 Fig. enthàlt die horizontale und verticale Vorstellung der beiden Holzer A B, A, B, nebst ihrer Einsetzung.
  - In der Fig. 1 sieht man die kleinen Endein-schnitte abcd, efgh, so wie die vier Ecken des Keils bei ij k l, mn op.
  - Fig. 2. Bei dem Holze A sind die Ecken und Einschnitte mit den Buchstaben da,a k, kl, /e,eh, und bei dem Holze B, mit den Buchstaben h e, ej, ji, i a, a d, bezeichnet.
  - In der 3 Fig. ist die Gestalt der in a einge-schnittenen Theile mit den nàmlichen Buchstaben bemerkt,wie bei der horizontalen Vorstellung ; die 4 Fig. stellt die eingeschnittenen Theile des Holzes b vor.
  - ExempelI I.
  - 52. <Die Fig. 5,6,7 und 8, enthalten zwar die-selben Zusammensetzungen (51); allein an den En-den sind Zapfen angebracht worden , welche in die dazu gehorigen Zapfenlbcher (4) eingesetzt werden, dadurch konnen die Holzer nicht auseinander tre-
  - Jupiter’s Traits.
  - The Scarfs which are more complicated than those hitherto spoken of (17, 18, 19, 20 and 21) hâve receivedfrom practitioners theparticular name of Jupiter’s Traits.
  - This sort of Assemblage is to be executed agreea-ble to the solution of the following Theorem.
  - Theorem. To combine at their interruption , by the choice of the notched surfaces, the fibres of the ligneous substance of two pièces of timber, in such a manner that those parts retrenched in the one be replaced by the résistance of the parts reserved in the other, and that, besides, those forms may prevent their giving way either towards their density or towards their disjunction.
  - The pièces tliat are to be seen in the Works which have'been executed with this Assemblage, and the inodels and draughts in the possession of several artists, prove that various combinations bave been eagerly souglit to execute this Assemblage : the different artists hâve traced the form which they tliought most proper, agreeable to their méditations ; but the general theory of this Assemblage, especially with regard to the horizontal pièces, is as yet incomplète.
  - Assemblage with Bipartite - notches , bot h plain and oblique, with a Key to it. Fig. 1, 2, 3 and 4*
  - v E X AM P L E I.
  - 51. The Fig. 1 and 2 , represent the horizontal and vertical projection of the two pièces AB ; A B; the insertion being made.
  - In Fig. 1, abcd, efgh, show the projection of the little shelving cuts ; ijkl,mnop, show the projection of the four edges of the Key.
  - Fig. 2. These edges and cuts are represented for the piece A, by the letters da, ak, k l, /e, e h , and for the piece B, by the letters he,e/,y7, z a, ad.
  - The Fig. 3 , is a view that shows the forms of the parts eut into the piece a, with the same letters as in the horizontal description ; and the Fig. 4> shows those that are eut into the piece b.
  - Example II.
  - 52. The Fig. 5,6,7 an^ 8, are the details of a similar Assemblage (5i) but some tenons bave been reserved at the shelving abutments which enter some grooved mortises (4) that are to receive them ; they thereby prevent the sliding of the notched
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- - lées, sur - tout pendant qu’on les rapproche par l’effort des plans inclinés de la clef. Ces figures, contenant les mêmes lettres que celles du Ier Exemple, n’ont pas besoin d’une nouvelle explication. Les lettres opqr, stuv, indiquent dans la Fig. 5 les projections des tenons réservés.
  - Exemple III.
  - 53. Même assemblage, Fig. 9, 10, n et 12; mais, à une des surfaces taillées obliquement de chaque pièce, on a réservé une nervure mnop, qrst, Fig. 9, qui entre dans une entaille évidée (4) à l’autre pièce, et les deux abouts taillés à angle saillant,/e d, Ikj, Fig. 9", vont occuper les évidements à angles rentrants aux abouts des entailles feb,lkg,Fig. 10, comme font les tenons de l’exemple précédent (52).
  - Observation. Il faut avoir soin de faire l’entaille plus longue que la nervure qu’elle doit recevoir, de toute la largeur de la clef, et de porter cette augmentation entièrement du côté de la clef ; car il faut que la nervure entre dans son entaille avant que l’effet de la clé n’ait achevé la mise-dedans.
  - Exemple IV.
  - 54. Fig. i3,i4, i5 et x6. Autre assemblage ayant même nombre d’entailles, mais inversement inclinées à celles des trois premiers exemples qui précèdent. L’about réservé à la pièce B, a ses deux entailles de jonction à double surface ; une arête en relief okn dans le milieu de la largeur de l’entaille , aussi a ppelée à dos-d’âne, et le tout va occuper des recreusements semblables évidés dans l’autre pièce. La pièce A, au lieu d’un dos-d’âne pareil, a une nervure réservée à la face de l’entaille h e, et une e p, à son about Fig. 14, qui entrent aussi dans des entailles évidées dans la pièce B.
  - Observation. Afin d’effectuer la mise-dedans, il est nécessaire de faire dans le dos-dâne, du côté de la clef, une entaille égale à la largeur de ladite clef, et cette entaille, qui doit recevoir la nervure longitudinale, doit être alongée.
  - \
  - Assemblage par trisentailles simples et obliques , avec deux clefs, tenon d’about, et étriers à boulons avec subande, Fig. 17, 18, 19 et 20.
  - Exemple V.
  - 55. La Fig. 17 est la projection horizontale dudit assemblage. Les coupes d’abouts avec tenons réservés sont indiquées par abcd efg h,ij k l mnop, et les clefs par qr s t ,uv xy. La projection verticale, Fig 18, montre la disposition des coupes taillées et les sections des grosseurs des clefs, avec les mêmes lettres : les Fig. 19 et 20 sont des aspects présentant les détails des deux bouts façonnés avant leur mise-dedans.
  - Assemblage par quadrisetitailles simples et obliques , avec deux clefs compagnes, tenon d’about avec étriers à œil, et boulons à clavette» Fig. 21, 22, 23 et 24-
  - Exemple VI.
  - 56. Cet assemblage diffère du précédent en ce que la longueur des parties qui se recouvrent est divisée en quatre entailles, et que les deux clefs ont été mises à côté l’une de l’autre dans un même vide ; mais le bout large de l’une est placé près le bout étroit de l’autre, ce qui permet de tailler à l’équerre les deux épaulements des entailles qui les touchent et qui reçoivent l’effort de leurs pressions. *
  - PLANCHE VI.
  - Assemblage par entaille simple, avec deux clefs deux boulons, et un tiran de fer en étrier. Fig. 1,
  - 2, 3 et 4-
  - ( 9 )
  - ten , welches vorziiglich dann leicht der Fall seyn kann, wenn solche durch die Gewalt des Keils an einander getrieben werden. Da diese Figuren mit denselben Buchstaben wie vorstehend im I Exempel beseichnet sind, so wâre es iiberflüssig dieselben hier nochmals zu erklâren. In der 5 Figur ist die Vorstellung der gelassenen Zapfen durch die Buchstaben opqr, stuvy angedeutet.
  - Exempel III.
  - 53. Die nâmliche Zusammensetzung findet auch bei der 9, 10, 11, und 12. Fig. Statt, nur dass man bei jedem Holze, und zwar auf einer der schief geschnittenen Seiten desselben, eine Rippe mnop, qrst, Fig. 9 gelassen hat; selbige füllt den Ein-schnitt oder Nuthe (4) im andern Holze aus, die beiden , am vorspringenden Winkel f e d,lkj, in Fig. 9 angebrachten Kâmme, werden in die Ein-schnitte an den Enden f e b , 1 k g, Fig. ro, auf dieselbe Weise, wie die Zapfen in N° 52, Exempel II, eingesetzt.
  - Bemerkung. Der Einschnitt muss langer als die Rippe seyn, das heisst, er muss ausser der Lange der Rippe, noch die Lange der Breite des Keils haben, die Richtung dieser Verlângerung geschieht nach der Seite des Keils, und die Rippe muss bereits eingesetzt seyn, ehe die gânzliche Einset-zung des Keils geschehen kann.
  - Exempel IV.
  - 54- Fig. i3, 14, i5 , und 16. Diese Zusammensetzung enth'âlt eben so viele Einschnitte wie in den Exempeln I, II und III; allein in entgegengesetz-ter Richtung. Das am Holze B gelassene Ende hat zwei Einschnitte mit doppelter Flâche; eine erha-bene Spitze okn, Mitten in der Breite des Ein-schnittes, welche auch Eselsrücken genannt wird. Das Ganze wird in die am andern Holze angebrachten Einschnitte eingesetzt. Das Holz A, hat anstatt eines âhnlichen Eselsriickens, eine Rippe an der Seite des Einschnittes h e, und eine zweite e p, an seinem Ende, Fig. 14. Die Einsetzung geschieht in die in dem Holze B angebrachten Einschnitte.
  - Bemerkung. Um die Einsetzung bewirken zu konnen, muss der Einschnitt in den Eselsrücken auf der Seite des Keils gemafcht werden. Dieser Einschnitt muss eben so breit als der Keil, und ausserdem, so lang als die lângliche Rippe seyn, welche in denselben eingesetzt wird.
  - Zusammensetzung mit drei einfachen schragen Zàhnen nebst zwei Keilen, Endzapfen und Bolzen-bândern, Fig. 17, 18, 19 und 20.
  - Exempel V.
  - 55. Die 17. Fig. enthâlt die horizontale Abbil-dung dieser Zusammensetzung. Die Endeinschnitte und gelassenen Zapfen sind mit den Buchstaben abc defgh,ij k l m n op, und die Keile mit q r s t, u v xy, angedeutet. Die 18. Fig. zeigt die Gestalt der Einschnitte und der Keile vertical, und mit den nâmlichen Buchstaben an. In der 19. und 20. Fig. sieht man zwei eingeschnittene, aber noch nicht eingesetzte Enden.
  - Z usarnrnenzetzung mit vier einfachen, schragen Zahneri, nebst doppelten Keilen, Endzapfen mit Augenbândern , welche durch eiserne Bolzen ge-schlossen werden. Fig. 21,22,23 und 24.
  - Exempel VI.
  - 56. Diese Zusammensetzung unterscheidet sich von der vorstehenden dadurch, dass die Lange der auf einander liegenden Theile in vier Einschnitte getheilt ist, und dass die beiden Keile in dieselbe Oeffnung dergestalt neben einander ein-gelegt werden, dasss das breite Ende des einen, neben dem schmalen Ende des andern zu liegen kommt, weshalb auch die beiden an diese Keile anstossenden Stirnen der Einschnitte, in welche jene angepresst werden, die Gestalt eines Winkels bekommen konnen.
  - TABELLE VI.
  - Zusammensetzung mit einfachem Einschnitte, nebst zwei Keilen, zwei Schrauben, und einem eisernen Bande , Fig. 1, 2 , 3 und 4*
  - surfaces one over the other, especially at the time when they are pressed near by the efforts of the inclined plans of the Key. ïhose figures containing the same letters as those in Example I, there is no need of a new explanation. The letters opqr,stuv, show in the Fig. 5 the projections of the tenons that were reserved.
  - Example III.
  - 53. In the Fig. 9, 10, n and 12 , is seen the same Assemblage, but, in one of the surfaces obliquely eut in each piece, a Nerve bas been reserved m n o p ,q r s t, Fig. 9, which enters a notch grooved (4) in the other piece, and the two abutments eut with saliant angles, y e d, Ikj , Fig. 9, are made to oocupy the grooves with reentrant angles at the shelving abutments of the notches f eb,lkg, Fig. xo, as the tenons do in the preceding example (52).
  - Observation. Gare must be taken to make the Notch longer by the whole breadth of the key , than the nei’ve it is about to receive , and to let that increase lie entirely on the side of that key ; for the nerve must enter the notch before the effect of the key has finished the insertion.
  - Examtle IV.
  - 54. The Fig. i3,14, i5 and 16, represent another Assemblage having the same number of notches, but inversly inclined to those in the three preceding examples. The shelving abutment that has been reserved in the piece B, has its two notches of junc-tion with a double surface ; and an edge in relievo okn , in the middle of the breadth of the notch, which goes also by the name of bent-back ; their purpose is to occupy similar grooves made into the other piece. The piece A, instead of a bent-back, as above, has a nei’ve reserved in the surface of the notch he, and another nexve ep, at its shelving abutment, Fig. 14, which also enter some notches grooved into tlie piece B.
  - Observation. In order to effect the insertion , it is necessary to eut in the bent-back, on the side of the key, a notch equal to the breadth of the said key, and that notch, which is to receive the longitudinal nerve, must be lengthened.
  - Assemblage with Tripartite - notches, both plain and oblique, with two Keys, a tenon at the shelving abutment, iron-hooks with bolts, and an upperband. Fig. 17, 18, 19 and 20.
  - Example V.
  - .55. The Fig. 17 is the horizontal projection of the said Assemblage ; the shelving abutments , with tenons reserved, are indicated by abedefgh, ijklmnop, and the Keys by the letters qrst, uvxy. The vertical projection, Fig. 18, shows the dispositions of the notches, and the sections show the bigness of the Keys, and are rnarked with the same letters : theFig. 19 et 20, are views representing the two ends fashioned previous to their insertion.
  - Assemblage with Quadripartite - notches, both plain and oblique, with two fellow or twin- Keys , square tenons with eyed iron-hooks, and bolts with pins. Fig. 21, 22, 23 and 24.
  - Examtle VI.
  - 56. This Assemblage differs from the preceding one in so much that the length of the parts that wrap over one another is divided into four notches, and because the two Keys hâve been put by the side of each other in the same void space, but the broad end of one of them is placed by the narrow end of the other, whei’eby it is easy to eut square the two epaulments of the notches that touch them, and that bear the effort of their pressure.
  - PLATE VI.
  - Assemblage with a single - notch, together with two Keys, two bolts, and an iron-collar, in the form of a hook (étrier), Fig. 1, 2,3 and 4*
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- - Exemple VII.
  - Example VII.
  - 5^. Fig. 1 et 2. Frojections horizontale et verticale de deux pièces A, B, A, mises dedans : af, bout de la pièce B coupé quarrément, mais avec un tenon réservé, bc,de, et bc; le bout de la pièce A est aussi coupé quarrément, gi, avec réserve d’un tenon, h ij k et i h : les grandes entailles sont évidées parallèlement et à ihi-bois ; mais au milieu, on évide encore deux entailles pour mettre les deux clefs, mnt s ,op q r etmp. Les Fig. 3 et 4 sont les aspects des parties taillées aux pièces a, b (5i).
  - Exemple VIII.
  - 58. Fig. 5,6,7 et 8* Deux sortes d’assemblages, un supérieur et l’autre inférieur, sont ici appliqués à la réunion du bout des deux pièces A B ; les Fig. 5 et 6 en sont les projections horizontale et verticale; la pièce B est réservée de toute son épaisseur depuis sa surface supérieure jusqu’au milieu de sa hauteur; son bout est taillé quarrément en c d, c f, avec une petite entaille pour recevoir la moitié de la largeur de la clef g h i y, dont l’autre moitié de ladite largeur est reçue dans une pareille entaille à la pièce A. Au-dessous de cette première réserve à la pièce B, est une entaille évidée quarrément de k en l, oblique de l en m, et quarrée de m en n, avec réserve d’une queue projetée m n o p, plus une entaille dont la projection est k l r q. A la pièce A, une entaille, c f s, est faite sur toute son épaisseur; et au bout, s t, une queue u v est réservée selon sa projection kl r q. Sur l’épaisseur de la partie réservée , on a fait une autre entaille, l m n, pour recevoir la partie réservée à la pièce B, ainsi que sa queue projetée en mnop, et pour laquelle il faut aussi évider une entaille dans ladite pièce A, où elle est projetée enxy. Le rapprochement des deux pièces se fait par un mouvement horizontal ; un boulon achève la mise-dedans. Les Fig. 7 et 8 sont des aspects montrant les formes détaillées de chaque pièce.
  - Exemple IX.
  - 59. L’assemblage détaillé aux Fig. 9, 10, n et 12 a sa hauteur pareillement divisée en deux: mais il diffère en ses détails. Le bout de la pièce B a un tenon enlacé aulieu d’un entaille de clef ; les entailles faites sur l’épaisseur ont dans leur milieu une clef Z z, et aux abouts, des tenons uvxy, et la mise-dedans s’effectue par un mouvement longitudinal.
  - Exemple X.
  - Fig. i3 , i4 , i5 et 16. Les quatorze surfaces taillées aux bouts des deux pièces de bois présentent chacune une de leurs arêtes dans la projection verticale, Fig. 14 ; ces arêtes sont indiquées deux à deux par les lignes d a,ae, eh,hp,pm, m i, i 1, et c’est de la Figure que forme la disposition de ces lignes qu’on présume qu’est venu le nom donné à cette classe d’assemblages, parce que les peintres ont employé pour représenter la foudre des signes qui approchent de cette Figure.
  - 60. Les Fig. i3 et 14 sont les projections horizontale et verticale dudit assemblage ", a b, c d et e f •> g ^5 sont les projections des coupes taillées à 1 about de la pièce A dont les inclinaisons sont marquées par les lettres d a , a e , e h , Fig. 14 ; et les lettres ij,kl,mn,op, celles de l’about de la pièce B aussi marquées , Fig. 14, par les lettres 1 i, i m, m p: les deux parties taillées p h, qui se touchent, ont leurs surfaces parallèles à celles du dessus et du dessous des pièces de bois. Le tout est fixé au moyen de deux boulons et d’un étrier en fer.
  - Les Fig. 15 et 16 en sont les aspects (5i),
  - ( 10 )
  - Exempel VIL
  - 57. Die 1. und 2. Fig. stellt die horizontale und senkrechte Ansicht zweier Holzer AB, A B, nebst ihrer Einsetzung vor : a f, ist das viereckig ge-schnittene Ende des Holzes B , an welchem zu-gleich der Zapfen b c, d e , und b c angebracht ist; das Ende des Holzes A, ist ebenfalls viereckig geschnitten , g, i, und hat auch seinen Zapfen , h ij k, und i h. Die grossen Einschnitte sind pa-rallel und in halbe Holzhohe dergestalt geschehen , dass in der Mitte derselben noch zwei andere Einschnitte zur Einlegung der beiden Keile m nt s , o p qr, und m p angebracht sind. Die 3. und 4- Fig. zeigt die Einschnitte in den Holzern a, b (5i).
  - Exempel VIII.
  - 58. Die Fig. 5,6,7 un<^ 8 euthalten zwei Arten von Zusammensetzungen , eine obéré und eine untere , welche zur Vereinigung des Endes der beiden Holzer A B angewendet werden. In der 5. und 6. Fig. sieht man sie horizontal und per-pendicular vorgestellt. Das Holz B, ist von oben bis in die Mitte in seiner ganzen Starke gelassen wor-den. Das viereckig geschnittene Ende desselben ist in c d, c f vorgestellt ; es enthalt zugleich einen kleinen Einschnitt, in welchen die halbe Breite der Nadel g h i j , eingelegt wird ; die andere Halfte dieser Breite kommt in einen ahnlichen Einschnitt in A. Unter diesem ersten, im Holze B gelassenen Blatte , befindet sich ein von k bis l, viereckig, von l bis m, schrag, und von m bis n, wieder viereckig geschnittener Einschnitt , nebst Kamm m no p, und einem andern Einschnitt k l r q. Im Holze A ist ein Einschnitt c f s auf die ganze Dicke desselben gemacht worden ; arn Ende s t, ist ein Kamm u v, nach seinem Durchschnitt k l r q, gelassen worden. An der Dicke des gelassenen Blattes ist ein zweiter Einschnitt l m n, gemacht worden, in welchen das im Holze B, gelassen e Blatt eingesetzt wird, so wie der in m n o p, vorgestellte Kamm desselben, für welchen ebenfalls ein Einschnitt in dem Holze A.., wo derselbe bei x y,Vorgestellt ist, gemacht werden muss. Die Zusammensetzung der beiden Holzer geschieht in horizontaler Richtung, worauf sodann die Einsetzung durch eine Nadel vollendet wird. In der 7. und 8. Fig. sieht man die Gestalt eines jeden einzelnen Holzes.
  - Exempel IX. .
  - 59. Die Hohe der in der 9, 10, n und 12. Fig. abgebildeten Holzer ist zwar ebenfalls in zwei Theile getheilt ; allein diese Zusammensetzung zeichnet sich durch gewisse Eigenheiten aus. Das Ende des Holzes B, hat keine Nadel, sondern einen vernagelten Zapfen. Die auf der Dicke gemachten Einschnitte haben in der Mitte einen Keil Z z, und an den Enden die Zapfen uvxy. Die Einsetzung geschieht der Lange nach.
  - Exempel X.
  - Fig. i3, 14, i5 und 16. Die vierzehn an den Enden der beiden Holzer geschnittenen Seiten stel-len jede eine von ihren Spitzen vertical in Fig. 14 dar ; diese Spitzen sind zwei und zwei durch die Linien d a, ae, e h, h p, p m,m i,i 1, vorge-stellt; es scheint übrigens dass die Gestalt dieser Linien zur Benennung dieser Zusammensetzung Veranlassung gegeben hat; denn die Linien, durch welche die Maler den Blitz vorzustellen pflegen, hat mit jener Gestalt einige Aehnlichkeit.
  - 60. Die Fig. i3 und 14 enthalten die horizontale und verticale Vorstellung dieser Zusammensetzungen ; a b , c d, und e f, g h, sind die in das Ende des Holzes A, gemachten Einschnitte, deren sich neigende Richtung durch die Buchstaben d a , a e, e h, in Fig. 14 angedeutet ist. Die Buchstaben i j, k l, m n , o p, sind die am Ende des Holzes B, gemachten Einschnitte, welche ebenfalls in Fig. i4 durch die Buchstaben 1 i, i m, m p, angezeigt sind. Die Flachen der beiden eingeschnittenen Theile ph, Welche an einander anstossen , sind mit den obern und untern Flachen der Holzer parallel. Das Ganze wird endlich durch zwei Schrauben , und ein eisernes Band befestigt. Die Ansicht dieser Zusammensetzung befindet sich in der i5. und 16. Fig. (5i).
  - 57. The Fig. 1 and 2 , are the horizontal and vertical projections of two pièces A, B;A,B, with the insertion made : af ', is the end of the piece B, eut square, but with a tenon reserved, be, de, and b c ; the end of the piece A is also eut square , gi, with the reserve of a tenon, hijk, and ih: the larger notches are grooved in parallel lines half way into the wood ; but, in the middle part, two more notches are eut to insert the two keys, m n t s ,op q r, and mp. The Fig. 3 and 4i are the views of the parts eut into the pièces a, b, (5i).
  - Example VIII.
  - 58. Fig. 5, 6, 7 and 8. Two sorts of Assemblage, viz : an upper one and a lower one, are here ap-plied to the junction of the end of the two pièces A B : the Fig. 5 and 6 are the horizontal and vertical projections of the same ; the whole thickness of the piece B, is kept undiminished, from its upper surface, up to the middle of its height : its end is eut square in c d, cf, with a small notch for the purpose of receiving half of the breadth of the key ghij, and the other half of the said key is received in a similar notch in the piece A. Below this first reserve in the piece B , is a notch eut square from k to l, it is eut oblique from l to m, and square from m ton j with the reserve of a projected tail mnop, and moreover a notch the projection of which is klrq. In the piece A, a notch cfs is made on the whole length of its thickness ; and at the end,st, a tail,uv,is reserved agreeable to its projection klrq. On the thickness of the part reserved, another notch has been eut in Imn, to receive the part reserved in the piece B, as well at its tail projected in mnop, and for which a notch must also be grooved in the said piece A, where it is projected in xy. The drawing together of the two pièces is made by an horizontal motion , and a boit finishes the insertion. The Fig. 7 and 8 are views showing the detailed forms of each piece.
  - Example IX.
  - 59. The Assemblage detailed in the Fig. 9, 10, n and 12, has likewise its height divided into two parts, but it differs in the details : the end of the piece B, has a tenon bolting into its mortise , in-stead of a key-notch ; the notches eut into the thickness of the timber hâve in the middle of them a key Z z, and at the shelving abutments, some tenons uvxy, and the insertion is effectedby a lonr gitudinal motion.
  - Example X.
  - Fig. i3, 14, i5 and 16. The fourteen surfaces eut at the ends of the two pièces of timber présent each of them one of their edges in a vertical projection., Fig. 14 ; those edges are indicated two by two by the lines, d a , a e, e h, h p, p m, m i, i 1 : and it is from the figure forrned by the disposition of those lines, it is supposed the name has been given to that elassfs of Assemblages, because painters hâve used, to represent the meandering of the thunder-bolt, signs nearly similar to that figure.
  - 60. The Fig. i3 and 14, are the horizontal and vertical projections of the said Assemblage ; a b, cd, and ef,gh, are the projections of the sections eut at the shelving abutment of the piece A, the inclinations of which are marked by the letters d a, a e, e h, Fig. 14 ; and the letters ij kl; mnop, are those of the shelving abutment of the piece B, also marked Fig. 14, by the letters li, im, mp. The two eut parts p h, that touch each other, hâve their surfaces parallel to those of the upper and under parts of the pièces of timber. The whole is made fast by means of two bolts and an iron-hook.
  - The Fig. i5 and 16, are the views of these, (5i).
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- - Exemple XI.
  - Example XI.
  - Assemblage a cinq entailles avec deux clefs compagnes et deux étriers en fer, Fig. 17, 18, 19 et 20.
  - 61. Cet assemblage diffère peu duVIe Exemple (56). Les Fig. 17 et 18 en sont les projections horizontale et verticale. A la Fig. 18 on voit que le joint j u des entailles du milieu, est à mi-bois, et que chaque clef a une de ses rives recreusées en gueule, pour maintenir en joint les deux surfaces. Les deux dernières entailles de chaque bout sont à angles saillants , aulieu d’être à l’équerre.
  - Les Fig. 19 et 20 sont des aspects représentant les deux bouts taillés, avant la mise-dedans.
  - Exemple XII.
  - Fig. ai, 22, 28 et 24. Assemblage ayant même nombre d’entailles et de clefs que le précédent, mais garni de quatre étriers de fer. Nous faisons observer seulement que le joint des entailles du milieu est, comme à l’autre Exemple, parallèle aux arêtes des pièces , ainsi que les deux joints suivants, qui sont obliques à l’autre ; les abouts sont semblables, ainsi que les clefs.
  - PLANCHE VIL
  - ( 11 )
  - Exempel XI.
  - Zusammensetzung mit fünf Einschnitten , nebst zwei Verbindungskeilen, und zwei eisernen Bandera.
  - 61. Fig. 17, 18, 19 und 20. Diese Zusammensetzung ist von der im VI. Exempel (56) erklàrten , wenig unterschieden. Die horizontale und senk-rechte Ansicht derselben, ist in der 17. und 18. Fig. enthalten. Bei dieser lezten Figur sieht man, dass die Fuge J U, der in der Mitte befindlichen Ein-schnitte , bis in halbe Holzhohe geht, und dass die Keile an der einen Seite eine schwalbenschwanz-formige Nuthe .haben , wodurch die beiden Holzer besser zusammengehalten werden. Die beiden Fu-gen am Ende der Holzer, bilden keinen geraden, sondera einen vorstossenden Winkel.
  - Die Fig. 19 und 20 stellen die beiden einge-schnittenen Enden vor ihrer Zusammensetzung vor.
  - Exempel XII.
  - Die in der 21, 22, 23 und 24. Fig. enthaltene Zusammensetzung hat zwar die namliche Anzahl von Einschnitten und Keilen, selbige sind aber iiber-dissnochmit vier eisernen Bandera versehen. Auch steht die Fuge der in der Mitte befindlichen Ein-scbnitte ebenfalls parallel mit den Seiten der Hol-zer , wie vorstehend beim XI. Exempel.
  - EinGleiches gilt von den zwei folgenden Fugen, welche eine mit der andern schrag stehen. Die Enden und Keile sind von derselben Beschaffenheit.
  - TABELLE VII.
  - Assemblage with jive notches, two twin Keys and two iron - hooks, Fig. 17,18,19 and 20.
  - 61. This Assemblage ditfers very little from-Example 6, (56).
  - The Fig. 17 and 18, are the horizontal and vertical projections of it.
  - In Fig. 18, one sees that the joint J U, of the middle notches is half way into the wood, that each key has one of its edges grooved afresh in gula recta, to keep the two surfaces fast in their joints. The two last notches at each end are with saliant angles instead of being square.
  - The Fig. 19 and 20, are views representing the two ends eut before the insertion has been made.
  - Example XII.
  - Fig. 21,22,23 and 24- This Assemblage has the same number of notches and keys as the preceding one, but with an addition of four iron-hooks. We only observe that the joint of the middle notches is, as in the former example, on a parallel line with the edges of the pièces, as well as the two joints that follow, which are oblique to the other : the shelving abutments are similar, as well as the keys.
  - PLATE VII.
  - 2° * * N
  - KDtoidieiue^
  - gAd^c^il/iTu, 111.
  - (Secbtop
  - III.
  - ARMATURES UES POUTRES.
  - Lorsque les distributions d’un édifice forcent à établir des planchers d’une très-grande dimension, et que les pièces données par la nature sont trop flexibles pour le fardeau à supporter, ou trop courtes pour l’espace à remplir, on y supplée par l’art. Le moyen qu’on a employé pour cela, est la combinaison de plusieurs pièces de bois, connue sous le nom de poutres armées (*). Dans la pratique, le nom de portée indique la distance d’un mur à l’autre ; et d’autres faits, la portion de la longueur de la poutre qui entre dans le mur : dans ce dernier cas , ce nom est quelquefois remplacé par celui de scellement.
  - Exemple Ier.
  - 62. Fig. 1, 2 et 3. Poutre composée de deux pièces de bois A B, qui se recouvrent l’une à l’autre; mais leurs surfaces de contact sont taillées en crémaillère, avec vides pratiqués pour recevoir les clefs de pression. Dans cet Exemple la projection horizontale, Fig. 1, fait voir les sept écroux des boulons, et les trois lignes tracées pour donner à chacune des entailles des clefs la forme de coins. La Fig. 2, ou projection verticale, montre les arrêtes des surfaces taillées en crémaillère (4), le bout des clefs , et la longueur des boulons. La Fig. 3 est une section ou coupe prise sur la ligne a b ; elle contient la hauteur et l’épaisseur de la poutre, la hauteur d’une entaille de clef, et un boulon.
  - Exemple II.
  - 63. Fig. 4, 5, et 6. Ce second Exemple est une poutre composée de trois pièces de bois, Fig. 4? placées à côté l’une de l’autre (24)- Les quatre surfaces verticales qui se touchent sont aussi taillées en crémaillère, comme on le voit dans la projection horizontale, même Figure ; mais les épaulements
  - Von der Verbindung der Balken mit Eisen.
  - Macht die Eintheilung eines Gebaudes sehr grosse Decken nothwendig, und sind die dazu bestimmten Balken entweder von Natur zu biegsam utn starke Lasten zu tragen, oder nicht lang genug, um von einem Ende zum andern zu reichen, so muss die Kunst diesem Mangel abhelfen. Dies geschieht nun vermittelst der sogenannten beschlagenen , oder mit Eisen verbundenen Balken (*).
  - Der Abstand von einer Mauer zur andern heisst in der Praxis die Lange des Balkens (portée). Dieses Wort bezeichnet bisweilen aber auch den Theil des Balkens, wo derselbe in die Mauer eingesetzt wird ; man bedient sich alsdann auch oft bloss des Wortes Einsatz.
  - Wir führen hier folgende Exempel von solchen mit Eisen verbundenen Balken an.
  - Exempel I.
  - 62. Fig. 1, 2 und 3. Der hier vorgestellte Balken besteht aus zwei Holzern A, B, welche über ein-ander aufliegen ; die auf einander ruhenden Seiten sind zahnformigeingeschnitten, und haben überdiss noch andere Einschnitte, in welche die Keile eingesetzt werden. In der Fig. 1 sieht man in hori-zontaler Abbildung, die sieben , fur die Bolzen bestimmten Schraubenmütter, so wie die drei Li-nien für die Einschnitte zu den Keilen. Die 2. Fier.
  - O
  - enthalt die senkrecht vorgesteliten Spizten der zahnformig eingeschnittenen Seiten (4); f'erner das Ende der Keile , und die Lange der Schrauben. Der Durchschnitt von der Linie a b , in der 3. Fig. zeigt de Hohe und Dicke des Balkens ; ferner die Hohe eines Einschnittes zu einem Keile, und end-lich eine Schraube.
  - Exempel II.
  - 63. Fig. 4 , 5 und 6. Der in der 4- Fig. abgebil-dete Balken besteht aus drei neben einander geleg-ten Holzern (24). Die vier senkrechten Seiten , welche auf einander liegen , sind ebenfalls zahn-formig eingeschnitten, wie sich aus der horizon-talen Vorstellung derselben Figur ergibt; allein
  - Iron-belted-Beams.
  - When the distributions of a Building require that floors of an extraordinary dimension be established, and when the pièces of timber, in their natural State, prove too weak to bear theburthen that is to be laid on them, or if they are too short for the space they are to fill up, the defect must be reme-died to by art. The means hitherto employed in such cases is the combination of several pièces of timber to which the name of Iron-beltecL-beams (*) was given.
  - In practice, the name of Length (Portée) is given to the distance from one wall to another ; at other times, the sanie wordportée means that portion of the length of the Beam that gets into the wali ; in this last case the above name is often replaced by that of sealing.
  - Example I.
  - 62. Fig. 1, 2 and 3. A Beam composed of two pièces of timber, AB, that wrap over each other, but the surfaces that are in contact are eut with a rack, and empty spaces are left to receive the keys of pressure. In this example, the horizontal projection, Fig. 1, shows the seven female screws of the bolts, and the three lines that are traced to give each of the notches of the keys the form of a wedge. The Fig. 2, or vertical projection, shows the edges of the surfaces eut with a rack, (4) the end of the keys, and the length of the bolts. The Fig. 3, is a section taken on the line a b ; it contains the height and thickness of the Beam, the height of a key-notch, and a boit.
  - Example II.
  - 63. Fig. 4, 5 and 6. This second Example repre-sents a Beam composed of three pièces of timber, Fig. 4, placed by the side of each other (24)- The four vertical surfaces that touch one another are also eut with racks, as is seen in the horizontal projection of the same figure : but the epaulments
  - (*) M. Viel, architecte des hospices de Paris, pour établir des poutres très-longues , sous des fardeaux considérables, a réuni avantageusement dans leur construction , le fer et le bois très - bien combinés.
  - (*) Der bei den Pariser Spitalern ernannte Baumeister Viel, hat bei sehr langen, zur Tragung ansehnlicher Lasten bestimmten Balken, Holz und Eisen sehr zweek-mâsig mit einander verbunden.
  - (*) M. Viel, Architect to the Hospitals in Paris, in order to establish very long beam s that are to bear considérable burthens, has very ingeniously combined iron and wood in the construction of them.
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- - des entailles, au lieu d’être perpendiculaires à la longueur, sont obliques , en sens inverse, de chaque côté du boulon qui occupe le milieu de la poutre Fig. 5 ; en sorte qu’étant disposées comme les joints d’une voûte en plate-bande, les entailles des deux pièces extérieures soutiennent celles de l’intérieure contre toute flexion que le fardeau pourrait solliciter dans celle-ci. La Fig. 6 est une coupe prise sur a b (62).
  - Exemple III.
  - 64. Fig. 7, 8 et 9. Deux arbalétriers, Ce, sont placés dans des entailles faites aux deux faces intérieures des pièces de poutre, AB, A B, placées l’une à côté de l’autre (4) ; niais près de chacun des bouts desdites pièces sont assemblées à embrèvement et tenon deux traverses d e, lesquelles reçoivent les tenons d’about desdits arbalétriers ; leur about supérieur vient butter comme à un poinçon , à deux fourrures, f g, entre lesquelles on introduit la clef h pour roidir sur leur longueur lesdits arbalétriers et parer à tout effet compressif, ce qui pourrait résulter d’un fardeau abandonné à leur résistance. La Fig. 9 est pareillement une coupe prise sur a b.
  - Exemple IV.
  - 65. Fig. 10, 11 et 12. Entre les deux pièces de poutres, A B, A B, sont des arbalétriers, C c, aussi inclinés, et buttant contre un coin commun g ; mais leurs surfaces du dessous et du dessus sont taillées en crémaillères, et les entailles qui les reçoivent ont même forme (4). Ces quatre pièces sont retenues ensemble avec six boulons.
  - PLANCHE VI IL
  - Exemple Y.
  - Fig. 1,2, 3 , 4 et 5. Poutre armée de 66 pieds de longueur, exécutée à la maison de ville à Amsterdam. v
  - La Fig. 3 et 4 est une coupe qui montre déjà quelle est composée de quatre pièces de poutre, A , B, C , D, et d’un arbalétrier inapparent, E , auxquels on a fixé avec des chevillettes les lambourdes G H, qui reçoivent les assemblages des solives du plafond ; mais la longueur de chacune de ces pièces étant moindre que la longueur totale de la poutre, on a dû combiner chaque longueur particulière, de, manière que l’interruption des fibres au joint du bout de deux pièces soit intermédiaire dans les autres; ces dernières considérations sont comprises au tracé des Fig. 1, 2 et 5.
  - 66. La Fig. 1 est une description de la surface supérieure de la moitié de la longueur de la poutre: elle montre i° que la surface de contact vertical de la pièce B est taillée en crémaillère, et que sa surface supérieure reçoit les écroux des boulons qui sont d’aplomb ; 20 les projections des arbalétriers EF; 3° la surface supérieure de la pièce D, après l’évidement fait pour l’occupation des arbalétriers , plus les lignes ou projections des entailles de crémaillère à sa jonction avec la pièce A qui la recouvre; cette même pièce D occupe environ le tiers de la longueur de la poutre, et se réunit par assemblage à queue e , à celle qui en occupe le milieu.
  - 67. Dans la Fig. 2 on aperçoit : i° les boulons qui traversent la poutre dans le sens horizontal et dans le sens vertical; 20 que les pièces d, a se joignent aussi en crémaillère ; 3° la queue d’about de la pièce d, avec un boulon particulier f, et la queue de la pièce a, aussi avec boulon particulier h.
  - La Fig. 5 est un aspect qui montre la réunion des pièces particulières. La pièce a, y est interrompue en i, pour laisser voir l’extrémité de la première portée de l’arbalétrier, et la pièce d, n’est point prolongée au - delà de son premier tenon d’about g, pour laisser voir une partie de l’autre portée f, du même arbalétrier.
  - ( >2 )
  - die Stirnen der Einschnitte laufen mit der Lange nicht senkrecht, sondern schràg in umgekehrter Richtung gegen jede Seite der Schraube, welche in der Mitte des Balkens, Fig. 5, eingesetzt ist ; und da der Schnitt derselben wie bei den Fugen eines Gewôlbes geschehen ist, so sichern die Einschnitte derbeiden àussern Holzer, die Einschnitte des in-nern Holzes gegen jede Biegung, welche die Last bei diesem leztern verursachen konnte. Die 6. Fig. stellt einen von a b genommenen Durchschnitt(62) vor.
  - Exempel III.
  - TABELLE VIII.
  - Exempel V.
  - Die Fig. 1 , 2, 3, 4 und 5 enthalten die Abbil-dung eines 66 Fuss langen, mit Eisen verbunde-nen Balkens, welcher sich im Rathhause zu Amsterdam befindet.
  - Aus dem Durchschnitte in Fig. 3 und 4 sieht man, dass solcher aus vier Balken A , B, C, D, und aus einem nicht sichtbaren Sprengriegel E, zusam-mengesetzt ist. Die Stützbalken G H, auf welche die Deckenbalke’n zu liegen kommen, sind an ge-dachte Balken mit eisernen Nàgeln befestigt wor-den. Da aber diese einzelnen Holzer nicht so lang als der ganze Balken sind, so ist die Zusammen-setzung dadurch bewirkt worden, dass zwischen den En den zweier Holzer ein anderes hindurch geht. Die Vorstellung davon ist aus den Fig. 1, 2 und 5 zu ersehen.
  - 66. In der Fig. 1 sehen wir die obéré Seite der halben Balkenlànge ; wir sehen ferner, dass der Einschnitt im Holze B zahnformig geschehen, und die obéré Seite mit querund senkrecht stehenden Schrauben versehen ist; in E, F, sehen wir den Sprengbalken vorgestellt. Dieselbe Figur enthàlt endlich noch die obéré Seite des Holzes D, nebst dem Einschnitt, in welchen der Sprengbalken eingesetzt wird; so wie die Linien zu den zahnformi-gen Einschnitten , wodurch er mit dem Holze A, welches darauf aufliegt, verbunden wird. Das ge-daehte Holz D, nimmt ohngefàhr ein Drittheil der Balkenlànge ein, und wird durch die Kammver-satzung e, mit dem Mittelstücke verbunden.
  - 67. Nach Masgabe der 2. Fig. gehen die Schrauben in horizontaler und senkrechter Richtung über den Balken weg. Die Holzer d , a, sind ebenfalls zahnformig mit einander verbunden. Der Kamm am Ende des Holzes d hat noch eine besondere Schraube f; so wie auch der Kamm am Ende des Holzes a, ebenfalls mit einer besondern Schraube h, versehen ist.
  - Die 5. Fig. zeigt die Zusammensetzung der einzelnen Holzer. Die Richtung des Holzes a, ist da-selbst in i unterbrochen , damit man das erste Ende des Sprengriegels sehen kann; auch hort das Holz d bei seinem ersten Endzapfen g auf, damit man einen Theil des zweiten Endes f von gedaehtem Sprengriegel sehen kann.
  - of the notches, instead of being perpendicular wilh the length, are oblique, in an inverse sense, on each side of the boit that occupies the middle part of the Beam, Fig. 5 ; so that being disposed in the same manner as the joints of a plat-band Kault, the notches of the two exteriour pièces support those of the interiour piece against any flexure the burthen might be liable to effect in the latter. The Fig. 6, is a section taken on a b, (62).
  - Example III.
  - PLATE VIII.
  - Example V.
  - Fig. 1, 2,3, 4 and 5. Iron-belted- Beam, 66 feet long, executed at the Town-house in Amsterdam.
  - The Fig. 3, is a section which evidently shows it is composed of fourpieces of Beam , A, B, C, D, and of a principal rafter not apparent, E, to which hâve been fixed, with pegs, the Juffers G H , that receive the Assemblages of the joists of the ceiling ; but the length of each of these pièces being less than the total length of the Beam, each particular length has been combined in such a manner, that the interruption of the fibres, in the joint which is at the end of two of the above pièces, be in an in-termedial part in the two others ; these last considérations are comprehended in the draught of the Fig. 1,2 and 5.
  - 66. The Fig, 1, is the description of the upper surface of half the length of the Beam ; it shows, i° That the surface of vertical contact of the piece B is eut with a rack, and that the upper surface receives the female screws of the Bolts which are level ; 20 The projections of the pair of principals EF ; 3° The upper surface of the piece Z), after the grooving has been made for the occupation of the pair of principals ; moreover, the lines or projections of the rack-notches, at the junction with the piece A which wraps over it ; that same piece D, occupies about the third part of the length of the Beam, and is united by a tail-assemblage e, to that which occupies the middle part of it.
  - 67. In the Fig. 2, are seen : i° The bolts that traverse the Beam in the horizontal and vertical sensés, ; 20 The pièces da, are joined with a rack; 3° The tail at the shelving abutment of the piece d , with an additional boit f, and the tail of the piece a, which has also an additional boit h, put to it,
  - The Fig. 5, is a view that represeiits the reunioh of the particular pièces. The piece a, is interrupted there in i, to let one see the extremity of the first sealing of the principal rafter ; and the piece d, is not prolonged beyond its first tenon at the shelving abutment g, that one may see a part of the other sealing f, of the same principal rafter.
  - 64. Fig. 7, 8 und 9. Zwei Sprengriegel, C, c, sind hier in die beiden neben einander liegenden Balken A B, A B, eingesetzt, an deren untern Enden zu diesem Behuf Einschnitte (4) gemacht
  - •worden sind. An jedem Ende dieser Balken befinden sich überdiss noch zwei Querholzer d e , mit Ver-satzungen nebst Zapfenlochern , in welche die Endzapfen der gedachten Sprengriegel eingesetzt wer-den. Diese leztern laufen mit ihrem obern Ende in der Form einer Dachspitze mit doppeltem Fut-ter f, g, zusammen, zwischen welchem der Keil h, eingetrieben wird. Dadurch bekommen dieseSpreng-balken in ihrer ganzen Lange einen grossern Hait, und konnen dem Drucke einer Last mit besserm Erfolge widerstehen. In der 9. Fig. ist der Durch-schnitt gleichfalls von a b genommen.
  - Exempel IV.
  - 65. Die Fig. 10, 11 und 12 enthalten zwei Balken A B, A B, zwischen welchen die Sprengriegel C c, stehen ; diese letztern neigen und lehnen sich ebenfalls an einen gemeinschaftlichen Keil g ; al-lein ihre untern und obern Seiten sind zahnformig eingeschnitten. Die Einschnitte in welche jene Seiten eingesetzt werden, sind von derselben Ge-stalt (4). Diese vier Holzer werden durch sechs Schrauben zusammengehalten.
  - 64* Fig. 7,8 and 9. Two principal lafters, Ce, are placed in notches eut in the two interiour surfaces of the pièces of Beams, A B, A B, placed by the side of one another : (4) but, near each of the ends of the above pièces, are assembled with a tusk and tenon two cross pièces or traverses, d e, which receive the tenons at the shelving abutment of the said principals ; their upper extremity rests as in a king-post against twofur rings, f g, betweeri which is introduced the key h , to strengthen on their length the said principal rafters , and remedy against every compressive effect that might be occasioned by the burthen offered to their résistance. The Fig. 9, is also a section taken upon a b.
  - Example IV.
  - 65. Fig. 10, 11 and 12. Between two pièces of Beams, A B, A B, is a pair of principals, G c , incli-ned also, and resting against a common wedge g ; but their undermost and uppermost surfaces are eut with a rack, and the notches that' receive them are of the same form (4). These four pièces are fastened together with six bolts.
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- - La coupe Fig. 4 est prise sur la ligne M m , et la Fig. 3 est prise sur la ligne O o.
  - * Exemple VI.
  - Fig. 6,7 et 8. Poutre armée de 53 pieds de longueur, exécutée à la maison de ville de Maes-tricht.
  - Elle est pareillement composée de quatre pièces de poutre A, B, G, D ; d’un arbalétrier E, et de deux lambourdes , F, G. Fig. 8, coupe prise sur M m.
  - 68. La Fig. 6 est une description de la surface supérieure delà moitié de la longueur de la poutre; on y voit les écroux encastrés des boulons d’àplomb, les surfaces qui se touchent des pièces A B forment un joint droit, mais refait avec précision ; et comme le cours de la pièce A est interrompu dans le dessin en f, on voit une portion de la surface supérieure de la pièce D ; mais cette dernière portion de la surface est celle restante après l’évidement fait pour l’occupation de l’arbalétrier E.
  - 69. La Fig. 7 montre que les joints horizontaux des quatre pièces sont taillés en crémaillère comme à l’exemple précédent ; ici l’arbalétrier est aussi taillé en crémaillère.
  - PLANCHE IX.
  - Exemple VII.
  - Fig. 1, 2, 3', 4, 5 et 6. Poutre armée de 36 pieds de longueur, exécutée au Palais - Royal selon le procédé de M. Contant d’Yvri, architecte.
  - „ 70. La Fig. 2 est une coupe prise sur la ligne M
  - m de la Fig. 4 ; on y voit les sections des deux pièces de poutres A, B, bois ouvert, c’est - à - dire refendu; la section c de l’about supérieur de l’arbalétrier et celles D, E, des lambourdes ; plus les deux cours de boulons. La Fig. 6 est pareillement une coupe prise sur la ligne O o de la Fig. 5 ; elle montre les mêmes sections des lambourdes ; mais celle de l’arbalétrier C est moins élevée ; on y voit aussi le profil des étriers de fer qui soutiennent les lambourdes D, E.
  - 71. La Fig. 1 est une projection horizontale qui contient les détails de la surface inférieure, ou plafond : on y voit le dessous des solives du plafond L, L, etc., les coudes h , i, des étriers soutenant les lambourdes D, E ; les dessous des pièces de poutres A, B; le dessous de l’arbalétrier C , et celui du poinçon G. La Fig. 3 est une semblable projection dans laquelle sont dessinés : les solives du plancher supérieur K, k, etc. ; le dessus des mêmes pièces D', A', F', B1, E' ; plus les coudes supérieurs i, h, des étriers.
  - 72. En supposant un plan en avant de l’une des lambourdes, et dont la trace est P,q, Fig. 1 , la Fig. 4 est la projection verticale : on y voit les sections des solives du plafond 1,1, etc. ; une face de lambourde d , les coudes pendants des étriers h, i, la partie apparente a de la pièce de poutre A, et celle aussi apparente c de l’arbalétrier C ; plus les sections Kk, etc., des solives du plancher supérieur. Le dessin de la Fig. 0 suppose l’ensemble de deux pièces seulement, et présente la forme de l’une des faces verticales f de l’arbalétrier C, la por-* tion apparente bf de la pièce de poutre B, la moitié du poinçon g , et les projections des solives.
  - Exemple VIII.
  - Fig. 7, 8, 9, 10, 11 et 12. Poutre armée de 38 P. gpo. jg longueur, placée au Palais dit le vieux Louvre, sous les ordres de M. Fontaine, architecte dudit palais, et exécutée par Ballu Charpentier.
  - 73. Les droites Mm, Oo, Fig. 8, sont les traces des plans ou coupes dessinées Fig. 9 et 10 (70).
  - Les Fig. 7, 8 et 12 sont des descriptions sem-
  - ( i3 )
  - DerDurchschnittin der 4-Fig. ist von derLinieM, m, und in der 3. Fig. von der Linie O, o, genom-men.
  - Exempel VI.
  - * Der in der 6, 7 und 8. Fig. vorgestellte Balken ist 63 Fuss lang, und befindet sich im Rathhause zu Mastricht.
  - Er ist ebenfalls aus vier Balken A, B, C, D, aus einem Sprengriegel E, und zwei Stützbalken F, G, zusammengesetzt. Der in der 8. Fig. enthaltene Durchschnitt ist von M, m, genommen.
  - 68. Die 6. Fig. zeigt die obéré Seite der halben Balkenlange ; man sieht darin ferner die Schrauben-mütter zu den senkrechten Schrauben. Die Seiten der Holzer A B, welche an einander anstossen, bil-den eine gerade und genau ausgearbeitete Fuge; und da die Richtung des Holzes A bei f unterbro-chen ist, so sieht man daselbst den Theil von der obern Seite des Holzes D, welcher übrig bleibt, wenn der Einschnitt zum Sprengriegel E gemacht wird.
  - 69. In der 7. Fig. sehen wir, dass die horizon-talen Fugen bei den vier Holzern zahnformig, wie beim V. Exempel, eingeschnitten sind. Der Spreng-balken ist hier ebenfalls zahnformig eingeschnitten.
  - TABELLE IX.
  - Exempel VII.
  - In der j , 2 , 3,4, 5 und 6. Fig. ist ein mit Ei-sen verbundener Balken von 36 Fuss Lange abge-bildet, welcher nach der Angabe des Baumeisters Contant d’Yvri im Palais-Royal zu Paris zusammengesetzt worden ist.
  - 70. Der in der 2. Fig. befindliche allgemeine Durchschnitt ist von der Linie M m, in Fig. 4} genommen. Wir sehen darinn die besondern Durch-schnitte der beiden auseinander liegenden Balken A B; ferner den Durchschnitt C vom obern Ende des Sprengriegels, so wie die Durchschnitte D, E , von den Stützbalken ; und endlich noch die beiden Richtungen der Schrauben. Die 6. Fig. enthalt ebenfalls einen allgemeinen Durchschnitt, welcher von der Linie O, o, in der 5. Fig. genommen ist. Die Durchschnitte für die Stützbalken sind dieselben : der Durchschnitt des Sprengbalkens C , ist aber nicht so hoch; die eisernen Bander, welche die Stützbalken D , E, zusammenhalten , sind im Profil dargestellt.
  - 71. Die horizontale Vorstellungder Fig. 1 beschaf-tigt sich mit der Erklarung der untern Seite, oder der Decke. Wir sehen daselbst die untern Seiten der Deckenbalken L , L, etc. ; die Winkel der Bander h, i, durch welche die Stützbalken D , E, zusammen-gehalten werden ; die untern Seiten der Balken A, B , die untere Seite des Sprengriegels C , und des Schlussholzes G. In der 3. Fig. sind die Balken des Bodens K, k, etc., der obéré Theil der Holzer D', A', F', B', E', so wie die obern Winkel der Bander i, h, ebenfalls horizontal vorgestellt.
  - 72. Wenn man eine vordere Ansichtvon einem der Stützbalken, welcher in P, p, Fig. 1 , abge-bildet ist, zeichnet, so ist die 4- Fig. die perpen-diculare Vorstellung desselben. Wir bemerken daselbst die Durchschnitte der Deckenbalken I , I, u. s. w.; ferner eine Seite des Stützbalkens d; die hangenden Winkel der Bander h, i; den sicht-baren Theil a des Balkens A, so wie den sichtba-ren Theil c des Sprengriegels C ; endlich die Durchschnitte K, k, u. s. w. des obern Gebalkes. In der 5. Fig. sehen wir die zu zwei Holzern gehorigen Stücke ; namlich : eine der verticalen Seiten f des Sprengriegels C ; den sichtbaren Theil b' des Balkens B ; die Halfte des Schlussholzes g, und die Ansicht der Balken.
  - Exempel VIII.
  - Der Gegenstand der 7,8,9, 10, 11 und 12. Fig. ist ein 38 Fuss 6 Zoll langer mit Eisen verbundener Balken , im alten Louvre zu Paris, der von dem Baumeister Fontaine, welcher die Arbeiten in die-sem Pallaste leitet, daselbst entworfen un d von dem Zimmermanne Ballu zusammengesetzt worden ist.
  - 73. Von den punktirten Linien M m, O o, Fig. 8, sieht man in der 9 und 10. Fig. (70) die Durchschnitte.
  - Die in den Fig. 7, 8 und 12 enthaltenen Abbil-
  - The Section, Fig. 4, is taken on the line Mm, and the Fig. 3, is taken on the line O o.
  - Example VI.
  - Fig. 6, 7 and 8. Iron-belted-Beam, 53 feet long, executed at the Town-house in Maestricht.
  - It is likewise composed of four pièces of Beam A, B, C, D ; of a principal rafter, E, and two Juf-fers, F, G. The Fig. 8, is a section taken on M m.
  - 68. The Fig. 6, is a description of the upper surface of half the length of the Beam : one sees in it the fittedfemale screws of the level Bolts, the surfaces that touch each other in the pièces AB, form a straight joint, but it is smoothed with précision ; and, as the course of the piece A is interrupted in the draught inf, part of the upper surface of the piece D is seen , but this last part of the surface is that which remains after the grooving has been
  - » made, for the occupation of the principal rafter, E.
  - 69. The Fig. 7, shows that the horizontal joints of the four pièces are eut with a rack, as in the preceding Example ; here the principal raftèr is also eut with a rack.
  - P L A T E IX.
  - Example VII.
  - Fig. 1,2, 3, 4j 5 and 6. Iron-belted-Beam, 36 feet long, executed in the Palais-Royal, according to the process of M. Contant d’Yvri, Architect.
  - 70. The Fig. 2 , is a section taken on the line M m, in Fig. 4 : one sees there the sections of the two pièces of Beams A, B , with the timber cleft again, or sawed : the section C of the superior shel-ving abutment of the principal rafter, and the sections D, E, of the Juffers; moreover, the two ranges of bolts. The Fig. 6, is also a section taken on the line O o, in Fig. 5 ; and shows the same sections of the juffers, but that of the principal rafter C, is less elevated : there is seen also the profile of the iron-hooks that support the juffers D, E.
  - 71. The Fig. 1, is an horizontal projection that contains the details of the lower surface, or cie-ling : there are seen the undermost part of the joists in the cieling L, L, etc. ; the elbows h i, of the iron-hooks that support the juffers D, D; the undermost parts of the pièces of beams A, B; the undermost part of the principal rafter C, and that of the king-post G. The Fig. 3, is a similar projection in which are delineated : the joists of the upper floor K, k, etc. ; the uppermost part of the same pièces D A', F', B', E' ; moreover, the upper elbows i, h, of the iron - hooks.
  - 72. Supposing a plan is laid before one of the juffers, the draught of which is P, p, Fig. 1 , the Fig. 4, is the vertical projection of it : there are seen the sections of the joists in the cieling 1,1, etc. ; one side of a juffer d, the hanging elbows of the iron-hooks h, i, the apparent part a, of the piece of beam A, and the part also apparent c, of the principal rafter C ; moreover, the sections K k, etc., of the joists in the upper floor. The draught of the Fig. 5 , supposes the reunion of two pièces only, and présents the form of one of the vertical sides f, of the principal rafter C; the apparent part b', of the piece of beam B ; half of the king-post g; and the projection of the joists.
  - Example VIII.
  - Fig. 7, 8, 9, 10, 11 et 12. Iron - belted - beam, 38 feet 6 inches long, placed in the Palace called Vieux Louvre, under the orders of M. Fontaine, architect to the said palace, and executed by M. Ballu, carpenter.
  - 73. The dotted lines M m , O o, Fig. 8 , are the traces of the plans or sections drawn in the Fig. 9 and 10 (70).
  - The Fig. 7, 8 and 12, are descriptions similar to
  - 4
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- - blables à l’exemple précédent : (71,72) ; l’arbalétrier C contient une nervure à chacune de ses faces verticales , la Fig. 11 en est la vue supérieure ; et le dessin suppose que les fourrures F, G, H, ne sont pas encore placées sur les pièces A, B, C.
  - Les pièces P Q appartiennent au demi - berceau qui est entre le plafond et la corniche.
  - Addition à cette troisième Section.
  - Notre but étant d’indiquer les considérations utiles à l’art que nous traitons, nous avons cru devoir insérer ici la remarque de quelques bons observateurs sur la compressibilité des bois qui se tonchent bout à bout (abstraction faite de la. dilatabilité). Sur quoi nous concluons qu’il sera toujours prudent d’introduire dans lesdites coupes des lames métalliques (plomb ou cuivre) qui empêcheront le refoulement que peut produire, à leurs rencontres, les substances médullaire et ligneuse des deux pièces de bois qui s’arcboutent.
  - top IV.
  - Des Voûtes et des Combles composés de courbes construites avec des planches.
  - C’est Philibert Delorme, architecte du 16e siècle, qui a publié en France ce procédé de construction, lequel consiste à réunir, sur une courbe tracée , plusieurs épaisseurs de planches courtes , taillées en joints rayonnants à leurs bouts. Il appelait indistinctement hémicycles, ces sortes de courbes , mais on ne peut maintenant appliquer ce nom qu’à celles qui ont pour courbure un demi-cercle , appelé aussi plein cintre. Pour retenir chacune desdites courbes à la place quelle doit occuper, on emploie des tringles que les praticiens appellent tringles - liernes pour les distinguer des courbes du comble conique. Les planches 10, 11, 12 et i3, contiennent plusieurs détails d’assemhlage et d’ajustement usités dans cette construction.
  - Des Plates-formes.
  - 74. On appelle ainsi les bois méplats disposés horizontalement pour recevoir les assemblages aux naissances des courbes : ces plates-formes sont, ou placées dans une retraite faite au mur, Fig. 1 et 3, PI. 10 ; et Fig. 1 et 4, PI. n ; ou seulement posées sur le dérasement supérieur du mur, Fig. 3 et 4, PL 10. Quand les courbes reposent sur des pans de bois, les sablières A et A, Fig. 1 et 6, PI. 12, font loffice de plate-forme.
  - Une entaille, Fig. 1 et 4, PI. 10 ; Fig. 1, PI. 11 j et - 1 et 6, PI. 12; ou deux entailles, Fig. 8,
  - PI. 10, recreusées dans les plates-formes, reçoivent les tenons des abouts aux naissances des courbes : les bouts des plates-formes sont assemblés (48).
  - Des Courbes.
  - 75. Le diamètre, la montée, la forme de courbure , le fardeau quelles auront à soutenir, etc., sont des considérations qui doivent guider le constructeur pour déterminer la longueur des bouts de planches quil doit employer, de préférence à la règle pratique qui les fixe à 4 pieds ; car si la courbure est uniforme comme, par exemple , le plein ceintre, les bouts seront courts, lorsque le diamètre sera court 5 et longs, lorsque le diamètre sera dune grande étendue. Mais si la courbure est ou elliptique ou en anse de panier, les bouts de planches des arcs de naissance devraient être plus courts que ceux des arcs moyens, afin qu’il y ait moins de fibres ligneuses de tranchées, principalement dans les courbes taillées selon les traits d’intrados et d’extrados. Voyez Fig. 1,4, 5, 6, 9 et 10 ,
  - _ ( >4 )
  - dungen stimmen mit den in Nr 71 und 72 gemach-ten Beschreibungen vollig überein. Der Sprengbal-ken C, enth’àlt überdiess noch auf jeder senkrechten Seite eine Rippe, welche in Fig. n von oben zu sehen ist, weil vorausgesetzt wird, dass die Futter-holzer F, G, H, noch nicht auf die Holzer A, B, C, aufgesetzt worden sind.
  - Die Holzer P, Q, gehoren zum halben, zwischen der Decke nnd dem Karniesse befindlichen Bogen.
  - Nachtrâgliche Bemerkung zum dritten Abschnitt.
  - Das Bestreben , eine jede fur praktische Zimmer-mannskunst erspriessliche Beobachtung, so gemein-niitzig als moglich zu machen, veranlasst uns, den Lesern eine Bemerkung mitzutheilen, welche er-fahrne Baukundige über die Druckkraft der mit ihren Enden verbundenen, oder an einander stos-senden Holzer gemacht haben.Wir bemerken diesem zufolge, dass es jederzeit sehr rathsam sey, Métall-blàtter (Blei oder Kupfer) in die Einschnitte einzu-legen, wodurch das Eindriicken oder Einfressen der sich berührenden Holzer verhindert wird.
  - IV.
  - Von den bogenfôrmigen aus Bretern oder Bohlen erbauten Gewôlben und Dachstühlen.
  - Der Baumeister Philibert Delorme, welcher im sechzehnten Jahrhunderte lebte, hat diese Bauart zuerst in Frankreich eingeführt. Dieselbe besteht darin , dass die Bogen aus mehrern kurzen Bretern nach dem Fugenschnitte zusammengesetzt werden. Delorme belegte dergleichen Bogen mit dem allge-meinen Namen Hemicycla (im deutschen Bohlen-dàcher oder Bohlengewolbe ). Die Befestigung der einzelnen Biegen geschieht durch Schw'ànk - oder Windlatten. In der X, XI, XII und XIII.Tab. sehen wir mehrere auf diese Bauart Bezug habende Zu-sammensetzungen.
  - Von den Mauerlatten.
  - 74. Man belegt mit diesem Namen die halbfla-chen horizontal gelegten Holzer, bei welchen die Bogen anfangen, und worein die übrigen Holzer gesetzt werden. Diese Mauerlatten werden nach Masgabe der Fig. 1 und 3 , Tab. X , und Fig. 1 und 4) Tab. XI, entweder in besondere zu diesem Zwecke in die Mauer gemachte Vertiefungen ein-gelegt, oder nach Fig. 3 und 4 > Tab. X, bloss auf die Oberflàche der Mauer aufgelegt. Ruhen die Bogen auf holzernen Wanden, so verrichten die Dach-pfetten A und A, in Fig. 1 und 6, Tab. XII, die Stelle der Mauerlatte.
  - Die Endzapfen am Anfange der Bogen werden nach Fig. 1 und 4 , Tab. X; Fig. 1, Tab. XI, und Fig. 1 und 6, Tab. XII, in einen, oder nach Fig. 8, Tab. X, in zwei in die Mauerlatte gemachte Einschnitte eingesetzt. Die Enden der Mauerlatten sind mit einander verbunden (48)*
  - Von den Bogen oder Biegen.
  - 75. In der Regel halten die zur Erbauung der Bogen bestimmten Breter 4 Fuss Lange ; allein ein Baumeister muss hierbei vorzüglich auf den Durch-messer, auf die Hohe und Gestalt des Bogens, so wie endlich auf die Last, welche er tragen soll, Rücksicht nehmen, und darnach die Lange und Breite der Breter bestimmen. Ist nàmlich der Bogen einformig, wie z. B. die ganzen Bogen, so sind, wenn der Durchmesser kurz ist, die Breter auch kurz ; ist der Durchmesser lang, so sind es die Breter ebenfalls. Ist der Bogen aber elliptisch, oder flach und niedrig, so miissen die Breter am An-
  - es Bogens eigentlich kürzer als die mittlern Bogenbreter seyn, damit nicht zu viel Holz weg-geschnitten wird ; dies gilt vorzüglich von den Biegen , welche nach den gegebenen Bogenlinien von
  - those in the preceding Example (71,72) ; and be-cause the principal rafter C, contains a nerve in each of its vertical sides, the Fig. 11, is the upper view of it; the draught supposes that the furrings F, G, II, are not yet laid on the pièces A, B, C.
  - The pièces P Q, belong to the semi-circular vault which is between the ceiling and the cornice.
  - Addition to Section III.
  - As we take the greatest care to indicate ail the considérations that are useful to the art we treat upon , we hâve thought proper to insert here the remarks of some judicious observers on the com-pressibility of such pièces of timber as rest against each other at their extremity (their dilatability being laid aside) ; whence we conclude it will always be a prudent thing to inlroduce into the said cuts metallical laminœ or plates, either of lead or cop-per, that will prevent the forcing back which may be produced at their meeting points, by the me-dullar and ligneous substances of the two pièces of timber that prop against each other.
  - ecbtop IV.
  - Of Vaults and Roofs composed of curves made with Boards.
  - It is Philibert Delorme, an architect of the six-teenth century, who first publislied in France that mawner of building , which consists in uniting on a traced curve several short pièces of boards laid over one another , and eut in graduai joints at their extremities. He indiscriminately called hémicycles those kinds of curves, but, at this présent time , that name can only be given to such as describe half a circle, technically known by the appellation of semi-circular curves. I11 order to keep fast each of the above curves in the place it ought to occupy, it is customary to employ tringles or reglets , named by practitioners rail-tringles, in order to distinguish them from the curves used in conical or pointed-roofs. The plates 10, n, I2andi3, contain several details of assemblages and adjustments used in this manner of building.
  - Of Platforms.
  - 74. We name Platforms the pièces of timber laid flatwise and horizontally disposed to receive the rise or spring of the curves : these Platforms are , either placed in a retreat or relay made in the wall, see , Fig. 1 and 3, PI. 10 ; and Fig. 1 and 4 > PL 11 ; or only laid on the upper level top of the wall, Fig. 3 and 4-> PL 10. When the curves rest upon plastered-walls , then the sablières A and A, Fig. 1 and 6, PL 12, perform the office of a Platform.
  - A notch, Fig. 1 and 4> PL 10 ; Fig. x , PI. 11 ; and Fig. 1 and 6, Pl. 12,’ or two notehes, Fig. 8, PI. 10, grooved afresh in the platforms, receive the tenons of the shelving abutments at the spring of the curves : the ends of the platforms are assem-bled (48).
  - Of Curves.
  - 75. The Diameter , the mounting timber, the form of the curvity, the burthen they will hâve to bear, etc., are proper objects of considération by which the builder must be guided to détermine the length of.the boards he is to employ, laying aside the practical rule which fixes them at 4 feet : for, if the curvity is uniform, as for instance in a semi-circular vault, the pièces of boards must be short, if the diameter is short: but they must be long when the diameter is of a greater extent : but if the curvity is either elliptical or in the form of a flat-arched-vault, the pièces of boards of the rising-arches ought to be shorter than those of the inter-medial arches, that a less quantity of ligneous fibres may be eut off, chiefly in such curves as are made agreeable to the traits of intrados or of extrados.
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  - PL 12 ; dans la PL u, les Fig. i, 4, 5 et 7 ; et dans la planche 10, les Fig. 3,4 et 8.
  - 76. La largeur, lepaisseur et le nombre des planches que l’on réunit pour former chaque courbe, influent encore davantage sur la solidité, que leur plus ou moins de longueur. Philibert Delorme a déterminé tous ces détails respectifs pour différentes grandeurs de voûtes, comme on peut le voir dans son tableau, que nous avons inséré planche 10.
  - Mais quels que soient la longueur, l’épaisseur et le nombre des planches que l’on se décide à employer pour la construction d’une courbe ; il faut encore considérer que ces sortes de voûtes étant assujetties aux mêmes effets de pression que les voûtes en maçonnerie, il convient de donner aux courbes factices, qui remplacent les voussoirs, plus de force à la naissance qu’aux reins, et plus aux reins qu’au sommet.
  - 77. Quant à l’espacement à donner auxdites courbes, on consultera pareillement l’espèce de bois qui doit y être employée, le fardeau à soutenir, etc. ; la pratique, qui les fixe à 2 pieds, n’est bonne que pour un petit nombre d’exemples, et, par conséquent, ne peut être considérée que comme une donnée approximative.
  - On trace sur un ételon les morceaux de planches qui composent une courbe ; mais ils peuvent y être différemment disposés , et y recevoir des façons différentes : les exemples qui suivent sont classés pour en indiquer les variétés principales.
  - Exemple Ier.
  - 78. La courbe D, Fig. 1, PL 10, est composée de trois épaisseurs de planches : la plate-forme A, et la tringle-lierne J , ont déterminé la longueur du morceau intermédiaire a ; la même plate-forme et la tringle-lierne I, celles des morceaux b, c, Fig. 1 et 2 ; et quoique les rives desdites planches restent droites, Fig. 1, ces joints des bouts sont rayonnants, comme à celles qui reçoivent un chan-tournetnent à leur introdos. Cette détermination des joints d’abouts, tracés comme ceux des voussoirs, fait correspondre les joints des épaisseurs extérieures, b, c , au milieu de l’épaisseur intermédiaire a ; et les milieux des épaisseurs extérieures d,e, recouvrent les joints des morceaux a, f : il en est de même des morceaux g b ; et successivement. L’angle saillant, u, qui excède la ligne du lattis, peut être conservé du moins en partie, si sa totalité nuisait à l’opération de la couverture.
  - Exemple 11.
  - 79. Quand l’intrados doit former un berceau ou une voûte sphérique, il 11’y a rien à changer à la détermination des joints des bouts ; (78) mais on chantourne les planches selon la courbe de l ete-lon, Fig. 3, Pl. 10, pour leur donner la forme de l’intrados, et quelquefois de l’extrados ; Fig. 3,6, 8, même planche ; Fig. 1,4 » 5 et 7, PL 11 ; Fig. 1, 4, 5,6, 9 et 10, Pl. 12.
  - Exemple 111.
  - 80. Quand on emploie ce procédé pour couvrir des bâtiments, il faut aux courbes des accessoires, qui sont : i° des coyaux, E, E, etc., Pl. 10, 11 et 12 ; 20 des arbalétriers, F,F, etc., PL n ; 3° des poinçons, L,L, etc., même planche ; 4° des che-vrons, K, K, etc., Pl. 11 et 12 ; 5° des pannes M,m, etc., mêmes planches; quelquefois ce sont les tringles-liernes N N, etc. , Pl. 10, Fig. 8,9 et 10, qui servent de pannes.
  - Les coyaux sont aussi le plus ordinairement des bouts de planches, assemblés à tenon à leur about inférieur dans des blochets ou moises I : leur bout
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  - aussen und innen geschnitten sind. Man vergleiche die Fig. 1, 4) 5, 6, 9 und xo, Tab. XII; ferner die Fig. 1,4)5 und 7, Tab. XI, und die Fig. 3,4? 8, Tab. X.
  - Bei der Festigkeit der Bogen kommt es aber nicht allein auf die Lange oder Kürze der zu ihrer Er-bauungbestimmten Breter, sondern vorzüglich auch auf die Breite, Dicke und Anzahl dieser Breter an. Philibert Delorme hat sâmmtliche, zu Bogen ver-schiedener Grosse nothige Erfordernisse in einer besondern Tafel, welche wir in die X. Tabelle mit aufgenommen haben, einzeln bestimmt.
  - Abgesehen aber von der Lange, Dicke und Anzahl der zur Erbauung eines Bogens bestimmten Breter, ist es, da diese Art von Bogen dieselbe Druckkraft erleiden, wie die gemauerten, sehr rath-sam diesen holzernen Gewolben, beim Anfange der Wolbung mehr Stârke als in der Mitte, und in der Mitte mehr Stârke als am obern Ende zu geben.
  - 77. Was den Abstand der Biegen anbetrifft, so muss man auch hierbei nicht nur die Holzart und die Last, welche das Gewolbe tragen soll, sondern auch andere locale Nebenumstânde mit in Betrach-tung ziehen. Die Praxis bestimmt fur diesen Abstand gowohnlich zwei Fuss; allein diese Bestim-rnung ist bloss fiir einzelne Fàlle anwendbar, und kann mithin nur als ohngefâhre Angabe betrachtet werden.
  - Man zeichnet auf einem Brete den gegebenen Bogen, nach welchem die einzelnen Breter zusam-mengesetzt werden sollen. Da solche nun verschie-dentlich geordnet und gestaltet seyn konnen, so haben wir in nachstehenden Exempeln die vorzüg-lichsten Zusammensetzungen dieser Art angegeben.
  - Exempel I.
  - 78. Die Biege D, in Fig. 1, Tab. X, ist aus drei Breterdicken zusammengesetzt. Aus der Mauerlatte A, und der Wind-oder Schwânklatte J , ergibt sich die Lange des Mittelstixckes a ; ans der nâmlichen Mauerlatte und der Windlatte I ergibt sich ferner die Lange der Stiicke b, c, in Fig. 1 und 2. Und da nach Fig, 1 die Bander dieser Biegenstücke gerade bleiben, so wird die âussere Linie der Biege eekig, wie die innere Seite derselben. Nach dieser Gestalt der âussern Linie, welche wie die der Gewblbsteîne gezeichnet ist, sind die âussern Biegen b,c, mit der Mittlern a, so verbunden , dass die âussern Biegen d, e, auf den Fugen der Biegen a,f, ruhen : gleiche Bewandniss hat es mit den Stiicken g, h, u. s. w. Der vorspringende Winkel u , welcher iiber das Lattenwerk hinausgeht , kann, wenn seine ganze Grosse der Bekleidung hinderlich seyn soilte, wenigstens zum Theil weggeschnitten werden.
  - Exempel IL
  - 79. Soll das Innere ein Tonnengewolbe oder runden Bogen bilden, so bleibt die âussere Biegen-linie wie vorstehend in Nr 78 gezeigt worden; und man schneidet bloss die Biegen auf der innern Seite nach Masgabe des gegebenen Bogens , in Fig. 3 , Tab. X, aus; bisweilen gibt es auch Fâlle wo die âussere Biegenlinie nach Erforderniss zir-kelformig geschnitten wird, wie aus den Fig. 3,6, 8, Tab. X ; aus den Fig. x , 4, 5 , 7 , Tab XI ; so wie aus den Fig. 1, 4? 5,6, 9 und 10, Tab. XII, zu ersehen ist.
  - Exempel III.
  - 80. Wird diese Verfahrungsweise bei Dâehern an-gewendet, so machen die Biegen noch andere Holz-Yerbindungen nothig;als: i°Schiffter, E,E, u. s.w., Tab.X, XI und XII ; 20 Dachstuhlsâulen, F, F, u. s.w., Tab. XI; 3° Giebelspiesse, L, L, u. s. w., auf derselben Tabelle ; 4° Sparren , k, k, u. s. w., Tab. XI und XII; 5° Pfetten, M, m, u. s. w., auf denselbenTabel-len ; bisweilen vertreten die Windlatten N, N, u. s. w., Tab. X, Fig. 8,9,10, die Stelle der Pfetten.
  - Die Schiffter sind sehr hâufig bloss kleine Breter, an deren untern Enden Zapfen ausgeschnitten sind, welche in die Stichbalken oder Bander I eingezapft
  - See, Fig. x , 4 , 5,6, 9 and xo, Pl. 12; and in the PL 11, the Fig. i,4,5 and 7; see also PL 10, the Fig. 3, 4 and. 8.
  - 76. The breadth, thickness and number of the boards that are joined together to form each curve, conduce still more to the solidity of the work than the proportional length or shortness of the said boards. Philibert Delorme has fixed those respective details, for vaults of different dimensions, as may be seen in his table that we hâve inserted in Pl. 10.
  - But whatever be the length, thickness or number of the boards a Builder may choose to employ for the construction of any curve, it must be consi-dered that those sorts of vaults being subject to the same effects of pressure as the common vaults in masonry, it is proper to give to the fictitious curves which replace the covings, more strength at their rise than in their haunches or in their crown.
  - 77. With respect to the distance to be set between the said curves, due regard must be paid likewise to the sort of wood which is to be employed in the making of them, as also to the burthen they bave to sustain, etc. The practical rule by which they are fixed at the length of two feet, can onîy do for a small number of Examples, and, of course, it can only be looked upon as an approximation.
  - The pièces of boards a curve is composed of is traced upon an Etelon, but they may be disposed there in different ways, and be fashioned in a va-rious number of manners : the Examples that follow are arranged iu a proper classification, in order to indicate the principal varieties in them.
  - Exaiple L v
  - 78. The curve D, Fig. 1, Pl. 10 , is composed of three boards laid over one another : the Platform A, and the rail-tringle or reglet J, hâve determined the proper length which the intermedial piece a was to hâve, and the same platform and the rail-tringle I, hâve also determined the length of the pièces b, c, Fig. 1 and 2; and though the edges of the afore-said boards remain standing upright, as in Fig. 1, their joints at the ends are graduai in the same manner as in those that are eut in profile with a sweep in their intrados. That détermination of the joints at the abutments, traced in a manner similar to that of the covings , makes the joints of the ex-ternal thickness b,c, correspond with the middle part of the intermedial thickness a ; and the middle parts of the external thickness d,e, lay over the joints of the pièces a, f : it is the same with the pièces g, h, and so on. The saliant angle U, that reaches be-yond the line of the lathing may be kept, or at least the best part of it, in case the whole length be any way encumbering in the operation of roofing.
  - Example II-
  - 79. When the intrados is to form an arched or a spherical vault, nothing is to be changed in the détermination of the ends (78) , but the boards must be eut in a profile with a sweep, agreeable to the curve of the etelon , Fig. 3, Pl. 10, in order to give them the same form as the intrados, and sometimes that of the extrados : see Fig. 3,6, 8, in the same plate; Fig. 1,4,5 and 7, Pl. 11 ; and also Fig. 1,4, 5,6, 9 and 10 , Pl. 12.
  - Example III.
  - 80. When this process is employed in the roofing of Buildings, accessary parts must be added to the curves ; these are : i° Pièces of timber called Raf -ter-feet, E, E, etc., Pl. 10,11 and 12 ; — 20 Principal raf ter s, F, F, etc., PL 11 ; — 3° King-posts,
  - L, L, etc., in the same plate; — 4° Rcfters (chevrons) K, K , etc., Pl. 11 and 12; — 5° Purlins,
  - M, m, etc., in the above plates; but sometimes rail-tringles, N, N, etc., Pl. 10 , Fig. 8,9 and xo, are made use of instead of Purlins.
  - The Rafter-feet are also for the most part pièces of boards, assembled with a tenon at their lower extremity in tie-pieces or in binding pièces I : their
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- - supérieur peut être en partie embrévé dans la courbe avec coupe en crémaillère , comme l’indiquent les lettres a,b, c,d, Fig. i et 3 de la Pi. io ; Fig. i et 4 de la PI. n ; et a, b, c, d, f, Fig. 8 de la PI. io.
  - Les arbalétriers FFF, Fig. 5 et 7, PI. 11, sont pareillement ajustés, et ont les mêmes lettres ; ces figures, ainsi que sa 8e, contiennent le détail du poinçon , et n’ont pas besoin d’explication : il en est de'même des chevrons.
  - Les joints, des bouts des pannes, M, M, etc., sont aussi suffisamment détaillés aux Fig. 9, 10, n et 12, PI. 11.
  - 81. Les tringles-liernes, C, traversent le milieu des courbes aux joints des bouts de planches, pour que les clefs , par leur forte adhérence, empêchent toute difformité qui pourrait résulter du déjette-ment , et maintiennent chaque courbe à sa place. Philibert Delorme dit que l’épaisseur de ces pièces doit être la même que, celle des planches des courbes ; et leur largeur, quatre fois l’épaisseur ; que l’épaisseur des clefs doit être aussi la même, leur largeur double, et leur longueur égale à la la largeur des courbes. Le bois dur, de droit fil et roide, doit être préféré pour les tringles-liernes et pour les clefs. La lettre G, n’a pas été appliquée aux liernes représentées dans les Fig. 1 et 2 de la PI. 10 ; on peut l’y supposer ; les caractères qui y sont, indiquent, dans la Fig. 1, les coupes des tringles-liernes ; et, dans la Fig. 2, leur dimension en continuité : on voit que ce sont les coupes i, n, de la Fig. 1, qui ont donné des points pour représenter les arêtes de i, n, dans la Fig. 2 ; et celles j, o, Fig. 1, ont pareillement donné les points pour celles j i o , de la Fig. 2 , etc. : les clefs p, q, sont communes aux tringles-liernes in,jo, qui appartiennent à la courbe D, et au coyau E. Cette disposition simple des tringles-liernes , n’exige qu’une mortaise au milieu de chaque bout de planche, et deux demi - mortaises en enfourchement à chacun des bouts : ce procédé suffit pour relier les courbes , si les assemblages sont faits avec précision , d’autant plus que le lattis concourt, avec les tringles-liernes, à produire une grande stabilité dans les courbes.
  - Remarque. Dans l’intention de donner plus de solidité à leur ouvrage, quelques praticiens ont multiplié les tringles-liernes : on trouve des exemples , i° où chaque morceau de planche contient deux mortaises au milieu, et deux demi-mortaises en enfourchement à chaque bout ; 20 où chaque morceau contient quatre mortaises intermédiaires, et quatre demi-mortaises en enfourchement; 3° où chaque morceau contient deux entailles au milieu , quatre demi - entailles aux bouts , qui reçoivent quatre tringles moises, plus deux moitiés pour les tringles - liernes. Il est facile de voir que ces dernières méthodes, par la multiplicité des mortaises et des entailles, tranchent une grande quantité des fibres des planches, et nuisent ainsi à la solidité de l’ensemble, et en augmentent considérablement la main-d’œuvre.
  - Les Fig. 1, 2, 3,4 et 5 de la PL 13, contiennent les principaux détails d’un berceau composé de courbes revêtues à l’intrados de caissons en bois.
  - 82. La Fig. 1, est une projection prise à la hauteur du tracé horizontal vx de la Fig. 3 ; et la Fig.
  - 2 est une semblable projection, mais prise à la hauteur du tracé y z, même figure. La Fig. 3 est une projection prise sur la ligne verticale T Y. Cette dernière description montre la naissance d’une courbe D : (78, 79) on voit ici au deuxième joint deux tringles - liernes compagnes, GG, et leurs clefs, J , J ; les traverses, R, R, etc., du grand bâtis des caissons; les bandeaux d’encadrement, T, T, etc.; et les pateres, U, U, etc., servant à recouvrir les têtes des vis ou des boulons employés à fixerdesdits bâtis et bandeaux. La Fig. 4 est une vue de l’intrados des courbes reliées ; et la Fig. 5 est une même vue, mais revêtue des bâtis et panneaux de caissons. ,
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  - werden. Das obéré Ende derselben kann zum Theil in die Biegen eingesetzt werden. Dies geschieht ver-mittelst eines zahnformigen Einschnitts , nach Mas-gabe der Buchstaben a, b, c, d, in den Fig. 1 und 3, Tab. X; und Fig. 1 und 4? Tab. XI; so wie nach Masgabe der Buchstaben a, b, c, d, f, Fig. 8 ,Tab. X.
  - Die Dachstuhlsâulen F, F, F, in Fig. 5 und 7 , Tab. XI, sind auf gleiche Weise gestellt, und mit denselben Buchstaben bezeichnet. In diesen Figu-ren , so wie in der 8., welche keiner weitern Er-klârung bedürfen, ist der Giebelspiess vorgestellt : ein Gleiches gilt von den Sparren.
  - Die Fugen an den Enden der Pfetten M, M, u. s.w., sind gleichergestalt durch die Fig. 9,10, 11 und 12, Tab. XI, hinreichend erklârt.
  - 81. Die Schwanklatten G gehen mitten durch die Biegen hindurch. Dies hat den Yortheil, dass die Keile durch ihr Anpressen jede Auseinanderwei-chung unmoglich machen, und die Biegen an ihrem Platze festgehalten werden. Nach Philibert Delorme sollen diese Schwanklatten so dick als die Biegen, und viermal so breit als dick seyn ; die Keile sollen eben so dick seyn : ihre Breite soll das Doppelte, und ihre Lange die Breite der Biegen betragen. Hartes Holz mit geraden und festen Fasern, schickt sich zu Windlatten und Keilen am besten. Da die Windlatten in den Figuren 1 und 2, Tab. X, nicht mit dem Buchstaben G bezeichnet worden sind, so muss man es nachtrâglich als geschehen annehmen. Die Buchstaben aber , welche darin enthalten sind, bezeichnen in Fig. 1 den Durch-schnitt der Schwanklatten, und in Fig. 2 ihre fort-gesetzte Lange. Wir sehen, dass die Vorstellung der Schwanklatten i, n , in der 2. Fig., nach dem Durch-schnitte i, n, der 1. Fig. geschehen ist : ein Gleiches gilt von den Windlatten, j, o, in der 2. Fig., und dem Durchschnitte j, o, der r. Fig., u. s. w. Die Keile p, q, gehoren zu den Windlatten i, n, j, o, welche ihrer Seits zu der BiegeD, und dem Schiff-ter E, gehoren. Diese Windlatten erfordern ihrer Einfachheit wegen nichts als ein Zapfenloch in der Mitte eines jeden Bretes, und zwei halbe gabelfor-mige Zapfenlocher an jedem Ende ; dies ist, wenn die Zusammensetzung gehorig Statt gehabt hat, zur Befestigung der Biegen hinreichend, und zwar um so mehr, da ausser diesen Windlatten noch das Lat-tenwerk zur Befestigung der Biegen mit beitrâgt.
  - Bemerkung. Mehrere Baumeister haben die An-zahi der Schwanklatten vermehrt, um dadurch der Zimmerarbeit noch mehrere Festigkeit zu geben. Es gibt Fâlle wo in jedem Brete zwei Zapfenlocher in der Mitte, und zwei halbe gabelformige Zapfenlo-cher an jedem Ende desselben angebracht sind; bisweilen enthâlt auch wohl ein Bret vier Zapfenlocher in der Mitte, und vier halbe gabelformige Zapfenlocher an jedem Ende; oder endlich zwei Einschnitte in der Mitte, und vier halbe Einschnitte an den Enden , in welche vier Bander eingesetzt werden , wobei noch zwei Hâlften auf die Sehwânk-latten kommen. Die grosse Anzahl der Zapfenlocher und Einschnitte muss aber nothwendig eine Menge Holz wegnehmen, und dadurch nicht allein der Festigkëit des Ganzen schaden, sondern auch das Arbeitslohn betrâchtlich vermehren.
  - Die Fig. 1 , 2 , 3,4 » 5, Tab. XIII, enthalten die Ansicht eines Tonnengewolbes. Die Biegen, aus wel-ehen dasselbe zusammengesetzt ist, sind an ihrer innern Seite mit Füllungen (Caissons) verkleidet.
  - 82. Die Ansicht der Fig. 1, ist von der Hohe der horizontalen Linie v, x, in Fig. 3, und die Ansicht der 2. Fig. von der Hohe der Linie y, z, in der nâmlichen Figur genommen. Die Ansicht der 3.Fig. ist von der senkrechten Linie T, V, genommen. Man sieht darin den Anfang des Bogens D (78, 79). Bei der zweiten Fuge sieht man die beiden zu einander gehorenden Schwanklatten G, G, nebst ihren Keilen J, J, so wie die zu den Füllungen gehorigen Querholzer R, R, ferner die Einfassung T, T, etc. ; und die Rosetten U, U, etc., welche dazn dienen, um die Schrauben oder Bolzenkopfe , womit die Einfassung und die Caissons befestigt werden, zu bedecken. Die 4- Fig. zeigt eine Ansicht von den im Innern mit einander verbundenen Biegen. Die 5. Fig. enthâlt dieselbe Ansicht nebst den Zusammenset-zungen und Einfassungen der Füllungen.
  - upper end may be partly joined with tusks into the curve, and eut with a rack , as indicated by the letters a, b , c, d, Fig. 1 and 3 , in the PI. 10 ; also in the Fig. 1 and 4 , in the Plate 11 ; and by the letters a , b, c, d, f, Fig. 8, in the PI.10.
  - The principal rafters FFF, Fig. 5 and 7, PL 11, are adjusted in a similar manner, and indicated by the sa me letters ; the two figures above , as well as the Fig. 8, contain the details of the king-post, and need no further élucidation : it is the same with the (chevrons) rafters.
  - The joints at the ends of the Purlins, M, M, etc., are also sufficiently detailed in the Fig. 9, io, n et 12, PL n.
  - 81. The rail-tringles C, cross over the middle part of the curves, at the joints of the pièces of boards, that the keys, by their strong cohésion, may pre-vent any difformity that might resuit from the war-ping, and also that they may maintain each curve in its proper place.
  - Philibert Delorme says that the thickness of those pièces ought to be the same as that of the boards made use of in the curves, and that they ought to be four times as broad as they are thick; that the thickness of the keys ought also to be the same, their breadth only double, and their length equal to the breadth of the curves. A hard and stiff kind of wood , the grain of which is straight ought to be used in preference for the rail-tringles, and also for the keys. The letter G, has been omitted in the rails represented Fig. 1 and 2 , in the PI. 10, but it may be supposed to exist there ; the letters that are to be met with in the above plate indicate in Fig. 1, the sections of the rail-tringles ; and in the Fig. 2, they show their dimension and continuation : the case is obvious that the section i,n, in the Fig. 1, hâve furnished points to represent the edges of i, n, in the Fig. 2 ; and the sections j, o , Fig. 1, hâve likewise furnished the points for the edges j, o , in the Fig. 2 , etc. : the keys p, q, are common to the rail-tringles in, jo, which belong to the curve D, and to the rafter-foot E. That plain disposition of the rail-tringles requires only a mor-tise in the middle of each piece of board, and two Crossing half mortises at each of the ends 1: that process is sufficient to bind fast the curves, provi-ded the assemblages are made with précision ; so much the more so as the latliing concurs with the rail-tringles in producing a great degree of stability in the curves.
  - Remark. With an intention to give more solidity to their work, sûme practitioners hâve inultiplied the number of the rail-tringles beyond the usual limits ; several Examples are to be met with : i° Where each piece of board contains two mortises in the middle, and two Crossing half mortises at each end ; -— 20 Where each piece of board contains four intermedial mortises , and four Crossing half mortises ;— 3° Where each piece of board contains two notches in the middle , and four half not-ches at the ends, which receive four notched rail-tringles, and moreover two halves for the plain rail-tringles. It is easy two perceive that the last me-thods, from the multiplicity of mortises and notches , require a great quantity of ligneous fibres to he eut off from the boards, and thereby are very préjudiciai to the solidity of the whole, and make a considérable increase in the price foi; the making of the work. s
  - The Fig. 1, 2 , 3, 4 and 5 , in PL i3 , contain the principal details of a semi-circular vault, com-posed of curves lined in the Intrados with wooden caissons.
  - 82. The Fig. 1, is a projection taken even with the horizontal trace v x, in the Fig. 3 ; and the Fig. 2, is a similar prejection taken even with the trace y z, in the same Figure. The Fig. 3, is a projection taken on the vertical trace T V. This last description shows the rise of a curve D (78, 79). One sees here , in the second joint, two fellow-twin-rail-tringles , G G, and their keys J, J, as also the traverses R, R, etc. , in the great Frame of the caissons; the encircling cases TT, etc., and the Pateres U, U, etc., serving to cover the heads of the screws and of the bolts which are employed in fixing the above mentioned frames and cases. The Fig, 4j is a view of the intrados of the tightened curves , and the Fig. 5 , is a similar view, only it is covered over with the frames and panels of the caissons.
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- - Coupole de forme hémisphérique, tronquée par un œil de lumière au sommet, Fig. 6, 7 et 8,
  - PI. i3.
  - 83. Les lettres D, D ; G, G ; j de la Fig. 6 et les mêmes lettres de la Fig. 7 sont les projections horizontales et verticales des courbes (75, 76, 77, 78, 79 et 82) ; on aussi tracé dans ces deux projections des tringles - iiernes cintrées, parce que cette forme serait nécessaire, si l’on voulait revêtir l’intrados avec des caissons renfoncés.
  - L’ouverture supérieure est composée de deux courbes horizontales M M, Fig. 7 ; la même lettre, Fig. 6, indique que ces courbes ont la forme de couronne de cercles ; leur isolement est maintenu par des clefs pendantes, L L, et retenues dessous et dessus par des clavettes j, j. La Fig. 8 indique la coupe d’assemblage supérieur des courbes D. La lettre Y indique une pièce de l’enrayure soutenant les lambourdes X, X, X, et le plancher Y.
  - PLANCHE XIV. Ouidttume' Sectiop.
  - DES SOFFITES.
  - Jadis on appliquait aux planchers des soffites somptueux ; la peinture, la sculpture, la dorure, etc., y plaçaient, même avec profusion, leurs chefs-d’œuvre : mais le goût de notre siècle les rejete ; et, en confiant à la gravure le soin d’indiquer par un petit nombre d’exemples les principaux détails d’ajustements des ouvrages qui existent encore, notre intention a été de compléter les détails d’assemblages des bois relatifs à ce genre de construction.
  - Cette sorte de construction étant dans la classe de celles que nous nommons en France revêtisse-ment en bois ; et les bordures qui encadrent les caissons, étant aussi semblables aux corniches que nous appelons volantes, les explications des quatre exemples qui suivent ne seront qu’une description abrégée des figures.
  - Exemple Ier.
  - Plafond de la Salle des gardes, au vieux Palais de Turin , Fig. 1, 2,3 et 4-
  - 84. La Fig. 1, étant une coupe prise dans le milieu d’un caisson entre deux poutres A A , indique que les moulures C C, sont faites avec des bois méplats , et clouées sur les écharpes J J ; le plafond B est aussi en bois ; les plafonds de poutres, D D, soutenus par des barres pendantes, dont G, G, etc., montrent les épaisseurs, et qui sont fixées aux poutres avec des clous, (*) reçoivent par le bas les assemblages des abouts des écharpes qui retiennent les moulures, et qui portent lé plancher B. Les barres pendantes, H, H, etc., sont vues sur leur largeur ; elles soutiennent les plafonds des compartiments de poutre ; leurs parties supérieures sont clouées aux soliveaux, 1,1, etc., placés sur les poutres ; et leurs parties inférieures reçoivent de même les assemblages des écharpes.
  - La Fig. 2 est aussi une coupe prise dans le milieu d’un caisson , mais dans une direction parallèle à la poutre A. Elle contient les mêmes détails que la précédente : mais le dessin montre seulement les moulures C, G, et le plafond B, appliqués dans la moitié de sa longueur ; l’autre moitié, Fig. 3, ne contient que les détails du bâtis. La Fig. 4 est une
  - ( «7 )
  - Die Fig. 6,7 und 8, Tab. XIII, stellen eine Kuppel oder Kugelgewàlbe mit einer runden Oeff-nung vor.
  - 83. Die Buchstaben D D, G G, J, in der 6. Fig., so wie die nâmlichen Buchstaben in Fig. 7, geben die horizontale und verticale Ansicht der Biegen (75, 76, 77, 78, 79 und 82) ; man sieht daselbst auch überdiss noch zwei zirkelformige Schwânklatten, deren Form dann nothig seyn würde, wenn das Innere mit vertieften Caissons überkleidet werden sollte.
  - Die Oeffnung am obern Theile dieser Kuppel besteht aus zwei horizontalen Biegen M, M, Fig. 7. Aus M, in der 6. Fig. ersehen wir, dass die Ge-stalt dieser Biegen zirkelformig ist ; und da solche von einander abstehen, so werden sie durch die hângenden Keile L, L, zusammen , und durch die Nadeln J, J, von oben und unten festgehalten. Der Durchschnitt in der 8. Fig. stellt die obéré Zusam-mensetzung der Biegen D,vor. Im Y. Exeinpel sehen wir einen Theil desWerksatzes auf welchem die Bal-ken X,X,X, und der Boden Y, ruht.
  - TABELLE XIV.
  - HyloSéclailllu, V.
  - @©®©©a@©
  - Von den Felderdecken ,( S offit en j.
  - Vormals verzierte man die Decken mit pracht-vollen Feldern, an denen Maler, Bildhauer, Ver-gblder, u. s. w., ihre Kunst verschwendeten. In unserm Zeitalter herrscht jedoch dieser Geschmack nicht mehr. Wir überlassen es daher der Kupfer-stecher-Kunst unsere Nachkommen mit der wis-senswürdigsten Einrichtung der noch vorhandenen Werke dieser Art, in einigen wenigen Darstellun-gen ausführlich bekannt zu machen, und beschrân-ken uns bloss darauf, die Zusammensetzungen und Verbindungen derselben umstândlich und voll-stândig vorzutragen.
  - Da diese Bauart zu derjenigen Klasse gehbrt, welche man in Frankreich Holzverkleidung nennt, da ferner die Bander mit welehen die Caissons oder Fiillungen eingefasst sind, den sogenannten fliegenden oder schwebenden Karniessen gleichen, so wird sich die Erklârung der vier nachstehenden Exempel aus einer kurzen Beschreibung der Fi-guren ergeben.
  - Exempel I.
  - Die in der Fig. 1 , 2, 3 und 4 abgebildete Decke befindet sich in dem Garden-Saale des alten Pallastes zu Turin.
  - 84. Der in der 1. Fig. vorgestellte Durchschnitt ist in der Mitte eines Caissons zwischen den beiden Balken A A, genommen ; wir sehen daraus, dass die Gesimmse CC, aus halbflaehem Holze gearbeitet, und auf die schrâgstehenden Latten J J, genagelt sind ; die Decke B, ist ebenfalls aus Holz. Die Hol-zer D D, sind mit hângenden Latten , deren Dicke in G G, u. s. w., angezeigt ist, befestigt. Diese Latten werden an die Balken angenagelt (*). Unten an ge-dachte Holzer, welche die Durchzugsbalken vor-stellen, kommen die Enden der schrâgstehenden Latten, welche die Gesimse festhalten, und das Gebâlk B, tragen. Die hângenden Latten H H, u. s. w., sind nach ihrer Breite vorgestellt ; sie halten die Felderclecken fest ; die obern Enden derselben sind an die kleinen Balken II, u. s. w., welche über die Durchzüge hinweggehen , genagelt ; an den untern Theilen derselben werden wiederum die Latten zusammengesetzt.
  - In der 2. Fig. sehen wir ebenfalls einen aus der Mitte eines Caissons genommenen Durchschnitt ; nur dass die Richtung desselben mit dem Balken A, parallel lâuft. Die Zusammensetzungen sind von derselben Beschaffenheit wie im vorigen Falle; in der Abbildung sehen wir aber bloss die Gesimse CC, welche an der einen Hâlfte der Decke B, ange-
  - Cupola of an hemispherical form , truncated by a sky-light on the summit, Fig. 6,7 et 8, PI. i3.
  - 83. The letters D, D ; G G ; J, in the Fig. 6, and the same letters in the Fig. 7, are the horizontal and vertical projections of the curves (75,76, 77, 78,79 and 82).
  - In these two projections some arched-rail-trin-gles hâve also been traced, because that form is necessary, in case one chooses to cover overtbe intrados with receding caissons.
  - The upper aperture is composed of two horizontal curves M M, Fig. 7. The same letter M, Fig. 6, indicates that those curves hâve the form of crowns of circles ; they are kept insulated by hanging-keys, L, L, and they are fastened both under and above by pins or pegs J, J.
  - The Fig. 8, indicates the section of the upper assemblage of the curves D. The letter V shows a piece of the platform supporting the juffers X, X, X, and the floor Y.
  - PLATE XI Y.
  - Séchop
  - y.
  - Of THE SoFFITS.
  - It was in former times the eustom to add to ceilings costly soffits ; the arts of painting, earv-ing and gilding displayed also there in profusion their master-pieces ; but these are 110 longer sui-table to the présent taste ; and if, by means of en-graven plates, we bave thought proper to convey in a limited number of examples, the principal details of the adjustments in the works that are still existing, our intention was to render as complété as possible the details of the various assemblages of the pièces of timber employed in that kind of construction.
  - These ornaments belonging to the elass of those known in France by the name of wood-casing, (revêtissement en bois), and the frames that en-circle the caissons being also similar to the comices which are called volantes, the explanations of the four following examples will contain but a very succint description of the figures.
  - Example I.
  - A Ceiling in the Hall of the Guards, in the Old Palace, at Turin. Fig. 1, 2, 3 et 4-
  - 84. The Fig. 1, being a section taken in the middle of a caisson , between two beams A A , shows that the mouldings C C , are made with timber laid flatwise, and nailed on the laths (écharpes) JJ : the ceiling B , is also made of wood; the beam ceilings, DD, supported by hanging bars or rails, of which GG, etc., show the thickness, and which are fixed on the beams with nails (*), receive at tlie lower end the assemblages of the abutments of the laths (écharpes) that keep to-gether the mouldings, and bear the floor B. The hanging bars or rails H H, etc., are seen on their breadth ; they support the ceilings of the beam-compartments ; their uppermost parts are nailed to the joists 1,1, etc., that are placed on the beams ; and their lowermost parts receive in the same manner the assemblages of the laths (écharpes).
  - The Fig. 2, is also a section taken in the middle of a caisson ; but in a parallel direction with the beam A. It contains the same details as the prece-ding one, but the draught shows only the mouldings CC, and the ceiling B, applied in the middle of its length ; the other half, Fig. 3, contains only the details of the wooden frame.
  - (*) Pour réunir deux morceaux de bois, on préfère mantenant les vis, aux clous; parce qu’on peut alors, sans rien endommager, enlever une portion de bois , en détournant les vis qui servent à les fixer.
  - (*) Bei der Verbindung zweier Holzer mit einander wendet man gegenwârtig lieber Schrauben als Nagel an, und zwar uni deswillen weil die Schrauben ohne Bescha-digung des Ganzen herausgezogen werden konnen, wenn man einen Theil des Holzes abnebmen will.
  - (*) Screws are at présent preferred to nails, to unité two pièces of timber, because one may, in using the former, take away any piece of timber, without damaging it, by turning off the screws.
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- - projection horizontale de quatre barres pendantes et des deux écharpes qui y sont assemblées.
  - Exemple II.
  - Plafond d’une pièce du Château dit la Maison du Bois, en Hollande.
  - 85. La Fig. 5 est une coupe prise dans le milieu d’un caisson, mais perpendiculairement à la direction des poutres A A. Celles - ci sont composées de deux pièces de bois juxtaposées l’une sur l’autre et boulonnées ; les surfaces inférieures ou soffites en sont élégies de champ DD, renforcées avec filet d’encadrement, dont le compartiment est dessiné DD, à la projection horizontale, Fig. 6 ; les moulures C, C, de la Fig. 5, sont aussi en bois méplats juxtaposés et boulonnés, mais avec embrèvement à languette et rainure dans les poutres ; et au-dessus de ces moulures on voit le plancher B : la Fig. 7 est une projection représentant la vue supérieure de la poutre A, des coupes angulaires des moulures, etc. La Fig. 8 est aussi une coupe prise dans le milieu du caisson, mais dans une direction parallèle aux poutres ; les moulures, CG, sont semblablement construites, mais les plafonds des poutres de compartiments D D, y sont rapportés et retenus avec des boulons. La Fig. 9 est une vue perspective qui montre l’ensemble d’une poutre A, et des moulures des compartiments, ainsi que la vue inférieure des plafonds de poutre.
  - Exemple III.
  - Plafond de l’Eglise Sainte-Marie Majeure, à Rome, Fig. 10 et 11.
  - 86. La Fig. 10 est une coupe qui fait voir les pièces de charpente A A , etc., soutenues avec des harpons boulonnés, assemblés en moufle à une barre portée par un tiran en fer. Les plafonds D D , sont en revêtissement sous les pièces de charpente ; les moulures sont représentées en C, et le plafond des caissons en B (84)- La rosace E, et le cul-de-lampe F, sont des ornements surajoutés. La Fig. n est une vue de l’une des pièces A , avec ses ferrures et ses goussets K.
  - Exemple IV.
  - Plafond de l’Eglise de Saint- Jean de Latran, à Rome, Fig. 12 et i3.
  - 87. Le grand nombre de moulures de la Fig. 12 est un composé d’une corniche de compartiments de poutre et de caissons renfoncés, avec plafond ; le tout construit comme aux exemples précédents, et aussi soutenu avec des barres pendantes.
  - La Fig. i3 est une coupe de la poutre A, et les détails des assemblages des barres pendantes, goussets, traverses et écharpes.
  - PLANCHES XV, XVI et XVII.
  - ( *8 )
  - bracht sind. Die andere Hâlfte in Fig. 3, enthâlt das übrige Bauwerk. In der 4» Fig. sind vier hângende und zwei damit verbundene horizontal liegende Latten abgebildet.
  - Exempel II.
  - Abbildung einer Decke in dem sogenannten
  - Holzernen Hause, einem Schlosse in Holland.
  - 85. Die 5. Fig. zeigt einen Durchschnitt aus der Mitte eines Caissons ; er ist aber perpendiculâr mit der Richtung der Balken A A, vorgestellt. Diese leztern bestehen aus zwei über einander gelegten und mit Schrauben befestigten Holzern ; die untern Seiten D D, welche die Decke in Felder abtheilen, sind mit Leisten-Einfassungen versehen , wovon das Feld DD, in der 6. Fig. horizontal vorgestellt ist. Die Gesimse CC, Fig. 5, sind ebenfalls aus halb-flachem mit Schrauben zusammengehaltenem Holze gearbeitet, und an die Balken durch Zapfen und Locher befestigt. Unter diesen Gesimsen befindet sich der Boden B. In der 8. Fig. sehen wir wiede-rum einen Durchschnitt aus der Mitte eines Caissons , und zwar in einer mit dem Balken parallel laufenden Richtung. Die Gesimse G C, sind zwar von derselben Beschaffenheit wie die vorigen ; al-lein die Decken an den Balken D D, sind an diese leztern mit Schrauben befestigt. Die 9. Fig. enthâlt eine perspectivische Ansicht von allen zu dem Balken A, gehorigen Stiicken; man sieht da-rin ferner die Gesimse in den Feldern, so wie die untere Ansicht der Decke.
  - Exempel III.
  - Vorstellung der Decke in der Kirche Santa Maria Maggiore zu Rom, Fig. 10 und n.
  - 86. Die 10. Fig. enthâlt eine Ansicht von dem Gebâlke A, A, u. s. w., welches durch hângende Bânder festgehalten wird. Die Rahmen D D, sind die Verkleidungen der Balken ; die Gesimse sind in C, und die Decke der Caissons in B, vorgestellt (84). Die Rosette E, und der Knopf F, sind zum Ueberfluss als Zierrathen daran angebracht. In der n. Fig. ist eines der Holzer A, nebst seinem Beschlâge und Tragbândern K, vorgestellt.
  - Exempel IV.
  - Ansicht der Decke in der Kirche des heil. Johann di Latran zu Rom, Fig. 12 und i3.
  - 87. Die in grosser Auzahl in der 12. Fig. ange-brachtcn Gesimse bestehen aus einem Karniesse von Balkenfeldern und Füllungen ; die Zusammen-setzungen des Ganzen sind die nâmlichen wie in den vorstehenden Exempeln ,so wie auch hângende Latten ebenfalls zu ihrer Befestigung dienen.
  - In der i3. Fig. ist ein Durchschnitt des Balkens A, abgebildet ; auch ergeben sich aus dieser Figur die Zusammensetzungen der hângenden Latten, der Tragbânder, Querholzer und Bânder.
  - TABELLE XV, XVI un*d XVII.
  - The Fig. 4î is the horizontal projection of four hanging bars or rails, and of the two laths (écharpes) that are assembled with those bars.
  - Exemple II.
  - A Ceiling in a Room in the Château or Palace called Maison du Bois, in Holland.
  - 85. The Fig. 5, is a section taken in the middle of a caisson, but perpendiculâr with regard to the direction of the beams A A. These beams are com-posed of two pièces of timber juxta-placed one over the other and bolted ; the lower surfaces or soffits are smoothed sideways , D D, and reenforced with an encircling fillet, the compartment of which is drawn DD, in the horizontal projection, Fig. 6; the mouldings C, C of the Fig. 5, are also in timber laid flatwise, juxta-placed and bolted, but with a tusk and plough and tongue eut in the beams ; and above these mouldings is seen the floor B.
  - The Fig. 7 , is a projection representing the up-per view of the beam A , as also the angular sections of the mouldings , etc. The Fig. 8 , is also a section taken in the middle part of the caisson, but in a direction parallel to the beams ; the mouldings CC,are made in a similar manner, but the ceilings of the compartment-beams, D D, are joined to them and fixed with bolts. The Fig. 9, is a perspective draught that shows the ensemble of a Beam A, and of the mouldings of the compartments, as also the inferior view of the Beam-ceilings.
  - Example III. •
  - A Ceiling in the Church of St. Mary Major in Rome, Fig. 10 and 11.
  - 86. The Fig. 10, is a section that shows the pièces of timber - work AA, etc. , supported with bolted-iron-hooks ( harpons ) , assembled block -ways (en moufle), in a bar supported by an Iron-collar. The ceilings D D, are as a casing under the pièces of the timber - work ; the mouldings are represented in C, and the ceiling of the caissons in B (84). The rosace E, and the cul-de-lamp F, are superadded ornaments.
  - The Fig. 11, is a view of one of the pièces A, with its iron-work and the brackets K (Goussets).
  - Example IV.
  - A Ceiling in the Church of St. John of Latran, at Rome, Fig. 12 and i3.
  - 87. The great number of mouldings in Fig. 12, is a compound of a cornice and Beam - compartments , as also of sunk caissons with a ceiling : the whole is constructed as in the preceding examples, and supported with hanging bars.
  - The Fig. i3, is a section of the Beam A ; it con-tains the details of the assemblages of the hanging bars, the brackets, traverses and laths (écharpes).
  - PLATE XV, XVI and XVII.
  - <§tccieuie' Sedûorj.
  - Q^D&ôofdMbu, VI.
  - becbiov)
  - VI.
  - DES PAROIS.
  - 88. Dans l’art de bâtir, on nomme généralement parois toutes les parties de charpente disposées d’aplomb. Celles qui sont extérieures, simulant le mur d’enceinte, prennent le nom de pans de bois , PI. 16 et 17; et celles qui remplacent à l’intérieur les murs de refend,sont nommées cloisons de charpente, PI. i5. Les parois contiennent aussi des baies de portes et de fenêtres. Lés espaces que laissent entre elles les pièces bois, sont ordinairement remplis avec des briques ou des moellons maçonnés avec du mortier ou avec du plâtre ; en quelques lieux, 011 les remplit de terre grasse mêlée de paille, et on les crépit avec du mortier de chaux et sable ou blanc en bourre : cette opération est nommée le remplissage ; et on dit remplir et ravaler à bois apparent, lorsque cette opération est limitée aux vides ; mais lorsque les faces sont recouvertes avec
  - Von den IVandcn.
  - 88. In der Baukunst wird jedes senkrecht ste-hende Holzwerk mit dem allgemeinen Namen Wand bezeichnet. Vertritt es die Stelle der âussern Mauer so heisst est die âussere Wand, Tab. XVI und XVII ; wird es aber im Innern eines Gebâudes angewen-det, so nennt man es eine Scheidewand, Tab. XV. Bei diesen holzernen Wânden werden ebenfalls auch Oeffnungen zu Thüren und Fenstern gelassen. Der Zwischenrauin zwischen den Holzern wird gewohu-lich mit Back oder Bruchsteinen vermauert. An einigen Orten wird derselbe mit Lehm und Stroh verkleibt, und mit einem Mortel aus Kalk und Sand beworfen. Diese Arbeit bekommt in Frank-reich verschiedene Namen, je nachdem das Holzwerk sichtbar bleibt, oder die Wânde gânzlieh mit Kalk oder Gyps überkleidet werden.
  - Of Pariétal Partitions (Parois),
  - 88. In the art of building, the french wovàparois is generally given to ail the parts of a timber-frame that stand perpendiculâr. The external parts that are in lieu of an enclosure - wall, go by the name of (pans de bois) plastered or mud-walls, PI. 16 and 17, and those parts which replace in the inte-riour the partition or middle-walls, are caJled Wood-en-Partitions, PI. i5. The Pariétal partitions con-tain also apertures for doors and Windows. The spaces that exist between the several pièces of timber, are commonly filled up with bricks, moi-lons or rough-walling, masoned either with mortar or with plaster ; in sonie countries they are filled up with unctuous clay mixed with chopped straw , and they are pargetted or rougheasted with mortar made of slack-lime and sand , and sometimes there is cow’s hair mixed with it : this operation is called
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- - du mortier ou du plâtre, eette opération se nomme simplement ravalement.
  - 89. Les parois sont moins durables que les murs de moellon on de brique, et ont aussi moins de stabilité ; mais quand ces parties sont dans une disposition telle, que leurs plans se coupent, comme ils s’arcboutent mutuellement, ils peuvent acquérir un très-grand degré de force pour conserver leur disposition verticale, par la combinaison des pièces de bois qui les composent ou des assemblages convenablement choisis, et encore au moyen de l’application de différentes pièces de fer.
  - 90. Pour évaluer la stabilité des parois, la règle est comme pour celle des murs ; on multiplie le poids par la moitié de l’épaisseur.
  - Exemple. Si, à raison de son épaisseur et de la densité des matériaux qui la composent, le poids d’un pan de bois est 44 L par pied superficiel, et son épaisseur 70 ; on aura 7 = 3 7 X 44 — L pour sa stabilité par pied superficiel. Si l’on trouve de même le poids d’un pied superficiel d’un mur être de 200 1., son épaisseur étant de 18°, on aura
  - —= 9 x 200 = 1800 1. pour la stabdité par pied
  - superficiel. Donc ce mur aura environ onze fois la stabilité du pan de bois.
  - 91. Les cloisons sont susceptibles de diverses variétés ou combinaisons : celles qui ne portent pas de plancher, sont nommées cloisons de distributions ; quand elles sont seulement lattées et enduites sans remplissages , on les nomme cloisons sourdes : on nomme aussi cloisons légères celles qui sont composées d ais ou bois minces, lattées et enduites. Les cloisons imprévices sont celles qu’on établit pour une nouvelle distribution. Presque tours elles sont en juxtaposition sur des planchers qui ne devaient point avoir cette surcharge ; et il faut alors que la disposition des pièces de bois desdites cloisons soit tellement combinée que les intermédiaires soient dans un état de suspension qui leur ôte tout effet de pression sur le plancher.
  - 92. Selon la place qu’une pièce de bois occupe dans les parois, ou selon l’office quelle y remplit, les praticiens l’indiquent par un nom particulier: i° ils appellent poitrails, les linteaux des grandes bayes A, IM. 17, sablière basse, les premières pièces b 11, placées horizontalement sur les socles de maçonnerie au rez-de-chaussée. Les sablières hautes, CC , etc., sont celles qui supportent les bouts des solives des planchers. Les sablières de chambrées, DD, etc., sont celles qui sont placées au-dessus des solives ; l’espace ou vide entre ces deux dernières sortes de sablières, est appelé occupation du plancher, la sablière d’égout E est celle qui est la plus élevée du pan de bois, et qui parfois porte le bout des chevrons. Les autres pièces horizontales sont les appuis P1 F, etc., aux baies des croisées et les linteaux, G, G, etc., desdites baies et de celles des portes: et celles intermédiaires N N, entretoise. 20. La pièce verticale angulaire, qui reçoit les assemblages de deux pans de bois H est nommée poteau-cornicr ; celles des baies 11, etc., poteaux d'huisseries ; et les petites J J, assemblées aux appuis et linteaux, potelets ; les intermédiaires, K K , qui occupent toute la hauteur du pan de bois, poteaux de fond ; les petites L L, etc., placées entre deux sablières, poteaux de remplissage ou remplage. Celles qui sont interrompues par une pièce oblique, où elles sont assemblées, MM, etc. , prennent le nom de tournices. 3° Les pièces obliques simples, 00, etc., se nomment poteaux de décharges, ou simplement décharges ; (*) les obliques collectives PP , etc., croix de St. André ou tenailles.
  - Les règles que les écrivains praticiens ont données pour fixer les grosseurs des pièces de charpentes
  - (*) Quand ces pièces ont très - peu d’inclinaison, on les appelle Guêtres ou Guettes.
  - ( "9 )
  - 89. Die hblzernen YVande sind bei weitem nicht so dauerhaft und fest als die Mauern aus Bruch-oder Backsteinen ; sind sie aber so zusammengesetzt, dass ihre Flachen sich durchschneiden , so konnen sie , da die verschiedenen Theile derselben sich überdiss wechselseitig einander zusammenhalten, einen bedeutenden Grad von Festigkeit erlangen, und ihre verticale Stellung durch zweckmâssige Yerbindung der Holzer und Anwendung eiserner Bander, u. s. w., sehr lange erhalten.
  - 90. Will man die Festigkeit der holzernen W’ànde bestimmen, so wird, wie bei den Mauern, das Gewicht mit der Halfte der Dicke multiplicirt.
  - Exempel. Wenn nach Verhâltniss der Dicke und Festigkeit des Holzes das Gewicht einer holzernen Wand 44 PL Per Flachenfuss, und seine Dicke 7" betragt, so erhâlt man für seine Festigkeit - = 37 X 44 = i54 Pf. per Flachenfuss. Wenn dagegen bei einer Mauer das Gewicht eines Flachenfusses 200 Pf. und seine Dicke 18" betrâgt, so erhâlt man
  - l8“
  - — 9 X 200 = 1800 Pf. Festigkeit per Flâchen-
  - fuss, woraus folgt, dass diese Mauer ohngefâhr eilf mal mehr Festigkeit habe als eine holzerne Wand.
  - ’ 91. Die Riegelwande werden nach der Verschie-
  - denheit ihrer Zusammensetzungen und Bestimmun-geri mit verschiedenen Namen belegt ; tragen sie keine Decke so heissen sie Unterseheidungswânde (cloisons de distributions)j sind sie bloss gelettet und vergypst, ohne mit Mauerwerk ausgefüllt zu seyn , so nennt man sie in Frankreich cloisons sourdes. Verschlâge heissen diejenigen Wânde, wel-che aus Latten oder Bretern bestehen, und über-worfen sind. Die Hânge-oder Sprengwânde werden dann errichtet, wenn man sich veranlasst sieht neue Eintheilungen in Zimmern, u. s. w., zu machen. Sie ruhen gewohnlich auf dem Boden, der eigent-lich nicht zur Tragung dieser neu hinzugekomme-nen Last bestimmt war. Die Holzer, aus welchen diese Art Riegelwande bestœhen, müssen dann so geordnet werden, dass die in der Mitte stehenden sich gleichsam in einem leidenden Zustande be-finden , und ihre Druckkraft nicht ganz auf den Boden ausiiben konnen.
  - 92. Die Baukundigen bezeichnen die Holzer in den Wânden mit verschiedenen Namen, je nach-dem selbige einen gewissen Platz in der Wand ein-nehmen, oder darin zu einem gewissen Zwecke bestimmt sind. Sie nennen 10Poitrails den Sturz der Thür-oderFensteroffnungen A, Tab. XVII. Schwel-len heissen die ersten horizontal gelegten Holzer B B, welche auf dem gemauerten Untersatze im Erdge-scliosse ruhen. Pfetten GC, u. s. w., sind die, welche das Gebâlke tragen. Zimmerschwellen D D, u. s. w., werden diejenigen genannt, welche im Innern auf das Gebâlke gelegt werden. E, ist die obéré Pfette oder Hauptbinder iiber der Riegel-wand, in welchen zuweilen die Sperren eingesetzt werden. Die übrigen horizontalen Holzer sind die Fensterbânke F F, u. s.w., und die Sturze G G, u. s.w. Die Zwischenholzer N N, werden Riegel genannt. 20 Eckpfosten heisst das verticale in einer Ecke stehende Holz mit welchem die Holzer der beiden Wânde H, verbunden werden. Thürpfosten sind die der Oeffnungen 11, u. s. w., und J J, die Stelzen ; die Zwischenholzer K K , Grundpfosten. Die übrigen vertical stehenden Holzer LL, u. s. w., heissen Ausfüllungspfosten. Diejenigen , welche durch ein schrâg steliendes Holz M M, u. s. w., unterbrochen werden, heissen Riegel. 3° Biigen sind die einfa-chen schrâgen Holzer O O, u. s. w. (*), und Andreas-Kreuz die doppelten P P, u. s. w.
  - Die Schriftsteller, welche über die Baukunst ge-schrieben haben , stellen für die Dicke der in den Riegel und Holzwânden befindlichen Holzer, fol-gende Regeln auf. i° Eine Holzwand soll in ihrer Flâche 8 bis g”, ein Eckpfosten aber 9 bis 10" Dicke haben ; die Thürpfosten, Ausfüllungspfosten , Bü-
  - (*) Ist die Richtung dieser Holzer bloss ein wenig schief, so nennt man sie in Frankreich Guêtres oder Guettes.
  - Remplissage, that is, filling up with ragged stones f when this operation is limited to a few empty spaées, the wood must be left apparent, but when the whole surface is covered over with mortar or with plaster, it is called ( Ravalement ) that is finishing.
  - 89. The Pariétal partitions are less durable than moilon or brick walls, they hâve also less stability ; but when those wooden frames are disposed in such a manner that their plans intersect each other, they may, by mutual support, acquire a great degree of strength and preserve their vertical situation , by the combination of the pièces of timber they are composed of, or by assemblages suitably chosen , and also by means of various iron ligaments,
  - 90. In order to compute the stability of pariétal partitions, the same rule may be used as for walls, that is, to multiply the weight by half the thick-ness.
  - Example. If, according to the ratio of its thick-ness, and the density of the materials it is composed of, the weight of a plastered or mud-wall is of 44 lb. per each superficial foot, and its thick-nessy inches, weshall hâve .*7 = 37 x 44— i541b., denoting its stability per each superficial foot. In the same manner, if we find that the weight of one superficial foot of a stone wall is 200 lb., and its thickness 18 inches, we shall hâve: ~- = g x 200 = 1800 lb. that will dénoté its stability per each superficial foot. Then that wall will hâve about eleven times more stability than a plastered or mud-wall.
  - 91. Wooden-Partitions are susceptible of various forms and combinations : those that bear no floor are named distributive partitions : when they are merely lathed and plastered over, without any ragged stones being put inside, they are called ( Cloisons sourdes), hollow partitions. Those are also called (Cloisons légères) light partitions, that are composed of shelves or shingles, lathed and plastered over. The (Cloisons imprévues) accidentai partitions are those that are established for the purpose of new distributions ; they are almost always laid by juxta-position on floors that were not intended to hâve that overcharge : the disposition of the pièces, in those partitions, must be combined in such a manner that the intermedial parts be in a State of suspension that may prevent every effect of pressure on the floor.
  - 92. Practitioners give a particular name to each piece, according to the place it oceupies, or the function it fills up in a wooden partition.
  - i° They call Breast - summers, or Bressummers, the lintels of the great apertures A, P1. 17 : Lower sablières, the first pièces BB, horizontally placed on the socles of masonry on the ground floor. The upper sablières C G, etc,, are those that bear the ends of the joists of the floors. The chambrée sablières DD, etc. , are those which are placed above the joists ; the empty space between these two last sorts of sablières, is called the occupation of the floor. The Eave sablière E, is that which stands highest in the plastered wall, and which sometimes bears the ends of the rafters. The other horizontal pièces are theprops or supports F, F, etc., in the apertures of the Windows, and the Lintels
  - G, G, etc., of the said apertures and of those of the doors : the intermedial ones NN, are called Intertj or Interduce. 20 The angular vertical piece that recéives the assemblages of twp plastered-walls
  - H, is named Corner-post ; those of the apertures
  - I, 1, etc., are named Jaums or Upright-posts ; and the little ones JJ, assembled on the sppports and lintels, are named small-posts : the intermedial posts KK, which occupy ail the height of the plastered wall, are called (Poteaux de fond) bottom or ground posts. The little pièces LL, etc., indicate the (Poteaux de Remplissage) filling up posts ; they are placed between two sablières. Those pièces that are interrupted by another oblique piece , where they are assembled in MM, etc., go by the name of inclined sablières.
  - 3° The plain oblique pièces O O, etc., are called Braces or Bearers (Décharges). (*) The collective
  - (*) When those pièces form only a very inconsiderable obliquity they are called Guettes, or Guettes.
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  - qui composent les cloisons et les pans de bois, se réduisent à ce qui suit : i° Les pans de bois des faces doivent avoir 8 à 90 d’épaisseur, mais les poteaux corniers 9 à 10 ; les poteaux d’huisserie, ceux de remplage, les décharges, croix de Saint-André, et guettes 6 à 8° ; les tournices 5 à 8° ; les sablières 7 à 10, et posées à plat. 20 Aux étages, qui n’excéderont pas 12° de hauteur, on donnera aux cloisons 6° d’épaisseur ; les poteaux auront 4 à 6° de gros, quand les cloisons ne porteront point de plancher ; mais si elles reçoivent la charge d’un plancher, on emploiera des poteaux de 5 à 6° de grosseur. 3° Aux étages, qui auront plus de 120 de hauteur, on établira les cloisons à 70 d’épaisseur ; mais la grosseur des poteaux sera réglée, comme précédemment, eu égard au cas où elles devront soutenir des planchers. 4° Aux cloisons de refend, dites en porte-à-faux, on mettra en œuvre le tiers-poteau posé sur le plat ; cet échantillon de bois a environ de 3 à 5° de gros.
  - Ces données sont trop vagues pour pouvoir convenir à tous les cas. En effet, supposant la construction tout en bois, i°, le bâtiment, composé de quatre étages, pressera plus que celui qui n’en a que deux ; il exige donc des pièces de bois plus fortes pour sa composition. 20 Dans un bâtiment d’une grande étendue, comparé à un plus petit, distribué proportionnellement, le fardeau des planchers augmente comme le quarré de l’une de ses dimensions : il faudrait donc que la force des bois employés pour former les cloisons et pans de bois, fût augmentée en raison du quarré de l’une des dimensions du bâtiment, et non pas simplement comme la hauteur de la paroi.
  - En employant le calcul, on pourra apprécier la résistance des bois qu’on mettra en œuvre par rapport au fardeau qu’ils auront à soutenir.
  - 93. Lorsque le bois est placé debout, c’est-à-dire, quand ses fibres sont dans une position verticale, l’adhérence qu’elles ont les unes avec les autres, lui donne un certain degré de force qui le met à portée de supporter un fardeau déterminé, sans que ses fibres puissent être séparées les unes des autres, et que le bois se refoule.
  - Les expériences, faites à cet égard par les savants, ont constaté que le bois de chêne de bonne qualité, sans défaut, de forme cubique, et posé bien exactement, peut porter, sans s’écraser, environ 22 kilogrammes par ligne quarrée de sa base, et le bois de sapin, 26 kilogrammes.
  - On n’aperçoit pas que cette force éprouve de diminution par les premières augmentations que l’on donne à la hauteur : tant que la hauteur n’a que sept ou huit fois la dimension, racine de la base, la pièce ne se refoule pas plus sensiblement que quand elle a la forme cubique. Mais cette force diminue considérablement quand la hauteur de la pièce surpasse la dimension, racine de la base, dans un plus grand rapport : ce qui vient de la flexibilité du bois, qui, une fois quelle a dérangé les fibres de la position verticale qu’on avait voulu leur donner, les expose à être rompues au lieu d’être refoulées ,♦ et l’on conçoit que plus la hauteur sera grande, plus auront d’effet les petits défauts imperceptibles, soit de position, soit de direction ; plus, par conséquent, la pièce sera sujette à ployer, et plus elle perdra de sa force.
  - 94. Cette force est encore susceptible de diminution à raison de la forme de la base ; r° avec même étendue de base, la figure circulaire donne environ 0,02 de force de plus que la figure quarrée ; 20 sous même étendue de base, la force est d’autant moins grande, qu’il y plus de différence entre les deux dimensions de la base. Cette diminution est telle que, pour y avoir égard, après avoir multiplié les deux dimensions l’une par l’autre,
  - ( 20 )
  - gen , Andréas-Kreuze und Guettes b bis 8", die Riegel 5^bis 8", die platt aufgelegten Schwellen 7 bis 10".
  - 20 Sind die Stockwerke nicht hoher als 12 Fuss, so bekommen die Riegelwànde 6" Dicke; haben diese leztern keine Balken zu tragen, so gibt man den Pfosten 4 bis 5" Dicke; tragen sie aber Ge-bâlke, so bekommen diese Pfosten 5 bis 6" Dicke.
  - 3° Bei Stockwerken von mehr als 12 Fuss Hohe, betrâgt die Dicke der Riegelwànde 7". Die Pfosten erhalten dieselbe Dicke wie im vorigen Falle, und zwar wiederum mit Rücksicht auf den Umstand, ob die Riegelwànde Gebâlke zu tragen haben oder nicht.
  - 4° Die Dicke der Pfosten bei freistehenden Seheidewànden betrâgt 3 bis 5", und die Breite wird gelassen wie sie das Holz gibt.
  - Diese Angaben sind aber zu schwankend, als dass sie für aile Falle als allgemeine Regel aufge-stellt werden konnten ; denn gesetzt ein Gebâude besteht aus vier, ganz aus Holz erbaueten Stockwerken , so wird dasselbe eine weit stârkere Druck-kraft âussern , als ein anderes Gebâude mit zwei Geschossen, woraus folgt, dass die zu seiner Er-bauung erforderlichen Holzer nothwendig stârker seyn müssen. Bei einem Gebâude von betrâchtli-chem Umfange, verglichen mit einem kleinern , dessen innere Vertheilung verhâltnissmàssig Statt gehabt hat, vergrossert sich die Last der Gebâlke in eben der Masse wie sich das Quadrat der einen von seinen Dimensionen vergrossert ; die Stàrke der Holzer zu den Riegel-und Holzwânden miisste folglich nach Beschaffenheit des Quadrates der einen von den Dimensionen des Hauses, und nicht nach der blossen Hohe der Wânde bestimnt und vergrossert werden.
  - O
  - Durch diese Berechnung lâsst sich aber die Wi-derstandskraft des Holzes in Rücksicht auf die von ihm zu tragenden Last bestimmen.
  - 93. Befindet sich ein Holz in gerader aufgerich-teter Stellung, so dass die Fasern desselben in ver-ticaler Richtung aufsteigen , so theilt die Verbin-dung der Fasern unter einander, diesem Holze eine gewisse Stàrke mit, wodurch dasselbe zur Tragung einer gewissen Last geschickt wird, und wobei die Fasern mit einander verbunden bleiben, und das Eindrücken des Holzes selbst verhindert wird.
  - Die Expérimente, welche von Bauverstândigen disfalls angestellt worden sind, haben dargethan, dass eine Quadrat-Grundflâchenlinie gutes und feh-lerfreies Eichenholz von cubischer Gestalt, wenn es gehorig aufgestellt wird, eine Last von ohnge-fâhr 22 Kilogramm ( circa 45 Pf. ), das Tannenholz aber eine Last von 26 Kilogramm, ohne zerdriïckt zu werden, tragen kann.
  - Vermehrt man sodann die Hohe, so bemerkt man anfangs noch keine Verminderung dieser Kraft ; so lange als das Holz blos sieben bis acht mal so hoch ist als dieWurzel-Dimension der Grund-flàche, so bemerkt man das Eindrücken desselben eben so wenig als wenn es von cubischer Gestalt ist. Diese Kraft vermindert sich aber zusehends, wenn die Hohe des Holzes die Wurzel-Dimension in einem grossern Verhâltnisse übersteigt : die Ur-sache davon liegt in der Biegsamkeit des Holzes. Hat dieselbe einmal die Fiebern der verticalen Stellung, welche man ihm zu geben suchte, aus der Ordnung und Verbindung gebracht, so werden sie eher zerbrechen als sich niederdrücken. Man sieht also leicht ein, dass, je mehr die Hohe zunimmt, desto wirksamer werden sich die kleinen, oft unbemerkbaren, bei der Stellung oder Richtung des Holzes begangenen Fehler zeigen ; desto leichter wird es ferner zum Biegen gebracht werden kon-nen, und mithin in eben dem Grade von seiner Kraft verlieren.
  - 94. Die Gestalt der Grundflàche trâgt ebenfalls auch zur Verminderung dieser Kraft bei. i° Die zirkelrunde Figur theilt, bei übrigens gleichemUm-fange, ohngefàhr 0,02 Stàrke mehr als die Quadrat-Figur, mit. 20 Bei demselben Umfange der Grund-flâche ist die Kraft um so geringer, je grosser der Unterschied zwischen den beiden Dimensionen der Grundflâehe ist. Man bekommt diese Verminderung, wenn man erstlich die beiden Dimensionen mit
  - oblique pièces P P , etc., are called St. Andrew's Cross.
  - The rules which practitional writers hâve set, to fix the size or bigness of the pièces of timber which wooden - partitions or plastered -walls are composed of, are limited to the follow-ing ones.
  - i° The plastered - walls, on the fronts, must be from 8 to 9 in. thick, but the Corner-posts from 9 to 10 : the upright - posts , the Braces or Bearers, St. Andrew’s crosses and the Guêtres , from 6 to 8 in. ; the sablières , from 7 to 10 in., and must be laid fiat.
  - 20 In the second stories tliat are not above 12 feet high, the partitions must be 6 in. thick : the posts need be only from 4 to 6 in. big, when the partitions hâve no floor to bear ; but if they are to be loaded with a floor, onc must employ posts from 5 to 6 in. big. 3° In the third stories that are above 12 feet high, the partitions are to be 7 in. thick; but the bigness is to be regulated in due proportion , as above , in case a floor is to be laid on them. 4° In the middle-partitions that do not bear steady, an angular post must be employed on the broader side ; that piece of timber must be from 3 to 5 in. big.
  - These outlines and notions are too vague to suit every case. In fact, suppose the frame is made en-tirely of wood : i° The Building composed of four stories will prove a stronger pressure than that which is only two stories high, and it will require stronger pièces of timber in the composition of the frame. 20 In a building of a great extent, com-pared with a smaller one, proportionably distri-buted , the load of the floors increases as the square of one of its dimensions ; the strength of the timber employed to make the partitions and plastered walls must then be increased agreeable to the ratio of the square of one of the dimensions of the building, and not merely in proportion to the height of the pariétal partition.
  - It will be an easy matter to appreciate by calculation the résistance of the timber that may be used, with regard to the load it will bave to bear.
  - 93. When a piece of timber stands upright, that is when its fibres are in a vertical position, their cohésion with each other gives the piece a certain degree of strength, that renders it fit to bear a determined burthen , without its fibres being expo-sed to swerve from each other, or to be forced back by pressure.
  - The various experiments, in that respect, made by the learned, hâve evincecl that oak - wood of a good quality, free from defects, of a cubic form, and accurately placed in a vertical position, can bear, witbout running the risk of being crushed, about 22 kilogrammes , per square line contained in its base ; and fir-wood, about 26 kilogrammes.
  - The strength is not perceived to prove any diminution by the first augmentations made to the height of the piece, so long as that height does not exceed seven or eight times the dimension constituting the root of the base ; and, in this case, there is no more appearance of its being forced back than when the piece is of a cubic form. But the strength diminishes considerably when the height of the piece far exceeds the dimension constituting the root of the base : this proceeds from the suppleness of the wood ; for, when the fibres hâve been once deranged from the vertical position that was intended to be given them , they are more exposed to be broken than forced back : it is easy to conceive that, the grea-ter is the height, the more damageable will the least defects prove either in the position or in the direction ; and, of course, the more the piece will be liable to bend or to lose part of its strength.
  - 94. That strength is besides susceptible of de-crease according to the form represented by the base. i° With the same area in the base, a circular figure gives about 0,02 overplus in strength than a square figure. With the same area in the base, the strength will decrease in an equal ratio with the différence between the two dimensions of the base. That decrease is such that, in order to appreciate it, after having multiplied the two dimensions one by the
  - }
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- - V
  - pour connaître le nombre de lignes quarrées que contient la base; il faut multiplier ce résultat par la racine quarrée de la fraction qui exprime le rapport de la petite dimension de la base à la grande.
  - Voici sur quoi est fondée cette règle. Il est évident que, si les fibres du bois étaient bien droites, que la pièce fût parfaitement dressée, et placée rigoureusement dans la direction de la pesanteur, la pièce de bois conserverait la même force, quelle que fût sa hautenr. Aussi trouve-t-on la même force à une pièce de bois, indépendamment de sa hauteur, quand elle est suffisamment assujettie par des moïses pour l’empêcher de fléchir.
  - Mais comme il est impossible d’obtenir rigoureusement dans la pratique toutes ces conditions, il se trouve toujours quelques défauts dans les conditions requises : celui de ces défauts qui l’emporte sur les autres, détermine la pièce de bois à plier dans le sens où il se trouve, et le degré de flexibilité de la pièce détermine la force suffisante pour la faire rompre.
  - Or, il est reconnu que la rigidité des corps, c’est-à-dire, la force opposée à la flexibilité, est le produit de la dimension sur laquelle se fait le pli, par le quarré de celle contre laquelle il s’opère. Si l’on nomme (a) la dimension la plus grande de la base, et b, la plus petite, la roideur sera exprimée par a b 2, parce que c’est nécessairement contre la petite dimension que le pli se fait.
  - Mais une autre pièce de base égale et de figure quarrée, qui aurait pour côté de sa base l/àb ; sa rigidité serait a b X l/àb.
  - Ainsi, la rigidité de la pièce quarrée est à celle de la pièce méplate, comme a b l/àb : a b 2 :: a x b x l/à X l/b : a x b X l/b X l/b :: l/à :
  - Muschenbrock (Essais de Physique) dit que la force des bois ronds ou quarrés est proportionnelle au cube de la dimension racine de la base, divisée par le quarré de la longueur; ensorte que, pour la même base, elle serait en raison inverse du quarré de la longueur. D’après cette règle, une pièce, qui aurait en longueur 7 fois la dimension de sa base, aurait environ 5o fois moins de force ; tandis que 1 expérience ne montre point de diminution sensible, tant que la longueur n’excède pas 7 à 8 fois la base.
  - Rondelet (Art de bâtir) conclut des expériences qu’il a faites à cet égard, que, suivant que la longueur est 12,24,36,48,60, 72 fois la dimension de la base, la force diminue de 7,7, 7,7,77, 77-
  - Voici une table approximative dressée d’après ces données, avec les fardeaux que peut supporter chaque ligne quarrée de la base de la pièce de bois dont on veut évaluer la force, et qui est supposée quarrée.
  - ( 21 )
  - einànder multiplicirt, wodurch man die Anzahl der Quadratlinien der Grundflâche enthalt, und sodann dieses Résultat mit der Quadratwurzel des Bruches , welcher das Verhàltniss der kleinen Dimension der Grundflache zur grossen anzeigt , multiplicirt.
  - Hierauf ist nun jene Regel gegriindet. Wâren die Fasern jederzeit ganz gerade, und das Holz voll-kommen und genau nach der Richtung der Schwer-kraft aufgestellt, so leidet es gar keinen Zweifel, dass das Holz stets seine Kraft behalten würde, die Hohe mochte übrigens seyn, welche sie wollte. Auch behâlt ein Holz, ohne Rücksicht auf seine Hohe, dieselbe Kraft, wenn es durch Bander, welche das Biegen desselben verhindern, gehorig be-festigt ist.
  - Da sich in der Praxis aber aile diese Erforder-nisse nicht so genau vereinigen lassen, so werden unter solchen Umstânden einige Fehler nie ganz zu vermeiden seyn. Ist nun einer von diesen Feh-lern stàrker als der andere, so biegt sich das Holz nach der Seite wo er sich befindet, und je biegsa-mer das Holz ist, desto mehr wird Veranlassung zu seinem Zerbrechen da seyn.
  - Nun erhâlt man aber die Widerstandskraft der Korper, das heisst, die der Biegsamkeit entgegen-gesetzte Kraft, dadurch, dass man die Dimension, auf welcher die Biegung Statt hat, mit dem Qua-drat der andern Dimension, auf welche dieselbe Statt hat, multiplicirt; das Produkt, welches man daraus erhâlt, ist die gedachte Widerstandskraft. Wenn a die grosste Dimension der Grundflache, und b die kleinste ist, so erhâlt man a b2, zur Widerstandskraft , weil die Biegung nothwendiger-weise gegen die kleine Dimension Statt findet.
  - Hâtte aber ein anderes Holz von gleicher Grundflâche allein von Quadrat-Figur, l/àb fur die Seite der Grundflache, so wâre seine Widerstandskraft a b X l/àb.
  - Diesem zufolge verhâlt sich die Widerstandskraft des viereckigen Holzes zu der des flachen wie a b l/àb : a b2 :: a x b x VâX l/b : a x b x l/b X
  - l/b :: l/à : l/b :: 1 : 1 : v/-*
  - l/a y
  - Muschenbrock sagt in seinen physicalischen Ver-suchen, dass die Kraft der runden oder viereckigen Holzer mit dem Würfel der Dimension ihrer Grundflache, wenn solche mit dem Quadrate der Lange dividirt würde, im Verhâltnisse stânde; so dass sie sich wegen derselben Grundflache mit dem Quadrate der Lange in umgekehrtem Verhâltnisse befânde. Nach dieser Regel hâtte ein Holz, welches sieben mal so lang als die Dimension seiner Grund-flâche wâre, ohngefâhr funfzig mal weniger Stârke ; da doch die Erfahrung zeigt, dass so lange die Lânge nicht sieben bis acht mal die Grundflâche übersteigt , keine merkliche Verminderung der Stârke sichtlich ist.
  - Rondelet (Anweisung zur Baukunst)vzieht aus den Versuchen , welche er iïber diesen Gegenstand angestellt hat, die Folgerung, dass i je nachdem die Lânge 12,24, 36,48,60,72 mal die Dimension der Grundflâche betrâgt, die Stârke sich um |, 7, 7)f’ TT 1 lh vermindert.
  - Nachstehende Tabelle ist nach Masgabe dieser Angaben gefertigt worden ; sie enthalt zugleich die Lasten, welche eine jede Quadratlinie der Grundflâche eines angenommenen quadratformi-gen Holzes, dessen Stârke man bestimmen will, tragen kann.
  - other, to know the number of squares lines con-tained in the base, that product must be multi-plied by the square root of the fraction that expresses the différence between the smaller and the greater dimension of the same base.
  - Here is what this rule is grounded upon. It is évident that if the fibres of the wood were exactly straight, and the piece was in every respect per-fectly equal, and accurately placed in the true direction of the weight it bears, such a piece would preserve the same strength, whatever its height might be. This is the reason why the same strength is uniformly found in a piece of wood, its height being no object, when it is sufficiently maintained by means of binding-pieces, (moises) to prevent its bending.
  - But as ail these conditions cannot possibly be obtained in practice, some defect or other is always to be met with in the execution. The defect which prevails over the others forces the piece to bend on the side that defect lies , and the degree of supple-ness of the piece détermines the weight which is sufficient to make it break.
  - Now it is an acknowledged truth, that the rigi-dity of bodies, that is , the quality contrary to their suppleness , is the product of the dimension on which the bend is effected, multiplied by the square of that against which it is operated. Let, for instance, a be the greater dimension of the base, and b the smaller, the stiffness shall be expressed by ab2, because the bend is effected against the smaller dimension.
  - But if another piece, with an equal base, and of a square form, had for the side of its base l/àb ; its rigidity would then be a b X l/àb.
  - Thus the rigidity of a square piece is to that of another piece laid Jlatwajs, as follows ; a b l/àb : a b2 :: a X b X l/à X V'b : a x b x l/b X l/b
  - Muschenbrock, (Essais de Physique) says that the strength both of round or square pièces of wood is in proportion to the cube of the dimension con-stituting the root of the base, divided by the square of the length of the piece ; so that, for the same base, it would stand in an inverse ratio to the square of the length. According to that rule, a piece that would be 7 times as long as the dimension of its base, would lose 5o parts of its natural strength; whereas common expérience évincés no sensible decrease, so long as the length of the piece does not exceed 7 or 8 times its base.
  - Rondelet, (Art of building.) concludes from the experiments he has made in that respect, that, in proportion as the length has 12,24, 36, 48, 60,72 times the dimension of the base, the strength de-creases by 7, 7, 7, -f, 77,77.
  - Here follows an approximating fable laid down according to the above calculations, together with the burthens that can be borne by each square line in the base of the piece of wood the strength of which is intended to be valued, admitting it is square.
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- - ( 22 )
  - HAUTEUR RAPPORT FARDEAU
  - des bois de leur foree que peut supporter chaque ligne quarree
  - de la base.
  - par rapport à à celle d'une pièce
  - leur base. cubique. Chêne. Sapin.
  - Lignes carrées. Lignes cubiques. kilo. kilo.
  - 1 1,0000 22,0000 26,0000
  - 2 1,0000 22,0000 26,0000
  - 3 °,9995 2Ij999° 25,9870
  - 4 °,999° 21,9780 25,9740
  - 5 0,9980 21,9560 25,9480
  - 6 0,997° 21,9340 25,9220
  - 7 °,99s9 2 r,9098 25,8934
  - 8 0,99*4 21,8108 25,7764
  - 9 0,9865 21,7080 25,6490
  - 10 0,9813 21,5886 25,5i38
  - 11 0,9758 21,4676 25,3708
  - 12 0,9700 21,3400 25,2200
  - i3 o,y638 2I,2o36 25,o588
  - 14 0,9573 21,0606 24,8898
  - i5 o,95o5 20,9110 24,7130
  - 16 0,9434 20,7548 24,5284
  - 17 0,9360 20,5920 24,336o
  - 18 0,9283 20,4226 24,i358
  - 19 0,9202 20,2444 23,9252
  - 20 0,9117 20,0574 23,7042
  - 21 0,9027 rg,8594 23,4702
  - 22 0,8932 i9,65°4 23,2232
  - 23 o,8832 19,4304 22,9632
  - 24 0,8727 *9,*99 22,6902
  - 25 0,8617 18,9574 22,4042
  - 3o 0,8025 i7,655o 2o,865o
  - 35 0,7044 15,4968 i8,3i44
  - 40 o,58i3 12,7886 i5,ii38
  - 45 0,4282 9,4204 1 i,ï332
  - 5o o,25oo 5,5ooo 6,5ooo
  - 60 o,o833 1,8326 2,i658
  - 70 0,0208 0,4576 0,5408
  - 80 0,0042 0,0924 0,1092
  - 9° 0,0007 0,0154 0,018a
  - 100 0,0001 0,0022 0,0026
  - Application.
  - HOHE der Hôlzer in Rücksicht aui ihre Grund- flàche. VEKHÂLTNISS ihrer Starke zu der eines cubischen Holzes. LA welche jede Quadra tragen Eichenes Holz. ST, tlinie der Grundflache kann. Tannenes Holz.
  - 1 1,0000 Kilogr. 22,0000 kilo. 26,0000
  - 2 1,0000 22,0000 26,0000
  - 3 °,9995 21,999° 25,9870
  - 4 0,999° 21,9780 24,9740
  - 5 0,9980 21,9560 25,9480
  - 6 °>997° 21,9340 25,9220
  - 7 °,9959 21,9098 25,8934
  - 8 0,99*4 21,8108 25,7764
  - 9 0,986 5 2i,7o3o 25,6490
  - 10 0,9813 2i,5886 25,5i38
  - 11 0,9758 21,4676 25,3708
  - 12 0,9700 21,8400 25,2200
  - i3 o,g638 21,2036 35,o588
  - i4 0,9573 21,8006 24,8898
  - i5 o,95o5 20,9110 24,7130
  - 16 . 0,9434 20,7548 24,5284
  - 17 0,9360 io,5oao 24,336o
  - 18 0,9283 20,4226 24,i358
  - 19 0,9202 20,2444 23,9252
  - 20 o>9II7 20,0574 23,7042
  - 21 0,9027 19,8594 23,4702
  - 22 0,8932 i9,65o4 23,2232
  - 23 o,8832 19,4304 22,9632
  - 24 0,8727 19^994 22,6902
  - 25 0,8617 18,9574 22,4042
  - 3o 0,8025 i7,655o 2o,865o
  - 35 0,7044 i5,4668 i8,3i44
  - 4o o,58i3 12,7886 i5,ii38
  - 45 0,4282 9,4204 11,1332
  - 5o 0,2600 5,5ooo 6,4000
  - 60 o,8o33 i,8326 2,i658
  - 70 0,0208 0,4576 0,5408
  - 80 0,0042 0,0924 0,1092
  - 9° 0,0007 o,oi54 0,0182
  - 100 0,0001 0,0022 0,0026
  - Anwendung.
  - HEIGHT STRENGTH BURTHEN
  - of the timber with regard to of the timber compared with tbat that can be borne by eacti square line in the base.
  - the base. of a cubic piece. ^ Oak. Fir.
  - Kilo. Kilo.
  - 1 1,0000 22,0000 26,0000
  - 2 1,0000 22,0000 26,0000
  - 3 0,9895 21,999° 25,9870
  - 4 °>999° 21,9780 25,9740
  - 5 0,9980 2i,g56o 25,9480
  - 6 0,997° 21,9340 25,9220
  - 7 °,9959 21,9098 25,8934
  - 8 o,99*4 21,8108 25,7764
  - 9 0,9865 21,7030 25,6490
  - 10 0,9813 21,5886 25,5i38
  - 11 0,9758 21,4676 25,3708
  - 12 0,9700 21,8400 25,2200
  - i3 0,9638 21,2036 25,o588
  - i4 0,9573 21,0606 24,8898
  - i5 o,g5o5 20,9110 24,7i3o
  - 16 0,9434 20,7548 24,5284
  - *7 0,9360 20,5920 24,336o
  - 18 0,9283 20,4226 24,i358
  - *9 0,9202 20,2444 23,9252
  - 20 20,0574 23,7042
  - 21 0,9027 19,8594 23,4702
  - 22 0,8932 i9,65o4 23,2232
  - 23 o,8832 19,4304 22,9632
  - 24 0,8727 *9,*994 22,6902
  - 25 0,8617 18,9574 22,4042
  - 3o 0,8025 i7,6550 2o,865o
  - 35 o,7o44 16,4968 18,2144
  - 40 o,58i3 12,7886 i5,1138
  - 45 0,4282 9,4204 ii,i332
  - 5o o,25oo 5,5ooo 6,5ooo
  - 60 o,o833 i,8326 2,i658
  - 70 0,0208 0,4576 0,5408
  - 80 0,0042 0,0924 0,1092
  - 9° 0,0007 o,oi54 0,0182
  - 100 0,0001 0,0022 0,0026
  - Application.
  - Pour connaître le poids que peut soutenir un poteau cornier de 8° sur 8° g0 ^ I2i.=96ii<r. d’équarrissage et de io?1, X 96 &
  - de hauteur, il faut cher- --------
  - cher le nombre de lignes
  - contenues dans la base : on __________^
  - trouvera................. 9216 lig. qu.
  - Will man das Gewicht ausmitteln, welches ein Eckpfosten von 8" ins Ge-vierse, und von 10 Fuss Hohe tragen kann, so muss man zuvor die Anzahl der Linien suchen, welche in seiner Grundflache enthal-ten sind : man findet so-dann......................
  - 8" X 12 = 96Lin. X 96
  - 5 76 864
  - 9216 Quadrl.
  - Il faut chercher aussi combien de fois la dimension , racine de la base, est contenue dans la hauteur : on trouvera..............
  - P»- P°-
  - IO X 12 =
  - P-
  - 120
  - 40
  - 8
  - i5 fois.
  - Ferner muss man suchen wie viel mal die Wurzel-Di-mension derGrundflâche in der Hohe enthalten ist : man findet sodann...........
  - F. Z. Z.
  - 10 X 12=120
  - 4o
  - i5mal.
  - Ayant vu dans la table, qu’à cette hauteur , une ligne quarrée de base peut soutenir un poids de 2okil. 911 ; on multipliera ce poids par le nombre de lignes quarrées que contient la base, et on trouvera que le poteau de 8 po- sur 8po et iopi- de hauteur peut soutenir.. ..................
  - kii.
  - 20,911
  - X 9216
  - 12 5466 20911 4182 2 188199
  - ig2ji5k776
  - Da sieh aus der Tabelle ergibt, dass bei dieser Hohe eine Quadratlinie der Grundflache ein Gewicht von 20 Kilogr. 911, tragen kann, so multiplicirt man dieses Gewicht mit der Anzahl der Quadratlinien , welche in der Grundflache enthalten sind, man findet sodann dass der Pfosten von 8" zu 8 und 10 Fuss Hohe, tragen kann ......
  - Kil.
  - 20,911
  - X 9216
  - 12 5 466 20 9 11 418 2 2 188199
  - 192715,776
  - In order to know the weight that can be borne bv a square Corner -post _.
  - J ^ v 8in- x i2l = q6
  - X96
  - 8 in- by 8 in and 10f high , the number of lines con-tained in the base is to be sought, and it shall be......................
  - 576
  - 864
  - 9216 sq. 1.
  - One must seek also how many times the dimension constituting the root of the base is contained in the height ; the resuit shall be.
  - f.
  - 10 X
  - 12
  - 120
  - 40
  - times.
  - It may be seen in the fore-going table that,at theabove height, a square line of the base can support a weight of 2o,kil 9ii: this weight must be multiplied by the number of square lines contained in the base , and it shall be found that the Post of 8‘n by 8in and iof high , can bear..............
  - kil.
  - X
  - 20,911
  - 9216
  - 12 5 466 20 9 I I 41822 188199
  - 192715,776
  - Pour connaître le poids que peut soutenir un autre poteau de même hauteur, mais de 8° sur 90 d’équarrissage, on cherchera comme précédemment le nombre des lignes quarrées de la base qui est..........
  - po. lig.
  - 9 x 12 = 108
  - po- lig-
  - 8 X 12 = 96
  - 648
  - 972
  - io368 lig. qu.
  - Will man die Last be-stimmen, welche ein ande-rer Pfosten von derselben Hohe , allein von 8 bis 9" ins Gevierte tragen kann, so sucht man wie vorste-hend die in der Grundflà-che enthaltene Anzahl der Quadratlinien, und man findet.......................
  - z. L.
  - 9 X 12 = 108 z L.
  - 8 X 12= 96 #
  - 648
  - 972
  - In order to know the weight that can be borne by another Post of the same height, but 8in- by 9in- square, one must seek, as in the pre-ceding examples, the number of square lignes contained in the base, which shall be.......................
  - ia. 1.
  - 9 x 12
  - in. L
  - 8 x 12
  - 648
  - 972
  - io368 sq. 1.
  - io368 Quadl.
- p.22 - vue 34/390
- - La dimension, racine de cette base, ou le côté du quarré qui serait équivalent à cette base, est ioillg , 82 racine de io368.
  - io3681(iu-
  - 101,82
  - o368
  - 16700
  - 47600
  - 201
  - 2028
  - 2û3Ô2
  - Le nombre de fois que cette dimension est contenue dans la hauteur est. .
  - pi. po.
  - 10X 12:
  - po. lig.
  - :i20 XI2= 144° 42l8o l452
  - 101,82
  - i4
  - Pour cette hauteur, la table indiquant que chaque ligne quarrée peut soutenir environ 21 kil ,06 il faudrait multiplier 2ikil ,o6 par io368 lig ^ , si la base de la pièce était quarrée.
  - Mais comme elle est méplate , et que le rapport de la petite dimension à la grande est £ =0,88888888, dont la racine quarrée est 0,9428 ; il faut d’abord réduire la base en la multipliant par cette fraction ; ce qui donne 9,774Hg >9^, valeur de la base d’une pièce de bois quarrée aussi forte que celle proposée....
  - 0,88888888 | 0,9428
  - 788 184
  - 5288 1882
  - 152488 1884
  - 1 o 368 <b94a8 82944
  - 20786
  - 41472
  - 933i2
  - ........ 9774,95
  - Il n’est donc plus question 976*4 85
  - que de multiplier 2ikll ,o6 x 21,06
  - par ce dernier nombre, et 535891 o"
  - l’on trouvera que la pièce 9764850
  - de dix pieds de hauteur sur 1952970
  - 8p0, et gP°- peut soutenir....... 205647,74
  - Les figures de la planche i5 représentent douze sortes de cloisons intérieures, portant planchers différemment combinés : ces figures et la notation ( 92 ) étant suffisantes , tous les autres détails seraient superflus.
  - 95. La Fig. 1 de la Planche 16 est un pan de bois exécuté dans un hôtel au Marais, par Mazet, charpentier, lequel a conservé dessous, une très-grande ouverture de remise en établissant deux moises a, b, Fig. 1 et 3 , formant poitrail, renforcé par deux esseliers, g, b; au-dessus, une croix de Saint - André, cd, entre deux poteaux de fond K, K; et un deuxième cours de moises ef. La Fig. 3, qui est une coupe prise sur la ligne al), Fig. 1, indique les sections desdites pièces. ( M. Carsten, professeur allemand, nomme cette sorte de construction soupente). La Fig. 2 est une coupe entière du pan de bois et des bouts de planchers qu’il soutient.
  - 96. La Fig. 8 est aussi un pan de bois exécuté dans une brasserie au Marais, par M. Sevlinge, charpentier. Il a aussi établi deux moises horizontales pour conserver de même une grande ouverture ,• deux esseliers y sont appliqués comme dans l’exemple précédent ; et une courbe composée de quatre épaisseurs de planches, soutient à son sommet l’appui des croisées du premier étage : en ses flancs , elle moise les deux poteaux de fond, K, K, et les deux grandes décharges Q, Q. La Fig. 5 est une coupe prise sur la ligne ef,de la Fig. 8 : elle montre les sections des deux moises et le boulon qui les retient au poteau. La Fig. 7 est une coupe prise sur c d : elle montre les quatre épaisseurs de planches de la courbe et le boulon. Les Fig. 4 et 6 indiquent les abouts des planches de la face et de la contre-face sur le poteau du milieu. La Fig. 9 est aussi une coupe sur toute la hauteur du pan de bois, et où l’on voit les bouts des planchers.
  - 97. Les Fig. 1, 2 et 4 de la PI. 17, étant des exemples d’applications de tout ce qui précède, elles n’ont pas besoin d’explication écrite. Les Fig. 3 et 5 sont des coupes sur toute la hauteur des pans de bois, et les profils des égouts des combles.
  - ( 23 )
  - Die Wurzel - Dimension dieser Grundflache , oder die Seite des Quadrats , welche dieser Grundflache gleich seyn wiirde, betragt 101 Linien, 82,Wurzel von io368.
  - io368 Quaarl-
  - o368 16700
  - 47600
  - 101,82
  - 201
  - 2028
  - 20862
  - DieAnzahlwie
  - viel maldieseDi-10 x 12^:120 X 12= i44° mension in der 42180
  - Hohe enthalten 14^2
  - ist, betragt...........................
  - 101,82
  - i4
  - Da die Tabelle anzeigt, dass für diese Hohe eine jede Quadratlinie ohngefahr 21 Kil., 06 tragen kann, so müsste man, wenn die Grundflache des Holzes quadratformig w'âre, eigentlich 21 Kil., 06 mit io368 Quadratlinien multipliciren.
  - Da dieselbe aber halb
  - flach ist, und da ferner das 0,88888888 j o,942& Verhâltniss der kleinen Dimension zu grossen f =
  - 0,88888888, betragt, des-sen Quadratwurzel 0,9428 ist ; so muss man zuforderst die Grundflache dadurch reduciren, dass man sie mit diesem Bruche multiplicirt; man erh'âlt darauf 9774 Lin.
  - 95, als Summe der Grundflache eines viereckigen und eben so starken Holzes als das aufgegebene...........
  - Es kommt also nur noch darauf an, 21 Kil., 06 mit dieser lezten Anzahl zu multipliciren, woraus sich ergibt, dass das Holz von 10 Fuss Hohe, und 8 bis 9” ins Gevierte tragen kann. .
  - Die in der XV. Tabelle enthaltenen Figuren stel-len zwolf Arten von innern Riegelwànden vor, welche verschiedentlich zusammengesetzte Gebàlke tragen. Da diese Figuren sowohl als der Text (92) ge-niigen, so ist jede weitereBeschreibung überflüssig.
  - 95. Die 1. Figur in der XVLTabelle, ist eine Holzwand, welche der Zimmermeister Mazet in einem Hôtel im Stadtviertel Le Marais aufgeführt hat;unten ist eine sehr grosse Einfahrts-Oeffnung vermittelst der beiden Bander a b, Fig. 1 und 3, welche den Sturz bilden, angebracht. Diese Oeff-nung wird durch die beiden Tragbander g h, ver-starkt; dariiber befindet sich zwischen den beiden Grundpfosten K, K, das Andreas-Kreuz c d, so wie die beiden andern Bander a f. Die 3. Fig., stellt einen allgemeinen , von der Linie a b , Fig. 1 , ge-nommenen Durchschnitt dar, und cnthalt die ein-zelnen Durchsehnitte von gedachten Holzern. (Der deutsche Professor Karsten nennt diese Art von Verbindungen Sprengwerke.) Die 2. Fig. enthalt den Gesammt-Durchschnitt von der ganzen Holzwand und den Gebalken, welche sie tragt.
  - 96. Die 8. Fig. stellt eine andere Holzwand vor,welche der Zimmermeister Sevlinge in einer Brauerei, au Marais, erbaut ha t. Audi hier sind zu einer grossen Oeffnung zwei horizontale Bander, wie im vorigen Falle , angewendet worden ; so wie auch die obge-dachten beidenTragbanderhierebenfalls angebracht worden sind. Ein aus vier Bohlendicken zusam-mengesetzter Bogen tragt mit seiner obéra Seite die Fensterbanke im ersten Stockwerke; an seinen beiden Seiten ist derselbe mit den Grundpfosten K, K, und mit den beiden grossen Streben Q, Q, verbun-den. Der Durchschnitt in der 5. Fig. ist von der Linie ef, in der 8. Fig. genommen : man sieht da-selbst die besondern Durchsehnitte der beiden Bander , und die Schraube, mit welcher sie an den Pfosten befestigt werden. Die Fig. 7 ist ein Durch-schuitt von c d : wir sehen darinn die vier Bohlendicken des Bogens, so wie die Schraube. Die Fig. 4 und 6 stellen die Enden der Bohlen an der Vorder-und Hinterseite iiber den in der Mitte stehenden Pfosten vor. Die 9. Fig. ist wiederum ein Durchschnitt von der Hohe der ganzen Holzwand und von einem Theile des Gebâlkes.
  - 97. Da die Fig. 1 , 2 und 4 b* der XVII. Tabelle bloss die Anwendung vorstehender Beschreibungen enthalten, so wâre jede weitere Erklarung derselben überflüssig. Die Fig. 3 und 5 zeigen die Durchsehnitte von der Hohe der Holzwande, so wie die Profile von einem Theile des Daches.
  - 788 184
  - 5288 1882
  - 152488 1884
  - 1 o 368 0,9428
  - 82944
  - 20736 41472 9331 2
  - 9774,95
  - Kil.
  - 9764,85
  - X 21,06
  - 585891 o 9764850
  - I9^297°
  - on^fîArr. n/i
  - The dimension constitu-
  - ting the root of that base, or the side of the square which would be equipollent to that base is 101,1 82 which is the root of io368.
  - io368s<I 1
  - o368
  - 16700
  - 47600
  - 101,82
  - 201
  - 2028
  - 20862
  - The number
  - of ti mes that di- jqXI2- in. 1. =120X12= r 44°| t° t ,82 42180I
  - mension iscon-
  - tained in the i452
  - height is |i4
  - The table showing that, at the above height, each square line can bear 2i,kilo6, that number must be multiplied by 10878 sq. 1. if the piece is square.
  - But the présent piece being Jlat - like ( méplate ), the différence between the smaller dimension and the largerbeing|=o,88888888, the square root of which is 0,9428 ; the base must first be reduced, in multiply ing it by the above fraction , whichgives9774,1-95, being the sum of the base of a square piece of timber equal to the one proposed here. .
  - 0,88888888 |o,9428
  - 788 184
  - 5a88 1882
  - 152488 1884
  - 1 o368 _______Q?94a8
  - 82944
  - 20736
  - 41472
  - 93312
  - ........ 9774,9$
  - This last number must then be multiplied by 2i,kilo6, and it will be found that the piece 10f high, and 8 in by 9 in , can bear......................
  - 9764,85
  - X 21,06
  - 5858910
  - 9764850
  - I95297°
  - 2o5647,74
  - ine ngures ot the plate i5 represent twelve sorts of internai partitions, bearing floors variously combined : those figures and the annotation (92) being sufficient, every further detail would be superfluous.
  - 95. The Fig. 1, PI. 16, is a Plastered-wall executed in a house in the Marais, by Mr .Mazet, Carpenter, who has reserved in the under part a very large aperture for a coach-house, by the establishment of two binding-pieces a, b, Fig. 1 and 3, forming a Bressummer, reenforced by two braces, g, h • above that is a St. Andrews Cross c, d, between two ground posts (de fond) K K, and a second range of binding-pieces e f. The Fig. 3. which is a section taken on the line a b, Fig. 1, indieates the sections of the above pièces. Mr Carsten, a german Professor, calls that sort of construction (soupente) loft. The Fig. 2, is a whole draught of the plaste-red - wall, and of the ends of the floors which it bears.
  - 96. The Fig. 8. is also a plastered-wall executed in a Brew-house in the Marais, by Mr Sevlinge , Carpenter. He has likewise established two horizontal binding-pieces in order to reserve a large aperture ; two braces hâve also been applied as in the preceding example ; and a curve , composed of four thick boards, bears at its summit the support of the Windows of the first story : on the sides, it binds the two ground posts, K, K, and the two large braces or bearers Q, Q. The Fig. 5, is a section taken on the line e f of the Fig. 8 : it shows the sections of the two binding-pieces, and the boit that keeps them fast to the post. The Fig. 7 is a section taken on cd : it shows the four thick-nesses of the boards of the curve, and the boit. The Fig. 4 and 6 indicate the abutments of the boards of the face and counter-face in the middle post. The Fig. 9, is also a section on the whole height of the plastered-wall, and where the ends of the floors are seen.
  - 97. The Fig. 1, 2 and 4, in PL 17, being examples of applications of ail that which précédés, need no written élucidation.
  - The Fig. 3 and 5, are sections of the whole height of the plastered-walls, and the profiles of the eaves of the roofs.
  - 4.
- p.23 - vue 35/390
- - t
  - Sectiop VII.
  - ( a4)
  - cHd^ac&imU^ VII.
  - «Section VII.
  - Des Planchers.
  - La réunion de plusieurs pièces de bois équarries, avec ou sans assemblages, placées dans une disposition horizontale pour séparer les étages, et couvrant les parties non voûtées d’un bâtiment , prend généralement le nom de plancher: mais pour achever cette sorte de construction séparative d’étages, il faut des accessoires aux bois de charpente.
  - Dans le langage des constructeurs, le mot plancher a une acception plus étendue que celle d’indiquer l’ouvrage du charpentier.
  - Les diverses menuiseries qu’on place sur la surface supérieure, prennent aussi le nom de plancher, ire section (26) : on l’appelle plancher ordinaire, quand il est composé de planches entières, Fig. 5, 8, 12 et 16, PL 18 ; et plancher de frise, quand les planches sont étroites : mais les bâtis, remplis de petits panneaux prennent le nom de parquet, PL 20, Fig. 2.
  - Le maçon nomme aussi planchers, les ouvrages qu’il applique à la charpente ; quand les espaces des solives sont remplis en brique ou en plâtras , il nomme cette construction plancher hourdéplein, PL 18, Fig. 3 et 4- Quand ces espaces n’ont que de petits plafonds qui ne font pas disparaître les solives, il les nomme plancher a entrevoux, quand la surface inférieure est recouverte d’un lattis crépi en plâtre ou en chaux, elle prend le nom de plafond. Pl. 18, Fig. 11 et i5 ; Pl. 19, Fig. 6 et 8.
  - Les surfaces supérieures des planchers de charpente sont aussi recouvertes parfois de pièces de terre cuite de différentes formes ; cette construction est nommée carrelage.
  - Les praticiens nomment aussi carrelage, les pavements en pierre ou en marbre mince, qui, comme les carreaux de terre cuite, recouvrent aussi des planchers de charpente.
  - 98. Comme pour les pans de bois (6e Section), les praticiens ont aussi donné des noms particuliers à chacune des pièces qui entrent dans les diverses combinaisons des planchers.
  - Ils appellent poutre les grosses pièces A A , Pl. 24, Fig. 2 et 8 ; poutre armée, celles B B, PL 23, Fig. 1 et 2 ; poutre servant de tiran, celles A I — AI, PL 12 et 14. Les pièces plus faibles que les poutres sont nommées poutrelles ou filets P P, Pl. 19, Fig. 1 et 3.
  - Les solives sont encore plus faibles : mais on ajoute un adjectif à celte dernière sorte, parce qu elle remplit plusieurs fonctions distinctes. Celles qui sont à scellement aux deux bouts se nomment solives sans assemblages, J J, Pl. 18, Fig. 3,10 et 14, et les divers ouvrages s’appellent collectivement solivage.
  - Celles avec assemblage à un bout et scellement à l’autre KK, Pl. 19, Fig. 5 et 7 ; ou avec assemblage aux deux bouts K K, Pl. 23, Fig. 7 et 8 , solives de remplissage. Celles qui participent au treillis des cheminées, HH, PL 19 , Fig. 5 et 7, solives d’enchevêtrure, parce qu’elles reçoivent les assemblages de la pièce du treillis nommée chevêtre F, Pl. 19, Fig. 5. Il y a aussi des solives en bascule: ces dernières appartiennent assez ordinairement au plancher d’une pièce attenant à la cage de l’escalier, et se projettent dans l’intérieur de ladite cage, pour supporter quelques-unes des pièces de l’escalier ; son effet peut être comparé au levier de la première classe. On désigne aussi par solive de brin, celle qui est prise dans un petit corps d’arbre ; solive de sciage, celle qui est débitée à la scie ; et solive refendue, celle qui est ouverte ou séparée en deux au moyen d’un trait de scie.
  - Le faux chevêtre E, Pl. 19, Fig. 5 et 7, est placé en remplissage entre un mur et un chevêtre ; la lambourde C C , Pl. 23, Fig, 1, est une faible pièce soutenue par des corbeaux en pierre ou en fer, qui sont en saillie sur le nu du mur ; elle porte le bout des solives, qui ne projettent pas de scellement dans le mur ; on l’applique aussi aux poutres pour
  - Von den Decken unb Gebaelken.
  - Gebâlk heisst in der allgemeinen Bedeutung des Wortes die Vereinigung mehrerer viereckiger allein stehender oder mit andern verbundener horizon-taler Holzer, welche die Stockwerke von einander sondern, und die nicht gewolbten Theile eines Gebâudes überkleiden. Die gânzliche Vollendung eines Gebâlkes erfordert aber ausser jenen Zim-merholzern noch mehrere andere accessorische Zu-behorungen.
  - In der Praxis versteht man unter dem Worte Decke nicht bloss die Zimmerarbeit, sondern man verbindet damit vielmehr noch eine ausgedehntere Bedeutung.
  - Die Tischlerarbeit, welche an den Balken an-gebracht wird , heisst nâmlich ebenfalls Decke ( Abschnitt I, Nr 26). Man nennt alsdann Ge-wohnliche Decke diejenige , welche aus ganzen Bretern besteht ; man sehe Fig. 5, 8, 12 und 16, Tab. 18. Friessdecke heisst sie dann , wenn die Breter kurz sind. Getâfelte Decken oder Parkets werden endlich diejenigen genannt, welche aus Tafelwerk oder kleinen Feldern zusammengesetzt sind.
  - Die an dem Gebâlke angebrachte Maurerarbeit wird ebenfalls Decke genannt. Ist der Raum zwi-schen den Balken mit Mauerziegeln, Gyps oder Kalk ausgefiillt, so nennt man es eine grob be-worfne Decke. Ist dieser Raum dergestalt ausge-füllt , dass die Balken sichtbar bleiben, dann wird es ein eingeschlürtes Gebâlk genannt. Ist die untere Seite der Balken mit Bretern oder Latten belegt, und sind diese Breter oder Latten mit Kalk oder Gyps iiberzogen , so nennt man es eine Gyps-' Decke , Plafond.
  - Die obéré Seite des Fussbodens wird bisweilen mit verschiedentlich gestalteten Mauerziegeln oder Backsteinen belegt, welche Zxegelplatten genannt werden. Bisweilen sindt diese Platten oder Tafeln, mit welchen die Fussboden belegt werden, aus Stein oder Marmor.
  - 98. In der Praxis werden auch die einzelnen Holzer (Abschnitt VI), aus welchen die Gebâlke zusammengesetzt werden, mit besondern Namen belegt.
  - Balken nennt man die grossen Holzer A A, Tab. XXIV, Fig. 2 und 8. Die Holzer B B, Fig. 1 und 2 , Tab. XXIII, heissen mit Eisen verbundene Balken. Bundbalken endlich nennt man die Balken AI AI, Tab. XII und XIV. Hauptwechsel sind PP, Fig. 1 und 3, Tab. XIX. Die kleinern Wech-sel (Solives) sind noch schwâcher ; man fügt zu ihnen ein Beiwort um ihre verschiedenen Besiimmungen anzudeuten. J, J, Fig. 3, 10 und 14, Tab. XVIII sind Balken ( Solives sans assemblages), welche auf der Mauer aufliegen. K, K, Fig. 5 und 7,Tab. XIX, sind Slichbalken (Solives avec assemblage), welche mit einem Ende in die Hauptbalken eingelocht sind , und mit dem andern Ende auf der Mauer oder Wand aufliegen. H, H, Fig. 5 und 7, Tab. XIX, sind Balken (Solives d'enchevêtrure'), welche bis an die Kaminoffnung gehen, und worein der Kamin-weehsel F, Fig. 5, Tab. XIX, nach Erforderniss der Kamingrosse eingesetzt wird. Noch gibt es Balken, welche oft zur Unterstiitung der Stiegen angewendet, und Solives en bascule genannt werden. Solives de brin nennt man die Balken , welche aus einem jungen Baume gehauen worden sind. Solives de sciage sind geschnittne Balken, so wie endlich Solives refendues diejenigen genannt werden, welche an beiden Enden eingesâgt, und sodann durch Keile aus einander gespreugt worden sind.
  - Der Wechsel E , Fig. 5 und 7,Tab. XIX, ist nahe an der Mauer angebracht, und in die Balken H, eingesetzt. Der Auflagsbalken GC, Fig. 1 und 4, Tab. XXIII, ist ein schwâcher Balken, und ruht auf den steinernen oder eisernen Kragsteinen, welche an der Mauer hervorragen. Auf diesen Balken lie-gen die Enden der kleinern Balken , die nicht in die Mauer eingesetzt sind, auf ; auch wird er oft bei grossen Balken angewendet, wo er ebenfalls die Enden der kleinen Balken trâgt. Backenbalken
  - Of Floors.
  - The reunion of several squared pièces of timber, either with or without Assemblages, horizon-tally placed to divide the stories, and covering such parts of a building as are not vaulted, gene-rally assume the name of Floor ; but in order to perfect that sort of construction which divides the stories, accessary parts must be added to the pièces of timber that are made use of.
  - In the style of Builders, the word Floor has a more extensive acceptation, and it does not me-rely relate to the work executed by the Carpenter.
  - The various Joiner’s works which are placed on the .upper surface , assume likewise the name of floor, Section I (26). It goes by the name of Com-mon foor, when it is composed of entire boards, as in Fig. 5, 8, 12 and 16, Pl. 18 : and is named Friezefloor, when the boards are narrow. When the floor is composed of a number of little pannels, it is called lnlaidfloor, (Parquet) , Pl. 20 , Fig. 2.
  - Masons also call Floor the works they apply to a timber frame ,• when the spaces between the joists are filled up either with bricks or rubbish , they name it Rough-worked-floor ; when the spaces form various narrow ceilings without the joists been covered over, the usual appellation is Entrevoux-floor ; and when the inferior surface is covered with a lathing pargetted either with plaster or slack lime, it assumes the name of Ceiling. Pl. 18, Fig. n and if) ; Pl. 19, Fig. 6 and 8.
  - The superior surfaces of the timber-work in floors are also sometimes covered over with tiles of burnt clay of various forms : that sort of Pavement is named in french Carrelage.
  - Practitioners give likewise the name of Carrelage to pavements made with broad thin pièces of stone or marble, when used instead of tiles as above, to cover the timber-work of floors.
  - 98. It has already been seen in Section VI en* titled, of Plastered-walls, thaï Practitioners hâve given peculiar names to each piece of timber ; so they hâve here to ail the pièces used in the combination of floors.
  - They call Beams the largest pièces AA, PL 24, Fig. 2 and 8 ; Iron-belted- beams , the pièces BB, PL 23 , Fig. 1 and 2 ; Collar-beams, the pièces AI AI, PL 12 and 14. The pièces somewhat weaker than the Beams are called Girders or small Beams, P P , Pl. 19 , Fig. 1 and 3.
  - The Joists are still smaller, and a proper qualification is added to them in order to point out the different functions they are to fill up.
  - Those that are sealed at both ends are named Joists without assemblages, J J , PL 18, Fig. 3,10 and 14. and the work is collectively called Joisting.
  - Those that hâve an assemblage at one end and that are sealed at the other, K K, Pl. 19, Fig. 5 and 7, or that hâve an assemblage at both ends, KK, PL 23, Fig. 7 and 8,are called Filling up Joists, (de remplissage).
  - Those that are used as Trellis or Cross - bars of chimnies H H, Pl. 19 , Fig. 5 and 7 , are named trim-mers, because they receive the Assemblages of the piece of the trellis named binding-joist, F, Pl. 19, Fig. 5.
  - When this last mentioned piece, by a peculiar combination, receives the assemblage of the joists, it then assumes the name of oblique joist (solive boiteuse ).
  - There is also another sort called Swipe-joist,, (en bascule); tbese joists generally belong to the floor of a room contiguous to the cage of the stair-case, and projecting into the interior of that cage, to bear some of the pièces of the said stair-case ; its effect may be compared to a Lever of the first order.
  - What is meant by Solive de brin, is a Joist made with a young tree ; another sort, when smoothed by means of a pit-saw, is called solive de sciage ; but when it is eut asunder with a kerf, it goes by the name of Solive refendue.
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- - porter de même le bout des solives ; et quand une j de ses faces est inclinée à cause de l’assemblage choisi, des solives, on la dit lambourde chaulatée dd, PI. 24) Fig. 5. Les lambourdes sur corbeaux s’exécutent rarement, parce que le plus souvent elles sont apparentes sous le plancher : on préfère les linçoirs, pièces placées le long des murs, et qui, comme les chevêtres, reçoivent les assemblages des bouts des solives qui n’ont pas de scellement. Le soliveau MM est un petit morceau de bois qui ordinairement remplit des vides en renfoncement dans quelque mur ou tuyau de cheminée.
  - N
  - 99. Principe. Les pièces de bois des planchers, soit poutres, soit solives, doivent avoir assez de résistance pour soutenir, outre leurs poids, celui de leurs accessoires et de l’ameublement qu’ils devront porter, ainsi que pour résister encore aux chocs qu’ils devront recevoir des personnes qui l’habitent, et qui, quelquefois, s’y réunissent pour travailler, fabriquer, ou pour tout autre exercice. Tous les bois qu’on emploie aux planchers doivent avoir une texture serrée, être sains, de droit fil, exempts de défauts, et avoir été coupés en bonne saison ; il faut que la sève soit évaporée avant leur mise en œuvre , principalement quand ils sont enfermés dans un plafond. (*) Les poutres , solives, linçoirs , chevêtres, etc., doivent avoir des grosseurs proportionnées à leurs longueurs et aux fardeaux qu’ils ont à soutenir. Les assemblages doivent aussi être choisis et appliqués d’après les considérations de la disposition desdits bois. Pour empêcher les bouts des poutres de pourrir par l’effet de l’humidité des murs et l’action du mortier de chaux, on les garnit de plomb laminé ; dans quelques pays on se contente de les envelopper d’argile.
  - 100. Bullet a fixé, selon leur portée, les grosseurs des solives et leur écartement comme il suit :
  - Solives Lon- gueurs. Gros- seurs. Espace- ment.
  - de sciage aux travées depuis 9 pi. jusqu’à I>i. i5 18 po. po. 5 à 7 6— 81 po. 6
  - i 8 — 9 ) 8
  - de brin. 2 5 9— I°| 10 — II
  - ï
  - Les pièces de bois les plus fortes seront préférées pour les solives d’enchevêtrure.
  - 101. Les planchers sont toujours posés de niveau. Il est évidemment reconnu que la situation horizontale est le minimum de la résistance des pièces de bois dont les deux bouts sont soutenus par des appuis. Les pièces de bois de toutes grosseurs ont un terme de résistance : dans des cas, elles pourront soutenir un très-grand fardeau ; et, dans d’autres, elles se suffiront seulement à elles-mêmes, et ne sont plus susceptibles de supporter aucune charge sans rompre. Leur dimension de longueur seule peut produire ces deux cas ; en faisant même abstraction des qualités accidentelles, qui peuvent résulter de celle de l’individu dont proviennent les pièces de bois que l’on examine, et, se bornant au chêne de moyenne force, un très-grand nombre d’expériences a fait connaître les circonstances d’où dépend la force avec laquelle les pièces de bois résistent à leur rupture.
  - i° La force nécessaire pour rompre une pièce de bois est directement proportionnelle à la largeur horizontale de la pièce ; et l’on conçoit effective-
  - (*) Réglement de police. On ne doit jamais introduire de vieux bois dans les planchers.
  - Le bois des planchers ne doit jamais pénétrer sous les litres des cheminées.
  - ( ^5)
  - d, d, Fig. 5, Tab. XXIV ( Lambourde chaulatée ), *wird er dann genannt, wenn wegen der besondern Zusammensetzung der kleinen Balken eine von sei-nen Seiten mit schragen Backen versehen ist. Da die Stützbalken , welche auf Kragsteinen ruhen, ge-wohnlich sichtbar an der Decke sind, so werden sie nur selten angewendet; man wahlt dafür lieber die Linçoirs; diese gehen lang an der Mauer hin und tragen wie jene die Enden der kleinern Balken , die nicht in die Mauer aingesetzt sind. M M ist ein kleines Holz, welches gewbhnlich dazu dient um Vertiefungen bei gewissen Mauern und Kami-nen auszufüllen.
  - 99. Bemerkung. Das Gebalke muss stark genug seyn um nicht nur sein eignes Gewicht nebst Zube-hor, sondern auch die darauf zu setzenden Ge-râthschaften und Mobilien tragen, und jeder ge-waltsamen Bewegung der darauf wohnenden und arbeitenden , oder sich auf diese oder jene Art beschàftigenden Personen widerstehen zu konnen. Diesem zufolge muss jedes zu Geb'âlken bestimmte Bauholz von dichten, gesunden und geradeuFasern, und überhaupt ganz fehlerfrei seyn; das Fallen des-selben muss ferner in der gehorigen Jahreszeit Statt gehabt haben ; auch muss es schon vor der Behau-ung vollig trocken seyn, welches vorzüglich dann nothwendig ist, wenn dasselbe von der Decke ganz-lich eingeschlossen wird (*). Die Dicke der Balken aller Art muss endlich ihrer Lange und der zu tra-genden Last angemessen seyn ; auch miissen die übrigen zu den Balken gehorigen Zusainmenset-zungen mit denselben in gehorigem Verhàltnisse stehen.Um die Enden der Balken gegen Faulniss, welche der Mortel und die Feuchtigkeit der Mauern erzeugen kann, zu sichern, so bedeckt man die-selben mit Bleiplatten ; in einigen Gegenden über-zieht man sie bloss mit Thon.
  - 100. Der Baumeister Bullet hat die Lange, die Dicke und den Absfand der kleinern Balken {Solives) folgendergestalt bestimmt :
  - Balken. Lange. Dicke. Abstand.
  - Geschnit- tene. in den Zwiscnrâumen 9 bis Fuss. i5 18 Zoll. 5 bis 7 ' 6— 8 i 8— 9 9— 1°| Zoll. 6
  - Aus jnngen Bàumtn (*5o- ' lives de brin) ,
  - 24 bis .. . 25
  - IO#—11
  - 27
  - Zu den Kaminwechseln schickt sich sehr festes Holz am besten.
  - loi. Die Lage der Balken ist jederzeit horizontal ; die horizontale Lage ist aber bei Holzern , welche bloss an ihren beiden Enden einen Stütz-oder Ruhepunkt haben, zum Widerstande am we-nigsten schicklich. Nacli Verhâltniss ihrer Dicke konnen die Holzer bis auf einen gewissen Grad Widerstand leisten. Bisweilen konnen dieselben sehr grosse Lasten tragen ; bisweilen aber bringt sie auch schon eine geringe Last zum Biegen oder Brechen. Die Verschiedenheil ihrer Lange allein bringt jene Eigenschaft hervor, und zwar ohne hierbei auf die besondern Eigenschaften des Baumes Rücksicht zu nehrnen, von welchem das frag-liche Holz genommen ist; und wenn selbiges auch nur z. B. von einer mittelmassig starken Eiche her-rührte, so weiss man doch aus vielfaltig angestell-ten Versuchen wie unter gewissen Umstânden die Kraft und der Widerstand des Holzes vermehrt werden kann.
  - i° Die Kraft, welche ein Holz znm Brechen bringt, steht mit der horizontalen Breite desselben in unmittelbarem Verhaltnisse; wenn man diesem
  - (*) Einer Polizeiverordnung in Frankreich zufolge darf kein altes Holz zu Gebâlken angewendet werden ; auch dürfen keine Balken in die Kamine und Schorn-steine hinein gehen.
  - The second binding joists E, PI. 19, Fig. 5 and y , is placed to fill np a space between a wall and a binding joist.
  - The Juffer G C, PI. 23, Fig. 1, is a weak piece of timber supported by Corbels either of stone or iron, that jut out on the naked of a wall ; it bears the end of the joists which are not sealed in the wall, it is also sometimes applied to Beams placed for the purpose of bearing the end of the joists ; and when one of ils sides is inclined on account of the Assemblage adopted for the joists, it is called Chant-latedjuffer y d d, PI. 24, Fig. 5.
  - Juffers laid on corbels are seldom used, because for the most part they are apparent under the floor, beams called (linçoirs) are preferred ; these are pièces of timber placed along the walls ; and in the same manner as the binding joists, they receive the assemblages at the end of such joists as are not sealed. The small joist MM, is a slender piece of timber which commonly fills up empty spaces is-suing either in a wall or in the flue of a chimney.
  - Set rule. The pièces of timber in floors, let them be beams, or joists, oug.bt to bave résistance enough to be able to bear, besides their own weight, that of their accessary parts and also the furniture that inay be laid on them ; and likewise an overplus in order to be able to resist the shocks they may chance to receive from the persons who dwell in the place, or who assemble to work there or exercise any trade or profession. Ail the pièces of timber employed in floors must be of a close texture, be Sound, with a straight grain, free from defeets , and they must hâve been felled in the proper sea-son ; the sap must hâve had sufficient time to eva-porate before they are worked, especially when they are to be shut up by a ceiling (*).
  - The beams, the joists, the binding joists , etc., must be of a tbickness and lengbt proportionable to the burthens they hâve to bear. The assemblages must be chosen and applied agreeable to the disposition of the said pièces. In order to prevent the rotting of the ends of Beams through the effect of the moisture of the walls, or tbe reaction of the mortar made with slack lime, they are lined with laminated lead, and in some countries the custom is merely to smear them with clay.
  - 100. Mr. Bullet has regulated the thickness the joists are to hâve, in proportion to their lenght and their distance from one another ; the statement runs as follows :
  - Joists. Length Thick- ness. Spa- cïng.
  - Saved Joisi». In the Bays from 9 feet, to, foot. 15 inch. inch. 5 à 7^ inch. 1 6
  - Small trees 18 21 6 — 8 8 — 9 8
  - a°. From 24 to. . . . a5 27 9 — toi 10 —11y 1
  - The strongest pièces are preferred to be used as Trimmers.
  - 101. The floors are always laid level,and it is evidently known that the horizontal position is the minimum of the résistance of the pièces of timber whose both ends are supported by bearers. The pièces of timber of any length hâve a term of résistance : in some cases they are capable of supporting a very great burthen ; in other cases they can bear no sort of burthen without being liable to break. These two cases are only owing to the dimension of their length ; laying aside the accidentai qualifies that may artse from the tree out of which the pièces of timber hâve been taken, and in limiting our remarks to an oak of a middling size, a great number of experiments has evinced the various circumstances on which dépends the strength with which the pièces of timber can resist without being exposed to a rupture.
  - i° The force necessary to break a piece of timber is directly proportional to the hoiizontal breadth of the said piece, and it may easily be conceived
  - (*) By ordre of the Police, no piece of old timber is ever allowed to be used in floors.
  - The wooden parts of the floors are never permitted to penetrate under the hearths of chimnies.
  - 7
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- - ment que, s’il faut une certaine force pour rompre une pièce de bois d’une longueur, d’une épaisseur et d’une largeur déterminées, il faudra une force double pour en rompre une de même longueur et de même épaisseur, mais de largeur double ; puisqu’il faudrait une force ainsi double pour rompre deux pièces pareilles à la première , et que la deuxième, ayant une largeur double, et mêmes dimensions d’ailleurs, est évidemment équivalente à deux pièces qui seraient chacune égales à la première.
  - On conçoit au reste que la réunion de ces deux pièces en une seule n’augmente pas leur force, puisque leur réunion ne les rend ni plus ni moins flexibles quelles ne le seraient isolément, et que c’est de la flexibilité que dépend le degré de force nécessaire pour opérer la rupture. C’est donc la largeur simple de la pièce qui doit entrer comme élément dans l’expression de la force.
  - 2° Cette force dépend aussi directement de la dimension verticale de la pièce : car on conçoit de même que plusieurs pièces semblables, placées l’une sur l’autre, opposeraient à leur rupture une résistance proportionnée à leur nombre.
  - Mais si ces pièces étaient réunies en une seule, leur réunion opposerait une résistance particulière à leur flexibilité : car la courbure que prend chaque pièce isolée, et qui est la même pour chacune, donnant dans une courbe un peu différente pour la surface supérieure et pour l’inférieure ; il faut que la surface inférieure de l’une se sépare un peu de la surface supérieure de la pièce qui est dessous, et s’en sépare un peu, non-seulement en s’en écartant par les bouts , et s’y appuyant vers le milieu , mais encore en glissant un peu dessus dans le sens de la longueur.
  - Il résulte donc pour la flexibilité, et conséquemment pour la rupture, une résistance réelle de la réunion en une seule de plusieurs pièces placées les unes sur les autres : d’où il suit évidemment que la dimension verticale de la pièce doit entrer comme élément dans l’expression de la force, non seulement comme facteur simple, mais comme facteur composé : et l’expérience a fait voir que l’on devait y employer non la dimension verticale simple mais son quarré.
  - 3° Elle a fait voir aussi que la force d’une pièce de bois dépend encore de sa longueur, de manière que cette force diminue à mesure que la longueur augmente, toutes les autres dimensions restant d’ailleurs les mêmes ; on doit donc employer comme dénominateur, la longueur d’une pièce de bois, dont on veut exprimer la force. Ensorte que, si l’on connaissait la force d’une pièce de bois que l’on prendrait pour unité, et que l’on voulût exprimer celle de toute autre pièce, il n’y aurait qu’à multiplier cette force de l’unité (a) par la largeur (1), puis par le quarré de la dimension verticale, ( e X e ), et diviser le produit par la longueur ou
  - ^ X 1 X ^ X 6
  - portée (p) ce qui donnera pour formule-—------.
  - 4° Mais comme la longueur de la pièce a sur sa force une influence plus considérable que sa propre grandeur, le résultat du calcul fait d’après cette formule, se trouve un peu plus grand que ceux que donne l’expérience ; en sorte qu’il faudrait employer un diviseur un peu plus grand que la longueur (p). On a trouvé que le résultat du calcul s’accordait avec l’expérience, et en soustrayant le
  - tiers du quarré de l’épaisseur -y- , ensorte que la
  - c i j • j ip • aXlXeXe cXfi
  - formule devient definitivement---------------—.
  - P 3
  - Au reste, la force primitive pour l’unité exprimée dans la formule par (a) , est celle d’une pièce de bois d’une ligne en tout sens. Elle se trouve par l’expérience quelle peut porter 59% 5g. Il n’y aurait pas d’inconvénient à prendre 60 livres pour valeur moyenne de cette unité.
  - Soit la longueur ou portée d’une pièce de bois
  - (p) 18 pieds =216 pouces =...........2592 lignes.
  - la dimension verticale (e) 5 pouces = 60
  - la largeur horizontale (1)5 pouces = 60
  - ( ^6 )
  - zu Folge eirien gewissen Grad von Stàrke anwen-den muss, um ein Holz von einer gewissen Lange, Breite und Dicke zu zerbrechen, so muss man diese Stàrke um das Doppelte vermehren , wenn man ein àhnlich langes und dickes, aber doppelt breites Holz zum Bruche bringen wollte; dieUrsache ist diese , weil man eine doppelte Kraft anwenden müsste um zwei dem ersten àhnliche Holzer zu zerbrechen, daber denn auch das zweite, welches eben so lang und dick, aber doppelt so breit als das erste wàre, dieselbe Kraft als zwei dem ersten gleiche Holzer haben muss. '
  - Die Vereinigung dieser beiden Holzer in ein ein-ziges vermebrt, wie leicht zu begreifen, die Kraft des Holzes nicht, und zwar um deswillen, weil die Biegsamkeit, welche jedes einzelne Holz hat, durch ihre Vereinigung weder vermehrt noch vermindert wird. Diese Biegsamkeit bestimmt allein den Grad der Stàrke, welcher erforderlich ist um ein Holz zu zerbrechen. Es mnss also die Breite mit als die Hauptursache der vermehrten Stàrke betrachtet werden. Eine andere wesentliche Ursacbe dieser Kraft ist :
  - 20 Die verticale Dimension des Holzes. Es ist nàmlich leicht zu begreifen , dass, wenn mehrere gleichgestaltete Holzer über ein an der gelegt werden, so mnss nothwendig der Widerstand, den sie einer àussern Gewalt entgegensetzen, mit ihrer Anzahl im Verhàltnisse stehen.
  - Wàren diese Holzer aber in ein einziges verei-nigt, so würde diese Vereinigung noch einen Widerstand mehr zurFolge haben; denn die Biegung, welche bei jedem einzelnen Holze Statt hat, àussert sich auf verschiedene Weise sowohl bei der obéra als bei der untern Seite ; die untere Seite des einen Holzes muss nàmlich von der obéra Seite des da-runter liegenden Holzes ein wenig abtreten, und zwar geschieht dieses Abtreten an den Enden, wàhrend es nach der Mitte zu stark aufliegt, wo-bei zugleich die ganze Lànge hinauf eine hinglei-tende Bewegung Statt findet.
  - Werden diesem zufolge mehrere über einander gelegte Holzer in ein einziges vereinigt, so müssen sie nicht allein der Biegung sondera auch dem Zerbrechen auf eine nachdrückliche Weise wider-stehen ; woraus dann folgt, dass auch die verticale Dimension des Holzes mit eine wesentliche Ursache seiner Kraft ist, und zwar nicht nur als einfacher, sondera auch als zusammengesetzter Factor : die Erfahrung hat überdiss gelelirt, dass hierbei nicht die einfache verticale Dimension , sondera ihr Qua-drat angewendet werden miisse.
  - 3° Hat uns die Erfahrung noch gelehrt, dass auch die Lànge eines Holzes zu seiner Stàrke der-gestalt mit beitràgt, dass, so wie die Lànge zu-nimmt, die Stàrke sich vermindert, wàhrend die übrigen Dimensionen stets dieselben bleiben. Diesem zu Folge muss bei der Bestimmung der Kraft eines Holzes, seine Lànge als Nenner angenom-men werden. Will man nun die Stàrke eines belie-bigen Holzes bestimmen, so nimmt man die, welche man von einem andern Holze bekommt, als Einheit an. Diese Einheit (a) wird erst mit der Breite (1), sodann mit dem Quadrat der vertiealen Dimension (e X e) multiplicirt, und das Produkt mit der Lànge (p) dividirt, woraus sich die Formel
  - aXlXeXe .,
  - ------------ergibt.
  - 4° Da aber die Lànge eines Holzes auf dessen Stàrke noch mehr Einfluss hat als seine übrigen Dimensionen, so komrnt, wenn die Bereehnung nach dieser Formel gemacht worden ist, ein gros-sers Résultat heraus als das, welches auf die Erfahrung gegriindet ist, weshalb der Diviser etwas mehr als die Lànge (p) betragen muss. Das Résultat dieser Bereehnung stimmt aber dann mit der Erfahrung iiberein, wenn man von dem Quadrat der
  - Dicke —^— ein Drittheil abzieht, wodurch die For-
  - 1 a X 1 X e X e eXe, -,
  - mei-------------------— herauskommt.
  - p 3
  - Die Stàrke der Einheit (a), ist übrigens von allen Seiten eines Holzes zu verstehen. Sie kann , wie die Erfahrung gezeigt hat, eine Last von 59 ", 5g tragen ; auch würde wohl kein Nachtheil daraus entstehen, wenn man für dieselbe ein Mittelgewicht von 60 Pf. annàhme.
  - Wàre die Lànge eines Holzes (p) 18 Fuss =
  - 216 Zoll =........................ 2 592 Linien;
  - die verticale Dimension (e) 5 Zoll = 60
  - die horizontale Breite (1) 5 Zoll = 60
  - tliat if a certain force is requisite to break a piece of timber of a length, thickness and breadth given, a double force shall be also requisite to break an-other piece of a similar length and thickness, but whose breadth is double ; now since a double force should be requisite to break two pièces similar to the former, the latter having a double breadth, and the same dimensions in other respects, it is evi-dently équivalent to two different pièces each of which would bc equal to the former.
  - It is besides easy to conceive that the reunion of those two pièces into one does not increase their strength, since their reunion renders them neither more nor less flexible thau they would be if they were separated, and tliat the degree of strength which is necessary to operate their rupture only dopends on their flexibility. It is therefore the mere breadth of the piece which is the constitutive élément in the expression of the strength.
  - 20 That strength also directly dépends on the 'vertical dimension of the pièce, for it is likewise évident that several similar pièces laid over one another would oppose a résistance against a rupture proportional to tbeir number.
  - But if those pièces were united into one, their reunion would oppose a résistance relative to their flexure, for the bend impressed on each piece when insulated, and which is the same for each piece ; producing in each a bend somewhat different in the upper surface to what it is in the lower one, the lower surface of one pièce must needs separate itself a little from the upper surface- of the piece that lies under it, and that séparation is effected not only in rising a little at the ends and pressing about the middle part, but also in sliding a little ail along the piece.
  - There results therefore, with regard to the flexure, and a course with regard to the rupture, a real résistance from the reunion into one of several pièces laid over one another ; whence it evidently ensues that the vertical dimension of the piece is the constitutive element of the expression of the strength, not only as a simple factor, but also as a coupound one ; and it as been proved by expérience that the simple vertical dimension ought not to be em-ployed but the square of it.
  - 3° Expérience has also proved that the strength of a piece of timber dépends still on the lenght of it, so that this same strength decreases in proportion as the length increases, ail the other dimensions remaining the same in other respects ; one must therefore employ as denorninator the length of a piece of timber whose strength one wishes to express. Suppose then the known strength of a piece of timber de a unit, and one wishes to express the strength of any other piece, one needs only mul-tiply that strength of the unit (a) by the breadth (1), and then by the square of the vertical dimension , (exe) and divide the produce by the length (portée) (p), which will give the following formula aXlXeXe P
  - 4° But as the length of a piece of timber has over its strength an influence still superior to its own extension, the resuit of the calculation made after the above formula is rather higher than what is proved by expérience ; so that it is necessary to employ a divisor somewhat greater than the length (p) ; and expérience is concordant with calculation in substracting the third part of the square of the
  - thickness,—^? so that the formula definitely
  - runs as follows
  - aXlXeXe
  - P
  - e X e 3 '
  - Now the primitive strength with regard to the unit expressed in the formula by (a) is that of a piece of a timber one french ligne every way. Expérience proves it to be able to bear the weigth of 59 tt, 59 ; it is presumed there would be no incon-veniency in taking 60^ as the mean value of that unit.
  - Let the length (portée) of a piece of timber be
  - (p) 18 feet = 217 inch. = ..........2592 fr. lignes,
  - The vertical dimension (e) 5 inch.rz: 60 The horizontal breadth (1) 5 inch. = 60
- p.26 - vue 38/390
- - La formule a x 1 x c_*— _ L*1 devient P 3
  - 5g, 5g x 60 X 6o X 6o ____ 6o X 6o ____ tt 83
  - 3 7 ’
  - poids qu'il faudrait pour rompre la pièce proposée.
  - 102. Les constructeurs modernes choisissent pour les planchers les morceaux de bois qui ont une des dimensions de leur équarrissage plus grande que l’autre, et les posent de champ, c est-à-dire , que la plus grande dimension est choisie pour la verticale. Mais un corps d’arbre peut recevoir deux sortes d’équarrissage : i° pour obtenir la plus grande force ; 2° pour obtenir le plus grand cube.
  - Nous croyons devoir insérer dans cet ouvrage l’explicàtion de ces deux considérations, principa-
  - lement la première, parce que les savants et les bons architectes désirent depuis long - temps voir s’établir l’usage d’équarrir les corps d arbres selon ce procédé.
  - L’expérience fait voir constamment que , dans
  - les pièces de bois de même longueur, et de bases
  - égales, posées horizontalement, et appuyées par
  - les deux bouts, la force de roideur suit le rapport
  - simple de la dimension horizontale de la base, et
  - le rapport double de la dimension verticale ; en-
  - sorte que, si l’on exprime la dimension horizontale
  - par 1, la verticale par h, et la force de roideur par
  - f, on auraf=l X h2, ou généralement en appelant
  - V la plus grande dimension de la base) .
  - J ? b .• jf=xy"
  - x la plus petite. .................)
  - La manière différente d’après laquelle les deux dimensions de la base sont disposées pour constituer la force de résistance, fait que, de toutes les manières d’équarrir un arbre, il y en a une qui donne une pièce de bois supérieure en force à toutes celles qu’on pourrait tirer du même arbre; c’est celle où le quarré de l’une des dimensions de la base, est double du quarré de l’autre dimension, et où l’on a h2 = 2 12 ou y5 = 2 x \
  - Démonstration. En supposant qu’un arbre soit cylindrique, sa base est un cercle ; et la pièce de bois que l’on en tire en l’équarrissant, est un paral-lélipipède rectangle, enveloppé dans le cylindre, et dont la base est un rectangle inscrit dans le cercle qui sert de base au cylindre : de sorte que la diagonale de ce rectangle est le diamètre du cercle, et que les deux cotés contigus du rectangle sont les deux côtés d’un triangle rectangle qui a le diamètre du cercle pour hypothénuse.
  - Or la propriété fondamentale du triangle rectangle est que le quarré de 1 hypothénuse est égal à la somme des quarrés des deux autres côtés. Ainsi, pour toutes les manières dont on pourra équarrir l’arbre, on aura toujours l’équation x2 y2 = d2, Fig. i, PI. x8.
  - 1° Soit donc, par exemple, le diamètre du cercle i la somme des quarrés des deux côtés du rectangle inscrit sera= i quels que soient ces côtés.
  - i° Si l’on suppose que le quarré du grand côté est double du quarré du petit côté, c’est-à-dire que le quarré du grand soit = f et le quarré du petit — j, ce qui donne i pour somme de ces quarrés, alors le petit côté = |/I= v/ô, 33333333 = 0,577350269 et la force de la pièce sera = 0,577350269 X j
  - 0,192450089
  - = 0,384900179
  - ( 27 )
  - .. .. -j -p, , a X 1 X e X e eXe
  - so ergibt sich aus der .formel -------------------—
  - 5g, 59 x 60 x 6*0 x 60 60 x 60 ____ 3 65 a 33
  - 2592 3 ' ’
  - Gewicht, welches man anwenden müsste , um das aufgegebene Holz zu zerbreehen.
  - 102. Die heutigen Baumeister nehmen zu den Gebàlken diejenigen Balken, welche parallelogram-formig gehauen sind, und legen sie auf die schmale Seite, so dass die hohe Seite vertical gestellt wird. Ein Baum kann aber auf zweierlei Weise viereckig gehauen werden, und zwar zu einem doppelten Zweck : i° um so viel Stàrke als moglich heraus-zubringen ; 20 um den grossten Cubus zu erhalten.
  - Wir lioltûn oc fiir ryx7ïr rliPtlll rl"l lllPr "h fil fl fi Fâllô
  - auseinander zu setzen, und zwar vorzüglich den ersten , weil mehrere Gelehrte und Bauverstàn-dige seit langer Zeit den Wunsch geaussert haben, dass diese Art, die Baume viereckig zu hauen ,’allge-mein eingeführt werden mochte.
  - Die Erfahrung lehrt tàglich, dass bei horizontal gelegten Holzern von gleicher Lange und Basis, deren beide Enden aufruhen , der Widerstand dem einfaehen Verh’âltnisse der Horizontal-Dimension der Grundflàche, und dem doppelten Verh’âltnisse der Vertical - Dimension folgt. Gesetzt also die Horizontal-Dimension sey 1, die Vertical h, und der Widerstand f, so kommt f = 1 X h2 heraus, oder wenn man im allgemeinen
  - yzurgrossten Grundflàchen-Dimension, und j _ a
  - xzur kleinsten annimmt, sobekommtman.. j
  - Da die beiden Dimensionen einen verschiedenen Einfluss auf die Kraft des Widerstandes haben, so folgt hieraus, dass unter den verschiedenen Arten ein Holz viereckig zu hauen , es eine gebe, welche einem Holze mehr Stàrke als aile ührigen mittheilt. Diese Art ist diejenige durch welche das Quadrat der einen Dimension der Grundflàche das Doppelte des Quadrats der andern Dimension erhàlt, wo-durcli man h2 = 2 l2 oder y2 = 2 x2 bekommt.
  - Beweis. Gesetzt ein Baumstamm ist cylindrisch, seine Grundflàche bildet einen Zirkel, und das viereckige Holz, in welches er durch das Behauen verwandelt wird x ist ein viereckiges rechtwinke-liges in dem Gylinder beschriebenes Prisma (parai-lelepipedum ), dessen Grundflàche eine rechtwinke-lige in dem Grundzirkel des Cylinders beschriebene Figur bildet, so dass die Diagonallinie dieses rech-ten Winkels der Durchmesser des Zirkels ist, und die beiden an einander stossenden Seiten des rech-ten Winkels die beiden Seiten eines rechtwinkeli-gen Dreiecks sind, von welchem der Durchmesser des Zirkels die Hypothénuse ist.
  - Die Haupteigenschaft des rechtwinkeligen Dreiecks ist nun die, dass das Quadrat der Hypothénuse der Summe der Quadrate der beiden übrigen Seiten gleich ist. Diesem zufolge wird man für aile Arten einen Baum viereckig zu hauen, stets die Gleichung x2 X y2=d2, Fig. 1 , Tab. XVIII bekommen.
  - i° Wàre z. B. der Durchmesser des Zirkels = 1, so wird die Summe der Quadrate der beiden Seiten des beschriebenen rechten Winkels = 1 seyn, diese Seiten mogen übrigens seyn, welche sie wollen.
  - i° Nimmt man an, dass das Quadrat der grossen Seite, das Doppelte des Quadrats der kleinen Seite betràgt, das heisst : das Quadrat der grossen Seite soll = f und das der kleinen = betragen, so er-hàlt man 1 als Summe dieser Quadrate ; die kleine Seite wird dann seyn = i/î = i/o, 33333333
  - = 0,577350269 und die Kraft des Holzes.......
  - ................= 0,577350269 X j
  - 0,192450089
  - The formula x e x e — x becomes p 3 >
  - %, 5g x_6o x 60 x 60 60 X 60 _ 9 # Q:>,
  - 2592 3 “ 7 ’ 5
  - which is the weight that would be necessary to break the above proposed piece.
  - 102. Modem Builders select for their floors such pièces of limber as hâve one of their dimensions , when squared, broader than the other, and they lay them sidewa/Cs, that is, the broadest dimension is chosen to be the vertical one. But the body of a tree may be squared two diffèrent ways. i° To ob-tain the greatest strength ; 20 to obtain the grea-test cube.
  - We think proper to insert in this work the ex-planation of these two modes, and especially of the first, because the learned and the best informed architects hâve wished for this long time past to see the custom established of squaring the bodies of trees according to this process.
  - Constant expérience shows jthat in pièces of tim-ber of the same length , with equal bases, laid ho-rizontally, and supported at both ends, the resis-ting strength follows the simple ratio of the horizontal dimension of the base, and the doubled ratio of the vertical dimension is expressed by 1, the vertical by h, and the resisting strength by f, one will hâve f =1 X h2, or gencrally, in calling
  - j y, the greatest dimension of the base ;
  - ( x, the smallest...................
  - The different manner in which the two dimensions of the base are disposed to constitute the resisting force, is the cause that among ail the ways of squaring the body of a tree, there is one that yields a piece of timber superior in strength to ail those that could be procured out of the same tree : it is that wherein the square of one of the dimensions of the base is double the square of the other dimension, whence proceeds h2 = 212. or, y2 — 2 x2.
  - Démonstration. Suppose a tree is cylindrical, its base of course a circle, and the piece of timber resulting from it after its being squared is a rectan-gular Parallelopiped, comprehended within the cy-linder, and whose base is a rectangle inscribed in the circle that figures the base of the cylinder ; so that the diagonal of this rectangle is the diameter of the circle, and the two contiguous sides of the rectangle are the tmo sides of a right angled triangle whose hypothénuse is formed by the diameter of the circle.
  - Now the fundamental property of a right angled triangle is, that the square of the hypothénuse is equal to the snm of the squares of the two other sides. Thus , let a tree be squared any way one chooses, the resuit always shall be the équation x* + y2 = d2. Fig. x, PL 18.
  - 1°. Be then, for instance, the diameter of a circle = 1, the sum of the squares of the two sides of the inscribed right angled triangle shall be — 1, whatsoever the sides may be.
  - i° If we suppose the square of the greater side to be double the square of the smaller side ; that is, if the square of the greater side is = and the square of tbe smaller side is = ÿ, the sum of those squares shall be = r.
  - Then the smaller side shall be :
  - = V'^— l/ô, 33333333 — 0,577,350269, and the strength of the piece shall be = 0,577350269 X f
  - 0,192458089
  - 2° Si l’on suppose le quarré du grand côté un peu plus petit que le double du quarré du petit par exemple 0,6666, au lieu de 0,66666 f, qui serait = f ; alors le quarré du petit côté sera = o,33334, au lieu de o,33333 y, qui serait =j, et la valeur du petit côté sera = V0,33334 = 0,577356042, et la force de la pièce sera 0,577356042 X 0,66666 = 0,384900177 plus petite que 384900179 trouvée dans la première supposition.
  - 3° Si l’on suppose le quarré du grand côté un peu plus grand que le double du quarré du petit, par exemple, 0,668224, au lieu de 0,666666 f-; alors le quarré du petit côté sera.... .0,331776, au lieu de o,333333ÿ,
  - = 0,384900179 betragen.
  - 20 Nimmt man an, dass das Quadrat der grossen Seite etwas weniger als das Doppelte des Quadrats der kleinen Seite betràgt, z. B. 0,6666 an-statt 0,66666 |, welches seyn würde = f ; so wird das Quadrat der kleinen Seite betragen = 0,33334, anstatt o,33333 \ , welches seyn würde = \ ; der Werth der kleinen Seite ist dann = y/°,33334
  - = 0,577356942, und die Stàrke des Holzes.....
  - ........0,577356042 X 0,66666 = 0,384900177,
  - kleiner als 384600179 ira vorigen ersten Falle,
  - 3° Gesetzt endlieh das Quadrat der grossen Seite betràgt etwas mehr als das Doppelte des Quadrats der kleinen, z. B. 0,668224, anstatt 0,666666 f, so ist das Quadrat der kleinen Seite 0,331776, anstatt o,333333 3 , und der Werth der kleinen
  - = 0,384900179
  - 20 lf the square of the greater side is supposed to be somewhat smaller than double the square of the smallea side; for instance, if there be 0,6666, instead of 0,6666 y, which would be = -f ;
  - Then the square of the smaller side shall be =o, 3 3 3 34, instead of o,3 3 333|, which would be =y the araount of the smaller side shall be = l/o,33334 = 0,577356042 ; and the strength of the piece shall be :
  - 0,577356042 X 0,66666 = 0,384900177 , being smaller than 0,384900179, found in the first supposition.
  - 3° If the square of the greater side is supposed to be somewhat larger than double the square of the smaller side ; for instance,
  - 0,688224, instead of 0,666666f, then the square of the smaller side shall be
- p.27 - vue 39/390
- - et la valeur du petit côté sera = 1/0,331776 = o,576, et la force de la pièce sera =0,576 x 0,668224 == 0,384897024 plus petite aussi que 0,384900179 trouvée dans la première supposition.
  - 11° Soit d le diamètre du cercle, on aura toujours x’ 4- y3 = d\
  - i° Si l’on suppose y3= 2 x3, l’équation xa 4- y 3=:d3 devient x3 4- 2 xa = 3 xa =
  - da et x = ~= et f, qui = xy3 devient x x 2 x3 = ad3
  - ax -37I-
  - 20 Si l’on suppose ya > 2 xa, de sorte que y3 = 2 x3 + a (a étant une quantité infiniment petite) L’équation x3 4-ya =d3 devient x3 4- 2 x3 4-a = da ou 3 x3+a= da ou 3 x3 = da — a : x3=
  - et X:
  - ou X = d 2 :
  - V/3
  - '2 d l/3
  - en ne
  - îgligeant les termes suivants qui
  - sont infiniment petits par rapport au deuxième, à cause des puissances toujours plus grandes de la quantité infiniment petite a, qui entrent dans la formation de chacun de ces termes suivants :
  - Ainsi f qui = x y 3= x X ( 2 x3 4- a ) = d2 —a \ 2 d2 — a
  - a d2
  - X ^2 2 d2 —
  - *>
  - 2 d v/3 /ad* — 2 a \
  - x(——+*)=
  - 3 "J 2 d v/3
  - îd v/3 3 J 2 d v/3 ” 3
  - __(2 d3 a) X (2 d2 +a) 4 d4 —a2 2 d3
  - 2 d2 — a 2 d3-t- a X
  - 2 x 3 d \/ 3
  - 2X3 dp/3 3 v/3
  - a3 . , . . 2 d3
  - 6d^ï quantité plus petite que ^=.
  - 3° Si l’on suppose y3 < 2 x3 de sorte que y3 = 2 x3 — a (a étant toujours une quantité infiniment petite)
  - L’équation x3 4- y3 = d3 devient alors x3 4-d3 ou 3 x3 = d3 4- a ou x3 — —a
  - 2 x
  - et x
  - 2 d
  - 1/3
  - jpp en riësu-
  - geant les termes suivants de y/ '
  - d4-a>
  - • • • —4— ^
  - Ainsi f, qui = x y3 =x (2 x3 —a) = - X
  - (
  - d2 4- a 2 —=--------- a
  - 2 d3 4- a
  - -T- X
  - 2 d3 v/3 2 d3 4- 2 a — 3a
  - 3 2 d v/3 3
  - ad* + a x ada~a _ (a d3 4-a) X (2 da a) 2 d v/3 3 2 X 3 d v/3
  - 4 d4 — a3
  - d3
  - <
  - d3
  - 2X3di/3 3 1/3 6 d^/3 3v/3‘
  - 111°. i° Puisqu’il est question d’un cercle, ou d’un triangle rectangle, on a pour tous les cas possibles x3 4-y3 = d3.
  - La différentielle de cette équation est 2 x d x 4-
  - 2 y d y = o et dx= —(A).
  - ,2° L’expérience donnant pour le maximum de force f = xy3.
  - La différentielle de cette équation est o = 2xydy 4~ya d x.
  - En y substituant la valeur de d x , (A),
  - on a 0 = 2xydy—y3 x
  - y dy
  - v3d
  - ou
  - y dy
  - : 2 x y d y, ou, en divisant par y d y,
  - 2 x ou
  - 2 x .
  - io3. Pour tracer l’équarrissage d’un arbre dont on veut tirer la pièce de bois la plus forte qu’il puisse donner, il suffit de diyiser son diamètre AB,Fig. i,Pl. 18, en trois parties égales en G et D, et délever à chaque point de division et jusqu’à la circonférence, les perpendiculaires C F, D G, l’une d’un côté du diamètre, et l’autre de l’autre,* et de joindre ces deux points F et G, avec les deux extrémités, A et B, du diamètre; on aura la base AFB G de la pièce demandée.
  - En effet, le triangle AFB étant rectangle, ainsi que AGF et BGF, qui lui sont semblables, on a AC : AF :: AF : AB, ce qui donne AF3= AC x AB, et BG : BF :: BF : AB, ce qui donne BF3= BG x AB. Donc AF3 : BF2 :: AGx AB :BCx AB, ou AC:BC, en supprimant le facteur commun AB ; mais AC est double de BC ; donc AF3 est aussi double de B F3.
  - ( 28 }
  - Seite = 1/0,331776 = 0,576, endlich die Stàrke des Holzes = 0,576 X 0,668224 = 0,38489724 eben-falls kleiner als 0,304900179 im vorigen ersten Falle.
  - 11° Wàre d der Durchmesser des Zirkels, so ergibt sich immer x34-y3 = d3.
  - i° Nimmt man an y3 = 2 x3, die Gleichungx3 4- ya = d3, wird dann x3 4- 2 xa =
  - 3x3 = d3undx= ^7= und f, welches = xy3 wird
  - 2 d 3
  - XX
  - 20 Nimmt man an y3 > 2 x3, so dass y3 = 2 x3 4- a (a ist nàmlich eine unendlich kleine Grosse)
  - Die Gleichung x3 4- x3 = d2 wird x3 4- 2 x3 4- a = d3 oder 3 x3 4- a = d3oder 3 x3 = d3 — a, x3 =
  - d—t— 2d3—a
  - d*—a
  - undx
  - =v/
  - d___a oder x =
  - 2d 1/3
  - t/3
  - ohne die folgenden Grossen y/d , mit zu rech-
  - nen, welche in Rücksicht auf die zweite unendlich klein sind, und zwar wegen der jederzeit grossern Produkte der unendlich kleinen Grosse a, welche bei einer jeden der folgenden Grosse mit eineir*' Bestandtheil ausmachen.
  - Also f,welches ist=xy3 =x X (2x34-a)
  - a . \ 2d3—a /ad3—2a
  - A
  - X
  - (2 + a)
  - ^2 d1 -
  - 2 d\/3 aa + 3a
  - 2 d v/3 'V 3 (2d3— a) X (2 d3 4- a) 2 X 3 d 1/3
  - ) =
  - C
  - 2 d3
  - 0
  - 2 dt/3 4 d4— a3 2X 3dv/3 2 d3
  - a 2 d3 4- a ^ X
  - d
  - 2 d3
  - 3 v/3
  - ——=—_• kleinere Quantitàt als „
  - 6 d v/3 3p/3
  - 3° Nimmt man an y3 < 2 x3 , so dass y3 = 2 x3 — a (weil a jederzeit eine unendlich kleine Grosse ist)
  - Die Gleichung x3 4-y3 =d3 wird alsdann x3 4-a = d3 oder 3 x3 = d3 4- a oder x3 = —
  - 2 x'
  - undx
  - =v/j
  - 2d3
  - 1/3
  - 2 d V/3 ?
  - ohne die
  - folgenden Grossen y/d a mit zu rechnen.
  - Alsof,welchesist = y3 = x(2 x
  - (
  - 2
  - d3 + a
  - 0
  - 2 d34-a 2 d v/3
  - . 2d3+a
  - a) = X
  - 1 2 d v/3
  - 2 d34- 2 a — 3 a
  - 2 d3 + a 2 d3— a (2 d34~ a) X (2 d3
  - 2dv/3 3 2 4-3 d v/3
  - a)
  - 4 d4 — a3
  - 2 d3
  - - <
  - 2 d3
  - 2X3di/3 3v/3 6a v/3 3v/3*
  - III. i° Da hier von einem Zirkel oder rechtwin-keligen Dreieck die Rede ist, so erhàlt man für aile nur mbgliche Falle x34-y3 = d3.
  - Der Unterschied dieser Gleichung ist 2 x d x 4-
  - o und x = —y ^ y
  - ydy=
  - (A).
  - 20 Der grossie Grad der Stàrke ist, wie die Er-fahrung gezeigt hat, f=xy3.
  - Der Unterschied dieser Gleichung ist o, = 2 x y d y 4- y0 d x.
  - Substituirt man deu Werth dx, (A),
  - so erhàlt man o
  - y3 dy
  - 2 xy d y—y3 x
  - y dy
  - oder
  - 2 x y y, oder dividirt mit y d y,
  - — = 2 x oder y3 = 2 xs
  - v *
  - 0,331776, instead of o,333333 the amount of
  - the smaller side shall be 1/0,331776 = 0,576, and the strength of the piece shall be == 0,576 X 0,668224 = 0,384897024, being also smaller than 0,384900179 , found in the first supposition.
  - 11°. Suppose d to be the diameter of the circle, the resuit shall ever bex34-y3=d3.
  - i° If we suppose y3 = 2 x3, the équation x3 x y3 = d3, becomes x3 4- 2 x3 =
  - 3 x3 = d3 , and x = ~^= and f, which is = x y*, V/3 J ’
  - i d a d3
  - becomes x x 2 x3 = 2 x = 0—7=.
  - 3 1/ 3
  - 2° If we suppose y3 > 2X3, so that y3 = 2x3 4- a, (a being an infinitésimal quantity).
  - The équation x24-y2=d2,becomesx24-2xa4-a=d2,
  - or, 3 x3 4-a= d3, or, 3 x3 = d3—a; x3 = -- ~~a
  - ~ 2 d* —a
  - d 2 ZZZ----—
  - 2 d / 3 ’
  - and x
  - = v/
  - d2 — a d
  - _ or, x =
  - V/3
  - laying aside the following terms y/ ^ which
  - are infinitésimal with regard to be second, because of the still greater powers of the infinitésimal quan-tity a, which are introduced in the formation of the following terms.
  - Thus f which is=xy3 ==x x (2 x3 4-a)a
  - v y 2 d 1/3
  - / d2 — a \ 2 d2—a /2 d2 — 2 a \
  - x ^ __ + a) =-T— X (—3— + a)=
  - 2d2 — a /2d2 — 2a4-3a X
  - 0“
  - /2d2 — 2a4-3a\ îd1 — a 2d24-a
  - 2 d v/3 ^ V 3 ) ~ 2d v/3 X 3
  - _ (2 d3 — a) X (2 d3 X a) _ 4 a4 — a2 _ ad3 _ 2 x 3 d v/ 3 2X3dv/3~ 3v/3~“
  - 6~d~v/3 a sma^er quantity than
  - 3° If we suppose y3 < 2 x3 , so that y3 = 2Xa — a (a being still an infinitésimal quantity),
  - The équation x34-y3=d3 becomes then x3 4-2X3 —a = d3, or, 3x3 =d3 4- a, or, x3
  - and x
  - = \/^ =
  - d-h-f-
  - d 2 —
  - d2 4- a ,
  - nr ? by
  - V/3
  - 2 d v/3
  - expunging the following terms vÆ5.
  - Thus f, which is = x y3 =x (2 x3 —a) — tt—7-- X
  - 2 d3 4-3 2d24-2a — 3a
  - / d24-a- A üd3 + a
  - 2 —------a = —;—X
  - V 3 J 2 d V/3
  - 2 d* + a ad2—a __ (2d34-a) X (ad3 — a) _
  - 2 d v/3 3 2 X 3 d v/3
  - 2 d3 a2 2 d3
  - 4 d4 — a2 2 X 3 d v/3
  - 3 v/3
  - 6 d v/3 3 v/3*
  - 111°. i° In every case wherrein a circle or a right angled triangle is treated of, we shall always hâve : x3 4-y3 — d3.
  - The differential of this équation is :
  - 2xdx-f-2ydy=o, and d x = (A).
  - 20 General expérience giving as the maximum of the strength f = xy3.
  - The differential of that équation is : o = 2xydy 4-y3 d x.
  - By substituting to it the value of dx, (A), we shall hâve o = 2xydy — y3 x y ^ y
  - or
  - > ~~ “ 2xydy> or> in dividing by ydy,
  - = 2x, or,y3 = 2x3.
  - io3. Um aus einem Baustamme den stàrksten Balken zu erhalten \ den er geben kann, so theilt man beim Viereckighauen desselben seinen Durchmesser A B, Fig. 1, Tab. XVIII, in drei gleiche Theile in G und D, und richtet bei jedem Thei-lungspunkte die Vertical-Linien C F, D G, bis zum Umkreis auf, und zwar die eine von der einen Seite des Durchmessers hinauf, und die andere nach der andern Seite hinunter, und vereinigt diese beiden Punkte F und G mit den beiden En-den A und B des Durchmessers, woraus sich die Grundflàche A F B G, des aufgegebenen Holzes ergibt.
  - Und da das Dreieck AFB, rechtwinkelig ist, so wie AGF, und B C F, welche ihm àhnlich sind, so erhàlt man A C:AF::AF:AB, welches ergibt A F3 = A G x A B , und B C : BF3 :: BF : AB;
  - io3. To trace the squaring of the body of a tree out of which one wished to get the strongest piece of timber is possibly can yield, the only thing to be done is to divide its diameter A B, Fig. 1, PI. 18 , into three equal parts, C and D, and to raise at each point of division, and as high as the circumference, the perpendiculars CF, DG, one on one side of the diameter, and the other on the other ; and to join those two points F and G, with the two extremities A and B of the diameter ; we shall hâve then the base AFBG, of the piece sought for.
  - In fact, the triangle AFB being rectangular, as well as A G F and B C F , which are similar to it, we shall hâve :
  - À G : A F :: AF : AB, whence cornes out, AF3 = AC x AB. And BC : B F *: BF : AB,
- p.28 - vue 40/390
- - io4- S’il était question d’équarrir l’arbre de manière à en tirer le plus de bois possible ; le résultat serait tout différent, parce que la quantité de bois résultant, sous forme de parallélipipède, de l’équarrissage d’un cylindre d’une longueur donnée, a pour expression la surface de sa base, ou le produit de sa largeur par son épaisseur. On a d’ailleurs, comme dans les calculs précédents , la propriété fondamentale du cercle et du triangle rectangle, que la somme des quarrés des côtés du rectangle est égale au quarré de la diagonale ou du diamètre, Fig. a, PI. 18.
  - Or, il est bien connu de tous les adjudicataires des ventes de bois, que quand on prend une dimension plus grande que l’autre, la somme des deux quarrés est toujours plus petite que quand les deux dimensions .sont égales, ensorte qu il n est point nécessaire d’en démontrer ici la raison.
  - Les divers assemblages ayant été traites Section I, et les poutres armées, Section V, il reste à expliquer , d’après les principes généraux qui précèdent, quelques ajustements proposés à cette sorte d’ouvrage, et les diverses combinaisons qui ont ete pratiquées dans des cas particuliers, soit pour établir des planchers d’une très - grande surface , soit pour leur donner d’autres formes que l’ordinaire, qui est une surface plane. Ces trois points de vue particuliers sont présentés dans les dessins des planches 18, 19,20, 21, 22,23, 24^ a5 , 26, 27 , 28,29 et 3o.
  - PLANCHE XVIII.
  - PLANCHERS d’Aï/LEMAGNE.
  - io5. La Fig. 3 est une vue supérieure de trois fortes solives J JJ, bandées en arcades en briques, Fig. 4, et recouvertes avec des planches clouees sur les solives, Fig- 5.
  - La Fig. 6 est aussi une vue supérieure d’un plancher en solives jointives, goujonnées deux à deux , et recouvertes avec des planches, Fig. y et 8. La Fig, 9 en est une vue détadlée, qui fait voir les solives et la distribution des goujons sur leurs longueurs.
  - La Fig. 10 est pareillement la vue supérieure de trois solives J J J recouvertes en planches, Fig. 12, et recevant aussi les languettes, en forme de mordant, des frises formant le plafond, lig. n: la lig. i3 est une vue dudit plancher.
  - La Fig. 14 est le même plan et le même plancher , Fig. 16 : mais le plafond est composé de petites tringles en bois, enveloppées de spirales de paille imprégnées de terres grasses, fig. i4> *5 et
  - PLANCHES XIX, XX, XXI et XXII.
  - Planchers a. compartiments.
  - Exemple Ier.
  - i,
  - 106. La Fig. 1 de la Planche 19 est une vue de la s surface supérieure de la moitié d un plancher composé de bois courts et de différentes grosseurs. Les ( deux coyers, O, O, ont leurs bouts scellés dans la maçonnerie ; ils reçoivent les assemblages des trois poutrelles, P, P, P ; des soliveaux en empanon, N,N, etc., et des embranchements de remplissage , Q,Q, etc. Ces trois poutrelles reçoivent aussi les assemblages d’autres poutrelles diagonales, et les embranchements de remplissage, Q, Q, etc, La Fig. 2 est une coupe prise sur S T.
  - ( 29 )
  - welches gibt B F3 = B C x AB. Folglich AF*. B F* :: AC x AB : BC x AB, oder AC: BC, wenn man den gemeinscbaftlichen Faktor AB, hinweg thut.
  - Da nun A C, das Doppelte von B C, ist, so ist also auch A F3 das Doppelte von B F3.
  - io4- Kame es aber darauf an, einen Baumstamm in der Mase viereckig zu hauen, dass man so viel Abholz als moglich davon ziehen will, so würde das Résultat ganz verschieden ausfailen ; weil die Holzmenge, welche unter der Gestalt eines Paral-lelipipedum aus dem Abvieren eines Cylinders von einer gegebenen Lange entsteht, die Flache seiner Grundlinie oder das Produkt seiner mit der Dicke mnltiplicirten Breite betragt. Uebrigens hat man auch hier, wie bei den vorstehenden Berechnun-gen, die Haupteigensehaft des Zirkels und des rechtwinkeligen Dreiecks, namlich : die Summe der Quadrate von den Seiten des rechten Winkels ist gleich dem Quadrate der Diagonallinie oder des Durchmessers.
  - Nun aber wissen aile bei Holzverkaufen ernannte Commissarien, dass, wenn man dieeine Dimension grdsser als die andere nimmt, die Summe der bei-den Quadrate jederzeit kleiner ist, als wenn beide Dimensionen sich gleich sind ; da die Ursache davon sich aus dem vorhergehenden ergibt, so wâre es überflüssig solche hier zu erklaren.
  - Die noch zu erorternden Gegenst'ânde hetreffen einige besondere, auf die Gebalke Bezug habende Verbindungen, so wie die verschieden en, bei ein-zelnen Fàllen angewendeten Zusammensetzungen , wodurch theils sehr grosse, theils von der gewohn-lichen Form abweichende Gebalke erbaut worden sind.In der 18, 19, 20,21, 22,23,24, a5,26, 2.7, 28, 29 und 3o. Tabelle sind diese Verschieden-lieiten einzeln abgebildet.
  - TABELLE XVIII.
  - Deutsche Decken.
  - 105. Die 3. Fig. enthalt die obéré Ansicht von <lrei Balken J J J, zwischen welche Bogen von Back-steinen, Fig. 4} gespannt sind ; die obéré Seite ist mit darauf genagelten Bretern , Fig. 5, belegt.
  - Die 6. Fig. enthalt ebenfalls die obéré Ansicht einer Decke, deren Balken paarweise durch Pfldcke mit einander vereinigt,und mit darauf genagelten Bretern , Fig. 7 und 8, belegt sind. In der 9. Fig. sehen wir die ausführliche Abbildung der Balken, und die Verbindung der Zapfén nach ihrer Lange. Die 10. Fig. ist ebenfalls die obéré Ansicht von drei Balken J J J, welche, wie die vorigen, mit Bretern , Fig. 12 , belegt, und ebenfalls auch mit Zungen versehen sind. Die Decke,Fig. n, ist mit Bretern belegt. Die Ansicht des ganzen Gebalkes ist in der i3. Fig. enthalten.
  - Die 14. Fig. zeigt den nàmlichen Plan , und die 16. Fig. das namliche Gebàlk; die untere Seite des-selben ist in den Fig. *14, i5 und 17 mit Leisten besetzt, welche mit Stroh und Lehm umwunden sind.
  - TABELLE XIX, XX, XXI und XXIL
  - Gebaelks mit Ab t heilun gen.
  - Exempee I.
  - 106. Die I. Fig. in der 19. Tab. ist eine Ansicht von der obern Seite eines halben Gebalkes, Die Hôlzer, woraus dasselbe zusammengesetzt ist, sind kurz und von verschiedener Dicke. Die Enden der beiden Balkenstücke 0,O,werden in die Mauer eingesetzt. Mit diesen Balkenstücken werden die drei kleinen Balken P, P, P, und. die kleinen Stich-balken N N, u. s. w., so wie die Ausfüüungsbal-ken QQ, u. s. w., verbunden. Mit gedachten drei kleinen Balken werden wieder andere schraglau-fende Balken, so wie die Ausfüllungsbalken Q, Q, u. s. w., verbunden. Der in der 2. Fig. enthal® tene Durchschnitt ist von ST, genommen,
  - whence cornes out, BF3 = BC x AB. Thereforp AF3 : B F3 :: ACxAB : BCxAB, or, AC : BC by expunging the common factor A B ;
  - But AC is the double of BC, then AF3 is also the double of B F3.
  - 104. If on the contrary it was intended to square the body of a tree so as to chop of the greatest quantity of wood that can possibly be done, the resuit would be very differentfrom the above ; for the quantity of wood remaining, under the form of a parallelopiped after the squaring of a cylinder of a given length, bas for its expression the surface of its base, or the product of its breadth by its thickness. We shall hâve besides, as in the prece-dingcalculations, the fundamental property ofthç circle and of the right angled triangle, viz : that the sum of the squares of the sides of the rectangle, is equal to the square Qf the diagonal or of the diameter.
  - It is well known to ail those who are in the habit of purchasing considérable fellings of timber wood, that, when, one dimension is greater than the other, the sum of the two squares is always smaller than when the two dimensions are equal ; so that it is unnecessary to demonstrate here the reason of it.
  - The various Assemblages being elucidated in Section I, and Irou-belted-beams in Section V, there remain to be expiained agreeable to the preceding general principles, some adjustments proposed to be made in that sort of work, together with the various eombinations that hâve been brought into practice in particular cases, whether it be to esta-blish floors of a very large surface or area, or to give ; them other forms than the usuql one, which is a plane surface. These three particular points are presented in the draughts contained in the plates 18, 19, 20, 21 , 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28,29 and 3o.
  - PLATE XVIII.
  - German Floors.
  - to5. The Fig. 3, is a vien of the superior surface of three strong joists J J J , bound with arches made of bricks, Fig. 4 » and covered ali over with boards nailed on the joists, Fig. 5.
  - The Fig. 6, is also a vien of the superior surface df a floor with plugged joists, (jointives), set two by two , and covered over with boards, as in Fig. 7 and 8.
  - The Fig. 9 , is a detailed vien of the above floor, whicn shows the joists, and the distribution of the pins lenghtways.
  - The Fig. 10, is likewise a vien of the superior surface of three joists J J J, covered over with boards, Fig. 12, and receiving also the tongues in the form of a dove tail (mors d’àne), of the friezes forming the floor, Fig. 11 : the Fig. i3, is a vien of the said floor.
  - The Fig. 14 , is the same plan and has the same floor, Fig. 16, but the ceiling is composed of small wooden tringles, with twisted straw impregnated with clay wrapped in spirial lines round them ; Fig. 14 j and 17.
  - PLATE XIX, XX, XXI and XXIL
  - Floors with Compartments.
  - Example I.
  - 106. The Fig. 1, PI, 19, is a vien of the upper surface of one half part of a floor , composed of short pièces of timber of different thickness. The two angle-tie-pieces ,0,0, hâve their ends sealed in the wall, they receive the Assemblages of the three small beams or girders, P, P, P ; those of the sleepers, N, N, etc., and of the filling up joists, Q, Q, etc.
  - The above three small beams reeeive likewise the assemblages of some other diagonal small beams and the filling up joists, Q,Q, etc.
  - The Fig. 2, is a section taken on ST,
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- - ( 3° )
  - Exemple IL
  - 107. La Fig. 3 est aussi une vue de la surface supérieure de la moitié d’un plancher semblablement combiné dans les angles ; mais les trois poutrelles, P, P, P, reçoivent les assemblages de quatre solives, K, K, etc., qui se croisent à entailles à mi-bois au milieu du quarfé, et qui portent le cul-de-lampe établi au point milieu ; et deux goussets, R, R, sont assemblés dans leurs angles. Le tout est rempli par les pièces d’embranchement, Q, Q, etc. La Fig. 4 est une coupe prise sur la ligne S T.
  - 108. La Fig. 5 est une vue de deux solives d’enchevêtrure, H, H, et d’un chevêtre F, composant un châssis dit treillis de cheminée, garni d’étriers et de deux bandes de trémie en fer ; un linçoir, E, avec un étrier, et des solives de remplissages, K, K, etc. La Fig. 6 est une coupe prise sur s t.
  - La Fig. 7 est aussi un treillis de cheminée, mais assez étendu pour contenir l’âtre d’une cheminée et le tuyau-passant d’une autre cheminée. La Fig. 8, qui est la coupe, fait voir que lç haurdis est bandé en brique.
  - Exemple III.
  - Plancher exécuté en bois de châtaignier, qui existe encore dans le château de la Reine Blanche, près de Viarme. Planche XX.
  - 109. La Fig. 1 est une vue de la surface supérieure de la charpente, composée de quatre lambourdes, C,C, etc., encastrées dans la maçonnerie , quatre coyers 0,0, etc., y sont assemblés à queue, et reçoivent les tenons des solives en empa-non N, N, etc., qui sont dans les quatre angles. Ces quatre coyers, avec la partie moyenne des quatre lambourdes forment un octogone régulier, dont les côtés reçoivent les goussets R, R, etc., assemblés en about, et formant ainsi eux-mêmes un autre octogone inscrit dans le premier. D’autres goussets, diminuant graduellement de force, sont assemblés successivement de même pour former une suite d’octogones inscrits les uns dans les autres, et terminés par une courbe circulaire qui occupe le milieu de la surface. Les polygones sont maintenus en place par des tampons en forme de clefs, simulant seize liernes rayonnantes auxquelles correspondent dans la courbe circulaire, autant de solives rayonnantes buttant toutes au cul-de-lampe pendant au centre. La ligne ST, passant par le centre du polygone , a été choisie pour marquer la coupe Fig. 3, dans laquelle on voit la forme du cul-de-lampe A, celles des solives rayonnantes, K,K, les grosseurs de bois de la courbe circulaire, celles des goussets et des lambourdes.
  - La Fig. 2 est une configuration de deux sortes de planchers de menuiserie qu’on peut employer pour revêtir la surface supérieure de la charpente.
  - La Fig. 4 est un détail en grand de la courbe Z, composée de deux épaisseurs de madriers réunies avec assemblage à queue (33) aux douze joints rayonnants d’abouts, de la base du cylindre façonné en cuhde-lampe, et des goussets r qui sont les plus voisins de la courbe. La Fig. 5 est une coupe dudit détail. La Fig. 6 présente la manière dont sont assemblés les goussets r et les liernes y : la Fig. 7 est la coupe verticale desdits assemblages.
  - Exempel II.
  - 107. Die 3. Fig. ist wiederum eine Ansicht von der obern Seite eines halben Gebâlkes. Die/ Zusam-mensetzungen in den Ecken sind wie die vorigen, nur sind mit den kleinen Balkeu P, P, P, vier an-dere Balken K, K , u. s. w., verbunden; diese lez-tern sind über einander geplattet, und kreuzen sich in der Mitte der Yierecks ; auch tragen sie den Knopf, welcher in der Mitte angebracht ist; in den Winkeln derselben befinden sich zwei Tragbân-der R, R. Das Ganze endlich wird durch die Aus-füllungsbalken Q,Q, u. s. w. , vollendet. Die 4. Fig. stellt einen von der Linie S T, genomme-nen Durchschnitt dar.
  - 108. In der 5. Fig. sehen wir eine Ansicht von zwei an dem Kamine liegenden Balken H H , nebst dem Weclisel F, woraus das sogenannte Kamingit-ter, welches mit eisernen Bandera und zwei eiser-nen Stangen versehen ist, zusammengesetzt wird ; man sieht daselbst ferner den Wechsel E, mit einem Bande, und die ausfüllenden Balken K K, u. s. w. Der Durchschnitt in der 6. Fig. ist von s t, ge-nommen.
  - Die 7. Fig. enthalt ebenfalls ein Kamingitter; da solches von ansehnlicher Grosse ist, so kann darin nicht nur der Heerd, sondera auch der Rauchfang eines andern Kamins angebracht wer-den. Aus dem Durchschnitt in der 8. Fig. sehen wir, dass das Mauerwerk aus Backsteinen erbaut ist.
  - Exempel III.
  - Abbildung eines Gebâlkes aus Kastanienholz, itn
  - Schlosse der Kônigin Blanche, bei Viarme. —
  - Ta BELLE XX.
  - 109. In der 1. Fig. ist eine Ansicht von der obern Seite des Gebâlkes vorgestellt; solches be-steht aus den vier Hauptbalken C G, u. s. w., wel-che in das Mauerwerk eingesetzl sind ; die vier Wechsel O O, u. s. w., sind mit schwalbenschwanz-formigen Blâttern versehen , und in die Hauptbalken G, C , u. s. w., eingelassen ; ferner sind die Stichbalken N, N, u. s. w., in die Hauptbalken C, G, und in die Wechsel 0,0, u. s. w., einge-loeht. Diese vier Wechsel bilden mit dem mittlern Theile der vier Hauptbalken ein regulâres Acht-eck, an dessen Seiten die Tragbânder R, R, ange-legt werden , welche ihrer Seits ein anderes in dem ersten beschriebenes Achteck bilden. Andere Tragbânder, deren Stârke stufenweise abnimmt, folgen den ersten , und bilden eine Reihe von Achtecken, von denen eins in dem andern beschrieben ist; sie endigen sich sodann bei dem Zirkel Z, welcher sich in der Mitte des Gebâlkes befindet. Die Yielecke werden durch keilformige ZapfenY, zusammenge-halten. Mit diesen leztern, welche die Stelle von sechzehn strahlenfbrinigen Querbândern vertreten, sind in dem Zirkelrahmen Z, eben so viele strali-lenformige Balken verbunden, welche sâmmtlicli bei dem in der Mitte befindlichen Knopfe rund herum zusammenlaufen. Die Linie S T, geht Mitten durch das Vieleck hindurch , und deutet den Durchschnitt in der 3. Fig. an ; man sieht daselbst nicht nur die Gestalt des Knopfes A, so wie die der strahlenformigen Balken K, K, sondera auch die Dicke der Holzer aus welchen der zirkelformige Rahmen bestelit, so wie die Dicke der Tragbânder und der Hauptbalken.
  - Die 2. Fig. hat zwei Arten von Gebâlken zum Gegenstande, welche mit Tisclilerarbeit zusammengesetzt sind; man kann solche zur Verkleidung der obéra Seite der Balken anwenden.
  - Die 4* Fig- enthalt eine ausfiihrliche Darstellung des Zirkels Z. Dieser leztere besteht theils aus zwei Bohlendieken , welche durch Versatzungen (33) mit den zwolf strahlenformigen Balken verbunden sind, theils aus der Blitte des Cylinders, dem man die Gestalt eines Knopfes gegeben hat, theils auch aus den, dem Zirkel am nâchsten stehenden Trag-bândern r.
  - In der 5. Fig. sieht man den Durchschnitt dieser Darstellung. Die 6. Fig. zeigt die Art und Weise wie die Tragbânder r, und die Zapfen y, zusammengesetzt sind. Die 7. Fig. endlich enthâlt den verticalen Durchschnitt dieser Zusammensetzungen.
  - Exampl e II.
  - 107. The Fig. 3 , is also a vien of the upper surface of one half part of a floor, combined in the same manner in the angles ; but the three small beams, P, P, P, receive the assemblages of four joists, K, K, etc., that cross each other with noiches half way into the wood, in the middle of the square, and that bear the cul-de-lamp established in the middle point, and two brackets , R, R, are assembled in their angles : the whole is filled up by the joists Q,Q, etc. The Fig. 4 is a section taken on the line S T.
  - 108. The Fig. 5 , is a view of two girders, H, H, and of a binding-joists F, composing a frame cal-led chimney cross-bars, furnished with hooks and two tremion iron bands ; a beam called Linçoir, E, with an iron-hook, and framing joists, K, K, etc.
  - The Fig. 6, is a section taken on s t.^
  - The Fig. 7, is also a chimney frame with cross bars, but large enough to contain the hearth of a chimney and the passing, or, oblique flue, of an-other chimney. The Fig. 8 , which is the section I of it, shows that the hearth is filled up with brieks.
  - I
  - Example III.
  - A Floor also executed in chesnuttrée wood for the said Queen Blanche in her Viarme. Plate XX.
  - 109. The Fig. 1 , is a vien of the upper surface of the timber - work ; composed of four Juffers, G, G, etc., set into the wall ; four angle-tie-pieces, 0,0, etc., are assembled there with a tail, and receive the tenons of the sleepers, N, N, etc., which are in the four angles. The four above men-tioned angle-tie-pieces form, with the middle part of the four Juffers, a regular octagon, whose sides receive the brackets R, R, eut shelving and assembled at their extremities, forming themselves on that account another octagon inscribed into the former. Other brackets, gradually decreasing in strenght, are successively assembled in the same manner to form a sériés octagons inscribed one into the other, and terminated by a circular curve that occupies the middle part of the surface. The polygons are kept fast in their proper place by stop-pers y , in the form of keys, ressembling sixteen radiated rails (liernes) to which correspond, in the circular curve, as many radiated joists eut shelving and propping ail of them against the cul-de-camp hanging in the centre. The line ST, passing through the centre of the polygon , has been fixed upon to indicate the section Fig. 3, in which is seen the form of the cul-de-lamp A, that of the radiated joists, K, K, the thickness of the timber in the circular curve, and that of the brackets and the juffers.
  - The Fig. 2 , is the configuration of two sorts of floors in Joiner’s work, that may be employed to cover the upper surface of the timber work.
  - The Fig. 4 > is a detail on a large scale of the curve Z, composed of two madriers or thick planks laid over one another, and united with a tail-assem-blage (33) to the twelve radiated joints eut shelving at their extremities of the base of the cylinder, fashioned as a cul-de-lamp, and of the brackets r, which stand nearest to the curve. The Fig. 5, is a section of the above mentionen detail. The Fig. 6, présents the manner in which are assembled the brackets r, and the stoppers y : the Fig. 7, is the vertical section of the said assemblages.
  - %
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- - Exemple IV.
  - Example IV.
  - Plancher en bois de châtaignier, qui existe encore au château de Moret, et qui a été exécuté dans le temps que la Reine Blanche occupait ce château. Planche XXI.
  - no. La Fig. i est le plan de la tour, en forme d’octogone régulier de six toises de diamètre dans œuvre. Huit pièces principales en forme d’arbalétrier, S, S, etc., ont un de leurs bouts scellé dans les angles rentrants de la maçonnerie au-dessus de la corniche, et l’autre bout assemblé dans une courbe circulaire Z ; cette dernière contient aussi huit solives rayonnantes K, K, assemblées dans sa courbure intérieure et au cul-de-lampe cylindrique V, qui occupe le centre : des solives, J, J, etc, placées parallèlement à chacun des côtés du polygone, sont portées par les huit pièces, S, S, etc. Des frises rayonnantes et à couture polygonale, recouvrent les lambourdes.
  - La Fig. 2, qui est une coupe dudit plancher, fait voir que les pièces S, S, sont composées chacune de deux largeurs de madriers joints en crémaillère , boulonnées et assemblées à la courbe circulaire ; que les rives du dessous sont taillées en courbes, et ornées d’une moulure gothique. Les Fig. 3 et 4 en sont des détails plus en grand. La Fig. 5 est pareillement un détail du cul de-lampe V des solives rayonnantes kk de la courbe z, etc.
  - Exemple V.
  - Plancher aussi exécuté en bois de châtaignier,
  - pour la même reine, à son château de Viarme.
  - Planche XXL
  - La Fig. 6 est le plan d’une tour ronde aussi de 6 toises de diamètre, et la vue supérieure de son plancher, mais divisé en quatre détails particuliers, qui font connaître la disposition des pièces qui composent tout son ensemble.
  - Une lambourde C, C, de forme circulaire est établie de son épaisseur dans le mur au - dessus du dérasement de la corniche ; elle reçoit les assemblages de trente-deux poteaux, U, U, etc., également espacés sur sa circonférence : ces poteaux reçoivent à leur partie inférieure les assemblages des trente - deux courbes, S, S, etc., qui, par leur disposition oblique en forme d’arbalétrier, font effort contre la courbe Z, et la soutiennent. Meme nombre de solives, K, K, etc., sont pareillement assemblées à l’extrémité supérieure des poteaux, et à la courbe : elles portent le plafond et les solives polygonales, J, J, etc. C’est sur ces dernières que sont clouées les frises à joints rayonnants du plancher T, l’intérieur de la courbe est garnie de huit solives d’assemblage K, et dun cul-de-lampe V.
  - La Fig. y, qui est une coupe dudit plancher prise sur le diamètre S, T, fait voir les grosseurs et la forme des pièces précédemment dénommées. La Fig. 9 est un détail dessiné plus en grand de la lambourde c, et des grosseurs et assemblages des poteaux, u,u. La Fig. io fait voir les moulures à la rive inférieure des courbes S, S, et leur assemblage haut et bas, et celles des poteaux, u, u, qui se terminent en arc ogive, au moyen de deux liens représentés Fig. n et 12. La Fig. i3 représente la partie supérieure d’un des poteaux : on y voit la mortaise à embrèvement d’un des liens-ogives, la solive k, et la lambourde supérieure c : mais la solive k, est assemblée à queue sur le poteau ; c’est ce qu’indique la Fig. i4-
  - ( 3i )
  - ExempelIV.
  - Der Gegenstand dieses 4* Exempels ist ein Gebalke aus Kastanienholz, welches noch gegenwàrtig im Sehlosse zu Moret vorhanden , und zu der Zeit, wo die Konigin Blanche dieses Schloss bewohnte, erbauet worden ist.
  - 110. Die 1. Fig. zeigt den Grundriss desThurmes; derselbe bildet ein regulâres Achteck, dessenDurch-schnitt im Innern sechs Toisen betrâgt. Acht Haupt-balken formiren den Dachstuhl S, S, u. s. w., und sind mit dem einen Ende in die eingehenden Win-kel des Mauerwerks, und zwar über dem Karniesse, eingesetzt; das andere Ende derselben bildet den zirkelformigen Rahmen Z ; dieser lezte enthalt acht strahlenformige Balken K, K, welche im Innern zusammengesetzt sind, und bei dem in der Mitte befindiiehen cylindrischen Knopfe V, zusammen-laufen. Die Balken J, J, u. s. w., sind mit den Seiten des Polygons parallel gestellt, und werden von den acht Holzern S, S, u. s. w., getragen. Das Gebalk ist mit strahlformigen Bretern belegt. Die 2. Fig. stellt den Durchschnitt gedachten Gebalkes vor. Wir sehen daraus, dass ein jedes von den Holzern S, S, aus zwei Bohlenbreiten besteht, welche mit Zâhnen zusarnmen verbunden, mit Schrauben be-festigt, und rund herum an dem zirkelformigen Rahmen zusammengesetzt sind. Wir sehen ferner, dass die untere Seite bogenformig geschnitten und mit einer gothischen Zierrath versehen ist. Die Fig. 3 und 4 enthalten die nâmlichcn Details, aber mehr im Grossen. In der 5. Fig. ist die Ansicht des Knopfes V, der strahlenformigen Balken k,k, des Bogens Z, u. s. w., enthalten.
  - Exempel V.
  - Abbildung eines ebenfalls aus Kastanienholze fur dieselbe Konigin, in ihrem Sehlosse zu Viarme, erbaueten Gebalkes. Tabelle XXI.
  - Die 6. Fig. stellt den Grundriss eines runden Thurmes von ebenfalls sechs Toisen im Durchmes-ser, nebst der obern Ansicht des Gebalkes, dar. Die vier besondern Ansichten, in welche dieses leztere abgetheilt ist, beziehen sich auf die Stellung der Holzer, aus welchen das Ganze zusammengesetzt ist.
  - Der zirkelformige Hauptbalken C C, liegt mit seiner breiten Seite auf der Mauer, über dem Ge-simse auf 5 in denselben werden 32 Pfosten U, U, u. s. w., welche rund um ihm herum stehen, eingesetzt; an die untern Theile dieser Pfosten werden • 32 Biegen SS, u. s. w., angesetzt; diese leztern bilden die Dachstuhls'anlen, und wolben sich, ver-moge ihrer schràgen Gestalt über den Bogen Z, den sie zusammenhalten. Oben an den Pfosten und an dem Bogen befinden sich eine gleiche Anzahl Balken K, K, 11. s. w., welche die Decke und die vieleckigen Balken J, J, u. s. w., tragen. Auf diese leztern ist der mit strahlenformigen Fugen versehe-ne Boden des Gebalkes T, aufgenagelt; das Innere des Bogens ist mit acht Balken K, und einem Knopfe V, versehen.
  - Die 7. Fig. ist ein vom Durchmesser S T, genom-mener Durchschnitt des gedachten Gebalkes. Wir sehen daselbst die Dicke und Gestalt der so eben genannten Holzer. Die 9. Fig. enthalt eine aus-fiihrlichere und grossere Ansicht vom Hauptbalken G, so wie von den Zusammensetzungen und der Dicke der Pfosten u u. Die 10. Fig. zeigt die gothischen Verzierungen an der untern Seite der Biegen S S, so wie die obéré und untere Zusam-mensetzung derselben, so wohl als der Pfosten u, u, welche vermittelst zweier in den Fig. 11 und 12 vorgestellten Bander, ein gothisches Ohrgewolbe formiren. In der i3. Fig. ist dèr obéré Theil eines solchen Pfostens abgebildet : man sieht daselbst das Zapfenloch zu einem der eben gedachten Bander, so wie den Balken k, und den obern Balken c ; der Balken k, ist oben mit dem Pfosten durch eine in der 14. Fig. vorgestellte Kammversatzung verbunden.
  - A Floor in Chesnut-tree-wood, still existing in the
  - castle of Moret , which was executed at the time
  - when Queen Blanche dwelt in that castle.
  - 110. The Fig. 1, is the plan of the taver, in the form of a regular octagon, six fathoms in diameter in the clear. Eight man pièces in the form of principal rafters, S, S, etc., hâve one of their ends sealed in the reentrant angles of the wall, above the cornice, and the other end is assembled in the circular curve Z, which also contains eight radiated joists, K, K, assembled in the interior of the curve, and in the cylindrical oul-de-lamp, V, which oc-cupies the centre : some joists, J,J, etc., placed parallel on eaeh of the sides of the polygon, are supported by the eight pièces, S, S, etc. Some ra* diated friezes with a polygonal suture, cover the juffers.
  - The Fig. 2, which is a section of the said floor, shows that the pièces, S, S, are each composed of two madriers by the side of one another, joined with a rack, bolted and assembled in the circular curve ; and the edges underneath are eut curve-ways, and adorned with a gothick moulding. The Fig. 3 and 4 are the details of the above, but on a larger scale. The Fig. 5, is also a detail of the cul-de-lamp, V ; of the radiated joists, k,k, and of the curve Z, etc.
  - Example V.
  - A Floor also executed in Chesnut-tree-wood t for
  - the said Queen Blanche, in her castle of Viarme.
  - The Fig. 6, is the plan of a round tower which is also six fathoms in diameter, and the view of the superior part of its floor, but divided into four sépara te details which shon the disposition of the pièces of tituber used in the composition of the whole.
  - A Juffer C, G, of a circular form, is fixed into the wall, the thickest part being vertically placed, above the levelled top of the cornice, it reçoives the assemblages of thirty two posts, U , U , etc., placed at an equal distance from each other in the circumference ; those posts receive at their inferior end the assemblages if thirty two curves S, S, etc., which by their oblique disposition in the form of principal rafters, press hard against the curve Z, and support it. An equal nummer of joists, K, K, etc., are assembled in a similar manner at the superior extremity of the posts , and also in the curve : they bear the floor and the polygonal joists, J, J, etc. : it is upon these last joists that the friezes with radiated joints, of the floor T, are nailed : the interior part of the curve is furnished with eight joists of assemblage K, and with a cnl-de-lamp , V.
  - The Fig. 7 , which is a section of the said floor, taken on the diameter S, T, shows the bigness and forms of the above mentioned pièces. The Fig. 9, is a detail drawn upon a larger scale of the juffer G, and of the bigness and assemblages of the posts u, u. The Fig. 10, shous the mouldings at the inferior edge of the curves, S, S, and their assemblages both at top and bottom , as also those of the posts, u,u, which terminate in an Og-arch, by means of two bands represented in Fig. 11 and 12. The Fig. i3, represents the superior part of one of the posts ; there is seen the tusk mortise of one of the ogee bands, the joist k, and the superior juffer c: but the joist k, is assembled with a tail on the post, which is indicated in Fig. 14,
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- - ( 3a )
  - Exemple VL
  - Planchers de la Caserne de la Gendarmerie, à Niort ; par M. Havet, Ingénieur en chef des Ponts-et-Chaussées. Planche XXII.
  - La Fig. i est une vue de la surface supérieure de la moitié d’une travée : elle est composée de deux poutres armées, B, B, de 80 pieds de portée, scellées aux deux bouts dans des parties de murs renforcées d’éperons ; ces poutres sont garnies de lambourdes, C, C, et une autre lambourde, C, est encastrée dans la maçonnerie. Ces lambourdes re-çoivent les assemblages à tenon et à queue des coyers, O, O, et des solives à empanon, N, N, etc. ; ces coyers et les lambourdes reçoivent aussi les assemblages à queue des goussets, R, R, etc., qui se soutiennent mutuellement aussi par leurs queues d’assemblage. Ces goussets peuvent être combinés de différentes manières selon la forme du plancher: on voit dans cet exemple que la combinaison a été établie par un parallélogramme rectangle avec réserve d’un châssis quarré au milieu de la surface, contenant des solives rayonnantes, K, K, etc., et le cul-de-lampe V.
  - La Fig. 2 est une coupe prise dans le milieu de la largeur dudit plancher : elle montre la grosseur de la lambourde C , et la portion qu’elle occupe dans le mur ; on y voit les coupes des goussets, R, dont les dimensions de hauteur diminuent progressivement jusqu’à la pièce du châssis quarré ; et leurs tampons d’isolement : on voit aussi la forme d’une des solives rayonnantes, K, et ses assemblages au châssis et au cul-de-lampe, V ; la même coupe fait voir la disposition des arbalétriers de la poutre armée, B. La Fig. 3 est une coupe de ladite poutre, prise sur a b ; la Fig. 4 est une autre coupe, prise sur c d ; et la Fig. 5 en est une autre, prise sur e f.
  - La Fig. 6 est un solivage ordinaire : les solives, J, J, etc., sont portées par les lambourdes, C, C, appliquées aux poutres armées, B, B.
  - La Fig. y est une combinaison de quarrés inscrits les uns dans les autres, mais dont les côtés sont successivement parallèles aux diagonales. La longueur totale est partagée par les poutrelles, P, P : ces poutrelles, et les lambourdes, G,G, etc., reçoivent les assemblages des coyers, 0,0, etc., et des solives en empanon, N, N, etc. Les coyers, 0,0, reçoivent aussi les assemblages en abouts des goussets ; et ces derniers , d’autres goussets décroissants jusqu’à la croix de Saint - André, qui occupe le milieu.
  - Les Fig. 8 et 9 sont les coupes sur la longueur et sur la largeur.
  - Les grands planchers, récemment construits au Palais du Louvre , à Paris, sous les ordres de M. Fontaine, architecte du Roi, exécutés par Ballu, charpentier, nous ayant paru très- bien combinés, nous avons pensé qu’on nous saurait gré d’en mettre les détails à la suite des principes et des exemples qui précèdent.
  - Les Planches 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 et 3o, représentent les planchers des pièces principales de ce palais ; et l’arrangement des dessins de ces planches, en faisant suffisamment connaître les détails, notre texte sera ici borné à de simples indications. Les lettres majuscules, qui y sont distribuées, indiquent les mêmes pièces que dans les planches précédentes.
  - Exemeel VI.
  - Vorstellung eines Gebàlkes in der Gendarmerie-Caserne zu Niort. Tab. XXII.
  - Die Fig. 1 zeigt die obéré Ansicht eines halben Gebàlkes : dasselbe besteht aus zwei mit Eisen ver-bundenen, 80 Fuss langen Balken B, B, deren En-den in die durch Strebepfeiler verstàrkten Theile der Mauer eingesetzt sind ; diese Balken sind mit den Hauptbalken G, C, verbunden, ein anderer Balken C , ist in die Mauer eingelegt. In diese Balken G, G, werden die Wechsel O, O, durch Za-pfen und Kammversatzung, so wie die Stichbal-ken N, N, u. s. w., eingesetzt; mit diesen Wechseln und gedachten Balken werden ausserdem noch die Tragbànder R, R, u. s. w., durch Kammversatzung verbunden ; übrigens werden diese Tragbànder auch schon gemeinschaftlich unter einander selbst durch ihre Kàmme zusammengehalten. Die Zusammenset-zung derselben richtet sich nach der Gestalt des Gebàlkes, und kann mithin auf verschiedene Weise bewerkstelligt werden. Bei diesem VI. Exempel ist die Zusammensetzung derselben nach der Gestalt eines rechtwinkeligen Parallélogrammes geschehen. In der Mitte der Decke befindet sich eine viereckige Einfassung , in welcher man die strahlenfôrmigen Balken K, K, u. s. w., und den Knopf V, sieht.
  - Der Durchschnitt in der 2. Fig. ist aus der Mitte des Gebàlkes, und zwar von der breiten Seite ge-nommen. Wir sehen daselbst die Dieke des Bal-kens C, nebst dem in die Mauer eingesetzten Theile desselben ; ferner die Durchschnitte der Tragbànder R, deren Grosse bis zur viereckigen Einfassung stufenweise abnimmt ; wir bemerken zugleich mit die Zapfen wodurch diese Tragbànder in dem gehorigen Abstande erhalten werden. Endlich ent-hàlt dieser Durchschnitt noch die Abbildung von einem der strahlenfôrmigen Balken K, nebst den dazu gehorigen Zusammensetzungen und Verbin-dungen mit der Einfassung und dem Knopfe V, so wie die Sprengbalken, aus welchen der Hauptbalken B, zusammengesetzt ist. In der 3. Fig. sehen wir den Durchschnitt dieses Balkens ; solcher ist von der Linie a, b, genommen ; in der 4* Fig. ist der nàmliche Durchschnitt von c , d, und in der 5. Fig. von e, f, genommen;
  - In der 6. Fig. ist eine ganz gewôhnliche Balken-verbindung enthalten : die Balken J, J, u. s. w., werden von den Hauptbalken C, C, welche mit den mit Eisen verbundenen Balken B, B, verbunden sind , getragen.
  - Die Fig. y enthàlt eine Verbindung von Qua-draten , von denen eins in dem andern besclirieben ist; die Seiten derselben laufen aber mit den Dia-gonallinien allmàlig parallel. Die Lànge des Ganzen wird durch diekleinern Balken P, P, unterbrochen; mit diesen leztern , und mit den Balken G, G, u. s. w., werden die Wechsel O , O, u. s. w., und die Balken N N, u. s. w., verbunden. In die Wechsel O, O, kommen die Enden der Tragbànder, mit denen wieder andere verbunden werden. Die Grosse dieser Tragbànder nimmt allmàlig ab, bis zum Andreas-Kreuz, welches in der Mitte steht.
  - In der 8. und 9. Fig. sind die Durchschnitte der Lànge und Breite nach enthalten.
  - Da die grossen Gebàlke, welche neuerdings unter der Leitung des kbnigl. franz. Hofbaumeisters Fontaine , im Louvre zu Paris , erbaut , und von dem Zimmermeister Ballu ausgeftihrt worden sind, sich durch ihre Zusammensetzungen und Verbindungen sehr vortheilhaft auszeichnen, so hal-ten wir es allerdings der Mühe werth, die Haupt-bestandtheile derselben hier nachtràglich mit ein-zurücken. In der 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 und 3q. Tab. sind die Gebàlke aus den vorzüglichsten Salen dieses Pallastes dargestellt, und da die wis-senswürdigste Beschreibung derselben schon aus den in den Tabellen enthalteneO Zeichnungen er-hellt, so kounen wir uns füglich hier bloss auf die einfache Anzeige ihrer Bestandtheile beschrànken. Die grossen Buchstaben bezeichnen dieselben Holzer wie in den vorhergehenden Tabellen.
  - Example VI.
  - Floors executed in the Barracks of the Gendarmerie , at Niort, Pl. XXII.
  - The Fig. 1, is a view of the upper surface of one half part of a Bay of joists, (travée) : it is composed of two iron-belted-beams , B, B, eiglity fest long, sealed at both ends in walls reenforced arth with counterforts (éperons) ; those beams are furnished with the juffers G , C, and with another juffer C, set into the wall. These juffers receive the assemblages with a tenon and tail of the angle-tie-pieces 0,0, and of the sleepers, N, N, etc. ; these angle-tie-pieces , as well as the j uffers receive also the tail-assemblages of the brackets R, R, etc., which mutually support each other with their tails of assemblage. These brackets may be combined different ways, according to the form of the floor : one sees in this example that the combination has been established for a rectangular parallelogram, with the reserve of a square frame in the middle of the surface, containing radiated joists, K, K, etc., and the cul-de-lamp , V.
  - The Fig. 2, is a section taken in the middle of the breath of the said floor : it shows the bigness of the Juffer G , and the portion it occupies in the wall ; there are also seen the sections of the brackets , R, wliose dimensions respecting their height progressively decrease as far as the piece of the square frame ; and the stoppers are also in view : there is likewise seen the form of one of the radiated joists K, and its assemblages in the frame and in the cul-de-lamp V ; the same section shows the disposition of the pair of principals of the iron-bel-ted-beam B. The Fig. 3 , is a section of the said beam, taken on a b ; the Fig. 4, is another section taken on c d ; and the Fig. 5 , is another section of ihe same , taken on e f.
  - The Fig. 6, is a common joisting : the joists, J, J, etc., are borne by the juffers9 C%9 C9 laid upon the iron-belted-beams, B, B.
  - The Fig. y , is a combination of squares inscribed one within the other, but whose sides are succes-sively parallel to the diagonals. The total length is divided by the small beams , P, P : those small beams , and the juffers , G, C, etc., receive the assemblage of the angle-tie-pieces, O, O, etc., and of the sleepers, N , N, etc. The angle - tie - pièces, 0,0, receive also the assemblages of the brackets at their shelving extremities, and these receive Other brackets decreasing as far as the St. Andrew’s cross which occupies the middle part.
  - The Fig. 8 and 9, represent the sections on the lenght and on the breadth.
  - The large floors lately constructed in the palace of the Louçre} in Paris, under the direction of Mr Fontaine, Arehitect to the King, and executed by Mr Balu, Carpenter, having appeared to us ex* tremely wel combined, we were naturally led to suppose we could but please the Amateurs by in* serting the details concerning the above floors as a sequel to the foregoing principles and examples.
  - The Pl. 23,24, a5, 26, 27, 28, 29 and 3o, represent the floors of the principal rooras of that palace : the dispositions of the draughts in those plates pointing ont sufficiently ail the details, our text shall be limked to mere indications. The capital letters that will occur there indicate the same pièces as in the foregoing plates.
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- - (33)
  - Planche XXIII. Détails des planchers des grandes salles adossées a la colonnade.
  - Fig. i. Coupe du plancher prise su) la ligne a b du plan.
  - Fig. 2. Détails plus en grand de la poutre armée b, et des lambourdes cliatilattées d (32) vues en coupe.
  - Fig. 3. Les mêmes, vues de côté.
  - Fig. 4- Coupe transversale prise sur la ligne c d du plan.
  - Fig. 5. Retombée du demi-berceau, à la hauteur de la ligne e f.
  - Fig. 6. Vue supérieure du demi-berceau à la hauteur de la ligne g h.
  - Fig. 7. Vue supérieure du plancher, contenant aussi celle du demi-berceau.
  - Fig. 8. Continuation de la vue supérieure du plancher, dégagée de celle du demi-berceau.
  - Planche XXIV. Détails de la charpente du deuxieme étage adossé a la galerie.
  - Fig. 1. Vue du comble à vol d’oiseau.
  - Fig. 2. Coupc en grand des doubles poutres.
  - Fig. 3. Les mêmes, vues de côté.
  - Fig. 4. Coupe prise sur a b, de la figure première.
  - Fig. 5. Coupe prise sur c d, faisant voir les jam-bettes.
  - Fig. 6. Coupe prise sur c d, faisant voir le poinçon.
  - Fig. 7. Détail de la charpente avec solives.
  - Fig. 8. Même détail, sans solives.
  - Planche XXV. Détails du plancher de la Salle centrale de l'aile sud, vis-à-vis le Pont-des-Arts.
  - Fig. 1. Plan pris à la hauteur de la ligne a b.
  - Fig. 2. Plan pris à la hauteur de la ligne ef.
  - Fig. 3. Plan pris à la hauteur de la ligne c d.
  - Fig. 4- Coupc prise sur la ligne a b.
  - Planche XXVI. Suite des détails de la salle centrale de l'aile sud.
  - Fig. 1. Moitié du plan général.
  - Fig. ï. Coupe prise sur la ligne a b du plan.
  - Fig. 3. Autre coupe prise sur b c.
  - Fig. 4- Détail plus en grand de la Fig. 2.
  - Fig. 5. Détail d’une des courbes du demi-berceau, composées de deux pièces entées.
  - Fig. 6. Même courbe, d'une seule pièce.
  - Fig. 7. Vue de ladite courbe sur sa face creuse.
  - Fig. 8. Vue supérieure de l’assemblage de ladite courbe.
  - Planche XXVII. Plancher de la Salle dite de l’Institut.
  - Fig. 1. Coupe prise sur la ligne a b.
  - Fig. 2. Coupe prise sur la ligne cd.
  - Fig. 3. Plan du plancher de la figure première. Fig. 4. Plan du plancher, et enrayure de la figure deuxième.
  - Planche XXY1II. Suite des détails de la Salle de l'Institut.
  - Fig. 1. Coupe prise sur la ligne a b.
  - Fig. 2. Coupe prise sur la ligne cd.
  - Fig. 3. Plan pris à la hauteur de a b.
  - Planche XXIX. Plancher avec demi-berceau du pavillon dit des sept Cheminées, vu sur la longueur du Salon.
  - Fig. 1. Coupe sur la longueur, ou sur la ligne
  - ab.
  - Ta belle XXIII. Darstellung der Gebàlke in den grossen, an die Collonade anstossenden Seilen.
  - Fig. 1. Ein von der Linie a b, des Grundrisses genommener Durchschnitt des Gebalkes.
  - Fig. 2. Durchschnitt oder genaue Ansicht des Hauptbalkens 6, und der durch Anschoblinge ver-langerten Balken d (32).
  - Fig. 3. Dieselben Ansichten von der Seite.
  - Fig. 4. Durchschnitt, quer von der Linie cd, des Grundrisses genommen.
  - Fig. 5. Anfang des halben Gewblbes von der Hohe der Linie e f.
  - Fig. 6. Obéré Ansicht des halben Gewolbes von der Hohe der Linie g h.
  - Fig. 7. Obéré Ansicht sowohl des Gebalkes als auch des halben Gewolbes.
  - Fig. 8. Obéré Ansicht des Gebalkes allein.
  - Tabelle XXIV. Ansicht der Vîrbindungshôlzer im zweiten an die Gallerie anstossenden Stockwerke.
  - Fig. 1. Ansicht des Daches in gerader Linie.
  - Fig. 2. Durchschnitt im Grossen, der Doppel-balken.
  - Fig. 3. Dieselbe Ansicht von der Seite.
  - Fig. 4- Durchschnitt von der Linie a b, der 1. Fig.
  - Fig. 5. Durchschnitt von c d, nebst Ansicht der Stützbander.
  - Fig, 6. Ein anderer Durchschnitt von cd, nebst Ansicht des Giebelspiesses.
  - Fig. 7. Ansicht von der Verbindung des Gebalks. Fig. 8. Dieselbe Ansicht ohne die Ausfüllungs-balken.
  - Tabelle XXV. Darstellung des Gebalkes im Cen-tralsaale, am südlichen Flügel des Pallastes der Brücke ( Pont-des-Arts) gegenüber.
  - Fig. 1. Darstellung des Grundrisses in der Hohe der Linie a b, nach dem in der 4» Fig. angegebenen Durchschnitte.
  - Fig. 2. Darstellung des Grundrisses in der Hohe der Linie e f, des Durchsehnittes.
  - Fig. 3. Darstellung von der Hohe der Linie cd, des Durchschnites.
  - Fig. 4- Durchschnitt von der Linie a b.
  - Tabelle XXVI. Fernere Ansichten aus demselben Saale.
  - Fig. r. Hàlfte des allgemeinen Grundrisses.
  - Fig. 2. Durchschnitt von der Linie a b , des Grundrisses.
  - Fig, 3. Durchschnitt von der Linie b c.
  - Fig. 4. Ansicht im Grossen von der Fig. 2.
  - Fig. 5. Ansicht einer der Biegen , aus welchen das lialbe Gewblbe zusammengesetzt ist. Diese Biege besteht aus zwei zusammengesetzten Hôlzern.
  - Fig 6. Dieselbe Biege aus einem Holze.
  - Fig. 7. Ansicht dieser Biege auf îhrer ausgehblten Seite.
  - F ig. 8. Obéré Ansicht von der Zusammensetzung der nàmiichen Biege.
  - Tabelle XXVII. Gebàlke im sogenannten Instituts-Saale.
  - Fig. 1. Durchschnitt von der Linie a b.
  - Fig. 2. Durchschnitt von der Linis c d.
  - Fig. 3. Grundriss von der 1. Fig.
  - F ig. 4- Grundriss von der 2. Fig.
  - Tabelle XXVIII. Fernere Ansichten vom Jnstituts-Saale.
  - F’ig. 1. Durchschnitt von der Linie a b.
  - F’ig. 2. Durchschnitt von der Linie c d.
  - Fig. 3. Grundriss von der Hohe der Linie a b.
  - Tabelle XXIX. Gebàlke nebst halben Gewôlbbogen, in dem sogenannten Sieben-Kaminen-Pavillon. Die Ansicht von der Lànge des Saales genommen.
  - Fig. 1. Durchschnitt von der Lange, oder der Linie a b.
  - Plate XXIII. Details of the Floors of the large rooms on the side of the Colonnade.
  - Fig. i. A profile of the floor taken on the line ab of the plan.
  - Fig. 2. Details on a larger scale of the Iron-bel-ted bcam b, and of the chantlated juffers d (32) seen in profile.
  - Fig. 3. The same, viewed sideways.
  - Fig. 4. A transversale profile taken on the line c d, of the plau.
  - Fig. 5. A Butment of the semi- circular vault, level with the line ef.
  - Fig. 6. A view of the upper part of the semi-circular vault, level with the line g h.
  - Fig. 7. A view of the upper part of the floor, containing also that of the semi-circular arch.
  - Fig. 8. A continuation of the upper view of the floor, disengaged from that of the semi-circular arch.
  - Plate XXIV. Details of the timber - work of the second story, set against the wall of the gallery.
  - Fig. 1. A horizontal prospect (à vol d’oiseau) of the roof.
  - Fig. 2. A profile on a large scale of the double beams.
  - • Fig. 3. The same, seen sideways.
  - Fig. 4. A profile taken on the line a b, in the first figure.
  - Fig. 5. A profile on cd, showing the count-timbers.
  - Fig. 6. A profile on cd, showing the King-post.
  - Fig. 7. Detail of the timber-work, with the joists. Fig. 8. The same details without joists.
  - Plate XXV. Details of the Floor in the central room of the Southern wing ,facing the bridge called Pont des Arts.
  - Fig. 1. A plan taken level with the line a b.
  - Fig. 2. A plan taken level with the line ef.
  - Fig. 3. A plan taken level with the line c d.
  - Fig, 4- A profile taken on the line a b.
  - Plate XXVI. Being a sequel to the details of the central room in the Southern wing.
  - Fig. i. Shows one half of the general plan.
  - Fig. 2. A profile taken on the line a b of the plan.
  - Fig. 3. Another profile taken on the line b c. Fig. 4. A detail on a larger scale of the figure 2. Fig. 5. A detail of one of the curves of the semi-circular arch, composed of two pièces scarfed.
  - Fig. 6. The same curve, made of one only piece. Fig. 7. A view of the same curve, seen on its concave side.
  - Fig. 8. An upper view of the assemblage of the said curve.
  - Plate XXVII. Floor of the room called Salled de l’Institut.
  - Fig. 1. A profile taken on the line a b.
  - Fig. 2. A profile taken on the line cd.
  - Fig. 3. The plan of the floor of the first figure.
  - • Fig. 4. A plan of the floor, and the platform of the second figure.
  - Plate XXVIII. A sequel to the detail of the Salle de l’Institut.
  - Fig. 1. A profile taken on the line a b.
  - Fig. 2. A profile taken on the line c d.
  - Fig. 3. A plan taken level with a b.
  - Plate XXIX. The Floor with the semi-secular vault of the Pavillon called of the seven chimnies, seen on the length of the room.
  - Fig. 1. A profile on the length of the room , taken on the line a b.
  - 9
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- - Fig. 2. Plan pris sur a b.
  - Fig. 3. Plan pris sur c cl.
  - Fig. 4- Coupe prise sur la ligne cd.
  - Fig. 5. Vue qui fait voir le poinçon, les arbalétriers, et les nioises de décharge de la partie milieu des poutres du grand châssis à jour.
  - Planche XXX. Suite des détails du pavillon, des sept Cheminées, vu en travers du salon.
  - Fig. x. Coupe sur la largeur.
  - Fig. 2. Plan sur c d.
  - Fig. 3. Plan sur a b.
  - Fig. 4* Flan sur g h.
  - Fig. 5. Plan sur e f.
  - (34)
  - Fig. 2. Grundriss von a b.
  - Fig. 3. Grundriss von cd.
  - Fig. 4* Durchschnitt von der Linie c d.
  - Fig. 5. DarstellungdesGiebelspiesses, desSpreng-wertks und Strebebânder, aus der Mitte der Balken am grossen {Châssis-Jour.)
  - Tabelle XXX. Weitere .Ansichten aus demselben Pavillon, und quer durch den Saal genommen.
  - Fig. i. Durchschnitt von der Breite.
  - Fig. 2. Grundriss von c d.
  - Fig. 3. Grundriss von a b.
  - Fig. 4. Grundriss von g h.
  - Fig. 5. Grundriss von e f.
  - Fig. 2. A plan taken on the line a b.
  - Fig. 3. A plan taken on the line cd.
  - Fig. 4- A profile taken on the line c d.
  - Fig. 5. A view that shows the king-post, the pair of principals, the discharging binding pièces of the middle part of the beams in the lerge open frame.
  - Plate XXX. A sequel to the details ofthe Pavillon oj the seven chimnies, see non the hreadth ofthe room.
  - Fig. i. A profile taken on the hreadth of the room. Fig. 2. A plan taken on the line c d.
  - Fig. 3. A plan taken on the line a b.
  - Fig. 4- A plan taken on the line g h.
  - Fig. 5. A plan taken on the line ef.
  - FIN DE LA PREMIÈRE PARTIE.
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  - TRAITÉ
  - SUR
  - L’ART DE LA CHARPENTE
  - THÉORIQUE ET PRATIQUE Publié par J. Ch. KRAFFT, Architecte.
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  - THE ORETISCH-PRAKTISCHEN
  - ZIMMERMANNS-KUNST
  - Herausgegeben von J. Ch. KRAFFT, Baumeister.
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  - TREATISE
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  - THE ART OE CARPENTRY,
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  - WITH THE THEORY AND PRACTICE,
  - Published by J. Ch. KRAFFT, Architect.
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  - A PARIS,
  - Chez
  - L’AUTEUR, rue de Bourgogne, n° 25}
  - FIRMIN DIDOT, Imprimeur du Roi, rue Jacob, n° 24?
  - BANCE aîné, Marchand d’Estampes^ rue Saint-Denis, n°2i4?
  - REY et GRAVIER, quai des Augustins, n°55}
  - GOEURY, Libraire des Ingénieurs de l’École royale des Ponts et Chaussées, et de l’Ecole royale des Mines, quai des Augustins, n° 41 •
  - A Manheim , chez Ârtaria.
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  - 1820.
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  - Cette partie, en feuilles, est de 25 fr.; brochée, 26 fr., et cartonnée, 28 fr.
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  - DE L’IMPRIMERIE DE L.-T. CELLOT,
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  - AVANT-PROPOS.
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  - (Quoique notre recueil soit consacré à l’art de la charpente, l’escalier pouvant être considéré comme un passage oblique pour communiquer d’un étage à un autre, composé de marches, sur une base de grandeur et de forme variables à l’infini, et qui peut être exécuté en diverses sortes de matières, quelquefois en même temps, nous avons pensé qu’en donnant une théorie générale sur toutes les conditions dont ces sortes de passages sont susceptibles, nous mettrons aussi les ouvriers qui étudient, à même de les exécuter, soit en pierre, soit en bois de charpente, ou enfin en menuiserie.
  - Les praticiens y trouveront des exemples de calculs , qui les mettront à même de reconnaître si un escalier est possible , ayant seulement les principales mesures ; ils pourront donc, avant d’en commencer le tracé, reconnaître même la combinaison la plus sûre et la plus favorable à l’emplacement, ainsi que la distribution des barreaux de rampe, qui est presque toujours négligée, et dont on ne s’occupe qu’a-près l’escalier posé ; ce qui est un procédé vicieux : aussi voit-on dans la plupart des rampes, les barreaux mal combinés, parce que leur combinaison n’a pas été prévue (a).
  - Les rampes en fer, composées de barreaux recouverts d’un conducteur en bois poli, selon le goût actuel, sont d’un bel effet. Elles offrent le principal caractère de sûreté aux personnes qui montent et qui descendent : leur position est toujours évidente ; leurs défauts de combinaison, de construction et de symétrie , signalent toujours le mauvais praticien ; donc cet accessoire doit toujours être prévu dans les premiers tracés du projet.
  - Nous avons aussi, dans la théorie générale, détaillé les noyaux, les limons, les marches palières, etc.
  - A la suite de la partie élémentaire , sont des exemples de combinaisons, copiés sur ces diverses exécutions , qui nous ont présenté des développements utiles à l’étude, et qui donneront des facilités pour des combinaisons nouvelles, dans des localités de forme extraordinaire.
  - La cumulation de deux, trois, et même quatre escaliers sur une même base, ayant été heureusement appliquée dans quelques habitations , nous en avons soumis nos dessins à l’art de la gravure, et les avons placés après les planches qui contiennent les combinaisons élémentaires : et pour épargner le soin pénible d’en rechercher les détails de construction et de tracé, nous les avons réunis sur des planches doubles, afin qu’aucun obstacle ne puisse arrêter les praticiens, qui ont toujours peu de temps à donner aux recherches nécessaires pour le tracé de leur ételon.
  - (a) Ceci n’est point applicable aux projets combinés par les Architectes, qui embrassent dans leurs dessins la généralité des parties de l’escalier à construire.
  - VORREDE.
  - Gegenwærtiges Werk handelt zwar zunachst von denjenigen Grundsatzen, we^che auf die Zimmer-mannskunst Bezughaben; da aber eine Treppe gleich-sam als ein schrâg laufender Steg zu betrachten ist, aufwelchem man von einem Stockwerke zum an-dern gelangen kann ; da ferner dieselbe aus Stufen besteht, deren Basis nicht nur der Grosse und Ge-stalt nach, unendlich verschieden ist, sondern bis-weilen auch, zu einer und derselben Zeit, aus ver-schiedenartigen Materialien zusammengesetztwerden kann, so glauben wir, dass die Aufstellung einer all-gemeinen Théorie , wodurch sammtliche, bei den Treppen nothige Erfordernisse deutlich und be-stimmt auseinandergesetzt werden, nicht allein denjenigen Arbeitern willkommen seyn wird, die sich mit der Erbauung steinerner, sondern auch denen, die sich als Zimmerleute oder Tischler, mit der Yer-fertigung holzerner Treppen beschaftigen.
  - Die Baukundigen finden zugleich auch mathema-tishe Ausgaben, nach welchen sie , obgleich nur mit dem allgemeinen Masse des Locals versehen , bestim-men konnen , ob eine Treppe ausfiihrbar sey oder nicht. Diesem zufolge sind sie schon vor der Entwer-fung des Bisses im Stande, die dauerhafteste, und dem Locale ansgemessenste Zusammensetzung der Treppe sowohl als des Gelanders anzugeben. Die Zusammensetzung des Gelanders verdient um so mehr berücksichtigt zu werden , da man sich bey derselben sehr oft die grosste Nachlassigkeit zu Schulden kommen lasst, und sich gewohnlich erst dann damit beschaftigt, wenn die Treppe bereits schon aufge-richtet ist. Eine haufige Folge dieser fehlerhaften Verfahrungsart ist die , dass die meisten Gelander schlecht zusammengesetzt sind , weil man die Anle-gung derselben nicht im voraus bedacht hat ( a).
  - Nach dem jetzt herrschenden Geschmacke be-stehen die Gelander aus eisernen Staben , auf denen eine glatt polirte holzerne Auflage ruht. Sie empfeh-len sich nicht allein durch ihre schone Gestalt, sondern gewahren auch den herauf und herabsteigenden Personen die meiste Sicherheit. Und da ihre Gestalt sich dem Auge jederzeit auf eine deutliche und be-stimmte Weise darstellt, so wird die fehlerhafte Zusammensetzung, Erbauung und Symmetrie derselben stets einem unwissenden Baumeister verrathen : aus diesem Grunde muss also auf diesen accessorischen Gegenstand bei dem Entwurfe des Risses jederzeit mit Rücksicht genommen werden.
  - Bei der allgemeinen Théorie haben wir zugleich mit die Spindeln, Wangen und Ruheplatze , u. s. w. beschrieben.
  - Die dem scientivischen Theile angehangten Combinations-Exempel sind von verschiedenen Treppen-Ausführungen genommen. Ihre Anwendung kann fur die Kunst nicht anders als von Nutzen seyn, und zu neuen Combinationen führen , besonders bei Lo-calen, deren Gestalt von der gewohnlichen abweicht.
  - Da auf einer und derselben Grundflache zwei, drei, und selbst vier Treppen mit glücklichem Er-folge , in verschiedenen Gebauden ausgeführt wor-den sind , so hahen wir die darauf Bezug habenden Muster denjenigen Tabellen folgen lassen, welche die elementarischen Treppen-Zusammensetzungen enthalten : und um dem Leser das beschwerliche Aufsuchen der Beschreibungen und Zeichnungen zu ersparen, haben wir solche auf doppelten Tabellen dargestellt, so dass die Lehre ohne Zeitverlust gezeichnet werden kann.
  - (a) Dieser Vorwurf kann aber die Baumeister nicht treffen, welche bei ihren Rissen auf aile Theile der zu erbauenden Treppen Rücksicht nehmen.
  - PREFACE.
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  - Though our collection be consecrated lo the joiner’s art, as the slair-case may be considcred as an oblique passage from one story lo another, made up of steps infinitely varied in size and forrn , which may be executed in different kinds of materials, we thought that in giving a general lheory of the several conditions which these passages are susceptible of, it may be possible to render the execution easier to the workman , both in stone or timber.
  - The professional man will find examples of calculation by which he may easily discover if a slair-case be possible, having once obtained the principal mea-sures; he may then, before he draws out the plan, arrive at the surest combination and most favourable to the laying and distributing of the rails of the balustrade , which is almost ever neglected, or never thought of till the stair-case be laid. Nothing can be more vicious than this manner of proceeding , and nothing is more common than an ill-combined distribution of rails, because this combination has not been foreseen (a).
  - Iron balustrades, coveredover with a conductorof polished timber , according to the modem taste , produce the best effect. They offer the principal character ofsafety to those who go up or down; their position is always évident ; their want of combination, construction, or symmetry, ever belray the bad and " ignorant workman. The accessory parts ought then to be ever provided for, before we draw the first draught of a project.
  - We hâve already, in the general theory, given a detailed account of the landing-steps, the spindle and the string-board,
  - After the elementary part corne examples of combinations copied after the different executions that held out to us more general observations useful to study, and which will facilitate new combinations in places of an extraordinary form.
  - The accumulation of two, three and even four stair-cases on a same basis, having been successfully appliedinsomehouses,we hâve submitted our draw-ings to the art of engraving, and we hâve placed them after the plates, which contain the elementary combinations : to save the trouble of looking for the details of construction and of the trait, we hâve reunited them on double plates, in order that no obstacle should stop practisers, whose time is always short for the searches necessary to the délinéation of their ételon.
  - [a] This is not applicable to plans combined by ar-cbitects, that embrace the generality of the parts ofa stair-case to be constructed.
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- - TRAITE
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  - L’ART DE LA CHARPENTE
  - THÉOBIQUE ET PRATIQUE.
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  - Pour pouvoir, dans une maison, se rendre d un étage inférieur au supérieur, ii faut un plan incliné , façonné par l’art, qui doit le rendre commode, agréa ble et bien éclairé. On a donné à cette partie du bâtiment le nom d'Escalier; mais les parties destinées à pouvoir s’abaisser au-dessous du sol (même en continuité d’un escalier) , prennent le nom particulier de Descente ; et on a donné le nom de Perron aux parties destinées à monter au rez-de-chaussée, quand il est plus élevé que le sol.
  - On divise les escaliers en deux classes principales, qu’on nomme Grand escalier et Petit escalier : ces deux dénominations sont très-usitées dans les écritures dites, Etals des lieux, Devis, Mémoires, etc. Les traités d’Archilecture contiennent un très-grand nombre de dénominations particulières d’escaliers, qui peuvent se réduire aux suivantes.
  - Escalier à base triangulaire, Fig. 1, PI. X.
  - — quari'éej PI. XIY, Fig. 1.
  - — parailétogrammique ( ou barlongue ) , PI.
  - XVIII, Fig. 1,
  - — hémicycle (en fer à cheval), PI. XXI, Fig. 1.
  - — circulaire (rond) PI. XVI, Fig. 1, et PI. XXV,
  - Fig. 1.
  - — elliptique (sur un plan ovale) , PI. XXIII,
  - Fig. i.
  - — à double courbure, PI. XI, Fig. 12.
  - Dans les constructions neuves, on peut souvent choisir la forme et les dimensions de la base de l’escalier à exécuter : dans ceux qu’on appelle Escaliers imprévus, il est rare qu’on ait la même faculté : la destination de l’escalier, les localités, ou les conditions demandées par le propriétaire, etc., seront, dans ce cas, la règle que doit suivre le constructeur pour former son plan. Les Fig. 1, 2, 5 et 6, de la PI. VII, et celles 1, 2, 3 et 4, de la PI. VIII, sont des exemples d’applications faites dans de vieux bâtiments , d’après leurs anciennes distributions, et les besoins nouveaux.
  - PRINCIPES.
  - Plusieurs bons architectes sont d’accord sur les convenances suivantes.
  - L’escalier doit être situé à peu de distance de l’entrée de la maison ; son extension doit être en rapport avec l’usage auquel il est destiné ,N et principalement assez vaste pour le passage des objets d’ameublement qui doivent y passer. Il doit non-seulement être construit solidement, mais en même temps avoir aussi l’apparence de cette solidité, caractère principal de cette partie la plus fréquentée du bâtiment.
  - L’entrée d’un escalier doit se présenter favorablement à la personne qui y arrive ; les paliers de repos, quand on ne peut les éviter, doivent être éclairés; mais la lumière est encore plus essentielle aux paliers d’arrivée , où est l’entrée des appartements. Le contour de la ligne de giron est toujours plus agréable a parcourir quand il est arrondi, que quand il est angulaire. Les plafonds lisses conviennent principalement aux petits escaliers ; mais le travail en doit être proprement soigné ; les moindres imperfections
  - ANWEISUNG
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  - THEORETISCH-PRAKTISCHEN
  - ZIMMERMANNS-KUNST.
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  - ZWEITER THEIL.
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  - PART IL
  - C¥ -Cëaàed.
  - W"ill man sich in einem Gebâude aus einem Stock-werk in das andere begeben , so bedarf es hierzu ei-nes schrâgen, von der Kunst geformten Planes , des-sen Haupteigenschaften Bequemlichkeit, Licht und âusere Schonheit sind. Dieser Theil \ des Gebâudes führt den Namen Treppe. Geht, bei übrigens un-un terbrochenem Laufe der Treppe , ein Theil dersel-ben in den Fussboden hinein, so nennen die franzo-sischen Baumeister diesen verlângerten Theil Descente. Da hingegen der Theil, auf welchem man zum Erdgeschoss gelangt (wenn dasselbe hoher als der Fussboden ist), Auftritt genennt wird.
  - Ursprünglich theilt man die Treppen in grosse und kleine, welche Benennungen in Plânen, Bauanschlâ-gen und andern schriftlichen Aufsâtzen , sehr hâufig vorkommen. Was die besondern Benennungen der Treppen anbetrifft, so gibt es deren eine sehr grosse Menge, welche sich sammtlich auf folgende reduci-ren lassen.
  - Treppen mit dreieckiger Basis, Tab. X, Fig. 1.
  - — viereckiger Basis, Tab. XIV,-Fig. 1.
  - __parallelogrammfôrmiger Basis, Tab. XVIII,
  - Fig. 1.
  - — halbzirkelrunder ( hufeisenformiger ) Basis,
  - Tab. XXI, Fig. 1.
  - — zirkelrunôer Basis, Tab. XVI, Fig. 1, Tab.
  - XXV, Fig. 1.
  - — lànglich runder (ovaler) Basis, Tab. XXIII,
  - Fig.12.
  - — doppelter Biegung Basis, Tab. XI, Fig. 12.
  - Werden neue Treppen erbaut, so hângt die Ge-
  - stalt und Dimension der anzulegenden Treppe sehr oft von der Willkühr des Baumeisters ab. Bei den sogenannten unvorhergesehenen oder spâter zu er-bauenden Treppen aber, findet diese Willkühr sehr selten Statt. In diesem Falle muss sich der Baumeister nach der Bestimmung der anzulegenden Stiege , nach dem Local, und besonders nach den von dem Eigen-thümer vorgeschriebenen Bedingungen richten, und darnach seinen Riss entwerfen. In den Fig. 1, 2, 5 und 6, Tab. VII, und 1, 2, 3 und 4, Tab. VIII, findet man zweckmâssige Muster, welche sowohl nach der ursprünglichen Eintheilung alter Gebâude, als auch fur spâter nothig gewordene Bedürfnisse ge-fertiget worden sind.
  - PRINCIPIA.
  - Mehrere erfahrne Baumeister stellen für die Er-bauung einer Treppe folgende Regeln auf.
  - Eine Treppe muss nahe am Eingang eines Hauses angelegt werden; die Grosse derselben muss mit dem Gebrauche, zu welchem sie bestimmt ist, im Ver-hâltnisse stehen; auch muss sie gerâumig genug seyn, um Mobilien und andere Gerâthschaften ohne Ilinderniss hinauf schalfen zu konnen ; sie muss fer-ner nicht bloss fest erbaut seyn, sondera diese Fes-tigkeit, welche ein wesentliches Erforderniss bei diesem so hâufig gebrauchten Theile des Hauses aus-macht, muss sich auch durch den Anschein dem Auge bemerkbar machen.
  - Der Zugang zu einer Treppe darf sich den eintre-tenden Personen durch keine widerwârtige Gestalt darstellen. Lassen sich die Ruheplâtze nicht verrnei-den, so müssen sie wenigstens lichtvoll seyn ; besonders aber ist das Licht bei dem Eingange zu den Zimmern , ein noch wesentlicheres Erforderniss. Die Stufen lassen sich weit angenehmer beschreiten, wenn solche abgerundet, als wenn sie eckig sind. Glatte Decken schicken sich vorzüglich für kleine Treppen ; sie müssen aber mit Sorgfalt gearbeite j
  - To be able to pass in a house, from a lower to an upper story, an inclined plan , formed with art, is necessary, which is to render it convenient, agréable and well lighted. To this part of the building, they hâve given the name of stair-case ; but the parts in-tendedfor descendingbelow the ground, even though a continuation of the stair-case , take the particular name of descent, and they hâve given the name of perron to the steps leading to the peristile when the ground floor is raised above the surface of the earth.
  - Stair-cases are divided into two principal classes called great and little stair-case; those tvvo dénominations are very common in ordinary bills and states-ments. Treatises on architecture contain a great num-ber of particular dénominations of stair-cases, which may be reduced to the following ones.
  - Stair-case ofa triangular basis, Fig. 1, PI. X.
  - — square basis, Fig. 1, PI. XIV.
  - — parallelogrammatic basis, Fig. 1, PI. XVIII.
  - — hémicycle basis, Fig. 1, PI. XI.
  - — circular basis, Fig. 1, PI. XVI and XXV.
  - — ellyptic basis, Fig. 1, PI. XXIII.
  - — double curvebasis, Fig. 12, PI. XI.
  - fn new constructions we may often choose the form and dimensions of the basis ofa stair-case to be exe-cuted ; in those called unforseen stair-cases, the same facility is seldom possible : the destination of the stair-case , the situation, or the conditions required by the proprietor, must serve, in this case , as a raie to be followed by the constructor in drawing up his plan. The Fig. 1,2 , 5 and 6 of PI. the seventh, and those 1, 2, 3 and 4, Pb VIII, are examples of applications madein old buildings after their old distributions and new wants.
  - PRINCIPLES.
  - Several good architectshave adopted the following principles.
  - The stair-case is to be placed at a very small distance from the entry of the house. Its extent is to be proportioned to the use to which it is intended, and above ail, large enough for the passage of furniture-articles. It is not only to be constructed in a solid manner, but this solidity is to strike the eye , and ought to be the principal character of this most fre-quented part of the building.
  - The entry of the stair-case is to présent itself in a favourable manner to the person who cornes. The landing steps when they cannot be avoided , must be placed in a favourable light ; but this situation is much more essential to the landing places that give into the apartments. The outline of the breadth of the step présents itself more agreably, if it be circular, than when it is of an angular form. Uniform cielings are better adapted to small stair-cases ; but the work is to be finished with an extreme care : the least im-
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- - ou défectuosités en sont trop visibles, principalement quand on descend.
  - La décoration des escaliers doit être simple ; les ornements auront peu de relief : on adoucit les angles rentrants; on proscrit entièrement aujourd’hui les poteaux et noyaux pleins, parce qu’ils ont de la ressemblance avec les étayements, et qu’avec eux, il est plus difficile d’atteindre une forme élégante et agréable. Les statues ornent très-bien les grands escaliers.
  - 1. Ou l’escalier est seulement composé de marches (les paliers de repos et ceux d’arrivée peuvent être considérés comme des marches contenant une grande surface horizontale ) ; ou les marches sont soutenues avec des noyaux, ou elles le sont avec des limons ; mais à toutes les sortes d’escaliers dits avec noyaux à jour, il faut un garde-corps ou appui, nommé Rampe, composée de balustres ou de barreaux.
  - 2. Le tracé des descriptions, des développements et des assemblages, qui précède l’exécution d’un escalier, prend généralement le nom d'‘Etelou, ou Epure. La description horizontale, aussi nommée Plan, se réduit, dans les cas simples, à une configuration en retombée des surfaces horizontales des marches, compris leurs scellements, plus la ligne qu’on appelle de Giron. Mais quand les marches sont ornées de moulures ou cordons, il faut aussi y ajouter leur retombée ; et quand le recouvrement des marches doit contenir une coupe oblique, dite en tas de charge, il faut aussi en marquer la retombée, principalement aux marches cintrées, et à celles qu’on appelle dansantes. Les poteaux, noyaux, limons et crémaillères, y seront de même figurés en retombées, dans les cas où ces pièces seront admises dans la composition de l’escalier.
  - Les praticiens font rarement usage des descriptions orthographiques ; en sorte que les développements qui doivent accompagner le plan, se réduisent quelquefois à des panneaux et calibres rallongés , dont on fait usage pour reporter sur le volume les détails du tracé de l’ételou.
  - Remarque. Ayant reconnu que le dessin d’élévation est favorable à l’étude de l’escalier, nous conseillons aux commençants de s’y exercer ; et pour les faciliter, nous avons marqué les élévations sur les plans aux Planches VI, VII, VIII, X, XIV, XVI, XVIII, XIX, XXI, XXIII, XXV et XXVIII. Ce Ce dessin sera aussi plus favorable que l’ételou, pour faire connaître au propriétaire la forme qu’aura l’escalier qu’il demande..
  - 3. On distingue, à chaque marche, trois surfaces principales, PI. VII, Fig. 7 : i°l’horizontale a, a, a, a, qui est toujours plane; on la nomme Giron : 20. la verticale, b, est nommée Pas, ou devant de la marche, ou hauteur de la marche; celle-ci, qui est ou plane b, ou courbe, dite cintrée en plan c: lorsqu’une partie seulement est courbe d, e, on dit qu’elle est adoucie sur son plan. Cette même face verticale est aussi susceptible d’être ornée de moulures, que l’on nomme Cordons, m, m, m [a); 3°. la surface du dessous, f, Fig. 9, est appelée Plafond ; elle peut être a, a, Plane, ou en Hélice. (Fraizier nomme cette dernière Planohélicoïde. )
  - Les bouts des marches ont aussi reçu des noms particuliers : celui qui est scellé dans le mur, q, q, q, est appelé la Queue de la marche ; et celui qui est apparent dans le noyau à jour, n, n, n, ou inapparent au noyau plein, se nomme Collet.
  - {a) Crussière, démonstrateur, dit que le pas doit toujours se raccorder au giron des marches par une arête, et que les moulures qu’on y a introduites dans le siècle dernier, sous le prétexte de les orner, produisent un effet contraire; que d’ailleurs ces saillies sont dangereuses, puisque parfois elles arrêtent tout-à-coup le mouvement du pied de la personne qui monte, lui causent une chute ou du moins un choc désagréable.
  - seyn, und zwar um somehr, davorzüglich beim Herab-steigen, der geringste Fehler daran bemerkbar ist.
  - Fine Treppe muss ganz einfach verziert seyn ; die Zierrathen selbst, müssen nur leicht erhaben seyn ; die eingehenden Winkel werden ausgeglichen; Pfosten und voile Spindeln werden gegenwàrtig nicht mehr angewendet, und zwar um deswillen weil sol-che nicht nur die Ausführung einer schonen und ge-fàlligen Gestalt erschweren, sondern auch überdem noch das Ansehn von Stützen haben. Grosse Treppen werden mit Bildsâulen sehr schon verziert.
  - Wir bemerken :
  - 1. Die Stufen aus welchen eine Treppe zusammen gesetzt wird, halten sich entweder unter einander selbst zusammen ( die Ruhe und Vorplatze konnen als Stufen von grossem horizontalen Umfange betrach-tet werden ) ; oder sie werden durch Spindeln oder Wangen zusammengehalten; bei allen Treppen aber, welche anstatt der Spindeln, Oeffnungen haben, muss ein Gelander aus eisernen Staben angebracht werden.
  - 2. Um eine Treppe auszuführen, müssen aile zu derselben gehorigen Theile auf dem sogenannten Reissboden umstandlich aufgezeichnet werden.
  - Die horizontale Vorstellung, oder der Riss, be-steht bei gewohnlichen Treppen in einer einfachen Zeichnung, in welcher die horizontalen Flâchen der Stufen durch Linien angedeutet werden , und wobei zugleich mit die Einsetzung derselben, so wie die so-genannte Stufenlinie bemerkt ist. Sind die Stufen mit Gesimsen versehen, so müssen dieselben eben-falls durch Linien ausgedrückt werden ; welches auch dann beohachtet werden muss, wenn die Bekleidung der Stufen nach einem schragen Schnitte geschehen ist, welches vorzüglich bei gerundeten und bei schrag laufenden Stufen der Fall ist. Werden Pfosten, Spindeln, Wangen und Einlochungen bei den Treppen angewendet, so müssen sie ebenfalls durch Linien ausgedrückt werden.
  - In der Praxis kommen Aufrisse sehr selten vor ; weshalb sich auch die Risse oft nur auf Fâcher und verlangerte Durchschnitte beschranken , nach welchen die Lehrbreter bei der Ausführung der Treppe gefertigt werden.
  - Bemerkung. Da wir uns aber iiberzeugt haben, dass die Aufrisse beim Studium des Treppenbaues von grossem Nutzen sind, so rathen wir Anfàngern, sich fleissig darauf zu legen. Und um ihnen hierin behülllich zu seyn, so haben wir die Ansichten auf den Rissen der Tab. VI, VII, VIII, X, XIV, XVI, XVIII, XIX, XXI, XXIII, XXV und XXVIII an-gegeben. Eine solclie Zeichnung ist auch weit mehr als das Lehrbret geeignet, dem Bauherrn einen an-schaulichen Begriff von der Gestalt de verlangten Treppe zu geben.
  - 3. Bei jederStufe kommen drei Arten von Flachen vor; Tab. VII, Fig. 7 : i° die horizontale Flache a, a, a, a; sie ist jederzeitflach, und wird die Stufen-breite genannt; 2°die verticale b, heisstdie Steigung oder die Stufenhohe ; die Linie dieser Stufen ist entweder gerade b, oder ein, oder auswarts geschweift c ; nach d, e, ist bloss ein Theil derselben geschweift, an dieser verticalen Seite konnen Gesimse m, m, m, als Zierrathen angebracht werden (a). Die untere Seite f, Fig. 9, welche als Decke (Plafond) dient, kann entweder flach oder schief seyn (Fraizier nennt dieselbe Planohelicoïde ).
  - Die Enden der Stufen werden ebenfalls auch mit besondern Namen bezeichnet. Das Ende q, q, q, welches in die Mauer eingesetzt wird, heisst die aussere Seite (in Frankreich Schwanz genannt); das andere hingegen , welches an der Oeffnung n, n, n, sichtbar
  - (a) Der Demonstrator Crussière behauptet, dass die Steigung jederzeit durch eine Rante mit der Stufen-breite verbunden werden musse, und dass die Gesimse, welche man im vorigen Jahrhundert als vermeintliche Zierrath daran angebracht habe, eine ganz entgegenge-setzte ’Wirkung hervorbrachten ; dass ferner diese Vor-stosse die nachtheiligsten Folgen nach sich ziehen konn-ten, indem sie nicht nur sehr oft das Vorscheiten der hinaufsteigenden Personen plotzlich hinderten, sondern ihnen auch nicht selten einen Fall, oder doch wenigstens einen unangenehmen Anstoss verursachten.
  - perfection strikes immediately the eye, and becomes particularly visible to those who go down.
  - The décoration of stair-cases ought to be very simple ; the ornaments without any forcing décorations ; little, or no-embossed work. The angles are to be softenedasmuch as possible : the stakes and the full spindles are entirely out of use to-day, because they hâve too strong a ressemblance with the supporters, and because it is far more difficultin employingthem, to attain any élégant or agréable form. Statues may be happily placed for ornaments in large stair-cases.
  - 1. Where the stair-case is composed but of steps, (the landing steps, and landing places may be con-sidered as steps containing a greater horizontal surface ;) where the steps are supported by spindles, or where they are by a string-board ; but in everykind of stair-cases, constructed with open spindles abalus-ter or support, called flight, composed of rails, is indispensably necessary.
  - 2. The outline of the descriptions, the unfolding and assemblage of the different plans, that preceds the execution of a stair-case, is generally called by the name of [épure) draught as large as nature. The horizontal description called likewise plan or draught, is reduced in simple cases to an arched configuration of the horizontal surfaces of the steps, including their sealing together with the line called circumference (de giron). But when the steps are adorned with moul-dings, it is necessary to add their arched fall; and when the laping of the steps is to contain an oblique section, the arched form is likewise to be marked, particularly in the steps made arch-ways and in those called Winders. The posts, spindles , string-boards and the crémaillères are to be represented there under si-milar figures, provided, those pièces be introduced into the composition of the stair-case.
  - The professional men seldom make use of orthographie description , so that the unfolding of the plan is sometimes reduced to pannels or grafted moulds, which are employed to represent the de-tailed parts of the outlines of the Etelou.
  - T
  - Remark. Having acknowledged that the plan of élévation is favourable to the study of the stair-case, we recommend to beginners to exercise themselves thereon ; and to render their study more easy we hâve marked out the élévation of the plans on the plates
  - VI, VII, VIII, X, XIV, XVI, XVIII, XIX, XXI, XXIII, XXV and XXVIII. This draught will prove likewise more favourable thanthe etelou to make the proprietor acquainted w ith the form of the stair-case he requires.
  - 3. We distinguish atevery step three principal sur faces; PI. VII, Fig. 7 : i° the horizontal a, a, a, a, which is always of a plane surface; it is called outline [giron) : 20 the vertical b, is called step. Or front of a step , or height of a step; the latter which is either a plane surface b, or a curved one called arched on its plan c, when one part only is curved d, e, one says that it is curved on its plan. That same vertical face is likewise susceptible of being adorned with mouîdings, called [cordons), m, m, m [a) ; 3° The lo-wer surface f, Fig. 9, is called cieling, it may be of a plane and spiral form. [Fraizier calls it Planohelicoïde. )
  - The extremities of the steps hâve likewise received particular names ; that which is sealed in the wall q, q, q, is called the dove-tailed part of the step; and that which is apparent in the open spindle n, n, n, or which is not apparent in the full spindle is called
  - [a) The demonstrator Crussière says that the step must always be joined to the outline of the step, by an edge and that the mouîdings employed in the last âge under the pretext of ornaments, produce a contrary effeet, that moreover those projections are dangerous, whereas they sometimes stop at once the motion of the foot of the person who goes up, and sometimes make him fall.
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- - 4. La projection de chaque marche occupe , dans la description horizontale, une petite portion de sa surface ; et cette portion de surface montre une forme déterminée pour chacune : ces variétés de forme, et même celles de positions, sont encore distinguées par des adjectifs. i° Lorsqu’une série de marches, PL I, Fig. 9, 15 et 21, sont disposées rectangulairement à la ligne de giron, on les appelle Marches droites; 20 Marches dansantes, quand le devant coupe obliquement ladite ligne de giron, même PL, Fig. 25; 5° dans les plans circulaires, Marches rayonnantes, quand la projection du devant tend au centre, PL YII, Fig. 1 et 5 ; 4° Pre~ mière marche, celle qui commence l’escalier au rez-de-chaussée (la première marche doit avoir assez d’étendue pour recevoir la naissance du limon du patin, Fig. 10 et 5, PL II; ou de la crémaillère, Fig. 3, même PL, soit qu’elle soit simple, comme a, Fig. 10, ou jumelle, comme b, Fig. 5, même PL); dans tous les cas, elle doit être posée sur un massif qui lui donne une stabilité durable; car c’est un grand défaut de la placer sur des garnis corruptibles; 5° Marches de repos, A, Fig. 1, PL XIY, celles des paliers de repos ; 6° celle d’arrivée à un étage, Marche palière, Fig. 16 et 1 7 , PL IV; 70 et comme on exécute souvent des escaliers qui n’ont point de limons, les marches en sont dites Marches contre-profilèes, Fig. 10 , PL I.
  - 5. La Longueur d’emmanchement, ou simplement emmanchement, dans le langage pratique, désigne la plus grande dimension de la marche ou sa longueur; cette étendue n’est point susceptible d’une règle générale : diverses considérations influent sur la fixation de celte mesure indéterminée ; ce sont la surface plus ou moins grande de la base de l’escalier, et d’autres motifs semblables, qui doivent la déterminer : cependant cette longueur ne peut être moindre de 2 p. , qui sont à-peu-près la largeur des passages étroits. Le giron, ou la largeur des marches, doit être assez grande pour recevoir le pied de la personne qui monte ou qui descend : on trouve très-étroites celles qui n’ont que 8° de giron. La hauteur ne devant pas exiger un effort pénible des muscles, 5° 1 ou 6°, seront des dimensions convenables.
  - Observation. Les marches de grands escaliers ont environ 5° - de haut, et 12 à i3° de giron ; et Fon dit des escaliers dont les marches sont ainsi proportionnées, qu’ils sont doux; mais il existe des petits escaliers dont les marches ont 70 et même plus de hauteur ; et dans ces cas on dit qu’ils sont rudes, parce qu’on monte et qu’on descend avec peine les marches qui ont ces dimensions de hauteur.
  - 6. Le pas ordinaire d’une personne qui marche sur un plan horizontal, est évalué approximativement à 2 p. de longueur; mais quand on monte ou qu’on descend dans un escalier, la quantité dont on monte ou dont on descend, à mesure qu’on avance, rend impossible de faire le pas aussi long que dans le sens horizontal ; et l’expérience a même fait connaître que la hauteur des marches diminue plus que proportionnellement la largeur qu’on peut leur donner.
  - D’après ce principe, pour trouver le giron que doit avoir une marche, il faut retrancher de 2 p. le double de la hauteur de la marche. Si donc g est le giron, et h la hauteur , on aura g == 2 p. — 2 h.
  - ( 3 )
  - J ist, oder in die Spindel eingelassen wird, heisst in Frankreich der Hais.
  - 4* Die einzelnen Stufen werden auf dem Risse nicht nur nach ihrer verschiedenen Gestalt, sondera selbst auch nach ihrer verchiedenen Richtung vor-gestellt; welche Yerschiedenheit wiederum durch Beiworter ausgedrückt wird. Wenn namlich i° eine Reihe Stufen mit der Stufenlinie rechtwinkelig làuft, oder mit andern Worten gerade aufsteigt, so heissen sie gerade Stufen, Tab. I, Fig. 9, i5 und 21 ; wenn aber 20 die vordere Seite, die gedachte Stufenlinie schrag durchschneidet, oder wenn mit andern Worten , die Stufen nicht in gerader, sondera in gebo-gener Linie aufsteigen, so heissen sie schrag laufende Stufen, man sehe auf der gedachten Tabelle I die 2 5 Fig. ; wenn endlich 5°, bei Wendeltreppen, die vordere Seite nach dem Mittelpunkt zu gerichtet ist, so werden sie strahlenformige Stufen genennt, Tab. YII, Fig. 1 und 5. 4° Die erste Stufe, mit welcher die Treppe im Erdgeschoss anfàngt, muss lang und breit genug seyn, damit der Anfang der Wange Fig. 10 und 5, Tab. II, so wie der Tritt, Fig. 3, auf und eingesetzt werden kann, wobei nichts darauf an-kommt, ob solche bloss einfach, wie bei a , Fig. 10, oder doppelt wie bei b, Fig. 5 , ist. Uebrigens muss sie der grossern Festigkeit wegen , jederzeit auf ei-nem steinernen Fundament ruhen , indem es sehr fehlerhaft seyn wiirde, wenn man derselben eine holzerne Unterlage geben wollte. 5° Ruhestufen A, Fig. 1, Tab. XIV, heissen die der Ruheplàtze; sowie 6° Vorplatzstufen, Fig. 16 und 17, Tab. IV, die der Vorplatze genannt werden. Und da 70 nicht sel-ten Treppen ohne Wangen errichtet werden, so füh-ren die Stufen derselben den Namen verkropfter Stufen, Fig. 10, Tab. I.
  - 5. Ueber die Lange der Stufen lassen sich keine allgemeinen Regeln angeben, indem die Bestimmung derselben von besondern und localen Umstànden ab-hàngt. Die mehr oder minder grosse Grundflàche der Treppe und andere ànliche Veranlassungen werden hierbei gewohnlich zum Masstabe genommen : indessen kann diese Lange nicht unter zwei Fuss be-tragen, welches Mass die ohngefahre Breite eines schmalen Ganges ausmacht. Was die Breite der Stufen anbelangt, so muss selbige so beschaffen seyn, dass die hinauf oder herabsteigenden Personen den Fuss bequem darauf setzen konnen. Sehr schmale Stufen sind diejenigen , deren Breite nicht mehr als 8"betràgt. Was die Hohe anbetrifft, so darf dasllin-auf und Herabsteigen keine beschwerliche Anstreng-ung der Muskeln nothig machen , weshalb denn 5 f bis 6* das gehorige Mass für^ selbige ist.
  - Bemerkung. Bei grossen und geràumigen Treppen sind die Stufen gewohnlich 5 hoch, und 1 2 bis i3 ’ breit. Sind selbige nach dieser Proportion er-baut, so werden sie bequeme Treppen genennt. Es gibt aber nicht selten kleine Treppen, deren Stufen bisweilen mehr als 7" hoch sind, diese werden wegen der Unbequemlichkeit, welche sie beim Hinauf und Herabsteigen verursachen, beschwerliche Treppen genennt.
  - 6. Der gewohnliche Schritt einer Person , welche auf einer horizontalen Flàche fortschreitet, betràgt ohngefàlir zwei Fuss Lange; steigt man aber auf einer Treppe entweder hinauf oder herab , so macht der verticale Raum, den man auf oder abwàrts durch-schreitet, esunmoglich , den Schritt beim Vorschrei-ten so lang als auf einer horizontalen Flàche zu machen. Auch hat die Erfahrung selbst gelehrt, dass die Hohe der Stufen , auf die Bestimmung der Breite derselben, einen mehr als verhàltnissmàssigen Ein-fluss hat.
  - Um diesem zufolge die erforderliche Breite zu fin-den , so zieht man zwei Fuss von der doppelten Hohe der Stufe ab. Wenn also g die Breite, und h die Hohe wàre, so bekommt man g = 2 Fuss — 2 h,
  - , 7. On déterminera le nombre de marches que
  - doit contenir un escalier, en divisant la hauteur to -taie de l’étage, du dessus de la surface du plancher inférieur, au-dessus de la surface du plancher supérieur , par la hauteur que chaque marche doit avoir.
  - Soit h la hauteur de l’étage, et h la hauteur d’une
  - 7. Die Anzahl der Stufen aus weichen eine Treppe zusammengesetzt werden soll, bestimmt man da-durch, dass man die Hohe des Stockwerks, und zwar von der obéra Seite des untern Gebàlkes an, bis zur obéra Seite des obéra Gebàlkes, mit der, einer jeden Stufe zu gebenden Hohe dividirt.
  - Wenn h die Hohe des Stockwerks, und h die Hohe
  - {collet) or the narrowest part of the winding step.
  - 4* The projection ef each step fdls up , in the horizontal description, a small portion of its surface , and présents a determined form for each ; those va-rieties of form and even those of position are yet dis-tinguished by adjectives. i° When a sériés of steps PL I, Fig. 9, i5 and 21, are rectangularly disposed to the line of circumference, they are called straifr steps; 20 Winders, when the fourth part cuts obli-quely the said line of the same circumference. PL I. Fig. 23; 3° In circular plans, radius-steps, when the projection of the fourth part tends to the center, PL VII, Fig. 1 and 5; 4° First-step , that which be-gins at the stair-case on tlie ground floor : (the first step ought to hâve extent enough to receive the begin-ning ofthe string-board of the patten Fig. 10 and 5, PL II; or ofthe {crémaillère) Fig. 3, same plate, whe-ther it be simple as a, Fig. 10, or double as b, Fig. 5, PL II ), in every case, it is to be laid on a basis strong enough to give it a lasting stability; for itis a great fault to lay it on any thing perishable; 5° The landing steps A, Fig. 1, PL XIY, and those of the landing places; 6° The landing step on a floor, Fig. 16 and 17, PL IV; 70 And as stair-cases without string-boards are often constructed, the steps are called counter-profiled steps, Fig. 10, PL I.
  - 5. The length of the step , or simply emmanchement, in professional language, designs the greatest dimension of the step or its length ; this extent is not susceptible of any general rule : several considérations influence the absolute détermination of this in-determined measure : it is the more or less great surface of the basis of the stair-case , and other like motives that are to détermine it : however this length cannot be less than tvvo feet(french measure),which is the usual breadth of narrow passages. The breadth ofthe steps ought to be large enough to receive the foot of the person who goes up or down ; those steps that containbut one eighth of the outline, are consi-dered as very narrow. The height of the step is not to require great muscular exertion, 5° { or 6° are proper dimensions.
  - Observation. The steps of great stair-cases are about 5° i in height and 120 to i3° of the outline; and those stair-cases, the steps of which are thus proportioned , are said to be of an easy ascent ; but there are some little stair-cases the steps of which are 7 inches high, and those are said to be of a very difficult ascent, because it is not an easy matter to go up or down steps of such a dimension.
  - 6. The ordinary step of a person who walks on an horizontal surface is nearly valued at 2 feet in length; but when we go up or down a stair-case, it is impossible to make a step as on a horizontal surface ; and expérience shows us that the height of the steps is almost diminished in proportion to the breadth we give them.
  - From this principle , in order to discover the outline that is to be given to a step, we rnust deduct two feet from the double of the height of each step. If then g is the outline , and h the height we will hâve g = 2 feet — 2 h.
  - 7. You will détermine thè number of steps to be contained in a stair-case, by dividing the height total ofthe story, from the upper part of the surface of the lower floor , to the upper part of the surface of the upper floor, by the height each step is to hâve.
  - Let h be the height of the story, and h the height
  - 1.
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- - marche, on aura !*=», nombre de marches. S’il
  - n
  - s’agissait de trouver la hauteur d’une marche, d a-
  - près leur nombre, on aurait h = -•
  - Exemples. La hauteur de l’étage est 8 p. 8° îo1,
  - 8 p. 8° îo1
  - et celle d’une marche 6° 21 ; on aura —6o ai~ ou
  - 1258' .
  - — — — 17 marches.
  - 741 '
  - La hauteur de l’étage est 11 p. 2° 91 : on veut que l’escalier ait 21 marches ; on aura pour la hauteur
  - de chacune des marchesou -——2. ~ 771
  - 21 2
  - == 6° 51.
  - ( 4 )
  - einer Stufe ist, so erthalt man ^rrn, als Anzahl der Stufen. Rame es darauf an, die Hohe einer Stufe aus ihrer Anzahl zu finden , so erhielte man h
  - Exempel. Die Hohe des Stockwerks betragt 8 Fuss, 8", 10"', und die Hohe einer Stufe 6" ,2"', so erhalt man
  - 8/ 8 ' ~6~
  - oder
  - 1258 Lin.'_ 74 Lin.
  - Stufen.
  - Die Iïohe des Stockwerks betragt 11 Fuss 2" 9"' die Treppe soll aus 21 Stufen bestehen ; diesem zu-
  - • 11 Fuss 2^ / 1
  - folge bekommt man für jede Stufe-- -----oder
  - -17—‘ = 77 Lin. = 6 ' W" Hohe.
  - of the step. We shall then hâve ^ = n, number of
  - the steps. If there was question of finding the height
  - of a step from their number, we would hâve h =
  - Examples. The height of the story is 8 f. 8°.
  - 101, and that of a step 6° 21,wewill hâve 8f'8°or 1 0° 21
  - 12581
  - 741 = 17 stePs*
  - The height of the story is 11 f. 20 91, it is required that stair-case be formed of 21 steps ; you will hâve
  - for the height of each of the steps f^2 9- or — 771 = 6° 51.
  - Combinaison des marches dans les diverses formes des bases des escaliers.
  - 8. On nomme dans la description horizontale, Ligne de giron, la projection d’une ligne qu’on suppose tangente à l’arête supérieure des marches, et placée presque toujours dans le milieu de leur longueur. non compris cependant la partie qui entre dans le scellement, ni celle des tenons, quand elles sont avec assemblage. Nous avons dit presque toujours dans le milieu, parce qu on modifie un peu différemment la ligne de giron aux angles rectilignes des quartiers tournants, lorsque ceux-ci contiennent des marches, Fig. 1 , II. JIL Dans ce cas, on raccorde la fin de la partie précédente de la ligne de giron, avec le commencement de la partie suivante, par un quart de cercle, ou une autre courbe analogue à l’angle du quartier tournant, de sorte qu’il y ait continuité dans la totalité de la ligne de giron ; et cela, parce qu’en montant ou en descendant ces marches, on tourne graduellement et sans s’arrêter. Ou a coutume, dans la pratique, de diviser en parties égales la projection horizontale de la ligne de giron ; et c’est une de ces divisions qui forme la largeur de la surface dite giron des marches (a).
  - 9. A toutes les sortes d’escaliers, la largeur de la surface supérieure des marches est la même dans le milieu de leur longueur, puisque c’est sur la ligne de giron qu’on en fait le compartiment : quand on retrouve cette largeur au collet ce ne peut donc être qu’aux marches droites , car aux marches rayonnantes ou dansantes des escaliers qui ont des noyaux pleins ou des noyaux h jour, la largeur des collets diffère de celle de la ligne de giron.
  - 10. La combinaison en progression arithmétique devra, dans beaucoup de cas, avoir la préférence , pour marquer dans la description horizontale les collets des marches dansantes. Cette combinaison donnera toujours à la projection verticale qui tou -cherait les arêtes, que, dans la pratique, on appelle l'angenle au cordon, une inflexion suivie et exempte des angles nommés par les praticiens Jarrets : et il est d’usage que cette tangente règle l’obliquité de la bordure du bout des marches, soit que cette bordure ne contienne qu’une simple arête de plafond, ou qu’elle soit un limon lisse ou orné.
  - 11. Inapplication. Déterminer dans un quartier tournant, Fig. 1 , PL III, les collets d’un palier de repos et des marches attenantes ainsi que les cintres de raccordements dits adoucis en plan.
  - Soit la description horizontale d’un quartier tournant , où les lignes A B, B C , indiquent les parements des murs qui reçoivent le scellement d’un palier de repos et les scellements des queues des marches attenantes audit palier.
  - Soit aussi l’angle rentrant D, E, F, qu’il faut raccorder par un quart de cercle , pour éviter la difformité des ressauts, et agrandir le collet de la marche pa lière sans perdre de place.
  - Pour cela , après avoir détermine par quel nom-
  - Combination der Stufen bei verschiedentlich ge stalteten Treppen.
  - 8. Stufenlinie heisst auf der horizontalen Zeich-nung diejenige Linie, welche von der obern Rante der Stufen ausgeht und fast jederzeit mitten auf der Lange derselben gedacht wird ; wobei jedoch der in die Spindel und Wangen eingesetzte Theil, sowohl aïs die Zapfen, wenn solche mit Versatzungen ver-sehen sind, nicht mit inbegriffen ist; wir saglen : fast jederzeit mitten auf der Lange der Stufen, und zwar um deswillen, weil wenn die Stufen gebogen gehen, die Stufenlinie bei den geradelinigen Win-keln der Bieguugen einige Modificationen erleidet, Tab. III, Fig. 1. In diesem Falle wird das nachste Ende der Stufenlinie mit dem darauf folgenden, durch den vierten Theil eines Zirkels oder andern, mit dem Winkel der Biegung analogen Bogen ver-bunden ; wodurch nun die Stufenlinie in ihrer gan-zen Lange ununterbrochen fortlauft ; und zwar um deswillen, weil man beim Hinauf oder Herabsteigen sich auf diesen Stufen verhaltnissmassig, und ohne Unterbrechung wendet, und vorwarts schreitet. In der Praxis pflegt man die horizontale Zeichnung der Stufenlinie in gleiche Theile zu theilen von denen einer die Breite der Stufen beschreibt (a).
  - 9. Bei allen Arten von Treppen geht die Breite der Stufen von dem Mittelpunkte ihrer Lange aus, indem das Mass derselben von der Stufenlinie genom-men wird : und wenn diese Breite bei demjenigen Ende welches der Hais der Stufe genannt wird , die-selbe ist, so kann dieses bloss bei geraden Stufen der Fall seyn, denn bei strahlenformigen oder schrag laufendcn Stufen ist auf Treppen mit vollen Spindeln oder OelFnungen, die Breite dieser Enden von der Breite der Stufenlinie verschieden.
  - 10. Will man auf der horizontalen Zeichnung den Hais der schrag gehenden Stufen angeben , so ist es in vielen Fallen rathsamer, sich bei der Combination der arithmetischen Progression zu bedienen. Durch eine solche Combination erhalt jederzeit die verticale Linie, wenn sic die Kanten an der Stufenhohe , oder den sogenannten Tangent oder das Gesimse berührt, keine durch Ecken unterbrochene, sondern eine forllaufende Biegung ; auch pflegt dieser Tangent die schrag gehende Einfassung an dem Ende der Stufen zu beslimmen, es sey nun dass diese Einfassung in nichts weiter als in einer blossen Kante, oder in einer einfachen, oder mit Zierrathen ver-sehenen Wange besteht.
  - 11. Erste Anwendung. Bestimmung, sowohl des Ilalses an einem Ruheplatze und an den , an densel-ben angrenzenden Stufen , und zwar an dem Theile der Treppe , wo nach Tab. III, Fig. 1, dieselbe ge-brochen ist, aïs auch des Ausgleichungs-Bogens.
  - Der Gegenstand sey die horizontale Vorstellung einer Treppenbiegung, auf welcher die Linien AB, B C, die Seiten der Mauer bezeichnen, in welche ein Ruhe-platz, und die Enden der, an diesen Ruheplatz an-granzenden Stufen eingesetzt werden.
  - Ferner sey D, E, F, der eingehende Winkel, welcher durch das Viertel eines Zirkels ausgeglichen werden soll, und zwar deshalb, damit sowohl das widerwartige Ansehn der Vorstosse verminden , als auch der Hais der Ruheplatzstufe ohne Platzverlust vergrossert werde.
  - Hat man nun die Anzahl der Stufen bestimmt,
  - Combination of the steps in the different forms of the basis of stair-cases.
  - 8. We call in the horizontal description, line of circumference, the projection of a line supposed to form a tangent with the superior stay of the steps, and almost placed in the middle of their length, with-out however including the part that enters into the sealing, nor that of the tenons, when they are with-out assemblage. We hâve said, almost ever in the middle, because the line of circumference undergoes different modifications with the rectiline angles of the turning quarters, when those contain the steps Fig. i, PI. III. In this case we adapt the extremity of the preceding part of the line of circumference to the beginning of the following part by a fourth part of a circle or another curve analogous to the angle of the turning quarter; so that there maybe continuity in the totality of the line of circumference ; because in going up or down those steps, you turn hy degrees and without stoping. It is usual in practise to divide into equal parts the horizontal projection of the line of circumference ; and it is one of those divisions that forms the breadth of the surface, called the outline ofthe step (a).
  - 9. In ail sorts of stair-cases, the breadth of the superior surface of the steps is the same in the middle of their length , because it is on the line of circumference the comparlment has been established : when this breadth is found in the narrow winding steps, it can then be but in the strait-steps, for in the winding ones of the stair-cases that havefull or open spindles, the breadth of the narrow winding steps differs from that of the line of circumference.
  - 10. The progressive arithmetical combination is, in many cases, to be prefered, in order to mark in the horizontal description the turns of the winding-steps. This combination will ahvays give to the vertical projection, that may touch the stays, called in practical language, tangent , a followed inflection, and free from angles called by professional men une-vennesses : and it is customary that this tancent régulâtes the obliquity of the edging ofthe step, whether this edging contains a simple cieling-stay or whether it be an uniform or ornamented string-board.
  - 11. I Application. To détermine in a turning quarter, Fig. 1, PL III, the winding-steps ofalanding I place and of the next steps as weil as the arches of levellings, called, curved on their plans.
  - Be given the horizontal description of a turning quarter, where the fines AB, BC, indicate the facings of the walls that receive the sealing place, and that of the extremities of the steps joining the said landing place.
  - Be given too the re-entering angle D, E, F, which must be levelled by a fourth part of a circle to avoid the difformity of ressaulls and give a greater surface of the winding of the landing-step without losing any room.
  - After having determined by what number of steps
  - (a) Il est très-peu de cas où le praticien doive s’écarter de cette règle, principalement dans les petits escaliers; mais 011 conçoit qu’elle n’est point applicable aux paliers.
  - (a) Es giebt sehr wenig Falle, wo ein Baumeister diese Regel unbeachtet lassen darf, und am allerwenig-sten bei kleinen Treppen. Es versteht sich jedoch von selbst, dass bei Ruheplatzen die Anwendung derselben nicht Stalt haben kann.
  - («) There are very few cases in which it is permit-ted to deviate from this rule, above ail in little stair-cases; but you conceive it is not applicable to landing places.
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- - brc de marches vous voulez faire le radouci, prenez
  - r
  - de part et d’autre la moitié de ce nombre de marches , et i de plus ; et par ces points, menez deux perpendiculaires G J, JI, aux limons qui forment l’angle : leur point de rencontre J , sera le centre du quart de cercle de raccord. Divisez ce quart de cercle en un nombre de parties égales, double de celui des marches qu’il doit contenir, et prenez pour largeur des collets les espaces compris entre les impaires 1 , 3 , 5 , 7 , etc., de ces divisions.
  - Si le nombre des marches qui aboutissent au quart de cercle , était considérable, il serait bon de faire cette division en progression arithmétique, comme dans l’application qui va suivre celle-ci.
  - Les largeurs des collets des marches dansantes ayant été ainsi fixées aux points a b, on a tracé la droite rayonnante J b , prolongée au point e ; la longueur b c a été reportée de e en f : la droite fg a été faite perpendiculairement sur e f, et la tangente b g aussi perpendiculairement sur e b : le point g estle centre de l’arc de raccordement b f. En procédant de même, on a obtenu le point j, centre de l’arc de raccordement a h i.
  - i5>. IIe. Application. La Fig. 2, PI. III, est une projection horizontale d’une partie de limon d’escalier A 13 ou une Retombée de marches contre-proli-lées, dont partie droite et partie courbe ; ladite rectifiée graphiquement Fig. 3, et compartie en progression arithmétique Fig. 4-
  - Sur une droite indéfinie D E, Fig. 3, on a porté la longueur de la partie droite A II de D en g ; et de g en E, la longueur de l’arc df, rectifié en le réduisant en un grand nombre de parties égales. La longueur totale D E a été divisée en dix parties égales aux points h i j k, etc. , nombre des demi-collets , compris le plus large f a, qui a lieu à la dernière des marches quarrées, et le plus étroit, e f, qui doit avoir lieu de part et d’autre de la diagonale du quartier tournant. Dix perpendiculaires également espacées, ont été élevées sur la droite F G, Fig. 4* Le demi-collet, fa, a été porté sur F r, l’une des perpendiculaires extrêmes , et il a aussi été présenté sur la ligne H m, et a donné le point ri : le reste , n i, des deux premières divisions, est le demi-collet le plus étroit de la série que l’on cherche, et a été porté de G en a, sur l’autre perpendiculaire extrême. L’oblique r a , a donné les points s t u v, etc. , qui fixent la grandeur des demi-collets intermédiaires. (Roubo. )
  - Ainsi, en ajoutant ces demi-collets 2 à 2 , b s avec c t, e u avec^'V, etc., et doublant le dernier, G a , on a eu les cinq collets décroissants en progression arithmétique a b, bc, cd, de, ex. Fig. 2.
  - La Fig. 5 est le développement de la • tangente aux collets des marches. On a rectifié cette tangente en établissant des parallèles également espacées , 2 l, 3m, I\ 0 , etc. , qui représentent les hauteurs égales des marches, et les coupant perpendiculairement par d’autres parallèles, 3 / , 4m, 5 o, espacées entre elles d’intervalles différents qui représentent les diverses largeurs des collets pris dans la description horizontale a b , b c , c d , etc., et faisant passer une ligne par tous les angles ,2,3,4? 5,6, 7 , etc.
  - On voit par cette figure que la ligne de développement est droite , tant que les collets sont égaux entre eux, comme de 2 à 4? qu’elle devient concave quand les collets vont en diminuant, comme 5 à 8; et qu’elle a un point d’inflexion, et devient convexe, comme de 9 à 11, quand les collets augmentent en largeur après avoir d’abord diminué.
  - i3. Pour déterminer en nombres l’étendue des collets que l’on veut faire décroître en progression arithmétique, après avoir mesuré d’une part la moi-
  - ( 5 )
  - vermittelst welcher die Ausgleichung geschehen soll, so nehme man von beiden Seiten die Ilalfte dieser Stufenzahl , und noch eine Halfte mehr, und ziehe von diesen Punkten zwei Perpendicular-Linien G J,
  - J I, bis zu den Wangen, welche den Winkel bilden : der Punkt J, wo sie sich berühren, wird der Mittel-punkt von dem Yiertel des Ausgleichungszirkel seyn. Man theilt sodann dieses Zirkelviertel in eine Anzahl gleicher Theile, welche das doppelte der zu beab-sichtigenden Stufenzahl betragen, und nehme zur Breite der Halse denjenigen Raum, welcher zwischen den ungeraden Zahlen 1,3, 5, 7, u. s. w. jener Thei-lungen begriffen ist.
  - Ware die Anzahl der an das Zirkel-Viertel anstos-senden Stufen betrachtlich, so ist es rathsam, diese Theilung nach arithmetischer Progression , und auf ahnliche Weise wie bei nachstfolgender Application zu machen.
  - Istnun die Halsbreite an den schrag gehenden, oder abgerundeten Stufen durch die Pnnkte a b,festgesetzt worden, so zieht man die strahlenformige gerade Li-nie J b , bis zum Punkte e; fiihrt die Lange b e von e auf f zurück , und zieht die gerade Linie f g, perpendicular auf e f, so wie den Tangent b g ebenfalls perpendicular auf e b : der Punkt g, ist der Mittel-punkt von dem Ausgleichungsbogen b f. Fahrt man auf dieselbe Weise fort, so erhalt man den Punkt j, als Mittelpunkt des Ausgleichungsbogens a h i.
  - 12. Zweite Application. Die 2 Fig. auf der III Tab. ist eine horizontale Vorstellung von einem Theile ei-ner Treppenwange A B, oder eine Reihe von ver-kropften Stufen,welche theils gerade, theils schrag ge-hen, Diese Vorstellung ist in der 3 Fig. bildlich, und in der 4Fig. nach arithmetischer Progression ausgeführt.
  - Auf einer unbestimmten geraden Linie D E, Fig.
  - 3 , ist die Lange des geraden Theils A II, aus D nach g, und die Lange des Bogens d f aus g nach E ge-zogen worden ; dieser letzte ist zu einer grosen Anzahl gleicher Theile reducirt, und dadurch in eine gerade Linie verwandelt worden. Die Gesammtlange D E ist bei den Punkten h i j k etc. in zehn gleiche Theile getheilt worden ; sie machen die Anzahl der halben Halse aus, und enthalten zugleich mit denbreitestenfa, an der letzten viereckigen Stufe, so wie den schmalsten e f, zu beiden Seiten der Diagonal-linie, an dem gebogen gehenden Theile der Treppe. Auf der geraden Linie F G , Fig. 4 sind zehn gleich-weit yqn einander abstehende Perpendicular-Linien aufgerrchtet. Der halbe Hais f a, ist auf F r, eine der ausersten Perpendicular-Linien geführt worden; der-selbe befindet sich auch auf der Linie II m, woselbst er mit dem Punkte ri bezeichnet ist. Der Rest n i, der zwei ersten Abtheilungen, ist der schmalste halbe Hais in der gesuchten Reihe, und ist von G nach a , auf der andern aussersten Perpendicular-Linie ge-bracht worden. Die schrage Linie r a, hat die Punkte s t u v etc. gegeben ; diese letztern bestimmen die Grosse der halben Zwischenhalse (Roubo.)
  - Wenn man nun diese halben Halse je .2 und 2 , b s zu c t, und e u zu g v etc. hinzufügt, urid den lezten G a, verdoppeft, so erhalt man die fünf Halse, deren Grosse in der arithmetischen.Progression a b , bc,cd,de,ecr, abnimmt. Fig, 2.
  - Die 5 Fig. stellt den umstandlich aüsgeführten Tarn genten an den Stufenhalsen vor. Dieser Tangent ist durch gleichweit von einander abstehende Parallelli-nien 2 l, 3m 4° ? etc. welche die gleichformige Hohe der Stufen bezeichnen, aufgetragen worden. Diese letztere wird durch andere ungleich breite Parallel-linien 3 l, , 5 o, perpendicular durchschnitten ;
  - sie bezeichnen die verschiedene Breite der Halse in der horîzontalep Vorstellung a b, b c, c d, etc. , wo-bei zugleich eine Linie durch die sammllichen Winkel 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc., hindurchgeführt ist.
  - Wir sehen aus dieser Figur, dass die Linie wo-durch der gedachte Tangent ausgeführt worden ist, so lange gerade lauft, als die Halse gleich breit sind , wie z. #B. von 2 zu 4; dass sie aber concav viyrd, wenn die Breite der Halse von 5 zu 8 abnimmt, und dass sie endlich einen Inflexions oder Einbiegungs-punkt bekommt, und convex wird, wenn von 9 zu 11 die Breite der Halse wieder zunimmt.
  - 13. Will man den Umfang der Halse, welche in arithmetischer Progression verringert werden sollen, durch Zahlen bestimmen , so misst man zuforderst
  - you wish to make ibis gentle winding ; take 011 eithér side the half of this number of slcps , and a I more ; and through those points draw two fines G J, JI, perpendicular to the string-boards that form the angle; their meeting point J, will be the center of the fourth part of the circle of levelling. Divide this fourth part of a circle into a number of equal parts, double of the steps it is to contain, and take for length the uneven winding steps 1 , 3,5,7, etc. °f those divisions.
  - If the number of the steps that terminate at the fourth part of the circle be considérable , it will be necessary to make this division in an arithmetical progression as in the following application.
  - The breadth of the winding steps being thus de-termined at the points a b, we hâve drawn the strait radius step J b, prolonged to the point e; the length b e has been carried back from e to f, the strait fine f g has been made perpendicularly on e f, and the tangent b g, likewise perpendicularly on eb; the point g is the center of the arch b f. In proceeding in the same manner, we hâve obtained the point j center of the arch a h i.
  - 12. II Application. Fig. 2. PI. III, is a horizontal projection of a part ofthe string-board of the stair-case AB, or a fall of counter profiled steps , a part of which is strait, and a part curve , the said, gra-phically rectified Fig. 3, and divided into arithmetical progression Fig. 4«
  - On an indefinite strait fine DE Fig.3, we hâve carried the length of the strait part AII from D to g ; and from g to E, the length of the arch df, rectified by reducing it into great numbers of equal parts. The entire length D E has been divided into ten equal parts at the points liijk, etc. The number of the half winding steps included the largest fa, which takes place at the last of the square steps, and the narrowest, e f, which is to take place on either side of the diagonal of the turning quarter. Ten perpendicular fines equally separated hâve been raised on the strait fine F G. Fig. 4, The half winding step, fa, has been carried on F r, one of the extreme perpendicular fines, and it has likewise been presented on the fine H m, and has given the point ri : the remainder, n i, of the two first divisions is the narrowest half winding step ofthe sériés looked for, and has been carried from G to a , on the other extreme perpendicular fine , the oblique r a , has given the points stuv, etc., that fix the size of intermediary half winding steps. (Roubo..)
  - Thus in adding those half winding steps two by two b s to et, eu to g v, etc., and doubling the last G a , we hâve had the five winding steps decrea-sing in an arithmetical progression ab,bc,cd, de, e x. Fig. 2. '
  - . The Fig. 5, is the unfolding ofthe langent with the winding steps , we hâve rectified this tangent by establishing parallel fines equally separated, 2/, 3 m, 4 o, etc., that represent the equal height of steps and cuttirig them perpendicularly by other parallel fines, 3 l, l±m, 5 o, separated one from the other by different intervals that represent the different breadths of the winding steps , taken in the horizontal description a b , bc , cd, etc. , and passing a fine through every angle 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc.
  - We see by this figure that the fine of unfolding is a strait one, as long as the winding steps are equal 013e with the other, as from 2 to 4 ; that it becomes concave when the winding steps go on diminushing from 5 to 8 ; that it has a point of inflec tion and becomes convexe as from 9 to 11 when the winding steps increase in breadth after having first dimi-nished.
  - i3. To détermine in numbers the extent of the winding steps , we propose to diminish in arithmetical progression, after having measured on one side,
  - 2
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- - Ré du ~ de cercle de raccord, et de l’autre, la partie droite du limon depuis l’origine du \ de cercle jusqu’au milieu de la marche qui précède la première de celles qui doivent être dansantes, et avoir partagé la somme de ces deux longueurs en autant départies que les deux longueurs contiennent de demi-marches ; du double de ce quotient, soustrayez la valeur (.lu giron d’une demi-marche quarrée , qui est le plus grand terme de la série cherchée , et vous aurez pour reste le plus petit terme de cette série ; divisez leur différence par le nombre des termes intermédiaires augmenté de 1, et vous aurez la raison de la série , qui, successivement soustraite du plus grand terme , ou ajoutée au plus petit, vous donnera tous les intermédiaires.
  - Soit une partie droite de limon contenant six demi-marches quarrées chacune de 5°, îo'^r 701 G— 4a°l Longueur rectifiée du £ de cercle de raccord don t de giron, con-
  - tenant 4 demi-marches. 157,2549
  - 557,2549 101
  - longueur égale de chacun des dix demi-collets compris dans cette partie.................. 55,72549
  - Longueur d’un collet entier , les supposant tous
  - égaux................ 111,45098
  - Longueur d’un - collet de marche quarrée 5° 1 o1 7°
  - Longueur du plus petit
  - demi-collet..........
  - Différence du plus grand1 collet de la sé-
  - G
  - rie au plus petit. . . .
  - 41,45098
  - 28,54902!
  - 1 5 9
  - 64 |
  - 19 !
  - i° |
  - 12
  - Raison qui doit régner dans la progression arithmétique des \ collets..................
  - i collets
  - Marches quarrées 701 00
  - 66, 83
  - 3117211
  - Collets.
  - i4o‘ 00
  - Marches dansantes.
  - 66, 83 ) z , 63, 66 } l3°’ 49
  - t;; £ } »7.8°
  - ^ >4 1 ,05, „ 5o, 97 j
  - 47> 79 1 44, 62 j
  - 92> 4i
  - Marche Diagonale. l\\, 45 82, 90
  - 14. La hauteur de passage dans la totalité de l’escalier, est une condition rigoureusement nécessaire; elle ne tolère aucune modification ; on doit donner à cette hauteur dite Echappée environ 6 pieds.
  - Quand on est debout sur la première marche , on se trouve sous celle qui commence une deuxième révolution; mais le plafond , qui. va obliquement de la marche précédente à celle sous laquelle on est, ne laisse de libre pour l’échappée, que la somme des hauteurs de marches, formant une révolution, moins une de ces hauteurs et l’épaisseur du plafond.
  - Soit h la hauteur d’une marche, n le nombre de marches qui composent une révolution entière de l’escalier, e l’épaisseur du plafond, et h la hauteur totale de l’étage; l’échappée sera e = h, x (n — 1 ) — e = h — h —e.
  - Observation. On établit assez communément, principalement dans les maisons de commerce, des petits escaliers qui ne contiennent qu’une hauteur d’étage ; dans ces sortes de projets, il est souvent des cas où n’ayant pas la faculté d’établir, dans un plancher ancien, une ouverture de dimension ou de forme convenable, par rapport h la composition dudit plancher, ou par rapport ù d’autres causes, on
  - (6)
  - die Halfte des Ausgleichungs-Zirkel-Viertels, so wie den geraden Theii der Wange, und zwar vom An-fange des Zirkel-Viertels, bis zur Mitte derjenigen Stufe, welche der ersten schràg gehenden vorher-o-eht; mantheiltsodann die Summe dieser zwei Langen in so viele Theile als halbe Stufen in den zwei Langen enthalten sind, und zieht nun vom doppelten dièses Quotienten den Werth der Breite von einer vier-eckigen halben Stufe, welches das groste Glied der gesuchten Reihe ist, ab ; aus dem Reste ergiebt sich das kleinste Glied dieser Reihe. Dividirtman den Un-terschied derselben mit der um 1 vermehrten Zahl der Zwischenglieder , so erhalt man das Verhaltniss de Reihe, und wird dieses nach und nach von dem grosten Gliede abgezogen, oder zum kleinsten hinzu-gefiigt, so bekommt man daraus aile Zwischen-Glie-
  - G G 7
  - der.
  - Man nehme an ein gerades Wangenstück von sechs viereckigen halben Stufen, jede zu
  - 5" 101 —yo'xGzi 42°l
  - rectificirte Lange des f vom Ausgleichungszir-kel,wovonrrr£ Breite, enthaltend 4 halbe Stufen................i37,2Ô49
  - 557,2549|iol
  - gleichformige Lange ei-nes jeden von den zehn an diesemTheile befind-lichenhalben Halsen. . 55,72549
  - Lange eines ganzen H aises , angenommen dass aile gleichformig sind. 111,45098
  - halbe Halslange einer viereckigen Stufe,5"iol 7°
  - Lange des kleinsten halben Halses........................ 4t?45o98
  - Unterschied des grosten halben Halses in der Reihe, zum kleinsten
  - Verhaltniss welches bei der arithme tischen Progression der halben Hal-se Statt haben wird. . .
  - 1 Halse
  - Viereckige Stufen. 701 00
  - Î66, 83 63, 66 60, 49 57, 3i 54> *4 5o, 97
  - 47> 79 44, 62
  - 28,54902 1 5 64
  - 9
  - >9
  - 10
  - 12
  - 3*17211
  - Halse i4ol 00
  - | i3o, 49 117, 80 io5, 11 J 92, 4,
  - Diagonal-Stufe 41 ? 45 82, 90
  - 14. Ein wesentliches und ganz unerlassliches Er-forderniss bei den Treppen ist die gehorige Hohe des Treppenraums, welche ohngefahr 6 Fuss betragen soll.
  - Steht man auf der ersten Stufe, so befindet man sich genau unter derjenigen, mit welcher eine zweite Windung beginnt. Die Treppendecke aber welche von der vorhergehenden Stufe an, bis zu der, unter welcher wir stehen , schief geht, lasst zur Ilohe nicht mehr offen als die Summen der Stufenhohen, aus welchen eiue Windung zusammengesetzt ist, und wovon eine von diesen Hohen , und die Dicke der Treppendecke abgezogen wird.
  - Die Hohe einer Stufe sey h, die Zahl der Stufen, aus welchen eine ganze Treppenwindung zusammengesetzt ist, n , die Dicke der Treppendecke e, und die Hohe des ganzen Stockwerks h, so wird die Hohe der Treppe seyn erh x (n — 1) — e = h — h — e.
  - Bemerkung. Sehr oft werden , vorzüglich in Hand-lungshausern, kleine Treppen errichtet, deren Hohe nicht mehr als ein Stockwerk betragt. Hierbei ereig-net sich nicht selten der Fall, dass sich, wegen der Zusammensetzung desbereitsbestehenden Gebalkes, oder aus andern Ursachen, eine gehorige breite Oeff-nung nicht anlegen lasst, und folglich der Hohe der Treppe schwer zu beseitigende Hindernisse ini Wege
  - the half of the^ of the circle to the middle ofthe step that précédés the first of those that are to be win-ders, and having divided the sum of these two lengths into as many parts as the two lengths contain half steps; from the double of this quotient, substract the value of the circumference of a half square-step which is the greatest term of the sériés looked for, and you will hâve for remainder the smallest term of the sériés ; divide their différence by the number of the intermediary terms augmenting by 1 and you will hâve the ratio ofthe sériés, which, successively substracted from the greatest term , or added to the smallest one, will give ail the intermediary terms.
  - Be given a strait part of the string-board contai-ning six half square-steps, each of 5°, 101 = 701 x 6 = 4201
  - Rectified length of of the levelling circle, r =
  - \ of the circumference containing 4 half steps. 137,2549
  - 557,2549!1 o1
  - Equal length of each of the half winding steps included in this part. . 55,72549
  - Length ofan entire winding step, supposing
  - them ail equal........ 111 >45098
  - •Length of a half-win-ding-squarestep 5 inch.
  - 101.................. 7°
  - Length of the smallest
  - halfwinder............ 41,45og8
  - Différence between the largest half wirtder of the sériés and the smallest.............. , • 28,54902
  - 1 5 9
  - 64 “
  - Ratio to be rigorously observed in the arith-metical progression of half-winders..........
  - \ winders Square-steps 701 00
  - *9
  - 10
  - 12
  - 5l 17 211 | Winders.
  - j 1401 00
  - Winding steps.
  - !66, 83 j z , 65, 66 } l3°’ *9
  - 6°’ 49 1 8o 57, 3i j 50
  - 1 io5, 11 00, 97 j
  - il: lï}
  - Diagonal-step. 41» 45 82, 90
  - 14. The height of the passage in the totality of the stair-case, is a condition indispensably necessary ; it suffers no modifications : we are to give to this height called rounding off about six feet.
  - When we stand on the first step, we find ourselves under that which begins a second révolution ; but the cieling that goes obliquely from the preceding step to that under which we stand, affords for the rounding off but the sum ofthe height ofthe steps forming a révolution , less one of those heights and the thick ness of the cieling.
  - Be h the height of a step, n the number of steps that compose an entire révolution of the stair-case, e the thickness of the cieling, and h the entire height ofthe story, the rounding off will be, e =h x (n—1) — e = h — h — e.
  - Observation. We commonly establish, above ail in commercial houses, little stair-cases that contain but the height of the story ; in those sorts of plans there are often cases wherein unable to establish in an ancient floor an opening of dimension or conve-nient forai, relalively to the composition of the said floor, or relatively to other causes; we meet witli many obstacles for the rounding off; the execution
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- - rencontre des obstacles difficiles pour l’échappee ; alors, si aucune combinaison de marches ne 1 a fait obtenir, l’exécution est impossible.
  - i5. La longueur des marches, leur largeur et leur nombre étant connus, on trouvera facilement la surface que doit occuper la base de 1 escalier, en y comprenant encore les paliers et autres accessoires qui doivent le composer.
  - Soit l la longueur d’une marche, g la largeur , et n leur nombre, on aura l x g •-= 52 x 11 s2 s • Par exemple, si le nombre des marches est 17 ; si chacune a 28° de longueur, et 90 6' de largeur ou giron , on aura 28° x 90 6' = 26600; et 26600 X 17 ==
  - «**• = TT = 31
  - 29
  - 72
  - 16. Il serait fort gênant de monter et descendre un escalier dont les marches auraient moins de 2 p. de longueur, et moins de 8° de largeur ou de giron ; en sorte que la surface de chaque marche, doit être au moins 8° x 24° = 19200 ; et qu’en divisant la surface de la base de l’escalier, s\ par 1920, on pourra déterminer le nombre de marches que l’on
  - peut placer dans une révolution, n = : S1
  - nombre des marches était connu, on trouverait la surface de chacune, en divisant la surface de la base
  - par ce nombre , s1 rzz n •
  - 17. 11 est évident que l’on trouverait aussi le nombre des marches qu’on peut mettre à former une révolution, en divisant la ligne de giron par 8°, puisque chaque marche doit avoir au moins 8° de giron ,
  - n= 3 ; et si le. nombre des marches était déjàdéter-8°
  - miné, on trouverait le giron de chacune, en divisant la ligne de giron par ce nombre, g -,
  - 18. Si l’on réunit toutes les conditions préliminaires qui précèdent, en se rappelant qu’on y a représenté par h la hauteur totale de 1 étage ; h, la hauteur de chaque marche ; g , la totalité de la ligne de giron ; g, le giron de chaque marche ; n, le nombre de marches d’un étage; n, le nombre de marches d’une révolution; s2, la surface de la base de 1 escalier; s2, la surface de chaque marche ; e, l’échappée du passage ; e, l’épaisseur du plafond : on pourra en déduire une formule pour reconnaître la possibilité ou l’impossibilité d’exécuter un escalier proposé.
  - En effet, i° c ==» h — li—e, et ne peut être moindre de 6 p.(i3);
  - 20 g =, 24° — 2 li, et ne peut être moindre de 8° (5);
  - 3 °n = £^(i5) et=-8g; (16) et encore £ (6).
  - 4 _h__ h
  - Orf6Wi = - : donc A = ou g ; c’est à-dire
  - \ / n mm, 0
  - 8 X 24 8
  - . «I» «I* , . ro
  - A = —r- ou — et ne doit pas surpasser u .
  - s s
  - Ainsi, pour reconnaître si un escalier proposé est possible ou non, divisez la base par 24, et comparez le résultat à la ligne de giron : vous prendrez le plus petit de ces deux nombres pour diviseur; et pour dividende , huit fois la hauteur de l’étage. Pour que l’escalier soit possible, il faut ; i° que ce résultat étant retranché de la hauteur, ainsi que l’épaisseur du plafond, il reste 6 pieds, ou à très-peu de chose près; 20 que ce quotient soit 6 pouces ou très-peu de plus ; 3° que le double du résultat étant retranché de 24°, approche du giron d’une marche; 4° que le f de la hauteur ne surpasse pas le de la ligne de giron , ni le de la surface de la base.
  - Observation. La dernière de ces conditions ne serait pas nécessaire, si les localités permettaient d’établir, soit avant, soit après la révolution complète , un nombre de marches égal à la différence de n à n. La troisième n’est jamais d’une rigueur absolue ; en sorte qu’on peut quelquefois se déterminer d’après les deux premières.
  - C 7 )
  - stehen ; in diesem Falle ist, wenn man die Hohe durch keine Stufen-Gombination erlangen kann , die Aus-führung der Treppe unmoglich.
  - 15. Da wir jetzt die Lange, Breite und Anzahl der Stufen kennen, so wird sich die Flache der Treppen-Basis, nebst den Ruheplatzen und andern nebenbestandtheilen um so leichter ausmitteln lasseu.
  - Die Lange einer Stufe sey l, ihre Breite, g, und ihre Anzahl n ; so erhalt man l x g = 52 X n — 52 b
  - Ist, z. B., die Anzahl der Stufen 17, die Lange einer jeden 28" und die Breite derselben 9'' 6 Lin. so erhalt man 28'' x ty" §"r — 266 Quadrat";
  - und 266 Quadrat" X 17 = 4^22" ™
  - 16. Da man auf einer Treppe deren Stufen noch nicht 2 Fuss lang und weniger als 8 V breit waren, mit vieler Unbequemlichkeit hinauf oder herabstei-gen würde, so muss die Flache einer jeden Stufe s2, wenigstens 8" x 24 '= 192 Quadrat'" halten; und wenn man die Flache derTreppenbasiss mit 192 Quadrat" dividirt, so lasst sich die Anzahl der Stufen bestim-men, welche eine jede Windung enthalten kann,nrzr
  - Q-,rrr~1 ' Kennte man bereits die Anzahl dieser Stu-offX 24
  - fen, so liesse sich die Flache einer jeden dadurch ausmitteln, dass man die Flache der Basis mit die-
  - ser Anzahl s2 = — dividirte.
  - n
  - 17. Die Anzahl der Stufen, welche man in einer Windung anbringen kann, liesse sich eben so gut dadurch finden, dassmann die Stufenlinie mit 8" dividirt, denn jede Stufe erfordert wenigstens 8" Breite,
  - n — 9 . Wüsste man bereits die Anzahl der Stufen, so lande man die Breite derselben, wenn man die Stufenlinie mit dieser Anzahl g = s- dividirt.
  - 18. Vereinigt man aile obbeschrieben'e Erforder-nisse , und erinnert sich , dass h, die Hohe des gan-zen Stockwerks ; A die Hohe einer jeden Stufe ; g , die ganze Stufenlinie ; g, die Breite einer jeden Stufe ; n, die Anzahl samlicher in einem Stock-werke enthaltenen Stufen ; n, die Anzahl der in einer Windung enthaltenen Stufen ; s2 die Flache der Treppen-Basis ; s die Flache einer jeden Stufe ; e, die Hohe des Treppenraums ; e, die Dicke der Treppendecke , vorstellt, so lasst sich daraus eine Formel ableiten, aus welcher sich die Ausführbar-keit oder Unausführbarkeit einer anzulegenden Treppe abnehmen lasst.
  - 1°e = h A — e, also kann nicht unter 6 Fuss seyn ( 13 ).
  - 20 g — 24" — 2 A , kann nicht unter 8" seyn (5).
  - 3 °n = —( 15 ) und = | ( 16 ) und ferner g„ O X 4 o
  - (6)- ... i
  - Nun aber ist (6) /z = ^ : F olglich ist A — _oder g
  - 8 x 4 8
  - namlich A = -r^- oder 8 h , darf also 6" nicht iiber-
  - 4 ^ g
  - schreiten.
  - Will man also wissen oh eine gegebene Treppe ausführbar sey oder nicht, so dividirt man die Basis mit 24, und vergleicht das Résultat mit der Stufenlinie. Die kleinste von diesen zwei Zahlen wird zum Divisor, und die achtfache Hohe des Stockwerks zum Dividendus genommen. Soll die Ausfiihrung der Treppe moglich seyn, so muss i° nachdem dieses Résultat, nebst der Dicke der Treppendecke von der Hohe abgezogen worden , 6 Zoll oder nicht viel da-runter übrig bleiben ; 20 muss dieser Quotient 6", oder nicht viel darüber betragen ; 3° muss das dop pelte des Résultats, nachdem es voû 24" abgezogen - worden, der Breite einer Stufe nahe kommen ; 4° darf das | der Hohe, weder das { der Stufenlinie, noch das r-| - der Grundflâche übersteigen.
  - Bemerkung. Die letzte der vorstehenden Beding-ungen würde überflüssig seyn, wenn das Local es verstattete , eine dem Unterschiede von nzun glei-che Anzahl Stufen , entweder vor oder nach der vol-standigen Windung anzulegen. Und da die dritte Be-dingung in keinem Falle als unumganglich nothwen-digzubetrachten ist, so ist es bisweilen schon genug, wenn man bloss die beiden ersten zum Masstabe nimmt.
  - then becomes impossible, unless it be obtained b) some combination of steps.
  - i5. The length, breadth, and number of the steps once known, you will easily find the surface of the basis of the stair-case, including therein the landing places , and other accessaries that are to compose it.
  - Be / the length of a step, $the breadth, and n the number; you will hâve Ixg Xn=sa 7. For instance. if the number of steps be 17 , if each lias 28° in length, and 90 61 in breadth, it will give , 28° X 90 G1
  - = 266°, and 26600 X 17 = 4522°° = 5i p. —
  - ' 44 r 72
  - 16. It would be very disagreable to go up or down a stair-case, the steps of which are less than two feet long and less than 8° Lroad or in circum-ference ; so that the surface of each step s"- ought to be at least 8° x 24° =192°; and that in dividing the surface of the stair-case , s2, by 1920, you may détermine the number of steps tobe placedin a révolution, n = -..si".. ; if the number of the steps was
  - 8° x 24 1
  - known you would find the surface of each by dividing the surface of the basis by this number s2 —
  - 17. It is évident that you would thus find the number of steps, possible to place, in forming a révolution , by dividing the line of circumference by 8°, whereas each step is to hâve at least 8° of circumference ,n — 9~ and if the number of steps was already determined, you would find the circumference ofeachby dividing the line of circumference by the number q = -.
  - u n
  - 18. If you reunite ail the preceding preliminary conditions, in recalling to mind that you hâve re-presented therein by h, the height total of the story ; h, the height of each step; g, the totality of the line of circumference ; g, the circumference of each step; n, the number of the steps of a story; n, the number of the steps of a révolution; s2, the surface of a basis of a stair-case ; s2, the surface of each step ; e , the rounding off of the passage ; e, the thickness of the cieling : you may deduct there-from a formula to know the possibility or impossibility of executing a given stair-case.
  - Therefore i° e = h — h — e and cannot be less than 6 feet.
  - 20 g = 24° — 2 h, and cannot be less than 8°.
  - 3° n = „ 7 ( i5) and = (16) and still (6)
  - h h
  - or (6) ll = i ëives/i = or g, that is to sav
  - 8X24 8
  - 8 h 8h . .
  - A=-----or — and is not to exceed 6°.
  - rr*1 §
  - Thus in order to know if a given stair-case he possible or not, divide the basis by 24, and then compare the resuit with the line of circumference : you will take the least of those two numbers for divisor, and for dividend, eight times the height of the story. That a stair-case be possible, is necessary i° thaï this resuit being deducted from the height, as well as the thickness of the cieling, there remain 6 or almost 6 feet ; 20 that this quotient be 6 inches or there about ; 3° that the double of the resuit being deducted from 24° equals almost the circumference of the step ; 4° that the | of the height does not exceed the T? of the line of circumference nor the ot the basis.
  - Observation. The last of these conditions would not be necessary, if the localities permitted to esta-blish either before or after the complété révolution , a number of steps equal to the différence of n to n. The third is never of absolute necessity ; so that we may détermine ourselves after the two first.
  - 2
- p.7 - vue 117/390
- - Exemple ieï.
  - Soit un emplacement de 22 pieds quarrés de surface ou 3168 pouces quarrés, = S2, de 8 pieds de hauteur = 96°, — h, y compris io° d’épaisseur de plancher,* et dans lequel la ligne de giron = 10 pieds 8 pouces de développement = 128° = g. On demande s’il est possible d’y pratiquer un escalier.
  - S’-
  - 4
  - 3i68°
  - 528»
  - 2 j
  - [32°, plus grand que
  - 768
  - le giron, 128° 8 h = 768 ; et 7,^ de marche admissible.
  - = 6°; hauteur
  - 20 96° — 6° — io° = 8o° , échappée suffisante.
  - 06 t 128
  - 3° ^7 16, qui n’est pas plus grand que — ou
  - r • 3168 1 r 1
  - a 0, ni que —— ou de 10 1 192
  - 4° 24°—6° x 5 ==12'
  - Ainsi l’escalier sera formé de 16 marches, chacune de 6° de hauteur, de 8° de giron ; et il aura G pieds 8 pouces d’échappée , ce qui est praticable.
  - Exemple 2.
  - Est-il possible d’établir un escalier dans un local qui présente en surface 33 f pieds quarrés , ou 4Boo° — s2; i3 p. de hauteur, ou i56°, y compris io° d’épaisseur du plancher, = h; et i3 p. 4% ou 160° de giron = g ?
  - S ^ 4-Sûo 1 ii*/*
  - i° — == = 200 plus grand que le giron ibo;
  - 8 h = 8 x 156 == 1248 ; et -7- = 70, 80, hau-
  - 100 '
  - teur de marche excessive ; ou, selon les praticiens, pas très-rude.
  - 20 i56°— 70 80— io° =r i56°— i7°8o. — i38°, 20 échappée surabondante.
  - 3°
  - i56 . , , , , 160 .
  - -j- = 20 , qui n est pas plus grand que —- ni
  - que —•
  - ^ 192
  - 4» 24° — 2 x 7°j 80 — 24° — 15, 60 =3 8, 4o,
  - rapport admissible. Au reste ~ donnerait 8° de giron; et donnerait 24o° de surface pour chaque 20
  - marche.
  - Ainsi l’escalier proposé n’est point praticable par excès de hauteur de marches , quoiqu’on puisse satisfaire aux autres conditions.
  - Exemple III.
  - Peut-on exécuter un escalier dans un emplacement de 21 j pieds quarrés de surface = 3702° = $2; 6 p. 90 81 de hauteur = 81 °, 67 = h, y compris 8° 101 d’épaisseur de plancher— 8°, 83; et 9 p. i° 81 ou 109°, 67 = g de ligne de giron?
  - i° ^ = 154,25 plus grand que le
  - giron, 109, 67. 8 h = 8 x 8i° 67 = 653°, 36; et ~3 z=z 5° 88, pas très-doux.
  - 109,67
  - 208i°, 67 — 5°, 88 — 8° 83 = 8i°, 67 — i4° 71 =66° 96, échappée insuffisante.
  - 3° 8‘ ’6- = 14, et n’excède pas *09,67 = 14 ,
  - ôy uO O
  - . 3702
  - ni — = 19.
  - 192 J
  - 4° 24° — 2 x 5° 88
  - rapport passable.
  - 109^,67
  - 4
  - 24 — 11, 76 54» 88
  - 12°, 24,
  - . , g 109°, O7 54° 88 „ _ .
  - Au reste -7 ou •—;— =------------= 70, 84 giron
  - 4 4 7 * * “ ô
  - insuffisant ; et — ou 3~ ou —1 = 264° surface
  - 192 4 7
  - surabondante pour chaque marche.
  - Ainsi l’escalier n’est pas possible, par défaut d’échappée , et un peu par défaut de giron, quoique toutes les autres conditions puissent y être remplies.
  - Problème Ier.
  - 19. Quel est le plus petit espace circulaire sur lequel puisse s’établir un escalier commode, c’est-à-dire , dont les marches aient 6° de pas, 120 de giron, et 3 pieds de long, et qui ait 6 pieds d’échappée ; ce qui détermine i3 marches dans une révolution? Fig. 6, pl. III.
  - (8)
  - Exempel I.
  - Der Gegenstand sey ein Raum, dessen Flàchen-inhalt 22 Quadrat-Fuss oder 3168 Quadrat-Zoll = S2, und die Hohe 8' = 96'' = h betràgt, wobei 10" fur die Dicke des Gebàlkes und 1 o' 8" oder = 128" = g, fur die Stufenlinie mit inbegriffen sind. *
  - Es fragt sich jetzt, ob die Anlegung einer Treppe daselbst moglich ist ?
  - S* 3168" 528" - „ .. 1 i- ci
  - i° — —------• — —— = 102", grosser als die btu-
  - 24 24 4 0
  - fenbreite, 128" 8 h = 768 ; und 6"; zulàssige
  - Stufenhohe.
  - 2» 96" — 6" — 10" = 80"; hinreichende Hohe des Treppenraums.
  - 3° — = 16, welche nicht grosser ist als ~ oder 6 o
  - • 1 • .3168, r 1
  - 16 , auch mcht grosser als -— oder 1G -.
  - 4° 24" — 6" x 2 = 12.
  - Diesem zufolge wird die Treppe aus 16 Stufen be-stehen; eine jede dieser letztern wird 6" hoch und 8" breit seyn. Der Treppenraum wird G' 8" Hohe betragen , welches ausführbar ist.
  - Exempel II.
  - Kann eine Treppe in einem Raume ausgeführt werden, dessen Flàcheninhalt 33 j Quadratfuss oder 4800" = s2, und die Hohe i3' oder i56" betràgt, mitlnbegriffvon io"Gebàlks Dicke = h, und i3'4" odert 160" Stufenlinie = g?
  - jo^_ = ^22 — 200 grosser als die Stufenbreite 24 24
  - 160; 8 h == 8 X i56 = 1248; und Yg8 = 7", 80, sehr hohe und beschwerliche Steigung.
  - 20 156" — 7", 80 — 10" = i56" — 17" 80 = i38", 20 überflüssig hoher Treppenraum.
  - 3° — = 20, welches nicht groser ist als auch 7,80 u 0
  - nicht grosser als -— .
  - 0 192
  - m
  - 24" — i5, 60 = 8,40, welches zulàssig ist. gàbe übrigens 8" Stufen-
  - 4° 24" — 2 x 7", 80
  - 160^ 20
  - ireite ; und gàbe fiir jede Stufe 240" Flàche.
  - Die Ausführung der Treppe ist daher wegen der zu hohen Steigung nicht moglich , ohnerachtet die übrigen Erfordernisse vorhanden sind.
  - Exempel III.
  - Ist eine Treppe ausführbar in einem Raume von 211 Quadratfuss = 3702" = s2 Flàcheninhalt, von 6', 9", 8'" = 81", 67 = h, Hohe, nebst 8" 10'" = 8", 83, Gebàlksdicke, und 9', 1", 8"' oder 109", 67 = g Stufenlinie ?
  - i° ^7 = = — = 154 ? 2Ô grosser als die
  - 24 24 4
  - Stufenbreite, 109, 67. 8 h = 8 x 81", 67 = 653" 653// 56
  - 36; und—= 5" 88, sehr bequeme Steigung.
  - 20 81" 67 — 5", 88 — 8" 83 = 81", 67 — i4" 71 = 66" 96, unzureichende Treppenraumhohe.
  - 3°8L^ = 14, und übersteigt nicht = i4,
  - , 3702
  - noch — = 19.
  - 4° 24" — 2 x 5", 88 = 24 — 11,76=12" 24, ist
  - zulàssig. '
  - Uebrigens aber — oder "°9I^ ” = == 7", 84,
  - unzureichende Stufenbreite ; und — oder oder
  - 192 14
  - i85i
  - 7
  - = 264", überlïüssige Flàche einer jeden Stufe.
  - Die Treppe ist daher wegen der unzureichenden Hohe des Treppenraumes, und auch einigermassen wegen der zu beschrànkten Stufenbreite unausführ-bar, wenn auch gleich aile übrige Erfordernisse dabei vorhanden sind.
  - , Problem I.
  - 19. Welches ist der kleinste zirkelrunde Raum , aufwelchem eine bequeme Treppe ausgeführt werden kann, nàmlich eine solche deren Stufen 6" Steigung , 12" Breite und 3 Fuss Lànge, nebst 6 Fuss Treppenraumhohe halten , wornach auf eine Win-dung i3 Stufen kommen. Fig. 6, Tab. III.
  - ËXAMPLE I.
  - Be given an extent of twenty two square feet in surface or 3168 square inches —S2, 8 feet high = 96° = h, including io° the thickness of the floor; and in which the line of circumference = 10 feet 8 inches of unfoldingziz: 1281 = g. It is required if it be possible to establish there a stair-case.
  - S1 3i68oo 528°° _ * îii*
  - 1 — = = —— = 102° larger than the line
  - of circumference 128^ 8 h = 768; and — = 6°,
  - height of the admissible step.
  - 20 96° — 6° — io° = 8o° sufficient rounding off.
  - 3° ~ = 16 which is not greater than or 16, which is not greater than or 16 -.
  - 0 192 2
  - 4° 24° — 6° x 2 = 12.
  - Therefore the stair-case will be formed of 16 steps, each of 6° in height and 8° in circumference ; and it will contain 6 feet 8 inches of rounding off, which is practicable.
  - Example II.
  - Is it possible to establish a stair-case in a place presenting a surface of 33 j square feet, or 4800 inches = s2 ; i3 feet high, or i56°, including therein 10 inches for the tliickness of the floor = h, and i5 feet 4 inches, or 160° of the circumference — g. ?
  - S1 4800
  - 1° = —r — 200 greater than the circumfe-
  - rence 160; 8h = 8 x i56 = 1248, and — = n°
  - 160 ' ’
  - 80, height of an excessive step; or according to professional men , a very rude step.
  - \ 20 i56° — 70, 80 — io° = i56 — 170, 80 = i38°,
  - 20 superabundant rounding off.
  - than
  - 192
  - 20 which is not greater than — nor
  - 4° 24° - 2 x T> 80 = 24 - i5, 60 = 8,4o ad-
  - missible reference. Moreover — will give 8 inches
  - 20 0
  - circumference, and will give 240 inches surface
  - for each step.
  - Thus the proposed stair-case is not practicable by the excessive height of the steps , though it be possible to satisfy the two other conditipns.
  - Example III.
  - Is it possible to execute a stair-case in a place 21 \ square feet in surface = 3702° s2; 6 feet 90 81 in
  - height = 81 , 67 — h, y including 8° 101 thickness of the floor = 8° 85 ; and 9 feet i° 81 or 109°, 67 g line of circumference.
  - S1 3702 617 _, . ,
  - 1 —7= 104, 25 greater than the
  - 24 24 4 °
  - circumference, 109,67. 8h = 8x8i°,67=603°,36; and 653 06 = 5° 88, the easiest step.
  - 109,67 r
  - 20 8i°, 67 — 5, 88 — 8° 83 = 8i°, 67 — i4° 71 = 06° 96, insufficient rounding off.
  - 3° -7-^ = 14 and does not exceed —= 14, 5, 00 8
  - 3702
  - nor ~— = 19.
  - 192 J
  - 4° 24° — 2 x 5° 88 = 24 — il, 76» = 120 24 to-
  - lérable proportion.
  - Besides \ or 109= 70, 84 insuffi-4 4 7 '
  - . . . p j s2- 5702 i85i p,
  - cient circumlerence ; and — or —— or — = 204 ,
  - 192 j4 7
  - superabundant surface for each step.
  - Thus , the stair-case is not possible, for want of rounding off, and a little for îvant of circumference ; though ail the other conditions might be filled up.
  - Problem I.
  - 19. What is the smallest circular space, on which a commodious stair-case may be constructed, that is to say, the steps of which 6 inches step, 12 circumference , and 3 feet length , and 6 feet rounding off; which détermines 15 steps in a révolution, Fig. 6 Pl. III.
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- - Solution. Soit le diamètre de la
  - base zzz . ..................x
  - La longueur des marches 36° ; les marches.occuperont 72° . . . •
  - Le noyau aura donc pour diamètre x —1 .......................
  - Le diamètre de la ligne de giron = celui du noyau + deux demi-longueurs de marches; x — 72 -+ 36 ;......................X ---- 36°
  - La circonférence de la ligne de 22 x (ec—36) )
  - giron sera donc = y --------• • •
  - Et le giron de chacune des i3
  - marches ——......................
  - Vérification. 85°,6363
  - 72
  - i3,6363
  - +. 36
  - 4g,6363 22
  - 99,2727
  - 992>7272
  - *09»»9999
  - 7 155,9999
  - 77 M»9999
  - Ainsi l’on a l’équation
  - 22 x (®—36® ) 7 x i3
  - 1 2'
  - En multipliant chaque membre de l’équation par 7 et par i3, elle devient 22 x (x — 36°) — 120 x 7 x i3.
  - En divisant par 22 x — 56°—
  - i a° v 7 v i3 22
  - /
  - En ajoutant 36°, on a x
  - 12° X 7 X l3
  - * X 7 X i3
  - 36°
  - 91
  - + 36°
  - 546»
  - 36® + 36°
  - i.Q° 6363 4- 36 = 85°
  - Problème IL
  - (9)
  - Auflosung. Der Diameter der
  - Basis sey =................... . x
  - Da die Lange der Stufen 36'' ist, so nehmen diese letztern ein 72" Die Spindel erhalt folglich einen
  - Diameter von............... x — 72
  - Der Diameter der Stufenlinie = dem der Spindel + zwei halbe Stu fenlàngen ; x — 72 + 36 = x —36" Die Circumferenz der Stufenlinie
  - 22 X (as — 56 )
  - wird daner seyn =---------------.
  - Und die Breite einer jeden der i3
  - Stufen ............
  - 7 X i3
  - Bestimmung. 85",6363
  - 72
  - i3,6363
  - + 36 4g,6363 22
  - 99. 2727 992>7272
  - 1091, 9999 ! 7 l55’ 9999 !ït 1 9999
  - Man erhalt also die Gleichung ~ * ^ ^ ^ = 12".
  - Multiplicirt man jedes Glied der Gleichung mit 7 und mit i3,-so wird sie 22 X (æ—-36") — 12" x 7 X i3.
  - Dividirt man mit 22, so bekommt man x — 36" 12" X 7 X i3
  - Fügtman 36"hinzu, so erhalt man ce =
  - + 36"
  - 6 " X 7 X 13
  - + 36'
  - 6"X9
  - 12" x 7 X 53
  - 46"
  - i + 36" = —
  - + 36" = 49" 6363 + 36 = 85" 6363 = 7 Fuss 1 Zoll, 7Linien, 64-
  - Problem IL
  - Solution. Be the diameter of the
  - basis =........................x
  - The length of the steps 36 inches, the steps will take up ji0 . . . .
  - The spindle will hâve for diameter x—72..........................
  - The diameter of the line of cir-cumference = that of the spindle, 4-two half lengths of steps ; x — 72 +
  - 56 =.....................x — 36
  - The outline of the circumference
  - will be then = — * (æ~3£).
  - 7
  - And the circumference of each of the 13 steps .........
  - r 7 X i3
  - V erifications.
  - 85,6363
  - 72
  - i5, 6363
  - + 36
  - 49> 6363 22
  - 99’2727 992>7272 109!’9999 r i55>9999 ’n: 11 ’ 9999
  - flius we shall hâve the équation22 * ^ ^ = 12®
  - in multiplying each member of the équation by 7 and by i3 it becomes 22 x (æ - 36°) — 12 x 7
  - X 13 and dividing by 22 x—36° = and
  - adding 36, we hâve x 6°xq»
  - + 36°
  - -f- 36‘
  - l;i><7Xl5 + 56 = l£Z>Üj
  - 22 x !
  - = ~ + 36 = 49° 6363
  - + 36 = 85° 6363 = 7 feet, 1 inch, 71 64.
  - Problem II.
  - 20. Quel est le plus petit espace circulaire sur lequel on puisse établir un petit escalier praticable quoiqu’un peu étroit ; c’est-à-dire , dont les marches aient 6° de pas, 8° de giron ; qu’il ait 6° de noyau et 72° d’échappée, ce qui réduit à i3 le nombre des marches d’une révolution?
  - Solution. Soit le diamètre de la
  - base .........................æ
  - Le noyau étant de...........6°
  - La portion occupée par les marches sera.................* — 6°
  - La longueur d’une marche — a
  - Et celle d’une demi-marche ~— Le rayon de la ligne de giron sera 6® , x - 6°- _ 12° + œ ~ 6°
  - T + 4 ~ 4
  - x -4- 6®
  - .........................~4~
  - ,. , . x H- 6°
  - Le diamètre du giron . . —-—
  - donc
  - Et la circonférence giron................
  - de la ligne de
  - 22 X (*+6°)
  - 7X2 .
  - Ainsi, le giron de chacune des 13 marches sera........2 7X 003“
  - Et l’on a Téquation
  - 8”
  - Vérification. 6o°, 182 6
  - 54, 182
  - 27, 091
  - i3, 545
  - + 3
  - 16, 545
  - 33, 091
  - 22
  - 66, 182
  - 661, 82
  - 728, 002
  - J lo4> 000
  - En multipliant chaque membre par 7 , par 2 et par 13 , l’équation devient 22x*+6 = 8°X7X 8 x i3.
  - En divisant par 22, on a x -f- 6° = 8*2 *l3.
  - 1 22
  - Et en retranchant 6°, x = -X.7 *2 — 6° =
  - 22
  - 6° X 7 X ____ g _ 8° X91 ___ go __ ?a8° __ 0o _ 00o
  - 11 11 îx
  - 1818 — 6° = 6o° 182 = 5 pieds o pouce 21 184. Problème III.
  - 20. Welches ist der kleinste zirkelrunde Raum, auf welchem man eine kleine, obschon ein wenig enge, aber dennocli ausführbare Treppe anlegen kann ; das heisst eine solche, deren Stufen 6" Stei-gung, 8" Breite , 6" Spindeldicke und 72" Treppen-raumhohe halten , und wornach die Anzahl der in einer Windung enthaltencn Stufen auf i3 reducirt wird.
  - Auflosung. Der Diameter der
  - Grundflàche sey =...............x
  - Da die Spindel berechnet ist zu 6" So erhalt der Theil den die Stufen einnehmen.................x — 6"
  - Die Lange einer Stufe . . -- - 6
  - x__gw
  - Die Lange einer halben Stufe —£-Die Stufenlinie wird folglich seyn
  - 6" x—6" i 2" —f- x—6" x-f-6"
  - 2 + 4 4 4
  - Der Diameter der Stufen-Breite
  - x-f-6"
  - Und die Circumferenz der Stufen-
  - Unie.............<ï+i>
  - 7X2
  - Die Breite einer jeden der 13 Stu-
  - fen ist also
  - 22 X (x — 6") 7 >0X13
  - Und man erhalt die Gleichung 22 X (®+ 6") __
  - 7X2 Xi3
  - Bestimmung. 6o°, 182 6
  - 54, 182 27, 091
  - 13, 545
  - + 3 16, 545
  - 33, 091
  - 22
  - 66, 189 661, 82
  - 728, 002 j io4, 000
  - 8°
  - Multiplicirt man ein jedes Glied mit 7, mit 2 und mit 13, so wird die Gleichung 22 Xæ + 6 = 8"x 7 X 2 x i3. Dividirt mad mit 22 , so erhalt man x
  - + 6" — und zieht man davon ab 6",
  - 22 9
  - so ergiebt sich x =
  - 8" X 7 X 2 X 53
  - 22
  - 11
  - — 6 = 8-^-^ — 6" = 7—— 6" = 66" 1818 —
  - 11 11
  - 6" = 60" 182 = 5 Fuss o Zoll 2 Linien 184.
  - Problem III.
  - 20. What is the smallest circular space on which a small stair-case may be established, practicable though a little narrow ; that is to say , the steps of which may hâve 6 inches of step , 8 of outline, 6 of spindle and 72 of rounding off, which reduces to i3 the number of the steps of a révolution.
  - Solution. Be the diameter of the
  - basis =...........,.............x
  - The spindle being of six. ... 6 The portion occupied by the steps will be.......................x — 6
  - The length of a step . . .
  - That of a half-step .... x- ^ — The radius of the line of circumference will be then 6 + —
  - 2 4
  - 12°+æ — 6 x-f-6
  - Verifications. 6o°, 182 6
  - 54, 182 27, 091 i3, 545
  - 16, 545
  - The diameter. ...... ~—
  - 2
  - The circumference of the outline
  - 22_X (x+6) 7X2
  - Thus the circumference of each of
  - the steps will be . . - . -2-*---—^ r 7 X 2 x
  - And yo'u hâve the équation
  - 22 x + 6) _
  - 7X2Xi3 “
  - 33, 091
  - 22
  - 66, 182 661, 82
  - 728, 002 - 104, 000
  - 8°
  - In multiplying each number by 7 , by 2 and by 13 , the équation becomes 22 xæ+6 = 8° x 7 X 2 X i3 ; in dividing by 22 you will hâve x + 6° =
  - ——X7 2™- and in retrenching 6°; x = .8°-X 7 * 2
  - 22 0 22
  - _0° „ 8 X 7 X <3 _ 0 _ 8X 91 00 728® g0 __
  - u 11 11
  - 66° 1818 — 6° = 6o° 182 = 5 feet o inch 21184-
  - Problem III.
  - 21. Etant forcé par remplacement de réduire le giron de chaque marche h, 70 81 = 70 666, de porter le pas à 6° 41 ou 6° 333 de hauteur, et de n’en mettre que douze dans une révolution ; quel est le plus petit espace circulaire sur lequel cet escalier puisse être construit en réduisant son noyau à 5°? PL III, fîg. 7.
  - r
  - 21. Ist. man wegen des Locals genothigt, die Breite einer jeden Stufe auf 7" 8'" = 7" 666, zu re-duciren, der Steigung eine Hohe von 6" If" oder 6" 333 zu geben , und in einer Windung nicht mehr als 12 Stufen anzubringen ; so fragt es sich, welches ist der kleinste zirkelrunde Raum , auf welchem eine Treppe, wenn ihre Spindel auf 5" reducirt wird, angelegt werden kann? Tab. III, Fig. 7.
  - 21. Being forced by the place to reduce the outline of each step to 7 inches 81 = 70 666 , to carry the step to 6°, 41 or 6,333 of height and to put only 12 in a révolution ; what is the smallest circular space on which this stair-case can be constructed in redu-cing the spindle to 5°? PL III , Fig. 7.
  - 3
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- - Solution. Ce problème étant du Vérification.
  - même genre que le précédent, il suf- 53°, 5454
  - fit d’en substituer les données dans. — 5
  - la valeur de x trouvée par la solution 48, 5454
  - ci-dessus. 24, 2727 12, 1363
  - „ , 7“ 666X7° X2 X 12 On a donc x =- 22 4- 2, 5ooo
  - 50 — 7° 666 X 7 X 12 _ £0 14, 6363
  - 11 29, 2727
  - 5j>° 666 X 12 _ £0 __ 6430999 _ g0 _ 22
  - n xi 58° 5454 - 5° = 53° 5454 = 4 pieds 5 pouces 61 55. 58°, 5454 585, 454
  - 643, 9999
  - 7 9*> 9999 jl y®, 6666
  - 22. Les limons étant des bordures destinées à soutenir les marches, doivent avoir une largeur uniforme : cette largeur doit être établie rectangulairement à la ligne qui passe aux extrémités des arêtes des marches, et que nous appellerons Tangente du cordon des marches : les limons, par rapport à leur plan, sont droits, ou courbes, ou mixtes.
  - 23. Limon droit, est le nom de toutes les bordures de marches dont la projection horizontale marque un plan droit, PL I, Fig. 13, 19 et 23; mais ces limons, quoique sur plan droit, ne forment une bordure rampante droite, que quand les collets des marches sont égaux, Fig. 20 et 22, PL I; et leurs formes sont courbes, quand les collets sont inégaux, Fig. 24, même PL , ou quand ils se raccordent à une partie horizontale, Fig.. 18 et 19, PL IV.
  - 24. Limon courbe, est le nom aussi généralement usité pour indiquer les bordures des marches dont les projections horizontales forment des plans courbes, PL XI, Fig. 2, 8, ïo, i3 et i5 : cependant, ceux qui sont très-eourts, Fig. 6, PL IV, prennent le nom de Sabot.
  - 25. Limon mixte, est le nom qui conviendrait aux bordures de marches dont le plan est en partie droit, en partie courbe ; on les appelle ordinairement Limons-crosses, Fig. 5 , PL V. Crémaillères, sont des parties de limons entaillées angulairement pour porter les marches, Fig. 16, PL I ; mais quand elles ne contiennent qu’un collet de marche, elles prennent le nom de Parclose.
  - Les limons sont aussi susceptibles d’être décorés de moulures et autres ornements : les Fig. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8, de la PL I, sont les profils simples les plus usités.
  - 26. Un limon, Fig. i4 et s5, PL XI, contient quatre surfaces : la supérieure, qui reçoit la rampe , A a; l’inférieure, ou de Plafond, B b, l’une des verticales , recevant les collets des marches, C c, que nous appellerons intérieure ; et l’autre verticale apparente , D , que nous appellerons extérieure. Chaque limon droit, ou courbe, a aussi deux bouts, E F, e f, qui doivent être façonnés, soit pour commencer la continuité, ou pour être assemblés à d’autres pièces. Les portions de la surface intérieure non occupée par les têtes des marches, ont aussi reçu des noms. La portion qui s’élève au-dessus des marches est appelée Socle, et celle au-dessous, Ressocle.
  - 27. La sorte d’enroulement qui orne le bas d’un limon, est nommée par les praticiens, colimaçon, ou Volute d’échiffre (a) : cette naissance de limon a ordinairement pour base une spirale. Si l’on suppose à tous les points de cette courbe un mouvement vertical, mais de hauteur différente, ou qui s’arrête h la surface d’une portion de cône disposé horizon-
  - ( 10 )
  - Auflosung. Da dieses Problem von derselben Beschaffenheit ist, wie vorstehendes, so braucht man bloss die Angaben in dem in der vorigen Auflosung gefundenen Werthe x zu substituiren.
  - Man hat also
  - 22
  - _ 5" _ 7" 666 X 7 X 12 _ _
  - 11
  - I Bestimmung.
  - 53°. 5454 - 5
  - 48, 5454
  - 24, 2727 12, 1363 -f- 2, 5ooô
  - 1476363 29, 2727 22
  - 53"666 X
  - 11
  - _ 5" =
  - 6jW' 999 _ g// 11
  - = 58" 5454 - 5" = 53" 5454 = 4 Fuss 5 Zoll 6"' 55.
  - 58°, 5454 585, 4ô4
  - 643, 9999 7 91* 9999
  - 70, 6666
  - 22. Die Wangen sind Einfassungen, welche zur Befestigung der Stufen dienen. Die Breite derselben muss nicht nur einfach, sondern auch so beschaffen seyn, dass solche mit der an den Enden der Stufen-kanten laufenden Linie winkelrecht fortlauft. Wir bezeichnen diese Linie mit dem Namen Tangent des Slufengesimses. Nimmt man auf den Plan Rück-sicht, nach welchem die Wangen angelegt werden, so kônnen dieselbenentwedergerade, oder gebogene oder gemischte etc, seyn.
  - 23. Gerade Wangen nennt man diejenigen Stu-fen-Einfassungen, deren horizontale Vorstellung ei-nen geraden Plan beschreiben. Tab. I, Fig. 13, 19 und 23. Ob nun zwar gleich der Plan dieser Wangen gerade ist, so bilden sie doch nur erst dann eine gerade Einfassung, wenn die Stufenhalse gleich-fôrmig sind, Fig. 20 und 22 Tab. I; denn sind die Stufen ungleich, wie die Fig. 24 , auf derselben Ta-belle, oder sind sie mit einem horizontalen Theile verbunden, wie in Fig. 18 und 19, Tab. IV, so wird die Gestalt derselben gebogen.
  - 24. Gebogene Wangen heissen diejenigen Stu-fen-Einfassungen deren horizontale Vorstellungen einen gebogenen Plan bilden. Tab. XI, Fig. 2, 8, 10,
  - 13 und i5; indessen werden diejenigen, welche sehr kurz sind, wie in Fig. 6 Tab. IV, mit dem Namen Sabot (Kropfstück) bezeichnet.
  - 25. Gemischte Wangen konnen füglich diejenigen Stufen-Einfassungen genannt werden, deren Plan theils gerade, theils gebogen geht ; ihr gewôhnlicher Name ist Limon crosse. Fig. 5, Tab. V. Einlo-chungen sind die winkelformig eingeschnittenen Theile der Wange, in welche die Stufen eingesetzt werden. Fig. 16, Tab. I. Wird bloss ein Stufénhals in dieselben eingesetzt, so heissen sie Parclose.
  - An den Wangen konnen ebenfalls Gesimse und an-dere Verzierungen angebracht werden. Die einfach-sten und gebrauchlichsten Profile derselben, sind in den Fig. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 und 8, Tab. I enthalten.
  - 26. Eine Wange bestheht nach Fig. i4 und i5, Tab. XI, aus vier Flachen; selbige sind: i° die obéré, auf welche das Gelander A a, aufgesetzt wird ; 20 die untere B b, an der Decke ; 3° eine verticale, in welche die Stufenhalse, C, c, eingelocht werden, und welche wir die innere nennen wollen, und 4° die entgegengesetzte und sichtbare ebenfalls verticale, D, welche wir die âussere nennen wollen.
  - Eine jede Wange, si sey gerade oder gebogen, hat ferner zwei Enden, E F, e f, welche Versat-zungen erhalten, weil mit ihnen entweder die fort-gesetzten Wangenstücke, oder andere Hôlzer verbunden werden. Die Theile an der innern Seite, welche die Stufenenden nicht ausfüllen, führen ebenfalls besondere Namen : der Theil namlich, welcher über die Stufen hervorragt, heisst Socket, oder der obéré Backen, und der unter demselben befindliche, wird Ressockel oder der untere Backen, genennt.
  - 27. Die Art von Windung, mit welchem der untere Theil der Wange verziert wird, heisst in der Bausprache die Schnecke (a). Dieser Theil, mit welchem die Wange anfangt, hat gewohnlich eine spiralformige Windung zur Basis. Nimmt man an, dass aile Theile dieser Windung eine verticale und ungleich hohe Bewegung haben , oder dass diese
  - Solution. This problem being of the same kind as the preceding one ; it is sufficient to substitute the data in the value of x found in the fore-going solution.
  - Youthenhavex^-^7*^
  - 22
  - __ 5 = 7° 666 X 7 X 12 _ 50 __ 1 1
  - 53° 666 X 12 _ g _ 6400999 __ _ ggo
  - 11 11
  - 5454 - 5° = 53° 5454 = 4 feet 5 inches 61 55.
  - ?
  - V érification.
  - 53°, 5454 - 5
  - 48, 5454
  - 24, 2727
  - 12, 1363
  - + 2, 5ooo
  - i4> 6363
  - 29> 2727
  - 22
  - 58°, 5454
  - 585, 454
  - 643, 9999
  - 7 91* ‘ 9 9999
  - Tï T>6666
  - 22. The string-boards being edges designed to support the steps, must hâve a regular breadth : that breadth must be set up rectangular to the line which runs to the very end of the edges of the steps, and which, we shall name Tangent to the moulding of the steps : the string-boards, according to their plan, are straight orcurved, or mixt, etc.
  - 23. Straight String-board, is the name given to ail the edges of steps, whose horizontal projection shows a straight plan, PL I, Fig. i3, 19, and 23. But those string-boards, though on a straight plan, do notform a straight rampant edge, except when the narrowparts (collets) of the steps are equal, Fig. 20, and 22, PL I; and their forms are curved, when the narrow parts are unequal, Fig. 24, same plate, or, when, they agréé perfectly with an horizontal part, Fig. 18, and 19, PL IV.
  - 24. Curved string-board t is also the name gene* rally employed to indicate the borders of the steps, whose horizontal projections form curved plans, PL XI, Fig. 2, 8, 10, i3, an i5; however, those which are very short, Fig. 6 , PL IV, take the name of Sabot.
  - 25. Mixt string-board , is the name which ought to be given to the edges of steps whose plan is in part straight, and in part curved; they are called, usually, crosses string-boards, Fig. 5, PL V, the Crémaillères are parts of string-boards, eut in an angular way to support the steps, Fig. 16, PL I, but when they contain a single collet of steps, they take the name of Parclose.
  - The string-boards are also susceptible to be de-corated with mouldings'and other ornaments : the Fig. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, and 8, of the PL I, are the profiles simple, the most in general use.
  - 26. A String-board, Fig. i4, and i5, PL XI,
  - contains four surfaces; the superior which receives, the flight A a ; the inferior, or the Ceiling B b ; one of the vertical, receiving the narrowest parts (Collets ) of the steps, G c, which we shall call internai, and the other also appearing vertical D, which we shall give the name of extemal : every string-board straight or curved,has also two ends, EF, ef, which must be formed, either to begin the continuily, or to be adapted to other pièces. The parts of the internai surface not occupied by the heads of the steps, hâve also their names : the part which raises over the steps, is called pedestal ( Socle ) ; and the under one the foot ( Ressocle ). v
  - 27. The kind of moulding which adoras, the lo-wer part of a string-board, is called by professional men, Volute or ( Colimaçon) (a), that beginning of a string-board has usually a spiral line for ils basis. If one supposes to ail the points of that curve, a vertical motion , whose height should be of course very different, or which should finish the surface
  - (a) Cette masse réservée au commencement du limon , permet de placer le premier barreau de rampe, dit pilastre, au-delà de la surface extérieure: ce qui donne de l’agrément et plus d’étendue à l’entrée de l’es-calicr.
  - (a) Da dieser am Anfange der "Wange angebrachte Theil es verstattet, dass der erste Stab des Gelanders , Piiaster genannt, ausserhalb der âussern Flâche aufgesetzt werden kann, so erhôht dieses die Schonheit der Treppe, und vergrossert zugleich den Umfang derselben.
  - (a) That mass reserved in the beginning of the string-board, allows to place the first bar ofthe flight, called piiaster, beyond the external surface, which gi-ves a grâce and a greater extent to the entrance of the stair-case.
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- - talement, on aura l’idée et du volume et des surfaces de cet ornement, qui est cependant susceptible d’un grand nombre de variétés, ainsi que Fré-zier le fait remarquer au livre II, chap. 3. Deux dessins sont nécessaires, pour procéder au tracé de cet enroulement : i° la projection horizontale ou spirale, soit unique, ou avec compagne, dite Conoïde; 2° le développement des surfaces verticales, contenant la rectification des courbes, et les différentes hauteurs; ce qu’on homme Panneau.
  - 28. Le tracé des spirales est assujetti à la règle générale des autres courbes usuelles, qui est que les rencontres ou points extrêmes des arcs, doivent toujours se confondre sur la direction de leurs centres.
  - Le tracé le plus simple est celui qui donne à la révolution de la spirale seulement deux arcs de cercle. Dans la pratique, PI. IX, Fig. 2, on a divisé a b, épaisseur du limon, en huit parties égales ; une de ces parties est portée de b en c : ce dernier point étant pris pour centre, et ca pour rayon, on a décrit le premier demi cercle a d e : on a divisé c e en deux parties égales, et le milieu f est le centre du deuxième demi-cercle e g c. Pour tracer la spirale compagne, qui est le plan du contour de la première marche du premier centre c, on a abaissé la perpendiculaire ch sur l’arête de la marche, et décrit l’arc hi; e est le centre du second arc ij.
  - 29. Si Fon voulait que la révolution de la spirale fût composée de six arcs de cercle, Fig. 8 et 9, PI. II, on procéderait comme il suit pour la tracer.
  - La description horizontale étant faite, c’est-à-dire, le plan des premières marches A, B, C, D, E, F, et de la partie droite du limon G, on a prolongé indéfiniment la ligne de la marche C vers c ; l’étendue a b a été portée de b en c ; ce dernier point a été pris pour centre ; et c b , et c a , pour rayons des arcs b d et a c, chacun de 60 degrés : on a tracé le rayon c e ; et sa portion d e a été partagée en six parties égales, et de en quatre, dont d f est l’une :
  - est le centre de l’arc eg, aussi de 60 degrés. Menant l’indéfinie fr, et portant de f en h un des sixièmes de de, h est le centre de g i : de même , j est le centre de i k; 1 centre de km, et n centre de m 0; tous ces arcs ont pareillement 60 degrés. Entre n et f, on a pris le centre de-o p , de manière à arriver en d.
  - Pour la spirale compagne, qui, dans cet exemple, est la forme en plan de la première marche, on a pris f pour centre de l’arc q r; mais r est dans la direction du côté f h de l’hexagone ; on a aussi établi fs égal à la constante de; et s r a été divisée en cinq parties égales : une de ces dernières parties a donné le point t, centre de r u : en menant le rayon tu, et portant de t en v un des cinquièmes de s r, v est le centre de u x ; et de même y centre de x : l’arc b est décrit du centre z', pris de manière à arriver en b.
  - 3o. Dans les escaliers à base circulaire, où la projection horizdhtale des limons est composée d’arcs de cercle, on nomme pratiquement ces limons Courbes rampantes. La courbe rampante est susceptible de plusieurs variétés, savoir; i° si elle reçoit des marches dont les collets sont égaux en hauteur et égaux en largeur, la rectification de ses arêtes sera droite; 20 si (toujours sur même plan) elle reçoit des marches dont les collets ont même hauteur, mais dont les largeurs diffèrent, la rectification de ses arêtes sera courbe, etc.
  - 5 j . Soit Fig. 1 o et 11 , PI. III, la demi -couronne
  - Ietztere an der Flàche eines horizontal laufenden co-nischen Theils unlerbrochen wird, so erhàlt man eine richtige Idee von dem Umfange und den Fia— chen dieser Zierrath, welche demohnerachtet sehr verschiedentlich gestaltet seyn kann, wie bei Fre-zier, im 2 Bûche, 3 Capitel zu ersehen ist. Zur Ab-bildung dieser Windung sind zwei Zeichnungen nothwendig : i° die horizontale oder spiralformige Vorstellung, sie mag nun einfach oder zusammen-gesetzt (conoïde) seyn; 20 die Darstellung der ver-ticalen Seiten , welche die Eintheilungen der Win-dungen und der verschiedenen Hdhen enthàlt ( Fül-lung).
  - 28. Die Zeichnung der Spirallinien folgt der Ml-gemeinen Regel der übrigen gewohnlichen Krüm-mungen ; das heisst : die zusammentreffenden oder àussersten Punkte der Aren ( Zirkelbogen ) müssen auf der Richtung nach ihren Mittelpunkten jederzeit in einander laufen.
  - Die einfachste Zeichnung ist diejenige, durch welclie die Windung der Spirallinie nicht mehr als zwei Zirkel-Aren erhàlt. In der Praxis hat man die Dicke der Wange a b, Tab. IX, Fig. 2, in acht gleiche Theile gelheilt ; einer von diesen Theilen ist von b auf c geführt worden : da dieser letzte Punkt als Mittelpunkt, und c a als Radius angenommen ist, so hat man den ersten Halbzirkel a de beschrieben : c e ist in zwei gleiche Theile getheilt wordeu, und die Mitte f, ist der Mittelpunkt des zweiten Ilalbzir-kels e g c. Um die begleitende Spirallinie, welche den Umriss der ersten Stulè beim ersten Mittelpunkte c ausmacht, zu zeichnen, so hat man die Perpendicu-lar-Linie c h, vom ersten Mittelpunkt c, auf die Kanle der Stufe herabgesenkt, und die Are h i, beschrieben ; e ist der Mittelpunkt der zweiten A.re i j.
  - 29. Sollte die Windung der Spirallinie aus sechs Zirkelbogen, Fig. 8 und 9, Tab. II bestehen, so würde die Zeichnung derselben nach nachstehender Yerfahrungsweise geschehen.
  - Wenn die horizontale Beschreibung, das heisst, der Plan der ersten Stufen A, B, C, D, E, F, nebst der Zeichnung des geraden Theils der Wange G, vol-lendet ist, so verlàngert man die Linie der Stufe C, auf eine unbestimmte Weise nach c; die Linie a b wird von b nach c geführt ; dieser letzte Punkt wird aïs Mittelpunkt, und c b, so wie c a, als Radii der Aren b d und a c, von denen ein jeder 60 Grade enthàlt, angenommen ; man zeichnet sodann den Radius c e, und theilt dessen Theil d e in sechs, und d c, in vier gleiche Theile, von denen d /“einer ist : f ist der Mittelpunkt von dem Zirkelbogen eg, welcher eben-falls 60 Grade enthàlt. Führt man die unbestimmte Linie fr fort, und bringt eins der Sechstel d e, von f nach h , so ist h der Mittelpunkt von g i : gleicher-gestalt ist j der Mittelpunkt von i k; 1, der Mittelpunkt von k m, und n, der Mittelpunkt von m o; aile diese Aren enthalten ebenfalls 60 Grade. Zwi-schen n und f nimmt man den Mittelpunkt von o p, um so zu d zu gelangen.
  - Bei der begleitenden Spirallinie, welche in die-sem Exempel den Plan zur ersten Stufe beschreibt, hat man f z um Mittelpunkt der Are q r genommen ; allein r befindet sich in der Richtung nach der Seite f h des Sechsecks ; auch hat man die Linie fs gezo-gen, welche gleich ist der unverànderlichen de, und s r ist in fünf gleiche Theile getheilt worden : einer von diesen lezten Theilen hat den Punkt t, gegeben, welches der Mittelpunkt von r u ist : führt man den Radius t u fort, und bringt eins der Fünftel s r von t nach v, so ist v der Mittelpunkr von u x ; und y, der Mittelpunkt von x : die Are b ist aus dem Mittel-punte z' beschrieben, welcher dergestalt genommen ist, dass man nach 6 gelangen kann.
  - 30. Courbes rampantes nennt man die Wangen hei Treppen mit zirkelrunder Basis ( Wendeltrep-pen), wo die horizontale Vorstellung derselben aus Zirkelbogen besteht. Eine solche Wange kann meh-rere Verschiedenheiten erleiden ; i° bekommt sie Stufen mit gleich hohen und gleich breiten Hàlsen, so werden die Kanten der Wange gerade seyn ; 20 bekommt sie aber ( auf dem nàmliohen Plane ) Stufen mit zwar gleich hohen, aber nicht gleichbreiten Hàlsen, so werden die Kanten krumm seyn, etc.
  - 31. Auf Tab. III, Fig. 10 und 11, sey der halbe,
  - of a part of a cône, one should hâve an idea of the size and of the surfaces of that ornament which is, however susceptible of a great many varieties, as Frezier shows it, in the II book, chap. 3 , two drawings are needfull to proceed lo the sketch of that winding (enroulement ), i° the horizontal or spiral projection, either single, or double, named Conoïde; 20 the unfolding of the vertical surfaces, including the rectification of the curves and the va-rious heights ; which is called Pane.
  - 28. The délinéation of spiral fines is subjected to the general rule of the other usual curves, which is that the meetings or the extreme points of the arcs, must always loose themselves, on the direction of their centers.
  - 1
  - . The simplest délinéation is the one which gives to the révolution of the spiral, only two arcs of circles.
  - In the practice, PI. IX , Fig. 2, one has divided a b, thickness of the string-board in eight parts equal ; one of those parts is carried from b to c ; this last point being taken for the center, and c a, for the radius; one has marked out the first half-circle ade, and ce being divided in two parts equal, the middle f, is the center of the second half-cirde egc. To delineate the double spiral, which is the plan of the circumference of the first step ; from the first center c, one has let down the per-pendicular ch, on the edge of the step and marked out the arc hi; e is the center of the second arc ij.
  - 29. If one desired that the winding of the spiral should be composed wilh six arcs of circles, Fig. 8 and 9,PI. II, one should proceed, as it follows, to delineate it.
  - The horizontal description being made, I mean, the plan of the first steps A, B, C, D, E, F, and of the straight part of the string-board G, one has prolon-ged indefinitely, the fine of the step C, towards c , the extent a b has been carried from b to c ; this last point has been taken for the center ; and c b and c a, for the radiuses of the arcs b d and a c, having sixty degrees each; one has delineated the radius ce, its part de has been divided in six parts equal, and de in four, one of which is d f : fis the center of the arc eg , having also sixty degrees ; marking out the indefinite fr, and carrying from f to h one of the six parts of d e ; h is the center of g i ; as j is the center of ik; 1 center of km; and n center of mu; ail thosearcshaveequally sixty degrees each. Between n and f, one has taken the center oîop, in such a manner as to arrive in d.
  - For the double spiral, which, in this example, is the form plane of the first step, one has taken f for the center of the arc q r ; but r is in the direction of the side fh of the hexagon; one has also established fs, equal to the constant d e, and s r, has been divided in five parts equal : one of those last parts has given the point t, center o(ru; marking out the radius t u and carrying from i to v, one of the five parts of sr; v is the center of ux; and likewise, y center of x : the arc b is described from the center t! , taken in such a manner as to arrive in b.
  - 30. In the steps having a circulary basis, where the horizontal projection of the string-boards , is composed with arcs of circles, the string-boards are called by professional men rampant curves. The rampant curve is susceptible of many varieties, viz : i° if it receives steps, whose (Collets) are equal in height as well as-in breadth, the rectification of its edges shallbe straight; 2°if (always on the sameplan) it receives steps , whose Collets hâve a saine height, but whose breadth is different, the rectification of its edges, shall be curved, etc.
  - 31. Let it be the, Fig. 10 and the 11, PL III,
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- - comprise entre les deux demi-cercles A G E, B F D, la projection horizontale d’un limon recevant huit têtes de marche dont les collets sont égaux, ainsi que les hauteurs des pas, dont les traces sont supposées rayonnantes.
  - Soit a e la rectification de la demi-circonférence AGE (a); elle sera divisée en parties égales, en h, j, l,f,n,p,r,c, comme l’est la circonférence en H, J, L, G, N, P, R, E. Si l’on élève à chaque point de division une perpendiculaire a a, lie, je, etc., que l’on fera successivement de 1, 2, 3, 4» etc., hauteurs de pas, en les coupant par des parallèles a, ae, as, et, eu, etc., et si l’on joint les extrémités de ces perpendiculaires par les lignes ac,ce, eg, etc.; chaque triangle asc, etc, eng, etc., sera une portion de la surface du ressocle au-dessus d’une marche, et chaque hypothénuse ac,ce, etc., sera le développement de la portion du limon rectifié qui appartient à cette marche. Or tous ces triangles ayant même hase et même hauteur, sont égaux entre eux ; donc toutes leurs hypothénuses sont égales, et également inclinées sur la hase; elles forment donc nécessairement une ligne droite, qui est l’hypothénuse du triangle arq.
  - 32. Mais si toujours, sur même plan, Fig. 12 et 13, avec même hauteur constante de pas, et même rectification a e du limon à plan circulaire AGE, ce limon reçoit des têtes de marches dont les collets sont inégaux, et que l’on en construise le développement de la même manière que dans le cas précédent; les triangles asc, de, eng, etc., représentatifs au - dessus de chaque marche , auront tous la même hauteur, mais des bases de grandeur inégale : ainsi, bien loin d’être égaux entre eux, comme dans le premier cas, ils ne seront pas meme semblables; et les hypothénuses de chacun seront différemment inclinées sur la base. La suite de ces hypothénuses partielles ne pourra donc pas former une ligne droite, comme dans le cas précédent, mais une courbe à double inflexion de chaque côté de la marche dont le collet sera le plus petit, et qui aura autant de points d’inflexions qu’il se trouvera de systèmes de rétrécissement de collets dans la suite des marches.
  - 33. Les deux ordres de perpendiculaires employées ‘dans ce tracé, forment ce que les géomètres nomment les coordonnées du développement du limon. Celles d’un même point ont partout le même rapport entre elles dans le premier cas; ce qui constitue essentiellement une ligne droite : mais dans le deuxième cas, où les unes sont égales entre elles, et les autres inégales, les coordonnées d’un même point sont entre elles dans des rapports différents ; propriété caractéristique des lignes courbes, qui sont variables à l’infini, tandis que la droite est unique danà son espèce.
  - Chacune des deux figures présente aussi le développement du limon intérieur, concentrique à l’extérieur par son plan, dont le tracé doit se faire de la même manière, et manifeste la même propriété.
  - 34. Si la base est une demi-ellipse , ou une demi-ovale, qui est son imitation dans la pratique, Fig. 1, PI. XXIII, l’une ou l’autre des arêtes sera nécessairement affectée du défaut nommé jarret; les considérations suivantes en démontrent les causes.
  - En effet, comme dans la pratique on donne toujours la même épaisseur, dans tout son contour, à la description horizontale du limon, quelle que soit la courbe primitive ABC, non circulaire, sa compagne, DEF, équidistante, ne pourra lui être sem-
  - (a) Si l’on suppose neuf hauteurs de marches chacune de 6°, le diamètre A E = 2 pieds, et le diamètre B D = 1 pied 6 pouces, on aura e q = 4 pieds 6
  - pouces ; A G E = 2~' = 5 pieds 1 pouce
  - 8 lignes, B F D = - ap. 4» 3 1.
  - 2 1 :
  - (12 )
  - zwischen den beiden Halbzirkeln AGE, BFD, be-griffene Kranz , die horizontale Vorsteilung einer Wange, in welche acht strahlenformig angenommene Stufen mit gleichfbrmigen Halsen , und gleichhoher Steigung eingesetzt werden.
  - a e sey die Rectification der halben Circumferenz AGE; (a) selbige ist hei h, j, l, f, n, p, r, c, in glei-che Theile getheilt worden, was auch mit der Circumferenz bei H, J, L, G, N, P, R, E, geschehen ist. Richtet man bei jedem Theilungspunkte eine Perpendicülarlinie a a, h c, j e, etc., auf, welche man nach und nach von der Stufenhohe 1, 2, 3, 4, etc. zieht, und sie bey a, ae, a s, c t, e u, etc. durch Parallellinien durchschneidet, und vereinigt ferner die Enden dieser Perpendicularlinien durch die Linien a c, ce, e g, etc., so wird jeder Triangel a s c, c t e, eng, etc., einen Theil von der obéra Flache einer Stufe vorstellen ; so wie jede Hypothe-nuse a c, c e, etc., die Vorsteilung des rectificirten Wangentheils, welcher zu dieser Stufe gehort, seyn wird. Nun sind aber diese Triangel, welche einerlei Grundflache und Hohe haben, sich ùnter einander gleich, folglich sind auch aile ihre Hypothenusen sich gleich, und nahern sich gleichmâssig der Basis ; sie bilden also nothwendiger Weise eine gerade Li-nie, wçlche die Hypolhenusedes Triangelsarq, ist.
  - 32. Wenn aber nach Fig. 12 und i3, auf dem-selben Plane , und bei gleich unveranderlicher Stu-fenhohe , und derselben Rectification a, e, der zir-kelrunden Wange A, G,E, diese Wange, Stufennnit ungleichen Halsen bekommt, und man mit der Zeichnung auf dieselbe Weise wie vorstehend, ver-fahrt, so werden die Triangel a s c, c t e, e n g, etc., welche die Oberflache der Stufen vorstellen, zwar sammtlich die namliche Hohe], allein Grundflachen von ungleicher Grosse haben ; daher sie auch , an-statt wie im ersten Falle unter einander gleich zu seyn, jetzt selbst nicht einmahl ahnlich sind ; auch nahern sich ihre Hypothenusen der Basis ungleich-massig. Diese fortgesetzten einzelnen Hypothenusen bilden daher, nicht wie im vorigen Falle, eine géra de , sondera eine krumme Linie, mit doppelter Biegung auf jeder Seite der Stufe, welche mit dem kürzesten Halse versehen ist ; auch erhalten sie eben so viele Inflexionspunkte als es Verkürzungen der Stufenhalse im Laufe der Treppe giebt.
  - 33. Die beiden obbeschriebenen Perpendicularlinien machen die in der Geometrie sogenannten Co-ordinaten der Wangenzeichnung aus. Die aus einem Punkte ausgehenden, stehen nach Massgabe des ersten Falles, überall unter sich in gleichem Verhàlt-nisse, woraus nothwendig eine gerade Linie ent-steht; im zweiten Falle aber, w.o einige unter sich gleich, und andere ungleich sind , befinden sich die Coordinaten des namlichen Punktes, unter einander in verschiedenem Verhàltnisse ; solches ist eine ei-genthiimliche Beschaffenheit der krummen Linien , welche ins Unendliche verandert werden konnen, wahrend die gerade Linie einzig in ihrer Art ist.
  - Eine jede von diesen beiden Figuren enthalt zu-gleich auch die Vorsteilung der innern Wangenfla-che, deren aussere Seite , ihrem Plane nach concen-trisch ist; die Zeichnung derselben geschieht auf dieselbe Weise, und enthalt die namliche Beschaf-. fenheit.
  - 34. Bildet die Grundflache eine halbe Ellipse, oder ein halbes O val, welches in der Praxis die Nach-ahmung derselben ist, so muss nach Fig, 1, Tab. XXIII, die eine oder die andere Kante, nothwendig einen fehlerhaften Bug oder Winkel bekommen, dessen Ursachen sich aus folgenden Betrachtungen ergeben.
  - Da man namlich der horizontalen Vorsteilung der Wange in der Praxis jederzeit dieselbe Dicke, und zwar in ihrem ganzen Umrisse giebt, die krumme , nicht zirkelrunde Grundlinie A, B, C, sey übrigens von welcher Beschaffenheit sie wolle, so wird die
  - the half crown included betwixt the two half-circlçs AGE, BFD, horizontal projection of a string-board receiving eight heads of steps , whose collets, are equal, as well as the heights of the steps, whose délinéation is supposed to be half-diametrical.
  - Let it be a e, rectification of the half-circumfe-rence AGE (a); it shall be divided in equal parts in h, j, l, f, n, p, r, c, as the circumference is itself in H, J, L, G, N, P, R, E ; if one raises to every divi-ding point a perpendicular a a, h c, je, etc., which one shall compose successively of 1, 2, 3, 4> etc., height of the steps; in cutting them byparallels to a, .ne, as, d, and eu, etc.; then joining the extre-mities of those perpendiculars by the fines ac, ce, eg, etc., every triangle asc, de, eng, etc., shall be a part of the pedestal {socle) over a step, and every hypoténuse ac, ce, etc., shall be the unfol-ding of the rectified string-board which belongs to that step; consequently, ail those triangles having a same basis and a same height, are equal between themselves, consequently their hypoténuses are also equal and equally bent over the basis ; therefore, they form necessarily a straight line, which is the hypoténuse of the triangle arq.
  - 52. But if always on the same plan, Fig. 12 and 13 , with a same constant height of steps, and a same rectification a e, of the string-board, with a circu-lary plan AGE; that string-board receives heads of steps; whose (collets) are unequal, and, if the un-folding is constructed in the same manner, as in the precedent case; the triangles asc, de, eng, etc., represenling the top of every step, shall hâve a same height, but basis of an unequal size; so, far from being equal among themselves, as in the first case, they shall not even be like, and the hypoténuses of each of them, shall hâve different inclinations over the basis : therefore , it would be impossible, that the sériés of those hypoténuses should form a straight fine, as in the precedent case ; but a curved one, with a double bending on every side of the step, whose (collet) shall be the narrowest, and which shall hâve as many shelving points, as there will be found Systems of narrowness of (collets) in the sériés of the steps.
  - 33. The two orders of perpendicular fines em-ployed in that délinéation , form wlfat geometers call the coordination (coordonnées ) of the unfolding of the string-board : those which hâve a same point, hâve also, in the first case, a same affinity between themselves ; which constitutes essentially a straight fine : but, in the second case , where some are equal between themselves, and the others are unequal, the coordonnées of a same point, hâve among themselves, various affinities ; a cliaracterislical propriety of curved fines, which vary infinitely, whilst the straight
  - ones nevor change.
  - \
  - Each one of the two figures présents also, the unfolding of the internai string-board, concentrical with the extern al one, b y its plan, whose délinéation must be ma de in the same way, and manifest a same propriety.
  - 34* If the.basisds half-elliptick, or half-oval, which is its imitation in practice, Fig. 1 , PI. XXIII, some of the edges shall necessarily be affected with the defect called, unevenness : the following considérations demonstrate the causes of it.
  - •>
  - /
  - And indeed, as in practice, we give always the same thickness in ail its circumference, to the horizontal description of the string-board : whatever may be the primitive curve ABC, notcircular,ifs com-panion DEF, équidistant, cannot be similar to it ;
  - (a) Nimmt man neun Stufenhôhen, eine jede zu'6//, an, den Diameter A E = 2 Fuss, und den Diameter B D = 1 Fuss 6 Zoll; so erhâlt man e q — 4 Fuss 6 2' X 3, 14.16
  - Zoll; AGE 6,f X 3» i4*6
  - 3' 1" 8'" : B F D
  - a' 4" 5'".
  - (a) If one supposes nine heights of steps, each of 6°, the diameter A E = 2 feet, and the diameter B D = 1 foot 6 inches : one shall hâve e q = 4 feet 6 inches;
  - 2 feet X 3, i4*6 2
  - A G E =
  - 3 feet 1 inch. 8 lin. BFD
  - 1 feet 6 inch. X 3, i£i6
  - = 2 feet 4 inch. 3 lin.
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- - blable, mais sera nécessairement une courbe irrégulière, que l’on nomme Epicycloïde. Ainsi, quelques précautions que l’on prenne pour tracer l’une des hélices sans jarret, ces précautions elles-mêmes amèneront nécessairement des jarrets dans le tracé de l’autre hélice, par la nécessité où l’on est de conserver le niveau entre les deux points qui se correspondent sur la même rayonnante , dans les deux arêtes du limon. (Voyez l’observation à la suite du n° 4i , contenant les difficultés de tracer, sans jarret, deux hélices compagnes sur une base circulaire. )
  - 2° La même difficulté est encore plus grande pour les hélices sur plan elliptique ou ovale, parce que le centre du plan, ou l’axe de l’hélicoïde, n’est pas 1 axe du rayonnement des arêtes des marches , comme lorsque le plan est circulaire.
  - 3° Si l’on a divisé l’une des arêtes, de manière que les collets soient tous égaux (on choisit ordinairement pour cela l’arête apparente; dans notre Fig. c’est l’intérieure) , cette division y produira des cordes égales dans tout le contour ; mais les arcs corres-pondants seront nécessairement inégaux; plus longs vers l’extrémité du grand axe, où la courbe est plus grande; plus courts vers les flancs , où la courbure est moindre ; ce qui rend encore impossible que les hélices sur base ovale rampent en même rapport que sur la base circulaire.
  - 4° Les divisions inégales, soit à la surface intérieure, soit h l’extérieure, ou même sur la ligne de giron, par rapport aux têtes ou aux queues, laisseront encore aux limons l’affection des jarrets; parce qu’étant inévitables, aucun procédé ne peut les faire disparaître totalement, mais peut seulement les rendre moins sensibles, en les partageant.
  - Exemple I.
  - 35. Courbe rampante sur plan circulaire, recevant des collets de marches égaux en hauteur, et égaux en largeur, PI. XI, Fig. î, 2 et 3.
  - La description orthographique montre la surface extérieure du timon dans cet exemple; mais nous observons que le choix de l’une ou l’autre surface est considéré comme indifférent dans le tracé de l’é-telon; c’est la sorte de matière, ou sa forme brute, qui pourra guider le praticien dans le choix desdites surfaces.
  - Projection horizontale, ou plan, Fig. i.
  - 36. Sur le milieu G de la droite AE, on a élevé une perpendiculaire indéfinie vers 1, appelée Axe ; du centre G avec le rayon CB, on a décrit le demi-cercle BLD; et avec le rayon G A, on a décrit l’autre demi-cercle AME: cette demi-couronne de cercle montre la projection de l’épaisseur de ladite covjrbe rampante. L’arc D L B a été divisé en huit parties égales; et par les points F, H, J, L, N, P, R, B, on a tracé des lignes rayonnantes, Ei,G2,I3,R4> M 5, 06, Q 7, S 8, et A 9 : ces dernières sont des parties des projections des marches qu’on suppose devoir être assemblées dans la courbe par les points D, E, F, G, H, I, etc.; des droites indéfinies ont été tracées parallèles à l’axe G1.
  - Projection verticale, Fig. 2.
  - 37. On a tracé perpendiculairement à l’axe Cl, et à distances égales, chacune à une hauteur de marche, les droites de, fg, hi, jk, 1, on, qp, sr, a b. Par les points d, f, h, j , 1, n, p, t, b, on a tracé la main, ou avec une règle pliante, l’hélice qui représente l’arête supérieure de la surface concave de la courbe; et par ceux e, g, k, 1, o, q, s, a , l’hélice qui représente l'arête supérieure de la surface convexe.
  - (*3)
  - sie begleitende gleichweit abstehende Linie D, E, F, anstatt ihr ahnlich zu seyn , vielmehr eine unregel-massige krumme Linie, Epicycloïde genannt, bil-den. Wenn man nun auch noch so behutsam zu Werke geht, um eine von den Schraubenlinien ohne fehlerhaften Winkel zu zeichnen , so macht gerade diese Behutsamkeit jene Winkel bei der Zeichnpng der andern Schraubenlinie unvermeidlich, und zwar um deswillen, weil man zwischen den beiden Punk-ten, welche auf derselben strahlenformige Linie, bei den beiden Wangenkanten aufeinander zutreffen, die wagerechte Flache erhalten muss ( die Bemer-kung nach n° 4i ? giebt die Schwierigkeiten an , auf welche man stosst, wenn man auf einer zirkelrunden Grundflache zwei mit einander laufende Schraubenlinien ohne fehlerhaften Winkel zeichnen will ).
  - 20 Diese Schwierigkeit wird noch grosser, wenn man Schraubenlinien auf einem elliptischen oder ovalen Plane zeichnen will ; denn der Mittelpunkt des Planes, oder die Axe der Schraubenwindung, ist hier nicht, wie bei einem zirkelrunden Plane, die Axe der strahlenformigen Stufenkanten.
  - 3° Hat man eine der Kanten dergestalt getheilt, dass sammtliche Halse gleichformig sind ( zu wel-chem Behufe man gewohnlich die jpichtbare Xante wahlt; auf unserer Figur ist es die an der innern Seite ) ; so werden aus dieser Theilung gleiche Sehnenauf dem ganzen Umkreise entstehen ; die zu-treffenden Bogen aber, werden nothwendigerweise ungleich seyn , und zwar langer gegen das Ende der grossen Axe, wo die Biegung grosser ist, und kürzer gegen die Seiten, wo die Biegung nicht so gross ist ; weshalb auch aus dieser Ursache die Schraubenlinien auf ovaler Grundflache nicht in demselben Verhaltnisse laufen konnen, wie die auf einer zirkelrunden Basis.
  - 4° Die ungleichen Theilungen , sie mogen nun auf der innern oder aussern Seite, oder selbst auf der Stufenlinie, wegen den Enden der Stufen, gesche-hen, werden ebenfalls mit eine Ursache jener fehlerhaften Winkel an den Wangen, und da sie sich ' einmahl nicht vermeiden lassen, so kann man sie durch Theilungen zwar weniger bemerkbar machen, nie aber wird man sie ganzlich wegschaffen konnen.
  - Exempel I.
  - 35. Eine Wange auf zirkelrundem Plane, in welche gleich hohe und gleich breite Stufenhalse ein-gesetzt werden. Tab. XI, Fig. 1, 2 und 3.
  - Der Aufriss zeigt in diesem Exempel die aussere Wangenseite ; wobei wir jedoch bemerken, dass es bei der Zeichnung der Lehre nichts darauf ankommt, ab man die eine oder die andere Seite zum Gegen-stande macht, indem das Material selbst, oder seine rohe Gestalt, den Baumeister zur Wahl der einen oder der andern Seite bestimmen kann.
  - Horizontale Vorsteliung, oder Grundriss, Fig. 1.
  - 36. Auf dem Mittelpunkte G, der geraden Linie A E., ist eine unbestimmte Perpendicularlinie nach 1, Axe genannt, aufgerichtet worden ; vom Mittelpunkte G, ist mit dem Radius G B, der Halbzirkel BLD, und mit dem Radius. G A, der andere Halbzirkel AM E, beschrieben worden : dieser halbe Zirkelkranz zeigt die Dicke der gedachten Wange an. Der Bogen D L B, ist in acht gleiche Theile getheilt worden ; ferner sind durch die Punkte F, H, J, L, N, P, R, B , die strahlenformigen Linien E i,G 2, 13, R 4» M 5, 0 6, Q 7, S 8, und A 9, gezogen worden; diese letztern stellen die Stufentheile vor, welche in die Wange eingesetzt werden sollen. Durch die Punkte D, E, F, G, H, I, etc. , sind unbestimmte gerade Linien mit der Axe G 1, Jfarallel zezogen worden.
  - Verticale Vorsteliung, Fig. 2.
  - 37. Die geraden Linien d e, f g, h i, j k, 1, o n, q p, s r, a b, sind in gleich weiten, die Hohe einer Stufe betragenden Abstanden, perpendicular mit der Axe G 1, gezogen worden : durch die Punkte d, f, h, j, 1, n, p, r, b, ist aus freier Hand, oder mit einem Lineal, welches sich biegen lasst, die Schraubenlinie gezeichnet worden, welche die obéré Xante an der concaven Wangenseite vorstellt; so
  - but must necessarily be an irregular curve named Epicycloid. Therefore, whatever précautions be ta-ken to delineate one of the helixes, without uneven-ness, those précautions themselves, shall necessarily bring unevennesses in the délinéation of the otlier hélix, and that, by the necessity in which one is , to keep the levei between the two points which correspond on the same radius, in the two edges of the string-hoard. ( See the observation following the nr 41 > including the difficulties of delineating without unevenness, two helixes companion , on a circu-lar basis).
  - 20 The same difficulty is still greater for helixes liaving an elliptick or oval plan, because the center of the plan , or the axis of the helycoid, is not the axis of the diameter of the edges of the steps, as when the plan is circular.
  - 3° If one has divided one of the edges, in such a manner as the (collets) be ail equal (it is the edge of the internai surface, which is usually choosen ) : that division shall produce equal radiuses in ail the circumference : but the arcs corresponding shall necessarily be unequal ; longer towards the extreinity of the greatest axis, where the bending is greater ; shorter towards the sides where the bettding is smal-ler; which renders yet impossible, the winding of the helixes on an oval bazis, with the same affinities, or equal to the winding of helixes on a circular one.
  - \
  - 4° The uneven divisions, either in the internai surface ; either in the external one, or even, over the line of circumference , as to the heads or dove-tails, shall leave still to the string-boards, the defect called, unevenness ; because being inévitable , no management can make them disappear intirely ; one may only render them less sensible in dividing them.
  - Example I.
  - 35. A rampant curve on a circular plan, receiving the (collets) of steps, equal in height and breadth, PI. XI, Fig. 1, 2, and 3.
  - The orthographical description shows the external surface of the string-board in this example ; but we observe, that the choice of one; of the two surfaces is considered as immaterial in the délinéation of the ételon; it is the kind of the matter, or its rough form, which shall guide the professional man, in the choice of those same surfaces.
  - Horizontal projection, or plan, Fig. 1.
  - 36. On the middle G of the straight line A E, one has raised up an indefinite perpendicular towards 1, called axis; from the center G, with the radius G B, one has marked out the semi-circle BLD; and with the radius C A, one has marked out the other semi-circle AME: that semi-crown of circle shows the projection of the thickness of the above rampant-curve : the arc D L B, has been divided in eight equal parts; and by the points F,H, J, L, N, P, R, B, one has marked out the half-diametrical lines, E 1, G 2 ,1 3, R 4, M 5,0 6, Q 7, S 8, and A 9. Those last ones, are parts of the projections, of the steps which are supposed to be joined in the curve; by the points D, E, F, G, H, I, etc., indefinite straight lines hâve been drawn parallels tho the axis C1.
  - Vertical projection, Fig. 2.
  - 3 f. One has marked out perpendicular to the axis C 1, and at equal distances, each one of them to the height ofa step, the straight lines de, fg, hi, j k, 1, on, qp, s r, ab; each one of them, included between two of the parallels to the above axis : by the points d, f, h , j, 1, n , p , r , b ; one has delineated, either with a bending rule, or without, the hélix which represents the superior edge of the concave surface;
  - 4
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- - Les lignes de, fg, ki,jk, l, on, qp, sr, ab, ont pareillement servi à tracer les hélices qui représentent les arêtes inférieures sur les surfaces concaves et convexes fie la courbe. Lorsque la matière est taillée selon le contour desdites hélices, elle forme une surface gauche, que Frézier appelle Plano-IIè-licoïde. (Nous remarquons ici que la hauteur verticale ee, a été portée aussi verticalement de g en g, de i en i, etc. Cette manière d’établir la largeur des courbes , dite pratiquement par aplomb , ne peut guère être appliquée qu’à des plans réguliers : nous en donnerons une autre) (61).
  - Les lignes AB, J)C, représentent une des faces du volume nécessaire pour exécuter la courbe; lequel volume est un parallélipipède, dont AD est la longueur rigoureusement nécessaire , A,B l’épaisseur : sa largeur doit être égale à C M, de la Fig. i.
  - Remarque. Dans la pratique de la coupe des pierres, les châssis en bois, les cartons flexibles, etc., qui servent à tracer les volumes de pierre, sont appelés Panneaux; mais les ouvriers qui travaillent les bois, se servent plus communément du nom Calibre; et celui qui sert à tracer la courbe rampante, Fig. 3, a reçu le nom de Calibre rallongé. Le plan de cet exemple étant un demi-cylindre creux, sa coupe oblique produit deux demi-ellipses semblables, mais non équidistantes : ces courbes étant géométriques, peuvent se tracer d’après les diverses solutions publiées. Un grand nombre de praticiens se contentent d’employer les ordonnées, et procèdent comme il suit.
  - 38. Le parallélipipède ci-dessus, déterminé comme rigoureusement nécessaire pour exécuter le limon, étant supposé en place, simplement équarri, et avant d'être façonné, sur ses faces supérieure et inférieure, perpendiculaires au plan vertical de projection, y ont pour traces C B, qui touche vers i, et coupe en B, l’une des hélices qui y sont déjà projetées; et A D, qui touche l’autre hélice vers q, et le coupe en d.
  - C B coupe en a', b', d', e7, etc., les perpendiculaires élevées des pointsdu plan A, B, D, E, etc. ; la seconde, AD, coupe les mêmes perpendiculaires en 25, 27, d 4o, etc.
  - Sur chaque point d’intersection de CB, on élève les perpendiculaires indéfinies i3 S', i4r7 i5 q', etc., sur chacune desquelles on porte les ordonnées correspondantes du plan 1 S de 13 en s', 2.R de 14 en r', 3 Q de i5 en q', etc. : ce qui donne les points g7, i',k7, etc.,pour la grande demi-ellipse, etf7,h7, j7, etc., pour la petite demi-ellipse, et par lesquels on les trace l’une et l’autre à la main, ou avec une règle ployante.
  - 39. Les praticiens, exercés à cette sorte d’ouvrage, ne fontpointde calibre rallongé; mais après avoir tracé sur des plumées faites à l’une des surfaces du parallélipipède , comme ici sur la surface B D, les parallèles à l’axe, élevées des points de division des deux demi-cercles du plan, les points a' i5, b' 14? 15, 16, 17, 18, 19, 20, 222, 23, d'24, et c', sont obtenus, lesquels étant renvoyés quarrément sur la surface que représente la trace C B, ils déterminent la longueur de chacune, avec les ordonnées respectives du plan, comme il vient d’être expliqué pour le calibre rallongé ; et par ces derniers points , ils tracent à la main, ou avec une règle ployante, les demi-ellipses. Ayant opéré de même avec les points 2Ô, 26, 27, 28, q, 29, 3o, 3i, 32, 33, 34, 35, 36, 37, d, 3q et4o, sur la surface représentée par la trace AD, ils taillent le parement creux de la courbe, qui est ici la surface extérieure, selon les petites ellipses;
  - wie durch die Punkte e, g, k, 1, 0, q, s, a, die an-dere Schraubenlinie , welche die obéré Kante an der convexen Seite vorstellt, gezeichnet worden ist. Fer-nersind durch die Linien d e, fg, h i, j k, l, 0 n, q p, s r, a b, die Schraubenlinien gezeichnet worden, welche die untern Kanten an den concaven und convexen Seiten der Wange vorstellen. Ist das Bauma-terial nach dem Umrisse der gedachten Schraubenlinien bearbeitet worden, so formirt es eine schrâge Flâche, welche Frezier Plano-Helicoïde nennt. ( Wir bemerken hierbei, dass die verticale Hohe e e, ebenfalls vertical von g nach g, von i nach i, etc., ge-führt worden ist. Diese Verfahrungsart, nach wel-cher man die Breite der Wangen ausmittelt, und welche in der Praxis die bleirechte genannt wird, ist eigentlieh nur in regelmâssigen Grundrissen an-wendbar : wir wollen zu diesem Behuf eine andere angeben ) (61).
  - Die Linien A B, D C, stellen eine von den Flà-chen des Umfangs vor, welcher zur Ausführung der Wange nothig ist ; dieser Umfang ist ein Parallelipi-pedum , von welchem A D, die unumgânglich noth-wendige Lange, und A B, die Dicke ausmacht. Die Breite desselben muss mit C M, Fig. 1 , überein-slimmen. *
  - Bemerkung.lnder Steinhauerkunstheissen die hol-zernen Ralnnen , und die Pappendeckel, etc., nach welchen der Umfang der Steine bestimmt wird, Pan-maux; die Arbeiter aber, welche in Holz arbeiten , bedienen sich dafür gewohnlicher des Kunst-Aus-drucks Lehre ; diejenige nach welcher in Fig. 3, die hieher gehorige Wange gezeichnet wird, heisst die verstreckte Lehre. Da der Plan dieses Exempels ein halber hohler Cylinder ist; so entstehen aus sei-nem schrâgen Durchschnitte zwei halbe àhnliche, aber nicht gleichweit abstehende Ellipsen : da diese Bogen geometrisch sind, so konnen sie nach den verschiedenen gegebenen Auflosungen gezeichnet werden. In der Praxis pflegen viele Baukundige sich bloss der Ordinanten zu bedienen, wobei sie folgendergestalt verfahren.
  - 38. Stellt man sich vor, dass das obgedachte, zur Ausführung der Wange unumgânglich nothwen-dige Parallelipipedum, bereits an seinem Platze liege, bloss abgeviert, übrigens aber noch ganz ungeformt sey, so erhâlt seine mit dem vertical en Plane perpen-dicular laufende obéré und untere Seite, sowohl die Linie C B, welche gegen i, eine der daselbst bereits angezeigten Schraubenlinien berührt, und sol-che bei B durchschneidet, als auch die Linie A D, welche die andere Schraubenlinie gegen q berührt, und solche bei d durchschneidet.
  - C B , durchschneidet bei a', b7, d', e', etc., die von den Punkten des Grundrisses A, B, D, E, etc., aufgerichteten Perpendicularlinien. Die zweite Linie A D, durchschneidet die nâmlichen Perpendicularlinien bei 25, 27, d, 4o, etc.
  - In jedem Durchschnitts-Punkte von C B, richtet man die unbestimmten Perpendicularlinien i3, S7, i4 r, i5 q', etc., auf, und führt auf jede derselben die zutrefïenden Ordinanten, und zwar 1 S, von 13 nach s', 2 R von 14 nach r', 3 Q von 15 nach q', etc., woraus sich die Punkte g', i', k', etc., für die grosse halbe Ellipse, und b, h', j', etc., für die kleinehalbe Ellipse ergeben ; beide werden durch diese Punkte aus freier Hand, oder mit einem Lineal, welches sich biegen lâsst, gezogen,
  - 39. Diejenigen Baukundigen, welche in Arbeiten dieserArtgeübtsind, machenkeine verstreckte Lehre, sondera wenn sie auf dem Reissboden , welcher auf eine von den Flâchen des Parallelipipedums, wie hier auf der Flâche B D, getragen worden ist, die mit der Axe parallel laufenden Linien, welche von den Theilungspunkten der beiden Halbzirkel des Plans aufgerichtet sind, gezeichnet haben, so ergeben sich die Punkte a' i5, b' 14, i5, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 25, d7 24 und C und nachdem dieselben auf die Flâche welche die Linie C B, vorstellt , winkelrecht zurückgeführt worden, so wird die Lange einer jeden durch die respectiven Ordinanten des Grundrisses auf die nâmliche Weise bestimmt , wie solches so eben bei der verstrecklen Lehre erklârt worden ; endlich werden durch diese letzten Punkte die halben Ellipsen, aus freier Hand oder mit dem obgedachten Lineal gezogen. Auf glei-
  - and by those e, g, k, 1,0, q, s, a, the hélix which represents the superior edge of the convex surface. The lines de, fg, hi, j k, l, on, qp,sr, ab, hâve likewise helped to delineate the helixes which repre-sent the inferior edges , on the concave and convex surfaces of the curve. When the matter is eut ac-cording to the circumference of the above helixes, it forms a left surface, which Frezier calls Plano-He-licoid. (We remark there, the vertical height ee, has been carried also verticaily from g to^ , from i to i, etc. That manner of establishing the breadth of curves, called by professional men perpendi-cularly, cannot be applied, but to regular plans : we will just now give an other) (61).
  - The lines A B, D C, represent one of the faces of the necessary size to execute the curve ; which size is a parallelipiped, of which AD, is the length rigorously needful ; A B, the thickness : its breadth must be equal to G M, of the Fig. 1.
  - Remark. In the practice of stone-cutting, the wooden frames, the flexible pasteboards, etc., whose use is to form the sizes of the stones, are called panes (Panneaux) ; but the artificers who work the timber, employ more commonly, the name of Calibre; and what is used to delineate the rampant-curve, Fig. 3, has received the name of ( Calibre rallonge) or leng-thened etelon. The plan of that example, being an half hollow cylinder, its oblique eut produces two half ellipsis similar, butnot equi-distant r those curves being geometrical may be delineated, according to the various problems which hâve been published. Great many practisers use only the (ordonnées) and proceed as it follows.
  - 38. The above parallelipiped, judged rigorously necessary to execute the string-board, being sup-posed to be in its place, only squared and before being formed, ils superior and inferior faces having a plan of projection perpendicularly vertical, hâve for délinéations ,C B, which touches towards i, and cuts in B, one of the helixes which were already projected ; and A D; which touches the other hélix, towards q, and cuts it in d.
  - C B cuts in a7, b7, d', e7, etc., the perpendiculars raised from the points of the plan A,B,D, E,etc.; the second , AD , cuts the saine perpendiculars in 25, 27, d 4o, etc.
  - On every intersecting point of CB, one raises up theindefinite perpendiculars i5S7, i4,r7,15q7,etc., on each of which, one carries the ordered (ordonnées) corresponding to the plan, 1 S from 15 to s7;
  - 2 R from i4 to r7 ; 3 Q from i5 to q, etc. : which gives the points g7, i7, k7, etc., for the large half-ellipsis ; and f7, h7, j7, etc., for the small half-ellipsis, and by which one delineates them, with, or without the help of a bending rule.
  - 39. Practisers exercised to that kind of work, do not make a lengthened calibre ; but after having delineated over drawings made to one of the surfaces of the parallelipiped, as there, on the surface BD; the parallels to the axis , raised up from the divi-ding points of the two semi-circles of the plan, give the points a7 i3, b7 14, 10, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 2'3, d'24, and c7, whose squareness being carried over the surface, represented by the délinéation C B, the length of each one of them is de-termined by the respective ordered (ordonnées) of the plan , as we hâve just explained it for the lengthened calibre ; and by those last points, one will delineate the half-ellipsis with or without a bending rule. Practisers operate in the same way, with the points, 25, 26, 27, 28, q, 29, 3o, 5i, 32,33,54, 35, 36, 57, d, 39 and 4o, over the surface represented by the délinéation A D, and they eut the •
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- - ils taillent aussi celle qui est arrondie ou intérieure, selon les grandes ellipses.
  - 4o. Ces opérations achevées, il faut à chacune des s-urfaces reporter les hélices configurées sur l’éte-lon , avant de tailler et former la surface supérieure , et celle de plafond. Pour cela , on coupera deux panneaux flexibles et de forme triangulaire, dont les bases seront égales à chacun des demi-cercles du plan, mais rectifié (3i) ; la perpendiculaire de chacun aura une hauteur égale à t a , de la Fig. 2 ; les liypothénuses serviront à tracer les hélices, les panneaux étant ployés sur les surfaces.
  - 4i. Quand les courbes ont une grande longueur, et principalement aux limons de charpente, 011 procède différemment. Par exemple, sur le parement creux, qui est ici la surface extérieure, on retrace de nouveau les parallèles à l’axe 23, 3y; 21, 25; 19, 33, etc., en portant respectivement sur chacune de ces lignes les distances comprises entre la trace C B, et chacun des points de passage des hélices, tant supérieure qu’inférieure, qui appartiennent à cette surface, comme dd et Ad; 2 3 f et f/’; 21 h et h A; 19 j et j j; cl et I /; 18 n et nw; 16 p et pp; i4 ,r et r r; et enfin b A. Au moyen de ces points, on peut reporter sur la 'surface extérieure les hélices vraies qui n’étaient qu’en raccourci sur l’ételon , en employant une règle ployante. Opérant de même après que la surface intérieure est arrondie, on a pareillement les points pour reporter les hélices appartenant h cette surface ; on peut donc, après ce tracé achevé, tailler les deux surfaces plano-Tiéli-coïdes.
  - Observation. Les hélices sans jarret sont difficiles à tracer ; il faut donc, dans le report des points de hauteur, y admettre beaucoup de précision ; il faut encore de la dextérité, soit qu’on les trace avec une règle ployante, ou autrement.
  - 42. Un seul noyau en bois peut compléter la continuité d’un escalier, même de plusieurs étages, parce que ses fibres, étant disposées verticalement, ne subissent d’autres altérations dans leurs longueurs, que celles des entailles et mortaises, qui reçoivent les têtes et tenons des marches. Les limons ne peuvent avoir la même propriété,' puisque leurs fibres sont altérées et même en partie tranchées par le recreusement et l’arrondissement de leurs surfaces extérieures et intérieures ; leur continuité, même d’un étage, doit se composer de plusieurs morceaux de courbes, dont les jonctions d’abouts doivent être taillées selon les manières suivantes.
  - 43. Soit Fig. 4 ? PL XI, un plan hémycicle, composé d’une demi-couronne de cercle entre les deux demi cercles AGE et B F D, divisée en deux limons courbes, qui se joignent bout à bout vers F G, et qui sont joints aussi à deux parties de limons droits HILM et J K D E, en continuité de l’hémicycle ; soit aussi Fig. 8 et 10, les limons courbes dessinés comme il vient d’être expliqué, ainsi que leurs calibres rallongés, Fig. 9 et 11.
  - i° La coupe, Fig. 6, étant entièrement dans le plan du limon droit, les profils des deux têtes de marches a et b ont été suffisants pour obtenir les traces c d et e f des parties des surfaces supérieures et de plafond, où l’on veut que la coupe soit placée.
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  - che Art wird mit den Punkten 25, 26, 27, 28, q, 29, 3o, 5i, 32, 33,'34,*35, 36, 37, d, 3g und 4o, auf der durch die Linie A D, vorgestellten Flache verfahren; die aussere Flache der Wange wird nach den kleinen Ellipsen und die innere,nach den gros-sen geschnitten.
  - 40. Ist man mit diesen Arbeiten fertig, so müssen die auf dem Reissboden gezeichneten Schraubenli-nien auf jede Flache zuriickgeführt werden , und zwar ehe noch die obéré und die untere Seite der Wange geschnitten und geformt wird. Zu diesem Behufe schneidetman zwei biegsame triangelformige Panneaux (Lehren), deren Grundflachen einem je-den von den Halbzirkeln des Plans, welche jedoch rectificirt worden (3i), gleich sind; die Perpendicu-larlinie eines jeden von diesen Halbzirkeln wird eine mit t a, Fig. 2, übereinstimmende Hohe haben ; und die Hypothenusen werden zur Zeichnung der Schrau-benlinien dienen, da die Panneaux auf die Flachen gebogen sind.
  - 41. Sind die Wangen von betrachtlicher Lange , und ist besonders von Wangen aus Zimmerholz die Rede, so befolgt man eine andere Yerfahrungsweise. So zum Beispiele zieht man von neuem auf der aus-sern Flache, die mit der Axe parallel laufenden Li-nien 23, 37; 21, 25; 19, 33 etc., indem man auf jede dieser respectiven Linien die Abstande bringt, welche zwischen der Linie C B, und zwischen einem jeden der, den Lauf der Schraubenlinien anzeigen-den Punkte , befindlich sind , und zwar sowohl von der obern als auch von der untern Schraubenlinie, welche beide zu dieser Flache gehoren ; als d d und d d; 23 f und f f; 21 h und h A; 19 j und j j; c 1 und 1 l; 18 n und n n; 16 p und p p; i4 r und r r; und endlich b A. Vermittelst dieser Punkte konnen mit einem Lineal welches sich biegen last, die wah-ren Schraubenlinien, welche auf dem Risse bloss ver-kürzt gezeichnet waren , auf die aussere Flache zu-rückgeführt worden. Verfahrt man, wenn die innere Flache ausgerundet worden ist, auf dieselbe Weise, so erhalt man gleichfalls die Punkte, um die Schraubenlinien, welche zu dieser Flache gehoren, zurück-zuführen : ist sodann diese Zeichnung vollendet, so kann man die beiden Flachen spiralformig schneiden.
  - Bemerkung. Die Schraubenlinien lassen sich sehr schwer ohne fehlerhafte Winkel zeichnen : man muss daher bei der Zurückführung der Hohenpunkte, mit vieler Genauigkeit zu Werke gehen ; auch erfor-dert diese Arbeit ausserdem noch viele Geschicklich-keit, es sey nun , dass man die Zeichnung mit dem gedachten Lineal, oder auf andere Art ausführt.
  - 42. Eine ganze Treppe kann in ihrem ununterbro-chenem Laufe um eine einzige holzerne Spindel an-gelegt werden, wenn auch gleich das Gebaude aus mehreren Stockwerken bestâinde; denn da die Fasern dieser Spindel vertical laufen, so erleiden sie in ihrer ganzen Lange keine andere Veranderuug als Ein-schnitte und Zapfenlocher , in welche die Enden und Zapfen der Stufen eingesetzt werden. Mit den Wangen aberhat dies eine andere Bewandniss, denn nicht nur werden ihre Fasern verandert, sondern auch durch Ausholungen und Rundungen , welche mit der raussern und innere Seite vorgenommen werden, zum Theil zerschniiten ; weshalb denn eine Wange , selbst bei einem einzigen Stockwerke, aus mehrern Bogenstücken zusammengesetzt werden muss. Die Enden dieser letzten werden nach folgen-der Verfahrungsart geschnitten.
  - 43. Die 4 Fig. auf der XI Tab. sey ein halbzir-kelrunder Grundriss ; derselbe besteht aus einem halben Zirkelkranze zwischen den beiden Halbzirkeln AGE und B F D; selbiger ist in zwei gebogene Wangen getheilt, deren Enden sich gegen F G ver-einigen , und welche ausserdem noch mit zwei ge-raden Wangentheilen HILM und J R D E ver-bunden werden, wodurch der Lauf des Halbzir-kels erhalten wird. Auch seyen die Fig. 8 und 10 die gebogenen, nach der so eben gegebenen ErkJa-rung gezeichneten Wangen, und die Fig. 9 und 11 ihre verstreckten Lehren.
  - i° Da der Durchschnitt der 6 Fig. ganzlich in dem Plane der geraden Wange enthalten ist, so waren die Profile der beiden Stufenenden a und b, hin-reichend , um auf denjenigen Theilen der obern und untern Seite, wo der Schnitt geschehen soll, die
  - hollow facing of the curve; winch is there the ex-ternal surface, according to the small ellipsis, they eut also the round or internai one, according to the large ellipsis.
  - 4». Those operations being.made, it is necessary, at each one of the surfaces, to carry the figurate helixes over the etelon, before to eut and form, botli the superior surface and that of the cieling : to that effect, one will eut two flexible panes, having a trian-gular form, whose basis shall be equal to each one of the semi-circles of the rectified plan (31 ) ; each perpendicular shall hâve a height equal to t a, of the Fig. 2 ; then the panes being bent over the surfaces , the hypothenuses shall be used to delineate the helixes.
  - 4i. When the curves are very long, principally to string-boards in timber-work ; one proceeds dif-ferently : as for instance, over the hollow facing which is there the external surface, one delineates again new parallels to the axis, 23, 37; 21,25; 19, 33, etc., carrying respectively on each of those fines, the distances included between the délinéation C, B, and each point, or passage of the helixes either superior or inferior which belong to that surface as , d d and d d ; 23 f and f f ; 21 h and h A ; 1 g' j and j j ; c 1 and II; 18 n and n n; 16 p and p p ; i4 r and r f; and ad last b A. By means of those points, one may carry on the external surface, the two helixes which were but an abridgement over the etelon, where one had made use of a bending rule. Ope-rating in the same way, after having rounded the internai surface, one has likewise, points given, to carry back the helixes belonging to that surface; one may then, after having performed this délinéation , eut the two faces plano-helicoid.
  - Observation. The helixes without unevenness are difficult to delineate; therefore, it is necessary in the transportation of the points of the height, to bring not only much précision, but yet, some dex-terity, either to delineate them with or without a bending rule.
  - 42. A single wooden spindle may complété the continuity of a stair-case, even several stories high, because its fibres being disposed vertically, undergo no other alterations, but those caused by thenotches and mortises, which receive the heads and tenons of the steps. String-boards cannot hâve the same propriety, because their fibres are spoiled, and even eut in some parts by the digging and rounding of their external and internai surfaces : their continuity, even for a single story, must be composed with several curved pièces, whose joinings of abutments , must be eut after the following manners.
  - 43. Let it be, Fig. 4» PL XI, a plan hémicycle, composed of a semi-crown of a circle, between the two semi-circles AGE and BFD, divided in two curved string-boards, which join themselves, tack’d together, towards F G, and which are joined also to two parts of straight string-boards HILM and J R D E , in continuity of the hémicycle : let it be likewise, Fig. 8 and 10, the curved stxûng-boards drawed, as we hâve just explained it, as well as their lengthened calibres (sizes), Fig. 9 and 11.
  - i° The cutting, Fig. 6, being intirely in the plan of the straight string-board ; the profiles of the two dove tails of steps a and b hâve been sufficient, to obtain the délinéations c d and e f of the parts of the superior and cieling surfaces, where the cutting
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  - Linien c d und e f zu erhalten : man zieht sodann in der Mitte des gedachten Durchschnittes die gerade Linie g h, aus welcher sicli, da sie in zwei gleiche Theile getheilt ist, der Punkt b ergiebt, durch wel-chen man die gerade Linie a c perpendicular mit c d, oder mit e f zieht; man zieht auch durch den namlichen Punkt b, die gerade Linie d e (indem man vorzugsweise d b = b e nimmt), und um den Durch-schnitt vollstàndig zu machen, so vereinigt man a e mit c d. Aus dem gezeichneten Punkte c entsteht die Linie L M; aus dem Punkte d, die Linie O N, aus dem Punkte e, die Linie Q P ; und endlich aus dem Punkte a, die Linie Y Y'.
  - Diesem zufolge sind a e, e d, und d c, die Linien der beiden Winkelschnitte an den Berührungsflà-chen, oder der Yereinigungspunkt, wodurch ein Wangenende mit dem andern verbunden wird. ( N° 4, I Theil. )
  - Will man an dem Ende, der in der 8 Fig. gezeichneten Wange, die verticale Vorstellung des Durchschnittes angeben, so verfàhrt man auf folgende Weise : Auf der geraden Linie Y Z, richtet man durch die Punkte M und L, Perpendicularlinien auf; diese Linien werden in m 1, die Schraubenlinien der unternFlache durchschneiden; und die Linie m 1 wird an dieser Flache der Vereinigungspunkt seyn : und indem man auf dieselbe Weise die Punkte Y, Y' auf-richtet, so erhàlt man die Linie y y', welche der Yereinigungspunkt an der obern Seite ist. Aus den gleichlalls aufgerichteten Punkten 0, N; Q, P, ent-stehen die Punkte o, n; q, p; worauf man endlich m o q y y' p n 1, als Vorstellung des gedachten Durchschnittes erhàlt. *
  - Da der Durchschnitt f j i h, in Fig. 7, ebenfalls in dem Theile einer geraden Wange enthalten ist, so ist folglich dcrselbe dem in der 6 Fig. enthaltenen gleich, nnd zwar um deswillen, weil beide Wangen in diesem Exempel die namliche Neigung haben. Auch wird, gleich der Vorstellung des Wangenendes in Fig, 10 , die Zeîehnung desselben àbnlich seyn; dieses Ietztere ergiebt sich aus den Linien D E, R S,
  - T U, Y X. ( Man sehewas vorstehendhierüber gesagt worden ist. )
  - 44* Der Durchschnitt in der 5 Fig. wnterscheidet sich von den vorhergehenden dadurch , dass seine Linien r, s p ; t q, u Z, in dem in der 4 Fig. enthaltenen Plane, strahlenformig, und nicht wie in den Fig. 6 und 7, parallel sind : diese Art von Zeichnung macht es nothwendig, dass die Berührungsflàchen schrag geschnitten werden müssen , weil die aussere Linie des Durchschnittes von der innern verschieden ist. Es ist aber sehr schwer diese schragen Flachen mit der bei diesen Verbindungs punkten erforderlichen Genauigkeit zu zeichnen und zu schneiden ; auch las-sen sich solche be^der Aufrichtung sehr schwer ver-einigen; die Baukundigen werden daher wohl thun, wenn sie diese Art Schnitte vermeiden, und zwar um so mehr da ihr grossies Verdienst bloss in der Schwierigkeit der Ausfiihrung besteht, welches Verdienst die bildliche Vorstellung fast jederzeit unbe-merkbar macht.
  - Die zu diesen Schnitten gehorigen Nebenbestand-theile , als z. B. Zapfen, Schrauben , u. s. w., werden in nachstehender Beschreibung der Tabellen er-klart worden.
  - is wished to be adapted : one shall delineate in the middle of the above cutting , the straight line g h , which being divided in two equal parts, gives the point b, by which one delineates the straight ac, perpendicular to c d or to e f. One delineates also by that same point b , the straight de (making rather db = to be) , and to perform the section,.one joins ae to c d. The point c, projected, has given in plan the line L M ; the point d, the line 0 IN ; e, the line Q P ; and a, the line Y Y'.
  - So the Unes ae, ed and de, are the délinéations of the two goniographical sections of the surfaces of contact, or commixture of the two extremities of a string-board. ( Nr 4 Ist part. )
  - If, to the extremity of the string-board delineated, Fig. 8 , one wishes to represent the vertical projection of the cutting ; one shall proceed as it follows : On the straight line Y Z, one shall raise up perpendi-culars by the points M and L : those lines shall eut in m 1, the helixes of the surface of the cieling; and the line m 1 will he the point of juncture to that surface : raising up likewise, the points Y, Y', one shall equally hâve the line y y', which shall be the line of juncture, to the superior surface. The points 0, N; Q, P, being also raised, shall give the lines 0, n; q, p; and at last, one shall hâve moqyy/pnl, configuration of the above cutting.
  - The section fjik, Fig. 7, being also intirelyin a part of a straight string-board, is consequently equal to that of the Fig. 6; since, in this example, the two string-boards hâve a same inclination : its délinéation, shall also be similar, as weil as the configuration of the extremity of the string-board, Fig. 10, which is given by the lines of projection D E, RS, T U, V X. ( See wliat précédés. )
  - 44* The cutting, Fig. 5 , differs from the precedent ones in that, in the plan, Fig. 4, its lines of declivity r , sp , t q, u Z, are half-diametrical and not parallel, as those ofthe Fig. 6 and 7 : that kind of délinéation requires, that the surfaces of contact should be eut left; since, the délinéation of the exter-nal surface of the cutting differs from the internai one : but those left surfaces are difficult to delineate, and to eut witb the précision necessary to those com-mixtures (commissures), whose joints are also difficult to approach, when lifted up. Practisers must take care to avoid that kind of cutting, which has no other merit, but the difficulty of its execution, a merit which almost always becomes unseen, by being painted over.
  - The accessories to those cuttings, such as tenons iron-pins or bolls, etc. , shall be explained in the fol -lowing description of the plates.
  - On tracera dans le milieu de ladite coupe , la droite g h, qui, étant divisée en deux parties égales, donne le point b, par lequel on trace la droite ac perpendiculairement h cd, ou à ef. On trace aussi, par ce même point b, la droite de (en faisant de préférence db = à be) ; et pour achever la coupe, on joint ae et cd. Le point c, projeté, a donné en plan la ligne LM; le point d, la ligne ON; celui e, la ligne Q P ; et celui a, celle Y Y.
  - Ainsi les lignes ae, ed, et de, sont les traces des deux sections goniographiques des surfaces de contact , ou commissure de chaque bout de limon (n° 4» Irc. partie).
  - Si, a l’extrémité du limon dessiné, Fig. 8, on veut représenter la projection verticale de la coupe, on procédera ainsi : Sur la droite Y Z, on élevera des perpendiculaires par les points M et L : ces lignes couperont en m 1, les hélices de la surface de plafond ; et la ligne m 1 sera le joint à cette surface. Elevant de même les points Y, Y' on aura pareillement la ligne y y', qui sera la ligne de joint à la surface supérieure. Les points 0, N; Q, P, étant de même élevés, donneront les points o, n; q, p; et enfin on aura moqyy'pnl, configuration de ladite coupe.
  - La coupe fji k, Fig. 7, étant aussi entièrement dans la partie d’un limon droit, est donc pareille à celle de la Fig. 6, puisque, dans cet exemple, les deux limons ont même inclinaison. Son tracé sera aussi semblable, ainsi que la configuration du bout du limon, Fig. 10, que donnent les lignes de projection D E, R S, T U, V X. ( Voyez ce qui précède. )
  - 44* La coupe, Fig. 5 , diffère des précédentes, en ce que dans le plan, Fig. 4> ses lignes de retombée, r, sp, t q, u Z, sont rayonnantes, et non parallèles , comme à celles des Fig. 6 et 7. Cette sorte de tracé exige que les surfaces de contact soient taillées gauches, puisque la trace de la surface extérieure de la coupe diffère de celle de la surface intérieure ; mais ces surfaces gauches sont difficiles à tracer et à couper avec la précision nécessaire à ces commissures, qui sont aussi difficiles à approcher en joints, lors de la mise au levage. Les praticiens feront bien d’éviter cette sorte de coupe, qui n’a d’autre mérite que la difficulté de son exécution , mérite presque toujours rendu inapparent par l’application de la peinture.
  - Les accessoires à ces coupes, tels que tenons, boulons , etc., seront expliqués dans la description des Planches, qui va suivre.
  - DESCRIPTION DES PLANCHES.
  - On voit encore d’anciens escaliers dont les marches sont composées seulement d’une pièce de bois, à-peu-près semblable à l’échantillon que nous appelons membrière , et qui forme la hauteur du pas : dans d’autres, la pièce de bois a moins de hauteur que le pas. La surface supérieure de ladite pièce n’a que trois k quatre pouces de largeur ; le surplus du giron est achevé avec des carreaux de terre cuite scellés, et sous lesdites marches et carreaux est un plafond en plâtre. Un bout de la pièce de bois est scellé dans un mur ou dans un pan de bois, - et l’autre bout est assemblé dans un limon ou dans un noyau. Cette sorte de construction est abandonnée , et présentement remplacée par celles dont le détail suit :
  - ERKLÆRUNG DER TABELLEN.
  - Man trifft noch hin und wieder alte Treppen an, deren Stufen aus einem einzigen Stücke Holz be-stehen, welches die Hohe der Steigung ausmacht, und seiner Gestalt nach, der Lehre nicht unahnlich ist : es giebt jedoch auch Treppen , bei welchen dieses Holz nicht vollig so hoch ist als die Steigung. Die obéré Seite desselben ist nicht mehr als drei bis vier Zoll breit ; die übrige Breite wird mit Backsteinen, und der, unter diesen Steinen und Stufen befindliche Theil, mit Gips ausgefüllt,Das eine Ende dieses Hol-zes wird in eine Holzwand oder in eine Mauer einge-setzt, das andere Ende aber in die Wange oder Spindel eingelassen. Da dergleichen Treppen aber ausser Gebrauch gekommen sind , so erbaut man gegenwàrtig andere , deren Zusammensetzungen nachstehend erklàrt werden.
  - DESCRIPTION OF THE PLATES.
  - One sees old stair-cases, whose steps are com-posed of a single piece of timber , nearly similar to the pattern , we call P annel-square, (membrure), and which forms the height of a step : in some others , the piece of timber is not so high, as the step. The upper surface of the said piece is but three or four, inches broad ; the overplus of the (giron) is filled up with sealed bricks; Under the said steps and bricks is a plastered Cieling; one.of the extremities of the piece of timber, is sealed in a wall or in a wooden pane , and the other is joined into a string-board, or in a spindle. That kind of construction is given up now, and is replaced by those whose particulars follow.
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- - Planche L
  - 45. La pièce de bois, A, Fig. i4> qui forme la marche , a toujours sa surface supérieure assez grande pour compléter le giron ; et celle verticale, aussi assez grande pour la hauteur du pas, ou du moins très-approchée («); le dessous est chanlatté, ensuite garni d’un lattis recouvert avec du plâtre. Cette sorte de marche monolithe, appelée pratiquement Marche massive, a aussi un bout scellé dans un mur ou dans un pan de bois ; et l’autre bout, assemblé dans un limon ou dans un poteau , comme la primitive construction.
  - 46. On fait aussi des marches, Fig. 23 et 24, même planche, qui ont même apparence que les précédentes, scellées et assemblées de même ; mais elles sont composées de bouts de planches. Un morceau de planche forme la surface dite de giron , que pratiquement on nomme marche ; un autre morceau de planche forme la hauteur du pas ; celui-ci alors prend le nom de contre-marche. La marche est réunie à la contre-marche à rainure et languette : mais il résulte de ce procédé que quand la marche est flexible, elle s’éloigne quelquefois de la languette; et lorsqu’elle en est rapprochée parle poids de la personne qui monte ou qui descend, le frottement occasione un petit bruit que l’on nomme Cri. Pour certaines personnes , le cri d’une marche suggère l’idée d’une construction frêle et sans solidité, d’où naît un sentiment de crainte très-fâcheux.
  - Pour y remédier, il faut fixer la marche à la contre-marche avec des vis, Fig. 25; mais la tête de la vis reste apparente à la surface du giron. La même figure montre aussi qu’il est possible de faire descendre la contre-marche jusque dessous la marche, laquelle y étant fixée avec des vis ou des clous, ne peut produire de cri. Quelques ouvriers ne font point de rainure ni de languette ; mais seulement un joint oblique, Fig. 26, qu’ils nomment Sifflet. La Fig. 27 est le détail en ’grand du boulon inapparent qui réunit les deux marches à la contremarche.
  - Lorsque les marches n’excèdent pas 2 pieds d’emmarchement, on se contente de planches qui ont 15 ou 18 ligiles d’épaisseur pour les marches , et de celles qui ont 1 pouce d’épaisseur pour les contremarches ; mais si l’emmarchement avait 4 pieds ou plus, on devrait préférer pour les marches, des planches de 20 d’épaisseur, qu’on appelle à Paris Doublette.
  - 47. Les marches et les contre-marches sont aussi appliquées aux escaliers qui, au lieu de limons, ont des crémaillères , Fig. i5, 16, 17 et 18. On façonne séparément la marche, en aplanissant la surface du giron ; on fait la moulure de sa face, celle du contre-profil , et la sorte d’assemblage qui doit la réunir à la contre-marche ; et quand on veut réunir la propreté et la précision du travail, on joint en onglet la contre-marche à la partie de l’entaille de la crémaillère qui doit la recevoir. La marche est fixée sur l’aütre partie de l’entaille avec des vis à tête fraisée, Fig. 16. La saillie du contre-profil au-delà de l’arête de la contre-marche, est le plus souvent rapportée, et collée avec un goujon, ou avec une petite clef; ce qui évite de faire une entaille dans la crémaillère selon le contour de la moulure, opéra tion difficile à exécuter.
  - Autre sorte de marche monolithe , Fig. 9 et 10.
  - 48. La même pièce de bois forme le giron, la hauteur de pas, la coupe de recouvrement en tas de charge , et le plafond.
  - (a) Quand il reste un vide de quelques lignes entre deux marches, il est garni d’un solement en plâtre. Ce filet de plâtre est indûment appelé par le maçon Collet.
  - ( *7 ) •
  - Tabelle I.
  - 45. Die obéré Seite des Holzes A, Fig. 14, wel-ches die Stufe ausmacht, muss den nothigen Um-fang haben, damit die gehorige Stufenbreite heraus kommt ; ferner muss die verticale Seite desselben auch hoch genug seyn ; damit die Steigung entwe-der die vollstândige Hohe habe, oder doch nur we-nig daran fehlt (a); die untere Seite wird mit Lat-ten verschalt und vergipst. Diese Art von Monolith oder Blockstufen, in der Praxis Massive Stufen genannt, werden ebenfalls mit dem einen Ende in eine Mauer oder eine Holzivand, und mit dem andern Ende in eine Wange oder Pfosten (Spindel ), wie im obgedachten Falle eingesetzt.
  - 46. Auf derselben Tabelle sehen wir bei Fig. 2 3 und 24, eine den vorigen âhnliche Art von Stufen, welche aber aus blossen Breterstücken zusammen-gesetzt sind. Die Einsetzung ist die nâmliche. Ein Bretstück macht die obéré Flâche oder den Tritt aus, und ein anderes, welches das Futter oder Setz-bret genannt wird, die Steigung ; beide werden durch Nuthen und Zungen mit einander verbunden. Geschieht es , dass das obéré Bret oder der Tritt nachgiebt, so entsteht daraus die unangenehme Folge, dass solches aus dem Falze geht; wird es nun durch die hinauf oder herabsteigende Person niedergedrückt, so veranlasst die Reibung ein kni-sterndes Gerâusch oder Quitschen, aus welchem manche Personen auf Mangel an Festigkeit schlies-sen, und daller solche Treppen mit Furcht bestei-gen.
  - Um dieser Unannehmlichkeit zuvorzukommen, muss man , nach Massgabe der 2 5 Fig. beide Breter durch Schrauben befestigen, wobei der Schrauben-kopf auf der Oberfiâche des Trittes sichtbar bleibt. Aus derselben Figur ergiebt sich auch, dass das Setzbret bis unter den Tritt gebracht werden kann ; wird es nun daselbst durch Schrauben oder Nâgel befestigt, so kann jenes unangenehme Gerâusch nicht mehr erfolgen. Anstatt der Nuthen und Zungen ma-chen nach Fig. 26 , manche Arbeiter bloss einen schrâgen Falz. In der 27 Figur sehen wir die un-sichtbare Schraube wodurch zwei Tritte mit einem Setzbret verbunden werden, im Grossen vorgestellt.
  - Haben die Stufen nicht mehr als 2 Fuss Auftritt, so ist es genug, wenn die Breter zu den Tritten i5 oder 18 Linien Dicke, und die Setzbreter einen Zoll
  - Dicke haben ; betrâgt der Auftritt aber 4 Fuss oder
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  - mehr, soist es besser , wenn die Breter zu den Tritten 2 Zoll Dicke halten ; man nennt solche in Paris Doubletten.
  - 47. Die Tritte und Setzbreter werden auch bei denjenigen Treppen angewendet, welche anstatt der Wangen , ausgeschnittene Stegebâume haben, Fig. i5, 16, 17 und 18. Man schneidet jeden Tritt be-sonders in den Stegebaum ein; man macht das Ge-sims an der Vorderseite , so wie das der Yerkropfung nebst den zur Zusammensetzung mit dem Setzbrete nothigen Erfordernissen ; und will man bei dieser Arbeit Schonheit mit Genauigkeit verbinden , so setzt man das Setzbret vermittelst eines Falzes in den Stegebaum ein , auf welchen auch der Tritt durch Schrauben mit versenkten Kopfen, Fig. 16, befestigt wird. Das Trittgesims an der Yerkropfung wird oft einzeln daran gesetzt, und mit Nâgeln oder Schrauben daran befestigt; dies hat den Vortheil, dass man wegen dieses Gesimses keinen neuen Einschnitt in den Stegebaum zu machen braucht, welches über-haupt auch schwer auszuführen ist.
  - Eine andere Art von Monolith oder Blockstufen, Fig. 9 und 10.
  - 48. Ein und dasselbe Stück Holz bildet hier die Breite, die Hohe , den Stegebaum und die Trep-pendecke oder Yerschalung. Da diese Art Stufen aber nach den Regeln des Steinschnittes zusammenge-setztsind, so ist kein Stegebaum und Yerschalung nothig.
  - {a) Bleibt zwischen zwei Stufen ein leerer Raum von einigen Linien übrig, so wird solcher mit éiner Schicht Gips ausgefüllt.
  - Plate t.
  - 45. The piece oftimber, A, Fig. 14 » which forms the step, has always its upper surface , large enough, to complété the giron, and its vertical one, also, large enough for the height of the step , or at least, very near : {g) theunder partislathed, then trimmed with a new lathing , covered with plaster. That kind of step ( monolithe) , called in practice massy step ; has also, one of its extremities sealed up in a Wall, or in a wooden pane ; and the other, joined into a string-board, or in a post, as in the primitive construction.
  - 46. One makes steps also, Fig. 23 , and 24, same plate, which hâve a same appearance, as the precedent ones , sealed and joined in the same manner, but composed of pièces of boards : the surface called of giron, which in practise, has the name of step, is formed by a piece of board ; another piece forms the height of the step, which takes then, the name of counter-step : the step is joined to the counter-step , by a plough and a tongue ; and wdien the weight of the person who ascends or cornes down, draws them near one another, the rubbing causes a little noise, called cry : that cry suggests to some persons, the idea of a frail construction, whence rises a grievous sensation of fear.
  - To remedy to that, one fixes with screws the step to the counter-step, Fig. 25 ; but the head of the screw remains apparent on the surface of the giron : the same figure shows likewise, that, it is possible to bring down the counter-step , even under the very step , to which one fastens it with screws or nails , so that it may not produce the least noise. Sonie workmen make no ploughs, nor tongues , but a single oblique joining Fig. 26, which they call {sifflet). The Fig. 27. Is the configuration of the boit unseen which joins the two steps, to the counter step.
  - When the steps do not exceed two feet of (em-marchement), boards, fifteen or eighteen lines thick, are sufficiently large for them ; an inch is the size required for the counter-steps ; but if the emmar-chement was four feet or more, broad, one ought to prefer for the steps , those boards, two incites thick, called in Paris (doublette).
  - 47. The steps and counter-steps are also applied to stair-cases which hâve racks ( crémaillères) instead of string - boards, Fig. i5, 16, 17 and 18: one Works separately the step , in Ievelling the surface of the giron, one makes the mouldings of its front, of its counter-profile and the kind of assemblage, which is to join it to the counter-step ; and when , one desires to reunite the cleanness to the précision of the work; one joins in an angular way, {en onglet) the counter-step, to the part of the notch of the rack ( crémaillère ) , which is to receive it : the step is fixed on the other part of the notch , with screws, Fig. 16. The jutty of the counter-profile beyond the edge of the counter-step, is the oftener adapted and stuck with a peg or with a small key ; which renders useless, a notch in the rack ( crémaillère ) according to the periphery of the moulding , an operation dif-ficult to execute.
  - Other kind of (monolithe) steps, Fig. 9 and 10.
  - 48. The same piece of timber forms the giron {the middle of the step ) the height of the step, the section fit, for the wrapping over with plaster , ( en tas de charge) and the cieling.
  - (a) When there is a void space a few lines broad, between two steps ; one fills it up with plaster : that ridge of plaster is called improperly ( Collet ) by masons.
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- - Quand les marches seront droites, et auront toutes leurs arêtes parallèles, un seul panneau, a b c d 6 f, suffira pour les façonner : nous remarquerons seulement que la ligne de coupe c d, doit être perpendiculaire à la tangente au cordon des marches. Dans ce cas, le plafond est une surface plane ; (chaque couple de marches est réuni au moyen de deux ou trois clefs dans le joint de plafond. On consolide encore ces marches avec des boulons de longueur suffisante pour serrer deux marches ; mais il faut deux cours de boulons , 11 et 12 , Fig. 9.
  - Remarque. Les Fig. 3,4 s 7s 8 et 9, de la PI. VII, montrent comment on doit disposer les cours de boulons pour relier alternativement les marches par couples, et composer la continuité de la pression en joints.
  - Quelquefois on se contente d’appliquer à la surface du plafond, tout près des têtes des marches, des plates - bandes en fer g, h, i, j, Fig. 2 et 6 , PI. VII, lesquelles étant ajustées dans des entailles , et vissées à fleur de bois, retiennent et consolident les marches ensemble. On conçoit que si ces plates-bandes sont bien posées, elles s’opposent aux divers efforts que le temps, les chocs, etc., feront pour opérer la difformation du plafond.
  - 49. Lorsque les marches sont dansantes, c’est-à-dire , plus larges à un bout qu’à l’autre , Fig. 13 et 23, il faut, pour les façonner sur plan droit, deux panneaux , un pour la tête et un pour la queue : mais en les supposant toutefois coupées de longueur sur le plan , le plafond et la feuillure sont alors gauches.
  - Planche II.
  - 50. La Fig. 1 est une portion droite d’un plan d’escalier composé de marches droites, qui ont des moulures devant et aux têtes du noyau à jour, mais soutenues avec une crémaillère (47). L’élévation, Fig. 2 , présente la surface extérieure de la crémaillère et les moulures des têtes des marches ; elle montre aussi le boulon g, qui retient en joint les commissures des deux portions de crémaillère. La Fig. 3 montre la surface intérieure de la crémail-1ère et les coupes des marches et des contre-marches.
  - 51. Les Fig. 4, 5, 6 et 7 sont pareillement des détails d’une portion d’escalier , mais composées de marches massives (48). La remarque à la suite de ce numéro contient les détails des plates-bandes, qui sont ordinairement arrêtées avec des vis à tête fraisée. Ici, au lieu de vis, Fig. 5 , ce sont de petits boulons d’emmarchement, h, h, etc., de grandeur inégale, qui retiennent la plate-bande au plafond des marches; les têtes i de ces boulons sont rondes et encastrées à fleur dans le giron des marches ; leur pas de vis entre dans la plate-bande, c d, qui fait l’office d’écrou. Ce dessin montre trois boulons qui relient chaque marche à la plate-bande, ce qui présente une solidité parfaite, et le moyen de remplacer un boulon si quelque choc parvenait à le rompre.
  - 52. La Fig. 8 est aussi le plan d’un escalier, mais composé de marches A, B, C, D , E, F, assemblées dans un limon G. Ce limon , ainsi que la Fig. 9, contient le tracé de la volute (voyez le n° 29). L’élévation, Fig. 10, montre la surface extérieure dudit limon ; celle le, du patin d’échiffre, son assemblage à tenon et sa coupe de raccordement. La Fig. 11 montre la contre-face, k, du patin d’échiffre ; la surface intérieure du limon, j , entaillée pour recevoir les têtes des marches et des contre-marches, sa coupe d’about avec deux petits tenons réservés pour l’assemblage à la partie continue, qui est plus elevée, et le boulon d’assemblage, j, en fer.
  - Remarque. Le boulon d’assemblage, j, au joint du
  - ( *8)
  - Sind die Stufen gerade, und ihre sàmtlichen Kan-ten parallel, so ist eine einzige Lehre abcdef zu ihrer Ausschneidung hinreichend ; und wir bemer-ken bloss, dass die Schnîttlinie c d, mit dem Tangent des Stufèngesimses perpendicular gehen muss. In diesem Falle ist die untere Seite [Plafond), flach ; ein jedes Paar Stufen wird in die Deckenfuge ver-mittelst zweier oder dreier Diebel zusammengedie-belt. Ausserdem befestigt man diese Stufen noch durchSchrauben 11 und 12, Fig, 9, welche lang ge-nug seyn müssen, um zwei Stufen anzuziehen.
  - Bemerkung. Die Fig. 3, 4, 7, 8 und 9, Tab. VII, zeigen die Art und Weise wie man die Schrauben in die Tritte einlassen muss, um die Stufen paar-weise zu befestigen, und die Einlassung in die Fugen zu bewirken.
  - Bisweilen legt man an der untern Seite, ganz nahe an den Stufenenden, bloss eiserne Bander g, h, i, j, Fig. 2 und 6, Tab. VII, an ; da solche in die dazu gemachten Einschnitte eingelegt, und mit Schrauben befestigt werden, so werden die Stufen da durch zusammen und angehalten. Sind nun diese Bander gehorig an'gelegt worden , so verhüten sie nothwen-digerweise das Auseinanderweichen der Tritte , wel-ches die Zeit und gewaltsame Erschütterungen ver-ursachen konnen.
  - f
  - 4g. Gehen die Stufen gebogen , oder ist mit an-dern Worten, nach Massgabe der Fig. i3 und 23, das eine Ende derselben breiter als das andere , so bedarf es, um sie auf gradem Plane zu formen, zweier Lehren , die eine zum Halse, und die andere zu dem entgegengesetzten Ende : nimmt man aber dennoch an , als wàren sie auf dem Plane der Lange nach geschnitten, so ist sodann die Decke und Tritt-fuge schief.
  - Tabelle II.
  - 50. Die 1 Fig. stellt einen geraden Theil eines, aus geraden Stufen zusammengesetzten Treppengrund-rissesvor; an diesen Stufen , welche aufden Stege-baum (47) aufgesetztwerden, befinden sich vorund an der Treppenoffnung Gesimse. Der Aufriss in der 2 Figur stellt die àussere Flàche der Stiege, nebst den Gesimsen an den Stufenenden vor ; wir sehen daselbst auch die Schraube g, durch welche die zwei Theile des Stegebaums zusammengesetzt werden. In der 3 Fig. ist die innere Flàche des Stegebaums nebst den Durchschnitten der Tritt und Setzbreter vorgestellt.
  - 51. Die Fig, 4, 5, 6 und 7 beschreiben einen Treppentheil mit massiven Stufen (48). Die, derselben Nummer beigefügte Bemerkung, enthàlt noch überdiess die Beschreibung der eisernen Bander, deren Befestigung gewohnlich durch Schrauben mit versenkten Kopfen bewirkt wird. In der 5 Fig. sind es nicht Schrauben, sondera die kleinen und un-gleich grossen Nàgel h, h, etc., welche das eiserne Band an der untern Seite der Stufen festhalten ; die Kopfe derselben i, sind rund, und dem Holzegleich, in die Stufe eingelassen ; das untere Ende geht in das eiserne Band c d hinein, welches hier die Stelle der Schraubenmutter verrichtet. In dieser Zeich-nungsind drei Schrauben enthalten, vermittelst wel-cher eine jedeStufe an das eiserne Band befestigt wird. Dadurch entsteht nicht nureine genugsame Festig-keit, sondera die Schrauben konnen auçh, wenn sie durch irgend einen Zufall zersprengt wiirden, leicht wieder ergànzt werden. "
  - 52. Die 8 Figur stellt ebenfalls einen Treppen-Grundriss vor; allein die Stufen A, B, C, D, E, F, aus welchen sie zusammengesetzt ist, sind in eine Wange G eingelassen. Diese Wange enthàlt zu-gleich mit die Schnecke , welche wir auch in der 9 Fig. abgebildet sehen (man sehe n° 29). Der Aufriss in der 10 Fig. zeigt die àussere Flàche der Wange ; bei k sehen wir die der Grundschwelle, nebst deren Zapfen-Versatzung und Schnitt; in der 11 Fig. sieht man bei k die entgegengesetzte Seite der Grundschwelle, bei j, die innere Wangenflàche, in deren Einschnit die Stufenenden eingesetzt werden, ferner den Schnitt am Ende des Wangenstücks, nebst zwei kleinen Zapfen, vermittelst welcher das fol-gende hohere Wangenstiick angesetzt wird, endlich den eisernen Schlussbolzen j.
  - Bemerkung. Der am Ende des Wangenstückes be-
  - If the steps are to be straight, and hâve their edges parrallels, a single pane abcdef shall be suffi-cient to form each of them : we will remark only that the line of the section c d, must be perpendicular to the tangent of the moulding of the steps ; in that case , the cieling is a plane surface, and each pair of steps is connected with the joint ofthe cieling, by means of two or three keys. One consolidâtes still, those steps, with bolts sufficiently long, to bind two of them; yet, two ranges of bolts are needfull, 11 and 12, Fig. 9.
  - Remark. The Fig. 3, 4, 7> 8 and 9 ofthe PI. VII, show, how one must dispose the ranges of bolts, to bind alternately two steps together, and compose the continuity of those assemblages.
  - Sometimes one applies only to the surface of the cieling, near the heads of the steps, iron plat-bands g, h, i, j, Fig. 2 and 6 , PI. VII, which being ad-justed in notches and screwed close to the wood, strengthen and keep the steps together : it is easy to conceive, that, if those plat-bands are well fitted up, they shall resist to shakings and ail what time could do to alter the cieling.
  - 49. When the steps are winding; I mean, when they are larger to their heads, than\o their dove tails, Fig. i5 and 23; two panes are needfull, to form them on a straight plan ; one for the head, a second, for the dove tail : however, if we suppose them , to be eut in length , on the plan ; the ceiling and the groove ( feuillure ) are left.
  - Plate II.
  - 50. The Fig. 1 is a straight part of the plan of a stair-case, composed of straight steps, which bave mouldings before, and to the upper parts of the open spindle, supported by a rack (47). The élévation, Fig. 2, shows the external surface of the rack, and the mouldings of the heads of the steps ; and also the boit g, which keeps joined together, the com-mixtures ( commissures ) of the two parts of the rack. The Fig. 3 shows the internai surface of the rack and the sections of the steps and of the counter steps.
  - 51. The Fig. 4> 5, 6 and 7, are likewise, particu-lars of a part of a stair-case, composed ofmassy steps (48). The remark following that number, contains the particulars of the plat-bands, which are usually fastened with screws. There , instead of screws, Fig. 5 , small bolts of emmarckement h , h, etc., of an unequal size fasten the plat-band to the cieling of the steps ; the heads i of those bolts, are round and fitted in, close the [giron] ofthe steps; their screw-like part enters the plat-band c d, and fills the plan of a true screw. That draught shows three bolts, fas-tening each step to the plat-band, which présents a perfect solidity and the means of replacing one of them , if any shaking happened to break it.
  - Ô2. The Fig. 8 is also the plan of a stair-case, but composed of steps A, B, C, D, E, F, joined in a string-board G. That string-board, as well as the Fig. 9, contains the délinéation of the volute. (See the number 29. ) The élévation , Fig. 10 , shows the external surface of the said string-board ; the élévation k, shows the external surface of the patten [d’échiffre), its assemblage with tenons and its le-velling section. The Fig. 11 shows the counter-faceÆ, of the patten d’échiffre; the internai surface of the string-board j, notched to receive the heads of the steps and of the counter-steps, its abutment section with two little tenons reserved for an assemblage to the continuai part, which is thehighest, and the iron fastening boit j.
  - Remark. The iron fastening boit j, close the joint
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- - limon , est fait en tringle de fer ; l’un des bouts est percé pour recevoir une clavette simple et une rondelle ; l’autre bout est fdleté avec un écrou et aussi une rondelle. Pour le placer, on perce un trou de tarière m, dans le limon j : on évide une entaille n, on place dedans une rondelle, on introduit le boulon et la clavette : l’autre limon a pareillement un trou de tarière et une entaille. Quand il est mis dedans, on place la rondelle et l’écrou; mais il faut achever de serrer l’écrou avec le ciseau à froid.
  - Planche III.
  - Neuf des figures de cette planche sont précédemment détaillées comme il suit : la Fig. i , au n° 11 ; les Fig. 2 , 5,4 et 5 aux n03 12 et i3; les Fig. 6 et 7, au n° 19 ; les Fig. 8 et 9 , au n° 21 ; les Fig. îo et 11, au n° 31 ; et les Fig. 12 et i3 , au n° 32.
  - On a vu (48 et 49) qu’un panneau de tête était suffisant pour tracer les marches qui sont droites en plan ; mais qu’il en fallait deux, un de tête et un de queue , pour tracer les marches dansantes.
  - 53. Pour tracer les marches qui sont cintrées ou adoucies en plan , et celles sur plan circulaire, qui sont ordinairement rayonnantes , il en faut un troisième, qui est celui de giron , principalement quand les marches sont en pierre. Les charpentiers, sans faire ce troisième panneau, parviennent au même but par l’opération, Fig. i4 et i5 , qu’ils appellent Simbleauter, parce qu’ils y procèdent avec le grand compas, et le cordeau fin, nommé simbleau. Sur la marche, D, de l’ételon, Fig. i4 > on a pris e pour centre, et la distance e d pour rayon, et décrit l’arc d f sur le morceau de bois chanlatté ABCDEFGH destiné à faire ladite marche ; on a de même pris à une de ses arêtes , pour centre le point e, fait un arc semblable , et porté la corde f d de f en d : la ligne e d est une des coupes d’about de la marche. On a de même, du point d, comme centre, décrit le petit arc c g lequel étant pareillement reporté de g en c a donné l’autre about de. Du centre f, on a fait un autre arc h i ; et de h, un second i j ; lesquels étant de même reportés, ont donné le point j , et la droite j c a été tracée. On a de même tracé les arcs kl m, n a et o b ; lesquels , reportés à la Fig. 15, ont donné les points l, m,o et b, partie radoucie au décollement de la marche.
  - 54» Lorsque les marches sont sur plan circulaire , et que le noyau à jour est aussi circulaire, Fig. 16 , 17 et 18 , leur surface de plafond est pla-no-hélicoïde ; c’est-à-dire que toutes droites horizontales touchent exactement cette surface : mais si elle est coupée par des plans droits ou des surfaces cylindriques , les lignes en seront courbes. On applique à ces marches des plates-bandes et des boutons en fer , comme à celles précédemment détaillées.
  - Puisque le noyau à jour est cylindrique, et que Ja cage est aussi cylindrique , le plafond est terminé par deux arêtes qui sont des hélices ; vu que tous les points de chacune sont à égale distance de l’axe : mais leur inclinaison est différente ; c’est-à-dire que celle qui est la plus voisine de l’axe est la moins inclinée sur l’horizon.
  - 55. Dans la pratique , on a coutume de marquer rayonnante la retombée du cordon des marches sur l’ételon ; en sorte que chaque giron sur ce plan forme un secteur qui a pour centre un point de l’axe : alors les projections horizontales de ces objets sont des rayons et des arcs de cercle. On marque aussi parallèle à la ligne D B, retombée du cordon, celle
  - ( '9 )
  - findliche Bolzen j, hat an dem einen Ende eine Oeff-nung durch welche eine einfache Schliesse durch, und eine Scheibe angesteckt wird; das andere Ende ist mit einer Schraubenmutter, so wie ebenfalls mit einer Scheibe befestigt. Um denselben einzusetzen , bohrt man mit dem Hohlbohrer ein Loch m, in die Wange j; man macht eine Yersatzung n, und wenn solche mit der Scheibe ausgefüttert worden, setzt man den Bolzen nebst der Schliesse ein ; an der andern Wange befindet sich ein àhnliches Loch und Versatzung. Ist er eingesetzt , so wird die Scheibe und die Schraubenmutter angelegt; endlich ziehl man die Schraubenmutter mit dem Schrau-benschlüssel an.
  - Tabelle III.
  - Neun auf dieser Tabelle befîndliche Figuren, sind bereits schon vorstehend erklart worden ; nàmlich : Fig. 1, in n° 11 ; die Fig. 2, 3, 4 und 5, in den n° 12 und i3; die Fig. 6 und 7, in n° 19; die Fig. 8 und 9, in n° 21; die Fig. 10 und 11 in n° 3i und die Fig. 12 und i3, in n° 32.
  - Wir haben bei n° 48 und 49 gesehen, dass ein Lehre zur Zeichnung der geraden Stufen hinrei-chend ist ; allein zur Zeichnung der schràggehenden Stufen sind zwei erforderlich, nàmlich eine zum Halse, und die ondere zum àussern Ende.
  - 53. Sollen geschweifte , oder Wendeltreppenstu-fen, welche gewohnlich strahlenformig sind , ge-zeichnet werden , so ist auch eine dritte, nàmlich die Lehre der Stufenbreite erforderlich, dies ist vor-züglich bei steinernen Stufen der Fall. Die Zimmer-leute pflegen von dieser dritten Lehre keinen Ge-brauch zu machen, indem sie denselben Zweck ver-mittelst eines grossen Zirkels und der Reissschnur, Fig. i4 und i5 erreichen. Auf der, auf dem Reiss-boden gezeichneten Stufe D, Fig. il\, ist e zum Mit-telpunkte, und der Abstand e d, zum Radius ge nommen, und der Bogen d f, beschrieben worden : auf dem Stegebaum in welchen die gedachten Tritte ABCDEFGH eingesetzt werden , ist ebenfalls auf der àussern Rante , der Punkt e zum Mittelpunkte genommen, und ein àhnlicher Bogen f d von f nach d gezogen worden : die Linie e d ist einer von den Enddurchschnitten der gedachten Stufe. Ausvdem, als Mittelpunkt angenommenen Punkted, ist gleichergestalt der kleine Bogen c g beschrieben worden ; und da derselbe ebenfalls von g noch c zurückgeführt worden ist, so hat er das andere Ende d c gegeben. Vom Mittelpunkte f, ist ein anderer Bogen h i, und von h , ein zweiter i j, beschrieben worden ; und da solche ebenfalls zurückgeführt worden sind, so haben sie den Punkt y gegeben , und die gerade Linie j c ist gezeichnet worden. Auch hat man gleichergestalt die Bogen k 1 m , n a und o b gezeichnet ; da selbige in Fig. i5 ebenfalls aufgetragen worden sind, so haben sie die Punkte l, m, o und 6 gegeben, wornach die Tritte ausgeschnitten werden , und ihre gehorige Form er-halten.
  - 54. Bilden die Stufen einen zirkelrunden Plan , und ist die Treppenoffnung ebenfalls auch zirkelrund, Fig. 16, 17 und 18 , so ist die untere Flàche ( Plafond) dieser Stufen spiralformig ; das heisst, aile horizontale gerade Linien berühren genau diese Flàche: durchschneidet solche aber gerade Plàne , oder cy-
  - ; lindrische Flàchen, so werden die Linien derselben gebogen seyn. Diese Stufen werden wie die vorigen, mit eisernen Bàndern und Schrauben befestigt.
  - Da sowohl die Treppenoffnung , als auch das Trep-penhaus cylindrisch ist, so schliesst sich die untere Flàche (Plafond) mit zwei spiralformigen Kanten; weil sàmmtliche Punkte von jeder Kante, in gleichem Abstande von der Axe sind : ihre Neigung ist aber verschieden, indem diejenige, welche die nàchste an der Axe ist, am wenigsten gegen den Horizont geneigt ist.
  - 55. Man pflegt in der Praxis die Linien des Stufen-gesimses strahlenformig auf dem Reissboden zu zeich-nen , so dass auf diesem Plane jede Stufenbreite einen Ausschnitt bekommt, welcher einen Axenpunkt zum Mittelpunkte erhàlt; die horizontalen Vorstel-lungen dieser Gegenstànde werden dann Radii und Zirkelbogen. Man zeichnet auch parallel mit der Ge-
  - of the string-board, is made with an iron-wire; onc of its extremities is pierced through, to receive a simple peg and a female screw (rondelle); the olher end is fastened with a screw, and a (rondelle). To place that screw, one pierces a hole with a wimble m , in the string-board j : one grooves a notch n, one puts in, a female screw and one introduces the boit and the peg : the other string-board, is likewise wimbled and notched ; but, when the female screw is, placed in, and the screw also; it is necessary to finish its close winding , with a cold chisel.
  - Plate III.
  - Nine figures of this plate are formerly detailed as it follows : The Fig. 1, to the nr 11 ; the Fig. 2,3,4 and 5, to the n" 12 and 13; the Fig. 6 and 7, to the nr 19 ; the Fig. 8 and 9, to the nr 21 ; the Fig. 10 and 11, to the nr 3i ; and the Fig. 12 and 13, to the nr 32.
  - One lias seen (48 and 49 ) , that a single pane was sufficient to delineate steps, whose plan is straight; but that two, one for the beginüing, the other for the dove-tail, were needful to delineate winding steps.
  - 53. To delineate steps arched on their plans (arched or smoothed) and those, usually half-dia-metrical, which hâve a circulary one, want a third pane to the line of the middle of the step (giron) ; principally, when the steps are made with stones. Carpenters, without making that third pane, reach the same aim, by the operation, Fig. 14 and i5 , which they call (simbleauter), because they pro-ceed to it with the large compassés, and a thin line, callcd (simbleau). On the step D of the été Ion, Fig. 14, one has taken e for the center, the distance ed for a radius, and one has described the arc d f; on the lathed piece of timber, A B G D E F GH, designed for the making of the said step; one has likewise taken to one of its edges, the point e for the center; one has made a similar arc, and car-ried the line fd from f to d ; the line ed is one of the sections of abutment of the step : one has likewise described, from the point d, as center, the small arc c g, which being also carried from^ to c, has gi-ven the other abutment de : from the center f, one has described another arc h i ; and from h , a second ij ; which being also carried back, hâve given the point j; then the line y c has been marked out : one has also , delineated the arcs k 1 m, n a and o b ; which, carried back to the Fig. i5, hâve given the points, l ,m,o and b, a part arched , to the décollement of the step.
  - 54. When the steps are on a circular plan, and when the open spindle is also circular, Fig. 16, 17 and 18, the surface of their cieling is piano-kelicoïd; that is to say, that ail the straight horizontal fines, touch exactly that surface : butif it is eut by straight plans or cylindrical surfaces, the fines shall be cur-ved. One applies to those steps, iron plat-bands and bolts, as to the precedent ones.
  - Since the open spindle is cylindrical, as well as the cage, the cieling is bounded by two edges or helixes; considering that ail the points of each one, are at an equal distance from the axis; but their inclination is different, that is to say, that the closest to the axis, is the less inclined on the horizon.
  - 55. In practice, one marks usually, half diame-trical the arched falling fine (retombée ) of the moul-ding of the steps , over the ételon ; so that each giron on that plan, forms a sector which has, for its center, a point of the axis : then the horizontal projections of those objects, are radiuses, and arcs of circles. One marks likewise; parallel to the fine
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- - a c, du pas, et celle b d, qui indique la surface nommée recouvrement. Les commissures obliques de cette dernière surface à celle de plafond , sont de même établies parallèlement, pour éviter le gauche que leur donnerait la direction rayonnante. Cette méthode ne peut convenir que dans le cas où les marches sont assemblées dans un limon dont la surface inférieure forme un champ en relief sur le plafond ; ce qui tranche la direction du joint de plafond, qui n’est pas rayonnante.
  - 56. Les escaliers imprévus, qui ont été exécutés depuis quelques années dans des maisons de commerce , ont un caractère de hardiesse et d’élégance qui les fait remarquer, et même regarder comme objet d’ameublement. On en voit dont toutes les marches sont isolées, et ne paraissent portées que par la première marche, qui repose sur le sol, et contre-butlées par la dernière marche, qui est appliquée dans l’épaisseur du plancher : les marches sont ornées de moulures contre-profîlées aux deux bouts, et retours de contre-profils avec coupe de recouvrement, on joint en lit, et contre-coupe en tas-de-charge, à l’instar des marches en pierre ; mais on veut que chacun de ces derniers joints soit aussi perpendiculaire à la surface du plafond, ce qui alors donne à chaque bout des inclinaisons différentes, et produit nécessairement un joint gauche, dont aucune des arêtes n’est rayonnante. Nous avons été à même de voir les leçons d’architecture pratique de M. Crussière, et nous en avons extrait ce qui suit :
  - « Un escalier cylindrique primitivement d’une » seule pièce, et qui aurait été décomposé par mar-» ches, exigerait une précision rigoureuse dans l’exé-«cution pour avoir de la stabilité; parce que les «marches ne seraient que juxta-posées l’une à l’autre, »et que le plan de jonction de deux marches n’oppo-» serait aucun obstacle à la tendance que le moindre » défaut d’exécution imprimerait à l’une des marches » pour se déplacer. Ainsi, la prudence ordonne d’o-«pérer la juxta-position de deux marches, non par » un plan unique, ou coupe simple, mais par un plan » double , ou feuillure ; et les mêmes raisons qui ont »été ci-dessus exposées, exigent que chacun des » deux plans qui composent la feuillure, soit perpen-» diculaire à la face qui lui est contiguë : en sorte » que l’une de ces faces doit être plane, et en continuation du giron; et l’autre, gauche, perpendiculairement à la surface piano-hélicoïde.
  - » L’escalier que nous venons de considérer, et
  - » que l’on peut appeler complet dans ce genre , ren-
  - » ferme tous ceux qui auraient même axe, et un
  - «noyau à jour plus ou moins grand : chacun de
  - «ceux-ci ne serait qu’une portion plus ou moins ♦
  - «grande de la partie extérieure de celui-là. C’est «donc sur les mêmes principes que tous doivent «être construits; et leur perfection doit être de res-» sembler, dans ce qu’ils sont, à la portion qu’ils «représentent de l’escalier complet.
  - » Ainsi, l’on doit regarder comme principes sur «les escaliers circulaires sans limons, à marches «monolythes avec un noyau à jour, i° que les arêtes,
  - » tant saillante que rentrante, doivent être rigou-«reusement rayonnantes à l’axe ; 2° qu’en quelque » point que l’on présente une horizontale au plafond » hélicoïde, elle s’y applique exactement, et passe à «l’axe ; 5° que les deux faces de la feuillure soient » deux triangles, l’un plan, l’autre gauche, ayant » aussi leur sommet à l’axe ; 4° que l’arête de la feuil-» lure soit encore une ligne rayonnante dans le pro-» longement du giron ; 5° que la trace inférieure du «joint, qui doit aussi aboutir au même point de l’axe » que les autres droites rayonnantes ci - dessus, ne «peut être ni droite, ni horizontale, mais doit être » courbe et inclinée.
  - (20 )
  - simslinie D B, die Linie a c, welche die Breite des Trittes vorstellt, und die Linie b d ; diese leztere be-zeichnet die Bedeckung. Die Vereinigungspunkte dieser letzten Flàche, welche mit der untern Seite (Plafond) schràg laufen , sind ebenfalls parallel ge-zogen, wodurch die schiefe Gestalt welche ihnen die strahlenformige Richtung mittheilen würde, vermie-den wird. Diese Zusammensetzung kann jedoch nur dann zur Anwendung kommen , wenn die Stufen in eine Wange eingelassen sind, deren untere Seite über die Trittlinie hervorragt, wodurch die nicht strahlenformige Richtung der Deckenfuge, ausgegli-chen wird,
  - 56. Seit einigen Jahren sind in mehrern Hand-lungshàusern, spàter nothig gewordene Treppen [Escaliers imprévus) erbaut worden, welche sich durch ihre kühne Ausführung, und durch ihre ge-fàllige à'ussere Gestalt, sehr vortheilhaft auszeich-nen, und selbst als ein geschmackvolles Hausgeràth betrachtet werden konnen. Bei einigen sind die sàmmtlichen Stufen einzeln und ohne Zusammen-hang mit den übrigen angebracht : es scheint, als ob sie bloss von der, auf dem Boden ruhenden ersten Stufe getragen würden, und sich an die letzte , oben im Gebàlke anlehnten. Die Stufen sind mit verkropf-ten Gesimsen an beiden Enden verziert, die Ver . kropfungbis an den Grund der Stiége zuriickgeführt, und die Stufen nach dem Fugenschnitt geschnilten worden; man verlangt aber, dass jede der Fugen-schnittlinie mit der Flàche der Treppendecke ebenfalls parallel sey, wodurch alsdann ein jedes Ende verschiedene Neigungen erhàlt, nnd woraus nothwen-digerweise eine schiefe Fuge, ohne strahlenformige Kanten entsteht. Wir fügen bei dieser Gelegenheit einen Auszug aus den Yorlesungen des Herrn Crussière über die praktische Baukunst bei.
  - « Eine cylindrische, aus einem einzigen Stücke ,
  - » und aus einzelnen unter einander verbundenen Stu-» fen bestehende Treppe, muss, wenn sie die gehorige «Festigkeit haben soll, mit der sorgfàltigsten Ge-»nauigkeit ausgeführt werden, indem die Stufen der-» selben bloss eine auf die andere aufgesetzt sind, und » die Verbindung zweier Stufen das Auseinanderwei-«chen, welches eine fehlerhafte Zusammensetzun»; » sehr leicht veranlassen würde, nicht hindert. Die-«sem zufolge gebietet die Vorsicht, dass man das » Aufsetzen zweier Stufen nicht durch einen einfachen «Plan, oder Schnitt, sondern durch einen doppel-» ten, oder durch einen Falz bewirke; auch muss aus «der angeführten Ursache, eine jede der beiden «Flàchen, aus denen der Falz besteht, mit der an » denselben stossenden Flàche perpendicular seyn, «und zwar dergestalt, dass die eine derselben flach, «und mit der Stufenbreite fortlaufend, die andere » aber schief, und mit der spiralformigen Flàche per-« pendicular sey,
  - » Diese von uns beschriebene Treppe, welche man » eine vollstàndige dieser Art nennen kann , hegreift «aile diejenigen in sich, welche dieselhe Axe, und » eine mehr oder minder grosse Treppenoffnung ha-«ben. Eine jede von diesen letzten Treppen würde » daher nichts weiter als einen mehr oder minder «grossen Bestandtheil von dem àussern Theile der «ersten ausmachen. Es ist daher nothwendig, dass » aile nach denselben Grundsàtzen erbaut werden ; «und je mehr sie, ihrem Wesen nach, demjenigen » Theile der vollstàndigen Treppe, den sie vorstellen,
  - » gleichen, desto vollkommener werden sie seyn.
  - » Diesem zufolge muss man über die zirkelrunden,
  - » mit einer Oeffnung versehenen, wangenlosen Trep-«pen, deren Stufen aus einem ganzen Stücke be-«stehen, folgende Grundsàtze aufstellen : i° dass so-» wohl die hervorspringenden, als eingehénden Kan-« ten, mit der Axe schlechterdings strahlenformis; «laufen; 2° dass wenn man an der spiralformigen » Treppendecke eine horizontale Linie, auf welchem «Punkte es auch sey, darstellt, solche sich daselbst «genau anlegt, und bis zur Axe làuft; 3° dass die » beiden Flàchen des Falzes zwei Triangel bilden, ei-«nen flàchen, und einen schiefen, deren Spitze «ebenfalls gegen die Axe gerichtet ist; 4° dass die «Kante des Falzes mit dem Laufe der Stufenbreite » ebenfalls eine strahlenformige Linie bilde ; 5° dass » die untere Linie der Fuge, welche gleich den an-» dern strahlenformigen Linien, auf den nàmlichen
  - D B ( retombée) of the moulding, the line ac of the step, and the line b d, which indicates the surface called (recouvrement) wrapping over. The oblique commixtures (commissures) of that last surface, to the one of the cieling, are also established parallel, to avoid the left appearance which the half-diame-trical direction would give them. That method is convenient merely in that case, where the steps are joined in a string-board, whose inferior surfaceforms an imbossed part over the cieling; which cuts off the direction of the joint of the cieling, which is not half-diametrical.
  - 56. The unforeseen stair-cases, which hâve been executed a few years ago, in some trading-houses, hâve a character of boldness and good taste, which commands the attention and indeed, they appear rather, as an object of furniture.
  - One sees some , whose steps are quite separated one from the other and do not appear supported, but by the fîrst one , which lays on the ground and fastened by the last step, which is applied in the thickness of the floor : the steps, are adorned with mouldings counter-profiled to their two ends, and déclinés of the counter-profiles with the culting for the wrapping over, one joins in counter section for the laping up with plaster [en tas de charge), like the steps made with stones : but one desires, every one of those last joints, to be also perpendicular to the surface of the cieling ; which gives then a different inclination to every extremity and produces necessarily a left-joint, which has not a single edge half-diametrical. Having seen xM. Crussiere’s lessons of architecture in practice, we hâve extracted what follows ;
  - « A cylindrical stair-case, formerly composed of «a single piece, and which would hâve been divided » in steps, would require a rigorous précision in its » execution, to hâve some stability; because the steps, «should be merely contiguous or juxta-set one to \ «another, and that, the joining plan of two steps, «would oppose no obstacles to the tendency, to a » displacing, which the least defect in the execution » would stamp to one of the steps : therefore, pru-«dence commands to operate the juxta-position of » two steps, not by a single plan or a plain section; «but by a double plan, or groove [feuillure). The » same reasons which hâve been exposed above; re-» quire each of the two plans which compose the «groove [feuillure) to be perpendicular, to its con-» tiguous face : so that one of its faces, is to be plane «and a continuation of the circumference [giron)',
  - » and the other , left, perpendicular to the surface «plano-helicoid.
  - «The stair-case, which we hâve just considered «and which may be called, complété in itskind,
  - » comprehends ail those which hâve a same axis, and «a smaller or a larger open-spindle : every oneof » those would be merely a smaller or a larger part «of the external part of the first. Therefore, they » must be constructed, ail, on the same principles «and, to he perfect, resemble, in what they are, the » part of the complété stair-case, they represent.
  - «So, one must look as principles, upon circulary «stair-cases, without string-Koards, having mono-«lythe steps with an open spindle; i° that theedges, » either jutting out or coming in, must be rigorously «half-diametrical to the axis; 2° that, an horizontal » line presented to the helicoid cieling, in any point «whatever, must adapt itself to it, and pass to the » axis ; 3° that the two faces of the groove, be two «triangles, one plane, the other left, having also their «summit to the axis; 4° that the edge of the groove «be also a radius in the prolonging of the giron; » 5° that the inferior délinéation of the joint, which «is also to end to the same point of the axis, as well » as the above straight half-diametrical fines, cannot «he nor straight, nor horizontal, but curved and » inclined.
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- - » Il n’a pas été question jusqu’ici de la moulure «dont on orne l’arête supérieure de chacune des » marches parce que ce n’est qu’un accessoire qui » doit être subordonné au reste. La retombée de la » moulure dans le plan est la seule ligne qui ne soit » pas rigoureusement rayonnante, puisqu’elle doit être «parallèle à l’arête de la marche. Mais il s’ensuit » que toutes les retombées des moulures doivent être » tangentes à un cercle concentrique au plan de l’es-» calier, et ayant pour rayon la saillie de la moulure. «Dans l’escalier complet, la moulure régnera tout «le long de l’arête de face , sera terminée au noyau, » et aura, à l’extérieur de l’escalier, un retour ter-» miné aussi par un contre-profd partant de la coupe ; » c’est-à-dire , de l’intersection des traces extérieures «des deux faces qui forment la feuillure. Dans les » escaliers avec noyau à jour, la moulure aura aussi, » à l’intérieur, un retour terminé par un contre-profd » régulier, et partant aussi de la trace oblique de la » feuillure.
  - » Comme les surfaces gauches sont très-difficiles à «exécuter avec précision , Frézier conseille de faire » plane , la joue de la feuillure qui devait être gauche ; » mais il n’indique pas le moyen de faire disparaître » le gauche. Il paraîtrait que le moyen le plus avan-» tageux serait de prendre pour coupe commune aux «deux extrémités de la feuillure , la direction d’une » ligne qui partagerait en deux parties égales l’angle «formé par les tangentes aux deux hélices extrêmes » de l’escalier. »
  - Plan che IY.
  - Les Fig. 1, 2, 3 et 4» montrent le plan, l’élévation et les détails d’un sabot adhérent à la marche palière, mais avec une coupe simple. Voyez, pour les détails du tracé, les Fig. 16, 17, 18 et 19 , même planche. Nous renvoyons aux mêmes figures pour les 5e, 6e, 7e et 8e, qui diffèrent'seulement en ce que la marche palière reçoit deux limons qui sont concourants. La Fig. 9 est aussi le plan d’une marche palière G ; mais le sabot H y est rapporté et arrêté avec deux boulons a,b; la Fig. 10 est l’élévation de ladite marche et du limon. Les Fig. 11, 12 et i3, sont des sections verticales qui montrent le reste des détails de construction.
  - 5 7. La Fig. 14 est le plan d’une grande marche palière d’un escalier, à base quarrée; noyau à jour aussi quarré, mais avec ses angles radoucis, et coupe de raccordement dans lesdits radoucis. L’élévation, Fig. 15 , montre la partie horizontale du limon, en continuité des deux étages ; mais cette partie est une réserve faite en façonnant ladite marche palière. Les Fig. 16 et 17 en sont des sections suffisamment indiquées par le dessin. La Fig. 18 contient le tracé des commissures du limon inférieur et de celles de la marche palière près de l’endroit où l’inflexion du rampant du limon se raccorde avec celle du limon horizontal ; cette coupe a été tracée de la manière suivante. On a pris pour centre le sommet a, et porté sur les côtés de l’angle deux longueurs égales ab ,ac; les points b etc, pris pour centres , ont encore donné le point sécant d ; la droite a d divise en deux parties égales l’angle e ab; et c’est sur cette droite qu’ont été pris les centres des arcs de raccordement, tels que e pour l’arc g h, et f pour l’arc ij. Pour tracer la coupe klmn, voyez les nos 43 et 44* On a procédé de même pour le tracé de la Fig. 19 ; mais les deux arcs g h , ij, y sont concentriques.
  - Remarque. Ce dernier tracé conserve au limon sa
  - i é
  - '
  - (21 )
  - » Àxenpunkt zulaufen muss, weder gerade, noch ho-» rizontal, sondera gebogen und abwàrts geneigt seyn » muss.
  - » Wir haben um deswillen von dem Gesimse, wo-» mit man die obéré Kante der Stufen zu verzieren «pflçgt, nicht gesprochen , weil dasselbe als ein Ne-» benbestandtheil dem Uebrigen untergeordnet seyn «muss. Die Anzeigungslinie dieses Gesimses ist in » dem Grundrisse die einzige, welche nicht noth-» wendig strahlenfôrmig zu seyn braucht, da sie mil » der Stufenkante parallel làuft. Hieraus folgt aber,
  - » dass sàmmtliche gedachte Gesimslinien einen con-» centrischen Zirkel im Grundrisse der Treppe be-» rühren müssen. Bei der beschriebenen vollstàndi-« gen Treppe làuft das Gesims làngs der Stufenkante » bis auf den Treppengrund, wo es an der àussern «Seite der Treppe eine Fortsetzuug erhàlt, welche «sich ebenfalls mit einer Verkrôpfung endigt : diese «letztere geht von dem Punkte aus , wo sich die àus-» sera Linien der beiden Falzflàchen durchschneiden.
  - » Bei den mit Oeffnungen versehenen Treppen be-«kommt das Gesims an der innern Seite ebenfalls » eine Fortsetzung , welche sich auch mit einer Yer-» krôpfung endigt, die ebenmàssig von der schiefen «Linie des Falzes ausgeht.
  - » Da es sehr schwer ist, die schiefen Flàchen mit » Genauigkeit auszuführen, so ràth Frézier, dass «man den Backen des Falzes, welcher eigentlich » schief seyn sollte, flach mache^ er sagt aber nicht » wie man das Schiefe wegbringen kônne. Das beste » Mittel hierzu scheint dies zu seyn, dass man zu dem «fur beide Enden des Falzes gemeinschaftlichen «Schnitt, die Richtung einer Linie nimmt, welche » den durch die Tangenten an den beiden àussersten » spiralf ormigen Trittlinien gebildeten Winkel in zwei «gleiche Theile theilt.
  - Tabelle IY.
  - Die Fig. 1,2,3 und 4 enthalten den Aufriss und die Vorstellung von einem mit der Ruheplatzstufe verbundenen Wangenstücke, dessen Schnitt aber einfach ist. Die Erklàrung der Zeichnung befindet sich in den Fig. 16, 17, 18 und 19, auf derselben Tabelle ; wohin wir auch die Erklàrung der 5, 6, 7 und 8 Fig. verweisen, indem diese letztern sichbloss dadurch unterscheiden, dass die Ruheplatzstufe noch zum Theil in die zwei anstossenden Wangen einge-setzt wird Die 9 Fig. zeigt den Grundriss von der Ruheplatzstufe G ; das Wangenstück H aber ist ein-zeln aufgesetzt, und mit zwei Schrauben a, b, be-festigt. In der 10 Fig. ist der Aufriss von dieser Stufe sowohl als von der Wange enthalten. Die Fig. 11, 12 und i5, sind die verticalen Durchschnitte von den übrigen Bestandtheilen.
  - 5y. In der i4 Fig. sehen wir den Grundriss von einer grossen Ruheplatzstufe. Die Treppe zu welcher sie gehort, hat eine viereckige Grundflàche , und eine ebenfalls viereckige Oeffnung, deren Winkel aber ausgeglichen worden. Der Aufriss in der i5 Fig. zeigt den durch zwei Stockwerke fortgesetzten hori-zontalen Theil der Wange; in welchen aber bloss die gedachte Ruheplatzstufe eingesetzt worden ist. Die Durchschnitte, welche wir davonin der 16 und 17 Fig. sehen, sind schon durch die Zeichnung satt-sam erklàrt. Die 18 Fig. enthàlt die Zeichnung der Yerbindung an der untern Wange, so wie die der Ruheplatzstufe , und zwar da wo die Biegung der an-tern Wange mit der Biegung der horizontalen Wange verbundenwird. Dieser Schnitt istfolgendergestaltge-zeichnet worden. Zum Mittelpunkt hat man den stum-pfen Winkel a angenommen, und die beiden gleichen Làngen ab, a c, auf die Seiten des Winkels geführt; die Punkte b und c, welche zu Mittelpunkten genom-men worden sind, haben sich bei dem Punkte d durchschnitten : die gerade Linie a d theilt den Winkel e a b in zwei gleiche Theile ; auf dieser geraden Linie sind nun die Mittelpunkte der Ausgleichungs-bogen genommen worden ; nàmlich e zu dem Bogeng h, und f zu dem Bogen ij. Will man den Durchschnitt k Iran zeichnen, so sehe man n° 43 und 44* Eine gleiche Verfahrungsweise ist bei der Zeichnung der 19 Figur beohachtet worden ; die beiden Bogen g h, i j, sind daselbst concentrisch.
  - Bemerkung. Nach dieser letzten Zeichnung be-
  - » We hâve not spoken yet of the moulding which » adoras the superior edge of each step, because it » is a mere accessory, which however must be su-» bordinated. The arched fall of the moulding in the » plan is the only line which is not rigorously half-» diametrical, since it must be parallel to the edge of «the step. But it ensues that ail the arched falls of » the mouldings must be tangent to a circle concen-» trick to the plan of the stair-case, and having for «radius the jutty of the moulding. In the complété » stair-case, the moulding shall reign along the front-«edge, end to the spindle, and hâve to the external «part of the stair-case , a décliné ended also by a » counter-profile beginning to the cutting ; that is to «say, to the intersection of the two external deli-» neations of the two faces which form the groove. «In stair-cases with open spindles, the moulding » shall hâve likewise, to the external part, a return «ended by a regular counter-profile, and beginning » also to the oblique délinéation of the groove.
  - » As the left surfaces are difficult to çxecute with «précision, Frézier advises to makeplane, the cheek » of the groove which ought to be left ; but he does 2>not indicate the means of making tbe left disap-» pear. It appears that the most advantageous means «are to take for the section common to the two » extremities of the groove, the dfrection of a line » which should partake in two equal parts the angle » formed by the tangents to the two extreme helixes » of the stair-case. »
  - Plate IY.
  - The Fig. 1,2,3 and 4> show the plan, the élévation and the details of a (sabot) adhèrent to-the landing step, but with a plain cutting. See, as to the details of the délinéation, the Fig. 16, 17, 18 and 19, same plate. We send back to the saine figures for the 5th, 6lh, 7th and 8th, which differ only in that the land-ing-step receiving two concurrent string - boards. The Fig. 9 is also the plan of a landing-step G ; but the (sabot) H is adapted to it and fastened with two iron-pins a, b ; the Fig. 10 is the élévation of the said step and of the string-board. The Fig. 11, 12 and i3, are vertical sections which show the re-mainder of the details of the construction.
  - 57. The Fig. 14 is the plan of a large landing-step of a stair-case but with its angles smoothed and its levelling section in them. The élévation, Fig. ) 5, shows the horizontal part of the string-board, in its continuity of two stories; but that part is a reserve made in forming the said landing-step. The Fig. 16 and 17 are sections of it sufficiently indicated by the drawing. The Fig. 18 includes the délinéation of the commixtures of the inferior string-board and of those of the landing-step near the place where the inflection of the rampant part of the string-board , agréés with that of the horizontal string-board : that section lias been delineated in the fol-lowing manner. One has taken for center the summit a, and carried over the si des of the angle, two equal lengths, ab, ac; the points b and c, taken for cen-ters, hâve also given the sécant point d : the straight line ad divides in two equal parts the angle eab; and it is on that straight line that the centers of the levelling arcs hâve been taken, such as c for the arc g h, and f for the arc ij. To delineate the section k l mn, see the nrs 43 and 44* One has proceeded in the same manner for the délinéation of the Fig. 19; but the two arcs g h, i j, are there concentrical.
  - Remark. This last délinéation conserves to the
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- - largeur uniforme de bordure’, parce que les deux arcs ont un centre unique e ; propriété qui n’a pas lieu dans la Fig. 18 , où les deux arcs de raccord ne sont pas concentriques.
  - Planche Y.
  - On appelle barlong un escalier qui a pour base un parallélogramme rectangle ; tel est celui de la Fig. ire; mais les limons droits qui forment le noyau à jour, sont raccordés h mi-étage par un noyau, Fig. 4? recreusé et arrondi en arc de cercle, que les praticiens nomment noyau de tête d’échiffre. Comme , dans cette figure , le noyau ne contient pas la totalité du denii-cercle , le limon Fig. 5, qui s’y assemble, est-crosse ; ce limon se raccorde à son autre extrémité avec un sabot, Fig. 7 , appliqué à la marche palière. La Fig. 8 représente la partie inférieure du limon qui commence la deuxième révolution , et qui est aussi crosse. La Fig. 6 montre le joint en commissure de ce dernier limon au sabot ,• c’est une coupe mixte, c’est-à-dire que moitié est dirigée parallèlement et sans gauche, et l’autre moitié rayonnante, et par conséquent gauche ( 44 ) • Les Fig' 9 et 1 o montrent deux sortes de constructions de marches qui peuvent être employées audit escalier. Il faut tracer la coupe du limon droit, Fig. 2 , tracer aussi celle du limon crosse, Fig. 3, et leurs projections dans le plan, avant de marquer l’élévation du noyau, qui se trace ainsi.
  - 58. Sur la droite AB , élevez la perpendiculaire indéfinie CD ; faites la droite EF parallèle à AB; faites paraître à la hauteur où elles doivent être , les marches 9, 10, 11 et 12 comprises entre la droite À B et sa parallèle E F ; empruntez même la 8e et la 13e, quoiqu’elles soient hors du plan du noyau, parce qu’elles guideront pour achever le tracé des hélices qui représentent les arêtes de la surface supérieure dudit noyau, en procédant (37) pour tracer la coupe qui reçoit l’assemblage du premier limon. Des points extrêmes des lignes de projection a, b , c, d, e, f, y et A,, élevez des perpendiculaires à la ligne A B ; et tracez les horizontales ab , cd, gh, aux hauteurs qui sont indiquées à la coupe du limon Fig. 2 (43). Vous opérerez de même avec les points i, j, k, /, m ,n, 0, p, pour tracer l’autre coupe ij, kl, op, en faisant usage des hauteurs de la coupe du limon Fig. 5 (44)- Ordinairement on retranche du noyau une partie de sa largeur ; et cette dernière surface se raccorde par une courbure allongée à la surface inférieure du limon.
  - t
  - Planche VI.
  - Elle contient le plan d’un escalier barlong, mais avec deux paliers de repos A ,B, dans les angles à mi-étage. L’élévation fait connaître la disposition des coupes et scellements des deux premières marches C,D qui sont en pierre; la coupe E, et l’élévation F des paliers de repos ; la coupe de la marche palière G , et l’élévation des limons qui sont ornés de moulures aux arêtes supérieures, et garnis d’une rampe composée de barreaux posés en pointe , et assemblés avec prisonniers par leur partie supérieure au porte-main en bandelette. On y a aussi distribué les joints d’appareil. (Assez ordinairement cette imitation de joints est un produit de la peinture. )
  - Planche VIL
  - Le n° 4 contient l’explication des Fig. 1 et 5. Pour les Fig. 7 et 9 , voyez le n° 3 ; voyez aussi la remarque à la suite du n° 48? pour les Fig. 2,3, 4, 6 , 7, 8 et 9.
  - (22 )
  - hait die Wange ihre einformige Breite als Treppen-einfassung , und zwar um deswillen , weil die beiden Bogen einen gemeinschaftlichen Mittelpunkt e ha-ben ; welches in Fig. 18 nicht der Fall war, wo die beiden Verhindungsbogen nicht concentrisch sind.
  - Tabelle V.
  - Die Grundflàche der in Fig. 1 vorgestellten Treppe bildet ein rechtwinkeliges Parallelogramm ; allein die geraden Wangen, welche die Oeffnung bilden, werden nach Fig. 4? in der Mitte des Stockwerks in einen halben zirkelrunden Pfosten eingelocht und eingezapft. Da der Pfosten in dieser Figur nicht den ganzen Halbzirkel enthàlt, so ist die Wange, welche daselbst eingesefzt wird, verkropft. Das andere Ende dieser Wange wird in das kurze Wangenstück, Fig. 7, eingesetzt : dieses letztere ist mit der Ruhe-platzstufe verbunden. Die 8 Fig. zeigt den untern Theil der Wange, mit welchem die zweite Win-dung anfàngt ; derselbe ist ebenfalls verkropft. Die 6 Fig. beschreibt die Verbindung dieser Wange mit dem kurzen Wangenstück. Der Verbindungspunkt ist ein gemischter Schnilt ; das heisst die Hàlfte lauft parallel, und ist also nicht schief, die andere Hàlfte aber strahlenformig, und foglich schràg (44) • In der 9 und 10 Fig. sehen wir, dass die Stufen, mit de-nen die gedachte Treppe zusammengesetzt werden kann, auf zweierlei Art ausgeführt werden konnen. Man zeichnet auf dem Grundrisse den Durchschnitt der geraden Wange, Fig. 2, so wie in Fig. 3, die Verbindung des Stegepfostens mit der Wange Fig. 5, nebst iliren Ansichten , und zwar noch ehe man den Aufriss des Pfostens zeichnet, welches folgenderge-stalt geschieht.
  - 58. Man richte auf der geraden Linie A B, die un-bestimmte Perpendicularlinie G D auf; man ziehe die gerade Linie E F, parallel mit A B : die zwi-schen der geraden Linie A B, und ihrer Parallèle E F enthaltenen Stufen 9, 10, 11 und 12, hemerke man auf der Hohe, wo sie seyn sollen ; man nehme selhst die 8 und 13, ohnerachtet sich solche ausserhalb des Spindelplanes befinden ; sie werden zur Zeich-nung der Spirallinien dienen , welche die Ranten an der obern Flàche der gedachten Spindel oder des Pfostens vorstellen, wenn man nach n° den Durchschnitt zeichnet, mit welchem die erste Wange verbunden wird. Von den àussersten Punk-ten der Linien a, b, c, d, e, f, g und A, richte man mit der Linie A B perpendicular laufenden Linien auf, und ziehe die horizontalen Linien a b, c d, g h, auf den in dem Wangendurchschnitte , Fig. 2 (43), angegebenen Hohen. Man verfahre auf dieselbe Weise mit den Punkten i,j, k, l, m, n, o, p, um den andern Durchschnitt i j, k 1, o p, zu zeichnen, wo-bei man sich der Hohen des Wangendurchschnittes in Fig. 5 (44) ? bedient. Gewohnlich nimmt man von der Spindel oder Pfosten einen Theil der Breite hinweg ; und diese letztere Flàche wird durch eine verstreckte Krümmung mit der untern Wangenflà-che verbunden.
  - Tabelle VI.
  - Diese Tabelle enthalt den Grundriss von einer^ Parallelogramformigen Treppe, welche aber in der Mitte des Stockwerks zwei Ruheplàtze A, B hat. Der Aufriss zeigt die Beschaffenheit des Durchschnittes und Einsatzes der beiden ersten steinernen Stufen G, D; ferner den Durchschnitt E, und den Aufriss F der Ruheplàtze; den Durchschnitt derRuheplatzstufe G, und den Aufriss der Wangen. Diese letzteren sind an ihren obern Kanten mit Gesimsen, und einem aus eisernen Stàben zusammengesetzten Gelànder versehen. Die Stàbe dieses Gelànders stehen vertical und sind mit ihrem obern Ende in ein eisernes Rah-menstück befestigt, worauf der Handgrilfruht. Auch sind noch accessorische Zierrathen mit beigefügt. (Dieser letzte Gegenstand ist sehr hàufig ein blosses Product der Malerei. )
  - Tabelle VIL
  - Die Erklàrung der 1 und 5 Figur ist oben in n° 4 enthalten : was die Fig. 7 und 9 anhetrilft, so sehe man oben n° 3; und für die Fig. 2,3,4? 6? 7? 8 und 9, die nach n° 48 stehende Bemerkung.
  - string-board its uniform breadth of edges, because the two arcs hâve a single center, e j a propriety which does not take place in the Fig. 18, where the two levelling arcs are not concentrical.
  - Plate V.
  - We call barlong, a stair-case whose basis is a rectangle parallelogram ; such as the one of the Fig. 1 ; but the straight string-boards which form the open spindle, are joined together, about in the middleof of a story,by a spindle, Fig. 4? hollowed and rounded in the form of an arc of circle, called hy practisers head-spindle d’échiffre. As in that figure, the spindle does not contain the total of the semi-circle ; the string-board, Fig. 5 , which is joined to it, is crosse : that string-board is adapted to its other extremity, by a (sabot) Fig. 7, applied to the landing-step. The Fig. 8 represents the inferior part of the string-board, which begins the second révolution and which is also crosse. The Fig. 6 shows the joint in com-mixture of this last string-board, to the sabot : it is a mixt section, that is to say that a half is directed parallely, and the other half, half-diametrical and consequently left (44)* The Fig. 9 and 10 show two kinds of constructions of steps which can be em-ployed to the said stair-case. One must delineate the section of the straight string-board, Fig. 2; and that of the crosse one, Fig. 3, and likewise their projections in the plan, before to mark the élévation of the spindle which is to be delineated as it follows.
  - 58. On the straight line AB, raise up the inde-finite perpendicular CD; make a straight line EF, parallel to AB; mark out to the height where they are to be, the steps 9, 10, 11 and 12, includedbet-ween the straight AB, and its parallel EF; horrow even the eighth and the thirteenth, though they be out of the plan of the spindle; because theyshall help to perform the délinéation of the helixes repre-senting the edges of the superior surface of the said spindle; proceeding (3y) to the délinéation of the cutting which receives the assemblage of the first string-board. From the extreme points of the fines of projection, a, b, c, d, e, f, g and A, raise up per-pendiculars to the line A B; and mark out the horizontal ones a b, cd, g h, to the heights which are indicated in the cutting of the string-board, Fig. 2 (43 ). You will operate in the same manner as to the points i,j, A, l, m, n, o, p, to delineate the other cutting, i j, kl, op, in making use of the heights of the section of the string-board, Fig. 5 (44)* Lsually, one cuts oIT, to the spindle , a part of its breadth; and that last surface adapts itself by a lengthened curvety, to the inferior surface of the straight string-board.
  - Plate VI.
  - It contains the plan of a stair-case barlong, but with two landing-steps, A, B, in the angles to half a story. The élévation shows the disposition of the cuttings and sealings of the two first steps, C, D, which are made with stones; the cutting E, and the élévation F, of the landing places; the cutting of the landing step G; and the élévation of the string-boards , which are adorned with mouldings to the superior edges, and bound by a balustrade compo-sed of rails placed point-wise and assembled with (prisonniers) by their upper part to the flight (porte-main) One has also distributed to it préparative joints. ( Usually that imitation of joints is a produce of the art of painting ). 1
  - Plate VIL
  - The nr 4 contains the explication of the Fig. 1 and 5. As to the Fig. 7 and 9, see the nr 3; see also the remark following the nr 48, for the Fig. 2, 3, 4? 8» 7, 8 and 9.
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- - Planche VIII.
  - Plate VIII.
  - Elle contient deux plans et deux élévations d’escaliers à base circulaire : on appelle celui des Fig. i et 2, Vis St.-Gide avec noyauplein, et Vis St.-Gille avec noyau à jour , celui des Fig. 5 et 4-
  - Planche IX.
  - Les trois angles du triangle isocèle ABC , Fig. ire, sont les centres des angles radoucis du limon, même figure, soutenant les marches d’un escalier qui a même forme de base.
  - La Fig. 2 a été expliquée au n° 28.
  - La Fig. 3 est une élévation détaillée de la partie inférieure de l’escalier , faite parallèlement à la ligne AB. Elle montre le pas et le cordon de la première marche, et en continuité le parpaing d’échiffre D qui a même hauteur que ladite marche. On voit de même le patin d’échiffre E, qui a la hauteur de la deuxième marche, plus la moulure; son assemblage a, elles coupes de ses moulures.
  - 5q. Il faut une coupe creuse, i° pour raccorder deuxparties de moulures cintrées ; 2° pour raccorder une moulure droite à une moulure cintrée. Pour tracer ces coupes creuses, on procède ainsi : les lignes droites a, b , largeur de la moulure droite, et lescourbesc, d, largeur de celle cintrée, étant tracées, on a seulement obtenu les deux points e, f. Pour en avoir un troisième, divisez en deux parties égales la largeur de chacune de ces portions de moulures ; tracez parallèlement la droite h et la courbe i, leur intersection au point g sera un point de passage de la coupe creuse , que vous tracerez en faisant passer un arc par ces trois points.
  - Lajambette d’échiffre F, qui ordinairement sert de poteau d’huisserie pour la baie de descente de cave , est chantournée à une de ses rives en arc rampant b , comme les noyaux recreusés ; sa coupe d’assemblage c, à la surface inférieure du limon, est raccordée par une autre petite coupe d , comme un joint de voussoir , pour donner plus de résistance à la partie étroite du raccordement. Quelques praticiens font cette dernière coupe à mordant, pour que la partie d'du bois du limon empêche la partie faible de la jambette d’échiffre de s’éloigner de son joint d’about.
  - La Fig. 4 montre les solives en bascules du palier de repos ensuite, et dont la Fig. i4 est la coupe. La Fig. 6 est la configuration du sabot dans l’angle dudit palier de repos. La Fig. 7 , un limon crosse, et la Fig. 8 un limon courbe ; leur coupe est tracée Fig. 5. La Fig. 9 montre le limon horizontal au palier d’arrivée , et sa coupe ; on voit aussi en plan les solives qui s’y assemblent. Les Fig. 10 , 11 , 12 et 13 sont les détails des commissures de deux limons dessinés en grand ; la surface intérieure d’un des limons, Fig. 10, montre deux petits tenons e, f, qu’on a coutume de réserver pour maintenir l’affleurement des surfaces verticales ; le boulon d’assemblage g, avec sa rosette et son écrou dans l’entaille h; la Fig. 11 est la même pièce vue en bout. Les Fig. 12 et i3 sont les mêmes détails de l’autre bout de limon, mais qui contient les mortaises i, j, pour recevoir les tenons réservés à l’autre.
  - Planche X.
  - Elle contient le plan et l’élévation d’un escalier à base triangulaire, dont tous les angles sont radoucis. Cette planche sera une excellente leçon pour exercer
  - ( ^ )
  - Tabeile VIII.
  - Diese Tabelle enthalt zwei Grund- und zwei Auf-risse von Treppen mit zirkelrunder Basis ; die in den Fig. 1 und 2 beschriebene, ist eine Treppe mit voiler $pindel, und die in den Fig. 3 und 4, enthal-tene, ist eine , mit einer Oeffnung versehene Wen-dellreppe.
  - Tabelle IX.
  - Die drei Winkel des gleichschenkeligen Triangels ABC, Fig. 1, sind die Mittelpunkte«von den aus-geglichenen Winkeln der Wange auf derselben Fi-gur ; die in dieselbe eingesetzten Stufen, gehoren zu einer Treppe, deren Basis die namliche Gestalt hat.
  - Die 2 Fig. ist in n° 28 erklart worden.
  - Die 3 Fig. stellt den Aufriss von dem untern Theile der Treppe vor ; derselbe ist mit der Linie A B parallel. Diese Fig. zeigt lèrner die Steigung, nebst dem an der ersten Stufen befindlichen Ge-simse, so wie den Untersatz D, welcher mit der ge-dachten Stufe einerlei Hohe hat. Auch sieht man daselbst die Grundschwelle E, dessen Hohe mit der Hohe der zweiten Stufe übereinstimmt, ferner deren Zusammensetzung a, so wie endlcih die Ge-simse nebst deren Zusammenschneidung.
  - 59. Ein hohler Einschnitt wird erfodert, i° bei der Verbindung zweier geschweifter Gesimse mit einander, und 20 bei der Zusammensetzung eines geraden Gesimses mit einem geschweiften : bei der Zeichnung dieser hohlen Einschnitte wird folgen-dergestalt verfahren. Sind die geraden Linien a, b, welche die Breite des geraden Gesimses ausmachen, nebst den gebogenen Linien c, d3 welche die Breite von dem geschweiften Gesimse sind , gezeichnet, so hat man bloss die heiden Punkte e, f erhalten ; um nun einen dritten zu bekommen, so theile man die Breite von einem jeden dieser Gesimse in zwei glei-che Theile ; ziehe in paralleler Richtung die gerade Linie h, so wie die gebogene i : ihr Durchschnitt bei dem Punkte bestimmt den Punkt der Aushohlung den man dadurch zeichnet, dass man durch diese drei Punkte einen Bogen zièht.
  - Der Untersatzpfosten F, welcher gewohnlich als Thürgerüstpfosten beim Eingange in den Relier dient, ist auf der Seite b, ausgeschweift, nach Art der gebogenen Spindeln : die Zusammensetzung des Pfostens mit der Wange ist bei c angezeigt, und mit einer kleinen Versatzung d versehen, welche gleich einer Gewolbsteinfuge dem schmalen Verbin-dungstheileeine starkere Widerstandskraft mittheilt. Man macht diesen leztern Einschnitt bisweilen mit einer schrageingreifenden Versatzung , damit der Theil d'des Wangenholzes, den schwachen Theil des Untersatzpfostens zurückhalte, und ihn so ver-hindere , aus der Fuge zu weichen.
  - Die 4 Figur zeigt die Verbindung der Ruhebank-wechsel, wovon der Durchshnitt in der 14 Fig. ent-halten ist. In der 6 Fig. ist das kurze Wangenstück in dem Winkel des gedachten Ruheplatzes vorge-stellt. Die 7 Fig. ist eine Wange deren obérés Ende in dem Ausgleichungszirkel hineinlauft, und die 8 Fig. das zirkelrunde Wangenstück : der Durchschnitt derselben befmdet sich in der 5 Fig. In der 9 Fig. sehen wir die horizontale Wange am Vor-platze, nebst ihrem Durchschnitte : man sieht daselbst ferner den Grundriss von den Balken , welche damitverbunden werden. Die Fig. 10, 11, 12 und i3 beschreiben die Zusammensetzung der beiden im Grossen gezeichneten Wangen: in der 10 Fig. zeigt die einevon diesen Wangen an ihrer innern Flache zwei kleine Zapfen e, f, vermittelst welcher die verti-calen Flachen in ihrer Richtung erhalten werden ; man sieht daselbst ferner die Schraube g, nebst der Schraubenmutter in dem Einschnitte h : in der 11 Fig. sehen wir das eine Ende von dem namlichen Stücke, und in der 12 und i3 Fig. das andere Wan-gende vorgestellt; dieses letztere enthalt aber die Zapfenlocher i, j, in welche die, am andern Stücke befindlichen Zapfen eingesetzt werden.
  - Tabelle X.
  - Diese Tabelle enthalt den Plan nebst Aufriss einer Treppe deren Grundflache einen Triangel bil-det, deren Winkel aber sammtlich ausgeglichen sind.
  - It contains two plans and two élévations of stair-cases with a circulary basis : we call the one of the Fig. 1 and 2 ,nuel St-Gille with a full spindle, and the one of the Fig. 3 and 4 > vmel St-Gille with an open spindle.
  - Plate IX.
  - The three angles of the triangle isocèles ABC, Fig. 1, are the centers of the smoothed angles of the string-board, same figure, supporting the steps of a stair-case, whose basis has a same shape.
  - The Fig. 2 has been explained to the nr 28.
  - The Fig. 3 is a detailed élévation of the inferior part of the stair-case, made parallely to the line A B. It shows the (pas) and the moulding of the first step, and in continuity, the parpaing d’échiffre D, which has a same height as the said step. One sees likewise the patten d’échiffre E , which has the heigth of the second step, the moulding; its assemblage a, and the cuttings of its mouldings.
  - 69. A hollow cutting is necessary, i° to join to-gether two parts of arched mouldings; 20 to join a straightmoulding to an arched one : to delineate tliose hollow cuttings, one proceeds as it follows. The straight lines a, b, breadth of the straight moulding, and the curved ones c, d, breadth of the arched one, being marked out, one has obtained only the two points e, f : to hâve a third one, divide in two equal parts, the breadth of each one ofthose parts of mouldings : delineate parallely the straight h, and the curved one i : their intersection to the point g shall be a point of passage of the hollow cutting, which you will delineate in marking out an arc, and ma-king it pass by those three points.
  - (
  - The count-timber d’échiffre, F, which is usually employed as a jaum or upright post to the gap of the arched way is eut to one of its edges in the form ofa rampant arc h, as the grooved spindles : its cutting of assemblage c, to the inferior surface of the string-board, is joined by another small cutting d, as a coving joint to give a gréa ter s^trength to the narrow part of the juncture. Some practisers make that last cutting, biting so that the part d'of the wood of the string-board may prevent the weak part of the count-timber d’échiffre, from removing from its joint of abutment.
  - The Fig. 4 shows the joists en bascules of the lan-ding place, whose cutting is the Fig. 14. The Fig. 6 is the configuration of the sabot in the angle of the said landing-place. The Fig. 7 is a crosse string-board; and the Fig. 8 a curved one : their cutting is delineated Fig. 5. The Fig. 9 shows the string-board horizontal to the landing place, and its cutting : one sees also in plan, the joists joined to it. The Fig. 10, 11, 12 and i3, are the details ofthe commixtures of two string-boards drawed in a large compass : the internai surface of one of the string-boards, Fig. 10, shows two small tenons, e, f, which one reserves usually to mainlain the faying of the vertical surfaces; the fastening boit, g, with its ('rosette ) and its nut in the nolch h : the Fig. 11 is the same piece seen up. The Fig. 12 and i3 are the same details of the other end of the string-board , but containing the mortises i, j, to receive the tenons reserved for the other.
  - Plate X.
  - It contains the plan and the élévation of a stair-case having a triangular basis whose ail the angles are smoothed ; that plate will be an excellent lesson,
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- - les commençants à dessiner une élévation sur un plan; et quoique la masse totale de maçonnerie qui forme la cage, soit marquée entière, Fig. 1 , on concevra facilement qu’il faut faire abstraction de la partie qui est en avant des lignes DE , FG, qui sont dans la direction des centres de radouci À, B* Un grand nombre dë praticiens regardent comme une opération très - difficile , le dessin d’élévation d’un escalier ; cependant ce dessin est exécuté avec une très-grande facilité par les dessinateurs exercés à l’art des projections; essayons donc de le raisonner pratiquement avec les Fig. 1 et 2.
  - 60. Au point du décollement a , par exemple , de la dixième marche, tracez quarrément sur l’épaisseur du limon la droite a b ; tracez de même la ligne efà la onzième marche; projetez les points a, b, vous aurez dans l’élévation les lignes ac, bd; portez la hauteur de socle au-dessus de la dixième marche; tracez l’horizontale a b ; portez de même la hauteur de ressocle , et tracez aussi c d ; les quatre points a, b, c, d sont les points de passage des quatre arêtes du limon, dont ab a la hauteur du socle de la dixième marche, et c d a la hauteur de plafond. En faisant de même pour la onzième marche, vous aurez les points e, f, g, h qui seront pareillement les points de passage des quatre arêtes. En suivant toujours ce procédé, on aura tous les points nécessaires pour tracer la continuité d’un étage entier. Pour marquer les arêtes de plafond sur les murs de la cage, il faut projeter de même les points du plan, qui donneront à leurs rencontres sur les horizontales de plafond , les points de passage de la courbe à l’angle rentrant, formé par le mur de cage et le plafond : par exemple, les projections des points g , h, ont donné les points i,j, arêtes de plafond ; prolongez l’horizontale i j vers k ; projetez le point i, et vous aurez en k, le point dç passage de l’arête de plafond.
  - Remarque. Quand bien même les marches seraient dansantes, c’est-à-dire inclinées sur le limon, il n’en faudrait pas moins tracer quarrément les lignes ab , ef, gh , etc., dont on se sert pour former l’élévation des arêtes du limon ; et c’est par la même raison que, dans les parties cintrées, en plan, on doit diriger ces mêmes lignes au centre.
  - Planche XI.
  - Les figures de cette planche ont été précédemment expliquées aux nos indiqués respectivement par la table suivante :
  - Fig. N08. Fig. Nos. Fig. N08.
  - 1 35, 36 6 j43, 44 11 38
  - 2 24, 35, 37 7 12
  - 3 35, 37 8 24, 43 i3 24
  - 4 43 9 38 *4 26
  - 5 44 10 24, 43 i5 24, 26
  - Planche XII.
  - Cette planche contient une série de marches qui n’ont point de scellement, mais qui sont soutenues par deux limons courbes concentriques A, B ; la répartition des marches y est faite sur l’arc D , qu’on appelle aussi ligne de giron. Ces marches sont rayonnantes , selon l’usage pratique , et assemblées dans des entailles faites aux limons courbes ; cette sorte d’assemblage ayant été précédemment détaillée, ainsi que les coupes Fig. 2,5, 6 et 7 , nous y renvoyons; nous nous dispensons pareillement de détailler les Fig. 4 ? 5,8 et 9 , parce qu’on peut voir ce que nous avons dit nos 67 et 58. La Fig. 10 est, comme la deuxième de la planche dixième, un exercice pour dessiner une élévation sur un plan ; mais nous observons ici qu’à cause du placement du dessin sur l’é— telon, on dit pratiquement que ledit dessin Fig. 10 est
  - Wollen sich Anfànger in Zeichnungen von Aufrissen üben, so wird ihnen diese Tabelle hierzu sehr be-hülflich seyn : und ohnerachtet in der 1 Fig. das ganze Mauerwerk, aus welchem das Treppenhaus besteht, angedeutet ist, so sieht man dennoch leicht ein, dass man den Theil vor den Linien D E, F G, welche sich in der Richtung der ausgleichen-den Mittelpunkte A , B befinden , unberücksichtigt lassen muss. Und ohnerachtet sehr viele Baukundige den Aufriss einer Treppë als eine sehr schwer auszu-führende Unternehmung ansehen , so wird derselbe dennoch von geschickten Zeichnern, welche in Dar-stellungen dieser Art geübt sind, sehr leicht gefer-tigt. Wir wollen nach Anleitung der Fig. 1 und 2 , denselben hier ausführlich zu entwickeln versuchen.
  - 60. Bei dem Punkte a, am Ende der 10 Stufe, ziehe man winkelrecht auf der Dicke der Wange, die gerade Linie a b ; man ziehe ferner die Linie e f, an der 11 Stufe : und nachdem man die Punkte a, b, gezeichnet hat, so erhalt man im Aufrisse die Linien ac, b d : man trage die obéré Backenhohe über die 10 Stufe; zeichne die horizontale Linie a b; trage gleichfalls die untere Hohe auf, und ziehe ferner die Linie c d : die vier Punkte a, b, c, d, sind dann die Bestimmungspunkte der vier Wangenkan-ten, von denen a b die obéré Hohe an der 10 Stufe, und c d die Hohe der Treppendecke ausmacht. Ver-fëhrt man eben so bei der 11 Stufe , so erhalt man die Punkte e, f, g, h, welche auch hier die Bestimmungspunkte der vier Wangenkanten sind. Fàhrt man auf diese Weise weiter fort, so erhalt man nach und nach aile, zur Zeichnung des ganzen Stockwerks nothigen Punkte. Die Kanten der Treppendecke werden auf den Mauern des Treppenhauses folgen-dergestalt angegeben : man zeichnet ebenfalls die Punkte des Plans, welche bei ihrem Zusammentref-fen auf den horizontalen Linien der Treppendecke die Bestimmungspunkte des mit einem eingehenden Winkel versehenen, und von der Treppenhaus-mauer und der Treppendecke gebildeten Bogens, geben werden ; die Punkte g, h, haben z. B. die Punkte i,j, welche die Kanten der Treppendecke sind, gegeben ; man verlangere nach k die horizontale Linie ij; zeichne den Punkt i, worauf man in k den Bestimmungspunkt der Treppendeckenkante erhalt.
  - Bemerkung. Giengen auch gleich die Stufen nach der Wange zu gebogen, so miissten dennoch die Linien a b, e f, g h, etc., nach welchen der Aufriss der Wangenkanten formirt wird, winkelrecht gezeichnet werden : aus eben dem Grunde muss man bei den geschweiften Theilen, diese namlichen Linien nach dem Mittelpunkt ziehen.
  - Tabelle XI.
  - Die in dieser Tabelle enthaltenen Figuren sind bereits schon vorstehend iu den resp. Nummern , nach Massgabe folgender Tafel erklàrt worden :
  - Fig. Num. Fig. Num. Fig. Num.
  - i 35, 36 6 j 43, 44 11 38
  - 2 24, 35, 37 7 12 0/.
  - 3 35, 37 8 24, 43 i3
  - 4 43 9 38 14 26
  - 5 44 10 24? 43 i5 24, 26
  - Tabelle XII.
  - Die in dieser Tabelle vorgestellten Stufen sind in keine Wande eingesetzt, sondera werden von zwei concenlrisch gebogenen Wangen A, B, zusammen-gehalten und getragen ; die Eintheilung der Stufen ist nach dem Bogen D, den man auch die Stufenli-nie nennt, geschehen. Diese Stufen sind, wie es der Gebrauch erfordert, strahlenformig, und werden in die, in die Wangen gemachten Einlochungen eingesetzt. Da diese Art von Zusammensetzung nebst den, in den Fig. 2, 3, 6 und 7, enthaltenen Durch-schnitten, schon oben erklart worden sind, so ver-weisen wir den Leser dorthin. Wir iibergehen glei-chergestalt die Erklàrung der Fig. 4? 5, 8 und 9, rücksichtlich welcher man die n° 37 und 38 nach-sehen kann. Die 10 Fig. wird gleich der 2 , auf der 10 Tabelle, diejenigen welche sich in Aufrissen auf
  - to exercise beginners to draw an élévation over a plan ; and though the whole mass of masonry which forms the cage be marked intirely Fig. 1 , it is easy to conceive that one must abstract the part, before the lines DE, FG, which are in the direction of the smoothed centers A, B. A great many practisers think a very difficult operation the draught of the élévation of the stair-case ; however that drawing is exe-cuted with a'great facility by drawers trained up to the art of projections; let us try therefore toreason it practically with the Fig. 1 and 2.
  - 60. To the point of décollement a, as for instance, of the tenth step, mark out square on the thick-ness ol the string-board the straight a b ; mark out likewise the line ef to the eleventh step; project the points a, b , you shall hâve in the élévation the lines ac, bd; carry the height of the pedestal over the tenth step; mark out the horizontal ah ; carry likewise the height of the foot of the pedestal [ressocle) , and delineate also c d ; the four points a, b, c, d, are the points of passage of the four edges of the string-board a b to the height of the pedestal of the tenth step , and c d, to the height of the cie-ling. Acting in the saine way as to the eleventh step, you shall hâve the points e, f, g , h, likewise points of passage of the four edges. In following aî-ways that manner of proceeding, one shall hâve ail the points necessary to delineate the continuity ofa whole story. To mark the edges of the cieling over the walls of the cage, one must project likewise the points of the plan which shall give to their meetings on the horizontal lines of the cieling , the points of passage of the curve to the angle getting in, formed by the wall of the cage and the cieling; as for instance , the projections of the points g , h, hâve given the points i, j, edges of the cieling ; prolong the ho • rizontal i,j towards k project the point i , and you shall hâve in k, the point of passage of the edge of the cieling.
  - Remark. Even , if the steps were winding, that is to say, inclined over the string-board, one ought nevertheless to delineate square the lines ab, ef, g h, etc., which are used to form the élévation of the edges of the string-board ; and it is by that same reason that, in the arched parts, in plan, one must direct those same lines to the center.
  - Plate XI.
  - The figures of that plate hâve been formerly ex-plained to the numbers indicated respectively by the following index.
  - Fig. N". Fig. Nrs. Fig. N".
  - 1 2 35, 36 24, 35, 37 6 7 43, 44 11 12 38 24
  - 3 35, 37 8 24, 43 i5
  - 4 43 9 38, *4 26
  - 5 44 10 24, 43 i5 24,26
  - Plate XII.
  - That plate contains a sériés of steps without sea-lings, but supported by two curved concentrical string-boards A, B ; the répartition of the steps is made there over the arc D , called also line of cir-cumference [de giron). Those steps are half-diame* trical, according to the practical use, and assembled in notches made to the curved string-boards ; that kind of assemblage having been detailed already, as well as the cuttings, Fig. 2,3,6 and 7; we refer to them; we free likewise ourselves from detailing the Fig. 4 > 5 , 8 and 9, because one can see what we hâve said nrs 37 and 38. The Fig, 10 is, as the second of the plate tenth, an exercise to draw an élévation over a plan ; but we observe there that on account ofthe placing of the drawing over th eE telon, one says practically that the said drawing Fig. 10,
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- - transposé, parce que c’est une élévation qui n’est pas
  - placée au-dessus de son plan. |
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  - !
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  - La largeur de chacune des courbes, Fig. 4 et 8, a été établie par des lignes d’à-plomb et de niveau, comme il a été expliqué au n° 3g pour la Fig. 2 de la planche II ; et la projection, Fig. 8 du limon A, forme une bordure plus étroite que celle du limon B , Fig. 4* Fn considérant toutefois que ladite largeur de bordure doit être prise perpendiculairement à chacune des arêtes rampantes desdits limons, quelques praticiens, après avoir formé la surface plano-hélicoïde supérieure, mettent chaque courbe de largeur avec l’outil nommé trusquin ; ou, ce qui y équivaut, en faisant des traînées avec une même ouverture de compas. Cette manière d’opérer n’est qu’une manipulation précipitée , qui n’atteint que désavantageusement le but désiré, de rendre égale la largeur des deux bordures (22); parce quelle donne, à la surface de plafond , une inclinaison choquante par rapport à l’horizon ; la raison demande donc de modifier ce procédé ; et pour cela , nous proposons la méthode qui suit.
  - 61. La Fig. 11 , qui est une portion de la Fig. 1, contient seulement deux surfaces de giron entre les traces rayonnantes des trois pas de marches ad , be , cf, mais prolongées sur les projections des limons ; les parallèles g j, h k, i 1, sont les retombées des cordons. Les arcs de ce plan ont été pratiquement rectifiés au moyen de petites subdivisions ; def a donné dans la Fig. 12 la ligne d l ; a b c a pareillement donné ar; la droite de f est donc l’arête développée de la projection def ; et abc le développement de la projection abc. En établissant les largeurs au trusquin, on aura donc les lignes ghi et j kl pour les arêtes inférieures ; et l’on voit que les deux arêtes supérieures sont de niveau au point b dans la rayonnante à l’axe ; mais que sur la rayonnante sous plafond, les arêtes inférieures diffèrent de la hauteur kh ; on y voit de même les arêtes supérieures de niveau en ad, et les inférieures aussi éloignées du niveau en gj.
  - Pour parvenir à modifier cette excessive différence par un moyen pratique simple , nous avons laissé pour bordure primitive le parallélogramme j dfl; entre les côtés d f, j l, nous avons inscrit un cercle ; nous avons aussi tracé tangentes audit cercle, et parallèlement à la ligne ac, les droites mn, op, qui, substituées à gi et a c, réduisent la différence de niveau sous plafond à kq.
  - A la vérité, les hauteurs de socle subissent alors une différence, mais moins choquante que celle de la surface de plafond; elle est encore diminuée au moyen des retombées des cordons, qui, ne tendant pas au centre, déplacent avantageusement la tangente auxdits cordons, et rendent presque insensible la différence des socles.
  - Planche XIII.
  - La Fig. 1 est le plan d’un escalier à base quarrée , avec un grand palier qui occupe un des côtés , et deux paliers de repos qui occupent les deux autres angles ; le reste contient la répartition des marches. La Fig. 2 montre la marche jumelle et ses parpaings de continuité , plus la partie de limon portant la volute ; une partie du patin d’échiffre, et une tournice d’échiffre. Les Fig. 7 et 8 sont des détails dessinés plus en grand dudit patin, qui est orné de moulures à une de ses arêtes ; sa continuité en retour d’équerre, et son assemblage au milieu du radouci ; les Fig. 5 et 6 contiennent la suite et le contre-profil dudit patin.
  - ( >5)
  - Plànen üben wollen, von erspriesslichem Nutzen seyn: wir bemerken hierbei, dass man wegen der Auftra-gung der Zeichnung auf dem Reissboden, die Yor-stellung in der 10 Fig., in der Kunstsprache eine transponirte Zeichnung nennt, und zwar um des-willen, weil solche einen Aufriss vorstellt, der nicht über seinen Grundriss aufgetragen worden ist.
  - Die Breite einer jeden Wange ist in den Fig. 4 und 8, vermittelst senkrechter und horizontaler Li-nien vorgestellt worden, wie solches bei n° 37, in Betreff der Fig. 2, Tab, XI, erklàrt worden ist; auch bildet die Wange A, Fig. 8, eine schmàlere Einfas-sung als die Wange B in Fig. 4 î wobei wir jedoch bemerken, dass die gedachte Wangenbreite perpen-dicular mit den Wangenkanten genominen werden muss. Einige machen zuerst die spiralformige obéré Flàche , und zeichnen sodann die gleiche Breite einer jeden Wange mit dem Streichmodel, oder was auf eins hinauskommt, durch Linien welche mit der nàmlichen Zirkeloffnung gezogen werden. Durch diese übereilte Verfahrungsweise wird aber der vorgesetzte Zweck, nach welchem man die Breite der beiden Wangenbogen gleichformig machen will, nur sehr unvollkommen erreicht (2 2) ; indem dadurch die Flàche der Treppendecke eine widrige Neigung gegen den Horizont erhàlt. Da nun die Natur der Sache eine zweckmàssige Verfahrungsweise heischt, so stellen wir zu diesem Behufe folgende Méthode auf.
  - 61. Die 11 Fig., welche einen Theil von der 1 Fig. ausmacht, enthàlt bloss zwei Stufenflàchen, und zwar zwischen den stràhlenformigen Linien der drei Stufenlinien a d, b e, c f ; welche aber bis an das àussere Ende der Wangen verlangert sind ; die Parallellinien g j, der Stufen h k, il, sind die Linien zu dem Gesimse. Die Zirkelbogen sind durch Eintheilungen rectificirt worden : aus def, ergiebt sich in der 12 Fig. die Linie d l; aus abc ergiebt sic h gleichfalls a r : die géra de Linie def, ist daher die verstreckte obéré Kantenlinie def; und abc die Yerstreckung von abc. Zeichnet man nun die Breite mit dem Streichmodel, so erhàlt man die Linien ghi und j k l, für die untern Kanten : man sieht auch, das die beiden obern Kanten in dem Punkte b, in der, in der Axe befindlichen strahlen-formigen Linie , von gleicher Hôhe sind ; dass aber auf der, unter der Treppendecke befindlichen strah-lenformigen Linie, die untern Kanten von der Hôhe k h verschieden sind : man sieht ferner, dass die obern Kanten bei a d von gleicher Hohe, und die untern bei g j von ungleicher Hohe sind.
  - Um diesem so grossen Unterschiede durch ein ein-faches Mittel abzuhelfen , ist das Parallélogramme d fl, zuerst als Wangenhohe angenommen, und zwischen den Seiten d f, j l, ein Zirkel beschrieben worden ; die geraden Linien m n, op haben wir mit diesem Zirkel in Berührung, und mit der Linie a c parallel gezogen ; werden dieselben an die Stelle von g i und a c gesetzt, so reduciren sie den Unterschied der Hôhe an der Treppendecke auf k q.
  - Die Wangenhohe leidet dann zwar allerdings einen Unterschied , allein er fàllt nicht so auf, als der bei der Flàche der Treppendecke, und wird überdiss noch durch die Gesimslinien vermindert; denn da diese nicht nach dem Mittelpunkt gerichtet sind , so versetzen sie den Tangent an gedachten Gesimsen , und machen dadurch den Unterschied des Vor-sprungs beinahe unbemerkbar.
  - Tabelle XIII.
  - Die 1 Fig. enthàlt den Grundriss einer viereckigen Treppe , mit einem grossen Ruheplatze, welcher eine von den Seiten einnimmt, nebst zwei andern Ruheplàtzen, welche in der Stiege und in den beiden andern Winkeln angebracht sind ; der übrige Theil enthàlt die Zusammensetzung der Stufen. In der 2 Fig. ist die doppelte Stufe nebst ihrer Fussmauer, ferner der, die Schnecke enthaltende Theil der Wange , wie auch ein Theil der Grundschwelle und ein Untersatzpfosten vorgestellt. Die Fig. 7 und 8 zeigen die vergrôsserte Vorstellung von gedachter Grundschwelle, bei welcher, an der einen Kante, ein Gesims angebracht ist ; ferner die Biegung derselben, welche einen geradeseitigen Winkel bildet, endlich deren Zusammensetzung in der Mitte der Ausglei-
  - is transposed , because it is an élévation which is not laid over its plan.
  - The breadth of each curve, Fig. 4 and 8, has been established by perpendicular, and levelling fines, as it has been explained to the nr 37 for the Fig. 2 of the plate eleventh; and the projection, Fig. 8 of the string-board A, forms an edge narrower than the one of the string-board B, Fig. 4- Considering however that the said breadth of edges must be taken perpendicular to each of the rampant edges of the said string-board; some practisers , after having formed the superior piano - helicoid surface -, place each curve of breadth , with the tool named ( trusquin ) gage ; or, what is équivalent, in draw-ing along with a same opening of compassés. That manner of operating is a mere hastened manipulation , which reachs but disadvanlageously the wished for aim , which is to make equal the breadth of the two edges (22) ; because it gives , to the surface of the cieling, a shocking inclination to the horizon ; it is then needful to modify that manner of proceeding ; and for that, we propose the following method.
  - 61. The Fig. 11 , which is a part of the Fig. 1, contains only two surfaces of [giron) between the half-diametrical délinéations of the three steps a d, b e, c f, but prolonged on the projections of the string-boards ; the parallels gj, hk, il, are the declivities of the mouldings. The arcs of that plan hâve been rectified practically by means of little subdivisions ; def has given in the Fig. 12 the line d l; abc has likewise given ar,-the straight déf is then the unfol-ded edge of the projection def; and abc, the unfol-ding of the projection abc. Establishing the breadths with the trusquin , one shall hâve the fines g h i and j k l for the inferior edges ; therefore one sees that the two superior edges are even to the point b in the half-diametrical to the axis , but that on the half-diametrical under cieling, the inferior edges differ ofthe height kh. One sees likewise the upper edges level in ad, and the inferior ones distant from the level in gj.
  - To modify that excessive différence by a plain practical way, we hâve left for primitive edge, the parallelogram j d fl; between the sides df,jl, we hâve inscribed a circle; we hâve also delineated tangent to the said circle, and parallel to the fine ac, the straight fines mn, op , which substituted to gi, and ac, reduce the différence of the level under cieling to kq.
  - Indeed, the heights of the pedestal undergo then a différence, but less striking than the one of the surface of the cieling : it is yet diminl-shed by means ofthe arched falls of the mouldings, which, leading not to the center, displace advantageously the tangent to the said mouldings, and render almost un-seen the différence of the pedestals.
  - Plate XIII.
  - The Fig. 1 is the plan of a stair-case having a square basis, with a large Ianding-place occupying one of the sides, and two plain ones occupying the two other angles; the remainder contains the répartition ofthe steps. The Fig. 2 shows the twin step, its parpaings of continuity, and the part of the string-board supporting the volute; besides, a part of the patten d’échiffre, and an inclined sablière d’échiffre. The Fig. 7 and 8 are details drawed in a larger compass of the said patten, adorned with mouldings to one of its edges ; its continuity by a square re-turn, and its assemblage in the middle of the curve. The Fig. 5 and 6 include the continuity and the counter-profile of the said patten.
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- - La Fig. 3 est l’élévation de la deuxième rampe : on voit aussi, Fig. 4 , la partie supérieure de la jam-bette d’échiffre, et son assemblage d’about, prêt à mettre dedans. La Fig. 9 est l’élévation du troisième limon ; la Fig. 10 est le premier limon de la deuxième révolution.
  - Les Fig. n , 12 , i3, i4 et i5 sont des détails particuliers, mais dessinés plus en grand , pour indiquer les sortes d’assemblage.
  - Planche XIV.
  - La Fig. 1 est le plan d’un escalier à base quarrée, semblable à celui de la planche XII; et la Fig. 2 en est l’élévation.
  - Planche XV.
  - La Fig. 1 est le plan d’un noyau cylindrique plein d’un escalier en vis S'.-Gille, comme celui qui est dessiné Fig. 1 e ta, planche 8 ; la Fig. 2 , une partie de son élévation, qui montre les décollements des marches qui s’y assemblent.
  - 62. Le tracé du noyau cylindrique est facile, parce qu’on refait déjà quarrément les quatre faces de la pièce de bois, et qu’on trace dans leur milieu des lignes qui correspondent aux traits quarrés des deux bouts, et qui appartiennent d’avance à la surface du cylindre que l’on veut former ; on délarde les quatre arêtes, ce qui lui, donne la forme d’un prisme droit à base octogone ; on y trace encore quatre lignes , et qui sont aussi à la surface du cylindre ; on continue de délarder à 16 , et même à 32 faces , et ensuite on achève la forme cylindrique ; nous supposons encore que le bout inférieur est parfaitement recépé et forme un plan perpendiculaire à l’axe.
  - Un marque successivement sur la surface du cylindre les lignes de pas d’aplomb, et celles de giron de niveau, pour évider les entailles et les mortaises qui doivent recevoir les assemblages au décollement des marches.
  - La Fig. 6 est le plan d’un escalier à base circulaire avec un noyau à jour cylindrique ; les Fig. y, 8,9, 10, 11 et 12 sont les détails des limons et de leurs coupes ; la Fig. 13 montre la partie horizontale dudit limon qui borde le palier d’arrivée. Les Fig. 3, 4 et 5 sont des détails dessinés plus en grand qui montrent les profds des marches, plan, élévation et joint d’about de deux limons, plus la surface du plafond, garnie d’une plate-bande en fer.
  - Planche XVI.
  - Elle est aussi une leçon d’exercice pour dessiner l’élévation d’un escalier à base circulaire; cette élévation , Fig. 2 , est garnie d’une rampe en fer.
  - Planche XVII.
  - La Fig. 1 est une grande cage qui contient quatre escaliers , ayant chacun quatre rampes , ce qui devrait faire seize rampes ; mais le plan n’en contient que quatorze, parce que les troisièmes rampes sont communes chacune à deux escaliers. Quatre pilastres, ornés de socles , bases et chapiteaux, soutiennent le palier commun, qui est au milieu de la cage. La Fig. 3 est une coupe prise sur la ligne AB du plan ; elle montre les pilastres , les coupes des rampes communes , et celles des paliers ; les limons et les rampes de fer, les portes et les joints d’appareil.
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  - Planche XVIII.
  - Elle contient le plan et la coupe d’un des escaliers de la planche précédente, dessiné plus en grand , mais composé de marches massives et sans limons.
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  - chung; die Fig. 5 und 6 enthalten die übrigen Be-standtheile nebst der Verkropfung an der Grund-schwelle.
  - Die 3 Fig. stellt den Aufriss vom zweiten Gelàn-der vor ; in der 4 Fig. sieht man den obern Theil des grossern Untersatzpfosten, dessen Ende mit der Wange verbunden ist. Die 9 Fig. ist der Aufriss von der drittenWange; die 10 Fig. stellt die erste Wange in der zweiten Windung vor.
  - Die Fig. 11, 12, i3, i4 und 15 enthalten beson-dere, und mehr im Grossen ausgeführte Vorstel-lungen von verschiedenen Zusammensetzungen.
  - Tabelle XIV.
  - Die 1 Fig. zeigt den Grundriss einer viereckigen Treppe, deren Gestalt mit der, in der XIII Tabelle enthaltenen Stiege übereinstimmt ; die 2 Fig. stellt den Aufriss derselben vor.
  - Tabelle XV.
  - Die 1 Figur ist der Grundriss von einer cylindri-schen vollen Spindel. Die Treppe, zu weleher sel-bige gehort, ist der, in Tab. VIII, Fig. 1 und 2 , vorgestellten, àhnlich ; der in der 2 Fig. abgebildete Theil des Aufrisses zeigt die Schnitte der Stufen, welche in diese Spindel eiugesetzt werden.
  - 62. Die Zeichnung einer cylindrischen Spindel wird ohne aile Schwierigkeiten bewirkt, indem man bereits vorher die vier Seiten des Holzes viereckig besôhlàgt, und in der Mitte derselben Linien zeich-net, welche mit dem viereckigen Schnitte der bei-den Enden zutreffen, und schon im voraus zu der Flàche des zu verfertigenden Cylinders gehoren : man rundet die vier Kanten ab, woraus ein regulà-res Prisma mit achteckiger Basis entsteht; man ?ieht sodann auf der Grundflàche des Cylinders noch vier Linien; man fahrt mit dem Abrunden bis auf 16 und selbst 32 Seiten fort, und vollendet sodann die cy-lindrische Gestalt ; wobei wir noch errinnern dass sàmmtliche Ecken vollkommen abgerundet und mit der Axe einen vollen Winkel bilden müssen.
  - Die Linien der Stufenhohe werden auf der Flàche des Cylinders vertical, und die der Stufenbreite, horizontal gezeichnet, und darnach die Einschnitte und Zapfenlocher zhr Einsetzung der Stufen ge-macht.
  - Die 6 Fig. stellt den Grundriss einer zirkelrunden Treppe, nebst der cylindrischen Treppenoffnung vor; in den Fig. 7, 8, 9, 10, 11 und 12, sind die Wangen und ihre Durchschnitte abgebildet; die i3 Fig. zeigt den horizontalen Theil der Wange an, welche an die Vorplatzstufe stosst. Die Fig. 3, 4 und 5, sind Zeichnungen nach einem grossern Masstabe; sie enthalten die Profile von den Stufen, den Plan , Aufriss und Verbindung der zwei Wangen mit ihren Enden; ferner die Flàche der mit einer eisernen Schiene versehenen Treppendecke.
  - Tabelle XVI.
  - Diese Tabelle ist ebenfalls ein Muster, wornach man sich im Aufrisse einer Treppe mit zirkelrun-der Basis, üben kan. In der 2 Fig. ist dieser Aufr riss mit einem eisernen Gelànder versehen.
  - Tabelle XVII.
  - Die 1 Fig. enthàlt ein grosses Treppenhausmit vier Treppen, deren jede mit vier Gelàndern versehen ist; wornach alsosechzehn Gelànder herauskommen. Der Grundriss enthàlt aber nicht mehr als vierzehn, indem das dritte Gelànder jedesmahl fiir zwei Treppen be-stimmt ist. Vier, mit Sockeln, Sàulenfüssen und Capitàlern versehene Pilaster tragen den gemein-schaftlichen Ruheplatz, weleher sich in der Mitte des Treppenhauses befindet. Der Durchschnitt in der 2 Fig, ist von der Grundflàchenlinie A B genom-men ; man sieht daselbst die Pilaster, Wangen, eisernen Gelànder, Thüren und angebrachten Verzie-rungen. \
  - Tabelle XVIII.
  - In dieser Tabelle ist der Grundriss und Durchschnitt einer, von den in vorstehender Tab. enthaltenen Treppen, nach einem vergrosserten Mass-
  - The Fig. 3 is the élévation of the second balustrade : one sees also, Fig. 4» the superior part of the count-timber déchiffre, and its abutment-assemblage , ready to be fitted in. The Fig. 9 is the élévation of the third string-board ; the Fig. 10 is the first string-board of the second révolution.
  - The Fig. 11 , 12, i3, 14 and i5, are parlicular details, but drawed in a larger compass, to indicate the kinds of assemblage.
  - Plate XIV.
  - The Fig. 1 is the plan of a stair-case having a square basis, similar to the stair-case of the PI. XIII; the Fig. 2 is its élévation.
  - Plate XV.
  - The Fig. 1 is the plan of a full cylindrical spindle of a stair-case, having nuels Sf-Gille, as the one drawed Fig. 1 and 2„ PI. VIII; the Fig. 2 is a part of its élévation, which shows the décollements of the steps joined to it.
  - 62. The délinéation of the cylindrical spindle is easy, because one makes a second time square, the four faces of the piece of timber, and that one de-lineates in their middle, lines corresponding to the square draughts of the two ends, belonging already to the surface of the cylinder which one desires to form : one cuts square the four edges, which gives the cylinder the form of a straight prism having an octangular basis ; one draws again four lines to the surface of the cylinder ; one continues the cut-ting square of the edges, till 16 , and even 32 faces, and afterwards one ends the cylindrical form : yet we suppose that the inferior extremity is perfectly lopped, and forms a plan perpendicular to the axis.
  - One marks successively on the surface of the cylinder the lines of the steps perpendicular, and those of the [giron) level, to hollow out the notches and the mortises which are to receive the assemblages to the décollement of the steps.
  - The Fig. 6 is the plan of a stair-case having a circulary basis with a cylindrical open spindle : the Fig. 7,8,9, 10,11 and 12 , are the details of the string-boards, and of their sections : the Fig. i5 shows the horizontal part of the said string-board, which borders the landing-place. The Fig. 3, 4 and 5, are the details drawed in a larger compass show-ing the profiles of the steps, of the plan, élévation and abutment-joint, of two string-boards ; besides, the surface of the cieling, trimmed with an iron plat-band.
  - Plate XVI.
  - It is also a lesson of exercise to draw the élévation of a stair-case having a circular basis ; that élévation, Fig. 2 , is trimmed with an iron flight.
  - Plate XVII.
  - The Fig. 1 is a large cage including four stair-cases, each of which having four balustrades, which ought to make sixteen in ail ; but the plan com-prehends but i4, because every third flight is com-mon to two stair-cases. Four pilasters adornedwith pedestals, hasis.and chapiters , support the landing-place common, which is on the middle of the cage. The Fig 3 is a cutting taken over the line AB of the plan : it shows the pilasters, the sections of the flights common, and those of the landing-pîaces; the string-hoards and the iron-railings, the doors and the préparative joints.
  - Plate XVIII.
  - It contains the plan and the section of one of the stair-cases of the precedent plate , drawed in a larger compass, but composed of massive stones without
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- - La Fig. 1 montre le solivage des paliers ; elle fait voir aussi que les marches des deux premières rampes sont scellées seulement à un de leurs bouts ; mais que celles des troisième et quatrième rampes n’ont point de scellement. A la Fig. 2 , on voit les têtes des marches de la première rampe avec moulure contre-profdée , et l’épaisseur de la plate-hande en fer, qui est encastrée dans le bois , et fixée aux marches avec des vis à tete fraisée ; ensuite, le plafond de la seconde rampe , où la platé-hande est vue sur sa largeur, et le palier de repos vu en coupe ; c’est ce palier qui soutient les marches de la rampe commune. Ces marches sont vues en coupe , et appuyées au châssis de solivage du palier-milieu , sur lequel on doit arrêter solidement le bout des plates-bandes en fer, pour empêcher la vibration de cette grande volée, qui contient onze marches, outre la palière ; on voit aussi la partie supérieure des pilastres, et ses liens cintrés. La Fig. 3 montre le profil ou tête des marches de la deuxième rampe , dont on voit seulement le plafond à la Fig. 2.
  - La Fig. 4 est un aspect de marches ; on y voit leur plafond, garni d’une plate-bande en fer. La Fig. 5 est un autre aspect qui montre des marches garnies de boulons et de plates-bandes.
  - 63. Les Fig. 6 et 7 sont des détails particuliers de barreaux de rampe en fer , dits isolés , avec supports terminés en patère. A la Fig. 6, on voit le bout du support, qui forme une double plinthe sous la base du barreau qui le traverse ; l’écrou qui est dessus est façonné en pomme de pin, et la patère y est vue de face ; on voit à la Fig. 7 la saillie du support et le profil de la patère.
  - Les Fig. 8 , 9 et 10 sont aussi des détails de barreaux de rampe en fer , dits à empâtement. On voit, Fig. 8, la surface supérieure des pâtes encastrées et vissées à fleur de la surface du giron de la marche; à la Fig. 9, on voit le bout de la pâte ; et à la Fig. 10, sa saillie.
  - Planche- XIX.
  - Elle contient le plan et l’élévation d’un escalier à hase octogone. La Fig. 1 montre le plan des quatre gros murs, qui ont chacun une baie de passage ; et les quatre murs en pan coupé, avec chacun une niche cintrée ; une galerie occupe une portion de la surface , forme un libre passage inscrit dans le périmètre de la base , et donne aussi la forme octogone au pourtour extérieur de l’escalier ; mais son noyau à jour est cylindrique. Huit colonnes, aux angles du polygone, sont les supports des rampes , qui forment deux escaliers sur une même hase. La répartition de leurs marches a été faite sur la ligne de giron circulaire.
  - La Fig. 2 montre l’élévation des deux escaliers , garnis de rampes en fer; celles des colonnes , des niches, des portes , etc. , et la coupe des planchers , des galeries et des appartements attenants.
  - Planche XX.
  - Elle contient le plan et les détails de l’escalier octogone de la planche 18; mais dessinés plus en grand. La Fig. 1 est le plan d’une révolution entière , composée de 31 marches et du palier d’arrivée. La Fig. 2 est un dessin transposé qui montre la hauteur de la première marche, la crémaillère courbe au-dessus, et les deux crémaillères d’entre les trois premières colonnes. La Fig. 3 montre la deuxième crémaillère courbe ; et la Fig. 4 > la crémaillère droite entre la quatrième et la cinquième colonne ; la Fig. 5 , la cré-
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  - stabe abgebildet; die Stufen sind aber aus einem einzi-gen Stücke Holz, und ohne Wangen. Die 1 Fig. zeigt die, zu den Ruheplatzen nothigen Ruhebankwechsel; auch sieht man ferner darin, dass die Stufen der zwei ersten Laufe, bloss mit einem Ende, die des dritten und vierten Laufes aber gar nicht in die Mauer odeê Wand eingesetzt sind. In der 2 Fig. sehen wir an dem ersten Laufe, die mit verkropftem Gesimse versehenen Enden der Stufen, so wie die Di-cke des eisernen, ins Holz eingelegten Bandes, wel-ches durch Schrauben mit versenkten Kopfen an die Stufen befestigtist; ferner die Treppendecke an dem zweiten Laufe, woselbst das eiserne Band seiner Lange nach zu sehen ist, und endlich den Durchschnitt des Ruheplatzes, wèlcher die Stufen der gemein-schaftlichen Laufe tragt. Diese Stufen , welche in ih-rem Durchnitte dargestelltsind, werden an das, zum mittlern Ruheplatze gehorige Wechselgebàlk be-festigt; daran muss auch das Ende der eisernen Bander gehorig befestigt, und dadurch das Ausein-anderweichen dieser grossen Windung , welche aus-ser den Ruheplatzen , eilf Stufen enthalt, verhütet werden : auch sieht man daselhst den obern The il der Pilaster , nebst ihren geschweiften Bügen. In der 3 Fig. erscheint das Profil oder Ende der Stufen, an dem zweiten Laufe , von welchem man in der 2 Fig. bloss die Treppendecke (Plafond) sieht.
  - Die 4 Fig. enthalt eine Ansicht von Stufen , de-ren untere Seite mit einem eisernen Bande versehen ist. Die 5 Fig. zeigt eine andere Ansicht von Stufen, welche mit Schrauben, und eisernen Bandera befestigt sind.
  - 63. In den Fig. 6 und 7 sind eiserne Gelander-stabe, deren Trager mit Scheiben versehen sind, vorgestellt. In der 6 Fig. ist das Ende des Tragers zu sehen; es bildet am Fusse des Stabes, welcher hindurchgeht, ein doppeltes Fussgestelle ; die da-runter befindliche Schraubcnmutter hat die Gestalt eines Fichtenzapfens ; die Scheibe ist von vorn zu sehen : in der 7 Fig. ist der Vorsprung des Tragers, so wie das Profil der Scheibe oder Rosette vorgestellt.
  - Die Fig. 8, 9 und 10 enthalten ebenfalls Vorstel-lungen von eisernen , auf Blattern ruhenden Gelan-derstaben ; die 8 Fig. zeigt die obéré Flache dieser schwalbenschwanzformigen Blatter ; sie sind in die Stufen horizontal eîngelassen und mit Schrauben befestigt ; in der 9 Fig. sehen wir die Ansicht des Blattes, und in Fig. 10 den Vorsprung, oder die Seiten-ansicht.
  - Tabelle XIX.
  - In dieser Tabelle ist der Grand- und Aufriss einer achteckigen Treppe abgebildet. Die Fig. 1 enthalt den Plan von vier dicken Hauptmauern, von denen eine jede mit einer zum Durchgange hestimmten Oeffnung versehen ist ; ferner die vier , zur Bildung des Achtecks nothigen Mauern , allwo in jeder der-selben eine Nische angebracht ist ; auf einem Theile des Raumes befindet sich eine Gallerie , welche auf dem Umkreise der Grundflache einenfreien Umgang offen lasst, und dem aussern Umfange der Treppe zugleich die achteckige Gestalt mittheilt; die Trep-penoffnung aber ist zirkelrund. Acht in den Win-keln des Polygons aufgestellte Saulen, tragen die Gelander , welche zwei Treppen auf der namlichen Grundflache umgeben. Die Stufen sind nach der zirkelrunden Stufenlinie eingetheilt worden.
  - Die 2 Fig. zeigt den Aufriss von zwei mit,eisernen Gelandern versehenen Treppen, so wie d^n Aufriss der Saulen , Nischen, Thüren , u. s. w<; endlich den Durchschnitt der Gebalke, Gallerien und der an-stossenden Zimmer.
  - Tabelle XX.
  - Wir finden hier, die mehr im Grossen ausgeführte Vorstellung von der, in der Tab. XIX enthaltenen achteckigen Treppe. Die Fig. 1 ist der Plan von einer ganzen , aus 31 Stufen , und einem Vorplatze zu-sammengesetzten Windung. Die 2 Fig. ist eine trans-ponirte Zeichnung, auf welcher wir die Hohe der ersten Stufe, den gebogenen, auf der ersten Stufe aufge-setzten Stegebaum , und die zwei Stegebaume zwi-schen den drei ersten Saulen sehen. Die 3 Fig. zeigt den zweiten gebogenen Stegebaum , und die Fig. 4?
  - string-boards. The Fig. 1 shows the joists of tho lan* ding-places ; it shows also that the steps of the two first flights are sealed only to one of their extremities; but that those of the third and fourth flight hâve no sealings. One sees, Fig. 2 , the heads of the steps of the first flight with counter-profiled mouldings, and the thickness of the iron-band, fitted in the wood and fixed to the steps with screws ; also, the cieling of the second flight, where the plat- band is seen by its breadth, and the landing-place, by its profile (en coupe) : it is that landing-place which supports the steps of the balustrade common. Those steps are seen by their profiles, and leaned upon the frame of the joists oi the middle landing-place, over which one must fix solidly the extremities of the iron-bands, to prevent the vibration of that long flight, containing eleven steps, hesides the landing one : one sees also the upper part of the pilasters, and its arched bonds. The Fig. 3 shows the profile, or head of the steps of the second flight, whose cieling alone is to be seen Fig. 2.
  - The Fig. 4 is a view of steps : one sees their cieling, trimmed with an iron-band. The Fig. 5 is another view , which shows steps trimmed with bolts and iron-bands.
  - 63. The Fig. 6 and 7 are particular details of the iron rails, called lonely, with supports ending in the form of a cup (en patère). One sees, Fig. 6, the extremity of the support , which forms a double plinth under the basis of the rail which crosses it ; the screw which is over it is worked in the shape of a pine apple, and the (patère ) is seen in front ; one sees , Fig. 7, the jutty of the support and the profile of the (patère).
  - The Fig. 8 , 9 and 10 are also the details of the iron-rails, called (empâtement) base. One sees, Fig. 8, the upper surface of the feet fitted in and screwed close to the surface of the (giron) line of the middle of the step ; one sees, Fig. 9, the extremity of the foot; and its jutty, Fig. 10.
  - Plate XIX.
  - It contains the plan and the élévation of astair-case , having an octangular basis. The Fig. 1 shows the plan of four large walls, having each a bay of passage ; and the four walls with their panes eut, each having an arched niche ; a gallery occupies a part of the-surface , forms a free passage inscribed in the perimeter of the basis, and gives also the octangular shape to the external circumference ofthe stair-case ; but its open spindle is cylindrical. Eight columns , to the angles of the polygon, are the supports of the balustrades, which form two staîr-cases on a same basis. The subdivision of their steps has been made on the circular line of circumference ( de giron ).
  - The Fig. 2 shows the élévation of the two stair-cases , trimmed with iron-balusters ; the élévation of the columns, niches and doors, etc. ; hesides the cutting ofthe floors, galleries and of the appartments next to them.
  - Plate XX.
  - It contains the plan and the details of the octan-gular stair-case of the plate eighteenth, but drawed in a larger compass. The Fig. 1 is the plan ofa whole révolution , composed of 31 step , and of the (landing-place. The Fig. 2 is a transposed drawing, showing the height of the first step, the curved rack (crémaillère ) over, and the two racks between the three first columns. The Fig. 3 shows the second curved rack ; and the Fig. 4 the straight one between the fourth and fifth column ; the Fig. 5 , the curved rack
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- - maillère courbe du palier. Les Fig. 6 et 7 sont les détails des commissures d’about des crémaillères courbes, et de leurs boulons d’assemblage.
  - Les Fig. 8, 9 et 10 sont des détails de construction , dessinés encore plus en grand que ceux qui précèdent. La Fig. 8 montre les moulures et contre-profils de quatre têtes démarchés , le joint et le boulon d’assemblage de deux crémaillères ; la Fig. 9 montre les girons de ces têtes de marches, et les têtes des vis qui les fixent sur la crémaillère; on voit à la Fig. 10 lesdites vis sur leur longueur.
  - Planche XXI.
  - Elle contient le plan et l’élévation d’un escalier exécuté au château de Hohenheim, près de Stutgard, par M. Etzel, maître charpentier.
  - Quatre gros murs, contenant des baies de passage , forment une grande tour quarrée, ou principale enceinte des galeries qui sont à chacun des étages, et de plain-pied avec les appartements.
  - La Fig. 1 montre le solivage de la première galerie , les quatre poutrelles, qui forment un vide quarré, et le plan des quatre colonnes qui soutiennent les poutrelles ; et quoique le vide formé par les galeries soit de forme quarrée, les limons qui soutiennent les marches sont cintrés en plan. Ce même plan contient la répartition des marches de deux révolutions. Au plan de celle qui sert à monter du rez-de-chaussée au premier étage , les marches sont droites et parallèles jusqu’à la neuvième; de là à la vingt-deuxième elles sont rayonnantes, et ensuite elles sont droites et parallèles jusqu’à la trentième qui est celle d’arrivée à la galerie. Arrivé à ce point, on x passe à la portion voisine de la galerie pour se rendre à la trente-unième marche, qui est la première de la seconde révolution.
  - Le plan de cette seconde révolution est composé de limons courbes, de marches parallèles et de marches rayonnantes , semblables à ceux de la première ; seulement , les points de partance et d’arrivée ne sont pas sur le même côté du quarré.
  - La Fig. 2 montre l’élévation de la première révolution ; les limons y sont garnis de rampes en fer. A son arrivée, Fig. 3, on voit le garde-corps à hauteur d’appui, avec plinthe et tablette ornées de moulures. L’élévation de la seconde révolution est aussi garnie de rampes enfer. La troisième révolution, Fig. 4, a aussi son point de partance sur un autre côté du quarré, etc.
  - Les autres figures de cette planche , dessinées plus en grand, montrent des détails particuliers. La Fig. 5 est le plan d’une des colonnes et de sa base , du bout du limon qui s’assemble dans cette base, et celui des bouts des première, seconde et troisième marches ; la Fig. 6 en est une élévation. La Fig. 7 est le plan et l’élévation du chapiteau et des poutrelles ; la Fig. 8, la coupe des planchers de galerie, celle du garde-corps et une partie de son élévation avec arcades à jour. La Fig. 9 montre les profds et ajustements des marches d’arrivée.
  - ' Planche XXII.
  - La Fig. 1 est un plan semblable à celui de la PI. XXI, mais accompagné du tracé particulier de chacun des limons et de leurs coupes. La Fig. 2 est le tracé du limon marqué A au plan, avec jambette et patin d’é-chiffre. Les Fig. 4, 6 et 8 sont pareillement le tracé des limons B, C, D. Les Fig. 3 , 5 et 7 montrent le tracé des coupes, qui sont seulement une ligne droite, mais qu’on peut concevoir façonnées comme à la Fig. 16. Les limons E, F, G, H, sont de même tracés aux Fig. 9 , 11, 13 et 15 ; les coupes y sont aussi tracées droites aux Fig. 10, 12 et 14, mais elles peuvent être exécutées selon le tracé de la Fig. 17.
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  - den géraden zwischen der vierten und fünften Saule. In der 5 Fig. sehen wir den gebogenen Stegeruhe-bankwechsel, und in jden Fig. 6 und 7, die Verbin-dung der gebogenen Stegebâume, nebst den, zu ih-rer Zusammensetzung nothigen Schrauben.
  - In den Fig. 8, 9 und 10, sind die Zeichnungen nach einem noch grbssern Massstabe gefertiget. Die 8 Fig. enthâlt die Gesimsè und Verkropfungen an vier Stufenenden, nebst Zapfen und Schraubezu den zwei Stegebàumen : in der 9 Fig. sehen wir dfe Breite dieser Stufenenden , nebst den Schraubenkôpfen , wodurch sie auf den Stegebaum befestigt werden ; in der 10 Fig. sind diese Schrauben ihrer Lange nach abgebildet.
  - Tabelle XXL
  - Wir sehen hierin den Grund-und Aufriss von einer Treppe, welche im Schlosse Hohenheim bei Stuttgart von dem Baumeister Etzel ausgeführt worden ist.
  - Vier starke Mauern, in denen Oeffnungen zu Durchgângen angebracht sind, bilden einen grossen viereckigen Thurm oder Umkreis zu den Gallerien, welche an jedes Stockwerk stossen, und zu den Zimmern führen.
  - Die 1 Fig. zeigt das Balkenwerk der ersten Galle-rie, ferner die vier kleinern Balken, welche eine viereckige Oeffnung bilden , so wie den Plan der vier Sâulen, wodurch diese Balken getragen werden : ohnerachtet der Raum, den die Gallerien einneh-men, von viereckiger Gestalt ist, so sind dennoch die Wangen , in denen die Stufen befestigt sind, zir-kelformig. Wir sehen ferner die Vertheilung der, in zwei Windungen enthaltenen Stufen. Bei der ersten Windung, auf welcher man aus dem Erdgeschoss ins erste Stockwerk gelangt, sind die Stufen gerade und parallel, bis zur neunten; von dieser bis zur zwei und zwanzigsten sind sie strahlenformig, und sodann wieder gerade und parallel bis zur dreissigsten, auf welcher man zur Gallerie gelangt; von hier geht man an den, an die Gallerie anstossenden Theil, und gelangt sodann zur ein und dreissigsten Stufe, mit welcher die zweite Windung anfângt. •
  - Diese zweite Windung besteht aus gebogenen Wangen, und aus parallelen und strahlenformigen Stufen, wie bei der ersten Windung ; nur dass der An- und Austritt sich nicht auf derselben Seite be-findet.
  - Die 2 Fig. zeigt den Aufriss der ersten Windung : die Wangen sind daselbst mit eisernen Gelândern versehen ; an dem Antritte, Fig. 3 , sieht man das Brustgelânder, dessen Fussgestelle und Auflage mit Gesimsen versehen sind. Der Aufriss der zweiten Windung enthâlt ebenfallsein eisernes Gelânder. Die dritte Windung, Fig. 4, hat ihren Austritt ebenfalls auf einer andern Seite , u. s. w.
  - Die andern, auf dieser Tabelle befmdlichen Figu-ren, sind nach einem grossern Massstabe gezeichnet, und enthalten besondere Vorstellungen von andern Bêstandtheilen. In der 5 Fig. sehen wir den Plan einer Saule, nebst ihrer Basis, so wie das Ende der Wange, welche in das doppelte Fussgestelle dieser Basis eingesetzt wird, ferner die Enden der 1, 2 und 3 Stufe; die 6 Fig. beschreibt einen Aufriss. Die 7 Fig. zeigt den Plan des Knaufs, und der Balken; die 8 Fig. den Durehschnitt des Gallerie-Ge-bâlkes und Brustgelânders , so wie die Ansicht eines Theils des durchbrochenen Brustgelânders ; die 9 Fig. stellt die Profile und Zusammensetzungen der Vorplatzstufen vor.
  - Tabelle XXII.
  - Der in der 1 Fig. befindliche Grundriss stimmt mit dem in der Tab. XXI beschriebenen überein , enthâlt aber ausserdem noch die besondere Vorstel-lung der Wangen und ihrer Durchschnitte. In der 2 Fig. ist die, im Grundrisse mit A, bezeichnete Wange, nebst dem Unterstützungspfosten nnd der Grundschwelle abgebildet ; auf gleiche Weise sind in den Fig. 4, 6 und 8 die Wangen B, C, D, gezeichnet; die Fig. 3, 5 und 7 enthalten die Zeichnungen der Durchschnitte ; selbige sind zwar bloss durch eine gerade Linie angedeutet, man kann sich aber ihre Gestalt, wie in Fig. 16 angezeigt ist, vor-stellen. Die Wangen E, F, G, H, sind ebenmâssig in den Fig. 9, n, i5 und i5 gezeichnet : die
  - ofthe landing-place. The Fig. 6 and 7 are the details of the (abutment-commissures) of the curved racks, and oftheir assemblage-bolts.
  - ;
  - The Fig. 8, 9 and 10 are details of construction drawed in alarger compass than the precedent ones. The Fig. 8 shows the mouldings and counter-profiles of four heads of steps , the joint and the fastening boit of two racks ; the Fig. 9 shows the girons oî those heads of steps , and the heads of the screws whichfix them overthe rack; onesees, Fig. 10, the said screws by their length.
  - Plate XXI.
  - It contains the plan and the élévation of a stair-case executed in the castle of Hohenheim , near Stutgard , by M. Etzel, chief carpenter.
  - Four large walls, containing passage-bays, form a large square tower, or rather a principal inclosure of the galleries of each story, which are even to the appartments.
  - The Fig, 1 shows the joists ofthe first gallery, the foursmall beams, forming a square vacuum, and the plan of the four columns which support the small beams ; though the vacuum formed by the galleries has a square shape, the string-boards supporting the steps, are arched in plan. That same plan contains the subdivision of the steps of the two révolutions. On the plan of the révolution from the ground-floor to the first story, the steps are straight and parallel till the ninth ; from which to the twenty-second they are half diametrical ; and afterwards they are again straight and parallel till the thirtieth which is the Tanding one next to the gallery. From this point, one passes to the neighbouring part of the gallery to reach the one and thirtieth step, which is the first of the second révolution.
  - The plan of that second révolution is composed of curved string-boards, of parallel and half-diame-trical steps , similar to those of the first ; the points only of departure and landing are not on the same side of the square.
  - The Fig. 2 shows the élévation ; of the first révolution; its string-boards are trimmed with iron-railings. To its landing place, Fig. 3, one sees thebaluster (A hauteur d’appui) with a plinth and a shelf adorned with mouldings. The élévation of the second révolution is likewise trimmed with iron-railings. The third one, Fig. 4, has alsoits departure-pointoveranother side of the square, etc.
  - Theother figures of that plate, drawed in alarger compass, show particular details. The Fig. 5 is the plan of one of the columns and of its basis, of the extremity ofthe string board which is joined in that basis and the plan of the ends of the first, second and third steps. The Fig. 6 is its élévation ; the Fig. 7 is the plan and the élévation of the chapiter and of the small beams ; the Fig. 8 , the cuttings of the floors of the galleries , ofthe baluster ( garde-corps) and a part ofits élévation with open vaults. The Fig. 9 shows the profiles and adjustings ofthe landing-steps.
  - Plate XXII.
  - The Fig. 1 is a plan similar to the one of the PI. XXI, but followed by the particular délinéation of each string-board and of their cuttings. The Fig. 2 is the délinéation of the string-board, marked A, to the plan, with count-timber and patten d’échiffre. The Fig. 4> h and 8 are likewise the délinéation of the string-boards B, C, D. The Fig. 3, 5 and 7 show the délinéation of the cuttings, which are only a straight line, but which one may conceive to be formed as in the Fig. 16. The string-boards E, F, G, H, are likewise delineated, Fig. 9,11, i5ând i5: the cuttings are also delineated straight, Fig. 10, 12 and 14, but they can be executed according to the délinéation of the Fig. 17.
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- - La Fig. 18 est un plan, dessiné plus en grand, de deux des limons du noyau à jour; et la Fig. 19 en est l’élévation ; les Fig. 20, 21 et 22 sont le tracé des coupes.
  - Planche XXIII.
  - La Fig. 1 de cette planche est une hase d’escalier ovale , avec un noyau à jour aussi ovale ; cette base contient deux rampes servant à deux paliers qui sont à même hauteur , et qui cependant appartiennent à des appartements particuliers et sans communication.
  - Chaque rampe est composée de vingt et une marches ; leurs queues sont scellées et leurs têtes portées sur des limons. On voit la face et le pas des marches à la rampe qui est vis-à-vis la droite. Le tracé de son premier limon est Fig. 4>* celui du second, Fig. 6; celui du troisième ou de palier , Fig. 7 ; et celui de leurs coupes d’about, Fig. 3 et 5. L’autre rampe montre son plafond ; le tracé de ses limons se voit Fig. 9, 11 et 12; et les Fig. 8 et 10 en sont les coupes.
  - La Fig. 2 contient les élévations des deux escaliers ; on y voit les limons garnis de rampes en barreaux de fer.
  - Planche XXIV.
  - Quand il est impossible de percer des jours latéraux pour éclairer une cage circulaire , et qu’elle ne peut recevoir de lumière que par une ouverture réservée dans le toit, on donne au noyau à jour de l’escalier la forme d’un cône tronqué renversé * afin que la lumière directe puisse éclairer au. moins la portion dont chaque marche d’une révolution anticipe vers l’axe sur celles de la révolution supérieure , qui sont alors nécessairement plus courtes. Gela produit un effet beaucoup plus considérable qu’on ne le croirait d’abord ; car, sur chaque marche, il arrive de la lumière directe, excepté dans la portion qui est au-delà d’une ligne oblique menée par l’arête inférieure du limon qui lui correspond dans la révolution supérieure , et par le bord opposé de l’ouverture du toit. Les praticiens désignent cette disposition particulière parle nom Escalier à entonnoir. On conçoit sans peine que dans ce cas, la projection horizontale du limon sera une spirale qui aura autant de révolutions que l’escalier doit en avoir lui-même ; de* manière que dans chacune des séries de marches dont l’escalier sera composé, chaque collet s’écartera successivement de l’axe, plus que le collet précédent, d’une quantité constante, si tous les pas ont même hauteur.
  - Lorsque le noyau à jour est cylindrique, la surface extérieure du limon suit si exactement la forme du cylindre inscrit, qu’une ligne verticale qu’on appliquerait à un point de cette surface , la toucherait exactement dans la totalité de la hauteur de l’escalier , de quelque nombre de révolutions qu’il fût composé. Ainsi, pour avoir le même degré de perfection, il faut que la surface extérieure du limon d’un escalier à entonnoir suive exactement la forme du cône même dans les parties horizontales qui ont nécessairement lieu aux paliers; et qu’une ligne d’apothême qu’on appliquerait à un point de cette surface, la touche exactement dans toute la hauteur de l’escalier. Le cas le plus fréquent, où l’escalier contient des paliers, présentant des difficultés pour le tracé de l’ételon, dans le moyen mécanique que les praticiens ont coutume d’employer, nous avons fait usage d’un moyen auxiliaire dont voici le détail.
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  - Les Fig. 1 et 8 sont respectivement les descriptions horizontale et verticale d’un escalier à entonnoir dans une cage circulaire , ayant à chaque étage un palier
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  - Schnitte sind daselbst ebenfalls gerade vorgestellt, wie in den Fig. 1 o, 12 und i4; allein sie konnen nach Massgabe der in der 17 Fig. enthaltenen Zeichnung ausgeführt werden.
  - Die 18 Fig. ist der mehr im Grossen gezeichnete Plan von den zwei Wangen an der Treppenbffnung , wovon die 19 Fig. den Aufriss vorstellt; die Fig. 20, 21 und 22 enthalten die Schnitte oder Fugen.
  - Tabelle XXIII.
  - Die erste Fig. zeigt den Grand einer ovalen Treppe, nebst ebenfalls ovaler Treppenbffnung ; diese Stiege enthàlt zwei Làufe, welche zu zwei gleich hohen Ruheplàtzen führen ; diese Ruheplàtze gehoren zu besondern, in keiner Gemeinschaft mit einander stehenden Zimmern.
  - Jeder Lauf oder Windung besteht aus ein und zwanzig Stufen, welche mit dem einen Ende in die Mauer, und mit dem andern in die Wangen einge-lassen sind. Man sieht die vordere Seite und den Auf-tritt der Stufen an diesen einander gegen über stehenden Làufen. Die Zeichnung der ersten Wange ist in Fig. 4î die der zweiten in Fig. 6; die der drit-ten, oder des Ruheplatzes in Fig. 7 ; und die der Schnitte in den Fig. 3 und 5 enthalten. Der andere Lauf zeigt die Treppendecke ; in den Fig. 9, 11 und 12, sind die dazu gehorigen Wangen, und in den Fig. 8 und 10 die Schnitte derselben zu sehen.
  - In der 2 Fig. sind zwei Treppen im Aufrisse ab-gebildet : man sieht daselbst die Wangen, welche mit einem, aus eisernen Stàben zusammengesetzten Gelànder versehen sind.
  - Tabelle XXIV.
  - Lassen sich zur Erhellung eines zirkelrunden Treppenhauses keine Oeffnungen an den Seiten an-bringen , und muss um diesem Mangel abzuhelfen, das Licht durch eine im Dache angebrachte Oeff-nung eingelassen werden, so giebt man der Treppenbffnung die Gestalt eines umgekehrten abgekürz-ten Regels, damit das unmittelbar eindringende Licht in der untern Windung wenigstens den Theil der Stufen erhelle, welcher sich dem Mittelpunkte mehr nàhert als die Stufen der obéra Windung, wo solche nothwendiger Weise kürzer sind. Die Wir-kung, welche dadurch hervorgebracht wird, ist stàrker als man vermuthen sollte; denn auf jede Stufe fàllt das Licht unmittelbar herab , ausgenom-men den von der Axe am meisten entfernten Theil. In der Praxis wird diese Art von Treppen trichter-formige, oder Trichtertreppen genennt. Man wird diesem zu Folge leicht abnehmen , dass die horizontale Vorstellung der Wange eine spiralformige Linie, mit ebensoviel Windungen bildet, als deren in der Treppe selbst enthalten sind , so dass in jeder Reihe Stufen, aus denen die Treppe zusammengesetzt ist, ein jeder Stufenhals sich einer nach dem andern, immer mehr von der Axe entfernt als der vorher-gehende , und zwar nach einer bestimmten Anzahl, in so fera sàmmtliche Tritte einerlei Hohe haben.
  - Ist die Treppenbffnung cylindrisch, so richtet sich die àussere Wangenflàche so genau nach der be-schriebenen cylindrischen Form, dass wenn man eine verticale Linie an dieser Wangenflàche an-bràchte, dieselbe diese Flàche die ganze Treppen-hbhe hinauf, genau berühren würde , mochte auch die Stiege aus noch so vielen Windungen bestehen. Um nun ein und dasselbe Ebenmass die "ganze Hohe hinauf zu erhalten , muss die àussere Wangenflàche einer trichterformigen Treppe sich genau nach der Form des Regels richten, und zwar selbst mit bei den horizontalen Theilen , was bei den Ruheplàtzen der Fall ist; so dass eine an dieser Flàche angebrachte perpendiculàre Linie, diese Flàche genau die ganze Treppenhohe hinauf berühren muss. Da es sehr hàufig der Fall ist, dass wenn die Treppe Ruheplàtze enthàlt, der mechanischen Zeichnung des Reissbodens sich Schwierigkeiten in den Weg legen, so haben wir zn deren Beseitigung folgendes Hülfsmittel aufgestellt.
  - Die Fig, 1 und 8 enthalten die horizontale und verticale Beschreibung einer trichterformigen Treppe, mit zirkelrundem Treppenhause, woselbst bei jedem
  - The Fig. 18 is a plan, drawed in a larger com-pass, oftwo ofthe string-boards ofthe open spindle; the Fig. 19 is their élévation; and the Fig. 20, 21 and 22, are the délinéation of the cuttings.
  - Plate XXIII.
  - The Fig. 1 of that plate is the basis of an oval stair-case , with an open spindle also oval ; that basis contains two flights belonging to two landing-places having a same height, and which however belong to private appartments without any communication.
  - Each flight is composed of twenty one steps; their dove-tails are sealed and their heads supported by string-boards. One sees the front and the pace of the steps to the flight opposite the right. The délinéation of its first string-board is Fig. 4 ’> that ofthe second, Fig. 6; that of the third or of the landing-place, Fig. 7 ; and that of their abutment-sections, Fig. 3 and 5. The other flight shows its cieling; the délinéation of its string-boards; is to be seen Fig. 9, 11 and 12 ; and the Fig. 8 and 10 are their cuttings.
  - The Fig. 2 contains the élévations of the two stair-cases, whose string-boards are trimmed with flights with iron-railings.
  - Plate XXIV.
  - When it is impossible to pierce latéral spâces to light a circular cage; when it receives light but by an opening kept in the roof, one gives to the open spindle of the stair-case, the shape of an over-turned lopped cône, in order that the direct light might fall at least on the part of each step of a révolution, which anticipâtes towards the axis over the steps ofthe upper révolution, which are then necessarily shorter. Which produces an effect much more con siderable that one would hâve expected ; for, the light falls difectly over every step , except in the part which is beyond an oblique line lead by the inferior edge ofthe string-board corresponding to it in the upper révolution, and by the opposite brim of the opening of the roof. Practisers design that peculiar disposition by the name of funnel-like stair-case (escalier à entonnoir'). It is easy to conceive that in that case, the horizontal projection of the string-board shall be a spiral, which shall hâve as many révolutions as the stair-case itself; so that, in each sériés of steps, composing the stair-case, each ( collet ) shall swerve successively from the axis, more than its precedent, of a constant distance, if ail the steps hâve a same height.
  - When the open spindle is cylindrical, the external surface of the string-board follows so exactly the form of the inscribed cylinder, that a vertical line , applied to a point of that surface, would touch it exactly in the whole height ofthe stair-case, whatever might be the number of révolutions composing it. So, to hâve the same degree of perfection, the external surface of the string-board of a funnel-like stair-case must folhnv exactly the shape of the cône even in the horizontal parts required to the landing-places; so that a line ( d'apothème) applied to a point of that surface, might touch it exactly in the whole height of the stair-case. In the case which occurs the often-est, where the stair-case contains landing-places, presenting difficulties for the délinéation of the éte-lon, in the mechanical means, employed usually bh practisers we hâve made use of an auxiliary way ; whose detail follows.
  - The Fig. 1 and 8 are respectively the horizontal and vertical descriptions of a stair-case à entonnoir, in a circular cfige, having to each story a landing-
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- - qui sert à deux baies de portes. Par le centre C du grand cercle AEBD, on a d’abord tracé la ligne d’axe D C c d, commune aux deux figures, et sa perpendiculaire a b qui les sépare. Ensuite sur cette dernière on a marqué le diamètre ef de la section qui tronque le cône à rez-de-chaussée , et le diamètre g h de la section qui doit avoir lieu à la hauteur de la surface supérieure du palier du premier étage, sur une autre perpendiculaire à l’axe , prise elle-même à hauteur de l’étage. Les lignes e g, fh sont ainsi les apothèmes du cône tronqué que doit former le noyau à jour ; et en portant ensuite l’épaisseur du limon de e f, g h en k j, 1 i ; puis divisant en deux parties égales ak, b j, rl, qi, en n ,o, p, m , les lignes ij, kl sont les apothèmes de la surface conique intérieure des limons, et n m , o p ceux du cône que doit former la ligne de giron.
  - Pour tracer la spirale de giron, on a divisé en un même nombre départies égales (28 dans cet exemple) la hauteur d’étage, d’une part, et de l’autre, la circonférence de la base, à partir d’un point voisin de celui où doit être placée la première marche ; et par ces points de division, l’on a mené, Fig. 8, des horizontales ia,zb, 3c, l\d, etc., qui sont ainsi en progression arithmétique , et Fig. 1 des rayons C 1, C 2, C 3, C 4 * etc. Sur chacune des rayonnantes du plan, on a porté l’horizontale correspondante de l’éléva tion, 1 a de C en a', 2 6 de C en b', 3c de G en c', etc. Il est évident que la courbe qui passe par tous les points a', 6', c', d!, etc. , est une spirale parfaitement régulière, au moyen des divisions qui sont appliquées sur l’arc occupé par le palier ; aussi bien que sur l’arc occupé par les marches.
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  - , C’est sur cette spirale qu’a été faite la répartition des marches , en la divisant en parties égales depuis le point 1' pris au-delà de la baie de porte où a été placé le point D , jusqu’au point 21', arrivée du palier pour passer à la baie voisine du point B, ou à celle qui est au-dessus du point D. La vingt-deuxième marche qui commence la seconde révolution, a été fixée de même au point 22', près de cette dernière baie ; ce qui montre que le palier occupe plus du quart de la circonférence.
  - Dans ces sortes d’escaliers, les praticiens ont coutume de diriger les marches au centre de la base ; mais si elles étaient normales à la courbure du limon , qui doit être aussi une spirale, elles seraient d’un meilleur effet. C’est aussi le genre d’escaliers où il conviendrait le mieux d’employer les marches avec moulures contre - profilées , à cause de la difficulté d’exécuter des limons parfaits de cette forme. D’ailleurs , quand bien même on aurait atteint dans la confection et au levage, le degré de perfection désiré, l’effet des plâtres, le dessèchement des bois, quelque tassement, etc., doivent amener des irrégularités qui détruiraient le succès des soins qu’on aurait donnés à la manipulation.
  - Pour tracer les projections tant horizontales que verticales du limon, après avoir tracé au plan les arêtes des marches 1', 2', 3', etc., et à l’élévation, partagé la hauteur d’étage en hauteurs de pas aux points 1', 2', 3', etc., et mené par chaque point de division une horizontale pour chaque marche, qui coupe les obliques e g, kl; on marquera encore par d’autres horizontales pour chaque marche , la hauteur de socle en dessus, et en dessous la hauteur de ressocle , déduites l’une l’autre de la coupe relative à cette marche, telle qu’on en voit Fig. 2 , 4 et G. Alors, les distances de l’axe c d aux intersections des
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  - Stockwerke ein Ruheplatz zum Eingange in die Zim-mer dicnt. Durch den Mittelpunkt C , des grossen Zirkels AEBD, ist die Axen-Linie D C c d, welche beiden Figuren gemeinschaftlich ist, und sodann ihre Perpendicularlinie a b , welche selbige von ein-ander sondert, gezogen worden. Auf dieser letzteren ist hierauf der Diameter e f des Durchschnitts, wel cher den Kegel im Erdgeschoss abkürzt, so wie der Diameter g h, desjenigen Durchschnittes gezeichnet worden, welcher auf der Hohe der am ersten Stockwerke befindlichen Ruheplatzflâche und zwar auf ei-ner andern in der Axe befindlichen Perpendicularlinie Statt hat, wobei die Axe selbst in der Hohe des Stockwerks genommen ist. Die Linien e g, f h, sind demnach die Seitenlinien des abgekürzten Regels , den die Treppenoffnung vorstellen soll ; und wenn man sodann die Dicke der Wangen von e f, g h, nach k j, 1 i, bringt, und a k, b j, r 1, q i, in n, o, p, m, in zwei gleiche Theile theilt, so sind die Linien i j, k 1 die Seitenlinien fur die conische innere Wan-genflâche , und n m, o p, die der conischen Stufen-linie*.
  - Um die spiralformige Stufenlinie zu zeichnen, hat man einerseits die Hohe des Stockwerks, und an-drerseits die Circumferenz der Grundflâche, in eine übereinstimmende Anzahl gleicher Theile ( in ge-genwàrtigem Exempel 28 ) getheilt, wobei man von einem Punkte ausgeht, welcher sich nahe an dem befindet,wo die erste Stufe angelegt werden soll. Durch diese Theilungspunkte sind in Fig. 8, die ho-rizontalen Linien 1 a, 2 6, 3 c, 4 d, etc., welche sich sonach in arithmetischer Progression befinden, und in Fig. 1, die Radii C 1, G 2, C 3, C 4» etc., geführt worden. Auf jeder im Plane befindlichen strahlen-formigen Linie ist die correspondirende horizontale Linie des Aufrisses, 1 a von C nach a', 2 b von G nach 6', 3 c von C nach c', etc., getragen worden. Es ist ausser allen Zweifel, dass vermitteltst der Theilun-gen welche sowohl an der Rundung des Ruheplatzes, als auch an der Rundung der Stufen Statt haben, der Bogen, welcher durch die Punkte a', b', cd', etc. geht, eine vollkommen regelmâssige Spirallinie bildet.
  - Nach dieser Spirallinie hat die Eintheilung der Stufen dadurch Statt gehabt, dass selbige in gleiche Theile getheilt worden sind , und zwar von dem Punkte l'an, welcher jenseits der Thüroffnung, wo der Punkt D gezeichnet ist, genommen worden ist, bis zum Punkte 21', oder dem Antritt zum Ruhe-platze, worauf man theils zu der in der Nahe des Punktes B, theils zu der über dem Punkte D befindlichen Thüroffnung gelangt. Die 2 2tc Stufe , mit welcher die zweite Windung anfangt, ist gleicher-gestalt bei dem Punkte 22', und nahe an dieser letz-tern Thüroffnung angesetzt worden ; woraus sich er-ergiebt, dass der Ruheplatz mehr als ein Viertel von der Gircumferenz einnimmt.
  - Bei dieser Art von Treppen pflegen die Baumei-ster die Stufen nach dem Mittelpunkte zu richten ; die Wirkung würde aber noch besser seyn, wenn selbige mit der Biegung der Wange, welche eben-falls eine spiralformige Linie bilden soll, überein stimmend wâren. Auch würde es zweckmâssiger seyn, wenn man die Stufen bei diesen Treppen mit verkropften Gesimsen versâhe, weil es stets mit Schwierigkeiten verbunden ist, wenn man die Wan-sen senau nach dieser Form ausführen will. Und
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  - wenn man auch, bei der Erbauung sowohl als bei dem Aufsetzen die erforderliche Genauigkeiterreicht hâtte, so würde doch die-Wirkung des Gipses, das Eintrocknen des Holzes, und andere Umstânde meh-rere Unregehnâssigkeiten herbeiführen, und den den bezweckten Erfolg vereiteln.
  - Will man die horizontale Yorstellung der Wange sowohl als die verticale zeichnen, und hat man im Plane die Kanten der Stufen 1', 2', 3', etc., gezeichnet, und im Aufrisse die Hohe des Stockwerks bei den Punkten U, 2', 3', etc., in Stufenhôhen abge-theilt, auch durch jeden Theilungspunkt, für jede Stufe eine horizontale Linie, welche die schrâgen Linien e g, k 1, durchschneidet, geführt, so zeichne man noch vermitlelst anderer horizontalen Linien , für jede Stufe die obéré und untere Backenhohe , wobei die eine sowohl als die andere von dem, diese Stufe betreffenden Durchschnitt abgezogen wird ,
  - place, common to two door-bays. By the center C of the large circle AEBD, one has first delineated the axis line DC cd, common to the two figures, and its perpendicular a b which parts them. Then on that last, one has marked out the diameter ef of the section which lops the cône to the ground-floor, and the diameter g h of the section which is to take place to the height of the upper surface of the land-ing-place of the first story, over another perpendicular to the axis, taken likewise fo the height of the story. So the fines eg, f h , are the apotherm of the loped cône which is to be formed b y the open spin die; carrying afterwards the thicknœs of the string-board from e f, g h, in k j, 1 i ; then dividing in two equal parts ak, b j, rl, qi, in n, 0, p, m, the fines ij, kl, are the apothems of the internai conical surface of the string-boards ,* and n m, o p, those of the cône which is to be formed by the fine of giron.
  - To delineate the spiral fine of giron, one has di-vided in a same number of equal parts (28 in this example) the height of a story, on one side; on the other, the circumference of the basis, beginning to a point next to the one where the first step is to be laid; and by those dividing points, one has descri-bed, Fig. 8, the horizontal fines 1 a, 2 b, 3 c, 4 d, etc., G which hâve an arithmetical progression, and Fig. 1, the radiuses C 1, C 2, C3, C 4, etc. Over each half-diametrical fine of the plan, one has carried the cor-responding horizontal one of the élévation, 1 a, from C to a', 2 b, from C to b', 3 c, from C to c', etc. It is évident that the curve passing by ail the points a1, b', c', d', etc., is a spiral fine perfectly regular, by means of the divisions applied over the arc, occupied by the landing-place, and over the one, occupied by the steps.
  - It is on that spiral fine that the subdivision of the steps has been made, in dividing it in equal parts from the point 1' taken beyond the door-bay where the point D has been placed, till the point 21', arrivai of the landing-place to pass to the bay next to the point B, or to the one which is over the point D. The 2 2d step which begins the second révolution, has been fastened likewise, to the point 22', near that last bay ; which shows that the landing-place occupies more than a quarter of the circumference.
  - In those kinds of stair-cases, practisers direct usually the steps to the center of the basis ; but if they were (normales ) to the curvity of the string-board , which must be also spiral, they would hâve a better appearance. It is also the kind of stair-cases where it would be more convenient to employ steps with counter-profiled mouldings, on accountof the difficulties one meets to execute perfect string-boards in that shape. Besides, even, if in the confection and ( levage ), one had reached the wished for degree of perfection; the effect of the plaster, the drying of the timber, some tassement, must b ring unevennesses which would annihilate thesuccessone ought to expect from the cares given to the manipulation.
  - To delineate the horizontal or vertical projections of the string-board, after having delineated to the plan, the edges of the steps 1', 2', 3 r, etc., and divi-ded to the élévation, the height of each story in heights of steps to the points 1', 2', 3', etc., after having besides drawed by each dividing point an horizontal fine for each step, cutting the oblique ones eg, kl; one will still mark by other horizontal fines for each step, the height of the socle, over, and under the height of the foot of the socle (ressocle), deducted both from the cutting relative to the step, such as may be seen, Fig. 2, 4 and 6. Then the dis-
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- - lignes eg, kl, par l’horizontale de socle , étant portées au plan du centre c sur la projection de l’arête , y donneront les projections des points de passage des deux arêtes supérieures du limon au-dessus de cette marche ; et les distances de l’axe aux intersections des mêmes obliques par l’horizontale de ressocle, donneront de même les projections horizontales des deux arêtes inférieures du limon au - dessous de la même marche. L’opération étant faite ainsi pour chaque marche, on joindra par une courbe chacune de ces familles de points qui fourniront ainsi quatre spirales concentriques, dont deux forment la projection de la surface supérieure du limon, et les deux autres celle de sa surface inférieure.
  - Pour former la projection verticale du même limon, Fig. 8, que quelques-uns appellent aussi le dessin géométral, il suffit, pour chaque marche, de renvoyer en élévation par des parallèles à l’axe, les quatre points du plan qui y déterminent le passage des quatre arêtes du limon relativement à celte marche; c’est-à-dire que les intersections de la direction de la marche par les deux spirales qui représentent au plan la surface supérieure du limon, doivent être renvoyées dan» l’élévation sur l’horizontale de socle, établie au-dessus de l’horizontale d’arête de la quantité de recouvrement qu’on veut avoir au - dessus des marches ; et que les intersections de la même direction de marche par les spirales de la surface inférieure du limon, doivent être renvoyées sur^ l’horizontale de ressocle, établie au-dessous de celle d’arête, comme il a été dit, au moyen des Fig. 2,4 et 6. Les quatre courbes que l’on fera passer par chacun de ces quatre sortes de points qui appartiennent à chaque marche , donneront les projections verticales des quatre arêtes du limon.
  - On aura de même les projections verticales des queues des marches visibles, en renvoyant en élévation , Fig. 8 , les points d’intersection de la circonférence de la base par les directions des marches, Fig. 1, chacune sur l’horizontale d’arête qui lui est relative ; en renvoyant de même pour la partie opposée , sur les horizontales de ressocle qui leur sont relatives, les intersections delà circonférence par les directions des autres marches, on aura la projection verticale de l’arête hélicoïde que la portion visible du plafond forme dans la tour creuse.
  - Les Fig. 3 , 5 et 7 sont les tracés particuliers des parties du limon de l’étage, et celles 2, 4 et 6 en sont les coupes d’about.
  - Planche XXV.
  - La Fig. 1 est une base circulaire sur laquelle sont disposés trois escaliers distincts pour monter au même étage, mais arrivant à deux paliers opposés et qui n’ont aucune communication. Deux de ces escaliers sont à la circonférence de la cage et arrivent à hauteur d’étage par une demi-révolution : celui qui est vis-à-vis la droite du spectateur conduisant au palier qui est en face, l’autre conduisant au palier situé sur le point de départ du premier. Ces deux escaliers laissent vide un très-grand noyau à jour circulaire dans lequel est placé le troisième escalier ; lui-même aussi avec noyau à jour de même forme , montant à même hauteur par une révolution entière, et arrivant au même palier que le second. En sorte que par l’une des deux baies de passage que présente la cage, par l’une , on peut monter à volonté à chacun des deux paliers ; mais en entrant dans la cage par l’autre baie , on ne peut monter qu’au palier qui lui est opposé.
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  - wie bei den Fig. 2, 4 und 6, zu sehen ist. Wenn so-dann im Plane die Abstànde der Axe c d bei den Durchsclmittslinien e g, kl, die horizontale obéré Balkenlinie , vom Mittelpunkte c , auf die Vorstel-lung der Kante gebracht worden sind, so geben sie daselbst die Vorstellung der Bestimmungspunkte fur die beiden überf dieser Stufe befindlichen obern Wangenkanten ; und die Abstànde der Axe bei den Durchschnitten der nàmlichen schràgen Linien in die horizontale untere Bakenlinie, geben gleicher-gestalt die horizontale Vorstellung der beiden un-tern Wangenkanten , unter der nàmlichen Stufe. Ist auf diese Art die Operation fiir jede Stufe vol-lendet, so vereinigt man vermittelst eines Bogens diese sàmtlichen Arten von Punkten, welche sol-chergestalt vier concentrische Spirallinien bilden , von denen zwei die Vorstellung der obern Wangen-flàche, uud die beiden andern, die Vorstellung der untern formiren.
  - Will man nach Massgabe der 8 Fig., die verticale Vorstellung derselben Wange zeichnen, welches ei-nige die geometrische Zeichnung nennen, so ist es genug, wenn man fiir jede Stufe die vier Punkte welche im Grundrisse den Bestimmungspunkt der vier Wangenkanten an dieser Stufe ausmachen, vermittelst der daselbst vorgestellten , mit der Axe pa-rallellaufenden Linien, im Aufrisse zeichnet ; das heisst, die Durchschneidungen der Stufenrichtung durch die beiden Spirallinien, welche im Grundrisse die obéré Flàche der Wange vorstellen, müssen im Aufrisse auf die horizontale obéré Stegenlinie gebracht werden, welche über der horizontalen Ran-tenlinie, wodurch die über den Stufen anzubrin-gende Hohe der Backen , oder Bekleidung bestimmt wird, genommen ist ; und die Durchschneidungen der nàmlichen Stufenrichtung durch die Spirallinien der untern Wangenflàche, müssen auf die horizontale untere Trittlinie gebracht werden , welche unter der horizontalen Kantenlinie genommen ist, wie solches aus den Fig. 2, 4 und 6 erhellt. Die vier Bo-gen, welche man durch einen jeden von diesen vier, zu jeder Stufe gehorigen Arten von Punkten zieht, geben die verticalen Vorstellungen der vier Wan-genkanlen.
  - Die verticale Vorstellung der sichtbaren Stufenen-den erlangt man dadurch, dass man nach Fig. 8, die Durchschneidungspunkte des Grundflàchen-Um-kreises durch die Richtungen der Sfufen, Fig. 1, im Aufrisse zeichnet, und zwar eine jede auf der horizontalen Kantenlinie , zu welcher sie gehort : führt man gleichergestalt fur die entgegengesetzte Seite, die Durchschneidungspunkte des Grundflàchen-Um-kreises durch die Richtungen der andern Stufen , auf die dazu gehorigen horizontalen untern Trittli-nien, so erhàlt man die verticale Vorstellung der k spiralformigen Kante, welche der sichtbare Theil der Treppendecke in dem runden Treppenhause bildet.
  - Die Fig. 3, 5 und 7 geben die besondere Vorstellung von den Wangentheilen des Stockwerks; die Fig. 2, 4 und .6, zeigen davon die Schnitte oder Fugen.
  - Tabelle XXV.
  - Die 1 Fig. enthàlt eine zirkelrunde Grundflàche mit drei von einander unterschiedenen Treppen, welche zwar in dasselbe Stockwerk ftihren , wobei man aber zu zwei einander entgegengesetzten , und unter sich in keiner Gemeinschaft stehenden Ruhe-plàtzen gelangt. Zwei von diesen Treppen befmden sich im Umkreise des Treppenhauses , und führen auf einer halben Windung zur Hohe des Stockwer-kes : diejenige welche sich vor der hinaufsteigenden Person zur Rechten befindet, führt zu dem gegen über stehenden Ruheplatze ; auf der andern gelangt man zu dem auf dem Antrittspunkte der ersten Treppe gelegenen Ruheplatze. In der Mitte dieser Treppen hefindet sich eine sehr grosse zirkelrunde Oeffnung, in welcher die dritte Treppe mit einer gleichformigen Oeffnung angebracht ist, und worauf man, auf einer ganzen Windung zu derselben Stock-werkhohe, und zu dem nàmlichen Ruheplatze wie auf der zweiten Treppe gelangt. Gehtman also durch den einen Eingang des Treppenhauses , so kann man nach Belieben zu einem jeden der beiden Ruhe-plàtze gelangen ; geht man aber durch den andern,
  - tances of the axis c d, to the intersections of the lines e g, k 1» by the horizontal line of the socle, being car-ried to the plan from the center c over the projection of the edge, shall give the projections of the passage-points of the two upper edges of the string-board over that step ; the distances from the axis to the intersections of the same oblique lines by the horizontal one of the ressocle, shall give likewise the horizontal projections of the two inferior edges of of the string-board under the same step. That operation being made for each step, one will join by a curve each one of those sériés of points which shall afford thus four concenlrical spiral lines, two of which form the projection of the upper surface of the string -board, and the two other that ofits inferior surface.
  - To form the vertical projection of the same string-board , Fig. 8, called by some geometrical draughl, it is sufficient, for each step, to raise up by parallels to the axis, the four points of the plan which détermine the passage of the four edges of the string-board relatively to that step; that is to say, that the intersections of the direction of the step by the two spiral lines representing on the plan the upper surface of the string-board, must be sent back in the élévation over the horizontal line of the socle, established over the horizontal one of the edge of the quantity of recouvrement, lapping over, required, over the steps; likewise the intersections of the same direction of steps, by the spiral lines of the inferior surface of the string-board, must be sent back too over the horizontal line of the ressocle, established under the horizontal one of the edge, as it has been said, by means of the Fig. 2,4 and 6. The four curves, which one will make pass by each of those four kinds of points, belonging to each step, shall give the vertical projections of the four edges of the string-board.
  - One shall hâve likewise the vertical projections of the dove-tails of the visible steps, in sending back in élévation, Fig. 8 , the intersecting points of the cir-cumference of the basis, by the directions of the steps, Fig. 1, each on its relative horizontal line of edge ; sending back likewise as to the opposite part, over their relative horizontal lines of ressocle, the intersections of the circumference by the directions of the other steps, one shall hâve the vertical projection of the helicoid edge formed by the visible part of the cieling in the hollow tower.
  - The Fig. 3, 5 and 7, are peculiar délinéations of the parts of the string-board of the story, and the Fig. 2, 4 and 6, are its abutment-sections.
  - Plate XXV.
  - The Fig. 1 is a circular basis on which are dispo-sed three distinct stair-cases to ascend a same storv, but ending two opposite landing-places without any communication. Two of those stair-cases are in the circumference of the cage and reach the height of a story by a semi-revolution : the one which is opposite the right hand of the beholder Ieads to the fronting landing - place ; the other to the landing-place situated on the (point de départ) beginning of the first. Those two stair-cases leave empty a very large circular open-spindle in which is placed the third stair-case, having itself an open-spindle of a same shape, going up a same height by a whole révolution, and reaching a same landing-place as the second. So that by one of the two passage-bays of the cage, one can at one’s will ascend to each of the two landing-places ; but if one enters the cage by the other bay, one can walk up but its opposite landing-place.
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- - La Fig. 2 contient les élévations des trois escaliers et la coupe de l’un des paliers. Pour que ce dessin puisse faire voir l’ensemble, on a été obligé d’y supprimer la presque totalité de la moitié antérieure des murs de cage. Par ce moyen, on y voit la face ou le pas des marches du grand escalier que les praticiens disent de gauche ; le plafond de celui de droite ; la face du commencement et le plafond de la fin du troisième, avec les volutes des limons de celui-ci, son patin et sa jambette d’échiffre. On y voit aussi les rampes en fer dont sont garnis les limons de chacun des trois escaliers ; la baie de passage en face ; les joints d’appareil des murs, et enfin le commencement de la seconde révolution.
  - Planches XXVI et XXVII.
  - Les Fig. 1, 2 et 3 sont trois plans semblables à la Fig. î de la vingt-cinquième planche : chacun des trois escaliers est composé de vingt-six marches ; celles des grandes rampes, Fig. î et 2, ont un bout scellé et l’autre assemblé dans un limon; mais à celui de la Fig. 3 , les marches sont soutenues par deux cours de limons.
  - Le tracé du limon A de la Fig. î est développé Fig. 4: on y voit aussi son patin et sa jambette d’é-chiffre. A la Fig. 5 , on voit le tracé du limon B , et à la Fig. 6 , celui du limon de palier C ; leurs coupes d’about sont tracées Fig. 7 et 8. Les limons D , E , sont pareillement tracés aux Fig. 9 et 10; et leurs coupes d’about aux Fig. 12, i3 et 14. Les Fig. i5 , 16 et 11, sont les tracés des limons G, H, et de celui du palier I ; celui de leurs coupes est aux Fig. 17 et 18. Le tracé des limons J, K,L,M,N, est aussi détaillé aux Fig. 19, 20. 21, 22 et 23; celui de leurs coupes est Fig. 24, 25, 26, 27 et 28.
  - Les Fig. 29 et 3o sont des coupes d’abouts dessinées plus en grand'; et la Fig. 3i , un détail particulier du palier.
  - Planche XXVIII.
  - La Fig. 1 est une cage circulaire avec quatre baies de passage diamétralement opposées l’une à l’autre au rez-de-chaussée. (Voyez les abords en K, J, L, Fig. 2.) Sur la base circulaire de cette cage, on a disposé quatre rampes d’escaliers distincts , aussi de forme circulaire, montant tous à la même hauteur d’étage par une demi-révolution , mais arrivant chacun à un des quatre paliers différents attenant les quatre baies I, J, K, L, du premier étage ; en sorte que, malgré leur similitude deux à deux par leurs plans, ces quatre escaliers n’ont aucune communication à leurs points d’arrivée et peuvent faire le service de quatre appartements habités par quatre familles, ou isolés pour tout autre motif. Par sa composition , ce plan permet, en entrant dans la cage par les baies du rez-de-chaussée, de prendre à son choix l’une ou l’autre des quatre rampes, pour monter au premier étage.
  - Deux de ces quatre escaliers sont répartis vers la circonférence de la cage , ont plus de longueur d’em-marchement, plus de giron, et moins de hauteur de pas ; les deux autres occupent la périphérie du grand noyau à jour laissé vide parles premiers, et ont eux-mêmes un noyau à jour aussi circulaire. Ceux-ci étant de dimensions plus petites, ont moins d’em-marchement, moins de giron, et plus de hauteur de pas ; d’où il suit que chacun est composé d’un moins grand nombre de marches.
  - Aux deux grands escaliers, les queues des marches sont scellées dans les murs d’enceinte, et les têtes assemblées dans un limon ; aux deux petits, les
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  - so kommt man bloss zu dem entgegengesetzten Ru-heplatze.
  - In der 2 Fig. sieht man die Aufrisse von den drei Treppen, so wie den Durchschnitt des einen Ruhe-platzes. Wegen der Darstellung des Ganzen, hatman beinahe die ganze vordere Halfte der Treppenhaus-mauern weglassen müssen. Sonach sieht man jetzt die vordere Seite , oder die Stufentritte der grossen oder linken Treppe; ferner die untere Seite der rech-ten , so wie die vordere Seite am Anfange , und die untere Seite am Ende der dritten Treppe, nebst den an ihren Wangen befindlichen Schnecken, so wie ihre Grundschwelle und ihren Unterstützungspfos-ten. Man sieht auch die an den Wangen der drei Treppen befindlichen eisernen Gelander ; die vordere Seite des Einganges ; die Verzierungen an den Mauern, und endlich den Anfang der zweiten Win-dung,
  - Tabelle XXVI und XXVII.
  - Die Fig. 1, 2 und 3, enthalten drei, mit Fig. 1, Tab. XXV übereinstimmende Grundrisse : eine jede von,den drei Treppen besteht aus 26 Stufen ; die Stufen an den grossen Gelandern Fig. 1 und 2 sind mit einem Ende in die.Mauer, und mit dem an-dern in eine Wange eingesetzt; bei der Treppe in der 3 Fig. aber werden die Stufen von zwei Wangen getragen.
  - Die Zeichnung der Wange A, Fig. 1, ist in Fig. 4 vorgestellt : wir sehen daselbst zugleich auch die Grundschwelle nebst dem Unterstützungspfosten ; in der 5 Fig. ist die Wange B , pnd in Fig. 6, die Ruheplatzwange C gezeichnet : ihre Zusammen-schnitte oder Fugen befinden sich in den Fig. 7 und 8. Die Wangen D, E, sind gleichergestalt in den Fig.
  - 9 und 10, und ihre Schnitte in den Fig. 12, 13 und i4 gezeichnet. Die Fig. i5, 16 und 1 1 sind die Vor . stellungen von den Wangen G, H, so wie von der Wange am Ruheplatze I; ihre Schnitte befinden sich in den Fig. 17 und 18. In den Fig. 19, 20, 21, 22 und 23, sind die Wangen J, K, L, M, N, und in den Fig. 24, 25, 26, 27 und 28, ihre Zusammen-schnitte dargestellt.
  - Die Fig. 29 und 3o enthalten Zusammenschnitte nach einem grossern Massstabe; und die Fig. 3i eine besondere Darstellung des Ruheplatzes.
  - Tabelle XXVIII.
  - Die Fig. 1, zeigt ein zirkelrundes Treppenhaus mit vier Eingangen, welche im Erdgeschoss einander gegen über stehen (man sehe die Eingange bei R, J, L, Fig. 2, ). Auf der zirkelrunden Grundflache dieses Treppenhauses sind vier, mit Gelandern ver-sehene , und von einander unterschiedene, ebenfalls zirkelrunde Treppen aufgerichtet worden : und ohn-erachtet sie sammtlich auf einer halben Windung zu derselben Stockwerkhohe führen, so gelangt man dennoch auf jeder einzelnen Treppe zu einem von den vier unterschiedenen Ruheplatzen, welche an die vier am ersten Stockwerke befindlichen Eingange I, J, K, L stossen : und ob sich schon zwei und zwei dem Grundrisse nach, einander gleichen , so stehen doch diese vier Treppen bei dem Eingange zu den Zimmern in keiner Gemeinschaft mit einander, so dass sie entweder von vier verschiede-nen Familien, welche vier besondere Zimmer be-wohnen, oder einzeln auf jede andere Weise be-nutzt werden konnen. Die Anordnung des Planes verstattet es, dass man auf jeder beliebigen Treppe zum ersten Stockwerke gelangen kann.
  - Zwei von diesen Treppen nehmen den Umkreis des Treppenhauses ein , und haben langere und brei-tere, aber nicht so hohe Stufen : die beiden andern befinden sich in dem Umkreise der grossen , von den ersten beiden Treppen leer gelassene Oeffnnng, und h'aben auch ihrerseits eine zirkelrunde Qeffnung. Da der Umfang dieser letztern nicht so betrachtlich ist, so sind auch die Stufen weder so lang, noch so breit, aber hoher als bei den vorigen, auch besteht aus diesem Grunde eine jede von diesen letztern Treppen aus weniger Stufen.
  - Bei den grossen Treppen sind die Stufen mit dem einen Ende in die Mauer, und mit dem andern in eine Wange eingesetzt ; bei den zwei kleinern wer-
  - The Fig. 2 includes the élévations of the three stair-cases and the cutting of one of the landing-places. In order that drawing might show the ensemble (a general view), one has been obliged to suppress almost the totality of the foremost half of the panes of the cage. By those means, one sees the front or height {pas) of the steps of the large stair-case, called by practisers {degauche) left, as they call the cieling {de droite) right ; the front of the beginning and the cieling of the end of the third, with the volutes of its string-boards, its patten, and its count-timber {d’échiffre) profile. One sees also the iron-rails which trim the string-boards of each one of the three stair-cases; the fronting passage-bay; the préparative joints of the walls, andat last the beginning of the second révolution.
  - Plates XXVI and XXVII.
  - The Fig. 1, 2 and 3, are three plans similar to the Fig. 1 ofthe 25th- plate : each ofthe three stair-cases is composed of 26 steps ; those of the large balusters, Fig. 1 and 2, hâve an end sealed and the other joined in a string-board : but the steps of the stair-case of the Fig. 3 are supported by two ranges of string-boards.
  - The délinéation of the string-board A of the Fig. 1 is unfolded Fig. 4 •' one sees also its patten and its count-timber d’échiffre. One sees, Fig. 5, the délinéation of the string-board B; and Fig. 6, the délinéation of the string-board of the landing-place C : their abutment-cuttings are delineated, Fig. 7 and 8. The string-boards D, E, are likewise delineated, Fig. 9 and 10; and their abutment-cuttings, Fig. 12, i3and i4- The Fig. 15, 16 and 11, are the délinéations of the string-boards G, H, and of the one of the landing-place I ; the trait of their cuttings js to be seen, Fig. 17 and 18. The délinéation ofthe string-boards J, R, L, M, N, is also detailed, Fig. 19, 20, 21,22 and 20; the trait of their cuttings is to be seen Fig. 24, 25, 26, 27 and 28.
  - The Fig. 29 and 3o are ahutment-cuttings drawed in a larger compass; and the Fig. 3i, a particular detail of the landing-place.
  - Plate XXVIII.
  - The Fig. 1 is a circular cage with four passage-bays diametrically opposite one to the other to the ground-floor (see the resorts in R, J, L, Fig. 2). Over the circular basis of that cage, one has disposedfonr flights of stair-cases distinct, having also a circular cage, ail running up to a same height of stories by a semi-revolution, but each ofthem ending one ofthe four different landing-places next to the four bays I, J, R, L, ofthe first story ; so that, notwithstand-ing their similarity two and two by their plans, those four stair-cases hâve not the least communication to their landing-places and can lead to four appartments inhabited by four families, or loue for any other purpose. Intering the cage by the bays of the ground-floor, this plan allows by its composition, to take at one’s choice, any one of the four flights, to walk up the first story.
  - Two of those four stair-cases, distri b uted towards the circumference of the cage, hâve a greater length of emmarchment, more circumference and a less height of steps ; the two other occupy the periphery of the large open spindle left void by the first cônes, and hâve themselves an open spindle also circular. Tliese having a smaller dimension, hâve less emmarch-ment, less circumference and a greater height of steps; from whence one must conclude that each of them is composed of a less number of steps.
  - In the two large stair-cases, the dove-tails ofthe steps are sealed in the inclosure-walls, andtheheads assembled in a string-board; in the two small ones,
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- - marches sont soutenues par deux cours de limons ; et chacun des six cours de limons est garni d’une rampe à barreaux de fer.
  - L’escalier À conduit au palier B attenant la baie J du premier étage, en laissant au-dessous de lui une échappée suffisante pour passer de la baie du rez-de-chaussée qui est vers son milieu, sur la base du noyau à jour ou sur d’autres points ; il laisse de même au-dessus de lui une échappée commode sous le palier F , qui existe au premier étage pour servir d’arrivée à l’escalier E , destiné au service de l’appartement dont L est la baie d’entrée. L’escalier G conduit de même et avec les mêmes conditions au palier D , et l’escalier G au palier H.
  - La Fig. 2 contient les élévations des quatre escaliers , timbrées des mêmes caractères littéraux que leurs plans ; c’est-à-dire que l’élévation a est faite sur le plan A ; l’élévation c sur le plan G ; les élévations e, g, sur les plans E, G ; cette figure montre aussi les deux baies R, L , du rez-de-chaussée ; celles du premier étage , k, 1 ; les paliers h, f, et la coupe i de celui du plan I ; le tout garni de rampes en fer. On voit aussi à la baie J, les deux vantaux de menuiserie ; et comme la moitié seulement du mur de la cage a été dessinée , on y voit ses joints d’appareils. Au-dessus des paliers h, i, f, on voit le commencement des quatre escaliers de la seconde révolution.
  - Planches XXIX et XXX.
  - Elle contient les quatre plans d’escaliers semblables à ceux de la XXVIIIe planche ; chacun d’eux y est indiqué par les mêmes lettres A, G, E, G, qui les distinguent dans l’autre planche ; et leurs paliers y portent pareillement les mêmes lettres, B, D,F, H.
  - La Fig. i représente la hauteur locale de l’étage , mais divisée en trois colonnes pour la répartition des hauteurs de pas relatives au nombre de marches dont est composé chacun des escaliers ; ainsi la colonne A est divisée en 56 parties, dont une est la hauteur du pas des marches de l’escalier A; la colonne C, divisée en 59, a aussi donné la hauteur de pas de l’escalier G ; et la colonne E G , divisée en 51 parties, a donné la hauteur de pas des marches de chacun des escaliers E et G.
  - Les tracés des limons et de leurs coupes sont respectivement dessinés aux figures suivantes : i° à l’escalier A , les limons a , b , c, d , sont tracés respectivement aux Fig. 2,3, 4 et 5 ; et leurs coupes, aux Fig. 6, 7 et 8 et même 9 pour la seconde révolution.
  - 2° A l’escalier C, les limons e, f, g, sont tracés aux Fig. 10, 11 et 12 ; et leurs coupes aux Fig. 13 et 12. (La figure 10 est transposée. )
  - 3° A l’escalier'E , les limons h, i, j, sont tracés aux Fig. 14, i5 et 16 ; leurs coupes, aux Fig. h et 20 et o ; ceuxk,l, m, n, aux Fig. 17, 18, 19 et 23; et leurs coupes , aux Fig. 21, 22 et 23.
  - 4° L’escalier G étant le même que le précédent, on a seulement tracé deux de ses limons aux Fig. 24 et 25.
  - Aux Fig. 4, 10, 17,24, 25 et 26, on a fait paraître les parties de limons qui doivent se croiser. Les Fig. 27, 28 et 29 sont des détails dessinés plus en grand.
  - Si, au lieu de limons , on voulait des crémaillères pour soutenir les marches, afin que les bouts des marches soient aussi ornées de moulures, leur plan serait comme à la Fig. 3o; leurs faces ou pas, comme à la Fig. 31 ; et les bouts des marches supportées par la crémaillère, comme à la Fig. 32 ; on voit, à
  - ( 33 )
  - den die Stufen von zwei Wangen getragen : eine jede von diesen sechs Wangen ist mit einem aus ei-* sernen Stàben zusammengesetzten Gelànder ver-sehen.
  - Die Treppe A, führt zum Ruheplatze B, welcher beim ersten Stockwerke an den Eingang J, anstosst; sielàsst zugleich unter sich den nothigen Raum, um aus dem Eingange im Erdgeschoss, welcher sich nach der Mitte der Treppe zu befindet, an die Treppen-olfnung oderandere Punkte zu gelangen : über sich làsst sie ebenfalls einen bequemen Raum E unter
  - dem, am ersten Stockwerke befindlichen Ruheplatze F, welcher zum Gebrauche des Zimmers, wozu L der Eingang ist, dient. Die Treppe C, führt unter den nàmlichen Umstànden zum Ruheplatze D; und die Treppe G, zum Ruheplatze H.
  - Die 2 Fig. enthàlt die Aufrisse von den vier Trep-pen ; die Buchstaben sind dieselben , wie im Grund-risse ; der Aufriss a, ist nàmlich nach dem Grund-risse A ; der Aufriss c, nach dem Grundrisse G, und die Aufrisse e, g, nach den Grundrissen E, G, ge-macht worden. Diese Figur zeigt auch die beiden Eingange K, L, im Erdgeschoss; ferner die Eingange k, 1, im ersten Stockwerke ; so wie auch die Ruhe-plàtze h, f, nebst dem Durchschnitte i„ von dem im Grundrisse befindlichen Ruheplatze I; endlich die Darstellung der eisernen Gelander. Bei dem Eingange J, sieht man die beiden Gelànderpfosten ; und da bloss die eine Hàlfte von der Treppenhausmauer gezeichnet worden ist, so sieht man auch die dabei angebrachten Verzierungen. Ueber den Ruheplàtzen h, i, f, sieht man den Anfang der vier, in der zwei-ten Windung fortgesetzten Treppen*
  - Tabelle XXIX und XXX.
  - Wïr sehen darin vier Treppengrundrisse, welche
  - den, in der Tab. XXVIII enthaltenen àhnlich sind; die Buchstaben A, G, E, G, wodurch diese Treppen angezeigt worden, sind die nàmlichen, wie in ge-dachter Tabelle , auch haben die Ruheplatze ebenfalls die nàmlichen Buchstaben B, D, F, H, erhalten.
  - Die Fig. 1 stellt die Gesammthohe des Stock-werks vor; solche ist aber in drei Abtheilungen ge-bracht worden, und zwar wegen der Vertheilungder Tritthohen , welche sich auf die Anzahl der Stufen beziehen , woraus eine jede Treppe zusammengesetzt ist : die Abtheilung A, ist demnach in 36 Theile ge-theilt worden , wovon einer die Tritthohe fur die, zur Treppe A gehorigen Stufen ausmacht ; die Abtheilung C, welche 39 Theile enthàlt, hat die Tritthohe für die Treppe C, bestimmt; und die Abtheilung E G, welche 5i Theile enthàlt, hat die Tritthohe für die zu den Treppen E und G gehorigen Stufen festgesetzt.
  - Die Vorstellungen der Wangen , nebst ihren Schnitten und Durchschnitten sind in folgenden Fi-guren enthalten :
  - i° Bei der Treppe A, sind die Wangen a, b, c, d, in den Fig. 2, 3, 4 und 5, und ihre Durchschnitte in den Fig. 6, 7 und 8 , enthalten, und für die zweite Windung, selbstin Fig. 9.
  - 2° Bei der Treppe G, sind die Wangen e, f, g, in den Fig. 10, 11 und 12, und ihre Durchschnitte in den Fig. i5und 12 vorgestellt. (Die Fig. îoisttrans-ponirt. )
  - 3° Bei der Treppe E, sind die Wangen h, i, j, in den Fig. i4, i5, und 16, und ihre Durchschnitte in den Fig. h, 20, und o; so wie die Wangen k, 1, m, n, in den Fig. 17, 18, 19 und 23, und ihre Durchschnitte, in den Fig. 21, 22 und 2 3 gezeichnet.
  - 4° Da die Treppe G, mit der vorstehenden überein-stimmend ist, so sind bloss zwei von ihren Wangen, in den Fig. 24 und 25 dargestellt worden.
  - In den Fig. 4, 10, 17, 24, 25 und 26 sind die-jenigen Wangentheile dargestellt worden, welche sich kreutzen sollen. Die Fig. 27, 28 und 29 enthalten Darstellungen, welche nach einem grossern Mass-stabe gezeichnet worden sind.
  - Sollen die Stufen nicht durch Wangen , sondern durch Stegebàume getragen werden, damit auch die Stufenenden ihre Gesimse erhalten, so richtet sich der Grundriss derselben nach Fig. 3o; ihre vor-dern Seiten oder Tritte, nach der Fig. 3i ; und die Enden der, durch den Stegebaum zusammengehalte-
  - the steps are supported by two ranges of string-boards; and each of the six ranges of string-boards is trimmed with a flight with iron-rails.
  - The stair-case A leads to the landing-place B next to the bay J of the first story, leaving under it a sufïicient échappée to pass from the bay of the ground-fioor which is towards its middle, over the basis of the open spindle or over other points; it leaves likewise over it a convenient échappée under the landing - place F, existing to the first story , to arrive to the stair-case E, reserved for the use of the appartment of which L is the entrance-bay. The stair-case G leads likewise, on tfie saine conditions, to the landing-place D; and the stair-case G, to the landing-place H.
  - The Fig. 2 contains the élévations of the four stair-cases, marked with the same letters as their plans ; that is to say that the élévation a is made over the plan A ; the élévation c over the plan G ; the élévations e, g, over the plans E, G; that figure shows also the two bays K, L, of the ground-fioor; those of the first story k, 1; the landing-places h, f, and the cutling i of the one of the plan I; ail trimmed with iron-railings. One sees likewise to the bay J, the two )o'merj-vanteaux ; and as only a half of the wall of the cage has been drawed, one sees its préparative joints. Over the landing-places h, i, f, one sees the beginning of the four stair-cases of the second révolution.
  - Plates XXIX and XXX.
  - It contains the four plans of stair-cases similar to those of the XXVIII plate ; each one of them is in-dicated by the same letters A, C, E, G, which dis-tinguish them in the other plate; their landing-places hâve likewise the same letters B, D, F, H.
  - The Fig. 1 représents the whole height of the story, but divided in three columns for the subdivision of the heights of counter-steps relative to the number of steps composing each stair-case ; so the column A is divided in 36 parts, one of which is the counter-step-height of the steps of the stair-case A; the column G, divided in 3g parts, has given also the counter-step-height of the stair-case C ; and the column E G, divided in 3i parts, has given the coun-ter-step-height of the steps of each one of the stair-cases E and G.
  - The délinéations of the string-boards and of their cuttings are respectively drawed to the following figures : i° to the stair-case A, the string-boards a, b, c, d, are drawed respectively Fig. 2, 5,4 and 5; and their cuttings, Fig. 6, 7, 8 and even 9, for the second révolution.
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  - 2° To the stair-case C, the string-boards e, f, g, are delineated Fig. 10, 11 and 12; and their cuttings Fig. i3 and 12. (The Fig. 10 is misplaced.)
  - 3° To the stair-case E, the string-boards h, i, j, are delineated Fig. 14, i5 and 16; their cuttings, Fig. h , 20 , and o : the string-boards k , 1, m, n, Fig. 17, 18, 19 and 23; and their cuttings, Fig. 21, 22 and 23.
  - 4° The stair-case G, being the same as the precedent, one has delineated but two of its string-boards , Fig. 24 and 25.
  - The Fig. 4, 10, 17, 24, 25 and 26, show the parts of the string-boards, which must cross them-selves. The Fig. 27, 28 and 29, are details drawed in a larger compass.
  - If, instead of string-boards , one wished racks to support the steps , in order their ends might be also adorned with mouldings; their plan would be, as in the Fig. 3o; their faces, or counter-steps, as in the Fig. 31 ; and the extremities of the steps supported by the rack , as in the Fig. 32 ; one sees to each of
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- - chacune de ces figures les vis qui fixent les bouts des marches ornées de moulures, et les abouts des pas à la crémaillère. Mais ces marches étant massives , comme le montre la Fig. 35 , il faut faire une entaille dans leur surface chanlattée et à leur bout, pour l’occupation de l’angle droit saillant réservé à la crémaillère. La surface de pas est réservée au bout; mais son joint est oblique, pour donner moins d apparence au bois de bout qui recouvre la face verticale de la crémaillère.
  - La Fig. 34 , qui montre la surface chanlattée ou de plafond, fait voir la forme de l’entaille qui reçoit l’angle réservé à la crémaillère ; la moulure du bout et de la face, et l’assemblage de sa queue dans un limon. La Fig. 35 est un aspect de la même marche.
  - La Fig. 36 est un plan qui montre un ajustement des premières marches ; et la Fig. 37 en est la coupe.
  - Les Fig. 38 et 39 font connaître le procédé qu’on emploie quand on veut faire un limon courbe , tel par exemple que le limon h del escalier E. Les praticiens appellent tronche, la pièce de bois soit droite soit arquée, abcd, efg h, Fig. 38, qu ils ont choisie pour exécuter la partie de limon proposée ; et ils nomment veau, le morceau, Fig. 3g, qu’on en retire d’abord au moyen de la scie.
  - On voit sans peine que cette première façon suppose qu’on a tracé sur chacune des deux surfaces tant supérieure qu’inférieure delà tronche, d’après le plan et l’élévation delà partie de limon proposée, et comme il a été expliqué en parlant du calibre rallongé, les deux courbes, tant l’intérieure que l’extérieure, de l’arc rampant, avec la volute qui lie ces courbes entre elles à leur origine. Les scieurs n’ont plus qu à suivre la courbe intérieure pour enlever le veau : et c est ce premier tracé, dont on voit une partie à la Fig. 3g, et dont il ne reste plus, d’abord après le sciage à la tronche elle-même, qu’une partie non plus; mais on la complète facilement sur la tronche, comme il l’est à la Fig. 38 , en joignant par des droites sur la face verticale qui a été découverte par la scie, les lignes correspondantes des surfaces supérieure et inferieure.
  - On conçoit qu’il faut une seconde opération de sciage pour découvrir la surface convexe du limon, et en séparer l’excès de matière que contient la tronche, et qu’il faut de même y rendre complet, après le sciage, le tracé que ce second retranchement a enlevé à cette seconde face verticale.
  - La surface du débillardement pour la formation de la surface supérieure et de l’inférieure du limon, ainsi que le tracé des mortaises et entailles nécessaires pour y assembler les marches, seront exécutés selon les méthodes précédemment détaillées.
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  - nen Stufen nach der Fig. 32 : wir sehen bei jeder Figur die Schrauben, wodurch die, mit Gesimsen versehenen Stufenenden , nebst den Setzbretern, auf und an den Stegebaum befestigt werden. Da aber nach Massgabe der Fig, 33, diese Stufen aus gan-zem Holze bestehen, so muss in der untern Flache, und am Ende, ein Einschnitt gemacht werden, in welchen der hervorspringende, an dem Stegebaum gelassene gerade Winkel eingesetzt wird. Die Tritt-flache wird am Ende gelassen ; allein die Fuge der-selben ist schrâg, um das Holzende, welches die verticale Flache des Stegebaums bedeckt, weniger be-merkbar zu machen.
  - Die 34 Fig. welche die untere Flache, oder die Treppendecke enthalt, zeigt die Gestalt des Ein-schnittes, in welchen der, an dem Stegebaum gelassene Winkel eingesetzt wird ; ferner das, am Ende, und an der vordern Seite angebrachte Gesims , nebst dem in die Wange eingesetzten Stufenende. Die 35 Fig. enthalt eine Ansicht von der namlichen Stufe.
  - Die 36 Fig. ist ein Grundriss, in welchem die Zu-sammensetzung der ersten Stufen zu sehen ist ; die 37 Fig. zeigt davon den Durchschnitt.
  - Die Fig. 38 und 3g, geben eine Anleitung zu der Verfahrungsweise, welche angewendet wird, wenn man eine gebogene Wange, wie z. B. die Wange h, bei der Treppe E, verfertigen will. In der Bauspra-che nennt man Tronche (Blockstück) das, entweder gerade oder gebogene Stück Holz, a b c d, e f g h, Fig. 38, aus welchem der gegebene Wangentheil verfertigt wird ; und Veau, nennt man das Stück Holz in Fig. 3g, welches man aus jenem durch Hülfe der Sage zuerst schneidet.
  - Die erste aussere Form setzt, wie man leicht einsieht voraus, dass in Gemassheil des Plans und Aufrisses der gegebenen Wange, und nach Massgabe dessen was oben über die verstreckte Lehre
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  - vorgetragen worden ist, sowohl auf der obern, als untern Flache des Blockstüches, nicht nur die in-nere, sondera auch die aussere Wange, nebst der Schnecke, wodurch selbige an sihrem Anfange mit einander verbunden werden, gezeichnet werden muss. Die sagenden Arbeiter brauchen sich für das zweite Holz ( Veau) bloss nach dem innern Wan-genbogen zu richten ; dieses ware also die erste Zeichnung, wovon man in Fig. 3g einen Theil sieht, und wovon nach dem Sagen an dem Blockstücke bloss ein Theil übrig bleibt; es ist aber leicht, den-selben an dem Blockstücke so zu erganzen , wie er sich in der Fig. 38 darstellt, und zwar dadurch, dass man auf der verticalen , von der Sage geoffne-ten Flache, vermittelst gerader Linien, die corres-pondirenden Linien der obern und untern Flache hinzufügt.
  - Es braucht nicht erinnert zu werden , dass noch ein zweites Sagen erforderlich ist ; um die convexe Wangenflache zu schneiden, und das überflüssige Holz vom Blockstücke abzunehmen, und dass nach dem Sagen, die von dem zweiten Durchschneiden an dieser zweiten verticalen Flache hinweggenom-mene Zeichnung, ebenfalls daselbst vollstandig gemacht werden muss.
  - Der übrige, zur Bildung der obern und untern Wangenflache nothige schrage Schnitt, so wie die Zeichnung der, zur Zusammensetzung der Stufen er-forderlichen Zapfenlocher und Einschnitte wird der, so eben angeführten Vesfahrungsweise ausge-führt.
  - those figures, the screws which fasten to the rack the ends of the steps adorned with mouldings, and the abutments of the counter -steps. But those steps being massy, as the Fig. 33 shows it, one must make a notch in their Iathed surface and to their extremity, for the occupation of the jutting out right angle re-served to the rack. The counter-step-surface is reser-ved to the end; but its joint is oblique to give less appearance to the wood wrapping over the vertical surface of the rack.
  - The Fig. 34 showing the Iathed or cieling surface, shows also the shape of the notch receiving the angle reserved to the rack; the mouldingof the extremity and of the front, and the assemblage of its dove-tail in a string-board. The Fig. 35 is a view of the same step.
  - The Fig. 36 is a plan showing an adjusting of the first steps ; and the Fig. 3 7, is its cutting.
  - The Fig. 38 and 39 show the management one must make use of, when one wishes to make a cur-ved string-board, such, as for instance, as the string-board h, of the stair-case E. Practisers call tronche the piece of timber, either straight or archedal» cd,efg h, Fig. 38, which they hâve choosen to exécute the proposed part of a string-board; and they call veau, the piece, Fig. 39, taken at first from it with a saw.
  - One sees easily that that first préparation supposes one has delineated over both, the superior and inferior surfaces of the tronche, after the plan and the élévation of the proposed part of a string-board > and as it has been explained in speaking of the leng-thened calibre, both the internai and external curves of the rampant arc, with the volute which binds those curves together to their beginnings. Sawyers hâve nothing more to do but to follow the internai curve to take off the veau; and it is that first délinéation , which is to be seen partly, Fig. 3g, and which remains also, but partly, after the sawing to the tronche itself; but it is easy to complété it on the tronche, as it is Fig. 38 , in joining by straight Unes, over the vertical face, which has been disco-vered by the saw, the corresponding lines of both the superior and inferior surfaces.
  - It is easy to conceive that it is necessary to make a second sawing operation to discover the convex surface of the string-board , and separate from it the excess of the matter included in the tronche, and that one must likewise complété after the sawing the délinéation which has been taken away by that second
  - sawing to that second vertical face.
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  - The overplus of the debillardement for the formation of both the superior and inferior surfaces of the string-board, as well as the délinéation of the mortises and necessary notches for the assemblage ofthe steps, shall be executed according to the me thods formerly detailed.
  - FIN DE LA DEUXIÈME PARTIE.
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- - TRAITÉ
  - SUR
  - LART DE LA CHARPENTE,
  - THÉORIQUE ET PRATIQUE,
  - Publié par J. Ch. KRAFFT, Architecte.
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  - ANWEISUNG
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  - THEORETISCH-PRAKTISCHEN
  - ZIMMERMANNS-KUNST,
  - Herausgegeben von J. Ch. KRAFFT, Baumeister.
  - TREATISE
  - ON
  - THE ART OF CARPENTRY,
  - WITH THE THEORY AND PRACTICE,
  - Published by J. Ch. KRAFFT, Arcbitect.
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  - A PARIS,
  - I L'AUTEUR, rue de Bourgogne, n.° 25.
  - FIRMIN DIDOT, Imprimeur du Roi, rue Jacob, n.° 24.
  - REY et GRAVIER, Libraires, quai des Augustins, n.° 55.
  - TREUTTEL et WURTZ, Libraires, rue de Bourbon, n.° 17.
  - GŒURY, Libraire des Ingénieurs de l'Ecole royale des Ponts et Chaussées et des Mines, quai des Augustins, n.° 41.
  - A Maniieim, chez Art aria.
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- - AVANT-PROPOS.
  - VORREDE.
  - PREFACE.
  - Quels que soient la matière , la forme et l’assemblage des diverses constructions qui closent ou divisent l'espace occupé par un bâtiment, leur conservation exige qu’une bonne couverture les tienne à l’abri des intempéries Je l’air. Dans les climats tempérés, comme le nôtre, où les pluies, par leur fréquence et leur abondance, présentent plus d’incommodité que la chaleur, il est bien rare que l’on charge les maçons de couvrir un bâtiment d’une lourde terrasse, comme on le fait d’ordinaire sous un ciel sec et brûlant : on préfère une couverture moins pesante, connue de tout le monde sous le nom de toit, et dont la charpente forme la principale partie.
  - H est, à la vérité, des toits d’une exécution très-facile, tels que ceux à deux égouts entre pignons et à base rectangulaire, dont la charpente se compose uniquement de pannes et de chevrons respectivement parallèles. Mais les côtés de la base qui terminent la longueur du toit se trouvent-ils seulement différer en longueur, les surfaces du toit seront gauches et d’une construction plus ou moins difficile, parce qu’il ne serait point supportable de voir le faîte ni les égouts inclinés à l’horizon.
  - Des combles plus composés encore que ceux-là deviennent aussi nécessaires par l’irrégularité de leur base, soit qu elle existe dans la portion de terrain qui a reçu le bâtiment, soit quelle ait été amenée par la distribution générale ; et c’est ce que les praticiens désignent par le mot biais : et parmi les formes régulières , la polygonale, la circulaire, l’elliptique, et même le parallélogramme sans pignons , entraînent aussi une composition compliquée dans la charpente du toit, soit que ces formes aient été données par le terrain, ou quelles aient été exigées par la destination de l’édifice, ou adoptées par choix. En outre, si c’est un monument que l’on veuille terminer par un comble remarquable, la projection verticale se trouvera modifiée de plusieurs parties de diverses formes, indépendantes de la base : tels sont les toits dénommés dans la pratique comble à deux ou à cinq épis, dôme sphérique ou sphéroïde ou à impériale, &c.
  - C’est le tracé de ces ouvrages qu’on appelle l’art du trait; tracé qui devient encore plus compliqué, lorsque l’intérieur de ces combles simule des voûtes, et lorsque des ouvertures, nommées lunettes, y sont réservées pour le passage de la lumière. C’est à cet art que nous avons consacré notre troisième partie, composée de six sections, avec trente planches.
  - Bei den verschiedenen Bestandtheilen aus welchen ein Haus besteht, komrnt es nicht allein aufdie Materiaïien, auf die Gestalt und
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  - die Zusammensetzung derselben an, sondem ihre Erhaltung erfordert ausserdem noch eine wohleingerichtete Decke, weïche sie gegen den Einfluss der Witterung schützt. Da in gemas-sigten Himmelsstrichen , wohin der unsrige gehôrt, der hâufïge Regen noch mehr widrige Zufàlle erzeugt als die Hitze , so geschieht es âusserst selten, dass man den in trockenen und heissen Gegenden üblichen Gebrauch nachahmt, und ein Gebiiude mit einer schwc-ren Terrasse belastet : dafiir wàhlt man ge-wôhnlich lieber eine minder schwere Decke, weïche mit dem allgemeinen Namen Dach be-zeichnet wird , und wobei die innern Verbin-dungen den Hauptbestandtheil ausmachen.
  - Es giebt zwar Dàcher, deren Erbauung mit keinen Schwicrigkeiten verbunden ist, wie z. B. Dàcher mit rechtwinkeliger Grundflâche und zwei Dachrinnen in der Mitte, wobei das Holzwerk aus nichts aïs aus parallel gesetzten Sparren und Fetten besteht. In diesem Falle ist aber die verschiedene Lange der Dàcher nicht der einzige Umstand welcher hierbei in Betrachtung komrnt, sonderu diese Dach-fîâchen werden zugïeich auch schief und mehr oder minder schwer auszuführen seyn ; indem es eine unangenehme Wirkung hervorbriichte, wenn weder der Giebel noch die Dachrinnen nach dem Horizont geneigt wàren.
  - Bisweilen müssen die Diicher, wegen der Unregelmiissigkeit ilïrer Grundflâche, zusam-mengesetzter noch seyn als die so eben er-wahnten. Diese Unregelmiissigkeit mag sich nun entweder aus der Beschaffenheit des Bodens worauf das Gebâude steht, oder aus der Eintheilung dieses letztern herschreiben. Die franzosischen Baumeister bezeichnen diese Eigenschaft mit dem Namen biais. Unter den regelmiissigen Formen machen die vieleckige, die zirkelrunde, die elliptische , und selbst die giebellose paralleïogrammformige , wie-derum mannigfaltig zusammengesetzte Dach-verbindungen nothig. Auch diese Formen ^kônnen ebenfalls wieder in der Beschaffenheit des Bodens oder in der Bestimmung des Gebiiudes ihren Grund haben , oder kônnen wohl auch so vorgeschrieben worden seyn. SoII endlich ein vorzügliches Gebàude mit einem ausgezeichneten Dache versehen werden, so wird der dazu bestimmte Aufsatz, bei unverànderter Gestalt der Grundfliiche, mehrere verschiedentlich gestaltete Theile er-halten müssen. Dahin gehüren z. B. die Dach-stühle mit zwei oder fünf Giebelsâulen, ferner die sphilrischen und ausgeschweiften Dôme.
  - Die für solche Arbeiten erforderlichen Zeich-nungen werden nach den Regeln ausgeführt, weïche die Stéréotomie für diesen Gegenstand angiebt. Erhàlt das Innere solcher Dàcher die Gestalt eines Gewôlbes, und sollen darin Oeffnungen , wodurch das Licht in dieses Innere fàllt, angebracht werden , so erhalten dergleichen Zeichnungen eine noch zusammen-gesetztere Forai. Diesem Gegenstand ist nun
  - Whatever may be the matter, form and assemblage of the various constructions which envelope or dévidé the space occupied by a building, their préservation exacts that a good covering should keep them from the incle-mency of the weather.
  - In temperate climates, like that of ours, where rain, by its frequency and abundance, présents more inconveniency than the heat, it rarely occurs that a manor is ordered to shelter a tuiling with a heavy terrace, as is generally done in a dry and burning climate; but a light covering is prefered, which consists prin-cîpally of carpentry work.
  - Some of these roofs are easy of execution , such as those with two gutters between pignons [caps], with rectangular base, the carpentry of which is composed solely of purlins and rafters respectively parallel. But, if the parallel sides of the base which terminate the length of the roof are of different lengths, the surfaces of the roof will appear ill-contrived, and will be of more or less difficult construction , because it would be insupportable to see either the ridge or the gutters inclined towards the edge. i
  - It is the drawing of these works which is called the art du trait [ the art of modelling or délinéation], a drawing which is still more difficult, when the interior of these roofs are in imitation of vaults, and when openings are left in the roof for the passage of the light. We hâve devoted to the description of this art the third part of our work, which will be composed of six sections, with thirty plates.
  - Some roofs are rendered more complex by the irreguïarity of their base, whether the irre-gularity exists in the disposition of the foun-dation of the building, or in the general distribution of the parts; which is denominated by practicians the biais : and amongst the regular forms the polygonal, the circular, the elliptic, and éveil the parallelogram without pignons, also include a complex composition in the carpentry of the roof, whether these forms hâve originated in the ground-disposi-tion, or in the destination of the édifice, or in choice merely. Again, if it is an édifice of some moment, and a roof of some importance is requisite, the vertical projection will include many parts of various descriptions, indépendant of the base : such are the roofs technically called roof with two or with five ears, sphe-rical dôme, or spheroïd, or a l’impériale.
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- - Un ouvrage de cette nature, ou Fart du trait se trouve rigoureusement nécessaire, exige toute la considération du constructeur qui entreprend, 1.° à cause de la grande consommation de matière qu’il entraîne ; 2.° à raison du temps qu’il faudra au manipulateur, soit pour Fexécution, soit même pour le tracé de l’élévation. Si les usages locaux n’en ont pas fixé ïa valeur, celui qui en rédige les détails et la cubature, ainsi que celui qui en arrête les prix, doivent y suppléer avec beaucoup d’attention.
  - gegenwürtiger dritter Theil gewidmet. Der-selbe besteht aus sechs Abschnitten, und ent-Iiitlt dreissig Tabellen.
  - Arbeiten dieser Art, bei denen dergîeichen Zeichnungen ein wesentliches Erforderniss ausmacjien , müssen von den Baumeistern , welche selbige auszuführen haben, wohl er-wogen und überdacht werden , und zwar : l.° wegen des grossen Verbrauches der dazu erforderlichen Materialien ; 2.° wegen desZeit-aufwandes den die Ausfiïhrung und selbst auch die Zeicbnung des Risses nôtbig macht. Haben Herkommen und Gewohnheit die Preisse nicht bestimmt, so müssen diejenigen, welche die dabei erforderlichen Arbeiten und Messungen besorgen , und die Preisse festsetzen , mit grosser Behutsamkeit zu Werke gehen.
  - A work of this nature, in which a knowledge of the art of modelling is absolutely necessary, requires ail the considération of him who un-dertakes, 1 ,rst because of the great consump-tion of materiai which it occasions; 2.d,y because of the time necessary for the execution and even the formation of the pian. If the local uses hâve not established its necessity and worth, he who has the direction of the plan, the measuring and the payment of the work, shouid give the subject his best attention and considération.
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- - TRAITE
  - SUR
  - L’ART DE LA CHARPENTE
  - THÉORIQUE ET PRATIQUE.
  - III.e PARTIE.
  - Du Tracé et clés principales Propriétés des Courbes usuelles en architecture ; de ï Edrographie, ou Développement des surfaces des volumes, usité dans l’art du trait; Système des Projections, des Angles plans, des Angles solides, &c.
  - SECTION I.re
  - *
  - Oves ou Quarts de rond, Fig. 1, 2, 3, et Cavel ou Gorge, Fig. 4 ,5 et 6.
  - 1. Problème. Dans un rectangle donné ABEF, tracer un quart de rond ou un cavet.
  - SOLUTION. Sur le milieu D de la diagonale A B, élevez la perpendiculaire D C ; son intersection C avec celle des deux lignes A C ou B C à laquelle doit être perpendiculaire la courbe proposée, sera le centre du quart de rond ou du cavet, que vous tracerez en prenant pour rayon CA ou CB.
  - Scholie. Lorsque la hauteur et la saillie de la moulure sont égaies entre elles, on a la moulure primitive ou régulière, qui est un quart de circonférence, ayant pour rayon ia dimension commune. Alors on peut se dispenser de la diagonale ; car, pour avoir ïe centre, il suffit de mener entre les parallèles du rectangle les perpendiculaires B C pour le quart de rond, et A C pour le cavet.
  - Doucine et Talon.
  - 2. Problème. Dans unrectangie donné AB EF, tracer une doucine, Fig. 7, 8,9, 40, H, ou un-talon, Fig. 42,43, 44, 45 et 46, A G B.
  - SOLUTION. Divisez ia diagonale A B en deux parties égaies ou inégales, dans tel rapport que vous voudrez, au point G. Sur ie milieu D de l’une de ces parties A G, élevez la perpendiculaire indéfinie D C, sur laquelle vous pouvez prendre à volonté un point C pour le centre de i’un des arcs de ia moulure demandée. De ce point, menez par G la droite CGc, *que vous terminerez en c par une construction graphique semblable à celle quiia termine en C, et vous aurez en c le centre du second arc G B de ia doucine ou du talon.
  - Démonstration. l.° Le centre C étant sur une perpendiculaire élevée au milieu de A G, ie premier arc qui passe par A doit au§si passer par G.
  - 2. ° Les deux triangles G C D, G c d, étant semblables, on peut en dire autant de c, centre du second arc B G, et qui se trouve aussi sur une perpendiculaire élevée au milieu de B G.
  - 3. ° Les deux centres C et c étant sur une même ligne avec le point de jonction G des deux arcs, la courbe AB ne peut avoir de jarret en G.
  - ANWEISUNG
  - ZUR
  - THEORETISCH- PRAKTISCHEN
  - ZIMMERMANN S - KUNST.
  - DRITTER THEIL.
  - Von der Zeichnung und der besondern Be-schajfenheit der in der Baukunst üblichen Bogen. Von der Edro graphie oder Ausmit-telung der durch die Stéréotomie zu bestim-menden Flâcheneines Kôrpers. System der Projectionen,so wie derfachenundkôrper-lichen Winkel, &c.
  - ERSTER ABSCHNITT.
  - Eier oder Viertelstàbe, Fig 1,2,3, und Hohl-
  - kehlen oder Hohlleisten, Fig. 4,5 und 6.
  - 1. PROBLEM. In einem gegebenen Rechteck AB EF, einen Viertelstab oder eine Hohlkehle zu zeichnen ?
  - A UFLÔSUfîG. AufderMitte D, der Diagonallinie AB, richte man eine Perpendicularlinie DC auf; ihr Durchschneidungspunkt C, nebst dem der beiden Linien AC, oder BC, mit welchem die gegebene krumme Linie perpendicular seyn muss, wirci der Mitteipunkt des Viertelstabes oder der Hohïkehle seyn , weiche man dergestait zeichnet, dass man CA oder CB zum Radius annimmt.
  - Anmerkung. Ist die Hôhe und der Vorsprung des Gesimses einander gleich, so hat man das regeimâssige oder Grundgesims,' welches in einem Yiertei des Umkreises besteht, und den gewôhn-lichen Umfang zum Radius hat. In diesem Faile kann man die Diagonallinie entbehren ; denn um den Mitteipunkt zu erhalten, so braucht man bloss zwischen die Parallellinien des Rechtecks die Per-pendicularlinien zu führen , und zwar B C zu dem Viertelstàbe, und AC zu der Hohlkehle;
  - Rinnleisten und Kehlstosse.
  - 2. Problem. In einem gegebenen Rechteck A BEF, eine Rinnleiste Fig. 7 ,• 8, 9, 40, 44, oder einen Kehlstoss Fig. 42 , 43,44,45 und 46, AGB zu zeichnen?
  - A UFLÔSUNG. Man theile die Diagonallinie AB, bei dem Punkte G in zwei gleiche oder ungleiche Theile , und zwar in dem Verhàltnisse wie man es zu haben wiinscht. Bei einem von den Theilen AG, richte man auf der Mitte D die unbe-stimmte verticale Linie D C auf ; wobei man auf derselben einen beliebigen Punkt C, zum Mittel-punkte des einen zu dem verlangten Gesims ge-hôrigen Zirkelbogens nehmen kann. Von diesem Punkte ziehe man durch G die gerade Linie CGc, und endige sie bei c auf die namiiche Artwiesolche bei C geencligt ist; auf diese Weîse erhàlt man bei c den Mitteipunkt vom zweiten zur Rinnleiste oder dem Kehlstosse gehôrigen Zirkelbogen G B.
  - Beweis. 1.° Da der Mitteipunkt C sich auf einer in der Mitte von A G aufgerichteten Perpendicularlinie befindet; so muss der erste Zirkelbogen, welcher durch Ageht, auch durch Ggehen.
  - 2. * Da die beiden Dreiecke G CD, Gcd, einander gleich sind, so lâsst sich classelbe auch von c behaupten , welches der Mitteipunkt des zweiten Bogens B G ist, und sich ebenfalls auf einer in der Mitte von B G aufgerichteten Perpendicularlinie befindet.
  - 3. ° Da die beiden Mittelpunkte C und c sich mit dem Punkte G, wodurch die beiden Bogen ver-bunden werden , auf einer und derselben Linie be-finden, so kann die krumme Linie AB keinen Bug bei G erhalten.
  - TREATISE
  - ON
  - THE ART OF CARPENTRY,
  - WITH .THE THEORY AND PRACTICE.
  - PART tll.
  - Ofthe Draughtand of theprincipalProperlies oj'the usual Curves in architecture; of the Edrography, or Developement of the surfaces of the volumes, used in the art of tracing; System of Projections, plane and solid Angles, &c.
  - » SECTION I.rst
  - I
  - Oves [eggs] or Quarter-round, Fig. 1,2,3, and Càvettoor Concave Mouldings, Fig. 4, 5 et 6.
  - 1. Problem. In a given rectangle A B E F, trace a quarter-round or a cavetto.
  - Solution. Upon the center D of the diagonal A B, raise a perpendicular D C ; its intersection C * with that of the two lines A C or B C to which the proposed curve ought to be perpendicular, will be the qenter of the quarter-round orof the cavetto, which will be traced taking for radius C A or C B.
  - Scholion. When the top and the saillie [bend ] of the moulding are equal, it gives the primitive or regular moulding, which is the quarter of a circle, having for radius the common dimension. Then the diagonal may* be dispensed with ; for, to hâve the center, it is sufficient to carry between the parallels of the rectangle the perpendiculars B C for the quarter-round, and A C for the cavetto.
  - Gola or Throat, and Talon.
  - 2. Problem. In a given rectangle A B E F trace a gola, Fig. 7,8, 9, 40, 44, or a talon, Fig. 42, 43,44, 45 et 46, AGB.
  - SOLUTION. Cut the diagonal A B in two parts equal or unequal, in whatever manner, at the point G. Upon the middle D of one of the parts A G, raise the undefmed perpendicular D C, upon which may be taken at will a point C for the center of one of the arches of the moulding required. From this point trace by G the right line CGc, which will terminate at c by a graphie construction similar to that which terminâtes at C, and you' will hâve at c the center of the second arch G B of the gola or of the talon.
  - Démonstration. l.rst The center C being upon a perpendicular raised on the middle of A G, the first arch which passes tlirough A ought also to pass thro’ G.
  - 2. d The two triangles GCD, Gcd, being similar, the same may be affirmed of c, the center of the second arch B G, and which is also upon a perpendicular raised at the middle of B G.
  - 3. d The two centers C et c being upon the same line with the point of junction G of the two arches, the curve A B cannot but be regular at G.
  - l
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- - Corollaire. l.° Les deux arcs ÂG, B G, sont ' nécessairement semblables, ou d’un même nombre de degrés, à cause de la similitude des triangles
  - ACG, BcG.
  - 2° Si, sur la perpendiculaire D C, on prend le point C de manière que AC=A G, on aura aussi B c=B G, à cause de la similitude des mêmes triangles, et chacun des deux arcs sera de 6*0 degrés.
  - 3.° Ces deux arcs seront même égaux entre eux, à cause de l’égalité des mêmes triangles, si ïa diagonale AB a été divisée en deux parties égales.
  - Scholie. 1.° On doit placer les points C et c ïe plus près possible des côtés A F et B E du rectangle pour ïa doucine, et des côtés A E et B F pour le talon, afin que ïa courbe soit, par ses extrémités, le plus perpendiculaire possible à l’un des côtés du rectangle, et ïe pïus parallèle à l’autre côté.
  - 2.° Dans ïe talon, il faut absolument éviter que les points C et c soient sur une ligne inclinée du même côté que ïa diagonale du rectangle donné. Cette ligne CGc doit être, ou horizontale, ou verticale, ou comprise entre ces deux limites, et inclinée du côté opposé à ïa diagonale A B : sans cela, la tangente commune aux deux arcs en G serait inclinée au-dessus de l’horizontale au. dehors de ïa moulure, défaut que ïe bon goût réprouve, et qui gérait contraire à ïa soïidité et au caractère de support, qui est l'objet originaire du talon.
  - Scotie.
  - 3. Problème. Sur un rectangïe donné ACBD, Fig. 47, tracer une scotie AFHB, composée de trois arcs circulaires.
  - Solution. Prenez pour centre du premier arc A F, que vous ferez de quart de circonférence, le point E au tiers de ïa hauteur. Proïongez ensuite ïe rayon FE de ïa moitié de sa longueur en G, et prenez ce point G pour centre du second arc F H, que vous ferez d’abord indéfini vers H. Portez le rayon GF de B en L; joignezLG, et, sur ïe milieu de cette ïigne L G, élevez une perpendiculaire, qui donnera, sur le côté B C prolongé, un point d’intersection N. Ce point N sera ïe centre du troisième arc BH, et servira à déterminer ïe second arc, en menant la droite N G H.
  - Telle est ïa scotie que ï’on exécute chez les modernes à la base de la colonne ionique, et où ïa saillie est ïes trois quarts de ïa hauteur; étant de 2 1/4 parties de module, tandis que la hauteur est de trois parties.
  - Anse de panier ou Ovale. Nomenclature, Fig. 48.
  - 4. A KD B. Demi-ovaïe, nommé par les pra-
  - ticiens anse de panier.
  - AB. Diamètre
  - CD. Montée.
  - AK. Arc extrême ; ou naissance de la
  - courbe.
  - KD L. Arc moyen, dont le milieu D est
  - ïa clef.
  - AF. Tangente à ïa naissance.
  - GH. Tangente à l’arc de ïa cïef.
  - KL Rayon de ï’arc extrême.
  - Ki. Rayon de ï’arc moyen.
  - 5. Comme ces courbes doivent être formées d’un
  - même nombre d’arcs égaux, deux à deux, de part et d autre de celui du milieu, ïe nombre total des arcs qui composent une anse de panier doit toujours être impair, et ï arc du milieu doit toujours être coupé en deux parties égales; et, comme ïes tangentes à la
  - ( 2 )
  - Folgesâtze. l.° Die beiden Zirkelbogen AG, B G, sind nothwendig einander gleich, oder ent-halten eben so viel Grade , und zwar wegen der Aehnlichkeitder Dreiecke ACG, BcG.
  - 2. ° Wenn man auf der Perpendicularlinie D C, den Punkt C dergestalt nimmt, dass A C= A G ; so wird auch Bc==B G, und zwar ebenfalls wieder wegen der Aehnlichkeit derselben Dreiecke, wobei ein jeder der beiden Zirkelbogen ans 60 Graden bestehen wird.
  - 3. ° Diese beiden Zirkelbogen werden , wegen der Gleichheit dér gedachten Dreiecke , einander ebenfalls gleich seyn, wenn die Diagonallinie A B in zwei gleiche Theile getheilt worden ist.
  - Anmerkung. l.° Bei der Rinnleiste müssen die Punkte C und c so nahe aïs môglich an die Seiten A F und B E des Rechtecks , und bei dem Kehl-stosse eben so nahe an die Seiten A E und B F ge-bracht werden ; damit die Enden der krummen Linie mit der einen Seite des Rechtecks so perpendicular aïs môglich , und mit der andern Seite so paralleï aïs môglich seyen.
  - 2. °Bei dem Kehïstosse dürfen die Punkte C und c
  - sich durchaus nicht auf einer Linie befmden, welche nach derselben Seite geneigt ist, wie die Diagonallinie des gegebenen Rechtecks. Diese Linie CGc muss entweder horizontal oder senkrecht , oder zwischen diesen beiden Lagen zugleich begriffen, und auf der Seite geneigt seyn, welche der Diagonallinie A B entgegengesetzt ist ; indem sonst der Tangent, welcher bei G den beiden Zirkelbogen gemeinschaftlich ist, über der Horizontallinie, und ausserhalb des Gesimses geneigt wâre, weldies den guten Geschmack beleidigen, der Festigkeit schaden, und mit der eigentlichen Bestimmung des Kehl-stosses, welcher zum Trâger dienen soll, im Wider-spruche stehen würde. t
  - Scotia (Vertiefung).
  - 3. Problem. Auf einem gegebenen Rechteck ACBD, Fig. 47, eine aus drei Zirkelbogen zu-sammengesetzte Scotia AFHB zuzeichnen?
  - AüFLôsung. ZumMitteïpunkte des ersten Bo-gens AF, dessenUmkreis 1/4 betrâgt, nehme man den Punkt E, im dritten Theile der Hôhe. Man verlângere sodann den Radius FE, um die Hàlfte seiner Lange in G ; und nehme diesen Punkt G zum Mitteïpunkte des zweiten Bogens FH, den man zuerst nach H zu unbestimmt zeichnet. Man führe den Radius GF von B nach L, vereinige LG, und richte auf der Mitte dieser Linie LG eine Perpendicularlinie auf, welche sich auf der ver-lângerten Seite B C, bei N durchschneidet. Dieser Punkt N wird der Mittelpunkt des dritten Zirkeï-bogens B H seyn , und zugleich zur Bestimmung des zweiten Bogens dadurch dienen, dass man die gerade Linie N GH zieht.
  - So ist die Scotia beschaffen, welche in der neuen Baukunst am Fusse der jonischen Saule ausgeführt wird, wo der Vorsprung 3/4 der Hôhe ausmacht, welches 2 1/4 Theil des Models ist ; wâhrend die Hôhe drei Theile betrâgt.
  - Oval.
  - Benennungen, Fig. 48.
  - 4. A KD B. Halbes Oval.
  - AB. Durchmesser.
  - CD. Hôhe.
  - AK. Aeusserster Bogen, oder Anfang der krummen Linie.
  - KDL. Mittler Bogen, dessen Mitte D der Schlussbogen ist.
  - AF. Tangent am Anfange.
  - GH. Tangent am Schlussbogen.
  - KL Radius des âussersten Bogens.
  - Ki. Radius des mittleren Bogens
  - 5. Da diese krummen Linien aus einer und derselben Anzahl gleicher Bogen gebildet werden, welche auf beiden Seiten, zwei und zwei, von dem mittleren entfernt sind, so muss die Gesammtzahl der Bogen , aus denen eine halbe Ovale besteht, jederzeit eine ungerade Zahl seyn ; auch muss der
  - Corollary. l.rst The two arches A G, B G, are necessary similar, or are of the same number of degrees, because of the similarity of the triandes ACG, BcG.
  - 2. d If, upon the perpendicular DC,wetake the point C so as to hâve A C= A G, we shall also hâve Bc=B G, because of the similarity of the said triangles, and each of the two arches will be 60 degrees.
  - 3. d These two arches will be equal, as the said triangles are equal, if the diagonal A B is dividcd into two equaï parts.
  - Scholion. l.rst The points C and c should be pïaced as near as possible to the sides A F and B E of the rectangle for the gola, and to the sides A E and B F for the talon, so that the curve may be, at its extremities, as perpendicular as possible to one of the sides of the rectangle, and as paralleï on the other side.
  - 2.d In the talon, it is necessary to take notice that the points C et c be not on a line with the samq inclination as the diagonal of the given rectangle. This line CGc ought to be either horizontal, or vertical, or comprised between these two limits, and inclined towards the side opposed to the diagonal A B ; unless this be done, the tangent common to the two arches at G would rise over the horizontal beyond the moulding, a clefect which good taste would avoid , and which would be contrary to solidity and to the character of supporter, which is the original object of the taïon.
  - Scotia.
  - 3. Problem. Upon a given rectangle ACBD, Fig. 47, trace a scotia AFHB composed of tliree circular arches.
  - SOLUTION. Take for center of the first arch AF, which you will trace a quarter-round, the point E, to the third of the height. Continue then the radius F E the half of its length at G, and take the point G for the center of the second arch F H, which will be drawn undefined towards H. Carry the radius GF from B to L; join LG; and, upon the middleofthe line L G, raise a perpendicular, which will give, upon the side BC continued, a point of intersection N. The point N will be the center of the third arch B H, and will serve to détermine the second arch, carrying the right line N G H.
  - Such is the scotia which is executed in modem cïays at the base of the Ionie column, and in which the saliant is the three fourths of its height; king 2 1/4 parts of module, whilst the height is three parts.
  - Fiat Arch or Oval.
  - Nomenclature, Fig. 48.
  - 4. A K D B. Half oval.
  - AB. Diameter.
  - CD. Mounting.
  - AK. Extrême arch, or rise of the
  - curve.
  - KDL. Middle arch, the middle D of
  - which is the key.
  - AF. Tangent at its rise.
  - GH. Tangent at the bend of the key.
  - K I. Radius of the extreme arch.
  - KI. Radius of the micldle arch.
  - 5. As these curves should be formed of a Iike number of equal arches, two by two, on one side and the other from that of the middle, the total number of arches which compose an oval, should aïways be odd, and the middle arch should be always eut into two equal parts; ancl, as the tangents
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- - naissance et à la clef doivent être perpendiculaires ' aux extrémités du diamètre et de la montée, les arcs extrêmes doivent toujours avoir leur centre sur le diamètrç, et l’arc moyen sur le prolongement de la 1 montée.
  - 6. Anse de panier à trois centres. Lorsqu’elle n’est pas extrêmement surbaissée, on peut donner aux arcs extrêmes plus ou moins de degrés; mais, quand la montée est moindre que la moitié du demi-diamètre, on donne à chacun des arcs extrêmes plus de GO degrés, et bon augmente d’autant plus ces arcs, que i’anse est plus surbaissée.
  - 7. Problème. Le diamètre AB et la montée CD d’une anse de panier étant donnés, avec les centres E, F des arcs extrêmes, décrire la courbe. Fig. 19.
  - Solution. Sur Ja montée CD, prenez la portion D H=A E; joignez EH, et, smvïe milieu de cette ligne, élevez la perpendiculaire IG, qui, par son intersection avec le prolongement de ïa montée, vous donnera en G le centre de l’arc moyen, tandis que les droites GEK, G FL, déterminent les points de jonction des trois arcs.
  - 8. Problème. Le diamètre AB et ïa montée
  - I
  - CD d’une anse de panier étant donnés, avec le centre G de ï’arc moyen, trouver les centres des arcs extrêmes.
  - Solution. Fig. 20. Portez D G de A en H; joignez G H, et par ïe point I, milieu de cette ligne, élevez une perpendiculaire IE; elle vous donnera, surïe diamètre, en E, le centre d’un des arcs extrêmes.
  - Remarques. 1,° La solution devient impossible lorsqu’on a AE > CD dans ïe premier de ces deux problèmes, et D G> AB dans ïe second; et, dans fim comme dans ï’autre, ïa solution donne un cercïe,
  - quand on a AE = CD ou D G = A?.
  - 2. ° Dans ces deux problèmes, ïes arcs extrêmes de la courbe sont chacun moindres que 60 degrés.
  - 3. ° Lorsque ï’anse de panier est fort surbaissée, que ïa montée est moindre que la moitié du demi-diamètre, ïa courbe donnée par ces deux solutions fait une espèce de jarret désagréable à chacun des points de jonction des trois arcs, en sorte que ces procédés ne doivent être appliqués qu’aux anses de panier peu surbaissées.
  - 9. Problème. Le diamètre A B et ïa montée CD d’une- anse de panier étant donnés, décrire ïa courbe par trois arcs de 60 degrés chacun. Fig. 21.
  - *
  - l.rc Solution. Fig. 21. Sur AC comme base, décrivez le triangle équilatéral A C K; ensuite, du point C, comme centre, avec le rayon CD, décrivez l’arc DH, terminé au côté CK; puis, ayant mené ïa droite D H prolongée jusqu’en I sur l’autre côté A K, menez ïa ligne IEG parallèle à C K ; elle vous donnera en E et en G ïes centres de l’arc extrême AI, et de ï’arc moyen ID L.
  - Démonstration. L’angle A C K du triangle équilatéral étant de 60 degrés, ï’angïe H CD est de 30 degrés, de même que IGD. Ainsi, l.° ïes trois arcs dont ï’anse est formée sont chacun de 60 degrés ; 2.° ces trois arcs s’aboutent, et ont une même tangente à leur jonction, puisque leurs centres E, G, F, sont deux à deux sur une même droite; 3.° ï’arc mené par ïe point I avec le rayon GI doit passer par ïe point D, sommet de ïa montée, puisque, à cause de IG parallèle à H C, le triangle IGD est semblable au triangle H C D, isocèïe comme lui, et donne IG = GD.
  - ( 3 )
  - mittlere Bogen jederzeit in zwei gleiche Theile zer-schnitten seyn. Und da die Tangenten am Anfange und am Schlusse mit den Enden des Durchmessers Rmd der Hôhe perpendicular seyn müssen, so vver-den die aussersten Bogen ihren Mitteïpunkt stets auf dem Durchmesser, und der mittlere Bogen den sei-nigen auf der Yerlângerung der Hôhe haben.
  - 6. O val mit drei Mittelpunkten. Wenn solches nicht zu sehr gedrückt ist , so kann man den aussersten Bogen mehr oder weniger Grade geben ; wenn aber die Hôhe weniger aïs 1/2 des halben Durchmessers betragt, so erhiilt jeder der aussersten Bogen mehr aïs 60 Grade, und je gedrückter das halbe Oval ist, desto mehr vergrôssert man diese Bogen.
  - 7. Problem. Es wird gegeben der Durchmesser AB und die Hôhe CD eines halben O vais nebst den Mittelpunkten E, F der aussersten Bogen, wie wird daraus die krumme Linie beschrieben? Fig. 19.
  - AuflôSUNG. Auf der Hôhe CD nehme man den Theil D H = A E , vereinige E H, und richte auf der Mitte dieser Linie die Perpendicularlinie IG auf; diese wird bei G, wo sie die Yerlângerung der Hôhe durchschneidet, den Mitteïpunkt des mittleren Bogens geben, wâhrend die geraden Linien GEK, G FL die Verbindungspunkte der drei Bogen be-stimmen.
  - 8. Problem. Es wird gegeben der Durchmesser AB, und die Hôhe CD eines halben O vais, nebst dem Mittelpunkte G des mittleren Bogens, wie fin-det man die Mittelpunkte der aussersten Bogen?
  - AuflôSUNG. Fig. 20. Man führe D G von A nach H; vereinige GH, und nachdem man auf der Mitte I dieser Linie , eine Perpendicularlinie IE aufgerichtet hat, so wird selbige auf dem Durchmesser bei E, den Mitteïpunkt von einem der aussersten Bogen geben.
  - Anmtrkungen. 1.° Die Auflôsung wird unmôg-ïich, wenn man AE> CD im ersten von diesen beiden Probïemen, und D G > AB im zweiten hat, und in beiden Fâïïen giebt die Auflôsung einen
  - A B
  - Zirkeï, wenn man AE=CD oder D G= — hat.
  - 2
  - 2. ° Bei diesen beiden Probïemen betragt jeder âusserste Bogen der krummen Linie weniger aïs 60 Grade.
  - 3. ° Ist die halbe Ovale sehr gedrückt, und be-trâgt die Hôhe noch nicht die Hâïfte des halben Durchmessers, so erhâït die durch diese beiden Auflôsungen beschriebene krumme Linie an jedem Punkte, wo die drei Bogen verbunden werden, einen unangenehmen Bug, weshaïb denn dieses Verfahren bïos bei minder gedrückten Ovaïen an-wendbar ist.
  - 9. Problem. Mit dem gegebenen Durchmesser AB, und der Hôhe CD eines haïben Ovaïs die krumme Linie vermitteïst dreier Bogen, von de-nen ein jeder 60 Grad betragt zu beschreiben ? Fig. 21.
  - 1.u AUFLÔSUNG. Fig. 21. Auf der Grundïinie A C aïs Basis, beschreibe man das gïeichseitige Dreieck A CK; sodann ziehe man aus dem Mitteï-punkte C mit dem Radius CD, den Bogen DH, weïchersich an der Seite von CK endigt; und nachdem man die gerade Linie D H bis nach I auf der andern Seite von AK verïângert hat, so ziehe man die Linie IE G paraïïeï mit CK: seïbige wird bei E den Mitteïpunkt für den aussersten Bogen AI, und bei G, den des mittleren Bogens IDL beschreiben.
  - Beweis. Da der Winkeï A CK des gïeichseitigen Dreiecks 60 Grade hat, so enthaïten die Winkeï H CD und IGD ein jeder 30 Grade. Diesem zufoïge enthâït, 1.° ein jeder von den drei Bogen , aus de-nen das halbe Ovaï zusammengesetzt ist, 6o Grade; 2.° diese drei Bogen berühren sich, und haben an ihrem Yerbindungspunkte den nâmïichen Tangent, und zwar um deswiïïen, weiï sich ihre Mittelpunkte E, G, F , zwei und zwei, auf einer und derseïben geraden Linie befinden ; 3.° der Bogen, weïcher mit dem Radius GI, durch den Punkt I geführt worden ist, muss durch die Hôhe D gehen, weiï wegen der Linie I G, weïche mit H C paraïïeï ist, der Triangeï IGD, dem Triangeï HCD gïeich ist, und IG= G D giebt.
  - at the rise and at the key should be perpendicular to the extremities of the diameter and the mounting } the extreme arches should always hâve their center upon the diameter, and the middle arch upon the continuation of the mounting.
  - 6. Oval with three centers. When it is not ex-tremeïy elliptic, more or ïess degrees may be given to the extreme arch ; but, when the mounting is Iess than the half of the semi-diameter, more than 60 degrees are given to each of the extreme arches, and these arches are more augmented according as the oval is more elliptic.
  - 7. Problem. The diameter A B and the mounting CD of an oval being given, with centers E, F of the extreme arches, to describe the curve. Fig. 19.
  - Solution. Upon the mounting CD, take the portion D H=AE ; join EH, and, upon the middle of that ïine, raise the perpendicular I G, which, by its intersection of the continuation of the mounting, will give at G the center of the middle arch, whilst the right ïines GEK, G F L, détermine the points of junction of the three arches.
  - 8. Problem. The diameter A B and the mounting C D of an oval being given, with the center G of the middle arch, to find the centers of the extreme arches.
  - Solution. Fig. 20. Carry D G from A to II; join GH, and upon the point I, middle of that ïine, raise a perpendicular IE, which wiïl give you upon the diameter, at E, the center of one of the extreme arches.
  - Remarks. l.rst The solution becomes impossible when we hâve A E > C D in the first of these two problems, and D G> AB in the second ; and, in one as in the other, the solution gives a circle, when we
  - bave A E = CD or D G=—.
  - 2. d In these two problems, the extreme arches of the curve are each ïess than 60 degrees.
  - 3. d When the oval is greatly elliptic, and the mounting is ïess than the half of the demi-diameter, the curve given by these two solutions displays a want of uniformity at each of the points of junction of the three arches, so that this proves should be only applied to ovaïs Very little elliptic.
  - 9. Problem. The diameter A B and the mounting CD of an oval being given, to describe the curve by three arches of 60 degrees. Fig. 21.
  - Solution. Upon AC as base, describe the équilatéral triangle A C K ; then, from the point C as center, with the radius CD, describe the arch D H, terminated on the side CK; then, Iiaving carried the right line D H continued to I upon the other side A.K, carry the line IEG paraïïeï to CK, which will give at E and at G the centers of the extreme arch AI, and of the middle arch IDL.
  - Démonstration. The angle A C K of the équilatéral triangle being 60 degrees, the angle HCD is 30 degrees, as weiï as IGD. Thus, l.Ist the three arches of which the oval is formed, are each 60 degrees ; 2.d these three arches touch and bave the same tangent at their junction, since their centers E, G, F, are two by two upon a like right line ; 3.d the arch carried through the point I with the radius GI must pass thro’ the point D, top of the mounting, since, because I G is paraïïeï to HC, the triangle IGD is similar to the triangle HCD, isosceles like it, and gives IG=GD.
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- - \
  - 1F Seholie. Dans ce cas on a toujours GD — AF=BE ; car GD = GI = IL=AF, à cause des parallèles IL, AF.
  - 2.e Seholie. Ayant mené Hn.parallèle à AC, et H m perpendiculaire à A K, le triangle H K n sera équilatéral, et H m divisera en deux parties égaies, et le côté K n, et l’angle K H n, dont chaque partie sera conséquemment de 30 degrés. Mais l'angle KHI, opposé par îe sommet à ï’angie CHD du triangle
  - 180°_30°
  - CD H, est, commeceïui-ci, de------------=75°.Et
  - si de KH 1 = 75° on ôte KH m = 30°, il reste m H 1=45°, et qui sera par conséquent égal à m III, en sorte que m I=m H.
  - Faisant donc K m = m n = 1, ce qui donne Kn=KH=n H=2, le triangle rectangle K mil donnera m H2 = K H1 — K m2, = 4 — 1=3; et m H=m 1=^/3 : d’où il suit que IK étant = I m-+-mK=y/~3-f-l;et que n I étant = m I—m n= ]/ 3—1. Donc, en général, 2 : y/’3— 1 : : K H : ni
  - K II
  - X(/3~1):
  - CA—CD
  - x(y~ 3—1).
  - Ainsi, en menant par le point n ïa ligne n P parallèle à K C; PC, qui sera=n H= n K=KH, sera CA — CD; et PE, qui sera=n I, devra CA—CD .
  - être =-------x(/3—1).
  - 2/ Solution. Fig. 22. Ayant porté ia montée C D sur le diamètre de A en P, sur C P comme diamètre, décrivez le demi-cercle C T P, et, sur le milieu S du rayon, élevez la perpendiculaire S T : joignez ensuite TP, dont vous porterez la longueur de R en E, et ce point E sera ïe centre de l’arc extrême, au moyen duquel vous aurez le centre G de l’arc moyen, en formant sur A E un triangle équilatéral dont vous prolongerez le côté IE jusqu’à la montée, prolongée elle-même.
  - Démonstration. Puisque C P a été faite r: C A—C D,
  - C R=P R
  - CA—CD CA —CD „ r
  - ------, et S C =-----Or le
  - triangle rectangle PTC donne
  - 1.“ T S = Vp SxS C='/ç(CA — CD)x | (CA-CD) = /i (CA-CD)‘ =
  - 4
  - CA—CD
  - A
  - 2.° T C=/fs‘+S C’-=V-^(CA-CV)‘ “-rV (CA—CD(CA—CD)* =
  - CA-CD
  - 5 ’
  - (CA-CD)
  - 3.“PT=T/Fci-CT* = T/(CA—CD)*-|CA-cUj‘=-j/(C A _CD)
  - V \ (CA—CD)* =
  - CA-CD
  - 4 c - - - - / 2
  - Donc P E, qui est PT—PR = CA—CD CA—CD
  - x y^S.
  - CA—CD
  - :/ 3
  - ^ x(i/3 — 1); quantité
  - assignée par le 2.e seholie de la l.ve solution, pour déterminer le centre de l’arc extrême.
  - 3/ Solution. Fig. 23. Portez C D de B en P, et faites CR = 1/2 CP ; sur P R, comme diamètre, décrivez une demi-circonférence, qui coupera C D en T ; portez R T de R en E : ce point E sera le centre de l’un des arcs extrêmes, qui procurera celui de l’arc moyen en le renvoyant en F, et formant ensuite ïe triangle équilatéral EFG.
  - Démonstration. C P étant = C A — CD,
  - , „ CA-CD -----a (C A—CD)2,
  - 1. ° CR=-----, et c R =---- ;
  - 2 4
  - 2. ° C T= l/CR xCP=]/(CA—CD)x
  - CA—CD -j/(CA — .CD)/
  - 2 2 ’
  - 3. ° RT = 1/W~+Wr= V
  - (ü A — CD)2, -j/
  - I (CA-CD y
  - 4
  - CA—CD
  - x/3.
  - so ist CR =P R:
  - CA-CD
  - und S C
  - CA—CD
  - Nun giebt aber das rechtwinkelige Dreieck PTC : l."TS= V^P Sx SC = l/|(CA-CD)x
  - ï(CA
  - CA—CD
  - — CD) x/3.
  - 2.° TC Tts* h-H_ TT ( C A-CD)‘;
  - CA—CD
  - V TZ (CA-CD)'
  - SC*='/tV(CA-CD)1 = t/a (CA-CD)* =
  - 2
  - 3.° PT:
  - /CA—
  - l 3
  - c Dy
  - = ]//pCi — CT2=/ (CA—CD/-= ]/ ( C A—CD V — (_
  - //(CA-CD)1
  - (CA-CD)1
  - CA—CD
  - x/~3.
  - AlsoPE, weïchesistPT —PR= ——^x/3
  - CA—CD CA—CD , _
  - — — -----------2— x (Y 3— O > welches die
  - in Anmerkung 2 , Auflôsung 1, angegehene Grosse betragt, und den Mittelpunkt des àussersten Bogens bestimmt.
  - 3.teAuflôsung. Fig. 23. Man führe CD von B in P, und mâche CR = 1/2 CP : auf der aïs Durchmesser angenommenenLinie PR, beschreibe man einen halben Zirkelbogen, welcher CD beiT durchschneiden wird ; man führe RT vonRnach E; worauf dieser Punkt E den Mittelpunkt eines der àussersten Bogen bilden , und zugleich den des mittleren Bogens dadurch bestimmen wird , dass man ihn nach F zurückführt, und sodann das gleich-seitige Dreieck EFG bildet.
  - Beweis. Da CP ist =z= C A— CD, so ist,
  - 1. ° CR
  - 2. ° CT:
  - CA—CD
  - ,und CR2
  - (CA—CD)-
  - CA—CD
  - = ]/C RxCP: ]/ (CA-
  - y (CA—CD)x
  - C D)‘
  - 3.c
  - R T=ycR‘ + C4'* = /tgA-cp)‘
  - (CA — CD)2___/
  - /(.CA—CD)3
  - CA-CD
  - x/3.
  - 7." Anmerkung. In diesem Falle hat man jeder-zeit GD = AF = BE ; denn GD = GI — IL = A F, wegen der Parallellinie I L, A F.
  - 2.,e Anmerkung. Da Hn mit AC parallel, und^ Hm mit AK perpendicular gezogen worden ist; so ist das Dreieck HKn gleichseitig, und Hm theilt in zwei gleiche Theile , sowohl die Seite K n, aïs den Wiiikel KHn, daher denn ein jeder Theiï von diesen ïetztern 30 Grade betragt ; allein der Winkeï KHI, welcher an der Hôhe dem Winkel CHD des Dreiecks CD H entgegengesetzt ist, betragt wie
  - dieser letzte-------= 75°. Und vvenn man von
  - 2
  - K H I = 75°, KHm = 30° abzieht , so bleibt m HI = 45° , welches folglich m IH gleich ist ; so dass m I = m I I.
  - Macht man also K m=m n = 1, welches Kn=KH —n H= 2 giebt ; so wird das rechtwinkelige Dreieck KmÔ, mTi2=ÎCH2 —KM2—4—1=3 geben; und mH=m I=/3 : woraus folgt, dass da I K ist I m -4- m K= / 3 —f- 1 ; und da ferner ni ist — m I — m n=/3— 1. Also ist im allgemeinen
  - 2 : /3 —1 : : K H : n I =^x (/3 — 1) =
  - CA—CD .
  - ——. x(/3—1).
  - Führt man also durch den Punkt n die Linie nP parallel mit K C ; so wird P C, welches ist = n H = n K = K H, seyn CA — CD ; und P E welches
  - ist = n I, wird seyn müssen = —x(/3 — 1 ).
  - 2.u AUFLÔSUNG. Fig. 22. Hat man auf dem Durchmesser die Hôhe CD von A nach P geführt, so beschreibe man auf CP aïs Durchmesser, den Harlbzirkel C T P ; und richte auf der Mitte S des Radii, die Perpendicularlinie S T auf: man vereinige hierauf TP, dessen Lange man von R nach E führt; worauf dieser Punkt E der Mittelpunkt des àussersten Bogens seyn wird, vermittelst welchem man den Mittelpunkt G dadurch erhàlt, dass man auf der Linie A E ein gleichseitiges Dreieck bildet ,* dessen Seite 1E man bis zur Hôhe D verlângert.
  - Beweis. Da CP gemacht worden ist =: CA—CD ;
  - Scholion 1.rst In this case we bave aîways CI) = AF=BE; for GD = GI=IL = A / he-cause of the parallels IL, A F.
  - Scholion 2.d Having màde Hn parallel to AC, and Hm perpendicular to AK, the triangle IIKn will be équilatéral, and H m will divide into two eqnal parts, and the side Kn, and the angle KHn, of whicheach part will be consequently 30 degrees. But the angle KHI, opposed at the top to the angle C H D of the triangle C D H , is, like the latter,
  - 1 «no_^no
  - ---------.=75®. And if from KHI=75°we take
  - 2
  - K H m = 30°, there remains m HI = 45°, and which consequently will be equal to mllï, so thaï ml=m H.
  - Making then K m = m n = 1, which gives Kn = K H = nH = 2, the rectangular triangle KmH willgiveKTH2—kTÏÏ2—K m2=4 —1=3, and mH = mI = y/3: whence it follows tliat IK being = I m-i-m K = /3 1 , and that n I,
  - being^m I — mn = -/ 3 — 1. Then, in general,
  - 2 : /3
  - CA—CD
  - 1 : : K H : n I
  - KH
  - x(/3-l)
  - x(v/3—!)•
  - Thus, in carrying thro’ the point n the line nP parallel to KC ; P C, which will be=nH=nK= KH, will be=C A—CD ; and PE, which will be
  - =nI,shouId be — --^ CPx (~/~3 — 1).
  - 2/ Solution. Fig. 22. Having carried the mounting C D upon the diameter from A at P, upon CP as diameter, describe the half circle CTP, and, upon the middle Sof the radius, raise the perpendicular ST : join then TP, which you will carry thro’ R to E, and the point E will be the center of the extreme arch, by means of which you will hâve the center G of the middle arch, in forming over AE an équilatéral triangle, of which you will prolong the side IE to the mounting, which is itself continued.
  - Démonstration. Since C P has been made =
  - CA — CD, CR=PR=tiA^£,andSC =
  - CA—CD
  - l.rst T S
  - # Now the rectangular triangle PTC gives
  - t/Rcâ
  - i (C a
  - CA—CD
  - VPSxSC
  - V TZ (CA-CD
  - Cü)x
  - C D)
  - x /3.
  - 2/ TC=/tS2 + s C*=l/^(CA—CD)1
  - CA
  - F6 (CA-
  - -CD
  - •CD)* = /^(CA-CD)‘
  - 3.J pT—-j/[.(j1—CT’-=]/(CA—CD)1-!j‘ = l/(CA- '**"* (UA-CI)):
  - CA—CD
  - (
  - ~[/1 (CA —CD)'
  - CD) CA—CD
  - Then PE, which is PT CA—CD CA—CD
  - -PR
  - x V~3- p
  - CA-CD
  - / 3
  - ___ x(l/~ 3 — 1 ) ; the quanlity
  - assigned by the 2.d scholion of the l.rst solution to détermine the center of tire extreme arch.
  - 3.d Solution. Fig. 23. Carry CD from B to P, and make CR=1/2CP; upon PR as diameter describe a half circle, which shall eut CD at T; carry R T from R to E : the point E vill be the center of one of the extreme arches, which will obtain that of the middle arch in referring it to F, and then forming the équilatéral triangle EFG.
  - Démonstration. CP being=CA — CD,
  - .rstni5 CA—CD --------------, (C A—CD)1
  - l.rst CR =---------, and CR =-----------
  - 2/ C T = /CRxCP = / (CA —CD)x
  - CA—CD |/(CA-CD)2 " 2 2 ’
  - 3.d R T = Y C R1 h- CT1 = /(ÜAzîiï' +
  - 4
  - (ça—cd)2__y
  - / r* k UN \ ^ CA—CD rn
  - (CA—CD) =----tr-x/3.
  - 2
- p.4 - vue 210/390
- - Ainsi CE, qui est RT+ CR=^-^x /3
  - CA—CD CA—CD 2 2
  - x(/3+1), quantité as-
  - signée aussi pour déterminer le centre de Farc extrême, au 2.e scholie de la l.re solution, sous la dénomination I m-t- m K ou I K, qui est égal à C E.
  - 4/ SOLUTION. Fig. 24. Portez CD de A en P; sur le milieu de C P, élevez la perpendiculaire R T, C P
  - que vous ferez = — ; enfin, du^point T, comme
  - centre, et d’un rayon=CP, coupez A C en E : ce sera le centre de Fun des arcs extrêmes , que vous renverrez en F, pour avoir celui de Fautre; ce qui donnera le centre de Farc moyen par le triangle équilatéral EFG.
  - Démonstration. T E étant=C P=C A—C D,
  - p A_p *
  - PR=TR=-------------. Le triangle rectangle ERT
  - donne RE=]/tE* 2, * * * 6 * * * 10—TR^l/(CA—CD)"— |Ü±Z^:=/(CA — CD)1 — =
  - V'|(CA-CD)*=C-±^- x /3.
  - Ainsi P E, qui estRE —P R= CA X y/3—
  - CA-CD CA—CD , ro
  - ______=---------x (y 3— 1), quantité caractéristique du centre de Farc extrême. ( 4.re SoL., Schol. 2.e)
  - 5? Solution. Fig. 24, 22, 23 et 24. La racine carrée de 3 étant 1,7320508 , si Fon y ajoute 1, on aura 2,7320508 qui sera =^3 -+-1. Prenez donc ïa moitié de la différence entre le demi-diamètre et la montée, et multipliez ce nombre par
  - 2.7320508, vous aurez C E; et pour avoir C G, il suffît de multiplier le premier résultat CE par
  - 1.7320508. La démonstration est la même que pour la 3/ solution.
  - Remarque. Nous avons rassemblé, développé et démontré toutes ces solutions du problème le plus usité sur les anses de panier, parce que bien des auteurs et plus encore de praticiens en présentent de mauvaises ; ou, s’ils en donnent de bonnes, ils les regardent comme exclusives, en méprisant toutes les autres.
  - 10. Problème. Étant donné, Fig. 26, le diamètre AB et la montée CD d’une anse de panier, avec les centres E, F des arcs extrêmes, que Fon veut de 60 degrés chacun, de manière que la différence BE du diamètre de l’anse au rayon de Farc extrême soit égale à D G, distance du sommet de la montée à l’intersection des prolongemens des rayons des arcs extrêmes, décrire cette courbe à cinq centres.
  - Solution. Prolongez les rayons HE, IF, qui formeront le triangle équilatéral EFG; portez IIE de E vers G en K, qui sera le centre du second arc : portez ensuite K G en G O, et vous aurez en O le centre de Farc moyen, dont vous fixerez les limites en menant O K L d’un côté de ïa montée, et O M N de Fautre.
  - Démonstration. L’angle H GD, complément de CE G, qui est opposé à H E A, est de 30 degrés; d’où il suit que EGF est de 60 degrés, que F E= GE, et que F A=G H = GD. D’un autre côté, l’angle HGD, de 30 degrés, étant extérieur au triangle K G O, qui est isocèle, puisque GO=GK, équivaut à ïa somme des deux angles égaux G K O, GO K, qui sont ainsi chacun de 15 degrés. Mais LD est la mesure de l’angle GO K, et HL celle de l’angle HKL, opposé et égal à G K O. Ainsi les deux arcs HL et L D, décrits Fun du centre K avec 3/ Partie.
  - ( 5 )
  - Also CE, welches istRT-4-CR=——^— Xy^3
  - _-----x (y 3 1 ), weiche Grosse
  - ebenfalls in der zur ersten Auflôsung gehôrigen zweiten Anmerkungangegeben ist, und den Mittel-punkt des âussersten Bogens unter der Benennung Im+mK oder IK, welchesgleich istCE,bestimmt. 4.u Auflôsung. Fig. 24. Man trage CD aus
  - A in P ; richte sodann auf der Mitte von C P die
  - C P
  - Perpendicularlinie R T auf, und mâche sie = — ;
  - wenn man hierauf aus den zum Mittelpunkt ange-nommenen Punkte T, und aus einem Radius CP,.die Linie AC bei E durchschneidet, so er-hâït man daselbst den Mittelpunkt des ersten ausse-ren Bogens ; setzt man diesen zurück nach F, so erhàlt man nicht allein den andern, sondern es er-giebt sich zugleich daraus der Mittelpunkt für den mittleren Bogen , durch das gleichseitige Dreieck EFG.
  - Beweis. Da TE ist = CP=CA CA—CD
  - CD, so ist
  - PR=TR:= ——17^ Das rechtwinkeïige Dreieck
  - K 2 __________ .______________
  - ERTgiebtRE = /'rÊ-TR1 =T/(CA-(;[)j1-
  - (£±_£E)W/ (CA-CD ).-g±z-°3‘= f/|(CA—CD)*=£^=££x/3.
  - Aiso P E, welches ist R E—P R= ——— x^/ 3—
  - CA_CD CA_CDx y ^ — welches nach
  - Anm. 2 , Aufl. 4, die Grosse für den Mittelpunkt des âussersten Bogens betrâgt.
  - â.‘e Auflôsung. Fig. 24, 22, 23 und 24. Die Quadratwurzel von 3 macht 1,7320508 ; fügt man noch 1 hinzu, so erhâlt man 2,7320508, welches gleich ist 3 -+-1. Diesem zufolge nehme man die Hâïfte des Unterschiedes zwischen dem halben Durchmesser und der Hôhe, und multipli-ciere diese Zahl mit 2,7320508, worauf man CE erhâlt ; um nun C G zu bekommen, so braucht man blos das erste Résultat CE mit 1,7320508 zu mul-tipïiciren. Der Beweis ist der nâmïiche, wie in der dritten Auflôsung.
  - Anmerkung. Da das über die halben Ovale auf-gestellte Problem am hâufigsten vorkommt , so haben wir die dasselbe betreffenden Auflôsungen um deswillen genau auseinandergesetzt und erôrtert, weil viele Schriftsteller und noch mehr Baumeister nicht selten ganz schlechte aufstellen , oder wenn sie ja gute geben , dieselben aïs einzig in ihrer Art anpreisen , und dabei allen andern jeden Werth ab-sprechen.
  - 10. Problem. In Fig. 26 ist der Durchmesser AB nebst der Hôhe CD eines halben Ovals, so wie dieMitteïpunkte E,F, für die âussersten Bogen, weiche zu 60 Graden angenommen worden , ge-geben, so dass beim Radius des âussersten Bogens, der Unterschied BE, im Durchmesser des halben Ovals, gleich ist DG, welches den Abstand der Hôhe im Durchschneidungspunkte der verlânger-ten, zu den âussersten Bogen gehôrigen Radii aus-macht. Wie wird nun dieser mit fünf Mittelpunkten versehene Bogen beschrieben ?
  - AUFLÔSUNG. Man verlângere die Radii HE, IF, weiche das gleichseitige Dreieck EFG bilden werden ; und führe sodann HE aus E gegen G, nach K, welches der Mittelpunkt des zweiten Bogens seyn wird : trâgt man hierauf K G in G O , so erhâlt man in O den Mittelpunkt für den mittleren Bogen, dessen Endpunkt man dadurch bestimmt, dass man O KL nach der einen Seite der Hôhe, und O M N nach der andern führt.
  - Beweis. Der Winkel HGD welcher den Ergân-zungsbogen von CE G, welches HE A entgegenge-setzt ist, ausmacht, betrâgt 30 Grade; daraus folgt, dass EGF aus 60° besteht, dass ferner FE = GE, und dass FA = GH = GD. Auf der andern Seite ist der aus 30 Graden bestehende Winkel HGD, der âussere Winkel an dem Dreieck KG O, welches letztere gleichseitig ist, indem GO gleich ist GK ; er hat also den Werth der beiden gïeichen Winkel G K O, G O K, von denen sonach ein jeder 15 Grade betrâgt, LD aber ist das Maas zum
  - Thus C E, which is R T -+- C R = —-—— x j/3
  - CA—CD CA-CD f /9 ^ .
  - -------x(1/3-Hl), the quantity
  - 2 2
  - assigned also to détermine the center of the extreme arch, in the 2.d scholion of the l.Ist solution, under the dénomination Im-t-mKorIK, which is equal to CE.
  - 4.th Solution. Fig. 24. Carry CD from A to P ; upon the middle of CP, raise the perpendicular
  - C P
  - RT, which you will make = — ; then, from the
  - point T, as center, and witha radius=CP, eut AC at E : this will be the center of one of the extreme arches, which you will remove to F, to hâve that of the other ; which will give the center of the middle arch by the équilatéral triangle EFG.
  - , Démonstration. TEbeing=CP = CA—CD,
  - PR —TR =-----------. The rectangular triangle
  - 2
  - ERT gives R E = |/ TE2,—TR2, = V (CA — CD)1 JÏ±^=/(C A-CD)*-2±^i2'=
  - C A C D
  - Thus P E, which isRE—PR=--------x/ 3—
  - CA-CD^CA-CDx (y3 — 1), the quantity
  - 2 2
  - characteristic of the center of the extreme arch. (4.rst Sol., Schol. 2.d)
  - 6.th Solution. Fig. 21,22,23 and 24. The square root of 3 being 1,7320508, if we add to it 1, we shall hâve 2,7320508, which shalï be = y3 1. Take then the half of the différence be-tween the demi-diameter and the mounting, and multiply this number by 2,7320508, you shalï hâve CE; and to hâve CG, it suffîmes to multiply the first resuit CE by 1,7320508. The démonstration is the same as for the 3.d solution.
  - Remark. We hâve joined, developped and de-
  - monstrated ail these solutions of the problem most
  - in use upon the ovaï form, because a great many authors, and a greater number of practicians, hâve presented very bad ones; or, if they hâve given good ones, they hâve regarded them as exclusive, and hâve despised ail others.
  - 10. Problem. Being given, Fig. 26, the dia-meter AB and the mounting CD of an ovaï, with the centers E, F of the extreme arches, which are supposed to be 60 degrees each, sb that the différence BE of the diameter of the ovaï with the radius of the extreme arch be equal to D G, the distance of the top of the mounting from the intersection of the continuations of the radii of the extreme arches, to describe a curve with five centers.
  - Solution. Continue the radii H E, I F, which will form the équilatéral triangle EFG; carry HE from E towards G to K, which will be the center of the second arch ; then carry KG to G O, and you will hâve at O the center of the middle arch, the limits of which you will fix by drawing O KL on one side of the mounting, and OMN on the other.
  - Démonstration. The angle HGD, completion of CE G, which is opposed to H E A, is 30 degrees; whence it follows that EGF is 60 degrees, that F E=G E, and that F A=G H=G D. On another view, the angle H G D, of 30 degrees, being outside the triangle KG O, which is isosceles, since G O— G K, is équivalent to the sum of the two equal angles G KO, G O K, which are thus each 15 degrees. But LD is the measure of the angle G O K, and HL that of the angle HKL, opposed and equal to G K O. Thus the two arches H L and L D, described, the
  - 2
  - !
- p.5 - vue 211/390
- - KH pour rayon, l’autre du centre O et du rayon O L, sont chacun de 15 degrés ; et le second arc passera nécessairement par le point D.
  - De l’Ellipse.
  - 11. L’elfipse est un ovale bien plus parfait que f’anse de panier, en ce que le changement de courbure y a lieu progressivement et d’une manière insensible, au ïieu de se faire par sauts, comme dans la dernière. On devrait toujours fa préférer à ï’anse de panier pour ïes voûtes et autres ouvrages de ce genre, parce que, tout en formant un coup-d’œiï beaucoup plus régulier, elle donnerait à ïa construction une solidité incomparablement pïus grande. Voici d’abord fa nomenclature des fignes et des points qu’il faut connaître pour parler méthodiquement de cette courbe. Fig. 26, 27 et surtout 28.
  - 12. AB est le grand axe de f’eiïipse; c’est un abus chez quelques praticiens de l’appeler diamètre ;
  - DE, le petit axe, improprement nommé quelquefois montée;
  - C, le centre;
  - F G, les deux foyers;
  - IL, ordonnée du grand axe, ainsi que toute autre droite qui fui serait menée de fa courbe paraffèfe-ment à fa tangente BR de son origine;
  - F H, GH, rayons menés des foyers à un même point H de fa courbe;
  - T H t, tangente à fa courbe au point H ;
  - H K, normale, perpendiculaire à la courbe et à fa tangente au point H ;
  - H h, diamètre de l’ellipse pour fe point H;
  - O O, diamètre conjugué pour fe même point H, cest-à-dire, paraîièïe à la tangente en H;J
  - MM, mm, ordonnées au diamètre H h, aussi paraflèfes à fa tangente en H.
  - 13. L’ellipse est une espèce de cercle à deux centres, jouissant de deux propriétés remarquabfes, et conséquentes î’une à ïautre, savoir : l.° que fa somme des deux rayons FH+GH, menés des foyers à un même point quefconque H de fa courbe, est une quantité constante et invariable; 2.° que fes ordonnées au grand axe sont égafes à ceïfes du cercfe inscrit, et fes ordonnées au petit axe égales à ceïfes du cercfe circonscrit, et en général fes ordonnées à î’un des axes sont à ceïfes du cercle qui aurait cet axe pour diamètre, comme i’autre axe est à celui-là.
  - C’est de ces deux propriétés que découlent toutes fes autres, et particulièrement fes procédés graphiques pour tracer fa courbe, ses tangentes, ses normales, &c.
  - 14. Problème. Une ellipse AD B E, Fig. 28, étant donnée, en trouver tous les éfémens.
  - Solutionl.° Menez dans f’effipse deux cordes quelconques, MM, mm, parallèles entre elfes, et divisez-Ies chacune en deux parties égafes : par leurs points du milieu, N, n, tracez une droite H h; elfe sera un diamètre de l’ellipse proposée, en sorte qu’en fa divisant elfe-même en deux parties égales, son milieu C en sera le centre.
  - 2.° Par fe centre C menez une ligne O o parallèle à MM; elle sera fe diamètre conjugué au premier diamètre H h, parallèle à fa tangente T t à l’origine de ce premier diamètre.
  - ( 6 )
  - Winkef GOK, und IIL das Maas zum Winkel H KL, wefcherGKO entgegengesetzt und gfeich ist. Die beiden Bogen H L und L D, wovon der eine aus dem Mittefpunkt K gezogen ist, und K H zum Radius hat; der andere aber aus dem Mittef-punkte O, und aus dem Radius O L beschrieben ist, enthaïten diesem zufofge ein jeder 15 Grade ; und daher auch der zweite Bogen nothwendigdurch den Punkt D gehen wird.
  - Von den Ellipsen.
  - 11. Die Effipse ist ein voflkommeneres Ovaî aïs das vorhergehende, indem die Verânderung der Kriimmung nicht abgesetzt undeinzefn, wie bei dem vorigen, sondern auf eine unmerkfiche und unun-terbrochene Weise Statt hat. Sie soïfte daher auch bei Gewôiben und andern Werken dieser Art dem vorigen um so mehr vorgezogen werden, da sie sich nicht affein dem Auge unter einer schônern und regefmâssigern Gestaft darstefft, sondern zugfeich auch eine unbedingt grôssere Festigkeit gewàhrt. Wir woffen hier zuvôrderst die verschiedenen Linien und Punkte kennen fernen, wefche man wissen muss, wenn man von diesen Bogen methodisch sprechen wiff. Man sehe die Fig. 26 J27 und vorzügfich 28.
  - 12. AB ist die grosse Axe der Effipse, welche man in der Praxis oft ganz unrichtig den Durch-messer nennt ; .
  - D E ist die kfeine Axe, wefche man bisweifen sehr uneigentfich die Hôhe zu nennen pflegt ;
  - C ist der Mittefpunkt;
  - F G sind die beiden Brennpunkte ;
  - ILsind die Ordinaten in der grossen Axe, wo-runter auch jede gerade Linie begriffèn ist, welche von dem Bogen mit dem am Anfange stehenden Tangent B R, paraflef dahin geführt würde ;
  - FH, GH sind Radii welche aus den Brenn-punkten nach einem und demsefben Punkte H geführt worden sind ;
  - THt ist ein Tangent, welcher den Bogen, bei dem Punkte H berührt ;
  - HK ist eine Normaïïinie, welche mit dem Bogen und dem Tangent im Punkte H perpendicuïar ist ;
  - H h ist der Durchmesser der Effipse für den Punkt H;
  - O 0 ist der Nebendiameter für densefben Punkt H, und zwar ist er paraflef mit dem Tangent in H ;
  - MM, mm sind Ordinaten für den Durchmesser H h, welche mit dem Tangent in H ebenfaïfs pa-raïlef sind.
  - 13. Die Ellipse, welche eine Art von Zirkeî mit zwei Mittefpunkten ist, zeichnet sich durch foîgende zwei besondere Eigenschaften aus; nâmfich : l.° die Summe der beiden Radii FH -f- GH, welche aus den Brennpunkten eines beïiebigen Punktes H, des Bogens gezogen worden sind, ist eine bestimmte und unverânderliche Grosse ; 2.° die Ordinaten an der grossen Axe sind gfeich den Ordinaten des einge-schriebenen Zirkefs, und die an der kfeinen Axe sind gfeich den Ordinaten des umschriebenen Zir-kefs : überhaupt stehen die Ordinaten an einer der Axen gegen die des Zirkefs, wefcher diese Axe zum Durchmesser haben würde, in demsefben Verhàft-nisse wie die zweite Axe im Verhàftniss zu jener steht. Aus diesen beiden Eigenheiten fliessen affe übrige , und namentïich die Art und Weise nach welcher die Effipsen nebst ihren Tangenten, Nor-maffinien, u. s. w., gezeichnet werden müssen.
  - 14. Problem. Von der in Fig. 28 aufgegebe-nen Ellipse ADBE die sâmtfichen dazu gehôrigen Bestandtheife zu finden.
  - AuflôSUNG. l.° Man ziehe in der Ellipse zwei befiebige Sehnen MM, mm, mit einander paraïfef, und theiïe jede in zwei gfeiche Theife ; hierauf ziehe man durch ihren Mittefpunkt N, n, eine gerade Linie H h , wefche ein Durchmesser für die gegebene Effipse seyn wird ; theift man nun diese letztere in zwei gfeiche Theife , so wird die Mitte C den Mittefpunkt dieser Effipse ausmachen.
  - 2.°Durch den Mittefpunkt C, ziehe man eine Linie Oo paraffef mit MM, sie wird der Nebendiameter von dem ersten Durchmesser H h seyn, und mit dem Tangent Tt, welcher sich am An-
  - one from the center K with KII for radius, (lie other from the center O and the radius OL, are each of 15 degrees; and the second arch will ne-cessarify pass thro’ the point D.
  - JThe Ellipsis.
  - 11. The eïîipsis is an ovaf much more perfect tlian thepreceding, in as much as the crookedness dimi-nishesprogressivefyandin amanner scarcely perceptible. It is an ovaî which ought afways to obtain the preference overthat which we hâve justdescribedwlie-ther for vault or other works of that nature, because, whifst forming a more regular coup-d’œil, it also gives a much greater sofidity to the work. We shall first give the désignation of the fines and of the points which it is necessary to know, before we pro-ceed to the description of this ovaî. Fig. 26,21 and particularfy 28.
  - 12. AB is the great axis of the ellipsis; some practicians give it the wrong name ofdiameter;
  - DE, the smaflaxis, alsofalseîy tittledthemount-ing;
  - C, the center;
  - F G, the two focus ;
  - IL, ordinate of the great axis, as well as every other right fine which falfs to it from the curve parallel to the tangent B R of its origin ;
  - F H, GH, rays diverging from the focus to the same point H of the curve ;
  - THt, tangent to the curve at the point H ;
  - H K, normal, perpendicuïar to the curve and to the tangent at the point H ;
  - H h, diameter of the ellipsis for the point H;
  - O O, diameter conjugal for the said point II, viz, parallel to the tangent at H ;
  - MM, mm, ordinates of the diameter H h, also paraflef to the tangent at H.
  - 13. The ellipsis is a species of circle with two centers, possessing two remarkable properties, the one deducted from the other, viz : l.m that thesum of the two rays F H -f- G H, directed from the focus to any same point whatever H of the curve, is a constant and invariable quantity ; 2.nd that the ordinates of the great axis are equaf to those of the inscribed circle, and the ordinates of the small axis to those of the circumscribed circle, and in general the ordinates of one of the axis are to those of the circle which should hâve this axis for diameter, as the other axis is to the former.
  - From these two properties arise ail others, and particularfy the graphie process for tracing the curve, its tangents, its normals, &c. 1
  - 14. Problem. An ellipsis ADBE, Fig. 28, being given, to find ail the principles of it.
  - SOLUTION. 1 .rst Draw into the ellipsis any two parallel chords MM, mm, and divide each of them into two equaf parts : from their center points N, n, trace a right line H h ; it will form a diameter of the proposed ellipsis, so that în dividing it into two equal parts, its middfe C will be the center of it.
  - 2.nd Thro’ the center C carry a line Oo parallel to MM; it will be the diameter conjointed to the first diameter H h, parallel to the tangent Tt, at the rise of the first diameter.
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- - 3.® Du point C comme centre, et cl’un rayon quelconque, plus grand que C D, mais plus petit que A C, décrivez un arc de cercle qui coupe Tellipse en deux points, P, p; puis de chacun de ces points comme centre, et d’un rayon arbitraire, faites deux arcs qui se coupent comme en Q : ïa ligne AB, menée par Q et par C, sera le grand axe de l'ellipse donnée; et en fui menant une perpendiculaire par le centre C, vous aurez le petit axe D E.
  - 4.° Du point D ou du point E $omme centre, et du rayon A C, coupez A B en F et en G : vous aurez les deux foyers de l’eïlipse proposée. Iï est visible que, pour trouver ainsi les foyers, il suffit d’avoir les deux axes de l’ellipse*
  - 15. Problème. Étant donnés les deux foyers d’une ellipse avec l’un des deux axes, ou seulement leur rapport, trouver l’autre axe, ou même les deux axes.
  - Solution. Fig. 28. l.° Si c’est le grand axe AB qui est donné, portez sa moitié CA, de l’un des foyers F ou G, en D et en E, par un arc de cercle qui coupe la perpendiculaire élevée ^sur le milieu C
  - de A B : vous aurez ainsi le petit axe D E.
  - /
  - 2. ° Si c’était le petit axe qui fût donné, en portant DF de C en A et en B, on aurait le grand axe AB.
  - 3. ° Si vous connàissez seulement le rapport des deux axes, après avoir tracé deux droites indéfinies qui se coupent à angle droit en C, portez de C en a le plus grand des deux termes qui expriment ce rapport, et le plus petit de C en d; puis avec le rayon Ca, et du point d comme centre, déterminez le foyer f de l’ellipse qui aurait C a et Cd pour demi-axes, et joignez f d; menez ensuite par le foyer donné F une droite F D, parallèle à f d ; elle déterminera l’extrémité D du petit axe D E ; et enfin, portant F D de part et d’autre de C en A et en B, le grand axe se trouvera aussi déterminé.
  - 16. Problème. En un point H, Fig. 28, donné à la circonférence d’une ellipse, tracer une tangente à cette courbe.
  - Solution. Prolongez l’un des rayons GH du point donné d’une quantité H f égale à l’autre rayon F H du même point ; divisez ensuite en deux parties égales, ou l’angle F H /, ou la ligne F f: la droite T H t, qui opérera cette division, sera la tangente demandée. En effet, la ligne H T étant perpendiculaire sur le milieu de F /, tous ses points, tels que A, A, sont à égale distance de F et de f ; si donc des deux foyers on menait des droites à un autre point que H de la ligne Tt, leur somme G A-H F A serait toujours égale à G A-4-A/. Mais la ligne brisée G hf est nécessairement plus longue que la droite GHf: donc tout point de Tt, autre que H, est hors de l’ellipse, dont tous les points ont pour propriété que la somme des deux rayons est une quantité constante A B=G H -t- FH= G Hf.
  - Corollaire. La tangente t T divisant en déux parties égales l’angle F H f, l’angle FHT=TH/: mais celui-ci est égala GHt, son opposé au sommet; donc GHt=FHT. Ainsi la tangente Tt, en un point quelconque H d’une ellipse, fait des angles égaux avec les deux rayons GH, FH, menés des deux foyers à ce point.
  - ( i )
  - fange dieses ersten Durchmessers befindet, paraïïel laufen.
  - 3. ° Aus dem Mittelpunkte C, und aus einem be-liebigen Radius, welcher aber grôsser aïs CD, und kleiner aïs AC seyn muss, beschreibe man einen Zirkelbogen, welcher die Ellipse in den beiden Punkten P, p durchschneidet ; sodann ziehe man aus jedem von diesen Punkten aïs Mittelpunkt, und aus einem beïiebigen Radius, zwei Bogen , welche sich bei Q durchschneiden : die Linie AB, wel-che durch Q und C gezogen ist, wird die grosse Axe der gegebenen Ellipse seyn ; zieht man auf diese Axe eine Perpendicularlinie durch den Mit-teïpunkt C , so erhâlt man die kleine Axe D E.
  - 4. ° Aus D oder aus E, als Mittelpunkt, durch-schneide man mit dem Radius AC, AB bei F und bei G ; daraus erhâlt man die beiden Brennpunkte der gegebenen Ellipse. Man sieht daher ïeicht ein, dass man bloss die zwei Axen der Ellipse zu haben braucht, wenn die Brennpunkte auf die gegebene Weise gefunden werden soïlen.
  - 15. Problem. Es werden gegeben die zwei Brennpunkte einer Ellipse nebst einer von den beiden Axen , oder bloss ihr Verhâltniss, wie findet man die andere Axe, oder selbst aile beide ?
  - Auflosung. Fig. 28. l.° Ist die grosse Axe AB gegeben worden, so führe man deren Hâlfte CA , aus einem der Brennpunkte F oder G, nach D und E, vermittelst eines Zirkelbogens, welcher die auf der Mitte C aus A B aufgerichtete Perpendicularlinie durchschneidet; auf diese Weise ergiebt sich die kleine Axe D E.
  - 2. ° Ist aber die kleine Axe gegeben worden , so erhâlt man die grosse , AB , wenn man DF von C nach A und nach B trâgt.
  - 3. ° Kennt man bloss das Verhâltniss der beiden Axen, so erhâlt man die grosse auf folgende Weise :
  - Man ziehe zwei unbestimmte gerade Linien, welche sich bei C rechtwinkelig durchschneiden ; führe die grosste von den zwei Grôssen, welche dieses Verhâltniss ausdrücken, von C nach a, und die kïeinste von C nach d; bestimme sodann mit dem Radius C a und aus dem Punkte d, als Mittelpunkt, den Brenn-punkt f der Ellipse , welche sonach Ca und Cd zu halben Axen haben würde, und vereinige fd ; sodann ziehe man durch den gegebenen Brennpunkt 1?, eine gerade Linie FD , paraïïel mit f d, wodurch man das Ende D der kleinen Axe erhâlt : führt man endlich von beiden Seiten, FD von C nach A und nach B, so ergiebt sich daraus ebenfalls auch die grosse Axe.
  - 16. Problem. Fig. 28. In einem an dem Um-kreise einer Ellipse gegebenen Punkte H, eine die Ellipse berührende Linie zu zeichnen ?
  - A UFLÔSUNG. Man verïângere den einen von den zu dem gegebenen Punkte gehôrigen Radiis G H, und gebe ilirn die Grosse Hf, welche dem andern Radius FH, gïeich ist; matheile hierauf denWinkel FH f y oder die Linie F/, in zwei gleiche Theile; worauf sodann die gerade Linie THt, vermittelst welcher diese Theilüng geschieht, der gegebene Tangent seyn wird. Da nun die Linie HT auf der Mitte von Ff perpendicuîar steht, so sind auch aile ihre Punkte, wie z. B .h, h, in gleichem Abstande von F und von f ; wenn man also aus den beiden Brennpunkten gerade Linien nach einem andern aïs dem auf der Linie T t befmdlichen Punkte H führt, so würde ihre Summe G A + FA , jederzeit gïeich seyn G A Allein die gebrochene Linie G hf
  - ist nothwendigerweise lânger aïs die gerade Linie GH/: demnach befindet sich jeder Punkt von Tt, welcher nicht H ist, ausserhalb der Ellipse, deren sâmmtïiche Punkte das eigenthümliche haben , dass die Summe der beiden Radii eine unverânderliche Grosse, nâmlich AB = GH -h FH = GH/aüfc-macht.
  - cFolgesatz, Da der Tangent tT den Winkel F H/in zwei gleiche Theile theiït, so ist der Winkel F H T=TH f ; dieser aber ist gïeich GHt, welcher ihm oben auf der Hôhe entgegengesetzt ist; folglich ist GHt=FHT : diesem zufolge bildet an einem beïiebigen Punkte H einer Ellipse, der Tangent T t, gleiche Winkel mit den beiden, aus den zwei
  - 3. rd From the point C as center, and from what-ever radius, greater thân CD, but smaller than A C, describe an arch of a circle which shall eut the ellipsis at two points P, p ; then from each of these points as center, and with a radius at wili, trace two arches which shall eut each other as in Q ; the line AB, traced by Q thro’ C, wili be the great axis of the given ellipsis; then raising upon it a per-pendicular thro’ the center C, you wili hâve the small axis D E.
  - 4. th From the point D orE as center, and with the radius A C, eut AB at F and G : you wili hâve the two focus of the ellipsis proposed, It is plain that, to find in this manner the focus, itsuffices to hâve the two axes of the ellipsis.
  - * 15. Problem. The two focus of an ellipsis with one of the two axes, or only their relation, being given, to find the other axis, or even the two axis.
  - Solution. Fig. 28. l.Tst If it is the great axis AB which is given, carry its half CA, from one of the focus F or G, to D and E, by a circle arch which cuts the perpendicuîar raised upon the middle C of A B : you wili thus hâve the small axis D E.
  - 2. n<1 If it be the small axis which is given, by carrying D F from C to A and B, we shall hâve the great axis AB.
  - 3. rd If you merely know the relation between the two axes, after having traced two indefmite lines Crossing each other at right angles at C, carry from C to a the greatest ofthe two relative terms, and the smallest from C to d ; then with the radius Ca, and from the point d as center, détermine the focus f ofthe ellipsis which would hâve Ca and Cd for demi-axes, and join fd ; draw then thro’ the given focus F a right line FD paraïïel to f d, which wili détermine the extremity D of the small axis D E ; and, by carrying FD on each side of C to A and B, the great axis wili be determined.
  - 16. Problem. At a given point H, Fig. 28',oï the circumference of an ellipsis, to trace a tangent to the curve.
  - SOLUTION. Continue one of the rays GII from the point given of a quantity H/ equal to the other radius F H from the same point ; then eut in two equal parts the angle F H/or the line F/: the right line THt, which wili make this eut, wili be the tangent required. Indeed, the line HT being perpen-dicuïar upon the middle of F / ail its points, such as h, h, are at equal distance from F and from /; if then from the two foci are drawn right lines to another point than H of the line T t, their sum G A H- F A wili be equal to G A -4- hf But the broken line GA/ is necessarily longer than the right line G H f : then every point of T t, except H, is out of the ellipsis, ail the points of which hâve this property that the sum of the two rays is a constant quantity AB = GH -+-FH = GH/.
  - Corollary. The tangent t T dividing in two equal parts the angle FII /, the angle F H T=T Hf: but the latter is equal to G H t, to which it is opposite at the top ; then G Ht=FH T. Thus the tangent T t, in whatever point as H of an ellipsis, makes equal angles with the two rays GH, F H, drawn front the two focus to this point.
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- - Brennpunkten nach diesem Punkte gezogenen Ra-diis GH, F H.
  - 17. Problem. Fig. 28. An einem auf demUm-krerse einer Ellipse gegebenen Punkte H, eine Normal - -oder mit dem Tangent T t perpendicular Iau-fende Linie dergestalt an diesen Bogen zu führen, dass solche den Theilen aus welchen der Umkreis zus&mmengesetzt werden soll, aïs Vereinigungslinie dienen kann.
  - 4 ,u AuflùSUNG. Hat mÿi die beiden zp dem gegebenen Punkte gehôrenden Radii FH, GH ge-zogen , so theile man den Winkel GHF, welchen diese beiden Radii bilden, in zwei gleiche Theile ; worauf die Linie H K, durch welche diese Thei-lung geschieht, die Normallinie an dem gegebenen Punkte seyn wird. Und da diesem zufolge, vermôge der Zeichnung der Figur, der Winkel jK H F, gleich ist dem Winkel KH G, undda ferner in Gemassheit des vorstehenden Folgesatzes, FUT gleich ist GHT , so sind nothwendig die beiden Winkel K HT und KHt einander gleich, und folglich auch recht Winkel. Demnach ist H K mit dem Tangent perpendicular, und folglich auch an dem Punkte H auf dem Bogen normal.
  - 2.u AUFLÔSUNG. Hat man in dem Rechteckder beiden halben Axen B CDR, die Diagonallinie CR gezogen, so trage man B R von B nach k auf der grossen Axe ; ziehe k S parallel mit CR, und führe durch den Punkt S die Linie C S in den Mittel-punkt. Diese Diagonallinie C S wird sowohl die wahren aïs verlângerten Ordinaten in der Ellipse durchschneiden ; so dass der zwischen der Axé und der Diagonallinie befinliche Theiï gleich seyn wird der Unternormallinie des Punktes, zuwelchem die Ordinate gehôrt; z. B. für die Ordinate IL, welche zum Punkt I gehôrt, giebt der Theiï L i die Entfer-nung des Fusses L der Ordinate, zu dem Punkte, wo die Normallinie des Punktes I die Axe durchschneiden soïl. Wenn man also L i von L nach q führt, undlqr zieht, so erhâlt man die Normallinie des Bogens für den Punkt I.
  - Beweîs. Da die Linie B k gleich gemacht worden ist B R, oder CD, und da S k mit CR parallel ist ; so sind die Dreiecke CRB, kSB âhnlichund geben das Verhâltniss BC:BR::Bk:BS, oder B C : CD : : CD : B S ; oder auch wegen derEigenschaft derbestandigenVerhàltnisseB C2: CD2, : :BC:BS. Nun ist aber das rechtwinkelige Dreieck CBS allen denen âhnlich, welche die verschiedenen Ordinaten , welche man zu den Bogen führen kann , mit der Axe BC und mit der Diagonallinie CS bilden , wie z. B. das Dreieck CLi : man erhâlt folglich stets ein Verhâltniss wie das folgende CB : BS : : CL : Li ; und folglich , BC2 : CD2 : : CL : L i. Man lehrt aber in der Geometrie, dass bei der Ellipse das Quadrat der halben grossen Axe sich zu dem Quadrat der halben kleinen Axe, so verhâlt, wie die Entfernung des Mittelpunktes am Fusse einer Ordinate sich verhâlt zur Unternormallinie des Punktes, zu welchem diese Ordinate gehôrt (1). Die Abschnitte der Ordinaten, wie z. B. Li, welche rhirch die Diagonallinie CS gemacht worden, sind daher jederzeit gleich der Unternormallinie des Punktes zu welchem diese Ordinate gehôrt.
  - 18. Problem. Eine Ellipse durch fortlaufende Bewegung zu beschreiben ?
  - Auflosung. Fig. 26. Hat man zuvôrderst den Platz der Brennpunkte F, G vermlttelst der beiden Axen AB, DE (N.° 14), oder die Lânge der Axèn vermittelst der Brennpunkte (N.° 15) beschrieben, so befestige man an jedem Brennpunkte einen Stift, woran man das Ende eines Fadens oder einer Schnur,
  - 17. PïtOBLEM. Fig. 28. At a point H given upon the circumference of an ellipsis, to draw to this curve a normal or perpendicular to the tangent T t, which shall serve as a line of junction for the pièces which are to form the circumference.
  - 4.TSt SOLUTION. After having drawn the two rays FH, GH, at the given point, eut into equal parts the angle GHF made by the two rays : tlic line HK, making this eut, will be normal to the ellipsis at the point given. Indeed, since, by the construction, tfie angle KH F is equal to the angle KHG, and, by the preceding corollary, FHTis equal to G Ht, it is évident that the two angles KI1T and KHt are equal, and consequently rightangles; then HK is perpendicular to the tangent, and consequently normal to the point H of the curve.
  - 2.n<1 Solution. In the rectangle of the two demi-axes B CD R, having drawn the diagonal CR, carry B R from B to k, upon the great axis; draw k S parallel to CR, and thro’ the point S draw to the center the line C S : this oblique C S will eut ail the ordinates of the*ellipsis, either essentialorcontinued, so that the portion comprised between the axis and the oblique will be equal to the sub - normal of the point to which belongs the ordinate. For example, for the ordinate IL, relative to the point I, the portion L i gives the distance of the foot L of the ordinate, at the point where the normal of the point I will eut the axis. If then we carry Li from L to q, andwc draw I q r, we shall hâve the normal of the curve for the point I.
  - Démonstration. The line B k having beenmade equal to BR or CD, and Skbeing parallel to CR, the triangles CRB, k SB, are alike, and give the proportion BC:BR: :Bk:BS, or B C: CD:: CD: BS ; or again, by the propriety of the continued proportions , FC 2 : CD2 : : B C : B S. Now the rectangular triangle C B S is similar to ail those which form willi the axis B C and the the oblique CS, the diflèrent ordinates which one can carry to the curve, sucli as the triangle CLi: then onë will always hâve a proportion like the following, CB : B S: : CL :Li, and consequently B C2 : C D2 : : CL:Li. But it is demonstrated in geometry that in the ellipsis the square of the demi great axis is to the square of the demi small axis as the distance of the center to the foot of an ordinate is to the sub-normal of the point to which belongs this ordinate (1) : then the segments of ordinates, such as Li, made by the oblique CS, are also equal to the sub-normal of the point to which this ordinate belongs,
  - 18. Problem. To describe the ellipsis by a continued motion.
  - SOLUTION Fig. 26. After having determined the place of the focus F, G, by means of the two axis AB, DE (n.r 14), or the length ofthe two axis by means of the focus (n.r 15), place at each focus a point or peg, and fasten to either, one of the ends of a thread or string the length of which is equal to
  - 17. Problème. En un point H., Fig. 28 , donné sur la circonférence d’tme ellipse, mener à cette courbe une normale ou perpendiculaire à la tangente T t, qui puisse servir de ligne de joint pour les pièces qui doivent former la circonférence.
  - 4.rl Solution. Après avoir mené les deux rayons FH, GH, relatifs au point donné, divisez en deux parties-égales l’angle GHF, que ces deux rayons font entre eux : la ligne H K, qui opérera cette division, sera normale à l’ellipse au point donné. En effet, puisque, par la construction, l’angle KH F est égal à l'angle K HG, et que, parle corollaire précédent, FUT est égal à GH t, il est évident que les deux angles KHT et KHt sont égaux et par conséquent droits; donc IIK est perpendiculaire à la tangente, et conséquemment normale au point II de la courbe.
  - 2.‘ SOLUTION. Dans le rectangle des deux demi-axes B CD R, ayant mené la diagonale CR, portez BR de B en k, sur le grand axe; menez k S parallèle à CR, et par le point S menez au centre la ligne C S : cette oblique C S coupera toutes les ordonnées à l’ellipse, ou réelles ou prolongées, de manière que la portion comprise entre l’axe et l’oblique sera égale à la sous-normale du point auquel appartient l’ordonnée. Par exemple, pour l’ordonnée IL, relative au point I, la portion Li donne la distance du point L de l’ordonnée au point où la normale du point I doit couper l’axe. Si donc on porte L î de L en q, et que l’on mène I q r, on aura la normale de la courbe pour le point I.
  - Démonstration. La ligne B k ayant été faite égale à BR ou CD, et S k étant parallèle à CR, les triangles CRB, k S B, sont semblables, et donnent la proportion B C : B R : : B k : BS, ou B C : CD : : CD : B S, ou encore, par la propriété des proportions continues, B C2 : CD2:: BC : BS. Or le triangle rectangle CBS est semblable à tous ceux que forment avec l’axe BC et l’oblique CS, les diverses ordonnées qu’on peut mener à la courbe, tels que le triangle CL i : donc on aura toujours une proportion-comme la suivante, CB:BS::CL:Li, et par conséquent BC2 : CD2 : : CL : Li. Mais on démontre en géométrie que dans f ellipse le carré du demi grand axe est au carré du demi petit axe comme la distance du centre au pied d’une ordonnée est à la sous-normale du point auquel appartient cette ordonnée (1) : donc les segmens d’ordonnées, tels que Li, faits par l'oblique CS, sont toujours égaux à la sous-normale du point auquel appartient cette ordonnée.
  - 18. Problème. Décrire f ellipse par un mouvement continu.
  - SOLUTION. Fig. 26. Après avoir déterminé la place des foyers F, G, par le moyen des deux axes AB, DE (n.° 14), ou la longueur des axes par le moyen des foyers (n.° 15), plantez à chaque foyer un stylet, une pointe ou un piquet, et attachez à chacun l’une des extrémités d’un fil ou cordeau
  - (1) Voici une démonstration fort simple cle cette propriété' : Soit il une ordonne'e infiniment proche de IL, et la ligne lu parallèle kl’axe A B. Les triangles 11 u, I q L, semblables, puisqu’ils ont tous leurs côte's respectifs ou parallèles ou perpendiculaires, donnent la proportion I mou JL : iu : : IL:Lq;done I L x iu
  - Mais la proportionnalité' des ordonne'es de l’ellipse avec celles des cercles correspondans, qui est cl2 : CD2 : : A L x L B : TT2 devient, quand l’ordonne'e IL devient elle-même un peu plus grande en i l, CB2 : cl)2 ::CLx/L:ILxiu;et par consé-__________ ___ IL x i u
  - quent, c B2 : C D2 : : CL :-------- : d'où il suit d’après la valeur
  - l L
  - de L q trouvée ci-dessus, que CB2 : CD2 : : C L : L q.
  - (1) Wir geben hier einen sehr einfachen Beweis clieser Eigen-sçjiaft: tl sey eine unendlich nahe Ordinate von IL , und die Linie I u , sey parallel mit der Axe A B. Die Dreiecke I iu, I q L, welche âhnlich sind, weil aile ihre respectiven Seiten entweder parallel oder perpendicular sind, gëben das Verhâltniss lu
  - IL y. iu
  - oder 7 L : lit : : IL : L q ; also ist L qs=s ---.
  - IL
  - Allein das Verhâltniss der Ordinaten der Ellipse zu denen der correspondirenden Zirkel, welches ist CB2 : c D2 : : A L x L B : fL2 , wird, wenn die Ordinate IL ihrerseits ein wenig grosser wird in il, c"b2 : CD : :CLx7L:ILxiw, und folglich IL x iu
  - CB2 - CD2 : : CL----—; woraus sich nach dem vorstehend
  - IL
  - gefundenen Werthe vonLqergieht, dasscB2:CD2; : CL: Lq.
  - (1) Here is a very simple démonstration of this propriety; Letthere be il an ordinate very near I L, and the line Imparallel to the axis AB. The triangles liu, I q L, similar, since tlicy hâve ail their respective sides or parallels or perpendi-culars, give the proportion lu or lL:iu:: IL;Lq; then IL x i u
  - Lq~ IL
  - But the propovtionality of the ordinates of the ellipsis with those of the corresponding circles, which is c B2 : C D2 : : A LxLII: II2 , becomes, when the ordinate IL becomes itself alittlegreater in il, CB2 : CD2 : : CLx7L : I Lxin; and consequently CB2:
  - CD2 :: CL: —-------: whence it follows, from the value of Lq
  - l L
  - found above, that CB2 : C Dz - - C L : L q.
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- - dont la longueur soit égalé à celle du grand axe de l'ellipse demandée. Alors promenez une pointe ou un crayon qui tienne toujours le fil tendu, tant d’un côté du grand axe que de l'autre : ïa pointe de l’instrument tracera l’ellipse demandée, puisque, pour chaque point de la courbe ainsi décrite, la somme des deux rayons est la longueur eile-même du cordeau, c’est-à-dire une quantité constante et égale à la longueur du grand axe.
  - Observation. Une eïlipse tracée par ce procédé s’appelle souvent ovale des jardiniers ; la difficulté de tenir constamment ïe cordeau dans un égal degré de tension, fait que le résultat n’en est pas rigoureux comme celui des autres méthodes.
  - 19. Problème. Tracer une ellipse par points.
  - //' SOLUTION. Fig. 27. Après avoir déterminé les uns par les autres, soit les axes AB, CD, soit la place des foyers F, G (n.° 14), prenez entre le centre et l’un des foyers autant de points distincts que vous voudrez, H, I, J, K, L; ensuite, relativement à chacun de ces points, H, par exemple, prenez successivement pour rayon sa distance à chacune des extrémités A et B du grand axe ; et avec chacun de ces rayons, en prenant aussi successivement pour centre chacun des deux foyers F et G, décrivez quatre petits arcs qui se couperont respectivement deux à deux de part et d’autre du grand axe, et donneront ainsi par leurs intersections quatre points de l’ellipse demandée. En effet, il est visible que, pour chacun de ces points, la somme des deux rayons est constamment égale au grand axe.
  - 2.' Solution. Fig. 30. Soit a b le grand axe d’une ellipse dont a f est le petit axe, que l’on a disposé angulairement d’une manière quelconque : la demi-circonférence adb appartiendra au cercle circonscrit à l’ellipse demandée. Partagez cette demi-circonférence en tel nombre que vous voudrez de parties, soit égales, soit inégales entre elles, dans quelque rapport que ce soit, et de chaque point de division abaissez des ordonnées perpendiculaires sur a b ; joignez ensuite b f, et par chacune des divisions que les ordonnées opèrent sur a b, menez sur a f des parallèles à b f, qui diviseront le petit axe a f en parties proportionnelles aux divisions de ab; en sorte que, traçant des perpendiculaires indéfinies sur a f par chacune de ses divisions, elles seront les ordonnées au petit axe correspondantes à celles qui ont été d’abord établies pour le grand axe. Prenez donc la longueur de chacune de celles-ci, 1,2, 3, 4, 5, &c., et portez-ïa sur chacune de celles-là, 1", 2", 3", 4", 5", &c. : chacun des points ainsi déterminés appartiendra à l’ellipse demandée, puisque les ordonnées au petit axe serçnt égales à celles du cercle circonscrit.
  - Si a b était le petit axe de l’ellipse demandée, et que le grand axe fût ah, adb serait la demi-circonférence du cercle inscrit. On voit qu’il faudrait procéder de même, et porter les ordonnées 1,2, 3, 4, 5, &c., en 1', 2', 3', 4', 5', &c. Ces derniers points appartiendraient à l’ellipse demandée, puisque les ordonnées au grand axe y seraient égales à celles du cercle inscrit.
  - Au lieu de faire les divisions sur la circonférence du cercle, soit inscrit, soit circonscrit, on pourrait également les faire sur son diamètre.
  - Scholie. Ce problème est le même que celui qu’en termes de l’art on appelle le raccourcissement et le rallongement du cercle, et qui a pour objet de former sur une base trapézoïdale EF GH, Fig. 29, un berceau de voûte dont la naissance soit constamment de niveau ainsi que la clef, dans les cas où cette voûte devant être plein-cintre en un point de sa longueur, doit conséquemment être surbaissée à î’we de ses extrémités, et surhaussée à l’autre.
  - , ( » )
  - welche so lang aïs die grosse Axe der gegebenen Ellipse seyn muss, anbindet: sodann fahre manmit einem Bleistift, an weïchem der Faden straff mit fortgeht, von einer Seite der grossen Axe zur an-dern; auf diese Weise zeichnet die Spitze des Blei-stifts die verlangte Ellipse; indem fur jeden Punkt der so beschriebenen krummen Linie, die Summe der beiden Radii die Lange der Schnur betrâgt : nâmlich eine bestimmte, und der Lange der grossen Axe gleiche Grosse.
  - Bemerkung. Eine auf diese Weise gezeichnete Ellipse wird im franzôsischen oft ovale des jardiniers , Gârtner-Oval genennt. Da es sehr schwer ist den Faden gleich straff zu erhalten, so fâllt das Résultat nicht immer so genau aus , aïs bei den an-dern Methoden.
  - 19. Problem. Eine Ellipse durch Punkte zu zeichnen ?
  - AuflôSUNG. Fig. 27. Hat man die Axen AB, CD, und den Ort der Brennpunkte F, G, (N. °14) durch einander bestimmt, so nehme man zwischen dem Mittelpunkte und den Brennpunkten eine AnzahjbeliebigerPunkte H, I, J, K,L; sodann nehme man in Beziehung auf einem jeden dieser Punkte, aïs z. B. auf H, nach und nach aïs Radius die Entfernung desselben bis zu jedem Ende A und B der grossen Axe ; und indem man ferner nach und nach einen jeden der beiden Brennpunkte F und G zum Mittelpunkte nimmt, bescheibe man mit einem jeden von diesen Radiis vier kleine Bogen, welche sich zwei und zwei, an beiden Seiten der grossen Axe durchschneiden, und dergestalt vermitteïst ihrer Durchschneidungen vier Punkte der verlangten Ellipse geben werden. Es ergiebt sich hieraus, dass für jeden dieser Punkte die Summe der beiden Radii jederzeit der grossen Axe gleich ist.
  - 2.u Auflôsung. Fig. 30. a b sey die grosse Axe einer Ellipse, bei welcher a f clie kleine Axe ist ; diese letzte ist unter willkührïiche Winkel gezogen worden : der halbe Umkreis adb, wird zu dem in der verlangten Ellipse umschriebenen Zirkeï ge-hôren. Diesen halben Umkreis theile man in eine beliebige Anzahl gleicher oder ungleicher Theile, wobei das Verhâltniss willkührlich seyn kann; sodann ziehe man von jedem Theilungspunkte per-pendiculare Ordinaten auf a b herab; vereinige ferner b f, und führe endlich auf af, mit bf parallel Iaufende Linien, welche durch die sâmmtlichen von den Ordinaten auf ab gemachten Theilungspunkte hindurchgehen, und die kleine Axe a f in solche Theile theilen werden, welche mit den Theilungen von ab im Verhâltniss stehen ; zieht man also un-bèstimmte Perpendicularlinien auf af durch jede Theilung, so werden sie die Ordinaten der kleinen Axe seyn, und mit denjenigen zutreffen welche vorher für die grosse Axe gezogen worden sind. Man nehme also die Lange einer jeden von diesen letztern, 1,2,3, 4, 5, u. s. w., und führe sie auf jede der erstern 1", 2", 3", 4", 5", u. s. w. : ein jeder von den auf diese Weise bestimmten Punkten wird solchergestaltzudergesuchten Ellipse gehôren, indem die Ordinaten der kleinen Axe, den Ordinaten des umschriebenen Zirkels gleich seyn werden.
  - Wâre z. B. a b die kleine Axe der aufgegebenen Ellipse, und a h die grosse, so wâre adb der halbe Umkreis des eingeschriebenen Zirkels ; und man müsste auf dieselbe Weise verfahren und die Ordinaten 1, 2,3, 4, 5, u. s. w, nach 1', 2', 3', 4', 5', u. s. w., führen. Dieseletzten Punkte würdenzuder aufgegebenen Ellipse gehôren, weil die Ordinaten der grossen Axe daselbst den Ordinaten des eingeschriebenen Zirkels gleich seyn würden.
  - Anstatt die Theilungen auf demUmkreise des ein-oder umschriebenen Zirkels vorzunehmen, kônnten solche auch auf seinem Durchmesser gemacht werden.
  - Anmerkung. Dieses Problem heisst in der Kunst-sprache auch die Verkürzung und Verlângerung des Zirkels. Der Zweck desselben besteht darin, dass auf einer viereckigen ungleichseitigen Grund-flâche EF GH, Fig. 29, ein Gewôlbbogen formirt werden soll, dessen Anfang sowohl aïs der Schluss-stein jederzeit in dem Falle wagerecht sey, wenn dieses Gewôlbean einem Punkte seiner Lânge einen vollen Bogen bilden, und derselbé daher an einem Endç erhôht, und fin dem anderngedrückt seyn soll,
  - that of the great axis of the elîipsis required. Then move a point or pencil which will hold the thread ever tight, as well on one side of the great axis as on the other : the point of the instrument will trace the elîipsis required, since, for each point of the curve thus described, the sum of the two radius is the length itself of the string, that is to say, a constant quantity, and equal to the length of the great axis.
  - Observation. An elîipsis traced by this proceed-ing is often called a gardener s oval : the difficulty of constantly holding the cord in an equal degree of tightness, is the cause that the resuit is not so exact as that of other methods,
  - 19. Problem. To trace an elîipsis by points.
  - /.m SOLUTION. Fig. 27. After having deter-mined one by the other, whether the axis A B, C D, or the place of the focus F, G (n.° 14), take between the center and one of the focus as many distinct points as you will, H, I, J, K, L; afterwards, with relation to each of these points, H, for example, take successively for radius its distance to each of the extremities A and B of the great axis; and with / each of these radius, taking successively for center each of the two focus F and G, form four Iittle archs which will intersect each other respeçtively two by two on both sides of the great axis, and will give thus by their intersections four points of the elîipsis required. And indeed it is visible that, for each of these points, the sum of the two radius is constantly equal to the great axis.
  - 2.nd Solution. Fig. 30. Let a b be the great axis of an elîipsis of which af is the small axis, which is disposed angularly in whatever manner : the semi-circumference adb will belong to the circle circumscribed to the elîipsis required. Divide this semi-circumference into such a number of parts as you will, equal or unequal between them, in whatever relation it may be ; and from each point of division, descend perpendicular ordinates on a b ; then join b f ; and by each of the divisions that the ordinates operate on a b, draw on a f parallels to b f, which will divide the small axis af into parts pro-portioned to the divisions of a b ; so that in tracing indefinite perpendiculars on a f by each of its divisions, they will be the ordinates to the Iittle axis, corresponding to those which hâve been first esta-blished for the great axis. Take then the length of each of these, 1,2,3,4,5, &c., and carry it on each of those, 1", 2", 3", 4'7,5", &c. : each of the . points thus determined will belong to the elîipsis required, since the ordinates to the small axis will be equal to those of the circumscribed circle,
  - If a b were the small axis of the elîipsis required, and the great axis were ah, adb would be the semi-circumference of the inscribed circle. It is évident one ought to proceed the same and carry the ordinates 1,2,3,4,5, &c., into 1', 2', 3', 4', 5', &c. These last points would belong to the elîipsis required, since the ordinates to the great axis woulcl be equal to those of the inscribed circle.
  - Instead of making 'the divisions on the circum-ferenceof the circle, whether inscribed or circumscrr bed, one could equally make them on its diameter.
  - Scholion. This problem is the same as that which, in terms of the art, is called the diminishing and the lengthening of the circle, and which has for object to form on a trapezoidal base E F G H, Fig. 29, a vault the origin of which should be constantly on a level as well as the key, in case this vault should be circular in one point of its length, and ought consequently to be lowered at one of its extremities, and raised higher at the other.
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- - Iï suffit pour cela de prendre a b double de la montée que la voûte doit avoir dans toute sa longueur; du point a, comme centre, décrire deux arcs indéfinis, et à l’opposite l’un de l’autre par rapport au point b, ï’un vers f, avec un rayon égal à la plus petite largeur du trapèze EF, l’autre vers h, avec un rayon égal à la plus grande largeur de la base G H ; de mener par le point b une droite Ii b f, terminée de part et d’autre à ces deux arcs, et de procéder au reste comme on a fait dans la solution du problème.
  - De l’Arc rampant.
  - 20. On appelle ainsi une courbe destinée à raccorder les extrémités de deux lignes droites, lorsque les perpendiculaires menées respectivement de l’une de ces lignes vers f autre, par leurs extrémités, ou ne se rencontrent pas, ou se coupent de manière quelles ue sont pas égales l’une à l’autre.
  - /
  - Iî est d’abord de principe évident que les deux lignes à raccorder doivent être l’une et l’autre tangentes de la courbe demandée; et Fon appelle ligne de sommité une troisième tangente, qui peut être donnée aussi, et qui terminerait angulairement d’un côté fespace compris entre les premières. La ligne droite qui joint fes deux extrémités de celles-ci, et qui présente à Fœil une sorte de diamètre de Tare rampant, se nomme ligne de rampe.
  - Quand ces quatre ïignes sont données de direction et de position, la construction rigoureuse de Farc rampant est pour Fordinaire une courbe transcendante, quelquefois une section conique, et très-rarement une ellipse qui puisse être imitée par des arcs de cercle; mais, comme Femploigénéral de cette courbe a pour objet de raccorder les sommets de deux pieds-droits de hauteur inégale, les praticiens se donnent à eux-mêmes les conditions de Tare rampant, en supposant ces pieds-droits verticaux, et la ligne de sommité parallèle à la ligne de rampe : alors la question se réduit à ce qui suit.
  - 21. Problème. Étant donnés deux pieds-droits verticaux, dont les sommets sont A et B, Fig. 31, les fermer par un arc rampant A DB, composé de deux arcs de cercle dont chacun ait pour tangente la direction de Fun des pieds-droits.
  - Solution. Par le sommet A du pied-droit le moins élevé, menez l’horizontale A H et la ligne de rampe AB; sur le milieu I de AH, élevez indéfiniment la perpendiculaire ID, et, ayant fait CD égalé à CA, divisez l’angle A CD en deux parties égales par la ligne E C, dont le prolongement vous donnera en»F, sur l’horizontale AH, le centre de la première partie A D de Farc rampant ; menez ensuite le rayon D F, et coupez-le en G par une horizontale B G, menée par le sommet de l’autre pied-droit : ce point G sera le centre de l’autre partie D B de Farc rampant.
  - SECTION II.
  - Edrographie, ou Développement descriptif des Surfaces qui enveloppent la portion d’espace qu’un corps occupe.
  - Cette partie de lart du dessin, purement géométrique, dune nécessité absolue dans tous les arts
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  - Ilierbei hat man bloss foigende Verfalirungsweise zu beobachten : man nelime a b doppelt so hoch aïs das Gewôlbe in seiner Lange seyn soll ; beschreibe aus dem Punkte a , aïs Mittelpunkt, zwei unbe-stimmte, und in Rücksicht auf den Punkt b ein-ander entgegengesetzte Bogen, und zwar den einen nach f, mit einem Radius , dessen Lange der kleinsten Breite EF des Trapeziums gleich ist, und den andern nach h, mit einem Radius welcher der grôssten Breite der Grundflâche GH gleich ist ; man führe endlich durch den Punkt b eine gerade Linie h b f, welche von beiden Seiten bis zu diesen zwei Bogen geht, und verfahre im übrigen wie bei der Aufldsung des Problems gezeigt worden ist.
  - Von den abschüssigen Bogen.
  - 20. Man bezeichnet mit dïesem Namen eine krumme Linie , vermitteïst welcher die Enden zweier gerader Linien in dem Falle verbunden wer-den sollen , wenn die Perpendicularlinien, welche von einer dieser Linien nach der andern gezogen worden, an ihren Enden entweder nicht zusam-mentreffen, oder sich dergestalt durchschneiden, dass eine der andern nicht gleich ist.
  - Es ist hierbei ausser allem Zweifel, dass die beiden zu vereinigenden Linien , und zwar die eine sowohl aïs die andere, Tangenten der verlangten krummen Linie seyn müssen. Hierbei kann ausser-dem noch ein dritter Tangent, die Hôhenlinie ge-nannt, vorkommen , welcher den zwischen den beiden ersten befindlichen Raum auf einer Seite eckig schliessen würde. Die gerade Linie, vermit-telst welcher die beiden Enden der gedachten Linien verbunden werden, zeigt sich bei diesem Bogen als eine Art von Durchmesser , und wird mit dem Namen ligne de rampe [Abschusslinie] bezeichnet.
  - Sind diese vier Linien ihrer Richtung und ihrer Lage nach bestimmt, so ist die genaue Zeichnung des abschüssigen Bogens gewôhnïich eine trans-cendente krumme Linie; diese letztere ist entweder ein Kegelschnitt, und nur sehr seiten eine Ellipse, welche durch Zirkeïbogen nachgeahmt werden kann ; da aber diese krummen Linien gewôhnïich nur dazu angewendet werden, um die Hôhen zweier ungïeich hohen Widerîagen zu vereinigen ; so be-stimmen die Baukundigen die zu diesen Bogen ge-hôrigen Erfordernisse gewôhnïich selbst, wobei sie diese Widerîagen aïs vertical, und die Hôhen-linie mit der Abschusslinie parallel annehmen ; worauf es sodann auf die Auflôsung folgender Frage ankommt.
  - 21. Problem. Es werden gegeben zwei verticale Widerîagen^ deren Hôhe nach Fig. 31, mit A und B bezeichnet ist ; wie schïiesst man soïche
  - /vermittelst eines abschüssigen Bogens A D B , welcher aus zwei Zirkeïbogen besteht, von denen ein jeder die Richtung der einen Widerlage zum Tangent hat.
  - AUFLÔSUNG. Durch die Hôhe A der kleinern Widerlage, führe man die horizontale Linie AH, so wie die Abschusslinie AB : auf der Mitte I, von AH, richte man auf eine unbestimmte Weise die Perpendicuïarlinie ID auf; und nachdem man CD mit C A gleich gemacht hat, so theile man vermit-telst der Linie IC den Winkel A C D in zwei gleiche Theile : die Verlàngerung der Linie IC wird bei F, auf der horizontaïen Linie A H , den Mittelpunkt des ersten zum abschüssigen Bogen gehôrenden Theiles AD geben : hierauf ziehe man den Radius D F, und durchschneide ihn bei G vermitteïst der horizontaïen Linie B G , welche durch die Hôhe der andern Widerlage gezogen worden : dieser Punkt G wird der Mittelpunkt für den andern zum abschüssigen Bogen gehôrenden Theil D B seyn.
  - ZWEITER ABSCHNITT.
  - Von der Edrographie oder der bildlichen Vor-stellung der Flâchen, welche den Theil des Raums umgeben, den ein Korper einnimmt y oder Ausmittelung der Flàchen und des Um-kreises eines Korpers.
  - Dieser Theil der Zeichenkunst, welcher rein geometrisch und von unerlâsslicher Nothwendigkeit
  - It will be sufficient for that to take a b double of the rising part that the vault ought to hâve in ail its ïength; from the point a, as center, describe two indefinite archs, and at the opposite side of eacli other, on account of the point b, one towards f, with a radius equal to the smallest breadth of the trapezium EF, the other towards h, with a radius equal to the greatest breadth of the base GH; to con-duct by the point b a right line h b f terminated re-spectively at these two archs, and to proceed to the rest as has been done in the solution of the problem.
  - The Arch creeping.
  - 20. A curve is thus called, which is destincd to level the extremities of two right lines, when the perpendiculars diverged respectively from one of these lines towards the other, by their extremities, are or not meeting, or cutting each other so as not to be equal to each other.
  - It is at First sight évident by principle that the two lines to level ought both to be tangents of the curve required; and they call height-Iine, a third tangent, which may also be given, and which would terminate angularly on one side the space comprised between the first. The right line which joins the two extremities of these, and which présents to the eye a kind of diameter of the creeping arch, is named flight-Iine.
  - Wfhen these four lines are given in direction and position, the exact construction of the creeping arch is commonly a transcendent curve, sometimes a conic section, and very seldom an ellipsis which may be imitated by archs of circle; but, as the use of this curve has generally for object the levelling the summits of two square pillars of unequal height, practicians give to themselves the conditions of the creeping arch, supposing these square pillars vertical, and the line of summity parallel to the flight-Iine : then the question is reduced to what follows.
  - 21. Problem. Two vertical square pillars being given, the summits of which are A and B, Fig, 31, to close them by an arch creeping AD B, composée! of two archs of a circle, each of which has for tangent the direction of one of the square pillars.
  - Solution. By the summit A of the least de-vated pillar, diverge the horizontal AH and the ramp line AB ; on the middle I of A H, elevatc indefinitely the perpendicular ID, and, having made CD equal to CA, divide the angle A CD into two equal parts by the line E C, the iengtheningof which will give you in F, on the horizontal AH, the center of the first part AD of the arch creeping; then diverge the radius DF and eut it in G by a horizontal B G diverged by the summit of the other square pillar : this point G will be the center of the other part D B of the arch creeping.
  - SECTION II.
  - Edrography, or Unfolded Description of llie Surfaces which inclose that part of space which is occupied by a body.
  - That part of the art of drawing, purcly geome-trical, and of a absolute necessity in ail the arts
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- - qui, pour envelopper l’espace, emploient des matières préalablement existantes sous formes superficielles continues, ne sert dans la charpente que comme préliminaire à d’autres opérations nécessaires pour le tracé, ou pour déterminer la valeur de certaines sortes d’ouvrages que l’on y exécute.
  - Elle consiste à décrire géométriquement sous forme plane les diverses surfaces qui enveloppent un corps, soit que les surfaces soient eiles-mémes ou courbes ou mixtes. Il est entendu que ïes deux dernières espèces de surfaces ne peuvent être décrites que d’une manière approximative ; et l’on a adopté pour règles de l’opération, l.° que chaque partie de la construction soit contiguë aux voisines par quelques-uns des points ou des lignes par lesquels les surfaces se touchent en réalité dans le corps ; 2.° que leur ensemble soit inscriptibïe dans fa surface fa pfus petite possible, ou au moins dans une surface de fa forme fa pfus convenabîe; et 3.° de ne pas pfacer en continuité, dans fa description, pfus de surfaces qu’il n’y a de faces contiguës dans ïe corps autour d’un angfe solide.
  - Développement du Tétraèdre régulier.
  - 22. On sait que c est îe corps régulier composé du nombre fe pfus petit possibîe de faces, et dont chacune est un triangfe équifatéraf. Soit, Fig. 33, fa description perspective d’un tétraèdre régulier, dont fa .Fig. 32 est fa description horizontafe, fa Fig. 34 une description verticafe, fa Fig. 33 une autre description verticafe qu’on nomme renversée, parce qu’on suppose que, fa base du sofide ayant fait une demi-révofution sur une transversafe à fa figne de vision, îe sofide s’est trouvé renversé de haut en bas et de devant en arrière, mais non de droite à gauche.
  - II est visible que le développement du tétraèdre réguïier se réduit à former quatre triangles équilatéraux qui aient chacun pour côté f’une des arêtes A B du sofide, et à ïes grouper ensemble comme ils fe sont Fig. 36 ou Fig. 37. Alors, en pliant fa matière où ifs auront été tracés, sur chacune des lignes qui sont communes à deux triangles, ils formeront ïe solide proposé.
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  - «
  - Développement du Cube ou Hexaèdre régulier.
  - 23. D’après ce qui précède sur fe tétraèdre, if suffit de dire ici que l’on voit, Fig. 42 et 43, les deux déveïoppemens fes plus usités du cube, dont les Fig. 38 et 39 sont fes descriptions horizontales et verticales, et fes Fig. 40 et 41, fes descriptions du même corps considéré sous un autre aspect.
  - Développement de la Pyramide régulière à quatrefaces.
  - 24. Les pyramides quadrangufaires sont très-usitées dans ïes combles : if est rare que fa base n’en soit pas rectangulaire et même carrée; mais on varie beaucoup sur fe rapport qu’on établit entre fe côté de fa base et fa hauteur de Taxe, ou fa longueur de l’arête ou bien de f’apothème, c’est-à-dire fa perpendiculaire abaissée du sommet sur fe côté de fa base de fa pyramide, et qui sert ïui-même de base à l’une des faces. Lorsque f’angïe formé par fes apothèmes de deux faces opposées est droit, ïes praticiens disent que fe comble est à l’équerre; si cet angle est obtus, ifs ï’appeïfent surbaissé ; quand f’angïe est aigu, on fe nomme surhaussé jusqu’à un
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  - bei alïen denjenigen Wissenschaften ist, weïcfie bei dem Umkreise derKôrperhereits schonvorhandene, in zusammenhangender aussern Form sich darstel-ïende Materien annehmen, geht bei den in der Baukunst anzuwendenden Hôlzern, andern zurFer-tigung der Zeichnung erforderlichen Operationen vor> oder bestimmt den Werth gewisser in BetrefF dieses Gegenstandes zu verrichtenden Arbeiten.
  - Der Zweck dieser Wissenschaft besteht darin, dass die verschiedenen Flâchen , welche einen Kôr-per umgeben , geometrisch und fiach angegeben werden soflen ; môgen diese Fïâchen übrigens auch krumm oder gemischt seyn. Es versteht sich hierbei von selbst, dass die beiden îetzten Arten von Flâchen bfoss approximatif oder ohngefâhr angegeben werden kônnen. Bei der in BetrefF dieses Gegenstandes zu beobachtenden Verfahrungsweise hat man fofgende Regefn aufgestefft : 1.° muss ver-mittefst einiger Punkte oder Linien wodurch sich die Flâchen der Kôrper einander gegenseitig be-rühren, ein jeder Theil der Zeichnung mit den daran anstossenden Theifen inVerbindung stehen; 2.° muss das Ganze derseïben sich in die môglichst kfeinste Fïâche, oder wenigstens in eine sofche, deren Form die schickfichste ist, einzeichnen und beschreiben fassen ; 3.° darf man bei der Zeichnung nicht mehr zusammenhângende Flâchen aufstelïen aïs es deren um einen kôrperfichen Winkef giebt.
  - Darstellung des regulàren Tetraëders.
  - 22. Bekanntfich ist der Tetraëder ein regu-fârer Kôrper, weïcher aus der môglichst kfeinsten Anzahï von Fiâchen beSteht, deren jede einen gïeichseitige Triangef biïdet ; oder ein in vier gleichseitige Triangef eingeschlossener Kôrper. Die Fig. 33 sey die perspectivische Vorstellung eines regulàren Tetraëders, wovon die Fig. 32 die horizontale , die Fig. 34 die verticale, und die Fig. 33 eine ebenfaffs verticale Ansicht darstefft ; diese fetz-tere ist die umgekehrte Vorstelïung dessefben ; hier-» bei wird nâmfich angenommen, dass die Basis des Kôrpers eine hafbe Wendung auf einer mit der Gesichtsfinie schrâg faufenden Linie genommen habe, wodurch der Kôrper von oben nach unten, und von vorn nach hinten, nicht aber von der Rechten zur Linken umgekehrt worden ist.
  - Es ergiebt sich hieraus, dass die Zeichnung des regulàren Tetraëders dadurch bewirkt wird, dass man vier gleichseitige Triangef biïdet, von denen ein jeder eine der Kanten AB, aïs Seite hat, und dass mansolcheso zusammenstefft, wie es in Fig. 3 6 oder 37 geschehen ist. Wenn man sodann die Ma* terie worauf sie gezeichnet wurden , auf eine jede der Linien biegt, welche zwei Triangefn gemein sind, so bilden sefbige den gegebenen Kôrper.
  - Darstellung des Cubus oder regulàren Hexaëders.
  - 23. Das was vorstehend über den Tetraëder ge-sagt worden ist, überhebt uns einer nâhern Erkïâ-rung dieses Kôrpers : wir verweisen diesem zufolge auf die Fig. 42 und 43, in wefchen zwei der ge-wôhnfichsten Vorstellungen des Würfefs zu sehen sind, und vovon die Fig. 38 und 39 die horizontale und verticale Ansicht, die Fig. 40 und 41 aber eine von einer andern Ansicht genommene Vorstel-fung dieses Kôrpers enthalten.
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  - Besckreibung der regulàren viereckigen Pyramide.
  - 24. Die viereckigenPyramiden kommen sehrhâu-fig bei den Dâchern vor. Es geschieht nur sehr selten, dass die Grundflâche derseïben nicht rechtwinkefig oder selbst viereckig ist ; affein bei dem Verhàft-nisse zwischen der Seite der Basis und der Hôhe der Axe oder der Lânge der Kante, oder dem Apo-them, werden verschiedene Grundsàtze angenommen. Man versteht unter dem Apothem die per-pendicufare Linie, (Welche von dem Gipfel auf die Seite der Grundflâche, welche wiederum einer andern Seite zur Basis dient, herabgezogen ist. Ist der durch die Apothème zweier entgegengesetzter Seiten gebifdete Winkef ein rechter Winkef, so
  - which employ, for the purpose of inclosing space, matters previousfy existing under the form of con-tinued surfaces, is used in carpentry onfy as preli-minary to other operations required for the outfine, or to détermine the value of certain kinds of works executed therein.
  - It consists in describing geometricafly on a pfane, the different surfaces which inclose a body, whether the surfaces themsefves be curves or mixed. It is understood that the two last kinds of surfaces can onfy be described by way of approximation ; these raies of the operation hâve been adopted, 1.° that each part of the description shoufd be contiguous to those nearest to them, by some of the points or fines by which the surfaces actuaïfy touch eacfi other in the bocfy ; 2.° that the whofe of them shoufd be capable of being inscribed in the smaïïest surface possible, or, at any rate, in a surface ofthemost con-venient form ; and 3.° not to place in the description more continuons surfaces than there are contiguous planes in the body about a sofid angfe. ?
  - Unfoldment of the regular Tetraedron.
  - 22. It is known that it is a regular body com-posed of the smaïïest number possible of surfaces, of which each is an équilatéral triangle. Let Fig. 33 be the perspective description of a regular tetraedron, of which Fig. 32 is tfic horizontal description, Fig. 34 a vertical description ,< Fig. 33 another vertical description, that is caïïed the reverse, because it is supposed that, the base of the sofid having made a semi-revoïution upon a transverse to the fine of vision, the sofid is found turned from top to bottom, and from front to backward, but not from rigfit to feft.
  - It is easy to see that the description of the regular tetraedron consists in forming four équilatéral triangles which hâve each for side one of the edges A B of the sofid, and in combining them together as they are Fig. 36 or Fig. 37. Then, the matter on which they hâve been drawn, being bent on each of the sides which arecommon for two triangles, the required sofid wiïï be performed.
  - Unfoldment of the Cube or regular Hexa-edron.
  - 23. Afterwhathas beensaid on the tetraedron, it is sufficlent to say that we may see, Fig. 42 and 43, the two most usuaf descriptions unfofded of the cube, of which Fig. 38 and 39 are the horizontal and vertical descriptions, and Fig. 40 and 41 the descriptions of the same body considered under another point of view.
  - Unfoldment of the regular four sided Pyramid.
  - 24. Quadranguïar pyramids are very mucfi used in roofs : the base is afmost afways a rectangle and even a square ; but there is a great variation accord-ing to the proportion estabfished between the side of the base and the height of the axis, or the fength of the edge or of the apothem, that is to say, the perpendicuïar ïet faïï from the summit on the side of the base of the pyramid, which serves iteeff as a base of one of its surfaces. When the angfe formed by the apothems of two opposite surfaces is a right angfe, artists say that the roof is at right angles; if that angle is an obtuse angle, they caïï it fowered ; when that angle is acute, they caîl it higher tiff
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- - certain point : mais, s’il est extrêmement aigu, la pyramide prend le nom de flèche ou d'aiguille.
  - 25. Problème. Étant donné le côté ou ïa diagonale de fa base, et Taxe ou l’apothème d’une pyramide régulière à base carrée, en trouver les trois autres éfémens. Fig. 44, 45, 46 et 47.
  - SOLUTION. l.° Si c’est le côté de fa base qui est donné, fa recherche de fa diagonafe ne présente aucune difficufté.
  - 2. ° Si c’est ïa diagonafe qui est connue, if suffit de fa prendre pour diamètre d’une demi-circonférence qu’on divisera en deux parties égaïes ; fa corde de chacune de ces parties sera fe côté du carré qui forme fa base.
  - 3. ° Si c’est fa hauteur de f’axe.GI, Fig. 46, qui est donnée, l’ayant portée de c en i, Fig. 45, sur une paraffèfe à l’axe, perpendicuïaire au proïongement de F H, portez aussi de c en j fa perpendiculaire C J menée du centre de fa base sur f’un de ses côtés : fa figne ji, qui joindra ces deux points, sera f’apothème de fa pyramide. On voit en effet, Fig. 33, que f apothème I E est l’hypoténuse du triangle rectangïe formé de Taxe I C et de fa perpendiculaire CE.
  - Dans fa même supposition, portez fa hauteur d’axe GI de C en i', Fig. 44, sur fe proïongement de fa diagonafe AD de fa base; en menant ensuite ïa ligne B i', ce sera l’arête de ïa pyramide : car on voit encore, Fig. 33, que ï’arête I A est 1 hypoténuse du triangle rectangle dont les côtes sont taxe IC et fa ligne C A menée du centre à f’un des angles de ïa base.
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  - 4.° Si f’apothème j i était connu, if faudrait prendre son milieu pour centre, sa moitié pour rayon, et décrire un arc indéfini j c, que fon couperait par un autre décrit de j comme centre, et ayant C J pour rayon ; on aurait fa hauteur de l’axe en menant c i, et fon aurait l’arête, Fig. 44, dans l’hypoténuse B i' du triangle rectangle formé de Taxe Ci'=ci, et de B C, moitié de fa diagonafe.
  - 5.° Si c’était l’arête B i', Fig. 44, qui fût donnée, en prenant son milieu pour centre, sa moitié pour rayon, et décrivant un arc B C que l’on couperait par un autre décrit de B comme centre, avec fa demi-diagonale de ïa base pour rayon, et joignant C i', on aurait f’apothème, au moyen duquel on trouverait Taxe, comme dans la quatrième supposition.
  - 26. Problème. Développer ïa surface d’une pyramide régulière à quatre faces, dont on connaît ïa base et l’arête.
  - Solution. Fig. 47. Avec une ouverture de compas égale à l’arête, prenez successivement les deux extrémités A, B, d’un des côtés de la base pour centres de deux petits arcs qui se coupent en K ; puis, du même rayon, et du point K comme centre, décrivez un arc indéfini B N, sur lequel vous porterez trois fois le côté AB de la base : en menant les rayons K A, K B, KL, KM, K N, et les cordes BL, LM, MN, le développement sera exécuté.
  - 27. Problème. Trouver fangle linéaire représentatif de l’angle plan formé par ïa base et l’une des faces de ïa pyramide régulière à quatre faces. .
  - Solution. Fig. 45. Faites un triangle rectangle
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  - nennt maq das Dach geradwinkelig ; ist dieser Win-kel stumpf, so heisstes ein gedrücktes Dach, und ist der Winkeï spitzig, so wird es bis zu einer ge-wissen Hôhe ein zugespitztes Dach genannt ; ist derselbe aber sehr spitzig, so heisst es ein Thurm-dacb.
  - 25. Problem. Aus der gegebenen Seite oder Diagonallinie der Grundfiâche, so wie der Axe oder dem Apothem einer regulàren mit viereckiger Grundfiâche versehenen Pyramide die drei übrigen Bestandtheile zu fînden ? Fig. 44, 45, 46 und 47.
  - AüFLÔSUNG. l.° Ist die Seite der Grundfiâche aufgegeben worden , so ist die Ausmitteîung der Diagonallinie mit keinen Schwierigkeiten ver-bunden.
  - 2. ° Kennt man die Diagonallinie, so braucht man solche bloss zum Durchmesser eines halben Um-kreises zu nehmen, den man hierauf in zwei gleiche Theile theilt : die Chorde oder Sehne eines jeden dieser Theile wird sodann die Seite des Quadrats seyn , aus welchem die Grundfiâche besteht.
  - 3. ° Ist aber die Hôhe der Axe GI, Fig. 46, aufgegeben, so trâgtman solche zuvôrderstvon cnach i, Fig. 45, auf einer mit der Axe parallel, und mit der Verlângerung von FH perpendicuïar laufenden Linie ; man trâgt ferner die von dem Mitteîpunkte der Grundfiâche auf eine der Seiten dieser letztern geführte Perpendicularlinie C J , von c nach j ; wo-rauf sodann die Linie ji, welche diese beiden Punkte vereinigt, das Apothem der Pyramide seyn wird. Man sieht auch in der That aus Fig. 33, dass das Apothem IE, die Hypothenuse des rechtwinke-ligen Triangels ist, weïchen die Axe IC und die Perpendicularlinie CE bildet.
  - Man trage ferner unter gïeichen Umstânden die Axenhôhe G I von C nach i', Fig. 44, auf der verlângerten Diagonallinie A D der Grundfiâche, und ziehe zugleich die Linie B i', welche die Kante der Pyramide seyn wird. Hierbei sieht man ebenfaïls aus Fig. 33, dass die Kante IA, die Hypothenuse des rechtwinkeligen Triangels ist, dessen Seiten die Axe IC und die Linie CA sind; welche6 letztere aus dem Mitteîpunkte nach einem der Winkeï der Grundfiâche geführt worden ist.
  - 4. ° Kennte man das Apothem ji, s8 müsste man die Mitte desseïben zum Mitteîpunkte , und die Hâlfte desseïben zum Radius nehmen, und einen un-bestimmten Bogenjc beschreiben, weïchen man vermitteïst eines andern aus dem Mittelpunkt j be-schriebenen, dessen Radius CJ ist, durchschneidet; worauf man die Hôhe der Axe erhaït, wenn man die Linie c i zieht; die Kante erhaït man, nach Fig. 44, in der Hypothenuse B i' des rechtwinkeligen Triangels, weïcher durch die Axe Ci' = ci, und durch B C, die Hâlfte der Diagonallinie, gebildet wird.
  - 5. ° Wâre die Kante Bi', Fig. 44, aufgegeben, so nimmt man die Mitte desseïben zum Mittelpunkt, und die Hâlfte zum Radius, beschreibt einen Bogen B C, den man vermittelsts eines andern aus B aïs dem Mitteîpunkte beschriebenen durchschneidet, und nimmt die halbe Diagonallinie der Basis zum Radius ; vereinigt man sodann Ci', so erhâlt man das Apothem, vermitteïst dessen man die Axe wie bei dem vierten Falle findet.
  - 26. Problem. Wie beschreibt man die Flâche einer regulàren vierseitigen Pyramide, deren Basis und Kante man weiss?
  - AUFLÔSUNG. Fig. 47. Man nehme mit einem offenen, der Kante gïeichen Zirkeï, nach und nach die beiden aussersten Enden A, B, von einer von den Seiten der Basis zu Mittelpunkten zweier kleinen Zirkelbogen , welche sich bei K durchschneiden ; beschreibe sodann aus dem nâmlichen Radius, und aus dem Punkte K aïs Mittelpunkt, einen unbe-stimmten Zirkelbogen BN, auf weïchen man die Seite AB der Basis drei mal fiihrt ; hat man hierauf die Radii KA , KB , KL, KM, KN , und die Sehnen BL , LM, MN, gezogen , so ist die Zeichnung voïïendet.
  - 27. Problem. Wie findet man den geome-trischen Winkeï des flachen Winkeïs , den die Grundfiâche und eine von den Seiten der regulàren vierseitigen Pyramide bildet ?
  - Auflôsung. Fig. 45. Man beschreibe einen
  - a certain degree ; but, if it is extremely acute, the pyramid takes the name of spire.
  - 25. Problem. There being given the side or diagonal of the base, and the axis or apothem of a regular pyramid with a square base, to find the three other éléments. Fig. 44, 45, 46 cmd 47.
  - Solution. l.° If the side of the base be given, it offers no difficulty to find the diagonal.
  - 2. ° If the diagonal be known, it suffices to takc it as the diameter of a semi-circumference which must be devided into two equal parts : the cord of each of those parts will be the side of the square which forms the base.
  - 3. ° If the height of the axis GI, Fig. 46, be given, having carried it from c to i, Fig. 45, on a parallel with the axis, perpendicuïar to the continuity of F H, carry aïso from c to j the perpendicuïar CJ drawn from the center of the base to one of the sides : the line j i, which shall join these two points, wiïl be the apothem of the pyramid. We may see indeed, Fig. 33, that the apothem IE is the hypoténuse of the right angled triangle formed by the axis IC and the perpendicuïar C E.
  - Under the same hypothesis, carry the height of the axis GI from C to i', Fig. 44, on the production of the diagonal AD of the base; then, in drawing the line B i', it will be the edge of pyramid: for one may see again, Fig. 33, that the edge IA is the hypoténuse of the right angled triangle of which the sides are the axis I Cand the line CA drawn from the center to one of the angles of the base.
  - 4.° If the apothem j i be known, we must take its middïè point as a center, its half as a radius, and describe an indefinite arch je, and cuttingit byano-therarch described from j as a center, and having C J for its radius : we hâve the height of the axis by drawing ci ; and we hâve the edge, Fig. 44, in the hypoténuse B i' of the right angled triangle formed by the axis C i'=c i, and by B C, the half of the diagonal.
  - 5.° If the edge B i', Fig. 44, be given, tahingits middle point as a center, its half as a radius, and describing an arch B C that must be eut by another arch described from B as a center, with the half of the diagonal of the base as a radius, and joining Ci', we hâve the apothem, by means of which we may find the axis, as in the fourth hypothesis.
  - 26. Problem. To describe the surface of a regular four sided pyramid, of which we already know the base and the edge.
  - Solution. Fig. 47. With an opening of the compass equal to the edges, take successively the two extremities A, B of one of the sides of the base as the centers of two smaïl archs which inter-sect each other in K ; then, with the same radius, and from the point K as a center, describe an indefinite arch B N, on which you will draw by three times a line equal to the side A B of the base : by drawing the rays K A, K B, KL, KM, K N, and the lines or cords B L, L M, M N, the description will be completed.
  - 27. Problem. To find the line-angle that represents the plane-angle formed by the base and one of the sides of the regular four sided pyramid.
  - Solution. Fig. 45. Draw a right angled
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- - j c i, qui ait pour côte c i=G I, axe, et j c=C J, perpendiculaire menée du centre sur un des côtés de la base, ou bien pour hypoténuse j i, apothème de la pyramide : l’angle i j c sera la valeur de l’angle plan cherché. En effet, la mesure de fangle plan est l'angle linéaire compris entre deux lignes perpendiculaires au même point de la commune section ou de Farête commune aux deux plans : or on voit, Fig. 33, que CE et IE, toutes deux perpendiculaires au même point de Farête A D, font un triangle rectangle formé de Faxe Cl, de l’apothème de Fa pyramide I E, et de la perpendiculaire C E menée du centre sur le côté A D de Fa base.
  - 28. Problème. Trouver F’angFe que Farête fait avec la base, dans Fa pyramide réguFière à quatre, faces.
  - SOLUTION. Fig. 44. Faites un triangFe rectangFe B Ci', qui ait pour côtés F’axe Ci' = G I, et BC, demi-diagonale de Fa base, ou bien pour hypoténuse B i', arête de Fa pyramide : F’angFe CB F sera égaF à celui que Farête forme avec Fa base. Car F’angFe qu’une ligne forme avec un pFan, se mesure par celui qu’eFFe forme avec une droite menée de son pied dans Fe pïan au pied d’une perpendiculaire abaissée de quelqu’un de ses points sur Fe plan : or on voit encore, Fig. 33, que, dans Fe pFan A CI, la ligne A C est menée du pied A de Farête A I au pied C de Fa perpendiculaire I C, qui est F’axe de la pyramide, et que ces trois Fignes forment Fe triangFe rectangFe ci-dessus désigné. (
  - 29. Problème. Trouver F’angFe Finéaire représentatif de F’angFe pFan que font entre elFes deux faces de Fa pyramide régulière à quatre faces.
  - Solution. Fig. 44 et 47. Menez une diagonaFe A L qui joigne deux côtés A B, B L, du dévelop-pement : elle sera perpendiculaire à Farête B K. Du point A comme centre, et du rayon A a, décrivez l’arc indéfini a ia, que vous terminerez en a, en Fe coupant du point i pour centre, avec un rayon égaF à la diagonaFe AD : en menant A a, cette Figne fera avec A B un angFe égaF à F’angFe cherché. Car F’angFe formé par deux pFans est égaF à ceFui que forment deux Fignes perpendicuFaires au même point de l’arête commune de ces deux plans : or on trouve encore, Fig. 33, que Fes deux Fignes qui seraient menées de A et de B perpendicuFairement à Farête ID , et qui conséquemment comprennent entre eFFes l’angFe Finéaire qui est Fa mesure de F’angFe pFan, font avec la Figne A B de Fa base, qui joint Fes côtés AD, BD, un triangFe isocèFe AFB, qu’iF suffit d’imaginer rabattu sur Fa base A B pour concevoir sa réalisation en pFan, par un point sécant trouvé des centres A et B, avec Fes rayons AF et B F, cjui sont nécessairement égaux ici. Mais, dans Fa pyramide quadranguïaire, Fig. 44, AD est Fa sous-tendante ou base du triangFe incFiné, et i A=a A=A a=z L en sont Fes côtés; donc F’angFe iAci est Fa mesure de l’angle plan des faces de Fa pyramide.
  - 2.' construction. Après avoir mené Fa diagonaFe AL du point a comme centre et de A a pour rayon, décrivez Fes arcs indéfinis A f, L g; terminez ces arcs en f et en g par des paraFFèFes à Farête K B, menées chacune à une distance égaie à Fa moitié de la diagonale A D de ia base; menez enfin Fes deux lignes a f, a g : F’angFe fa. g qu’eFFes feront entre eFFes sera F’angFe plan cherché. Car Fe triangle fag, ayant
  - 3.' Partie.
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  - rechtwinkeligen TriangeF jci, welcher die Axe ci=r GI, und die perpencliculare, vom Mittelpunkte auf die eine Seite der Grundfîâche geführte Linie j c = C J ais Seiten , oder auch das Apothem ji ais Hypo-thenuse hat ; der Wirikei i je wird der Werth des gesuchten flachen Winkeis seyn. Der Maasstab zu dem flachen WinkeF ist der geometrische Win-kel, weicher zwischen zwei Linien begriffen ist, die mit dem nâmiiehen Punkte des gemeinschaftFichen Durchschnitts oder mit der den beiden FFâchen gemeinschaftFichen Kante perpendicuiargehen : nun sieht man aber in Fig33, dass die Linien CE und IE, welche beide mit dem nâmiiehen Punkte der Kante AD perpendicuiar sind,'•einen rechtwinke-Figen TriangeF beschreiben, welcher von der Axe CI, von dem Apothem der Pyramide IE , und von der aus dem Mittelpunkte auf die Grundflâchenseite A D gefiihrten perpendicularen Linie CEgebildet wird.
  - 28. Problem. Wie fincïet man den WinkeF, den bei der regularen vierseitigen Pyramide die Kante mit der Grundfîâche bildet ?
  - AuflôSUNG. Fig. 44. Man beschreibe einen rechtwinkeligen TriangeF B C ï, welcher die Axe Ci'rr^GI, und diehalb diagonale Grundflâchenlinie B C, aïs Seiten, oder auch die Kante B i' aïs Hypo-thenuse hat. Der WinkeF CBi', wird dem von der Kante und von der Grundfîâche gebildeten gleich seyn ; denn der WinkeF den eine Linie mit einer Flâche beschreibt, wird nach demjenigen gemessen, den eine gerade Linien bildet, welche von ihrem Fusse zu dem Fusse einer perpendicularen Linie geführt ist, welche von einem ihrer Punkte auf den Plan’ herabgesenkt ist. Nun sieht man aber eben-faïls aus Fig. 33, dass bei der Flâche A CI, die Linie AC, von dem Fusse A, der Kante AI, zu dem Fusse C der perpendicularen Linie IC, welche die Axe der Pyramide ist, geführt worden ist; und dass diese drei Linien den vorstehend beschriebenen rechtwinkeligen TriangeF bilden.
  - 29. Problem. Wie findet man den geome-trischen WinkeF des flachen Winkeis, den zwei FFâchen der regulâren vierseitigen Pyramide mit einander beschreiben ?
  - AuflôSUNG. Fig. 44 und 47. Man ziehe eine Diagonallinie AL, welche die zwei Seiten AB, BL vereinigt : dieselbe wird mit der Kante B K perpen-dicuFar seyn. Aus dem Punkte A, aïs Mittelpunkt, und aus dem Radius A a , beschreibe man den un-bestimmten Bogen a ia, welchen man bei a schliesst, indem man ihn bei dem Punkte i, aïs Mittelpunkt, vermittelst eines mit der Diagonallinie AD gleichen Radius durchschneidet : zieht man sodann die Linie Aa, so wird dieselbe mit AB einen dem gesuchten gleichen WinkeF beschreiben ; denn der durch zwei FFâchen gebildete WinkeF ist demjenigen gleich , welchen zwei Linien bilden , die beide mit dem nâmiiehen Punkte der diesen zwei FFâchen ge-meinschaftlichen Kante perpendicuiar gehen. Nun sieht man aber wiedèrum aus Fig. 33, dass die beiden Linien , welche von A und von B mit der Kante ID perpendicuiar gezogen sind, und folglich den geometrischen WinkeF, welcher das Maas zu dem flachen ist, in sich einschliessen , mit der Grundflâchenlinie AB, welche die Seiten AD , BD vereinigt, einen gïeichschenkeligen TriangeF AFB beschreiben, den man sich bloss auf die Grund-flâçhe umgelegt zu denken braucht, um seine Ver-wandelung in eine Flâche môglich zu machen : dies geschieht durch einen Durchschneidungspunkt, welcher aus den Mittelpunkten A und B, mit den Radiis AF, B F, die hier nothwendigerweise gleich sind, gefunden wird. AFIein bei der viereckigen Pyramide in Fig. 44, ist AD die Sehne oder Grund-flâche des sich neigenden Triangels , und i A = a A = A« — aL sind die Seiten. Der WinkeF iAa ist folglich das Maas zu dem flachen WinkeF bei den FFâchen der Pyramide. ^
  - Zioeite Verfahrungsweise. Hat man die Diagonallinie AL aus dem Punkte a, aïs Mittelpunkt, und aus dem Radius A a gezogen, so beschreibe man die unbestimmten Bogen A f, L g, und schliesse dieselben bei f und bei g, vermittelst der mit der Kante K B parallel Faufenden Linien , von denen eine jede nach einer mit der Hâlfte der diago-nalen GrundflâchenFinie AD übereinstimmenden
  - triangle jci, whîch lias as a side c i = GI, the axis, and j c=C J, the perpendicuiar drawn from cinter to one of the sides of the base; or as an hypoténuse j i, the apothém of the pyramid : the angle i j c will be of the same value as the plane angle sought. For the measure of the plane angle is the Finear angle con-tained between two Fines perpendicuiar to the same point of the common section or of the common edge of the two planes : but we see, Fig. 33, that C E and IE, both perpendicuiar to the same point of the edge A D, make a right angled triangle formed by the axis CI, the apothem of the pyramid IE, and the perpendicuiar CE drawn from the eenter to the side A D of the base.
  - 28. Problem. To find the angle that; the edge forms with the base in a regular four-sided pyramid.
  - SOLUTION. Fig. 44. Draw a right angled triangle B C i', which lias for its sides the axis C i'=G I, and B C, the semi-diagonal of the base, or for the hypoténuse B i', the edgç of the pyramid : the angle CB i' shaFI be equal to that which the edge forms with the base. For the angle which a Fine forms with a plane is measured bÿ the one that it forms with a right Fine drawn from its Fowest extremities in the plane to the Fowest extremities of a perpendicuiar falling from one of its points on the plane : we see again, Fig. 33, that, in the plane A CI, the Fine A C is drawn from the Fowest extremity A of the edge AI to the Fower extremity C of the perpendicuiar IC, which is the axis of the pyramid, and that these three Fines form the right angled triangle above mentioned.
  - 29. Problem. To find the Finear angle repre-senting the plane angle that is formed by two sides of the regular four-sided pyramid.
  - SOLUTION. Fig. 44 and 47. Draw a diagonal A L which joins two sides A B, B L of the unfolded pyramid : it will be perpendicuiar to the edge B K. From tF^ point A as a eenter, and from the radius A a, describe the indefinite arc a ia, termina ted at a, by cutting it with another arc described from the point i as a eenter, with a radius equal to the diagonal A D : in drawing A a, this Fine with A B will make an angle equal to the angle sought. For the angle formed by two planes is equal to the angle formed by two Fines perpendicuiar to the same point of the common edge of two planes : we find again, Fig. 33, that the two Fines drawn from A and from B per-pendicularly to the edge ID, and which contain consequentïy between them the Finear angle which is the measure of the planed angle, form with the Fine A B of the base, which joins the Fines A B, B D, an isoscele triangle AFB, which it is sufficient to suppose turned clown upon the base A B to conceive its représentation on a plane, by a point of intersection of two arcs formed from the centers A and B, with the ray s AF and B F, which are here neces-sarily equal. But, in the quadrangular pyramid, Fig. 44, AD is the subtense or base of an inclined triangle, and f A=a A=A«=aL are the sides thereof : therefore the angle iAais the measure of the plane angle of the sides of the pyramid.
  - 2.d construction. After having drawn the diagonal AL from the point a as a eenter, and with A a as a radius, describe the indefinite arcs Af, L g; terminate those arcs at the points f and g by Fines paralïel to the edge K B, drawn each to a distance equal to half of the diagonal AD of the base ; Fastly drawthe two Fines af,ag: the angle fàgwhich they w iFI formbetween them, will be the plane angle
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- - pour baseïa diagonale AD, et pour côtés a/et ag, égales aux perpendiculaires a A, a L, réalise en pian le triangle incïiné dont il a été parlé dans ïa première construction.
  - 3.' construction. Des points E et B comme centres, et du rayon a A, décrivez deux arcs qui se coupeqt en d, et menez ïes droites E d et B d : ces lignes feront entre elles un angle B d E, égal à l’angle plan cherché. Car on,a encore ici un triangle isocèle B d E, dont la base B E est la diagonale elle-même, et dont les côtés B d et E d sont égaux aux perpendiculaires A a, L a : ainsi fangle B d E, opposé à la base, est la mesure de l’angle plan formé par ies faces sur lesquelles on a pris les perpendiculaires A a, L a.
  - 30. Lesfig. 48, 49 et 30 sont le développement d’un comble en pyramide droite à base carrée, qu’on nomme en termes de l’art -pavillon surbaissé, parce que les deux faces opposées par le sommet forment un angle plan obtus, d’après fusage adopté généralement à Paris, de donner à Taxe.de fa pyramide ies cinq sixièmes du rayon de la base ; ce que ies praticiens appellent entre le tiers et Véquerre. On y voit Taxe F G, i’apothème GA, transporté en HI pour le développement, qui est exécuté au moyen de i’arc D K L M, décrit du centre I avec i’arête ID pour rayon, en y portant encore trois fois de suite ie côté D E de îa base.
  - 31. Les Fig. 31 et 32 sont ie développement d’un comble à deux égouts, tronqué à son extrémité par un pian qu’on appelle croupe en termes de l'art. Iî en résulte réellement une demi-pyramide quadran-guiaire, dont les deux faces latérales sont II prolongement du reste du comble, qu’on nomme le long-pan. Mais, comme on trouve ïa forme delà couverture bien plus agréable lorsque ïa croupe est moins incïinée que ie iong-pan, on est dans i’usage de ne donner pour base à ia croupe que les trois quarts de celle du iong-pan, en sorte que la base de ïa demi-pyramide, qui constitue une croupe, est ordinairement bariongue ou parallélogramme. A B D E est ia base de ïa demi-pyramide; C J, Taxe égaï au grand rayon CE de ia base ; JI est i’apothème de ia croupe, qui, transporté en KJ', a donné ie centre du déveïoppement d’où sont résultées ïes arêtes J' A, J'B; JE, apothème ou largeur du Iong-pan, ayant été aussi transportée de J' en E' et D' par des arcs indéfinis que i’on a coupés par d’autres décrits du petit rayon de base C K, et des points A et B comme centres, a donné ïes lignes d’égout A L, B O, dont les paraiièies J' M, J' N, qui doivent se réunir pour former i’arête supérieure du comble, appelée faîte, ont achevé ie développement.
  - ♦
  - 32. Fig. 33, 34, 33 et 36. Ces quatre figures contiennent ies détails du déveïoppement d’un combîe en mansarde, tronqué à f extrémité par une croupe, de sorte qu’il présente une demi - pyramide placée sur une demi-pyramide, toutes les deux tronquées, à base paraiiéiogrammatique.
  - A B EF, Fig. 33, est ïa base totale, où i’on voit en GHIJ ia base de la demi-pyramide supérieure.
  - efgic, Fig. 34, est une ferme du iong-pan, prise sur la ligne EF delà base; c e‘ est l’axe total,
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  - Enfernung geführt worden ist ; bat man endïich die beiden Linien af, a g, gezogen, so wird der Winkel fag, den sie in sich fassen , der gesuchte Winkeï seyn ; denn der Triangeiyag*, weïcher die Diagonai-iinie A D zur Basis, und af und a g gieich den per-pendicuiaren Linien a A, aL,ais Seiten hat, biidet aïs Fiâche den sich neigenden Triangei, von dem in der ersten Yerfahrungsweise die Rede gewesen ist.
  - Dritte Verjahrungsweisê. Aus den Punkten E und B, aIsMitteipunkten,undaus dem Radius a A, beschreibe man zwei Bogen ,weïche sich bei c/durch-schneiclen; zieht man sodann die geraden Linien E d und B d, so werden soïche mit einander einen Winkeï BdE biiden, weïcher dem gesuchten flachen Winkel gieich ist ; hier ist nâmïich ebenfalis ein gieichschenkeliges DreieckBc/E vorhanden, dessen Basis B E, die Diagonaiiinie seibst ist, und dessen Seiten B d und E d den perpendicuiaren Linien Aa, L a gieich sind : diesem zufoige ist der der Basis entgegengesetzte Winkel Bc/E, das Maas zu dem flachen Winkeï, den die Flachen biiden, auf wel-chen man die perpendicuiaren Linien A a, La ge-nommen hat.
  - 30. Die Fig. 48, 49 und 30, enthaïten die Vor-steïiung von einem Dache, weiches eine gerade, mit einer viereckigen Grundflàche versehenen Pyramide biidet. Man nennt diese ietzte einen gedrück-ten Pavillon, weii die beiden, dem Giebel entge-gengesetzten Flachen einen flachen und stumpfen Winkel biiden, weïcher nach dem in Paris alige-mein angenommenen Gebrauche dadurch entsteht, dass man derPyramidenaxe fiinf Sechstel des Grund-flâchenradius giebt, weiches in der Praxis zwischen dem Dritteï und dem Winkel genennt wird. Man sieht daseibst die Axe F G, und das Apothem GA, weiches nach HI der Ausführung wegen getragen worden ist ; diese ietztere ist vermitteist des aus dem Mitteipunkte I beschriebenen Bogens DK LM voi-ïendet worden, und hat die Kante ID zum Radius, wobei die Grundflâchenseite DE noch dreimai da-hin geführt worden ist.
  - 31. In der Fig 31 und 32 sehen wir die Vor-stellungvon einem Dache mit zweiRinnen. Dasseibe ist an seinem obern Ende vermitteist einer Fiâche , Waïmen genannt, abgestumpft worden. Daraus entsteht nun eine haibe viereckige Pyramide , deren zwei Seitenflâchen die Yeriângerung der übrigen iangen Seite des Daches ausmachen. Da sich aber ein Dach dem Auge unter einer gefâliigern Gestait darsteïlt, wenn der Waïmen weniger geneigt ist aïs die lange Seite, so pflegt man bei dem Walmen der Basis nicht mehr aïs drei Yiertei von der Basis der iangen Seite zu geben ; so dass aïso die Grundflàche der haïben Pyramide, weiche einen Waïmen biidet, gewôhnïich zipfeiig oder paralieio-grammfôrmig ist. AB DE ist dié Basis der haiben Pyramide ; C J ist die grosse Axe, weiche dem grossen Grundflâchenradiùs CE gieich ist : JI ist das Apothem des Waimens : nachdem dasseibe nach KJ' getragen worden, so hat es den Mitteïpunkt der Figur gegeben , woraus zugieich die Kanten J'A , J'B , entstanden sind ; J E ist das Apothem oder die Breite der iangen Dachseite ; dasseibe ist von J' nach E' und D' gebracht worden , und zwar vermitteist unbestimmter Bogen, weiche durch an-dere aus dem kieinen Grundflâchenradiùs CK, und aus den Mittelpunkten A und B beschriebenen Bogen durch schnitten worden sind ; daraus sind die Dach-rinneniinien AL,BO entstanden, durch deren Pa-ralleilinien J'M, J'N, weiche sich verêinigcn, und die obéré Kante des Dachs biiden soiien, die Figur voïistândig gemacht worden ist.
  - 32. Die in der Fig. 33 , 34, 33 und 36 ent-haïtenen Yorsteiiungen betreffen ein gebrochenes Dach , weiches an seinem obern Ende vermitteist eines Waimens abgestumpft ist, so dass dasseibe eine haibe Pyramide vorsteiit, weiche auf einer an-dern gieichfaiîs haiben und abgestumpften Pyramide ruht, und wobei beide eine paraïïeiogrammfôrmige Grundflàche haben.
  - In der Fig. 33 sehen wir bei AB EF die Ge-sammtgrundflâche der obern haiben Pyramide.
  - efgic , Fig. 34 , ist ein Binder zu der iangen Seite, weïcher von der Grundflâcheniinie E F ge-
  - sought. For the triangle fag, having forits base the diagonal AD, and for its sides a f and a g, equai to the perpendiculars a A, aL, represents on a plane the inciined triangle which has been spoken of in the first construction.
  - 3.d construction. From the points E and B as centers, and with the radius a A, describe two arcs which intersect each other at d, and draw the right ïines E d and B d : those fines wiii form with each other the angle B ÙE equai to the plane angle sought. For here we hâve again an isosceie triangle B c/E, of which the base BE is the diagonal itseif, and of which the sides B d and E d are equai to the perpendiculars A a, L a : so the angle B ÙE, opposite to the base, is the measure of the plane angle formed by the sides on which hâve been taken the perpendiculars Aa, La.
  - 30. The Fig. 48, 49 and 30 are the unfold-ment of a roof in an upright pyramid with square base, which is technicaïiy caiied loioered-pavilion, because the two opposite sides form at the summit a plane obtuse angle, according to the custom gene-raiiy adopted in Paris, of giving to the axis of the pyramid five sixths of the radius of the base, what artists caii between the third and the square. We see there the axis F G, the apothem GA transferred to HI for the description unfoided, which is executed by the means of the arc D KLM, described from the center I with the edge ID as radius, by taking on it three times the iength of the side DE of the base.
  - 31. The Fig. 31 and 32 are unfoidment of a double guttered roof, truncated at its extremity by a plane technicaïiy caiied a croup. In reality there resuits thence the haif of a quadranguiar py ramid, of which the two latéral sides are continuation of the rest of the roof, which is caiied long pane. But, as we find the shape of the covering much more agreeabïe when the croup is iess inciined than the long pane, it is the custom onïy to give as base for the croup three fourths of that of the long pane; so that the base of the semi-pyramid, which consti-tutes a croup, is generaïiy an unequai sided paraïielo-gram. ABD E is the base of the semi-pyramid; CJ, the axis equai to tfie great radius CE of the base; J I is the apothem of the croup, which, transferred to K J', gave the center of the description from whence resuited the edges J'A, J'B ; JE, the apothem or breadth of the long pane, having been aïso transferred from J' to E' and D' by indefinite arcs which hâve been intersected by other arcs described with the smaii radius of the base CK, and from the points A and B as centers, hâve given the gutter fines AL, B O, of which the paralleis J'M, J'N, which ought to join to form the higher edge of the roof, caiied the ridge, hâve compïeted the description.
  - 32. Fig. 33, 34, 53 and 56. Those four figures contain the details of the description of a curbe-roof, truncated at the extremity by a croup; so that it offers a semi-pyramid piaced on a semi-pyramid, both truncated, with a paraïlelogram base.
  - A B EF, Fig. 53, is thewhoie base, whereone seesin GHIJ the base of the superior semi-pyramid.
  - efgic, Fig. 54, is a truss of the iong pane, taken on the fine E F of the base ; c e' is the totaï
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- - c"c celui de la pyramide supérieure; eg et gc sont les apothèmes des deux parties de iong-pan représentant leurs pentes respectives.
  - d k c'", Fig. 55, est la demi-ferme de croupe, prise sur la ligne CKD de la base, ayant mêmes axes que l’autre, mais des bases plus petites, suivant l’usage; en sorte que les apothèmes dk, kc'", sont plus petits, et présentent plus de raideur dans les deux parties de la croupe.
  - La Fig. 56 est ïe développement de ce comble, exécuté sur le côté A B de ïa base. Après avoir prolongé indéfiniment G M, CD et IN, on a porté de D en k l’apothème d k de la partie inférieure de la croupe, et mené h kj parallèle à AB ; puis on a mené les lignes h A ety'B, qui en sont ainsi les arêtes, et complètent le développement de cette partie de la croupe. Pour placer en continuité ïe développement des longs-pans, du rayon A L, saillie de ïa base inférieure de la croupe par rapport à la base moyenne, et des centres A et B, on a fait deux arcs en l et et on les a coupés avec d’autres arcs faits de j et h pour centres, avec un rayon égaï à l'apothème du long-pan e g : on a eu ainsi les lignes d’égout A e, B f, auxquelles on a mené des parallèles de brisis par ïes points h et j.
  - La ligne h j a servi elle-même de base au développement de ïa partie supérieure de la croupe ; en y portant de k en c l’apothème k c"’ de cette croupe, on a eu ïes arêtes c h et cj : pour en développer ïes longs-pans, des points h et j comme centres, et du rayon IJ ou GH, saillie delà base moyenne de la croupe par rapport à ï’axe, on a tracé deux petits arcs en g et en i, que l’on a coupés ensuite avec d’autres arcs décrits du point c comme centre, avec un rayon égal à ï’apothème g c du ïong-pan. On a eu ainsi ïes deuxièmes lignes de brisis hg, j i, qui se réunissent avec ïes premières pour former ï’arête de brisis; et en leur menant des parallèles par ïe point c, on a eu les deux lignes de faîte, qui se réunissent aussi pour former l’arête supérieure du combïe.
  - 33. Fig. 57 et 58. Ces deux figures mdÈrent le développement d’une lanterne à base hexagone réguïière, placée sur une croisière de deux combles égaux et aussi réguliers.
  - »!
  - La Fig. 57 est ïe plan de ïa croisière et de la lanterne : on y voit en A B et D E ïa position des deux faîtes qui se croisent à angle droit en C, centre de l’hexagone GHIJKL :CN est l’une des quatre noues, qui sont ïes intersections des quatre pans de toiture, qu’on pourrait compter au nombre de huit, puisqu’ils s’interrompent respectivement deux à deux, et que ïa continuité n’a pas lieu; ces noues sont de véritables arêtiers, qui se croisent aussi à angle droit en C. A f B montre ïa pente des deux pans de ï’un des combles; c’est ï’angïe linéaire qui représente leur angle plan, en sorte que g fï est ïa coupe que doivent avoir inférieurement ïes deux pans du prisme hexagonal qui sont perpendiculaires à l’une des arêtes du couronnement de la croisière.
  - Pour trouver ïa coupe inférieure des quatre autres pans du prisme, on observera que, s’il n’existait qu’un des combles, ïe pan dont ïa trace est au plan L K, ligne qui est en même temps sa largeur réeïïe
  - ( 1.3 )
  - nomrnen ist; c e' ist die Gesammtaxe, und c"c die Axe der obern Pyramide ; eg und gc sind die Apothème von zwei zu den langen Seiten gehôrigen Theiïen, weïche den respectiven Abhang vorstellen.
  - d k c'" Fig. 55, ist ein haïber Binder zu einem Waïmen, weïcher von der Grundflâchenïinie CKD genommen ist, und die namliche Axe hat, wie der vorige ; aïïein die Grundflâchen sind dem jetzt herr-schenden Gebrauche nach kïeiner, daher die Apothème dk, kc'" kïeiner sind, und an den beiden Theiïen des Waïmens einen steiïern Abhang haben.
  - Die Fig. 56 zeigt die Vorstellung von diesem Dache, weïches auf der Grundflâchenseite A B aus-geführt worden ist. Nachdem man GM, CD und IN auf eine unbestimmte Weise verïângert hat, so trug man das Apothem d k an der untern Seite des Waïmens von D nach k, und zog hkj paraïlel mit AB ; man zog ferner die Linien h A undyB, weïche soïchergestaït die Kanten desseïben sind , und die Vorstellung an diesem' Theiï des Waïmens voïï-stàndig machen. Um die ïangen Seiten fortïaufend und ohne Unterbrechung darzustelïen, hat man so-wohï aus dem Radius AL, weïcher an der untern Grundflâche des Waïmens, im Verhàïtnisse zu der mittïern Basis einen Vorstoss biïdet, aïs auch aus den Mitteïpunkten A und B, zwei Zirkeïbogen bei l und ï beschrieben, und soïche vermitteïst anderer aus den Mitteïpunkten y und h beschriebenen Bogen durchschnitten, wobei man zugïeich einen dem Apothem der ïangen Seite e g gïeichen Radius gezogen hat : auf diese Weise erhieït man die Dachrinnenlinien Ae, B f, zu weïchen man durch die Punkte h und y, die Paraïlellinien des Dach-bruches geführt hat. " # »
  - Die Linie h j hat ihrerseits bei der Vorsteïlung der obern Waïmenseite zur Basis gedient ; nachdem sodann das Apothem k c"' dieses Waïmens von k nach c gebracht worden ist, so erhieït mandie Kanten c h und c j : um die langen Seiten darzustelïen, zeich-nete man aus den Mitteïpunkten h und y, so wie aus dem Radius IJ oder GH, weïcher im Verhâïtniss zur Axe einen Vorstoss an der mittïeren Grundflâche des Waïmens biïdet, zwei kïeine Bogen nach g und nach i, weïche man sodann durch andere aus dem Mitteïpunkte c beschriebene Bogen durchschnitten, und dabei einen dem Apothem der ïangen Seite gc gïeichen Radius gezeichnet hat. Auf diese Weise erhieït man die zweiten Dachbruchïinien hg„ji, weïche mit den ersten vereinigt xtferden , und so die Dachbruchkante bilden : nachdem man sodann Pa-raïïeïïinien durch den Punkt c zu ihnen führte , so erhieït man die beiden Giebeïïinien, weïche sich ebenfaïïs vereinigen, und so die obéré Dachkante bilden.
  - 33. Fig. 57 und 58. Diese beiden Figuren ent-haïten die Vorstellung von einer auf regelmâssig sechseckiger Grundflâche ruhenden Laterne, weïche auf Kreutzbaïken, zwischen zwei gïeichen und eben: faïïs regeïmâssigen Dâchern steht.
  - 5 Die Fig. 57 steïït den Grundriss von dem Kreutzbaïken und der Laterne vor : AB und DE zeigen die Steïïung der beiden Giebeï, weïche sich bei C, dem Mitteïpunkte des Sechsecks GHIJKL, recht-winkeïig kreuzen ; CN ist einer von den vier Ein-kehlsparren, weïche die Durschneidungspunkte an den vier Dachflâchen ausmachen ; man kônnte diese letztern fügïich zu acht annehmeir, und zwar um so mehr, da zwei und zwei derselben einzeïn und von einander abgesondert dastehen , und aïso kein Zusammenhang unter ihnen Statt findet. Diese Ein-kehïsparren sind wahre Ecksparren, weïche sich bei C ebenfaïïs rechtwinkeïig kreuzen. In A fB sehen wir den Abhang, weïchen die beiden Seiten an dem einen von diesen Dâchern haben ; dieses ist der geometrische Winkeï, weïcher den flachen Winkeï derseïben vorsetïït; soïchergestaït ist gfï der Durch-schnitt, den die zwei Seiten des sechseckigen Pris-matis an dem untern Theiïe haben ; diese Seiten sind mit der einen von den Kanten, weïche sich an dem auf den Kreutzbaïken ruhenden Kranze be-fmden, perpendicuïar.
  - Soïï der untere Durchschnitt der vier übrigen Seiten des Prismatis gefunden werden, so bemerke man, dass wenn bïoss ein Dach vorhanden wâre, so wâre die Seite, weïche im Grundrisse durch die
  - axis, c" c that of the superior pyramid ; e g and g c are the apothems of the two parts of long pane re-presenting their respective sïopes.
  - d k cFig. 55, is the semi-truss of the croup, taken on the line C K D of the base, having ïike axes to the other, but the bases smaïïer, accordingto the use; so that the apothems dk, kc"', are smaïïer, and offer more stiffness in the two parts of the croup.
  - Fig. 56 is the unfoïdment of this roof exe-cuted on the side A B of the base. After having in-definiteïy ïengthened GM, CD and IN, they hâve carried from D to k the apothem d k of the inferior part of the croup, and brought hkj paraïlel to AB; then the ïines h A andy’B, which are the edges thereof and complété the description of that part of the croup, hâve been drawn. To place in conti-nuance the description of the ïong panes, with the radius AL, the saïiant of the inferior base ofthe croup with regard to the middïe base , and from the centers A and B, they hâve drawn two arcs to l , and V, and they hâve eut them by other arcs de-scribed from j and h as centers „ with a radius equaï to the apothem of the long pane e g : they hâve had therefore the gutter ïines A e, Bf, to which they hâve carried the paralïeïs of the brisis by the points h andy.
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  - The line hj itseïf has served as a base to the description of the higher part of the crowp; in carrying from k to c the apothem k c'" of that croup, they hâve had the edges of it ch and cj : to form a description of the long panes, from the points h an dy as centers, with the radius IJ or GH, the saïiant of the middïe base of the croup with regard to the axis, they hâve traced two smalï arcs at g and at i, which are afterwards eut by other arcs described from the point c as a center, with a radius equaï to the apothem gc of the long pane. They hâve had thus the second ïines of the brisis hg,ji, which join with the first to form the edge of the brisis; and in car-rying paralïeïs to them by the point c, they had the two ïines of the ridge, which meet aïso to form the èdge of the roof.
  - 33. Fig. 57 and 58. These two figures show the display of aïanthorn whose basis is a reguïar hexagon, placed on the meeting of two equaï and reguïar parts
  - of the timber-work of a roof.
  - • •
  - The Fig. 57 is the plan of the meeting and of the ïanthorn : there is seen in A B and D E the position of the two tops which cross each other in a right angle in C, the center of the hexagon GHIJKL : CN is one of the four knots, which are the intersections of the four panes of the roof, that might be reckoned eight in number, since they eut each other two by two, and are not continued; those knots are reaïïy edges which cross each other in a right angïe in C. A f B shows the declivity of the two panes of one of the roofs : it is the ïinear angle which repre-sents their pïain angïe ; so that g f I is the inferior cutting of the two panes of the hexagonal prisms which are perpendicuïar to one of the edges of the top of the meeting.
  - To find the inferior cutting of the four other panes of the prism, one must consider that, if there was but one roof, the pane whose trace is in the plan L K, which ïine is at the same time its real and per-
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  - et perpendiculaire, et qui a été transportée dans l’élévation en I k', dont l’intersection avec le comble est L K au plan et I k à l'élévation, a son extrémité K plus bas que l’autre L de la quantité pk marquée dans félévation, en sorte qu’en renvoyant le point k horizontalement en m, \m serait la longueur de f intersection du pan oblique du prisme avec celui du comble; et c’est ainsi qu’il faudrait faire la coupe des quatre pans obliques de fa lanterne, s’il n’y avait qu’un comble.
  - Mais dans le cas présent, où fe pan oblique du prisme ne suit fe premier pan du comble que jusqu’au point M de fa noue, qui est relevé en n, et dont fa différence de hauteur avec le point L est on, il est visible qu’il faut de même renvoyer horizontalement le point n en m, après avoir transporté de même L M en f o', et que f m sera fa longueur de f’intersection du combfe par fa portion du pan oblique du prisme qui est comprise entre f’arête de ce prisme et fa noue de fa couverture.
  - If n’est pas moins cfair quayant transporté une largeur de pan du prisme de f enk', mené fa verticale k' k et f’horizontafe f k, qui représente f’arête du second combfe, fa figne m k est fa longueur de î’in-tersection du second combfe par fe reste de fa largeur du pan oblique de fa lanterne.
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  - C’est d’après cela que fe développement a été exécuté, Fig. 58, surfa portion fl, commune aux coupes des deux corps, et dont fes points principaux sont rapportés à ceux de fa base par i’indication des mêmes lettres en caractères différens.
  - 34* La Fig. 59 montre le pfan d’une tour carrée ABE D, couverte d’un combfe dit pavillon à l’équerre, mais surmontée d’une pyramide à base octogone, FGHIJKLM, dont Taxe se confond avec celui du pavillon, mais dont fa base indiquée au pfan est plus élevée que ceffe du paviffon. La Fig. 60 est l'élévation de f’une et de f’autre ; N P est fa ligne de trave du pavillon ; N Q et P Q sont fes pentes des croupes; T Y est fa ligne de trave de fa pyramide, prise à fa hauteur où quatre de ses arêtes pénètrent fa surface des croupes, pfus éfevée que fa figne de trave du paviffon de fa quantité O Y, prise sur Taxe commun. Le point Y, correspondant à F et à J, où fa croupe est pénétrée par f’arête de face, étant pfus près de Taxe que fe point T de î’arêtier, qui se trouve à fa même hauteur verticaf e, puisque cef ui-ci est à f’angfe, et f’autre au mifieu du côté du carré, f’arête de fa pyramide dirigée vers î’arêtier ne peut l’atteindre au point U, qui correspond à I, mais bien à un point pfus rapproché de ï’axe, et par conséquent plus élevé, tef que i1, correspondant à i. On a donc à cette hauteur une seconde coupe de fa pyramide, pfus élevée et pfus petite que fa précédente, dont fa figne de trave est h' i' j' k' f', Fig. 60, et dont fe pfan est fghij klm, Fig. 59.
  - En portant, à î’ordinaire, de O en R fa retombée A C de î’arêtier du paviffon, on a eu* R Q pour sa longueur réeife : T S est fa longueur réelle des quatre arêtes de fa pyramide qui aboutissent aux croupes ; et en menant f’horizontafe h' I' par fe point i', où l’une des quatre autres arêtes de fa pyramide aboutit à I’arêtier du paviffon, on a eu S h7 pour longueur de chacune de ces quatre autres arêtes.
  - ( 16 )
  - Linie LK vorgestefft ist, und wefche fetztere zu gîeicher Zeit die wahre und perpendiçuïare Breite dieser Seite vorsteïft, und im Aufrisse nach l k' getra-gen worden ist, dessen mit dem Dache geschehenen Durchschnitt wir im Grundrisse bei LK, und im Aufrisse bei f k wahrnehmen, diese Seite wâre an ihrem Endc K niedriger aïs die andere L, und zwar um den in dem Aufrisse bemerkten Unterschied pk; wenn man afso den Punkt k horizontal nach m zurücktrüge, so wâre \m die Lange des Durch-schnittes, wefcher zwischen der schrâgen Seite des Prismatis und zwischen dem Dache Statt hat. Dies wâre afso die Yerfahrungsweise wonach man den Durchschnitt der vier schrâgen Seiten der Laterne zu machen hâtte, wenn bfoss ein Dach vorhanden wâre.
  - Im gegenwârtigen *Faffe aber, wo die schrâge Seite des Prismatis mit der ersten Seite des Daches bfoss bis zu dem Einkehfpunkt M fortgeht, wefcher fetztere bei n erhôht ist, und wovon o n den Unterschied der Hôhe angiebt, wefcher zwischen ihm und dem Punkte L Statt findet; indiesemFaïfe afso muss man, wie leichteinzusehen ist, den Punkt n ebenfaîfs horizontal nach m zurücktragen, nachdem man vor-her LM nach f o7 getragen hat, worauf f m die Lânge des Durchschnitts seyn wird, wefcher zwischen dem Dache und demjenigen Theife der schrâgen Prisma-seite Statt hat, wefche zwischen der Kante des Prismatis und dem Einkehfsparren begriffen ist.
  - Es feidet ferner keinen Zweifeî, dass wenn man die Breite von einer Seite des Prismatis von fnachk7 versetzt, und die verticale Linie k' k, nebst der horizontafen f k, wefche die Kante des zweiten Daches vorstefft, gezogen hat, so ist die Linie mk die Lânge des Durchschnittes, den das zweite Dach und die übrige Breite der schrâgen Laternenseite enthaften.
  - Nach diesen Verhâftnissen geschah die Ausfüh-rung der in der Fig. 58 enthaftenen Yorsteffung nach dem Theife fl, den die Durchschnitte jener beiden Gegeilstânde gemein haben. Die Haupt-punkte desseïben sind an der Grundflâche mit den nâmlichen, aber anders gestalteten Buchstaben an-gezeigt. 1
  - 34. Die Fig. 59 zeigt den Grundriss eines viereckigen Thurmes ABED, wefcher mit einem geradewinkefigen Pavilfondache versehen, und mit einçr achteckigen Pyramide FGHIJKLM über-deckt ist. Die Axe dieser ïetztern verschmilzt sich zwar mit der Axe des Pavillons ; affein ihre im Grundrisse angezeigte Basis ist hôher aïs die des Pavillons. In der Fig. 60 sehen wir den Aufriss von beiden. NP istdie Stuhlwandfinie vomPavillon, NQ und PQ zeigen den Abhang der^ Walmen. T Y istdie Stuhfwandlinie von der Pyramide : sie ist von der Hôhe genommen, und zwar da wo vier Kanten der Pyramide an der Wafmenseite hervor-springen ; auch ist sie hôher aïs die Stuhfwandlinie des Pavillons. Der Unterschied der Hôhe, wefcher O Y betrâgt, ist von der gemeinschaftfichen Axe nommen. Da der Punkt Y, wefcher da wo die vor-derste Kante an dem Walmen hervorspringt, mit F und mit J zutrifFt, sich nâher an der Axe befindet aïs der Punkt T des Gradsparrens, dessen verticale Hôhe die nâmfiche ist, dieser Ietzte befindet sich nâmfich an der Ecke, der Punkt V hingegen in der Mitte des Yierecks , so kann die Kante der Pyramide , wefche sich nach dem Gradsparren hinneigt, mit gedachtem Punkte zwar nicht bei U, welcher mit I zutrifFt, wohl aber an einem der Axe nâher und folglich hôher stehenden Punkte , wie z. B. i', welcher mit i iïbereinstimmt, zusammentrefFen. Diese Hôhe hat einen zweiten Durchschnitt erhalten, welcher hôher und kfeiner ist afs der erste. Die Stuhlwandlinie desseïben ist in Fig. 60 durch die Buchstaben h' i' j'k' ï', und der Grundriss in Fig. 59 durch die Buchstaben f g h ij k lm angezeigt.
  - Trâgt man auf die gewôhnliche Weise die Linie A C, wefche von dem im Pavillon befindfichen Gradsparren genommen ist, von O nach R ; so erhâft man bei R Q die wahre Lânge dersefben : T S ist sodann die wahre Lânge der vier Pyramiden-kanten, wefche bis an die Walmen gehen ; führt man hierauf ferner die horizontale Linie h' I' durch den Punkt i', wo die eine der vier übrigen zur Py-
  - pendicufar breadth, and which has been carriecl in the élévation into f k', whose intersection with the roof is LK in the pfan, and IÆ in the élévation, has its extremity K fower than the other L of the quantity y?k marked in the élévation, so that, send-ing back the point k horizontaffy to m,lm woufd be the fength of the intersection of the oblique pane of the prism with that of the roof, and thus woufd must one make the cutting of the four oblique panes of the îanthom, if tliere was but one roof.
  - But in the présent case, where the oblique pane of the prism foffows the first pane of the roof onfy to the point M of the knot, which is raised in n, and whose différence of height with the point L is on, itis cfear that one must afso send back horizontaffy the point n to m, after bringing in the same way LM to I o7, and that I m wiff be the fength of the intersection of the roof by the part of the oblique pane of the prism which is incfudecf between the edge of that prism and the knot of the roof.
  - It is no îess cfear that, after Iiaving brought one breadtfi of pane of the prism from I to k7, drawn the verticaf k7 k and the horizontal f k, which repre-sents the edge of the second roof, the fine m k is the fength of the intersection of the second roof by the rest of the breadth of the oblique pane of the fan-thorn.
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  - Itis after these considérations that the display as been made, Fig. 58, on the portion fl commonto the cuttings of the two bodies, and whose principal points are referred to those of the basis by the indication of the same fetters in different characters.
  - 34. The Fig. 59 shows the pfan of a square tower ABED covered with a right-angfed roof, but surmounted by a pyramid with an octagon basis, FGHIJKLM, whose axis is confounded with that of the pavifion, but whose basis indieated in the pfan is more efevated than that of the pavi-îion. The Fig. 60 is the élévation of both; NPis the trave-îine of the pavifion ; N Q and P Q are the decfivities of the tops; T Y is the trave-îine of tffe pyramid taken at the height where four of its edgès penetrate the surface of the tops, more efevated than the base of the pavifion of the quantity O V, taken on the common axis. The point V, cor-responding to F and to J, where the top is pene-trated by the edge before, being nearer the axis than the point T of the edge, which is atthe same vertical height, since this one is at the angfeand the other at the middfe of the side of the square, the edge of the pyramid directed towards tfie edge wood cannot meet it at point U, which corresponds with I, but at a point nearer the axis, and therefore more efevated, fike i7, corresponding to i. We hâve therefore at that height a second eut of the pyramid, more efevated and smafîer than the preceding, whose base-fine is h7 i'j'k'f7, Fig. 60, and whose pfanisJgÆî jklm, Fig. 59.
  - Drawing, as usuaf, from O to R the projection AC of the edge wood of the pavifion, we hâve had RQ for its real length : T S is the reaf fength of the four edges of the pyramid which meet to the tops; and bringing the horizontal h7 f7 by the point i', where one of the four other edges of the pyramid meets the edge wood of the pavifion, one has had S h'as the fength of each of those four other edges.
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  - La Fig. 61 présente le développement de trois des croupes du pavillon AcB, Bce, e c d, exécuté comme il a été enseigné (n.° 30). Celui de la quatrième croupe AqD, Fig. 62, est semblable aux trois autres : mais, pour que le développement de îa pyramide s’y trouve adhérent par une de ses lignes de base, et pour avoir en même temps les coupes des intersections des faces de ia pyramide avec les croupes du pavillon, on a procédé comme il suit :
  - n q, apothème de la croupe, étant un report de NO de la Fig. 60, la portion N T de cette dernière, portée de n en h, Fig. 62, a donné en h ïe point où la croupe est pénétrée par Tune des arêtes de la pyramide, celle dont la retombée est CH, Fig. 39. Ce point h est donc l’origine de la ligne de base d’une des faces de la pyramide. L’autre extrémité de la même ligne de base est marquée dans l'élévation en i', intersection de l’arêtier, par l’arête de la pyramide, lignes qui ont toutes les deux C D pour retombée au plan. Ainsi, en renvoyant i' au plan sur CD en i, on a eu la retombée de l’autre extrémité de la même ligne de base, en sorte qu’en menant fi parallèle à n q jusqu’à la rencontre de l’arêtier D q, i est le point de cet arêtier où il est coupé par l’arête de la pyramide qui y aboutit, et h i est ïa ligne de base de l’une des faces de la pyramide. On a donc fait deux arcs qui se coupent en s> l’un de h comme centre, et avec TS, Fig. 60, pour rayon; l’autre de i pour centre, et avec S h' pour rayon. On a eu ainsi pour l’une des faces de la pyramide le triangle s h i, que l’on a répété sept fois, au moyen de l’arc 1 j h f 1.
  - Démonstration. Le développement AqD, poiÿ se mettre en place, doit tourner sur A D comme sur une charnière, jusqu’à ce que ïe point q se trouve placé verticalement sur le point C du plan ; et, dans ce mouvement, chaque point du développement décrit un arc de cercle semblable ou du même nombre de degrés, de manière que chacun de ces arcs ainsi que leurs plans soient perpendiculaires aux plans ABDE et AqD. Ainsi tout point du développement qui, mis en place, doit correspondre verticalement à un point du plan, doit être sur une perpendiculaire à A D, menée par le point du plan auquel correspènd Je point du développement, comme h qui doit correspondre à H, et q qui doit correspondre à c. Donc, puisque i, Fig. 39, est la retombée de l’intersection de l’arêtier du pavillon par l’arête de la pyramide, marquée i, Fig. 60; au développement, Fig. 62 , ce point doit se trouver sur ii, perpendiculaire à A D.
  - 35. Problème. Sur quatre plans de pavillon biais, semblables et de mêmes dimensions, faire les développemens de quatre sortes de comble de formes différentes.
  - SOLUTION. Première forme, avec un seul poinçon, que l’on demande au centre de gravité du quadrilatère A B C D, Fig. 63 .
  - Pour trouver le centre de gravité, il faut tracer les deux diagonales A C, B D; les diviser chacune en deux parties égales en a et en g; partager ensuite en trois portions égales les distances ad, gd, du milieu de chacune à leur intersection ; et par le premier point b, h, de chacune de ces dernières divisions, mener une parallèle à l’autre diagonale, comme 3.e Partie.
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  - ramide gehôrigen Kant en an den Gradsparren des Pavillons anstôsst, so erhàlt man in S h' die Lange von einer jeden dieser vier Kanten.
  - Die Fig. 61 zeigt die Yorstellung von drei ah dem Pavillon befindlichen Walmen AcB , Bce, eccl, die Ausführung derselben hat auf die in N.° 30 an-gegebene Weise Statt gehabt. Die Yorstellung des vierten in Fig. 62 enthaltenen Walmens AqD , stimmt zwar mit der fur die drei ersten gegebenen überein; um jedoch die Vorstellung der Pyramide vermittelst einer ihrer Grundflâchenlinie mit der letztern Vorstellung zu vereinigen, und zugleich auch die Punkte zu erhalten, an denen sich die Seiten der Pyramide mit den Walmen des Pavillons durchschneiden, hat man folgende Verfahrungs-weise beobachtet : da nq , das Apothem des Walmens, aus NO, Fig. 60, herübergetragen worden ist, so hat der in dieser letztern enthaïtene Theil NT, welcher in Fig. 62 von n nach h getragen worden, in h den Punkt gegeben , wo eine der Py-ramidenkanten, nàmlich die, welche in Fig. 39 durch dieLinie CH angezeigt ist, aus dem Walmen hervortritt ; h ist diesem zufolge der Punkt wo die Grundflâchenlinie von einer der Pyramidenseiten ih-ren Anfang nimmt. Das entgegengesetzte Ende dieser nâmlichen Grundflâchenlinie ist im Aufrisse bei ï angezeigt, allwo der Ecksparren von der Kante der Pyramide durchschnittenwird.Beide Linien sind im Grundrisse bei CD angezeigt. Wird nun i' aus dem Aufrisse in den Grundriss von CD nachfgeführt, so erhâlt man dadurch die Vorstellung zu dementgegen-gesetzten Ende dieser nâmlichen Grundflâchenlinie; und zieht man ferner i i parallel mit n q bis zum Ecksparren D q , so ist i der Punkt an welchem der Ecksparren von der Pyramidenkante, welche daran anstôsst, durchschnitten wird, und hi ist die Grund-flâchenliiiie von einer der Pyramidenseiten. Es sind demnach zwei Bogen gezogen worden, welche sich bei s durchschneiden ; der eine aus h, aïs Mittelpunkt, welcher TS,“EYg\ 60, zum Radius hat, und der ' andere aus dem Mittelpunkte i, dessen Radius S h' ist. Diesem zufolge hat man fur die eine der Pyramidenseiten das Dreieck s h i erhalten , welches vermittelst des Zirkelbogens I j h f l siebenmal wieder-holt worden ist.
  - Beweis. Soll die Vorstellung AqD gehôrig ge-ordnetwerden , so muss sie sich so lange uin AD wie um ein Gewinde herumdrehen , bis der Punkt q sich mit dem im Grundrisse befindlichen Punkte C in verticaïer Richtung befindet. Bei dieser Bewe-gung beschreibt jeder in der Vorstellung enthal-tene Punkt einen âhnlichen Zirkelbogen, welcher die namliche Anzahl von Graden enthâlt; so dass diese sâmmtlichen Bogen nebst ihren Grundrissen mit den Grundrissen ABDE und AqD parallel sind. Diesem zufolge muss jeder in der Vorstellung enthaïtene Punkt, welcher, wenn er an seinem gehôrigen Platze ist, mit einem im Grundrisse enthaltenen Punkte in verticaïer Richtung zutreffen muss, sich auf einer mit A D perpendicular laufenden Linie befinden, welche durch den im Grundrisse befindlichen Punkt, mit welchem der zur Vorstellung ge-hôrige Punkt zutrifft, gezogen ist ; wie z. B. der Punkt h, welcher mit H; und q, welcher mit c zu-treffen muss. Da nun i, Fig. 39, dieLinie ist, an welcher der Gradsparren des Pavillons von der Pyramidenkannte durchschnitten wird , welche letztere im Aufrisse Fig. 60 mit i bezeichnet ist, so muss sich dieser Punkt in der Vorstellung Fig. 62 auf der Linie * i, perpendicular mit AD befinden.
  - 35. PROBLEM. Wie werden auf vier âhnlichen, schrâgen und gleich langen und breiten Pavillon-plânen die Vorstelïungen zu vier von einander ver-schiedenen Dachstühlen ausgeführt?
  - AüFLÔSUNG. Erste Forai , mit einer einzigen Giebeïsâule, welche im Schwerpunkte des Vierecks A B CD, Fig. 63, aufgerichtet werden soll.
  - Der Schwerpunkt wird auf folgende Weise ge-funden : man zieht die beiden Diagonallinien A C, BD; theilt eine jede derselben bei a und bei g in zweigïeiche Theile; theilt ferner die Abstânde ad, gd, indreigleiche Theile; und zwar da wo sich solche in der Mitte gegenseitig durchschneiden , und zieht bei jeder von diesen letzten Eintheilungen durch
  - The Fig. 61 présents the display of three of the tops of the pavilion AcB,Bce,ecd, made as it has been taught (n.r30). That of the fourth top A qD, Fig. 62, is alike the three other : but, to make the display of the pyramid adhèrent to it by one of its fines of basis, and to bave at the same time the cuts of the intersections of the faces of the pyramid with the tops of the pavilion, we hâve proceeded as follows:
  - n, q, the apothem of the top, being a translation of NO of the Fig. 60, the portion NT of that last, transferred from n to h , Fig. 62 , has given in h the point where the top is penetrated by one of the edges of the pyramid, the one whose fall is CH , Fig 39. This point h is then the origin of the fine of basis of one of the faces of the pyramid. The other end of the same fine of basis is marked in the élévation in i', the intersection of the edge wood, by the edge of the pyramid, which fines hâve both CD as fall to the plan. Thus, when we transfer i' to the plan on CD in i, we hâve had the fall of the other extremity of the same fine of basis ; so that, when we draw i i parallel to n q till to the meeting of theedge-pieceDq, i is the point of that edge-piece, where it is eut by the edge of the pyramid which ends to it, and h i is the fine of basis of one of the faces of the pyramid. We hâve thejefore made two arcs which intersect in s, the one from h as a center, and with T S, Fig. 60, as a radius; the other from i as a center, and with S h' as a radius. We had tlftis for one of the faces of the pyramid the triangle shi,' that has been repeated seventimes by means of the arc Ijhfl.
  - Démonstration. The displaying AqD, to corne to its proper place, ought to turn on AD, as it would on hinge, until the point q be placed vertically on the point C of the plan; and, in that moving, each point of the dispïay describes a portion of circle alike or of the same number of degrees, so that each of those arcs, as well as their planes, may be perpendicular to the plans ABDE and AqD. Thus each point of the dispïay, which, put in its place, ought to correspond vertically to a point of the plan, ought to be on a perpendicular to AD, drawn by the point of the plan to which corresponds the point of the display, as h, which is relative to H, and q, which ought to correspond to c. Therefore, since i, Fig. 39, is the fall of the intersection of the edge-piece of the pavilion by the edge of the pyramid, marked i' Fig. 60; in the dispïay, Fig. 62, that point ought to be found on ii, perpendicular to AD.
  - 35. PROBLEM. On four plans of pavilion biais, alike and of the same dimensions, to make the dis-plays of four species of roofs of different forms.
  - SOLUTION. First form, with only one king-post, required at the center of gravity of the quadrilater AB CD, Fig. 63.
  - To find the center of gravity, one must trace the two diagonals AC, BD ; divide each of them in two equaï parts in a and g; divide after in three equal portions the distances ad, gd, from the middle of each to their intersection ; and by the first point b, h, of each of those divisions, to draw a parallel to the other diagonal, as here ebf, j hk : the intersection P
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- - âci e I) f, j h k : l’intersection P de ces deux parallèles est le centre de gravité du quadrilatère, et que ion prend ici pour la retombée de Taxe du poinçon. On aura donc ies retombées des quatre arêtes de la pyramide, en traçant de ce point P une droite à chacun des angles A, B, C, D du pian.
  - Pour faire ie développement de ia croupe dont la retombée est A B P, au point P on éïevera P i et P m perpendiculaires i’une à A P, i autre à B P, et que i on fera toutes ies deux égales à ia hauteur du poinçon; puis on décrira deux arcs qui se coupent en q, ï’un de A comme centre et du rayon Aï, i’autre du centre B avec ïe rayon B m : ie triangle A q B sera l'extension réelle de ia croupe A P B du pian, puisqu’il a pour base ia iigne d’égout, et pour côtés ies longueurs des deux arêtiers, dont chacune est l’hypoténuse d’un triangle vertical rectangle, ayant pour côté horizontal la retombée de i’arêtier lui-même, et pour côté vertical la hauteur du poinçon. On procédera de même pour chacune des .trois autres croupes.
  - Observation. On peut placer le poinçon en tout autre point que celui P, sans craindre de gauche : cependant Fourneau conseille de le placehau centre de gravité de la base; ce qui n’est pas sans fondement, puisqu’autrement une partie du fardeau de la couverture presserait plus sur ies fondations d’un côté que de l’autre, ce qui nuirait à ia stabilité de l'édifice.
  - Deuxième forme, avec deux poinçons P, p, Fig. 64.
  - En admettant deux poinçons, il est bon de ies placer sur une iigne qui passe par ie centre de gravité du pian, de manière que chaque croupe approche du degré de pente que i’usage leur a affecté, et eu égard à ce qu’exige la disposition des vides et des pleins dans ies murs, pour ia position des fermes. Les deux croupes A P D, B p C, qui sont triangulaires, sont nécessairement deux surfaces planes; mais les deux longs-pans APpB, CpPD sont deux trapézoïdes nécessairemen t gauches, parce que, ïe bon goût exigeant que le faîtage soit horizontal, ainsi que les lignes d’égout, cette ligne de couronnement doit être en partie au-dessous et en partie au-dessus de la ligne que l’on mènerait du point de concours a des lignes d’égout prolongées, au sommet P' du poinçon de la croupe la plus large. Or, pour que les longs-pans n’eussent point de gauche, il faudrait que chacun fût une partie des faces latérales P'A a, P' D a de la pyramide triangulaire P'AaD.
  - Au reste, en faisant les quatre arêtiers droits, cette forme ne présente ni intérêt ni difficulté, si ce n’est l’assemblage des pièces des surfaces, qui ont du gauche. Mais, comme ce défaut est ordinairement peu considérable, un peu d’attention à faire quelques coupes grasses et à amaigrir les autres, suivant 1’oc-currence, est tout ce qu’il faut pour l’exécution.
  - Mais, au lieu de faire droits ies quatre arêtiers de cette sorte de comble, comme le demandent ia raison et ie bon goût, Fourneau a proposé de ies faire courbes; ce qui ne diminue aucunement ie gauche des longs-pans, détruit la forme rectiligne dans chacune des quatre surfaces, et, ne produit d’autre résultat que d’en compliquer considérablement le tracé et ie développement, qu’on peut exécuter au reste de la manière suivante.
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  - den ersten Punkt b, h, eine mit der andern Diago-naliinie paraïlei iaufende Linie, wie hier e b f, j hk : der Punkt P, bei weïchem sich diese beiden Pa-raiieïiinien durchschneiden, ist der Schwerpunkt des Yïerecks, weicher hier die Axeniinie der Giebeï-sâuie vorsteiit. Diesem zufoige erhàit man die vier Pyramidenkanten dadurch, dass man aus diesem Punkte P eine gerade Linie bis zu jedem von den im Grundrissebefindlichen Winkeln A, B,(C, D zieht.
  - Den Walmen AB P findet man foïgendergestait : bei dem Punkte P richtet man die Linie P i und Pm, dergestait auf, dass die eine mit AP, und die andere mit B P perpendicuiar ist, und beide die Hôhe der Giebelsâule haben ; man beschreibt sodann zwei Bogen, welche sich bei q durchschneiden; und zwar den einen aus dem Mitteipunkte A, weicher A1 zum Radius erhâit, und den andern aus dem Mitteipunkte B, dessen Radius B m ist ; worauf das Dreieck A qB der wahre Umfang des im Grundrisse mit A PB angedeuteten Walmens seyn wird; dieses Dreieck hat nâmlich die Dachrinnenlinie zur Basis, zu Seiten aber hat es die beiden Ecksparren-iângen, von denen eine jede die Hypothenuse eines rechtwinkeligen verticalen Dreiecks ist, dessen horizontale Seite die Ecksparrenlinie, die verticale Seite aber die Hôhe der Giebelsâule ist. Auf die-seibe Weise verfâhrt man bei den drei übrigen Walmen.
  - Bemerkung. Die Giebelsâule kann auch in einen andern Punkt aïs P gesetzt werden, ohne das daraus eine schiefe Gestalt zu befürchten wâre ; indessen râth Fourneau mit Recht, man solle sie in den Mittel - und Schwerpunkt der Grundflâche setzen , weil sonst der Druck, den die Last des Daches auf den Grund des Gebâudes ausiibt, nicht gleich-mâssig, sondern auf der einen Seite mehr als auf der andern Statt haben würde, welches der Fes-tigkeit des Gebâudes schaden würde.
  - Zweite Form mit zwei Giebelsâulen P , p, Fig. 64.
  - Soilen zwei Giebelsâulen angewendet werden, so ist es rathsam, dass sie so gesetzt werden, dass die Linie auf weicher sie stehen, durch den Mitteipunkt des Planes geht, und dass ferner jeder Walmen den Grad der Neigung erhâit, den Herkommen und Ge-wohnheit diesfalls festgesetzt haben , und wobei zu gleicher Zeit wegen der Stellung der Binder auf die offenen und vollen Theile der Mauer Rücksicht zu nehmen ist. Die beiden triangeïfôrmigen Walmen APD, BpC, sind nothwendigerweise zwei ebene Flâchen ; wâhrend die beiden ïangen Dachseiten APpB, CpPD, welche ein ungleichseitigesViereck beschreiben, nothwendigerweise schief sind ; denn da es der gute Geschmack erfordert, dass die Giebeï-linie so wie die Dachrinnenlinien horizontal seyen ; so muss sich diese Giebeïïinie zum Theil unter, und zum Theil auch über der Linie befinden, welche aus dem an den Dachrinnenlinien befindlichen Vereini-gungspunkte agezogenwürde; und wobei diese Dachrinnenlinien7 bis zur Hôhe der an den breitesten Walmen stehenden Giebelsâule P' verlângert sind. Soilen nun diese Ïangen Dachseiten keîne schiefe Gestalt erhalten , so müsste jede einen Theil der zur triangeïfôrmigen Pyramide P'AaD gehôrigen Sei-tenflâchen P' A a, P'Da ausmachen.
  - Giebt man übrigens den vier Ecksparren eine gerade Gestalt, so ist dieses weiter nichtsbesonderes; auch ist die Ausführung mit keinen Schwierigkeiten verbunden ; ausgenommen etwa die Hoizverbindun-gen, wenn die Dachseiten schief sind. Dieser Fehler ist gewôhniich aber von keiner grossen Bedeutung : und iâsst sich, wenn man nach Beschaffenheit der Umstânde, einigeHôlzer voiler, andere aber schârfer behaut, leicht abhelfen.
  - Dem guten Geschmackc und der Natur der Sache nach, müssen bei dergleichen Dâchern die vier Ecksparren eigentïich eine gerade Gestalt erhalten ; nichts desto weniger râth Fourneau, man soïle sie gebogen machen, wodurch aber das schiefe an den Ïangen Dachseiten keineswegs vermieden, wohl aber die geradiinige Gestalt bei einer jeden der vier Dach-flâchen verhindert, und überdies kein anderes Résultat aïs sehr zusammengesetzte Zeichnungen her-vorgebracht wird. Die Zeichnung kann übrigens auf foigende Weise ausgeführt werden.
  - of those two paraileïs is the center of gravity of the quadrilater, and that is taken here for the inferior end of the axis of the king-post. One will hâve there-fore the fait of the four edges of the pyramid, by drawing from that point P a right line to each of the angles A, B, C, D of the pian.
  - To make the display of the top whose basis is AB P, we shail elevate to the point P the fines PI and Pm, the one perpendicuiar to AP, the other to B P, and that we shail make both equaî to the lieight of the king-post; after what we shail draw two arcs intersecting in q, the one from A as center, with the radius AI, the other from the center B with the radius B m : the triangle AqB wilï be the real extent of the top A PB of the pian, since it has for its basis the dropping-line, and for its sides thelength of the two edge-pieces, each of whose is the hypoténuse of a vertical rectangular triangle, which has for its horizontal side the fall of the edge piece itself, and for vertical side the height of the king-post. One must proceed in the same manner for each of the other tops.
  - Observation. One may place the king-post in any other point but P, without appréhension of shrinking : however Fourneau advises to place it at the center of gravity of the basis, which is not unrea-sonable , since otherwise part of the weight of the roof wouid press more upon one side of the foun-dations than on the other, which wouid oppose to the stabiiity of the building.
  - Second form with two king-posts P, p, Fig. 64.
  - When we admit two king-posts , it is good to place them on a line passing through the center of gravity of the plan, so that each top may approachthe degree of declivity which it is the custom to give them, and with regard to what requires the disposi-ÿon of the empty and full places in the walls, for the position of the trusses. The two tops APD,BpC, which are triangular, are necessarily two plané surfaces; but the two long panes APpB, CpPD are two trapezoïds necessarily left, or crooked, because, the good sense requiring the roof-timber horizontal, as weil as the dropping-lines that line of crown-ing ought to be in part on, and in part upon the line that one will iead from the point of meeting of the dropping-lines carried, on the summit P' of the king-post of the largest top. But, in order that the long panes may hâve no left, it wouid be neces-sary that each should be a part of the latéral panes P' A a, P' D a of the triangular pyramid P' A a D.
  - But in short, when the four edge-pieces are made straight, that form présents neither interest, neither diffîculty, except the assemblage of the pièces of the surfaces, which hâve something awkward. But, as that fault is commonly unconsiderable, a iittle attention to make some cuts big, and lessen the others, according to the occurrence, is ail that is required for the execution.
  - But, instead of making straight the four edge-pieces of this sort of roof, as reason and taste require it, Fourneau has proposed making them curved, which does not diminish at ail the left ofthe long panes, destroys the rectilign form in each of the four surfaces, and gives no other resuit but to make very complicate the drawing and the display, that may be, after ail, executed in the following manner,
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- - 1Pour former le plan, après avoir marqué la retombée des axes des deux poinçons P, p, et prolongé les deux principales lignes d’égout jusqu’à leur point de concours a, on divise le côté opposé AD en un nombre pair quelconque de parties égales, et par les points de division a, h, c, d, &c., on mène des droites au point de concours a. La retombée e P de fapothème de chaque croupe se divise en un nombre de parties égal à la moitié du nombre des parties de A D, et par chaque division j, k, I, m, on mène des parallèles à AD et à B C. Une courbe tracée de chaque poinçon aux deux angles voisins par les intersections respectives de ces deux familles de lignes, forme le plan de chacun des arêtiers ; et il est à remarquer qu’aucune de ces courbes ne peut être semblable à une autre, quand le biais de ïa base est complet.
  - 2.° Pour développer farêtier courbe dont AP est le plan, par chacun des points x, y, z, &, Py résultant de l’opération précédente, on mène des droites à l'origine A, et à chacune on élève une perpendiculaire indéfinie xn, ym, zi, & k, PH; et comme les points de l'arêtier qui ont pour retombées x, y, z, &, P, sont à des hauteurs également espacées, puisqu’ils sont sur des parallèles horizontales menées par les divisions en parties égales de l’apothème du plan de la croupe, on faitïa perpendiculaire P H égaïe à la hauteur du poinçon ; on la divise en autant de parties égales que l’on a divisé la retombée eP de l'apothème, et Ton donne à chacune des autres perpendiculaires 1,2,3, 4 de ces parties, en sorte que les distances AH, Ak, AI, Am, An, &c. étant les longueurs réelles de lignes droites menées de A à chacun des points de l’arêtier, dont les retombées sont x, y, z, &, P, la courbe A n m I k H est le développement réel de l’arêtier.
  - 3.° Pour arriver au développement des surfaces, du point A comme centre, en prenant successivement pour rayons AH, Ak, Aï, Am, An, on décrit les arcs H h A, kov, Ipu, mqt, nrs; puis par les points du plan x, y, z, &, P, on coupe respectivement ces arcs par des perpendiculaires menées d’une part à la ligne d’égout AB, pour le développement du long-pan en r, q, p, o, h, et d autre part à ïa ligne d’égout A D, pour le développement de ïa croupe en s, t, u, v, h, et ï’on fait passer une courbe par chaque suite de points ainsi trouvés.
  - On répète ïa même opération pour chacun des arêtiers, et ï’on termine ïe développement en joignant par une ligne droite les sommets des deux arêtiers qui appartiennent à chacun des longs-pans.
  - Troisième forme, avec trois poinçons P, p, p, qui laissent une petite terrasse triangulaire à la ligne de couronnement. Fig. 65.
  - La croupe B p C, surface triangulaire, n’a pas de gauche. Pour obtenir aussi sans gauche ïes trois autres surfaces, il faut que la combinaison des poinçons leur donne a chacune une longueur uniforme de chevron, ce qu’on obtient en traçant sur le plan ïa retombée des trois faîtages P p, Pp et p p, parallèlement aux lignes d’égout, c’est-à-dire que P p est parallèle à l’égout A B ; P p, parallèle à AD; etpp, à D C. Dans cette figure, ïes chevrons ont même longueur aux trapèzes A Bp P, APpD; mais ils sont plus courts en DppC : ce qui résulte de ïa position respective des trois poinçons, où ï’on a cherché à faire, autant que ïe comporte l’irrégularité de ïa base, l.° que le centre de gravité du triangle soit sur celui du plan; 2.° que ïes pentes fussent celles que ï’usage a adoptées; 3.° que ïa terrasse soit ïa plus petite possible, parce que c’est la plus mauvaise sorte de couverture.
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  - 1. ° Hat man bei dem zu fertigenden Grundrisse die Axenïinie der beiden Giebeïsâuïen P, p ge-zeichnet, und die zwei vorzügïichsten Dachrinnen-ïinien bis zu ihremVereinigungspunkte a verïangert, so tlieiïe man die entgegengesetzte Seite AD in eine beïiebige und gerade Anzahï gïeicher Theiïe, und fiïhredurch die Theiïungspunkte a, b, c, d, u. s.w., gerade Linien zu dem Vereinigungspunkte a. Die Linie e P, weïche das Apothem eines jeden Wal-mens ausmacht, besteht aus einer Anzahï von Theiïen , weïche der haïben Anzahï der Theiïe, aus denen AD besteht, gleich ist. Durch jeden Thei-ïungspunkt j, k,ï,m,führemannunmitADund BC paraïïeï ïaufende Linien; worauf sodann eine aus jeder Giebeïsàuïe nach den zwei nâchsten Winkeïn ge-zogene krumme, und durch die betreffendenDurch-schneidungspunkte dieser zwei Linienarten gehende Linie den Grundrisszu jedem Ecksparren giebt. Wir bemerken übrigens noch, dass keine von diesen krummen Linien einer andern âhnïich seyn kann, wenn die schràge Gestaït der Basis voïïkommen ist.
  - 2. ° Zeichnung des gebogenen Ecksparrens, von weïchem AP der Grundriss ist. Man ziehe durch einen jeden der Punkte x, y; z , &, P, weïche sich aus der vorigen Verfahrungsweise ergeben haben, eine gerade Linie zu dem Anfangspunkte A ; und richte bei jeder derseïben eine unbestimmte Perpen-dicuïarïinie xn , y m, zï, & k, PH auf ; und da die Punkte des Ecksparrens, weïche mit x, y, z, &, P, bezeichnet sind , sich an gïeichweit von einander abstehenden Hôhen befinden , weiï sie auf horizon-taïen Paralleïïinien stehen, weïche durch das in gïeiche Theiïe getheiïte Apothem des Waïmengrund-risses gezogen worden sind , so giebt man der Per-pendicuïarïinie P H die Hôhe der Giebeïsàuïe, und theiït sie in eben so vieï gïeiche Theiïe aïs die Linie e P des Apothems getheiït worden ist ; jede der übrigen Perpendicuïarlinien erhàït 1,2, 3,4, von diesen Theiïen ; da nun die Abstânde AH, Ak, AI, Am, An, u. s. w., die wahren Lângen der geradenLinien sind, weïche von A nach jedem Punkte des Ecksparrens, dessen Linien x, y , z, &, P sind, gezogen worden sind, so ist der Bogen AnmïkH die wahre Darsteïïung des Ecksparrens.
  - 3. ° Die Zeichnung der Fïâchen erïangt man foïgendergestaïtraus dem Mitteïpunkte Abeschreibe man die Bogen Hh h, kov, Ipu, mqt, nrs, wo-beiman nach und nach die Linien AH, Ak, Aï, Am, An, zuRadiis nimmt ; sodann durchschneide man aus den Grundrisspunkten x, y, z, &,P, jeden einzeïnen Bogen durch Perpendicuïarlinien , weïche bei der Darsteïïung der in r, q, p, o, h enthaltenen langen Dachseite bis zurDachrinnenïinie AB; bei der / in s , t, u, v, h enthaltenen Darsteïïung des Waï-mens aber bis zur Dachrinnenîinie ADgeführtsind; endïich wird durch jede Reihe der auf diese Weise gefundenen Punkte eine krumme Linie gezogen.
  - Die nàmïiche Verfahrungsweise wird bei jedem einzeïnen Ecksparren wiederhoït, und die Zeichnung dadurch voïïendet, dass die Hôhen der beiden, zu jeder ïangen Dachseite gehôrigen Ecksparren durch eine gerade Linie mit einander verbunden werden.
  - Dritte Form mit drei Giebeïsâuïen Ppp, weïche die Anïegung eines kïeinen dreieckigen Altans an der Giebeïïinie verstatten. Fig. 65.
  - Die triangelfôrmige Fïâche des Waïmens B p C hat keine schiefe Gestaït : und um ebenfaïïs ohne schiefe Gestaït die drei übrigen Fïâchen zu erhaïten, so müssen die Giebeïsâuïen so angeordnet werden , dass eine jede Fïâche die gïeichfôrmige Sparren-Iânge erhâït ; dies erïangt man dadurch, dass man auf dem Grundrisse die Linie der drei Giebeïfetten Pp, Pp und p p mit den Dachrinnenlinien paraïïeï zeichnet: dasheisst Pp muss mit der Dachrinne AB ; Pp mit AD, und pjo mit D C paraïïeï seyn. In dieser Figur sind die Sparren bei den ungïeichseitigen Vierecken ABpP, APpD von einerïei Lânge ; kürzer aber sind sie in D pp C, welches aus der An-ordnung der drei Giebeïsâuïen herrührt. Bei dieser Anordnung hatte man , so weit es die unregeïmâs-sige Grundflâche zuliess , foïgenden Zweck vor Augen : 1.° solïte sich der Mitteïpunkt des Triangeïs auf dem Mitteïpunkte des Grundrisses befinden ;
  - 1.° To form thc plan, after Iiaving marked the fait of the axis of the two king-posts P, p, and pro-longed the two principal dropping-lines to their point of meeting a, we divide the opposite side AD into a number even of equaï parts, and by the points of division a, b, c, d, &c. we draw right fines to the point of meeting a. Th q f ail e P of the apothem of each top is divided into a number of parts equaï to haïf the number of the parts of A D, and by each division j,k,I,m, one draws parallels to AD and to B C. A curve drawn from each king-post to the neighbouring angles by the respective intersections of those two families of ïines, forms the plan of each of the edge-pièces ; and we must remark that none of those curves can be aïike another, when the slope of the basis is complété.
  - 2.° To display the curve edge-piece whose A P is the plan, we draw, by each point x, y, z, &, P, re-sults of the preceding operation, right fines to the origin A ; and on each of them we eïevate an indefi-nite perpendicuïar xn,ym, zi, & k, PH; and as the points of the edge-piece which hâve for plans x, y, z, & ,P,areatheights equalïy distant, since they are on horizontal parallels drawn by the divisions in equaï parts of the apothem of the plan of the top, we make the perpendicuïar P H equaï to the height of the king-pôst; we divide it in as many equaï parts as we hâve divided the fall eP of the apothem, and we give to each of the other perpendiculars one, two, three, four of these parts ; so that the distances AH,Ak,Aï,Am,An,&c. being the real lengthes of the right ïines brought from A to each point of the edge-piece whose the f ails are x, y, z, &, P, the curve AnmïkHis the real dispïay of the edge-piece.
  - 3.° To obtain the display of the surfaces, from the point A as a center, taking successively for radius AH, A k, Aï, Am, An, we describe the arcs H h A, kov, ï pu, mqt, nrs; and by the points of the plan x, y, z, &, P, we eut each of those arcs by perpendiculars drawn on one part to the drop-ping-line AB, for the dispïay of the long pane in r, q,p,o,h, and on the other part to the dropping-line AD for the dispïay of the top in s, t, u, v, h, and we make a curve pass by each sériés of so discovered points.
  - We repeat the same operation for each edge-piece ; and we terminate the dispïay by joining by a right fine the tops of the two edge-pieces beïonging to each of the long panes. .
  - Third form, with three king-posts P,p,p, which leave a ïittïe trianguïar terrace at the fine of crown-ing. Fig. 65. *
  - The top BpC, a trianguïar surface, has noleft. To obtain the three other surfaces aïso without ïeft, the combination of the king-posts must give to each an uniform ïength of rafters,' and that is obtained by tracing on the plan the fall of the three roof-tim-bers P p, Pp and pp paraïïeï to the dropping-lines, that is that P p is paraïïeï to A B ; P p paraïïeï to A D, and pp to D C. In that figure, the rafters hâve the same ïength in the trapèzes A Bp P, APpD; but they are shorter in D pp C : which resuïts from the respective position of the three king-posts , where we did try, as much as allows the irreguïarity of the basis, 1,° to place the center of gravity of the triangle on that of the plan; 2.° to make the de-clivities such as custom requires them to be ; 3 ,° to make the terrace the smalïest possible, because it is the worst kind of covering.
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- - Pour former ïe développement des quatre surfaces du comble, on fera PH perpendiculaire à PA, pc zpB ,p¥ a.p C, et pE à pD, en donnant à chacune de ces perpendiculaires une longueur égale à la hauteur uniforme des poinçons : on aura ainsi les points H , c , F, E; et, comme précédemment, en prenant pour centres les quatre points angulaires du quadrilatère, et A H,Bc,CF,DE pour rayons, on aura fes points h, g; A, e; e, f, et g, pour marquer le développement des quatre surfaces.
  - Le triangle e f A' se fait égal à ceîui du plan.
  - Quatrième forme, avec cinq poinçons E,F, G, H,I, dit cinq-épis. Fig. 66.
  - Le poinçon G en pfan est au centre de gravité du quadrilatère, et reçoit les quatre noues AG, DG, C G, B G; la direction des faîtages E G, GI, a été établie parallèlement à une ligne qui passerait par les milieux de AD et de B C ; les poinçons E et I ont été placés pour donner aux croupes une pente approximative à fa règle précédemment indiquée, et ï’on a procédé de même pour fes faîtages F G, GH, et les poinçons H, F; fes f ignés d’arêtiers ont été tracées des quatre autres poinçons aux quatre angles du plan. Ces quatre croupes triangulaires ne peuvent avoir de gauche, non plus que les huit parties qui les raccordent aux noues, puisque celles-ci sont aussi de forme triangufaire. On établira, comme aux figures précédentes, fes hauteurs des poinçons pour tracer fe dévefoppement des quatre croupes. Quant aux huit parties comprises entre fes arêtiers et les noues eîles sont pareillement fes résuftantes de fa hauteur de poinçon établie perpendicufairement sur fa retombée de chaque noue, pour avoir ïe rayon d’un arc que ï’on décrit de i’angfe du plan comme centre, et que f’on coupe ensuite en prenant fa fongueur du faîtage particufier pour rayon, fe sommet de fa croupe pour centre d’un petit arc qui détermine fe troisième point de chacun de ces triangïcs. Ici, par exempfe, on a pris E G pour rayon et fe point e pour centre, et f’on a décrit Tare g g, qui a donné fes troisièmes points des triangles Aeg, Deg\
  - Développement du Cylindre droit, Fig. 67.
  - 36. Dans fa pratique, on considère le cylindre comme un prisme d’un nombre infini de faces, et sa base comme un pofygone d’une infinité de côtés ; et ce point de vue donne une grande facifité aux géomètres pour démontrer fa propriété de ces corps, et aux praticiens pour exécuter fes travaux qui en dépendent. En mettant ainsi fe cyfindre circufaire droit dans fa cfasse des prismes droits à base régulière, on conçoit que son développement consiste, Fig. 67, 68 et 69, à établir fe pïan de fa base ABED, prolonger fe diamètre AE d'une quantité égaïe à fa hauteur du cylindre, élever à chacune de ses extrémités une perpendiculaire égale à fa circonférence rectifiée de fa base, et terminer fe parafïéfogramme par une parallèle au diamètre prolongé.
  - Le caïcuf appliqué à fa géométrie a donné pour circonférence d’un cercïe dont le rayon serait = 1, 3,1415936535897932.
  - Archimède a trouvé :
  - 7; 22 ou 3,1428571. ]
  - Adrien Metius : f
  - 113: 355 3,1415929. > Différence.
  - 120: 377 3,1416667. (
  - 484:1521 3,1425620. J
  - 0,013.
  - 0,000000266.
  - 0,000074.
  - 0,00097.
  - ( 20 )
  - 2.8 sollten dieAbhânge demdiesfaïfs angenommenen Gebrauche angemessen, und 3.° der Aftan so klein aïs môglich seyn, indem eine Ueberdachung dieser Art unter die aller schïechtesten gehôrt.
  - Die vier Dachseiten werden fofgendergestaït aus-geführt : man zeichne PHperpendieufar mit PA, pc mit pB, p¥ mit p C und pE mit pD ; wobei eine jede von diesen Perpendicufarfinien eine der gïeichfôrmigen Hôhe der Giebelsâulengfeiche Lange erhâft : auf diese Weise erhâft man die Punkte H, c, F, E ; und nimmt man wie im vorigen Falïe, die vier Eckpunkte des Yierecks zu Mitteïpunkten, und AH, Bc, CF, DE zu Radiis, so erhâltman die Punkte h , g; A, e ; e, f, und g, wefche die Dar-stelfung der vier Dachseiten andeuten.
  - Der Triangeï ef A' wird dem Triangel des Grund-risses gfeich gemacht.
  - Yierte Form mit fünf Giebefsâuïen E, F, G, H, I, Fig. 66. ^
  - Die im Grundrisse befmdïiche Giebelsâufe G, steht im Mittefpunkte des Vierecks und erhâft die vier Kehlrinnensparren AG, DG, CG, B G. Die Richtung der Giebelfetten fâuft mit einer Linie, wefche durch die Mitte von AD und BC gehen würde paraîfeï. Die Anordnung der Giebefsâuïen E und I hat dergestaft Statt gehabt, dass die Walmen eine mit der vorstehend angegebenen Regel ziemfich übereinstimmende Neigung erhaften. Diesefbe Yer-fahrungsweise ist bei den Giebelfetten F G, G H, und bei den Giebefsâuïen H, F, beobachtet worden. Die Ecksparrenfinien sind von den vier übrigen Giebeï-sâufen zu den vier Winkefn des Grundrisses ge-zogen worden. Die vier Walmen kônnen eben so wenig eine schiefe Gestaft haben aïs. die acht Theife wefche diesefben mit den Kehlrinnensparren verbin-den , indem diese fetztern ebenfaïfs triangeffôrmig sind : die Hôhen der Giebefsâuïen werden auf diesefbe Weise wie in den vorigen Figuren bestimmt, und danach die vier Walmen gezeichnet. Was die acht zwischen denEcksparren und den Kehlrinnensparren befindfichenTheife anbetrifft,so ergebensich soïche ebenfaïfs aus der Giebefsâufenhôhe, wefche auf einer jedenKehlrinnenïinie perpendieufar aufgerichtet ist, und woraus man den Radius zu einem Bogen erhâft, den man aus dem zum Mittefpunkte dienenden Grundrisswinkef beschreibt, und hierauf dergestaft durchschneidet, dass man die Lânge der betreffenden Giebeffette zum Radius, und die Hôhe des Wafmens zum Mittefpunkte eines kfeinern Bogens nimmt, weïcher den dritten Punkt zu einem jeden von diesen Triangefn bezeichnet. Hier z. B. ist EG zum Radius, und der Punkt e zum Mittefpunkte genom-men, und der Bogen gg, aus wefehem sich die dritten Punkte der Triangel Aeg, Deg1 ergeben haben, beschrieben worden.
  - Zeichnung des geraden Cylinders, Fig. 67.
  - 36. Der Cyfinder wird in der Praxis aïs ein aus unendïich vielen Ffâchen bestehendes Prisma, und seine Grundflâche afs ein aus unendïich vieïen Seiten zusammengesetztes Pofygon angesehen. Nach diesem Gesichtspunkte kônnen sowohf die ver-schiedenenen Beschafîenheiten dieser Kôrper, aïs auch die dabei erforderfichen Arbeiten mit Leich-tigkeit ausgemitteft und bewerksteffigt werden. Setzt man demnach den zirkeffôrmigen geraden Cyfinder in die Cfasse der mit einer regufâren Grundflâche ver-sehenengeraden Prismata, so sieht man feicht ein, dass bei der Zeichnung dessefben nach Maasgabe der Fig. 67, 68und 69, die Ffâche der Basis ABED festgestefft, der Durchmesser AE um eine der Cyfinderhôhe gfeiche Grosse verfângert, an jedem Ende dessefben eine dem rectificirten Grundflâchen-umkreise gfeiche Perpendicufarfinie aufgerichtet, und das Paraffefogramm vermittefst einer mit dem verfângerten Durchmesser paraîfeï faufenden Linie geschfossen werden muss.
  - Aus derauf die Geometrie angewendeten Berech-nung ergab sich fur denümkreis eines Zirkefs dessen Radius seyn würde=l, 3,1415926535897932.
  - Archimedes fand :
  - 7: 22 ou 3,1428571. ] [0,013.
  - Hadrian Metius : | J
  - 113: 355 3,1415929. > ünterschied../o,000000266.
  - 120: 377 3,1416667. ( JO,000074.
  - 484: 1521 3,1425620. ) [o,00097.
  - To hâve the display of the four surfaces of the roof, one must make PH perpendieufar to P A, p c to p B, p F to p C, and p F to p C, by giving to each of those perpendieufars a fength equal to the uniform height of the king-posts : one wilf hâve thus the points H, c, F, E; and, as before, by taking as centers the four angufar points of the quadrifater, and AH, Bc, CF, DE, as radius, we shafl hâve the points h, g; A, e; e, f and g, to mark the display of the four surfaces.
  - The triangle e f A' is made equaf to that of the plan.
  - Fourth form, with fîve king-posts E,F,G,H,I, said jive ears of corn. Fig. 66.
  - The king-post G in the plan is at the center of gravity of the quadrifater, and receives the four pan-tiles AG,DG,CG,BG; the direction of the roof-timbers E G, GI, has been made paraîfeï to a line that would pass by the middfe of AD and B G; the king-posts E and I hâve been pfaced to give to the tops a deefivity nearly according to the rule given before , and the same has been done for the roofs F G, GH, and the king-posts H, E ; the fines of the edge-pieces hâve been drawn from the four other king-posts to the four angles of the plan. Those four triangular tops cannot hâve any feft, nor the eight parts either which join them to the pantiles, since these are afso triangular. One must estabfish, as in the precedent figures, the height of the king-posts to trace the display of the four tops. As to the eight parts incfuded between the edge-pieces and the pantiles, they are likewise resulting from the height of king-posts established perpendicularfy on thefall of each pantile, to hâve the radius of an arc described front the angle of the plane as center, and eut after in taking the length of the peculiar roof-timber as a radius , the summit of the top as the center of a smaff arc which détermines the third point of each of those triangles. Here, for instance, we havetaken EG for the radius and the point e for the center, and we hâve described the arc g g, which gave the third points of the triangles Aeg, D e g.
  - Displaying of the right Cylinder, Fig. 67.
  - 36. In practice, they consider the cylinder as a prism with an infinité number of faces, and its Basis as a pofygon with an infinité number of sides; and this manner of considering it gives a great facility to geometers to demonstrate the properties of those bodies, and to practitioners to execute the works depending of it. When the right circular cylinder is thus placed amongst the right prisms with a regular basis, one understands that its display consists, Fig. 67, 68 and 69, to fix the plan of the basis ABED, to fengthen out the diameter AE ofquan-tity equaf to the height of the cylinder, to drawat each extremity of it a perpendieufar fine equal to the rectified circumference of the basis, and complété the parallelogram by a paraîfeï to the fengthened diameter.
  - /
  - Calculation applied to geometry, has given for the circumference of a circfe whose radius should be = 1, 3,1415926535897932.
  - Archimedes found :
  - 7: 22 ou 3,1428571.
  - Adrien Metius :
  - 113: 355 3,1415929. 120: 377 3,1416667. 484:1521 3,1425620.
  - 10,013.
  - 0,000000266.
  - 0,000074.
  - 0,00097.
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- - Rien de plus facile que de trouver par le calcul la circonférence d’un cerde dont on connaît le diamètre, puisqu’il suffit de multiplier ce diamètre par la première des expressions ci-dessus, 3,1415926, &c., dont on emploiera autant de chiffres décimaux que l’exigera le degré de précision dont on peut avoir besoin : quatre suffisent pour l’ordinaire.
  - On trouverait aussi facilement le diamètre dun cercle dont on connaîtrait la circonférence, en multipliant cette circonférence par 0,3183099.
  - Pour faciliter ces calculs, nous plaçons ici les multiples simples de ces deux nombres.
  - Le diamètre e'tant La circonférence est Le diamètre est La circonfér. e'tant
  - 1. 3,1415926. 0,3183099. 1.
  - S. 6,2831852. 0,6366198. 2.
  - 3. 9,4247778. 0,9549297. 3.
  - 4. 12,5663704. 1,2732396. 4.
  - 5. 15,7079630. 1,5915495. 5.
  - 6. 18,8495556. 1,9098594. 6.
  - 7. 21,9911482. 2,2281693. ir
  - 8. 25,1327408. 2,5464792. 8.
  - 9. 28,2743334. 2,8647891. 9.
  - Nicolas Fourneau, dans son Ti'aité de char-fente, donne un procédé géométrique très-commode pour trouver une ligne droite sensiblement égale à la circonférence d’un cercle donné : on ne sera pas fâché de le trouver ici démontré, et débarrassé du verbiage dans lequel cet artiste la, pour ainsi dire, noyé.
  - 37. Problème. Rectifier géométriquement la circonférence d’un cercle donné, dont le diamètre est AB. Fig. 70.
  - Solution. Sur le centre C, élevez CD, égale et perpendiculaire au diamètre AB; menez par le point D la droite indéfinie EF, parallèle à AB, et du même point D, comme centre, décrivez le demi-cercle EG'CGF; par les intersections G, G' des deux circonférences, menez les droites El et FH, et portez l’une de ces lignes de I en K et de H en L : la droite K L sera égale à la circonférence du cercle proposé.
  - Démonstration. Soient menées les droites C G et DG, ainsi que DN perpendiculaire sur CG, qui divise en deux parties égales la base C G et l’angle opposé D du triangle isocèle CDG: on aura C N = £ A B = ç CD. Ainsi, en supposant CD = 100000, pour le comparer au rayon des tables de sinus, CN, sinus de l’angle CDN = 25000, fait voir que cet angle estde 14°28/39",043, d’où il suit que l’angle GDF estde 28°57' 18",086, et que l’angle GDF, qui est 90°—CDG, = 61°2'41",914.
  - Le triangle GDF étant aussi isocèle, a ses angles en F et G égaux entre eux , et chacun est = «ç;-GD_F=
  - d’où il suit que l’angle FHM, complément deHFM ou de GFD,
  - = 90° — 59°28'39",043 = 30°31'20",957.
  - Mais dans ce dernier triangle FHM, en prenant pour rayon HM=AB= 100000, FM est la tangente de l’angle FHM, et l’on trouve par les tables que la tangente de 30°31'20",957 est 58957,38.
  - Donc D M, ou son égale CH =DF—F M =....................... 41042,62.
  - Or, dans le même triangle, l’hypo-
  - A reporter. .. 41042,62.
  - 3,e Partie,
  - (21,)
  - Der Umkreis eines Zirkels, dessen Durchmesser man kennt, lâsst sich sehr leicht dadurch aus-rechnen und finden , dass man diesen Durchmesser mit der ersten vorstehend angegehenén Zabi 3,1415926, u. s. w., multipïicirt und davon so-vieï Decimaïziffern anwendet, aïs zu dem erforder-lichen Grade der Genauigkeit nôthig sind : vier reichen zu diesem Behuf gewôhnïich schon hin.
  - Kennt man den Umkreis eines Zirkels, so lâsst sich dessen Durchmesser eben so leicht dadurch aus-mitteln, dass man /diesen Umkreis mit 0,3183099 multipïicirt.
  - Zur Erïeichterung dieser Berechnungen haben wir in nachstehender Tabelïe die Multiplication dieser beiden Zahïen angegeben.
  - Nothing is more easy but to find by calculation tlie circumference of a circle whose diameîer is known, since it suffices to multiply the diameter by the first of the expressions before given 3,1415926, &c., whose we shall useso many décimal figures as the degree of précision wanted will require it : four are commonly enough.
  - One might as easily find the diameter of a circle whose circumference is known, by multiplying that circumference by 0,3183099.
  - To facilitate those calculations, we give here the simple multiples of those two numbers.
  - Ist der Durch - messer So ist der Umkreis. Der Durchmesser ist Wenn der Umkreis ist
  - 1. 3,1415926. 0,3183099. 1.
  - 2. 6,2831852. 0,6366198. 2.
  - 3. 9,4247778. 0,9549297. 3.
  - 4. 12,5663704. 1,2732396. 4.
  - 5. 15,7079630. 1,5915495. 5.
  - 6. 18,8495556. 1,9098594. 6.
  - 7. 21,9911482. 2,2281693. 7.
  - 8- 25,1327408. 2,5464792. 8.
  - 9. 28,2743334. 2,8647891. 9.
  - Nicolaus Fourneau hat in seiner Abhandlungüber die Zimmermannskunst eine geometrische Verfah-rungsweise angegeben, wodurch man eine gerade, dem Umkreise eines gegebenen Zirkels merklich gleiche Linie sehr bequem findet. Es wird unsern Lesern hoffentlich angenehm seyn, wenn wir ihnen dieselbe auf eine deutliche und verstândliche Weise hier mittheilen, nachdem wir selbige von dem un-nützen Wortkram gereinigt haben, mit welchem der Verfasser soïche angefüllt hat.
  - 37. Problem. Wie wird der Umkreis eines gegebenen Zirkels, dessen Durchmesser AB (Fig. 70) ist, auf eine geometrische Weise rectificirt ?
  - AUFLÔSUNG. Auf dem Mitteîpunkte C, richte man die dem Durchmesser AB gleiche und mitihm perpendicuïar gehende Linie CD auf; führe durch den Punkt D die gerade unbestimmte Linie EF, pa-rallel mit AB, und beschreibe aus demselben Mit-teïpunkte D den Halbzirkeï E G' CGF : ziehe ferner durch die Durchschnittspunkte G, G', der beiden Umkreise, die geraden Linien EI und F H ; und trage die eine von diesen Linien von I nach K, und von H nach L ; worauf die gerade Linie K L dem Umkreise des aufgegebenen Zirkels gleich seyn wird.
  - Beweis. Sind die geraden Linien CG und DG gezogen, und die Linie DN, welche die Grundflâche C G, und den entgegengesetzten WinkelD des gleich-schenkeligen Dreiecks CD G in zwei gleiche Theile theilt, perpendicuïar auf C G geführt worden , so er-hâlt man CN = | AB = £ CD. Nimmt man also zur Vergleichung mit dem Radius der Sinustafeln CD=100000an, so ergiebt sich aus CN, welches der Sinus des Winkeïs CD N = 25000 ist, dass dieser Winkel betrâgt(l 4° 28'39",043 ; woraus folgt, dass der Winkel CD G hetrâgt — 28° 57' 18", 086 und dass der Winkel GDF, welcher ist 90° — CDG=61°2'41",914.
  - Das Dreieck GDF welches ebenfalls gleichschen-kelig ist, hat seine einander gleichen Winkel in
  - F und G; ein îeder derselben ist = 180°~~GDF—
  - 2
  - (180°—61°2'41",914) -
  - 59° 28'39",043,
  - woraus sich ergiebt, dass der Winkel FHM, complément von HFM, oder von GFD,=90°—
  - 59* 28'39",043=........... 30° 31'20",957.
  - Wirdaber bei diesem letzten Triangel FHM die Linie HM = AB = 100000 zum Radius ange-nommen ; so ist FM der Tangent des Winkeïs FH M ; nun ergiebt sich aber aus den Tafeln, dass der Tangent von 30°31'20", 957 ist... 58957,38.
  - Also ist D M oder die ihm gleiche Linie CH = DF—FM=. ... 41042,62.
  - Nun ist aber bei demselben Trian-
  - Ueberzutragen, .. 41042,62.
  - The diameter being The circumference is The diameter is The circumfer. being.
  - 1. 3,1415926. 0,3183099. 1.
  - 2. 6,2831852. 0,6366198. 2.
  - 3. 9,4247778. 0,9549297. 3.
  - 4. 12,5663704. 1,2732396. 4.
  - 5. 15,7079630. 1,5915495. 5.
  - 6. 18,8495556. 1,9098594. 6.
  - 7. 21,9911482. 2,2281693. 7.
  - 8. 25,1327408. 2jî>464792. 8.
  - 9. 28,2743334. 2,8647891. 9.
  - Nicolas Fourneau, in his Treatise of timberwork, gives a very convenient geometrical proceeding to find a right line apparently equal to the circumference of a given circle : may be one would not be displeased to find it here explained, and cleared of ail the empty words in which that artist bas, one might say, drowned it.
  - 37. Problem. To rectify geometrically the circumference of a given circle, whose diameter is AB, Fig. 7O.
  - Solution. On the center C let fall the line CD equal and perpendicuïar to the diameter AB; draw by the point D the indefinite right line EF, parallel to AB, and, from the same point D as a center, de-scribe the haif circle E G'C GF ; by the intersections G, G' of the two circumferences, draw the right fines El and FH, and transfer one of those fines from I to K and from H to L : the right fine KL will be equal to the circumference of the proposed circle.
  - Démonstration. Let us draw the right fines C G and DG, as well as DN perpendicuïar on CG, which divide in two equal parts the basis C G and the opposite angle D of the isoscele triangle CDG: we shall bave CN = ^AB = iCD. Thus, if we suppose CD = 100000, to compare it with the radius of the tables of sinus, CN, sinus of the angle CDN= 25000, shows that that angle is of 14° 28'39",043, from which itfollows that theangle GDF is of 28°57'18",086, and that the angle GDF, which is 90°—CDG, = 61°2'41",914*.
  - The triangle GDF beingalso isoscele, has its angles in F and G equal to each other, and each is =
  - 59"28'39",043,
  - A —— J J
  - from which it followsthat theangle FHM, complément of HFM or GFD,=90°—59° 28' 39",043=30® 31'20",957.
  - But in that last triangle FHM, taking as a radius HM == AB = 100000, F M is the tangent of the angle FHM; and we find by the tables that the tan-
  - gent of 30°31'20",957 is......... 58957,38.
  - Therefore D M or its equal C H = D F—F M=...................... 41042,62.
  - Now, in the same triangle, the hypo-
  - . . . 41042,62.
  - 0
- p.21 - vue 227/390
- - Report. . . 41042,62.
  - tenuse FH = j/HMa + Fl' =
  - VJmOOO*) -+- ( 58957,38") =
  - / 13475972656 ............. 116086,06.
  - Donc CL, qui est CH-hHF = . 157128,68.
  - et LK, qui est 2 CL =....... 314257,36.
  - quantité qui n’excède la circonférence donnée par ie calcul que de 98 cent-millièmes du diamètre, précision bien suffisante pour la pratique.
  - 38. Problème. Rectifier géométriquement un arc de cercle moindre que le quart de la circonférence.
  - SOLUTION de Saurin. Soit AD, Fig. 77, un arc à rectifier. Menez le diamètre A B, la tangente indéfinie AT, la corde AD, et la corde de supplément BD, prolongée jusqu’à la tangente en T, et faisant nécessairement un angle droit avec la corde A D ; divisez en deux parties égales l’angle D AT par la ligne A H, à laquelle vous mènerez la perpendiculaire HI; divisez ensuite de même l’angle H AI par la iigne AK, à laquelle vous mènerez la perpendiculaire K L ; continuez à volonté de diviser en deux parties égales ï’angle restant jusqu’à la tangente, et à mener une perpendiculaire à la iigne qui opérera ia division : la longueur de l’arc AD sera comprise entre celle de la ligne qui aura opéré ia dernière division, et ia portion de ia tangente comprise entre i’origine de l’arc et ia dernière perpendiculaire ; dans le cas de ia figure, AD>AK et < AL.
  - Démonstration. Si l’on mène en D ia tangente MN, l’angle MD T, ainsi que son opposé ND B,
  - qui a pour mesure sera égai à ATD; puisque
  - celui-ci est complément de DAT, qui a pour mesure | A D. Ainsi T M = M D, et est aussi = MA, puisque MA et MD sont deux tangentes menées du même point M, et nécessairement égales entre elles. On peut donc regarder ia corde AD comme le côté d’un secteur polygonal inscrit, et AMn-MD ou AT, comme la somme de deux côtés du secteur polygonal circonscrit, ayant un nombre double de côtés; et l’on sait que ia circonférence, ainsi que toutes ses parties, se tiennent toujours entre ces deux polygones. Donc, l.° Tare AD > ia droite AD et < AT; 2.° si i’on prend en F ia moitié de l’arc A D, et qu’on mène BFP, il sera prouvé, par ce qui précède, que l’arc A F ou \ ADest>AF et<AP. Or, en menant du centre sur ia corde AD la perpendiculaire CE, qui sera nécessairement parallèle à BD T, elle passera par F, et fera AE=ED, AFE semblable à A HD, comme APF i’est à AIH. Donc AH = 2 AF, A1= 2 A P, comme A D = 2 A E. Mais on prouvera comme ci-dessus que AP est la valeur des deux tangentes menées d’un même point en A et en F ; conséquemment A I est ia valeur de quatre de ces tangentes, >l’arc AD; et cet arc est évidemment > 2 AF ou AH : donc sa grandeur est comprise entre celles de AH et de AI.
  - On peut appliquer le même raisonnement à chacune des divisions successives qu’on aurait faites de l’angle DAT.
  - Scholie. En appliquant ce procédé à l’arc de 60 degrés, dont on sait que la corde est égale au rayon du cercle, et calculant les résultats par les propriétés du triangle rectangle, et de celui dont un angle est divisé en deux parties égaies, on voit que 1 on peut s’arrêter à la troisième division, puis-qu’en prenant l’arc AD comme moyen entre les
  - ( 22 )
  - Uebertrag. . . 41042,62.
  - gel die Hypothenuse FH = i/hj\T H- FM* = |/ ( 100000* ) +-(58957,38*)=/13475972656= 116086,06.
  - Folglich ist CL, welches ist CH-+-
  - HF =........................*... 157128,68.
  - und LK, welches ist 2 CL =...... 314257,36.
  - welche Quantitât den durch die Berechnung gege-benen Umkreis bloss um 98 hundert tausend Theile des Durchmessers übersteigt ; eine solche Genauig-keit ist in der Praxis gewiss hinreichend.
  - 38. Problem. Wie wird ein Zirkeïbogen , wei-cher weniger aïs ein Yiertei des Umkreises betràgt, geometrisch rectifient?
  - Saurin's Auflôsung. AD, Fig. 7/, sey der zu rectificirende Bogen. Man ziehe den Durch-messer A B, so wie den unbestimmten Tangent AT nebst der Sehne A D und der ergânzenden Sehne BD, welche bis zu dem Tangent in T ver-iângert worden , und mit. der Sehne A D einen rechten Winkei beschreibt. Hierauf theile man den Winkei D AT vermitteist derLinie AH, auf welche man die Perpendicuiariinie HI führt, inzwei gieiche Theile. Ferner theile man denseiben Winkei H AI, vermitteist derLinie AK, auf welche man die Per-pendicuïariinie KL führt ; man fahre mit dieser Operation auf beiiebige Weise fort, und theile den iibrigen Winkei bis zum Tangent in zwei gieiche Theile, und ziehe ferner eine Perpendicuiariinie auf die Linie, durch welche die Theiiung bewerksteiiigt wird ; die Lange des Bogens A D wird sodann zwischen der Lange der Linie, weîche diese ietzte Theiiung bewerksteiiigt hat, und zwischen dem Theile des Tangenten, weicher sich zwischen dem Anfangedes Bogens und der ietzten Perpendicuiariinie befindet, begriffen seyn : in der Figur ist dies A D > A K und <AL.
  - Beweis. Führt man den Tangent MN nach D, so wird der Winkei MD T, so wie der ihm entgegen-B D
  - gesetzte N D B, weicher——zum Maase hat, dem Winkei A T D gieich seyn ; indem dieser das Complément von dem Winkei DAT ist, weicher 7 AD zum Maase hat. Diesemzufoige ist TM nicht nur=MD, sondern auch = M A, weii MA und MD zwei aus dem nâmlichen Punkte M gezogene und einander notwendig âhnïiche Tangenten sind. Die Sehne AD iâsst sich folglich aisSeite eineseingeschriebenenviei-seitigen Ausschnittes, und AM -h MD oder AT aïs die Summe zweier zu dem umschriebenen viei-seitigen Ausschnitt gehôrigen Seiten betrachten ; auch hait bekanntiieh der Umkreis sowohi aïs aile seine Theile zwischen diesen beiden Poiygonen jederzeit die Mitte. Diesem zufoïge ist, l.° der Bogen AD > die gerade Linie AD und < AT ; 2.° nimint man bei F die Hâifte des Bogens AD, und zieht BFP, so ergiebt sich aus dem vorher-gehenden, dass der Bogen AF oder haib AD ist > AF und < AP. Zieht man nun die Perpendi-cuiariinie CE, welche mit B DT nothwendiger-weise paraliei ist, aus dem Mitteipunkte auf die Sehne AD ; so geht dieseibe. durch F, und macht AE=ED , und A EF dem Winkei AHD eben so âhniieh aïs APF dem Winkei Al H âhniieh ist. Folglich ist A H = 2 AF, Al = 2 A P, wie AD = 2 AE ist. Hieraus ergiebt sich, wie vorstehend, dass AP den Werth zweier aus dem nâmlichen Punkte nach A und F geführten Tangenten ausmacht; und dass folglich AI der Werth von vier soichen Tangenten, > der Bogen AD ist; Dieser Bogen ist aber offenbar > 2 AF oder AH : seine Grosse ist folglich zwischen den Grôssen von S AH und von AI begriffen.
  - ' Die nâmlichen Foigesâtze iassen sich auch auf jede einzeine Theiiung des Winkeis DAT an-i wenden.
  - A nmerkung. SoII dieses Verfahren auf den aus 60 Graden bestehenden Zirkeïbogen, dessen Sehne dem Radius des Zirkeis gieich istange-I wendet, und das Résultat nach den Eigenschaften des rechtwinkeligen Dreiecks , so wie nach den Eigenschaften desjenigen , bei weichem ein Win-j kei in zwei gieiche Theiie getheiit ist, berechnet
  - ... 41042,62.
  - tenuse FH=j/ ETC -T FTT =
  - -/( 100000*) H- (58957,38*) =
  - Ÿ 13475 972656=.................... 116086,06.
  - Therefore CL, which is like ÇH
  - + HF =............................. 157128,68.
  - and LK, which is like 2 CL:=. ... 314257,36.
  - which quantity exceeds the circumference given by the calculation only of 98 hundred thousandth of the diameter, which précision is far good enough for practice.
  - 38. Problem. To rectify geometrically one arc of a circle less than the fourth part of the circumference.
  - SOLUTION of Saurin. Let be AD, Fig 7/,an arc to be rectified. Draw the diameter AB, the indefînite tangent AT, the cord AD and the sup-plementary cord B D, lengthened out to the tangent in T, and making necessarily a right angle with the cord A D ; divide in two equal parts the angle D AT by the line AH, to which you shall bring the perpendicular HI ; divide after also the angle H AI with the line AK, to which you shalidrawthe perpendicular KL ; continue to divide at wili in two equal parts the angle remaining untiü to the tangent, and to bring a perpendicular to the line which wili make the division : the length of the arc AD wili be inciuded between that of the line which wili hâve made the last division, and the part of the tangent inciuded between the origin of the arc and the last perpendicular; in the case ofthe figure, AD>AK and < A L.
  - Démonstration. If we draw through D the tangent MN, the angle MD T, as well as its opposite
  - B D
  - N D B, which has for measure —, wili be equal to
  - ATD ; since this is the complément of DAT, which has for measure ^ AD. Thus TM=MD, and is a!so=MA, since MA and MD are two tangents drawn from the same point M, and necessarily equal to each other. We may therefore consider the cord AD as the side of an inscribed polygonal sector, and AM + MDor AT as the sum of the two sides of the circumscribed polygonal sector, having a double number of sides ; and we know that the circumference, as well as ali its parts, are always between those two polygons. Therefore, l.° the arc A D > the right AD and < AT; 2.° if we tahein F the half of the arc AD, and if we draw B F P, it wili be proved, by what was said before, that the arc AF or ^ AD is>AF and < AP. Now, if we draw from the center to the cord AD the perpendicular CE, which wili necessarily be paraliei to B DT, it wili pass by F, and wili make AE= ED, AFE alike AHD, as APF is alike Al H. Therefore AH = 2 A F, A I = 2 A P, as AD = 2 A E. But we wili prove as before that AP is'worth of two tangents drawn from one same point to A and to F ; accordingly AI is the value of four of those tangents, >the arc AD; and that arc is evidently > 2 A F or A H : then its height is inciuded between that of A H and of AI.
  - The same reasoning may be applied to each of the successive divisions of the angle DAT.
  - Scholion. If we apply that proceeding to the arc of 60 degrees, whose cord we know to be equal to the radius of the circle, and if we calculate the rësults by the properties of the rectangular triangle, and of that whose one angle is divided in two equal parts, we see that we may stop at the third division, since by taking the arc A D as mean term between
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- - longueurs Je A R et Je AS, ou aurait pour la circonférence entière 3,1427122, qui n’est trop grande que Je 112 cent-millièmes du diamètre.
  - Toute section faite dans un cylindre par le moyen d’un plan sécant parallèle à l’axe, est un parallélogramme que les praticiens nomment coupe. Quand le plan sécant est parallèle à la base, la section est un cercle nécessairement égal à la base elle-même du cylindre. Mais toute section oblique du cylindre est une courbe de la même nature que celle que nous avons déjà considérée (n.° 11), sous le nom $ ellipse.
  - 39. Problème. Trouver la courbe qui se forme en coupant un cylindre donné sous une obliquité déterminée, et la trouver telle quelle est sur le plan de section lui-même.
  - Solution. Après avoir exprimé par un plan, Fig. 67, le diamètre B D et la circonférence A B ED du cylindre donné, et par une ligne b d dans une élévation, Fig. 68, l’obliquité de la section proposée, divisez sur le plan, en parties égales ou inégales, dans le rapport que vous voudrez, soit le diamètre, soit la circonférence , et liez ces deux lignes entre elles à chaque division par des perpendiculaires au diamètre, que vous renverrez à l’élévation sur le grand diamètre de la section, lequel sera ainsi divisé proportionnellement à celui du plan. Sur chacune de ses divisions élevez-lui des perpendiculaires indéfinies : quoiqu’elles ne paraissent avoir aucune liaison avec celles de la base, on concevra néanmoins quelles leur correspondent, en supposant que la section ait fait un quart de révolution sur son grand diamètre, pour se placer parallèlement à l’élévation. II n’est donc plus question que de faire chacune de ces dernières perpendiculaires égale à sa correspondante au plan, et de faire passer une courbe par toutes leurs extrémités. Pour faire mieux sentir cette correspondance, on a eu soin de timbrer des mêmes lettres les mêmes choses dans le plan et dans l’élévation.
  - On voit ainsi que la section oblique du cylindre est une ellipse véritable, puisque les ordonnées au grand axe y sont égales à celles du cercle inscrit.
  - 40. Problème. Sur le développement d’un cylindre tracer une section oblique qui a lieu dans le cylindre lui-même. Fig. 69.
  - SOLUTION. Après avoir partagé la circonférence du plan en parties égales, renvoyé chacune de ces divisions dans l’élévation sur l’expression de l’obliquité de la section, et exprimé les divisions sur le développement par autant de parallèles à l’axe également espacées entre elles, il suffit de marquer sur chacune de ces dernières lignes la hauteur quelle a dans l’élévation, et de faire passer une courbe par toutes ses extrémités,
  - 41. Dans la seconde partie de cet ouvrage, nous avons expliqué l’hélice et ses propriétés : ici nous en ferons seulement l’application au tracé de la vis à pressoir que représente la Fig. 72.
  - On nomme diamètre de la vis le diamètre même du cylindre A, quand il a été préparé pour faire la vis, et avant le recreusement qui le convertit en vis ; car, après cette façon, il reste un cylindre intérieur de bois réservé, qui est d’un diamètre moindre. Le cordon angulaire qu’on voit tourner autour du
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  - werden, so kann man es bei der dritten Theilung bewenden lassen ; weiï wenn man den Bogen AD als Mittelsatz zwischen den Lângen von A R und AS annimmt, man zum gânzlichen Umbreise 3,1427122, erhielte, welchesbloss um 112 hun-déh tausend Theile des Durchmessers zu gross ist.
  - Ein jeder Schnitt, welcher bei einem Cylinder vermittelst eines zertheilenden mit der Axe parallel gehenden Planes vorgenommen wird, bildet ein Parallelogramm, welches in der Praxis Durchschnitt genannt wird. Ist die Flâche, welche den Durchschnitt bewirkt, mit der Basis parallel, so ist der Durchschnitt ein dieser Cyïinderbasis nothwendig gïeicher Zirkel. Jeder schrâge Durchschnitt aber ist eine krumme Linie von der nâmfichen BeschafFen-heit wie die, welche wir bei N.8 11 un ter dem Na-men der Ellipse haben kennen lernen.
  - 39. Problem. Wiefindetman die krumme Linie welche aus der Durchschneidung eines unter einer bestimmten schrâgen Linie gegebenen Cylinders entsteht, und wie zeichnet man sie auf die namliche Weise wie sie sich auf dem Durchschnittspïaneseïbst befindet ?
  - AuflôSUNG. Hat man vermittelst einer Flâche den Durchmesser BD, und den Umkreis ABED des aufgegebenen Cylinders bestimmt, und die schrâge Gestalt des Durchschnittes in einem Auf-risse vermittelst der Linie bd bezeichnet, so theile man auf der Flâche, in einem beïiebigen Verhâlt nisse, den Durchmesser oder den Umkreis in gleiche oder1 ungleiche Theile , und vereinige bei jeder Theilung diese zwei Linien vermittelst anderer mit dem Durchmesser parallel laufenden Linien, welche man im Aufrisse auf dem grossen Sectionsdurch-j messer erhâït, so dass solchergestalt dieser letzte mit dem Flâchendurchmesser verhâïtnissmâssig ge-theilt seyn wird. Auf jeder von diesen Theilungen richte man unbestimmte Perpendicuïarlinien auf : und ohnerachtet diese letztern mit den an der Grundflâche befîndlichen in keiner Verbindung zu stehen scheinen, so sieht man dennoch ein, dass sie dann mit einandcr im Verhâltnisse stehen , wenn angenommen wird , dass der Durchschnitt auf sei-nem grossem Durchmesser den vierten Theil der Windung erreicht, und auf diese Weise eine mit dem Aufrisse parallel laufende Stelïung angenommen hat. Es kommt folglich bloss nur noch darauf i an , dass eine jede von diesen letztern Perpendicuïarlinien mit der in der Flâche correspondirenden gieich gemacht, und durch ihre sâmmtlichen Enden eine krumme Lin e gezogen werde. Um diese Uebe-reinstimmung so deutïich als môglich zu zeigen, so sindim Plane sowohlals im Aufrisse dieselben Gegen-stânde mit den namlichen Buchstaben bezeichnet worden.
  - Hieraus ergiebt sich nun, dass der schrâge Durchschnitt des Cylinders eine wahre Ellipse um des-wilïen sey , weiï die Ordinaten in der grossen Axe daselbst den Ordinaten des eingeschriebenen Zirkels gieich sind.
  - 40. Problem. Wie wird auf der Vorstellung eines Cylinders ein schrâger Durchschnitt gezeiehnet, welcher in dem Cylinder selbst Statt hat ? Fig 69.
  - A UFLÔSUNG. Hat man den Umkreis des Grund-risses in gleiche Theile getheilt, und jede von diesen Theilungen im Aufrisse an der schrâgen Gestalt des Durchschnittes bemerkt, so wie auch die Theilungen auf der Zeichnung durch eben so viele mit der Axe parallel laufende und gleichweit von ein-ander abstehende Linien angedeutet, so braucht man bloss auf jeder von diesen ietzten Linien die Hôhe , welche dieselbe im Aufrisse hat, zu bemerken, und eine krumme Linie durch ihre sâmmtlichen Enden zu ziehen.
  - 41. Nachdem wir bereits im zweiten Theile dieses Werkes die Schraubenlinie nebst ihrer Beschaffen-
  - I heit erklârt haben , so wollen wir hier bloss zeigen , wie dieselbe auf die Zeichnung der Kelterschraube , welche in Fig. 72 vorgestellt ist, anzuwenden sey.
  - Schraubendurchmesser heisst der Diameter des Cylinders A dann, wenn derselbe zu der Gestalt . einer Schraube izubereitet, und die Aushôlung, wodurch er in eine Schraube verwandelt wird ,cnoch nicht geschehen ist. Hat nâmïich diese Operation Statt gehabt, so bleibt ein innerer hôlzerner Cy-
  - thc lengths of A R and A S, we might bave for the whole circumference 3,1427122, which is too great only of 112 hundred thousandth of the diameter.
  - Any section made in a cylinder by a plan parallel to the axis, is a parallelogram that the practitioners name eut. When the secting plan is parallel to the basis, the section is a circle necessarily equal to the basis itself of the cylinder. But every oblique section of the cylinder is a curve of the same kind as that we hâve considered already (n.r 11) under the name of ellipsis.
  - 39. Problem. To find the curve formed by cutting a given cylinder under a determinated obli-quity, and to trace it as it is on the plan of section itself.
  - SOLUTION. After having traced on a plan, Fig. 67, the diameter B D and the circumference ABED of the given cylinder, and by a line bd in an élévation, Fig. 68, expressed the obliquity of the proposed section, divide on the plan, in equal or unequal parts, in the proportion you choose, either the diameter, eitherthe circumference, and join those two fines between them at each division by fines perpendicular to the diameter, that you vill transfer to the élévation on the great diameter of the section, which will be so divided in proportion with that of the plan. On each of its divisions, let fall several indefinite perpendicular fines : though they dont appear to hâve any connexion with those of the basis, it will be nevertheless understood that they correspond with them in the supposition that the section has made a quarter of révolution in its great diameter, to place itself in parallel with the élévation. There is then no longer want of any thing but to make each of those last perpendicular fines equal to its correspondent in the plan , and to make a curve pass by ail their ends. To render this corre-spondence more sensible, we hâve taken care of marking with the same letters the same things in the plan and the élévation.
  - It is seen thus that the oblique section of the cylinder is truly an ellipsis, since the ordinates to the great axis are equal in it to those of the inscribed circle.
  - 40. Problem. To trace in the display of a cylin-der an oblique section in the cylinder itself. Fig. 69.
  - SOLUTION. After having divided the circumference of the plan into equal parts, transferred each of those divisions in the élévation, on the expression of the obliquity of the section, and expressed the divisions in the display by as many fines parallel to the axis equally distant of each other, it is sufficient to mark on each of those last fines the height it has in the élévation, and to draw a curve through ail its extremities.
  - /
  - 41. We hâve, in the second part of this work, explained what was an hélix and ail its properties : we shall only give here its application to the draughl of the spindle of a press as it is represented Fig. 72.
  - We call diameter of the spindle the diameter itself of the cylinder A, when it has been prepared to make the spindle, and before it being grooved to corne a spindle; for, after that operation, it remains an interior cylinder of timber reserved, whose diameter is less. The angular string which is seen to
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- - (
  - cylindre réserve s’appelle filet de la vis, et la distance d’un point quelconque de filet au même point considéré après une révolution complète, se nomme pas de la vis. Le volume B, percé et recreusé intérieurement pour recevoir ia vis, s’appelle écrou.
  - Dans la vis exécutée en bois, la coupe du fdet doit toujours être un triangle isocèle : mais on varie ïe rapport de la hauteur à ïa base dans ce triangle , selon la force de ténacité que ï’on connaît au bois que l’on emploie, et ion fait varier daprès ïa même donnée ïa profondeur absolue du recreusement ou gorge (1) qui sépare un filet de l’autre, en lui donnant de 1/7 jusqu’à 1/6 du diamètre de lavis.
  - t
  - Après avoir partagé ïa circonférence de ïa base en un nombre quelconque de parties égales, et, par ces points de division, mené, dans l’éïévation, des parallèles à ï’axe, qui représentent desïignes longitudinales tracées sur ïe volume lui-même, et en partageant ïa surface en portions égales, on divise aussi la hauteur de pas dans ïe même nombre de parties égales, à partir de ï’origine du filet. On porte ensuite successivement, sur chacune des parallèles, 1,2,3, 4,5, &c. parties de la division du pas, et ï’on fait passer par tous les points ainsi trouvés une courbe qui est l’élévation de Farête saillante du fdet.
  - Si ï’on veut tracer aussi ï’héïice de l’arête intérieure du filet, iï faut employer de même ïe plan du cyïindre réservé, tracer les parallèles qui lui sont relatives, et y porter les mêmes divisions de ïa hauteur de pas, mais en fixant l’origine de cette arête à ïa moitié de la hauteur du premier pas du fdet.
  - Développement du Cône droit.
  - En considérant ïe cône comme une pyramide dont ïa base a une infinité de côtés, on conçoit que son développement doit se faire de la même manière, et qu’iï s’exécuterait même beaucoup plus facilement que celui du cyïindre, sans ïa difficulté que présente toujours l’évaluation de ïa circonférence du cercle : car, pour développer un cône droit, iï suffit de tracer un secteur circulaire dont ïe rayon soit égal à l’apothème ou côté du cône, et de manière que ïa longueur de ï’arc du secteur soit égale à ïa circonférence de la base du cône; et, à cet égard, ïa formule de Fourneau donne beaucoup de facilité, et une exactitude bien suffisante pour ïa pratique.
  - 42. Problème. Développer ïa surface d’un cône donné FHI, Fig. 73.
  - SOLUTION. Après avoir prolongé indéfiniment ïe diamètre F H et ïui avoir mené ïa perpendiculaire indéfinie kl, prenez F H pour rayon, et décrivez ïe demi-cercle e Hf, et coupez-ïe par le demi-cercle gdg, décrit du même rayon que la base du cône ; par les intersections, menez eh et f i ; et des points h, i, comme centres, décrivez les arcs ek et f I ; alors portez de H en j ï’apothème H I du cône; décrivez l’arc a H b, et menez ïes rayons j a, j b : le secteur j a H b, dont l’arc se trouve ainsi ins-crit|dans la formule efkï, seraïe développement de ïa surface latérale du cône proposé; car tout arc ayant son centre sur ïa perpendiculaire H j, et terminé de part et d’autre aux arcs ek, f I, est sensibïé-ment égaï en longueur à ïa droite k ï, qui ï’est eïïe-même à ïa circonférence dont ïe diamètre est F H.
  - ( 24 )
  - ïinder zurück, dessen Durchmesser kleiner ist. Der eckige Rand im innern Cylinder heisst die Kante, und der Abstand von einer Windnng zur andern, der Schritt, [pas de lavis], Schraubenmutter heisst der im innern ausgebohrte Kôrper B , in weïchen die Schraube eingeïassen wird. *
  - Bei der hôïzernen Schraube muss der Ausschnitt des innern Randes jederzeit ein gïeichschenkeïiges Dreieck bilden ; bei welchem sich aber dass Ver-hâïtniss der Hôhe zur Grundfïâche nach der Zahheit des dazu anzuwendendenHoïzesrichtet; nachdenseï-ben Grundsâtzen wirdauch die Tiefe der Hôïung (1) wodurch ein Rand von dem andern getrennt wird, bestimmt ; sie erhàït gewôhnïich ein Siebenteï oder ein Sechstel des Schraubendurchmessers.
  - Hat man den Umkreis der Grundfïâche in eine beïiebige Anzahï gïeicher Theilegetheilt, und durch diese Theiïungspunkte die mit der Axe paraïleï lau-fenden Linien, weïche der Lange nach auf dem Kôrper seïbst gezeichnet sind, und die Oberflâche desseïben in gïeiche Theiïe theiïen, im Aufrisse ge-zogen, und den Abstand von einer Windung zur andern , vom Anfange des Randes an gerechnet, in die nâmïiche Anzahï gïeicher Theiïe getheilt ; so trâgt man auf jede Parallellinie nach und nach die aus der Theifung der Abstânde resuïtirenden Theiïe 1 , 2, 3, 4, 5, u. s. w, und zieht durch sâmmtliche auf diese Weise gefundéne Punkte eine krumme Linie, weïche der Aufriss zu der hervorspringenden Kante des Randes ist.
  - Soïï die Schraubenlinie der innern Kante eben-faïïs gezeichnet werden , so muss wiederum der Grundriss des innern Cyïinders angewendet, die darauf Bezug habenden Parallelïinien gezeichnet, und die nâmïichen Theiïungen der Abstands-oder Schritthôhe bemerkt werden ; jedoch wird der An-fang dieser innern Kante in die Mitte der ersten Schritthôhe gesetzt.
  - Darstellung des geraden Kegels.
  - Betrachtet man den Kegel aïs eine Pyramide, deren Grundfïâche aus unendïich vieïen Seiten be-steht, so ïeidet es keinen Zweifeï, dass die Darstellung desseïben auf dieselbe Weise und seïbst noch ïeichter aïs beim Cyïinder Statt haben wird : auch stôsst man hierbei nicht auf die Schwierig-keiten , weïche bei der Berechnung des Zirkeïum-kieises jederzeit vorhanden sind. Soïï nâmïich ein gerader Kegel beschrieben werden, so braucht man bïoss einen zirkeïrunden Ausschnitt, dessen Radius dem Apothem oder der Seite des Kegels gïeich ist, dergestaït zu zeichnen, dass die Lânge des ausge-schnittenen Bogens dem Umkreis der Kegeïgrund-flâche gïeich ist. Hierbei ïeistet die von Fourneau zu diesem Behufe aufgesteïïte Formel nicht nur sehr wesentïiche Dienste, sondern sie ist auch, ihrer Genauigkeit wegen , für praktische Berechnungen vollkommen hinreichend.
  - 42. Problem. Wie wird die Seitenfïâche eines in Fig. 73 aufgegebenen Kegels FHI beschrieben ?
  - AUFLOSUNG. Hat man den Durchmesser FH auf eine unbestimmte Weise verïângert, und die unbestimmte Perpendicuïarïinie k I zu seïbigen ge-führt, so nehme man F H zum Radius, und be-schreibe den Haïbzirkel eHf, weïchen man ver-mitteïst des aus dem nâmïichen Radius gezogenen Haïbzirkeïs gdg- durchschneidet ; führe sodann durch die Durchschnitte die Linien e h und f i, und beschreibe aus den Mitteïpunkten h, i, die Bogen e k und f ï ; trage hierauf das Apothem HI des Kegels von H nach j ; 'beschreibe den Bogen a H b, und ziehe die Radii j a, j b ; worauf sodann der Ausschnitt jaHb, dessen Bogen sich soïchergestaït in der Formel efkï eingeschrieben befindet, die Seitenfïâche des aufgegebenen Kegels darsteïïen wird. Da nâmïich jeder Bogen seinen Mitteïpunkt auf der Perpendicuïarïinie Hj hat, und auf beiden Seiten bei den Bogen e k, f I geschïossen ist, so stimmt er der Lânge nach mit der geraden Linie kï überein, weïche ïetztere ihrerseits mit dem Umkreise, dessen Durchmesser FH ist, übereinstimmt.
  - turn round that cyïinder reserved is called the thread of the screw, and the distance from a point whatever of the thread to the same point considereci after a complété révolution, is called the pace of the screw. The volume B, pierced through and grooved at the internai part to receive the screw, is caïïed the nut.
  - In the wooden screw, the section of the thread ought aïways to be an isosceïe triangle : but tliey change the relation of the height to the basis in that triangle, according to the force of tenacity that the wood used is known to possess ; and, according to the same property, the absoïute depth of the groove (1) which séparâtes one thread from the other is caïeu-ïated ; it may be from one seventh to one sixth of the diameter of the screw.
  - When we hâve divided the circumference of the basis in a number whatever of equaï parts, and drawn by those points of division, in the élévation, fines paraïleï to the axis, which represent longitudinal fines, traced on the volume itseïf, and dividing the surface into equaï parts, we divide aïso the height of the pace into the same number of equaï parts beginning with the origin of the thread. We transfer after that, on each of the paralleïs, 1,2,3,4,5, &c. parts of the division of the pace, and we make pass by aïï the points thus found out, a curve which is the élévation of the jutting out edge of the thread.
  - If we wish to trace aïso the hélix of the internai edge of the thread, we must use aïso the plan of the reserved cyïinder, trace the paraïïeïs relative to it, and transfer to them the same divisions of the height of the pace, but with marking the origin of that edge to haïf the height of the first pace of the thread.
  - Displaying of the right Cône.
  - If we consider the cône as a pyramid whose basis has an infinité number of sides, we conceive that its dispïay ought to be made on the same manner, and wouïd even be made much more easiïy than that of a cylinder, if it was not the diffîcuïty accompanying aïways the évaluation of the circumference of a circïe : for, to dispïay a right cône, it is sufficientto trace a circuïar sector whose radius may be equaï to the apothem or side of the cône, and so that the ïength of the arc of the sector may be equaï to the circumference of the basis of the cône ; and, on that account, Fourneau’s formula gives great faciïities and a degree of exactness suïficient enough for practice.
  - 42. Problem. To dispïay the surface of a cône given FHI, Fig. 73.
  - SOL U Tl ON. After Iiaving indefmiteïy ïengthened the diameter F H and brought to it the indefinite perpendicuïar kl, take F H as a radius, and describe the haïf circïe eHf, and eut it by the haïf circïe gdg1 described with the same radius as the basis of the cône ; by the intersections, draw eh and fi, and from the points h, i, as centers, describe the arcs ek and f I ; then transfer from H to j the apothem HI of the cône; describe the arc aHb, and draw therays j a, j b : the sector j a H b, whose arc is thus inscribed in the formula efkï, wiïï be the dispïay of the latéral surface of the proposed cône ; for every arc having its center on the perpendicuïar Hj, and ending on each part at the arcs e k, fl, is apparentïy equaï in ïength to the right ïine kï, which is itseïf so to the circumference whose diameter is F H.
  - (1) Les ouvriers disent écueîle.
  - (1) Die Arbeiter nennen diesen Theil Ecuelle.
  - (t) Workmen call it écuelle.
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- - Scholie. La meme formule, c’est-à-dire ïa Fig. e fk 1, procurerait le développement de tous ïes cônes qui auraient la même base, de quelque hauteur qu’ils fussent d’aiïleurs : il suffirait de porter ieur apothème de H en j' sur la perpendiculaire H d j, et de prendre ce point j' pour centre d’un arc qui
  - passerait en H, et qui serait compris entre ek et fl.
  - /
  - 43. Les sections du cône ont des formes beaucoup plus variées que celles du cylindre. 1,° Celle qui est faite par un plan parallèle à ïa base, est évidemment un cercle. 2° Depuis le parallélisme jusqu’au degré d’obliquité que ï’apothème a par rapport àïa base, ïe plan qui coupe les deux apothèmes opposés du cône, produit une section rentrante et fermée comme ïe cercle, mais allongée proportionnellement au degré d’obïiquité, et que nous verrons bientôt être une ellipse : teïïe est celle dont on voit l’obliquité en J K, Fig. 73. 3.° Si ïe plan sécant est parallèle à l’un des côtés du cône, comme LG, ne pouvant couper que ï’un de ces côtés, il produit une courbe qui ne peut point être rentrante, et dont les deux branches se prolongent à l’infini, tendant toujours de plus en plus au parallélisme, sans pouvoir l’atteindre: on la nomme parabole. 4.° Passé ce degré d’obliquité, le pïaïi sécant produit une Section de plus en plus ouverte, tant qu’il n’est point parvenu à être tangent à la surface du cône. Les deux branches de la courbe s’éloignent de plus en plus du parallélisme, sans cependant pouvoir jamais parvenir à faire entre elles un angle d’une certaine grandeur. On nomme cette courbe hyperbole, et, dans la série des hyperboles possibles, on doit surtout remarquer celles que produit un plan parallèle à l’axe, comme MN, et parmi lesquelles se trouve un triangle, cinquième sorte de section, qui a lieu lorsque le plan sécant passe par l’axe du cône. Le tout sans y comprendre, 5.° ïe point, dernier terme de toutes ïes séries des courbes rentrantes, et 6.° la ligne droite, dernier terme de toutes les séries des courbes indéfinies, qui ont lieu l’un et l’autre lorsque le plan sécant passe par le sommet du cône, sans pénétrer dans l’intérieur.
  - ;
  - Ainsi cette Fig. 73 présente les élévations des trois familles de sections courbes du cône. Pour en former le plan, il suffit de diviser ïa circonférence A B D E, en un certain nombre de parties égales ; d’y mener par ces divisions autant de rayons, qu’on renverra à l’élévation, pour pouvoir y tracer autant d’. po-thèmes que l’on a fait de divisions. Comme la ligne qui, dans l’élévation, représente la section de chaque courbe, coupe un certain nombre de ces apothèmes, il faut renvoyer ces intersections au plan, chacune sur le rayon auquel elle appartient. Ces points donneront sur ïe plan la figure respective de chacune des sections GL, J K et M N, en ïes joignant par une courbe continue. On voit par l’effet de cette projection que la parabole se trouve très-élargie au plan, que l’ellipse y est très-raccourcie, et que, dans cet exemple, l’hyperbole ne donnerait qu’une ligne droite. Ce serait aussi une courbe, si le plan sécant netait pas parallèle à l’axe du cône.
  - 44. Problème. Tracer ïes trois sections coniques Fig. 73, 76 et 77. *
  - Solution. J K, GL, MN, Fig. 73, étant les
  - 3.‘ Partie.
  - ( 25 )
  - Anmerhung. Ausderselben Formel, nâmlich aus der Fig. e fk l, ergâbe sich auch die Darstellung derjenigen Kegel, welche die nâmliche Grundflâche hâtten , wâre übrigens auch die Hôhe derselben noch so verschieden : man hâtte diesfalls bloss ihr Apothem von H nach j' auf die Perpendicularlinîe Hdj zu tragen, und diesen Punkt j' zum Mittel-pünkte eines Bogens zu nehrnen, welcher clurch H gienge, und zwischen ek und fl begriffen wâre.
  - 43. Die Kegeldurchschnitte sind weit verschie-denartiger gestaltet aïs die Cylinderdürchschnitte. l.° Hat ein solcher Durchschnitt vermittelst eine mit der Basis parallel laufenden Grundrisses Statt gehabt, so ist derselbe offenbar ein Zirkel. 2° Von der parallelen Richtung an bis zu dem Grade der Schrâge, den das Apothem im Verhâltnisse zur Grundflache hat, beschreibt die Flâche, welche die zwei entgegengesetzten Apothème des Regels durchschneidet, einen eingehenden und gleich ei-nem Zirkel geschlossenen Durchschnitt, welcher aber im Verhâltniss zu dem Grade der Schrâge eine lângliche Gestalt bildet, und wie wir bald sehen werden, eine Ellipse beschreibt. Von dieser Be-schaffenheit ist derjenige Durchschnitt, dessen schrâge Gestalt wirbei J K \nFig. 73 sehen. 3.° Ist die durchschneidende Flâche mit einer von den Kegelseiten parallel, wie z. B. L G, so bildet dieselbe, weil sie bloss eine von diesen Seiten durchschnei-den kann, eine krumme Linie, welche niemals eingehend ist, und deren beide Enden, welche sich ins unendliche fortverlângern, die parallelle Richtung unaufhôrlich anzunehmen suchen, ohne solche je erlangen zu kônnen : man nennt diese Linie Parabel. 4° Ueber diesen Grad der Schrâge hinaus, bildet die durchschneidende Flâche, einen immer mehr offenen Durchschnitt, und zwar so lange als dieselbe die Seite des Regels noch nicht berührt hat. Die beiden Enden der krummen Linie entfernen sich immer mehr und mehr von der parallelen Richtung, ohne je unter einander einen Winkel von einer gewissen Grosse bilden zu kônnen. Diese krumme Linie wird Hyperbel genennt : wobei man unter den môglichen Hyperbeln vor-züglich diejenigen zu bemerken hat, welche eine mit der Axe parallel laufende Flâche hervorbringt, wie z. B. MN; und unter denen sich ein Dreieck , aïs fünfte Art von Durchschnitt befindet, welches dann entsteht, wenn die durchschneidende Flâche durch die Axe des Regels geht. Hierbei ist 5.° weder der Punkt aïs letztes Glied von allen Arten einge-hender krummen Linien, noch 6.° die gerade Linie begriffen , welche das letzte Glied von allen Arten unbestimmter krummen Linien ist, und welche beide dann Statt haben, wenn die durchschneidende Flâche durch die Spitze des Regels geht, ohne in das Innere einzudringen.
  - Diese Fig. 73 zeigt diesem zufoïge die Aufrisse von drei Gattungen krummer Regeldurchschnitte. Bei der Darstellung des Planes braucht man bloss den Umkreis AB DE in eine gewisse Anzahï gleicher Theile zu theilen , und durch diese Theilungen eben so vie! Radii dahin zu führen, welche in den Aufriss kommen, damit man daselbst eben so viel Apothème zeichnen kann, aïs Theilungen Statt gehabt haben. Da die Linie welche im Aufrisse den Durchschnitt einer jeden krummen Linie vorstellt, eine gewisse Anzahl von diesen Apothemen durchschneidet, so muss im Grund-risse eine jede von diesen Durchschneidungen auf dem Radius zu welchem sie gehôrt, geführt werden. Diese Punkte geben auf dem Plane die resp. Figur von einem jeden der Durchschnitte GL, JR und M N, welche man durch, eine fortgesetzte krumme Linie vereinigt. Wir sehen aus dieser Darstellung, dass die Parabel im Grundrisse sehr erwei-tert, die Ellipse aber in diesem Exempel sehr zu-"sammengezogen und die Hyperbel in eine gerade Linie verwandelt worden ist. Wâre der zertbeilende Plan nicht mit der Axe des Regels parallel, so wâre diese letzte ebenfalls eine krumme Linie.
  - 44. Problem. Wie werden die in den Fig. 73, 76 und 77 enthaltenen drei conischen Durchschnitte gezeiclmet ?
  - Aüflôsung. Da JR, GL, MN,Fig.73, die
  - Sçholion. The same formula, lhat is lo say the Fig. efkl, would give the dispïay of every cône havingthe same basis, whatever may be its height : it would be sufficient to bring its apothem from H to j' on the perpendicuïar Hdj, and to take that point j' as the center of an arc which would pass through H, and would be comprehended between e k and f L
  - 43. The sections of the cône hâve forais much more varied than those of the cylinder. l.° The form resulting of a plan parallel to the basis is evi-dently a circle. 2° From the parallelism to the degree of obliquity of the apothem with regard to the basis, the plan which cuts the two opposite apothems of the cône, produces a section returning in own’s rise and shut up as the circle, but lengthened in proportion with the degree of obliquity, ancl which we will soon perceive to be an ellipsis : such is the one whose obliquity is seen in JR, Fig. 73. 3.° If the sécant plan is parallel to one of the sides of the cône, as L G, being able to eut but one of those sides, it produces a curve which cannot be turning back, and whose two branches are indefinitely lengthened, alvvays driving towards the parallelism withoüt being able to acquire it : it is called parabola. 4.° After that degree of obliquity, the sécant plan produces a section more and more open, as long as it is not corne to be a tangent to the surface of the cône. The two branches of the curve remove farther and far-ther from the parallelism, without ever making between them an angle of a certain size. That curve is called hyperbola, and, in the sériés of the hyperboïas possible, we must particularly remark that produced by a plan parallel to the axis, as MN, and between which is found a triangle, the fifth kind of section, which happens when the sécant plan passes through the axis of the cône. Ali that without inchiding in it, 5." the point ïast term of ali sériés of rentrant curves ; 6.° the straight line ïast term of ail sériés of indefinite curves, which both happen when the sécant plan passes through the summit of the cône without penetrating into it.
  - Thus that Fig. 73 présents the élévation of the three orders of curved sections of the cône. To form the plan, it is sufficient to divide the circumference ABDE into a certain number of equal parts; to draw from those divisions as many radii, which will be transferred to the élévation, inorder to be able to trace on it as many apothems as there are divisions. As the line which, in the élévation, represents the section of each curve, divides a certain number of these apothems, we must transfer those intersections to the plan, each in the radius to which it belongs. These points will give in the plan the shape of each of the sections GL, JR and MN, joining them by a continued curve. It is seen, by the effect of that projection, that the parabola is much wider in the plan, that the ellipsis is there shorter, and that the hyperbola is there changed into a straight line. It would be also a curve, were not the sécant plan parallel to the axis of the cône.
  - 44. Problem. To trace the three conical sections, Fig. 73,76 and 77.
  - Solution. JR, GL, MN, Fig. 73, being the
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- - axes réels de ces trois sections, on a placé G' L' sur le prolongement de B A au plan, Fig. 76, pour la parabole; M' N' parallèlement à l’axe, au plan délévation, Fig. 77, pour l’hyperbole : J K a été laissé en place pour l’ellipse, Fig. 73. Les points M n o N, htuvxG, J ab cilef g ht’/K , Fig. 73, où les apothèmes du cône sont coupés par les traces d’obliquité des sections, étant considérés comme des hauteurs déterminées respectivement sur chacun des axes, ont été transportés sur ceux des axes qui ont éprouvé la transposition; et par chacun d’eux on a mené à chaque axe des perpendiculaires indéfinies : et, d’un autre côté, les points où les divers rayons du plan, Fig. 74, sont coupés par le plan de chaque section, étant considérés par rapport au diamètre A B, comme les distances horizontales des divers points de chaque courbe à son axe, ont été renvoyés respectivement chacun sur la perpendiculaire qui représente la hauteur du même point. On a eu ainsi pour chaque section autant de points qu’on a voulu, au moyen desquels on a décrit ces courbes sous la forme naturelle quelles ont dans le plan sécant lui-même.
  - Observation. Par ce tracé, qui, notant qu’une suite de projections, porte l’évidence avec lui-même, on peut juger dans quelle erreur peuvent induire plusieurs auteurs qui, pour tracer l’ellipse qui résulte de la section du cône, prescrivent d’employer la projection horizontale de son grand axe J K comme étant le petit axe de cette ellipse.
  - Si, par le milieu A de la trace oblique et elliptique J K, on mène l’horizontale y ij', trace d’une section circulaire y z y1 dans le cône, et qu’on élève la perpendiculaire kz, cette ligne, intersection réciproque du plan de la section circulaire par celui de la section elliptique, sera une ordonnée commune au cercle et à l’ellipse qui s’y coupent; et comme elle passe par le centre de l’ellipse, elle est évidemment le petit demi-axe, comme k J en est le demi grand axe ; et il n’est pas moins évident que cette ligne k z peut être extrêmement différente de la retombée de K J.
  - 45. Problème. Tracer les trois sections sur le développement du cône, Fig. 78.
  - SOLUTION. Ayant placé sur le développement en lignes rayonnantes tous les apothèmes qui ont été tracés soit au plan, soit à l’élévation, prenez, Fig. 73, la distance du sommet I à chaque point où l’un des apothèmes y est coupé par la trace d’une des sections; mais, au lieu de la prendre sur cet apothème lui-même, qui, dans la Fig. 73, n’est qu’une projection verticale de l’apothème réel, supposez que, par un mouvement de révolution sur Taxe du cône, cet apothème s’est placé sur IF ou I H, et que les points dont il est question, par un mouvement circulaire horizontal, se sont placés en l,m;p,q,r,s; a,b,c,d,e, &c., et portez cette distance, Fig. 78, du point i sur le même apothème. En faisant la même chose pour chacun des apothèmes de la Fig. 73, et redoublant chacun de ces transports, parce que cette figure ne montre que la moitié de la face du cône, qui est représentée dans son entier, Fig. 78, vous aurez trois suites de points, par chacune desquelles vous mènerez une courbe, qui paraîtra fort irrégulière sur le développement, mais qui aura sa forme naturelle et la réalité d’une figure plane, quand la surface développée aura été repliée de manière à reprendre elle-même la forme conique à laquelle elle appartient.
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  - wahren Axen zu diesen drei Durchschnitten sind, so ist im Plane Fig. 76, G'L', fur die Parabel, auf die Yerlângerung von B A gebracht worden ; M'N stehtfürdie Hyperbel im Aufrissplane Fig. 71 parallel mit der Axe, und J K ist für die Ellipse in Fig. 73 an seinem Platze geblieben. Die Punkte MrcoN, \atuvxGc, 3abcdefghijK,Fig.73, bei denen die Apothème des Kegels durch die schrâgen Linien durchschnitten sind, werden auf jeder resp. Axe aïs bestimmte Hôhen betrachtet, und sind auf diejenigen Axen übergetragen worden, bei denen die Uebertragung Statt gehabt hat ; durch jeden dieser Punkte sind ferner unbestimmte Perpendicularlinien zu jeder Axe geführt worden. Von der andern Seite sind diejenigen Punkte bei denen die verschiedenen Radii des Planes in Fig. 74 vermittelst eines jeden Durchschnittplans durchschnitten sind, und welche im Bezug auf den' Durchmesser A B als die horizontalen Abstande betrachtet werden, welche die verschiedenen Punkte einer jeden krummen Linie bis zur Axe derselben haben ; diese gedachten Punkte sind auf jede respective Perpendicularlinie, welche die Hôhe des nâmlichen Punktes vorsteïlt, getragen worden. Auf diese Weise erhalt man für jeden Durchschnitt die gewünschte Anzahl Punkte, vermittelst deren man diese krummen Linien unter der natürlichen Form beschreibt, welche sie in den durchschnei-denden Plane selbst haben.
  - Anmerkung. Diese Darsteîlung, welche wegen ihrer Einfachheit das Geprâge der Wahrheit an sich tragt, zeigt uns, in welchen Irrthum man gerathen kann, wenn man dfënjenigen Schriftstellern folgt, welche Iehren, dass man zur Zeichnung der aus dem Durchschnitte des Kegels sich ergebenden Ellipse die horizontale Darsteîlung der grossen Axe J K, aïs welche die kleine Axe dieser Ellipse sey, an-wenden müsse.
  - Führt man durch die Mitte k der schrâgen und elliptischen Linie J K*, die horizontale Linie y y', welche die Vorstellung eines zirkelrunden Durch-schnitts yzy' ist, und richtet ferner die Perpendicularlinie kz auf, so wird diese Linie, vermittelst welcher der Plan des zirkelrunden Durchschnitts, so wie der Plan des elliptischen Durchschnitts gegen-seitig durchschnitten worden, eine dem Zirkel und der Ellipse, welche beide sich daselbst durchschnei-den, gemeinschaftliche Ordinate seyn : und da die-selbe durch den Mitteîpunkt der Ellipse geht, so ist solche offenbar die kleine halbe Axe, so wie A J die grosse halbe Axe derselben ist : auch bedarf es ferner keines Beweises, dass diese Linie k z von der Linie KJ ausserordentlich verschieden seyn kann.
  - 45. Problem. Wie werden die drei Durchschnitte auf der Darsteîlung des Kegels in Fig. 78 gezeichnet ?
  - Auflosung. Nachdem man die sâmmtlichen , sowohl auf dem Plane als auf dem Aufrisse gezeich-neten Apothème in strahlenfôrmigen Linien auf die Darsteîlung gebracht hat, so nehme man in Fig. 73 den Abstand der Hôbe I bei jedem Punkte, wo eine von den Durchschnittslinien ein Apothem durchschnitten hat ; anstatt diesen Abstand aber auf dem Apothème selbst zu nehmen, welches in Fig. 73 die verticale Vorstellung des wahren Apothems ist, so nehme man an aïs ob dieses Apothem vermittelst einer Bewegungauf der Kegelaxe seinen Platz auf IF oder IH genommen, und die fraglichen Punkte vermittelst einer zirkelrunden horizontalen Bewegung ihre Stellen in l, m;p, q, r, s; a, b, c, d, e, u. s. w. eingenommen haben ; diesen Abstand in Fig. 78 trage man aus dem Punkte i auf das nâmliche Apothem. Beobachtet man dieselbe Verfahrungsweise bei einem jedem in Fig. 73 enthaltenen Apothème, und verdoppeït zugïeich eine jede von diesen Ueber-tragungen , welches deshaïb geschehen muss , weil diese Figur bloss die Hâlfte des Kegels zeigt, dessen vôlïige Gestalt in Fig. 78 vorgestellt ist, so erhalt man drei Abtheilungen von Punkten, bei denen inan durch jede derselben eine krumme Linie zieht, welche auf der Zeichnung sich zwar in sehr un-regelmâssiger Gestalt darsteïlt, die aber ihre na-türliche Form und die wahre Beschaffenheit einer
  - real axis ofthose three sections, we bave placed G L' on the prolonging of B A in the plan, Fig. 76, foi the parabola ; M'N' parallel to the axis, in the plan of élévation, Fig. 77, for the hyperbola : J K has been left in its place for the elïipsis, Fig. 75. ThepointsMrcoN, htuvxG, JabcdefghijK, Fig. 73, in which the apothems of the cône are eut by thelines of obliquity of the sections, being consi-dered as heights determined on each of the axis, hâve been transferred on those of the axis which hâve experienced a transposition ; and through each of them indefinite perpendiculars hâve been brought to each of the axis : and, on the other side, the points where the various radii of the plan, Fig. 74, are eut by the plan of each section, being considered, with regard to the diameter AB, as the horizontal distances of the various points of each curve from its axis, hâve been transferred each on the perpendi-cuïar representing the height of the same point. We hâve had thus for each section as many points as we wished for, and with which we described those curves under their natural form in the sécant plan itseïf.
  - Observation. We may judge, by this draught, which, being nothing else but a succession of projections, is quite évident in itseïf, to what errorcan lead some authors who prescribe, to trace theellip-sis resulting from the section of a cône, to use the horizontal projection of its great axis J K as being the small axis of that elïipsis.
  - If, by the middle k of the oblique and elliptic line J K, we draw the horizontal line yy', the trace of a circular section yzy' in the cône, and if welet fall the perpendicular kz, that line, the reciprocal intersection of the plan of the circular section by that of the elliptic section, will be an ordinate, common to the circle as well as to the elïipsis, which intersect each another at that point ; and as it passes through the center of the elïipsis, it is eVidentiy the small half axis, as AJ is the Iialf great axis of it; and it is not less évident that this line A z may k extremely different from the projection of KJ.
  - 45. Problem. To trace the three sections on the display of the cône, Fig. 78.
  - SOLUTION. Having placed on the display in radiant fines ail the apothems traced either in the plan or in the élévation, take, Fig. 73, the distance from the summit I to each point where one of the apothems intersects with the trace of one of the sections ; but, instead of taking it on the apothem itseïf, which, in the Fig. 73, is but a vertical projection of the real apothem, suppose that, by a movement of révolution on the axis of the cône, that apothem has placed itseïf on IF or IH, and that the points mentioned, by an horizontal circular motion, hâve placed themseïves in l,m;p,q,r,s;a,l,c, d, e, &c., and bring that distance, Fig. 78, from the point i on the same apothem. In doing the same for each of the apothems t)f the Fig. 73, and dou-bling each of those transferrings, because that figure shows but half the face of the cône, the whole of which is represented in Fig. 78, you will hâve three successions of points, for each of which you must draw a curve which appears very irregular in the display, but which will hâve its natural form and the reality of a plane figure, when the displayed surface will hâve been folded so as to take again itseïf the conicaï form to which it belongs.
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- - Corollaire. On voit Sans peine que le même procédé peut être employé littéralement pour tracer les sections coniques sur le cône lui-même*
  - 46. Les géomètres ont appelé spirale logaritk* nique celles dont les rayons sont en progression géométrique, tandis que leurs distances angulaires sont en proportion arithmétique; parce que les dis*-tances angulaires peuvent être regardées comme les logarithmes des rayons. C’est celle qui forme la retombée de l’hélice formée sur un cône par une ligne qui conserverait constamment la même inclinaison par rapport à la direction de Taxe du cône : c’est donc la seule qui ait de l’analogie avec l’hélice que l’on applique au cylindre.
  - l.° La Fig. 79 présente une spirale ïogarith** inique tracée sur le plan de la base d’un cône. Après avoir divisé la circonférence en un nombre quelconque de parties égales, et mené par chaque division les rayons CA, CD, CE, CF, &c. au point H, origine de la courbe, on fait un angle CHa, plus ou moins grand, selon qu’on veut que la courbe fasse plus ou moins de révolutions pour arriver à une certaine distance du centre. La ligne HKa, par son intersection avec le rayon voisin CI, donne en a, un point de passage de la courbe. On a un second, point b de la courbe sur le troisième rayon CA, en faisant l’angle Ca b égal à C H a; et l’on en trouve ainsi autant que l’on veut sur les rayons qui se présentent successivement.
  - Tous les triangles CHa, Cab, Cbc, &c., ayant tous un angle égal en C, et un autre fait égal dans chacun H,a, b, c, d,&c., sont semblables, et ont par conséquent leurs côtés homologues proportionnels; en sorte que C H : Ca : : Ca : Cb : : C b : Ce : : Ce : Cd, &c.: d’où il résulte évidemment que les diminutions des rayons placés à des distances angulaires égales sont en progression géométrique.
  - 2. ° Pour former l’élévation de cette courbe, il suffit de renvoyer sur la ligne de trave A,I,H,G,B, Fig. 80, chacune des divisions de la circonférence, d’y tracer par ce moyen les apothèmes SA, SI, SH, SG, SB, correspondans aux rayons du plan, et de renvoyer sur chacun de ces apothèmes, par des parallèles a l’axe en a, b, f, g, h, &c., tous les points a, b, &c. où le rayon correspondant se trouve coupé par la courbe en plan.
  - 3. ° Pour tracer la même courbe sur le développement du cône, Fig. 81, il faut d’abord y placer les mêmes lignes d’apothème qui sont déjà au plan et à l’élévation ; ensuite mener les horizontales C' a, C" b, &c. par les points où les apothèmes de l’élévation sont coupés par la courbe, et transporter ensuite au développement de S en a, b, c, &c., les distances Sa, S b, &c.
  - 4. ° Si Ton voulait tracer la même courbe sur le
  - cône lui-même, il est sensible qu’il faudrait opérer absolument comme sur le développement. s
  - Développement de la Sphère.
  - 47. La sphère ne pouvant être touchée qu’en un seul point, soit par un plan, soit même par une ligne droite, se refuse entièrement à un développement rigoureux ; et cependant on a quelquefois des voûtes sphériques à exécuter en charpente : on est alors réduit à faire le développement de la surface sphé-
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  - flachen Figur dann erhâlt, wenn die dargestelïte Seite dergestalt umgebogen seyn wird, dass selbige die cOnische Gestalt, zu der sie gehort , seïbst annîmmt. ,
  - Anmerkung. Man wird sich Ieicht überzeugen, dass die nâmliche Verfahrungsweise büchstablich auch dann angewendet werden kônne, wenn die conischen Durchschnitte auf dem Kegel selbst ge-zeichnet werden sollen.
  - 46. In der Geometrie neilnt man logarithmische Spirallinien diejenigen Linien, deren Radii sich in geometrischer Progression befmden, wâhrend ihre eckigen Abstânde die arithmetische Proportion be-folgen, welches deswegen geschiehtj weil die ecki** gen Abstânde als Logarithmen der Radii kônnen angesehen werden. Yon dieser Beschaffenheit ist die auf einem Kegel gezeichnete Schraubenlinie, wo-bei die Linie wodurch die Zeichnung geschieht, jederzeit die namliche Neigung in Bezug auf die Richtung der Kegelaxe beibehalten würde : sie ist folglich die éinzige welche mit der auf den Cylinder angewendeten Schraubenlinie Aehnlichkeit hat.
  - 1. ° Die Fig. 79 zeigt eine logarithmische Spiral-*
  - linie auf der Grundflache einés Kegels. Hat man den Umkreis in beïiebige Anzahl gleicher Theile ge-theilt, und durch jede Theilung die Radii CA, CD, CE, CF, u. s.w., gezogen , so beschreibt man bei dem Punkte H, welches der Anfang der krummen Linie ist, einen Winkel CHa, den man mehr oder minder gross macht, je nachdem die krumme Linie, um zu einer gewissen Entfernung vom Mittelpunkt zu gelangen, mehr oder weniger Windungen beschreiben soll ; die Linie H Ka giebt in a, wo sie sich mit dem nâchsten Radius CI durchschneidet, einen Punkt, durch welchen die krumme Liine geht. Einen zweiten Punkt b erhâlt man fur die krumme Linie an dem dritten Radius CA, dadurch , dass man den Winkel Cab mit CHa gleich macht; auf diese Weise erhâlt man deren in beliebiger Anzahl an den darauf folgenden Radiis. ° ; '
  - Die sâmmtlichen Dreiecke CHa, Cab, Cbc, u. s. w., haben nicht nur einen in C gleichen Winkel, sondernauch noch einen andern, welcher bei jedem in H, a, b, c, d, u. s. w., gleich ge-macht ist; sie sind sonach âhnlich, und ihre gleich-fôrmigen Seiten haben folglich einerlei Verhâltniss ; sodass CH : Ca : : Ca : Cb : : Cb : Ce : : Ce: Cd, vl. s. w. : hieraus ergiebt sich denn, dass die Ver-minderungen der Radii, welche an eckigen und gleichen Stellen stehen, sich auf eine unverkenn-bare Weise in geometrischer Progression befinden ;
  - 2. ° Soll der Aufriss dieser krummen Linie be-schrieben werden, so braucht man bloss die einzel-nen Theilungen des Umkreises auf die Abstands-linie A, I, H, G, B, Fig. 80 zu tragen, und da-selbst die Apothème SA, SI, SH, SG, SB, mit den Radiis des Planes übereinstimmend zu zeich-nen , so wie ferner die sâmmtlichen Punkte a, b , wo der zutrefFende Radius von der krummen Linie durchschnitten wird, durch Paraïïellinien mit der Axe auf jedes einzelne Apothem in a, b, f, g, h , u. s. w, zu führen ;
  - 3. ° Soll die nâmliche krumme Linie auf der Darstellung des Kegels Fig. 81 gezeichnet werden, so muss man daselbst zuvorderst die nâmlichen im Plane und Aufrisse enthaltenen Apothemlinien be-merken; hieraufdie horizontalen Linien C'a, C"b, u. s. w., durch die Punkte führen, wo die Apothème des Aufrisses von der krummen Linie durchschnitten werden , und sodann in der ausgeführten Vorstellung die Abstânde Sa, S b, u. s.w., von S nacha, b, c, u. s.w., führen ;
  - 4. ° Wollte man die nâmliche krumme Linie auf dem Kegel selbst zeichnen, so begreift man Ieicht dass die Verfahrungsweise sobeschaffen seynmüsste wie in der ausgeführten Darstellung.
  - Darstellung der Sphàre.
  - 47. DadieSphâre, einen einzigen Punkt ausge-nommen, sich weder durch einen Plan, noch selbst durch eine gerade Linie behandeln lâsst ; so kann eine ausführïiche Darstellung im strengen Sinne mit selbiger nicht unternommen werden : da aber den-noch bisweilen Kugelgewôlbe aus Holzwerk erbaut
  - Corollary<. It is easy to0 see that the same pro-' Ceeding may be literally used to trace the conical sections on the cône itself.
  - 46. Geomcters hâve calîed logarithmic spiral those whose radii are in a geometricaï progression, whiïe their angular distances are in an arithmeticaï proportion ; because the angular distances may be considered as the logarithms of the radii. It is the one which forms the horizontal projection of the hélix formed on a cône by a line which would constantïy keep the same declivity with regard to the direction of the axis of the cône : it is then the only one which has an analogy with the spiral lines applied to the cylinder.
  - l.° The Fig. 79 présents a logarithmic spiral traced on the plan of the basis of a cône. After having divided the circumference into a number of equal parts, and drawn by each division the radii CA, CD, CE,CF, &c., we make at the point H, the origin of the curve, the angle CHa, greater or less, according to the greater or less number of révolutions that we wish the curve to do to arrive to a certain distance from the center.Thë line HKa, by its intersection with the neighbouring radius CI, gives in a, a point of passage of the curve. We hâve a second point b of the curve on the third radius CA, by making the angle Cab equal to CHa; and we find thus as many of them as we wish ( on the radii which appear successively.
  - i
  - Ail the triangles CHa, Cab, Cbc, &c. having ail an angle equal in C, and another made equal in each H, a, b, c, d, &c. are alike, and hâve according-ly ail their homologous sides in proportion ; so that CH: Ca : : Ca : Cb : : Cb: Ce'': : Ce: Cd, &c. : from whence it follows evidently that the diminutions of the radii situated at equal angular distances are in geometricaï progression.
  - 2. ° To form the élévation of that curve, it is suffi-cient to transfer on the trave-Iine A, I, H, G, B, Fig. 80, each division of the circumference, to trace on it, by thatmeans, theapothems SA, SI, SH, S G, SB, corresponding to the radii of the plan, and to transfer on each of those apothems, by lines parallels to the axis in a,b*, f,g, h,&c., ail the points a, b, &c. where the corresponding radius is eut by the curve in the plan.
  - •
  - 3. ° To trace the same curve on the display of the cône Fig. 81, we'must at first place in it the same lines of apothem which are already in the plan and in the élévation; after what draw the horizontal lines C'a, C"b, &c., through the points where the apothems of the élévation are eut by the curve, and transfer to the display from S to a, b, c, &c., the distances Sa, Sb, &c.
  - 4. ° If we wished to trace the same curve on the cône itself, it is clear that we must operate absolu-tely as on the display.
  - Displaying of the Sphere.
  - 47. As the sphere can only be touched in one point either by a plan, or even by a straight line, it cannot suffer an exact display ; and however sphe-rical vaults are sometimes to be made in carpentry : one must then make the display by approximation, considering it as consisting of a number greater or
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- - rique d'une manière approximative, en la considérant comme composée d’un nombre plus ou moins grand de cônes tronqués, ou môme de pyramides tronquées ayant pour bases des polygones d’un nombre de côtés plus ou moins grand.
  - De cette manière ïe développement de la sphère consiste à réduire sa surface en un certain nombre de trapèzes, dont ceux qui se touchent dans le sens de îéquateur de ïa sphère, sont tous égaux entre eux, et ceux qui se touchent dans ia direction d’un pôle à l’autre, vont graduellement en diminuant de base depuis l’équàteur jusqu’à chacun des pôles; d’où résultent deux procédés de développement également avantageux suivant les circonstances, et qui ne diffèrent que par la manière dont on groupe ensemble les trapèzes égaux ou inégaux.
  - 48. l.° Développement de ïa sphère par fuseaux, Fig. 82, 83 et 84.
  - La Fig. 83 présente le plan de la moitié de la sphère dans le demi-cercle 10... e. .20...5..,10, en supposant qu’on a fait dans cette sphère dix sections également espacées, qui s’entrecoupent toutes à l’axe, et dont les traces sur le plan sont les rayonnantes e 1, e 2, e 3, &c., et neuf autres sections parallèles» entre elles, et perpendiculaires aux premières, espacées aussi à distance égale les unes des autres : non quelles comprennent entre elles ïa même distance perpendiculaire; mais en mesurant sur la surface de la sphère ïa distance qui se trouve entre les circonférences que ces coupes tracent à la surface, cette distance doit être la même pour toutes, en sorte que les retombées de ces dernières sections sur le plan sont les demi-cercles 10, 5, 20;a24i; b 23 h ; c 22 g ; d 21 f, dont on trouve les rayons respectifs en abaissant sur ïe diamètre 20, 20, des divisions de ïa circonférence, les perpendiculaires 1 i, 2 h, 3 g, 4 f. On voit d’abord que la première division partage ïa surface de ïa sphère en vingt fuseaux , et que, ïa seconde partageant chaque fuseau en huit trapèzes et deux triangles, ïa totalité de la surface se trouve divisée en cent soixante trapèzes et en quarante triangles.
  - Pour développer ïe quart de ïa circonférence, les praticiens élèvent une perpendiculaire indéfinie, 10 s à l’extrémité du diamètre, et prolongent indéfiniment ïes cordes 10, 9; 9, 8; 8, 7; 7, 6; décrivant un arc avec ïe rayon 10, 9 des points 10, 9, 8, 7, 6, pris successivement pour centres, et chacun depuis ïa circonférence jusqu’à ïa droite voisine : puis ils continuent ïes quatre derniers de ces arcs par d’autres arcs décrits des centres 10, 9, 8, 7, avec ïe rayon 10, 9-4-9, 8, et toujours jusqu’à ïa droite voisine ; puis ïes trois derniers de ceux-ci par d’autres décrits des centres 10, 9,8, avec ïe rayon 10,9-t-9,8-t-8, 7; ensuite ïes deux derniers des centres 10, 9, avec ïe rayon 10, 9-t-9,8-4-8,7-4-7,6; et enfin le dernier du centre 10, avec un rayon égal à ïa somme de toutes ïes cordes. Ce procédé long, et par conséquent sujet à bien des fautes, est encore essentiellement défectueux en ce qu’il substitue à ïa circonférence ïe contour d’un polygone d’autant de côtés qu’on a fait de divisions à ïa circonférence. Dans le cas de ïa figure, il y a environ 0,013 de moins qu’il ne faudrait. On devrait donc préférer ïa rectification de ïa Fig. 70.
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  - vverden , so muss alsdann die kugeïfôrmige Wôl-bung auf eine approximative Weise dadurch aus-geführt wjÿ'den, dass man selbige aïs ein Ganzes be-trachtet, welches aus einer mehr oder minder gros-sen Anzahl abgestumpfter Kegeï, oder selbst abge-stumpfter Pyramiden besteht, deren Grundflâchen aus einer mehr oder minder grossen Anzahl von Polygonen zusammengesetzt sind.
  - Sonach besteht die ausführliche Darstellung der Sphâre in foïgenderVerfahrungsweise : manverwan-deït ihre Oberflâche in eine gewisse Anzahl von un-gïeichseitigen Yierecken , von denen diejenigen , weïchesich in paraïïeler Richtungmitdem Aequator der Sphâre einander berühren, sich sâmmtlich gïeich sind; diejenigen aber, weïche sich in der Richtung von einem Pôle zum andern einander berühren, ïau-fen dergestaït, dass ihre Grundflâchen vom Aequator an bis zu jedem Poï stufenweise abnehmen : hieraus ergeben sich zwei auf die Darstellung der Sphâre an-wendbareVerfahrungsweisen : beide sind gïeich vor-theiïhaft und unterscheiden sich bïoss in der Art und Weise wie man die einander gïeichen oderungïei-chen verschiedenseitigen Vierecke zusammensteïït.
  - 48. l.° Darstellung der Sphâre durch Spindeln, Fig. 83, 83 und 84.
  - Die Fig. 83 zeigt in dem Halbzirkel 10. .e. . 20...5.,.10, den Plan von der halben Sphâre ; wobei jedoch vorausgesetzt wird, dass bei derselben zehn gîeichweit von einander abstehende Durçh-schnitte gemacht worden sind, weïche sich sâmmt-ïich an der Axe durchschneiden, und deren Punkte die strahlenfôrmigen Linien e 1, e2, e3, u.s.w., sind ; dass ferner neun andere mit einander paraïleï und mit den vorigen perpendicular ïaufende, eben-falïs gîeichweit abstehende Durchschnitte gemacht worden sind ; weïches aber nicht so zu verstehen ist, aïs ob sie sich gegenseitig in dem nâmlichen perpendicuïaren Abstande befànden, sondern dass wenn man auf der Oberflâche der Sphâre dèn Abstand zwischen den von diesen Durchschnitten beschrie-benen Umkreisen misst, so muss dieser Abstand fur aïle der nâmliche seyn ; soïchergestaït sind die Linien dieser ïetztern auf dem Plane befindlichen Durchschnitte, die Halbzirkel 10, 5,20 ; a 24 i ; b23 h ; c22 g; d 21 f, deren respectiven Radii man dadurch findet, dass man auf den zu den Thei-lungen des Umkreises gehôrigen Durchmesser 10, 20 , die Perpendicuïarlinien li, 2h, 3g, 4f, herabsenkt. Wirsehen hieraus, dass die erste Thei-ïung die Oberflâche der Sphâre in zwanzig Spindeln, die zweite aber jede Spindeï in acht ungïeichseitige Vierecke und zwei Triangeï theiït, so dass die ganze Oberflâche in hundert und sechzig ungleich-seitige Vierecke und vierzig Triangeï getheilt ist.
  - Soll das Vierteï des Umkreises dargestellt wer-deii'; so befolgt man in der Praxis gewôhnlich foï-gendes Verfahren : man richtet eine unbestimmte Perpendicuïarlinie 10 s am Ende des Durchmes-sers auf, und verlângert auf eine unbestimmte Weise die Sehnen 10 , 9 ; 9 , 8 ; 8,7; 7, 6 , weïche mit dem Radius 10, 9 der Punkte 10, 9 , 8,7,6 einen Bogen beschreiben ; diese ïetztern Punkte sind nach und nach zu Mittelpunkten ge-nommen worden, und zwar ein jeder von dem Um-kreise an bis zur nâchsten geraden Linie : man verlângert sodann die vier ïetzten von diesen Bogen, vermitteïst anderer aus den Mittelpunkten 10, 9, 8, 7, beschriebenen Bogen, deren Radius 10, 9 -f- 9, 8 ist, und wobei diese Veiiângerung jeder-zeit bis zur nâchsten geraden Linie Statt hat ; verlângert ferner die drei ïetzten Bogen vermitteïst anderer aus den Mittelpunkten 10, 9, 8 beschriebenen , weïche 10, 9 -4- 9, 8h- 8, 7zu Radiis er-Iiaïten , so wie ferner die zwei ïetzten aus den Mit-teïpunkten 10, 9, deren Radius 10, 9 —i— 9,8 —f-8, 7 -4- 7,6, ist ; und endïich den ïetzten aus dem Mitteîpunkte 10, welcher einen mit der Summe sâmmtlicher Sehnen übereinstimmenden Radius erhâlt. Dieses weitlâuftige und folglich mitmehreren Mângeln verbundene Verfahren hat übrigens'auch noch den wesentlichen Fehler, dass seïbiges an die Stelle des Umkreises den Umfang eines Polygons setzt, Vvelches eben so viel Seiten hat als Theilun-gen auf den Umkreise geschehen sind. In der ge-dachten Figur sind deren 0,013 zuwenig enthalten.
  - less of mahned cônes, or even maimed pyramids having for their basis polygons of a number of skies greater or less.
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  - Thus the display of the sphere consists in reclu-cing its surface to a certain number of trapeziums, amongst which those which are contiguous accord-ing to the equator of the sphere, are equal, and those which are contiguous in the direction froni one pôle to the other-, hâve their basis gradually diminished from the equator to each of the pôles; from whence resuit two ways of displaying, equally advantageous according to the circumstances, and which differ only by the manner in which one gathers the trapeziums equal or unequal.
  - 48. l.° Displaying of the sphere by spindles, Fig. 82,83 and 84.
  - The Fig. 83 présents the plan of the half sphere, in the half circle 10. . .e. ..20... 5. . .10, supposing that one has made in that sphere ten sections equally distant, ail intersecting at the axis, and whose traces on the plan are the radiant e 1, e 2, e 3, &c., and nine other sections paraïleï to each other and perpendicular to the first ones, equally distant also from each other: not that they hâve between them the same perpendicular distance; but, when wemeasure on the surface of the sphere the distance between the circumferences whom those sections trace at the surface, that distance may be the same for ail of them ; so that the projections [retombées] of those last sections on the plan are the half circles 10,5, 20; a 24 i ; b 23 h ; c 22 g; d 21 f, whose *radii are found by Ietting down on the diameter 10, 20, of the divisions of thecircumfe-rence, the perpendicular lines 1 i, 2 h, 3g, 4f. We see at first that the first division divides the surface of the sphere into twenty spindles, and that, the second dividing each spindle into eight trapeziums and two triangles, the whole of the surface is di-vided into a hundred and sixty trapeziums and forty triangles.
  - To dispïay the fourth part of the circumference, the practitioners erect an indefinite perpendicular 10 s at the extremity of the diameter, and ïengthen indefînitely the cords 10,9 ; 9, 8; 8,7; 7,6; descri-bing an arc with the radius 10, 9 of the points 10, 9, 8,7, 6, successively taken as centers, and each from the circumference to the neighbouring straight line : then they continue the four last of those arcs by others arcs described from the centers 10,9,8, 7, with the radius 10, 9-4- 9, 8, and aïways up towards the neighbouring straight line; then the three last of those by others described from the centers 10, 9, 8, with the radius 10,9-1-9,8+8, 7 : after that the two ïast from the centers 10,9,with the radius 10, 9-t-9, 8-1-8, 7-4-7, 6 ; and, at last, the ïast from the center 10 with a radius equal to the sum of ail thé cords. This long proceeding, accordingïy subject to many errors, is still essen-tially defectuous, because it substitutes, insteadof the circumference, the compass of a polygonofas many sides as there are divisions of the circumference. In the case of the figure, there are about 0,013 wanting. The rectification of the Fig. 70 is therefore préférable.
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  - Après avoir prolongé indéfiniment le diamètre, et développé le quart de la circonférence de part et d’autre de ce prolongement, partagez chaque développement en cinq parties égales, et par chaque division menez autant de parallèles au diamètre : portez successivement vingt fois de suite sur ïe prolongement du diamètre le développement de Tare, ou au moins la corde d’une des divisions de la circonférence, par exemple 10, 9, en a, b, c, d, &c.; et par le milieu de chacune des divisions ainsi formées, menez les perpendiculaires 15, 5; 15, 5, &c.
  - Divisez ensuite par un rayon intermédiaire le secteur 10e9 en deux parties égales, et, prenant la moitié de l’arc du premier cercle concentrique en a dans le plan, portez-la au développement sur les deux premières parallèles de part et d’autre de chacune des perpendiculaires en n et r, r et q, q et p, p et o, &c. Prenez de même la moitié de l’arc du secteur au second cercle concentrique du plan en b, et portez-la au développement sur les deux secondes parallèles de part et d’autre#de chacune des perpendiculaires en 12 et s, s et f, s et t, &c. Après avoir fait de même pour l’arc du même secteur qui appartient à chacun des cercles concentriques du plan, faites passer une ligne courbe par chacun des points qui auront été ainsi trouvés des deux côtés de chaque perpendiculaire; il en résultera autant de surfaces égales, d’une forme approchant de celle d’un fuseau, et dont chacune sera une sérié de trapèzes décroïs-sans depuis le milieu et finissant par un triangle à chaque extrémité, et qui, rassemblés en les pliant, de façon que par-tout ils soient contigus l’un à l’autre, formeront un polyèdre qu’on pourrait appeler en côtes de melon, et d’autant plus approchant de la sphère, que vous aurez employé un plus grand nombre de divisions primitives. Les mêmes lettres appliquées aux mêmes objets font voir comment chaque partie du développement, Fig. 84, s’applique au volume Fig. 82.
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  - 49. 2.° Développement de la sphère par zones. Fig. 85, 86, 87, 88, 89, 90 et 91.
  - Cette figure présente l’élévation d’une sphère où, après avoir prolongé l’axe 5,15, indéfiniment en A, on a divisé la circonférence du grahd cercle en vingt parties égales, et mené perpendiculairement h l’axe, par les divisions correspondantes, les horizontales représentant les coupes de cinq cônes tronqués pour chacun des deux hémisphères. On a ensuite mené par chaque paire de divisions continues d’un hémisphère, 10,15, 20 des cordes prolongées 10, 11 A; 11, 12 B, &c., qui, par leurs intersections sur l’axe, ont donné en A, B, C, D, les sommets de chacun des cônes respectifs ; en sorte qu’il n’est plus question que de prendre successivement pour centres ces derniers points, décrire de chacun comme centre deux arcs indéfinis, ayant pour origine les deux points qui ont déterminé chacun des apothèmes, et déterminer la longueur d’un de ces deux arcs, égale au développement de la circonférence du cercle qui est la base du cône qu’il représente. Par exemple, du centre A on a décrit les arcs 10, 20, et 11, 19, Fig. 87; du centre B, le^arcs 11, 19; 12, 18, Fig. 88; du centre C, les arcs 12, 18; 13, 17, &c., Fig, 89 ; et l’on a porté le développement de la circonférence dont 10, 20, Fig. 86, est le diamètre, sur l’arc 10, 20, Fig. 87; et sur l’arc 11, 19, Fig. 88, le développement de la circonférence dont
  - 11, 19, Fig. 86, est le diamètre: sur les arcs
  - 12, 18; 13, 17; 14, 16, Fig. 89, 90, 91, les développemens des circonférences respectives dont les diamètres sont 10, 20; 11, 19; 12, 18;
  - 13, 17; et 14, 16, Fig. 86. On a eu ainsi le 3.e Partie. ' '
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  - (Es ist claher besser wenn man die RectificirUng der Fig. 70 befolgt.)
  - Nachdem man den Durchmesser auf eine unbe-stimmte Weise verlângert, ünd das Viertel des Um-kreises auf beiden Seiten der Verlangerung gezéich-net bat, so theile man jede Zeichnung in fürif gleiche Theile, und führe düreh jede Theilung eben so viel mit dem Durchmesser parallei laüfende Lb nien ; trage auf die Verlangerung des Dürchmessers nach und nach zwanzig mal die Ausführung des Bogens, oder wenigstens die Sehne von einerderan dem Umkreise Statt gehabten Theilungen, z, B. 10, 9, in a, b, c, d, u. s. w», und ziehe durch die Mitte einer jeden solchergestalt gemachten Theilung, die Perpendicularlinien 15, 5; 15, 5; u.s.w.
  - Man theile hierauf den Ausschnitt 10 e 9 vennit-telst eines Zwischenradii in zwei gleiche Theile; nehme die Hàlfte des Bogens am ersten concen-trischen Zirkel im Plane bei a, und trage sie in der Ausführung auf die zwei ersten Paraïlellinien, und zwar zu beiden Seiten einer jeden Perpen-dïcularlinie in n und r, r und q, q undp, p und o, u. s. w. Auf gleiche Weise nehme; man die Halfte des Bogens an dem zweiten concentrischen Zirkel bei b, und trage sie in der Ausführung auf die zwei folgenden Paraïlellinien, zu beiden Seiten einer jeden Perpendicularlinie in 12 und s, s und f, s und t, u. s. w. Hat man bei dem Bogen des namlichen Ausschnittes, welcher zu jedem im Plane enthalte-nen Zirkel gehôrt, auf gleiche Weise verfahren, so ziehe man eine krumme Linie durch einen jeden der Punkte, welche solchergestalt an den beiden Seiten einer jeden Perpendicularlinie gefunden worden sind ; es werden sich daraus eben so viele mit der Gestaït einer Spindel ziemlich übereinkom-mende gleiche Flachen ergeben, von denen eine jede, von der Mitte an, aus einer Reihe abnehmen-der ungleichseitiger Vierecke besteht, und sich an beiden Enden mit einem Dreiecke endigt. Werden solche durch Biegungen dergestalt an einander an-gefügt, dass selbige an allen Seiten einander be-riihren, so werden sie einen Polyeder bilden, den man mit der Gestaït einer rippenfôrmigen Melone vergleichen kônnte, und der sich der Kugelgesfalt desto mehr nâhern wird , je ïfiehr ursprüngliche Theilungen Statt gehabt haben. Die gleichfôrmigen zu den namlichen Gegenstânden angewendeten Buch-staben zeigen, auf welche Weise ein jeder Theil von der in Fig. 84 enthaltènen ausführlichen Darstel-lung auf die in Fig. 82 befindlichee Zeichnung an-zuwenden sey.
  - 49. 2.° Darstellung der Sphâre durch Zonen. Fig. 85, 86,87,88,89, 90 und 91.
  - Diese Figur zeigt den Aufriss einer Sphâre, an welcher man zuvôrderst die Axe 5, 15, auf eine unbestimmte Weise bei A, verlângert, und den Umkreis des grossen Zirkels in zwanzig gleiche Theile getheilt hat : und nachdem ferner die hori-zontalen Linien, welche bei jeder Hemisphâre die Durchschnitte von fünf verstümmelten Kegeln vor-stellen, durch die correspondirenden Theilungen mit der Axe perpendicular gezogen worden, so sind hierauf durch jedes Paar verlângerter, an der He-/ misphâre 10, 15,20, befindlicherTheilungen die verlângerten Sehnen 10, 11, A; 11,12, B, ,u. s. w., geführt worden ; diese haben sich an der Axe durchschnitten, und daselbst bei A, B, C, D die Hôhen zu jedem respectiven Kegel gegeben. Es wird also nur noch darauf ankommen, dass diese letztern Punkte nach und nach zu Mittelpunkten ge-nommen , und aus jedem derselben zwei unbestimmte Bogen gezogen werden, welche da an-fangen, wo die zwei Punkte die Apothème bilden , und dass ferner die Lange des einen dieser Bogen mit der ausgeführten Darstellung des Zirkelum-kreises, welcher die Basis des Kegels ist, iiberein-stimmend gemacht werde. So z. B. beschreibt man aus dem Mittelpunkte A die Bogen 10, 20 und 11, 19, Fig. 87; aus dem Mittelpunkte B die Bogen 11, 19 ; 12, 18, Fig. 88; aus dem Mittelpunkte C, die Bogen 12, 18; 13, 17, &c., Fig^ 89, und trâgtdie Darstellung des Umkreises, wovon 10, 20, Fig. 86 der Durchmesser ist, auf den Bogen 10,20 , Fig, 87; und auf den Bogen
  - Aftei' having lengtïiened indefîmtely thé diameter, and displayed the fourth part of the circumferencd on each part of that prolongation, divide each prolongation into fiveequal parts ; and, by each division, bring as many parallei fines to the diameter ; transfer1 twenty successive times on the prolongation of the diameter the display of the arc, or at least the cord of one of the divisions of the circumference, for instance 10, 9, to a, b, c,d, &c. ; and by the middle of each of the divisions thus established, draw the perpendicular fines 15,5; 15,5, &c.
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  - Divide afterwards by an intermediary radius thé sector 10 e 9 into two equal parts, and, taking the half of the arc of the first concentric circle in a in the plan, bring it to the display on the two first parallels on each part of each perpendicular in n and r, r and q, q and p, p and 0, &c. Take also the half of the arc of the sector at the second concentric circle of the plan in b, and carry it in the display on the two second parallels on each part of each perpendicular in 12 and s, s andf, s and t, &c. Aftef having done the same for the arc ôf the same sector belonging to*e$ch concentric circle of the plan, draw a curve through each point thus found on each side of each perpendicular ; it will resuit as many equal surfaces, of a form nearly alike that of a spindle, and each of which will be a sériés of tra-peziums diminishing from the middle and ending by a triangle at each extremity, and which, when folded so that they may be every where contiguous to each other, will form a polyedron which might be called melon-like, and the more Iike a sphere as there will be a greater number of primitive divisions used* The same letters appïied to the same objects will show how a part of the display, Fig. 84, is appïied to the volume Fig. 82.
  - 49. 2>° Dispïaymg of the sphere by zones. Fig. 85, 86,87, 88, 89, 90 and 91.
  - That figure présents the élévation of a sphere where, after having indefinitely prolonged in A the axis 5, 15, we hâve divided the circumference of the great circle into twenty equal parts, and drawn perpendicularïy to the axis, by the corresponding divisions, the horizontal fines representing the sections of the five maimed cônes for each of the hémisphères. One has drawn afterwards, by each pair of continued divisions of one hemisphere, 10, 15, 20, the prolonged cords 10, 11 A; 11, 12 B, &c., which, by their intersections on the axis, hâve given in A, B, C, D, the summits of each cône ; so that one needs only now to take successively those last points as centers, to describe from each as center two indefinite arcs, having for origin the two points which hâve determined each of the apothems, and to fix the length of each of those two arcs, equal to the dispïay of the circumference of the circle which is the basis of the cône represented by it. For instance, from the center A hâve been described the arcs 10,20, and 11, 19, Fig. 87; from the center B, the arcs 11,19;12,18, Fig. 88; from the center C, the arcs 12, 18 ; 13,17, &c. Fig. 89 ; and the display of the circumference whose 10, 20, Fig. 86, is the diameter, has been brought over the arcs 10, 20, Fig. 87; and on the arc 11,19, Fig. 88, the display of the circumference whose 11, 19, Fig. 86, is the diameter : on the arcs 12, 18; 13, 17; 14, 16, Fig. 89, 90, 91, the displays ofthe respective cir-cumferences whosediameters are 10,20; 11, 19; 12,18 ; 13,17, and 14, 16, Fig. 86. We hâve had
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- - développement latéral de chacun des cinq cônes tronqués destinés à représenter i’hémisphcre 10, 15,20. On s’est borné à moitié de ces développemens dans ïa figure, pour y éviter la grande extension et ïa confusion, qui seraient résultées du développement entier.
  - Les Fig. 85 et 86, annexées l’une à l’autre, font voir le procédé propre à représenter en plan et en élévation le solide polyèdre qui résulte du développement précédent, quand on a opéré le reploiement de chacune de ses parties. La Fig. 85 est le plan d’un des hémisphères divisé de la même manière, et présentant, parles cercles concentriques, les bases de chacun des cônes tronqués ; et par les rayons convergens, les arêtes A 10, B 11, transformant chacun des cônes tronqués en une pyramide tronquée à vingt faces latérales ; en sorte que les intersections de chaque rayon par les diverses circonférences dans la Fig. 85, étant renvoyées, par des parallèles à l’axe, sur les horizontales 10,*20 ; 11, 19 ; 12,18, &c. de la Fig. 86 de l’élévation, y donnent, par leurs intersections en d o nfmlÔ, les points de passage de l’arête polygonale qui lui correspond, et donnent ainsi le moyen de représenter exactement tous les trapèzes dans lesquels on a divisé la surface sphérique. Les mêmes caractères littéraux et numériques, appliqués aux mêmes parties dans ïa Fig. 86 et dans les Fig. 87, 88, 89, 90 et 91, montrent comment chacune des parties de ces dernières s’applique sur le volume Fig. 86.
  - 50. Des portions de voûte sphérique, appelées en architecture cul-de-four, niche cintrée, ont encore reçu le nom de calotte, par les praticiens qui les exécutent en bois. Si l’on suppose un quart de sphère dans lequel on a retranché un autre quart de sphère, mais d’un rayon plus court, le volume restant est une calotte, Fig. 92 et 94. Les deux coupes Fig. 93 et 95 montrent deux sortes de constructions.
  - l.° Quand la calotte est construite comme le montre la Fig. 9.2, on l’appelle calotte en côte de melon; si on la suppose divisée par un plan dont ïa ligne C G est la trace, la partie du côté de A montrera une figure semblable à celle Fig. 93, quon nomme coupe ; et les rayons ck, cm,co, cq, indiquent les joints des cinq morceaux de bois chan-ïatés qui entrent dans la composition de cette calotte. Nous faisons remarquer ici que deux cerces suffisent pour tracer tous les morceaux corroyés : le demi-cercle BFD sera celle de l’intrados, et la demi-ellipse AxE celle de l’extrados pour tracer les bords de la pièce avant le débiïïardement, tandis que A GE est celle dü déïardement à faire à chaque bord pour enlever les côtes.
  - Pour déterminer le volume de bois nécessaire à l’exécution de chaque pièce, après avoir tracé I2 quart de cercle cig avec le rayon CA de l’extrados, on le divise en autant de parties égales que ïa construction demande de pièces, et l’on mène une tangente g q au milieu d’une des divisions : le triangle g c q, formé par cette tangente et les deux rayons prolongés, est la coupe du volume nécessaire; c’est la moitié du rectangle g q r c. On le taille et on le recreuse intérieurement conformément à la cerce
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  - 11, 19, Fig. 88, die Darstellung des Umkreises, wovon 11,19, Fig. 86 der Durchmesser ist ; auf die Bogcn 12, 18; 13,17; 14, 16,Fig. 89, 90, 91, aber, die Darstellungen der respectiven Um-kreise, von denen 10,20; 11,19; 12,18; 13,17; und 14 , 16, Fig. 86 die Durchmesser sind. Auf diese Weise erhâlt man die ausgeführte einseitige Darstellung von jedem der fünf Aabgestumpften Kegel, welche die Haibkugel 10,15, 20 vorstellen. In dieser Figur ist bloss die eine Hâlfte der Kugel um deswïllen ausgeführt worden, weil die ganze Darstellung derselben eine zu grosse Ausdehnung und Vcrwirrung zur Folge gehabt hâtte.
  - Die Fig. 85 und 86 zeigen , auf welche Weise der Plan und Aufriss zu dem kôrperlichen Po-lyeder dargestellt werden müsse, welcher aus der vorstehenden Ausführung dann entsteht, wenn die Umbiegung der einzelnen Bestandtheile Statt gehabt hat. Die Fig. 85 enthâlt den Plan zu einer auf dieselbe Weise eingetheilten Haibkugel, bei welcher die concentrischen Zirkel die Grundflâchen der einzelnen abgestumpften Kegel, und die zu-sammenlaufenden Radii die Kanten A 10 , B 11, darstellen ; diese letztern verwandeln die abgestumpften Kegel in eine abgestumpfte zwanzigseitige Pyramide ; so dass die Punkte, an welchen sich ein jeder Radius mit den verschiedenen Umkreisen in Fin-. 85 durchschneidet, und welche vermittelst der mit der Axe parallel laufenden Linien auf die horizontalen, im Aufrisse Fig. 86 enthaïtenen Linien 10, 20; 11, 19; 12, 18 , u. s.w., gebracht worden sind, daseïbst vermittelst ihrer Durch-schneidung in donfm 15 die Punkte geben, welche die Richtung der polygonalen, mit jener Durch-schneidung correspondirenden Kante bezeichnen ; sie geben solchergestaït éin Mittel an die Hand, wodurch die sâmmtlichen ungleichseitigen Vier-ecke, in welche die Oberflàche der Kugel eingetheilt worden, auf eine genaue und bestimmte Weise dargestellt werden kônnen. Die gleichfôrmigè zu den namlichen Bestandtheilen sowohl in Fig. 86 aïs auch in den Fig. 87, 88, 89, 90 und 91 angewen-deten Buchstaben und Ziffern zeigen , wie ein jeder von dies m Theilen auf die in Fig. 86 enthaltene Zeichnug anzuwenden sey.
  - 50. Die Bestandtheile derjenigen Kugelgewôlbe, welche in der Baukunst Backofengewôlbe heissen, werden von den Baumeistern, welche solche aus Holz erbauen, auch mit dem Namen Plattmütze (Calotte) belegt. Denkt man sich ein Yiertel von einer Sphâre, von welcher ein anderes Viertel, dessen Radius jedoch kürzer ist, abgesondert worden, so istderübrigbleibendeKôrper eine Calotte, Fig. 92 und 94. Die zwei Durchschnitte Fig. 93 und 95, zeigen zwei Arten von Zusammensetzungen;
  - 1,° Ist die Calotte nach Maasgabe der Fig. 92 zusammengesetzt, so heisst sie eine melonenfôrmig gerippte Calotte. Nimmt man an, dass selbige vermittelst einer durch die Linie C G angedeuteten Flâche getheilt worden sey, so sehen wir in dem Theile welcher nach A zubefindlich ist, eine Figur, welche der in Fig. 93 enthalteuen âhnlich ist, und Kuppel genannt wird. Die Radii ck, cm, co, cq zeigen die Fugen , an denen die fünf Breterstücke, aus welchen diese Calotte mit zusammengesetzt ist, an einander angefiigt sind. Wir bemerken hier, dass zur Vorstellung sâmmtïicher mit einander ver-bundener Hôïzer zwei Zeichnungen erforderlich sind : der Halbzirkel BFD ist nâmli.ch für die in-nere, und die halbe Ellipse AxE für die âussere Bogenseite, wonach die Randseiten des Holzes noch vor dem Behauen gezeichnet werden , wâhrend AGE die Zeichnungist, nach welcher die Kanten an jeder Randseite abgestossen werden.
  - SoII die Dicke des dabéi anzuwendenden Holzes bestimmt werden, so zeichnet man zuerst das Zirkel-vierteï ci g an der âussern Bogenseite ; und giebt ihm den Radius CA; theilt dasselbe sodann in eben so viel gleiche Theile aïs Hôïzer zur Zusammensetzung erfordert werden, und zieht einen Tangent gq in der Mitte der einen Theilung ; worauf sodann der von diesem Tangent und den zwei verlângerten Ra-diis gebildete Trjangel gcq der Durchschnitt zur erforderlichen Dicke seyn wird, welches die Hâlfte
  - thus the latéral dispïay of each of the five maimed cônes designed to represent the hemisphere 10,15, 20. We havebeen satisfied with haïfof those displays in the figure, to avoid the great extent and confusion, which would hâve resulted from the whole display.
  - The Fig. 85 and 86, pinned together, $how the convenient proceeding to represent in a plan and in élévation the solid polyedron resulting from the preceding display, after the folding of every part of it. The Fig. 85 shows the plan of one of the hemi-spheres divided in the same way, and presenting, by the concentric circle, the base of each maimed cône; and by the convergent radii, the edges A10, B 11, changing each maimed cône into a maimed py-ramid with twenty latéral faces ; so that the intersections of each radius bv the various circumferences in the Fig. 85, being trqnsferred, by the parallels to the axis, on the horizontal lines 10, 20; 11,19; 12, 18, &c. of the Fig. 86 of the élévation, give there, by their intersections in âonfm\5, the points of passage of the polygonal edge which corresponds to it, and give thus the means of representing exactly ail the trapeziums in which the spherical surface has been divided. The same literal and numeric charac-ters, applied to the same parts in the Fig. 86 and in the Fig. 87, 88,89, 90, 91, show how each part of those is applied to the volume Fig. 86.
  - 50. The portions of spherical vaults, caïled in architecture hottom of an oven, arched nich, hâve been also caïled calotte by the carpenters. If you suppose a quarter of a sphere from which has Been abstracted another quarter of a sphere, but of a shorter dimension, the rest of the figure is a calotte, Fig. 92 and 94. The two sections Fig. 93 and 95 show two sorts of construction.
  - 1.° When the calotte is made as in the Fig, 92, it is caïled calotte like a s lice of melon; if, by supposition, we divide it by a plane whose line CG is the trace, the part of the side A will show a figure like that caïled a cup, Fig. 93, and the rays ck, c m, c o, c q, indicate the joints of the five pièces of timber-Iath which enter into the composition of that calotte. We beg here to remark that two cerces are sufficient to trace ail the shaved pièces : the haif circle BFD will be that of the intrados, and the haif ellipsis AxE that of the extrados to trace the edges of the piece before the arching, whilst AGE is the cerce of the shaving wanted at each edge to take aways the coasts.
  - To determinate th^ bulk of timber necessary for the execution of each piece, after having traced the quarter of circle cig with the line CA of the extrados, we divide it in as many equal parts as there are pièces wanted for the construction, and we draw a tangent g q to the middle of one of the divisions : the triangle gcq, formed by that tangent and the two prolonged radii, is the section of the volume wanted; it is the haif of the rectangle g q rc. We hâve it eut and grooved in the interior, according
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- - 11F D, appliquée dans les deux sens : mais, pour Intérieur, on fait d’abord le chantournement selon les deux traces demi-circulaires, au moyen de la cerce elliptique AxE; puis on fait le débillardement conforme à la cerce circulaire g q.
  - 2.° On la nomme calolte à joints horizontaux, lorsqu’elle est composée de courbes jointes par assises, Fig. 94. Toutes les cerces pour tracer lesdites courbes sont aussi des demi-cercles, dont on trouve les rayons ci, dk, dj, em, e l, &c., sur la coupe Fig. 95. L
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  - SECTION III.
  - Des Projections.
  - 51. Les plans et les élévations, dont fusage est si fréquent et si indispensable dans le dessin de far-chitecture, sont proprement des projections d’un objet sur deux plans censés perpendiculaires entre eux. La pratique n’en peut donc être facile, sûre et avantageuse, qu autant quelle est basée sur une connaissance méthodique des projections. Mais Fart des projections, qui est la partie géométrique de toutes les branches du dessin, exige la considération d’un troisième plan que Ton suppose habituellement perpendiculaire à chacun des deux sur lesquels on veut représenter l’objet matériel proposé. C’est que le moyen le plus simple de déterminer la position d’un objet dans Iespace, est de le rapporter à trois plans disposés rectangulairement entre eux. Ainsi l’on déterminerait clairement et avec précision la position d’un point quelconque a, pris dans l’intérieur d’un cube AF, Fig. 96, en désignant les distances perpendiculaires a a', a a, a b, auxquelles il se trouve par rapport aux trois faces contiguës AD, D G, B F de ce cube. On en pourrait dire autant de tout autre point d placé dans le même cube/de la ligne ad qui joindrait ces deux points, d’une surface sur laquelle se trouverait cette ligne, et du solide auquel appartiendrait cette surface.
  - Mais, dans le dessin de l’architecture, on se dispense toujours d’exprimer la considération de ce troisième plan perpendiculaire aux deux autres, et l’on y supplée ou par le bord du dessin/quand il est perpendiculaire à l’intersection CefD des deux autres plans,, ou par une ligne perpendiculaire à cette intersection, que Ton mène exprès vers le milieu du dessin, que les praticiens appellent F axe de l’objet, et qui devrait plutôt être nommée axe du dessin.
  - 52. Problème. Connaissant la distance d’un point a, Fig. 96, à trois plans, X, Y, Z, rectangulairement contigus les uns aux autres, trouver les projections de ce point sur deux des trois plans.
  - Observation. Dans la Fig. 97, on s’est conformé à l’usage qui est adopté généralement, à cause de sa commodité, de supposer que les deux plans Y et Z de la Fig. 96 ont été renversés et couchés sur le
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  - plan horizontal X, par un mouvement de quart de cercle en dehors, exécuté sur leurs communes intersections, considérées comme charnières ; en sorte que C H, Fig. 97, est l’intersection du plan horizontal X, Fig. 96, par le plan vertical de face Y ; HD, Fig. 97, est celle du même plan horizontal avec le vertical de gauche Z, Fig. 96 ; et H B,
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  - des rechlwinkeligen Vierecks gqrc ist. An der in-nern Scite wircl clas Stiick nach Maasgabe der Lehre B ED, weïche auf beide Seiten anwendbar ist, aus-geschnitten und ausgehohlt. Was aber die aussere Seite anbetrifft, so werden die Kanten zuvorclerst nach Maasgabe der beiden halbzirkelfôrmigen Zeich-nungen vermitteïst des elliptischen Lehrbogens-’ AxE ausgeschweift, und die schrâge Bearbeitung derselben nach dem zirkelfôrmigen Bogen gq aus-geführt.
  - 2.° Dieses Gewôlbe heisst Calotte mit horizon-talen Fugen dann, wenn solches nach Maasgabe der Fig. 94 aus schichtweise mit einander Verbundenen Bogen zusammengesetzt ist. Die sâmmtlichen zur Zeichnung der gedachten Bogen dienenden Lehren sind ebenfalls Halbzirkeï, deren Radii ci, dk, dj, em, el, &c., man auf dem Durchschnitte in Fig. 95 findet.
  - DRITTER ABSCHNITT.
  - Von den Projectionen.
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  - 51, Die Grund- und Aufrisse, von denen, ihrer Wichtigkeit wegen, bei architectonischen Zeich-nungen èin so hâufiger Gebrauch gemacht wird, sind eigentlich wahre Projectionen, weïche einen Gegen-stand auf zwei unter sich perpendicular angenom-menen Flâchen vorstellen. Man wird sich folglicf} in der Praxis nur dann einen leichten, sichern und glücklichen Erfolg versprechen kônnén, wenn die-selbe auf eine methodische Kenntniss dieser Projectionen gegründet ist. Diese Wissenschaft aber, weïche bei allen Gattungen der Zeichenkunst den geometrischen Theil derselben ausmacht , erfordert bei ihrer Anwendung noch einen dritten Plan, von dem man annimmt, dass er sich mit den beiden andern , auf denen der fragliche Gegenstand darge-stellt werden soll, in bestândig perpendicularer Richtung befindet. Soll also in einem Raume der Standpunkt eines Gegenstandes bestimmt werden , so braucht man diesen Gegenstand bïoss mit drei rechtwinkelig mit einander verbundenen Flâchen in ein Verhâltniss zu bringen. Diesem zufolge liesse sich der Standpunkt des beliebigen Punktes a, welcher im Innern eines Würfels AF, Fig. 96 ge-nommen wâre, atif eine leichte und bestimmte Weise dadurch ausmitteln, dass man die perpendicularen Abstânde a a', a a, ab bezeichnet, von denen sich dieser Punkt gegen die drei anstossenden Wïirfel-seiten AD, DG, B F entfernt befindet. Dieselbe Verfahrungsweise kônnte auch bei jedem andern in demselben Cubus befmdlichen Punkte d, so wie bei der Liniead, wodurch diese beiden Punkte verei-nigt werden, wie nicht minder bei derFIâche, auf welcher sich diese Linie befindet, so wie endlich bei dem Kôrper, zu welchem diese Flâche gehôrt, auf die nâmliche Weise angewendet werden.
  - : Bei den zu fertigenden architectonischen Zeich-
  - ’ nungen aber, lasst man diesen dritten Plan ge-wôhnlich unbeachtet, und nimmt dafür entweder den Rand der Zeichnung, wenn solcher mit CefD,
  - , wo die zwei andern Plane sich durchschneiden, perpendicular ist, oder man nimmt eine mit diesem Durchschnitt perpendicular ïaufende Linie, weïche man absichtlich nach der Mitte der Zeichnung zieht. Man nennt diese Mitte gewôhnlich die Axe desdar-zustellenden Gegenstandes : besser aber wâre es, wenn man sie die Axe der Zeichnung nennte.
  - 52. Problem. Nachdem man den Abstand eines ' in Fig. 96 gegebenen, und mit den drei rechtwinkelig einander berührenden Flâchen X, Y, Z, im Verhâltniss stehendên Punktes, kennt ; wie findet man die Projectionen dieses Punktes auf zwei von diesen drei Flâchen ?
  - Anmerkung. Bei der Darstellung der Fig. 07ist die gewôhnliche, wegen ihrer Bequemlichkeit allge-mein angenommene Verfahrungsweise befoïgt wor-den, weïche darin besteht, dass mann anpimmt, aïs ob die beiden Plâne Y und Z Fig. 96, ver-mittelst einer auf ihren gemeinschaftlichen Durch-schneidungen nach aussen zu Statt gehabten schar-nierfôrmigenBewegung eines Zirkelviertels, auf den horizontalen Plan X herabgezogen worden wâreïi : solchergestalt ist CH, Fig. 97, der vermitteïst des verticalen Vorderplans Y, Fig. 96 , Statt ge-
  - to the cerce B FD, applied on the two sides : but, for the exterior, we first eut the wood in a profile with a sweep according to the two semi-circular traces, by the means of the elliptic cerce AxE, and we fashion both edges according to the circulai* cerce gq. >
  - 2.° They call it calotte ïvith horizontal joint, when it is composed with curves joint by courses, Fig. 94. AH the cerces used to trace the said curves are also half circles whose radii ci,dk,dj, em, e l, &c-., are found on the section Fig, 95,
  - SECTION IIL >
  - 4P Of Projections.
  - 51. The jihns and élévations, the use ofwhicb is so frequent and indispensable in architectural drawing, are properly projections of an object upon two planes considered perpendicular to each other» The practice of it can therefore be easy, sure and advantageous, only as far as it is founded on a me-thodical knowledge of projections. But the art of projection, which is the geometrical part of ail the different sorts of drawing, requires the considération of a third plane, which is sUpposed perpendicular to each of the two on which it is intended to repre-sent the proposed material object. Because the most simple means of determining the position of an object in a given space, is to refer it to three planes placed at right angles with each other. Thus might we détermine clearïy and with précision the position of any point soever a, taken within the cube AF, Fig. 96, by marking the perpendicular distances aa',ad,ab, at which it stands with respect to the three contiguous planes of this cube, AD,DG, B F. The same might be said also of any other point d within the same cube, of the line ad which joins these two points a and d, of the plane which stands on this line, and of the solid to which that plane belongs.
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  - But, in architectural drawing, the actual représentation of this third plane perpendicular to the two others, is always dispensed with ; and the want of it is supplied either by the boundary of the figure, when it is perpendicular to the intersection CefD of the two other planes ; or by a line perpendicular to that intersection, which is drawn for that purpose towards the middle of the figure, which the artists call the axis of the object, but which should rather be named the axis of the figure.
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  - 52. Problem» Knowing the distance of a point a, Fig. 96, from three planes X, Y, Z, joining each other at right angles, to find the projections of this point on two of the three planes.
  - Observation. In Fig. 97, we hâve conformed to the practice generally adopted on account of its con-Venience, of supposing that the two planes Y and Z of Fig. 96 hâve been laid down on the horizontal plane X, by a movement of a quarter of a circle, performed outwardly, on their common intersections, as though on hinges : in such manner, that ÇH, Fig. 97, is the intersection of the horizontal plane X, Fig. 96, by the vertical plane Y ; HD, Fig. 97, is the intersection of the same horizontal plane with the vertical Z, on the left, Fig. 96; and
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- - Fig. 97, est; l'intersection commune des deux plans verticaux Y, Z, Fig. 96; et que le plan Z, Fig. 96, est rabattu dans la Fig. 97, l.° en Z, sur le plan horizontal X, et 2.° emZ', sur le plan vertical do face représenté en Y,
  - Solution. Sur le plan où vous voulez avoir ï& projection du point proposé a, menez deux lignes respectivement parallèles aux traces des deux autres plans, et chacune à une distance égale à celle où le point a est du plan à la trace duquel celle que vous menez est parallèle. Leur intersection donnera sur ce plan la projection du point proposé.
  - Par exemple, sur le plan horizontal X, Fig. 97, menez e' a' parallèle a B D, et écartée de B Dde la quantité dont le point proposé a est supposé éloigné du plan Z; menez de même oa' parallèle à CH, et écartée de C H de la quantité Ê o dont a est supposé éloigné du plan Y ; le point tÇ, intersection de ces deux lignes, sera la projection horizontale du point proposé a. Sur le plan vertical Y menez e' a parallèle à BD, et écartée de BD comme a l’est du plan Z ; puis o' a parallèle à CH, et écartée de CH de la quantité dont a est élevé au-dessus du plan horizontal X : le point a, intersection de ces deux dernières lignes, sera de même la projection verticale du point proposé a.
  - Ce procédé devient évident par la seule inspection de la Fig. 96, où Fon voit aussi pourquoi les deux projections a', a du même point a, se trouvent nécessairement sur une même ligne a' e a, perpendiculaire à la commune section C H de s deux plans. Cette propriété donne beaucoup de facilité pour trouver l’une des projections quand on a Fautre : c’est ce que les dessinateurs appellent renvoyer un point du plan à l’élévation, ou de l’élévation au plan.
  - 53. Problème. Connaissant la position respective de deux points d’une ligne par rapport à trois plans rectangulairement contigus, trouver les projections de cette ligne sur deux de ces plans.
  - SOLUTION. II suffit pour cela de trouver les deux projections de chacun des points donnés ( n.° 52 ), et de joindre par une ligne les deux projections qui sont sur le même plan. Car il est évident que toutes les perpendiculaires menées des divers points de la ligne proposée au même plan de projection, forment un plan unique, dont Fintersectidn avec ce plan de projection ne peut être qu’une ligne droite, passant par les projections des deux points donnés, lesquelles existent déjà sur ce plan ; pour s’en convaincre, il suffit de jeter les yeux sur la Fig. 96.
  - Scholie. On trouverait de même lès projections d’une surface par celles des lignes qui en forment le contour; et celle d’un solide, par les projections des surfaces qui le terminent.
  - . 54. Problème. Connaissant les deux projections a d, a' d', Fig. 97, d’une même ligne a d, Fig. 96, trouver la grandeur de cette ligne ad.
  - Solution. Sur l’extrémité de la projection horizontale a' d', Fig. 97, si l’on élève la perpendiculaire indéfinie d'g, que par les extrémités a, d de la projection verticale a d on mène a g parallèle, et d g perpendiculaire à l’intersection commune CH, et qu’on porte d g de d'en g, on aura dans la ligne a' g la longueur de la ligne proposée a d.
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  - habte Durchschnitt des horizontaïen Plans X ; I1D, Fig. 91 der Durchschnitt des nâmlichen horizontales; Plans vermittelst des linken verticalen Plans Z, Fig. 96; und IIB, Fig. 97, ist der gemeinschaft-liclie Durchschnitt der beiden verticalen Plane Y, Z, Fig. 96; auch ist solchergestalt ferner der Plan Z, Fig. 96, in der Fig. 97, l.° bei Z, auf den hori-zontalen Plan X, und 2.°, bei Z, auf den verticalen Vorderpïan Y , umgeïegt worden.
  - ÂUFLÔSUNG. Man ziehe aufdem Plane wo die Projection des aufgegebenen Punktes a geschehen soll, zwei mit den Linien der beiden übrigen Plane parallel iaufende Linien , und zwar eine von der andern so weit entfernt, aïs es der Punkt a von den Plane ist, mit dessen Linie die gezogene parallel ist, worauf der Punkt, wosich dieselbendurchschneiden, die Projection des fraglichen Punktes geben wird.
  - Man ziehe z. B. auf dem horizontaïen Plane X, Fig. 97, e' a' parallel mit BD, und zwar von die-sem Ietztern so weit entfernt aïs es der gegebene Punkt a von der Flache Z ist ; ziehe ferner o a' parallel mit CH, und von diesem Ietztern in dem Ab-stande Ho enfernt, welches die Entfernung des Punktes, a von den Plan Y betrâgt ; worauf der Punkt a', an welchem sich diese beiden Linien durchschneiden, die horizontale Vorsteïlung des ge-gebenen Punktes a seyn wird. Auf dem verticalen Plane Y, ziehe man e' a parallel mit B D, und führe diese Linie von BD so weit entfernt, aïs a vom Plane Z ist; ferner ziehe man o' a parallel mit CH, in derselbenEntfernung von CH, in welcher a über dem horizontaïen Plane X steht ; der Punkt a, an welchem diese^ beiden Ietztern Linien sich durchschneiden, wird sodann ebenfalls die verticale Vor-stellung fur den gegebenen Punkt a seyn.
  - Man braucht bloss einen Blick auf die Fig. 96 zu werfen , um sich von der Richtigkeit dieses Ver-fahrens zuüberzeugen; aus der namlichen Figur er-giebt sich auch, warum die beiden Projectionen a', a, des namlichen Punktes a, sich nothwendiger-weise auf einer und derselben Linie a! e a, befmden ; welche letztere Linie mit dem zu beiden Plânen ge-hôrenden Durchschnitte C H perpendicular lâuft. Durch diese Verfahrungsweise wird, wenn man die eine Projection bereits kennt, die Ausmittelung der andern sehr erleichtert. Die Messkundigen nennen dieses einen Punkt aus dem Grundrisse in den Auf-riss, oder aus dem Aufrisse in den Grnndriss über-tragen. I t
  - 53. Problem. Kennt man den respectiven Standpunkt der beiden auf einer Linie befindlichen, und mit drei rechtwinkelig einander berührenden Flâchen im Verhâltniss stehenden Punkte ; wie fin-det man die Projectionen dieser Linie auf zwei von diesen Flâchen ?
  - AuflôSUNG. ’Hiezu braucht man bloss die beiden Projectionen von jedem der gegebenen Punkte (N.° 52) zu finden, und die beiden auf der namlichen Flache befindlichen Projectionen durch eine Linie zu vereinigen ; und zwar um so mehr, da die sâmmtlichen aus verschiedenen Punkten der gegebenen Linie nach dem namlichen Projections-plane geführten Perpendicularlinien eine einzige Flache bilden, deren Durchschneidung mit jener Projectionsllâche bloss eine gerade Linie seyn kann, welche durch die bereits schon auf dieser Flache vorhandenen Projectionen der beiden aufgegebenen Punkte geht. Man wird sich von der Wahrheit des hier gesagten überzeugen, wenn man einen Blick auf die Fig. 96 wirft.
  - Anmerkung. Eben so fânde man die Projec-tionen'einer Flache aus den Linien welche den Um-kreis dieser Flache bilden, so wie auch die eines Kôrpers, aus den Projectionen der Flâchen welche ihn ausmachen.
  - 54. Problem; Kennt man die beiden Projectionen ad, a 'd', Fig. 97, einer und derselben Linie a d, Fig. 96; wie fmdctman die Grosse dieser Linie ad?
  - AüFLÔSUNG. Wenn man am Ende der hori-zontalen Vorsteïlung a'd', Fig. 97, die unbe-stimmte Perpendicularlinie d'g aufrichtet , und durch die Enden a, d, der verticalen Vorsteïlung ad, die Linie a g mit der gemeinschaftlichen Durchschnittslinie C H parallel, und dg mit derselben perpendicular zieht, so’wie ferner dg von d'
  - H B, Fig, 91, is the common intersection of the two vertical planes Y, Z, Fig. 96; and that the plane Z, Fig. 96, is twice laid down in Fig. 97, l.° in Z, with respect to the horizontal planeX, and 2.° in Z', with respect to the vertical plane Y.
  - SOLUTION. On the plane on which you wish to hâve the projection of the given point a, draw two Iines respectively parallel to the traces of the two other planes, and each at the same distance from it as the point a is from that plane to the outline of which the drawn line is parallel. Their intersection will give upon this plane the projection of the given point.
  - For instance, upon the horizontal plane X, Fig. 97, draw e'a' parallel to BD, and at the same distance from B D as a is from the plane Z ; draw in Iike manner oa' parallel to CH, and at the same distance from CH as the point a is from the plane Y : the point a', where these two Iines intersect, will be the horizontal projection of the given point a. Upon the vertical plane Y, draw e' a parallel to BD, and at the same distance from BD as the given pointais from the plane Z ; then draw o' a parallel to C H, and at the same distance from CH as the given point a is raised above the horizontal plane X : the point a, where these two Iines intersect, will be the vertical projection of the given point a.
  - This is évident from the bare inspection of Fig. 96, where we see also why the two projections a', a of the same point a are necessarily in the same line a1 e a, perpendicular tothe common section CII of the two planes. This property gives great facility for finding one of the projections when the other is known : it is what draughtsmen call transferring a point from the horizontal plane to the élévation, or from the élévation to the horizontal plane.
  - 53. Problem. Knowing the position of two points of a line respectively with regard to three planes joined to each other at right angles, to find the projections of this line upon two of these planes.
  - SOLUTION. For this, it suffices to find the two projections of each of the given points (n.r52),and to join by a line the two projections which are on the same plane. For it is évident that ail the perpendi-culars drawn from the different points of the given. line to the same projections plane, form a simple plane, the intersection of which with the projections plane can be only a right line, passing by the projections of the two given points, which already exist on that plane ; to be convinced of which, it is enough to look at the Fig. 96.
  - Scholion. In the same way might be found the projection of a surface by those of the fines which form its outïines ; and that of a soïid, by the projections of the surfaces which bound it.
  - 54. Problem. Knowing the two projections ad, a'd', Fig. 97, of the same line ad, Fig. 96, to find the length of this line ad.
  - SOLUTION. If, on the extremity of the horizontal projection a'd', Fig. 97, the indefinite perpendicular d'g is drawn ; by the extremities a, d ofthe vertical projection ad, orie draws «g1 parallel, and dg perpendicular to the common intersection CH, and if one brings d g from d'to g, one will hâve in the line a'g the length of the said line ad.
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- - Démonstration. Si, clans lé cube Fig. 96, on imagine un plan vertical passant par a d, et dont la trace horizontale sera a' cl'j et un autre plan vertical perpendiculaire au vertical de projection Y, passant par le point d, et dont la trace verticale sera f J; et enfin un troisième plan horizontal passant par le pointa, et dont la trace verticale sera a g : la ligne cherchée â d se trouvera l’hypoténuse d’un triangle rectangle vertical, dont la base sera l’intersection du premier plan par le troisième, intersection nécessairement égale à a' d', et dont la hauteur sera la portion de l’intersection du premier plan par le deuxième, qui se trouvera comprise entre le troisième plan et le point d, portion qui est nécessairement égale à d g. Donc l’hypoténuse a'g est rigoureusement égale à la ligne proposée a d.
  - Scholie. On trouverait le même résultat, si l’on opérait sur le plan vertical de projection Y, Fig. 97, en y élevant la perpendiculaire d g à la ligne a d, et y portant de d en g la différence cl' i des distances respectives de a1 et de cl' à la commune intersection Cil ; l’hypoténuse a g' donnerait la longueur de ad.
  - 55. Théorème. Si un cercle AD B, Fig. 98, est oblique au plan de description a F B C, sa projection sur ce plan sera une ellipse a d B.
  - Démonstration. Dans le carré horizontal aFBC, vu en perspective, soit le quart de cercle ad B, et supposons qu’en tournant sur son rayon CB il se soit placé dans la position A D B, élevée selon l’inclinaison mesurée par l’arc a A ou d D. Si sur le plan C F on projette les points A, D, par les verticales A a, D d; qu’on mène perpendiculairement à BC les droites AC, DE, aC, dE, les triangles A C a, DE d, seront semblables, étant rectangles en a et d, et ayant leurs angles C et E égaux, puisque c’est l’inclinaison du plan du cercle A D B sur le plan CF. Ainsi aC : AC : : JE : DE; et puisque A C=a C et D E=d E, on a a C : a C : : d E : cl E. Donc, dans la courbe ad B qui résulte de la projection des points du cercle AD B, les ordonnées au clemi-cliamètre C B sont proportionnelles à celles du cercle AD B ou a d B. Cette projection est donc une ellipse.
  - Scholie. On aurait une démonstration immédiate de cette vérité en considérant le cercle générateur d’un cylindre oblique : car sa projection sur un plan perpendiculaire h l’axe du cylindre, laquelle n’est autre chose que la coupe du cylindre faite perpendiculairement h l’axe, est évidemment une ellipse.
  - Corollaire. l.° II suit de ce théorème que la projection d’une ellipse est une ellipse aussi, mais qui peut être ou plus alongée ou moins alongée que la primitive, tellement quelle serait un cercle dans une certaine position, et une ligne droite si les lignes de projection faisaient un angle infiniment aigu avec le plan de la courbe.
  - 2.° On peut conclure du scholie que les projections des paraboles et des hyperboles sont nécessairement aussi des courbes de même espèce, mais seulement plus ou moins alongées ou raccourcies, suivant le plus ou le moins d’obliquité du plan de description : car les lignes de projection, étant multipliées à l’infini, formeraient un corps cylindrique qui aurait pour base ou une parabole ou une hyperbole, puisque la courbe primitive serait une section de ce cylindre.
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  - 56. Théorème^ Lorsque le plan d’une courbe est parallèle aux lignes par lesquelles on en fait la 3.1 Partie.
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  - j nach g fülvrt, so erhalt man in der Linie a'g die Lange der gegebenen Linie a d.
  - Beweis. Denkt man sich in dem Würfel Fig. 96 einen verticalenPlan, welcher durch ad geht, und dessen horizontale Yorstellung a' d'ist ; denkt man sich ferner einen àndem verticalen Plan , welcher mit dem verticalen Projectionsplane Y perpendi-cularist, und durch den Punkt d geht, und dessen Verticale Yorstellung f d, ist • deiikt man sich endlich einen dritten horizontalen Plan, welcher durch den Punkt a geht> und dessen verticale Yorstellung a g ist ; so bildet die gesuchte Linie a d die Hypothenuse eines verticalen rechtwinkeïigen Dreiecks, dessen Basis der Punkt ist, \Vo sich der erste Plan mit dem dritten durchschneidet Avelches mit a'd' nothweit-. dig gleich ist, und dessen Hôhe derjenige Theiï von der Durchschneidung des ersten Plans mit dem zweiten ist , welcher sich zwischen dem dritten Plane und dem Punkte d befindetj So dass dieser Theiï nothwendigerweise mit cl g gleich ist. Diesém zufolge ist die Hypothenuse a'g der gegebenen Linié ad unverkennbar gleich.
  - A nmerkung. Dasselbe Résultat ergabe sich, wenn man die Operation auf dem verticalen Projectionsplane Y, Fig. 97 vornàhme, und darauf die mit ad, perpendiculare Linie dg aufrichtete, und daselbst von d nach g' den Unterschied d'i der von dem gemeinschaftlichen Durchschnitte CH enfernten Distanzen a' und d'brachte ; die Hypothenuse a g gabe sodann die Lange von a d.
  - 55. Theorem. Wennein Zirkel AD B, Fis. 98 auf dem allgemeinen Plane aFBC schrag ist, so wird die Vorstellung desselben auf diesem Plane eine Ellipse a JB beschreiben.
  - Beweis. Bei clem horizontalen, perspectivisch dargestellten QuadrataFBC, nehmenwirdas Zir-kelviertel a d B an, und stellen uns vor, dass selbiges beim Drehen um seinen Radius CB, die Stellung A D B angenommen habe, deren Hôhe die Grosse clés Bogensa A oder dD betragt. Zeichnet man sodann auf dem Plane CF die Punkte A, D, durch die verticalen Linien A a, DJ, und zieht die geraden Linien AC, DE,aC, dE, mit B C perpendicular, so werden die Triangel AC a, DE J um deswillen ahnlichseyn ,weil sie in a und J rechtwinkelig sind, und auch ihre Winjkel C und E gleichfôrmig sind ; in-demdieses die Neigungdes Zirkelplans ADB auf den Plan CF ist. Diesem zufolge ist a C : A C : : JE : DE. Und da AC=aC und DE = dE, so erhalt man «C : aC : : JE : dE. Bei der krummen Linie ad B, welche aus der Zeichnung der Zirkelpunkte ADB entsteht, stehen folglich die Ordinaten im halben Durchmesser CB mit den des Zirkels ADB oder ad B in einem gewissen Verhâltnisse. Diese Projection ist diesem zufolge eine Ellipse.
  - Anmerkung. Einen unmittelbaren Beweis dieser Wahrheit erhalt man dann, wenn man den Zeuge-zirkel eines schragen Cylinders untersucht ; denn die auf einem mit der Axe des Cylinders perpendicular gehenden Plane gemachte Projection desselben ist weiter nichts, aïs der mit der Axe perpendicular gehende Durchschnitt des Cylinders, und also eine vollkommene Ellipse.
  - Folgesatz. l.° Aus diesem Theorem fo!gt,dass die Projection einer Ellipse ebenfalls eine Ellipse ist, welche aber theils langer theils kürzer seyn kann aïs die eigentliche Ellipse ; und zwar dergestalt, * dass sie unter gewissen Umstanden ein Zirkel oder auch eine gerade Linie seyn kann, wenn nâmlich die Pro-jectionslinien mit dem Plane der krummen Linie einen unendlich spitzigen Winkel bilden.
  - 2.° Aus der Anmerkung ergiebt sich, dass die Projectionen der Parabeln und Hyperbeln ebenfalls auch krumme Linien von derselben Gattung seyn müssen; dass sie aber, je nachdem der aïlgemeine Plan mehr oder minder schrag ist , langer oder kürzer sind aïs die eigentliche krumme Linie ; denn die Projectionslinien , welche ins unendliche ver-vielfacht werden kônnen, würden einen cylindrischen Kôrper bilden, welcher entweder eine Parabel oder eine Hyperbel zur Basis haben würde , indem die eigentliche krumme Linie ein Durchschnitt dieses Cylinders seyn würde.
  - 56. Theorem. Ist der Plan einer krummen Linie mit demjenigen parallel, auf welchem man
  - Démonstration. If, in the cube Fig. 96, one supposes a vertical plan passing by ad, whose horizontal trace shaïl be a' d'; and another vertical plan perpendicular to the vertical of projection Y, passing by the point d, whose the vertical trace shaïl be f J ; and at ïast a third horizontal plan passing by the point a, whose vertical trace shaïl bè a g ; the searched line a d will be found to be the hypoténuse of a vertical rectangular triangle, whose basis will be the intersection of the first plan by the third ; which intersection is necessarily equal to a' d', and whose height will be the portion of the intersection of the first plan by the second, which will be incïuded between the third plan and the point d, which portion is necessarily equal to J g. Therefore the hypoténuse a' g is exactly equal to the proposed line a d.
  - Scholion. One would’ obtain the same resuit, if one had operated on the vertical plan of projection Y, Fig. 97, in letting dovvn on it the perpendicular dg' to the line a d, and drawing in it from J to g' the différence d'i of the distances by perpendicular fines from a' and d'to the common intersection CH; the hypoténuse a g' would give the length of a d.
  - 55. Theorem. If a circïe ADB, Fig. 98, is oblique with regard to the plan of description aFB C, its projection on this plan will be an ellipsis «JB.
  - Démonstration. In the horizontal square aFBC, viewed in perspective, ïet be the fourth part of a circlè ad B, and ïet it be supposed that in turning «on its ray C B, it has been placed in the position ADB, drawn from at the height of the arc a A or d D. If on the plan CF one drops the points A,D, with the verticales A a, D J; if one draws perpendicularly to B C the right fines AC,DE, aC, dE, the triangles ACa, DE J, will bé alike, as being rectangle one in a and the other in J, and as having their angles C and E equal, since it is the inclination of the plan of the circïe A DB on the plan CF. Thus aC: AC: : JE : D E; and after AC=aC and DE=dE, we hâve also aC : aC : : JE : d E. Then, in the curve «JB which results from the projection of the points of the circïe ADB, the ordinates to the haïf diameter CB are proportional with those of the circïe ADB or ad B. This projection is then an ellipsis.
  - Scholion. This truth will be immediately de-monstrated by considering the circïe generative of an oblique cylinder : for its projection on a plan perpendicular to the axis of the cylinder, which is nothing eïse but the section of the cylinder made perpendicularly to the axis, is evidently an ellipsis.
  - Corollary. 1.° It foïïows from this theorem that the projection of an ellipsis is an ellipsis too, but which may be more or less lengthened than the former; so much so that it might be a circïe in a certain position, and a right line if the fines of projection made an extremeïy acute angle with the plan of the curve.
  - 2.° It may be concluded from the scholion that the projections of the parabolas and the hyperbolas are necessarily also curves of the same kind, but only more or less lengthened than the former, accord-ing to the greater or less obliquity of the plan of description : for the fines of projection, being infini-tely muïtipïied, would form a cyfindrical body whose basis would be a paraboïa or an hyperboïa, since the primitive curve would be a section of that cylinder.
  - 56. Theorem. When the plan of a curve is parallel to the fines by which the projection of it is
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- - projection ; dans quelque situation que se trouve ïe plan de projection, toutes les projections de cette courbe sont des lignes droites, dont les divisions faites par des parallèles menées de plusieurs points de la courbe, sont toujours en même proportion avec les abscisses coordonnées de cette courbe. Fig. 99.
  - Démonstration. l.° Dans le cas proposé, toutes les lignes de projection se trouvant dans le plan même de la courbe, il est évident quelles aboutissent toutes à la commune intersection du plan de la courbe avec le plan de projection, et que par conséquent toutes les projections qu’on peut faire de la courbe, sont des lignes droites.
  - 2." Soit l’ellipse ABCDA, projetée de cette manière sur deux plans dont les traces sont K L à l’intérieur, ou F G à l’extérieur de la courbe ; et a, b, c, ou a,b, c, des points quelconques de la s courbe projetés par des lignes quelconques parallèles entre elles en f, e, d, sur KL, et en/, e, d, sur F G. Les mêmes parallèles coupent l’axe A C et sa parallèle FII en g, h, i, et g, h, i. Or les triangles Xfg, Xeh, Xdi, sont semblables entre eux, et donnent f e : e d : : g h : h i; et il en est de même des triangles F fg, F ch, F di, qui donnent g h : h i ou leurs égales g h : h i : : f c : c d. Donc les divisions fe, e d, faites sur la projection intérieure K L^ ou f e, e d, faites sur la projection extérieure F G par les projections des points a, b, c, ou a, b, c, de la courbe, sont respectivement entre elles comme les abscisses coordonnées g h, h i, que les projections des mêmes points déterminent sur Taxe A C de la courbe.
  - Scholie. II suit de là que, malgré l’extrême transformation que la projection fait quelquefois d’une courbe en une ligne droite, les parties n’en sont pas moins dans le même rapport entre elles, et peuvent faire reparaître la courbe dans son état naturel par une opération inverse.
  - 57. D’après cela, on ne sera point étonné d’entendre qu’une seule projection ne suffit pas pour donner une idée complète des objets qu’on veut représenter. Des corps très-différens de forme peuvent donner des projections de même figure : ainsi un hexagone régulier peut être le plan d’un prisme hexagonal droit, d’une pyramide droite hexagonale, et d’un cube posé directement sur un de ses angles. Un cercle peut de même être la projection horizontale d’une sphère, d’un sphéroïde, d’un cylindre droit ou d’un cône droit. La Fig. iOO présente en plan la même spirale logarithmique; et, d’une part, c’est l’expression d’une hélice qui serpente d’une manière fort régulière à la surface d’un cône, et, de l’autre, c’est celle d’une hélice tracée à la surface d’une sphère, suivant une marche qui ne présente à l'œil aucune régularité.
  - Il faut donc au moins deux projections pour représenter complètement un objet : les plus usitées sont l’horizontale, que les praticiens nomment plan, et la verticale de face, qu’ils nomment élévation. Souvent ils en ajoutent une troisième, qu’ils appellent “profily pour les parties qui sont vues de côté ; et à cet égard ils ne s’assujettissent à aucune limite, et, en les prenant toujours perpendiculaires au plan, ils font autant de profils qu’ils croient nécessaire d’en faire pour faire connaître tous les détails de l’objet.
  - Application.
  - 58. Problème. Étant données les projections horizontale B C' et verticale b c d’une ligne, et celles
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  - die Zeiehnung dieser krummen Linie vomimmt, so ist die Vorstellung dieser krummen Linie eine gerade Linie, welche durch Parallellinien, die aus verschiedenen Punkten der krummen Linie gezogen wurden, getheilt worden ist, und wobei diese Thei-lungen jederzeit mit den coordinirten Abscissen dieser krummen Linie (Fig. 99) in demselben Ver-hàltnisse stehen.
  - BewEIS. l.° Da sich in dem gegebenen Faite sâmmtliche Projectionslinien in dem Plane der krummen Linie selbst befinden , so miissen sie nothwendig aile bis zu der gemeinschaftlichen Linie gehen, wo sich der Plan der krummen Linie mit dem Projection splane durchschneidet ; woraus demi folgt, dass aile Projection1*n^ welche aus der krummen Linie gemacht werden kônnen , sammtlich gerade Linien sind.
  - 2.° Wir nehmen die Ellipse ABCDA an, welche auf diese Weise auf zwei Planen gezeichnet ist, welche aussen an der krummen Linie mit FG, und im Innern mit K L bemerkt sind ; a, b, c, oder a, b, c, sind beliebige Punkte der krummen Linie, welche durch beliebige , mit einander in f, e, d, nachKL, und in/, e, d, nach F G paraïlel lau-fende Linien bemerkt sind : dieselben Parallellinien durchschneiden die Axe A C und die mit ihr gïeich laufende Linie F H, bei g, h, i, und g-, h, i. Nun sind aber die Dreiecke Xfg, Xeh, Xdi einander gleich , und geben f e : ed : : gh : hi ; dasselbe giït von den Dreiecken Ffg, F ch ,¥di, welche geben gh:1iif oder den gleichen Werth g h : h i : :fe:ed: folglich stehen die Theilungen f e, e d, welche auf der innern Zeiehnung KL, oder fe, ed, welche auf der âussern Zeiehnung F G durch die Punkte a, b, c, oder a, b, c, der krummen Linie gemacht worden sind, unter einander in dem nâmlichen Vcr-hâltnisse wie die coordinirten Abscissen g h , hi, welche auf der Axe A C der krummen Linie durch die nâmlichen Punkte angegeben worden sind.
  - Anmerkung. Hieraus folgt, dass ohnerachtet der grossen Veranderung wodurch die Projection bis-weilen eine krumme Linie in eine gerade umbil-det, die Bestandtheile derselben nichts destoweniger unter einander in dem nâmlichen Verhâltnisse bleiben, und die krumme Linie durch eine ent-gegengesetzte Operation wiederso hergestèllt werden kann, wie sie anfanglich war.
  - 57. Diesem zufolge wird die Behauptung, dass durch eine einzige Projection die betreffenden Ge-genstânde auf eine anschauliche Weise nicht darge-stelït werden kônnen , niemanden befremdend vor-kommen. Sehr verschiedentlich gestaltete Kôrper kônnen Projettionen von derselben Form veran-lassen : so kann ein regehnâssiges Sechseck zu gleicher Zeit der Plan eines geraden sechseckigen Prismatis, einer geraden sechseckigen Pyramide und eines auf einen seiner Winkel gerade gestellten Würfels seyn. Eben so kann ein Zirkel die horizontale Vorstellung einer Kugel, einer Afterkugel, eines geraden Cyïinders oder eines geraden Kegels seyn. Die Fig. IOO zeigt im Grundrisse eine und dieselbe logarithmische Spirallinie; und doch stellt sie in dem einen Falle eine Schraubenlinie, welche sich auf eine sehr regelmâssige Weise um die Oberflâche eines Kegels windet, im zweiten Falle aber ebenfalls eine Schraubenlinie vor, welche aber auf der Oberflâche einer Kugel gezeichnet ist, und sich dem Auge nicht unter einer so regelmâssigen Gestalt dar-stellt aïs die erste.
  - Es werden daher znr voïlstândigen Darstellung eines Gegenstandes wenigstens zwei Projectionen erfordert. Die gewôhnlichsten sind die horizontale oder der Grundriss ; und die verticale oder der Auf-riss. Sehr oft wird auch noch eine dritte angewen-det, welche das Profil heisst. Disse letztere stellt die Gegenstânde von der Seite dar, und ist an keine Einschrânkungen gebunden. Diese Gegen-stânde werden mit dem Grundrisse perpendicular vorgestellt, und man macht so vie! Profile aïs man zur voïlstândigen Ansicht sâmmtlicherTheile nôthig erachtet.
  - f i ' Anwendung.
  - 58. Problem. Es wird gegeben die horizontale Projection B C', und die verticale b c, einer Linie,
  - made ; in whatever situation woukl Le the plan of projection, ali the projections of this curve are right lines , whose divisions made by parallels bronght through several points of the curve , are ahvays in the same proportion with the abscisses coordinate of this curve. Fig. 99.
  - DEMONSTRA TION. 1.° In the proposée! case, ail the lines of projection being founcl in the very plan of the curve, it is évident that they ail end at the common intersection of the plan of the curve with the plan of projection, and accordingïy ail the projections of the curve that may be made, are right lines.
  - 2.° Let it be the eîlipsis A B CD A, projected in this way on two plans whose traces are KL inside, or F G outsicïe the curve ; and a, b, c, or a, b, c, points whatever of the curve projected by lines whatever parallels to each other in f, e, d, on K L, and in f, e, d, on F G. The same parallels cross the axis AC and its paraïlel F H in g, h, i, and g,h,i. But the triangles Xfg, Xeh, Xdi, which arealike to each other, give fe : ed : : g h : g i ; and it is the same for triangles Ffg, Fc h, F di, which give g h : hi, or their ecjuals g h : h i : : fe : c d. Tlierefore the divisions fe, ed, made on the internai projection KL, orfe,ed, made on the external projection F G by the projections of the points a, b, c, or a, b, c, of the curve, are to each other as the coordinate abscisses g h, h i, which the projections of the same points caused on the axis A C of the curve.
  - Scholion. From hence it folîows that, inspite of the remarkabïe transformation that takes place sometimes when a curve turns into a right line, the parts of it are ail the same with regard to each other, and may inake the curve appear again in its natural State by a contrary operation.
  - 57. Consequentïy it is not surprising to hear that onïy one projection is not süfficient togivea complété idea of the tliings we want to represent. Bodies of a very different form can give projections of the same figure : thus a regular hexagon can be the plan of a right hexagonal prism, of a right hexagonal pyramid, and of a cube placed quite on one of its angles. A. circïe can also be the horizontal projection of a sphere, of a spheroïd, of a right cylinder, or of a right cône. One may see, in the Fig. 100, the p>Ian of the same logarithmic spiral line ; and, 011 one part, it is the représentation of an hélix which goes winding round in a very regular manner at the surface of a cône, and, on the other, it is the expression of an hélix drawn at the surface of a sphere in an apparently irregular way.
  - There must be then at least two projections to represent compïetely an object : the most usecl are the horizontal one, which, in the practicallanguage, is called plan, and the vertical in front, which is called élévation. To those îs often added a third called profile, for the parts which are seen sideways ; and with regard to this no fixed limit is imposed, and one may, taking them ahvays perpendicular to the plan, clraw as many profiles as it is thought necessary to make well known every detail of the object.
  - Application.
  - 58. Problem. Being given the horizontal projection BC' and the vertical one bc of a line, and
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- - d’un point A> a, dîme autre ligne que Ion sait être parallèle à la première, faire les projections de cette seconde ligne. Fig. 101.
  - Solution. Par les points A et a, projections du point situé dans la seconde ligne, menez des droites respectivement parallèles aux projections BC', Jjc de la première ligne : ces droites DE, d e, seront les projections de la seconde ligne.
  - Démonstration. B C' est l’intersection dû plan horizontal de projection par un plan passant par la première ligne, et qui serait perpendiculaire à ce plan horizontal. Or, puisque la seconde ligne est parallèle à la première, un autre plan qui passerait par celte seconde ligne, et qui serait aussi vertical, serait parallèle à celui qui passe par la première ; il couperait donc le plan horizontal en une ligne parallèle à BC'. Mais, d’un autre côté, cette intersection doit passer par le point A, qui est la projection d’un des points de cette seconde ligne. Donc la projection horizontale de la seconde ligne doit être parallèle à celle delà première, et passer par la projection horizontale donnée de l’un des points de celte seconde ligne.
  - On démontrerait de même que sa projection verticale doit passer par la projection verticale du point donne, et être parallèle à la projection verticale de la première ligne.
  - 59. Problème. Étant données les traces AB, Bc, d’un plan, et les projections D, d, d’un point situé dans un autre plan parallèle au premier, trouver les traces de ce second plan. Fig. 102.
  - Observation. Pour former la projection d’un plan, si l’on voulait projeter tous ses points, ou même seulement un certain nombre, il n’en résulterait que de la confusion. Mais, puisque deux lignes qui se croisent déterminent la position d’un plan, pour projeter un plan il suffit de projeter deux lignes quelconques qui se croisent dans ce plan : or, les lignes par lesquelles le plan proposé coupe les deux plans de projection, ayant la même propriété à cet égard que toutes les autres, on les préfère dans la pratique des projections, parce que, chacune de ces lignes ayant pour l’une de scs projections l’intersection commune des deux plans de projection, les projections d’un plan se réduisent à deux lignes que l’on appelle les traces de ce plan.
  - Il résulte de là, 1.° que les deux traces d’un plan sc coupent toujours à l’intersection commune des deux plans de projection; 2.° que, quand on a l’une des traces d’un plan, il suffit cl’avoir un point de l’autre pour la trouver.
  - SOLUTION. D g, parallèle à AB, est la projection horizontale d’une droite horizontale menée dans le plan proposé par le point qui est projeté en D et d ; et g, celle du point où cette7 horizontale pénètre le plan vertical de projection ; d A est la projection verticale de la même horizontale. Ainsi le point A, intersection de dA par gh, qui est perpendiculaire en g à l’intersection commune des deux plans de projection, est réellement un point du plan proposé, et par conséquent un des points de sa trace verticale. Donc cette trace doit être A E, parallèle à cB ; d’où il suit que la trace horizontale doit être EF, parallèle à A B.
  - On aurait une construction pareille et le même résultat, en menant par le point d une parallèle à c B, et par D une parallèle 'à C H.
  - Démonstration. Imaginons un plan horizontal qui passe parle point du plan proposé, qui est projeté en D : il coupera le plan proposé en une droite
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  - nehst der eines Punktes A, a, einer andern mit der ersten paraïlel ïaufenden Linie ; wie werden die Projectionen clieser zweiten Linie gemacht? Fig. 101.
  - À UFLÔSUNG. Mail fùhre gerade, mit den Projectionen B C', h c der ersten Linie paraïlel laufencle Linien clurch die Punkte A und a, welche die Projectionen des in der Zweiten Linie befindlicheh Punktes sind ; worauf diese geràden Linien D E, de, die Projectionen der zweiten Linie seyn werden.
  - Bciùeis. B C' ist die Linie wo sich der horizontale Projectionsplan mit einem andern durchschneidet, welcher durch die erste Linie geht, und mit déni ho-rizontaïen Plane perpendicular seyn würde. Da niin die zweite Linie mit der ersten paraïlel ist, so würde ein anderer Plan , welcher durch diese zweite Linie gienge, und ehenfalls vertical seyn würde, mit dem-jenigen Plane paraïlel seyn , welcher durch die erste Linie geht ; er würde folgïich den horizontale!! Plan in eine mit B C' paraïlel laüfencle Linie zcrschnciclen. Von der andern Seite muss die Durchschnittslinie durch den Punkt A gehen, welcher die Projection von einem der Punkte dieser zweiten Linie ist. Die horizontale Vorstellung der zweiten Linie mussfolg-lich mit der ersten Linie paraïlel seyn, und durch die gegebene horizontale Projection eines der Punkte dieser zweiten Linie gehen.
  - Eben so lasst sich auch heweisen , dass die verticale Projection clerselben durch die verticale Projection des gegehenen Punktes gehen, und mit der verticaïen Vorstellung der ersten Linie paraïlel seyn muss.
  - 59. Problem. Es werden gegeben die Linien AB, Bc, eines Planes, nehst den Projectionen D, d, eines Punktes, welcher sich in einem andern, mit dem ersten paraïlel gehenden Plane befindet ; wie erhâlt man die Linien dieses zweiten Planes ? Fig. 102. U
  - Anmerkung. Wenn man bei der Zeichnung eines Planes aile darin enthaltenen Punkte oder auch nur eine gewisse Anzahï derselben angehen wollte, so entstande daraus nichts aïs Verwir-rung. Da nun die Aufstellung eines Planes durch zwei sich kreuzende Linien bewirkt wird, so ist es zur Projection desseïben genug, wenn man zwei in diesem Plane sich kreuzende Linien zeichnet. Und da die Linien vermitteïst welcher der gegebene Plan die beiden Projectionsplane durchschneidet, in dieser Rücksicht dieselben Eigenschaften haben , wie aile übrigen, so werden sie in der Praxis bei den Projectionen vorgezogen; denn da eine jede von diesen Linien zu einer ihrer Projectionen den ge-meinschaftlichen Durchschnitt beider Plane hat, so lassen sich die Projectionen eines Planes auf zwei einfache Linien reduciren.
  - Hieraus folgt, l.° dass diese beiden Linien eines Planes sich jederzeit auf dem gemeinschaftlichen Durchschnitte der beiden Projectionsplane durch-schneiden ; 2.° Dass wenn man eine von diesen Linien hat, so braucht man, bloss einen Punkt der andern um soïche zu finden.
  - Aüflosung. Die Linie D#, welche mit AB paraïlel geht, ist die horizontale Vorstellung einer geraden horizontalen Linie, welche in dem gege-benen Plane durch den bei D und d angegebenen Punkt gezogen ist ; g ist die Vorstellung des Punktes, bei welchem diese horizontale Linie in den verti-calen Projectionsplan geht : d h ist die verticale Projection der nàmlichen horizontalen Linie. Diesem zufolge ist der Punkt h, wo à h von g h durch-schnitten wird, welche letztere Linie bei g mit dem gemeinschaftlichen Durchschnitte der beiden Projectionsplane perpendicular ist , ein wirkïicher Punkt des gegebenen Planes, und diesem zufolge einer von den Punkten der verticaïen Linie des-selben. Diese Linie mussalso seyn h E, paraïlel mit cB; woraus folgt, dass die horizontale Linie seyn muss EF , paraïlel mit AB.
  - Eine àhnliche Zusammensteïlung wird nebst dem nàmlichen Resultate dann Statt haben, wenn man durch den Punkt d eine mit cB paraïlel laufende, und durch D eine mit CH paraïlel gehencle Linie führte.
  - Beweis. Man denke sich einen horizontalen Plan , welcher durch den Punkt des gegebenen und bei D bemerkten Planes geht : er wird den gege-
  - thal ones of a point A,a, of another line which is known to be paraïlel lo lhe first, to make the projections of this second line. Fig. 101.
  - SOLUTION. Throughthe points A and a, projections of the point situated in the second line, bring right ïincs respectively paraïlel to the projections B C', bc, of the first line : those right lines D E, d e, will be the projections of the second line.
  - Démonstration. BC' is the intersection of the horizontal plan of projection by a plan passing by the first line, and which wouïd be perpendicular to this horizontal plan. But, since the second line is paraïlel to the first., another plan which wouïd pass by this second line, and which wouïd be loo a vertical one, wouïd be paraïlel to the one which passes by the first ; it wouïd then eut the horizontal plan in one line paraïlel to B C'. But, on lhe otlicr side, tliis intersection oughtto pass by the point A, which is the projection of one of the points of this second line. Then the horizontal projection of the second line ought to be paraïlel to the one of the first, and to pass by the horizontal projection given of onc of the points of this second line.
  - One might on the same manner demonstrate that its vertical projection ought to pass by the vertical projection of the given point, and to be paraïlel to die vertical projection of the first line.
  - 59. Problem. Beinggiven the traces AB, Bc of a plan, and the projections D, d, of a point situated in another plan paraïlel to the first, to find the traces of this second plan. Fig. 102.
  - Observation. If, to form the projection of a plan, one wouïd make ali its points project, or even a certain number of them, nothing but confusion wouïd resuït of it. But, since two lines Crossing each other détermine the position of a plan, to take the projection of a plan it is enough to take the projection of two lines whatever Crossing eadi other in that plan : but the lines by which the proposed plan cuts the two plans of projection, having with respect to that the same property as ali the others, they are preferred in the practical use of projections, because, each of those lines having for one of its projections the common intersection of the two plans of projection, the projections of a plan are ïimited to two lines which are called the traces of that plan.
  - Hence it resuïts, l.°that the two traces of that plan alwaÿs eut each other at the common intersection of the two plans of projection ; 2.° that, having one of the traces of a plan, it is enough to hâve a point of the other to find it out.
  - Solution. Dg-, paraïlel to AB, is the horizontal projection of an horizontal right line drawn in the proposed plan by the point which is projected in D and d ; and g, that of the point where this horizontal line pénétrâtes the vertical plan of projection : d h is the vertical projection of the same horizontal line. Thusthe point A, the intersection of d h by gh, which is perpendicular in g to the common intersection of the two plans of projection, is really a point of the proposed plan, and accordingïy onc of the points of its vertical trace. Then that trace ought to be AE, paraïlel to cB; whence it folïows that the horizontal trace ought tobe EF paraïlel to AB.
  - One wouïd hâve the same construction and the same resuit, by drawing through the point d a pa-rallel to cB, and by Da paraïlel to CH.
  - Démonstration. Let it be supposed an horizontal plan passing by the point of die proposed plan projected in D : it will eut the proposed plan in an
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- - horizontale dont ‘ïa projection horizontale sera D g, puisqu’elle doit passer par le point D et être parallèle à AB, qui est l’intersection du plan donné par le plan horizontal de projection; en sorte que g est la projection horizontale du-point où cette droite horizontale rencontre le plan vertical de projection, et que ce point doit être nécessairement sur g h perpendiculaire à C //, et représentant une ligne verticale.
  - Mais la projection verticale de la meme droite horizontale est d h ; puisque c’est la trace verticale du pian horizontal que nous avons supposé, renfermant les projections verticales de toutes les lignes qu’on peut tracer dans ce plan horizontal.
  - Donc oe point h appartient en même temps au plan vertical de projection, au plan horizontal que nous avons supposé, et au second plan proposé. Il est donc un des points de la trace verticale du plan proposé ; et comme cette trace doit être parallèle a B c, elle doit être la droite h E ; et par la même raison, la trace horizontale sera E F,
  - Sckoîie, On pourrait faire une construction pareille en .partant du point d; et on la démontrerait de même par la considération d’un plan parallèle au plan vertical de projection, et passant aussi par le point dont les projections sontD etd.
  - 60. Problème. Étant données les traces A B, Bc, d’un plan, et les projections D, d, d’un point situé hors de ce plan, construire les projections de ïa perpendiculaire qu’on abaisserait de ce point sur le plan, et ie pied de cette perpendiculaire sur le plan donné. Fig. 103.
  - SOLUTION. Fig. 103. La droite DF, perpendiculaire abaissée du point D sur AB, est la trace horizontale d’un plan vertical qu’on ferait passer par ïa perpendiculaire qu’il est question de mener du point projeté en D et d sur le plan AB c: car ce plan vertical serait perpendiculaire au plan A B c. Ainsi cette trace DF contient, 1la projection horizontale de la perpendiculaire demandée; 2.° celle du pied de cette perpendiculaire ; 3.° celle de l’intersection commune du plan ABc par le plan vertical dont il vient detre parlé, intersection dont E est le pied, F la projection horizontale du sommet, et y le sommet, puisque F f est la trace verticale du plan vertical supposé ci-dessus.
  - Si donc on mène E c perpendiculaire à C H, e sera la projection verticale du pied E de la même intersection, et f e celle de l’intersection entière, sur laquelle doit se trouver aussi la projection verticale du pied de la perpendiculaire en question.
  - Mais d g, perpendiculaire menée du point d sur B c, est aussi la trace verticale d’un plan qu’on ferait passer par la perpendiculaire en question, et qui serait lui-même perpendiculaire au plan vertical de projection. Donc d g renferme aussi, 1.° la projection verticale de la perpendiculaire proposée ; 2.° celle du pied de cette perpendiculaire : en sorte que celui-ci ne peut avoir pour projection verticale que le point g, intersection de d g par f e ; et cette projection g du pied de la perpendiculaire , renvoyée sur D F par une perpendiculaire à C H, donne le point G pour projection horizontale du même point.
  - On aurait une construction semblable et le même résultat, en menant d’abord la perpendiculaire dg à B c jusqu’à la rencontre de C H. Fig. 104.
  - 61.Problème. Étant données, l.°ïes projections d’une ligne AB, a b; 2.° celles d’un point situé hors
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  - benen Plan in eine gerade horizontale Linie zer-schneiden, deren horizontale Vorstellung D»' seyn wird ; denn dieselbe muss durch den Punkt D gehen, und mit A B , wo der gegebene Plan von dem horizontalen Projectionsplane durchschnitten wird, paralleï seyn ; so dass aïs© g die horizontale Vorstellung des Punktes ist, wo diese gerade horizontale Linie mit dem verticalen Projectionsplane ziisammentrifft, und wobei dieser Punkt in g h nothwendigerweise mit C H perpendicular seyn , und eine verticale Linie vorstellen muss.
  - Die verticale Projection der nâmlichen horizon-talen Linie ist aber d h , weiï die verticale Linie des horizontalen Planes, welchen wir angenommen ha-ben , die verticalen Projectionen aller Linien ent-hàlt, welche sich in diesem horizontalen Plane ziehen lassen.
  - Diesem zufolge gehôrt dieser Punkt h sowohf zum verticalen Projectionsplane, aïs aüch zum horizontalen Plane, welchen wir angenommen haben, aïs endlich auch zum gegebenen zweiten Plane. Er ist folglich einer von den Punkten , welche die verticale Linie des gegebenen Planes enthàlt. Und da diese Linie mitBc paralleï seyn muss, somuss sie die gerade Linie h E seyn, so wie auch aus dem nâmlichen Grunde EF die horizontale Linie seyn wird.
  - Anmerkung. Eïn àhnliches Résultat wiirde sich ergeben, wenn man von dem Punkted ausgienge; der Beweis flôsse wiederum aus der Annahme eines Plans, welcher mit dem verticalen Projectionsplane paralleï wâre, und ebenfaïls auch durch den Punkt Dd gienge.
  - 60. Problem. Es werden die Linien AB, Bc, eines Planes, und die Projectionen D, d, zu einem ausserhaïb diesem Plane befindlichen Punkte ge-geben ; wie werden die Projectionen der Perpendi-cularlinre, welche von diesem Punkte auf den Plan herabgezogen würde, nebst den Projectionen des Fusses der Perpendicularlinie gezeichnet? Fig. 103.
  - AüFLÔSUNG. Die perpendiculare gerade Linie DF, welche von dem Punkte D auf AB herab-geht, ist die horizontale Vorstellung eines verticalen Planes, den man durch die perpendiculare Linie, welche vondembeiD und d angegebenen Punkte auf den Plan ABc gezogen werdensoll, hindurchführen würde; denn dieser verticale Plan wâre mit dem Plane ABc perpendicular. Diesem zufolge enthâlt die Linie DF : 1.® die horizontale Vorstellung der verlangten Perpendicularlinie; 2.° die des Fusses dieser Perpendicularlinie ; 3L° die des gemeinschaft-lichen Durchschnittes, wo der Plan ABc von dem erüühnten verticalen Plane durchschnitten wird; bei welchem Durchschnitte E der Fuss, F die horizontale Vorstellung der Hôhe, und^die Hôhe selbst ist; indem Ff die verticale Linie des oben angenom-menen verticalen Planes ist.
  - Wenn man also Ee mit CH perpendicular zieht, so giebt e die verticale Vorstellung vom Fusse E des nâmlichen Durchschnitts, undy’e die des ganzen Durchschnitts, aufwelchem sich auch die verticale Projection des Fusses der fragïichen Perpendicularlinie befinden muss.
  - Die Perpendicularlinie d g, welche von dem Punkte d aufBc geführt worden, ist ihrerseits eben-falls auch die verticale Linie eines Planes, den man durch die fragliche Perpendicularlinie hindurchführen würde, und welcher seinerseits selbst mit dem verticalen Projectionsplane perpendicular seyn würde. Diesem zufolge enthâlt d g ebenfaïls auch : 1.° die verticale Vorstellung der gegebenen Perpendicularlinie ; 2.° diejenige des Fusses dieser Perpendicularlinie ; so dass die verticale Vorstellung dieses letztern keine andere als der Punkt g seyn kann, bei welchem d g von fe durchschnitten wird ; diese Projection g, des Fusses der Perpendicularlinie, welche vermittelst einer mit C H perpendicular laufenden Linie auf D F geführt worden ist, giebt den Punkt G als horizontale Vorstellung des nâmlichen Punktes.0
  - Das nâmliche Résultat würde sich durch eine âhnïiche Zusammenstellung ergeben, wenn man zuvôrderst die mit Bc perpendiculare Linie dg bis zum ZusammentrefTen mit CH fïihrte. Fig. 104.
  - 61. Pboblem. Es werden, l.° die Projectionen einer Linie AB, a b ; 2.° die eines ausserhaïb dieser
  - horizontal right line whose horizontal projection wiîl be D g, since it ought to pass by the point D , and to be paralleï to AB, which is the intersection of the given plan by the horizontal plan of projection ; and so g is the horizontal projection of the point where this horizontal right line meets the vertical plan of projection, and that point ought necessarily to be on g h perpendicular to CH, and representing a vertical line.
  - But the vertical projection of the same horizontal right line is d h, since it is the vertical trace of the horizontal plan that we hâve supposed, including the vertical projections of ail the lines that may be drawn in that horizontal plan.
  - Then this point h belongs at the same time to the vertical plan of projection, to the horizontal plan we hâve supposed, and to the second plan proposed.lt is then one of the points of the vertical trace of the proposed plan ; and as that trace ought to be paralleï to Bc, it ought to be the right line AE ; and, on the same reason, the horizontal trace must beEF.
  - Scholion. One might make a similar construction in setting of from the point d ; and one would de-monstrate it the same way by the considération of a plan paralleï to the vertical plan of projection, and passing too by the point whose projections axe D and d.
  - 60. Problem. Being given the traces A B, Bc, of a plan, and the projections D, d, of a point situa-ted out of that plan, to draw the projections of the perpendicular line that one might let down from that point on the plan, and the foot of this perpen-dicuïar on the given plan. Fig. 103.
  - Solution. Fig. 103. The right Fine DF, a perpendicular let down from the point D on AB, is the horizontal trace of a vertical plan that would be made to pass by the perpendicular line that must be brought from the projected point in D and d on the plan ABc: for this vertical plan would be perpendicular to the plan ABc. Thus this trace DFcon-tains, l.° the horizontal projection of the perpendicular asked; 2.° the projection of the foot of this perpendicular ; 3.° that one of the common intersection of the plan ABcby the vertical plan just now mentioned, whose intersection E is the foot, F is the horizontal projection of the summit, and/ the summit, since Ff is the vertical trace of the vertical plan before supposed.
  - If then E e is drawn perpendicular to CH, e will be the vertical projection of the foot E of the same intersection, and fe that one of the whole intersection , on which the vertical projection of the men-tionecl perpendicular ought to be found.
  - But d g, perpendicular brought from the point d on B c, is also the vertical trace of a plan that would pass by the mentioned perpendicular, and which would be himself perpendicular to the vertical plan of projection. Then dg contains also, l.° the vertical projection of the proposed perpendicular; 2.° that one of the foot of this perpendicular : so that this can’t hâve any other vertical projection but the point g, intersection of d g by fe ; and that projection g of the foot of the perpendicular, sent back on DF by a perpendicular to CH, gives the point G for the horizontal projection of the same point.
  - One would hâve the same construction and resuit by bringing first the perpendicular dg to Bc, up to the meeting C H. Fig. 104.
  - 61. Problem. Being given, l.° the projections of a line AB, ab; 2.° those of a point situated out
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  - <Je cette ligne, D d : construire, 1.° les traces d’un plan perpendiculaire à cette ligne et passant par le point donné; 2.° les projections du point où la ligne donnée pénètre le plan demandé; 3.° les projections de la perpendiculaire menée du point donné à la ligne donnée.
  - SOLUTION. Fig. 405. Puisque le plan demandé est perpendiculaire à la ligne donnée, ses traces seront nécessairement perpendiculaires aux projections données de la ligne.1 Ainsi De, perpendiculaire menée du point D à A B, est parallèle à la trace horizontale du plan demandé, et est la projection horizontale d’une ligne horizontale qu’on mènerait dans le plan demandé par le point donné; d e en est la projection verticale; e, la projection horizontale du point où cette horizontale pénètre le plan vertical; e, le point réel de cette pénétration, point qui appartient aussi au plan demandé, et conséquemment à sa trace verticale : cette trace verticale sera donc e c, perpendiculaire à a b, et la trace horizontale sera conséquemment C' II', perpendiculaire à AB.
  - 2.° AB (n.° 60) peut être considéré comme trace horizontale d’un plan vertical passant par la ligne donnée, et perpendiculaire au plan trouvé (sa trace verticale est a f). Cette ligne a B contient donc la projection horizontale, l.° du point où la ligne donnée pénètre le plan trouvé ; 2.° de la commune intersection de ce plan vertical avec le plan trouvé. F est le pied de cette intersection, et a pour projection verticale le point /; f en est le sommet : en sorte que ff est la projection verticale de la même intersection, et contient aussi celle du point où la ligne donnée pénètre le plan trouvé.
  - Mais a b, qui est/de son côté, la trace verticale d’un plan mené par la ligne donnée perpendiculairement au plan vertical de projection, contient aussi nécessairement la projection verticale du même point de pénétration.
  - Donc la projection verticale du point où la ligne donnée pénètre le plan trouvé est g, intersection des deux droites qui la contiennent ; et ce point g, renvoyé, par une perpendiculaire à C H, sur A B, qui en contient la projection horizontale, donne le point G pour l’autre projection du même point de pénétration.
  - 3.° La perpendiculaire menée du point donné à la ligne donnée, étant nécessairement dans le plan trouvé (puisque ce plan passe par le point donné, et qu’il est perpendiculaire à la ligne donnée), a un de ses points projeté en D et d, et un autre en G et g. Donc les projections de cette perpendiculaire sont D G et d g.
  - ?
  - Scholie. En considérant d’abord dans le plan vertical de projection une droite d e perpendiculaire à a b, on aurait une construction semblable, qui donnerait le même résultat. Fig. 406.
  - 62. Problème. Deux plans étant donnés par le moyen de leurs traces respectives, A B c pour l’un, AD c pour l’autre, construire les projections de leur commune intersection. Fig. 407.
  - SOLUTION. Le point A, étant commun aux traces horizontales des deux plans, est nécessairement la projection horizontale d’un point commun aux deux plans, à l’endroit où chacun de ces plans pénètre le plan horizontal de projection. C’est donc le point réel 3.' Partie.
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  - Liniegelegenën Punhtes Dd, gegeben; wie zeichnet rnan , 1.® die Linien zu einem mit dieser Linie per-pendicular laufenden und durch den gegebenen Punkt gehenden Plane ; 2.° die Projectionen des Punktes, wo die gegebene Linie in den verlangten Plan hinein geht; 3.° die Projectionen der von dem gegebenen Punkte auf die gegebene Linie ge» führten Perpendieuïarlinie ?
  - AuflôsüNG. Fig. 405. Dà der verlangte Plan mit der gegebenen Linie perpendicular ist, so müs-sen die Vorstellungen desselben nothwendigervveise mit den gegebenen Projectionen der, Linie perpendicular seyn. Diesem zufolge ist die von dem Punkte D nach AB geführte Perpendieuïarlinie De, mit der horizontalen Linie des verlangten Planes pa-rallel ; auch ist sie die horizontale Projection einer horizontalen Linie, weïche man in dem verlangten Plane durch den gegebenen Punkt führen würde ; de ist die verticale Yorstellung derselben; e ist die horizontale Yorstellung des Punktes, wo diese horizontale Linie in den verticalen Plan hinein geht; e ist der wahre Punkt dieses Einganges, und macht ebenfalls einen Bestandtheil des gegebenen Planes, und folglich auch der verticalen Linie desselben aus. Diese verticale Linie wird folglich die mit a b perpendicular gehende Linie e c, und die horizontale die mit AB perpendicular gehende Linie C'H' seyn.
  - 2. ° AB (N.° 60)kann aïs horizontale Linie eines verticalen Planes betrachtet werden, welcher durch die gegebene Linie geht, und mit dem gefundenen Plane perpendicular lauft (die verticale Linie desselben ist aî). Diese Linie æB enthâlt folglich die horizontale Vorstellung, l.° des Punktes wo die gegebene Linie in den gefundenen Plan geht ; 2.° des gemeinschaftlichen Durchschnitts, wo sich dieser verticale Plan mit dem gefundenen Plan durch-schneidet. F ist der Fuss dieses Durchschnittes ; die verticale Projection desselben ist der Punkt/; f ist die Hôhe desselben ; so dass f/ die verticale Vorstellung des nâmïichen Durchschnitts ist, und zugleich auch die Projection des Punktes enthâlt, wo die gegebene Linie in den gefundenen Plan Iiin-ein geht.
  - Von der andern Seite enthâlt die Linie a b, weïche ihrerseits die verticale Linie eines durch die gegebene Linie geführten, und mit dem verticalen Projectionsplane perpendicular laufenden Planes ist ; diese Linie enthâlt ebenfalls auch die verticale Projection des nâmïichen Punktes, bei welchem der Eingang Statt findet.
  - Die verticale Vorstellung des Punktes', wo die gegebene Linie in den gefundenen Plan hinein geht, ist folglich g, wo sich die beiden geraden daselbst bifindïichen Linien durchschneiden ; und dieser Punkt g, welcher vermittelst einer mit CH perpendicular gehenden Linie auf dessen horizontale Projection AB zurückgefùhrt worden ist, giebt den Punkt G, welcher die andere Projection des nâmïichen Punktes ist, wo der Eingang geschieht.
  - 3. ° Die perpendiculare Linie, weïche von dem gegebenen Punkte auf die gegebene Linie gefùhrt worden ist, und sich nothwendigerweise in dem gefundenen Plane befindet (indem dieser Plan durch den gegebenen Punkt geht, und mit der gegebenen Linie perpendicular ist), hat einen ihrer Punkte bei D und d, und einen andern bei G und g. Die Projectionen dieser Perpendieuïarlinie sind diesem zufolge D G und dg.
  - Anmerkung. Nâhmeman in dem verticalen Pro-jectionspïane eine gerade Linie d e an, weïche mit a b perpendicular wâre, so ergâbe sich daraus eine âhnliche Zusammensteïlung nebst dem nâmïichen Resuïtate. Fig. 406.
  - 6 2. Problem . Zwei Plâne werden vermittelst ihrer respectiven Linien ABc für den einen, und ADc fur den andern gegeben ; wie werden die Projectionen ihres gemeinschaftlichen Durchschnitts gezeichnet? Fig. 407.
  - AuflôSUNG. Da der Punkt A zu den horizon-taïen Linien der beiden Plâne gemeinschaftlich ge-hôrt, so ist er nothwendigerweise die horizontale Vorstellung eines Punktes , welcher beiden Plânen da gemein ist, wo jeder derselben in den horizon-
  - of tliat line, D d : to establish, 1 .* the traces of a plan perpendicular to that line and passing by the given point; 2.° the projections of the point where the given line pénétrâtes the asked plan; 3.° the projections of the perpendicular brought from the given point to the given line.
  - SOLUTION. Fig. 405. Since the asked plan is perpendicular to the given line, its traces are neces-sarily perpendicular to the given projections of the line. TIius De, a perpendicular brought from the point D to AB, is paralïel to the horizontal trace of the asked plan, and is the horizontal projection of an horizontal line brought in the asked plan by the given point ; d e is the vertical projection of it ; e is the horizontal projection of the point where this horizontal pénétrâtes the vertical plan ; c, the real point of this pénétration, which point belongs aïso to the asked plan, and accordingly to its vertical trace : this vertical trace will then be ec, perpendicular to ab; and the horizontal trace will accordingly be C'H', perpendicular to AB.
  - 2.° AB (n.r 60) may be considered as the horizontal trace of a vertical plan passing by the given line, and perpendicular to the found plan (its vertical trace is af). That line «B contains then the horizontal projection, l.° of the point where the given line pénétrâtes the found plan; 2.° of the common intersection of this vertical plan with the found plan. F jis the foot of that intersection, and it has for vertical projection the point /; f is the summit of it : so that f/is vertical projection of the same intersection, and contains aïso the one of the point where the given line pénétrâtes the found plan.
  - But ab, who, on its side, is the vertical trace of a plan brought by the given line perpendicularly to the vertical plan of projection, contains alsô neces-sarily the vertical projection of the same point of pénétration.
  - Then the vertical projection of the point where the given line pénétrâtes the found plan, is g, the intersection of the two right lines which contain it ; and this point g, sent back, by a perpendicular to CH, on AB, which contains the horizontal projection of it, gives the point G for the other projection of the same point of pénétration.
  - 3.° The perpendicular brought from the given point to the given line, being necessariïy in the found plan (since this plan passes by the given point, and is perpendicular to the given line), has one of its points projected in D and d, and another in G and g. Then the projections of that perpendicular are D G and dg.
  - Scholion. Considering first in the vertical plan of projection of a right line d e perpendicular to a b, one would hâve a construction alike, which would give the same resuit. Fig. 406.
  - 62. Problem. Two plans being given by means of their respective traces, ABc for the one, ADc for the other, to establish the projections of their common intersection. Fig. 407.
  - Solution. The point A, being common to the horizontal traces of the two plans, is necessariïy the horizontal projection of a point common to the two plans, at the place where each of those plans pénétrâtes the horizontal plan of projection. It is then the
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- - où l’intersection commune des deux plans pénètre ïe pian horizontal de projection : ainsi A a, perpendiculaire à C II, donne en a la projection verticale du pied de l’intersection des deux plans.
  - On prouverait de meme qile c, intersection des deux traces verticales, est ïe sommet réel de Iintersection des deux plans donnés, et que la projection horizontale de ce sommet est en c.
  - Donc A c et fl c sont les deux projections de lin- > tersection commune des deux plans proposés.
  - 63. Problème. Deux plans étant donnés au moyen des traces respectives de chacun ABc, ADc, construire l’angle que ces plans font entre eux.
  - Solution. Fig. 408. Soit A c îa projection horizontale de la commune intersection des deux plans donnés (projection que ï’on trouve, problème précèdent, en abaissant sur Cil la perpendiculaire c c f et menant A c).
  - E F, perpendiculaire quelconque à A c, sera la trace horizontale d’un plan qu’on mènerait perpendiculairement h la commune intersection des deux plans donnés, plan qui couperait les deux plans donnés en deux droites, qui, étant toutes les deux perpendiculaires à ï’intersection des plans donnés, comprendraient entre elles un angle linéaire égal à ï’angle plan que comprennent entre eux les pîans donnés. Ainsi ïes intersections de ce troisième plan avec les plans donnés forment un triangle perpendiculaire à ï’intersection commune des pîans donnés, et dont la base est E F.
  - La hauteur réeïïe de ce triangle est une perpendiculaire éïevée du point G sur ï’intersection commune des plans donnés. Si donc vous portez c A et c G de c en « et en g, que vous meniez c a et sa perpendiculaire g h, e a sera ïa longueur réeïïe de ï’intersection commune des plans donnés, et g h sera égale àïa perpendiculaire élevée du point G sur cette commune intersection, parce que vous aurez rabattu sur le plan vertical de projection, par un mouve-" ment de charnière exécuté sur e c, le triangle vertical formé par c c, c A et ïa commune intersection dont A est le pied et c ïe sommet, triangle qui contient ïa perpendiculaire élevée du point G sur cette commune intersection. ,
  - Portez donc g h de G en H', et menez EH' et F H' ; ï’angle EH'F seraégaî à l’angle plan ou à l’inclinaison réciproque des deux pîans donnés, parce que vous avez rabattu, comme par un mouvement de charnière exécuté en EF, sur ïe plan horizontal de projection, ïe triangle incliné qui existerait dans le plan que nous avons supposé ci-dessus être perpendiculaire à l’intersection des deux plans donnés.
  - Scholie. En se procurant d’abord la projection verticale, Fig. 409, de ï’intersection commune des pîans donnés, on peut faire une construction semblable, qui donnerait nécessairement ïe même résultat.
  - 64. Problème. Deux lignes qui se coupent dans l’espace, étant données au moyen de leurs projections respectives AB et ah, AC' et a c, construire fangïe que ces ïignes forment entre elles.
  - Solution, Fig. 440. Après avoir prolongé, s’il le faut, jusqu a ï’intersection C H, les projections verticaïes données, b et c seront ïes projections verticales des points où ïes ïignes données pénètrent ïe plan horizontal, et donneront en B et C', au moyen des perpendiculaires à CII, b B, cC', les traces
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  - taïen Projectionspïan hinein gèht. Er ïst foïgïich der wahre Punkt , wo der gemeinschaftïiche Durch-sebnitt beider Plane in den horizontaïen Projections-plan geht. Diesem ‘ zufoïge giebt A a , weïches mit CH perpendicuïar îst, in a die verticale Projection von dem Fusse des Durchschnitts, wo sich die Leiden Plane durchschneiden.
  - Eben so liesse sich auch beweisen, dass c, weïches der Durchschnitt der beiden verticaïen Linien ist, die wahre Hôhe des Durchschnittes der beiden gegebenen Pïâne ist, und dass die horizontale Vor-steïïung dieser Hôhe in c enthaïten ist.
  - Diesem zufoïge sind A c und ac die beiden Pro-jectionen vom gemeinschaftlichen Durchschnitt der beiden gegebenen Plane.
  - 63. Problem. Zwei Plane werden vermittelst ihrer respectiven Linien ABc, ADc, gegeben ; wie wird der Winkel gezeichnet, den diese Plane zusammen bilden?
  - Auflôsung. Fig. 408. Ac sey die horizontale Projection des gemeinschaftlichen Durchschnitts der beiden gegebenen Plane (Man findet diese Projection nach Maasgabe des vorhergehenden Pro-blems, wenn man die Perpendicularlinie c c auf CH herabführt, und Ac zieht).
  - E F, eine beïiebige mit A c perpendicuîare Linie, wird die horizontale Linie eines Planes seyn, weïcher mit dem gemeinschaftïichen Durchschnitte der beiden gegebenen Plane perpendicuïar geht, und die beiden gegebenen Pïâne in zwei gerade Linien durchschneidet ; da diese beiden ïetztern mit dem Durchschnitte der gegebenen Plane per-pendicular sind, so müssen sie unter sich einen ^ geometrischen Winkel begreifen, weïcher dem flachen Winkel gïeich ist, den die gegebenen Plane unter sich begreifen. Diesem zufoïge biïden die Durchschnitte dieses dritten Plans mit den gegebenen Pïânen einen mit dem gemeinschaftïichen Durchschnitte der gegebenen Pïâne perpendicuîaren Triangeï, dessen Basis EF ist.
  - Die wahre Hôhe dieses Triangeïs ist eine vom Punkte G auf den gemeinschaftïichen Durchschnitt der gegebenen Pïâne gefiihrte Perpendicularlinie. Trâgt man aïso c A und cG von c nach a und nach g; und zieht ca, nehst dessen Perpendicuïar-linie gh, so wird ea die wahre Lânge des gemeinschaftlichen Durchschnitts der gegebenen Pïâne seyn ; und g h wird der von dem Punkte G auf diesen gemeinschaftïichen Durchschnitt geführten Perpendicuïarïinie gïeich seyn^ weiï man vermittelst einer auf c c Statt gehabten scharnierfôrmi-gen Bewegung den von c c, c A und dem gemeinschaftïichen Durchschnitte, wovon A der Fuss und c die Hôhe ist, gebiïdeten verticaïen Triangeï auf den yerticaïen Projectionspïan umgeïegt hat ; weïcher Triangeï die vom Punkte G auf diesen gemeinschaftïichen Durchschnitt geführte Perpendicuïarïinie enthâît.
  - Man bringe aïso g h von G nach H', und ziehe EH' und F H' ; der Winkeï E H' F wird sodann dem flachen Winkeï oder der wechseïseitigen Neigung der beiden gegebenen Pïâne gïeich seyn ; weiï ver-mitteïst einer bei EF Statt gehabten scharnier-fôrmigen Bewegung, der sich neigende Triangeï, weïcher sich auf dem obgedacht angenommenen Plane mit dem Durchschnitte der beiden gegebenen Pïâne perpendicuïar befindet, auf den horizontaïen Projectionspïan herabgezogen worden ist.
  - Anmerkung. Mittelte man zuvorderst die verticale Projection Fig. 409 des gemeinschaftlichen Durchschnitts der gegebenen Pïâne aus, so érhieït man eine âhnïiche Zusammensetzung, aus weïcher sich das nâmïiche Résultat ergâhe.
  - 64. Problem. Es werden zwei sich einander durchschneidende Linien vermittelst ihrer respectiven Projectionen AB und ab, AC' und ac ge-geben; wie wird der Winkel, weïchen diese Linien unter einander bilden, zusammengesetzt ?
  - Auflôsung. Fig. 440. Hat man nôthigenfafls bis zum Durchschnitte CH, die gegebenen verti-calen Projectionen verïângert, so werden b und c die verticaïen V orsteïïungen der Punkte seyn, wo die gegebenen Linien in den horizontaïen Plan gehen ; sie werden ferner bei B und C', vermittelst der mit
  - reaï point wîiere the common intersection of the two pians pénétrâtes the horizontal plan of projection î thus A a, perpendicuïar to CH, gives in a the vertical projection of the foot of the intersection of the two pians.
  - One wouïd prove in the same manner that c, the intersection of the two verticaï traces, is the real summit of the intersection of two given plans, and that the horizontal projection of this summit is in c.
  - Therefore Ac and ac are the two projections of the common intersection of the two proposed plans.
  - 63. Problem. Two plans being given hy means of the respective traces of each ABc, ADc, to estabïish the angle made between those two plans.
  - SOLUTION. Fig. 408. Let Ac be the horizontal projection of the common intersection of the two given plans (which projection is found,preceding problem, by ïetting down on CH the perpendicuïar cc, aiid drawing Ac).
  - EF, a perpendicuïar whatever to À c, wiîï be the horizontal trace of a plan drawn perpendicuïarïy to the common intersection of the two given plans, which plan wouïd eut the two given plans in two right ïines, which, being both perpendicuïar to the intersection of the given plans, wouïd include between them a ïinear angle equaï to the plan angle incïuded between the given pîans. So that the intersections of that third plan with the given pîans forra a triangle perpendicuïar to the common intersection of the given pîans, and whose basis is EF.
  - The reaï height of that triangle is a perpendicuïar drawn up from the point G on the common intersection of the given plans. If, therefore, youcany c A and c G from c to « and to g, if you draw en and its perpendicuïar gh, ea wiîï be the reaïïength of the common intersection of the given plans, and g h wiîï be equaï to the perpendicuïar brougbt up from the point G on this common intersection, because you wiîï hâve puïïed down on the verticaï plan ôf projection, by rotation on cc, the vertical triangle formed by cc, c A and the common intersection whose A is the foot and c the summit, which triangle contains the perpendicuïar brought up from the point G on that common intersection.
  - Bring then g h from G to H', and draw EH1 and F H' ; the angle E H' F wiïï be equaï to the plan angle or to the reciprocaï inclination of the two given plans, because you wiîï hâve pufled down, as by rotation in E F, on the horizontal plan of projection, the incïined triangle which wouïd be m the plan supposed aïready to be perpendicuïar to the intersection of the two given pîans.
  - Sc ko lion. Finding first the verticaï projection, Fig. 409, of the common intersection of the given plans, one can make a construction aïike, which wouïd give the same resuit. v
  - 64. Problem. Two ïines cutting each otherin the space, being given by means of their respective projections AB and ab, AC' and ac, to estabïish the angle formed between those ïines.
  - Solution. Fig. 440. After having carriedon, if necessary, up to the intersection CH, the verticaï projections given, b and c wiîï be the vertical projection of the points where the given ïines pene-trate the horizontal pïan, and wiïï give in B and C', by means of the perpendicuïar ïines to CH, LB,
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- - horizontales Jes lignes données. Ainsi B C sera ïa base d’un triangle plus ou moins incliné formé par les deux lignes qui avaient été données sur cette ^ base ; triangle dont la projection horizontale est ABC',
  - La perpendiculaire À D étant la projection horizontale de la hauteur perpendiculaire de ce triangle, et la verticale a a en étant ïa projection verticale, puisque c’est la hauteur à laquelle les lignes données se croisent au-dessus du plan horizontal ; si l’on porte A D de a en d, et qu’on mène a d, ce sera la lon-gueur.réelle de la hauteur du triangle ci-dessus*
  - Ainsi il n’y a qua reporter a d de D eh Ë ; les deux lignes B E, C' E, feront entre elles l’angle B E C', égal à celui que les lignes données font entre elles dans l’espace, puisque ce triangle BEC' n’est autre chose que le triangle incliné dont on vient de parler, rabattu sur le plan horizontal de projection par un mouvement cle rotation exécuté sur la base BC' comme sur une charnière.
  - Scholie. On pourrait obtenir le même résultat par line construction semblable exécutée sur le plan vertical de projection, en commençant par se procurer les traces verticales b, c, Fig. ttt, des deux lignes données (traces que l’on obtient en prolongeant les projections horizontales jusqu’à C H, puis élevant les perpendiculaires B b, G c, respectivement jusqu’aux projections verticales prolongées s’il le faut) ; alors h c se trouve hase d’un triangle dont les lignes données sont les deux autres côtés, et qui est projeté verticalement en h a c : la hauteur perpendiculaire de ce triangle est projetée verticalement en d a, et horizontalement en a A, qui exprime la distance à laquelle le sommet du triangle se trouve être du plan vertical. Portant donc d a de a en d, on aura A d pour longueur réelle de la hauteur perpendiculaire du triangle ; et on ïa reportera de d en e pour avoir l’angle b e c du triangle réel, supposé rabattu sur le plan vertical par un mouvement exécuté sur b c.
  - 65. Problème. Étant donné un plan dont les traces sont C' D c, et une ligne dont les projections sont AB, ab, construire l’angle que la ligne fait avec le plan. Fig. H2.
  - SOLUTION. Si l’on imagine une perpendiculaire abaissée d’un point quelconque de la ligne donnée sur le plan proposé, la ligne donnée fera avec cette perpendiculaire un angle qui sera le complément de celui qu’elle forme avec le plan. Ainsi déterminez, au moyen d’une perpendiculaire h. CH, sur les projections de ïa ligne donnée, deux points B, b, qui soient les projections d’un même point de la ligne donnée, et de chacun de ces points menez ensuite des perpendiculaires BC', bc, aux traces du plan: elles seront les projections de la perpendiculaire qu’on aurait abaissée sur le plan, à partir du point que Ton vient de déterminer; en sorte qu’il n’est plus question que de construire l’angle compris entre cette perpendiculaire et la ligne donnée.
  - Si vous prolongez les projections verticales jusqu’à l’intersection commune en a et e, et si, par des perpendiculaires, vous renvoyez ces deux points sur les projections horizontales en A et en E, vous aurez les traces horizontales des deux lignes en question, qui forment avec ïa sous-tendante AE un triangle incliné, dans lequel l’angle opposé à AE est celui qu’on cherche. Et comme A B E est ïa projection horizontale de ce triangle; que B F est celle de sa hauteur perpendiculaire, tandis que b b est la hauteur réelle du sommet au-dessus du plan horizontal, et par conséquent la projection verticale de
  - ( )
  - CH, h B, c C', perpendicularen Linien die horizon-talen Vorstellungen deUgegebenen Linien anzeigen. Diesem zufolge wird B C' die Basis eines mehr oder weniger geneigten, von den beiden auf dieser Basis gegebenen Linien gebildeten Triangels seyn, dessen horizontale Vorsteïlung ABC' ist.
  - Da die Perpendicularlinie AD die horizontale Vorsteïlung der perpendicularen Hôhe dieses Triangels ist, und da ferner die Verticallinie aa die verticale Projection desselhen vorsteïlt, weil dieses die Hôhe ist, bei welcher die gegebenen Linien sich über derri horizontalen Plane kreuzen ; so wird, wenn man AD von a nach z/bringt, und a d zieht, dieses die wahre Lange der Hôhe des gedachten Triangels seyn.
  - Man braucht aïso bïoss a d von D nach E zurück-zuführen; worauf die beiden Linien BE, C'E, zu-sammen den Winkel BEC' hilden werden, welcher demjenigen ^Ic:ch ist, den die gegebenen Linien zusaihmen beschreiben;indem dieserTriangelBEC' nichts anders ist aïs der gedachte sich neigende Triangel, welcher vermittélst eineraufder Basis B C' Statt gehabten scharnierfôrmigen Bewegung auf den horizontalen Projectionsplan ùmgelegt worden ist.
  - Anmerkung. Man würde das nâmliche Résultat erhaïten, Wenn man aüf dem verticalen Projections-pïane eine âhnliche Zusammensetzung unternâhme, und zuvôrderst die Verticalen Projectionen b,c, Fig. ttt, der beiden gegebenen Linien ausmittelte ( man erhâlt solche, wenn man die horizontalen Projectionen bis zu C H verlângert, und die perpendicularen Linien B b, C' c aufrichtet, und zwarbiszu den verticalen Projectionen > weïche erforderiiehen Faïles verlangert worden sind); bc ist sodann dié Basis eines Triangels, dessen gegebene Linien die beiden andern Seiten sind, und welcher bei bac vertical vorgestellt ist : die perpendiculare Hôhe dieses Triangels ist bei d a vertical, und bei a A horizontal an-gegeben ; dieses ist der Abstand in welchem die Hôhe des Triangels vom verticalen Plane steht. Tragt man aïso da von a nach d, so erhâlt man A d als wahre Lange der perpendicularen Hôhe des Triangels ; tragt man dieselbe von d nach e zurück, so ergiebt sich daraus der Winkel bec des wahren Triangels, von welchem angenommen wird, dass er vermôgè einer auf b c Statt gehabten Bewegung auf den verticalen Plan herabgezogen worden sey.
  - 65. Problem. Es wird gegeben ein Plan C' D c, und eine Linie AB , ab, wie wird der Winkel ge-zeichnet, den die Linie mit dem Plane bildet.
  - \ Fig. tt2.
  - ÂUFLÔSUNG. Nimmt man eine Perpendicularlinie an , weïche von einem beliebigen Punkte der gegebenen Linie auf den gegebenen Plan herabgezogen worden ist ; so wird die gegebene Linie mit dieser Perpendicularlinie einen Winkel bilden, welcher das Complément von demjenigen seyn wird, den dieselbe mit dem gegebenen Plane beschreibt. Diesem zufolge bestimme man auf den Projectionen der gegebenen Linie vermittelst einer mit C H perpendicularen Linie zwei Punkte B, b, damit selbige die Projectionen eines und desselben Punktes der gegebenen Linie seyen. Von jedem dieser Punkte ziehe man sodann die Linien B C', b c, weïche mit den Linien des gegebenen Plans perpendicular sind : dieselben werden die Projectionen der Perpendicularlinie seyn, weïche man von dem auf der gegebenen Linie bestimmten Punkte auf den gegebenen Plan herabgezogen hat ; so dass es aïso bïoss noch darauf ankommt den Winkel zu bestimmen, welcher zwischen dieser Perpendicularlinie und der gegebenen Linie begriffen ist.
  - Verlangert man die verticalen Projectionen bis zu dem bei a und e gemeinschaftlichen Dürchschnitt, und führt vermittelst perpendicularer Linien dièse beiden Punkte auf die bei A und bei E horizontalen Projectionen zurück, so erhâlt man die horizontalen Vorstellungen der beiden fraglichen Linien, weïche mit der Sehne AE einen sich rteigenden Triangel bilden, worin der der Sehne AE entgegengesetzte Winkel der gesuchte ist. Und da AB E die horizontale Projection dieses Triangels, und B F die Vor-stellung der perpendicularen Hôhe desselben ist, wâhrend b h die wahre Hôhe über dem horizontalen
  - c C', the horizontal traces of the given lines. So B G will be the basis of a triangle rtiore or Jess inclined, and formed by the two given lines themselves on that basis ; wbose triangle the horizontal projection is ABC'.
  - The perpendicular fine AD being the horizontal projection of the perpendicular height of that triangle, and the vertical a a being the vertical projection of it, since it is the height at wliich the given lines cross each other over the horizontal plan ; if AD is carried from a in d, and a d is drawn, it will be the real length of the height of the mentionecï triangle*
  - So it is siifficiertt to brihg back a d from D to E ; the tWo lines BE, C'E, will form between tbem the angle BEC', equal to the one that the given lines make in the space, since that triangle BEC' is nothing eïse but the inclined triangle just now spoken of, pulled down on the horizontal plan of projection by rotation acted on its basis B C' as on a joint.
  - Seholion. The same resuit mfglit be obtaincd by à construction alike executed on the vertical plan cf projection, in finding first the vertical traces b, c, Fig. Ht > of the two given lines (whicb traces are obtained by Iengtheniug the horizontal projections up to C H, and lifting up the perpendicular lines B b, C'c> respectively Up to the vertical projections leUgthened, if necessaty ) ; then b c is the basis of a triangle whose given lines are the two other sides, and which is vertically projected in b a c : llie perpendicular height of that triangle is vertically pro-j'ected ih d a, and horizontallÿ in a A, at which distance the summit of the triangle is really from the vertical plan* Carrying, therefore, da from a to d, we will hâve A «Z as the real leUgth of the pCrpencIi-cülar height of the triangle ; and we shall carry it back from d to e on pürpose to hâve the angle b e c of the real triangle, supposed pülled down on 'the vertical plan by a rotative motion acted on bc.
  - 65* PRoélem. fieirig given a plan whose traces are-C' D c, and a line whose projections are A B, a b, to establish the angle made by the lihe with the plan. Fig. tt2.
  - Solution. If we suppose a perpendicular line let down from a point whatever of the given line on the proposed plan, the given line will make with this perpendicular an angle which will complété the one that it forms with the giveh plan. Thus, by means of a line perpendicular to C H, fix on the projections of the given line, two points B, b, which are the projections of a same point of the given line ; from each of those points, draw respectively a perpendicular linie B C'i b c, to the traces of the given plan : they will be the projections of the perpendicular line supposed to hâve been let down on the given plan,
  - ' from thë point just now determined on the given line; so that there is nothing eïse to do but to establish the angle formed by this perpendicular with the given lihe*
  - if you Iertgtheri the Vertical projections up to the cbmrnon intersection in a and e, and if, by perpendicular lines, you send back those two points on the horizontal projections in A and in E, you will hâve the horizontal traces of the two mentioned lines, which form with the subtense A E an inclined triangle, in which the angle opposite to AE is the one looked for. And as ABE is the horizontal projection of that triangle ; as B F is that of its per-perpendicülar height, while b b is the reaï height of the summit over the horizontal plan, and therefore the vertical projection of tlie same perpendicular-
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- - ïa même hauteur perpendiculaire; en portant B F de b en f, hf sera la longueur réelle de cette hauteur perpendiculaire, qu’il suffira de porter de F en G, pour exprimer sur le jplan horizontal ie triangle formé sur ce plan par les deux lignes dont il s’agit.
  - Ainsi l’angle A GE est celui que ïa ligne donnée forme avec une perpendiculaire au plan donné ; en sorte qu’en retranchant l’angle droit A G H', le reste E G H' est l’angle formé par la ligne donnée avec le pian donné.
  - Scholie. Si Ton voulait exécuter une construction semblable sur le plan verticaï de projection, iï faudrait avoir égard à deux choses, qui ont lieu dans ïe cas particulier de la Fig. 113.1,° Le prolongement de A B jusqu a C H ne peut fournir ia trace verticale de la ïigne donnée : il faut donc, au contraire, prolonger a b, et mener a B' parallèle à A B; et l’on a alors la projection horizontale d’une ïigne parallèle à la ligne donnée, mais seulement plus rapprochée du plan verticaï de ïa quantité A a, en sorte quelle a la même projection verticale ab, et que sa trace verticale est en a. Il est évident que cette ligne d’emprunt fait avec ïe plan le même angïe que la ligne donnée. 2.° La perpendiculaire B' C', se trouvant parallèle à CH, fait voir que la ligne dont elle est la projection est parallèle au plan vertical, et ne peut y avoir de trace. Pour suppléer à ce défaut, et avoir ïa réalité du triangle projeté verticalement en abE', horizontalement en aB'E, et dont ï’angle projeté en b est celui qu’on cherche, il faut porter sur ïa verticale E'e la distance b B( ou D C1, dont le sommet de ce triangle se trouve en avant du plan verticaï. Alors a e est la base réelle de ce triangle incliné; F B' estïa projection horizontale de sa hauteur perpendiculaire, que l'on portera de b en f, parce que b b en est la projection verticale : b f sera donc la longueur réelle de cette hauteur perpendiculaire, qui, portée de f en g, donnera ïe triangle réel incliné en a g e, et l’angle cherché e g h.
  - Dans les ouvrages de charpente, une partie^des pièces de bois est destinée à soutenir des efforts dans le sens de la longueur. Lorsque ces efforts sont des effets immédiats de ïa pesanteur, ce que les praticiens nomment le fardeau, c’est la verticale qui doit être la directrice de toutes les pièces destinées à les soutenir, et leur combinaison se détermine aisément au moyen de Y aplomb : tels sont les supports appelés poteaux, pointais, poinçons, &c.
  - Mais iï est d’autres forces qui ne sont pas dirigées dans le sens vertical, quoique souvent elles proviennent de la pesanteur, modifiée par différentes circonstances ; aïors les pièces de bois destinées à leur résister sont assujetties à une direction différente de ïa verticale , et déterminée dans chaque circonstance par la direction de l’effort lui-même. Cette direction exigée est ïe plus souvent la normale ou perpendiculaire au plan tangent d’une surface courbe. t)n ne peut donc, dans l’étude de cet art, négliger ïa considération des plans tangens à ces sortes de surfaces ; autrement l’ouvrage manquerait non-seulement des convenances générales, sans lesquelles rien ne peut avoir de grâce, mais encore de la solidité dont il pourrait être susceptible.
  - D’ailleurs iï est des ouvrages de charpente qui sont ou préparatoires, ou supplémentaires, ou réparateurs de ceux de maçonnerie, tels que les échafauds, les liens, les cintres, les moises, les étais, &c. Or c’est une condition indispensable pour les pièces
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  - Plane, und foïgïich die verticale Vorsteïïung der nâmlichen perpendicularen Hôheist; so vvird, wenn man B F von b nach f führt, b y die wahre Lange dieser perpendicularen Hôhe seyn , weïche man bïoss von F nach G zu tragen braucht, um den Tri-angel, den die beiden fraglichen Linien bilden, auf dem horizontaïen Plane anzugeben.
  - Diesem zufolge ist der Winkel A GE derjenige, den die gegebene Linie mit einer mit dem gegebe-nen Plane perpendicularen Linie bildet ; so dass wenn man den geraden Winkel A GH' wegnimmt, so ist der Rest E G H' der Winkel, den die gegebene Linie mit dem gegebenen Plane bildet.
  - Anmerkung. WoIIte man eine âhnïiche Zusam-mensetzung auf dem verticalen Projectionspïane aus-führen, so müsste man zwei Dinge, weïche in dem besondern Falle der Fig. 113 vorkommen, beriick-sichtigen. l.° Die Verïângerung von AB bis zu CH kann die verticale Vorsteïïung der gegebenen Linie nicht bewirken ; man muss foïgïich a b ver-ïângern , und a B' mit AB parallel ziehen; worauf man die horizontale Projection einer mit der gegebenen Linie parallel laufenden Linie erhâït, weïche aber dem verticalen Plane um die Grosse A a nâher gebracht ist ; so dass sie die nàmliche verticale Projection a b hat, und ihre verticale Liiîfie in a ist. Man sieht hieraus, dass diese angenommene Linie mit dem gegebenen Plane den nâmlichen Winkel bildet , wie die gegebene Linie. 2.° Die Perpendicu-larlinie B' C', weïche mit CH parallel ist, zeigt, dass die Linie, von weïcher sie die Projection ist, mit dem verticalen Plane paralïeï geht, und darauf nicht ausgedrückt seyn kann. Um diesem Mange! abzu-helfen und zugïeich den bei abE' vertical und bei a B' E horizontal vorgestellten Triahgeï zu erhalten, dessenbei b angegebener Winkel dergesuchte ist, muss man den Abstand b B' oder D C', wovon die Hôhe dieses Triangeïs sich vor dem verticalen Plane befindet, auf die verticale Linie E'e führen; ist dieses geschehen, so ist ae die wahre Basis dieses sich neigenden Triangeïs; F B' aber ist die horizontale Projection seiner perpendicularen Hôhe, weïche man von b nach y trâgt, weiï &b die verticale Projection davon ist: hf wird foïgïich die wahre Lange dieser perpendicularen Hôhe seyn ; wird dieseïbe von f nach g getragen, so giebt sie bei âge den wahren sich neigenden Triangel, und bei egh den gesuchten Winkel.
  - Béi Holzwerken ist ein Theiï der Hôïzer dazu be-stimmt, dem Drucke, weïcher sich bei den Hôïzern der Lange nach âussert, zu widerstehen. Hat dieser Druck unmittelbar in der Schwere seinen Grund , weïches in der Bausprache die Last genannt wird, so ist die verticale Richtung diejenige, weïche bei allen Unterstützungshôlzern angewendet werden muss. Dahin gehôren z. B. diejenigen Stützen, weïche unter den Namen von Pfosten , Giebel-sâuïen , u. s. w., vorkommen.
  - Es giebt jedoch andere Krâfte, weïche ihre Wirk-samkeit nicht in verticaïer Richtnng àussern, ohn-erachtet sie ihren nâchsten Grund in der Schwere haben; indem diese ïetztere von den Umstânden auf mannigfaltige Weise modificirt werden kann. In diesem Falle müssen die Hôïzer, weïche jenen Krâften Widerstand ïeisten soïlen, eine andere, von der verticalen verschiedene Richtung erhalten ; und zwar wird dieseïbe bei jedem einzeïnen Falle nach der Art und Weise bestimmt, wie sich der Druck âussert. Diese Richtung ist sehr oft die normale, oder diejenige weïche mit dem eine krumme Fïâche berührenden Plane perpendicuïar ist. In der Praxis darfdaher die Beachtung der Pïâne, weïche Flâchen dieser Art berühren , keineswegs vernachlâssigt werden ; indem sonst der Bau nicht aïïein gegen die wesentlichen und allgemein angenommenen Regeln, ohne weïche âussere Schônheit nicht gedacht werden kann, verstossen, sondera auch den Grad der Festigkeit nicht erïangen würde, den er sonst erïangt haben würde.
  - Uebrigens giebt es Hoïzwerke, weïche vorlâufig angeïegt werden, um andern aïs Hüïfsmitteï zu dienen; wiederum andere sind zur Ergânzung, und noch andere zur Ausbesserung von Maurerarbeit bestimmt; dahin gehôren Gerüste, Bander, Bogen,
  - height ; carrying B F from b to f, hf wiïl be the real Iength of that perpendicuïar height, lhatit wiïl suffice to bring from F to G to hâve pulled down on the horizontal plan the triangle formed above that plan b y the two lines mentioned.
  - Thus the angïe A G E is the one that the given ïine forms with a line perpendicuïar to the given plan; so that in abstracting the^right angle À G H1, the remainder EGH' is the angle formed by the given line with the given plan.
  - •
  - Scholion. If one shouïd wish to make a construction alike on the vertical plan of projection, one must consicler two things happening in the particular case of the Fig. 113. l.° The prolongation of AB to CH cannot give the vertical trace of the given line : we must, therefore, on the contrary, lengthen a b, and trace a B' parallel to AB ; and we havethen the horizontal projection of a line parallel to the given line, but onïy the quantity A a nearer the verticaï plan, so that it lias the same vertical projection a b, and its vertical trace is in a. It is évident that this borrowed ïine makes with the plan the same angle as the given ïine. 2.° The perpendicuïar B1 C1, being parallel to CH, shows that the line whoseprojection it is, is parallel to the vertical plan, andcan hâve no trace there. To obviate this, and to hâve the reality of the triangle verticaiïy projected in abE', horizontalïy in aB'E, and whose angle projected in b is the one searched, we mustcarry on the vertical ïine E'e the distance A B' or D C', which séparâtes the summit of that triangle from the vertical plan. Then a e is the real basis of that inclined triangle ; F B' is the horizontal projection of its perpendicuïar height, which wiïl be carried from b to f, because A b is the vertical projection of it : hf wiïl therefore be the real Iength of that per-pendicular height, which, broughtfromf to g, wiïl give the realty of the triangle inclined in âge, and the searched angle in e g h.
  - In the works of carpentry, part of the timbers is designed to support violence in the direction of their Iength. When those efforts are immédiat effects of gravity, what is caïled in practical language the burden, the vertical line ought to be the direction of ail the pièces designed to support them ; and their combination is easily determined by means of the aplomb : such are the supports caïled posts, pointais , hing-posts, &c.
  - But there are other forces who dont act in the vertical direction, though they arise often from gravity, influenced by various circumstances; then the pièces of timber designed to resist them hâve a direction different from the vertical one, and determined in each case by the direction of the effort itself. This forced direction is the most often the normal or perpendicuïar to the tangent plan of a curved surface. One cannot, therefore, in thestudy of this art, neglect the observation of the tangent plans to those sorts of surfaces ; otherwise the work should be defectuous not onïy with regard to the general conveniences, without which nothing is graceful, but with regard to its solidity.
  - Besides, there are some timber works, either pre-paratory, or supplementary, or designed to repare those of masonry, such as the scaffolds, the ties, the centers, the moises, the stays, &c. But it is indispensable, for the principal parts of those works, to
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- - principales de ces ouvrages, que ïexîr direction’rencontre perpendiculairement la surface à construire ou à soutenir, c’est-à-dire quelles soient normales, ou perpendiculaires au plan tangent»
  - Les propriétés des pïans tangens étant ïa base de cette partie du dessin qu’on appelle la distribution des ombres, leur connaissance devient nécessaire aussi sous ce point de vue dans ïes dessins d’ouvrages de charpente qui concernent ïa mécanique, et où il est impossible de donner une idée distincte de l’objet, sans y exprimer par des ombres graduées les divers effets de la lumière.
  - Nous avons déjà eu occasion de voir ce qui regarde ïes perpendiculaires aux pïans ; il nous reste donc seulement à exposer quelques principes sur les pïans tangens aux surfaces courbes.
  - On sait que trois points donnés suffisent pour ïa détermination d’un pïan, et qu’en conséquence deux lignes qui se croisent produisent ïa même détermination; et comme il n’existe pas une seuïe surface courbe à laquelle on ne puisse assigner au moins deux générations, il n’est pas un point sur une surface courbe auquel on ne puisse concevoir au moins deux tangentes différentes.
  - Il suit de ïà qu’en général fart de mener un pïan tangeflt à une surface courbe par un point donné sur cette surface ou hors de cette surface, consiste à construire ïe plan qui passerait par deux tangentes à ïa surface courbe, qui se croisent au point donné; mais on aperçoit sans peine que la nature particulière de chaque surface courbe peut modifier beaucoup l’appïication de ce principe général.
  - 66. Problème. Sur une surface cylindrique dont on a ïes projections, étant donné un point dont la projection horizontale est C, Fig. 114, construire ïes traces d’un pïan tangent à cette surface et passant par ïe point donné. J
  - SOLUTION. Soient AB, a b, ïes projections de ï’axe du cylindre ; E P D, e a d, ïes projections de sa hase, dont la première est proprement ïa trace horizontale de cette surface.
  - Par ïa projection horizontale C du point donné, menons à ïa trace ïa droite C E parallèle à A B ; elle sera ïa projection horizontale d’autant de ïignes de contact du pïan demandé avec ïe cylindre donné, qu’eïïe aura elle-même d’intersections avec la trace DPE. On voit ici qu’il y aura deux pïans tangens, l’un relatif à l’intersection D, et l’autre à l’intersection E ; et, au reste, D et E sont les points où les deux ïignes de contact pénètrent ïe pïan horizontal. Donc, en menant à C' H' ïes perpendiculaires Ee, D d, puis e f et df parallèles à ï’axe a b, on aura les projections verticales des deux ïignes de contact, ou de l’un des éïémens de chacun des deux plans tangens.
  - Un pïan tangent à une surface cylindrique étant nécessairement tangent aussi à toutes les sections de cette surface, si nous menons à la trace EPD, par ïes deux intersections E, D, les tangentes E G, DF, elles seront respectivement les traces ïiorizontaïes des deux pïans tangens demandés ; et même leurs intersections G, F, sur ïa commune section des pïans de projection, seront un point de ïa trace verticale de chacun de ces pïans tangens, en sorte qu’il n’est plus question que de trouver un second point de chacune de ces traces verticales.
  - Les deux points de contact qui ont C pour projection horizontale, ont pour projections verticales, 3.‘ Partie.
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  - Hângesauïen, Stütze’n, u. s. w.Ein wesentïiches und unerlâssïiches Erforderniss bei den vorzügïichsten Hôïzern dieser Art ist nun dieses, dass ihre Rich-tung mit der zu erbauenden oder# zu stützenden Fïàche perpendicuïar zusammentreffe ; d. h., sie müssen mit dem berührenden Plane normal oder perpendicuïar seyn.
  - Da die Eigenschaften der berührenden Plane die Basis desjenigen Theiïs der Zeichenkunst sind , weïchen man die Vertheilung der Schatten nennt, so ist auch unter diesem Gesichtspunkte die Kennt-niss derseïben bei Zeichnungen von Zimmerwerken nôthig, weïche die Mechanik betreffen, wo der Gegenstand sich unmôgïich auf eine deutïiche Weise darsteïïen ïâsst, wenn die verschiedenen Wirkungen des Lichtes nicht durch verhâïtniss-mâssige Schatten ausgedrückt werden.
  - Wir haben bereits die mit den Pïânen perpendicuïar zutreffenden Linien kennen geïernt; es bïeibt uns aïso nichts weiter übrig, aïs einige Gruncïsatze über die, die krummen Fïâchen berührenden Plane aufzusteïïen.
  - Bekanntïich reichen drei gegebene Punkte zur Bestimmung eines Plans hin , sodass aïso durch zwei sich kreuzende Linien diese Bestimmung ebenfaïïs erïangt werden kann : und da es auch nicht eine einzige krumme Fïàche giebt, weïcher nicht we-nigstens zwei Generationen angewiesen werden kônnten ; so giebt es foïgïich auch auf einer krummen Fïàche keinen einzigen Punkt, weïcher nicht wenigstens zwei verschiedene Tangenten erhaïten kônnte.
  - Es foïgt hieraus, dass im aïïgemeinen die Kunst einen eine krumme Fïàche berührenden Plan durch einen auf dieser Fïàche oder ausserhaïb derseïben ge-gebenen Punkt zu führen darin bestehe , dass man den Plan so steïïe, dass er durch zwei Tangenten gehe, weïche sich bei dem gegebenen Punkte kreuzen : es ist jedoch ïeicht einzusehen, dass die besondere Natur einer jeden krummen Fïàche die Anwendung dieses aïïgemeinen Grundsatzes ausser-ordentïich modificiren kann.
  - 66. Problem. Es wird auf einer cyïindrischen Oberflâche, deren Projectionen man kennt, ein Punkt gegeben , dessen horizontale Projection C, Fig. H4 ist ; wie werden die Umrisse eines diese Oberflâche berührenden, und durch den gegebenen Punkt gehenden Planes gezeichnet?
  - Auflôsung. Die Projectionen der Axe des Cy-ïinders seyen AB, ab; und EPD, ead, die Projectionen der Basis, von denen die erste die eigent-ïiche horizontale Vorstellung dieser Oberflâche ist.
  - Durch die horizontale Projection C des gegebenen Punktes, ziehe man die gerade Linie CE paraïïeï mit AB ; sie wird die horizontale Vorstellung von eben so vie! Linien des verïangten Planes seyn, weïche den gegebenen Cyïinder berühren , aïs sie seïbst mit der Linie DPE Durchschnitte haben wird. Man sieht, dass es hier zwei berührende Pïâne giebt, von denen der eine zum Durchschnitt D , und der andere zum Durchschnitt E gehôrt ; übri-gens sind D und E die Punkte wo die beiden Be-rührungsïinien in den horizontaïen Plan gehen. Führt man aïso die perpendicuïaren Linien E e, D d zu C'H', und sodann ef und df paraïïeï mit der Axe ab, so erhâït man die verticaïen Projectionen der beiden Berührungsïinien, oder einen von den we-sentïichen Bestandtheiïen, aus denen ein jeder der berührenden Pïâne zusammengesetzt ist.
  - Da ein Pïan, weïcher eine cyïinderische Fïàche berührt, nothwendigerweiseauch aile Durchschnitte dieser Fïàche berühren muss, so werden die Tangenten EG, DF, wenn wir sie auf die Linie EPD durch die beiden Durchschnitte E, D, führen, die horizontaïen Vorsteïlungen der beiden verïangten Plane seyn ; und seïbst ihre auf dem gemeinschaft-ïichen Durehschnitte der Projectionsplâne befind-ïichen Durchschnitte G, F, werden ein Punkt zu der verticaïen Vorstellung für jeden einzeïnen dieser beiden berührenden Pïâne seyn ; so dass es aïso nur noch darauf ankommt, einen zweiten Punkt für eine jede von diesen verticaïen Vorsteïlungen zu finden.
  - Die beiden Berührungspuukte, deren horizontale Vorstellung in C enthaïten ist, haben ihre ver-
  - have their direction meeting perpendicuïarïy the surface to be buiïd or to be supported ; that is to say being normales, or perpendicuïar to the tangent "plan.
  - The propertîes of those tangent plans being the basis of that part of drawing calïed the distribution of the shades, the knowledge of them becomes aïso necessary under this point of view in the drawings of works of carpentry wïiich are connected with mechanic, and where it is impossible to give a distinct idea of the object, without expressing in them by graduated shades the various effects of ïight.
  - We aïready had an opportunity to consider what regards the ïines perpendicuïar to the pïans; it remains onïy therefore to establisïi some principïes on the plans tangent to the curved surfaces.
  - It is known that three given points are sufficient to détermine a plan, and that, accordingïy, two ïines Crossing each otïier give the same détermination ; and as there is not a curved surface to wïiich one couïd not ascribe at ïeast two générations, when the surface is known, there is not a point on a curved surface to which one couïd not imagine at ïeast two different tangents.
  - From thence it foïïows that, in général, the art of bringing a tangent pïan to a curved surface by a given point on that surface or out of that surface, consists in estabïishing the plan which might pass by two tangents to the curved surface, which cross each other at the given point : but one sees easiïy that the particuïar nature of each curved surface can modify much the application of that general principïe.
  - 66. Problem. On a cylindricaï surface whose projections are known, being given a point whose horizontal projection is C, Fig. H4, to construct the traces of a pïan tangent to that surface and passing by the given point.
  - Solution. Let be AB, ab, the projections of the axis of the cyïinder ; E P D, e a d, the projections of its basis, whose first is the very horizontal trace of that surface.
  - By the horizontal projection C of the given point, let us draw to the trace the rightïine CE paraïïeï to A B ; it wiïï be the horizontal projection of as many ïines of contact of the asked pïan with the given cyïinder, as it wiïï hâve itseïf intersections with the trace DP E. We perceive here that there wiïï be two tangent plans, the one in relation with the intersection D, and the other with the intersection E ; and, after aïï, D and E are the points where the two ïines of contact penetrate the horizontal plan. Therefore, if we draw to C' H' the perpendicuïar ïines E e, Dd, and ef and d/paraïïeï to the axis ab, we shall hâve the vertical projections of two ïines of contact, or of one of the éléments of each of the two tangent plans.
  - A pïan tangent to a cylindricaï surface being necessariïy tangent aïso to aïï the sections of that surface, if we draw to the trace EPD, by the two intersections E, D, the tangents E G, DF, they wiïï be respectiveïy the horizontal traces of the two tangent plans required ; and even their intersections G, F, on the common section of the plans of projection, wiïï be a point of the vertical trace of each of the tangent pïans ; so that we want nothing more but to find a second point of each of those vertical traces.
  - The two points of contact which hâve C for horizontal projection, hâve for vertical projections, the
  - il
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- - Tu» c, .l’autre c', intersections des projections verticales des lignes de contact par la perpendiculaire C c à fa commune intersection.
  - Si, par le point inferieur, dont la îigne de contact est projetée en C D et c d, nous imaginons une horizontale dans le plan tangent, sa projection horizontale sera CI, parallèle à la trace D F de ce plan; sa projection verticale sera l’horizontale c i, et l’intersection i de cette horizontale par la verticale élevée du point I en sera fa trace, c’est-à-dire, le point où cette ligne horizontale pénètre le plan vertical de projection. Ainsi le point i du plan vertical est réellement sur l’horizontale menée par le point donné dans le premier plan tangent : il est donc un point de sa trace verticale; et pour avoir celle-ci, il suffit de mener F L
  - Pour le point supérieur, dont la îigne de contact est projetée en CE, c' e, imaginant de même dans son plan tangent une horizontale passant au point situé verticalement au-dessus du point donné clans la surface cylindrique, les projections de cette ligne seront C H et c1 h : la verticale H h donnera en h la trace de cette horizontale, et conséquemment un point de la trace verticale du second plan tangent, laquelle sera ainsi G h.
  - r
  - 67. Problème. Sur une surface conique dont on a les projections, étant donné un point dont la projection horizontale est C, construire les traces d’un plan tangent a cette surface au point donné.
  - Solution. Fig. 115. Ce problème se résout absolument comme celui de la surface cylindrique, excepté que toutes les lignes qui sont parallèles à Taxe quand il est question du cylindre, passent par le sommet quand il est question du cône : en conséquence, on a désigné par les mêmes lettres, dans cette figure, les lignes qui ont la même fonction que dans la figure relative au cylindre.
  - 68. Problème. Par un point donné sur la surface d’une sphère, mener un plan tangent à cette sphère.
  - Solution. Fig. 116. Soient A et a b les projections du diamètre vertical de la sphère donnée ; a e d b d c, la projection verticale de son grand cerclé ; C, la projection horizontale du point donné. GA CH est la trace d’un plan vertical passant par l’axe et par le point donné : cette trace deviendra A C', si ce plan tourne sur Taxe jusqu’à ce qu’il soit devenu parallèle au plan vertical de projection, mouvement par lequel le point donné décrira un arc de cercle horizontal égal à sa projection C C'. Alors la section circulaire opérée par le plan qui a tourné, se confond avec la projection donnée a e d b.
  - Le point C', projeté indéfiniment au plan vertical, y coupe la projection donnée aux deux points e, d, qui donnent la hauteur verticale des deux points de contact que comporte également la projection donnée C, et dont on aura les projections verticales, en renvoyant C en c et c(, sur les horizontales indéfinies cei, c'd k, qui sont les traces de sections horizontales faites par les deux points de contact possibles, sections qui, dans la sphère donnée, sont des cercles dont le rayon est A C' ou AC.
  - Puisque le plan tangent demandé doit être perpendiculaire au plan vertical qui passe par l’axe et par le point de contact, quand celui-ci est devenu
  - .< « )
  - ticaïeii Projectionen., der eine in c , der andere in c', welches die Punkte sind, wo sich die verticaïen Projectionen der Berührungslinien mit der mit dem gemeinschaftlichen Durchschnitte perpendicular ge-henden Linie Ce, durchschneiden.
  - Wenn wir uns vorsteïlen , dass im berührenden Plane eine horizontale Lime durch den untern Punkt geht, dessen Berührungslinie bei CD und cd vorgestellt ist, so wird die horizontale Vorstellung dieser Linie CI seyn, und mit DF, welches die Linie dieses Planes ist, parallel gehen ; die verticale Projection derseïben ist die Horizontallinie ci, und der Punkt i, wo diese Horizontallinie von der vom Punkte I aufgerichteten Yerticallinie durch-schnitten wird, ist die Vorstellung derseïben, d. h. der Punkt, wo diese Horizontallinie in den verti-calen Projectionspïan hineingeht. Diesem zufolge befmdet sich der Punkt i des verticaïen Planes auf der horizontaïen Linie , welche durch den im ersten berührenden Plane gegebenen Punkt gezogen ist : er ist folglich ein Punkt zu seiner verticaïen Vorstellung , welche man dadurch erhâït, dass man Fi zieht. '
  - Nehmen wir in dem berührenden Plane für den obern Punkt, dessen Berührungslinie in CE, c' e vorgestellt ist, ebenfalïs eine Horizontallinie an , welche zu dem Punkte geht, der sich vertical über dem in der cylindrischen Oberflâche gegebenen Punkte befmdet ; so wird die Vorstellung dieser Linie CH und c'h seyn, die Verticallinie H h, wird bei h die Vorstellung dieser Horizontallinie, und folglich einen Punkt zu der verticaïen Vorstellung des zweiten berührenden Planes geben, so dass also diese letztere G h seyn wird.
  - 67. Problem. Es wird auf einer conischen Fïâche, deren Projectionen man kennt, ein Punkt gegeben, dessen horizontale Vorstellung C ist ; vvie werden die Linien eines bei dem gegebenen Punkte diese Fïâche berührenden Planes gezeichnet ?
  - Auflôsung. Fig. 115. Die Auflôsung dieses Probleins stimmt mit der für die cylindrische Fïâche gegebenen Problem vôllig überein ; nur dass sâmmt-liche Linien, welche beim Cylinder mit der Axe parallel sind, bei dem Kegel durch den Scheitel gehen. Aus diesem Grunde sind in dieser Figur diejenigen Linien, welche mit der in der vorigen Figur enthaltenen einerlei Bestimmung haben, mit den nâmlichen Buchstaben bezeichnet worden.
  - 68. Problem. Durch einen auf einer sphârischen Fïâche gegebenen Punkt einen die Sphâre berührenden Plan zu führen.
  - Auflôsung. Fig. 116. Es seyen A und a b die Projectionen zu dem verticaïen Durchmesser der gegebenen Sphâre; aedbr/e die verticale Vorstellung ihres grossen Zirkeîs ; C die horizontale Vorstellung des gegebenen Punktes. GA CH ist die Vorstellung eines verticaïen Planes, welcher durch die Axe und durch den gegebenen Punkt geht : diese letztere Vorstellung wird AC' seyn, wenn dieser Plan sich dergestaït um die Axe dreht, dass er mit dem verticaïen Projectionsplane parallel wird ; ver-mitteïst welcher Bewegung der gegebene Punkt einen mit seiner Vorstellung C C' gleichen horizon-talen Zirkelbogen beschreiben wird. Sodann ver-schmilzt sich der durch die drehende Bewegung des Planes entstandene zirkelrunde Durchschnitt mit der gegebenen Projection aedb.
  - Der Punkt C', welcher im verticaïen Plane auf unbestimmte Weiseausgedrückt ist, durchschneidet daselbst die bei den beiden Punkten e, d gegebene Projection. Diese Punkte geben die verticale Hôhe der beiden Berührungspunkte , welche die gegebene Projection C ebenfalïs giebt, und wovon man die verticaïen Projectionen dadurch erhâït, dass man C nach c und c', auf die unbestimmten Hori-zontallinien cei, c'dk zurückführt, welches die Vorstellungen der horizontaïen Durchschnitte sind, welche von den beiden moglichen Berührungs-punkten geschehen sind,und welche Durchschnitte in der gegebenen Sphâre Zirkel sind , deren Radius A C' oder A C ist.
  - Da der verlangte Berührungsplan perpendicular seyn soll mit dem verticaïen Plane, welcher durch die Axe und den Berührungspunkt geht, wenn
  - one in C, the other in c", intersections of the vertical projections of the lines of contact by the perpendicular Ce to the common section.
  - If, by die inferior point, whose line of contact is projected in CD and c d, we suppose an horizontal line in the tangent plan, ks horizontal projection willbe CI, parallel to the trace DF of the plan ; its vertical projection will b#the horizontal c i; and the intersection i of this horizontal by the vertical elevated from the point I will be the trace of it, that is to say the point wliere this horizontal line pénétrâtes the vertical plan of projection. Thus the point i of tire vertical plan is effectually on the horizontal line drawn by the given point in the first tangent plan : it is then a point of its vertical trace; and, to hâve this, it is enough to draw F i.
  - As to the superior point, whose line of contact is projected in CE, ce, if we suppose also in its tangent plan an horizontal line passing by the point vertically situated over the given point in the cyïin-dricaï surface, the projections of that line will be CH and c1 h : the vertical H h will give in h the trace of that horizontal line, and accordingly one point of the vertical trace of the second tangent plan, which will thus be G h.
  - 67. Problem. On a conical surface whose projections are known, being given a point whose horizontal projection is C, to construct the traces of a plan tangent to that surface, at the given point.
  - Solution. Fig. 115. That problem is to be resolved absolutely Iike that of the cylindrical surface, except that every line which is parallel to the axis, when the question is to know the cylinder, pass through the summit, when the cône is the matter : accordingly we hâve designed by the same letters, in the présent figure, the lines which are of the same use as in the figure relative to the cylinder.
  - 68. Problem. By a given point on the surface of a sphere, to draw a plan tangent to that sphere.
  - *Solution. Fig. 116. Let be A and ab the projections of the vertical diameter of the given sphere ; a e d b de, the vertical projection of its great circle ; C, the horizontal projection of the given point. G A C H is the trace of a vertical plan passing through the axis and by the given point: that trace will become A C', if that plan tums round the axis until it is become parallel to the vertical plan of projection, movement by which the given point will describe one horizontal arc of circle equal toits projection C C'. Then the circular section made by the plan which lias turned round, is confounded with the given projection aedb.
  - The point C', indefiniteïy projected towards the vertical plan, cuts there the given projection at the two points e, d, which give the vertical heightof the two points of contact that the given projection C bears also, and of which the vertical projections will be had, by transferring C to c and c', on the inde-finite horizontal lines cei, c'dk, which are the traces of horizontal sections made by the two points of contact possible; which sections, in the given sphere, are circles whose ray is A C' or A C.
  - Since the tangent plan required ought to be perpendicular to the vertical plan which passes through the axis and by the point of contact, when this is
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- - parallèle au plan vertical de projection, tous ïes plans tangens possibles y sont également perpendiculaires, et ont pour traces les tangentes e g, d h, menées par les points de contact que le même mouvement a amenés en d et e sur le plan meme de projection, et les distances a g, a h, de Taxe au pied de ces tangentes, sont les mêmes qui ont lieu sur fa trace AC, à quelque endroit que ce point C se trouve sur fa circonférence dont C C' fait partie. Donc, en transportant a g et ah en AG et AH, on a un point de fa trace horizontafe de chaque plan tangent : ces traces seront donc GI et H K perpendiculaires à A C»
  - En outre, ïes horizontales indéfinies ce i, c'dk, qui ont été menées par les projections verticafes du point donné et de son correspondant, renferment fa projection verticale d’une tangente horizontafe à chacun des cercfes qui forment les sections dd, c e, relatives à chacun des points de contact. La perpendiculaire C J est fa projection horizontafe de ces deux tangentes ; J est celle des deux points où ces tangentes pénètrent chacune ïe pïan verticaï de projection. Ainsi J i k, perpendiculaire à C1 If y par ses intersections avec ci et c' k, donne en i et k ïes traces verticafes de ces tangentes : ce qui fournit un point de fa trace verticale de chaque plan tangent ; car tout pfan tangent à une surface courbe doit contenir fa tangente de toutes ïes sections qu’on peut faire dans cette surface par le point de contact, et doit par conséquent passer par fes traces de toutes ces tangentes. Donc ïes traces verticafes des pïans tangens menés par le point donné sont I i et K k.
  - 69. Problème. Deux droites étant données par leurs projections horizontafes AB, CD, Fig. 117, et par feurs projections verticales a b, c d, construire fes projections de feur pfus courte distance, c’est-à-dire, de fa droite qui est en même temps perpendiculaire à l’une et à l’autre, et trouver fa longueur de cette distance.
  - Solution. Si Ion conçoit une troisième droite passant par un point quelconque de fa première, et parallèle à fa deuxième, ces deux droites, qui se coupent, seront dans un même pfan parallèle à fa seconde des deux ïignes données ; et si Ion imagine ensuite que cette seconde figne donnée soit l’axe d’une surface cylindrique à base circuîaire qui touche fe plan ci-dessus, fe rayon de fa base de ce cylindre sera évidemment fa plus courte distance cherchée des deux lignes données ; car fa ligne de contact du cylindre et du plan, ou se confondra avec fa première ligne donnée, ou fa coupera en un point d’où Ion pourra mener une perpendiculaire au pfan, qui sera aussi perpendiculaire à fa seconde figne donnée, axe du cylindre. II n’est donc question que de construire ces divers objets. , y
  - l.° Du point b, projection verticale commune à un point pris dans chacune des lignes données, si ï’on mène à l’intersection commune C' H' fa perpendiculaire b b B b', et que f’on mène B E parallèle à CD, ce sera fa projection horizontale d’une droite parallèle à fa deuxième, et passant par un point de fa première dont les projections sont B et b ; bc sera fa projection verticale de fa même parallèle. Les perpendiculaires cE et a A font connaître que fa première des droites données rencontre ïe plan horizontal en A ; et fa troisième, parallèle à fa deuxième, en Et en sorte que fa droite A EF est fa trace du plan passant par fa première et parallèle à fa seconde.
  - ( « )
  - dieser letztere mit clem verticafen Projectionspfane paralfel geworden ist, so sind mit demseïben auch aile môgfiche, durch die Tangenten eg, dh ange-deutete Berührungsplâne perpendieufar : diese Tangenten sind dürch die Berührungspunkte geführt, welchedie nâmfiche Bewegung nach d und e aufden Projectionspfan selbst gebracht hat : und die am Fusse dieser Tangenten befindlichen Abstande a g, a h, der Axe, sind die nâmlichen, welche auf der Linie A C Statt haben, an wefehem Orte sich übrigens auch der Punkt C auf dem Umkreise , zu wefehem C C' gehôrt, befmden mag. Tragt man afso ag und ah nach AG und AH, so erhâlt man einen Punkt zu der horizontalen Linie eines jeden Berührungspîans. Diese Linien sind diesem zufolge GI und HK, und sind mit A C perpendieufar.
  - Ausserdem enthalten die unbéstimmten horizon* taïen Linien cei, c'dk, weïche durch die verticafen Projectionen, sowohf des gegebenen aïs des mit ihm correspondirenden Punktes, gezogen worden sind, die verticale Vorsteffung einer Tangente, welche horizontal mit jedem der Zirkef ist, welche die zu jeclem Berührungspunkte gehôrigen Durchschnitte dd, ee bilden. Die Perpendicularfinie CJ ist die horizontale Vorsteflung dieser beiden Tangenten : J ist die Vorstellung der beiden Punkte, wo eine jede dieser Tangenten in den verticalen Projections-plan hineingeht. Diesem zufolge giebt die Linie Jik, welche ci und c' k durchschneidet, und mit O H1 perpendicular ist, bei i und k die verticale Vorsteflung dieser Tangenten ; wodurch man einen Punkt zu der verticalen Vorsteffung eines jeden Be-rührungsplanes erhàft ; denn jeder Plan , welcher eine krumme Flâche berührt, muss die Tangente von aïlen Durchschnitten enthalten , welche sich auf dieser Ffâche durch den Berührungspunkt machen fassen , und muss fofglich durch aile diese Tangenten gehen. Die verticalen Linien der durch den gegebenen Punkt geführten Berührungsplâne sind diesem zufolge Ii und Kk.
  - 69. Problem. Zwei gerade Linien werden ver-mittefst ihrer horizontalen Projectionen AB, CD , Fig. 117, Und vermittefst ihrer verticafen Projectionen a b, cd gegeben; wie werden die Projectionen ihres kürzesten Abstandes gezeichnet, d. h. derje-nigen geraden Linie, welche zugïeicher Zeit mit der einen und der andern perpendicular ist; und wie findet man die Lange dieses Abstandes ?
  - Auflôsung. Denkt man sich noch eine dritte gerade Linie, welche durch einen befiebigen Punkt der ersten geht, und paraflef mit der zweiten ist; so werden sich diese beiden geraden Linien, welche sich durchschneiden, auf einem mit d^r zweiten der beiden gegebenen Linien paralfel faufenden Plane befmden. Und stelft man sich ferner vor, diese zweite gegebene Linie sey die Axe einer cylin-driscfîen Ffâche mit zirkefrunder Basis, welche den vorgedachten Plan berührt ; so wird der Radius dieser Basis offenbar der gesuchte kürzeste Abstand der beiden gegebenen Linien seyn ; denn die Be-rührungsfinie des Cyfinders so wie des Planes, ver-schmifzt entweder mit der ersten gegebenen Linie , oder durchschneidet sie bei einem Punkte, von welchem man eine mit dem Plane pçrpendiculare Linie ziehen kann, die mit der zweiten gegebenen Linie, welche die Axe des Cyfinders, ist, ebenfafls perpendicular seyn wird. Es kommt also nur noch auf die Zeichnung dieser Gegenstânde an.
  - l.° Wenn man aus dem Punkte b, wefeher die gemeinschaftliche verticale Vorstellung zu einem in jeder der gegebenen Linien genommenen Punkte ist, die Perpendicularlinie b b B b' auf den gemein-schaftlichen Durchschnitt C H' führt, und BE mit CD parallel zieht, so wird dieses dié horizontale Vorstellung einer geraden, mit der zweiten Linie parallel laufenden Linie seyn , welche durch einen Punkt der ersten Linie, deren Projectionen B und b sind, geht; bc aber wird die verticale Vorstellung der nâmlichen Parallellinie seyn : die Perpendicu-Iarlinien cE und a A zeigen, dass die erste der ge-gebenenen geraden Linien mit dem horizontalen Plane bei A, und die dritte, welche mit der zweiten parallel ist, mit diesem Plane bei E zusammentrifft ; so dass die gerade Linie A EF die Vorstellung des
  - become paralfel to the vertical pfan of projection, aff tfie tangent plans possible are perpendicular to it, and hâve for traces the tangents eg, dh, drawn by the points of contact brought by the same move-ment in d and e on the plan of projection itseff ; and the distances a g, a h, from the axis to the bottom of those tangents, are the same as on the trace A C, whatever may be the place of that point C on the circumference whose C C' is a part. Therefore, trans-ferring a g and a h to A G and A H, one fias a point of the fiorizontaf trace of each tangent pïan : tfiese traces wilf then be GI and H K, perpendicular to AC.
  - And more, the indefmite horizontal fines cei, c'dk, which hâve been drawn by the vertical projections of the given point and of its homologous, contain the vertical projection of an horizontal tangent to each circfe forming the sections dd, ce, relative to eacli point of contact. The perpendicular C J is the horizontal projection of those two tangents ; J is that of the two points where those tangents eacli penetrate the vertical plan of projection. Thus Jik, perpendicular to C1 If, by its intersections with c i and c' k, gives in i and k the vertical traces of those tangents ; which form one point of the vertical trace of each tangent plan ; for each plan tangent to a curve surface ought to contain the tangent of every section that can be made in that surface by the point of contact, and ought consequentfy to pass by the traces of ali those tangents. Therefore the vertical traces of the tangent plans drawn by the given point are I i and K k.
  - 69. Problem. Two straight lines being given by their horizontal projections AB, CD, Fig. 117, and by their vertical projections ab,cd, to con-struct the projections of their shortest distance, that is, of the straight fine which is at the same time perpendicular to the one and the other, and to find the length of that distance.
  - SOLUTION. If one conceives a third straight fine passing by a point whatever of the first, and paralfel to the second, those two straight fines, which inter-sect, will be in one same pfan paralfel to the second given fine ; and, if one supposes afterwards that this second given line is the axis of a cylindricaf surface with a circufar basis touching the plan before men-tioned, the ray of the basis of that cylinder will evidently be the shortest distance of the two given lines ; for the fine of contact of the cylinder and of the plan, either wilf be confounded with the first given line, or wilf eut it at a point from which it wilf be possible to draw a fine perpendicular to the pfan , which will be also perpendicular to the second given fine, the axis of the cylinder. The question is therefore but to construct those various objects.
  - l.° If, from the point b, the vertical projection common to a point taken in each given fine, one draws to the common intersection C1 If the perpendicular b b B b1, and if one draws B E parallel to C D, it wilf be the horizontal projection of a straight line parallel to the second, and passing through a point of the first whose projections are B and b ; b c wilf be the vertical projection of the same parallel. The perpendicular fines c E and a A show that the first given straight fine meets the horizontal plane at the point A ; and the third, paralfel to the second, at the point E : so that the straight fine A E F is the trace of the plan passing by the first and paralfel to the second.
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- - S.° Par ïe point C, oîi la deuxième ligne donnée rencontre le plan horizontal, imaginons un plan perpendiculaire à cette ligne : iï contiendra ïa base circulaire du cylindre dent cette ligne est l’axe ; son intersection avec ïe plan parallèle dont A E est la trace, sera ïa tangente de cette base circulaire, et ïa trace horizontale du même plan sera CH, perpendiculaire à DC.
  - Si nous supposons encore un plan vertical passant par ïa seconde ligne et dont la trace soit DCF , son intersection avec ïe plan dont A E est ïa trace, sera parallèle à la seconde ligne, puiscjue celui-ci lui est ïui-même parallèle. Ainsi, en rabattant ce troisième pian sur ï’horizontaï par un mouvement sur sa trace DF, portant perpendiculairement de b' en b" ïa hauteur verticale b b du point dont les projections sont B et b, et menant C b", qui donnera l’angle D C b" formé par ïa seconde ïigne avec ïe plan horizontal ; F K, parallèle à C h", donnera i’angle D F K que la projection D F forme avec l’intersection du plan vertical D CF, par le plan parallèle à la seconde ligne donnée A H F : de sorte qu’en menant C K perpendiculaire à F K, et relevant le pian vertical , C K sera l’intersection du plan vertical, dont ïa trace est D F, par le plan perpendiculaire à ïa seconde ïigne donnée, dont la trace est CH, plan qui contient ïa base circulaire du cylindre dont iï est question.
  - Enfin supposons que ce plan perpendiculaire à ï’axe soit rabattu à son tour sur ïe plan horizontal par un mouvement autour de sa trace C H : ï’arc K K' exprime le mouvement qu'éprouvera ïe point K, et C K se trouvera couché en C K' ; de sorte que H K' exprime l’intersection des deux pians, l’un A E parallèle, l’autre CH perpendiculaire à l’axe du cylindre. Cette ligne est donc tangente à la base circulaire du cylindre, et une perpendiculaire CI, dirigée sur elle du point C, sera ïe rayon du cylindre dont il s’agit. Le point I est donc un des points de l'arête du contact du cylindre avec le plan AE, qui est parallèle à son axe, après que ce point a été rabattu sur le plan horizontal par un mouvement parallèle à l’axe ïui-même; IN, parallèle à CD, est la projection horizontale de cette arête de contact; N et son renvoi n sont les projections du point où ï’arête de contact coupe la première ïigne donnée, et conséquemment de l’une des extrémités de ïa plus courte distance cherchée.
  - 3.° Cette plus courte distance devant être perpendiculaire commune aux deux lignes données, et conséquemment au plan AE, qui est parallèle à ïa seconde, sa projection doit être perpendiculaire à ïa trace A E de ce plan : menant donc GNP perpendiculaire à A E, et renvoyant P en p, ces deux points de ïa projection de ïa seconde ligne donnée seront les projections de ï’autre extrémité de la plus courte distance cherchée ; et N P, n p, les projections de cette perpendiculaire commune, au moyen desquelles on pourra construire sa grandeur réelle.
  - 2.e SOLUTION. Si Ton imagine un plan parallèle en même temps aux deux droites données, puis par chacune d’elles un plan perpendiculaire à ce premier, l’intersection des deux derniers sera ïa direction de la perpendiculaire commune aux deux lignes données.
  - c <•* )
  - Planes ist, welcher durch die erste Linie geht, und mit der zweiten parallel ist.
  - 2. ° Stellen wir uns vor, dass durch den Punkt C, \vo die zweite gegebene Linie mit dem horizontalen Plane zusammentrifFt, ein mit dieser Linie perpen-dicularer Plan gehe, so wird derselbe die zirkelrunde Basis des Cylinders enthalten, von welchem diese Linie die Axe ist ; die Linie wo derselbe von dem parallelen Plane A E durchschnitten wird , ist soda nn die Tangente dieser zirkeirunden Basis ; und die horizontale Yorstellung des nâmlichen Planes wird die mit D C perpendiculare Linie C H sey n.
  - Denken wir uns noch einen verticalen Plan, welcher durch die zweite Linie geht, und dessen Yorstellung DCF wâre, so wird der Punkt, wo er von dem Pfane A E durchschnitten wird, mit der zweiten Linie parallel seyn ; indem dieser mit dem ersten Plane parallel ist. Zieht man also vermittelst einer auf der Linie D F Statt habenden Bewegung diesen dritten Plan auf den horizontalen herab , und tragt die verticale Hohe b b des bei B und b vorge-stellten Punktes , perpendicular von b' nach 6"; zieht sodann C b", weïches den Winkel DCè", den die zweite Linie mit dem horizontalen Plane bildet geben wird ; so giebt F K, weïches parallel mit C b" ist, den Winkel DFK, den die Projection DF mit demDurchschnittedes verticalen Planes D CFbildet, welcher von dem mit der zweiten gegebenen Linie AH F, parallel ïaufenden Plane durchschnitten wird. Zieht man sodann CK perpendicular mit FK, und fiihrt den verticalen Plan wieder in die Hôhe ;
  - * so wird CK derDurchschnitt seyn, wo der verticale Plan D F von dem mit der zweiten gegebenen Linie CH perpendicularen Plane durchschnitten wird, und welcher Plan die zirkelrunde Basis des fraglichen Cylinders enthâlt.
  - Stellen wir uns endlich vor, dass dieser mit der Axe perpendiculare Plan vermittelst einer , auf seiner Linie CH Statt gehabten Bewegung, auf den horizontalen Plan umgeïegt worden sey; so zeigt der Bogen K K' die Bewegung, weïche der Punkt Kerïeidet, und CK befindet sich in CK'; so dass H K den Durchschnitt der beiden Plane enthâlt, wovon der eine AE mit der Axe des Cylinders pa-ralleï, und der andere CH mit derseïben perpendi-cuïar ist. Diese Linie berührt foïglich die zirkelrunde Basis des Cylinders ; und eine Perpendicu-larlinie CI, welche aus dem Punkte C aufdieselbe geführt worden ist, wird der Radius des gedachten Cylinders seyn. Der Punkt I ist foïglich einer von den Punkten wo die Kante des Cylinders den Plan AE berührt, welcher mit der Axe desseïben parallel ist, w^m dieser Punkt vermittelst einer mit der Axe paralïeïen Bewegung auf den horizontalen Plan umgeïegt worden ist. IN, parallel mit CD, ist die horizontale Vorstelïung dieser berührenden Kante ; N und dessen zuriickgeführter Punkt n 3 sind die Projectionen des Punktes wo die berührende Kante die gegebene erste Linie durchschneidet, sie geben foïglich auch die Projectionen zu einem der Enden des gesuchten kürzesten Abstandes.
  - 3. ° Da dieser kürzeste Abstand eine mit den beiden gegebenen Linien, und foïglich auch mit dem Plane A E, welcher mit der zweiten Linie parallel ist, gemeinschaftïiche Perpendicuïarlinie seyn muss; so muss dessen Projection mit der Linie AE dieses Plans ebenfalïs perpendicular seyn : zieht man aïso GNP perpendicular mit AE , und führt P nach p zurück ; so werden diese beiden Punkte der zweiten gegebenen Linie die Projectionen zu dem andern Ende des gesuchten kürzesten Abstandes seyn, und NP, np sind die Projectionen dieser gemeinschaftïichen Perpendicuïarlinie, vermittelst welcher sich die wahre Grosse derseïben bestimmen lâsst.
  - 2.,e ÂUFLÔSUNG. Denktman sich einen Plan , welcher zu gleicher Zeit mit den gegebenen beiden geraden Linien parallel ist ; denkt man sich ferner durch jede von diesen Linien einen andern mit dem ersten perpendicûïaren Plan, so wird der Durchschnitt dieser beiden Pïàne die Richtung der den gegebenen beiden Linien gemeinschaftlichep Per-pendicularlinie seyn.
  - 2.° By the point C, where the second line given meets the horizontal plan, ïet us suppose a plan perpendicular to that ïine: itwiïïcontainthe circular basis of the cylinder whose that line is the axis ; its intersection with the parallel plan of which AE is the trace, will be the tangent of that circular basis, and the horizontal trace of the same plan will be CII, perpendicular to D C.
  - Again, if we suppose a vertical plan passingby the second ïine and whose trace is D CF, its intersection with the plan of which AE is the trace, will be parallel to the second ïine, since that ïast ïine is parallel itself to this firstpïan. Thus, if that third plan islaiddown by a movement on its trace D F, bringing perpen-dicuïarïy from b' to b" the vertical height b b of the point whose projections are B and b, and drawing C b", which will give the angle D C b" of the second line with the horizontal plan; F K, parallel to C b", will give the angle D F K of the projection D F with the intersection of the vertical plan D CF by the plan parallel to the second line given A HF : so tliat, drawing CK perpendicular to F K, and lifting up again the vertical plan, C K will be the intersection of the vertical plan, whose trace isDF, by the plan perpendicular to the second given line, whose trace is C H, which plan contains the circular basis of the cylinder mentioned.
  - Lastïy, ïet us suppose that the plan perpendicular to the axis is laid down in its tum on the horizontal plan by a rotation round its trace CH : the arc KK' is the expression of the motion which wiH resuit from it for the point K, and CK will be foundïaid down at CK'; so that H K' represents the intersection of the two plans, the one AE parallel, the other CH perpendicular to the axis of the cylinder. That line is therefore tangent to the circular basis of the cylinder, and a perpendicular CI, drawnonit from the point C, will be the ray of the mentioned cylinder. The point I is therefore one of the points of the edge of contact of the cylinder with the plan AE, which is parallel to its axis, when that pointhas been laid down on the horizontal plan by a movement parallel to the axis itself; IN, parallel to CD, is the horizontal projection of that edge of contact; N and its transferring n are the projections of the point where the edge of contact cuts the first line given, and accordingly of one of the ends of the shortest distance ïooked for.
  - 3.° As that shortest distance ought to be perpendicular common to both the given fines, and of course to the plan AE parallel to the second, its projection ought to be perpendicular to the trace AE of that plan : drawingthen GNP perpendicular to A E, and sending back P to p, these tw o points of the projection of the second given fine will be the projections of the other extremity of the shortest distance ïooked for; and NP, np, the projections of that common perpendicular, by the heïp of which one may estabïish its reaï size.
  - 2.d SOLUTION. If one supposes a plan paraïïeï at the same time to both the given fines, and by each of them a plan perpendicular to the first, the intersection of the two ïast ones will be the direction of the common perpendicular to both the given fines.
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- - SECTION IV.
  - Goniometrie.
  - (Extrait de Frezier, Legendre et Hachette. )
  - 70. Théorème. Dans une pyramide triangulaire, si l’on fait passer trois plans dont chacun soit perpendiculaire à l’une des trois arêtes qui concourent au même angle solide, ces plans formeront une seconde pyramide dont les angles plans seront respectivement le supplément des angles linéaires de la première, et dont les angles linéaires seront de même supplémens des angles plans de la première.
  - Démonstration. Soit, Fig. H8, la pyramide S A B C, placée sur sa face ABC comme base. Si par le point D, pris à volonté sur farête B C, on fait passer le plan D F f e, perpendiculaire à cette arête, il est visible que ce plan coupant sera en même temps perpendiculaire au plan de la base ABC. En second lieu, si par un point quelconque I de l’autre arête inférieure A B on mène un autre plan IF f i, perpendiculaire aussi à cette arête AB, ce second plan sera aussi perpendiculaire au plan de la base ABC.
  - Ainsi la ligne F f, intersection commune de deux plans perpendiculaires à ïa base, s’élève elle-même perpendiculairement au-dessus de cette base, et est perpendiculaire à toute ligne tracée sur cette base et passant par son pied F.
  - Puisque DF et IF sont perpendiculaires à un même point F de la ligne F f, qui est fa commune intersection de deux plans coupansfD et f I, f’angfe linéaire IFD, formé par ces deux lignes, est donc ïa mesure de f angle plan IFfFD de fa seconde pyramide. Or cet angfe IFD est fe suppfément de ï’angle A B C de fa première pyramide, qui fui est opposé; car dans fe quadrilatère inférieur B IFD, les angles en I et en D étant droits par construction, les deux autres sont mutuellement suppîémens l’un de l’autre.
  - En troisième fieu, quand on mène d’un point h quelconque de î’arête B S un plan h i f e perpendiculaire à cette arête, if produira nécessairement les mêmes résultats, c’est-à-dire qu’il sera perpendiculaire en même temps et au plan be, comme f’est déjà fD, et au plan c i, comme l’est déjà If; en sorte que f’angfe linéaire h e D sera ïa mesure de ï’angle pïan IiefeD de fa seconde pyramide, et supplément de ï’angle J ou SBC de ïa première, et que f’angïe linéaire h il sera ïa mesure de f’angïe pfan h if il de fa seconde pyramide et le supplément de f’angfe c ou SBA de fa première. Donc, l.° chaque angfe pïan de fa seconde pyramide est fe supplément de f’angfe linéaire opposé dans fa première. 2.° On vient tïe voir que fes trois nouveffesarêtes Ff, e f, if, sont respectivement perpendieufaires aux faces FB, eb, ic, de ïa pyramide primitive : donc ces faces primitives sont, pour fa seconde pyramide, perpendiculaires aux arêtes, et doivent avoir fe même résultat; donc les angles pfans de fa première pyramide sont à ïeur tour fes suppîémens respectifs des angles linéaires de fa seconde,
  - (
  - 71. Problème. Connaissant fes trois angfes ïi-néaires qui forment un angfe solide, construire l’inclinaison de chacun par rapport à un quatrième pïan qui formerait un tétraèdre avec fes trois angfes donnés.
  - Principe. L’angle pfan a pour mesure l’angle fi-néaire formé par deux perpendiculaires à ïa commune intersection des deux surfaces qui constituent f’angfe plan. (Bien entendu que ces perpendiculaires sont 3.* Partie.
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  - VIERTER ABSCHNITT.
  - Goniometrie.
  - (Auszug aus Frezier, Legendre und Hachette.)
  - 70. Theorem. Zieht man auf einer dreieckigen Pyramide drei Fïâchen dergestaït, dass eine jede mit einer der drei Kanten, wefche in demseïben kôrperïichen Winkef zusammentreffen, perpendi-cuïar sey ; so werden diese Fïachen eine zweite Pyramide bifden, deren flache Winkeï die Ergân-zung der geometrischen Winkef der ersten Pyramide sind , und deren geometrische Winkef eben-faïfs die Ergânzung der fïachen Winkef der ersten Pyramide sind.
  - Beweis. Es sey die Fig. H8 die Pyramide SABC, weïche auf ihre Flache ÀBC, wefche zur Basis angenommen ist, gestefft ist : zieht man nun durch den auf der Kante B C nach Beïieben genom-menen Punkt D , den Plan DFfe, perpendieufar mit dieser Kante, so wird dieser durchschneidende Pfan offenbar auch mit dem Pfane der Basis ABC perpendieufar seyn. Zieht man zweitens durch einen beïiebigen in der untern Kante AB befmdïichen Punkt I einen andern Pfan IF fi, ebenfaffs perpen-dieufar mit dieser Kante A B ; so wird dieser zweite Pfan gleichfalïs auch mit dem Pfane der Basis ABC perpendicuïar seyn. Diesem zufofge erhebt sich die Linie Ff, weïche der gemeinschaftïiche Durch-schnit der beiden mit der Basis perpendieufaren Pfane ist, perpendicuïar über dieser Basis, und ist mit jeder Linie, wefche auf dieser Basis gezeichnet ist, und durch den Fuss F der gedachten Linie geht, ebenfafïs perpendieufar.
  - Da D F und IF mit einem und demseïben Punkte F, der Linie Ff, wefche der gemeinschaftïiche Durchschnitt der beiden durchschneidenden Plane fD und fl ist, perpendicuïar sind; so ist foïgïich der geometrische Winkeï IFD , den diese beiden Linien biïden, der Maasstab zu dem fïachen Winkef IFfFD der zweiten Pyramide. Nun ist aber dîeser Winkef IFD die Ergânzung des Winkefs A B C der ersten ihm entgegengesetzten Pyramide ; denn da bei dem untern Viereck B IFD, die Winkef in I und in D vermôge ihrer Steïïung rechte Winkef sind, so ergânzen die beiden andern wechseïseitig einer den andern.
  - Zieht man drittens aus einem beïiebigen auf der Kante BS befmdïichen Punkte h, einen Pfan hife, perpendicuïar mit dieser Kante, so werden sich nothwendigerweise daraus die nâmlichen Resuftate ergeben; d. h. derseïbe wird zu gïeicher-Zeit sowohï mit dem Plane 6e, wie es bereits der Faïf ist mit fD , aïs auch mit dem Plane ci, wie es if ebenfaïïs schon ist, perpendicuïar seyn ; so dass aïso der geometrische Winkeï heD sowohï dass Maas zu dem fïachen Winkeï hefeD der zweiten Pyramide, afs auch die Ergânzung des Winkeïs b oder SBC der ersten Pyramide seyn wird, und dass ferner der geometrische Winkeï h il, das Maas zu dem fïachen Winkef hifil der zweiten Pyramide, wie auch die Ergânzung des Winkeïs c odjer SBA der ersten Pyramide seyn wird. Diesemzufofge ist, l.° jeder flache Winkef in der zweiten Pyramide die Ergânzung des in der ersten Pyramide entgegengesetzten geometrischen Winkeïs. 2.° Wir haben gesehen, dass die drei neuen Kanten Ff, ef, if mit den Ffâchen F B, eb, ic der ersten Pyramide wechseïseitig perpendi-cuïar sind : diese Ffâchen sind fofgïich bei der zweiten Pyramide mit den Kanten perpendicuïar, und müs-sen dasselbe Résultat geben. Die fïachen Winkeï der ersten Pyramide sind foïgïich ihrerseits die res-pectiven Ergânzungen der geometrischen Winkeï der zweiten Pyramide.
  - 71. Problem. Es werden gegeben die drei geometrischen Winkeï, weïche einen kôrperïichen Winkef biïden ; wie findet man die Neigung eines jeden in Bezug auf einen vierten Pfan, wefeher mit den gegebenen drei Winkeïn einen Tetraëder biïden würde ?
  - Grundsatz. Das Maas des fïachen Winkeïs ist der geometrische Winkeï, wefeher von zwei mit dem gemeinschaftfichen Durchschnitte der beiden Ffâchen, aus denen der flache Winkeï besteht,
  - SECTION IV.
  - Goniometrij.
  - (Exlracted from Frezier, Legendre and Hachette.)
  - 70. Theorem. If through atrianguïar pyramid we cause to pass three plans each of which be per-pendieufar to one of the three edges which meet to form the same sofid angle, those plans wiïf form a second pyramid the plan angfes of which wiïf each be the supplément of the ïinear angles of the first, and whose the ïinear angles wiïï be aïso supplément of the plan angles of the first.
  - Démonstra tion. Let be the pyramid SABC, Fig. 118, pfaced on its face ABC as basis. If by the point D, taken at wiïï on the edge B C, one draws the plan D Ffe, perpendicuïar to thatedge, it is cïear that this secting pïan wiïï be at the same time perpendicuïar to the pïan of the basis ABC. Secondly, if, by a point whatever I of the other inferior edge A B, one draws another plan IF f i, perpendicuïar aïso to that edge A B, that second pïan wiïï be too perpendieufar to the plan of the basis ABC.
  - Thus the fine Ff, common intersection of two plans perpendicuïar to the basis, goes up itseïf per-pendicuïarfy over that basis, and is perpendicuïar to any line drawn on that basis and passing by its foot F.
  - Since DF and IF are perpendicuïar into the same point F of the line F f, which is the common intersection of the two cutting plans f D and fl, the ïinear angle IFD, formed by those two ïines, is then the measure of the pïan angle IF f F D of the second pyramid. Now that angle IFD is the supplément of the angle AB C of the first pyramid, which is oppo-sed to it ; for, in the inferior quadrifater B IFD, the angles in I and in D being right by construction, the two others are reciprocalîy suppfementary of each other.
  - Thirdfy, when we draw from a point h whatever of the edge B S a pïan hife perpendicuïar to that edge, it wiïf give necessarify the same resufts, which are : that it wiïf be perpendieufar at the same time and to the same pïan be, as is afready fD, and to the plan c i, as is afready I f; so that the ïinear angfe heD wiffbe the measure of the pïan angle hef eD of the second pyramid, and the supplément of the angfe b or SB C of the first, and that the ïinear angle h i I wiffbe the measure of the plan angle hifil of the second pyramid, and the supplément of the angle c or SB A of the first. Therefore, l.° each plan angle of the second pyramid is the supplément of the ïinear angle opposite in the first. 2.° We hâve just seen that the three new edges F f, e f, i f, are each perpendicuïar to the faces FB, e J, ic, of the primitive pyramid : therefore those primitive faces are, for the second pyramid, perpendicuïar to the edges, and ought to hâve the same resuit ; therefore the plan angles of the first pyramid are in their turn the respective suppléments of the ïinear angles of the second.
  - 71. Problem. Knowing the three ïinear angles which form a soïid angle, to construct the declivity of each with regard to a fourth pïan which would form a tetraedron with the three given angles.
  - Principle. The plan angle has for its measure the ïinear angle formed by two ïines perpendicuïar to the common intersection of the two surfaces which constitute the plan angle. (It is understood that
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  - perpendicularen Linien gebildet wird ; (vorausgesetzt jedoch dass die eine von diesen Perpendicularlinien auf der einen von den zwei Flâchen, und die andere auf der andern gezeichnet worden ist.)
  - AüFLÔSUNG. Es werden in Fig. 449 die drei Winkel Cs'B, B .s A, As"C gegeben, welche ver-mittelstder Berührung ihrer Hôhen s, s', s", einen kôrperlichen Winkel bilden. Man mâche einen Tri-angel A C B aus den der Hôhe S eines jeden Tri-angels entgegengesetzten Seiten , und zeichne auf jeder von diesen Seiten denjenigen der gegebenen Triangel, zu welchem diese Seite gehôrt. Man erhâlt auf diese Weise das nâmliche Résultat, aïs ob man den aus den gegebenen drei geometrischen Winkeln gebildeten Tetraëder SA CB batte, und ihn derge-stalt ausführte, dass man einer jeden Seitenflâche eine umdrehende scharnierfôrmige Bewegung um die mit der Basis correspondirende Seite machen liesse, um selbige auf die Basis des Tetraëders an-zuwenden. Es ergiebt sich hieraus, dass da As und As" beide AS gleich sind, so sind sie auch unter sich gleich ; dass es ferner der nâmliche Faïï ist, so-wohl mit Cs' und Cs", welche jede CS gleich sind, aïs auch mit B s und B s', welche beide BS gleich sind.
  - Um den fîachen Winkel zu finden, den ein jeder von diesen drei gegebenen Triangeln mit dem Tri-angel A CB bildet, z. B. SCB; so ziehe man durch einen Punkt b, welcher nach Belieben auf der ihnen gemeinschaftlichen Seite CB genommen ist, die Perpendicularlinie abc auf diese gemeinschaftliche Seite; trage ferner Ca von Cs' auf der derselben gleichen Linie Cs", nach C a; vereinige ca, und mâche endlich aus c und b aïs Basis, und aus den respectiven Radiis b a, c a, vermittelst zweier Bogen, welche sich bei d durchschneiden, den Triangel c d b ; worauf der Winkelcb d, welcher die gemeinschaftliche Seite CB berührt, der flache Winkel oder die Neigung der Seite Cs'B auf A CB seyn wird. Dieselbe Beschafîenheit hat es mit den beiden andern Triangeln A s B , A s" C.
  - Beweis. Hat man Cs"B und Cs'A an ihre respectiven Plâtze gebracht-, so durchschneiden sie sich in der Kante C S des Tetraëders, und die Punkte a und a verschmelzen sich ebenfalls in einem der Punkte, welche zur nâmlichen Kante gehôren ; die drei Linien b c, b a und c a beschreiben auf der Flache des Tetraëders den Triangel, welcher bei b d c auf seine Basis umgelegt ist. Bei diesem Triangel ist daher der Winkel b, dessen Seiten mit dem gemeinschaftlichen Durchschnitte der Plane CSB, CAB perpendicular sind, dasMaaszurgegenseitigen Neigung dieser letztern.
  - 72. Problem. Es werden gegeben die drei geometrischen Winkel cSA , ASB, BSC, welche einen kôrperlichen Winkel S bilden ; wie zeichnet man die flachen Winkel nebst der gegenseitigen Neigung eines jeden der drei Plane auf die beiden andern ?
  - those perpendicular are traced, the one on one of the two surfaces, the other on the other.)
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  - Solution. Letbe given, Fig. 449, thethree angles Cs' B, B s A, A s" C, which form a solid angle by the juxta-position of their summits s, s', s"; form a triangle A CB with the sidesopposite the summitS of each triangle, and on each of those sides construct that of the given triangles to which helongs that side. You will hâve thus the same resuit that ifyou had had the tetraedron SA CB, formed tfiththe three linear angles given, and if you had unfoldedit by making each latéral face turn round the cor-responding side of the basis as round an hinge, to apply itself to the basis of the tetraedron. It results from it that As and As", being both equal to AS, are equal to each other, and that it is the same for Cs' and C s", each equal to CS, and for B s and B/, both equal to B S.
  - To find the plan angle that each of those three given triangles makes with the triangle A CB, for instance S CB ; by a point b, taken at will on the side common between them, CB, draw to that common side the perpendicular abc; bring afterwards Ca from Cs' on its equal Cs" in Ca; join c a; and at Iast, from c and b as basis, and from the respective rays b a, ca, form, by two arcs cutting each other in d, the triangle c d b : the angle c b a', contiguous to the common side CB, will be the plan angle or the inclination of the side C s'B on A CB. It is the same with the two other triangles AsB, As"C.
  - Démonstration. When one has replaced the two plans Cs" B, C s'A, which then intersect in the edge CS of the tetraedron, the points a and ameetalso in one of the points of the same edge, and the three lines bc, b a and ca, form, at the surface of the tetraedron, the triangle which is laid down on its basis in b«'c in the figure. Now, in that triangle, the angle in b, having its sides perpendicular at the common intersection of the plans C S B, C A B, is the measure of their mutual declivity.
  - 72. Problem. Knowing the three linear angles cSA, ASB,BSC, which form a solid angle S, to construct the plan angles ofit, and the reciprocal inclination of each plan on the two others; or, in the practical language, to find the lackings ofan angle by the means of its three pannels.
  - tracées. lune sur l’une des deux surfaces, l’autre sur l’autre).
  - SOLUTION. Soient donnés, Fig. H9, les trois angles Cs'B, B s A, As"C, qui forment un angle solide par la juxta-position de leurs sommets s, s', s"; formez un triangle A CB des côtés opposés au sommet S de chaque triangle, et sur chacun de ces côtés construisez celui des triangles donnés auquel ce côté appartient. Vous aurez ainsi le meme résultat que si vous aviez eu le tétraèdre S A C B, formé des trois angles linéaires donnés, et que vous l’eussiez développé en faisant faire à chaque face latérale un mouvement de rotation autour du côté correspondant de la base, comme autour d’une charnière, pour l’appliquer sur la base du tétraèdre. II en résulte que A s et A s", étant toutes deux égales à A S, sont égales entre elles, et qu’il en est de même de Cs' et Cs", égales chacune à CS, et de B s et B s', l’une et l’autre égales à B S.
  - Pour trouver l’angle plan que chacun de ces trois triangles donnés fait avec le triangle A C B, par exemple S CB ; par un point b, pris à volonté sur le côté qui leur est commun, CB, menez à ce côté commun la perpendiculaire abc; portez ensuite Ca de Cs' sur son égale Cs" en C a; joignez ca, et enfin de c et de b comme base, et des rayons respectifs B a, c a, formez par deux arcs qui se coupent en d le triangle ca'b: l’angle cba', contigu au côté commun CB, sera l’angle plan ou l’inclinaison du côté C s'B sur A CB. II en est de même des deux autres triangles AsB, As"C. ( .
  - Démonstration. Quand on a remis en place les deux plans C s" B, C s'A, qui alors se coupent dans l’arête CS du tétraèdre, les points a et a se confondent aussi en un des points de la même arête, et les trois lignes b c, b a et c a, forment à la surface du tétraèdre le triangle qui est rabattu sur la base en b d c dans la figure. Or, dans ce triangle, l’angle en b, ayant ses côtés perpendiculaires à la commune intersection des plans CSB, CAB, est la mesure de leur inclinaison mutuelle.
  - 72. Problème. Connaissant les trois angles linéaires cSA, ASB, BSC, qui forment un angle solide S, en construire les angles plans et l’inclinaison réciproque de chacun des trois plans sur les deux autres; ou, dans le langage des praticiens, trouver les biveaux d’un angle au moyen de ses trois panneaux.
  - SOLUTION. Après avoir disposé les angles donnés, Fig. 420, dans le même ordre où ils sont contigus l’un à l’autre dans leur assemblage, par deux points c, C, pris à égale distance du sommet S, sur les côtés extérieurs de la figure, menez respectivement aux deux côtés communs SA, SB, les perpendiculaires c d, Ce, prolongées jusqu’à leur rencontre en P; du point P, comme centre, coupez SA prolongée en f avec le rayon d c, et SB prolongée en g avec le rayon e C : les lignes P f et P g feront respectivement avec les perpendiculaires P d, P e, des angles égaux à l’inclinaison de A S B sur A S c et sur BSC : c’est-à-dire que fPd = cSASB, et gPe = CSBSA.
  - Pour trouver l’inclinaison mutuelle de ces deux derniers angles ASc et BSC l’un sur l’autre, il faut redoubler le premier ASc à côté du dernier BSC, auquel il est aussi contigu dans l’assemblage, comme on le voit en a SC; répéter la même opération sur la figure a SB S C S A. Gn trouvera de même g p e = C S B S A, et en outre /‘p^=aSCSB.
  - Aufiosung. Hat man die in Fig. 420 gegebenen Winkel in der nâmlichen Ordnung in welcher einer den andern bei ihrer wechselseitigen Verbin-dung berührt, zusammengestellt, so führe man durch zwei auf den âussern Seiten der Figur, in gleichem Abstande vom Scheitel S genommene Punkte c, C, auf die gemeinschaftlichen Seiten SA, SB , die Perpendicularlinien cd, Ce, welche bis P, wo sie zusammentreffen , verlângert sind. Aus dem Punkte P, aïs Mittelpunkt, durchschneide man SA, welchesbis f verlângert ist, mit dem Radius de; und SB, weïches bis g verlângert ist, mit dem Radius e C : die Linien P f und P g werden mit den Perpendicularlinien P d, P e, Winkel beschreiben, welche gleich sind der Neigung ASB auf ASc und auf BSC; d. h. fPd=cSASB , und gPe= CSBSA.
  - Umdie Neigung zu finden, welche diese beiden letztern Winkel ASc und BSC, einer auf den andern haben, verdoppele man den ersten Winkel ASc, neben dem letzten BSC, den er auch in der Zü-sammensetzung berührt, wie solches bei aSC zu ersehen ist, und wiederhole sodann die nâmliche Operation auf der Figur a SB SCS A ; eben so wird
  - Solution. After having settled the given angles, Fig. 420, in the same order in which they are contiguous with each other in their assemblage, draw by two points c, C, taken at equal distance from the sum-mit S, on the outsides of the figure, to the two coin-mon sides SA, SB, the perpendiculars cd,Ce, prolonged to their meeting in P ; from the point P as center, eut SA prolonged in f with the ray de, and S B prolonged in g with the ray e C : the lines P f and P g will make respectively with the perpendicular lines P d, P e, angles equal to the inclination of A S B on ASc and on BSC; that is to say that fPd = cSASB, and gPe = CSBSA.
  - To find the mutual inclination of those two last angles ASC and BSC on each other, it must redouble the fîrst ASc next to the Iast BSC, with which it is also in contact in the assemblage, as it is seen in a S C ; repeat the same operation on the figure aSBSCSA. Man will find aïsogpe= CSBSA, and more ypd=aSCSB.
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- - Démonstration. La figure CBAcS n’est qu’un développement du tétraèdre H AB S, abstraction Lite de la face postérieure H AB; de sorte qu’en faisant tourner, comme sur une charnière, ASc sur A S et B S C sur B S, jusqu’à ce qu’ils se rencontrent, Sc se confondra avec S C en SH, de deviendra dH, et eC, eH; et de plus, ces deux lignes de, e C, étant perpendiculaires, fune à SA, l’autre à SB, elles décriront dans leur mouvement chacune un plan perpendiculaire au triangle A SB, en sorte que [intersection de ces deux plans sera une ligne HP, aussi perpendiculaire au triangle A S B. Donc Fangle HdP, que la figure montre en perspective, est formé de deux perpendiculaires en un même point d de la commune intersection SA des deux plans ASc, A S B; c’est donc la mesure de Finclinaison mutuelle de ces deux plans.
  - ;
  - Mais P d est commun aux triangles Pd H et P d f; Pfa été faiterrd e=dH: de plus, l’angle Pdf est droit comme dP H, qui ne le paraît pas à cause de la perspective. Ces deux triangles sont donc égaux en tout, et l’angle fPd est égal à Fangle HdP, et est la mesure de Fangle plan cS A SB.
  - ' On peut démontrer de même quegPe=Hep, et est la mesure de Fangle plan C S B S A, et que, dans la seconde partie de la figure, fp dz=hdp} et est la mesure du troisième angle plan aSCSB.
  - 73. Scholie. On peut voir par la construction suivante, Fig. 424, que l’opération est absolument la même quand les angles plans sont obtus. L’angle A S B, sur le plan duquel la construction est faite, est le même que dans la figure précédente, et l’on y a désigné les mêmes choses par les mêmes lettres. Mais, l’angle ASc étant ici plus grand que A SB, il en résulte que Fangle plan opposé est obtus, parce qu’en même temps le troisième angle linéaire B S C est beaucoup plus petit que dans le cas précédent.
  - Au reste, tout ce qui s’ensuit, c’est que, le concours des deux perpendiculaires cdP, CPe, se faisant hors du plan A SB, le pied de la perpendiculaire abaissée du point H est hors de ce plan en P, en sorte que Fangle HeP, qui est aigu, mesure l’inclinaison du plan H SB sur le plan B SC, inclinaison qui est précisément le supplément de celle de ce même plan H S B sur le plan BSA.
  - Ainsi cette dernière inclinaison, qui est celle que l’on cherche, a pour mesure naturelle Fangle obtus H e I, supplément de H e I?.
  - Mais, d’un autre côté, ayant fait, comme dans la construction précédente, P g = C e, qui est elle-même =He, quoique cette dernière paraisse bien plus courte parce quelle est vue en perspective, l’arête S H étant relevée au-dessus du plan, comme dans la figure précédente ; en sorte que les deux triangles H eP, g eP, rectangles, Fun en P et l’autre en e, ayant un côté commun en eP, et les côtés He et ge, réellement égaux entre eux, sont égaux en tout, et que l’angle gP e est égal à l’angle HeP: donc Fangle plan H S B A a pour mesure Fangle linéaire obtus g P C, supplément de g P e.
  - On prouverait de même que Fangle plan B S Ac a pour mesure linéaire fP d.
  - La construction indiquée en petits caractères, et quia été faite en redoublant Fangle cSA, à côté de l’angle B SC, dans la supposition que l’angle solide
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  - man finden ^pe=CSBSA, und überdiesfpd= aSCSB.
  - Beweis. Die Fig. CBAcS ist weiter nichts aïs der ausgeführte Tetraëder H AB S, ohne die hintere Seite H AB ; dreht man also scharniermâssig ASc auf A S, und B S C auf B S, so lange bis sie mit einander zusammentreffen, so wird sich Sc mit SC bei SH verschmeïzen, de wird sich in dH, und eC in eH verwandeln ; und da die beiden Linien de, e C perpendicular, und zwar die eine mit S A, die andere aber mit SB sind, so wird eine jede beiihrer Bewegung emen mit dem Triangel AS B perpendi-cularen Plan beschreiben ; so dass der Durch-schnitt dieser beiden Plane eine mit dem Triangel A SB ebenfalls perpendiculare Linie HP seyn wird. Diesem zufolge besteht der in der Figur perspec-tivisch dargestellte Winkel HdP aus zwei in dem-selben Punkte d, auf dem gemeinschaftlichen Durch-schnitte SA der beiden Plane ASc, A SB sich vereinigenden Perpendicularïinien ; dieses ist folg-lich das Maas zu der gegenseitigen Neigung dieser zwei Plane.
  - Pd aber ist den Triangeln PdH und Pdf ge-meinschaftlich: Pfist=de=dH gemachtworden: ausserdem ist der Winkel Pdf ein rechter, wie dPH, ohnerachtet es dieser ïetztere wegen der perspectivischen Ansicht nicht zu seyn scheint. Diese beiden Triangel sind sich folglich in allem gleich, und der Winkel fPd ist gleich dem Winkel HdP , und das Maas zu dem flachen Winkel cSASB.
  - Gleichergestalt ïâsst sich auch beweisen dass gPe ist = Hep, und dass es das Maas zu dem flachen Winkel CSB SA ist ; dass ferner im zweitenTheile der Figur fp d ist = hc/p, und dass es das Maas zu dem dritten flachen Winkel aSCSB ist.
  - 73. Anmerkung. Aus der Zeichnung in der Fig. 424 ergiebt sich, dass die nâmliche Operation genau dpnn Statt hat, wenn die flachen Winkel stumpf sind. Der Winkel A SB, auf dessen Plane die Zeichnung ausgeführt worden, ist der nâmliche wie in der vorigen Figur ; auch sind die nâmlichen Gegenstânde mit den nâmlichen Buchstaben be-zeichnet worden. Da aber der Wmkel ASc hier grôsser ist aïs A SB, so entsteht daraus die Foïge, dass der entgegengesetzte flache Winkel stumpf ist, indem zugleich der dritte geometrische Winkel B S C weit kleiner ist aïs im vorigen Falïe.
  - Daraus entsteht übrigens bloss eine einzige Foïge : da nâmlich das Zusammentreffen der beiden Perpen-dicularlinien cdP, CPe, ausserhalb dem Plane A SB Statt hat; so befindet sich der Fuss der Per-pendicularlinie, weïche vom Punkte H herabge-zogen worden ist, ausserhalb diesem Plane bei P ; so dass der Winkel HeP, welcher stumpf ist, das Maas zur Neigung des Planes H SB auf den Plan B S C, macht, weïche Neigung genau die Ergânzung der Neigung dieses nâmlichen Planes H SB auf den Plan BSA ist.
  - Der natürliche Maasstab dieser letzten Neigung, weïche gesucht wird , ist folglich der stumpfe Winkel Hel, welcher die Ergânzung von HeP ist.
  - Da aber von der andern Seite, wie in voriger Figur, P g ist = Ce, weïche Linie ihrerseits ist = He, ohnerachtet diese ïetztere wegen der perspectivischen Ansicht kürzer zu seyn seheint, weil die Kante SH wie in der vorigen Figur über den Plan erhaben ist; da ferner die beiden Triangel HeP, geP , weïche rechtwinkelig sind, und zwar der eine in P, und der andere in e, eine gemeinschaftliche Seite in eP, und die Seiten He und ge mit einander gleich haben, und folglich einander in allem gleich sind ; da endlich der Winkel gPe dem Winkel HeP gleich ist, so folgt hieraus, dass der flache Winkel HS B A den stumpfen geometrischen Winkel g P C, welcher die Ergânzung von gPe ist, aïs Maas hat.
  - Eben so liesse sich auch beweisen , dass der geometrische Winkel f P d, das Maas zu dem flachen Winkel B S A c ist. ^
  - Die mit kleinen Buchstaben versehene Zeichnung, bei welcher der Winkel c S A, neben dem Winkel B SC, unter der Voraussetzung, dass der
  - Démonstration. The figure CB AcS is but an unfolding of the tetraedron H AB S, except the pos-terior face H AB ; so that making turn ASc on AS as on hinges, and B S C on B S, until they meet, S c will be confounded with S C in SH, d c will become dH, and eC, eH; and more, those two lines de, eC, being perpendicular, the one to SA, the other to SB, they will each describe in their motion a plan perpendicular to the triangle A SB, so that the intersection of those two plans will be a line HP, perpendicular also to the triangle A SB. Therefore the angle HdP, shown in perspective in the figure, is formed with two perpendicuïars to the same point d of the common intersection SA of the two plans ASc, A SB; it is then the measure of the mutual inclination of those two plans.
  - But P d is common to the triangles PdH and Pdf; Pf hasbeen made=de = dH: more the angle Pdf is right as dPH, which does not appear so on account of the perspective. Those two triangles are then equal in every thing, and the angle f P d is equaï to the angle HdP, and is the measure of the plan angle cSASB.
  - It might be also proved that g P e=H e p, and is the measure of the plan angle CSBSA; and that, in the second part of the figure, fp d= h dp, and is the measure of the third plan angle a S CSB.
  - 73. Scholion. One may see by the following construction, Fig. 424, that the operation is abso-luteïy the same when the plan angles are obtuse. The angle A SB, on the plan of which the construction is made, is the same as in the preceding figure, and the same things hâve been designed there by the same letters. But, the angle ASc being here greater than A S B, it results from it that the opposite plan angle is obtuse, because at the same time the third linear angle B S C is much less than in the preceding case.
  - After ali, it only results from it, that, the meeting of the two perpendicuïars cdP, CP e, happening out of the plan A SB, the bottom of the perpendicular let down from the point H is out of that plan in P, so that the angle HeP, which is acute, measures the inclination of the plan H SB on the plan BSC; which inclination is precisely the supplément of that same plan H SB on the plan BSA,
  - Therefore, that last inclination, which is that one looks for, has for its natural measure the obtuse angle Hel, the supplément of HeP. .
  - But, on the other side, havingacted,as in the preceding construction, Pg=Ce, which is itself- He, though this last one appears much shorter because it is seen in perspective, the edge SH being left up over the plan, as before in the preceding figure ; so that the two triangles H e P, g e P, rectangles, the one in P, the other in e, having a common side in eP, and the sides He and ge, realïy equal to each other, are equal in every thing, and that the angle g P e is equal to the angle HeP: therefore the plan angle H SB A has for measure the linear obtuse angle g P C, supplément of g P e.
  - It might be proved in the same way that the plan angle B S Ac has for measure the linear angle f P d.
  - The construction marked in small characters, and which has been made Fy redoubling the angle c S A, next to the angle B SC, in the supposition that the
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- - proposé soit placé sur la face B SC, donne pour mesure de. Iinclinaison de cette face sur la voisine C S a, l’angle linéaire fpd; et elle fournit aussi une seconde fois l’angle aigu gp e, supplément de l’angle nbtus gp A, qu’on avait déjà trouvé en g P C pour mesure de l’angle H SB A.
  - 74. Problème. Connaissant les trois angles linéaires qui forment un angle solide, en construire îes trois angles plans, ou, dans le langage des praticiens , trouver les biveaux d’un angle au moyen de ses panneaux. Fig. 422.
  - Solution. Soient X, Y, Z, les trois angles linéaires dont la réunion forme l’angle solide S, développés à côté l’un de l’autre sur un même plan; et supposez les deux qui sont, à l’extérieur de ce développement, redoublés en x, z, à l’opposite de leur situation naturelle, de manière que chacun des trois se trouve à côté des deux qui lui sont contigus dans l’assemblage réel qui constitue l’angle solide.
  - Pour trouver l’angle plan que forment entre eux les angles X et Z, par exemple, prenez à égale distance du sommet commun S, sur les deux arêtes extérieures S A et SD, les points E et e, et de chacun élevez une perpendiculaire à chaque arête respective, jusqu’à la rencontre des deux arêtes de l’angle Yen F et en G. De ces points F, G, comme centres, et des deux rayons respectifs FE, Ge, décrivez deux arcs qui se coupent en H, comme on le voit en M sur le plan de l’angle X, par les centres J et L. Les lignes H F, H G, forment en H un angle linéaire F H G, qui est la mesure de l’inclinaison de X sur Z.
  - L’angle M se trouve de même en traçant deux arcs des centres L et J avec les rayons L K et JI, perpendiculaires sur S C et S c, et partant des distances égales SK, SI. Il en est de même de l’angle R.
  - Démonstration. Si l’on fait tourner les angles X et Z d’un mouvement de révolution l’un sur SB, l’autre sur SC, jusqu’à ce qu’ils se rencontrent au-dessus du plan de l’angle Y, les lignes SD, SA, se confondront dans l’arête Sfe'; les lignes FE, Ge, prendront les positions Ff, Ge'; et comme elles sont perpendiculaires en un même point de l’intersection commune des deux plans, l’angle quelles forment est la mesure de l’angle plan. Mais le triangle F H G n’est autre chose que le triangle F f e' G rabattu sur le plan, au lieu d’être vu en perspective. Donc &c.
  - 75. Problème. Les angles linéaires d’un angle solide trièdre étant donnés, construire les trois angles plans.
  - SOLUTION. Fig. 423, renfermant les deux procédés sur un seul développement. Soient c S B , A S B, BSA, les trois angles linéaires donnés, développés sur le plan de l’un des trois A SB. Si l’on prend SC=Sc, et qu’on fasse tourner A C S sur S A, et B c S sur S B, jusqu’à ce que les deux plans de ces angles se rencontrent, les droites SC, Sc, décriront chacune une surface conique dont S sera le centre commun, et se couperont en une ligne droite, qui sera la troisième arête résultant de la «réunion de SC et S c confondus. Dans le même mouvement, les deux points C et c décriront chacun une circonférence dont les centres seront respectivement en E et en D, et dont les plans seront perpendiculaires, l’un à S A, l’autre à SB ; en sorte que les intersections de ces plans avec celui de ASB seront CDG et cEF, et que l’intersection réciproque de ces deux plans circulaires sera elle-même une perpendiculaire au plan ASB, et dont le pied sera en c. Si donc on élève au point c une perpendiculaire indéfinie, soit sur Ce, comme c H, soit sur c c, comme c h ; que des points E et D comme
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  - gegebene kôrperïiche Winkel auf die Flâche B S C gebracht sey, verdoppelt worden ist, giebt den geometrischen Winkel fpd aïs Maas zur Nei-gung dieser Flâche auf die zunachst befindliche Flâche C S a, auch giebt sie zum zweiten mal den spitzigen Winkel gpe, welcher die Ergânzung des stumpfen Winkels gp A ist, den man bereits bei g P C ajs Maas zu dem Winkel H SB A gefunden hatte.
  - 74. Problem. Aus drei gegebenen geometrischen Winkeïn, welche einen kôrperlichen bilden, die drei flachen Winkel zu finden? Fig. 422.
  - AuflôsUNG, X, Y, Z, seyen die drei geometrischen Winkel, welche mit einander vereinigt, den kôrperlichen Winkel S bilden, und neben einander auf demselben Plane ausgeführt sind ; ferner nehmen wir an die beiden andern, welche sich ausserhalb der Zeichnung befînden, und bei x, z, ihrer natürlichen Stelïûnggegeniïber, verdop-peït sind ; so dass jeder von den drei Winkeïn sich neben den beiden befindet, welche in der wahren Zusammensetzung, wodurch der kôrperïiche Winkel gebiïdet wird , an ihn anstossen.
  - Um den flachen Winkel zu finden, den die Winkel X und Z zusammen bilden, nehme man in gïeichem Abstande von der gemeinschaftlichen Hôhe S, auf den beiden âussern Kanten SA und SD, z. B. die Punkte E und e, und ziehe von jedem eine mit jeder respectiven Kante perpendiculare Linie bis dahin wo seïbige mit den beiden Kanten des Winkels Y bei F und bei G zusammentrifït. Aus diesen Punkten F, G, als Mittelpunkten, und aus den beiden respectiven Radiis F E, Ge, beschreibe man zweiBogen, welche sich bei H durchschneiden, wie man dieses bei M, auf dem Plane des Winkels X sieht. Die Linien HF, HG, bilden bei H einen geometrischen Winkel F H G, welcher das Maas zu der Neigung von X auf Z ist.
  - Den Winkel M findet man, wenn man aus den Mittelpunkten L und J mit den Radiis LK und JI, zwei Bogen perpendicular auf SC und Sc zieht; und von den gleichen Abstânden SK, SI ausgeht. Gleiche Bewandniss hat es mit detoi Winkel R.
  - Beioeis. Dreht man die Winkel X und Z, den einen auf SB, und den andern auf S C, bis sie über dem Plane des Winkels Y zusammentrefFen, so verschmelzen sich die Linien SD, S A in der Kante Sfe'; die Linien FE, Ge nehmen die Stellungen Ff, Ge' : und da solche in einem und demselben Punkte des gemeinschaftlichen Durchschnitts beider Plâne perpendicular sind, so ist der Winkel, welchen sie beschreiben, das Maas zu dem flachen Winkel. Der Triangel F H G aber, ist nichts anders aïs der Triangl Ffe'G, welcher, anstatt sich per-spectivisch darzustellen, auf den Plan umgelegt worden ist. Folglich, u. s. w.
  - 75. Problem. Aus den geometrischen Win-keln eines kôrperlichen dreiseitigen Winkels die drei flachen zu finden ?
  - AUFLÔSUNG. Fig. 423. Beide Verfahrungs-arten sind hier auf einer einzigen Zeichnung ausgeführt worden. cSB , ASB, BSA seyen die drei gegebenen geometrischen Winkel, welche auf dem Plane des einen, nâmlich auf ASB ausgeführt worden sind. Nimmt man SC= Sc, und dreht AC S auf SA, und BcS auf SB, bis die beiden Plâne dieser Winkel zusammentrefïen ; so wird eine jede von den geraden Linien SC, Sc, eine conische Flâche beschreiben, welche S zum gemeinschaftlichen Mitteïpunkte hat, und beide werden sich in einer geraden Linie zerschneiden, welche die dritte aus den vereinigten und mit einander verschmolze-nen SC und Sc entstandene Kante seyn wird. Bei der *nâmlichen Bewegung beschreiben die beiden Punkte C und c, und zwar jeder insbesondere, einen Umkreis, wovon die respectiven Centra in E und in D seyn werden , und wovon der eine Plan mit SA , der andere aber mit SB perpendi-cuïar seyn wird ; so dass die Durchschnitte dieser Plâne mit dem Plane ASB, solchergestaït CDG und c E F seyn werden, und dass ferner der gegen-
  - solid angle proposed may be placed on the face B SC, gives as measure of the inclination ofthat face on the next C Sn, the linear anglefpd; andit produces also a second time the acute angle gpe, supplément of the obtuse angle gp A, already found in g P C as measure of the angle H S B A.
  - 74. Problem. Knowing the three linear angles which form a solid angle, to construct the three plan angles of it, or, in the practical Ianguage, to find the backings of an angle by means of its pannels. Fig. 422.
  - SOLUTION. Let be X, Y, Z, the three linear angles whose reunion forms the solid angle S, un-folded next to each other on the same plan; and suppose the two which are, out of that unfoiding, redoubled in x, z, opposite to their natural situation, so that each of the three is found next to the two which are contiguous to it in the real assemblage which constitutes the solid angle.
  - To find the plan angle that the angles XandZ, for instance, form between them, take, at equal distance from the common summit S, on the two external edges S A and S D, the points E and e, and from each of them draw a perpendicular to each respective edge, as far as the meeting of the two edges of the angle Y in F and G. From those two points F, G, as centers, and with the two respective rays FE, Ge, describe two arcs which inter-sect in H, as it may be seen in M on the plan of the angle X. The two fines HF, HG, form in H a linear angle FHG, which is the measure of the inclination of X on Z.
  - The angle M wilî be found likewise, in drawing two arcs from the centers L and J, with the rays LK and JI, perpendicular to SC and Sc, and setting ofF from the equal distant points SK, SI. It is the same for the angle R.
  - Démonstration. If one makes the angles X and Z to turn with a movement of révolution the one on SB, the other on SC, until they meet over the plan of the angle Y, the fines SD, S A, willbe confound-ed in the edge SFe'; the fines FE, Ge, wiïïcorne to F f, G e' ; and, as they are perpendicular to the same point of the common intersection of the two plans, the angle formed by them is the measure of the plan angle. But the triangle FHG is but the triangle F f e' G laid down on the plan, instead of being viewed in perspective. Therefore &c.
  - 75. Problem. The linear angles of a solid tri-edron angle being given, to construct the three plan angles.
  - Solution. Fig. 423, including the twopro-ceedings with only one unfoiding. Let be cSB, A S B, B S A, the three linear angles given, unfolded on the plan of one of the three ASB. IfonetakesSC= Sc, and if one makes A CS to turn on S A, and BcS on SB, until the two plans of those angles meet, the straight fines SC, Sc, will describe eachaconical surface whose common center will be S, and inter-sectinarightline, which will be the third edgeresijlt-ing from the union of S C and S c confounded. In the same movement, the two points C and c will each describe a circumference whose centers will be in E and D, and whose plans will be perpendicular, the one to S A, the other to S B ; so that the intersections of those plans with that of ASB will be CDG and cEF, and that the mutual intersection of those two circular plans will be itself a perpendicular to the plan ASB, and whosehottom will be in c. If therefore one draws to the point c an in-definite perpendicular, either on Ce, ascH, or on c c, as c h ; let one describe from the points E and D as centers, and with the rays D C, Ec, the arcs ch,
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- - centres, avec les rayons DC, Ec, on décrive les arcs ch, CH; les points H et h seront deux représentations du point de la troisième arête résultant Je C confondu avec c. Ainsi le triangle D H G présente, rabattue sur le plan, la coupe de Iangle solide faite perpendiculairement à ïarête S A, et le triangle E Ii F présente de même la coupe faite par le point E, perpendiculairement à l’arête SB ; et comme ces deux coupes passent par le même point H ou h de la troisième arête, et ont par conséquent leur sommet au-dessus du même point c de ïa base, les lignes HD, h E des triangles du plan sont précisément celles qui, étant perpendiculaires à leurs arêtes respectives, comme le sont les bases des triangles, mesurent les angles plans de la base.
  - Donc, l.°HDc, bEc, sont la mesure de l’inclinaison des angles CS A et c SB sur l’angle A SB.
  - 2.° Pour construire l’inclinaison mutuelle des deux autres angles CSA, cSB, I’un sur l’autre, imaginons un plan perpendiculaire à la troisième arête, cpii est leur intersection. Si nous le supposons passer au point où se réunissent les points C etc, ses traces sur le développement seront les perpendiculaires CA, c B, et la ligne de jonction AB. Donc les cercles CI et c I décrits de B et A comme centres, avec les rayons respectifs ArC, Bc, donneront par leur intersection en I la coupe de ce troisième plan rabattu sur la base A SB, et de manière que F angle linéaire A IB, formé par deux perpendiculaires au même point de l’intersection commune des plans CSA, c SB, est la mesure de l’inclinaison mutuelle de ces deux plans, ou du troisième angle plan.
  - 76. Lorsque les angles sont obtus, on peut y appliquer le même procédé, quoique la figure qui en résulte .ne paraisse avoir aucune ressemblance avec la précédente, comme on peut en juger par la Fig. 124, où les mêmes objets sont marqués des mêmes lettres.
  - Toute la différence provient de ce que les perpendiculaires CE, cD, ne pouvant atteindre que les prolongemens des arêtes voisines SF, SG, se croisent en c hors du troisième angle F S G ; ce qui fait que les deux premiers angles cherchés HE F, hDG, sont extérieurs aux triangles rectangles HEc, hD c, au lieu de leur être intérieurs, comme dans la Fig. 123. Au reste, pour donner moins de volume à la figure, on a construit le troisième angle plan A IB en dedans, vers c, au lieu de placer l’angle cherché en dehors de la figure, vers i i.
  - 77. Problème. Connaissant les trois angles linéaires ASB, BSC, A S c, qui forment un angle solide S, en construire les trois angles plans, c’est-à-dire , les inclinaisons réciproques des trois plans Fun sur l’autre, ou, selon les praticiens, trouver les biveaux d’un angle au moyen de ses trois panneaux.
  - Solution. Fig. 125. Après avoir disposé contigus l’un à l’autre sur un même plan les trois angles donnés, et avoir pris à volonté sur les côtés extrêmes les points C et c à égale distance du sommet commun S, de chacun des points C et c abaissez sur les côtés communs SA, SB, les perpendiculaires respectives cdP, CD P; et par leur intersection P, menez P e, Pc, respectivement paraï-3.e Partie.
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  - seitige Durchschnitt dieser beiden zirkelrunden Plane eine mit dem Plane ASB perpendiculare Linie seyn, und ihren Fuss in c haben wird. Wenn man also bei dem Punkte c eine unbestimmte Per-pendicuïarlinie entweder auf Ce, wie z. B. cH, oder auf c c, wie z.B. ch aufrichtet, und aus den Punkten E und D aïs Mittelpunkten, mit den Ra-diis DC, Ec, die Bogen ch, CH beschreibt, so werden die Punkte H und h zwei Vorstellungen zu dem Punkte der dritten aus der Vereinigung des Punktes C mit c entstandenen Kante enthaïten. Diesem zufolge zeigt der auf den Plan umgelegte Triangel D H G, den mit der Kante SA per-pendicular geschehenen Durchschnitt des kôrper-lichen Winkels ; so wie gïeichergestalt der Triangel Eh F, den durch den Punkt E mit der Kante SB perpendicular ausgeführten Durchschnitt darstellt : und da diese beiden Durchschnitte durch denselben Punkt H oder h der dritten Kante gehen, und foïg-lich ihre Hôhe über dem namlichen Punkte c der Basis haben, so sind die zu den Triangeln des Plans gehôrigen Linien HD, hEgenaudiejenigen, welche aïs perpendicular mit ihren respectiven Kanten, wie soïches die Grundflachen der Triangel sind, das Maas zu den flachen Winkeln der Basis angeben. Diesem zufolge sind :
  - 1. ° HDc, hEcdas Maas zu der Neigung der Winkel CSA und cSB auf den Winkel A SB.
  - 2. ° Um die Neigung, weïche die beiden andern Winkel CSA, cSB gegenseitig auf einander haben, zu finden, so denke man sich einen mit der dritten Kante, welche der Durchschnitt derseïben ist, perpendicularen Plan. Steiït man sich sodann vor, dass derselbe zu dem Punkte geht, wo die Punkte C und c sich mit einander vereinigen , so werden die Perpendicuïarlinien CA, cB, und die Verbindungslinie AB denselben auf der Zeichnung darsteiïen ; so dass also dieZirkel Cl und cl, weïche aus B und A aïs Centrum, mit den respectiven Radiis AC, Bc, beschrieben worden sind, vermit-teïst ihres Durchschnittes in I, den Durchschnitt dieses dritten auf die Basis ASB umgeïegten Planes geben werden ; so dass der geometrische Winkel A IB, weïcher aus zwei mit dem namlichen Punkte des gemeinschaftïichen Durchschnitts der Pïâne CSA, cSB perpendicular gerichteten Linien ge-biïdet worden ist, das Maas zu der gegenseitigen Neigung dieser zwei Plane, oder zu dem dritten flachen Plane angiebt.
  - 76. Bei stumpfen Winkeln ïâsstsich dienâmïiche Verfahrungsweiseanwenden, ohnerachtet die daraus entstehende Figur mit der vorigen auch nicht die mindestc Aehnïichkeit zu haben scheint, wie soïches aus der Fig. 124, wo die Gegenstânde mit den namlichen Buchstaben bezeichnet worden sind, er-sichtïich ist.
  - Der ganze Unterschied ïiegt darin, dass die Perpen-dicuïarïinién CE, cD, weïche bïossdie verïângerten nâchsten Kanten S F, SG erreichen kônnen, sich bei c, ausserhaïb des dritten WinkeïsFSG kreu-zen; daraus entsteht die Foïge, dass die zwei ersten gesuchten Winkel HE F, hD G sich ausserhaïb der rechtwinkeïigen Triangel HEc, h De, und nicht, wie in der Fig. 123, nach innen zu befinden: Um übrigens der Figur einen geringern Umfang zu geben, so ist der dritte Hache Winkel A IB nach innen zu, gegen c, gezeichnet worden , anstatt den gesuchten Winkel nach aussen zu, gegen i i zu setzen.
  - 77. Problem. Mit den drei geometrischen Win-keïn ASB, BSC, ASc, weïche einen kôrperlichen Winkel biïden, die drei flachen Winkel, oder die Neigungen, weïche die drei flachen Plane gegenseitig auf einander haben, zu zeichnen.
  - Auflôsung. Fig. 125. Hat man die drei ge-gebenen Winkel dergestaït gesteïït, dass einer den andern auf dem namlichen Plane berührt; hat man ferner auf den aussersten Seiten die beïiebigen Punkte C und c in gïeichem Abstande von der gemeinschaftïichen Hôhe S genommen ; so ziehe man von jedem der Punkte C und c, die respectiven Perpendicuïarïinien cdP, CDP auf die gemein-
  - CH; the points H and h will thus be two représentations of the point of the third edge, resuïting from C confounded with c. Thus the triangle D H G shows the section of the solid angle made perpendicuïarïy to the edge SA, and laid down on the plan, and the triangle EhF shows also the section made by the point E perpendicuïarïy to the edge SB ; and, as those two sections pass by the same point H or h of the third edge, and hâve consequently their summit over the same point c of the basis, the lines HD, hE, of the triangles of the plan, are preciseïy those which, being perpendicular to their respective edges, as the bases of the triangles are, measure the plan angles of the basis.
  - Therefore, l.° HDc, HEc, are the measure of the inclination of the angles CSA and cSB on the angle ASB.
  - 2.° To estabïish the mutual inclination of the two other angles CSA, cSB, on each other, ïet us suppose a plan perpendicular to the third edge, which is their intersection. If we suppose it to pass by the point where the points C and c are united, its traces on the unfolding will be the perpendiculars C A, cB, and the line of union AB. Therefore the circles CI and c I described from B and A as centers, with the respective ray s A C, B c, will give, by their intersection in I, the section of that third plan laid down on the basis ASB, and so that the linear angle A IB, formed by two perpendiculars to the same point of the common intersection of the plans CSA, cSB, is the measure of the mutual inclination of those two plans, or of the third plan angle.
  - 76. When the angles are obtuse, one may apply to them the same process, though the figure resuïting from it do not appear in any way like the pre-ceding one, as it may be seen in the Fig. 124, where the same things are marked with the same ïetters.
  - AH the différence arises from the perpendiculars CE, cD, being able to attain but the prolongations of the next edges S F, S G, and intersecting in c out of the third angle F S G, which causes the two first angles ïooked for H E F, h D G, are without the rec-tangular triangles HEc, hDc, instead of being within, as it is in the Fig. 123. Besides, to ïessen the size of the figure, we hâve constructed the third plan angle Al B within, about c, instead of putting the searched angle without the figure, about i i.
  - 77. Problem. Knowing the three linear angles ASB, BSC, ASc, forming a solid angle S, to construct the three plan angles of them, that is the mutuaï inclinations of the three plans towards each other ; or, as the practitioners are used to say, find the backings of an angle by the means of its three panneïs.
  - Solution. Fig. 125. After havingput in contact with each other on the same plan the three given angles, and having taken at will on the outer sides the points C and c at equal distance from the common summit S, draw from each point C and c, on the common sides SA, SB, the respective perpendiculars c d P, C D P, and, by their intersection P, draw P e, P e, each of them respectiveïy paralleï to
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- - ïèïes à S A, SB, et que vous couperez par les arcs Ce, ce, décrits respectivement des centres D et d, avec les rayons DC, de; menez enfin les obliques De et de; les angles PD e, P d e, seront les mesures des angles plans de B S C, ASc, sur AS B.
  - Pour trouver finclinaison réciproque des deux premiers plans Fun sur l’autre, il faut redoubler Fangïe linéaire B SC, pour ïe placer contigu à ASc, prendre de même Sb égal à S b, et Ton trouvera, en répétant la meme opération , Fangïe fdp pour mesure du troisième angle plan demandé.
  - Démonstration. Concevez Fangïe solide proposé comme placé sur sa face A SB ; que d’un point E pris sur Farête SE, à une distance de S qui soit égale à SC et S c, on ait abaissé sur les arêtes opposées SA, SB, les perpendiculaires ED, Ed; que des points D et d on ait mené dans la face qui sert de base, A SB, les perpendiculaires respectives DP, dP, aux deux côtés de cette base, et qu’enfin, par les deux perpendiculaires à une même arête, Ed et Pd pour SA, ED et PD pour SB, on ait fait passer les deux plans coupans EdP, EDP : il en résultera une pyramide quadrangulaire ESDPd.
  - 1. ° Chacun des deux plans coupans, passant par deux lignes perpendiculaires en un même point d ou D d’une ligne qui existe au plan de la base, est perpendiculaire à cette base.
  - 2. ° L’intersection commune EP de ces deux plans est elle-même perpendiculaire à cette base.
  - Donc les deux triangles EDP, EdP, que la figure montre en perspective, sont tous les deux rectangles en P, et ont pour angle linéaire en D et en d l’inclinaison de la face D S d sur chacune des faces contiguës ED S, EdS.
  - Or il est visible que les triangles eDP, edP, ne sont autre chose que le développement des triangles EDP, EdP, et leur sont respectivement égaux. Donc &c.
  - 78. Problème. Connaissant deux des trois angles linéaires qui forment un angle solide, et Iangle plan qu’ils comprennent entre eux, construire le troisième angle linéaire et les deux autres angles plans, ou bien, avec deux panneaux et leur biveau, tracer le troisième panneau et les deux autres biveaux.
  - Ce problème étant l’inverse du précédent, sa solution peut se déduire de celle du précédent, ainsi qu’il suit, et n’a nul besoin d’une démonstration particulière, reposant sur les mêmes principes.
  - SOLUTION. Placez contigus Fun à l’autre sur un même plan les deux angles linéaires donnés CSB, BSA, Fig. 425; d’un point quelconque C de Fun des côtés extérieurs CS, abaissez sur le côté voisin B S la perpendiculaire indéfinie CD P; du point D comme centre, et du rayon DC, décrivez Farc indéfini Ce, et faites, au point D, Fangïe PDe égal à l’inclinaison réciproque des angles donnés; par l’intersection e, menez eP parallèle à BS, et par le point P menez au côté extérieur SA la perpendiculaire indéfinie P de, que vous couperez en c par un arc décrit de S comme centre, avec le rayon SC : l’angle ASc sera le troisième angle linéaire de Fangïe solide proposé, et par son moyen vous trouverez les deux autres angles plans, comme dans le problème précédent.
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  - schafdichen Seiten SA, SB herab , führe durch ihren Durchschnitt P, die Linien Pe, Pc, paraïlel mit SA, SB, und durchschneide dieselben mit den Bogen Ce, ce, welcheaus den MittelpunktenD und d beschrieben worden sind, und DC, de zu Radiis haben ; und ziehe endlich die schragen Linien D e und de; worauf die Winkel PDe, P de das Maas zu den fiachen Winkeln B SC, ASc, auf A SB seyn werden.
  - Um die Neigung zu finden, welche die beiden ersten Plane gegenseitig einer auf den andern haben , so verdopple man den geometrischen Winkel B SC, und stelle ihn so, dass er ASc berührt, nehme gleichergestalt S b = Sb; worauf man ver-mittelst der nâmïichen Operation den Winkel fc/p aïs Maas zu dem verlangten dritten fiachen Winkel finden wird.
  - Beweis. Man denke sich, dass der gegebene kor-perliche Winkel auf seine Flâche A SB gestellt sey ; und dass man aus einem Punkte E, welcher auf der Kante SE, in einem Abstande von S, gleich SC und Sc, genommen worden ist, die Perpendicular-linien ED, Ed auf die entgegengesetzten Kanten SA, SB herabgezogen habe; dass man ferneraus den Punkten D und d, in die zur Basis dienende Flâche A S B, die mit den beiden Seiten dieser Basis perpen-dicular gehenden Linien DP, dP gezogen, und endlich durch die beiden mit einer und derselben Kante perpendicularen Linien Ed und Pd für S A, ED und PD für SB, die beiden durchschneidenden Plane EdP, EDP gezogen habe, so wird sich da-raus eine viereckige Pyramide ESDPd ergeben.
  - l.° Ein jeder von den beiden zerschneidenden Plânen, welcher an einem und demselben Punkte d oder D, welcher sich auf einer in der Basis be-findlichen Linie befindet, durch zwei Perpendicu-larïinien geht, ist mit dieser Basis perpendicuîar.
  - 2 .* Der gemeinschaftliche Durchschnitt E P dieser beiden Plane ist ebenfalls mit dieser Basis perpen-dicular.
  - Diesem zufolge sind die beiden, in der Figur perspectivisch dargestelïten Triangel EDP , EdP , aile beide in P rechtwinkelig, und haben zu geome-trisehem Winkel bei D und d, die Neigung der Flâche D Sdauf jede der anstossenden FlâchenED S, EdS.
  - Hieraus folgt, dass die Triangel eD P, ed P iiichts weiter sind, aïs die ausgeführten Triangel EDP, EdP, denen sie, jeder insbesondere, gleich sind : folglich, u.s.w.
  - 78. Problem. Es werden zwei von den geome-tripchen Winkeln, welche einen kôrperlichen bil-den, nebst dem fiachen Winkel, den sie unter sich begreifen, gegeben ; daraus soll der dritte geome-trische, nebst den beiden andern fiachen Winkeln gebildet werden ?
  - Da dieses Problem mit dem vorigen im umge-kehrten Verhâltnisse steht, so lâsst sich die Auf-I.ôsung desseiben nach Maasgabe der vorigen auf nachstehende Weise ausführen, wobei es keines besondern Beweises bedarf, indem die Grundsâtze die nâmïichen sind.
  - AUFLÔSUNG. Man stelle die beiden gegebenen geometrischen Winkel CSB, BSA, Fig. 425, auf einem und demselben Plane dergestalt neben einander, dass einer den andern berührt, und ziehe aus einem beliebigen Punkte C, welcher sich auf einer der âussern Seiten C S befindet, die unbe-stimmte Perpendicularlinie C D P auf die zunâchst befindliche Seite B S herab ; beschreibe ferner aus dem Punkte D aïs Centrum, und aus dem Radius D C denunbestimmtenBogen Ce, und mâche beim Punkte D den Winkel PDe gleich dem gegensei-tigen Durchschnitte der gegebenen Winkel ; ziehe sodann durch den Durchschnitt e, die Linie e P, paraïlel mit B S ; und führe die unbestimmte Perpendicularlinie Pdc, durch den Punkt P auf die âussere Seite SA ; durchschneide diese Perpendicularlinie bei c vermittelst eines aus S aïs Centrum beschriebenen Bogens, welcher SC zum Radius hat : der Winkel ASc wird sodann der dritte geometrische Winkel des gegebenen kôrperlichen Winkels seyn, vermittelst welchem man die beiden andern fiachen Winkel auf die nâmliche Weise wie im vorigen Problemate finden wird.
  - SA, SB, and that you’II eut by the arcs Ce, ce, described from the centers D and d, with the rays DC, de; draw at last the obliques De and de; the angles PDe, P de, will be the measures of the plan angles of B S C, AS c, on A SB.
  - To find the reciprocaï inclination of the two first plans towards each other, one must redouble the linear angle B S C, to place it in contact with ASc, take also Sb = S b; and we will find, by repeating the same operation, the angle f c/p for the measure of the third plan angle required.
  - Démonstration. Suppose that the solid angle proposed is placed on its face A S B ; that the per-pendiculars ED, E d, hâve been let down on the opposite edges S A, S B, from a point E taken on the edge SE, at a distance from S equal to SCandSc; that, from the points D and d, the perpendicularsü P, d P, hâve been drawn, in the face which is used as a basis A SB, to the two sides of that basis, and that at last, by the two perpendiculars to one same edge, E d and P d for S A, E D and PD for SB, pass the two sécant plans E d P, E D P : it will resuit from it a quadrangular pyramid ESDPd.
  - 1. ° Each of the sécant plans, passing by two fines perpendicuîar to the same point d or D of a line existing in the plan of the basis, is perpendicuîar to that basis.
  - 2. ° The common intersection E P of those two plans is itself perpendicuîar to that basis.
  - Therefore the two triangles ED P, EdP, showed in perspective in the figure, are both rectangular in P, and hâve for a linear angle, in D and d, the inclination of the face D S d on each contiguousface EDS,EdS.
  - Now it is clear that the triangles eDP, cdP, are but the unfolding of the triangles ED P, EdP, and are each equal to each of them. Therefore &c.
  - 78. Problem. Knowingtwo of the linear angles forming a solid angle, and the plan angle in-cluded between them, to construct the third linear angle and the two other plan angles; or, with two pannels and their backing, to trace the thirdpannel and its two other backings.
  - That problem being the reverse of the preceding one, its solution can be deduced from the preceding one, as follows; and there is no needofpeculiar démonstration, since it dépends on the same prin-ciples.
  - SOLUTION. Place in contact with each other on the same plan the two linear angles given CSB, BSA, Fig. 425; from one point whateverCof one of the outer sides, let down on the nextsideBS the indefinite perpendicuîar *C D P ; from the point D as center, and with the ray D C, describe the indefinite arc Ce, and make, at the point D, the angle PDe equal to the reciprocaï inclination of the given angles ; by the intersection e, draw e P paraïlel to BS, and, by the point P, draw in the outer side SA the indefinite perpendicuîar Pdc, that you’II eut in c with an arc described from S as center, with the ray S C : the angle ASc will be the third linear angle of the solid angle proposed ; and with it you will fincl the two other plan angles, as in theforegoing problem.
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- - 79. Problème. Dans un angïe soïide, connaissant deux des trois angles linéaires qui îe forment, et un angle plan opposé à fun des deux angles connus, construire le troisième angle linéaire et les deux autres angles plans, ou, avec deux panneaux et Fun des biveaux qui leur sont opposés, tracer tout le reste.
  - Solution. SoitFanglesolide trièdreS, Fig. 426, qui est représenté en perspective dans ïa figure, posé sur le plan d’une de ses faces dont Fangle est connu ASB ou D SE, dont on connaît aussi Fangle ASC ou DSH, avec Finclinaison de HSE sur DSE, et dont on demande le troisième angle linéaire HSE ou BSc, et Finclinaison de DSH tant sur D SE que sur HSE.
  - Par un point D, pris à volonté sur J’arète inférieure AS, commune aux deux angïes connus, menez une perpendiculaire D E sur Fautre arête inferieure S B ; par le même point D élevez à D E la perpendiculaire indéfinie Dh, qui se trouve parallèle à BS, et CD F perpendiculaire à AS ; faites Fangle D E h égal à Fangle plan connu ; du point D comme centre faites D A = D h, au moyen de Farc h A, et décrivez Farc C GI du rayon D C, et Farc indéfini CABc de S comme centre et de SC pour rayon. Si vous menez ensuite la droite A F, elle coupera Farc C GI en deux points G, g, qu’il suffit de porter sur Farc CABc en c et c, en prenant F pour centre, F G et F g pour rayons, pour avoir en B S c et BSc ïes deux angles linéaires qui résolvent la question, à moins que par hasard ils ne se confondent en un, quand A F est tangente et non sécante.
  - Démonstration. Concevez le triangle ED h relevé perpendiculairement au plan ASB, en tournant sur sa hase ED, de manière que Dh soit devenue verticale ; on Fe voit ainsi en perspective en ED h', et Fon en voit de même une position, mais scalène et non rectangle, en EDH, qui est la coupe verticale faite selon D E dans Fangle solide. Concevez de plus que du point F on ait mené en Fair une droite F A' au sommet de ce triangle vertical, et qui constitue un autre triangle rectangle vertical F D h1; enfin imaginez que la face ASC tourne autour de Farête A S, et que par conséquent le point C décrive ïa circonférence d’un cercle dontïe plan sera perpendiculaire à A S, et par conséquent vertical, lequel passera par ïa verticale D A' et comprendra toutes ïes positions que pourrait prendre ïe point C, quel que fût Fangle cherché. Comme ïa droite F A' est dans le même plan vertical que cette circonférence, il faut quelle en soit ou entièrement dehors, ou bien sécante en deux points, ou au moins en un.
  - 1. ° Si FA' était entièrement hors du cercle, ce serait une preuve que Fangle plan donné, ajouté à Fangle linéaire aussi donné comme opposé à cet angle plan, ne serait pas assez grand pour enfermer Fespace et compléter Fangle solide.
  - 2. ° Si F A' ne coupait ïa circonférence qu’en un seul point, soit quelle y fût tangente, ou quelle n’en sortît pas après y être entrée, parce que DA' se serait trouvée plus petite que DC, ce serait une marque que de toutes les positions que peut prendre le point C, il n’y en a qu’une seule où la face ASC puisse rencontrer ïa face BSc fixe dans sa position, quoique Fangïe linéaire en soit inconnu.
  - 3. ° Quand F A' est une sécante complète, comme en G et g, il y a deux positions du point C qui satis-
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  - 79. Problem. In einem kôrperïichen Winkel werden gegehen zwei von den drei geometrischen Winkeln, welche denselhen biïden, nebst einem flachen Winkeï, weîcher einem der beiden gege-benen Winkel entgegengesetzt ist ; daraus soll der drittegeometrische Winkeï nebst den beiden andern flachen Winkeln gebiïdet werden ?
  - Auflosung. Es sey S, Fig. 426, der drei-seitige kôrperliche Winkel, weîcher in der Figur perspectivisch abgebildet und auf eine seiner Flâ-chen , deren Winkeï ASB oder DSEmankennt, gestellt ist, und wovon man auch den Winkel ASC oder DSH, nebst der Neigung von HSE auf DSE kennt ; und woraus der dritte geometrische Winkel HSE, oder BSc, nebst der Neigung von DSH auf DSE und HSE gebiïdet werden soll.
  - Man nehme auf der untern Kante AS, welche den zwei gegebenen Winkeln gemeinschaftlich ist, einen beliebigen Punkt D ; führe durch denselhen eine Perpendicuïarlinie D E, auf die andere untere Kante S B ; richte durch den nâmlichen Punkt D5, nach D E die unbestimmte Perpendicuïarlinie D h auf, weïche paraïlel seyn wird mit BS, und CD F perpendicular mit AS : mâche den Winkel DEh gleich dem gegebenen flachen Wjnkeï ; mâche fer-ner aus dem Punkte D aïs Mitteïpunkt, D h==. D h vermittelst des Bogens h A; und beschreibe aus dem Radius D C, den Bogen CGI, und aus S aïs Mit-telpunkt mit dem Radius SC, den unbestimmten Bogen CABc. Zieht man sodann die gerade Linie AF, so wird solche den Bogen CGI an zwei Punkten G, g, durchschneiden. Bringt man sodann diese ïetztern auf den Bogen CABc nach c und c, indem man F zum Mitteïpunkt, und F G, F g zu Radiis nimmt; so erhâlt man in BSc und BSc die beiden geometrischen Winkel vermittelst wel-cher die Frage aufgelôst wird ; es wâre denn , dass solche sich zufâlligerweise in einen verschmelzen, wenn A F berührt und nicht durchschneidet.
  - Beweis. Man denke sich, dass der auf dem Plane ASB perpendicular aufgerichtete Triangel ED h, sich dergestalt um seine Basis E D dreht, dass D h vertical geworden ist, wie man es bei EDA' perspectivisch sieht, und wovon eine andere nicht rechtwinkelige, sondera ungïeichseitige Steïïung bei ED H zu sehen ist, welches der verticale nach DE im kôrperïichen Winkel gemachte Durch-schnitt ist. Man denke sich ferner, dass man aus dem Punkte F in Gedanken eine Linie F A' auf die Hôhe dieses verticaïen Triangels gezogen habe, und welche Linie einen andern verticaïen recht-winkeligen Triangel FDA' bildet. Ëndlich denke man sich, dass dieFlâche ASC sich um die Kante A S dreht, und dass diesem zufolge der Punkt C den Umkreis eines Zirkeïs beschreibt, dessen Plan mit AS perpendicular seyn wird, und folgïich vertical ist, und durch die verticale Linie D A' gehen wird, wobei er aile Stellungen enthalten wird, welche der Punkt C, der gesuchte Winkel sey weîcher er wolle , annehmen kann. Da die gerade Linie FA' sich in dem namlichen verticaïen Plane hefindet, wie dieser Umkreis, so muss sie entweder gânzlich ausserhalb desselben liegen, oderwo nicht an zwei Punkten, doch wenigstens bei einem durch-schneidend seyn.
  - 1,° Wâre F A' gânzlich ausserhalb des Zirkeïs, so ïâge darin der Beweis, dass der gegebene flache Winkel, weîcher zu dem ebenfaïïs gegebenen geometrischen Winkeï hinzugekommen und ihm entgegengesetzt ist, nicht gross genug wâre um den Raum einzuschliessen und den kôrperïichen Winkeï vollstândig zu machen.
  - 2° Durchschnitte die Linie F A' den Umkreis bloss in einem einzigen Punkte, sie mag denselhen nun berühren oder darin bleiben, wenn sie hinein-gegangen ist, indem D A' kürzer seyn würde aïs D C; so wâre dies ein Beweis , dass unter allen Stellungen , welche der Punkt C annehmen kann, es bloss eine einzige giebt wo die Flâche ASC mit der Flâche BSc zusammentrefïèn kann, welche letztere in ihrer Steïïung unbeweglich ist, ohnerachtet der geometrische Winkel derselben unbekannt ist.
  - 3.° Bildet F A' eine vollstândig durchschneidende Linie, wie z. B. bei G und g; so hat der Punkt C
  - 79. Problem. Knowing in a solid angle two of the three linear angles of which it consists, and one plan angle opposite to one of the known angles, to construct the third linear angle and the two other plan angles, or, with two panneïs and one of the backings opposite to them, to trace alï the rest.
  - SOLUTION. Let be the triedron solid angïes, Fig. 426, represented in perspective in the figure, pïaeed on the plan of one of its faces whose the angle is known ASB or DSE, whose one knows aïso the angle ASC or DSH, with the inclination ofHSE towardsDSE, and whose the third linear angle HSE or BSc, and the inclination of DSH towards DSE and HSE, are required.
  - By the point D, taken at will on the inferior edge AS, common to both the known angles, draw a perpendicular D E on the other inferior edge S B ; by the same point D, draw up to D E the indefinite perpendicular D h, which is found to be paraïlel to BS, and CD F perpendicular to AS. Make the angle DEh equal to the plan angle known ; from the point D as center, make D A=Dh, by means of the arc h A; and describe the arc CGI with the ray DC,and the indefinite arc CABc from S as center and with S C as ray. If you draw afterwards the right line AF, it will eut the arc CGI in two points G, g, that it is sufficient to transfer on the arc CABc in c and c, taking F as center, F G and F g as rays, to hâve in B S c and BSc the two linear angles which résolve the question ; unless they are, by chance, confounded into one, when AF is tangent and not sécant.
  - Démonstration. Suppose the triangle ED h raised up perpendicularïy to the plan ASB, by turning on its basis ED, so that D h is become vertical: it isthus seen in perspective in EDA'; and one may see aïso a position of it, but scalene and not rectangular, in EDH, which is the vertical section made according to D E in the solid angle. Suppose stiïï that from the point F one has drawn up a right iine to the summit of that vertical triangle, which makes another vertical rectangular triangle FDA'; at ïast suppose that the face ASC may turn round the edge AS, and that consequently the point C describes the circumference of a circïe whose pïan wilïbe perpendicular to A S, and accordingïy vertical, which will pass through the vertical D A', and include aïï the positions that might take the point C, whatever may be the searched angle. As the right line F A' is in the same vertical pïan as that circumference, it must be or quitewithout it, or itmust eut it in two points, or at ïeast in one.
  - l.° If FA' was out of the circïe, it wouïd be a proof that the given plan angle, with the linear angle aïso given as opposite to that plan angle, is not big enough to include the space and complété the solid angle.
  - 2° If F A' did eut the circumference but in one point, either being tangent, or not going out from it after going in it, because D A' wouïd hâve been shorter than D C, it wouïd show that amongst alï the positions that the point C may take, there is but one in which the face ASC may meet the face BSc fix in its position, though the linear angle of it may be unknown.
  - 3.° When F A' is a complet sécant, as in G and g, there are two positions of the point C which answer
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- - font à ïa question, et qu’iï faut construire. Or iï est visibïé que le triangle FDA n’est autre chose que le triangle FD A' rabattu sur le plan de la base; en sorte que A F représente 1’hypoténuse A' F. Or la detni-circonférence CGI représente aussi, sur le plan de la base, celle que le point C décrit en l’air : donc G et g sont, en développement, les seules distances du point F où le point C puisse être placé en Pair pour satisfaire aux conditions données ; et comme il faut aussi qu’il soit à une distance de S égale à CS, c’est-à-dire sur la circonférence CABc, on a, en développement sur le plan, les angles BSc et B S c, pour les seuls qui puissent être le troisième angle linéaire de l’angle solide proposé.
  - Les trois angles linéaires étant une fois connus, ïes angles plans s’en déduisent par les problèmes précédons.
  - 80. Problème* Dans un angle solide trièdre, connaissant deux angles plans [ biveaux ], et un angle linéaire [panneau] opposé à l’un d’eux, construire les deux autres angles linéaires et le troisième angle pïan. Fig. 421
  - Solution. Soient A SB fangïe linéaire,ou face, ou panneau connu; AEH, fangïe plan contigu à cette face, formé par les deux lignes AE, EH, perpendiculaires à l’arête S B, et rabattu sur le plan de cette même face. Du point A, pris d’ailleurs à volonté sur l’autre arête, menez àEHïa perpendiculaire A G, et considérez-ïa comme l’axe d’un cône droit sur la face qui doit être contiguë à SB. Si vous donnez pour apothèmes à ce cône les droites AF, AI, faisant l’angle AFG égal à la mesure de l’angle qui doit être opposé à ïa face A SB, il est évident que ïa face contiguë à ï’arête A S doit être un pïan tangent à quelqu’un des apothèmes de ce cône, puisqu’elle doit faire avec l’autre face un angle plan égal à fangïe linéaire AFG, et que la troisième face, contiguë à ï’arête SB, doit contenir ïa base circulaire de ce cône, ayant son centre sur une perpendiculaire au point E de ï’arête SB.
  - Imaginez donc que ïa face contiguë à S B ait tourné sur cette arête SB, comme sur une charnière, pour se rabattre sur le pïan de ïa face A SB. Après ce mouvement, la ligne HE se trouvera être E C, sur ïe prolongement de ïa perpendiculaire A E; et ïa base circulaire du cône AIF sera le cercle i g f, dont vous aurez le centre et ïes extrémités du diamètre par les arcs il, g G, f F, décrits du point E comme centre, et des rayons El, E G, EF.
  - Ainsi, en menant au cercïe i g f, par ïe sommet S, toutes les tangentes que ïes circonstances peuvent permettre, comme ici SC et S c, vous aurez en BSC, BSc, tous ïes angïes linéaires possibles qui puissent recevoir l’intersection d’un troisième pïan, tangent au cône dont ï’apothème fait avec ceux-ci l’angle demandé, et conséquemment tous ceux qui peuvent former fangïe S proposé.
  - Le troisième angïe linéaire A S c a été construit dans f hypothèse que ïe second angle soit B S C, en décrivant du centre E farc CH, abaissant H P perpendiculaire sur AE, menant de P sur A S ïa perpendiculaire indéfinie P D c, et ïa coupant par l’arc Ce décrit de S comme centre, comme on ïe fait dès que fon connaît deux angïes linéaires et fangïe pïan y compris.
  - Le troisième angïe pïan h D P a été construit ensuite, en menant P h parallèle à AS, ou perpendiculaire à DP, faisant Ph=PH, et joignant
  - ( 52 )
  - zwei Steïïungen , weïche die Frage auflôsen und ge-zeichnet werden müssen. Nun giebt aber der Augen-schein, dass der Triangeï FDA nichts weiter ist, aïs der auf die Basis zurückgeïegte Triangeï F D A' ; so dass AF die Hypothenuse A'F ist. Und da der haïbe Umkreis CGI auf dem Plane der Basis eben-faïïs auch den haïben Umkreis vorsteïït, weïchen der in Gedanken gezogene Punkt C beschreibt ; so sind foïgïich G und g die aïïeinigen Abstânde des Punktes F, wo in Gedanken der Punkt C so ge-stelït werden kann, dass er den vorgeschriebenen Bedingungen Genüge ïeistet. Und da er sich ferner in einem Abstânde von S befinden muss, weïçher mit CS gïeich ist, d. h. auf dem Umkreise CABc; so erhâlt man auf dem Plane die Winkeï BSc und BSc, aïs die einzigen, weïche den dritten geome-trischen Winkeï des vorgegebenen kôrperïichen bilden kônnen.
  - Sind soïchergestaït die drei geometrischen Win-keï gefunden, so ergeben sich die flachen Winkeï aus den vorigen Problemen.
  - 80. Problem. Es werden in einem kôrperïichen dreiseitigen Winkeï zwei fiache Winkeï und ein geometrischer, weïcher einem von diesen beiden entgegengesetzt ist, gegeben, um daraus die beiden andern geometrischen nebst dem dritten flachen Winkeï zu fînden. Fig. 427.
  - Auflôsung. A SB sey der gegebene geome-trische Winkeï oder Fïâche; AEH sey der fiache Winkeï, weïcher an diese Fïâche anstôsst, und aus zwei mit der Kante SB perpendicuïaren Linien AE, EH gebiïdet, und auf diese nâmïiche Fïâche umgeïegt ist. Aus einem beïiebigen, auf der andern Kante genommenen Punkte A, ziehe man nach E H die Perpendicularïinie A G, und be-trachte sie aïs die Axe eines geraden Kegeïs auf der Fïâche, weïche an SB anstossen soïï. Giebt man diesem Kegel die geraden Linien AF, AI zu Apo-themen, weïche den Winkeï AFG dem Maasstabe desjenigen Winkels gïeich machen, weïcher der Fïâche A SB entgengesetzt se yn soïï; so ergiebt sich daraus, dass die an die Kante AS anstossende Fïâche irgend eines von den Apothemen dieses Kegeïs berühren muss, weiï sie mit der andern Fïâche einen flachen Winkeï bilden muss, weïcher dem geometrischen Winkeï AFG gïeich ist; und die dritte an die Kante SB anstossende Fïâche die zir-keïrunde Basis dieses Kegeïs enthaïten muss, deren Mitteïpunkt sich auf einer mit dem Punkte E der Kante SB perpendicuïar gehenden Linie befindet.
  - Man denke sich nun , dass vermitteïst einer scharnierfôrmigen Bewegung die an S B anstossende Fïâche sich um diese Kante S B herum gedreht und auf die Fïâche A SB umgeïegt habe. Die Linie HE wird nach dieser Bewegung EC auf der verïângerten Perpendicularïinie AE geworden seyn; und^die zirkeïrunde Basis des Kegeïs AIF wird der Zirkeï igf seyn, dessen Mitteïpunkt und Enden des Durch-messers man vermitteïst derBogen il, gG, fF er-hâït, weïche aus dem Punkte E aïs Centrum und aus den Radiis El, EG, EF beschrieben worden sind.
  - Bringt man aïso an den Zirkeï igf, durch die Hôhe S, aile den Umstânden nach môgïiche Tan-genten, wie hier z. B. SC und Sc; so erhâlt man in B S C , B S c aile môgïiche geometrische Winkeï, mit denen sich ein dritter Plan durchschneiden kann, weïcher den Kegel berührt, dessen Apothem mit diesen Winkeïn den gesuchten bildet, und er-haït foïgïich aile diejenigen, weïche den gegebenen Winkeï S formiren kônnen.
  - Der dritte geometrische Winkeï A Sc ist unter der Voraussetzung gezeichnet worden, dass der zweite BSC sey ; wobei aus dem Centro E der Bogen CH beschrieben, H P auf A E perpendicuïar herabge-zogen, die unbestimmte Perpendicularïinie P D c, von P auf A S geführt, und mit dem aus S aïs Mitteïpunktbeschriebenen Bogen Ce durchschnitten worden ist, und zwar auf die nâmïiche Weise aïs wenn man zwei geometrische nebst dem inbegriffe-nen flachen Winkeï kennt.
  - Hierauf ist der dritte fiache Winkeï h D P derge-stalt gezeichnet worden, dass man P h mit AS pa-ralleïoder mit DP perpendicuïar geführt, Ph=PH
  - to the question, andwhichmustbeconstructed.Now it is clear that thé triangle FDA is nothing eïse but the triangle FDA' laid down on the plan of the basis ; so that A F represents the hypoténuse A'F. But the half-circumference CGI represents aïso, on the pïan of the basis, that describedin the space by the point C : therefore G and g are, in the unfoïding, the onïy distances from the point Fwhere the point C may be pïaeed in the air to answer to the proposed question ; and as it must aïso be at a distance from S equaï to C S, that is on the circum-ference CABc, one has, in the unfoïding on the pïan, the angles BSc and BSc, as the onïy ones which can be the tïiird Iinear angle of the solid angle proposed.
  - The three ïinear angïes once being known, the pïan angles are deduced from them by the precc-ding probïems.
  - 80. Problem. In a soïid angïe triedron, know-ing two plan angles [backings], and a Iinear angïe [panne!] opposite to one of them, to construct the two other Iinear angles and the third pïan angïe. Fig. 427.
  - Solution. Let be A SB the ïinear angle, or face, or panne! known; AEH, the pïan angleconti-guous to that face, formed by the two ïines AE, EH, perpendicuïar to the edge SB, and laid down on the pïan of the same face. From the point A, taken at wiïï on the other edge, draw toEHthe perpendicuïar A G, and consider itas the axis of a right cône on the face which ought to be contiguous to SB. If you give as apothems to that cône the right ïines A F, AI, making the angle AFG equaï to the measure of the angle which ought to be opposite to the face A SB, it is évident that the face contiguous to the edge A S ought to be a pïan tangent to some of the apothems of that cône, since it ought to make with the other face a pïan angle equaï to the ïinear angle AFG, and that the third face, contiguous to the edge S B, ought to contain the cir-cuïar basis of that cône, having its center on a per-pendicuïar to the point E of the edge SB.
  - Suppose therefore tïiat the face contiguous to S B has turned on that edge S B as on hindges, to be laid down on the plan of the face A SB. Aftcr that movement, the linè HE wiïï be E C, on the prolongation of the perpendicuïar AE; and the circuïar basis of the cône AIF wiïï be the circïe igf, of which the center and the extremities of the dia-meter wiïï be had by the arcs i I, g G, fF, described from the point E as center, and with the rays Eï, EG, EF.
  - Thus, drawing to the circïe i g f, by the summit S, ail the tangents that the circumstances can alïow, as here SC and Sc, you wiïï hâve in B SC, BSc, aïï the ïinear angïes possible which can receive the intersection of a third pïan tangent to the cône whose apothem makes with these the angïe required, and consequentïy ail those that can form the proposed angïe S.
  - The third ïinear angle A S c has been constructed in the supposition that the second is B SC, descri-bing from the center E the arc CH, ïetting down HP perpendicuïar to AE, drawing from P on A S the inclefinite perpendicuïar P De, and cutting it by the arc Ce described from S as center, aswhenwe know two ïinear angïes and the pïain angle included.
  - The third pïan angïe h D P has been constructed after, by drawing P h paraïlel to A S or perpen-dicular to D P, making P h=PH, and joining
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- - h à D, comme quand on connaît les trois angles linéaires.
  - La figure s dp h présente en perspective les deux angles solides qui satisfont à la question, avec le cône intérieur a fi, qui sert de base 4 la construction.
  - 81. Problème. Dans un angle solide trièdre, connaissant un angle linéaire et les deux angles plans qui lui sont adjacens, construire les deux autres angles linéaires et le troisième angle plan que ceux-ci forment entre eux.
  - SOLUTION. Fig. 428. Soient ESD, 1 angle linéaire connu; d p, une perpendiculaire quelconque de l'arête D S, ainsi que ep pour l’arête ES; pd A, l'angle plan formé sur l’angle ESC par l’angle qui lui est contigu et que l’on ne connaît pas; l’indéfinie A h p P, perpendiculaire à dp, ou parallèle à SD i.
  - Sur fautre arête, faites fangle peh' égal à l’angle plan que l’autre angle inconnu fait avec la même face ESD; faites eiz=zph, et menez l'indéfinie h!p parallèle à SE. Par l’intersection P de h'p avec Ap, menez PC et Pc, respectivement perpendiculaires à SE et S D ; du point P comme centre, et d’un rayon égal à pA, coupez en H et en h les parallèles indéfinies pA, p hpuis des points D, E, comme centres, avec les rayons respectifs D h, EH, coupez les perpendiculaires PD, PE, en c et C ; menez SC et S c : ïes angles c SD, CSE, sont les deux angles linéaires cherchés, qui donnent moyen de construire le troisième angle plan en I parles perpendiculaires c B et CA, et ïes arcs co-sécans CI et cI.
  - Démonstration. Les perpendiculaires dp, ep, étant placées arbitrairement, sont les traces de deux plans respectivement perpendiculaires aux arêtes SA, SB, tous deux perpendiculaires au plan E SD, et qui coupent la troisième arête en deux points différens. Les secondes perpendiculaires DP, EP, se coupant au point P, et de manière que, HP étant égal à Hp, l’angle HEP soit égal au second Shgle plan donné, elles sont les traces de deux plans qui coupent l’angle solide perpendiculairement à la face ESD, et chacun respectivement perpendiculaire aux mêmes arêtes; de sorte que leur intersection commune est une perpendiculaire au point P sur le plan ESD, et terminée en un même point de la troisième arête, à une certaine distance du sommet S, distance qui est l’hypoténuse d’un triangle rectangle vertical, dont la base est SP, la hauteur PH, P h ou p A.
  - Mais on porte immédiatement cette distance sur le développement, en considérant ce point de la troisième arête comme sommet commun des deux autres triangles, aussi réellement verticaux, DPh, EP H, qui sont rabattus sur le plan E S B ; en sorte que ïes arcs HC et hc donnent, sur les perpendiculaires PD, P E, les points c, C, qui sont le sommet de cette verticale, dont le pied est en P, porté sur le plan DSE par un mouvement de la ligne h D sur le point D, et de la ligne H E sur le point E. Ainsi les deux points c et C doivent être à la même distance de S; ce qui donne un moyen de vérification.
  - On conçoit ainsi que, A S C tournant sur A S, et B S c tournant sur BS, CS et c S formeront la troisième arête, sur laquelle C et c seront un même point, dont ïa retombée sera en P.
  - On voit aussi par-là que CA et c B sont, sur les deux faces nouvelles, les traces d’un plan perpendiculaire à la troisième arête, et que A B en est la
  - 3,e Partie.
  - ( 53 )
  - gemacht und h mit D vereinigt bat, gerade so aïs wenn man die drei geometrischen Winkeï kennt.
  - Die Figur s dp h zeigt in perspectivischer Ansicht die beiden kôrperlichen Winkeï, welche die Frage aufïôsen, so wie den innern Kegel a f i, welcher bei der Zeichnung zur Basis dient.
  - 81. Problem. Kennt man in einem dreiseitigen kôrperlichen Winkeï einen geometrischen nebst den beiden flachen Winkeln, welche an ihn anstossen, wie werden die beiden andern geometrischen nebst dem dritten flachen Winkeï, den dieselben mit einander biïden, gefunden ?
  - Auflôsung. Fig. 428. Es sey ESD der geo-metrische Winkeï, den man kennt ; d p sey eine Perpendicularlinie an einem beliebigen Punkte der Kante DS, so wie ep bei der Kante ES ; pd A der flache Winkeï, welcher auf dem Winkeï ESC ver-mittelst des ihn berührenden Winkels, den man nieht kennt, gebildet worden ist ; die unbestimmte Linie AhpP, sey perpendicular mit dp, oder pa-rallel mit SD i.
  - Man mâche auf der andern Kante den Winkeï peh! gleich dem flachen Winkeï, den der andere unbekannte Winkeï mit der namlichen Flache ESD bildet ; mâche ferner e i = p A , und ziehe die unbestimmte Linie h'p mit SE parallel. Durch den Durchschnitt P aus h’p, mit A p, ziehe man P C und Pc perpendicular mit SE und SD ; aus dem Punkte P aïs Mittelpunkt, und aus einem Radius = pA durchschneide man bei H und bei h die un-bestimmten Parallellinien p h, p A' ; durchschneide sodann aus den Punkten D, E, aïs Mittelpunkten, mit den respectiven Radiis D h , E H, die Perpen-* dicularlinien PD, PE, beic und C; ziehe SC und Sc: dieiWinkel cSD, CSE, sind sodann die beiden gesuchten geometrischen Winkeï, mit denen man vermittelst der Perpendicuïarlinien cB und CA, und dergemeinschaftlichdurchschneidenden Bogen CI und cl den dritten flachen Winkeï bei I, zeich-nen kann.
  - Beweis. Die auf beliebige Weise gezogenen Per-pendicularlinien dp, ep, sind die Linien zu zwei Plânen, von denen ein jeder mit den Kanten S A , SB perpendicular ist; beide sind ferner auch mit der Flache ESD perpendicular und durchschneiden die dritte Kante an zwei verschiedenen Punkten. Da die zwei Perpendicuïarlinien D P, EP, sich bei dem Punkte P durchschneiden, so dass der Winkeï HEP, weil HP = hP , dem gegebenen zweiten flachen Winkeï gleich ist, so sind sie die Linien zu zwei Plânen , welche den kôrperlichen Winkeï mit der Flache ESD perpendicular durchschneiden, und wobei ein jeder mit den namlichen Kanten perpendicular ist ; so dass ihr gemeinschaftlicher Durchschnitt eine mit dem Punkte P auf der Flache ESD perpendiculare Linie ist, welche sich an einem Punkte auf der dritten Kante, in einem ge-wissen Abstande von der Hôhe S endigt , und welcher Abstand die Hypothenuse eines verticalen rechtwinkeligen Triangelsist, dessenBasis SP, und die Hôhe PH, P h oder pA ist.
  - Hierauf trâgt man diesen Abstand unmittelbar nachher auf die Zeichnung , wobei man diesen Punkt der dritten Kante als die gemeinschaftliche HÔhe der beiden andern ebenfalls verticalen Tri-angelDPh , EPH , welche auf die Flache ESB umgelegt sind, annimmt ; so dass die Bogen H C, hc, auf der Perpendicularlinie PD, PE, die Punkte c> C geben, welche die Hôhe der Vertical-linie sind, deren Fuss vermittelst einer Bewegung der Linie h D auf den Punkt D, nach P aiîf dem Plane DSE, und von der Linie HE auf den Punkt E getragen worden ist. Diesem zufolge müs-sen die beiden Punkte c und C in dem namlichen Abstande von S seyn, wodurch man sich von dem Erfolge der Operation überzeugen kann.
  - Hieraus erheïlt, dass wenn sich ASC auf AS, und BSc auf BS dreht, so biïden, CS und cS die dritte Kante, auf welcher C und c ein und der-selbe Punkt ist, dessen verticale Vorstellung sich bei P befinden wird.
  - Hieraus erheïlt ferner, dass CA und cB auf den beiden neuen Flachen, die Vorstellung eines mit der dritten Kante perpendicularen Planes sind, und
  - h to D, as when one knows the three linear angles.
  - The figure s d p h shows in perspective the two soïid angles which answer to the question, with the internai cône afi, which is the basis of the construction.
  - 81. Problem. In a soïid angle triedron, knowing a linear angle and its two neighbouring plan angles, to construct-the two other linear angles, and the third plan angle formed between those two.
  - Solution. Fig. 428. Let be ESD, the linear angle known ; d p, a perpendicular to a point what-ever of the edge D S, as weil as ep for the edge ES; pd A, the plan angle formed on the angle ES C by the angle contiguous to it and unknown; the inde-finite AhpP, perpendicular to] dp, or parallel to SDi.
  - On the other edge, make the angle p e A' equal to the plan angle that the other unknown angle makes with the same face ESD; make ei =p A, and draw the indefinite h1 p parallel to SE. By the intersection P of h'p with A p, draw P C and P c perpendicular to SE and SD ; from the point P as center, and with a ray=p A, eut in H and h the indefinite parallel ph,p A'; and from the points D,E, as cen-ters, with the respective ray s D h, EH, eut the per-pendiculars P D, P E, in c and C ; draw SC and S c : the angles cSD, CSE, are the two linear angles^ searched, which give the means of constructing the third plan angle in I, by the perpendicuïars cB and CA, and the cosecantarcs CI and cl.
  - Démonstration. The perpendicuïars dp, ep, being pïaeed at will, are the traces of two plans per-pendicuïar to the edges SA,SB, both perpendicular to the plan ESD, and cutting the third edge in two different points. The second perpendicuïars D P, E P, cutting each other in the point P, and so that, HP being equal to h P, the angle HEP may be equal to the second plan angle given, they are the traces of two plans which eut the soïid angle perpendicularly to the face ESD, and each respec-tively perpendicular to the same edges; so that their common intersection is a perpendicular in the point P on the plan ESD, and ending at a same point of the third edge, at a certain distance from the summit S, which distance is the hypoténuse of a vertical rectangular triangle, whose basis is SP, the height PH, P h or pA.
  - But we transfer immediately that distance ion the unfolding, considering that point of the third edge as the common summit of two other triangles, aïso really vertical, D P h, EP H, which are laid down on the plan ESB; so that the arcs H C and h c gi ve on the perpendicuïars PD, PE, the points c, C, which are the summit of that vertical, whose bottom is in P, brought on the plan D S E by a movement of the line h D on the point D, and from H E ôn the point E. Thus the two points c and C ought to be at the same distance from S, which is a way of verifying.
  - It is cïear that, ASC turning on A S, and BSc on B S, C S and c S will form the third edge, on which C and c will be one same point, of which the drop will be in P.
  - It shows aïso that CA and cB are, on the two new faces, the traces of a plan perpendicular to the third edge, and that A B is the trace of it on the
  - 14
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- - trace sur la première face; qu ainsi le triangle A IB est la coupe entière de l’angle solide, dont Iangle en I, forme par deux perpendiculaires au meme point C ou c de la troisième arête, est la mesure de fangle plan que les deux nouvelles faces font entre elles.
  - 82. Problème. Connaissant les trois angles plans [biveaux»] d’un angle solide, en construire les trois angles linéaires [les panneaux].
  - Solution. Fig. 129. Soit ABC, l’un des angles plans connus, pris dans son propre plan; c’est-à-dire qu’une arête étant perpendiculaire au plan du dessin en A, les droites AD, AE, sont perpendiculaires à cette arête, et sont les traces de deux des faces de l’angle proposé, faces qui sont elles-mêmes perpendiculaires au plan du dessin, puisque leur intersection commune l’est. D’un point quelconque F de ce plan, menez à A E et AD les perpendiculaires F G, FH, et considérez-Ies comme axes de deux cônes droits, chacun sur l’une des faces dont A E et AD sont les traces. Achevez la projection de ces cônes, en traçant leurs apothèmes de manière que les angles F a H et FIH, F J G et F « G, soient respectivement égaux aux deux autres angles plans connus de l’angle solide proposé.
  - Il est évident que la troisième face de cet angle solide doit être un plan tangent à ces deux cônes, ou au moins parallèle au plan qui leur est tangent.
  - La base du cône J Fa est le cercle J ha i, rabattu sur le plan du dessin; et si, sur l’extrémité a de l’apothème, vous élevez la perpendiculaire a K jusqu’à l’axe prolongé, le cercle Jdae, décrit du centre K avec le rayon K a, sera le grand cercle d’une sphère inscrite à ce cône, et qui le touche à la circonférence J h a i.
  - Pour construire une autre sphère égale à celle-là, et inscrite dans l’autre cône F al, élevez Fk perpendiculaire à l’apothème Fa, et égale à K a; menez ensuite k a parallèle à F H : à! k, perpendiculaire à F a!, sera = Fk = a K, et le cercle a' g j f sera = J d a e ; en sorte que, si vous menez a' L parallèle à A E, elle sera la trace d’une face parallèle à celle que nous avions d’abord considérée comme ayant pour trace AE, et propre par conséquent à former le même angle solide.
  - Aux deux cercles a'gjf, Jdae, menez les deux tangentes communes df, eg, et leurs perpendiculaires d K e, f k g ; et vous aurez le plan d’un cylindre circonscrit aux deux sphères, et les touchant par de grands cercles dont les plans ont pour traces de, fg, perpendiculaires à K A:, qui est en même temps axe du cylindre et ligne des centres des sphères.
  - Ainsi tout plan qui passera par le point F, et qui sera tangent à ce cylindre, le sera aussi aux deux sphères qu’il embrasse, et par conséquent aux deux cônes J Fa, jFa', qui embrassent aussi les sphères; il fera donc les deux angles donnés avec les deux faces dont les traces sont La' et LD, et il ne reste plus qu’à construire ce plan tangent.
  - Le plan du dessin étant perpendiculaire, en même temps, au cercle de contact du cylindre avec la sphère, qui est d e, et au cercle de contact de la même sphère avec le cône, qui est J a, l’intersection des plans de ces deux cercles de contact est une perpendiculaire au plan du dessin, élevée au point o, où se coupent les traces de ces deux cercles; et ce point o est la projection des deux points où se coupent les deux circonférences de contact de la sphère et avec le cylindre et avec le cône qui lui sont circonscrits.
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  - | dass AB die Vorstellung desselben auf der ersten Flache ist; so dass aïso der Triangel A IB der vôl-lige Durchschnitt des kôrperlichen Winkels ist, von dem der Winkeï in I, weïcher aus zwei mit dem nâmïichen Punkte C oder c der dritten Kante per-pendicuïar gehenden Linien gebildet wird , das Maas zu dem flachen Winkeï ist, den die beiden
  - i neuen Flachen zusammen bilden.
  - 82. Problem. Auf drei gegebene flache Winkeï eines kôrperlichen Winkels die drei geometrischen zu zeichnen ?
  - ÂUFLÔSUNG. Fig. 129. ABC sey einer von den gegebenen flachen Winkeln, weïcher in seiner eigenen Flache genommen worden ist ; d. h. da eine Kante mit dem Grundrisse bei A perpendicular ist, so sind die geraden Linien AD , AE mit dieser Kante perpendicular, und enthalten die Vorstellung zu zwei Flachen des gegebenen Winkels ; diese Flachen sind ihrerseits selbst auch mit dem Grundrisse perpendicular , weiï ihr gemeinschaftïicher Durchschnitt es ebenfalls ist. Aus einem beliebigen auf diesem Plane enthaïtenen Punkte F, ziehe man die Perpendicularlinien F G, F H, nach A E und AD ; und betrachte sie als die Axen zweier geraden Kegel, von denen ein jeder auf einer der Flachen AEund AD steht. Man vollende die Zeichnung dieser Kegel dadurch, dass man ihre Apothème der-gestalt zieht, dass die Winkeï Fa H und FIH, FJ G und Fa G den beiden andern flachen Winkeln des gegebenen kôrperlichen gegenseitig gleich sind.
  - Es ergiebt sich hieraus , dass die dritte Flache dieses kôrperlichen Winkels diese beiden Kegel be-rühren oder wenigstens parallel mit der Flache seyn muss, welche an dieselben anstôsst.
  - Die Basis des Kegels JFa ist der Zirkel J h ai, weïcher auf den Grundriss umgeïegt ist. Richtet man nun auf dem Endpunkte a des Apothems, die Perpendicularlinie a K bis zur verlângerten Axe auf; so wird der aus dem Centro K mit dem Radius K a, beschriebene Zirkel Jdae, der grosse Zirkel einer in diesem Kegel eingeschriebenen Sphâre seyn, welche diesen Kegel an dem Umkreise J h a i be-rührt.
  - Um eineandere, dieser letztern gleiche, und in dem andern Kegel F a I eingeschriebene Sphâre zu zeichnen, so richte man Fk mit dem Apothème Fa perpendicular, und mit K a gleich auf, und ziehe sodann k a' mit F H parallel ; worauf a' k perpendicular mit Fa', seyn wird = Fk = aK ; und der Zirkel a' gjf wird seyn = J d ae ; so dass wenn man a'L mit AE parallel zieht, so wird diese Linie die Vorstellung zu einer Flache geben , welche vorher mitAE bezeichnet worden ist, und vermittelst weïcher daher der nâmïiche kôrperliche Winkeï gebildet werden kann.
  - Man führe zu den beiden Zirkeln a'gjf, Jdae die beiden gemeinschaftlichen Tangentçn df, eg, nebst ihren Perpendicularlinien d K e, f k g, wo-durch man den Plan eines Cylinders erhâlt, weïcher zwei Sphâren einschliesst und sie vermittelst zweier grosser Zirkel berührt, deren Vorstellung de, fg, mit K k perpendicular ist ; diese letztere Linie ist sowohl die Axe des Cylinders, aïs auch die Mittel-punktslinie der Sphâren.
  - Diesem zufolge wird jeder Plan, weïcher durch den Punkt F geht, und diesen Cylinder berührt, auch die beiden Sphâren berühren , welche er um-giebt, und wird foïglich auch die beiden Kegel JF a, JFa' berühren, welche diese Sphâren ebenfalls um-geben ; er wird foïglich die beiden gegebenen Win-kel nebst den beiden mit La' und LD bezeichneten Flâchen bilden ; so dass bloss die Zeichnung dieses berührenden Planes noch übrig bleibt.
  - Da der Grundriss zu gleicher Zeit sowohl mit dem Zirkel des Cylinders de, weïcher die Sphâre berührt, aïs auch mit dem Zirkel der nâmïichen Sphâre, weïcher den Kegel J a berührt, perpendicular ist ; so wird der Durchschnitt der Flâchen dieser beiden berührenden Zirkel eine mit dem Grundrisse perpendicuïare Linie seyn, welche auf dem Punkte o, wo die Linien dieser beiden Zirkel sich durchschnéiden , aufgerichtet ist ; und dieser Punkt o ist sodann die Vorstellung der beiden Punkte wo sich die beiden Umkreise der
  - first face ; that thus the triangle AIB is the whole section of the solid angle, whose angle in I, formed by two perpendiculars to the same point C (A- c of the third edge, is the measure of the plan angle made between. the two new faces.
  - 82. Problem. Knowing the three plan angles [backings] of a solid angle, to construct its three linear angles [the pannels].
  - Solution. Fig. 129. Let be AB C one ofthe plan angles known, taken in its own plan ; that is that, an edge being perpendicular to the plan of the figure in A, the right Iines A D, A E, ought to be perpendicular to that edge, and are the traces of two of the faces of the proposed angle, which faces are themseïves perpendicular to the plan of the figure, since their common intersection is so. From a point whatever F of that plan, draw to AE and AD the perpendiculars F G, F H, and consider them as axis of two right cônes, each on one of the faces ofwhom A E and A D are the traces. Finish the projection of those cônes, with tracing their apothems so that the angles F a H and FIH, F J G and F a G, may be equal to the two other plan angles known of the solid plan proposed.
  - It is évident that the third face of that solid angle ought to be a plan tangent to those two cônes, orat least parallel to the plan tangent to them.
  - The basis of the cône JFa is the circle Jhai, laid down on the plan of the drawing;and if, on the extremity a of the apothem, you draw the perpendicular a K as far as the prolonged axis, the circle Jdae, described from thecenterKwiththerayKfl, wilï be the great circle of a sphere inscribed in that cône, and which touches it at the circumference Jhai.
  - To construct another sphere equal to that one, and inscribed in the other cône F al, draw F h perpendicular to the apothem F a and equal to Kaydraw afterwards k a' parallel to F H : a' À-, perpendicularto F a'^will be = F k = a K, and the circle a'gj f will be =. J d a e ; so that if you draw a' L parallel to AE, it will be the trace of a face parallel to that we had at first considered as having AE as a trace, andapt consequently to form the same solid angle.
  - To the two circles a' g j f, J d a e, draw the two common tangent df,eg, and their perpendiculars dK e, f k g ; and you wilï hâve the plan of a cylinder circumscribed to the two spheres, and touching them by great circles the plans of which hâve for traces de,fg, perpendicular to Kk, which isat the same time axis of the cylinder and line of the centers of the spheres.
  - Thus every plan passing through the point F, and being tangent to that cylinder, wiüalsobeso with regard to the two^pheres it contains, and consequently with regard to the two cônes JFa, JFa', which contain aïso the spheres : it will therefore form the two given angles with the two faces of which the traces are L cl and L D, and nothing remains but to construct that tangent plan.
  - The plan of the drawing being perpendicular at the same time to the circle of contact of the cylinder with the sphere, which is de, and to the circle of contact of the same sphere with the cône, which is J a, the intersection of the plans of those two circles of contact is a perpendicular to the plan of the drawing, drawn to the point o, where the traces of these two circles intersect ; and that point o is the projection of the two points where the two circum-ferences of contact of the sphere with the cylinder and with the cône circumscribed to, intersect.
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- - Supposez maintenant que ïa face tracée en LD ait été rabattue sur ie plan du dessin par un quart de révolution exécuté sur cette ligne LD, et menez par o et par L les droites i h et LS, perpendiculaires à L D : S L sera indéfiniment Farête de langle solide qui avait été prise d’abord pour base primitive de l’opération ; h a i J sera ie cercle de contact de ia sphère et du cône; h et i sont les deux points où se coupent ies deux circonférences par lesquelles la sphère touche et ie cône et ie cylindre ; et il leur en correspond nécessairement deux autres sur fautre sphère inscrite au second cône, et qui sont, par rapport aux deux premiers, dans une direction parallèle à i’axe K A- du cylindre.
  - II résulte de ià que h S, tangente au point h du cercle J h ai, fera, avec ia droite SL, l’angle linéaire propre à la face dont ia trace était L D. (Voyez ia Fig. 434.}
  - Le second angle linéaire se construit facilement au moyen du cône jF a', que Ton rabat en forme de développement sur ie proïongement de D L, au • moyen des arcs a! Q, OP, et du cercle QTR, décrit avec le rayon P Q, et auquel on mène du point S ies tangentes SR, ST, dont iï se trouve susceptible d’après les données.
  - Le troisième se déduit des deux premiers, en menant à SL ia perpendiculaire pq, faisant i’angïe qtr égal à DLO, tr=tp, rq perpendiculaire surpq, qu perpendiculaire surSh, etSu=Sp, comme dans ie problème ou l’on cherche le troisième angle linéaire, quand ies deux autres sont connus.
  - 83. La Fig. 430 fait sentir ïa démonstration de cette opération. On y voit en perspective ies deux faces SL G (z), SLO (y), toutes deux perpendiculaires à la coupe GL O ; ies deux cônes F J a, Fja'; respectivement perpendiculaires à ces deux faces; les sphères inscrites dans ces cônes, et ie cylindre defg circonscrit aux deux sphères. Les grands cercles dce, fc'g, expriment ie contact du cylindre avec ies sphères ; ies cercles moindres, Je a, j c' a!, le contact de chaque cône avec la sphère qui lui appartient : en sorte que chacun des points c, c', est en même temps à ia surface du cyîindre, à ceiïe d’une sphère, et à celle d’un des cônes. Les trois points F, c, c', déterminent donc, par ïe triangle qu’ils font, ïa position de la face SXX (x), laquelle détermine elle-même l’angle linéaire des deux faces contiguës, et particulièrement celui de ia face LSG(z).
  - 84. Les deux sphères, au fieu d’être circonscrites par un cylindre de, fg, peuvent l’être de même par un cône double de U f g, ayant aussi pour axe la ligne des centres K A, Fig. 434, et pour apothèmes les tangentes communes dg, ef, qui se croisent au fieu d’être parallèles.
  - Alors ia même construction peut avoir fieu, excepté que ies traces de, fg, des plans des cercles de contact des sphères avec ce cône double, ne passent point par les centres K, A, comme dans ïe cas du cylindre circonscrit.
  - Par ce qui précède, on conçoit que, si par o et U on mène o O, et que l’on renvoie ie point O en T' par l’arc O T', la perpendiculaire T'R, menée par T' à la ligne D L Q, déterminera le point de contact R de la ligne S R, qui donne ie second angle.
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  - Sphare durchschneiden, weiche sowohï den Cy-Iinder als den Kegel berühren und diesen letztern einschliessen.
  - Man denke sich jetzt, dass die bei LD vorge-stellte Flâche , vermittelst einer auf dieser Linie LD StattgehabtenBewegungaufden Grundrissum-geiegt worden sey ; man ziehe nun durch o und durch L die geraden Linien i h und L S perpendi-cularmit LD; worauf SL die unbestimmteKante des kôrperlichen Winkels seyn wird, welcher an-fangs bei der Operation aïs Basis angenommen wurde ; h ai J ist der berührende Zirkel der Sphare und des Regels ; h und i sind die beiden Punkte wo sich die beiden Umkreise durchschneiden, vermittelst welcher die Sphare den Regel und den Cy-linder berührt ; mit diesen Punkten correspondiren nothwendigerweise zwei andere auf der im zweiten Regel eingeschriebenen Sphare, und hefinden sich in Bezug auf die beiden ersten in einer mit der Axe R A des Cyiinders parallelen Richtung.
  - Hieraus folgt, dass die Linie hS, weiche den im Zirkel J h ai befindlichen Punkt h berührt, mit der geraden Linie SL den geometrischen Winkel, welcher zur Flâche LD gehôrt, bilden wird. (Man sehe die Fig. 434. )
  - Die Zeichnung des zweiten geometrischen Win-keïs iâsst sich leicht vermittelst des Regels j Fa' aus-führen ; man zieht diesen ïetztern auf diè ver-lângerte Linie D L herab, und zwar vermittelst der Bogen a' Q, OP, und vermittelst des mit dem Radius PQ beschriebenen ZirkelsQTR, zuwelchem Radius man aus dem Punkte S die Tangenten SR, ST führt, weiche der gedachte Zirkel vermôge der festgesetzten Angaben erhaiten kann.
  - Die Zeichnung des dritten geometrischen Winkels ergiebt sich au s den beiden ersten ; man führt nach SL die Perpendicularlinie pq, macht den Winkel qtr = DLO, tr = tp, führt rq perpendicular auf p q, q u perpendicular auf Sh, und macht SU=sp, wie in dem Problem, in welchem man den dritten geometrischen Winkel sucht, wenn die beiden andern bekannt sind.
  - 83. Die Fig. 430 enthâlt den Beweis dieser Operation. Man sieht darin die beiden Flâchen SLG (z), SLO (y), perspectivisch dargestellt; beide sind mit dem Durchschnitte GLO perpendi-cuïar; man sieht ferner die beiden Regel FJa, F j a!, mit diesen beiden Flâchen gegenseitig perpendicular ; ferner die in diese Regel eingeschriebenen Sphâren, so wie den um die beiden Sphâren herum-gezogenen Cylinder d e fg. Die grossen Zirkel dce, fc'g zeigen die Punkte wo der Cylinder die Sphâren berührt; die kleineren Zirkel Jcaj je'a', aber zeigen die Berührung, weiche zwischen jedem Regel und der zu ihm gehôrigen Sphare Statt hat ; so dass sich aïso ein jeder von den Punkten c, c', zu gleicher Zeit sowohi auf der Flâche des Cyiinders, als auch auf der einer Sphâre , so wie auf der Flâche eines der Regel befindet. Die drei Punkte F, c, c', be-stimmen folglich vermittelst des Triangeïs, den sie bilden, dieStellung der Flâche SXX (x), weiche ihrerseits den geometrischen Winkel der beiden an-stossenden Flâchen , und insbesondere den Winkel der Flâche LS G (z) bestimmt.
  - 84. Die beiden Sphâren kônnen, anstatt von einem Cylinder de, fg, auch von einem doppelten Regel deUfg umschrieben werden ; derselbe hat die Mittelpunktslinie RA, Fig. 434 ebenfalis zur Axe , und seine Apothème sind die gemeinschaft-lichen Tangenten dg , ef, weiche sich kreuzen, anstatt mit einander parallel zu seyn.
  - Die Zeichnung kann sodann auf die nâmliche Weise ausgeführt werden, nurdass die Zirkellinien de, fg, vermittelst welcher die Sphâren diesen doppeiten Regel berühren, nicht durch die Mittei • punkte R, A gehen, wie solches der Faïl bei dem umschriebenen Cylinder war.
  - Aus dem vorstehenden ergiebt sich, dass wenn man oO durch o und U zieht, und vermittelst des Bogens O T' den Punkt O nach T' zurückführt, so bestimmt die Perpendicularlinie T'R, weiche durch T' auf die Linie DLQ geführt worden ist, den Be-rührungspunkt R der Linie S R, weiche den zweiten Winkei beschreibt.
  - Suppose now that the face traced in L D has been laid down on the plan of the draught by a quarter of a révolution on that fine LD, and draw by o and by L the straight fines i h and L S, perpendicular to L D : S L wilï be indefinitely the edge of the solid angle which had before been considered as the primitive basis of the operation; h ai J wilï be the circle of contact of the sphere and of the cône ; h and i are the two points where the two circumferences by which the sphere touches the cône and the cylinder, intersect; and there are necessarily two others corresponding with them on the sphere in-scribed to the second cône, in a direction parallel to the axis RA of the cylinder.
  - It results from this that h S, a tangent to the point h of the circle J h a i, wilï make with the straight fine SL the linear angle apt to the face whose trace was LD. (Fig. 434.}
  - The second ïinear angle is easily constructed with the cône jFa', laid down as in ledgement on the prolongation of D L, by means of the arcs a' Q, O P, and of the circle QTR, described with the ray P Q, and to which are drawn from the point S the tangents SR, ST, which it can receive after what was agreed to.
  - The third is deducted from the two first by draw-ing to S L the perpendicular p q, making the angle qtr=D LO, tr=tp, rq perpendicular to p q, qu perpendicular to S h, and S u — S p, as in the problem in which one looks for the third linear angle, when the two others are known.
  - 83. The Fig. 430 shows the démonstration of that operation. There one may see in perspective the two faces SLG(z),SLO(y), both perpendicular to the section GLO; the two cônes F J a, F j a', respectively perpendicular to those two faces; the spheres inscribed into those cônes, and the cylinder d e f g circumscribed to both the spheres. The great circles dce, fc'g, represent the contact of the cyïin-der with the spheres ; the smaller circles Je a, je'a', the contact of each cône with the sphere belonging to it : so that each point c, c', is at the same time on the surface of a cylinder, on that of a sphere, and on that of one of the cônes. The three points F, c, c', détermine therefore, by the triangle they form, the position of the face SXX(x), which détermines itself the linear angle of the two contiguous faces, and particularly that of the face LSG (z).
  - 84. The two spheres, instead of being circumscribed by a cylinder de, fg, may be so by a double cône d e U f g, having aïso for its axis the fine of the centers RA, Fig. 434, and for apothems, the common tangents d g, e f, which cross each other instead of being parallel.
  - Then the same construction may take place, except that the traces de,fg, of the plans of the circles of contact of the spheres with that double cône, dont pass by the centers R, A, as in the case of the circumscribed cylinder.
  - It is understood by what précédés that, if by o and U one draws o O, and if one transfers the point O to T' by the arc O T', the perpendicular T'R, drawn by T'to the line DLQ, wilï détermine the point of contact R of the fine SR, which gives the second angle.
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- - Scholie. 1.° Quand on emploie ïe cône double, * au lieu du cylindre, dans cette construction, il en résulte un angle solide, où deux angles linéaires sont les mêmes que si ï’on avait employé ïe cylindre, et où l’autre est ïe supplément du troisième; en sorte que, suivant celle des trois arêtes quon aura prise pour point de départ de ïa construction en A ou L, on aura trois angles solides différais.
  - 2.° Dans chacune des quatre constructions, si c’est par le point i qu’on mène ïa tangente, on aura une pyramide égaie, mais symétrique, à ceïïe que donne ïa tangente h S.
  - II y a donc huit solutions distinctes, sans y comprendre les huit que donne ST.
  - 85. Problème. Connaissant ïes inclinaisons tant de la coupe que du long-pan d’un comble, tracer ïa coupe des deux pannes.
  - Solution. Soient, Fig. 133, AB la pente du ïong-pan, CD ceile de la croupe, et EF ïa projection horizontale de ïa ligne d’arête de l’arêtier. Cette projection contenant aussi ceïïe de ïa coupe d’about des deux pannes, nous allons employer cette ligne pour exécuter le tracé. D’un point G pris arbitrairement sur EF, menons G g parallèle à E A, et considérons ce point comme étant la projection horizontale de l’extrémité de ï’arête inférieure de la face en juxta-position sur l’arbalétrier, côté du tasseau : prenant de même ïe point H pour projection horizontale de l’extrémité de ï’arête supérieure de ladite face de juxta-position, menons de même HA paraïïèïe à E A, et HI parallèle à A F ; et par ïe point G menons aussi G J parallèle à F A ; prenant encore arbitrairement sur E F ïe point K comme projection de l’extrémité de ï’arête supérieure de ïa face appuyée sur ïe tasseau, et menant encore Kj parallèle à EA, et g j perpendiculaire à AB, les lignes GI et g h donneront ïe tracé à ïa face de juxta-position de ïa panne ; et ïes lignes J K et g j, ceïui de la face appuyée sur ïe tasseau.
  - Pour les appliquer au volume, il suffit de porter GI de g en i, Fig. 133, de tracer i h perpendiculaire agi, de porter sur celle-ci g h de i en h, et de tracer g h ; puis de mener g j aussi perpendiculaire à g i, y porter g j de g en j; de mener indéfiniment j k parallèle agi, d’y porter J K de j en k, et tracer g k, et enfin de retourner ces deux traits sur les deux autres faces.
  - Une construction sembïabïe, faite pour la panne de croupe, s’appliquerait de ïa même manière au volume de ceïïe-ci.
  - Démonstration. g h est ïa projection verticale de la trace d’about de ïa face juxta-posée à l’arbalétrier; GH en est ïa projection horizontale pour une largeur égale à g h, et GI est la différence des distances des extrémités G et H au plan vertical de projection. Donc pour une pareille largeur, telle qu’on ïa prendrait en gh, la longueur réelle de cette trace doit être l’hypoténuse g h du triangle rectangle g i h, formé des côtés i h = g h > et g i = GI. Ainsi G H est la véritable direction de ïa trace cherchée, et n’a besoin que d’être prolongée à travers toute la largeur d’une pièce de bois quelconque, de quelque largeur quelle soit, pour en devenir la trace d’about complète.
  - En raisonnant de même, on prouverait que gk est la direction de la trace sur la face contiguë, et s’applique aussi bien à toutes les épaisseurs possibles.
  - 86. Problème. Tracer les délardemens, ïe recreusement et les coupes d’un arêtier, quel que soit l'angle du plan.
  - (se)
  - Ânmerkung. 1.® Bedient man sicti bei dieser Zeichnung des doppeïten Kegels, anstatt des Cy-ïinders, soentstehtdaraus ein kôrperlicher Winkeï, bei welchem man die nâmlichen zwei geometrischen Winkeï erhâït wie bei der Anwendung des Cylin-ders, wo der zweite Winkeï die Ergânzung des dritten ist ; so dass wenn man derjenigen von den drei Kanten foïgt, von weïcher man in A oder L bei der Zeichnung ausgegangen ist, so erhâït man drei verschiedene kôrperïiche Winkeï.
  - 2.° Führt man bei jeder von diesen vier Zeich-nungen die Tangente durch den Punkt i, so erhâït man eine gleichfôrmige Pyramide, weïche aber mit der von den Tangenten h S gebildeten in einem symmetrischen Verhâltnisse steht.
  - Diesem zufolge kônnen hierbei acht verschiedene Aufiôsungen zur Anwendung kommen , wobei die acht andern, weïche sich aus ST ergeben, nicht mit inbegriffen sind.
  - 85. Problem. Kennt man die Neigung des Waïmens und der ïangen Seite eines Daches , wie wird der Schnitt der beiden Stuhïrâhmen ge-zeichnet?
  - ÂUFLÔSUNG. Es sey AB, Fig. 133 die Neigung der ïangen Seite; CD, die des Waïmens, und EF die horizontale Vorsteïlung der Mitteïïinie des Gradsparrens. Da diese Vorsteïlung zugleich auch die vom Endschnitte der beiden Stuhïrâhmen ent-hâït, so woïïen wir diese Linien zur Ausführung der Zeichnung anwenden. Aus einem nachBeïieben auf EF genommenen Punkte G, führe man G g" paraïïeïmit EA, und betrachte diesen Punkt aïs die horizontale Vorsteïlung vom Ende der untern Kante auf der Seite wo soïche am Würfeï auf der Stuhlsâuïe aufïiegt : den Punkt H nehme man zur horizontaïen Vorsteïlung des Endes der obern Kante; führe H h paraïïeï mit EA, und HI paraïïeï mit AF, und ziehe auch G J durch den Punkt G pa-ralleï mit F A ; nehme ferner nach Beïieben auf EF, den Punkt K aïs Vorsteïlung des Endes der obern Kante, wovon die andere Seite auf dem Würfeï aufïiegt, und führe auch K j paraïïeï mit EA, und gj perpendicular mit AB; worauf die Linien GI und g h die Vorsteïlung zu der Seite wo die Stuhl-fette auf der Stuhlsâuïe aufïiegt, und die Linien J K und gj die Vorsteïlung zu der Seite, weïche auf dem Würfeï aufïiegt, geben werden.
  - Um dieses auf die zu gebende Gestaït anzuwen-den, so braucht man bïoss GI von g nach i, Fig. 133 zu tragen ; ih perpendicular mit g i zu ziehen; auf dieser ïetztern Linie g h von i nach h zu tragen, und gh zu ziehen ; sodann g j mit gi eben-faïïs perpendicular zu führen ; daselbst g j von g nach j zu tragen ; jk unbestimmt mit gi paraïïeï zu ziehen; auf dieser Linie, J K von j nach k zu tragen, und gk zu zeichnen , und endlich diese beiden Linien auf die beiden andern Flâchen zu bringen.
  - Eine âhnïiche für die Waïmenfette gemachte Zeichnung liesse sich auf die nâmïiche Weise für die Gestalt dieser Fette anwenden.
  - Beweis. g h ist die verticale Vorsteïlung von dem Ende der Seite weïche auf der Stuhlsâuïe aufïiegt; GH ist davon die horizontale Vorsteïlung zu einer Breite, weïche gh gleich ist; und GI ist der Unter-schied des Abstandes der Endpunkte G und H von dem verticaïen Projectionsplane. Diesem zufolge muss für eine âhnïiche Breite, weïche man z. B. bei gAnâhme, die wahre Lânge dieser Linie die Hy-pothenuse g h des rechtwinkeligen Triangeïs gih seyn, weïcher ïetztere aus den Seiten ih =gh und gi—GI gebiïdet ist. Diesem zufolge ist die Linie G H die wahre Richtung der gesuchten Linie ; und soll dieseïbe die Endseite eines jedweden Bauholzes, von weïcher Breite es auch sey, volïstândigangeben, so braucht man sie bïoss die ganze Breite hindurch zu verïângern.
  - Auf gleiche Art liesse sich beweisen, dass gk die Richtung der Linie auf der anstossenden Fïâche ist, und sich auf jede Dicke anwenden ïâsst.
  - 86. Problem. Das Behauen und Ausïochen so wie den Schnitt eines Gradsparrens zu zeichnen, der Winkeï des Grundrisses sey übrigens weïcher er woïle.
  - Scholion. 1.° When one makes use of the double cône, instead of the cyïinder, in that construction, it results from it a solid angle, where two linear angles are the same as if one had used the cyïinder, and where the other is the supplément of the third; so that, according to that of the three edges taken as the point of departure of the construction in A or L, one wiïï hâve three different solid angles.
  - 2.° In each of the four constructions, if the tangent is drawn by the point i, one will get a pyramid equal, but symmetricaï, with that given by the tangent h S.
  - There are then eight distinct solutions, without counting the eight given by ST.
  - 85. Problem. Knowing the inclination of the section as well of the ïong-pane of a roof, to trace the section of the two pannes.
  - Scholion. Let be, Fig. 133, AB the declivity of the ïong-pane, C D that of the top, and EF the horizontal projection of the edge-Iine of the hip. That projection containing also that of the section of the but-end of the two purlines, we will use that line to execute the trace. From a point G taken at will on E F, ïet us draw G g paraïïeï toEA, and let us consider that point as the horizontal projection of the extremity of the inferior edgeofthe face laid down on the principal rafter, on the side of the stopper : taking ïikewise the point H as the horizontal projection of the end of the superioredge of the said face of juxta-position, ïet us draw also IM paraïïeï to E A, and HI paraïïeï to AF; and by the point G let us draw also G J paraïïeï to F A. Taking stillat will on EF the point K as projection of the end of the superior edge laid down on the stopper, and drawing still K j paraïïeï to E A, and^/peipen-dicular to AB, the lines GI and g h will give the draught to the face of juxta-position of the purlin; and the ïines J K and g j, that of the face ïeaning on the stopper.
  - To apply them to the volume, it is suffirent to bring GI from g to i, Fig. 133, to trace i h perpendicular to gi, to bring on this one £ A from i to h, and to trace g h ; afterwards to draw gj perpendicular also to gi, bring into it gj from g to j; to draw indefinitely jk paraïïeï to gi, to bring there J K from j to k, and to trace gk, and in short to transfer these two traces on the two other faces,
  - A similar construction, made for the purlin of the top, might be applied in the same way to its volume.
  - Démonstration, g h is the vertical projection of the trace of but-end of the face laid down on the principal rafter ; G H is its horizontal projection for a width equaï to gh, and GI is the différence of the distances from the extremities G and Hto the vertical plan of projection. Therefore, for a same width, such as it is taken in gh, the real ïengthof that trace ought to be the hypoténuse gh of the rectanguïar triangle gih, formed with thesidesih —g h and g i — GI. Thus G H is the real direction of the searched trace, and onïy wants to be ïength-ened through the whoïe width of a piece of timber whatever, to become its complété trace of but-end,
  - With the same reasoning, it might be proved that g k is the direction of the trace on the conti-guous face, and is as well applied to any thickness whatever.
  - 86. Problem. To trace the shaving, thegroo-ving and the section of an edge-piece [hip], whatever may be the angle of the plan.
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- - Solution. Soit AL cclef, Fig. 134> la section horizontale d’un poteau cornier à un angle A, d’une valeur quelconque DAB, et devant recevoir Un arêtier dont la retombée fait, dans l’angle du plan, ïes deux angles DAC, BAC. GF donne l’apo-thème et ia pente du long-pan; IF, ceux de la croupe; H F, la longueur réelle de l’arétier en question; F'DAJ, l’ensemble complet du développement du comble : le tout construit à l’ordinaire, d’après la hauteur du poinçon et les dimensions du plan. On a seulement ajouté l’angle inférieur du développement du long-pan sur la ligne d’égout en k A j=gAn.
  - Comme fangle du plan f Ab, avec les deux angles inférieurs des pans du comble, bAj, fAg, forme un angle solide trièdre, où tout est connu, excepté l’angle plan formé par les deux pans de couverture, il n’est question que d’exécuter ici la solution du problème ( n.° 71 ), relatif à l'angle solide.
  - Des deux points j et g, pris à égale distance du sommet A, élevez les perpendiculaires g h, jk; des points h et k comme centres, et avec les rayons respectifs h g, k j, décrivez deux arcs qui se coupent en 1 et m, et menez h I et kl, ou hm, km : le parallélogramme h 1km sera la forme qüe doit avoir l’arêtier, parce que l’angle en m est la mesure de l’angle plan cherché, et qui est lui-même celui du délardement à opérer sur l’arêtier.
  - Pour trouver le volume réel de cet arêtier, ou tracer sa coupe perpendiculaire, transportez quelque part l’angle trouvé h 1k, comme il est ici en fab; et, après avoir mené au développement ftp et fq, qui donnent le développement des deux faces supérieures de l’arêtier,,et mené la perpendiculaire or, portez g r de a en f, et go de a en b, et achevez le parallélogramme fa b, avec son recreusement c de, au moyen de g s, g t, portées en b c et/e.
  - La coupe inférieure de Farêtier se trouvera au moyen des deux angles F' Af, F' A n, du développement, qui, en cet endroit, est le développement de Farêtier lui-même; et la coupe supérieure, au moyen des angles A F' q, A F' p.
  - Démonstration. En repliant les deux parties du développement, j A b tournant sur A b, g Af tournant sur Af, les points g et j se confondront en un, d’où partent les deux perpendiculaires g h, j k, formant entre elles un angle qui mesure l’inclinaison mutuelle des deux pans du comble l’un sur Fautre. La sous-tendante de cet angle est la diagonale h k du plan, qui forme, avec ces deux perpendiculaires, un triangle incliné, perpendiculaire à Farêtier : hmk ou hlk ne sont autre chose que ce triangle incliné rabattu sur le plan. Donc &c.
  - Observation. La coupe perpendiculaire de Farêtier se trouverait également dans les trois parallé-ïipipèdes dont les coupes seraient uv, x y, z &, rectangles circonscrits a fab, et construits soit sur l’un des côtés, soit sur la diagonale. Mais, a moins que le recreusement ne soit très - considérable, comme celui d’une noue, celui qui exige le moins de volume de bois pour l’exécution est x y, qui a pour hauteur fy, perpendiculaire au petit côté du rhombe f b, parce que ses deux dimensions s’écartent moins de l’égalité.
  - 87. Problème. Tracer ïes délardemens, le recreusement et les coupes d’une noue, quels que soient l’angle et même le biais du plan.
  - Solution. A proprement parler, ce que les 3.! Partie.
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  - AüFLôsvng. Es sey Abcdef, Fig. 434 der horizontale Durchschnitt eines Eckpfostens mit ei-nem Winkeï A, dessen Werth sey weïcher er wolle, DAB; und weïcher einen Gradsparren er-halten sofl, dessen Vorstellüng die beiden Winkeï DAG, BAC im Winkeï des Grundrisses biïdet. GF giebt das Apothem und die Neigung der langen Dachseite; IF die des Waïmens; H F, die wahre Lange des fraglicheft Gradsparrens; F'DAJ einen der untern Winkeï in derZeichnung des Dâches; wobei das Ganze auf die gewôhnliche Weise mît Rücksicht aufdieHôhe der Giebelsâuleundnach den Dimensionen des Grundrisses gezeichnet worden ist. Hierbei ist nichts weiter als der untere Winkeï an der langen Dachseite auf der Dachrinnenlinie bei k A j=g An hinzugefügt worden.
  - Da der Winkeï des Grundrisses fAb, mit den beiden untern Winkeln der Dachflâchen bAj, fAg zusammen einen kôrperlichen dreiseitigen Winkeï bilden , wo man ailes kennt, ausser den flachen Winkeï, weïcher von den beiden Dachflâchen ge-bildet wird, so braucht man hier bloss die Auflôsüng des den kôrperlichen Winkeï betreffendenProblems (N.r 71 ) zu befolgen.
  - Aus den zwei Punkten j undg, welche in gîeichem Abstande von der Hôhe A genommen sind, richte man die Perpendicularlinien g h, j k auf ; aus den Punkten h und k, aïs Mittelpunkten , und mit den respectiven Radiis h g, kj, beschreibe man zwei Bo-gen, welche sich bei I und m durchschneiden, und ziehe h I und kl, oder h m, k m ; das Paralleïogramm hlkm wird sodann die Gestalt bestimmen , welche der Gradsparren haben muss ; indem der Winkeï bei m das Maas zu dem gesuchten flachen Winkeï ist, weïcher seinerseits der zum Behauen des Gradsparrens erforderliche Winkeï ist.
  - Um die wahre Gestalt dieses Gradsparrens zu finden, oder seinen perpendicuïaren Schnitt zu zeichnen , so trage man den gefundenen Winkeï hlk, in einen beliebigen Ort, wie z. B. hier nach fab ; und hat man auf der Zeichnung n p und fq gezogen, welche die Vorstellüng zu den beiden obern Flachen des Gradsparrens geben ; hat man femer die Perpendicularlinie o r gezogen, so trage man gr aus a nach/, und go aus « nach b, und voïlende das Paralleïogramm/# b, nebst seinem Aus-schnitt ede vermittelst gs, gt, welche nach bc un d/e getragen werden.
  - Der untere Schnitt des Gradsparrens wird vermittelst der beiden Winkeï F' A f, F' A n gezeichnet, welche an diesem Orte die Vorstellüng des Gradsparrens selbst sind; der obéré Schnitt aber vermittelst der Winkeï A F' q, A F' p.
  - Beweis. Legt man die beiden Theiîe der Zeichnung um, so dass sich j Ab auf Ab, und gAfauf Af drehfc, so vesrchmelzen sich die beiden Punkte g und j in einen einzigen, von welchem die beiden Perpendicularlinien gh, jkausgehen, deren Winkeï, den sie zusammen bilden, das Maas zu der gegenseitigen Neigung der beiden Dachflâchen ist. Die Sehne dieses Winkeïs ist die Diagonallinie h k, welche mit diesen beiden Perpendicularlinien einen sich nei-genden und mit dem Gradsparren perpendicuïaren Triangel biïdet: hmk oder hlk sind nichts anders als dieser sich neigende Triangel, weïcher auf den Grundriss herabgezogen worden ist. Folglich &c.
  - Bemerkung. Der perpendiculare Schnitt des Gradsparrens wâre ebenfalïs auch in den drei Pa-rallelipipedis enthalten , deren Durchschnitte uv, x y und z & seyn würden ; dieses sind Rechtecke Velche mit fa b umschrieben, und entweder auf eine der Seiten oder auf die Diagonallinie gesetzt sind. Wâre aber der Ausschnitt betrâchtlich, wie der eines nachstehend beschriebenen Gradsparrens [Noue] ; so ist derjenige, weïcher bei der Ausführung den wenigsten Umfang erfordert, xy, dessen Hôhe fy mit der kleinen Seite der Raut efb perpendicuïar ist; indem die beiden Dimensionen dieses Aus-schnittes am gleichfôrmigsten sind.
  - 87. Problem. Das Behauen, Auslochen und den Schnitt eines Gradsparrens, Noue genannt, zu zeichnen ; der Winkeï und selbst die schiefe Rich-tung des Grundrisses sey welche sie wolle.
  - AüflôSUNG. Die Baumeister nennen eigentïich
  - Solution. Let be Abcdef, Fig. 434, tbe horizontal section of an angular post at an angle A, of any value DAB, which ought to receive ah edge-beam whose drop makes, in the angle of the plan, the two angles DAC, BAC. GF gives the apothem and the declivity of the long-pane; IF, those of the top; H F, the real length of the edge piece mentioned ; F' D A J, the whole unfolding of the roof: ail constructed asusual, accordingto the height of the king-post and the dimensions of the plan. We hâve only added the inferior angle of the unfolding of the long-pane on the eaves-Iine in k Aj = gAn.
  - As the angle of the plan f A b, with the two infe-fior angles of the panes of the roof, b A j, fx\ g, forms a solid angle triedron, where every thing is known, except the plan angle formed by the two panes of covering, we only hâve to put here in execution thé solution of the problem (n.r 71 ), with regard to the solid angle;
  - From the two points j and g, taken at equal distance from the summit A, draw the perpendicu-lars g h, j k ; from the points h and k as centers, and with the respective rays h g, k j, descrîbe two arcs which intersect in I an<^n, and draw h 1 and kl, or h m, k m : the parallelogram hlkm will be the form that the edge-piece ought to hâve, since the angle m is the measure of the plan angle looked for, and which is itself that of the shaving wanted on the edge-piece.
  - To find the real volume of that edge-piece, or to trace the perpendicuïar section of it, transfer somewhere the angle foünd out h 1k, as it is here in fab; and, after having drawn to the unfolding np and fq, which give the unfolding of the two superior faces of the edge-piece, and drawn the perpendicuïar or, bring gr from a to/and go from a to b, and finish the parallelogram fab, with itsgrooving cde,hy means of gs,gt, brought to bc and fe.
  - The inferior section of the edge-piece will be traced by means of the two angles F'Af, F'An, of the unfolding, which, in that place, is the unfolding of the edge-piece itself; and the superior section, by means of the angles AF'q, AF'p.
  - Démonstration. Folding again the two parts of the unfolding, jAb turning on Ab, gAf turning on Af, the points g and j will be confounded into one, from which arise the two perpendiculars gh, jk, forming between them an angle which measures the mutual inclination of the two parts of the roof towards each other. The subtense of that angle is the diagonal h k of the plan, which forms with those two perpendiculars an inclined triangle, perpendicuïar to the edge-piece : h m k or h I k are nothing else but that inclined triangle laid down on the plan. There-fore &c.
  - Observation. The perpendicuïar section of the edge-piece might be found equally in the three pa-rallelopipedes whose sections would be uv ,xy and z&, rectangles circumscribed to fab, and constructed either on one of the sides, either on the diagonal. But, unïess the grooving is very great, as that of a valley, that which requires the Ieast volume of wood for the execution is xy, whose height is fy perpendicuïar to the small side of the rhomb fb, because its two dimensions are less far from being equal.
  - 87. Problem. To trace the grooving, the shaving and the sections of a valley, whatever may be the angle and even the slanting of the plan.
  - SOLUTION. Correctly speaking, what the practi-
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- - praticiens appellent noue, n’est autre chose qu’un arêtier recreusé en-dessus, pour terminer et soutenir à leur intersection deux pans de couverture, qui font un angle rentrant, comme l’arêtier ordinaire le fait pour ceux qui forment un angïe saillant. Le développement complet d’un pareil comble pourrait fournir tout ce qu’il faut pour tracer la noue; mais le procédé en serait extrêmement compliqué, et il est bien plus simple de considérer ies noues comme des arêtiers d’un comble intérieur fictif, compris entre les saillies du comble réel, et ayant les mêmes poinçons que lui.
  - Soit donc Abcdef, Fig. 135, la section horizontale d’un poteau cornier, recreusé de la moitié de son épaisseur, pour occuper fangle obtus rentrant CAB d’un bâtiment, et devant recevoir une noue dont la retombée fait dans le plan les angles quelconques F AB, FAC.
  - Complétez d’abord le plan du poteau cornier, comme s’il n’avait pas été recreusé; prolongez les directions de ses faces jusqu’à des perpendiculaires que vous leur mènerez d’un même point F de la ligne qui va de l’angle A au poinçon : vous aurez ainsi le plan FEKDF d’un comble fictif, dont ï’arêtier F K doit- avoir le même angle pian, soit à ses arêtes entières, soit à soï? recreusement, que ia noue demandée.
  - Faites donc le développement des deux pans de ce comble fictif, chacun sur sa ligne d’égout KE, K D, en portant la hauteur de poinçon de G en H, K F de G en I, et IH de K en N et en L, et transportant de plus KNE en LKM, pour avoir le développement entier LD KM.
  - De deux points g g, pris à égale distance de K sur les lignes d’arêtiers KL, KN, élevez à ces lignes les perpendiculaires g h, gk, que vous prendrez chacune pour rayon, et h et k pour centres respectifs des arcs g i, g i : le parallélogramme h i k m donnera, en m et i, l’angle plan du délardement et du recreusement de la noue proposée ; de sorte qu’en transportant cet angle i en k sur le prolongement de h i, menant kc parallèle a ik, faisant Jce=zgr et k c=go, k f=gs et kb = gt, qui sont déterminées sur le développement par eq, np, fs et ut, parallèles à l’arêtier KL, vous aurez la coupe perpendiculaire de la noue en e kc de, et, après le recreusement de moitié, efibcde, inscrits dans ies trois rectangles (n.° 86).
  - Les deux angles L K D, LKM, donnent la coupe inférieure, et KLD, KLM, la coupe supérieure de la noue.
  - Démonstration. En faisant tourner, comme sur une charnière, LKD sur DK, et NE K sur EK, les deux points g et g, qui sont à égale distance de K, se confondent en un seul, quand les deux lignes KL, K N, se seront rencontrées et confondues elles-mêmes. Donc g h, gk, seront les deux perpendiculaires à un même point d’une arête d’un angle plan. L’angle quelles formeraient entre elles, et qui aurait pour sous-tendante la diagonale hk, serait donc la mesure de l’angle plan du comble fictif, et conséquemment de la noue qui lui est opposée par l’arête. Or c’est cet angle qui est rabattu sur le plan en h i k, h m k. Donc &c.
  - 88. Problème. Couper un empanon déversé (à tout devers), qui doit être appliqué à une croupe biaise, dont on connaît b pente et l’angle que la
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  - Noue einen Gradsparren, welcher von oben ausge-locht und dazu bestimmt ist, zwei Dachflâchen, welche einen eingehenden Winkel biïden, da wo sich dieseïben durchschneiden, zu vollenden und zu tragen ; wie solches der gewôhnliche Gradsparren bei denjenigen Dachflâchen thut, welche einen vor-springenden Winkel btïden. Eine vollstândig ausge-führte Darstelïung eines solchen Daches würde ailes enthalten was zur Zeichnung dieses Sparrens ge-hôrt; da aber die hierbei zu beobachtende Yerfah-rungsweise zu verwickelt seyn würde, so ist es besser, man betrachtet diese Sparren aïs Gradsparren eines innern fingirten Daches, weïches zwischen den Vor-sprüngen des wahren Daches steht, und die nam-lichen Giebeïsâulen aïs dieses hat.
  - Abcdef, Fig. 135, sey aïso der horizontale Schnitt eines Eckpfostens, welcher in halbe Hoïz-dicke eingeîocht ist, und den stumpfen eingehenden Winkel CAB eines Gebâudes einnehmen , und einen Sparren [,Noue], erhalten solï, dessen Vor-stellung die beliebigen Winkel F AB, FAC im Grundrisse bildet.
  - Man ergânze zuvôrderst den Plan des Eckpfostens dergestalt, aïs ob er nicht ausgelocht worden wâre, und verïângere die Richtungen seiner Flachen bis zu den Perpendicularlinien, welche man aus einem unddemselben Punkte F derLinie, welche von dem Winkel A zur Giebelsâule geht, dahin führt : auf diese Weise erhâlt man den Grundriss FEKDF eines fingirten Daches, dessen Gradsparren FK, so-wohl an seinen ganzen Kanten, als auch an der Aus-lochung desselben den nâmïichen flachen Winkel haben muss, wie der begehrte Sparren [Noue].
  - Diesem züfolge mâche man die Zeichnung dieser beiden fingirten Dachflâchen auf jeder dahin gehô-rigen Dachrinnenlinie KE, KD, wobei man die Hôhe der Giebelsâule von G nach H , so wie ferner KF von G nach I, und IH von K nach N und nach L trâgt; und überdies KNE nach LKM bringt, wodurch man die voïlstândige Zeichnung LD KM erhâlt.
  - Aus den beiden Punkten g,g, welche in gïeichem Àbstande von K, auf der Gradsparrenïinie K L, K N genommen werden, richte man nach diesen Linien zu die Perpendicularlinien gh,g*k, auf, von denen eine jede zum Radius, und h und k zu respectiven Mit-telpunkten der Bogen gi, g*i, genommen werden; das Parallelogramm hikm wird hierauf bei m und i den flachen Winkel der Behauung und Auslochung des gegebenen Sparrens [Noue]geben; so dass wenn dieser Winkel i, nach k auf die Verïângerung von h i versetzt, k c mit i k paraïlel gezogen, und ke=gr und Æc = go, kf=zgs , und kb = gt gemacht wird, welche letztere auf der Figur durch die mit dem Gradsparren KL parallelen eq und np, fs, ut be-zeichnet sind ; so erhâlt man den perpendicularen Schnitt des Sparrens [Noue] bei ekcde, so wie die in halbe Holzdicke geschehene Auslochung efibcde, welche in die drei Rechtecke (N.r 86) eingeschrieben sind.
  - Die beiden Winkel LKD , LKM geben den untern Schnitt des fraglichen Sparrens, und KLD, KLM den obern.
  - Beweis. Dreht man vermittelst einer scharnier-fôrmigen Bewegung LKD auf DK, und N EK auf EK; so verschmelzen sich die beiden Punkte g und g, welche sich in gïeichem Abstande von K be-finden, in einen einzigen , nachdem zuvor die beiden Linien KL, K N mit einander zusammen-getroffen sind, und sich zusammen vereinigt haben. Diesem zufolge sind g h, g-k die beiden Perpendi* cularïinien mit einem und demseïben auf der einen Kante eines flachen Winkels befindlichen Punkte. Der Winkel den sie mit einander bilden würden , und welcher die Diagonallinie hk zur Sehne hâtte, wâre aïso das Maas zu dem flachen Winkel des fingirten Daches, und foïgïichzu dem Sparren [Noue], welcher demseïben der Kante nach entgegengesetzt ist. Dieser Winkel nun ist es, welcher auf den Grundriss bei h i k , h m k umgelegt ist. Fol-glich, &c.
  - 88. Problem. Einen seitwârts gedrehten Schift oder Halbsparren zu schneiden, welcher bei einem schrâgen Waimen angewendet werden soi!, und
  - tioners call a valley, is but an edge-piece grooved at its upper part to end and support at their intersection two panes of covering makinga reentrant angle, as does the common edge-piece for those which make a jutting out angle. The complété unfolding of such a roof might furnish ail that is necessary to trace the valley; but that proceeding would be very compli-cated , and it is much more simple to consider the valley as edge-piece of a fictitious interior roof, included between the projectures of the real roof, and having the same king-post as it has.
  - Let then be A b c d e f, Fig. 135, the horizontal section of a corner post grooved the half of its thickness, to occupy the obtuse reentrant angle CAB of a building, and designed to receivea valley whose drop makes in the plan the angles whatever FAB, FAG
  - Complété at first the plan of the corner post, as if it had not been grooved ; lengthen the direction of its faces as far as perpendicular fines drawn to them from a same point F of the fine which goes from the angle A tô the king-post : you wiïï thus hâve the plan FEKDF of a fictitious roof, whose edge-piece F K ought to hâve the same plan angle, eithet at its whole edges, either at its grooving,asthere-quired valley.
  - Make therefore the unfolding of the two panes of that fictitious roof, each on its eaves-lineKE, KD, by bringing the height of the king-post from G to H, K F from G to I, and IH from Kto N and L, and transferring also the angle KNE in LKM, for having the whole display LD KM.
  - Through two points g, g, taken at equal distance from K, on the edge-Iines KL, KN, lift the perpendiculars g h, g-k; take them for rays, and h, k for respective centers of the arcs gi, gi : the paraîlelogram hikm gives into m and i the plan angle of the shaving and grooving of the searched valley; so that by bringing that angle i on the lengthening of h i at À-, drawing kc paraïlel to ik, making ke=g r and kc—go, kf= gs and k b = g t, whom détermine in lcdgement eq, n p, fs and ut paraïlel to edge-îine KL, you shall hâve the perpendicular section of the valley in ekcde, and, after the grooving half-way, ef i bc de, both inscribed into the three rectangles mentioned (n.r 86).
  - Both the valley*s cuts arc given by the angles K, L of the display : viz, the heel accordingly to L KD and LKM ; the overcut, to KLD and KLM.
  - Démonstration. By turning, as on hinges, the angïesLKD on DK, andNEKonEK,thepointsg and g-, which are equally far from K, confoundthem* selves into an one, when the fines KL, KNmeet together and become only one. Thérefore gh, gk, will be the two perpendiculars to a same point of one edge of a plan angle. The angle they would form between them, and which would hâve for sub-tense the diagonal h k, would then be the measure of the plan angle of the fictitious roof, and conse-quently of the valley opposite to it by the edge. Now that angïe is laid down on the plan in hik, h m k. Therefore &c.
  - 88. Problem. To eut a slanting shorted-rafter • ( at any inclination ), which ought to be applied to a top slanting, whose we know the declivity and the
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- - projection Je farétier forme avec ïa ligne dégoût. Fig. 136.
  - SOLUTION. Soient ACE ïa projection horizontale de la croupe; ED et AB, ïa direction des plates-formes des longs-pans ; F e, ïa trace horizontale de ïa face de farétier, qui doit recevoir les assemblages des empanons de la croupe; eK, la hauteur où se trouve faréte supérieure du délardement de ï’arê-tier au point e; ae, ïa projection horizontale d’une des arêtes supérieures d’un empanon biais (ici disposé parallèlement à fégout ED, comme le veulent quelques praticiens): soit aussi la droite e J, menée du point e perpendiculairement à la plate-forme de croupe, projection prise de fempanon droit. L’angle K J e exprime la pente ou l’inclinaison de ïa croupe sur la plate-forme, et K J est la longueur réelle de fempanon droit.
  - Après avoir porté KJ de J en e, et mené a e eteF, pour avoir enaFe le développement, ou, comme disent les praticiens, ïa herse de ïa portion de croupe dont aFe est ïe pîan, par ïe point e menez à K J ïa perpendiculaire M e; puis MN, parallèle à J F ; puis l’indéfinie P N O R, parallèle à eJ; puis encore ïes indéfinies RS et RT, perpendiculaires, fune à OR, et l’autre à ae; et enfin O S, parallèle à KJ, et qui détermine ïa longueur de R S; faites ensuite RT=R S, puis aP=aT; et tracez a P, qui coupera le plan de farétier en Q ; enfin, ayant fait aq=aQ, du centre e et du rayon e q décrivez l’arc indéfini q q, que vous couperez d’un petit arc du centre F, avec ïe rayon F Q ; et menez Fy, qe et e q, et vous aurez tous ïes élé-mens de la solution de la question proposée : aQ est la trace de la face de fempanon, en retour d’équerre du lattis, et à ï’opposite de farétier; de sorte qu’en traçant d’après cette direction ïe parallélogramme abcd d’après la largeur et l’épaisseur de fempanon, vous auréz sa trace sur ïa plate-forme, que les praticiens nomment sondas. Les deux angles Fa e, Fea, sont les coupes des deux abouts de fempanon à sa face supérieure; de sorte qu’en menant dg- parallèle à ae, A geo. est la figure réelle de ïa grandeur naturelle de cette face de fempanon : il en est même des deux angles qae, qea, et du trapèze a bfe, pour ïa face en retour d’équerre de fempanon , qui est ainsi développée, et relevée sur le plan de la première face. Enfin, l’angle q e F est celui du parallélogramme eghi, qui doit être ïa trace du même empanon sur la surface de farétier.
  - Démonstration. l.° La surface supérieure de fempanon faisant partie du lattis de ïa croupe, dont le développement est ïe triangle aFe dans sa grandeur et sa figure naturelles, iï est évident que ïes deux angles Fa e, Fea, fournissent ïes deux traits des coupes d’about de fempanon, quant à sa face supérieure.
  - 2.° D’un point quelconque de l’arête développée ae de fempanon, m, par exemple, si l’on mène à a F la perpendiculaire m n o p, et m v, perpendiculaire à mn, et qu’on fasse ï’angïe m n v égal à l’inclinaison de la croupe; mv sera la distance perpendiculaire , mais non verticale, d’un point de la base du comble au point m de l’arête de fempanon.
  - Pour bien concevoir cet article et en sentir pleinement l’utilité, iï faut observer qu’il existe un tétraèdre formé, l.° par ïa portion de croupe dont la projection horizontale, ou retombée, est aFe; 2,° le plan vertical déterminé par ïa face latérale de l’arêtier, et dont la trace horizontale sur ïa base du comble est Fe; 3.° une autre face, latérale aussi,
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  - wobei man die Neigung des Waïmens sq wie den Winkel den der Gradsparren mit der Dachrinnen-ïinie bildet, kennt. Fig. 136.
  - ÂUFLÔSUNG. Es sey ACE die horizontale Vorstellung des Waïmens ; ED und AB die Rich-tung der Mauerlatten an der ïangen Dachseite ; F e die horizontale Vorstellung von derjenigen Seite des Gradsparrens, wo die Halbsparren angesetzt werden soïlen ; e K die Hohe an welcher sich die behauene obéré Kante des Gradsparrens bei dem Punkte e befmdet; ae die horizontale Vorstellung von einerder obéra Kanten an einemschrâgen Halbsparren , welcher hier mit der Dachrinne E D pa-rallel gesteïlt ist, wie solches einige Baumeister vor-schreiben. Ferner sey eJ die geradeLinie, welche aus dem Punkte e mit der Mauerlatte des Waïmens perpendicuïar gezogen worden ist, und welche Vor-stelïung von dem geraden Halbsparren genommen worden ist; der Winkel K Je bezeichnet die Neigung des Waïmens auf die Mauerlatte, und KJ die wahre Lange des geraden Schiftsparrens.
  - Hat man K J von J nach e getragen , und a e nebst eF gezogen, wodurch man bei aFe die Vorstellung desjenigen Walmentheils erhâlt, wovon aFe der Plan ist; so führe man die Perpendicular-ïinie Me, durch denPunkt e nach KJ ; ziehe ferner MN paralleï mit JF, so wie die unbestimmte Linie PNOR paralleï mit eJ; ziehe weiter die unbe-stimmten Linien RS und RT, perpendicuïar, und zwar die eine mit O R, und die andere mit ae ; ziehe endïich OS paralleï mit KJ, wodurch man die Lange von RS erhâlt ; mâche sodann RT = RS ; ferner aP = a T ; und zeichne aP , welches den Plan des Gradsparrens hei Q durch-schneidet. Hat man endlich aq=aQ gemacht, so beschreibe man aus dem Mitteïpunkte e und aus dem Radius eq den unbestimmten Bogen q q, den man vermittelst eines kleinen Bogens aus dem Mit-teïpunkte F, mit dem Radius F Q, durchschneidet, und ziehe Fq,qe und eq, wodurch man die sammt-ïichen zur Auflôsung der gegebenen Frage gehô-rigen Bestandtheiïe erhâlt : aQ ist die Vorstellung derjenigen Seite des Halbsparrens, welche dem Gradsparren entgegengesetzt ist, und mit dem Lattenwerk einen geradseitigen Winkel bildet ; zeichnet man also , dieser Richtung gemâss, das Parallelogramm abcd, nach der Breite und Dicke des Schiftsparrens, so erhâlt man die Vorstel-ïung desselben auf der Mauerlatte. Die beiden Winkel Fae, Fea sind die Endschnitte an der obéra Seite des Halbsparrens ; zieht man also à g mit ae paralleï, so ist dg*ea die wahre Vorstellung von der natürlichen Grôsse dieser Seite des Halbsparrens. Die nâmliche Beschaffenheit hat es mit den beiden Winkeln qae, qea> und mit dem Trape-zium a bfe, rücksichtlich der Seite, welche mit dem Schiftsparren einen geradseitigen Winkel bildet , und welche auf diese Weise auf dem Plane der ersten Seite ausgeführt ist. Der Winkel qe F ist endlich der des Parallelogramms eghi, woraus man die Vorstellung des nâmlichen Halbsparrens auf der Flâche des Gradsparrens erhâlt.
  - Beweis. l.°Da die obéré Flâche des Halbsparrens einen Bestandtheil des zum Walmen gehôrigen Lat-tenwerks ausmacht, dessen Grôsse und Gestalt der Triangel aFe angiebt, so müssen die beiden Winkel Fae, Fea nothwendigerweise die beiden Linien zu den obern Endschnitten des Halbsparrens geben.
  - 2.6 Zieht man aus einem beliebigen Punkte, z. B. m der ausgeführten Kante a e des Halbsparrens, diePerpendicuIarïinie m n o p nach a F, und mv mit mn perpendicuïar, und machtden Winkel mnv der Neigung des Waïmens gleich ; so wird m v der perpendiculare (aber nicht verticale) Abstand eines an der Basis des Daches befindlichen Punktes zum Punkte m der Schiftsparrenkante seyn.
  - Zum bessern Verstândniss dieses Artikeïs, von dessen Nutzen man sich vollkommen überzeugen wird, bemerke man, dass es einen Tetraëder betrifft, welcher besteht, l.° aus demjenigen Theile des Waïmens , dessen horizontale Vorstellung aFe ist ; 2.° aus dem verticalen Plane, welcher aus der Seiten-
  - flâche des Gradsparrens entsteht, und dessen hori-
  - *
  - angle made by the projection of the edge-piece and the eaves-Iine. Fig. 136.
  - Solution. Let be A CE the horizontal projection of the top ; ED and AB, the direction of the platforms of the long-panes ; Fe, the horizontal trace of the face of the edge-piece, which ought to receive the assemblage of the shorted-rafters of the top ; e K, the height of the superior edge of the shaving of the edge-piece at the point e; a e, the horizontal projection of one of the superior edges of a bevel rafter (here disposed paralleï to the eaves-Iine ED, as some practitioners will hâve it ) : let be also the right line e J, drawn from the point e perpendicuïarly to the platform of the top, a projection taken from the right rafter. The angle K Je shows the de-clivity of the top on the platform, and K J is the real length of the rigth shorted-rafter.
  - After having brought K J from J to e, and drawn a e and e F, to hâve in aFe the unfolding, or, as say the practitioners, the ledgement of the portion ofthe • top of which aFe is the plan, by the point e draw to KJ the perpendicuïar Me ; then MN, paralleï to J F; then the indefinite PNOR, paralleï to e J ; then still the indefinite fines R S and RT, perpendicuïar the one to O R, the other to a e ; and at ïast O S, paralleï to KJ, and which détermines the length of RS; make afterwards RT=RS, and aP=aT; then trace a P, which will eut the plan of the edge-piece in Q; at ïast, having made aq=aQ, from the center e and with the ray e q describe the indefinite arc q q, that you shaïl eut with a small arc drawn from a center F, with the ray F Q ; and draw E q, q e and e q, and you will hâve ail the éléments of the solution of the proposed question : a Q is the trace of the face of the rafter, at right angle with the ïathing’s one, and opposite to the edge-piece; so that, drawing after that direction the parallelogram abcd, accordingïy to the width and the thickness of the rafter, you will hâve its trace on the platform, named by the practitioners its pace [heel], The two angles Fae, Fea, are the sections of the two ends of the rafter, at its superior face; so that, drawing Ag paralleï to ae, Age a is the real figure of the natural size of the rafter : it is the same with the two angles q a e, q e a, and with the trapezium a bfe for the face in right angle of the rafter, which is thus unfolded and raised up again on the plan of the first face. At Ïast, the angle qe¥is that of the parallelogram eghi, which ought to be the trace of the same rafter on the surface of the edge-piece.
  - Démonstration. 1The superior surface of the rafter making a part of the ïathing of the top, whose unfolding is the triangle a F e in its natural size and figure, it is évident that the two angles Fae, Fea, give the two traces where the end of the rafter is to be eut, as for its superior face.
  - 2.° From a point whatever of the unfolded edge a e of the rafter, m, for instance, if one draws to a F the perpendicuïar mnop, and mv, perpendi-cular to m n, and if one makes the angle mnv equal to the declivity of the top ; m v will be the per-pendicular distance, but not vertical, from a point of the basis of the roof to the point m of the edge of the shorted-rafter.
  - To understand weïl that article and fully conceive its utility, we must remark that there exists a tetrae-dron formed, l.° by the part of the top whose horizontal projection, or the drop, is aFe ; 2.° the vertical plan determined by the latéral face of the edge-piece, and whose horizontal trace on the basis of the roof is Fe ; 3.° another face latéral also, but inclined,
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- - mais inclinée, qui n’est autre chose que ïa face en retour de Fempanon, prolongée jusqu’à la base du comble, et dont la trace sur cette base est inconnue, quoiqu’on sache quelle doit partir du point a et se diriger du côté du point e; 4.° ïa portion de ïa base du comble comprise entre cette trace inconnue, aQ, par exemple, a F et F Q. Dans ce tétraèdre, on connaît ïes trois angles linéaires de ïa croupe, puisqu’on les trouve dans ce développement ; on pourrait construire aussi l’inclinaison de l’arêtier sur la base du comble : on sait aussi que ï’inclinaison de ïa première face latérale sur ïa base du comble est de 90 degrés, puisqu’elle est verticale; et que l'inclinaison de ïa seconde face latérale sur ïe lattis est de même de 90 degrés, puisque Fempanon est supposé d’équerre. Ces six choses connues sont plus qu’iï n’en faut pour construire quelque détail que l’on veuille de ce tétraèdre.
  - Or, par FefFet du développement opéré en faisant tourner la croupe sur la ligne du pas des empanons JF, ce tétraèdre se trouve entièrement renversé : la croupe lui sert de base, et est aFe; la base primitive a F Q devient face supérieure ; ïa première face latérale, qui était verticale, se trouve du même côté quelle était, mais inclinée, parce que la base à laquelle elle tient, et qui était horizontale, est devenue inclinée ; et la seconde face latérale , qui était inclinée, est devenue verticale, parce quelle était perpendiculaire à la croupe, et que celle-ci est devenue base horizontale. Du reste, l’inclinaison respective de la nouvelle face supérieure sur la nouvelle base est la même qu’auparavant, et égaie à la pente de la croupe. On peut se convaincre facilement de tous ces effets du renversement par la Fig. 437, qui présente en perspective le tétraèdre primitif et dans son état naturel en eFaQ, et dans la situation renversée en Q' F ae.
  - L’arête aQ étant, au développement, placée dans un plan vertical dont la trace horizontale est ae, nous supposons que le point m, au lieu de tout autre que nous aurions pu prendre à volonté, est la retombée de l’extrémité p de cette arête; ce qui fera sentir, mieux que tout autre point, la justesse et l’élégance de la construction. En effet, d’après cela, la perpendiculaire m p est la trace du plan vertical dans lequel se trouve le cercle décrit par le point p, dans ïe mouvement de rotation autour de a F : comme fangle linéaire mn v est égal à l’angle plan qui a lieu en aF, mv est la hauteur à laquelle le point p se trouve maintenant au-dessus de m, de sorte que l’arête a p est maintenant l’hypoténuse d’un triangle rectangle vertical dont la base est am, et la hauteur m v; triangle qui est rabattu en amx, dont l’hypoténuse ax donne la longueur de l’aréte a p, dans la supposition que nous avons faite pour le point m, et aurait donné un autre point de la même arête ap, si l’on avait pris tout autre point que m.
  - Mais si par le point p ou tout autre point de l’arête a p, ainsi trouvé, l’on mène à aF la parallèle indéfinie p ru, et la perpendiculaire r s par le point r, où elle coupe la projection horizontale de Fempanon ; que l’on établisse entre rs et r u le même rapport qu’il y a entre Fempanon droit et la hauteur du poinçon, c’est-à-dire qu’on fasse l’angle r s u égal à ïa pente de la croupe, et qu’on mène rt perpendiculaire à su, et to parallèle à a F : il est évident que toutes ces lignes seront placées de la même manière et parallèles entre elles, quel que soit le point R, ou m, ou tout autre que l’on ait pris pour point de départ de la construction; on arrivera nécessairement au point N ou o, ou tout autre de ae. Donc,
  - ( GO )
  - zontaïe Vorsteïlung aufder Basis des Da'ches Fe ist;
  - 3. ° aus einer andern Seitenflâche, welche aber ge-neigt, und nichts anders ist aïs die zurückgehende Flàche des Schiftsparrens, welche bis zur Basis des Daches verlângert worden, und deren Vorsteïlung auf dieser Basis man nicht kennt, ohnerachtet man weiss, dass soïche von dem Punkte a ausgehen und nach dem Punkte e zu ihre Richtung nehmen soïl ;
  - 4. ° aus dem Theile der Basis des Daches, welcher sich zwischen dieser nicht gekannten Vorsteïlung, z. B. a Q, a F und F Q befindet» Bei diesem Tetraëder weiss man die drei geometrischen Winkel des Wal-mens, weil man sie in der ausgeführten Zeichnung findet ; eben so kônnte man auch die Neigung zeichnen, welche der Gradsparren auf die Basis des Daches hat; ferner weiss man auch , dass die Neigung der ersten Seitenflâche auf die Basis des Daches 90 Grad betrâgt, weil sie vertical ist; und dass die Neigung der zweiten Seitenflâche auf das Lattenwerfc ebenfalss 90 Grad ausmacht, weil der Schiftsparren als winkelrecht angenommen wird. Berücksichtigt man diese vorstehend angegebenen Bemerkungen, so wird man aile und jede Bestand-theile dieses Tetraëders ïeicht beschreiben und zeichnen kônnen.
  - Drehtman nun auf der Zeichnung denWaïmen auf die Schnittïinie [ligne du pas] der Schifftsparren JF, so entsteht daraus die Folge, dass dieser Tetraëder gânzlich umgekehrt wird : aïsdann dient ihm der Walmen zur Basis, und ist aFe; die vorige Basis aFQ wird zur obern Flâche; die erste Seitenflâche, welche vertical war, befindet sich zwar auf der nâm-lichen Seite wo sie zuerst war, allein sie ist geneigt, weil die Basis zu der sie gehort, und welche horizontal war, jetzt geneigt ist; und die zweite Seitenflâche, welche geneigt war, ist jetzt vertical, weil sie mit dem Walmen perpendicular war , und dieser letztere zur horizontalen Basis geworden ist. Die respective Neigung der neuen obern Flâche auf die neue Basis ist übrigens die nâmliche wie zuvor, und dem Abhange des Walmens gleich. Die Wirkungen welche aus diesem Umkehren entstehen, ergeben sich aus der Fig. 437, welche den ersten Tetraëder perspectivisch darsteïlt, und zwar sowohl in seinem natürlichen Zustande bei eFa Q, als auch in seiner umgekehrten Stellung bei Q'Fae.
  - Da die Kante aQ sich auf der ausgeführten Zeichnung in einem verticalen Plane befindet, dessen horizontale Vorsteïlung ae ist, so nehmen wiran, dass der Punkt m, anstatt jedesandern, den wir nach Belieben hâtten nehmen kônnen, die Vor-stellung des Endes p dieser Kante sey ; dadurch wird die Richtigkeit und Schônheit der Zeichnung sich besser zu erkennen geben aïs durch jeden andern Punkt. Sonach ist die Perpendicularlinie mp die Vorsteïlung des verticalen Plahs, in wel-chem der Zirkel beim Drehen um a F durch den Punkt p beschrieben worden ist : da der geome-trische Winkel mnv, dem flachen Winkel in aF gleich ist, so ist mv die Hôhe, auf welcher der Punkt p sich nun über m befindet ; so dass also die Kante ap nunmehr die Hypothenuse eines recht-winkeligen verticalen Triangels geworden ist,
  - welcher am zur Basis, und mv zur Hôhe hat, und
  - *
  - auf amx umgelegt ist ; die Hypothenuse a x, dieses letztern giebt die Lânge der Kante ap für den Fall, den wir für den Punkt m angenommen haben ; sie würde einen andern Punkt auf der nâmlichen Kante a p gegeben haben , wenn ein anderer Punkt aïs m genommen worden wâre.
  - Führt man aber durch den Punkt p oder jeden andern auf der Kante ap soïchergestaït gefundenen Punkt, die unbestimmte Paraïlellinie pru nach a F, und die Perpendicularlinie rs durch den Punkt r, wo sie die horizontale Projection des Schiftsparrens durchschneidet ; bestimmt man ferner zwischen rs und ru das nâmliche Verhâltniss, weïches zwischen dem geraden Schiftsparren und der Hôhe der Gie-beïsâule Statt findet; d, h. dass man den Winkel r s u der Neigung des Walmens gleich macht, und r t mit su perpendicular und to mit a F paralïeï zieht; so werden nothwendigerweise die sâmmtlichen Li-nien auf die nâmliche Weise gestellt und mit ein-ander paralïeï seyn, der Punkt R oder m, oder
  - which is but the face in return of the rafler, lengthened to the basis of the roof, and whose trace on that basis is unknown, though we know that it ought to begin at the point a, and take its direction towards the point e; 4.° the part of the basis of the roof incïuded between that unknown trace, aQ, for instance, a F and F Q. In that tetra-edron, we know the three linear angles of the top, since we fmd them in its unfolding ; one might con-struct also the inclination of the edge-piece on t lie basis of the roof : we know too that the inclination of the first latéral face on the basis of the roof is 90 degrees, since it is vertical;and that the declivity of the second latéral Lee on the lathing is also 90 degrees, since the rafter is supposed to be at right angle. Those six things known are more than wanted to construct any detail choosen of that te-traedron.
  - Now it results from the unfolding which was obtained by making turn the top on the iineofpace of the rafters J F, that this tetraedron is quite upset : the top is then its basis, and is aFe; the former basis aFQ becomes the superior face; the former latéral face, which was vertical, isstillon the same side as before, butincïined, hecause the basis to which it beïongs, and which was horizontal, is become inclined ; and the second one, which was inclined, is become vertical, because it wasperpen-dicular to the top, and because this is become the horizontal basis. Besides, the respective inclination of the new superior face on the new basis is the same one as formerly, and equal to the declivity of the top. One may easily be convinced of ail those effects of the overturning by the Fig. 437, which shows in perspective the former tetraedron in its natural State in e Fa Q, and in its overturned situation in Q'Fae.
  - The edge a Q being, at the unfolding, placed in a vertical plan whose horizontal trace is a e,we suppose that the point m, instead of any other thatwe could choose, is the drop of the end p of that edge ; what wiiï show, better than any other point, the précision and elegance of the construction. In fact, according to that, the perpendicular m pis the trace of the vertical plan in which is the circle descri-bed by the point p, in the movement of rotation round a F : as the linear angle m n v is equal to the plan angle being in a F, m v is the height at which the point p is now over m ; so that the edge a p is now the hypoténuse of a vertical rectangular triangle, whose basis is am, and the height mv; which triangle is laid down in amx, whose hypoténuse a x gives the length of the edge a p, in the supposition made for the point m, and would havegiven anotherpoint of the same edge a p, if we had choosen any other point but m.
  - But, if by the point p or any other point of the edge a p, thus found, one draws to aF theindefinite paralïeï pru, and the perpendicular r s by the point r, where it cuts the horizontal projection of the rafter ; if one establishes between r s and r u the same relation as between the right rafter and the height of the king-post, that is, if one raakes the angle rsu equal to the declivity of the top, and if one draws r t perpendicular to su, and to paralïeï to a F : it is évident that ail those fines will be placed on the same manner, and paralïeï to each other, whatever may be the point R, or m, or any other taken as departure of the construction; one willneces-sarily arrive to the point N or o, or any other of ae,
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- - en partant d’un point e ou r, ou tout autre de a e, pour former la même série de lignes, dès la seconde opération on a le point N ou o, ou tout autre delà même ligne a e, au moyen duquel on trouve tout de suite P, Q, ou un autre point de la trace aQ de ia seconde face latérale du tétraèdre que nous considérons, et que les praticiens nomment la direction du pas de Vempanon.
  - ♦
  - 3. ° e a q étant réellement l’angle linéaire inférieur du devant de la seconde face latérale du tétraèdre, a q e est fe développement de cette face latérale,, qui par conséquent contient les deux autres traits des coupes d’about de ï’empanon proposé; de sorte qu’en menant bf parallèle à a e, et d’après l’épaisseur de ï’empanon, le trapèze a bf e est la face de fempanon, en retour d’équerre de îa croupe, dans sa forme et sa grandeur naturelles, mais supposée rabattue ou plutôt relevée sur la surface de fa croupe.
  - 4. ° Le triangle F e q étant aussi îe développement de ia première face latérale du tétraèdre dont il a été question, F e q est celui qui a lieu au sommet de cette face; en sorte que, menant g h parallèle à eq, puis ih parallèle à F e, et d’après ï’épaisseur de Ï’empanon, ïe parallélogramme egi h est la trace de ï’empanon sur la face verticale de l'arêtier, à laquelle il doit s’assembler.
  - Observation. Si fon veut exécuter les assemblages de Ï’empanon avec embrèvement, comme c’est l’usage pour le pied, ou à tenon et mortaise, comme on le fait souvent pour la tête, on tracera, suivant les principes généraux, les parties de bois réservées à volonté pour cet objet, mais en dehors du tracé fondamental de juxta-position.
  - SECTION y.
  - ( 61 )
  - jeder andere von dem man bei der Zeichnung aus-gegangen wâre, môchte dabei seyn welcher erwoïle, und man wird nothwendigerweise zu dem Punkte N oder o, oder jedem andern von ae, gelangen. Geht man also bei der Zeichnung der nâmlichen Reihe von dem Punkte e oder r, oder. jedem andern auf der Linie ae befindlichen aus, so erhâltman bei der zweiten Operation entweder den Punkt N oder o, oder jeden andern auf der nâmlichen Linie ae, und findet sogleich durch ihn P, Q, oder einen andern Punkt der Linie a Q, welche die zweite Seiten-fiâche des fraglichen Tetraëders vorstellt, und welche die Baukundigen die Richtung des Schift-sparrenschnittes [Pas] nennen.
  - 3. ° Da eaq der wahre untere geometrische Win-kel von der zweiten vordern Seitenflâche des Tetraëders ist, so ist aqe die ausgeführte Darstellung dieser Seitenflâche, welche folglich die beiden andern Vorstelïungen der Endschnitte des gegebenen Schiftsparrens enthâlt ; so dass wenn man mit Be-rücksichtigung der Dicke des Schiftsparrens, bf mit ae parallel zieht, so ist das Trapezium a bfe die in ihrer natürïichen Gestalt und Grosse dargesteïlte Seite des Schiftsparrens, welche mit dem Walmen einen geradseitigen Winkel bildet, wobei aber an-genommen wird, dass selbige auf die Flâche des Waï-mens herabgezogen oder vieïmehr aufgerichtet sey.
  - 4. ° Da ferner der Triangel F eq die ausgeführte Darstellung der ersten Seitenflâche des fraglichen Tetraëders ist; so ist Feq die von der Hôhe dieser Flâche; zieht man also g h mit eq parallel, und ih mit F e ebenfalls parallel, nach der Dicke des Schiftsparrens, so ist das Parallelogramm e g ih die Vorstellung des Schiftsparrens auf der verticalen Flâche des Ecksparrens mit welchem er zusammen-gesetzt werden soll.
  - Bemerkung. Solfen die Zusammensetzungen mit dem Schiftsparren entweder durch Versatzung, wie man es mit dem Fusse desseïben zu thun pflegt, oder durch Einzapfen, wie solches sehr oft bei dem obéraTheile geschieht, bewirkt werden, so zeichnet man in Gemâssheit der aïlgemeinen Grundsâtze die dazu bestimmten Theile ausserhalb der Grundzeich-nung.
  - FÜNFTER ABSCHNITT.
  - Tomomorphie.
  - 89. Les toits composés de surfaces planes concourant en un même point, sont généralement nommés combles pyramidaux : mais les praticiens ont donné des noms particuliers à chaque sorte de leurs variétés. Celui qui couvre une tour carrée, ils l’appellent pavillon carré, Fig. -139 ; si ce toit a une très-grande élévation, ils l’appellent aiguille ou fléché, quand même sa base aurait plus de quatre côtés; quand la base n’a pas tous ses côtés égaux, ou tous ses angles droits, ils l’appellent pavillon biais; lorsque la base du toit est un rectangle, les deux faces qui sont sur les petits côtés, sont des triangles qui ont reçu ïe nom de croupe, et les faces trapézoïdales appuyées sur les grands côtés prennent le nom de long pan, quelle que soit leur étendue en raison de la croupe. Toutes ces sortes de combles sont susceptibles de recevoir à chacune de leurs faces deux pentes différentes: alors on les nomme combles brisés ou combles à la mansarde.
  - T •
  - Lorsque l’une des dimensions du rectangle a environ une fois et demie la longueur de l’autre dimension, et que l’on forme le comble de deux pyramides qui se pénètrent, on le dit à deux épis : et l’on ne s’est pas borné à ce nombre collectif d’épis; on a été jusqu’au nombre cinq, même à des combles biais. Nous ne pouvons raisonnablement admettre comme leçon utile, cette bizarre superfluité de composition.
  - 3.e Partie.
  - Tomomorphie.
  - 89. Diejenigen Dâcher welche aus ebenenFIâchen bestehen, und in einen und denselben Punkt zusam-menïaufen, werden zwar gewôhnlich Pyramidal-dàcher genennt ; da es aber verschiedene Abarten derselben giebt, so haben die Baukundigen solche mit besondern Namen belegt. So nennen sie ein Dach über einem viereckigen Thurme einen vier-eckigen Pavillon, Fig. 139. Ist dasselbe von be-trâchtlicher Hôhe, so heisst es ein Helmdach, wenn auch gleich die Basis desseïben mehr als vier Seiten hâtte. Sind die Seiten der Basis sich nicht sâmmtlich einander gleich, noch aile ihre Winkel rechte Winkel, so heisst es ein schrager Pavillon. Bildet die Grundflâche des Daches cin Rechteck, so sind die beiden Flâchen an den kleinen Seiten , Triangel, welche mit dem Namen Walmen bezeich-net werden ; und die viereckigen Flâchen an den grossen Seiten heissen die langen Dachseiten, wenn auch ihr Umfang in Vergleichung mit dem Walmen noch so gross wâre. Aile diese Arten von Dâchern kônnen auf jeder Seite zwei von einander verschiedene Neigungen erhaïten, und werden alsdann gebrochene oder mansardische Dâcher genannt.
  - Hat eine von den Dimensionen des Rechtecks ohngefâhr anderthalbmal die Lânge der andern Dimension ; und wird das Dach aus zwei in einander greifende Pyramiden zusammengesetzt, so heisst es ein Dach mit zwei Giebelsâulen [à deux épis]. Man hat es aber nicht bei zwei Giebelsâulen bewenden lassen, sondera wendet deren, selbst bei schiefen Dâchern, wohl gar fünf an. Ohnmôglich aber liesse sich ein ver nünftiger Grund zur Rechtfertigung einer so seltsamen und überflüssigen Zusammensetzung angeben.
  - Therefore, settingof from the point e or r, or any other of ae, to form the same sériés of fines, at the second operation one has the point N or o, or any other of the same fine ae, by means of which one immediately finds P, Q, or another point of the trace a Q of the second latéral face of the tetraedron which we consider, and which is caïled by the practitioners the direction of the pace of the shorted rafter.
  - 3.° e a q being realïy the inferior linear angle of the before part of the second latéral face of the tetraedron, aqe is the unfolding of that latéral face, which consequentïy contains the two other fines of the section of Kut-end of the proposed rafter ; so that, drawing bf parallel to a e, and according to the bulk of the rafter, the trapezium a bfe is the face of the rafterj, at right angle with the top, in its natural form and size, but supposed to be laid down or rather elevated on the surface of the top.
  - 4.° The triangle F eq being also the unfolding of the first latéral face of the tetraedron mentioned, F e q is that which is at the summit of that face ; so that, drawing g h parallel to eq, then ih parallel to F e, and according to the bulk of the rafter, the parallelogram e gi h is the trace of the rafter on the vertical face of the edge-beam, which it ought to frame with.
  - Observation. If one wishes to execute the bevel-shoulder assemblages, as it is the custom for the foot, or with tenon and mortise, as they do it often for the head, one shall trace, according to the general principles, the parts of timber reserved at wilï for that purpose, but outside of the fondamental outline of juxta-position.
  - SECTION y.
  - Tomomorphy.
  - 89. The roofmgs composed of plan surfaces concurring in a same point, are generally named pyramidal roofs : but the practisers hâve given whatever kinds of their varieties names particular. The one which roofs a square tower, is called square pavillon, Fig. 139 ; but when this roof is highest, it is caïled spire, aïthough its basis could hâve more than four sides; when the basis hâve not ali equal sides, nor ail right angles, the roofis caïled slant-ing pavillon ; when the basis is right-angled, the faces which stand on the smaller sides, are triangles caïled ends, and the faces standing on greater sides are simply called sides, whatever wilï be their extent with regard to the ends. Besides ali those kinds of roofs can receive in every their face two diverse declivities ; and then they are named broken roofs or Mansardés roofs.
  - When the one of the rectangïe’s sides has about once and half the length of the other, and the roof is composed of two pyramids which penetrate each other, it is called bitoped roof : and the practisers dont bound such a name at that number ; but alike is used until to five, even sïanting so penetrated roofs. We cannot rationally aeîmitt as usefui lesson a so fantasticaï compositions superflujty.
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- - N’ayant pas voulu confondre avec les combles à base rectangulaire ceux à angles obtus et aigus, nous avons expliqué dans une sous-section les ‘pavillons et les combles biais, et nous avons de même rejeté ks cinq-épis dans une seconde sous-section.
  - 90. Dans un toit d’une certaine étendue, si le nombre des murs de refend n est pas suffisant, il faut y suppléer par des assemblages de charpente, qui, appuyés sur les murs d enceinte, puissent supporter les pièces du second ordre qui doivent entrer dans la composition du comble. Cet assemblage se nomme J'ernie. Il est sensible que les bois destinés à composer une ferme doivent etre choisis d’une force convenable relativement à la portée plus ou moins grande quelle doit avoir, et au fardeau quelle aura à supporter; et que, comme le fait observer Fourneau, elle doit toujours être placée sm le plein des murs.
  - Les diverses pièces de bois qui composent une ferme, se combinent de différentes' manières, suivant fa forme de la base du toit, et la portée plus ou moins grande de la ferme; ce qui a entraîné les praticiens à adopter un assez grand nombre de noms particuliers pour les designer, outre ceux qui dérivent du mode de construction, et ceux qui appartiennent aux pièces essentielles qui entrent dans la composition de la ferme la plus simple. Nous donnerons d’abord les noms particuliers le plus fréquemment usités.
  - 91. Nous pouvons, sans nuire à la méthode qui nous guide, et parce que cela est indifférent pour l’étude, classer d’abord les noms des pièces qui sont dans une disposition horizontale, et ensuite ceux des pièces inclinées à cette première disposition : cependant cette classification sera précédée du mot poinçon, qui indique un prisme vertical a, Fig. 140 y dont l’axe particulier est aussi l’axe de la sorte de pyramide que forment par leur ensemble les différentes faces du toit. Le poinçon reçoit l’assemblage supérieur de trois, quatre et même d un plus grand nombre de pièces de bois d’un comble, et il est pareillement usité pour les pièces qui divisent le sommet d’une pyramide en deux et en cinq épis. Pour donner plus de force à l’assemblage du bout inférieur du poinçon, il faut y ajouter un boulon ou un étrier en fer, pour empêcher que l’entrait, à cause de son poids, ne s’éloigne des épaulemens du poinçon.
  - 92. Les pièces horizontales qui entrent le plus ordinairement dans*la composition des fermes, sont, 1.°L’entrait inférieur, h, Fig. 149 [bas entrait], aussi appelé tirant, qui est toujours à la base de la ferme. Les entraits des maîtresses fermes doivent être plus gros que ceux des demi-fermes, et que les coyers d’arêtier.
  - 2.° L’entrait supérieur, c, Fig. 140, 146 et 149 [entrait retroussé], qui est à une plus ou moins grande hauteur dans la ferme, selon l’usage qu’on veut faire du vide intérieur du comble, soit grenier ou galetas ; le plus souvent il se place à sept pieds de hauteur, ou sept pieds et demi; ou quelquefois la base de la ferme n’a qu’une faible pièce d’attraction, qui repose sur un plancher, et qui prend le nom de semelle traînante, d, Fig. 146. Quand on joint aux entraits plusieurs autres pièces qui forment un plancher, il est nommé enrayure ; c’est une vraie base de la pyramide ou de la portion de pyramide qui est au-dessus : alors se trouve joint au premier entrait celui qu’on nomme croisé, parce qu’il traverse perpendiculairement le premier, et s’y réunit à son milieu au moyen d’entailles à mi-bois. Mais, si le toit forme seulement une demi-pyramide, on le nomme demi-entrait, f, Fig. 150. Les
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  - Uni die stumpf uud spitzwinkeïigen Dâcher nicht unter diejenîgen zu mischen, deren Grundflache rechtwinkeïig ist, so haben wir die schiefen Dacher und Pavillons in einem Beiabschnitte erklârt, so vvie auch die Zusammensetzungen mit fiinf Giebelsâulen ebenfaïls auch in einem zweiten Beiabschnitte ge-zeigt worden sind.
  - 90. Waren bei einem Dache von Jaetrâchtlicher Weite die Scheidemauern nicht in genugsamer An-zahl vorhanden, so muss diesem Mange! durch Holz-verbindungen abgeholfen werden. Diese werden in die âussern Mauern eingesetzt, und tragen solcher-gestalt die zur Zusammensetzung des Dachwerkes bestimmten kleinernHôlzer. Diese sâmmtlichen Holz-verbindungen nennt man einen Dachstulil. Dem zu Folge miissen, wie leicht zu erachten ist, die zu einem Dachstuhle gehôrigen Hôlzer eine solche Stârke haben, welche mit der Lange desselben, so wie mit der zu tragenden Last im Verhâltnisse steht; auch muss, nach Fourneau , der Dachstulil jeder-zeit unmittelbar auf der Mauer aufgesetzt werden.
  - Die einzelnen Hôlzer, aus denen ein Dachstuhl besteht, werden mit Rücksicht auf die Gestalt der Dachgrundflâche, und zu Folge des mehr oder minder grossen Umfanges des Dachstuhls verschie-dentlich zusammengesetzt ; weshalb denn die Bau-meister eine Menge von Namen angenommen haben um diese Hôlzer zu bezeichnen, wobei diejenigen Namen nicht mit inbegriffen sind, welche sich aus jeder besondern Bauart herschreiben, so wie diejenigen, welche den zur Zusammensetzung des ein-fachsten Dachstuhls gehôrigen Haupthôîzern eigen-thümlich sind. Wir wollen hier zuvôrderst die am hâufigsten vorkommenden Hauptbenennungen an-geben.
  - 91. Zu diesem Zwecke kônnen wir, ohne der Méthode, welche wir befoïgen , einigen Eintrag zu thun, und weil es überhaupt für das Studium ganz gleichgüïtig ist , zuvôrderst die Benennungen der horizontal liegenden Hôlzer aufführen, und darauf die Namen derjenigen Hôlzer folgen lassen , welche nach dieser ersten Richtung zu geneigt sind. Dieser angenommenen Ordnung schicken wir jedoch den Namen Giebelsàule voraus. Dieses Wort be-zeichnet ein verticales Prismaa, Fig. 140, dessen besondere Axe zugleich auch die Axe der Art von Pyramide ist, welche die verschiedenen Dachseiten unter einander bilden. In den obern Theil der Giebelsàule werden drei, vier und selbst mehr Hôlzer eingebunden ; auch wird siezu den Hôlzern angewen-det, welche die Spitze einer Pyramide in zwei und fünf Kanten [Épis] abtheilen. Das untere Ende der Giebelsàule muss um mehrerer Festigkeit Wiïlen , vermittelst eines eisernen Bandes oder Bolzens an den Spannriegeï befestigt werden, so dass nun dieser nicht aus dem Zapfen der Giebelsàule weichen kann, welches sonst wegen seiner Schwere geschehen kônnte,
  - 92. Unter den horizontalen Hôlzern, welche bei der Zusammensetzung eines Dachstuhls am gewôhn-lichsten angewendet werden , bemerken wir den Hauptbalken b, Fig. 149 , welcher jederzeit die Basis des Dachstuhls ausmacht. Bei den ganzen Dachstühlen muss der Hauptbalken nebst den Spannriegeln stârker seyn aïs bei den halbën Dachstühlen ; diese Balken miissen auch stârker seyn aïs die Gradsparrenschifter. Wir bemerken ferner den Spannriegeï c, Fig. 140, 146 und 149. Derselbe wird mehr oder minder hoch angebracht, je nach-dem der obéré Raum zu Bôden oder Dachstuben eingerichtet werden soll. Gewôhnïich wird er 7 oder 7 1/2 Fuss hoch angelegt. Bisweilen befindet sich an der Basis des Dachstuhls ein schwacher Balken d, Fig. 146, welcher auf dem Gebâlke ruht, und eine Schwelle oder ein schwacher Durchzug genannt wird. Ein Gebâlk nennt man die sâmmtlichen mit dem Hauptbalken oder Spannriegeln verbundenen horizontalen Hôlzer. Es ist die wahre Basis der da-rüber befmdlichen Pyramide oder einesTheils dersel-ben. In dieser Lage ist mit dem Spannriegeï derjenige Balken verbunden, welcher der Kreuzbalken genennt wird, weil er perpendicular über den Spannriegeï hinweggeht; in derMitte ist er mit demselben durch
  - For being quite distinguished the obtusangled or acutangled roofs from the rectangled, we wili explain in an under-section the slanting pavilions and roofs, and send alike in a second under-divi-sion the roofs penetrating each another.
  - 90. In whatever roof of some extent, if thenum-ber of partition-walls could not be sufFicient, it is to supply with some framed timbers, which, supported <fh the inclosing walls, can bear the ïess pièces being to compouncl the roof. Such timber-work is called truss. It is plain that ail the timbers who are lo compose a truss, ought to hâve a strength propor-tionable to lesser or greater width of the truss, and to weight it is to support; and, accordingly to Nie. Fourneau’s remark, it requires tobe laid aiways on the fulïs of the walls.
  - The diverse timbers which compound a truss, are combined in various manners, accordingly to tlie form of the roofs basis and to lesser or greater width of the truss; what had inducedthe practisers to admit numerous enough particular names in order to dis-tinguish them, besides the derivated from the mode of construction, and the ones belonging to the es-sentiaï pièces who corne in a simpïest truss, Wewilf give forthwith the particular names more frequently used.
  - 91. Without hurting our own method, and because itis wholly indiffèrent to study, we can order first the names of the timbers which are scatecl hori-zontaïly, afterwards of the ones which are inclinated to the horizon : nevertheless such classification shail be preceded by the word king-post, which designs a vertical prism, a, Fig. 140, whose axis parti-cuïar is also the axis of this pyramiefs kind resulting from diverse pans of the roof. The king-post receives the superior assemblage of three, foui or more nume-rous roofs timbers, and is alike used for the pièces which divide the pyramicl into two or more seveial tops. In order to increase the strength of the ling-post’s inferior assemblage, it is needful to add there or a boit, or an iron-stirrup, for hindering the tic-beam to ramhle from the king-post’s shoulderings,
  - 92. The horizontal timbers which more usuaîly compound a truss, are,
  - l.s* Under tie-beam, b, Fig. 149, also named collar-beam , or simpïy collar, which is ahvays seatecl in truss s basis. The collar ofan head-tniss ought to be stronger than the one of an haïf-truss and than hip’s collar.
  - 2/ Over-collar or framed collar, c, Fig. 140, 146 and 149, which is placed at a greater or ter height, accordingly with the use to be made of the roof’s void space, for garret or lodgings ; its height is usuaîly about 7 or 7 1/2 feet; sometimes, in the basis of a truss, is employed only a weak timber, called ground-sill, d, Fig. 146, set on a floor. When they add to collar another timbers to form a floor, that framing is called furrow; it is the true basis of the pyramid or pyramid’s part upper-standing : then to the first collar is framed another çrossing-collar, so called because it crosses the first perpendicuïàrly, and half-way in the timbers. But, when the roof forms only an half-pyramid, it is calï’d half-collar, f, Fig. 150. Into four angles formed by two so crossed collars, are framed with tenons and mortises four timbers seated for hypoténuse, which hâve name brackets, g, Fig. 140: the
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- - quatre- angles que forment deux entraits qui se croisent, sont garnis de quatre pièces assemblées à tenons et disposées en hypoténuse, qu’on appelle goussets, g, Fig. 150 : celle dont un bout porte sur l’angle du bâtiment, et dont l’autre bout est assemblé dans un gousset, est appelée coyer, h, Fig. 150 [entrait diagonal, entrait d’arêtier]; les autres pièces du remplissage prennent le nom de solives en empanon, h, Fig. 150 (dans certains cas on dit embranchement ).
  - 3. ° Les plates-formes simples, i, Fig. 146 (4 à l2 pouces), ou celles collectives, j, Fig. 140 et U9, qu’on distribue sur le dérasement supérieur du mur, pour y asseoir les entraits. II faut mettre les joints sous les blochets, et faire rentrer les plates-formes d’un pouce en dedans du nu des murs. Quelquefois on met aussi un gousset dans l’angle, pour empêcher la disjonction.
  - 4. ° Les blochets, avec entailles parallèles, k, Fig. 140,146 et 149, ou à queue, I, Fig. 14.1 ; mais aux plates-formes collectives il faut des entretoises, m, Fig. 137.
  - 93. Les pièces obliques sont les jambes de force, 'n, Fig. 146 et 149 ( elles doivent entrer dans le mur comme la Fig. 149 l’indique, et ne jamais être mises en porte-à-faux); les jambeltes, o, Fig. 140; les arbalétriers, p, Fig. 140 et 146 ; les esse-liers, q, Fig. 140 et 149 ; les contre-fiches, r, Fig. 140,146 et 149 ( quand il n’y a que deux cours de pannes, on place le bout de la contre-fiche près de la panne du haut); les chevrons, u, Fig. 146; les tasseaux, v, et les chantignoles, x, même fi g. ; les coyaux, y, Fig. 140, 146 et 149 (ordinairement on place les coyaux après que le couvreur a scellé le sous-douhlis et le doublis de iegout).
  - Remarque. II existe beaucoup de toits dont la pente a été bien établie pour l’écoulement des eaux, mais dont les coyaux ont été tellement disposés, que, la partie de couverture placée sur eux n’ayant pas assez de pente, l’eau y reflue entre les tuiles ou les ardoises, principalement au pli qu’ils forment à leurs abouts sur les chevrons ; ce qui pourrit les bois à cette hauteur, et donne souvent de l’eau dans les chambres ou greniers. Les Fig. 152 et 153 montrent comment on fait les égouts sans coyaux.
  - Les autres pièces obliques sont celles dont le bout inférieur pose sur l’angle d’un bâtiment, et le bout supérieur sur le poinçon. Lorsque l’angle est saillant, la pièce est nommée arêtier, s, Fig. 142, et sur les angles rentrans on l’appelle noue. Cette dernière pièce doit toujours avoir plus de grosseur [force] que les arêtiers, parce quelle reçoit toujours une partie du poids des empanons qui s’y assemblent, au lieu que les empanons font effort pour soutenir l’arêtier*
  - 94. Nous ne devons pas omettre ici les noms d’autres pièces qui occupent les espaces compris entre les fermes, telles que les pannes juxta-posèes, t, Fig. 146 et 149, que nous appellerons simplement et sans adjectif pannes [pannes sur tasseaux], celles qui sont simplement posées sur les arbalétriers et les arêtiers, sans assemblage (cependant, si aux joints obliques de deux pannes sur un arêtier, l’on réservait un tenon à l’une pour entrer dans un en-fourchement fait à l’autre, les deux pannes ainsi assemblées l’une à l’autre sont appelées par les praticiens pannes couronnées); pannes assemblées, celles qui sont assemblées à tenon dans les arêtiers et les arbalétriers (aux chevrons de 18 à 20 pieds de longueur, il faut deux cours de pannes, et trois cours à ceux de 21 à 24 pieds); les faîtages, z, Fig. 140 et 146 [pannes faîtières], qui sont assem-
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  - Einschnitte in Iialbe Holzdicke verbunden ; bildet aber das Dach eine halbe Pyramide so wird er zum halben Spannriegel f, Fig. 150. Die vier Winkel, welche zwei sich kreuzende Spannriegel bilden, sind mit vier Hôlzern eingefasst, welche durch Zapfen mit einander verbunden und hypothenusenfôrmig gestellt sind ; sie heissen Traghôlzer , g, Fig. 150. Das Holz, welches mit dem einen Ende auf dem Winkel des Gebâudes ruht, und mit dem andern in ein Tragholz eingesetzt ist, Iieisst Schifter, h, Fig. 150. Die andern zur Ausfüllung bestimmten Hôlzer sind die Balken h, Fig. 150. Mauerlatten, und zwar entweder einfache i, Fig. 146 (zu 4 oder 12 Zoll) oderdoppelte j, Fig. 140 und 149, sind diejenigen Hôlzer, welche man oben auf die Mauer ïegt, und welche den Balken zur Unterlage dienen; die Fugen müssen unter clie Stichbalken kommen ; auch müssen die Mauerlatten einen Zoll einwârts auf die Mauern gelegt werden : bisweilen wird auch ein Tragholz in der Ecke angebracht, um das Aus-einanderweichen zu verhindern. Die Stichbalken sind entweder mit paraîleï gehenden Einschnitten, k, Fig. 140, 146 und 149 , oder mit einer Yer-satzung I, Fig. 143 versehen ; diedoppelten Mauerlatten aber erhalten Riegcl, m, Fig. 137.
  - 93. Die schrâg gehenden Hôlzer sind dieBüge n, Fig. 146 und 149 ; sie müssen nach Fig. 149 jeder-zeit in die Mauer eingesetzt werden, damit sie eine feste Unterlage haben : die Stützhôlzer o, Fig. 140: die Stuhlsâuïen p, Fig. 140 und 146 : die Jagd-bânderq, Fig. 140,149 : die Streben r, Fig. 140, 146 und 149 ; bei zwei Reihen Fetten wird das Ende der Strebe nahe an der obern Fette angesetzt. Die Sparren u, Fig. 146 : die Zwerchriegel v und Balkenhôlzer x, in derselben Figur; die Schifter y, Fig. 140,146 und 149. Diese letztern werden dann eingesetzt, wenn die untern Ziegelschichten aufge-hângt worden sind.
  - Bemerkung. Es giebt zwar viele Dacher wo die Neigung derselben im allgemeinen so angelegt ist, dass das Wasser ablaufen kann, wo aber die Schifter so gestellt sind, dass der dârüber liegende Theiï des Daches nicht genug Abhang hat, so dass das Regen-wasser zwischen die Ziegel oder den Schiefer zu-rücktritt, welches vorzüglich in dem Buge Statt hat, den sie an ihren Enden über den Sparren veranlas-sen; daraus entsteht denn die Folge, dass das Holz an diesem Orte fault, und das Wasser sehr oft in die Zimmer und Bôden dringt. Die Fig. 152 und 153 zeigen, wie Wasserabzüge ohne Schifter angelegt werden.
  - Die übrigen schragen Hôlzer sind diejenigen, welche mit dem untern Ende auf dem Winkel des Gebâudes ruhen, und mit dem obern in die Giebel-sâule eingesetzt sind. Ruhen sie auf einem vor-springenden Winkel, so heisst das Holz ein Grad-oder Ecksparren, s, Fig. 142; sind sie aber auf einem eingehenden Winkel aufgesetzt, so heissen sie Einkehlsparren. Diese letztern müssen jederzeit dicker und stârker seyn als die Ecksparren ; weil die Schiftsparren welche darein eingesetzt werden, einen Theii ihrer Last auf sie übertragen, wâhrend die nâmlichen Schiftsparren zur Unterstützung des Ecks-parrens beitragen.
  - 94. Es ist nôthig, dass wir hier noch die Namen anderer Hôlzer anführen, welche den Raum zwischen den Bindern einnehmen, als z. B die Dachfetten, t, Fig. 146 und 149, welche ohne Verbindung mit andern Hôlzern auf den Dachstuhlsâulen und Ecksparren liegen. Wâren aber zwei Fetten auf einem Ecksparren durch schrâge Fugen mit einander verbunden, und man hâtte an der einen Fette einen Zapfen angebracht, um ihn in das Zapfenloch der andern Fette einzuzapfen, so heissen die solcherge-stalt mit einander verbundenen Fetten , gekrônte Fetten [pannes couronnées]. Eingesetzte Fetten [pannes assemblées], nennt man die in die Ecksparren und Dachstuhlsâulen eingezapften Fetten. Bei den Sparren von 18 bis 20 Fuss Lange müssen zwei, und bei den Sparren von 20 bis 24 Fuss Lange, drei Reihen Fetten angebracht werden.
  - timber whose one end sitson a buildings angle, and the other is framed in abracket, is caüed diagonal collar, or hip’s collar, h, Fig. 150; the other fuliing timbers are named shorted-joists, h, Fig. 150.
  - 3.d The wall-plates, or simple, i, Fig. 146 (4 at 12 inches), or collective, j, Fig. 140 and 149, lain on the upper-levelness of the walls, to coïlars sit on them. The walï- plates ought to corne in at one inch from the upper-edges of walls, and their seams to he placed under the tie-pieces. Sometimcs a bracket is framed into the angles of the wall-plates, for keeping them from going out.
  - 4.,h Hammer-beams, or tie-pieces, which are eitber notched, k, Fig. 140, 146 and 149, or tailed, l, Fig. 143 ; the collective wall-plates ought to be framed with strctching-pieces or pungings in, m, Fig. 137.
  - 93. The incïinated timbers of a truss are, the strengthening-pièces, n, Fig. 146 and 149 (they ought to corne in the walls, as shows the Fig. 149, and never to be put in s. f aise prop)\ the ashleers, or count-timbers, o, Fig. 140; the principal rcifters , p , fig. 140 and 146 ; the braces [ groinings ], q, Fig. 140, 149 ; the struts, r, Fig. 140, 146 and 149 (when there are only two curses of purlines, end of the struts is put at the upper-purïin); the small-rafters, u, Fig. 146; the stoppers, v, and the stopper s -props , x , Fig. 146; the rafter-feet, y, Fig. 140, 146 and /4.9 (usuaily they are placed only after the coverers havingsealed the doubled and under-doubled tiles of the eaves).
  - Remark. There are severaï roofs very well incïinated for the water slide away, but whose rafter-feet hâve been so set, that roof’s part resulting of them cannot give to the water free enough flowing ; so that the waters reflow between the tiles or slates, principaïly about the wrinkle whom they form with rafters at its upper-end ; what rots timbers, and often spills waters into the lodgings or garrets. The Fig. 152 and 153 show a method of framing roofs without rafter-feet at the eaves.
  - There are also other sloping timbers, whose one end sits on the buildings corner, and the other is framed with the upper-stop ofthe king-post. They are called hips, on the out-angled corners, s, Fig. 142; valley s, on the in-angles. These last pièces ought always to hâve greater bigness than the other diagonal timbers, because they bear some part of weight of shorten joists, which on the contrary prop the hips.
  - 94. Here must be put the names of some other timbers which trim the space between the trusses : the purlines, t, Fig. 146 and 149 ( by that simple name, without none adjective, we will un-derstand purlines only set on the principal rafters or hips, without any assemblage : but when, at the oblique joint of two purlines on a bip, a tenon has been reserved in the one of the timbers, to a forked notch made in the other piece, then the practisers call crowned purlines the pièces in such manner framed) ; the purlines assembled with tenons and mor-tises into the hips and principal rafters are called framed purlines ( the rafters from 18 at 20 feet in length must hâve two running-purlines, and three from 21 at 24 feet) ; the ridge-purlines, z, Fig. 140 and 146, framed into the king-pos’t top. The under-ridge-purlines are framed into the lower parts for
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- - bïées aux sommets des poinçons. Les sous-faites sont ceux quon assemble aux parties inférieures, pour empêcher ïe mouvement; ce que les ouvriers appellent, par une sorte de contre-phrase, maintenir le roulement : on assemble entre ces deux sortes de faîtages des liens ou croix de Saint-André.
  - Nous classerons ïe surplus des dénominations particulières des autres pièces des fermes dans chacune des sortes de combles et de voûtes où elles sont ïe plus usuellement appliquées.
  - 95. Pour tracer l’étalon qui doit servir à établir et couper les bois d’un comble, il faut connaître les dimensions des murs d’enceinte, et les vides qui y ont été réservés, comme baies de croisées ou de portes, et aussi, dans certains cas, ïes murs ou cloisons de refend. Ordinairement ïes cotes des plans donnent toutes les dimensions nécessaires pour tailler ïa charpente ; mais, si le charpentier, pour sa satisfaction, veut ïes vérifier, il n’est pas même nécessaire, pour cette opération, que les murs soient entièrement élevés.
  - II est aussi des moyens fort simples de vérifier ïes angles linéaires que forment ïes murs. Siïangle A, Fig. l54, est droit, par exemple, on portera sur ï’un des murs, de A en B, 3 toises, dont ïe carré sera 9; et sur ï’autre mur, de A en C, 4 toises, dont le carré sera 16 : réunissant ces deux carrés, on aura 25. Si l’hypoténuse B C se trouve être de 5 toises, son carré sera aussi 25 : ce qui prouvera que ï’angïe est droit; car il est démontré en géométrie que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés du triangle rectangle.
  - 96. Lorsque ïes murs ne sont pas disposés à angle droit, ïe procédé pour ïes connaître et les transporter sur l’aire destinéè à ï’étalon différera peu : car si, comme ci-dessus, Fig. 155, on porte sur un des murs 3 toises de a en b, 4 sur ï’autre de a en c, et que le troisième côté du triangle a b c se trouve être de 5 toises 2 pieds 9 pouces, iï est certain qu’après avoir tracé sur faire de fétaïon un des côtés de 4 toises, si d’un point extrême, a, de cette ligne, et avec un rayon égal à 3 toises, on trace un petit arc de, et que du point b, aussi comme centre, et avec un rayon de 5 toisesfl pieds 9 pouces, on trace un autre arc f g, on aura ïe point sécant c, par lequel menant ïes droites c a et cb, on a un triangle égal à l’original, et par conséquent ï’angïe c a b aussi égal à ceïui que forment ïes deux murs.
  - 97. Les dimensions et ïes angles de ïa base étant connus, il reste encore à déterminer l’inclinaison [ la pente ] que doivent avoir ïes surfaces de ïa couverture, soit en tuiles, soit en ardoises.
  - Voici la règle générale que donne fauteur de l’Art de bâtir, et qui paraît ïa meilleure à suivre vers ïe milieu des zones tempérées.
  - Du nombre de degrés de la latitude du lieu où est situé ïe bâtiment, retranchez ïes 23° 28' du tropique : ïe reste sera l’inclinaison que doit avoir ïe toit, mais couvert en tuiles creuses. Comme à Paris l’usage est de couvrir en tuiles plates ou en ardoises, il modifie la règle générale en ajoutant au reste 1/3 pour ïa tuile, et 1/4 pour fardoise ; ce qui donne l’opération numérique suivante :
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  - Giebelfetten, z, Fig. 140 und 146, sind dieje-jenigen, weïche in das obéré Ende der Giebeïsâuïen eingebunden sind. Um mehrerer Festigkeit Wiïïen werden in die untern Enden der Giebeïsâuïen Büge i eingesetzt. Der Raum zwischen diesen Hôlzern wird durch Kreuzbüge ausgefülït.
  - Was die übrigen Hôïzer anbetrifït, so woïïen wir die Benennungen derseïben bei den besondern Arten von Dâchern und Gewôïben, wo solche am hâu-figsten angewendet werden, einzeïn anführen und beschreiben.
  - 95. Wenn die Lehre nach weïcher die verschie-denen Hôïzer angeïegt und geschnitten werden , gehôrig gezeichnet werden soi!, so muss man zu-vôrderst den Umfang der âussern Mauern, nebst den darin gelassenen OefFnungen , aïsThüren, Fenster, kennen ; so wie auch ferner in gewissen Fâïïen die inneren Scheidewânde ebenfalïs mit berücksichtigt werden müssen. Gewôhnïich geben schon die in den Grundrissen enthaltenen Caractère die zur Behau-ung der Hôïzer erforderïichen Dimensionenan. Und wilï sich der Zimmermann durch eigene Unter-suchung von der Richtigkeit derseïben iiberzeugen, so ist es dabei seïbst nicht einmaï nôthig, dass die Mauern bis zu ihrer vôïligen Hôhe aufgeführt sind.
  - Auch giebt es ferner sehr einfache Mitteï, wo-durchdiegeometrischenWinkel, weïche die Mauern bilden, bestimmt werden kônnen. Ist A, Fig. 154, z. B. ein rechter WinkeL, so trâgt man auf die eine der Mauern von A nach B, 3 Toisen , deren Qua-drat 9 seyn wird ; und auf die andere Mauer von A nach C, 4 Toisen, deren Quadrat 16 seyn wird : vereinigt man diese beiden Quadrate, so erhâït man 25. Enthâït die Hypothenuse B C 5 Toisen, so wird das Quadrat derseïben ebenfalïs 25 seyn; daraus ergiebt sich, dass der Winkel ein rechter ist; denn es ist in der Geometrie bewiesen , dass das Quadrat der Hypothenuse der Summe der Quadrate der beiden andern Seiten des rechtwinkeligen Drei-ecks gïeich ist.
  - 96. Sind die Mauern nicht rechtwinkelig ange-ordnet, so ist die Verfahrungsweise wodurch man die vorhandenen Winkel ausmittelt und auf den Fïâcheninhalt der Lehre übertrâgt, wenig unter-schieden; denn wenn maugleichergestaït in Fig. 155, auf eine der Mauern 3 Toisen von a nach b trâgt, und 4 Toisen von a nach c ; und wenn ferner die dritte Seite des Triangels abc, 5 Toisen 2 Fuss 9 Zolï enthâït, so wird, wenn man zuvôrderst auf dem Flâcheninhalte der Lehre eine der Seiten von 4 Toisen zeichnet, und sodann aus einem End-punkte a, dieser Linie, und mit einem Radius, weïcher 3 Toisen gïeich ist, einen kïeinen Bogen de zieht, und wenn man ferner aus dem Punkte b aïs Centrum , und mit einem Radius von 5 Toisen 2 Fuss 9 Zolï, einen andern Bogen f g beschreibt, so wird man den Durchschneidungspunkt c er-haïten ; zieht man durch denseïben die geraden Li-nien ca und cb, so erhâït man einen dem Original-triangeï gleichen Triangeï, so dass der Winkel cab gïeich ist demjenigen, weïchen die beiden Mauern biïden.
  - 97. Nachdem man die Dimensionen und die Winkel der Basis kennt, so kommt es noch auf die Ausmittelung des Abhanges an, den die mit Zie-geïn oder Schiefer gedeckten Dachflâchen haben müssen.
  - Wir geben hier die alïgemeine Regel an, weïche der Verfasser des Werkes, betittelt die Kunst zu bauen, disfalïs aufsteïlt, und deren Be-foïgung in der Mitte der gemâssigten Zonen den Vorzug zu verdienen scheint.
  - Man ziehe von den Breitengraden, in weïchen sich der Ort wo gebaut wirdbefindet, die 23°, 28' ab, weïche der Wendekreis vom Aequator ent-fernt ist; das was übrig bïeibtwird der Abhangseyn, den ein mit Hohlziegeln gedecktes Dach erhalten muss. Da man in Paris die Dâcher mit flachen Ziegeïn oder Schiefer zu decken pflegt, so modificirt der Verfasser seine alïgemeine Regel dadurch, dass er bei den flachen Ziegeïn 1/3, und bei dem Schiefer 1/4 zu dem was übrig bleibt hinzufügt ; wodurch folgende Berechnung herauskommt :
  - keeping the whoïe timber-work from jogging (the french practisers say, with a counter-phrase, to keep the jogging) : between those two kinds of ridge purïines, braces are framed in a Saint-Andrew s cross.
  - The other particuïar dénominations shaïï Le ex-pïained in every kind of roofs or vauïtswherein these timbers are commonïy used.
  - 95. To trace the draught which is to estabïish and eut the roof’s timbers, it needs to know the measures of the out-waïls, and ofthe voids reserved in, as the gapingsHfor windows or doors, andaïso, in many cases, the partition-walls. Ordinarily the numbers annexed to the plan show ail the dimensions necessary for cutting the whoïe timber-work ; but, if the carpenter wishes verify them, he caneasily to do without the waïls ever being entirely built.
  - There are aïso very simple methods to verify the angles formed by the waïls. Let be the straight angle A, Fig. 154, for example, set on one of the waïls, from A at B, 3 fathoms, whose square is 9; and on the other, from A at C, 4 fathoms, whose square is 16 : there two squares being added toge-ther shaïï be 25. Then, if the hypoténuse BC is5 fathoms in ïength, its square is like 25 ; and we shaïï be assured that these waïls are right-angled, since it is geometricafiy demonstrated that hypote-nuse’s square is equaï to the sum of the squares of the right-angïed triangles other sides.
  - 96. When the waïls don’t be right-angled, the method differs few for knowing the angle they form, and bringing it on the groundchoicedforthe draught : for, as here above, Fig. 155, after having brought on one of the waïls 3 fathoms from a at h, and 4 on the other from a at c, if the third side of the triangle abc shouïd be 5 fath. 2 feet and 9 inches in ïength, ïet us draw in the plan a straight 3 fath. in ïength a b; then, from itsextre-mities as centers, and respectively with rays 4 fath, and 5 fath. 2 feet 9 inches, trace two short arcs intersecting d e, f g; the straights ca, cb, shaïï produce a triangle equaï to the original given ; and consequentïy the angle cab shaïï be quite equaï to one seated into* the buildings waïls.
  - 97. Being the measures and angles of the basis exactïy known, one needs onïy now to determinate the inclination or sheïving of the surfaces ofeovering either with tiïes or sïates.
  - Here is the general rule given by the author of VArt de bâtir, and which appears the bettertobe applied about the middïe of the zones temperated,
  - From the number of the degrees of the given ground’s latitude, take ofF23° 28', viz, the tropical latitude : the rest shaïï be the suitabïe roofs sheïving, if it shaïï be covered with hoïïow tiïes; but, when it shaïï be covered with flat tiïes, you must add 1/3 to the rest, and 1/4, if with sïates.
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- - La latitude de Paris étant de. , . ...............48n 51'
  - Otez ceux du tropique............................. 23. 28.
  - Reste pour une couverture en tuiles creuses. 25° 23'
  - Pour la couverture en tuiles plates, ajoutez 1/3.. 8. 27. 2/3.
  - Pente pour la tuile plate......................... 33° 51' 2/3.
  - Même reste....................... 25° 23'
  - Pour la couverture en ardoises, ajoutez 1/4....... 6. 20. 3/4.
  - Pente pour l’ardoise..............................31° 43' 3/4.
  - 98. Pour donner aux démonstrations du trait ou tracé des étalons une conduite régulière et éviter la confusion, nous nommerons descriptions horizontales les plans Fig. 437, 438, 443, 444, 447 et 150; et descriptions verticales, les élévations Fig, 439 et 445; réservant le nom de projection pour les menus détails, dont i’inteïïigence est particulièrement fondée sur les propriétés des projections. Mais, avant d’entrer dans cette matière, nous allons faire connaître les noms particuliers les plus usités que les praticiens ont donnés à quelques-unes des lignes du trait, ainsi que les signes abrégés qu’ils ont adoptés pour en simplifier les opérations. Paê exemple, Fig. 456, une ligne droite comme AE, qui est la vraie trace de la base du comble, s’appelle ligne de trave : nous la supposerons toujours être au dérasement supérieur de la dernière assise des murs, ou, encore mieux, à la ligne d’égout. L’horizontale SS', où se terminent supérieurement les deux pentes du comble, est appelée ligne de couronnement; celle s s', passant par l’about du chevron de long-pan à sa commissure supérieure avec le poinçon, est nommée ligne d’about; H H se nomme ligne de gorge, par la raison contraire; P P', Z Z', Y1 Y", transversales ou de niveau [traversantes]; la ligne CS et les autres lignes verticales, lignes à plomb ; et les inclinées à cette dernière, lignes de pente, et, dans certains cas, rampantes. Dans la Fig. 464, la ligne u l est pareillement une ligne d’about, et v t' une ligne de gorge.
  - La Fig. 468 contient quelques signes usités : une droite,/» l, surchargée d’une ligne ondulée, est le signe de plumée ; les deux petites droites tu, v x, croisées à un bout d’un petit parallélogramme, indiquent une mortaise à faire; le signe coté y s’appelle rameneret.
  - C «5 )
  - Die Breite von Paris betrâgt................... 48° 51'
  - Davon zieheman ab die Grade des Wendekreises. 23. 28.
  - Es bleiben aîso zu einem mit Hohlzicgin
  - gedeckten Dache...................... 25° 23'
  - Bei einem mit flachen Ziegeln gedeckten Dache
  - füge man hinzu 1/3, also.................. 8. 27. 2/3.
  - Abhang fiir ein mit Ziegeln gedecktes Dacli. ... 33° 51' 2/3.
  - Der nâmliche Ueberrest.........25° 23'
  - Bei einem mit Schiefer gedeckten Dache fiïge man
  - hinzu 1/4, aîso...................’....... 6. 20. 3/4.
  - Abhang fiir ein mit Schiefer gedecktes Dach.... 31° 43' 3/4.
  - 98. Um die Zeichnung der Lehre regeïmâssig und ohne Verwirrung ausführen zu kônnen, so wollen wir die Grundrisse in den Fig. 437, 438, 443 , 444 , 447 und 450 horizontale Vorstellungen ; und die Aufrisse in 439 und 445 verticale Vorstellungen nennen ; und dabei die kleinern Holzver-bindungen , deren Kenntniss vorzüglich auf die Eigenschaften der Projectionen gegründet ist, mit dem Namen Projection bezeichnen. Bevor wir aber zurErklârungdiesesGegenstandes schreiten, wollen wir zuvorsowohldie besondern und gebfauchlichsten Namen, mit weïchen man in der Praxis gewisse in den Bauzeichnungen vorkommende Linien bezeich-net, aïs auch einige abgekürzte Zeichen , welche zur Verminderung der Arbeit dienen , kennen lernen. So z. B. heisst in Fig. 456 Stuhlwandlinie eine gerade Linie , wie AE, welche die wahre Vor-stellung der Dachbasis ist ; wir nehmen an , dass sich solche jederzeit oben auf der flachen Mauer und an der letzten Schicht Steine befindet. Die horizontale Linie S S', bei welcher sich am Giebel die bei-den Dachseiten vereinigen, wird die Kranzlinie ge-nannt. Die horizontale Linie s s', welche durch das Ende des letzten Sparrens , da wo solcher in die Giebeïsâule eingebunden ist, hindurchgeht, heisst die Endlinie. HH heisst die Kchllinie aus dem entgegengesetzten Grunde. PP', Z Z', Y' Y", werden Quer oder wagerechte Linien genannt. Die Linie CS, nebst den andern verticalen Linien heissen senkrechte Linien; die gegen diese letz-tere geneigten Linien werden Abhanglinien , und in gewissen Fâllen abschüssige Linien genannt. In der Fig. 464 ist die Linie u l ebenfalls eine Endlinie, und v t' eine Kehllinie.
  - In der Fig. 468 sind einige am hâufigsten vorkommende Zeichen enthalten. Eine gerade Linie/?/, welche die Windungen einer Weïlenlinie anzeigt, ist das Zeichen einer Auslochung. Die beiden klei-nen geraden Linien tu, vx, welche sich an dem einen Ende eines kleinen Parallelogramms kreuzen, bezeichnen ein zu machendes Zapfenloch ; das Zeichen y bedeutet die Linie, vermittelst welcher die Lange des Gradsparrens bestimmt wird.
  - The latitude of Paris being.......................... 4go 5\>
  - Take off the oncs of the tropic. .................... 23. 28.
  - It romains for a eoveriiig vvith hoflow tiles, . 25" 23'
  - Add 1/3 for the covering with Jlat tiles......... 8. 27. 2/3.
  - » ———
  - Right shclving for the fiat tiles........33" 51' 3/3.
  - To the saine rest.... ...25° 23'
  - Add 1/4 for the covering with slates.. 6. 20. 3/4.
  - Right shelving for the slates.... 31° 43' 3/4.
  - 98. In order to avoid the confusion, and direct in a regular manner the démonstrations of drawing or tracing in a large plan, we wilï cal! horizontal descriptions the plans Fig. 437, 438, 443, 444, 447 and 450; and vertical descriptions, thefront-views or side-views Fig. 439 and 445 : reserving the name of projection for small details, whose understanding is speciaïly founded on the projecting’s properties. But forthwith we wilï explain the parti-cular names more much used, whom the practisers hâve given some draught’s lines, and the abbreviated signs they hâve adopted on purpose to facilitate the tracing’soperations. For instance, a straight, as AE, Fig. 456, which is the real trace of the roofs basis, is named base-line or trave-line : we always will suppose it be on the upper-levelness of the last lay of stones, and, even better, at the dropping of the eaves. The horizontal S S', wherein end aloft the two roof’s panes, is said crown-line, or ridge-line; the leveï straight brought along the acuted edges of the upper-joints of the side’s rafters with the king-post, is called buttment-line, s s' ; and H H, for the con-trary, neck-line ; P P', Z Z', Y' Y", transverse-lines or level-lines ; C S and the other vertical straights, vertical-lines, andabusiveïy, level-lines ; the inclinated straights with regard to the level, shelving-lines, and at once craivling-lines. In the Fig. 464, it is aïike ul buttment-line, and v t1 neck-line.
  - The Fig. 468 shows some signs very used : a straight,/» /, overloaden by watered line, is the mark of the first face which has been made straight in a rough timber as a size for ali the others ; two small lines tu,vx, crossed at the end of a small paraïlelo-gram, show a mortise to be made; the sign quoted y is put at a known distance ( 1 foot ) of the end of a timber which is to be assembled with another, for its eut be advanced or recoiled, with regard to this mark, accordingly to the defects of the other piece.
  - Trait d’une Coupe plus raide que les longs-pans, et sans panne [pavillon carré dans son assemblage] (1).
  - 99. Soit d’abord la description verticale de la ferme adhérente à la croupe, Fig. 456. La ligne A E, trace de la base du comble [ligne de trave], a été faite égale à la largeur du bâtiment, mais prise aux paremens extérieurs des murs, et supposée toucher les dérasemens supérieurs ; par le point C, milieu de A E, on a élevé la perpendiculaire C S , qui se confond avec l’axe du poinçon; après avoir
  - Zeichnung eines IValmens ohne Fette, welcher steiler ist als die langen Dachseiten [in seiner Zusammensetzung ein vierecki-ger Pavillon] (1).
  - 99. Verticale Vorstellung oder Aufriss des an den Walmen anstossenden Binders, Fig. 456. Die Linie AE, welche die Vorstellung der Dachbasis [Stuhlwandlinie] ist, hat die Breite des Gebâudes erhalten, und ist an den âussern Seiten der Mauern genommen worden, wobei zugleich angenommen wird, dass sie die obéré Flâche der Mauern berührt ; durch den Punkt C, der Mitte von AE, ist die
  - Draught of an end steeper than the sides, and without any purlines (1).
  - 99. Let be, Fig. 456, the vertical description ofthe side’s truss. The base-line AE, the trace of the roof’s basis, hâve been made equaï to the build-ing’s breadth, taken from out to out, and at the upper-levelness of the walls; the perpendicuïar CS, drawn through the middle point C of AE, shows the king-post’s axis ; after having settled on S the height [top] of the roof, draw the two shelving lines
  - (1) Pour donner de la grâce au comble, il faut faire la croupe plus raide que le long-pan. Les e'erivains pratiques n’ont indiqué aucun principe à l’appui de cette méthode, ni aucune règle à suivre dans son application : ce n’est que d’après l’éducation qu’ont reçue les praticiens, qu’ils en raisonnent ; dans certains cas, on la trouve même ridicule. Par exemple, quand on regarde un bâtiment sur l’angle, l’aréte des murs et celle de l’entablement se confondent en une droite, qui ne peut être dans le même alignement que l’arêtier, quand il est dévoyé : l’effet de cet aspect ne peut produire sur les sens du spectateur d’autre impression que celle d’une faute.
  - (1) Soi! sich das Dach unter einer angenehmen Gestalt dar-stellen , so muss der Walmen einen steilern Abhang haben aïs die langen Dachseiten. Kein einziger practischer Schriftsteller hat Grundsâtze zu Gunsten dieser Méthode aufgesteilt, oder Regeln angegeben , welche bei der Anwendung derselben be-folgt werden konnten. Das Urthéil, welches die Baukundigen darüber fâllen , ist gewôhnlich eine Foîge der Grundsâtze , nach denen sie ihre Kunst erlernt haben : ja in gewissen Fâllen finden sie diese Méthode wohl gar lâcherlich. Betrachtet man z. B. ein Gebâude seihem Winkel nach , so verschmilzt sich die Kante der Mauern mit der des Gesimses in eine gerade Linie welche nicht in derselben Richtung seyn kann , aïs der Eck-sparren , wenn er seitwârts gewendet ist ; der Eindruck , den ein solcher Anblick auf den Beobachter machen muss, kann kein anderer seyn als der, den ein begangener Fehler veran-lasst.
  - (1) To give prettiness to a roofing work, say the builders, needs the end be steeper than the sides. The writers of practice did not appoint any principle to prop such method, never rule to be applied in its execution : it is only by prejudge resulting of the teaching’s used mode, that the practisers speak so ; even sometimes it appears ridicuïous. For instance, when one looks for a building on the angle , the edge of the walls and the one of the entablature corne together in a straight, whilst the roof’s edge deviates from that line ; what produces necessarily insensés of the lookers the impression of a builders error.
  - 3.e Partie.
  - 17
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- - r
  - fixé en S ïa hauteur [le couronnement] du comble, on a tracé ses deux inclinaisons [pentes] S F, SK, et leurs parallèles G H, IJ, qui déterminent les deux faces verticales des chevrons de long-pan ; les lignes LM, NO, déterminent la place de l’entrait; la face du poinçon P est semblable à celle du plan; sur ïe dérasement supérieur, on voit en coupe les quatre plates-formes Q, Q, Q, Q, deux des faces verticales des entre-toises R, R, et deux des faces verticales des Hochets T, T ; les jambettes U, U, sont ici inclinées, afin de ne pas pousser au vide. Quelquefois c’est l’usage qu’on veut faire du vide du comble, qui détermine l’inclinaison des jambettes; c’est aussi ce même motif qui guide dans certains cas le conducteur des travaux, pour régler l’inclinaison des esseliers V, V. La parfaite direction des esseliers V, V, et des contre-fiches X, X, que montre cette figure, netant pas un principe constant, on ne l’observera que dans les cas possibles.
  - Description horizontale, Fig. 157.
  - 100. La disposition de cette figure est telle, que ïa ligne A E est la projection horizontale de ïa ligne milieu de la ferme ; son point milieu, C, la projection de l’axe du poinçon, et le carré qui l’entoure est sa grosseur; AB et DE sont les épaisseurs des murs du long-pan ; la ligne H C est la projection horizontale de la ligne milieu du chevron de croupe, et FC, celle de l’arête supérieure de l’arêtier; BL, DJ, sont les traces des nus intérieurs des murs, sous les faces des longs-pans ; et à cause que l’arêtier est dévoyé, ïa ligne L J sera la trace de la face intérieure ou apparente de la plate-forme, et non celle du nu intérieur du mur de croupe, s’il a été fait de même épaisseur que ceux du long-pan. La même figure montre aussi ïe plan des plates-formes Q,Q; des Hochets T, T ; la description horizontale deï’enrayure, celle de l’arêtier, des chevrons et des empanons.
  - 101. Si la croupe avait la même pente que le long-pan, la projection de l’arête supérieure de l’arêtier ferait un angle de 45 degrés avec chacun des deux murs; les délardemens nécessaires pour former cette arête au milieu de la face supérieure de l’arêtier, enlèveraient autant à chacune des deux faces verticales de l’arêtier, qui resteraient ainsi de même largeur après les délardemens faits, de même que les deux plates-formes seraient aussi d’égale largeur, en sorte que les mêmes bois employés pour empanons, soit de croupe, soit de long-pan, qui auraient les mêmes coupes d’about, parce qu’ils auraient même pente, araseraient également soit avec les deux plates-formes, soit avec les deux faces verticales de l’arêtier.
  - Mais, lorsque fa croupe est plus raide que ïe long-pan, comme dans cet exemple, si l’on plaçait ïa ligne d’arête au milieu de la face supérieure de l’arêtier dans le même plan vertical de l’axe du parallélipipède qui forme son volume, les délardemens nécessaires pour former l’arête mordraient plus sur la face verticale qui est sous la croupe, que sur celle qui est sous le long-pan, en sorte qu’il en resterait moins de largeur sous la croupe que sous le long-pan; et, quoiqu’on soit obligé d’employer des bois moins larges pour les empanons de la croupe que pour ceux du long-pan, comme la coupe supérieure d’about des premiers est plus oblique que celle des seconds, parce qu’ils ont plus de raide, il ne serait pas possible de les faire araser avec la face inférieure de l’arêtier, et ils déborderaient en-dessous.
  - ( «6 )
  - Perpendicuïarïinie G S aufgerichtet worden, weïche sich mit der Giebeïsâuïenaxe verschmilzt ; nach-dem man bei S die Hôhe des Daches festgestellt hat, so sind die beiden Abhângedesselben, S F, SK, nebstihren Paraïlellinien GH, IJ, weïche die beiden verticalen Flâchen der Sparren angeben, gezeichnet worden. Die Linien LM, NO, bestim-men den Ort, wo der Spannriegel eingesetzt wird ; die Flâche der Giebeïsâule P, ist gïeich der Grun-drissflâche ; auf der obern Flâche der Mauer sieht man im Durchschnitte die vier Mauerlatten Q, Q, Q,Q ; zwei von den verticalen Flâchen der Quer-riegél R, R, und zwei von den verticalen Flâchen der Stichbalken T, T. Die Stützhôïzer U, U, sind hier schrâg gestellt, damit der Binder nicht aus-weichen kann. Bisweilen bestimmt der Gebrauch, den man von dem Dachraume machen wiïl, die Nei-gung der Stützhôïzer; bei den Jagdbândern VV, ist es bisweilen der nâmïiche Fall. Da die ge-hôrige Richtung der Jagdbânder V, V, und der Streben X, X, bloss von Umstânden abhângt, so wird man sif, wie solche in der Figur vorgestellt ist, bloss in âhnïichen Fâllen beobachten.
  - Horizontale Vorstellung oder Grundriss, Fig. 157.
  - 100. Der Anordnungdieser Figur zufoîge, ist die Linie A E die horizontale Projection der Mitteïlinie des Dachstuhls. Ihr Mitteïpunkt C, ist die Projection der Giebeïsâuïenaxe ; das darum befindliche Viereck zeigt die Dicke derselben ; A B und DE steïlen die Dicke der âussern Mauern vor ; die Linie H C ist die horizontale Projection der Mitteïlinie am Walmensparren, und F C die der obern Kan te am Gradsparren ; BL, DJ, sind die Vorstellungen der innern flâchen Mauer unter den langen Dachseiten ; und da der Ecksparren seitwârts gewendet ist, so ist die Linie LJ nicht die Vorstellung der innern flâchen Walmenmauer, sondern die der innern oder sichtbaren Flâche der Mauerlatte, wenn jene die nâmïiche Dicke hat wie die Mauern der langen Dachseiten. Die nâmïiche Figur zeigt auch noch die Ansicht der Mauerlatten Q, Q; der Stichbalken T, T; den Grundriss des Gebâlkes, den des Eckspar-rens, der Sparren und Schiftsparren.
  - 101. Hâtte der Walmen die nâmïiche Neigung wie die langen Dachseiten, so würde die Vorstel-ïung der obern Gradsparrenkante mit jeder der zwei Mauern einen Winkel von 45 Graden bil-den ; würde nun diese Kante in der Mitte der obern Flâche des Gradsparrens angelegt, so nâhme das Behauen derselben eben so viel Hoïz an jeder verticalen Flâche des Gradsparrens weg ; so dass diese Flâchen nach dem Behauen die nâmïiche Breite be-hielten ; auch würden die beiden Mauerlatten eben-faïls eine gleiche Breite erhaïten, so dass die nâm-lichen Hôlzer, weïche entweder bei dem Walmen oder den langen Dachseiten aïs Schiftsparren ange-wendet würden , und die nâmïichen Endschnitte hâtten , weil ihr Abhang der nâmïiche wâre, entweder mit den beiden Mauerlatten oder mit den beiden verticalen Gradsparrenflâchen eine überein-stimmende Richtung erhaïten müssten.
  - Setzte man aber, wenn, wie in diesem Falle, der Walmen steiler ist aïs die langen Dachseiten , die Kantenlinie in die Mitte der obern Flâche des Gradsparrens, und in den nâmïichen verticalen Axen-plan des Parallelipipedi, welches dessen Umfang bildet ; so würde das Behauen der Kante mehr Holz an der verticalen Flâche, weïche sich unter dem Walmen befindet, als an der, weïche unter der langen Dachseite ist, wegnehmen ; so dass also unter dem Walmen nicht so viel Breite bliebe aïs unter der langen Dachseite. Und ohnerachtet es die Noth-wendigkeit erfordert, dass man zu den Schiftsparren des Walmens nicht so breite Hôlzer anwendet, aïs zu den der langen Dachseiten ; so würde es, da der obéré Endschnitt der erstern schrâger ist aïs der der zweiten, unmoglich seyn , dass sie mit der untern Flâche des Gradsparrens gleichfôrmig geschnitten werden kônnten, und sie würden von unten hervor-ragen.
  - 102. Die obéré Kante des Gradsparrens muss
  - S F, SK, and theirs parallel GH, IJ, showing the vertical faces of the sides rafters : the horizontal straights LM, NO, show the sitand big of the colïar ; the face of the king-post P is like to its big in the plan : on the base-line are seen the cuts of the four waïï-pïates Q, Q, Q, Q ; the vertical faces of the two stretching-pieces R, R, and of the hammer-beams T, T : the ashïeers U, U, are here inclinated for proping more strengthïy ; their shelving, as well as the inclination of the braces V,V, is sometimes détermina ted by the destination of the roof s width. The quite same direction of the braces V, V, and struts X, X, shown in this figure, doing not be an invariable principle, it wiïl be observed only in the possible cases.
  - Horizontal Description ,Fig. 157. •
  - 100. The straight line AE is the horizontal projection of the truss’s middle line ; the middle point of it, C, is the projection of the king-post’s axis, and the square surrounding it shows its bigness ; A B and DE show the depth of the side-walls; the straight H C is the horizontal projection of the middle line of the end’s rafter, and FC, thatoneof hip’s upper-edge; BE, DJ, are the interior traces of the side-walls; and, hip being deviated, LJisthe trace of the interior face of the wall-plate, and no the one of the end-wafl’s face, if this latter lias been made as deep as the side-wall. The same figuré shows also the plans of the wall-plates Q,Q; hammer-beams T, T; hip, rafters, shorted rafters, furrows.
  - 101. When the end and the sides of a roof are quite equally inclinated, the projection of the hip’s upper-edge would make an angle of 45 degrees witli the walls; the shavings necessary for fashioning that edge in middle ways on the timber’s upper-face, taie off as much as to the both vertical faces ofit, and these faces remain quite equally broad, just as the both wall-plates : thus the same 6cantlings timbers can be used either to the end, or to the sides, as rafters ; the same cuts, or aloft, or as heel, are quite suitable for the rafters exactly levelling either witli the wall-plates, or with the king-post, or the hip, or ridge-purlines.
  - But, when the end is steeper than the sides, as in this case, if the upper-edge would be seated in the middle-line of the hip’s surface in the vertical plan passing along the axis of the bulk, the shavings could take off more on the sidc of the end than on the other side ; the vertical hip’s face towards the side would rest broader than that one towards the end; then, although less broad timbers must be employcd as shorted rafters to the end than to the sides, as the upper-cut ought to be more oblique in the first ones, since they are steeper, they cannot level with the hip’s inferior face, and get out necessarily.
  - 102. On est donc forcé de placer l’arête supé-
  - 102. Thus it is necessary to seat the upper-edge
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- - rieure de l’arêtier hors du plan vertical de son axe; et voici le procédé qu’on emploie pour cela. Dans la Fig. 461, a c, bd, montrent l’épaisseur du mur de long-pan; ef, la projection horizontale de l’arête supérieure de l’arêtier. Au point f, on trace fj, perpendiculaire à fe; on porte sur f j, de f en k, l’épaisseur de l’arêtier; du point k, on trace k l, perpendiculaire à la ligne d’about uf; puis du point l la droite Im, parallèle àfk; par les points / et m on trace lo etmn, parallèles à la ligne d’arête f e, et ces dernières sont les traces des faces verticales de l'arêtier. Cette opération s’appelle dévoyer Varêtier en plan.
  - II résulte de cette construction que les faces verticales qui restent du volume primitif de l’arêtier, sont d’une égale largeur, en sorte que les deux sortes d’empanons, que Ton prend de largeurs différentes pour araser avec les deux plates-formes, chacune d’après son degré de pente et d’après la largeur de sa plate-forme, arasent aussi avec les faces de l’arêtier, auxquelles elles doivent être juxta-posées.
  - 103. Les descriptions verticales de la demi-ferme de croupe, Fig. 438, et de l’arêtier, Fig. 139, montrent de même une des faces verticales de chacune des pièces qui les composent : la droite H C, Fig. 133, étant la projection horizontale de la ligne milieu de la ferme de la croupe, on a placé ladite ferme rabattue sur elle, mais au dehors de la description horizontale : l’arêtier, Fig. 439, est de même rabattu sur le plan de sa projection horizontale , qui est F C, Fig. 437.
  - Les entraits, aux trois figures, sont compris entre parallèles horizontales à égale hauteur au-dessus de la base du comble, ainsi que les autres pièces des enrayures, quel qu’en soit le nombre, quand même elles ne serviraient pas de plancher. On peut donc considérer les enrayures comme des plans qui divisent en tronçons la pyramide droite ou oblique que forme le comble ; et les périmètres de tous ces plans auront la même forme que la base de la pyramide. C’est d’après ce principe que les praticiens réussissent en opérant par des lignes transversales [traversantes], mais qu’on ne peut considérer que comme des hauteurs qui seraient prises de la base du comble à un point des lignes du lattis ou de l’axe du poinçon de la ferme primitive. Par exemple, si l’on prolonge la droite B Y de la jambette, Fig. 436, jusqu a ce quelle rencontre celle du lattis FS, on aura le point Z' et une horizontale Z' Z" : si de même on prolonge celle de l’esselier & Z jusqu’à celle du lattis, on aura le point Y', et la traversante Y' Y". Si l’on reporte successivement les hauteurs C Y", CZ7, C &, l.° de c en y, en z et &, Fig. 138, et que,par les points y, z, on mène des parallèles à c a, on aura, sur la ligne de lattis f s du chevron de croupe, les points y' z', qui, avec celui &, serviront à tracer dans cette figure la jambette et ï’es-selier : on procédera de même pour la contre-fiche x. 2.° Faisant la même opération à la Fig. 139, on aura aussi les points y', z', p', sur la projection verticale de l’arêtier, qui donnent en cette figure les lignes b y de la jambette, z & de l’esselier, et & p' de la contre-fiche. L’intelligence de ce que nous venons d’exposer va encore être confirmée au moyen des Fig. 460, 461, 462,163, 464, 163, 466 et 167, qui sont des copies des descriptions précédentes, mais dessinées plus en grand, pour en faire voir tous les détails particuliers.
  - 104. Dans la Fig. 460, la ligne a b est la trace du dérasement supérieur du mur de long-pan ; les plates-formes c, d sont vues en coupe sur le dérasement; on y voit aussi une des faces verticales è de l’entretoise, y* du blochet, q du chevron de
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  - diesem zufolge ausserhalb des verticalen Planes seiner Axe festgesetzt werden ; wobei man fol-gendergestalt verfâhrt : In der Fig. 461 zeigen ac, b d die Dicte der Mauer an der langen Dachseite ; ef die horizontale Ansicht der obern Kante des Gradsparrens. Bei dem Punkte y* zieht manfj, mit fe perpendicular ; man tragt auf fj, von f nach k die Dicte des Gradsparrens ; aus dem Punkte k, zieht man kl, mit der Endlinie uf perpendicular; ziehtferneraus dem Punkte l, die gerade Linie Im, mit fk paralleï ; durch die Punkte l und m , zieht man lo und m n mit derKantenliniejfe paralleï; wo-rauf diese Ietztern Linien die Vorstellungen zu den verticalen Flâchen des Gradsparrens sind : diese Operation heisst den Gradsparren seitwârts wenden.
  - Die solchergestalt geschehene Anordnung hat die Folge, dass die verticalen Flâchen, welche von dem vorigen Umfange des Ecksparrens übrig bleiben, gleichmâssig breit sind ; so dass die beiden Arten von Schiftsparren, welche von ungleicher Breite genommen werden, damit sie mit den beiden Mauer-latten eine übereinstimmende Richtung erhalten, und zwar ein jeder sowohl nach dem Grade seiner Neigung aïs auch nach der Breite seiner Mauerlatte, diese Schiftsparren erhalten auch mit den Flâchen des Gradsparrens, auf welchen sie aufgesetzt werden, eiue übereinstimmende Richtung.
  - 103. Der Aufriss des halben Wahnenbundes, Fig. 438, und des Gradsparrens, Fig. 139, zeigen ebenfalls eine von den verticalen Flâchen der mit ihnen verbundgnen Holzer. Da die gerade Linie//G, Fig. 137, die Mittellinie des Walmenbinders in horizontaler Richtung darstellt, so hat man diesen Binder ausserhalb des Grundrisses auf die gedachte Linie umgelegt. Der Ecksparren in Fig. 139 ist ebenfalls auf seinen Grundriss F C, Fig, 137, umgelegt worden.
  - Die Spannriegel in den drei Figuren stehen zwischen horizontalen Parallellinien in gleicher Hôhe über der Dachbasis, so wiealle übrige Holzer, welche zu dem Gebâlke gehôren, oder nicht dazu gehôren. Man kann folgïich die Gebâlke als Grundrisse an-sehen, welche die von dem Dachstuhle gebildete gerade oder schrâge Pyramide in Stücke zertheilen, so dass der Umfang eines jeden Grundrisses dieselbe Gestalt haben wird, wie die Basis der Pyramide. Diese Grundsâtze werden in der Praxis bei den Ope-rationen zum Grande geïegt, wobei Zwerchlinien angewendet werden, welche man aber bïoss aïs Hôhen betrachten kann, die von der Dachgrund-fiâche bis zu einem an den Lattenïinien oder an der Giebelsâulenaxe befindlichen Punkte genommen werden. Verlângert man z. B. die gerade Linie B Y des Stützholzes, Fig. 436, bis sie die Latten-linie F S berührt, so wird man den Punkt Z und eine Zwerchlinie Z' Z" erhalten. Verlângert man gleichergestalt die Linie des Jagdbandes & Z, bis zur Lattenlinie, so erhâït man den Punkt Y' und die schrâge Linie Y'Y". Trâgt man nach und nach die Hôhen C Y", C Z', C &, von c nach y, nach z und nach#', Fig. 438, und zieht durch die Punkte y, z, Parallellinien mit ca, so erhâït man auf der Lattenlinie fs, des Walmen-sparrens die Punkte y', z , vermittelst welcher nebst & das Stützholz und Jagdband in dieser Figur gezeichnet werden kann. Bei der Strebe x, verfâhrtman auf die nâmliche Weise. Wie-derholt man die nâmliche Operation in der Fig. 439 , so erhâït man auf der verticalen Projection des Gradsparrens die Punkte y', z', p', welche daseïbst die Linie b y für das Stützholz, z & für das Jagdband, & und p' für die Strebe geben. Das was wir hier vorgetragen haben , bestâtigt sich durch die Fig. 460, 464 , 162,463,464, 163, 466 und 467, in welchen die so eben be-schriebenen Vorstellungen wiederholt, und nach einem grôssern Maasstabe gezeichnet sind , so dass sie die vorziigïichsten Verbindungen umstândlich darstelïen.
  - 104. Die Linie ab ist in Fig. 460 die Vorstel-ïung der obern flachen Mauer an der langen Dachseite, dioMauerlatten c, d, sind daseïbst im Durch-schnitte zu sehen ; auch sieht man daseïbst eine von den verticalen Flâchen des Querriegels e; ferner des
  - of hip outing from the vertical plan of the hip’s bulk’s axis; and this is the method used for it. In the Fig. 161, ac,bd, show the breadth of the side’s walls; ef, the horizontal projection of the hips upper-edge. Through the point f, draw fj perpendicular to fe; bring on fj, from y* at k, the hip’s breadth; through the point k, draw kl perpendicular to the buttment-Iine uf; and through the point l, the straight Im, paralleï to fk : lo and mn, drawn through l and m parallely to edge-Iine f e, shaïl be the traces of the two hip’s vertical faces, That construction is called deviating of the hip.
  - It resuïts of it that the both vertical faces which remain after shaving the primitive buïk of hip, are equally broad; so that the two kinds of shorten rafters, which are taken different in breadth to level with two kinds of wall-plates, accordingïy to own shelving of each, level also with the vertical faces of the hip, to which they ought to be lain upwards.
  - 103. The vertical descriptions of the haïf-truss of the end, Fig. 438, and of the hip, Fig. 439, show too a vertical face of every timbers which compose them : HC, Fig. 437, being the horizontal projection of the middïe line of the end’s truss, this truss has been pulled down on it, but abroad the horizontal description : the hip, Fig. 439, is alike on the horizontal plan by turning round the edge-line, FC, of the Fig. 437.
  - In those three figures, the colïars are seated between parallels whose each is at the same height above the line-base, as weïl as every the other timbers of the furrows, in whatever number they would
  - be, even not used for flooring. Thus the furrows can be looked on as plans dividing into many stumps the roofing pyramid, either right or slope; and the outïines of those ail sections shalï hâve their shape quite alike to the base of the whole pyramid. Con-sequentlytothisprinciple, the practisers succeed by operating on transverse-Iines, which ought to be looked on as some heights taken from the line-base in primitive truss at determinated points, either of the lathing, or of the king-post’s axis. Let be, for instance , Fig. 136, B Y the ashleer line lengthened un-til it meets the lathing’s line S F ; their intersection U will determinate a transverse line Z'Z'7: in the same manner, the line &Z of the brace, by meeting the lathing’s line at the point Y7, give the transverse-line Y7 Y77. The heights CY7/, C Z7, C &, being brought successively, 17st Fig. 438, from c at y,
  - z, &, the parallels to ca, drawn throughthese points, shalï give on the lathing’s line of the end’s rafter, the points y7, z7, &, which shalï be used for tracing in that figure the shapes of the ashleer and brace : the strut x is traced by the same means. 2.dly By drawing in the same manner on the Fig. 439, we will hâve the points y7, z' and p7, on the vertical projection of the hip, and consequently b y, the line of the ashleer; z&, of the brace; &p, of the strut. The understanding of those expïained ail draughts will be corroborated by means of the Fig. 460, 461, 162, 163, 464, 463, 466 and 467, which are copies of the preceding descriptions, but in a large scale, to show ali particular details of them.
  - 104. The straight ab, Fig. 460, is the trace of the upper-leveïness of the side’s wall; the sections of the wall-plates, c, d, are seen on the ïevelness; are also there seen a vertical’face of the strut e, ham-mer-beam f, side’s rafter q, and its ashleer h: the
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- - long-pan, et h Je sa jambette. Les points des abouts et des gorges sont projetés dans ïa description horizontale, Fig. 161, c’est-à-dire, les points i,j et k, l des pieds des chevrons et delà jambette, ainsi que m, about supérieur de ladite jambette.
  - 105. Dans la Fig. 161, a c, bd, montrent ï'épaisseur du mur de long-pan ; ef est la projection horizontale de l’arête supérieure de l’arêtier : par les points y*, t, s, r, q et p de cette dernière, orna mené des parallèles au mur de croupe.
  - 106. La Fig, 162 montre pour le chevron de croupe et pour sa jambette les mêmes détails que ceux qu’on voit, Fig. 160, pour le chevron de long-pan. On voit que les lignes parallèles au mur de croupe, qui ont leur origine aux points p, q, r, s, t et f, Fig. 161, ont donné, Fig. 162, sur le bïochet, les points i,j, pour le pied du chevron de croupe; k, l, pour le pied de la jambette, et m, pour l’about supérieur de ladite jambette.
  - 107. La Fig. 163 est composée de lignes parallèles et de lignes perpendiculaires à fe de ïa Fig. 161 ; on y voit distinctement, comme aux précédentes, une des faces des pièces qui la composent: nous passerons donc de suite au tracé de l’arêtier. Les perpendiculaires à f, e, élevées des points f et t, ont donné sur le bïochet les points i pour l’about de l’arêtier, et j pour sa gorge, origine de l’arête rentrante du recreusement; les perpendiculaires aussi élevées des points t et t' ont donné le point m pour le déïardement et m! pour le surbaissement, c'est-à-dire, pour origine de l’arête inférieure de la face verticale. Nous faisons observer que les déïardemens ont toujours lieu : on ne peut les éviter, parce qu’ils sont des portions des surfaces des lattis de long-pan et de croupe. Il n’en est pas de même du recreusement; c’est une opération qu’on néglige souvent, et parce qu elle n’est pas nécessaire dans l’intérieur de tous les combles, et parce qu’en outre elle affaiblit l’arêtier. Les points 1,2, del’empanonz, 3, 4 de l’empanon &, aussi élevés perpendiculairement à f e de la Fig. 161, ont donné sur la face verticale de l’arêtier, Fig. 163, les occupations 5, 6, 7, 8, et 9, 10, 11, 12; et dans ces occupations sont tracées les mortaises qui doivent recevoir les tenons. Le procédé que nous venons d’expliquer pour l’arêtier, a été suivi pour la jambette.
  - Description horizontale des parties de la sommité de la Pyramide.
  - 108. Fig. 164. Les lignes ae, hc, sont les projections horizontales des lignes milieux des parties supérieures des chevrons de long-pan et de croupe; fc, gc, sont celles des arêtes supérieures des arêtiers; le point cest la projection de l’axe du poinçon; et le carré qui l’entoure, marque sa grosseur d’écarrissage. On voit que la trace v i de la face de l’arêtier, côté de la croupe, rencontre la trace du chevron de croupe au point i; que par ce point on a tracé la droite ic, qui est la projection de la commissure des deux morceaux : ce joint est nommé déjoutement (et en particulier déjoutement en tour ronde). L’autre trace, u q, de l’arêtier, se prolonge dans une portion de la grosseur du chevron de long-pan, et la trace de commissure se trouve être qon : on a donné à ce joint le nom de déjoutement en pavillon ; il est composé de deux surfaces, tandis que le précédent rien a qu’une. Nous ferons observer que c’est la routine qui conduit à donner la forme brisée au déjoutement en pavillon, et qu’on peut le faire comme l’autre. Cette anticipation est observée pour laisser plus de force à la commissure du chevron avec le poinçon, et rendre égales les deux faces de la coupe recreusée par laquelle l’arêtier doit s’appliquer contre l’arête saillante du poinçon [dégueuïement]; mais on obtiendrait
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  - Stichbalkensy’; des Sparrens q, und seines Tragholzes
  - h. Die obern und untern Endpunkte sind im Grund-risse Fig. 161 dargestellt; die Punkte i, j, und A:, l, zeigen nàmlich das untere Ende der Sparren und des Stützholzes ; der Punkt m aber das obéré Ende dièses letztern.
  - 105. In Fig. 161 sieht man bei ac, bd, die Dicke der Mauer an der langen Dachseite ; e f ist die horizontale Vorstellung der obern Gradspar-renkante : durch die an dieser Kante befind-lichen Punkte y, t, s, r, q und p sind mit der Walmenmauer parallel gehende Linien gezogen gezogen worden.
  - 106. Die Fig. 162 zeigt an dem Walmensparren und dessen Tragholze die nâmlichen Gegenstânde, welche in Fig. 160 an dem Sparren der langen Dachseite zu sehen sind. Die mit der Walmenmauer parallelgehendenLinien, welche in Fig. 161 von den Punkten p, q, r, s , t und f ausgehen, haben in Fig. 162 auf dem Stichbalken die Punkte
  - i, j, für das untere Ende des Walmensparrens ; k, l, fur das untere Ende des Stützholzes, und m für das obéré Ende dieses letztern gegeben.
  - 107. Die Fig. 163 besteht aus Parallel und Perpendicularlinien mitfe, Fig. 161 ; gleich den vorigenFiguren, sieht man auéhhier die eineFïâche der in dieser Figur enthaltenen Hôïzer. Wir kon-nen aïso sogleich zur Beschreibung des Gradsparrens übergehen. Die Perpendicularlinien mit^ e, welche aus den Punkten^ und t aufgerichtet worden sind, geben auf dem Stichbalken den Punkjy, an welchem sich der Gradsparren endigt, und den Kehlpunkt j, an welchem dieEinschnittskante anfângt. Die aus den Punkten t und t' aufgerichteten Perpendicularlinien geben zum Behauenden Punkt m, und zum Anfange der untern Kante an der verticalen Flâche den Punkt m'. Das Behauen muss jederzeit vorgenom-men werden, und ïâsst sich niemaïs vermeiden, weil es Theile an den Flachen des an den langen Dach-seiten und Walmen befmdlichen Lattenwerkes be-trifft. Anders aber verhâït es sich mit dem Auslochen, indem diese Operation sehr oft unterlassen wird, weil sie bei manchen Dachstühïen nicht nur nicht nothwendig ist, sondern auch den Gradsparren schwâcht. Die Punkte 1,2, des Schiftsparrens z, und 3,4, des Schiftsparrens &, welche ebenfalls mitfe, Fig. 161, perpendicular aufgerichtet sind , geben auf der verticalen Flâche des Gradsparrens Fig. 163 , die Stellen 5,6, 7, 8, und 9, 10 , 11, 12 , in welche die Zapfenïôcher zu den erforder-lichen Zapfen eingelocht werden. Das nâmliche Ver-fahren, welches wir in Betreff des Gradsparrens be-schrieben haben , ist auch bei dem Stützholze an-gewendet worden.
  - Gvundriss der obern Theile der Pyramide.
  - 108. Fig. 164. Die Linien ae, hc sind die ho-rizontalen Ansichten der Mittellinie an den obern Theilen der an den langen Dachseiten und Walmen stehenden Sparren ;fc,gc sind die der obern Grad-sparrenkanten ; der Punkt c ist die Vorstellung der Giebelsâuïenaxe ; das um diesen Punkt befind-liche Viereck bezeichnet die Dicke der Giebelsàule. Wir sehen, dass die Linie v i , der Gradsparren-flâche, welche der Walmenseite zugekehrt ist, bei dem Punkte i mit der Linie des Walmensparrens zusammentrifft, und dass durch diesen Punkt die gerade Linie ic gezogen ist, welche die Zusam-mensetzung dieser beiden Hôïzer vorstellt. Diese Zusammensetzung heisst Déjoutement (und insbe-sondere Déjoutement en tour ronde ). Die an-dere Linie uq, des Gradsparrens, verlângert sich bis in einen Theil der Dicke des zur langen Dachseite gehôrigen Sparrens ; die Linie qon aber zeigt die Verbinduug dieser Hôïzer. Diese letztere Ver-bindung heisst Déjoutement en pavillon, und besteht aus zwei Flachen, wâhrend die vorige bloss aus ciner einzigen besteht. Uebrigens geschieht es bloss aus Gewohnheit, dass man dem Déjoutement en pavillon eine gebrochene Gestalt giebt, indem man dasselbe ganz so wie das erstere machen kann ; doch hat dieser Vorzug darin seinen Grund, dass dadurch
  - buttment’s and neck’s points are projected on tlie horizontal projection, Fig. 161, viz, the pointsi,j, and k, l, of the rafter’s and ashleer’s feet, as weil as m, the upper-buttment of this ashleer.
  - 105. In the Fig. 161, ac, bd, show the deptfi of the side’s wall ; ef is the horizontal projection of the hip’s upper-edge : paralleïs to the end’s wall have been brought through the points f,t, s, r,q and p of the latter description.
  - 106. The Fig. 162 shows the same details witfi regard to the end’s rafter and its ashleer, as the one Fig. 160, for side’s rafter. It is seen that the parai-lels to the end’s wall, which rise from the points^, y, r, s, t andf, Fig. 161, have determinated, Fig. 162, on the hammer-beam the points i,j, as the heei of the end’s rafter; k, l, as foot, and m, asupper-end of its ashleer.
  - 107. Some paralleïs and some perpendiculars to the same straight f e compound the Fig. 163, whe-rein, as in the foregoing ones, is plainly seen the one of the vertical faces of every timbers which compose it : therefore we wiïl pass immediately at the draught of the hip. The perpendicular straights to fe, at the points y, t, have determinated on the hammer-beam the points i and y, as the abutment and neck of the hip, whose the latter is the foot of its grooved edge ; the other perpendiculars brought at the points t,t‘, have given the points m and m'for determinating the edges of the vertical faces of the hip [unlarding and lowering]. We begto remark that it is always necessary to fashion a jutting edge in the upper-face of the hip, wherein intersect the faces of the end and side ; but the grooving edge of the under-face is often dispensed with, sinceitisnot necessary into ail the roofs, and besides it weakens the hip. The perpendiculars to fe, Fig. i 61,nui from the points 1,2, 3,4, of the shorted raftersz, k, on the vertical face of the hip, Fig. 163, gw\km the paraïlelograms 5,6,7,8,and 9,10,11,12,to those rafters occupy them, and wherein are drawn the mortises to receive the tenons : the same metliod will be used for the hip’s ashleer.
  - Horizontal Description of the Pyramul's superior parts.
  - 108. Fig. 164. The straights ae,hc, are the horizontal projections of the middle lines of the superior parts of the sides’s an end’s rafters; Je and gc, the ones of the edges of the hips; axis of the king-post is projected at c, and the square sur-rounding him shows its squareness. It is seen that the trace vi of the hip’s face towards end, and the trace of the end’s rafter, meet together at i; and that through this point has been traced ic, the projection of the common joint of the both timbers: this framing is caïïed uncheeking (and particu-larly uncheeking in a round tower ). The other trace uq of the hip is lengthened through a part of the depth of the side’s rafter ; and the joints trace is qon : this latter framing’s fashion is called uncheeking in a pavilion ; it is formed by two surfaces, whilst the first, which isquite simple, couldhe used in a side’s rafter as weil as for the end’s rafter, if the workmen couïd not follow a whoïly blind rote. This anticipation is used on the purpose of reserving a greater strength to framing of the rafter with the king-post, and make equalthe both faces or the hoïïow eut [unmouthing], with which the hip is applied on the king-post’s jutting-edge ; but the same effects vould surely resuit from a simply faced joint as weil as in the first framing. Besides, the notch so
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- - absolument les mêmes -effets par un joint à une seule face, comme au dêjoutement en tour ronde. Au restera partie consommée, formant lentaiïie évidée dans le chevron de long-pan, doit égaler en volume et en forme celle réservée à farêtier.
  - 109. On voit à la Fig. 465 une des faces, p, du poinçon ; une des faces du chevron de croupe, comprise entre fa ligne de lattis s f et celle du dessous, gl; fa face de son tenon, b c d l; son point d’about, a, et celui de sa gorge, l. Pour tracer f arête du dêjoutement, on a pris, dans fa Fig. 464, fa distance du point y à fa ligne c d, qu’on nomme le reculement, et qui, portée de l’axe du poinçon, Fig. 165, adonné le point y, par lequel on a fait passer la droitejj1, parallèle à l’axe; ce qui a achevé les détails qui sont visibles en regardant la face verticale du chevron. Mais on voit aussi, représentée attenante, la face du dessous. Par les points a, c, d, l,f ,j, on a mené des perpendiculaires à la ligne sf, qui ont donné la forme du tenon vu sur son épaisseur, et les deux déjoutemens h et i. La mortaise de la contre-fiche x a été tracée de la même manière.
  - 110. La Fig. 466 montre les mêmes détails pour le chevron de long-pan. Les mêmes procédés de tracé y sont appliqués pour l’about, le tenon et la mortaise de la contre-fiche. Nous ferons observer seulement que les points q, o, de la Fig. 464, ayant été élevés parallèlement à l’axe, ont donné dans celle-ci la ligne q q, entrée du dêjoutement, et celle o o', fond du dêjoutement.
  - 111. La Fig. 467 montre aussi l’assemblage de l’about supérieur de l’arêtier, ses deux déjoutemens et son dégueulement. Par les points c et m de la Fig. 464, on a élevé perpendiculairement à f c les lignes S c, axe, et m m1, arête du poinçon ; par le point S, on a tracé l’inclinaison de l’arêtier c1 S, puis, parallèlement à c' S, son délardement de, son recreusement fg, et son surbaissement h i. On a élevé de même des perpendiculaires des points i, l, n, o, Fig. 464, mais tracées seulement sur la face verticale de l’arêtier, Fig. 467, où elles sont marquées des mêmes lettres. Les perpendiculaires élevées des points extrêmes de ces dernières lignes ont donné sur l’arêtier, vu par-dessous, les points nécessaires pour tracer les déjoutemens t, u, et le dégueulement v.
  - Description d'extension [herse]. Fig. 168.
  - 112. Cette sorte de description est très-usitée dans la pratique, parce qu’ayant l’avantage de contenir dans le même dessin les deux dimensions réelles, dont chacune des autres descriptions ne contient qu’une seule ( tandis que l’autre dimension du même objet y est en raccourci), elle présente une grande facilité pour tracer particulièrement les détails de chacun des morceaux de bois qui doivent composer un ensemble ; et, quoiqu’elle ait déjà été expliquée (II.e section), nous en reproduisons ici les principaux détails, afin que le lecteur aperçoive, et la construction primitive, et l’application pratique du tracé des diverses pièces de bois qui composent une ferme, leurs coupes et leurs assemblages.
  - 3.e Partie.
  - ( 69 ;
  - nicht allein der Sparren mit der Giebeïsàule fester verbunden wird, sondern auch die beiden Flâchen desEinschnittes, in welchem der Ecksparren an die hervorspringende Kante der Giebeïsàule angelegt wird, gleichfôrmig gemacht werden ; indessen würde man auch das nâmliche Résultat vermittelst einer einzigen Flâche erhalten. Uebrigens muss der an dem Sparren angebrachte Einschnitt die namliche Gestaltund Grosse erhalten, wie der an dem Grad-sparren befindliche.
  - 109. Wir sehen in Fig. 465 eine von den Flâchen p, der Giebeïsàule ; eine von den Flâchen des Walmensparrens, welche sich zwischen der Lattenlinie sf, und dem darunter liegenden Theile g-/befindet; ferner die Flâche des zu diesem Sparren gehôrigen Zapfens bcdl, so wie seinen End-punkt a, nebst dem Winkelpunkte l. Um die Ver-bindungskante zu zeichnen, ist in Fig. 464 der Ab-stand des Punktes j von der Linie c d genom-men worden, und hat, nachdem derselbe nach der Giebeïsâulenaxe, Fig, 465 getragen worden ist, den Punkt j gegeben , durch wclchen die gerade Linie j f mit der Axe parallel gezogen worden ist, wodurch die einzelnen Verbindungen voïlendet wurden ; man sieht dieselben, wenn man die verticale Flâche des Sparrens betrachtet. Auch ist ferner die anstossende untere Flâche dargestelit. Durch die Punkte a, c, d, l, f, j, sind mit sf Perpendicuïarïinien gezogen worden; selbigehaben sowohl die Gestalt des Zapfens, weïcher seiner Dicke nach dargestelit ist, aïs auch die beiden Verbindungen h und i gegeben. Das Zapfenloch an der Strebe x, ist auf dieseïbe Weise gezeichnet worden.
  - 110. Die Fig. 466 zeigt die nâmlichen Verbindungen für den Sparren an der langen Dachseite : auch ist bei der Strebe das Ende, der Zapfen und das Zapfenloch auf die nâmliche Weise gezeichnet worden ; wir bemerken bïoss, dass die Punkte q, o, welche in Fig. 464 mit der î$xe parallel gezogen worden sind, in Fig. 466 die Linie qq', so wie die Linie o o‘ gegeben haben.
  - 111. Die Fig. 467 zeigt ebenfalls auch die Zu-sammensetzungen an dem obern Ende des Eckspar-rens, sOjWie auch seine beiden Verbindungen und Kante. Durch die Punkte c und m, Fig. 464 sind die Linien Sc, Axe , und mm , Kante der Giebel-sâuïe, perpendicular mit/c aufgerichtet worden; die Neigung des Gradsparrens c' S ist durch den Punkt S gezogen worden ; das Behauen desselben de, sein Auslochen f g und seine gedrückte Rundung hi, ist mit c'S parallel gezeichnet : auch sind aus den Punkten i, l,n,o, Fig. 464, Perpendicular-linien aufgerichtet worden ; doch wurden sie bïoss auf der verticalen Flâche des Ecksparrens, Fig. 467 gezeichnet, woselbst sie mît den nâmlichen Buch-staben bezeichnet sind. Die aus den âussersten Punkten dieser letztern Linien aufgerichteten Per-pendicularlinien haben auf dem von unten darge-steïlten Ecksparren die zur Zeichnung der Verbindungen t, u, und der Kante v erforderlichen Punk’te gegeben.
  - Erweiterte Vorstellung, Fig. 168 , wegen ihrer Gestalt Egge genannt.
  - 112. Diese Art der Zeichnung, welche in der Baukunst sehr hâufig vorkommt, hat den Vortheiï dass sie die beiden betreffenden Dimensionen eines Gegenstandes zugleich darstellt, wâhrend die übri-gen Arten bïoss eine einzige enthalten, und die andere verkiirzt angeben. Sie giebt daher vorzüglich Mittel an die Hand, um bei einem jeden unter den zu einem Ganzen gehôrigen Hôlzern die wesent-lichen Erfordernisse zu zeichnen. Und ohnerachtet wir dieseïbe bereits schon im Abschnitt II erklârt haben, so wollen wir hier das Wesentlichste der-selben wiederholen, damit der Leser sowohl von der Anordnung der Zeichnung als auch von ihrer prak-tischen Anwendung bei den verschiedenen zu einem Dachstuhle gehôrigen Hôlzern , so wie endiich von dem Schnitte und der Zusammensetzung dieser Hôlzer einen richtigen Begrifferhalte.
  - made in the side’s rafter ought to be equal to thc part reserved in the hip, with regard tq the shape and volume. f
  - 109. The Fig. 465 shows the one of the faces of the king-post, p; the one of the end’s rafter, between the lathing-Iine sf and the ceiling-line gl; the face of its tenon, bcdl; its buttment, a, and neck, L To drawthe edge of the its framing with the hip [uncheeking], take off, in the Fig. 464, the distance between the point j and the straight cd, which is caîled drawing-back, and put, in the Fig. 465, from the king-post’s axis at the point y, through which draw the straight jj parallel to the axis, and thus are performed ail the details which are visible when one looks for the vertical face of the rafter. But inside of this design we also hâve drawn the pined under-face. Through the points a,c,d, l,f,j, the perpendiculars raised to sf give the shape of the tenon shown on its depth, and two joints h and i. The mortise of the strut x lias been drawq in the same manner.
  - 110. The Fig. 466 shows for the side’s rafter the same details resulting of the like draught in regard to the side’s rafter. The same method lias been used for tracing the buttment, tenon and mortise of the strut. We wiïï only observe that, in this figure, qq1, the shore of the latéral joint [un-necking], oo, the hollow edge of the same joint, are parallels to the axis, brought from the points o and q of the Fig. 464.
  - 111. The Fig. 467 shows also the upper-fra-ming of the hip [unmouthing and double unnec-king ]. Sc, the axis, and mm!, the edge of the king-post, are raised perpendicularly to f c, through the points c and m of the Fig. 464 : then has been drawn the hip’s inclination, c' S [shelving]; and parallely to c' S, de[unlarding], fg [groovingj, h i [lovering] of the same timber. Are brought also perpendiculars, but only on the vertical face of the hip, Fig. 467, through the points i,l,n,o, of the Fig. 464; and they are stamped with the same letters. The ones risen from the utmost points of these ïatter, fix on the hip, looked on its under-face, what it needs to draw the straights v [unmouthing], and t,u [unneckings].
  - Extenis Description [ledgement, display]. Fig. 168.
  - 112. This kind of description is very much used in the practice, because it has the advantage of showing the both real measures, of which singular one is shown in each of the other descriptions, whilst the other dimension is always shorted there : it thus offers a great easiness to draw the particular details of every timbers which are to compound a whoïe whatever ; and aïthough it has been already ex-pïained (II.n<î section), we will here give again the head principles of it, in order that the reader may percéive the primitive construction, and the prac-ticaï application of the draught for every timbers which corne into a framed truss, and of their cuttings and framing.
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- - pans la Fig. 468, ïa ligne A f a été faite égaïe à ïa ligne de trave de ïa croupe, base de ferme de long-pan F K de ïa Fig. 456, avec ïe compassement d’empanons existant sur F H, Fig. 451 ; ïa perpendiculaire HS, élevée sur son milieu, est le 'chevron de croupe fs, Fig. 458 : ainsi ïe triangle A S f est l'extension de la croupe ; A S et f s, les longueurs réeïïes des arêtiers. A F a. été de même faite égaïe àîa base de ïa demi-ferme de croupe FA, Fig. 45J, et FS lui est perpendiculaire, parce quelle est égaïe au chevron deïong-panFS, Fig. 456, en sorte que A FS est l'extension de l’un des ïongs-pans. Nous avons annexé, comme auxiliaires à cette figure, ïa forme de long-pan, Fig. 469, celle d’arêtier, Fig. 414, et celle de croupe, qui y est mise en rapport, Fig. 410, dessinées en coupe au milieu de leurs épaisseurs. On y voit l’occupation des tenons dans ïes mortaises , qui ne sont représentées qu’en pénétration aux Fig. 456, 451, 458 et 459 : d’ailleurs cette disposition ïes rend propres à faire concevoir nettement ïe tracé des coupes en empa-non sur la herse, et ïes propriétés des lignes transversales [traversantes] et des verticales [des aplombs], qui sont d’un usage si fréquent dans ïe trait, et qui, n’étant pas exposées clairement dans ïes auteurs ni par ïes maîtres, ne sont pour les ouvriers qu’une routine aveugle, qui parfois ïes conduit à faire des fautes dont ils ne peuvent pas s’apercevoir.
  - 113. Les surfaces des empanons et chevrons, tant de coupe que de ïong-pan, contenus dans ïa Fig. 468, sont celles qui appartiennent à la surface du lattis ; en sorte que AF et AH sont ïes lignes d’about inférieur, et que g, i,j, et k, l, m, sont celles des abouts supérieurs : il est entendu que ïe point g-a été renvoyé du point/ de ïa Fig. 410, en faisant S g égaïe à s / Pour tracer ïes surfaces opposées des mêmes pièces (celles du lambrissage), on observera, 1.°que, pour ï’extrémité inférieure, ïe point G,* Fig. 469, appartient à la ligne de gorge du chevron et des empanons du ïong-pan ; en sorte qu’une parallèle à AF, menée par ce point, serti leur ligne de gorge; et de même, g, Fig. 410, appartenant à ïa ligne de gorge du chevron et des empanons de croupe, iï suffit de mener par ce dernier point une parallèle à A f ; ou, si la Fig. 410 n’était pas établie en rapport avec ïa herse, comme nous avons mis celle-ci, il faudrait par ïe point g mener une perpendiculaire g b à fs, et transporter îb de H en c, Fig. 468. On a donc ainsi en deux traits ïes gorges, ïes amaigrissemens [ïes pas], de tous ïes chevrons et empanons ; et il est même bon de remarquer que la seconde de ces opérations n’est utile que comme vérification de ïa première, et que ï’une ou ï’autre indifféremment suffit pour tout : car ces deux lignes de gorge doivent aboutir en un même point de l’arête A S, point sur lequel tournent, dans le mouvement par lequel ïes deux pans de couverture s’abattent sur ïe plan horizontal, les deux lignes horizontales qui seraient ïes intersections des surfaces de lattis par ïes faces intérieures prolongées des plates-formes. 2.° Que, pour ï’extrémité supérieure des mêmes pièces, ïe point H, Fig. 469, appartient à ïa ligne de gorge du chevron de ïong-pan ; de sorte qu’on aura cette ligne par une perpendiculaire Hn, abaissée de ce point sur FS; d, Fig. 410, appartenant de même à ïa gorge du chevron de croupe, en menant d e perpendiculaire à f s, et en reportant s e ou fe, ou b e, à ïa Fig. 468, en S h ou H h , ou c h, on aura sa ligne de gorge par ïe point h. Enfin, pour ïes empanons, comme ïa hauteur verticale de leurs commissures avec ïes faces de l’arêtier [de l’occupation] est ïa même que celle des chevrons, ou même de ï’arêtier avec le poinçon, on a déjà en m H, Fig. 469, cette hauteur verticale, et aussi ïa perpendiculaire H n terminée en w à la surface du lattis; on a aussi en l, Fig. 468, ïe point supérieur de la commissure du chevron de ïong-pan avec ïa face verticale de l’arêtier. Si ï’on porte la longueur m n de / en o, et que par le point o on mène ïa droite o p parallèle à k l, cette ligne donnera à la surface du lattis ïes gorges [ïe démai-
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  - In Fig. 468 ist die Linie .A f, derStuhlwandlinie des Waïmens gleich gemacht worden, welches die Basis vom Binder der ïangen Dachseite F K, Fig. 456 ist ; die Angabe der Schiftsparren ist nach F H, Fig. 451 geschehen. Die auf der Mitte aufge-richtete Perpendicuïarïinie HS ist der Waïmen-sparren fs, Fig. 458; so dass aïso das Dreieck AS f die erweiterte Vorstelïung des Waïmens ist ; A Sund fs sind die wahren Lângen der Gradsparren. A F ist ebenfaïls der Basis des Iiaïben Waïmen-binders FA, Fig. 451 gïeich gemacht worden ; FS ist mitdemseïben perpendicuïar, weiï dieseLinie dem Sparren an der ïangen Dachseite F S, Fig. 456 gleich ist ; so dass aïso A FS die erweiterte Vorstelïung der einen ïangen Dachseite ist. Dieser Figur ist noch der Binder an der ïangen Dachseite , Fig. 469, so wie der Gradsparrenbinder, Fig. 414 , und der Waïmenbinder 410 aïs zugehôrig beigefügt worden. Sie sind sàmmtlich im Durchschnïtt und von der Mitte der Dicke gezeichnet. Wir sehen da-seïbst auch die Zapfen in ihren Lôchern, weïche in den Fig. 456, 451, 458 und 459 bïoss aïs Oeff-nungen angegeben sind. Aus dieser Anordnung er-Iiaït man übrigens noch einen deutlichen Begriff von der Zeichnung der Schiftsparrenschnitte auf der • Egge , so wie von den Eigenschaften der schràgen und verticalen Linien , weïche in der Stéréotomie hàufig vorkommen, und weïche der Arbeiter, weiï sie so seïten deutïich erkïârt werden, gewôhnïich bïoss mechanisch hefolgt und soïchergestaït sehr oft ohne sein Wissen Fehïer begeht.
  - 113. Die in Fig. 468 enthaïtenen Seiten der Schift- und Hauptsparren, und zwar sowohï die des Waïmens aïs der ïangen Dachseite, sind von der Seite des Lattenwerks genommen ; so dass A F und A H die untern Enden , und g, i,j und k, l,m, die obern anzeigen; wobei der Punkt g-aus dem Punktef Fig. 410 herübergetragen worden ist, und Sg= sf. Bei der Zeichnung der entgegengesetzten Seiten der nâmïichen Hôlzçr (weïche zur Verschaïung ge-hôren ) bemerke man, dass 1.° bei dem untern Ende der Punkt G, Fig. 469, zur Kehlïinie der an der ïangen Dachseite befindïichen Haupt- und Schiftsparren gehôrt ; so dass eine mit A F paraïïeï ïau-fende Linie, weïche durch diesen Punkt geführt wird, die Kehlïinie derseïben giebt. Bei dem Punkte g, Fig. 410, weïcher zur Kehlïinie der Waïmen-sparren gehôrt, braucht man bïoss eine mit A f pa-ralïeï gehende Linie durch diesen ïetztern Punkt zu ziehen ; befânde sich aber die Fig. 410 in Bezug auf die Egge nicht in dem nâmïichen Verhâltnisse wie die gegenwàrtige , so müsste man durch den Punkt g eine mit f s perpendicuïare Linie g b ziehen, und f b von H nach c, Fig. 468 tragen. Auf diese Weise erhàlt man in zwei Linien die Kehïen und Kanten zu sàmmtïichen Haupt- und Schiftsparren, wobei wir noch bemerken , dass die zweite Operation bïoss zum Beweise der ersten dient, und dass es gïeichgüïtig ist, ob die eine oder die andere an-gewendet wird ; denn diese beiden Kehïïinien müs-sen bis zu einem und demseïben Punkte der Kante AS gehen. Um diesen Punkt drehen sich , wenn die beiden Dachseiten sich auf den horizontaïen Plan umïegen , die beiden horizontaïen Linien, an weïchen sich die Fïâchen des Lattenwerks mit den innern und verïàngerten Fïàchen der Mauerïatten durchschneiden ; dass 2.° bei dem obern Ende derseïben Hôïzer der Punkt H Fig. 469, zur Kehlïinie des Sparrens an der ïangen Dachseite gehôrt ; so dass man diese Linie durch eine Perpendicuïarïinie H n erhàlt, weïche von diesem Punkte auf FS herabgezogen wird; d, Fig. 410 gehôrt zur Kehlïinie des Waïmensparrens, weïche Linie man durch den Punkt h erhàlt, wenn man de mit fs perpendicuïar zieht, und se oder îe, oder be, Fig. 468, nach S h, oder H h, oder c h trâgt. Da bei den Schiftsparren die verticale Hôhe ihrer Verbindung mit den verticalen Fïâchen des Gradsparrens die nâmïichc ist wie die der Sparren oder seïbst des Gradsparrens mit der Giebeïsâuïe, so hat man bereits in m}d,Fig. 469, diese verticale Hôhe, so wie auch die Perpendicuïarïinie H n, weïche bis zu n am Latten-werke geht ; ferner hat man in l, Fig. 468, den obern Punkt, an welchem der Sparren an der ïangen
  - In the Fig. 468, the straight A f is done equat to the trave-ïine of the end, the basis of the side’s truss F K of the Fig. 456, with the apportion-ment of the shorted raftersbeing on F H, Fig. 457; the perpendicuïar HS, on its middle point, is thé end’s rafter fs of the Fig. 458: thus the triangle ASf is the extension very real of the end; AS and fS, the real ïength of the hips. A Fis aïso doue equaï to the base of the haïf truss of the end, FA, Fig. 451 ; and FS is perpendicuïar to it, being equaï to the side’s rafter FS, Fig. 456; thus J FS’ is aïso the reaï extent of the one of the sides. We hâve annexed, as auxiïiary to that figure, the side’s truss, Fig. 469, the hip’sone, Fig. 411, and.theend’s one, which is put in regard with ail the others, Fig. 410: are aïï drawrn as cuts made in the middle depth of the timbers. One sees there the tenons into their mortises, what in the Fig. 456,151, /étfand 459 is shown onïy in pénétration : besidesa sucli disposai o fiers a great easiness to pïainïy perceive the draughts of the shorted rafters [on ledgement]> and the properties of the transverse-lines and of the vertical on es/levels J, which are so mostusedih the draught, and which, being unplainïy exposedhy thewriters and masters, are nothingfor theworkmen but a bïindest rote which often induces them into faïïs they can’t perceive.
  - 113. The faces of the rafters shown in the Fig. 468 are the ones beïonging to the lathing roof’s surface : thus A F and A H are the inferior buttment-ïines ; g, i,j, and k,l,m, the superior ones : it is understood that the point g has heen sent back from the point / of the Fig. 50, by S g done equaï to s/. To trace the facing surface [ceiling], it is to be observée! that, 1.°as for under-end, the point G, Fig. 469, beïongs to the neck-ïine of the side’s rafters and shorted rafters : thus a paraïïeï to AF drawn through this pointshallhe their neck-line. On the same reasôn, the point g, Fig. 410, beïonging to the neck-line of the end's rafters, the straight A f, drawn through it, shallbe their one ; and, ifthe Fig. 410 couïd not be pinned to the ledgement, as in the plate, a perpendicuïar g J to f s shouïd be drawn through the point g, and f b car-ried from H at c, Fig. 468. Thus a double straight gives for ail the rafters and shorted rafters, eitherof the end or sides, the buttments, the heels, the cuts [ihe ungreasings]; and yet it is to be remarlced that the ïatter of these draughts does not hâve usefulness but to verify the other, onïy one of them being quite sufficient to the whoïe : and indeed these two neck-ïines ought to end on the same point of the edge A S, the point on which, in the rotative motion with which the two contiguous roofîng panes fall down on the horizontal ïedgement’s plane, turn round the two horizontal lin es which couldbethe intersections of the lathing surface with the vertical interior faces lengthened of the waïï-pïates. V As for upper-end of the same timbers, the point H, Fig. 469, beïongs to the neck-ïine of the side’s rafter; so that a perpendicuïar H n, ïet down from this point on FS, is the neck itself of it: and d, Fig. 410, beïonging aïso to the neck of the end’s rafter, by tracing de perpendicuïarïy to fs, and carrying se, or (e, or be, onthe Fig. 468, at S h, or H h, or ch, the neck-line shaïï be drawn through the point h. At ïast, as for the shorted rafters, as the vertical height of theirs joints with the hip’s vertical faces is equaï to the one of the rafters or the hip itseïf with the king-post, one has aïready this vertical height in wH, Fig. 469, and aïso the perpendicuïar H n, which ends at n on the lathing surface, and aïso in l, Fig. 468, the superior point of the joint of the side’s rafter with the vertical face of the hip. Thus carry mn from l at o, and draw the straight op, paraïïeïy to kl: that fine shaïï givein the lathing surface the necks of the side’s shorted rafters [ungreasings]. We hâve aïike in i the superior point of the joint of the end’s rafter with the hip; thus, carrying the ïength fe, Fig. 110,from
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- - glissement des empanons de lông-pàn. 0.n a pareillement en i le point supérieur do la commissure du chevron de croupe avec l’arètier : si Ion reporte de ce point en q la longueurf e de la Fig. 170, et que par le point q l’on mène q r, parallèle à ij, cette dernière donnera aussi à la surface du lattis les gorges [le démaigrissement] des empanons de croupe. Au lieu de reporter aiq^i le démaigrissement déjà tracé sur chaque demi-ferme, on peut le tracer immédiatement sur la herse elle-même, comme il suit : si à côté d’un empanon, a, par exemple, on trace à son arête s t une parallèle uv, qui en soit distante de l’épaisseur de l’empanon ( qu’on fasse paraître l’épaisseur), et que du point t comme centre, avec f d pour rayon, on trace un petit arc x y, la ligne tu sera la vraie hauteur de la commissure, et le point u, étant renvoyé perpendiculairement h uv, donnera en z un point qui se confond avec la ligne q r, parce que les triangles rectangles t zu,f e d, ayant leurs hypoténuses égales, et les côtés zu et de égaux aussi, sont égaux en tout.
  - t)n peut avoir plus simplement encore cette ligne ‘de gorge supérieure, en menant, Fig. 157, des joints de gorge du pied de l’arêtier, les perpendiculaires 1, 2, 3,4, reportant les distances F1, F 4, Sur la herse de A en j' et en F, et y élevant les perpendiculaires k1 p1 et j' r' sur les lignes de gorge inférieures. En effet, si l’on disposait des empanons sur les lignes 1,2, 3, 4 du dérasement, Fig. 157, les points de gorge du pied de l’arêtier 2,3, appartiendraient en même temps aux lignes de gorge tant supérieures qu’inférieures des empanons : ainsi les points p' et r, Fig. 168, des lignes dé gorge inférieures, appartiennent aussi aux lignes de gorge supérieures, et suffisent pour les tracer.
  - Observation. Ces procédés supposent que tous les empanons et chevrons ont respectivement les épaisseurs nécessaires pour occuper la largeur qui a été déterminée en dévoyant l’arêtier, soit pour chaque plate-forme, soit pour les faces verticales de l’arêtier; mais, si tous les bois n’avaient pas cette épaisseur, il faudrait employer dans le tracé la moindre des épaisseurs de chacune des deux sortes de pièces, et qu’on regarderait comme la jauge pour cette sorte. Alors, par le trait du démaigrissement de chaque pièce en particulier, comme il a déjà été expliqué (n.° 85, sect. IV), sur chaque face verticale on tracerait d’abord une ligne longitudinale pour la réduire, à partir de la face du lattis, à l'épaisseur prise pour jauge ; puis, en renvoyant à l’équerre sur les faces verticales la ligne de gorge donnée par le procédé, on tracerait la coupe sur chacune de ces faces par le point d’about et par l’intersection de ce renvoi avec la ligne de jauge.
  - 114. Dans la Fig. 169, les transversales CF, Y Y", 21 Z ", P P', ainsi que les points O', L', ont été reportés de la Fig. 156, et donnent, sur la ligne milieu de l’arbalétrier ou chevron de long-pan F S les mêmes points qu’on avait sur FS, Fig. 156. Si par tous ces points ainsi obtenus sur F S, Fig. 169, on mène des droites parallèles à FA, Fig. 168, elles donneront sur l’arête A S les mêmes points qu’on avait eus surfs, Fig. 159, et qui, renvoyés sur l’autre arête f S, au moyen de parallèles à A f, y donnent les points correspondans Y', Z', L', O', &' et P, qui peuvent servir à tracer la coupe de larêtier Fig. 171, et le détail des pièces qui en composent la demi-ferme.
  - Ce tracé étant exécuté sur une matière flexible, si on le coupe selon le périmètre SCFA (CS, et qu’on y fasse un pli sur chacune des lignes S F,
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  - Dachseite mit der verticalen Flâche des Gradspar-rens verbunden ist. Tràgt man m n von l nach o, und zieht durch den Punkt o, die gerade Linie op parallel mit k l; so giebt diese Linie am Lattenwerke die Kehlkanten zu den Schiftsparren an der langen Dachseite. Eben so erhâlt man in i den obern Ver-bîndungspunkt des Walmensparrens mit dem Grad-sparren , wenn man von diesem Punkte die Lange fe, der Fig. 17O, nach g tràgt, und durch diesen Punkt die Linie q r mit ij parallel zieht ; diese letz-tere Linie giebt zugleich auch am Lattenwerke die Kehlkanten zu den Walmenschiftsparren. Anstatt die Kehlkanten, welche bereits auf jedem halbenBin-dergezeichnetsind, auf angegebeneWeisezurückzu-tragen ; so kann man sie sogleich auf der Egge selbst foïgendermaasen zeichnen : wenn man neben einem Schiftsparren, z. B. a, eine mit seiner Kante s t parallèle Linie uv zeichnet, welche um die Dicke des Schiftsparrens davon absteht (man bemerke die Dicke ) , und aus dem Punkte t, aïs Mittelpunkt, einen kïeinen Bogen x y, welcher fd zum Radius erhàlt, beschreibt ; so giebt die Linie tu die wahre Hôhe des Verbindungspunktes, und da der Punkt u perpendicular mit u v zurückgetragen worden ist, so giebt er in z einen Punkt, welcher sich mit q r verschmilzt, weil die rechtwinkeligen Triangel tzu, fed, deren Hypothenusen sowohl als Seiten zu und d e gleich sind, sich auch in aliéna gleich sind.
  - Diese obéré Kehllinie erhàlt man noch leichter wenn man in Fig. 157, aus den untern Kehl-punkten des Gradsparrens die Perpendicularli-nien 1 , 2, 3,4, zieht ; und die Abstânde F1, F 4 , auf der Egge von A nach j1 und nach k1 zu-rücktrâgt, und daselbst die Perpendicularlinien k1 p1 und j‘ r auf den untern Kehllinien aufrichtet. Legte man auf den Linien 1,2, 3, 4 der flachen Mauer, Fig. 157, Schiftsparren an, so gehôrten die Punkte 2 und 3 des Gradsparrenfusses sowohl zu den untern aïs den obern Kehllinien der Schiftsparren : diesem zufolge gehôren die Punkte p1 und r‘, Fig. 168 der untern Kehllinien ebenfalls auch zu den obern Kehllinien, und sind zur Zeichnung derselben hinreichend.
  - Anmerkung. Hierbei wird vorausgesetzt , dass sâmmtliche Haupt- und Schiftsparren die nôthige Dicke haben um die Breite einznnehmen, welche durch Wendung des Gradsparrens festgesetzt worden ist, und zwar sowohl für jede Mauerlatte als auch für die verticalen Flâchen des Gradsparrens. Wâren diese Hôlzer aber nicht von einerlei Dicke, so müsste man in der Zeichnung diejenige nehmen, welche bei jeder von diesen beiden Arten Hôlzern, die geringste Wâre, und welche für diese Art zum Maasstabe diente. Man zeichnet sodann nach Maas-gabe des Abschnitts IV, n.° 85 , für das Abkanten eines jeden einzelnen Holzes, auf jeder verticalen Flâche, von dem Lattenwerke an , zuvôrderst eine Linie um dem Holze die als Maasstab angenommene Dicke zu geben; versetzt sodann die aus obiger Ver-fahrungsweise erhaltene Kehllinie auf die verticalen Flâchen, auf denen man bei jeder den Schnitt durch den Endpunkt so wie durch den Punkt, an welchem sich die Versetzung mit der Maasstablinie durch-schneidet, zeichnet.
  - 114. In Fig. 169 sind die schrâgen Linien CF, Y Y", 21 Z", P P', sowie die Punkte O', L', aus Fig. 156 herübergetragen, und geben auf der Mit-tellinie der Stuhlsâule oder an dem zur langen Dachseite gehôrigen Sparren FS, die nâmlichen Punkte, welche man auf F S, Fig. /^erhalten hatte. Führt man durch diese solchergestalt auf F S Fig. 169 erhaltenen Punkte, gerade mit FA, Fig. 168 parallel gehende Linien ; so geben dieselben auf der Kante A *Sdie nâmlichen Punkte, welche man auf fs, Fig. 159 erhalten hatte, und welche, wenn sie auf die andere Kante fS, vermittelst gerader mit A f paralleler Linien versetzt werden, daselbst die cor-respondirenden Punkte Y', 21, L', O', &' und P geben , welche zur Zeichnung des Gradsparren-schnittes, Fig. 171, so wie zur Bestimmung der zum halben Binder gehôrigen Hôlzer dienen kônnen.
  - Diese Zeichnung wird auf einer biegsamen Ma-terie ausgeführt. Durchschneidet man dieselbe nach dem Umkreise SCFAîCS, undmacht auf jeder
  - i at q , and tracing q r paraïïely to i j, this straight q r shaïl be, on thelathing surface, theneck-line [un-greasing] of the shorted end’s rafters. Instead of carrying in a such manner the ungreasing aïready drawn in each half-truss, one can draw it immedia-tely on the ledgement itself so : inside of a shorted rafter, a, for instance, trace u v paraïïely to its edge st, and at the same distance as is rafter’s depth (shew the rafter’s depth); from the point t, as center, withfd as radius, trace the smallest arc xy; you shall hâve in tu the true vertical hcight of the joint ; and u drawn perpendicuïarly to u v wiïl give in z a point which is necessarily on the straight qr, sincethe rectanguïar triangles tzu, fe d, having their hypoténuses equal, as welï as the sides zu and de, are quite equal.
  - This upper neck-line ôf the shorted rafters can be obtained yet more simpïy, by lifting, Fig. 157, from the neck-points of the bip, the perpendicuïars 1,2, 3, 4 ; carrying the distances F1, F4, on the ledgement from A at f and k1, and lifting up again there the perpendicuïars k!p' and j' r on the inferior neck-Iines. And indeed, if one would dispose shorted rafters along the lines 1,2, 3,4 of the waïl-pïates, Fig. 157; the bips neck-points 2,3, couïd belong the same time to the rafter’s neck-ïines, either inferior, or superior : thus the points p1 and r1, Fig. 168, of the inferior neck-lines, belong also to the superior rafter’s necks, and suffice to draw them.
  - Remark. Those methods suppose that ail the rafters hâve respectiveïy the depths abîe to occupy the breadths deterrnined in deviating of the hip, either on each waïl-plate, or on the vertical faces of the hip itself : but if some rafters did not hâve these respective depths, you ought to employ for thedraught the less of the depths of each rafter’s kind, and to look on it as the size [gage J for this kind ; then, as already (n.T 85, section IV) it bas been explained, for the particular draught of each timber, you shall draw first on both the vertical faces a longitudinal line, for reducing it at the gages depth; and, after having sent back with a square, on the vertical faces, the neck-line given by the method, you shall trace the end’s cuts on each of those vertical faces through the abutment’s point and the meeting of the gages line with the neck-line sent back.
  - 114. In the Fig. 169, the transverse lines CF, Y Y", 21Z ", P P', as weil as the points O', L', hâve been carryed from the Fig. 156, and give, on the middle line of the side’s rafter FS, the same points which are on F S, Fig. 156. If, through ail the points obtained so on FS, Fig. 169, you would bring straights parallel to FA, Fig. 168, they shall give on the edge AS the same points you hâve on fs, Fig. 159, and which, being sent back on the other edge iS, by means of parallels to A f, give there the corresponding points Y', Z',L', O’, &' and P, which can be used for drawing of the hip’s eut, Fig. 171, and ali the details of the timbers which compound the half-truss of it.
  - That draught being made on a flexible matter, and eut along the out-Iine SCFAîCS, if one would make a fold on each of the straights S F,
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  - SA, Si, lesommet commun S des quatre triangles s elevera à mesure qu’on effectuera ces plis, et que les deux lignes CS des Fig. 469 et 474 s’approcheront l’une de l’autre ; et, quand ces deux lignes se confondront en une seule verticale, les quatre autres lignes du périmètre formeront un plan qui sera la base de la portion décrite du comble. En examinant cette pyramide, on reconnaîtra, l.° que les points Y", Z", &, P de la ligne SC de la Fig. 469, se confondent avec ceux qui sont désignés par les mêmes lettres sur SC, Fig. 474; 2.° que les droites menées de chacun de ces points parallèlement aux divers côtés de la base de la pyramide sont de niveau et à même hauteur verticale dans les quatre surfaces, en sorte quelles forment le périmètre d une coupe horizontale faite à chacune de ces hauteurs dans la pyramide; 3.° et que, cependant, en chacune des deux parties de la Fig. 468, l’espacement de ces lignes est différent, et encore plus différent de celui qui a lieu entre les lignes analogues dans les Fig. 469 ?ct 470.
  - 115. Les configurations des esseliers Y, v, des Fig. 456 et 458, rapportées Fig. 469 pour le long-pan, et Fig. 470 pour la croupe, sont aussi les élémens de l’extension [herse] d’une pyramide -tronquée qui sert pareillement à tracer les coupes et assemblages desdits esseliers, soit qu’on les représente vus par-dessus, comme dans la Fig. 472, ou vus par-dessous, Fig. 473. On portera donc la longueur 1, 18 de la Fig. 470, de 1 à 18 sur la droite 1,37, Fig. 472. ; et l’on élevera la perpendiculaire 18, 36, qu’on fera égale à 36,37 delà Fig. 468, et sur laquelle on reportera le compassement des esseliers : on tracera 1, 36 et les deux lignes qui lui sont parallèles, espacées comme à la Fig. 468, et représentant ï’esselier d’arêtier ; et l’on aura ainsi le triangle de la demi-coupe. Reportant ensuite sur la ligne 1,37 les points remarquables de la ligne 1, 18, supérieure de Ï’esselier de la croupe, Fig. 470, savoir, 3, 6, 7, 10, 11, 44, 15 et 18, et menant par ces points reportés des parallèles à 18, 36, celle du point 6 sera la ligne d’about, 10 donnera la ligne de gorge, et les lignes menées par 3 et 7 serviront pour désabouter le tenon de l’assemblage sous les entraits. Les points 11, 14, 15 et 18 donneront les mêmes détails pour tracer l’assemblage dans les empanons ou chevrons de croupe.
  - On formera de la même manière le triangle du long-pan, en faisant 1, 35, et 35, 36, respectivement égales à 19, 32, et 32, 36 de la Fig. 469, appliquant sur la Fig. 472 le compassement des empanons qui a lieu pour le long-pan dans la dernière figure, et reportant sur 1, 35 les points 20, 23, 24, 27, 28, 31,32 et 35 de la ligne 19, 32, Fig. 469.
  - La Fig. 473 contient le même tracé, tout en présentant les esseliers vus par-dessous, en sorte que les détails de leurs assemblages n’y sont vus qu’en pénétration, par des lignes ponctuées. Pour la former, au lieu des lignes 1,18, et 19, 32, des Fig. 469 et 470, on a employé celles des surfaces inférieures des esseliers, &, 17, Fig. 470, h, 36, Fig. 469, et ce sont les points de ces dernières lignes qu’on a reportés sur 2, 37 et 2, z, Fig. 473; sur quoi il est bon d’observer que les lignes de hauteur ou horizontales, qui se correspondent dans les deux triangles, ne coïncident pas ici en un même point de l’arête de l’arêtier comme à la Fig. 472 : c’est que l’extension décrite ici appartient à une pyramide qui a pour base un rectangle semblable au rectangle intérieur des plates-formes, tandis que c’est le rectangle formé par les lignes extérieures des mêmes plates-formes qui a donné la base de la pyramide développée Fig. 472. Or l’opération primitive qui a dévoyé l’arêtier, a déterminé pour les deux sortes de plates-formes des largeurs différentes; ce qui a entraîné, pour les deux sortes d’empanons, de che-
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  - der Linie SF, SA, Sf eine Biegung; so erhebt sichdie gemeinschaftliche Hôhe S der vierDreiecke, in dem Maasse wie diese Biegungen gemacht wer-•den, und die beiden Linien CaS, Fig. 469 und 474 nahern sich einander. Verschmelzen sich diese Linien in eine einzige Verticallinie , so beschreiben die vier andern Linien des Umkreises einen Plan , welcher die Basis zu dem beschriebenen Tbeile des Dachstuhls ist. Untersucht man diese Pyramide, so siehtman, dass l.° die Punkte Y", Z", & , P der Linie S C, Fig. 469, sich mit denjenigen ver-schmeïzen, welche auf aSC, Fig. 474, mit den nam-lichen Buchstaben bezeichnet sind ; dass 2.° die geraden von jedem dieser Punkte mit den verschie-denen Seiten der Pyramidenbasis paralleï gezoge-nen Linien an den vier Flachcn von gleicher verti-caïer Hôhe sind , so dass sic den Umkreis eines ho-rizontalen Durchschnittes bilden, welcher an der Pyramide bei jeder Hôhe gcmacht worden ist ; dass aber 3.° bei den beiden Theilen der Fig. 468 der Abstand dieser Linien bei jedem Theile verschieden, und noch verschiedener von demjenigen Abstande ist, welcher in Fig. 469 und 470 zwischen âhn-lichen Linien Statt hat.
  - 115. DieGestalt der Jagdbânder V, v, Fig. 456 und 458, welche in Fig. 469 fur die Dachseite und in 470 fur den Walmen wiederholt worden ist, macht auch einen Bestandtheil der erweiterten Zeichnung einer werstümmelten Pyramide aus , welche zur Zeichnung der Schnitte und Zusammen-setzung dieser Jagdbânder ebenfalls dient, siemôgen nun wie in Fig. 472 , von oben , oder wie in Fig. 473, von unten dargestelït seyn. Trâgt man also die Lange 1, 18 der Figur 470, von 1 nach 18 auf der Linie 1, 37, Fig. 472', und richtet die Perpendicularlinie 18, 36 auf; macht sie gleich 36,37, Fig. 468, und trâgt darauf die Zirkelweite der Jagdbânder ; zeichnet ferner 1,36, nebst den beiden mit denselben paraïlei laufenden Linien , welche sich in dem nâmlichen Abstande wie in Fig. 468 befinden, und das Jagdband des Grad-sparrens vorstelïen ; so erhâït man das Dreieck des halben Walmens. Trâgt man sodann de vorzüg-lichsten Punkte der obern Linie 1, 18 , des Wal-menjagdbandes Fig. 470, nâmlich 3,6,7, 10, 11, 14, 15 und 18 auf die Linien 1, 37 , zurück, und zieht durch diese Punkte Paralleïïinien mit
  - 18, 36 ; so ist die des Punktes 6 die Endlinie, und 10 die Kehlïinie; die durch 3 und 7 gezoge-nen Linien aber zeigen den Ort wo der Zapfen unter den Spannriegeln abgeschnitten wird : die Punkte 11, 14, 15 und 18 gebendie nâmlichen Erforder-nisse zur Zeichnung der Zusammensetzungen bei den Haupt-oder Schiftsparren des Walmens..
  - Das Dreieck zu der langen Dachseite erhâït man gleichergestalt, wenn man 1, 35, und 35, 36 mit
  - 19, 32, und 32,36 Fig. 469 gleich macht, und auf Fig. 472 , wie in voriger Figur bei der langen Dachseite die Zirkelweiten der Schiftsparren an-wendet, und ferner die Punkte 20,23, 24, 27 , 28, 31,32 und 35 der Linie 19, 32, Fig. 469, auf 1, 35 zurücktrâgt.
  - Die Fig. 473 enthâït die namliche Zeichnung und stellt die Jagdbânder von unten dar ; so dass die Zusammensetzung derseïben bloss durch Oeff-nungen in den puuktirten Linien zu sehen ist. Die Darstellung derseïben ist dergestaltgeschehen, dass anstatt der Linien 1,18., und 19,32, Fig. 469 und 470, die Linien der untern Seiten der Jagdbânder &, 17, Fig. 47O; & , 36, Fig. 469 angewendet worden sind ; die Punkte dieser letztern Linien sind auf 2, 37 und 2, z, Fig. 473 zurückgetragen worden. Wir bemerken hier, dass die in den beiden Triangeïn correspondirenden Hôhen oder Horizon-tallinien hier nicht in einem Punkte der Gradspar-renkante zusammentreffen, wie in Fig. 472 ; weiï die hier beschriebene erweiterte Zeichnung zu einer Pyramide géhôrt, welche ein dem innern Recht-ecke der Mauerïatten âhnliches Rechteck zur Basis hat ; wâhrend das von den âussern Linien der nâmlichen Mauerïatten gebiïdete Rechteck die Basis zu der in Fig. 472 ausgeführten Pyramide gegeben hat. Es hat daher die Operation wodurch der Grad-sparren gewendet wurde, fur beide Arten Mauer-
  - SA,Sï, the coramon top S of the four triangles shall rise according to be effected those folds, and to be approaching towards each other the two lines C S of the Fig. 469 and 474 ; and, when both the lines shall be confounded in a same vertical one, the four other straights of the out-line shall forma plan, the true basis of the part drawn of the roof. In consider* ing the pyramid which resuïts whence, one shall be convinced, l.rst that ail the points of the line a^C, Fig. 469, Y", Z", &,P, are confounded withthe ones of the Fig. 474, which are stamped withthe same ïetters ; 2.dly that the straights brought through those points paraïlely to every side of the basis of this pyramid, are on a leveï, at the same vertical height on each o'f the four surfaces, so that they form the outline of an horizontal section made in the whole pyramid at each of those various heights; 3.dly, and that nevertheless, in both the parts of the Fig. 468, the distance of these contiguous lines is different, ami yet more unequally with the one which appears between the anaïogous lines ontheFg. 169 and 470.
  - 115. The shapes of the braces V, v, Fig. 156 and 458, transferrecl on the Fig.. 400 for the side, and on the Fig. 470 for the end, are also the déments of the extension [leclgement] of a maimcd pyramid, which is alike used for drawing the cuts and framings of those braces, either 011 the lathing face, as int the Fig. 472, or in the ceiling’sside, Fig. 473. Thus one may carry the length 1,18 of the Fig. 470, on the straight 1, 37, Fig, 69, from 1 at 18 ; raise the perpendicular 18,36,donc equaï to 36, 37, of the Fig. 468, and on it carry the apportionment of the braces ; draw 1,36, and two its paralleïs clistanced according to the Fig, 168, and showing the hip’s brace : in a such manner, the triangle of the haïf-end shall be drawn. Then, car-rying on the straight 1,37, the remarkable points of the line 1, 18, the superior one of the ends brace, Fig. 470, viz, 3,6,7,10,11,14,15and 18 , and bringing through those transferred points straights paralleï to 18, 36 ; the one of the point 6 shall be the buttment’s line; 10 shall give'theneck’s line; the ones drawn through 3 and 7 shall be used for cutting the end of the tenons at the framing beneath the collar [unending]. The points 11,14,
  - 15 and 18, shall give the same details for the draught of the framing withal the end’s rafter,
  - The side’s triangle shall be done in the same manner by making 1,35, and 35, 36, respectiveiy equaï to 19, 32, and 32, 36 of the Fig, 169, appïying on the Fig. 472 the apportionment of rafters which belongs to the side, and carrying on 1,35, the points 20,23,24,27,28,31,32,35, of the line 19, 32, of the Fig. 469.
  - The Fig. 473 shows the same details, but traced on the inferior face of the braces; thus, theirframings are seen only in pénétration, by themeansof dotten lines. To form a such draught, instead of the lines 1,18, and 19, 32 of the Fig. 469 116, hâve been used the ones of the inferior faces of the braces, &, 17, Fig. 470; &,36, Fig, 469;and the points of those latter lines hâve been carried on 2,37, and 2, z, Fig. 473 : on what it is to Le obser-ved that the lines of height, or the horizontal lines which correspond to each other in the two triangles, dont coïncide here in a same point of the hip’s edge as in the Fig. 472; and indeed the extension repre-sented here belongs to a pyramid whose hase is a rectangle alike to interior one of the wall-plates, whilst the extent shown in the Fig. 472. belongs to a pyramid of which base is alike to the exterior rec-tangled parallelogram of the wall-plates. Now the primitive operation of deviating the hip has deter-mined for both the kinds of wall-plates two different breadths, what has induced for each kind of rafters and braces diverse depths : then the lines of height
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- - vrons et d’esseïiers, des épaisseurs différentes. Les lignes de hauteur dont il est ici question ont bien un point réel de coïncidence, mais c’est sur barète intérieure de recreusement de i’arêtier.
  - Le rapprochement de ces deux figures fait sentir futilité des conseils que donne Frézier, îiv. III, pag. 271> sur la disposition bien entendue des parties d’une description, et l’exactitude avec laquelle on doit y suivre les règles du dessin. On rencontre souvent des descriptions de ce genre qui sont extrêmement difficiles à concevoir, parce que les détails quelles contiennent présentent les choses vues sur une certaine face, tandis que le dessin doit montrer celle qui lui est opposée, ou quelquefois celle qui lui est contiguë; et lorsqu’à ces fautes est encore jointe celle du déplacement de la figure, la confusion devient extrême.
  - Trait particulier des Courbes, soit simples, soit angulaires (ralongéesJ, quon applique aux combles qui doivent simuler des voûtes.
  - 116. En charpenterie, on exprime par le nom féminin courbe un volume de bois auquel on a donné, sur une ou plusieurs de ses faces, des courbures exigées pour la place qu’il doit occuper dans l’ensemble cle l’ouvrage. Nous avons déjà expliqué, dans la seconde partie, celles qui appartiennent particulièrement aux escaliers; nous allons examiner celles qui sont nécessaires pour simuler un demi-berceau de voiité:<au périmètre d’un plafond.
  - Soit, Fig. 474, une partie de description horizontale faite dans la supposition que les murs de croupe et de long-pan sont d’égale épaisseur, comme l’indiquent les lignes AD G, BEF, et que les deux pentes sont égales aussi, comme le montre la ligne d’arête CD, qui ne ferait pas des angles égaux avec les deux murs, si l’arêtier était dévoyé. Sur la description verticale de l’une des fermes, Fig. 175, où la naissance de la courbe est indiquée par l’horizontale B C, on portera comme rayon de B en L la hauteur C &, et bon tracera le quart de cercle BM, sur lequel on lèvera une cerche qui servira à tracer la courbure qu’il faut donner aux courbes soit du long-pan, soit delà croupe, à leur face de doueïïe.
  - 117. Pour tracer par points la courbe angulaire [ralongée] qui correspond à l’arêtier, et qui doit être elliptique, on divisera à volonté barc B M en un nombre suffisant de parties, soit égales, soit inégales, et bon renverra chaque point de division M, P, Q, T, U, Y, B, sur la ligne d’arête, Fig. 474, en M, P, Q, T, U, Y, B, qui seront ainsi les projections horizontales des points de division cor-respondans sur la courbe d’arête, dont l’arc B M est aussi une projection verticale, mais oblique. On tracera donc une parallèle quelconque à CD, Fig. 476, par exemple Iz; on la coupera par des perpendiculaires menées de chacun des points M, P, Q, &c., et qu’on fera, pour la partie située au-delà de Iz, égales chacune à la partie de sa correspondante située au-dessus deL Z, Fig. 475, c’est-à-dire, Im=LM; 1 p=l P, &c. On aura ainsi autant de points qu’on voudra, m,p,q,t,y,b, d’un quart d’ellipse ayant M E pour demi grand axe, et L M, Fig. 475, pour demi petit axe, et sur lequel on lèvera la cerche qui servira à tracer la courbure qu’il faut donner à la doueïïe aux arêtes des faces verticales de la courbe angulaire, et aussi à l’arête rentrante de son recreusement, puisque, dans le cas particulier de cet exemple, c’est la même courbure pour toutes les trois. Cependant, pour mettre cette figure en rapport avec les suivantes, on a renvoyé chacun des points de division de la ligne d’arête, M, P, Q, &c., sur la ligne KH, pour construire séparément la courbe n p q t u y 5, appartenant proprement à l’une des faces verticales de l’arêtier.
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  - latten eine verschiedene Breite veranlasst, wodurch auch die beiden Arten von Schift-und Hauptspar-ren nebst den Jagdbândern eine verschiedene Dicke erhalten haben. Die gedachten Hôhenlinien haben zwar einen wahren Coincidenzpunkt ; allein er be-findet sich auf der innern Kante des Gradsparrens.
  - Steïït man diese beiden Figuren zusammen, so wird man sich von dem Nutzen der Grundsâtze überzeugen, welche Frezier B. III, p. 271, über die gehorige Anordnung der Theile einer Zeichnung , und über die genau zu befoîgenden Regehi der Zeichenkunst aufsteïlt. Man sieht zwar oft Zeich-nungen dieser Art, allein sie sind selten deutlich ; weil die Gegenstânde darin nur auf einer einzigen Seite dargestelltsind, wàhrend die entgegengesetzte und bisweilen die daran anstossende Seite zugleich auch mit angegeben seyn sollte. Kommt zu diesen Fehlern endlich noch die Versetzung der Figur, so ist die Verwirrung voïlstândig.
  - Besondere Zeichnung der Bügen, und zwar sowohl der einfachen als eckigen, welche bei gewôlbten Dàchern angewendetwerden.
  - 116. Man bezeichnet mit dem Namen Büge, ein Hoïz , welches, des Platzes wegen, zu dem es be-stimmt ist , an einer oder mehrern Seiten Biegun-gen erhalten hat. Nachdem wir bereits im zweiten Theile dieses Werkes diejenigen Bügen kennen ge-lernt haben, welche bei den Treppen vorkommen ; so wollen wir nunmehr diejenigen erklâren, welche zu halben Gewolbbogen am Umkreise einer Decke angewendet werden.
  - Die Fig. 474 sey ein Theil einer horizontalen Vorstellung, bei welcher angenommen wird, dass die Walmen und Dachseitenmauern nach Maas-gabe derLinien AD G, B EF einerlei Dicke haben, und dass ferner die beiden Abhànge sich ebenfalls gleich sind, wie solches aus der Kantenïinie CD zu ersehen ist; welche, wenn der Ecksparren gewendet wâre,mit den beiden Mauemkeine gleichen Winkel beschreiben würcle. Auf der verticalen Vorstellung eines der Binder, Fig. 475, Wo der Anfang der Büge durch die horizontale Linie B C bezeichnet ist, trage man aïs Radius die Hôhe C&, von B nach L; und ziehe den Quadrant B M, auf welchem man eine Lehre zeichnet, wonach die Krümmung, welche die Walmen oder Dachseitenbügen an der innern Seite erhalten solïen, ausgefiihrt wird.
  - 117. SoII die eckige Büge, welche mit dem Graclsparren correspondirt , und effiptisch seyn muss, durch Punkte gezeichnet werden, so theile man nach Belieben den Bogen BM in eine hin-reichende Anzahï gleicher oder ungleicher Theile, und trage jeden Theilungspunkt M, P, Q, T, U, Y, B, auf die Kantenïinie Fig. 474, nach M, P, Q, T, U, Y, B; sie sind solchergestalt die horizontalen Vorstellungen der correspondirenden Thei-lungspunkteaufder eckigen Büge, wovon der Bogen B M die verticale schràge Vorstellung ist. Zeichnet man sodann eine beliebige mit CD, Fig. 476, parallèle Linie, z.B. Iz; durchschneidet sie vermit-telst der aus jedem der Punkte M, P, Q, u. s. w., gezogenen Perpendicularlinien, und macht jede von diesen Ietztern , für den ausserhalb I z gelegenen Theil, dem correspondirenden, über L Z, Fig. 475 glegenen Theile gleich ; d. h. Im=LM, 1 p = IP, u. s. w., so erhàlt man die beliebige Anzahï Punkte m, p, q, t, y, b, eines EHipsenviertels, cïessen halbe grosse Axe, ME, und die haîbe Heine Axe, LM, Fig. 475 ist, und worauf man die Lehre zeichnet , nach welcher auf der innern Seite die Biegung sowohl an den Kanten der verticalen Flâchen der eckigen Büge aïs auch an der eingehen-den Kante des Ausschnitts gezeichnet wird ; indem in dem besondern Faite dieses Beispiels, es die nàm-liche Biegung für aile drei ist. Um diese Figur mit den folgenden in ein Verhâltniss zu bringen, so hat man einen jeden von den Theiïungspunkten der Kantenïinie, M, P, Q, u. s. w., auf die Linie K H getragen , wonach die Büge n p q t u y 5 , welche eigentlich zu einer der verticalen Flâchen
  - which are here spoken of, bave reaiïy a point of coincidence, but it should be in the grooved hollow-cdge of the hip.
  - By pinning so these two figures, is veryshownthe usefulness of the advicesof Frézier, booklll, p. 271, on the right disposai of the parts of a description, and the exactness with which one ought to follow the rules of the delineating. One finds often draughts of such kind, which are very hard to be perceived, the details which they show being on a certain face, whilst the design ought to show the facing, or sometimes the contiguous one; and, when to these faults is added the displacing of the figures, the confusion becomes excessive.
  - Spécial Draught of the Curves, either simple or angulary [lengtliened], applied to the roofs representing vaults.
  - 116. In carpentry, the name curve designs a timber arched in one or many its faces conveniently to the place whomit ought to occupy in the work. We hâve already explained, in the second part, the curves beïonging particularly* to the stair-cases ; and here we will consider the ones necessary to feign an half-bower of vault in a ceiling’s outline.
  - Let be, Fig. 474, a part of an horizontal description made with supposing that the walls, either of the sides, or of the end, are equally dcep, as show the lines AD G, BEF ; and that both the inclinations [shelvings] are equal also, as shows the edge-Iine CD, which might not make angles equal with both eave-Iines, if the hip should hâve been deviated. On the vertical description of a truss, Fig. 475, where the rise of the curve is shown by the vertical B C, carry as radius, from B at L, the height C&, and describe the quadrant BM, taking accordingly to it a size [cercheJ to be used for drawing the curvity to be done to the curves either of the sides, or of the end, for the sweep [intrados J.
  - 117. To draw by points the angulary curve beïonging to the hip, and which ought to be effip-tical, divide the arc BM in a whatever number of parts, either equal, or unequal, as you will; send back each of those dividing points M,P, Q,T, U, Y, B, on the edge-Iine, Fig. 474, at M,P, Q, T, U, Y, B, which thus shall be the horizontal projections of corresponding points of division for the edge-curve, of which the arc BM is also a vertical projection, but oblique. Thcn drawing a whatsoever parallel to CD, for instance, Iz, Fig. 476; cutting it by perpendicuîars raised through every points M, P, Q, &c., whose each, as to the part situated out Iz, shall be done equal to its own corrélative situated out LZ, Fig 475; viz, Im —LM, 1 p =? IP, &c. In this manner you shall hâve so many points as you will for a quarter of an eïlipsis, having M E for its half great axis, and L M, Fig. 475, for half small axis; and, according to it, you shall take the size [mould] to be used for tracing the curvity to be done at the sweep [ intrados J to the edges of the vertical faces of the angulary curve ; and also for the hollow grooved edge of it, since, in this particular case, the same curvity ought to be allow’d to these three curved edges. Yet, for likeness with the fol-lowing figures, we hâve sent back the dividing points of the edge-Iine, M, P, Q, &c. on the straight KH, for drawing asunder the curve-Iine np qtuy5, beïonging particularly to the one of the vertical faces of the hip.
  - 3.‘ Partie.
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- - S’il était exigé d’extradosser ïa voûte simulée, on tracerait, Fig. 115, Tare d’extrados Z N ; on y renverrait, par des rayonnantes du point L, les divisions de ïa douelîe, en O, R, S, V, X, et l’on emploierait de ïa meme manière les ordonnées de ces points pour construire le caïibre d’arête d’extrados n o r s v x z, Fig. 116.
  - 118. Pour second exemple, Fig. 111, 118, 119 et 180, nous supposerons que, ïa croupe étant pïus raide que les longs-pans, ï’arêtier a été dévoyé, mais que ïes murs ou pans de bois ont été faits chacun de ï’épaisseur respective déterminée par le dévoiement de ï’arêtier, comme le montrent ïes lignes A D G, B E F de la description horizontale, Fig. 111. Dans cette supposition, ïes courbes des ïong-pans seront de même circulaires, et I’anguïaire sera elliptique : on ïes tracera absolument comme dans le premier cas. Mais ïes courbes de ïa croupe devront avoir une courbure elliptique, ayant pour demi grand axe ïa montée verticale LM, Fig. 118; et l’on en tracera ïa cerche au moyen d’une projection verticale particulière, que l’on construira exprès comme ïa Fig. 180.
  - 119. Dans le troisième exemple, Fig. 181, 18.2 et 183, nous supposons, comme dans le second, que la différence des pentes a forcé de dévoyer ï’arêtier, et, comme dans le premier, que les murs sont d’épaisseur égale ; en sorte que la projection horizontale de ïa ligne d’arête CD ne passe pas parle pointé, projection horizontale de l’angle formé par ïes faces intérieures des murs. Et comme il est cependant d’usage, dans ïes voûtes d’arête, de prendre cet angle pour l’origine de ïa courbe angulaire , on mènera par ce point E une droite E M parallèle à C D, et qui, étant véritablement ïa projection de ï’arête intérieure du recreusement à faire dans ïa courbe angulaire, servira, pour en tracer le caïibre, aux mêmes usages que ïa portion EM de CD, qui a été employée dans les deux exemples précédens ; en sorte qu’il est inutile d’en répéter ici ïes détails. Mais iï est bon d’observer que, dans ce
  - • cas, ïa courbe d’arêtier n’ayant qu’une petite portion de son épaisseur sous le coyer d’arêtier, doit y être boulonnée par ïe côté, à moins que l’on n’ait réservé au coyer un bossage pour en recevoir l’assemblage supérieur.
  - 120. Fig. 184, 185,186 et 181. Dans ïes trois exemples précédens, les courbes de charpente n’ont point d’autre objet que de recevoir ïe lattis du lambrissage, et sont supposées devoir être recouvertes d’un enduit en plâtre ou blanc en bourre. Dans celui-ci nous supposons, l.° qu’iï existe un avant-corps qui entraîne deux courbes angulaires, l’une sur ï’angïerentrant,et ï’autresurfangïe saillant; 2.° que, chaque partie du demi-berceau devant recevoir des bas-reliefs ou autres ornemens, ïes faces des courbes, ainsi que celles des traverses haut et bas, doivent avoir une largeur uniforme, pour former bordure aux enfoncemens ornés.
  - Soient, dans ïa description horizontale, Fig. 184, AB CD, EFG H, ïe dérasement supérieur de l’imposte qui doit porter ïa naissance du demi-berceau; IJ KL, la projection des lignes de sommité données à la surface du plafond : les diagonales K B, J C, seront les projections des arêtes respectives, ï’une recreusée, l’autre saillante, des deux courbes. Parallèlement à chacune, et à distance arbitraire, mais égale, on a mené ïes lignes d’emprunt m n, o p, qr, s t, qui sont ainsi ïes traces d’autant de coupes verticales parallèles aux diagonales. Les commissures des courbes à'ïa naissance de la voûte [les pas ] sont indiquées par les sections a b B c d G a pour ï’angïe rentrant, ef C ghe pour le saillant.
  - Soient encore, Fig. 185, STUV,XYLZ, les profils des traverses du haut et du bas, et M, N,
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  - des Gradsparrens gehôrt, einzeln gezeichnet werden kann.
  - SoII die âussere Bogenseite beschrieben werden , so zeichnet man nach Fig. 115, den Bogen Z N ; trâgt darauf vermittelst der aus dem Punkte L aus-gehenden strahïenfôrmigen Linien, die Theilungen der innern Bogenseite nach O, R, S, V, X; und bedient sichaufdie nâmliche Weise der Ordinaten dieser Punkte um die Lehre der aussern Kante n o r s v x z, Fig. 116 zu zeichnen.
  - 118. Bei dem zweiten Faïïe, Fig. 111, 118, 119 und 180 nehmen wir an, dass der Ecksparren, weil der Walmen steiïer ist aïs die îangen Dach-seiten, gewendet worden sey ; und dass die Mau-ern oder Hoïzwânde die wegen der Wendung des Gradsparrens nôthig gewordene Dicke erhalten haben ; wie soïches in Fig. 111 aus den Linien AD G, BEF, de r horizontaïen Vorstellung zu er-sehen ist. Die Bügen der Iangen Dachseiten sind hier ebenfaïls zirkeïrund, und die eckige elïiptisch. Die Zeichnung derseïben geschieht ganz so wie im ersten Faïïe. Die Waïmenbügenmüssen jedoch eine elliptische Krümmung erhalten, weil sie zur halben grossen Axe die verticale Hôhe LM, Fig. 118 haben. Die Lehre wird vermitteïst einer besondern verticaïen Projection gezeichnet, weïche man nach Anïeitung der Fig. 180 ausführt.
  - 119. Bei dem dritten Falle, Fig. 181,182. und 183 nehmen wir an , dass wie im zweiten, wegen des Unterschiedes des Abhanges, der Gradsparren bat gewendet werden müssen, und dass, wie im ersten Faïïe, die Mauern einerïei Dicke haben, so dass die horizontale Projection der Kantenlinie CD, nicht durch den Punkt E geht, weïches die horizontale Vorstellung des von den innern Fïâchen der Mauern gebiïdeten Winkeïs ist. Und da man bei eckigen Gewôlben diesen Winkeï aïs Anfang der eckigen'Biige zu nehmen pflegt ; so ziehe man durch diesen Punkt E, eine gerade Linie EM, paraïïel mit CD ; sie wird die wahre Projection der innern Kante des an der eckigen Biige zu machenden Ausschnittes seyn, und bei der Zeichnung der Lehre eben so dienen, wie der Theiï E M von C D, weïcher bei den vorigen Beispieïen zu diesem Behufe angewendet wurde ; so dass eine nochma-ïige Beschreibung überflüssig wâre. Wir bemerken jedoch, dass hier die Biige des Gradsparrens, weil ihre Dicke* unter dem Schifter dieses Sparrens sehr gering ist, daseïbst an der Seite mit Schrauben be-festigt werden muss, eswâredenn dass man an dem Schifter einen Vorsprung zur obéra Zusammen-setzung angebracht h'àtte.
  - 120. Fig. 184, 185, 186 und 181. Die Be-stimmung der Bügen war bei den drei vorigen Fâïïen die, dass das Lattenwerk darauf befestigt wird ; auch müssen sie auf ihrer obéra Seite übergypst oder überkaïchtwerden. Bei gegenwârtigem Faïïe nehmen wir an, dass l.° ein vorderer Aufsatz vorhanden ist, weïcher zwei eckige Bügen nôthig macht, die eine am eingehenden, und die andere am vorspringenden Winkeï ; dass da 2.° an jedem Theiïe des halben Gewôïbbogens, Basreïiefs oder andere Zierrathen angebracht werden solïen, so müssen sowohï die Bügen aïs die obéra und untern Querhôïzer einerïei Breite haben , um den verzierten Vertiefungen aïs Einfassung zu dienen.
  - Es sey in der horizontaïen Vorstellung Fig. 184, AB CD, EF GH, die obéré flache Seite des Imposts oder Kâmpfers, weïcher den Fuss des halben Gewôïbbogens trâgt; IJ KL seyen die an der Decke gegebenen Hôhenïinien. Die Diagonaïlinien K B, JC seyen die beiden respectiven Bügenkanten, von denen die eine ausgeschnitten und die andere vor-stehend ist. Paraïïel mit jeder sind in beïiebigen aber gïeichen Abstânden die entïehnten Linien mn, op, qr, st gezogen worden; sie sind soïcher-gestaït die Vorsteïïungen zu eben so vieï verticaïen mit den Diagonaïïinien paraïleïen Durchschnitten. Die Verbindungen der Bügen am Fusse des Ge-wôïbbogens, sind durch die Durchschnitte abÆccI Ga fiirden eingehenden, und durch efCghe für den hervorspringenden Winkeï angedeutet worden.
  - Es seyen ferner Fig. 185, STUV,XYLZ, die Profile zu den obéra und untern Querhôïzern ;
  - If the out-face of the feigned vauït [extrados] ought to be ïikeïy shaped, draw out, Fig il5, the arc Z N ; send back on it, by means of rays through the center L, the divisions adopted for the arc inte-rior, at O, R, S, V,X; and in the same manner empïoy the ordinates of those ïast points for draw-ing the mouïd of the exterior edge n o rs vxz, Fig. 116.
  - 118. For second exampïe, Fig. 111, US, 119 and 180, we wilï suppose that, the end being steeper than the sides, the hip has been deviated; but that the waïïs or pïastered waïïs hâve been made with an unequaï depth determinated by the deviating of the hip, as show the ïines A D G,B EF, of the horizontal description, Fig. 111. In a such hypothesis, the curves of the sides ought to be aïike circuïar, and the anguïary one, eïïipticaï, as in foregoing case, But the curves of the end need to hâve an eïïipticaï curvity, whose the haïf greater axis shaïï be the vertical height LM, Fig. 118; and the own mouïd [cerche] of it shaïï be drawn by means of a vertical projection made in thispurpose, as in the Fig M
  - 119. In the third exampïe, Fig. 181, 182 and 183, we suppose, as in the second, that the différence of the sheïvings has required the deviating of the hip ; and, as in the first, that the waïïs are quite equaïïy deep , so that the horizontal projection of the edge D C cannot pass through the point E, the horizontal projection of the angle interior of the waïïs. j And since, in the vauïts cross-wise, i^ised to tàe this angle of the waïïs as the rise of the anguïary curve, bring through this point JS a straight paraïïeîyto CD, which, being realïy the projection of the internai edge of the grooving to be done in the anguïary curve, shaïï be used for tracing thesize[mouïd]of it, as the part E M of C D, which has been employed for it in the two foregoing examples ; so that should be needïess to repeat here those details. Neverthe-ïess it is to be remarked that, in this case, theangu-ïary curve, doing not hâve but a small part ofits depth under the hip s diagonal collar, ought to be boïted sideways on it, unless a tessel should hâve been reserved in the coïïar for receiving the upper-framing of the curve.
  - 120. Fig. 184,185,186 and 181, In the threc foregoing examples, the curves dont hâve object, unless for receiving the ïaths of the ceiling, and are supposed to be covered with any plastering. We now suppose, in this fourth case, 1 .rst thatthereisa forebody which needs two anguïary curves, the one saïient in jutty-angle, the other grooved in hollow corner; 2.dly that each part ofthe haïf-bower being to receive offaïs or other adornments, the faces of the curves, as welï as of the cross-pieces, eitherupper or under, ought to hâve an uniform breadth to form a kind of frame for the adornated sinkings.
  - Let be, in the horizontal description, Fig.484, AB CD, EF GH, the upper-ïevelness of the ira-post which is to bear the rise of the haïf-bower; IJ KL, the projection ofthe ïines of summit,given in the surface of the ceiling : the diagonals KB, JC, shall be the respective projections ofthe two edges, the one grooved, the other jutted, of the curves. At an equaï wishecl distance on each side from each diagonal are straights paraïïel borrowed m n, o p, q r, s t, which thus are the traces of so many vertical sections made paralleïy to the diagonals. The joints of the curves, at the rise of the vauït [the heels], are designed by the sections abÆcdGafor the hollow angle, and ef Gghe for thejutty.
  - Let be aïso, Fig. 185, STUV, XYLZ, the profiles of the cross-pieces, and M, N, 0,P, Q,R,
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- - 0,P,Q, R, cïes divisions faites à volonté à l'intrados du cintre primitif. Par chacun de ces points de division, on a mené sur KB, Fig. 484, des ordonnées parallèles à L K, que i’on a ensuite renvoyées perpendiculairement à eiles-mêmes sur J C, et retournées encore perpendiculairement a J C, et indéfiniment, vers ïa Fig. 486; et ainsi les diagonales et leurs parallèles se trouvent divisées conformément aux divisions adoptées pour i’intrados du cintre primitif.
  - 121. Pour établir la cerche d arête de doueïle de la courbe saiiiante par le moyen de sa projection verticale, on a mené JC, Fig. 486, parallèle à JC delà description horizontale, et l’on a tracé le quart d’ellipse J', 1, 2, 3, 4, 5, 6, C, comme il a été expliqué (n.° 117) : on a formé de même la courbe tuvxyz&s, au moyen des divisions de la ligne d’emprunt s t ou r q.
  - Pour former ïa cerche des arêtes latérales de la courbe, on emploiera les descriptions auxiliaires 13,14,15,16, 17 et 18, dont nous expliquerons seulement celle cotée sous le n.° 16, la construction des autres étant absolument semblable. Au point 4 on mènera 4 C' normale à la courbe de douelle, c’est-à-dire, perpendiculaire à ïa tangente en ce point; et parallèlement à 4 C, les deux droites q' r', s't', qui en sont écartées de part et d’autre comme qr, st, le sont de J C, Fig. 484. Portez la distance 4 y de C' en?/', et par ce dernier point menez 19,21 per pendiculaire à 4 C1; puis tracez C1 19 et C1 21, que vous couperez en f' et g', en y portant ïa largeur des champs de face Cf, Cg, Fig. 484. Aux points f' et g1 menez perpendiculairement à ces deux lignes f' e, g' h', que vous ferez aussi égales à f e et g h de la description horizontale; tracez la ligne d’extrados e' h' et la perpendiculaire f' f; portez C'f de 4 en f' : vous aurez un point de la cerche des arêtes latérales de la courbe à l'intrados ; et vous en auriez un correspondant de celle de l’extrados, si vous portiez de même C'y de 4 en y'.
  - Pour concevoir cette opération, il faut imaginer un plan passant par la normale et par ïa tangente de douelle au point 4, et qui couperait aussi l’arête latérale donnée par ïa ligne d’emprunt, en un point plus éloigné par rapport à un autre plan perpendiculaire au premier, et passant par le centre de courbure. La différence d’éloignement de ces deux intersections est visiblement 4 y, en sorte que la Figure cotée 46 présenterait, rabattue sur le plan du dessin, la section faite dans la courbe au point 4, perpendiculairement à l’arête de doueïle, si ïa largeur du champ était 6T r ou C s, Fig. 484. Ainsi les deux lignes C 19, C 21, forment entre elles l’angle linéaire égal à l’angle plan que les deux champs doivent former dans le volume au point 4 ; et la sous-tendante de ce t angle serait 19, 21, si la courbe devait occuper tout l’espace compris entre les deux lignes d’emprunt. Donc , en réduisant cette figure à ïa largeur de champ demandée, C f', C g', et y donnant aussi les largeurs de retour réelles, f' e', g' h', la figure auxiliaire devient la section réelle de la courbe proposée.
  - Pour avoir la projection horizontale des deux arêtes latérales tant à l’intrados qu’à l’extrados de la courbe, de part et d’autre de l’arête saillante JC, Fig. 484, on y abaissera les points f et y' en f" et y", parles ordonnées f f", y' y" ; et de/1" on portera de part et d’autre en f" et g" la longueur f' f, Fig. 486, n.° 16, puisque c’est la distance réelle où l’arête latérale d’intrados se trouve du plan vertical qui passerait par l’arête saillante représentée par ïa diagonale JC. En transportant de même e'y en e", h", Fig. 484, de part et d’autre de y", on aura la retombée des deux points d’arête d’extrados qui sont dans le plan normal au point 4.
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  - und M, N, O, P, Q, R, die auf der innern Bo-genseitenach Beïieben gemachtenTheilungspunktc, durch welche bei jeclem auf AB, Fig. 484 mit LK parallèle Ordinaten gezogen worden sind; solche sind sodann auf J C mit sich gegenseitig perpendi-cular gcführt, und abermaïs perpendicuïar mit J C, Und unbestimmt nach Fig. 486 zuriickgetragen worden ; so dass nun die Diagonallinien nebst ihren Parallelïinien so getheilt sind, wie es die für die innere Bogenseite angenommenen Theilungen er-fordern.
  - 121. Um die Lehre zur innern Seite der hervor-springenden Büge vermittelst ihrer verticalen Projection zu zeichnen, so ist JC, Fig. 486, mit J C der horizontaïen Vorstellung paraïlel gezogen, und dasEllipsenvierteï J', 1,2,3, 4, 5, 6, C nach Maas-gabedes Art. 117: gezeichnet worden, Eben so ist die Büge tuvxyz&s, vermittelst der bei der ent-lehnten Linie s t oder r q gemachten Theilungen ausgeführt worden.
  - Soi! die Lehre zu den Seitenkanten der Büge gezeichnet werden, so bedient man sich der zuge-gebenen Projectionen 13, 14, 15, 16, 17 und 18, von denen wir bloss die mit N.° 16 bezeichnete erklârenwollen; indem dieübrigen ganz auf die nâm-liche Weise gezeichnet werden. Bei dem Punkte 4, ziehe man 4 C', normal mit der innern Bügenseite, d. h. perpendicuïar mit dem daselbst befindlichen Tangent, und paraïlel mit 4 C ; die beiden gera-den Linien qV, s't, stehen zu beiden Seiten davon so weit ab, aïs q r und s t von J C, Fig. 484 abstehen. Man trage den Abstand 4 y von C nach y", und ziehe durch diesen letztern Punkt, 19,21 perpen-dicular mit 4C'; zeichne sodann C' 19 und C'2l, welche man bei f und g' durchschneidet, und die Breite der vordern Felder CA, Cg, Fig. 484 dahin bringt ; bei dem Punkte f und g', ziehe man per-pendicular mit diesen zwei Linien, f'e', g'h', und mâche sie den in der horizontaïen Vorstellung ent-haltenen Linien fe und gh gleich ; zeichne die âus-sere Bogenlinie e'h', nebst der Perpendicuïarlinie f/, und trage C'f von 4 nach /' ; dadurch erhâlt man einen Punkt zur Lehre für die Kanten an der innern Bogenseite. Führte man C' y von 4 nach y , so erhieïte man einen mit der àussern Bogenseite correspondirenden Punkt.
  - Diese Operation wird noch deutïicher, wenn man sich einen Plan denkt, welcher bei dem Punkte 4 durch die Normaïlinie und durch den Tangent der innern Bogenseite geht, und die gegebene Kante vermittelst der entïehnten Linie an einem Punkte durchschneidet, welcher entfernter ist, und zwar in Bezug auf einen andern Plan, welcher mit dem ersten perpendicuïar ist, und durch den Mit-teîpunkt der Biegung geht. Der Unterschied in der Entfernung dieser beiden Punkte ist offenbar 4 y ; so dass die Fig. 46 den an der Büge bei dem Punkte 4 mit der innern Kante perpendicuïar gemachten Durchschnitt auf den Plan umgeïegt darsteïlen würde, wenn die Breite des Feïdes 6’r oder C s, Fig. 484 wâre; diesem zufolge bilden die beiden Linien C'19, C'21 zusammen den geometrischen Winkel, der dem flachen Winkel gleich ist, den die beiden Felder bei dem Punkte 4 bilden müssen ; die Sehne dieses Winkels wâre sodann 19, 21 , wenn die Büge den ganzen Raum zwischen den beiden entïehnten Linien einnâhme. Reducirt man nun diese Figur auf die verlangte Felderbreite C1 f, C1 g', und giebt die wahren Breiten der Wieder-kehrf'e', g'h', mit an; so wird die zugegebene Figur der wahre Durchschnitt der gegebenen Büge seyn.
  - Man erhâlt die horizontale Vorstellung der beiden Seitenkanten, sowohl an der innern aïs âussern Bügenseite dadurch, dass man zu beiden Seiten der Kante JC, Fig. 484, die Punkte f und?/ auf/" und y" vermittelst der Ordinaten f'f", y1 y" herabzieht ^ und*die Lânge f'f, Fig. 486, N.° 16 von f" nach f" und g" bringt ; indem dieses der wahre Abstand ist, in welchem sich die Kante an der innern Seite von dem verticalen Plane befindet, welcher durch die hervorspringende in der Diago-nallinie J C dargestelïte Kante hindurchgeht. Trâgt man ferner e' y nach e", h", Fig. 484, zu beiden Seiten von y", so erhâlt man die beiden Punkte zu
  - divisions adopted for the sweep [intrados] of the primitive center. Through eaçh of those dividing points, bring on KB, Fig. 484, ordinales paraïlel to LK; send back them on J C perpendicularly to themselves, and send again alike and indefinitely towards the Fig. 486; thus the diagonals and their parallels shall be divided accordingïy to the divisions adopted for the sweep of the primitive center.
  - 121. To estabïish the size of the edge internai of the jutting curve [edge s mould at the sweep] by means of its vertical projection, bring JC, Fig. 486, paraïlely to JC of the horizontal description , and draw the quarter of an ellipsis J', 1,2, 3, 4,5,6, C, as it has taught (n.r 117) ; and form in the same manner the curve-ïine tuvxyz&s, by means of the divisions of the borrowed line rq or st.
  - To form the size of the latéral edges of the curve, shall be used the auxiliary descriptions 13,14,15, 16,17 and 18, whose we will explain onïy one, stamped with the number 16, since the establishing of every each other should be quite alike. Through the point 4, bring 4 C' perpendicularly to the tangent at this point to the internai curve-line [ normal] ; and paralïeïy to 4 C1, the two straights q'r', s't', distanced on each side as q r and s t are from JC, Fig. 484. Take off4y and put from C' at ?/'; and through y" draw 19, 21 perpendicuïar to 4 C' ; then trace C' 19, C' 21, and eut them in f and g' by means of the given breadth of the faces Cf, Cg, Fig. 484. Through the points f and g', bring perpendicularly to those latter ïines f'e', g' h', equal also to fe and g h of the horizontal projection; draw the external line e'h' [extrados], and the perpendi-cular f /; then carry Cf from 4 to f : that point shall belong to the size of the latéral internai edges of the curve [intrados]. C y, being alike carried from 4 at ?/, should give the corresponding external point [extrados].
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  - To perceive a such establishment, it is to be imagined a plane passing along the normal and the tangent Unes at the same point 4 of the internai curve-line: this plane should eut also the latéral edge given by the borrowed line, in a point farther with regard to another plane perpendicuïar to the first imagined, and passing through the center of curvity. The différence between the distances of these sections from the latter supposed plane, is evidently 4 y', so that the Fig. 46 should show abated on the draught’s plane the section made into the curve at the point 4 of its internai edge, if the breadth of the faces should be Cr or C s, Fig. 484. Then the lines C' 19, C' 21, form into each other the lineary angle equal to the plan-angle [backing] whom the two searched faces ought to form at this point 4 ; and the subtense of this angle should be 19, 21, if the curve could occupy the whole buïk included between the borrowed lines. Thus, by reducing a such figure accord-ingly to the given breadth of points C' f', C g', and giving again to it the reaï external breadth f' e', g' h', this auxiliary figure becomes the real section of the proposed curve.
  - To draw the horizontal projection of the latéral edges of the curve, either internai or external, on both the sides of the jutting edge JC, Fig. 484, drop there the points /' and y' at f" and y", by means of the ordinates f f", y' y" ; and from f", carry at f" and g" the ïength f'/of the Fig. 486, n.r 16; since it is the real distance where the latéral internai edge [of the intrados] is from the vertical plane which should pass along the jutting edge projected in JC. By carryingalike the Ïength e' y from y" at e" and h", you shall hâve the projections of the two corresponding external points [of the extrados], which stand in the same plane normal at the point 4.
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- - En opérant de même avec chacune des projections auxiliaires, cotées 23, 24, 25, 26, 27 et 28, Fig. 487, on aura aussi les projections verticales et horizontales de la courbe qui occupe l’angle rentrant.
  - 122. Le cinquième exemple , au moyen des Fig. 488, 489, 490, 494 et 49.2, montre le tracé d’un lien ou autre courbe à double courbure (cintree en plan et en élévation), soutenant une traverse, une sablière ou autre pièce de cette sorte, courbe aussi, qui est en saillie sur un pan de bois plan. Dans la Fig. 490, on voit en projection verticale le cintre primitif vertical du lien ; c’est ïe quart de cercle 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, décrit du centre c, qu’on a divisé arbitrairement d’une manière quelconque. La Fig. 489 en est la projection horizontale, et ïa courbure en plan s’y trouve représentée par un arc de 60 degrés, 8,9,10,11,12, et une portion d’un arc d’un rayon plus grand,12, 13, 14, appartenant tous les deux au quart d’un ovale en anse de panier. Les divisions opérées dans la projection verticale y sont projetées par des perpendiculaires aux points 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, sur la trace horizontale d’une section supposée faite verticalement par le milieu de la largeur du lien. Pour faciliter l’usage combiné de ces deux descriptions, la seconde a été reportée Fig. 488, et renversée de manière que les divisions 8, 9, 10, kc. y sont représentées sur la ligne milieu g m, par les points g, h, i, j, k, 1, m; et au moyen de rayonnantes dirigées aux centres C, H, relatifs à chacune des deux parties de l’arc, on a eu les divisions correspondantes sur les traces des deux faces verticales, l’une extérieure et convexe (en plan),
  - a, r, q, p, o, n, d, l’autre intérieure et concave,
  - b, s, t, u, v, x, c, qui représentent chacune deux arêtes du lien, l’une extérieure, l’autre intérieure, par rapport au cintre de l’élévation. On voit aussi dans cette dernière figure le plan de ïa traverse, plus fort que ïe lien, et formé d’arcs concentriques à ceux qui représentent le lien, A B et DE de 60 degrés, et B G, EF, de 30 degrés.
  - 123. Pour tracer ïa description d’extension [la herse], Fig. 492, on a pris pour directrice 1,7, perpendiculaire à c b de la Fig. 488, et l’on a mené parallèlement à cette dernière les transversales 1 g', 2 h', kc., espacées comme le sont entre elles celles de la Fig. 494; puis, par les points g, h, i, j, k, 1, m, Fig. 488, on a mené perpendiculairement à b c des droites qui, par leurs intersections avec les transversales, ont donné les points g', h', i', &c., qui ont servi à tracer la cerche de la ligne milieu : les cerches des arêtes inférieures ont été tracées de même au moyen des points a, r, q, &c., pour celle de la face convexe (en plan), et b, s, t, kc., pour -.celle de la face concave.
  - 424. Comme le lien proposé fait partie d’un cylindre creux, pour développer ses faces latérales par ïe moyen de la section imaginée au milieu de sa largeur, on a d’abord mené, Fig. 494, par les points de division de ïa Fig. 490, des transversales de hauteur, perpendiculaires à la droite 7, 14; savoir, 1, 1 ; 2, 2 ; 3, 3, &c. ; puis sur trois autres droites arbitraires, gm, ad, bc, aussi perpendiculaires à 7, 14, on a rectifié les trois arcs de la Fig. 488, chacun avec ses divisions, en portant toutes ces parties de longueurs à partir d’une directrice 7 d, perpendiculaire aux transversales, et l’on a mené à celles-ci des perpendiculaires par tous les points de division des trois rectifications. On a fait passer la courbe 1,2, 3,4, 5, 6, 7, par les intersections des transversales et des perpendiculaires élevées des divisions de ïa rectification g m, et l’on a eu ainsi l’extension de ïa ligne milieu du lien à la face inférieure (qui est extérieure par rapport au cintre de l’élévation) ; ïa même chose a eu lieu pour les arêtes
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  - den aussern Kanten , welche sich in dem normaïen Plane bei dem Punkte 4 befinden.
  - Verfâhrt man.auf gleiche Weise mit den zugege-benen Projectionen 23,24, 25, 26, 27 und 28 , Fin-. 487 , so erhâlt man die verticale und horizon-taie Vorstellung von .derjenigen Büge, welche am eingehenden Winkeï steht.
  - 122. Der fünfte Fall, Fig. 488 , 489 , 490, 494 und 492 , giebt die Zeichnung eines Bandes oder Büge mit doppelter Biegung (und zwar sowohl im Grund-als Àufriss), welche einen Querbaïken, Schwelle, oder anderes Holz dieser Art unterstützt ; dieses letztere ist ebenfalls gekrümmt, und ragt an einer Holzwand vor. In Fig. 490 ist die Biegung des Bandes vertical vorgesteïlt : sie ist das Zirkel-viertel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, welches aus dem Mittelpunkte c beschrieben , und auf willkührliche Weise eingetheilt worden ist. Die Fig. 489 stellt die Biegung horizontal dar ; und zwar vermittelst eines Bogens von 60 Graden, 8, 9, 10, 11, 12, und eines Zirkeïtheiïs mit einem grôssern Radius, 12,13,14; beide gehôren zum Viertel eines haï-ben O vais. Die in der verticaïen Vorstellung ge-machten Theilungen sinddurch Linien ausgedriickt, welche mit den Punkten 8, 9 , 10 , 11,12,13 und 14 perpendicular sind. Diese Punkte befinden sich auf der horizontaïen Vorstellung eines Durchschnit-tes, welcher Mitten in der Breite des Bandes ge-macht worden ist. Umdie Anwendung dieser beiden combinirten Vorstellungen zu erleichtern, so ist die zweite in Fig. 488 wiederholt, und dergestaït um-gekehrt worden, dass die Theilungen 8, 9, 10, u. s. w. daseïbstauf der Mittelline gm, vermittelst der Punkte g,h,i,j,k,ï,m dargestellt worden sind. Die nach den Mittelpunkten G ,H, gerichteten strahlen-fôrmigen Linien, geben die correspondirendenThei-lungen auf der Zeichnung der beiden verticaïen Flâchen, wovon die âussere und erhabene ( im Grundrisse) a, r, q, p, o, n, d, die innere und ausgehôïte aber b, s, t, u, v, x, c, ist, und welche jede insbesondere, und zwar in Bezug auf den Bo-gen des Aufrisses, zwei Kanten des Bandes , die âussere und die innere vorstellen. Diese letztere Figur zeigt ferner den Grundriss des Querbalkens, welcher stârker ist aïs das Band, und aus Bogen zu-sammengesetzt ist, die mit denjenigen concentrisch sind, welche das Band A B und DE von 60 Grad, und BG, EF, von 30 Grad, darstellen.
  - 123. Um die ervveiterte Vorstellung (Egge), Fig. 492 zuzeichnen, ist aïs Directionslinie, 1,7, perpendicular mit cb, Fig. 488 genommen worden; parallei mit dieser ïetztern gehen die schragen Linien 1 g', 2 h', u. s. w., welche so weit von einander ab-stehen, wie die Zwerchlinien Fig. /^/;sodann sind durch die Punkte g, h, i, j, k, 1, m, Fig. 488, gerade Linien perpendicular mit b c geführtworden; aus denseiben ergeben sich vermittelst ihrer Durch-schnitte mit den schragen Linien die Punkte g', h', i', u. s. w., nach denen die Lehre zur Mitteïlinie ge-zeichnet worden ist. Die Lehren zu den untern Kanten sind bei der erhabenen Flâche (im Grundrisse) vermittelst der Punkte a, r, q, u. s. w., und bei der ausgehôïten, durch die Punkte b, s, t, u. s.w. ; gezeichnet worden.
  - 124. Das gegebene Band macht einen Bestand-theil eines hohïen Cylinders aus : um nun die Zeichnung der Seitenflâchen vermittelst des in der Mitte seiner Breite angenommenen Durchschnitts auszuführen , so sind zuvôrderst Fig. 494 durch die Theilungspunkte der Fig. 490 , schrâge Hôhen-Iinien, welche mit der geraden Linie 7, 14, perpendicular sind, gezogen worden ; nâmlich : 1, 1 ; 2, 2; 3, 3 ; u. s. w. : sodann sind auf drei anclern geraden willkührïichen Linien g m , ad, b c , welche ebenfalls mit 7,14 perpendicular sind , die drei Bogen der Fig. 488 rectificirt worden, und zwar jeder mit seinen Theilungen, woftei diese sâmmt-lichen Lângentheile aus einer Directionslinie 7 d, welche mit den schragen Linien perpendicular ist, gezogen, und zu diesen Ïetztern durch aile Theilungspunkte der drei rectificirten Bogen Perpendi-cularlinien geführt worden sind. Die Büge 1, 2,3, 4, 5,6, 7, ist durch dieDurchschnitte der schragen und perpendicuïaren Linien, welche aus den Thei-
  - The auxiliary projections to the Fig. 481, and stamped with the numbers 23,24, 25,26,27and 28 , shall give in the same manner the descriptions, either horizontal or vertical, of the curve which ought to occupy the hollow angle.
  - 122. ïor a fifth exampïe, the Fig. 488, 189, 490, 494 and 492, show the draught of a\ace, or another curve with double curvity [arched ôn the plan and the profile], supporting a cross-timber, abeam, or another such piece, also itscif arched and jutting out plan plaistered-wall. The Fig. 490 shows vertically projected the primitive center vertical of the brace; the quadrant 1,2,3, 4, 5,6,7, described from the center c, and divided arbitrarily in a whatever manner. The Fig. 189 shows the horizontal projection of it ; and the curvity, with regard to the plan, is there an arcof 60 degrees,8,9,10,11,12, and a part of another arc 12,13, 14 , beïonging to a greater radius, so that they form together an haîf oval [basket1 s handle]. The divisions adopted for the verticalprojection are here projected by perpendiculars at the points 8,9,10,11,12,13,14, on the horizontal trace of a section we suppose made vertically through the middle breadth of the brace. To use more easily these two descriptions, the îatter is transferred Fig. 488, and so inverted that the divisions 8,9, 10, kc., are represented there on the middle linegm, by the points g, h,i, j,k,I,m;and by means of rays direct at the centers C,H, relative to each part of the two arcs, the corresponding divisions hâve been obtained on the traces of the vertical faces of the brace, the one external and convex (whith regard to the plan), a,r, q,p,o,n,d; the other internai and concave, b, s, t, u, v, x, c : of which every one represents two edges of the brace, the one external, and another internai, with regard to the vertical primitive center. Besides this last figure shows also the plan of the cross-timber, bigger than the brace, and formed with arcs concentric to the ones of the brace, AB and DE, of 60 degrees, and B G and EF, of 30 degrees.
  - 123. To draw the description of extent [led«e-ment], Fig. 492, take for a directress 1,7, perpendicular to cb of the Fig. 488, and bring parai-leïy to this straight the transverse-Iines 1 g',2h',fc, distanced from each other as their analogous ones are in tire Fig. 494 ; then, through the points g, h, i, j,k,I,m, Fig. 488, lift perpendicularly to b c straights whose intersections with the traits-verse-Iines at the points g', h', i', kc., shall give the size [mould] of the middle line of the curve: the sizes of the edges shall be drawn alike by means of the points a, r, q, &c., for the faces convex (with regard to the plan), and b, s, t, kc., for the face concave.
  - 124. As the proposed brace is a part of an hollow cyïinder, to display its latéral faces by means of the section supposed in the middle breadth, bringforth-with, Fig. 494, through the dividing points of the Fig. 490, transverse-Iines of height 1,1;2,2; 3,3; kc., perpendicularly to the straight7,14; then on three other arbitrary perpendiculars gm, ad,bc, arright [rectify] the three arcs of the Fig. 488, every one with own its divisions, carrying ail the length’s part of them from a directress 7 d, perpendicular to the transverse-Iines, and bringpa-raïlels to this directress through ail the points dividing of the three rectifications. The curve-Iine 1,2, 3,4,5, 6,7, passing through the intersections of the transverse-Iines with the perpendiculars rised from the divisions of the arrightedgm, shall be the real extent of the brace’s middle line at the inferior face (which is the external with regard to the vertical primitive center ) : an alike curve-Iine results on the same manner for the edges of the same face of the
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- - de la même face cîu lien dans les deux autres courbes menées par les intersections des mêmes transversales et des perpendiculaires données par ïes divisions des deux autres rectifications, ad et bc. Quant à la face supérieure du lien, pour qu’il ait sensiblement par-tout une épaisseur égale à sa «largeur, il suffit de mener à la courbe milieu, par ses points 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, des normales 1 g, 2 h, &c., que l’on fait égales à la largeur a b, rs, &c., Fig. 188.
  - 125. La courbe qui passe par ïes points g, h, i,j, k, l, m, Fig. 191, contient réellement l'extension de la ligne milieu de la face supérieure du lien, mais développée sur une surface plane. On doit la rapporter sur la projection horizontale au moyen de la ligne de rectification gm, sur laquelle on abaissera perpendiculairement ïes points g, h, i, &c., d’où on les transportera sur Tare milieu de ïa Fig. 188, où ils sont marqués des mêmes signes littéraux. On mènera donc par ces derniers points de ïa Fig. 188, de nouvelles perpendiculaires abc, et, à ïa Fig. 191, par ïes points correspondais , de nouvelles transversales que ï’on transportera à ïa Fig. 192, et qui y donneront, par ïeurs intersections avec ces perpendiculaires, ïes points de passage de ïa cerche de ïa ligne milieu de ïa face supérieure du lien. Et pour avoir ïes’cerches des arêtes de ïa même face, on joindra g' g, h' h, &c.; et, par ïes points trouvés pour celles de ïa face inférieure, on mènera à ces dernières lignes des parallèles qui seront encore égales à la largeur a b, rs de ïa Fig. 188, en ïes terminant aux transversales qui ont donné les divers points g, h, i, &c. de ïa ligne milieu supérieure.
  - Observation. Si ce ïien devait être décoré d’embases à ses commissures d’about, comme on ïa indiqué aux Fig. 189 et 190, on debiïïarderait a chacune de ses faces ïa quantité de bois qu’exigerait ïe contour de l’adouci.
  - 126. La sorte de courbe dont ïe tracé est détaillé aux Fig. 193, 194 et 195, occupe un angle saillant droit, mais dont ïa diagonale n’est pas à 45 degrés avec chacun des cotes. Cette courbe, au lieu de présenter une arete a son milieu, comme a < ïa Fig. 184, doit avoir un chanfrein pour recevoir un ornement quelconque; et ce chanfrein doit avoir plus de largeur à sa partie inférieure qu’à ïa supérieure, c’est-à-dire qu’il doit présenter une surface renversée, de celles qu on appelle en architecture gaines, Fig. 194. La partie de projection horizontale, Fig. 193, comprise entre les droites 2,0 et GP, à pour cintre primitif ïa ligne courbe passant par les points H, 1,2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, et G,
  - qui en estainsi la projection verticale. Par chacun de ces points, on a mené parallèlement à O G des droites qui ont donné sur ïa diagonale 2 G ïes points 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8 et'9, par lesquels ayant aussi mené des parallèles à OR, et les hauteurs du cintre primitif étant respectivement reportées sur chacune d elles, on a trace un autre cintre, qui est aussi ïa projection verticale de ïa partie en retour d’équerre comprise entre ïes lignes 2 Q et GR. Le polygone IJ KLM NI montre la section horizontale de ïa courbe a son extrémité inferieure ; et B A F ED CB, ceïïe quiaïieu au bout supérieur. IN est ainsi la largeur du bas de ïa gaine, et B C celle du haut ; mais, pour former sa projection horizontale , on procédera comme il suit :
  - Sur une droite indéfinie H G, Fig. 194, on rectifiera ïe cintre primitif, au moyen des divisions qu’on y a marquées ; à chaque point de division de ïa courbe rectifiée , on lui mènera des perpendiculaires indéfinies ; et sur ïes deux perpendiculaires extrêmes, on portera respectivement, tant de part que d’autre, ïes largeurs HI, FIN ; G B, GC, Fig. 193, en HI, H N; GB, GC, Fig. 194; et en y menant les droites IB et NC, on aura l’extension
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  - ïungen des rectificirten gm aufgerichtet sind, ge-führt worden ; daraus ergab sich die Mitteïïinie des Bandes an deruntern FIâche(weïche demBogen des Aufrisses nach die âussere ist). Auf âhnliche Weise verfuhr man bei den Kanten der nâmïichen Band-flâche an denbeiden andernBügen, weïçhedurch die Durchschnitte der aus den Theiïungen der beiden andern rectificirten a d und b c entstandenen schrâ-gen und perpendicuïaren Linien gefùhrt worden sind. Soïï die obéré Seite des Bandes überaïï eine mit seiner Breite übereinstimmende Dicte er-haïten, so führe man zur Mitteïbüge, durch die Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, die Normaïlinien 1 g, 2 h, u. s. w., weïche man der Breite ab, rs, u. s, w., Fig. 188 gïeich macht.
  - 125. Die Büge, weïche durch die Punkte g, h, i, j, k,l,m, Fig. 191, geht, enthâït die wahre er-weiterte Vorsteïlung der Mitteïïinie der obern Band-seite ; aîïein seïbige ist auf einerebenen Fïâche aus-geführt worden. Sie muss auf die horizontale Vorsteïlung vermitteïst der rectificirten Linie gm ge-bracht werden; auf diese ïetztere werden die Punkte g, h, i, u.s.w., perpendicuïar herabgezogen: diese werden von da auf den Mitteïbogen der Fig. 188 gebracht, wo sie mit den nâmïichen Buchstaben be-zeichnet sind. Man zieht nun durch diese îetztern Punkte der Fig. 188, neue Perpendicularïinienmit b c; und in Fig. 191, durch die correspondirenden Punkte , ebenfaïïs neue Querïinien , weïche nach Fig. 192 getragen werden, und daseïbst vermitteïst ihren Durchschneidungen mit den Perpendicuïar-ïinien, die Punkte zur Lehre der zur obern Band-seite gehôrigen Mitteïïinie geben. DieLehren zu den Kanten der nâmïichen Fïâche findet man, wenn man g 'g, h 'h, u. s. w. zusammenzieht, und durch die für die untere Fïâche gefundenen Punkte Paraïïeï-ïinien zu diesen îetztern Linien fiibrt. Diese Paraïïeï-ïinien werden ebenfaïïs der Breite ab, rs, Fig. 188 gïeich seyn, wenn man sie bis zu den schrâgen Linien zieht, weïche die Punkte g, h ,i, u. s. w., der obern Mitteïïinie gegeben haben.
  - Anmerkung. Soi! dieses Band nachMaasgabe der Fig. 189 und 190 an seiner âussern Kante mit einem Untersatze verziert werden , so nimmt man an jeder Fïâche so vieï Hoïz weg aïs der Umfang des Untersatzes erfordert.
  - 126. Die in Fig. 193,194 und 195ausgeführte Büge steht an einem geraden vorspringenden Win-keï, dessen Diagonaïïinie aber nicht 45 Grad Nei-gung mit jeder der beiden Seiten hat. Diese Büge hat in derMitte keine Kante, wie in Fig. 184, sondêrn ist schrâg zugeschnitten um eine Verzierung darauf anzubringen. Dieser Abschnitt muss von unten breiter seyn aïs von oben, d. h. pyramidenformig, Fig. 194. Derjenige Theil der horizontaïen Vorsteïlung, Fig. 193 , weïcher zwischen den geraden Linien 2, O und GP begriïfen ist, hat zum Grund-bogen die krumme Linie, weïche durch die Punkte H, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, und G geht, und sonach die verticale Vorsteïlung desseïben ist. Durch jeden dieser Punkte sind paraïïeï mit O G, gerade Linien gezogen worden, weïche auf der Diagonaïïinie 2 G die Punkte 1,2,3, 4,5, G ,7, 8 und 9 gegeben haben ; und da zugïeich Paraïïeïïinien mit OR gezogen, und die Hôhen des Grundbogens auf jede derseïben zurückgetragen worden sind , so ist vermitteïst jener Punkte ein anderer Bogen ge-zeichnet worden, weïcher die verticale Vorsteïlung des zwischen den Linien 2Q und OR begriffenen T.heiïs ist. Das Poïygon IJ KLM NI zeigt die horizontale Section der Büge an ihrem untern Theile; und BAFEDCB die am obern. Sonach ist IN die untere Breite , und B C die obéré. Die horizontale Vorsteïïung der Büge wird auf foïgende Weise gezeichnet:
  - Auf einer unbestimmten geraden Linie HG, Fig. 194, rectificire man den Grundbogen vermitteïst der darauf angemerkten Theiïungen. Zu jedem^ Theilungspunkte der rectificirten Büge, führe man unbestimmte Perpendicuïarïinien ; trage auf jeder der beiden âussersten Perpendicuïarïinien die Brei-tenHI,HN; GB, GC,Fig. 193, nach HI, HN; GB, GC, Fig. 194 ; und führe dahin die geraden Linien IB , NC; man erhâït dadurch die wahre
  - b race, by the intersections of the same transverse ïines with the perpendicuïars rised from the divisions of the other rectifications, ad and bc. As to the superior face of the brace, in order that it may hâve sensibïy every where a depth equaï to its breadth, it suffices to bring through the divisions 1,2,3,4, 5,6,7 of the middïe curve-ïine, the perpendicuïars l g, 2 h, &c. to this curve, every one made equaï to the breadth ab,rs, of the Fig. 188.
  - 125. The curve-ïine passing through the points g,h,i,j,k,l,m, Fig. 191, incïudes reaïly the extent of the mjddle-îine of the brace’s superior face, but unfoïded on a pïain surface. It ouglit to be carried on the horizontaï projection by means of the arrighted fine gm, on which are perpendicuïarly dropped the points g, h, i, &c. ; from whence they are transferred on the middïe arc of the Fig. 188, on which they are stamped with the same ïetters. Thus through those ïast points of the Fig. 188 areïifted other perpendicuïars to bc, and, on the Fig, 191, through the corresponding points, other transverse fines to be carried on the Fig. 192, and which, inter-secting with the perpendicuïars, shall give points of the passage of the middïe size for the superior face of the brace. Then joining g' g, h' h, &c., and through the points found for the edges of the inferior face, bringing to those ïast fines, paralïeïs termi-nated by the transverse fines beïonging each to each of the points g,h,i, &c., and consequently every one equaï to the breadth ab, rs of the Fig. 188, you shall hâve the twosizes for the brace’s edges at the superior its face.
  - Remark. If a such brace needs to be adorned with tesseïs on its abutments, as show the Fig. 189 and 190, it is pïain that, after drawing so the pro-posed curve, shalï he took offthe quantity of matter exceeding the asked*shape.
  - 126. The kind of curve drawn Fig. 193, 194 and 195, is designed to occupy a jutting right angle in a work, whose the diagonaî dont form with each of the sides twoaïike angles. This curve, instead of having an edge on the middïe of its breadth, as in the Fig. 184, needs a middïe face [shafferoon], to receive a whatsoever adornment ; and this middïe face ought to be broader at its inferior part than at the superior, and hâve an inverted shape called in architecture a sheath, Fig. 194. The part,of an horizontal projection, Fig. 193, included by the fines 2, 0 and GP, has for its own primitive center the mould H, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9,andG, which is thus the vertical projection of the curve. Through every one of those dividing points of it, bring paral-ïeïy to O G straights on the diagonal 2 0 at points 1,2,3,4, 5,6,7,8 and 9, and, through those ïatter, paralïeïs to OR ; and, after having carried on every one of those perpendicuïars the height of each corresponding division of the primitive center, draw another mould or center, which shall be aïso the vertical projection, of the latéral face included between the fines 2 Q and OR. The poïygon IJ K LM NI shows the horizontal section of the curve at its inferior part ; and the one B A FED CB, the superior eut. The breadth of the sheath is 1N beïow, and B C aïoft ; but, to establish horizontaï projection of it, go as it foïlows :
  - On an indefinite straight H G, Fig. 194, arright the primitive vertical center with the divisions adopted in it ; through every one of the divisions of so arrighted curve, bring indefinite perpendicuïars, and on both the two sides, from the middïe points of the two extreme perpendicuïars, carry the breadths III, H N; GB, GC, of the Fig. 193, on HI, HN; GB,GC, Fig. 194: thus drawing the straights IB, N C, y ou shall hâve the real extent of the sheath,
  - %
  - 3.e Partie.
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- - réelle de ïa gaine ; avec sa largeur a chacune des hauteurs des divisions marquées au cintre primitif. Chacune de ces largeurs étant reportée en deux parties, de part et d’autre de fa diagonale 2 G-, Fig. 493, sur les perpendiculaires menées à cette diagonale par fes points de division quelle porte, il en résultera pour projection horizontale des deux arêtes de fa courbe qui comprennent fa gaine, fes deux lignes courbes Vabcdef ghi C, B jkïmno 'pqr/.
  - 127. On aura fa projection verticale [profil] de fa même gaine, Fig. 495, en élevant à fa diagonafe 2 G, Fig. 493, par chacun de ses points de division , 3, 1,4, H, 5, &c., des perpendiculaires indéfinies , sur chacune desqueîïes, à partir d une directrice ST, paraîfèfe à 2 G, on portera respectivement tes hauteurs des divers points de division du cintre primitif ; ce qui donnera fa courbe H, 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, G, Fig. 495.
  - Et pour joindre à ce profil les quatre autres arêtes de fa courbe, et fe transformer ainsi en une description d’extension, on fera usage des descriptions auxi-) fiaires marquées 10, 11, 12,13, 14, 15,16, 17 et 18, en procédant comme if a été expliqué (121).
  - Trait d’une Croupe plus raide que les longs-pans, avec pannes juxtaposées. [Pavillon
  - sur tasseaux.]
  - 128. Dans fa description horizontafe, ldi Fi g. 496 est fe pfan de fa moitié de f’enrayure : on y voit les épaisseurs des murs, AB, DE, de fong-pan, et DE, G F, de croupe, qu’on a faits de fa même épaisseur : Fl montre fa surface du dessus de î’entrait inférieur [tirant] ; a b, fa mortaise de sa jambe de force. J est aussi fa surface supérieure du demi-entrait, et h g, fa mortaise de fa jambe de force; /, fe dessus du coyer, et i, fa mortaise de fa jambe de force angulaire. Le mur de fong-pan et celui de fa croupe ayant même épaisseur, fe bout a b de la mortaise de l’entrait inférieur, et ceux h g du demi-entrait, étant renvoyés parallèlement aux murs, ont donné sur fe coyer I fe parallélogramme cdef pour le pas de ïa jambe de force angulaire : l’arête de cette dernière, qui s’élèvera sur le point c, correspondra à l’alignement de ïa jambe de force du fong-pan ; et celle qui s’élèvera sur fe point f, correspondra à l’afignement de fa jambe de force de fa croupe. Le gousset K a été tracé parallèlement h AF, menée des points extrêmes des lignes milieux des entraits, prolongées jusqu’aux lignes des faces extérieures des murs; fes embranchemensL,L, &c. [solives en empanon],ont un de leurs bouts qui est scellé, et l’autre est assemblé ; les pièces M, M, sont appelées goussets faux, et sont assemblées comme les goussets. Sur l’autre moitié de fa description horizontafe, Fig. 497, on n’a trace d’abord que la ligne d’arêtier et la grosseur du poinçon, pour faire de suite fe profil de la ferme de long-pan.
  - Description verticale, Fig. 198.
  - 129. On tracera le profil du mur et celui de la corniche, comme le montrent les lettres a, b, c, d, e : sur le dérasement c d, on voit en coupe fa plateforme A, dont fa face verticale est à un pouce de l’aplomb de ïa face extérieure du mur ; et l’about du pas du chevron sur sa surface supérieure, fixé en f, est éloigné de trois pouces de l’arête extérieure. La ligne de la surface supérieure, étant prolongée, donnera sur ïa ligne d’axe du poinçon le point g ; on portera de ce point la hauteur du couronnement en S ; on mènera une droite de ce point à f : ce sera la ligne du lattis du chevron B de long-pan ; et une parallèle hi montrera son épaisseur. L’entrait inférieur C sera placé en contre-fcas du dérasement süpé-
  - ( 78 )
  - Vorstellung des schrâgen Abschnittes, nebst seiner Breite an jeder Hôhe der am Grundbogen ange-merktenTheilungen. Und da jede von diesen Breiten an beiden Seiten der Diagonallinie 2 G, Fig. 493 auf diejenigen Perpendicuïarlinien zurückgetragen worden ist, weïche zu dieser Diagonallinie durch die darauf befindlichen Theilungspunkte geführt worden sind , so erhâlt man die zwei krummen Linien iVab cdefghi C, üjklmnopqr/, aïs horizontale Vorstellung der beiden zum schrâgen Ab-schnitt gehôrigen Bügenkanten.
  - 127. Die verticale Vorstellung [Profil], Fig. 495, des nâmlichen schrâgen Abschnittes erhâlt man, wenn man auf der Diagonallinie 2 G, Fig. 493 , durch jeden ihrer Theilungspunkte 3 , 1,4, H, 5 , u. s. w., unbestimmte Perpendicuïarlinien auf-richtet, und auf jede derseïben aus einer Directions-Iinie S T, weïche mit 2 G paralleï ist, die Hôhen der verschiedenen am Grundbogen befindlichen Thei-lungspunkte trâgt, wodurch man die Biige H, 1, 2/3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, G, Fig. erhâlt.
  - SoIIen die vier andern Bügenkanten zu diesem Profil hinzukommen, wodurch dasselbe zur erwei-terten Zeichnung wird, so wendet man die zugege-benen Projectionen 10, 11 , 12, 13, 14, 15, 16, 17 und 18 an, und verfâhrt wie im Art. 121 gezeigt worden ist.
  - Zeichnung eines Walmens, welcher einen
  - steilern Abhang liât als die langen Dach-seiten , und mit Fetten versehen ist. [Pa-
  - villon auf IVüifeln.]
  - 128. In der Fig. 496 ist der Grundriss von der Hâlfte des Gebâlkes enthaïten : wir sehen bei A B, DE die Dicke der Mauern an den langen Dach-seiten, und bei DE, GF die Waïmenmauern, weïche dieselbe Dicke erhaften haben ; H ist die obéré Seite des Hauptbalkens, und a b das Zapfen-ïoch zum Strebebuge ; J die obéré Seite des halben Spannriegels. -, und h g das andere Zapfenloch zum Strebebuge; /ist die obéré Seite des Schifters, und i das Zapfenloch zu dem Eckbuge. Da die Mauern an der ïangen Dachseite und am Walmen èinerlei Dicke haben, so geben die Enden a b, des am Hauptbalken befindlichen Zapfenloches, nebst dem zum halben Spannriegelgehôrigen Zapfenfoche hg, weïche mit den Mauern paralleï zurückgetragen sind, auf dem Schifter I, das Parallefogramm cd ef, aïs Richtung für den Eckbug : die Kante an diesem letztern, weïche von dem Punkte c ausgeht, correspondirt mit der Richtung des zur langen Dachseite gehôrigen Buges ; und diejenige, weïche auf dem Punkte f anfângt, correspondirt mit der Richtung des Walmenbuges. Das Tragholz K ist mit A F paralleï gezeichnet worden. Diese Linie geht aus den âussersten Punkten der Spannriegellinien, weïche bis an die Linien der âusseren Mauerflâchen verlângert sind. Die Balken L , L, u. s. w., sind mit dem einem Ende in die Mauer, und mit dem andern in Holz eingesetzt. Die Hôlzer M, M, sind wie die gewôhnïichen Traghôlzer eingesetzt. Auf der andern Hâlfte des Grundrisses, Fig. 497, ist zuvôrderst die Gradsparrenlinie, so wie die Dicke der Giebelsâule gezeichnet worden , wonach das Profil zum Binder an der langen Dachseite gemacht worden ist.
  - Aufriss, Fig. 198.
  - 129. Man zeichnet zufolge der Buchstaben a, b, c, d, e, das Profil der Mauer und des Kar-niesses. Bei c d, sieht man die Mauerlatte A im Durchschnitt : die verticale Seite derseïben steht einen ZoII von der âussern Mauerflâche ab. Das untere Ende des Sparrens, welches bei f bemerkt ist, steht drei ZoII von der âussern Flâche ab : die verlângerte Sparrenlinie giebt auf der Giebel-sâulenaxe den Punkt g. Von diesem Punkte trâgt man die Kranzhôhe nach S, von wo man eine gerade Linie nach f führt ; wodurch man die Lattenlinie von dem zur langen Dachseite gehôrigen Sparren B erhâlt, dessen Dicke die Paralleili-nie hi zeigt. Der Hauptbalken C wird nach der obern
  - with the cliversities of breadth it ought to Iiavc at every height of the divisions first adoptée! for the primitive center. Then, carry every one of these breadths, by haïves, on both the sides of the diagonal 2 G, Fig. 493, on the perpendicuïars brought to it through its own dividing points ; what shaîl give for the horizontal projection of the edges which in-clude the sheath of the curve, the two curve-Iines iVabcdefghiC, and Bjklmnopqr/.
  - 127. The vertical projection of this sheath shaïï be done, Fig. 495, by rising to the diagonal 2 G, Fig. 493, through every one of its divisions 3,1,4, H, 5, &c., indefinite perpendicuïars, and carrying on each, from a directress ST, paralleï to 26, the diverse heights of the dividing points adoptée! on the vertical primitive center; what shaîl give the curve-Iine H, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, G, FigJ95,
  - And to add to this side-view the four other edges of the curve, and transform it so in a description of extent [ledgement], shaîl be used the auxiliary descriptions stamped with numbers 10,11,12,13, 14, 15, 16,17 and 18, and proceedingas ithas been explained (121).
  - Dranght of an End steeper than the sides, with juxtaposed purlins. [Pavillon on stoppers.]
  - 128. The Fig. 496 is the horizontal description of the half-furrow s : are seen there the thicioiess of the sides and end’s waïls, AB,DE;DE,GF, equally thick to each other : H shows the upper-face of the under-coïlar [string]; a b, the mortise ofits strengthening piece. J shows also the upper-face of the haïf-collar, and h g, the mortise of its strengthening piece : I and i are the alike vievvs of the diagonal coïlar. The waïls of the sides or end being alike thick, the extremities of the mortise of the inferior coïlar a b, and of the haïf-collar hg, sent back parallely to the waïls, give on the diagonal colfar I the parallelogram cdef, as the foot of the angular strengthening piece, whose theedge, raising on the point c, shaîl correspond to the row of the sides strengthening pièces ; and the one on f, to the ones of the end. The bracket K is paralleï to AF, drawn through the extreme points of the coïlars’s midclïe fines, fengthened up till the out-Iines of the waïls; the shorted joysts L,L,kc. [branchin], are seafed at one end, framed at the other; the timbers M ,M, arenamed fahe hrackets, and framed alike as the brackets. On the other part of the horizontal description, Fig. 497, hâve been drawn first onïy the edge-Iine of the hip and the king-post’s big, for drawing after the front-view of the side’s truss.
  - Vertical Description, Fig. 198.
  - 129. Let be drawn first the profile ofthewall and cornice, as a, b, c, d, e : it is seen, on the level-ness cd, the section of the wall-plate A, whose the vertical face sits at one inch from the walfs outline; and the but-end of the rafter’s foot is fixed in f, at three inches from the externe edge. The line of the over-face, being lengthened, déterminâtes on theaxe-line of the king-post the point g, from which shaîl be brought at S the height of the crowning ; and through this point S, shaîl be drawn a straight to f, the fathing line of the side’s rafterB : then its paralleï h i shows the bigness of the rafter. The inferior coïlar C shaîl be seated under the upper-Ievelness, accord-ingly to the reckoning plan of the building, or to
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- - rieur, selon la hauteur donnée par les plan et devis du bâtiment, ou par d’autres motifs convenables; l’entrait supérieur D sera placé à environ sept pieds au-dessus de l’autre, pour l’usage du grenier; et au-dessus de l’entrait D on tracera ïe poinçon E. Entre les deux entraits, il faut tracer la jambe de force F et fesselier G, en observant de faire entrer une portion du pied de la jambe de force dans fépaisseur du mur. L’espace du grenier aura plus ou moins d’é-tendue, selon que la disposition de ces dernières pièces sera plus ou moins rapprochée de la verticale. On voit que ïe blochet H est entaillé dessous pour s’appliquer à la plate-forme, qu’il projette un tenon dans la jambe de force, et qu’à sa surface supérieure j est l’about du chevron, et ksa gorge. Le coyau I est placé sur les doubïis et sous-doublis de l'égout. Après avoir fixé la chambrée des pannes K,L, on tracera l’arbalétrier J ; on aura sur fentrait D fa-bout I, et la gorge m, pour son pied; son tracé donnera aussi sur l’axe du poinçon les points n, o. La contre-fiche P donnera aussi sur l’axe les points p, q, et r sur l’arbalétrier. Le morceau Q est appelé tasseau, et ïe morceau R, chantignole. Le côté st de la panne L, étant prolongé, donne le point x sur Taxe du poinçon.
  - 130. Au moyen de perpendiculaires à l’intersection commune A CA! des deux plans de projection , menées par les points que nous venons de remarquer à ïa description verticale, on a renvoyé ceux-ci à la description horizontale, Fig, 197 ; de sorte qu’on a pu y tracer les projections horizontales de la plate-forme du ïong-pan A, de celle de croupe B ; de cinq pas d’empanons a, a, a, &c. ; de cinq empanons C, C, &c. ; d’un chevron de long-pan D, et d’une portion E de celui d’arêtier. On y voit aussi les faces supérieures des blochets F de ïong-pan, G de croupe et H d’arêtier : les points j,k, de ïa Fig. 198, ont donné les pas b, b et b des chevrons sur les blochets ; au moyen de ïa ligne &&, on a eu les tenons c, c (la projection du tenon du blochet d’arêtier a été prise dans la Fig. 201). Les points I,m, de la Fig. 198, ont donné les points e,f,g,h, pour le pas de ï’arbaïétrier / de ïong-pan; i,j,k,I,m,n, pour celui d’arêtier; et ceux-ci, renvoyés perpendiculairement, ont fourni o,p, pour pas de celui de croupe : ïes points q, r, s, t, u, sont ïes projections des déjoutemens et du dégueuïement de ï’about supérieur de ï’arêtier; ïes quatre angles de ïa coupe de la panne L, Fig. 198, ont donné les lignes de projection v, x, y ,z, de ïa panne L de ïong-pan : ïa projection de ïa panne de croupe M a été prise dans ïa Fig. 199 : la lettre N montre un bout de la panne faîtière.
  - La Fig. 199 est ïe profil de ïa demi-ferme de croupe; ïes pièces qui ïa composent ont ïes mêmes lettres que celles du ïong-pan.
  - La Fig. 200 fait voir une des faces U de ïa panne faîtière, son déïardement y, et son lien v.
  - La Fig. 202 est un profil de ferme avec semeïïe traînante c, au lieu d’entrait inférieur.
  - 131. Le profil delà demi-ferme d’arêtier, Fig. 201, étant, dans cet exemple, dessiné sur ïa même ïigne de trave que ceux des fermes de ïong-pan et de croupe; la ïigne de couronnement et ïes autres transversales , devenant communes aux trois profils, montrent ïes points qui sont, dans chacun, à ïa même hauteur au-dessus de ïa base du comble : mais, ïa projection horizontale de ceïui-ci étant la diagonale CD de ïa Fig. 197, il faut opérer par ïa méthode dite reculement pour tracer ses détails particuliers, comme il suit.
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  - I Mauerflâche von unten herauf, und zufolge der im Bauanschïage angegebenen oder aus andern Ur-sachen veranïassten Hôhe gezeichnet. Der Spann-riegeï D wird ohngefâhr sieben Fuss über dem Hauptbaïken zur Benutzung des Bodens angeïegt, und die Giebeïsâuïe E darauf ein und aufgesetzt. Zwischen dem Hauptbaïken und dem Spannriegel wird der Strebebug F und das Jagdband G ange-ïegt ; wobei das untere Ende des Buges zum Theiï mit in die Mauer eingesetzt wird. Der Bodenraum wird, je nachdem diese zwei Ietztern Hôïzer mehr oder minder vertical gesteïït sind, mehr oder minder gerâumig seyn. Der Stichbalken H, weïcher wegen seiner Verbindung mit der Mauerïatte von unten ausgeschnitten worden, ist in den Strebebug ein-gezapft. Auf der obéra Seite dieses Stichbalkens ist j das Ende des Sparrens, und k die Kehïe. Der Schifter I steht an der untersten Ziegeïreihe. Hat man den Abstand der Fetten K, L , be-stimmt, so wird die Stuhïsâuïe J gezeichnet ; fiir deren Fuss man auf dem Spannriegel D, das Ende ï, und die Kehïe m erhâlt. Die Zeichnung derselben giebt ferner auf der Giebeîsàulenaxe die Punkte n, o. Die Strebe P , giebt auch auf der Axe die Punkte p, q, und r auf der Stuhïsâuïe. Das Hoïz Q ist ein Würfel, und R ein Baïkenhoïz. Die Seite st, der Fette L, weïche verïângert ist, giebt auf der Giebeï-sâuïenaxe den Punkt x.
  - 130. Yermitteïst der mit dem gemeinschaftïichen Durchschnitt A C A', der beiden Projectionsplâne, perpendicuïaren Linien, weïche durch die im Auf-risse bezeichneten Punkte gehen, sind diese ïetz-tern in den Grundriss Fig. 197 herübergetragen worden, so dass darin die Grundrisse der an der ïangen Dachseite befmdlichen Mauerïatte A , ferner der Waïmenmauerlatte B ; der fiinf Schifftsparren-einsâtze a, a, a, u. s. w. ; der fünf Schiftsparren C, C, u. s. w. ; ferner der Grundriss eines zur ïan-gen Dachseite gehôrigen Sparrens D, und ein Theiï E, vom Grundrisse des Gradsparrens gezeichnet werden konnte. Auch sieht man daseïbst die obéra Seiten der Stichbalken F, an der ïangen Dachseite ; G, am Walmen, und H am Gradsparren. Die Punkte j,k, Fig. 198, habenaufden Stichbalken die Sparreneinsâtze b, b und b gegeben : vermit-teïst der Linie &&, hat man die Zapfen c,c er-haïten (dieVorstehung zu dem Zapfen desam Gradsparren befmdlichen Stichbalkens ist aus Fig. 201 genommen). Die Punkte I, m, Fig. 198, haben für den Einsatz der zur ïangen Dachseite gehôrigen Stuhïsâuïe I, die Punkte e, f, g, h, und für den des Gradsparrens , die Punkte i, j, k, I, m, n, gegeben ; diese Ietztern sind perpendicuïar zurückge-tragen worden, und haben o, p, zumEinsatze der Walmenstuhlsâule gegeben : die Punkte q, r, s, t, u, sind die Yerbindungen und Kante am obéra Ende des Gradsparrens: die vier aus dem Schnitte der Fette L, Fig. 198, entstandenen Winkeï, v haben die Linien v,x,y, z, für die zur ïangen Dachseite gehôrigen Fette L gegeben. Die Linien zur Waïmenfette M, sind aus Fig. 199 genommen. Der Buchstabe N bezeichnet das eine Ende der Giebelfette.
  - Die Fig. 199 ist das Profil vom halben Waïmen-bunde ; die dazu gehôrigen Hôïzer enthaïten die nâm-ïichen Buchstaben wie die an der ïangen Dachseite.
  - Die Fig. 200 zeigt eine von den Fiâchen U an der Giebelfette, nebst ihrem Schnitt y, und ihrem Bande v.
  - Die Fig. 202 ist das Profil von einem Binder; anstatt des Hauptbaïkens ist hier eine Schweïïe c an-gebracht.
  - 131. Das Profil des haïben Gradsparrenbundes ist in Fig. 201 nach derselben Stuhlwandïinie gezeichnet, wie die zur ïangen Dachseite und zum Walmen gehôrigen Binder. Die Kranzïinie nebst den andern Zwerchlinien, weïche den drei Profiïen gemeinschaftïich sind, zeigen die Punkte, weïche sich bei jedem an derselben Hôhe über der Dach-grundflâche befincïen; da aber die horizontale Vor-stellung des gegenwârtigen Profils die in Fig. 197 enthaïtene Diagonaïlinie CD ist, so müssen die dazu gehôrigen Bestandtheiïe auf foïgende Weise gezeichnet werden.
  - another so suitable motive ; the superior D at seven about feet above, according to the use of the garret ; then, beyond the coïïar D, shaïï be drawn the king-postE. Between the two coïlars, the strengthening piece F, and the hrace G, ought to be drawn, and the latter, to enter into a part of the walï’s thickness. The extent of the garret shaïï be greater or ïesser, according as tïiose ïatter timbers are more or ïess ap-proaching to the vertical direction. It is shown that the hammer-beam H is notched to be appïyed to the waïï-pïate, and framed with tenon into the strengthening piece : on its upper-face, j shows the but-end, and k, the neck of the rafter. The foot-rafter I is seated on the double and under-doubïe tiïes of the eaves. After having determined the seat of the purïins K, L, shaïï be drawn the principal rafter J, whose the foot on the coïïar D shaïï be I, the but-end, and m, the neck; and its drawing shaïï deter-minate the points n,o, on the king-post. The strut P shaïï give aïso the points p, q, on the axis, and r on the principal rafter. The timbers Q and R are caïïed stopper and stopper-proj). The ïengthening of the side s t of the purïiri L cuts the king-post axis at the point x.
  - 130. By the means of perpendicuïars to thecom-mon intersection A CA' of the projections plans, brought through the before remarked points of the vertical description, the same points hâve been sent back on thé horizontal description, Fig. 197; and so, projected horizontaïïy for tracing the horizontal projections of the waïï-pïates of the side A, and the end B ; of five feet of rafters a, a, a, &c. ; five shorted rafters C, C, &c., side’s rafter D, and a part of the hip’s rafter E. Are shown there aïso the over-faces of the hammer-beams F, G; the side’s one, the end’s latter : the feet of the rafters on the hammer-beams b, b and b, proceed from the points y, k, of the Fig. 198; the tenons c,c, from the line &&: but the tenon of the hip’s hammer lias been taken in the Fig. 201. Aïike, from the points I, m, Fig. 198, proceed e,f, g, h, the foot of the side’s principal rafter; i,j,k,ï,m,n, the foot of the hip : and those ïatter, sent back perpendicuïarïy, hâve projected the foot of the end’s rafter o, p. One sees projected in q, r, s, t, u, the beveï-cut[uncheekingJ, and the grooving [unmouthing] of the hip’s superend ; the four angles of the side’s purïin, Fig. 198, hâve on the same manner projected that timber at L, by the ïines v, x, y, z : the projection of the end’s one M proceeds from the Fig. 199 : a part of the ridge-purïin is shown at N.
  - The Fig 199 shows the side-view of the Iiaïf-truss of the end; the timbers which compound it, are stamped with the same ïetters.
  - The Fig. 200 shows a face U of the ridge-purïin, its shavingy, and hrace v.
  - The Fig. 202 is a profiïe of a truss with ground-seï c, instead of coïïar.
  - 131. The front-view of the hip’s haïf-truss, Fig. 201, being traced on the same base-line as the ones of the side or end, the ridge-ïine and the other transverse straightsare common to three profiles, and show the points and ïines which sit in each of them at the same height over the basis of the roof. But the horizontal projection of the hip being the diagonal CD of the Fig. 197, in order to drawing the details of it, we must use the method caïïed of recoiling, as it follows.
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- - Parle point C, projection cle Faxe du poinçon sur ïa description horizontale, faites sur CD' une petite perpendiculaire (un trait carré); prenez successivement les distances de cette ligne à chacun des angles du pas b du chevron d’arêtier, que vous porterez sur ïa ligne de trave en partant de ï’axe s g', Fig 204, qui donneront sur ïa plate-forme ïes points f, pour l’arête saillante du chevron B, et h, pour ïe fond du recreusement : on aura de même ceux diq déïardement et de ï’arête inférieure. Par ïes points f, s, tracez une droite qui sera ïa projection verticale de l’arête supérieure de ï’arêtier ; ïa paraïïèïe qui l’avoisine est ïe déïardement : ïa droite ponctuée h i n’est utile que dans ïe cas où ïe chevron devrait être recreusé ; ïa parallèle qui est près d elle, indique ïes arêtes de ïa face du dessous. Les distances des points i,j,k,ï,m,n, au trait carré, Fig. 497, donneront de même sur ï’entrait supérieur D, Fig. 204, ïes points nécessaires pour tracer ïes parallèles qui forment la projection verticale de ï’arbaïétrier J. La transversale passant par i’angle t de ïa panne L, Fig. 498y donne sur ïa ligne de recreusement du chevron B, Fig. 204, le point t, duquel seront tracées en x' et x'" les pentes du tasseau tx', pour ïe ïong-pan, et tx'" pour la croupe, aux hauteurs respectives données par ïes dehx autres fermes.
  - a
  - Les angles c, d, e,f, du pas de ïa jambe de force, sur ïa Fig. 496, donnent de même ïes points pour tracer ïes arêtes de ïa jambe de force F, Fig. 204. Pour tracer ïe tenon du coyer inférieur C, on fera sur le coyer I, Fig. 496, un trait carré ïj; son éloignement du point C, même jîgure, sera porté de ïa ligne s g', Fig. 204, en /; on y reportera de meme ïe point o et ïe tenon mn. On procédera de même pour ïe coyer supérieur D, et pour ïe tenon du bïochet H.
  - 132. Les Fig. 203, 204, 205, 206 et 207, montrent diverses manières de faire ïes coupes des bouts supérieurs des chevrons et leur ajustement sur ïa panne faîtière.
  - 1La manière ïa plus simple est de couper en about ïes chevrons qui doivent se toucher au-dessus du faîtage, et de ïes y fixer avec des cheviïïettes de fer ou des chevilles de bois. La Fig. 203 fait voir que ces coupes ne sont autre chose qu’un plan coupant vertical, qui passe par l’arête supérieure qui résulte du double déïardement du faîtage : ïa trace a dece plan coupant divise en deux parties égales l’angle b de, que font entre elles ïes deux pentes du comble : on voit en e et en fia position des cheviïïettes ou chevilles perpendiculaires au déïardement du faîtage, et qui opèrent ïa fixation des chevrons.
  - 2. ° La Fig. 204 présente un autre moyen très-bon, et qui se rencontre fréquemment dans ïes combles anciens : iï consiste à couper d’abord fa-bout de chaque chevron selon l’angle du comble b de ; à faire ensuite à l’un des deux ïe tenon e, et à ï’autre ïa mortaise à enfourchement e' : ï’assemblage se fixe avec une cheville placée au milieu.
  - Observation. Sans consommer plus de bois que ïa précédente, cette méthode permet de désassembler ïes chevrons avec la plus grande facilité, et même de les déplacer et replacer avant ï’opération du lattis, sans les désassembler.
  - 3. ° Quelquefois, pour fixer le chevron au faîtage, on empïoie ïe procédé des entailles à mi-bois, dont ïa Fig. 205présente ïe tracéfgh, où l’on voit que ïepauïement g h de ï’entaiïïe faite au chevron, au ïieu detre perpendiculaire à ïa longueur du chevron, doit être vertical, c’est-à-dire, complément à 90 degrés de ïa pente du comble : iï est clair qu’il faut faire au faîtage une entaille correspondante pour recevoir ïe bois réservé au chevron, et que ïa grande face de cette dernière doit être paraïïèïe à ïa surface du déïardement. On peut faire le fond de ïa dernière, ainsi que l’about du bois réservé au
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  - Durch den Punkt C, weïçher die Giebeïsàuïen-axe im Grundrisse ist, ziehe man auf CD1 eine Ideine Perpendicuïarlinie ; nehme nachund nach die Abstànde von dieser Linie bis zu jedem Winkel im Einschnitte b des zum Gradsparren gehôrigen Sparrens , und trage sie auf die Stuhïwandlinie , wobei man von der Axe s g', Fig. 204 ausgeht; sie werden auf der Mauerlatte die Punkte f, für die hervorspringende Kante des Sparrens B, und h für die Tiefe des Ausschnittes geben. Eben so erhâït man auch die Punkte zum Abhoïzen und zur untern Kante. Man ziehe durch die Punkte f, s , eine gerade Linie , welche die obéré Gradspar-renkante vertical vorsteïlt; die nahe daran befind-îiche Paralleïlinie giebt die Punkte für das Abhoïzen an. Die punktirte gerade Linie hi ist bïoss für den Faïï brauchbar, wenn der Sparren ausge-locht werden soïï. Die nahe daran befmdliche Pa-raïlellinie bezeichnet dieKanten an der untern Seite. Die Abstànde der Punkte i, j, k, ï, m, n, Fig. 497 geben auf dem Spannriegel D , Fig. 204 die Punkte zur Zeichnung der Paraïïeïïinien, weïche die Stuhïsàuïe J vertical vorsteïïen. Die Zwerchïinie, weïche durch den Winkel t, der Fette L, Fig. 498 geht, giebt auf der Ausschnittïinie des Sparrens B, Fig. 204 den Punkt t, aus weïchem bei x' und x'", die Neigung des Würfeïs tx', für die lange Dachseite, und tx'" für den Waïmen gezeichnet wird, und zwar an den durch die beiden andern Binder bestimmten Hôhen.
  - Die Winkel c,d, e, f, im Einschnitte am Strebe-buge, Fig. 496, geben die Punkte zur Zeichnung der Kanten am Strebebuge F, Fig. 204. Um den Zapfen am untern Schifter C zu zeichnen, macht man auf dem Schifter/, Fig. 496 eine Linie ij ; der Abstand derseïben voin Punkte C, in der nàm-ïichen Figur, wird von der Linie sg', Fig. 204, nach l getragen ; ferner wird dahin der Punkt o und der Zapfen m n getragen. Bei dem obéra Schifter D , und beim Zapfen am Stichbalken H verfàhrt man auf die nàmliche Weise.
  - 132. Die Fig. 203,204, 205, 206 und 207 zeigen verschiedene Schnitte der obéra Sparren-enden nebst ihrer Verbindung mit der Giebeïfette.
  - 1. °Der einfachsten Art nach werden die Sparren, welche an der Giebeïfette zusammentrefFen, oben flach zu geschnitten und mit eisernen Nàgeïn oder hôïzernen Boïzen daran befestigt. Die Fig. 203 zeigt, dass dergïeichen Schnitte nichts anders sind aïs ein vertical durchschneidender Plan, der durch die obéré Kante geht, welche aus dem doppeïten schrâ-gen Schnitt der Giebeïfette entsteht. Die Linie a, dieses durchschneidenden Plans , theiït in zwei gïeiche Theiïe den Winkel b de, den die beiden Dachabhânge zusammen bilden : e und f zeigen die Richtung der mit dem Giebeïfettenschnitte perpen-dicuïaren Boïzen, wodurch die Sparren an einander befestigt werden.
  - 2. ° Die Fig. 204 enthàlt ein anderes sehr gutes
  - Yerfahren , weïches man hâufiger in aïten Dach-werken antrifft : man schneidet das Ende der Sparren nach dem Dachwinkeï b de, macht sodann an dem einen Sparren einen Zapfen e, und an dem andern das Zapfenïoch e' : die Zusammensetzung geschieht vermitteïst eines in der Mitte eingeïegten Boïzens. ~
  - Anmerkung. Diese Méthode, welche nicht mehr Hoïz aïs die vorige wegnimmt, hat den Vortheiï, dass die Sparren sehr ïeicht aus einander genom-men , und vor dem Belatten ohne ïosgebunden zu werden , seïbst weiter gerückt werden kônnen.
  - 3. ° Bisweiïen werden die Sparren in die Giebeïfette durch Einschnitte in haïbe Holzdicke einge-setzt. Die Fig. 2O5 enthàlt davon die Vorstellung fgh; wir sehen, dass der Backen g h, des im Sparren gemachten Einschnittes , nicht mit der Sparren-ïânge perpendicuïar, sondera vertical ïâuft, das heisst, das Complément zu 90 Grad Dachabhang ist. Es versteht sich, dass an der Giebeïfette ebenfaïïs ein correspondirender Einschnitt gemacht werden muss , in weïchen das am Sparren dazu bestimmte Hoïz kommt, ûnd dass die grossere Seite dieses Ein-schnitteà mit der schragen Fettenseite paraïleï seyn
  - Through the horizontal projection of the axe of the king-post C, ïift a ïittïe perpendicuïar to CD1 (a square draught); take off successiveïy the distances of that straight from each of the corners of the foot b of the hip’s rafter, and bring on the baseline, Fig. 204, from the axis s g' : they shalï give on the waïï-pïate the points f, for the jutting-edge of the rafter B, and h, for the grooved edge : the points beïonging to its shavings and inferior edges shaïï be found in the same manner. Through the point f, s, draw the vertical projection of the hip’s upper-edge, and a paraïleï to it for showing the shaving : the dotted ïine h i does not be of any use, unïess the rafter ought to be grooved; the neighbouring paraïleï to it shows the edges of the under-face. The distances of the said perpendicuïar from tiie points i, j, k, I, m, n, Fig. 497, give aîike, on the upper-coïlar D, Fig. 204, the points usefuï for tracing the paralïels beïonging to the vertical projection of the principal rafter J. The transverse line passing through the corner t of the purïin L, Fig. 498, gives on the groovingïine of therafterB, Fig. 204, the point t, whence shaïï bedrawnatx' and x'", tx', the sheïving of the side’s stopper, and tx'", the one of the end, each of them at the respective height given by each of the other trusses.
  - The angles c, d, e, f, of the foot of the strengthen-ing piece, Fig. 496, give on the same manner the ones necessary for drawing the edges of that timber F, Fig. 204. As for the tenon of the inferior diagonal coïïar C, shaïï be traced on the diagonal colïar I, Fig. 496, a perpendicuïar ïj, whose distance from the point C shaïï be brought, Fig.201, from s g' to l, as weïï as the point o and the tenon m n : it shaïï be proceed aîike for the upper-diagonal coïïar D, and the tenon of the Iiammer-heam H.
  - 132. The Fig. 203, 204,205,206and207, show diverse overcuts of the rafters, and the ajust-ing of them on the ridge-purlin.
  - l.rst The simpïest method is to eut diagonalîy the rafters which meet each other over the ridge-purlin, and to fix them on it with naiïs or wooden-pins, as shows the Fig. 203. Such a eut is a vertical plan driven aïong the ridge, and whose the trace a divides equaïïy the angle b de, being between the two sheïvings of the roof : e and f show the seat of the naiïs and pins, fixing the rafters perpendicularly to the shaving of the ridge-purlin.
  - 2.ly The Fig. 204 shows another method which is aïso best, and was frequentïy used in the ancient roofings : it is to eut the upper-end of the rafters accordingïy to the angle of the roof b de; thento make a tenon e in the one of the meeting rafters; and in the other, a forked mortise e to receiveit: the framing is fixed with a middïe pin.
  - Remark. Without consuming more matter by means of that method, one can very easiïy disjoin the rafters, and even displace them and seat again, before the ïathing work is made.
  - 3.,y Sometimes the rafters are framed to the ridge-purlin with notches haïf-way in the timbers, whose the Fig. 205 shows the draught Jglltis seen there that the shouïdering g h of the rafters notch, instead of being perpendicuïar to theïength of the rafter, ought to be vertical, viz, the complément at 90 degrees to the roof’s sheïving : it is pïain that in the ridge-purlin ought to be made a corresponding notch to receive the matter reserved in the rafter ; and that the greater face of this ïatter must be paraïleï to the purïin’s shaving. One can make the bottom of the ïatter notch, as weïï as the
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- - chevron perpendiculaire à la pente du comble et à la surface du délardement du faîtage. Au reste, on arrête le chevron dans l'entaille avec des clous ou des chevilles.
  - 4.° La Fig. 206 présente un procédé qui, pour le fond, est le même que le précédent : la seule différence consiste en ce que l’épaulement de l’entaille du chevron, n’étant pas oblique, comme dans la Fig. 203, mais perpendiculaire à la longueur du chevron et à la face du bois réservé, oblige à faire au faîtage deux entailles au lieu d’une, efg,gh i.
  - 5° Le procédé représenté par la Fig. 207 diffère entièrement des précédons, en ce que le tenon d, façonné à l’extrémité de chaque chevron, entre dans une mortaise proprement dite, pratiquée au faîtage, et où il est arrêté par une cheville ; outre que l’on pratique aussi dans le faîtage une entaille efg, semblable à celle de la troisième méthode, Fig. 203, et dont la face ef forme les joues de la mortaise.
  - Observations générales. 1.° Dans toutes les figures de détails, les lettres a,b,c, indiquent des aspects particuliers propres à faire voir l’ensemble du procédé. 2.° Dans tous les procédés, le bout du chevron est supporté par la totalité de ses fibres longitudinales, excepté dans la troisième, Fig. 203, où la moitié de ces fibres se trouve coupée; ce qui peut avoir de graves inconvéniens pour la solidité.
  - Trait de la coupe d’une Panne juxta-posée.
  - 133. Lorsque deux pannes reposent sur un arêtier, elles doivent être coupées l’une et l’autre selon un plan vertical passant par la ligne d’arête. Cette croupe ne présente aucune difficulté lorsque le plan est droit, et que les deux pans de couverture ont la même inclinaison que la croupe : mais il n’en est pas de même quand l’une ou l’autre de ces deux conditions n’a pas lieu. Deux méthodes sont usitées dans la pratique pour ce trait.
  - 1. ° Coupe sur le trait. — Soit le rectangle K, Fig. 2OS, h trace verticale d’une panne de long-pan ; CD', la projection horizontale de l’arête dévoyée à l’ordinaire : 1,1 a; 2,2 b; 3, 3 c; 4, 4 d, sont la projection horizontale de cette panne ; et la portion de ligne d’arête abcd est la projection horizontale de la coupe demandée. On place la panne sur sa projection horizontale ( sur le trait ) ; on l’incline exactement (on la déverse) selon la pente du comble; et alors, chaque arête de la panne se trouvant exactement sur sa projection, on pique respectivement sur chacune l’un des points a, b, c, d; enfin l’on joint les points ainsi marqués par des droites tracées sur chacune des quatre faces de la panne. Que la panne ait plus ou moins de grosseur que le rectangle K, on voit que l’opération est la même, pourvu qu’on ait soin de piquer chacune des arêtes en un point situé verticalement au-dessus de la ligne d’arête CD'.
  - 2. ° Couper par les quatre arêtes. —Sur la projection horizontale, Fig. 209, on trace à volonté une droite ab, perpendiculaire aux projections des arêtes 1,1 a; 2,2b, &c. ; et l’on marque sur une règle les distances la,2 b, 4 d, de ab à chacun des points a, b,c,d. Alors, au lieu d’apporter la panne sur i’ételon, on porte cette.règle sur la panne; et, après avoir fait sûr celle-ci un trait carré, retourné sur les quatre faces, on marque respectivement sur chaque arête les mêmes distances à partir du trait carré, savoir: la et 2b, sur la face qui doit être vers le lattis; 4 d etc, sur la face opposée. Ce procédé ne peut s’appliquer à une pièce moins grosse que le rectangle K; et pour l’appliquer à une plus grosse, il faudra la réduire à la grosseur de jauge par des lignes longitudinales tracées sur les deux faces contiguës à l’une des arêtes de la face du lattis, qui formeront deux arêtes factices sur lesquelles on portera trois des mesures de la règle : on aura ainsi deux des traits de la coupe, que l’on retournera sur les deux autres faces avec la fausse équerre.
  - ( «I )
  - muss. Der Binder desselben kann nebst dem am Sparrenende befindlichen Holze, mit der Dachnei-gung und der schrâgen Giebelfettenseite perpendi-cular seyn. Uebrigens wird der Sparren in dem Ein-schnitte durch Nâgel oder Bolzen befestigt.
  - 4. ° Die Fig. 206 zeigt ein mit dem vorigen ziemlich übereinstimmendes Yerfahren ; nur dass hier der Backen am Einschnitte des Sparrens nicht schràg wie in Fig. 203, sondern mit der Sparren-lânge und mit dem daran ausgeschnittenen Holze perpendicular ist ; so dass nun an der Giebelfette, anstatt eines Einschnittes, zwei, efg, ghi, ge-macht werden müssen.
  - 5. ° Das in Fig. 207 enthaltene Verfahren unter-scheidet sich von den vorigen dadurch, dass der Zapfen d, welcher am Ende eines jeden Sparren angebracht ist, in ein in der Giebelfette ausgeschnit-tenes Zapfenloch eingesetzt und darin mit einem Bolzen befestigt wird ; auch die Giebelfette enthâlt einen Einschnitt efg, welcher dem in der dritten Méthode, Fig. 203, ahnlich ist, unddessen Seite ef die Backen des Zapfenloches bildet.
  - Allgemeine Bemerkungen. l.° Bei diesen Fi-guren zeigen die Buchstaben a, b, c, besondere Ansichten, wodurchsich das Ganze des Verfahrens uberschauen lâsst. 2.° Bei diesen sâmmtlichen Methoden wird das Ende des Sparrens von allen langlaufenden Fasern unterstützt, nur nicht im dritten Falle, Fig. 203, wo die Hâlfte der Fasern zerschnitten ist, was der Festigkeit sehr nachtheilig werden kann.
  - Schnitt einer aufgesetzten Fette.
  - 133. Liegen zwei Fettenauf einem Gradsparren auf, so müssen sie beide nach einem verticalen, durch die Kantenlinien gehenden Plane geschnitten werden. Dieser Schnitt geschieht ohne aile Schwierig-keit, sobald der Plan gerade ist, und die Dach-seiten die namliche Neigung haben wie der Waï-men : ist dies nicht der Fall, so muss ein anderes Verfahren beobachtet werden : hierbei kônnen zwei Methoden zur Anwendung kommen.
  - 1, ° Horizontaler Schnitt. — Das Rechteck K , Fig. 208, sey die verticale Linie einer zur langen Dachseitégehôrigen Fette. CD' die horizontale Projection der auf gewôhnliche Weise gewendeten Kante ; 1,1 a; 2, 2 b ; 3,3 c ; 4, 4 d, die horizontale Projection dieser Fette; und der Theil der Kanten-linie abcd,die horizontale Yorstellungdes verlangten Schnittes. Man legt die Fette auf ihre horizontale Projection, und neigt sie genau nach dem Dachabhange; befindet sich sodann jede Kante auf ihrer Projection, so merkt man auf jeder derselben einen von den Punkten a, b, c, d, an, und vereinigt endlich die soïchergestalt bezeichneten Punkte durch gerade Linien, welche auf jeder der vier Fettenseiten ge-zogen werden. Ware auch die Fette mehr oder we-niger dick aïs das Rechteck K, so ist die Operation nicht verschieden, wenn man nur jede Kante an einem Punkte anmerkt, welcher sich vertical über der Kantenïinie C D1 befindet.
  - 2. ° Schnitt nach den vier Kanten. — Man zeichnet auf der horizontalen Yorstellung Fig. 209, eine beliebige gerade Linie a b, perpendicular mit den Kantenprojectionen 1, 1 a; 2, 2 b, u. s. w. ; und bemerkt auf einem Lineal die Abstânde 1 a, 2b, Ad, von a b, nach jedem der Punkte a, b, c, d. Anstatt alsdann die Fette auf die Lehre zu bringen , so tragt man dieses Lineal auf die Fette, und nachdem man an dieser letztern auf jeder der vier Seiten einen quadratfôrmigen Zug gemacht hat, so bemerkt man auf jeder Kante die namlichen Abstânde vom quadratfôrmigen Zuge an ; nâmlich : la und 2b, auf der gegen das Lattenwerk zu ste-henden Flâche; und Ad und c, auf der entgegen-gesetzten Seite. Dieses Yerfahren kann auch bei einem Holze zur Anwendung kommen , weïches nicht so dick ist aïs das Rechteck K ; und soll es bei einem noch stârkern Holze angewendet werden, so muss dasselbe auf die Maasstabdicke reducirt werden, undzwar vermitteïst ïangïaufenderLinien, welche auf den beiden Flâchen gezogen werden, die an die eine an <|er Lattenseite befindliche Kante anstossen, und zwei künstliche Kanten bilden, auf
  - but-end of the reserved matter in the rafter, perpendicular to the roof’s shelving. Besides, the rafter is fixed into the notch with nails or pins.
  - 4.ly The Fig. 206 shows a method very near to the preceding ; but the shouldering of the rafter’s notch, instead of being slope, as in the Fig. 203, is perpendicular to the length of the rafter and face of the reserved wood : it needs to be made into the ridge-purlin twonotches, efg, ghi.
  - 5.,y The method shown in the Fig. 207 û^holly differs from ail the foregoing ones, because the tenon d, made at the end of each rafter, goes into a very true mortise fashioned in the purlin, where it is fixed with a pin. Withall, in the purlin, they make also a notch efg, alike to the one of the Fig. 203, and whq^e the face ef forms the shoulderings of the mortise.
  - General remarks. 1 .rst In ali the figures of details, the letters a, b, c, design particular views showing the whoïe of the method. 2.ly In ali the methods, the end of the rafters is supported by the totality of the longitudinal fibres, excepting the third one, Fig. 203, where the haïf of the filaments are eut, what can hâve very grave disappointments with regard to the solidity.
  - Draught of the eut of a juxtaposcd Purlin.
  - 133. When two purlins sit on hip whatsoever, each of them ought to be eut accordingly to the vertical plan passing along the edge-line. Such a section does not hâve any difficulty, if the ground is rightangled, and the sides of the roof hâve the same declivity as the end : but it is very otherwise when the one of those conditions wants. Then twx> methods are used for their cut’s tracing.
  - l.rst Cut on the draught. — Let be the rectangle K, Fig. 208, the vertical trace of a purlin of the side ; C D', the horizontal projection of the edges of the deviated hip, as usuaïly :1,1a; 2,2 b; 3, 3c; A, A d, shall be the horizontal projections of the edges of that purlin ; and the part abcd of the edge-line, the one of the searched cut. Then they seat the purlin on its horizontal projection (on the draught), incline it duly accordingly to the roof’s shelving ; and each edge of the purlin being in such manner directly over its own projection, they mark respectively on them the points a, b, c, d, and join those points by straights on each of the faces of the timber. Let hâve the purlin a greater or lesser bigness than the rectangle K ; the method is alike, unless y ou mark each edge in a point verti-cally standing over the edge-line C D'.
  - 2.Iy Cut on the four edges. — On the horizontal projection, Fig. 209, they trace at will a straight ab, perpendicular to the projection of the edges 1, la;2,2 b, &.C. ; and on a ruïe [ruler], they mark the diverse distances of the perpendicular a b, from the points a, b, c, d; viz, la,2b,Ad. Then, instead of bringing the purlin on the draught, they bring that ruïe on the purlin ; and, afterhaving traced on its faces a crowning perpendicular, they mark respectively on each of the edges the same distances, departing from the perpendicular; that is to say, 1 a and 2 b on the lathing face, Ad and c on the facing one. Such a method cannot be appïied on a timber lesser than the rectangle K ; but, for applying it to bigger one whatever, it ought to be reduced to the bigness of th‘e sîze, by means of longitudinal fines drawn on the two faces contiguous to oüe of the lathing’s edges : those fines shall form two factitious edges, on which, as well as on the inter-medial one, you shall bring three of the taken measures; they give two traces of the cut, which, you shall turn on the two other faces by th% means ofa square with hinge.
  - 3.' Partie.
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- - L’un et l'autre de ces procédés s’appliquent également aux pannes de croupe : mais il est bon d’observer que la commissure des deux pièces ne peut être complète, à moins que les deux longs-pans n’aient la même pente que la croupe ; sans cela, dans la panne qui a le plus de raide, la face opposée au lattis occupe une place plus élevée sur l’arêtier que celle qui en a moins, et la commissure n’a lieu réellement qu’en un trapèze commun aux deux parallélogrammes.
  - Trait d’un Tasseau d’arêtier.
  - Le tasseau, qui doit être assemblé à tenon et mortaise sur l’arêtier pour résister à la tendanc^à glisser que la pesanteur imprime aux pannes, présente une certaine complication dans son tracé, même pour les cas les plus simples : voici celui de l’arêtier dévoyé, représenté Fig. 209, et auquel nous supposerons pour dimensions l'épaisseur de l’arêtier et la largeur des pannes.
  - On voit, Fig. 20S et 210, dans les rectangles Q et q, les projections verticales des tasseaux de long-pan et de croupe. Si l’on suppose leur largeur prolongée comme le sont les pannes, les deux volumes se couperont sur l’arêtier comme elles; en sorte qu’on aura la projection horizontale du tasseau d’arêtier, en projetant sur la Fig. 209, par des perpendiculaires aux lignes de trave respectives CA', CF, les traces d’arête e, t,s; e',t',s', des Fig. 208 et 210; la ligne e t, donnée également par e t et e' t', est la projection horizontale de la ligne d’arête supérieure du tasseau, représentant la coupe verticale de commissure, si le tasseau était formé de deux pièces : t s est celle de l’arête du recreusement latéral nécessaire pour recevoir l’about de la panne de long-pan ; h i, celle de l’arête de la face verticale du tasseau du même côté; this, celle de la face de ce recreusement qui doit s’appliquer contre cette panne : il en est de même de ts’, de m l, et du parallélogramme tmls relativement à la croupe. Il est inutile de donner une configuration particulière à la face opposée gf, qu’on laisse perpendiculaire à l'arête du comble ; x montre la place du tenon, qui est en entier sur la partie du long-pan.
  - Pour former la projection verticale sur le profil de pente d’arêtier, Fig. 211, on y projettera par des perpendiculaires à C D'les points e, t, s, s', h, i, l, m, de la projection horizontale, chacun sur le profil de la ligne à laquelle il appartient. De cette sorte et sera la projection verticale de l’arête supérieure et saillante du tasseau, et de l’arête de recreusement du chevron d’arêtier ; eo, tracée perpendiculairement à la ligne d’arête, sera celle de la face d’arrière, projetée horizontalement enfg, Fig. 209, en commissure avec la chantignole ; x l, celle de l’arête du recreusement du tasseau, identique avec celle de l’arêtier. Ayant porté les hauteurs Cx, Cx sur la ligne d’axe en C1 x, C'x', menez tx et tx', et, parallèlement à celles-ci, h i et h l : la portion ts de tx sera la projection verticale de l’arête de recreusement particulier au tasseau relativement à la panne de long-pan, et ts pour cçlle de croupe ; et t h, parallèle à la ligne de trave cd!, celle des deux arêtes supérieures de ce recreusement, projetées horizontalement en th et Im, Fig. 209. Ainsi le parallélogramme tsih sera la projection verticale de la face de ce recreusement en commissure avec la panne de long-pan; et ts'l'h', celle de la commissure avec la panne de croupe.
  - (82 )
  - die man dreimaï das Maas des Lineaïs tragt. Auf diese Weise erhâït man zwei Schnittlinien, welche man mit der Schmiege auf die beiden andern Seiten übertrâgt.
  - Beide Methoden ïassen sich auch bei den Waï-menfetten anwenden ; wobei wir jedoch bemerken , Wss die Zusammensetzung der beiden Hôlzer nicht vollstândig seyn kann, wenn die beiden langen Dachseiten nicht die nâmïiche Neigung haben wie der Walmen ; indem alsdann bei der steilern Fette die dem Lattenwerke entgegengesetzte Seite hôher auf dem Gradsparren ïiegen würde, aïs die minder steiïere Fette, und die Zusammensetzung eigentïich nur in einem den beiden Paralleïogrammen gemein-schaftlichen Trapezium Statt findet.
  - Zeichnung eines zum Gradsparren gehôrigen IVürfels.
  - Da die Zeichnung eines Würfels, weïcher in einen Gradsparren eingezapft werden solï, um das Ausweichen zu verhindern, weïches bei den Fetten des Druckes wegen Statt haben kann, selbst für die gemeinsten Fâlle gewisse Eigenthümïichkeiten ent-hâlt, so geben wir hier den zum gewendeten Gradsparren gehôrigen Würfeï, weïcher in Fig. 209 vorgestellt ist, und bei dem wir die Dicke desGrad-sparrens und die Fettenbreite als Dimension an-nehmen. ^
  - Die Fig. 208 und 210 zeigen in den Recht-ecken Q und q, die verticaïen Vorstellungen der zur langen Dachseite und zum Walmen gehôrigen Würfeï, Nimmt man dieselben so breit an aïs die Fetten, so werden sich die beiden Flâchen auf dem Gradsparren so durchschneiden wie diese letz-tern; so dass man die horizontale Vorstellung des Würfels dann erhâlt, wenn man in Fig. 209 ver-mittelst der mit den respectiven Stuhlwandlinien CA', CF, perpendicular gehenden Linien, die Punkte e, t, s; e', t', s', der Fig, 208und 210 zeichnet. Die Linie et, welche e t und e't' giebt, ist die horizontale Vorstellung der obern Kanten-linie, welche der verticale Verbindungsschnitt seyn würde, wenn der Würfeï aus zwei Hôlzern bestânde : ts ist der Ausscknitt, in welchen das Ende der Fette eingesetzt wird ; h i ist dieKante der verticaïen Würfeïflàche an der namlichen Seite ; t h i s die Seite des Ausschnitts, welche sich an die Fette anïegt ; gleiche Bewandtniss hat es mit ts', mit ml, und mit dem Parallelogramm tmls', an der Walmenseite. Wirbrauchen der entgegengesetzten Seite gfkeine besondere Gestaït zu geben, indem man sie mit der Dachkante perpendicular lâsst ; x zeigt den Ort zum Zapfen, weïcher an der langen Dachseite seine vôllige Gestalt hat.
  - Die verticale Vorstellung wird auf dem Profil der Gradsparrenneigung, Fig. 211, folgendergestalt ausgeführt.Man zeichnet daseïbstvermitteïstPerpen-dicularlinien mit CD', die Punkte e, t, s, s1, h, i, l,m, der horizontalen Vorstellung ; und zwar einen jeden auf dem Punkte der Linie, zu weïcher er ge-hôrt ; worauf e t die verticale Projection der obern vorspringenden Würfeïkante, so wie der Aus-schnittkante des zum Gradsparren gehôrigen Spar-rens seyn wird ; und e o, weïches mit der Kanten-linie perpendicular geht, ist die Vorstellung zur hintern Seite, welche bei f g, Fig. 209, horizontal und mit dem Balkenholze in Verbindung gezeich-netist; xl, ist die Ausschnittkante am Würfeï, welche mit der des Gradsparrens einerîei ist. Hat man hierauf die Hôhe Cx, Cx1, auf der Axen-Iinie nach C1 x', C1 x' , getragen, ferner tx, und tx1 gezogen und mit denselben ht und hl pa-raïleï geführt ; so ist der Theil ts von tx, die verticale Vorstellung des Ausschnitts, weïcher dem Würfeï in Bezug auf die zur langen Dachseite gehôrigen Fetteangehôrt, so wie es ts für die Wal-menfette ist ; und th, paralïel mit der Stuhlwand-linie c' d', ist die Vorstellung der beiden obern an diesem Ausschnitte befindlichen Kanten , welche bei th und Im, Fig. 209, horizontal gezeichnet sind. Sonach ist das Parallelogramm tsi h , die verticale Vorstellung von derjenigen Ausschnittseite, welche mit der zur langen Dachseite gehôrigen Fette verbunden ist, und ts l'li, ist es fürdie Waïmenfette.
  - Both those methods can be appïied alike to the purlins of the end : but it is to be observed that the seam common to such timbers, the reciprocal trace of each on the other, cannot be complété, unïess the shelving may be like in both the contiguous panes of the roof; otherwise, in the purlin sleeper, the face opposed to the lathing takes on the hip a place supe-rior to the one of the less rapid timber, and they meet only in a trapezium common to both the paral-ïelograms.
  - Draught of a Stopper for the hip.
  - The stopper which is to be framed to the hip with tenon and mortise, for holding the slipping of the purlins inticed by the heaviness, offers some difficulties of draught, even in the simples! cases. This is the tracing of the one belonging to the hip shown Fig. 209, and to which we suppose for slantings the thickness of the hip and the breadth of the purlins.
  - The Fig. 208 and 210 show, in the rectangles Q and q, the vertical projections of the stoppers of the side and of the end. Let suppose their breadth be lengthened as the ones of the purlins themselves : the two bulks shall intersect each other on the hip, as well as the purlins themselves intersect ; so that one shall hâve the horizontal projection of the hip’s stopper by projecting on the Fig. 209 perpendiculars to the respectivebase-lines CA', CF, through the traces of edges e, t, s ; e', t', s' of the Fig. 208 and 210 : the line e t, alike given by et and e' t', is the horizontal projection of the upper-edge-fine of the stopper, showing the vertical eut of the seam, if the stopper was formed with two timbers ; t s is the one of the latéral grooved edge necessary to receive the end of the side’s purlin ; h i is the one of the vertical face of the stopper on the same side ; this, the one of that grooved face, which is to be appïied to the purlin : it is the same of ts',ml, and tmls’, with regard to the end. It is needless to give a particular shape to the opposite face gf, which is usuaïly left perpendicular to the edge of the roof ; x shows the place of the tenon, wholïy on the part of the side.
  - In order to form the vertical projection of that stopper on the front-view of the hip, Fig. 211, y ou shall project there, by means of perpendiculars to C D', the points e, t, s, s', h, i, l, m, of the horizontal projection, each on the profile of the line to which it belongs. Then e t shall be the vertical projection of the jutting upper-edge of the stopper, and of the grooved edge of the hip’s rafter; eo, perpendicular to the edge-ïine, shall be the one of the back-face, the seam common to the stopper-prop, and which is projected horizontally infg, Fig. 209; x l, the one of the grooved edge of the stopper, identic to the jutting edge of the hip. Take off the heights Cx, Cx, and bring thenj on the axe-line in C'x, C'x; draw tx and tx', and, parallelyto those, h i and hl: ts, the part of tx, shall be the vertical projection of the grooving particular to the stopper for receiving the end of the purlin of the side, and t s for the end’s one ; th, paralïel to the base-line c d’, the one of the two superior edges of this grooving , which are projected horizontally in th and Im, Fig. 209. So the parallelogram tsi h shall be the vertical projection of this grooving with regard to the purlin of the side ; and ts'l' h1, the one belonging to the end’s purlin.
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- - Trait de l’assemblage des Pannès avec les Arbalétriers,
  - 134. Lorsque les pannes sont assemblées à tenons et mortaises avec les arbalétriers, et par conséquent aussi avec les arêtiers, outre les coupes obliques qui doivent avoir lieu comme pour les pannes juxtaposées, voici le tracé du tenon qui doit être réservé à la panne, et de la mortaise qui doit être pratiquée à la face verticale de l’arêtier, et dont la profondeur doit être dirigée parallèlement à la surface du délardement.
  - Soit, Fig. 242,1* projection horizontale de la portion DAECBF d’un arêtier dévoyé dans lequel doivent avoir lieu les assemblages d’un cours de pannes. CD est: la trace horizontale de la face latérale qui doit recevoir la commissure de la panne de croupe; EF est la même chose pour celle de long-pan. La Fig. 243 contient seulement la projection verticale de la commissure de la même panne avec l’arbalétrier de croupe; et la Fig. 244, celle du même cours de pannes avec l’arbalétrier de long-pan.
  - Les traces verticales f, g,h,i, Fig. 243, des arêtes de la panne de croupe étant projetées sur CD, Fig. 242, par des perpendiculaires à l’intersection commune des deux plans de projection, on a en f,g,h,i, les projections horizontales des quatre angles de la commissure [occupation] sur la face verticale de l’arêtier qui est du côté de la croupe; et celles-ci étant projetées à leur tour sur la face verticale du profil de l’arêtier, Fig. 243, chacune sur l’arête à laquelle elle appartient, donnent immédiatement le parallélogramme o p q r pour projection verticale de cette commissure, et par conséquent dans sa position et ses dimensions réelles. Par une opération semblable, faite d’après les traces verticales a, b, c, d, Fig. 244, des arêtes de la panne de long-pan, on trouverait de même le parallélogramme klmn, Fig. 246, pour la projection verticale de la commissure de la panne de long-pan avec l’autre face verticale de l’arêtier.
  - Les mortaises étant une fois tracées sur le profil de l’arêtier, pour avoir la projection horizontale des tenons qui doivent être réservés à la coupe de chaque panne, il suffit de renvoyer les angles de chaque mortaise sur la projection horizontale de l’arêtier, Fig. 242, et, parles points ainsi trouvés, de tracer parallèlement à celles de la panne à laquelle chacun d’eux appartient, les arêtes des tenons, excepté celle de l’about, qu’il est d’usage de faire perpendiculaire à la surface de commissure. Les figures démontrent suffisamment cette opération par la notation des mêmes chiffres aux^nêmes objets.
  - Observation. Outre que ce procédé porte sa vérification en lui-même, puisque les quatre points résultant de chaque opération doivent donner un parallélogramme, on peut encore le vérifier de deux autres manières, en portant sur l’axe de chaque profil d’arêtier la hauteur de normales et de transversales t j et tu, Fig. 243, en t'j' et t'u', Fig. 243; t'e, t'u, Fig. 244, en t"e' et t "u1, Fig. 246; prolongeant les projections a a et if jusqu’à leur rencontre, qui doit être sur la ligne d’arête en un point s; menant à cette ligne d’arête la perpendiculaire s s s1, puis des points s et s1 les traces de plan normal se', s'j', et les horizontales su', s'u1. En effet, les côtés trouvés pour les deux parallélogrammes doivent être respectivement parallèles aux normales, et les horizontales doivent passer par les angles o et k de ces parallélogrammes.
  - ( )
  - Zeichnung nach wclcher die Fetten mit den Dachstnhlsàulen zusammengesetzt werden.
  - 134. Werden die Fetten in die Stuhlsâuïen, und folglich auch in die Gradsparren eingezapft, so geben wir hier für diesen Fall, ausser den schrâgen Schnitten, weïche wie bei den aufgeïegten Fetten Statt haben, auch noch die Zeichnung des Zapfens an der Fette , so wie des Zapfenloches am Gradsparren , dessen Tiefe mit der schrâgen Richtung der Oberflâche paralleï seyn muss.
  - Die Fig. 242 sey die horizontale Vorstellung vom Theil DAECBF, eines gewendeten Grad-sparrens ,mit weïchem eineReiheFettenverbunden werden soll ; CD, die horizontale Vorstellung der Sei-te, weïche mit der Walmenfette verbunden werden soll ; E F ist das nâmïiche bei der zur ïangen Dach-seite gehôrigen Fette. Die Fig. 243 zeigt bloss die verticale Vorstellung von der Verbindung der nam-lichen Fette mit der Waïmenstuhlsâuïe, und die Fig. 244, die mit der Stuhlsâule der ïangen Dach-seite.
  - Da die verticalen Punkte f, g, h, i > Fig. 243, weïche die Kanten an der Walmenfette vorstellen, vermittelst der mit dem gemeinschaftlichen Durch-schnitte beider Grundrisse paralleï gehenden Linien auf CD, Fig. 242, gezeichnet sind ; so erhâït man daraus bei y, g-, h, i, die horizontalen Vorstellungen von den vier Winkeïn am Ausschnitte auf der ver-ticaïen Gradsparrenflâche nach der Walmênseite zu. Dieselben Linien sind ihrerseits auf der verticalen Flâche des Gradsparrenprofiïs, Fig. 243, undzwar eine jede auf der Kante zu welcher sie gehôrt, gezeichnet worden, und haben in dem Parallelogramm opqr die wahre Beschaffenheit und Dimension dieses Ausschnittes gegeben. Aus einer àhnlichen Operation, weïche nach den verticalen Linien a, b, c, d, Fig. 244, weïche die Fettenkanten an der Ïangen Dachseite vorstellen , gemacht würde , er-gàbe sich das Parallelogramm klmn, Fig. 246, aïs verticale Vorstellung des Ausschnittes an der zur Ïangen Dachseite gehôrigen Fette, worein die an-dere verticale Flâche des Gradsparrens eingesetzt wird.
  - Sind die Zapfenlôcher auf dem Profile des Gradsparrens gezeichnet, so braucht man, um die horizontale Vorstellung der an jeder Fette anzubringen-den Zapfen zu erhalten, bloss die Winkel eines jeden Zapfenloches auf die horizontale Vorstellung des Gradsparrens Fig. 242 zu tragen, und vermit-teîst der soïchergestalt gefundenen Punkte , die Zapfenkanten paralleï mit derjenigen Fettenprojec-tion zu zeichnen , zu der ein jeder Punkt gehôrt ; wovon bloss die Endkante ausgenommen ist, weïche gewôhnïich mit der Flâche des Ausschnittes perpen-dicuïar gemacht wird. Diese Operation ergiebt sich sattsam aus den Zeichen, weïche auf die nâmlichen Gegenstânde hinweisen.
  - Anmerkung. Ohnerachtet sich die Richtigkeit dieses Verfahrens schon durch sich seïbst beweist, indem die vier Punkte, weïche sich aus jeder Operation ergeben, ein Parallelogramm bilden müssen ; so bestâtigt sich dasselbe noch durch die beiden an-dern Verfahrungsweisen, wonach man die Hôhe der Normalen- und Zwerchlinien tj und tu, Fig. 243, auf der Axe eines jeden Gradsparrenprofiïs nach t'j' und t'u’, Fig. 243; t'e, t'u, Fig. 244, nach t"e’ und t "u , Fig. 246, trâgt ; die Projectionen a a und if, bis dahin wo sie auf der Kantenlinie in dem Punkte s zusammentreffen , verïângert ; auf diese Linie die Perpendicularlinie s s s' führt, und endlich aus den Punkten s und s', die Normallinien s e', .s'j', nebst den Horizontallinien «u , s‘u' zieht : die für die beiden Parallélogramme gefundenen Seiten müssen nâmlich mit den Normallinien paralleï seyn ; und die Horizontallinien müssen durch die Winkel o und k dieser Parallélogramme gehen.
  - Noulet droit.
  - 135. Lorsqu’un comble à deux égouts, au lieu d’aboutir à un pignon ou à une ferme verticale, ou bien de se terminer en croupe, se prolonge au con-
  - Gerade Kehle.
  - i
  - 135. Wenn ein Dach mit zwei Wasserabziigen sich nicht an einem Giebel oder einem verticalen Bunde , oder in einem Walmen endigt, sondern
  - Draught of a Purlin framed with a principal Rafter.
  - 134. When the purïinsare framed with tenons and mortises to the principal rafters, and conse-quently to the hip, fartherthe oblique cuts beïonging to the juxtaposed purlins, behoïd the particular draughts of the tenon to be'reserved in the purlin, and the mortise to be made into the vertical side of the hip, and whose the depth ought to be directed parallely to the shaving of the hip.
  - 9
  - Let be, Fig. 242, DAECBF the horizontal projection of a part of a deviated hip, on whom ought to be framed a row of purlins; CD, the trace of the latéral face which is to receive the framing of the end’s purlin ; EF, the one beïonging to the one of the side. The Fig. 243 shows only the vertical projection of the seam common to the purlin and to the rafter of the end ; and the Fig. 244, the one relative to the principal rafter of the side.
  - The vertical traces f, g, h, i, Fig. 243, of the edges of the end’s purlin, being projected on C D, Fig. 242, by the means of perpendiculars to the common intersection of the two plans of projection, givef,g, h, i, the horizontal projection of the seam [trace] on the vertical face of the hip, towards the end ; and those latter points, being after projected on the vertical face of the hip’s profile, Fig. 243, each on the edge to which it belongs, give imme-diately the parallelogram o p q r as the vertical projection of that seam, and consequently with its own sit and real measures. A construction quite like, made with the traces of the edges of the end’s purlin a,b,c,d, Fig. 244, shaïl give the parallelogram klmn, Fig. 246, as the vertical projection of the seam of the side’s purlin framed with the other vertical face of the hip.
  - The mortises being once traced on the front-view of the hip, in order to form the horizontal projection of the tenon to be reserved at the eut of each purlin, it suffices to send back the corners of each mortise on the horizontal projection of the hip, Fig. 242, and, through the points sofound, to trace the edges of the tenons parallely to the ones of the purlin to which they belong ; excepting the but-edge, which usually is eut perpendicularly to the surface of the occupation. The figures show plainly enough that drawing by means of the same numbers stamped on the same objects.
  - Remark. Such a draught contains into itself its own vérification, since the four points resulting from each operation ought to give a parallelogram ; but it can be further verified in a double other manner, by bringing on the axe of each side-view of the hip the normal’s and transversal’s heights, viz, tj and tu, Fig. 243, on t'j" and t'u', Fig. 245; t'e, t'u, Fig. 244, on t"e' and t "u1, Fig. 246; lengthening the projections a a and if until their meeting in a point s, what ought to be on the edge-line ; drawing through that point s s s perpendicular to that edge-Iine; and at last, through s and s', the traces of normal-plan se1, s'j, and the horizontaïs s u', s'u'. Indeed the found sides of the two paralle-lograms ought to be respectively paralleï to the normals, and the horizontaïs must pass through the angles o and k of those parallelograms.
  - Right shorted Valley.
  - 135. When a double guttered roof does not end in an inclinated pane (in end), nor seat on atriangu-larly lengthened wall, neither on a vertical truss,
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- - traire jusqu a la rencontre d’un pan de couverture d’un bâtiment plus grand, au chevronage duquel il se termine par une sorte de ferme oblique, la portion du petit comble ainsi projetée sur le grand se nomme noulet ; en sorte que l’assemblage oblique qui termine le petit comble, et que l’on compose parfois comme les fermes ordinaires, est proprement l’intersection d’un prisme triangulaire sur une des faces d’un autre prisme triangulaire plus grand, dans la supposition que ces deux prismes aient une de leurs faces sur le meme plan, ou au moins sur des plans parallèles, Fig. 223. On voit d’abord qu’une telle intersection est un triangle isocèle, si1 les lignes de couronnement des deux combles sont dans des directions perpendiculaires ; et un triangle scalène, si elles sont obliques l’une par rapport à l’autre, ou que l’une des deux bases soit en biais : on voit aussi que la ferme oblique d’un noulet formerait deux noues complètes, si les lignes de couronnement étaient à la même hauteur.
  - Les deux pièces juxta-posées au chevronage du grand toit prennent le nom de branches de noulet'. si l’on y assemble d’autres pièces pour y produire plus de solidité , le composé s appelle feinne oblique du noulet [ferme couchée], et ces autres pièces prennent le nom quelles 'auraient dans une ferme ordinaire : la ferme verticale du petit toit, à laquelle commence le noulet, s’appeïle fermette ; et les pièces situées entre celles-ci et la ferme oblique, sont appelées emjianons de noulet,pannes de noulet, 8fc.
  - 136. L’exemple que nous allons considérer, est un noulet droit, détaillé auxFig. 217, 218, 219, 220, 221, 222 et 223. La description horizontale, Fig. 217, montre en AB l’épaisseur des murs du bâtiment; en C, la saillie de sa corniche ; en E, celle de la corniche du vieux bâtiment ; et l’intersection D de ces deux retombées est le point inférieur de la ligne de noue DX. F G montre l’épaisseur du vieux mur ; et H, 1, les plates-formes du vieux comble; J et K sont celles du comble neuf qui aboutissent contre l’extérieur du vieux. M est la projection horizontale d’un des arbalétriers de la fermette ; L, celle de son blochet ; et N, celle du poinçon : on voit que l’épaisseur de cette fermette est placée en dehors de la ligne d’égout du vieux comble, afin de ne pas causer de difformité à la ligne de noue I)X. O est un chevron du petit comble, et P, un bout de la panne faîtière : on voit en Q la panne du noulet; en R, le blochet de la branche du noulet, qui est en partie sur les plates-formes neuves, et en partie sur une vieille : S est la projection horizontale de l’une des branches du noulet ; T U, celle d’une croix de Saint-André; et V, les empanons : X Y est la projection horizontale de la ligne de couronnement du noulet, prise dans le mesurage fait sur le vieux comble.
  - 137. La Fig. 218 montre la projection verticale de la fermette : on voit quelle est composée de pièces combinées comme aux fermes qui précèdent, et le tracé en sera fait comme aux exemples que nous venons d’expliquer. A B indique l'épaisseur du mur neuf ; et C, la saillie de sa corniche : D Z est la pente du petit comble. On a coutume d’annexer à cette figure une ligne oblique appelée dans la pratique fente du vieux comble : pour tracer cette ligne, les élémens sont sa projection verticale YZ, axe de la fermette ; et sa projection horizontale YX, Fig. 217, ligne de couronnement du noulet. Par le point Z de la Fig. 218, on a mené parallèlement à la ligne de trave la ligne ZX, qu’on a faite égale à F Y de la Fig. 217 J on voit donc que cette ligne de couronnement ZX a fait un quart de révolution sur l’axe de la fermette : alors l’hypoténuse X Y est bien réellement la pente du vieux comble ; elle est aussi l’axe de la ferme oblique, dont la projection verticale se confondait avec*celle de l’axe de la fermette avant son mouvement de rotation : la ligne X Y exprime encore la trace de la surface de la ferme oblique qui est contiguë au vieux comble. La droite ap, qui lui est parallèle, a été tracée d’après l’une des
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  - vielmehr bis zur Dachseite eines grôssern Gebâudes geht, an dessen Sparrenwerke es sich an einer Art von schrâgem Bunde endigt ; so heisst derTheil des kleinen Daches, weïches an das grosse anstôsst, eine Kehle; so dass aïso die schrâge Dachverbin-dung, anwelcher sich das kleine Dach endigt, und welche bisweilen wie die gewôhnlichen Bünde zu-sammengesetzt ist, eigentlich nichts anders ist als der Durchschnitt eines dreieckigen Prismatis auf einer der Flâchen eines andern dreieckigen und noch grôssern Prismatis; wobei angenommen wird, dass diese beiden Prismata eine von ihren Flâchen auf dem nâmïichen Plane, oder wenigstens auf pa-raïlelen Plânen , Fig. 223, haben. Man sieht, dass ein solcher Durchschnitt ein gleichschenkeliges Dreieck dann ist, wenn die Kranzlinien der beiden Dâcher perpendicuïar gerichtet sind ; und dass er ein ungleichseitiges Dreieck ist, wenn diese Linien in Bezug auf einander schrâg sind, oder wenn die eine der beiden Grundflachen schrâg ist : man sieht ferner, dass der schrâge Bund einer Kehle zwei vollstândige Kehïsparren bilden würde, wenn die Kranzlinien sich an derselben Hôhe befânden.
  - Die beiden über einander gelegten Hôlzer am Sparrenwerke desgrossen Daches heissen Kehlschif-ter. Verbindet man , der Festigkeit wegen , damit noch andere Hôlzer, so nennt man eine soïche Zu-sammensetzung einen schràgen Kehlbund, wobei jene Hôlzer ihre gewôhnlichen Namen beibehalten. Der verticale Bund des kleinen Daches, an welchem die Kehle ihren Anfang nimmt, heisst der kleine Dachbinder, und die zwischen diesem und dem schràgen Bunde befïndüchen Hôlzer heissen Kehl-sparren, Kehlfetten, u. s. w.
  - 136. Der jetzt zu besehreibende Faïl betrifft eine gerade in der Fig. 217, 218, 219, 220, 221, 222 und 223 enthaltene Kehle. Der Grundriss Fig. 217 , zeigt bei A B die Dicke der Haupt-mauern ; bei C, den Vorsprung des Karniesses ; bei E, den Karniessvorstoss am alten Gebâude, und der Durchschnitt D, ist der untere Punkt an der Kehllinie D X. F G zeigt die Dicke der alten Mauer, IJ, I die Mauerlatten des alten, und J, K, die des neuen Daches, welche bis an das alte gehen. M ist die horizontale Yorstellung von einer zum kleinen Dachbinder gehôrigen Stuhlsâule; L ist die des Stichbaïkens , und N die der Giebelsâuïe. Man sieht, dass die Dicke dieses kleinen Dachbinders ausserhalb der Dachrinnenïinie des alten Daches gesteïlt ist, wodurch die Kehllinie D X mehr Eben-maas erhâlt. O ist ein Sparren am kleinen Dache, und P ein Ende von der Giebelfette : wir sehen bei Q die Kehlfette , und bei R den Stichbalken zum Kehïschifter ; derselbe ïiegt theils auf den neuen Mauerlatten, theils auf einer alten. Y ist die horizontale Yorstellung von einem Kehïschifter; T U die eines Kreuzbuges , und V die des Schiftsparrens : XY endlich, ist die horizontale Yorstellung von der Kehîkranzlinie, welche vom alten Dache genom-men ist.
  - 137. Die Fig. 218 zeigt die verticale Yorstel-lung des kleinen Dachbinders ; wir sehen, dass derselbe eben so zusammengesetzt ist, wie die vorigen Bünde. Er wird übrigens auf die nâmliche Weise gezeichnet wie in andern bereits beschriebenen Fâï-len. AB zeigt die Dicke der neuen Mauer, und C den Vorsprung am Karniesse. D Z ist der Abhang des kleinen Daches. Dieser Figur ist eine schrâge Linie, welche den Abhang des alten Daches vor-stellt, beigefügt worden. Bei der Zeichnung dieser Linie sind die Hauptbestandtheile : ihre verticale Projection Y Z, Axe des kleinen Dachbinders ; und ihre horizontale Darstellung, YX, Fig. 217, Kehîkranzlinie. Durch den Punkt Z der Fig. 218, ist mit der Stuhïwandlinie die Linie ZX parallel ge-zogen, und diese ïetztere der Linie Y X, Fig. 217 gïeich gemacht worden. Diese Kranzlinie ZX hat diesem zu Foïge einen Viertelzirkel um die Axe des kleinen Dachbinders beschrieben ; so dass sodann die Hypothenuse XY der wahre Abhang des alten Daches ist ; sie ist ferner auch die Axe des schràgen Bundes, dessen verticale Projection sich vor jener kreisfôrmigen Bewegung mit der Axenlinie des Idei-nen Dachbinders verschmolz. Die Linie X Y ist
  - but is prolonged untiïï to a pane of a greater roofing, on raftering of which it ends in a kind of oblique truss ; the part of the lesser roof so projected on thc greater is called shorted valley : so that the oblique framing which bounds the lesser roof, and which sometimes is framed as well as the ordinary trusses, is exactly the intersection of a triangular prismby the one of the faces of another greater triangular prism, supposing that botli those prisms hâve the one of their sides on the same plan, or atless on parallel plans, as shows the Fig. 223. It is understood forthwith that such an intersecting is an isosceles triangle, when the crowning-Iines of the roofs are perpendicuïar to each other ; and a scaïene, if they are oblique, or thc one of the bases is slope ; 2.ly, that the oblique truss bounding such a roof should form two complété valleys, if both the ridge-Iines should beat the same height.
  - The two timbers laid on the rafters of the greater roof are named branches of the shorted valley : when another timbers are framed to them, in order to produce a greater solidity, such a framing is called oblique truss of the shorted valley [laid truss] ; and those timbers take the same naines as in an usuaï truss. The vertical truss of the lesser roof, from which the valley begins, bas name small truss ; and the timbers seated between the small and the oblique truss, are called valley s rafters, valley’s purlins, 8fc.
  - 136. The Fig. 217, 218, 219,220,221,2.Q2 and 223, show a shorted valley rightangled. On the horizontal description, Fig. 217, AB designs the thickness of the one of the buildings walls; C, the jutty of its cornice; E, the one of the cornicc of the old building; the intersection D of those jutties is the bottom of the valley-line DX. FG shows the thickness of the old wall; 11,1, the wall-plates of it ; J and K, the ones of thc lesser building, which end at the exterior one of the old roof. M is the horizontal projection of a principal rafter of the small truss ; L, the one of thc hammer-beam ; N, of the king-post : the thickness of the small truss outs the eaves-lines of the old roof, in order that the valley-line D X does not be broken. O shows a rafter of the small roof; P, an end of the riclge-purïin ; Q,tlic purlin of the valley ; R, the hammer-beam parfi-cular to the branch of the shorted valley, which ïays, a part on the one of the old wall-pïates, and a part on the new ones : S shows the horizontal projection of the one of the valley’s branches; TU, the one of a Saint-Andrew’s cross ; V, of the shorted rafters ; X Y, the one of the csowning-line of the shorted valley.
  - 137. The Fig. 218 shows the vertical projection of the small truss : it is formed with timbers framed as in the usuaï truss, and drawn as well as the foregoing explained. A B marks the thickness of the new walls ; C, the jutty of the cornice ;D Z, the shelving of the lesser roof. To that figure is added, as usualïy, the shelving of the greater roof, drawn by the means of its vertical projection YZ, the axe of the small truss, alid its horizontal one YX, Fig. 217, the crowning line of the shorted valley. Through the point Z, Fig. 218, trace ZX, parallel to the base-line, and equaï to FYof the Fig 2U,
  - It is then understood that the crowning-line ZX has turned a quadrant on the axe of the small truss, and that the hypoténuse X Y is the real shelving of the old roof ; the same line is aïso the axe of the oblique truss, whose the vertical projection was confounded with the one of the small truss before the motion of rotation : X Y expresses too the trace of the surface inferior of the oblique truss, which is contiguous to the old roof. The straight«/>, parallel to it, is distancée! accordingly to the scanilings of the timbers which compouncl it ; it is besides a trace of the face of the oblique truss, which reçoives the
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- - dimensions d’écarrissage clés bois qui doivent entrer dans sa composition ; cette dernière est la trace de ïa ferme oblique qui reçoit fes assemblages des pannes, empanons, &c. du nouiet. Les praticiens appellent le parallélogramme X Y ap, aiguille couchée; on pourrait tout au plus le considérer comme line coupe à Taxe de la ferme oblique. Nous avons 1 seulement supposé que la ligne de couronnement avait fait un quart de révolution sur ï’axe de la fermette , qui a transporté l’extrémité de YX, Fig. 217, en X, Fig. 218; on peut supposer le même mouvement à la fermette entière : alors le parallélogramme X Y ap devient une vraie projection de la ferme oblique, laquelle, ayant encore subi un mouvement de quart de cercle sur la ligne XY, présentera un triangle zycï, Fig. 219; et, si l’on renvoie par des transversales les points principaux de la fermette sur cette projection de la ferme oblique, on aura les points nécessaires pour tracer son extension en opérant comme il suit.
  - 138. Pour tracer les détails des pièces qui composent la ferme oblique, Fig. 219, on mènera d’abord, pour ligne de trave, y d, qu’on fera égale à YD et perpendiculaire à YX, ainsi que celle de couronnement Xz; on tracera aussi yz parallèle à YX pour isoler ïa Fig. 219 de la précédente : car ïa ferme oblique ne diffère de la verticale que par la longueur de son axe ; les dimensions de largeur restent les mêmes. On tracera donc dz, qui sera l’arête de la branche du nouiet contiguë au vieux comble. En menant des points 1, a, b, des parallèles à Xz, on aura sur y z les points a, 1, b, par lesquels on tracera des droites parallèles à d z, qui marqueront les trois autres arêtes de la branche de nouiet, toutes sur une même surface, le plan du chevronage du grand comble, mais dont il faut supposer que les deux provenant de a et de h sont élevées au-dessus de ce plan de la quantité qu’il y a entre X Y et ap. En effet, par le mouvement de rotation que nous avons supposé, la ligne ap s’est placée directement sur X Y, et chacun de ses points a décrit un quart de cercle perpendiculaire à cette dernière; en sorte que leurs projections sur XY sont les mêmes qu’ils donneraient dans leur nouvelle position sur une ligne élevée au-dessus de zy. II résulte de ce qui précède, que les points g, h', de la ligne ap, ont donné les arêtes de la face de l’entrait g; et 4 et 5, les arêtes de la contre-face; que les points i,j, sur ap, renvoyés en i et j sur l’arête supérieure de la branche de nouiet, avec les distances tu, tv, de la Fig. 218, reportés en tu,tv, Fig. 219, y ont donné les arêtes j u, j v, de la face de l’esselier : mais les arêtes de la contre-face sont tracées parallèlement aux premières par les extrémités des perpendiculaires menées des points u et v à la face inférieure de l’entrait, pour y tracer l’occupation de l’esselier. Le même procédé donnera le tracé de la jambette, des contre-fiches, et des mortaises des empanons. Mais il faut tracer auparavant les coupes des empanons sur le trait, comme on a vu aux pavillons qui précèdent, ou bien employer à leur tracé les points d’about de la description horizontale. La Fig. 220 montre dans sa largeur naturelle la face de la branche de nouiet qui contient les mortaises de la jambette, de l’esselier, &c.
  - On voit à la Fig. 221 les détails d’une croix de Saint-André placée entre le faîte et le sous-faîte du nouiet.
  - Pour tracer les arêtes de l’autre croix de Saint-André dessinée dans la description horizontale,
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  - endlich auch noch die Oberflache des schrâgen Bundes, welcher an das alte Dach anstôsst. Die gerade Linie ap, welche mit demseïben parallel lâuft, ist nach einem der vierkantigen Hôlzer ge-zeichnet, aus denen derselbe zusammengesetzt ist. Diese ïetztere Linie ist die Vorstellung des schrâgen Bundes, mit dem die Kehïfetten , Schiftsparren , u. s. w., verbunden sind. Das Parallelogramm X Y ap wird in der Praxis aiguille couchée genannt; es kann hôchstens aïs ein Durchschnitt an der Axe des schrâgen Bundes betrachtet werden. Wir haben an-genommen , dass die Kranzïinie eine Yiertelwen-dung um die Axe des kleinen Dachbinders gemacht habe, wodurch das Ende von YX, Fig. 217, nach X, Fig. 218, getragen worden ist ; allein es lâsst sich annehmen, dass die nâmlicheBewegungbei dem ganzen Binder Statt findet; alsdann wird das Parallelogramm XY ap, die wahre Darsteïlung des schrâgen Bundes ; und nachdem eine abermalige Viertelwendurig auf der Linie XY Statt gehabt hat, so entsteht daraus das Dreieck zyd, Fig.219. Trâgt man sodann vermittelst schrâger Linien die Hauptpunkte dieses Binders ajuf die Projection des schrâgen Bundes , so erhâlt man die zur erweiterten Zeichnung erforderlichen Punkte, wobei man auf folgende Weise verfâhrt.
  - 138. SoIIen die Zusammensetzungen im schrâgen Bunde, Fig. 219 gezeichnet werden , so zieht man zuvôrderst yd aïs Stuhlwandlinie, und macht sie gïeich YD, und perpendicular mit YX; zieht fernerdie Kranzïinie Xz, und zeichnet yz, parallel mit YX, um die Fig. 219 von der vorigen abzu-sondern ; denn der schrâge Bund unterscheidet sich von dem verticaïen bloss durch die Lânge seiner Axe, indem die Breite die nâmliche bleibt. Man zeichnet hierauf dz, welches die an das alte Dach anstossende Kante des Kehlschifters ist. Zieht man sodann aus den Punkten 1, a, b, Paraïlellinien mit Xz, so erhâlt man auf yz die Punkte a, 1, h, vermittelst welcher man gerade mit dz parallel lau-fende Linien zieht. Diese letztern bezeichnen die drei andern Kehlschifterkanten, welche sich sâmmt-lich auf der nâmlichen Flâche am Sparrenwerke des grossen Daches befinden ; wobei aber angenommen wird, dass die beiden aus a und b sich ergebenden Kanten, über dieser Flâche üm die zwischen XY und ap Statt findende Grosse erhaben sind. Es hat nâmlich vermittelst der obgedachten kreisformigen Bewegung, die Linie ap unmittelbar auf X Y ihren Platz eingenommen ; wobei ein jeder von ihren Punkten einen mit dieser letztern Linie perpendi-cuîaren Quadrant beschrieben hat; so dass also die Projectionen dieser Punkte auf X Y die nâmlichen sind, welche sie in ihrer neuen Stellung auf einer über zy aufgerichteten Linie geben würden. Die-sem zu Foïge haben die Punkte g, h', der Linie ap, die Kanten an der Spannriegelflâche g ; und 4 und 5 die Kanten an der entgegengesetzten Seite gegeben : ferner haben die Punkte i,j, auf ap, welche nach i und j auf die obéré Kehïschifterkante mit den Ab-stânden tu, tv der Fig 218geführt, und nach tu, tv , Fig. 219 zurückgetragen wurden, daseïbst die Kanten j u, j v an der Jagdbandseite gegeben ; je-doch sind die Kanten an der entgegengesetzten Seite parallel mit den vorigen durch die Enden der Per-pendicuïarlinien gezogen worden, welche aus u und v auf die untëre Spannriegeïseite geführt wurden , um daseïbst den Einsatz des Jagdbandes zu bestim-men. Die Zeichnung des Stützholzes, der Streben und Zapfenlôcher an den Schiftsparren erhâlt man auf die nâmliche Weise : es muss jedoch vorher bei den Schiftsparren entweder der Schnitt gezeichnet werden, wie soïches bei den oben beschriebenen Pavillons zu ersehen ist, oder man bedient sich zu ihrer Zeichnung derEndpunkte in der horizontalen Vorstellung. Die Fig. 220 zeigt die natürliche Breite der Kehlschifterseite in welcher die Zapfen-locher zu dem Stiitzholze, Jagdbande, u. s. w., ein-gelocht sind.
  - Die Fig. 221 enthâlt die Zeichnung eines Kreuz-buges, welcher zwischen den Kehlgiebelfetten ange-bracht ist.
  - Die Kanten am andern Kreuzbuge, welcher im Grundrisse Fig. 217 enthalten ist, werden, wie
  - framings of the purlins, rafters, &c. of the shorted valley. The parallelogram X Y ap is called by the practisers needle lain; it couïd be at most con-sidered as a section of the oblique truss, ma de along the axe. When we hâve supposed that the crowning-line had turned on the axe of the small truss, and transferred at X, Fig. 218, the extremity of YX of the Fig. 217 ; the same motion executed by the whole truss has turned the parallelogram X Y ap in a true vertical projection of the oblique truss, which, being after turned round the line XY, becomes the triangle dyz, Fig. 219; then the principal points of the small truss, being sent back on that projection of the oblique truss by means of transverse lines, give the points usefitf for its ledge-ment, as it follows.
  - 138. In order to draw the details of the timbers which compound the oblique truss, Fig. 219, bring the base-line yd, equal to YD and perpendicular to YX; then trace the crowning-ïine Xz, and zy parallel to YX, for distinguishing the Fig. 219 from the preceding one : indeed the oblique truss does not differ from the vertical one but by the length of the axis, the measures on breadth being quite alike. Then draw dz, the edge of the valley’s branch contiguous to the oïd roof. Through the points 1 ,a,b, bring parallels to Xz, which shall intersect yz on the points a, 1 ,b; and, through those latter points, parallel straights to dz, which shall show the three other edges of the valley’s branch, ail traced on a same surface, viz, the raftering of the oïd roof, but whose two, the ones proceeding from the,points a, b, are to be supposed over that surface as the straight ap raised over XY by the rotative motion. Indeed, by means of that movement, each point of the line a p has described a quadrant perpendicular to X Y ; so that its pro jection on X Y is the same as the one whom it should give on a line seated over z y. From thencé it results that the points g, h!, of the straight ap, give the edges of the face of the tie-beam g; and 4 and 5, the edges of the counter-face; that the points i,j, on ap, sent back at i and j on the upper-edge of the valley’s branch, with the distances tu, tv of the Fig. 218, carryed at tu, tv, Fig. 219, give the edges y u, j v, of the brace : but the edges of the counter-face are traced parallely to the first ones, through the ends of the perpen-diculars drawn from u and v on the under-face of the collar,fordrawing on it the joint of the brace. The same method shall be used for tracing the ashïeers, struts and mortises of the shorted rafters. But it needs before to trace the cuts of that rafters on the draught, or by the means of their butt-ment - points on the horizontal projection. The Fig. 220 shows the real breadth of the branch of the shorted valley on the face which countains the mortises for the ashïeers, braces, &c.
  - The Fig. 221 shows the details of a Saint-Andrew’s cross seated between the ridge and the under-ridge of the roof.
  - For tracing the mortises of the other Saint Andrew’s cross designed on the horizontal projec-
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  - 3.e Partie-
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- - Fig. 217, on prendra à la surface du lattis un point angulaire, comme x; on tracera xy parallèle à ïa fermette M; par ces points x, y, on mènera parallèlement h. Y Z deux droites qui donneront sur la surface du lattis, Fig. 218, les points x, y: par ïe point y on mènera la transversale y z; et par le point x, la droite xz, perpendiculaire à ïa trace du lattis DZ : ce point z, transporté à ïa Fig. 219, par ïe moyen de sa distance à Taxe sur ïa transversale y z, servira à tracer ïes occupations et mortaises u, t, des branches de ïa croix de Saint-André sur ïa branche de nouïet, comme nous avons expliqué à la planche qui précède celle-ci.
  - La Fig. 222 est î’extension [ïa herse] de ï’un des versans du nouïet.
  - 139. Dans ce premier exemple, on voit que les faces des branches de nouïet opposées à celles qui sont contiguës au grand comble, iui sont parallèles; qu’on peut par conséquent considérer ces branches comme des plates-formes inclinées à ï’horizon, et qui reçoivent ïe pied des empanons au moyen d’en-taiïïes [de pas], comme les plates-formes des combles reçoivent ïe pied des chevrons ; mais avec cette différence, qu’ici ïes coupes des empanons sont obliques aux quatre surfaces, et le tracé doit s’en faire conformément à ïa pente du petit comble sur ïes faces verticales ; et sur ïes faces inclinées, conformément à ïa pente du grand comble modifiée par celle du petit. Nous croyons utile d’ajouter à cette leçon ïe procédé pour tracer ïes dimensions d’écarrissage de ïa branche de nouïet, c’est-à-dire, ïa coupe faite carrément à sa dimension longitudinale au moyen de l’angïe-pïan [ïe biveau] que forment les deux versans entre eux, et que l’on construira en cette sorte (n.° 71).
  - 140. La Fig. 224 représente ïe tétraèdre de ïa moitié du nouïet, développé sur ïe plan de ïa moitié de sa ferme oblique ydZ, contiguë au grand comble : dXZ est ï’un des versans du nouïet qui a tourné sur la ïigne de noue dZ ; ïe triangle rectangle Zxy est ïa section verticale faite, par ïa ïigne de couronnement, ayant tourné sur y Z : iï en résulte que ZX est égale à Zx, puisque toutes les deux sont la ligne de couronnement. D’un point quelconque X, pris sur ZX, menez une perpendiculaire à dZ, jusqu’à ce quelle rencontre y Z en c ; portez ZX de Z en x, et joignez ex; de c et de z comme centres, et des rayons respectifs ex et zX, faites deux arcs qui se coupent en x, et joignez zx et xc : ï’angïe xz c sera ïa mesure de ï’angïe plan que forment entre eux ïes deux versans ; de sorte qu’il ne reste plus qu’à déterminer ses côtés relativement aux dimensions des pièces qui doivent s’assembler à la branche de nouïet. On mène la droite 2,3, parallèle àzc, et à une teïïe distance, quelle exprime l’épaisseur des pièces de la ferme oblique, Fig. 219; et d’un autre côté, ïa ïigne z, 1, déterminée par ïe point f, exprime ïa largeur de ïa face de la branche de nouïet, qui est contiguë au lattis du grand comble, telle quelle a été donnée aussi Fig. 219 : alors ïe parallélogramme z, 1,2,3 est ïa section perpendiculaire de la branche de nouïet, d’où vous déduirez facilement son écarrissage.
  - Aux constructions modernes, les échantillons de bois qu’on emploie au chevronage étant d’un écarrissage moindre que les maîtresses pièces des fermes, ïes pieds des empanons ne peuvent occuper ïa largeur totale de ïa surface de la branche de nouïet qui reçoit leur assemblage : ils pourront être fixés dans l’occupation e f g h, au moyen d’un pas dont ïe vide aura la forme d’un prisme triangulaire oblique, puisque celle de ses faces qui se confond avec celle de ïa branche de nouïet, est un parallélogramme jklm, même figure, et dont l’enfoncement aura la forme d’un triangle hlm.
  - 141. Lorsque le nouïet est très-petit, comme,
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  - foïgt, gezeichnet. Man nimmt an der Flâche des Lattenwerkes einen Eckpunkt, z. B. x ; zeichnet x y mit dem kïeinen Dachbinder M paraïleï ; fülirt durch diese Punkte x, y , paraïleï mit Y Z, zwei gerade Linien , welche auf der Oberflâche des Lattenwerks , Fig. 218, die Punkte x, y geben ; zieht durch den Punkt y die Zwerchïinie yz ; und durch den Punkt x, die gerade Linie xz, perpen-dicuïar mit der Lattenïinie DZ ; der Punkt z, weïcher in Fig. 219 , vermitteïst seines Abstandes von der Axe, auf die Zwerchïinie yz getragen ist, dient sodann zur Zeichnung des Einsatzes und der Zapfenïôcher u, t, vermitteïst weïcher die Hôïzer des Kreuzbuges mit dem Kehïschifter verbunden werden, wie soïches aus der vorigen Tabeïïe zu er-sehen ist.
  - Die Fig.'222 ist die erweiterte Zeichnung von einem der Kehïabhânge.
  - 139. In diesem ersten Faïïe sind, wie man sieïit, die Seiten der Kehïschifter / welche den an das grosse Dach anstossenden entgegengesetzt sind, mit diesem paraïleï ; diese Schifter ïassen sich foïgïich aïs Mauerïatten ansehen, weïche nach dem Horizont geneigt sind, und Einschnitte erhaïten, in welche die Schiftsparren eben so eingesetzt werden, wie die Hauptsparren in die gewôhnïichen Mauerïatten ; nur dass hier die Schnitte der Schiftsparren mit den vier Fïâchen schrâg ïaufen, deren Zeichnung bei denver-ticaïen Flâchen nach dem durch das kïeine Dach mo-dificirten Abhange des grossen Dacïies , ausgeführt werden muss. Es wird zweckdienïich seyn , wenn wir die Yerfahrungsweise, nach weïcher dieDimen-sionen des viereckigen Kehïschifters gezeichnet werden, hier beifügen ; d. h. der Schnitt, weïcher vermitteïst des durch die beiden Abhange gebiïde-ten fiachen Winkeïs viereckig der Lange nach gemacht, und foïgendergestaït gezeichnet wird (N.° 71).
  - 140. Die Fig. 224 zeigt den Tetraëder von der haïben Kehïe, .weïcher auf dem Plane des an das grosse Dach anstossenden haïben schrâgen Bundes yd Z ausgeführt worden ist : dXZ ist einer von den Kehïabhângen , weïcher sich um die Kehïïinie d Z gedreïit hat; das rechtwinkeïige Dreieck Zxy , ist der verticale Durchschnitt, weïcher von der Kranz-Iinie, die sich um y Z gedreht hat, gemacht worden ist : daraus foïgt, dass Z X gïeich ist Z x, weiï beide Linien die Kranzïinie vorsteïïen. Aus einem beïie-bigen auf ZX genommenen Punkte X, ziehe man eine mit d Z perpendicuïare Linie, bis solcïie mit y Z bei c zusammentrifft ; trage ZX von Z nach x, und vereinige c x, beschreibe aus c und aus z, aïs Mittelpunkten, und aus den respectiven Radiis c x und z X zwei Bogen, weïche sich bei x durchschnei-den,und ziehe zx und xc zusammen; worauf xzc das Maas zu dem fiachen Winkeï seyn wird, den die beiden Abhange mit einander biïden ; so dass aïso nur noch dessen beide Seiten in Bezug auf die Dimen-sionen der mit'dem Kehïschifter zusammen zu set-zeneïen Hôïzer zu bestimmen sind. Man ziehe die gerade Linie 2,3, paraïleï mit z c, in einem soïchen Abstande, dass sie die Dicke der zum schrâgen Bunde, Fig. 219 gehôrigen Hôïzer bezeichnet ; wobei von der andern Seite die Linie z, 1, welche der Punkt f gegeben hat, die BreitederKehlschifterseite, welche an das Lattenwerk des grossen Daches anstôsst, so bezeichnet, wie soïche in Fig. 219 angegeben ist : das Paraïïeïogramm z, 1,2, 3, ist sodann die per-pendicuïare Section des Kehïschifters, wonach sich dessen Abvierung ïeicht bestimmen ïàsst.
  - Da bei den heutigen Gebâuden die zum Sparren-werk bestimmten Hôïzer gewôhnlich nicht so stark sind aïs die Bundhôïzer, so kônnen die Haïbsparren zwar nicht die ganze Breite an den Kehlschiftern ein-nehmen ; aïïeinsie kônnen in den Einschnitt efgh, weïcher die Gestaït eines dreieckigen schrâgen Prismatis hat, eingesetzt werden ; indem diejenige von ihren Flâchen, welche sich mit der Kehïschifter-flâche verschmiïzt, ein in der nâmïichen Figur be-findïiches Paraïïeïogramm jklm ist, wobei die Tiefe die Gestaït eines Dreiecks klm hat.
  - tion, Fig. 217, choose at the ïatliing’s surface an anguïar point, for instance x, and cïraw xy paraïleï to the small truss M ; through those points %,ïj, trace two paraïïeïs to YZ, which shaïï give on the ïathing’s trace, Fig. 218, the points x,y: through the point y, cïraw the transverse line yz; and through the point x, the straight xz, perpeiulicular to the ïathing DZ : tïiat point z, transferred on the Fig. 219, by the means of its distance froin the axe, on the transverse line yz, shaïï Le used for tracing the joints and mortises u,t, of the Saint-Ancïrew’s cross on the branch of the shorted valley, as it was aïready expïained on the foregoing plate.
  - The Fig. 222 is a description of extent [the ïecîgement] of the one of the pourings of the shorted valley.
  - 1/39. In that first example, it is seen thatlhe faces of the brandies of the shorted valley opposite to the ones coiltigubus to the greater roof, are paraïleï to it, and consequentïy that one can considerthose branches as incïined walï-plates, which, by means of notches [heeïs], receive the feet of the shorted raf-ters, as weïï as the walï-plates of the ordinary roofs, the feet of the small rafters : but Iiere the cuts of the shorted rafters are oblique to the four surfaces of the timbers ; and the draught of them ought to he made accordingïy to the sheïving of the small roof, as for the vertical faces ; and for the incïined ones, accordingïy to the oïd roof’s sheïving modified hy that of the ïesser ones decïivity. We reckon uscfiil to acid here a method for drawing the square dimensions of the branches of the shorted valley, viz, the section perpendicuïar to their ïength, by the means of the plan angle [backing] formed between the two pourings of the roofs, as it foïïows(seen.171).
  - 140. The Fig. 224 shows the tetraedron of the Iiaïf shorted valley, unfoïdecl on the plan of the oblique truss d y Z, contiguous to the greater roof: d X Z is the one of the pourings of the shorted valley, which lias turned round the vaïïey-line d Z; the rightangïed triangïe x y Z is the vertical section made by the crowning-Iine, ïaid down by movement of rotation on y Z : then ZXis equal to Z x, as being both equal to the crowning-Iine. Through a what-soever point X of Z X, bring a perpendicuïar to d Z, ïengthened untiï to y Z at c ; carry ZX front Z at x, and join ex ; from c and z as centers, with the respective rays ex and zX, trace two smaïlest arcs intersecting on x, and join z x and z c : the linear angïe xzc shaïï be the measure of the plan angle being between the two covering panes; so that one needs onïy now to détermine the sicïes of it with regard ^to the timbers which are to be framed with the valley’s branch. They trace the straight 2,3, pa-ralïel to z c, and so distanced from it, that it expresses the thickness of the timbers of the oblique tmss, Fig. 219; whiïst the line z, 1, determined hy the point f, shows the breadth of the branch’s face contiguous to the ïathing of the oïd roof, as in the santé Fig. 219 : then the paraïleïogram z, 1,2,3 istlie perpendicuïar section of the branch of the shorted valley, whence can be easiïy deducted its scanliings or squareness.
  - In the modem buildings, the small rafters being ïess big than the master timbers of the trusscs, lhe feet of the shorted rafters cannot occupy the wliolc breadth of the upper-face of the valley’s branch which receives their framing : they can be fixed on the seam efgh into a grooved notch [heeljwhosc vacuity shaïï hâve the form of a triangular oblique prism, since the one of its faces, which is common to the vaïïey’s branch, is a paraïleïogram jklm, same figure, and the bottom ought to bave lhe trianguïar form klm.
  - 141. When the shorted valley is very small, as,
  - 141. Ist die Kehïe sehr kïein , wie z. B. die eines
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- - par exemple, celui d’une lucarne, on préfère donner à ses branches une forme différente, et qui demande un autre écarrissage. On mène c z parallèle à la ligne de trave dy; on exprime l'épaisseur de ia ferme oblique par la droite ap, parallèle à y Z; on fait l'angle cz 4 égal à celui de fa pente du petit comble; du centre c, avec le rayon cd, on décrit Tare df, et l’on mène/4 parallèle h cz1 : alors le trapèze cf 4 z' est une section verticale de fa ferme oblique, remise dans sa situation réelle d’obliquité, puisque l’angle z c Z est ia pente du grand comble, que l’arc gf exprime fa quantité dont fa ferme oblique a tourné pour se remettre à sa pface, que son épaisseur perpendiculaire tient alors fa position de, et que c d est fa fongueur d’une figne verticale menée à travers cette épaisseur, z1 est un point de fa figne de noue qu’on peut supposer représenter z; et alors fe point 4 de fa coupe verticale appartient à f’arète supérieure de ia branche de nouïet, face du lattis, et peut être aussi supposé représenter fe point 3 de ia coupe droite. On mène à z'4 ia perpendiculaire 4 h, représentant ia fargeur d’un empanon qui irait jusqu’au grand combie si on fe coupait d’about à l'équerre ; on renvoie h en i sur ia section perpendiculaire , où l’on mène enfin fa droite i 5, perpendiculaire à z x ; et fe trapèze z 1 o 5 est fa section perpendicuîaire de fa branche de nouïet propre à recevoir i’assembfage d’empanons coupés perpendicu-fairement sur fes faces verticales à feur about inférieur. Les lignes cq ,qr,r s, auraient donné fe trapèze zl £3 plus petit que zl o5. La figure a montre comment on doit diriger fe trait de scie dans une pièce de bois pour en obtenir fes deux branches de noufet quand on a des bois méplats.
  - Scholie. En procédant d’une manière analogue, on pourrait donner aux pfates-formes et arêtiers des pavillons, soit droits, soit en biais, une forme telfe, que fes empanons et fes chevrons s’y assemblassent avec une coupe perpendiculaire à leurs abouts.
  - Nicolas Fourneau (Art du trait de charpenterie, part. II, page 12, pfanche XIII) indique des tracés beaucoup plus simples : l’exposition qu’il en fait en trois pages in-fol., contient jusqu’à quatre fois qu’ils sont incompréhensibles, et est elfe-même presque inintelligible. C’est tout ce qu’on peut attendre d’un auteur qui, pour définir un noufet, se contente de dire, page 24, que c'est un bâtiment qui vient se coucher sur un comble. A cause de feur simplicité, nous donnons ses procédés, Fig. b, c,d,e,f,g,h. Les mêmes lettres appliquées aux mêmes objets mettront à portée de voir que cette matière n’est nullement incompréhensible pour celui qui sait seulement distinguer fes angles linéaires, les angles plans et fes angles solides.
  - Trait d'une Fenne brisée [Mansarde] sur
  - base rectangulaire, qui reçoit une croupe
  - plus raide que les longs-pans.
  - 142. L’explication du tracé primitif des Fig. 22-5, 226,227 et 228, ainsi que de celui des maîtresses pièces quelles montrent, ne serait ici qu’une répétition de l’explication qui précède pour les pavillons : nous passerons donc de suite au détail du tracé particulier de quelques pièces qui sont ordinairement admises dans fa combinaison de cette sorte de comble. Nous commencerons par les liens M, fif ( liens mansards), Fig 225. Nous observons d’abord que les traces des faces extérieures des pannes de brisis, H et/, ayant été prolongées jusqu’aux lignes d’about, ont donné deux droites appelées chevrons d’emprunt : XV pour le long-pan, et X U pour la croupe. C’est ce que les praticiens appellent chevron droit dans quelques autres parties de l’art du trait.
  - X ( 87 )
  - Dachfensters, so giebt man den Kehlschiftern ge-wôhnlich eine andere Gestalt; alsdann ist auch das Abvieren verschieden. Man zieht cz', parallel mit der Stuhlwandlinie d y ; hezeichnet die Dicte des schrâgen Bundes mit der geraden Linie ap, parallel mit y Z ; macht den Winkel c z' 4 gleich dem Winkel am Abhange des kleinen Daches ; beschreibt aus dem Mittelpunkte c, mit dem Radjus c d, den Bogen df, und zieht/4 parallel mit cz ; worauf das Trapezium c/4z' eine verticale Section des schrâgen Bundes ist, welcher in seine wahre schrâge Lage versetzt worden ist ; indem der Winkel zcZ die Neigung des grossen Daches ist, und der Bogen g f die Grosse hezeichnet, in welcher sich der schrâge Bund gedreht hat, um an seinen Platz zu kommen ; indem ferner dessen perpendiculare Dicke alsdann die Stellung de annimmt, und c d die Lange einer verticalen Linie ist, welche durch diese Dicke gezogen wurde. z' ist ein Punkt, welcher zur Kehllinie gehôrt, und den Punkt z vorsteïlen kann ; alsdann gehôrt der Punkt 4 des verticalen Durch-schnitts zur obern Kante am Kehlschifter, nach dem Lattenwerke zu, und kann den Punkt 3 des geraden Durchschnittes vorsteïlen. Man zieht sodann nach z'4 die Perpendicularlinie 4h, welche die Breite eines Halbsparrens hezeichnet, der bis zum grossen Dache gehen würde, wenn er an sei-nem Ende winkelrecht geschnitten würde ; man trâgt A nach i aufdenperpendicuIaren Durchschnitt, wohin man endlich die gerade Linie i 5 perpendicu-lar mit zx fiihrt ; worauf das Trapezium z 1 o 5 die perpendiculare Section des Kehlschifters ist, mit welchem die an ihrem untern Ende per-pendicular geschnittenen Halbsparren verbunden werden : die Linien eq, qr, rs hâtten das Trapè-zium zlî3, welches kleiner ist aïs z 1 o 5, ge-geben. Die Figur a zeigt wie der Sâgenschnitt zu machen ist, wenn aus halbflachen Hôlzern die zwei Kehlschifter geschnitten werden solïen.
  - Anmerkung. Verführe manauf âhnliche Weise, so kônnte bei den Pavillons, den Mauerlatten und Graclsparren , sie môgen gerade oder schrâg seyn, eine solche Form gegeben werden, wodurch die Haupt- und Schiftsparren durch einen perpendi-cularen Endschnitt in selbige eingesetzt werden kônnen.
  - Nicolas Fourneau (Art du trait de charpenterie, Th. II, S. l2,Tab. XIII) giebt eine Anleitungzu weit einfachern Zeichnungen ; allein dje Anweisung, welche er aufdrei Seiten in Fol. iiber diesen Gegen-stand giebt, ist schwer zu verstehen, und macht daher auch die Zeichnungen selbst unverstândlich, Was lâsst sich auch von einem Schriftsteller er-warten , welcher pag. 24 folgende Définition von der Kehle aufstellt : sie ist, sagt er, ein Gebàude, welches sich auf ein Dach legt. Da die Yerfah-rungsweise sehreinfach ist, so geben wir sie Fig. b, c, d, e, f, g, h. Man wird sich iibrigens aus den nâmlichen Buchstaben , welche auf die nâmlichen Gegenstânde hinweisen , überzeugen, class diese Materie leicht und fassïich fiir denjenigen ist, welcher zwischen geometrischen, flachen und kôrper-lichen Winkeln einen Unterschied zu machen weiss.
  - Zeichnung eines gebrochenen oder Mansar-
  - dischen Daches mit rechtwinkeliger Grund-flàche, an welchem der Walmen steiler ist als die langen Seiten.
  - 142. Da die Erkiârung der Fig. 225, 226, 227 und 228, so wie der darin enthaltenen Haupt-hôlzer bloss eine Wiederholung dessen wâre, was wir oben liber die Pavillons gesagt haben, so schrei-ten wir sogïeich zur besondern Zeichnung eini-ger bei diesen Dâchern gewôhnïich vorkommender Hôlzer, unter denen wir die mansardischen Bander M, N, Fig. 225, zuerst beschreiben wolien. Wir schicken hierbei die Bemerkung voraus , dass die Linien an den âussernFettenseiten H und I, welche bis zu den Endlinien verlângert worden sind, zwei gerade Linien gegeben haben , welche ledige Sparren genannt werden, und zwar X V, fiir die lange Dachseite, und XU, für den Walmen :dies wird bei einigen andern Theilen der geometrischen Zeichenkunst auch ein gerader Sparren genannt.
  - for instance, the one of a dormer window, they prefer another form for the branches, what brings another squareness. They trace cz parallel to the base-line dy; express the thickness of the oblique truss by the straight ap, parallel to y Z ; make the angle e z 4 equal to the shelving of the small roof ; from the center c, with the ray cd, describe the arc df, and bring/4 parallel to cz : then the trapezium cf 4 z is a vertical section of the oblique truss in the real sit of its declivity ; indeed the angle z c Z is the shelving of the greater roof, and the arc gf shows the rotative motion of the oblique truss in order to recover its own place, the perpen-dicular thickness of it has now the direction de, and cd is the real length of a vertical line brought through that thickness. z is a point of the valley-line, which can be supposed expressing the point z ; and thus the point 4 of the vertical section belongs to the upper-edge of the branch on the lathing, and can be too supposed expressing the point 3 of the perpendicular section. Thus bring 4 h perpendicular to z'4, and showing the breadth of a shorted rafter which could go until to the greater roof being eut perpendicularly at its but-end ; send back h at i on the perpendicular section, and bring there i 5 perpendicular to zx; the trapezium z 1 o 5 is the perpendicular section of the branch of the shorted valley, able to receive the framing of shorted rafters eut in a square on their vertical faces at the inferior but-end of them : the fines eq,qr,rs, could hâve given the trapezium zlê3, lesser than zloô. The figure a shows how one ought to direct the sawing in order to obtain the two branches of the shorted valley from the same timber.
  - Scholion. By operating on the same manner, one could give to the wall-plates and the hips of the pavilions, or rightangïed, or even slope, a such form that the rafters might be framed to them with perpendicular cuts at their but-ends.
  - Nie. Fourneau’s (Art of the draught of car-pentry, part. II, page 12, plate XIII) teaches many tracings much simpler : the exposition of them, which contains three folio pages, déclarés by four times that they are incompréhensible, and itself description is almost unintelligible. It is ail that one can expect from a writer which, in order to defining the shorted valley, says only, page 24, il is a building which cornes to lye on a roof. With regard to their simplicity, we give the methods he teaches, Fig. b, c, d, e, f, g, h. The sameletters stamped to the same objects shali enable any man to see that such a matter does nothing hâve incompréhensible to the distinguisher of the lineary, plan and solid angles.
  - Draught of a broken Truss [Mansard’s] on rightangïed base, and receivirtg an end steeper than the sides.
  - 142. The explication of the primitive tracing of the Fig. 225, 226, 227and 228, as well as of the master-timbers they show, could be Iiere a vain répétition of the ones foregoing on the pavilions : thus we will go next at the spécial draught of some timbers which are usually aclmitted into the combination of that kind of roofs, and begin by the braces M,N (mansard’s braces), Fig. 225. We shali remark forthwith that the traces of the extern faces of the breaking purlins H and /, being length-ened until to the but-end-Iines, give two straights called borrowed rafters : XV for the side, and X U for the end. They are the same things what the practisers call right rafters in some other parts of the draught.
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- - Soient a h et a K les projections horizontales de î’a~ rête inferieure de chaque iien à la surface du lattis ; <i h pour le lien du long-pan, et a h' pour ceïui de la croupe. On pourrait prendre sur ïes pïates-formes tout autre point que a pour origine de ces arêtes, et tout autre que b pour origine des arêtes supérieures à la même surface du ïattis, suivant l’épaisseur qu’on veut donner aux ïiens. Observons d’abord que ces liens sont, par rapport aux faces verticales de l’arêtier inférieur et aux faces inférieures des pannes de brisis, exactement ce que sont les empanons déversés à leurs plates-formes horizontales et aux faces verticales de leur arêtier; mais que l’assemblage supérieur de ï’empanon avec l’arêtier est l’inférieur du lien mansard, et réciproquement l’inférieur de ï’em-panon sur sa plate-forme est le supérieur du lien sous la panne. Ainsi, pour tracer la directrice [le dévers de pas] des coupes du lien M, il faut, du point x, Fig. 226, projection verticale de l’about supérieur de l’arête du lien projetée en a h, Fig. 225, abaisser la verticale x 13; puis on mène à la ligne de ïattis la perpendiculaire 13 r, et l’on renvoie ce point r sur la projection horizontale a h de l’arête en r, Fig. 225. On mènera donc rn perpendiculaire au chevron d’emprunt de croupe X U ; et on tracera la droite cino qui sera la directrice du pas que le lien occuperait sur la plate-forme de long-pan, si celle-ci était prolongée. Alors, par le point z, où cette directrice coupe la trace intérieure de la plate-forme, on mène parallèlement à ah la droite z l, qui est la projection horizontale de l’arête inférieure du même lien à la surface du lambrissage : si l’on veut y joindre celle des deux autres arêtes, on y emploiera l’épaisseur qu’on veut donner au lien à ia surface du lattis.
  - "On trouve de même le dévers du pas a t du lien N de croupe, en partant du point 16, Fig. 227, projection verticale de son about, pour abaisser la verticale 16, 24, puis la perpendiculaire au lattis 24, 25 : le point 25, étant projeté horizontalement, -donne sur le chevron d’emprunt UX le point p, Fig. 225, la droite p q parallèle h. Ua, donnant sur l’arête du lien N le point q; si, par cette intersection q, on mène qm perpendiculaire au chevron d’emprunt XV de long-pan, on aura amt pour la directrice du pas du lien N', et z pour projection de sa seconde arête inférieure.
  - Pour tracer la projection de la coupe supérieure du lien M, qui est en gueule, et son assemblage à tenoiy sous la panne de brisis, par le point 11, prolongement de la trace inférieure de la panne de brisis sur la ligne de lattis de la description verticale, on mènera une parallèle à l’axe sur ïes arêtes du lien M : ïes points i,j, où elle les coupe, donnent la ligne d’amaigrissement pris à la surface du lattis. Par ces derniers points, on tracera les droites il,jk, parallèles à la directrice ao; ce qui donnera l’occupation et la mortaise à la- face inférieure de la panne II. On emploiera le même procédé pour le lien de croupe N.
  - 143. La description auxiliaire, Fig. 229, appelée tracé par cchasse , est une herse d’une construction particulière, destinée à couper le lien mansard du long-pan : en voici le tracé. Par ïes points x, 10, 11, 12, qui sont à la partie supérieure de la description verticale de l’arbalétrier E de long-pan, qui est aussi celle de l’arêtier et même du lien, et par son point d’about inférieur a, menez perpendiculairement à sa ligne de lattis x a, des droites indéfinies coupées par une autre droite U' a' parallèle axa: prenez dans la description horizontale , sur la projection du chevron d’emprunt de croupe, les distances de U a. X, à u, à g et ah, que vous porterez de U1 en X', u', g', h'; joignez a X': ce sera l’extension réelle de la ligne d’arête.
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  - Es sey ah und ah' bei jedem Bande die horizontale Vorstellung der untern Kante an dem Latten-werke ; und zwar ah für das Band an der langen Dachseite, und ali für das Waïmenband, Wir bemerken hierbei, dass auf den Mauerlatten an dem nâmlichen Lattenwerke jecler andere Punkt aïs a, den Anfang dieser untern Kante, und jeder andere aïs b den Anfang der obern bezeichnen kônnte , je nachdem die Bander mehr oder minder dick seyn sollen ; dass ferner diese Bander sich zu den verticaïen Flâchen des untern Gradsparrens, so wie zu den untern Seiten der Dachbruchfetten eben so verhalten, wie die sich neigenden Schiftsparren zu ihren horizontaïen Mauerlatten und zu den ver-ticalen Flâchen ihres Gradsparrens ; dass aber die obéré Zusammensetzung des Schiftsparrens mit dem Gradsparren, an dem mansardischen Bande die un-tere ist, und dass vice versa die untere Zusammensetzung des Schiftsparrens mit der Mauerlatte die obéré Verbindung des Bandes ist, welcheunter der Fette Statt bat. Um also die Schnittlinie zu dem Bande M zu zeichnen, so ziehe man aus dem Punkte x, Fig. 226 , welches die verticale Vor-stelïung vom obern Ende der Bandkante a h, Fig. 225, ist, die verticale Linie a? 13; bringezur Lattenlinie die Perpendicularïinie 13 r, und trage diesen Punkt r auf die horizontale Kanten projection ah, nach r, Fig. 225; ziehe ferner rn perpen-dicular mit dem ledigen Walmensparren X U ; und zeichne die gerade Linie ano, welches die Schnittlinie zu dem Einsatze ist, den das Band auf der an der langen Dachseite befindlichen Mauerlatte er-hielte, wenn diese ïetztere verlangert wâre. End-lich ziehe man durch den Punkt z, wo diese Schnittlinie die Mauerlatte im Innern durchschnei-det, paralleï mit ah die gerade Linie zl, weïche die horizontale Vorstellung zur untern Kante des nâmlichen Bandes an der Verschalung ist. Sollten auch die beiden andern Kanten mit angegeben werden, so nimmt man zu diesem Behuf die Dicke, weïche das Band an dem Lattenwerke êrhalten soll.
  - Der Einsatz at, des Walmenbandes N, findet man wenn man aus dem Punkte 16, Fig. 227, weïcher das Ende desselben vorsteïlt, die Verticaï-linîe 16, 24, nebst der mit dem'Lattenwerke per-pendicular gehenden Linie 24, 25 zieht ; worauf der Punkt 25, weïcher horizontal gezeichnet ist, auf dem ledigen Sparren UX, den Punkt p, Fig. 225 giebt, wobei die gerade Liniep q, weïche mit U a paralleï ist, auf der Kante des Bandes N den Punkt q giebt ; zieht man sodann durch den Durch-schnitt q die Linie qm perpendicular mit dem ledigen Sparren XV, so erhâlt man amt, zur Ein-satzïinie für das Band N1, und z aïs Vorstellung der zweiten untern Kante.
  - Den obern Kantenschnitt des Bandes M, welches unter der Dachbruchfette eingezapft wird , zeichnet man auf folgencle Weise : durch den Punkt 11, weïcher die untere verlângerte Linie der Dachbruchfette auf der Lattenlinie des Aufrisses ist, ziehe man eine mit der Axe parallèle Linie auf die Kanten des Bandes M ; die Punkte i,j, an weîchen diese Linie die Kanten durchschneidet, gebendie Schnittlinie , weïche am Lattenwerke genommen ist. Zieht man sodann durch diese ïetztern Punkte die geraden Linien il, jk, paralleï mit der Directionslinie ao, so erhâlt man den Einsatz nebst Zapfenloch auf der Fette H. Beim Walmenbande N verfahrt man eben so.
  - 143. Die zugegebene Vorstellung in Fig. 229, ist eine besondere Zeichnung, nach weïcher das zu der langen Dachseite gehôrige Mansardische Band foïgendergestaït geschnitten wird. Man ziehe theils durch die Punkte x , 10, 11, 12, weïche sich an der verticaïen Vorstellung der zur langen Dachseite gehôrigen Stuhïsâuïe E befinden, weïche Vorstellung zugleich den Gradsparren so wie seïbst das Band bezeichnet, theils durch das untere Ende a, derselben Stuhïsâuïe , gerade unbestimmte Linien perpendicular mit der Lattenlinie x a, und durch-schneide sie vermittelst einer andern geraden Linie U'a , weïche mit x a paralleï ist; nehme in der horizontaïen Vorstellung am ledigen Walmensparren die Abstânde von Uzu X, u, g, und h, und
  - Let be a h and a li the horizontal projections of the inferior edge of each brace at the Iathing face; a h for the sicle’s brace, and a h1 for the end’s one. One could take on the wall-plates another whatsoever point than a for the rising of those edges, as well as another than b for the origin of the superior edges on the same Iathing surface, according to the thickncss he could wish give to the braces. We will observe forthwith that such braces are exactly with regard to vertical faces of the inferior hip and to the under-i faces of the breaking purïins, as the warping shorted rafters respectiveïy to their horizontal wall-plates and to the vertical faces of their hip ; but the superior framing of the rafter with the hip is the inferior one of the mansard’s braces, and reciprocally the inferior assemblage of the rafter on the wail-plate is the superior one of the brace under the purlin. Thus, in orcler to tracing the directress of the pace [warping] of the cuts of the brace M, through the point x, Fig’. 226, the vertical projection of the upper-hut-end of the braces edge projected in ah, Fig.221, bring the vertical x 13 ; then lift 13 r perpendicular to the Iathing, and after send back that point rat r, Fig. 225, on the horizontal projection of the edge a h. Then draw r n perpendicular to the horrowed rafter of the end X U, and at last the straight oo, which shalï be the directress of the parallelogram to be occupied by the brace on the walî-plate of the side, supposed lengthened enough. Through the point z, where that directress ’cuts the interior trace of the wail-plate, bring parallely to a h the straiglit zl, the horizontal projection of the inferior edge of the brace in the ceiling;and if y ou wish add the oncs of the other two edges, you ought to employée , thickness to be given to the brace on the falhing’s surface.
  - You shaîl fmd on the same manner the directress a t of the heeï of the end’s brace N, by bringingfiom the point 16, Fig. 227, the vertical projection of its but-end, the vertical 16,24 ; after, the perpen-dicular to the Iathing 24, 25; projecting horizon-tally that point 25 at p and q, Fig. 225; lifting qm perpendicular to the horrowed rafteroftheside X V; and drawing at last the directress amt, which gives the point z as the bottom of the inferior edge of the ceiling.
  - For drawing the horizontal projection of the superior eut of the brace M, which is grooveil [mouthed], and the framing ofit with tenon under the breaking purlin, through the point 11 ,Fig,22S, the lengthening of the inferior J trace ofthepuilin on the Iathing, bring a paralleï to the axe-line at the Fig. 225, on the lathing’s edges of the brace M: the intersections i,j, shaîl be the bevel-cut [un-greasing-Iine] at the Iathing surface. By those lattcr points, draw the straights il,jk, paralleï to the directress ao ; they shaîl give the parallelogram of the occupying and the mortise on the undcr-faccof the purlin H. The same method ought to be usai for the end’s brace N.
  - 143. The auxiliary description, Fig. 229, called draught bij s tilts, is an unfolcling [Icdgc-ment] of a particuïar description for cutting tlic mansard’s brace towards the sides : hehold tlic draught of it. Through the inferior but-end a, Fig. 226, and the points x, 10,11,12, at tlic upper-part of the vertical description ofthe sides rafter, or hip, or too brace, bring indefiniteperpen-clicuïars to the Iathing x a, and eut them with another straight F' a1 paralleï to the same line ru:in the horizontal description, on the projection of tlic borrowed end’s rafter, take ofF the distances of (lie point U at the points X,u,g,h, and bring them from U' at X, ri, g, h1 ; join a! X, which shall be the real extent of the edge-Iine of the inferior bip.
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- - Menez à cette dernière, par le point u', une parallèle qui indique la portion de I épaisseur de l’arêtier qui appartient au long-pan ; joignez aussi a A', qui sera fextension de l’arête du lien projeté en ah, Fig. 225, et tracez-Iui la parallèle g f, qui sera l’extension de l’arête f g. Les parallèles hd, je, qui montrent la pièce ayant reçu un quartier, sont espacées, dans cet exemple, de la quantité qui montre l’épaisseur respective de l’arbalétrier inférieur dans la description verticale, puisqu’on peut considérer le lien comme ayant subi, sur une parallèle à la ligne detrave, un mouvement qui a donné son inclinaison particulière. Parles points h',g, &c.,menez perpendiculairement les petites transversales A h, g'g, &c.; et par chacun des points respectifs, tracez les lignes de dégueulement, ainsi que le tenon, conformément aux joues et à la mortaise sous la panne H de la description horizontale. On aura l’un des traits de la coupe inférieure dans l’angle JC a h'; et, pour trouver l’autre, après avoir tracé le chevron d’emprunt X V, on prendra, Fig. 226, sa hauteur réelle d’occupation x 12, et on la portera de 26 à 27: une perpendiculaire menée de 27 au chevron d’emprunt, y donne en 28 un point de la ligne d’amaigrissement 28, fc, qu’on trace parallèle à ud; les perpendiculaires menées parles points/, c, d, e, donnent, sur la pièce retournée de face, le parallélogramme d’occupation fcde. Plusieurs praticiens préfèrent prendre la distance perpendiculaire entre les lignes qui partent de x et de 12, Fig. 226, et la porter immédiatement de 26 à 28 ; d’autres prennent le point du lattis s, Fig. 225, le renvoyant par une perpendiculaire en s, Fig. 226, et transportent celui-ci en s, Fig. 229, par une parallèle à xX' : il est évident que ces deux procédés doivent donner le même résultat que le premier, qui est celui que nous avons expliqué à l’article de l’empa-non déversé ; car le second ne fait que former d’une autre manière le triangle 26, 27, 28; et le triangle 26,s'f du dernier procédé est nécessairement semblable au même triangle 26, 27, 28.
  - 144. La Fig. 230 est un autre tracé particulier (tracé sur le trait), aussi pour couper le lien M. Construisez un angle droit h 13 a; faites un de ses côtés 13 a de la longueur de «A de la Fig. 225: mais, cette projection horizontale ah de l’arête du lien M, touchant seulement la surface de la base du comble en un point a, et son point A devant être élevé au-dessus de la surface de la base de la quantité que montre la verticale 13 a? de la Fig. 226, portez cette hauteur 13# sur l’autre côté de l’angle droit, de 13 en A, et joignez ah; cette dernière serait la longueur de l’arête du lien, si la partie de l’arêtier dans laquelle il s’assemble n’eç retranchait pas une portion : donc, pour avoir les points de son about et de sa gorge, on prendra, dans la Fig. 225, la longueur de A en e et de v en f, qu’on portera sur 13 a, en e’ et en f'; par ces points, élevez des perpendiculaires à 13 a : leurs intersections sur ah seront les points, d pour tracer l’about, et e pour tracer la gorge. Mais pour achever le tracé de cette coupe, la direction az est nécessaire; son report dans cette figure est fait d’après les combinaisons suivantes. Prenez encore dans la description horizontale la longueur ho, qui est la projection d’une perpendiculaire menée du pied de l’arête sur une parallèle à la directrice considérée sur le plan de la face supérieure de la panne, et que vous porterez de 13 en o, Fig. 230, sur 13 a, qui est elle-même la projection horizontale de l’arête : la distance h o sera l’extension réelle de cette perpendiculaire à la directrice. Mais, à cause des deux inclinaisons du lien, le point o se trouvant trop élevé; il sera placé sur un arc o#, qui sera tracé en prenant
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  - trage sievon U' nach X', u , g , A'/ und ver-einige a' X' ; wodurch man die wahre Vorstel-lung.der Kantenlinie erhaït. Zu dieser letztern Linie führe man durch den Punkt w eine Parallellinie , welche den zur langen Dachseite gehôrigen Theil der Gradsparrendicke bezeichnet, man ziehe ferner a! A’-zusammen , wodurch man die Vorstellung zu derjenigen Bandkante erhaït, welche in Fig. 225 mit ah bezeichnet ist; man führe zu ihr die Parallellinie g f, welche die Kantefg seyn wird. Die Parallellinien h d, je, welche das Holz bezeichnen und ein Yiertel erhaîten Iiaben, stehen hier um die Grosse aus einander, welche in der verticalen Vorstellung die respective Dicke der untern Stuhlsâule angiebt, indem angenommen werden kann, dass das Band auf einer mit der Stuhîwandlinie paralleïen Linie eine Bewegung gemacht habe > aus welcher sich die besondere Neigung desselben ergeben hat. Man ziehe weiter die kleinen Zwerchlinien A' h, g'g, u. s. w., perpendicular durch die Punkte h' g', u. s. w., und zeichne durch jeden der respectiven Punkte die Einschnittlinien nebst dem Zapfen, nach Maasgabe der Backen und des Zapfenloches unter der Fette H, welche im Grundrisse zu sehen ist : man erhaït dadurch eine Linie zum untern Schnitte in dem Winkel X'a' h'; die andere fîndet man, wenn man den ïedigen Sparren X' V' zeichnet, und in Fig. 226 dessen wahre Hôhe x 12 nimmt, ûnd sie von 26 nach 27 tragt. Eine Perpendicularlinie , welche aus 27 nach dem ïedigen Sparren gefiihrt wird, giebt daseibstbei 28 einen Punkt zur Schnitt-linie 28,/c, welche mit u'd parallel gezeichnet wird ; die durch die Punkte/, c, d, e, gezogenen Perpendicularlinien geben auf dem nach vorn zu gewendeten Holze das Parallelogramm fc de aïs Ein-satz. Einige nehmen lieber den perpendicularen Abstand, welcher sich zwischen den aus x und aus 12, Fig. 226 ausgehenden Linien befindet, und tragen ihn unmittelbar von 26 nach 28 : andere nehmen den Lattenpunkt s, Fig. 225, tragen ihn vermitteïst einer Perpendicularlinie nach s, Fig. 226, und bringen diesen vermitteïst einer mit x X paralleïen Linie nach s' Fig. 229. Diese beiden Zeichnungen müssen nothwendigerweise das nâm-ïiche Résultat geben wie die erste, welche wir bei der Beschreibung dqs schrâgen Schiftsparrens er-klârt haben ; denn die zweite stellt den Triangel 26, 27, 28, bloss auf eine andere Weise dar, und der Triangel 26 , s ,/', der ersten Zeichnung, ist demnâmlichenTriangel26, 27, 28, nothwendigerweise ahnïich.
  - 144. Die Fig. 230 zeigt noch eine besondere Zeichnung, wonach das Band M ebenfalls geschnit-ten wird. Man zeichne einen rechten Winkel h 13 a; mâche die eine Seite desselben, 13a, so lang als ah, Fig. 225; da aber diese horizontale Vorstel-Iung a h, welche die Kante des Bandes M bezeichnet , die Dachgrundflàche bloss an einem Punkte a berührt, und da ferner ihr Punkt A so hoch über der Dachbasis stehen muss , wie es die Verticallinie 13 x, Fig. 226 angiebt, so trage man diese Hôhe 13 x, auf die andere Seite des rechten Winkels von 13 nach A, und ziehe a h zusammen ; diese letztere Linie ware die wahre Lange der Bandkante, wenn der Theil des Gradsparrens, worein das Band eingezapft wird, nicht einen Theil davon wegnahme.'Um nun die Punkte zu seinem Ende und zu seiner Kehle zu erhaîten, so nehme man in Fig. 225 die Lange von A nach e, und von v nach/, und trage sie auf 13 a, nach e' und/' ; und ziehe durch diese Punkte Perpendicularlinien mit 13 a; worauf ihre Durch-schnitte in ah , den Punkt d zum Bandende, und e zu seiner Kehle geben werden. Zur vollstandigen Zeichnung dieses Schnittes ist aber die Directions-linie az erforderlich , welche folgendermaassen in diese Figur getragen wird. Man nehme nochmals im Grundrisse die Lange ho, welches die Vorstellung einer Perpendicularlinie ist, die aus dem Kantenfusse auf eine mit der Directionslinie paral-lelen und auf der Oberflâche der Fette gedacliten Linie gezogen ist, und trage sie von 13 in o Fig. 230, auf 13 a, welches die horizontale Vorstellung der Kante ist: der Abstand ho wird sodann die wahre Projection dieser mit der Directionslinie
  - Trace parallely to that latter a parallel which marks the part of the thickness of the hip belonging to the side; after, join aïso a' h', which shall be the real extension of the brace’s edgeprojected on ah, Fig. 225, and trace parallely to it g f, which shall be the real length of the edge /g of the same figure. The parallels h d, j e, which show the timber turned by a quadrant, are distanced convenientïy for expressing the thickness relative to the one of the hip inferior, by considering the brace as having turned on a parallel to the trave-Iine in taking its own inclination. Through the points A', g, &c., lift the small perpendiculars A'h, g1 g, &c. ; and through each of the so found points, bring the grooving-Iines [un-mouthing] and the tenon, according to the cheeks and the mortise traced under the purlin H of the horizontal description. The angle X a A' gives the_ one straight of the under-cut of the brace; as to fmd the other, after having traced the borrowed rafter X V1, take off, Fig. 226, its real length of the occupying x 12, and bring it, Fig. 226, from 26 at 27 : a perpendicular lifted from 27 on the borrowed rafter, shall give in 28 a point of the bevel eut [ungreasing-Iine] 28 fc, parallel to u' d; the perpendiculars brought through the points/, c,d,e give, on the timber turned, the parallelogram of the joint fcde. Some practisers employ the perpendicular distance between the straights departing from x and 12, Fig. 226, whom they bring immediately from 26 to 28; others employ the lathing points, Fig. 225, whom they send per-pendicularly at s, Fig. 226, and transfer after per-pendicularly at s , Fig. 229 : it is very plain that those methods ought to induct the same resuit as the first one, what has been explained on the warped rafter; indeed the second performs only on another manner the triangle 26, 27, 28; and the triangle 26, s'f of the third construction is necessarily like to the same triangle 26, 27, 28.
  - 144. The Fig. 230 is another method (tracing on the draught), aïso in order to eut the brace M. On a right angle h 13 a, bring from 13 at a the length «A of the Fig. 225: but, as the edge of the brace M projected in a h does not touch the base of the roof but with its bottom a, and its upper-end A stands over that base at the height shown by the vertical 13 x, Fig. 226, bring 13# from 13 to A, Fig. 230, and join ah; it could be the real length of the edge of the brace, if the thickness of the hip to which it is to be framed, would not eut off a part of it : thus, for finding the points of its but-end and neck, take ofF, on the Fig. 225, the distances he and vf, and bring them from 13 à, Fig. 230, at e and /', and through those points lift perpendiculars to 13a: their intersectings on ah shall give, at d, a point of the but-end; at e, an one of the neck-Iine. But for performing that draught, it needs the directress a z which shall be found as follows. On the horizontal description, take ofF ho, the projection of a perpendicular brought from the bottom of the edge on a parallel to the directress of the pace considered on the upper-face of the purlin; bring it, Fig. 230, from 13 at o, on 13 a, which is the horizontal projection of the edge : thus the distance h o shall be the real length of that perpendicular to the directress. But, with regard to the two shelvings of the brace, the point o being higger; it shall be transferred in an arc o #, described from the center h with the ray h o : employ after as radius the length an of the horizontal description, Fig. 225, and from a, Fig. 230, as center, eut the first arc at x, and trace a x, h x, and their parallels
  - 3.e Partie.
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  - perpendicuïaren Linie seyn ; da aber wegen der Neigung des Bandes der Punkt o zu hoch zu stehen kommt, so wird er auf einen Bogen ox gebracht, welcher dergestalt gezeichnet wird, dass der Punkt h zum Mittelpunkt, und h o zum Radius genommen wird : man nehme sodann im Grundrisse, an zum Radius, und beschreibe aus demPunkte a, aïs Mittelpunkt, Fig.230, einen andern kleinern Bogen, welcher den ersten bei x durchschneidet ; und ziehe durch den Punkt x die geraden Linien h x und a x, so wie die mit ihnen paralleïen a &, h & ; wodurch man die Neigung der beiden Fïâchen des Einschnit-tes erhàïto Man trage sodann im Aufrisse, nach s, Fig. 226, den Punkt s, an weïchem dieKante ah, Fig. 223, mit dem ledigen Sparren zusammentrifft ; und bringe zum Lattenwerk die Perpendicularïinie s 14, Fig. 226 ; trage ferner von 13 nach 15 die Lange Xn, Fig. 225, weïche gïeich istfm; und vereinige die Punkte 14, 15, Fig. 226, vermit-teïst einer geraden Linie, weïche Fig. 230 von x nach z getragen wird ; vereinige sodann a z, und ziehe paraïiel mit der Directionslinie die Endïinie de, so wie die Kehïïinie ef ; wobei die gerade Linie yj, weïche mit ah paraïiel ist, sich in dem nam-‘ lichen Abstande befindet wie in Fig. 229 ; oder man trage von a nach y den Theiï az der Directionslinie ao, Fig. 225. Auf gïeiche Weise ver-fâhrt man bei der Zeichnung des Einschnittes, wobei man wieder in Fig. 225, die Abstande von h nach i und von v nach y nimmt, und sie auf 13 a von 13 nach i' und nach V trâgt, und durch diese beiden Punkte mit 13 a perpendicuïare Linien zieht ; ihre Durchschnitte bei ah geben sodann die Punkte i, I, durch weïche man I k, i j, paraïiel mit h & führt : da die Linie ax das nâmïiche Résultat giebt, so braucht h & und a& nicht gezeichnet zu werclen.
  - Die Bander werden mit ihren Enden in den Gradsparren eingesetzt, wie solches in Fig. 228 zu ersehen ist. Da die Punkte 14 und 23, aus Fig. 226 und Fig. 227 , in die Fig. 228 herübergetragen worden sind, und zwar an die nâmïiche Hôlie, in welcher sie sich in jenen beiden Figuren befinden ; so zeichne man dm Zwerchïinien a 23 , a 14, und trage aus Fig. 225, in die nâmïiche Fig. 228, die beiden End-und Kehlpunkte e, f, welches vermit-teïst der aus diesen beiden Pupkten nach der Kan-tenïinie a A gezogenen Perpendicuïarlinien ge-schieht; dieseïben geben sodann auf der schrâgen Fïâche des Gradsparrens die beiden Punkte e, f, ver-mitteïst welcher der Einsatz des Bandes gezeichnet wird, welches beim Bande an der langen Dachseite paraïiel mit a 14 , und beim Waïmenbande paraïiel mit a 23 geschieht.
  - 145. Da die erweiterte Zeichnung Fig. 231, der in den Fig. 53, 54, 55, 56, enthaïtenen, N.° 32 erkïârten âhnïich ist, so verweisen wir dahih. Die Hoïzer am Lattenwerke, weïche in Fig. 231 enthaïten sind, werden ebenfalls wie die gezeichnet, weïche wir bei den Pavillons beschrieben haben. Nach den für die Fig. 229 und 230 gegebenen Erkïârungen kônnen auch die Schnitte zu den Bândern gezeichnet werden, weïche in Fig. 231 zu sehenvsind ; wobei wir bïoss erinnern, dass in dieser Figur die Punkte^ und h eben so weit von x entfernt sind wie in Fig. 225.
  - a&, h&: they shaïl express the combinated slicï vings of the two faces of thegrooving [unmoutliing|. Take oïï Xn, Fig. 225, which is equaï to fin; bring it on the Fig. 226, from 13 at 15, and join 14, 15, whom you shaïl transfer on the Fig 230 from x to z ; join a z, and draw paraïleïy to tliat Iatter line the but-end-line d c, and the neck’s one e f. The line yj, paraïiel to ah, is distanced as in the Fig. 229; or by bringing from a to y the part az of the directress a o, Fig. 225. The upper-grooving shaïl be traced on the same manner, by taking oïl' on the Fig. 225, h i and vj, and bringing them on 13 a, Fig. 230, from 13 at i' and / , and lifting from those points perpendiculars to 13 a : tlicir intersections on ah give the points i,ï, tlirougli which shaïl be drawn I k and i j paraïïeïy to h & : the straight ax being sufficient for it, it can be dispensed with tracing h & and a &.
  - As the inferior joints of the Lracc ougïit to Iiavc their occupyings on the vertical faces of the hip, they are sïiown Fig. 228. The points 14, Fig. 220, and 23, Fig. 227, being transferred on the Fig. 228, at the same height as they are on the otïiers, trace a23, a 14 ; and, the end’s and ncck’s points e ,f, of the Fig. 225, being too sent back perpendicularïy to the edge - ïine a A on the Fig. 228; through the points e, f, whercin those perpendiculars intersect the profile of the hip’s shaving [unïarding], you shaïl draw the parallelo-gram to be occupied, paraïïeïy to the oblique ail, as for the face towards the side ; and as to the end, paraïïeïy to a 23.
  - 145. The principal draught of the description of extent [ïedgement], Fig. 231, being quite ïike to the one expïained n.r 32, Fig. 53, 54,55,30, see it. The shape of the timbers designed in that figure, as to the lathings face, is drawn on the same manner as the one of the paviïions. The foregoing explication of the Fig. 229 and 230 sufliccs too for the cuts of the braces, seen Fig. 231 : wenuist onïy observe that the points g and h arc therc distanced as in the Fig. 225.
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  - pour centre le point h, et pour rayon h o : prenez ensuite pour rayon an de Ia description horizontale ; du point a, comme centre, Fig. 230, décrivez un autre petit arc qui coupera ïe premier en x, et, par ce point x, tracez les droites h x et a x, ainsi que leurs parallèles a &, h & : ce sera f inclinaison com-7 binée des deux faces du dégueuïemcnt. Renvoyez à la projection verticale en s, Fig. 226, ïe point s, où l’arête ah, Fig. 225, rencontre le chevron d’emprunt ; menez au lattis la perpendiculaire s 14, Fig. 226; portez ensuite de 13 en 15 la longueur Xn de ïa Fig. 225, qui est égale afin; et joignez les points 14, 15, de la Fig. 226, par une droite que vous porterez, Fig. 230, de x en z; joignez az, et tracez parallèlement a cette directrice la ligne d’about de etceïïe de gorge ef. La droite yj, parallèle à ah, est espacée comme à ïa Fig. 229; ou "bien encore en portant de a à y ïa portion az de ïa directrice ao, Fig. 225. On opérera delà même manière pour tracer le dégueuïement, en prenant encore dans ïa Fig. 225 les distances de h à i et de v à/, qu’on portera sur 13 a de 13 en f et en l, et menant par ces deux points des perpendiculaires à 13 a : leurs intersections sur a h donneront les points i, I, par lesquels on mènera I k, i j, parallèles à Ii & : la ligne a x pouvant servir au même usage, on pourra se dispenser de tracer h &, ainsique a&.
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  - Les commissures des coupes inférieures des liens doivent avoir leurs occupations sur les faces verticales de l’arêtier : on les voit tracées, Fig. 228. Les points 14, Fig. 226, et 23, Fig. 227, étant reportés à cette Fig. 228, à ïa même hauteur qu’ils ont dans les deux autres, tracez les obliques a 23, a 14. Renvoyez à cette même Fig. 228, de la Fig. 225, les deux points d’about et de gorge du lien e,f, au moyen de perpendiculaires élevées par ces deux points à la ligne d’arête a A : elles donneront sur ïa ligne de déïardement de ï’arêtier les deux points e,f, par lesquels vous tracerez les occupations des liens, savoir, parallèlement à a 14 pour la face du côté du long-pan, et parallèlement à a 23 pour le lien de croupe.
  - 145. Le tracé principal de la description d’ex-
  - tension [la herse], Fig. 231, étant semblable à celui des Fig. 53,54,55, 56, expliquées n.° 32, nous y renvoyons. La configuration des pièces de bois aux surfaces du lattis, qui sont tracées sur ïa Fig. 231, se dessinent aussi selon les procédés que nous avons détaillés pour celles des pavillons. Ce qui vient d’être dit pour les Fig. 229 et 230, suffit aussi pour tracer les coupes des liens qu’on voit à la Fig. 231 ; il nous reste seulement ^indiquer que dans cette figure les points g et h sont éloignés de x comme ils le sont dans la Fig. 225. ^ e
  - Comble de la Tour ronde.
  - 146. Un bâtiment sur plan circulaire est nommé dans fart tour ronde : son toit est nommé comble conique lorsque sa base est en cercle ; mais nous appelons comble à base elliplique celui de ïa tour ronde sur pïan elliptique ou ovale.
  - La section qui passe par ï’axe du cône étant un triangle, la ferme complète qu’on a coutume de lui donner ne différerait pas, si l’on voulait, de celle du pavillon : mais tous les arbalétriers qu’on admet dans la composition d’un comble conique, concourent à son sommet ; ce qui lui assigne des combinaisons et des constructions qui lui sont propres.
  - La plate-forme est un composé de courbes taillées
  - Dachstuhl des runden Thurmes.
  - 146. Ein auf. zirkeïrunder Fïâche aufgefiihrtes Gebâude wird ein runder Thurm genannt. Biïdet die Dachgrundflâche einen Zirkeï, so wird der Dachstuhl ein conischer genannt. Wir nennen Dachstuhl mit elliptischer Basis denjenigen des runden Thurmes, welcher auf elliptischer oder ovaïer Fïâche ausgeführt ist.
  - Da der Durchschnitt, welcher durch die Axe des Regels geht, ein Triangeï ist, so würden die Bünde, weïche gewôhnïich dazu angewendet werden, sich eigentlich nicht von den des Pavillons unterschei-den ; da aber bei einem conischen Dachstuhïe sâmmtïiche Stuhïsâuïen oben zusammenïaufen , so erfordert die Zusammensetzung desselben gewisse ihm eigene Verbindungen.
  - Die Mauerïatten sind zirkeïfôrmig geschnitten,
  - Conical Roof [Roof over a round Tower].
  - 146. A building constructed on a circuïar ground is caïïed round tower ; and its covering, conical roof, when the basis is a circïe : but, if the ground couïd be ovaî or eïlipticaï, we shaïl name it roof with an ellipiical base.
  - As the section passing aïong the axe of a cône is necessariïy a triangle, the complété truss nsually empïoyed into such a roof cannot cliffer from the ones of the paviïions, if one wouïd it ; but, as ail the principal rafters of a conical roof meet at the top, there are in it some particuïar combinations and constructions.
  - The waïl-pïate is formed with timbers arclicd cir-
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- - cîrcuïairement, et dont ïa totalité formeune couronne de cercle. Toutes les arêtes des ïiernes horizontales [de niveau] seront aussi des arcs de cercle.
  - Lorsque les ïiernes seront obliques à la base [rampantes], leurs arêtes seront ou paraboliques, ou elliptiques, ou hyperboliques. Les mêmes courbures auront lieu pour les noulets, croix de Saint-André, &c.
  - Les noulets qu’on appliquera au comble conique, prendront diverses formes, selon la figure ou la situation des fermettes qui les auront produits. Les arêtes seront paraboliques, si le comble plan [droit] qui pénètre le comble conique, a la même inclinaison que l’apothème du cône. Elles seront elliptiques, si le comble plan qui coupe le conique, fait avec l’horizon un angle moindre [a une pente moins raide] que l’apothème. Elles seront hyperboliques toutes les fois que le plan coupant fera, avec la ligne de niveau, un angle plus ouvert [aura plus de raide] que l’apothème du cône. On conçoit qu’un mur vertical [à plomb] est toujours dans ce dernier cas : mais il faut savoir que, quand il passe par l’axe 3 la branche d’hyperbole se trouve transformée en une ligne droite.
  - L’entrait du noulet sera semblable à une lierne horizontale, et toutes ses arêtes seront des arcs de cercle; les jambettes, esseliers et aiguilles, prendront de même des courbures analogues à leurs situations.
  - 147. Un comble conique est ordinairement composé d’une ferme complète, comme le montre la Fig. 234, à laquelle on applique deux, quatre ou un plus grand nombre de demi-fermes : à cette composition primitive, on ajoute deux ou trois cours de ïiernes, pour recevoir les chevrons de différentes longueurs, nécessaires pour porter le lattis qui avoisine la base du comble.
  - 148. La description horizontale contient seulement une demi-tour ronde AB CD [cul de four], La Fig. 232 représente l’enrayure, qui est composée d’un entrait inférieur E [tirant], un demi-en-trait F, un gousset G, recevant les coyers H,H; plus un embranchement /, et une entretoise J : on voit aussi un passage réservé pour entrer dans le comble entre les deux chevêtres K,L.
  - 149. A ïa Fig. 233, on voit un arbalétrier de ferme O; deux arbalétriers de demi-ferme P, P; deux chevrons Q, Q, qui n’outre-passent pas la lierne supérieure ; quatre autres chevrons S, S, S, S, qui occupent seulement l’espace entre la plate-forme et la première lierne; plus les Hochets R,R, la plate-forme N, et les deux ïiernes T et U.
  - •
  - La description verticale, Fig. 234, montre la ferme complète, composée d’un entrait inférieur E ; deux jambes de force X, X ; la plate-forme N ; les blochets R, R; les arbalétriers 0,0; l’entrait supérieur Y, l’aiguille M; les ïiernes T,U; les coyers Y, Y ; et enfin l’apparence intérieure des demi-fermes et des chevrons de remplage.
  - Diverses Manières de tracer la Lierne horizontale.
  - 150. Soit, Fig. 235, fangle droit DAB, quart de la description horizontale d’un comble conique : le sommet.4 est la projection de l’axe, et le carré IJ, le quart de la grosseur de l’aiguille : B C est la projection de la moitié de l’épaisseur de l’arbalétrier de la ferme complète ; DE, moitié d’un de demi-ferme; F G, projection de l’épaisseur entière d’un autre arbalétrier de demi-ferme dont on voit aussi en HH les projections de ses déjoutemens et de son dégueu-îement, mais en supposant l’aiguille de forme carrée : cet arbalétrier pourrait avoir moins de longueur, et son bout supérieur KL être assemblé dans une lierne.
  - Soit aussi A B SD la projection verticale d’une portion de l’aiguille, et CD EF celle d’un arbalétrier.
  - l.° Toutes les arêtes d’une lierne horizontale,
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  - und bilden 2usammen einen Zirkelbogen. Die Kan-ten an den horizontalen Fetten haben die nâmliche Gestalt. ^
  - Sind die Fetten an ihrer Basis schrâg, so werden die Kanten derselben parabolisch, elliptisch oder hyperbolisch seyn. Die Einkehlen, Kreuzbüge, u. s. w., erhalten die nâmlichen Biegungen.
  - Diesem zufolge müssen die Einkehlen an einem conischen Dache nach Verschiedenheit der Gestalt oder Stellung der zu ihrer Anlegung erforderlichen Hôlzer, eine verschiedene Form erhalten. Die Kanten sind parabolisch, wenn das Hache ( gerade ) Dach, welches in das conische hineingeht , die nâmliche Neigung hat aïs das Apothem des Kegels. Sie sind aber elliptisch, wenn das Hache Dach, welches das conische durchschneidet, mit dem Ho-rizonte einen geringern Winkel bildet (weniger Abhang hat) aïs das Apothem. Hyperbolisch sind sie endlich dann, wenn der durchschneidencle Plan mit der wagerechten Linie einen ofFnern Winkel bildet (steiler ist) aïs das Apothem des Kegels. Eine verticale ( lothrechte ) Mauer befindet sich jederzeit in diesem letztern Falle. Geht aber der Plan dureh die Axe, so verwandelt sich die hyperbolische Linie in eine gerade.
  - Der Kehlbalken kann aïs eine horizontale Fetîe betrachtet werden ; die Kanten an demselben sind sâmmtlich Zirkelbogen ; auchdie Stützhôlzer, Jagd-bânder und Helmstangen oder Giebeïsâulen erhalten die zu ihrer Stellung erforderlichen Biegungen.
  - 147. Ein conischer Dachstuhl besteht, nach Maasgabe der Fig. 234, gewôhnlich a us einem vollstândigen Bunde, an welchen zwei, vier oder mehrere halbe Blinde angesetzt werden; dazu kom-men zwei oder drei Reihen Fetten, auf welche mehr oder minder lange Sparren befestigt werden, welche das Lattenwerk tragen.
  - 148. Der Grundriss enthâlt blos einen halben runden Thurm AB CD (Backofengewôlbe). Die Fig. 232 zeigt den Werksatz ; dieser enthâlt einen Hauptbalken E , einen halben Spannriegel F, ein Tragholz G, an welches die Schifter H, H, befestigt werden ; ferner eine Baîkenverbin-dung I, und einen Riegel J : auch sieht man eine Oeffnung, wodurch man zwischen den beiden Wechseln K, L, in das Innere des Dachstuhls ge-langen kann.
  - 149. Die Fig. 233 enthâlt eine Stuhlsâuîe zu einem ganzen Bunde O; zwei Stuhlsâulen zu halben Bünden P, P, zwei Sparren Q, Q, welche nicht über die Giebelfette hinausgehen ; vier andere Sparren S, S, S, S, welche zwischen der Mauer-latte und der ersten Fette stehen ; ferner die Stich-balken R , R, die Mauerlatte N, und die beiden Fetten T und U.
  - Der Aufriss Fig. 234, zeigt einen vollstândigen Dachstuhl ; dieser enthâlt einen Hauptbalken E ; zwei Strebebüge X , X ; die Mauerlatte N ; die Stichbalken R , R ; die Stuhlsâulen 0,0; den Spannriegel Y ; die Giebelsâule M ; die Fetten T, U ; die Schifter Y, Y ; und endlich die innere Ansicht von den halben Bindern und Sparren.
  - Die horizontale Fette kann auf verschiedene Weise folgendergestalt gezeichnet werden.
  - 150. Es sey Fig.235der rechte Winkel DAB, das Viertel der horizontalen Vorstellung eines conischen Dachstuhls, dessenHôhe A , die Projection der Axe ist, und das Quadrat IJ das Viertel von der Dicke der Giebelsâule : B C , ist die Hâlfte der Dicke der Stuhlsâuîe im Hauptbunde ; DE, die Hâlfte eines halben Bundes ; F G, die vollstân-dige Dicke einer andern zu einem halben Bunde gehôrigen Stuhlsâuîe , wovon man bei HH die Einsetzung nebst der Kante sieht, wobei aber die Giebelsâule als^viereckig angenommen wird. Diese Stuhlsâuîe kônnte aber weniger Iang und das obéré Ende KL in eine Fette eingezapft seyn.
  - Ferner sey AB SD die verticale Vorstellung von einem Theile der Giebelsâule, und CD EF die einer Stuhlsâuîe.
  - l.° An einer horizontalen Fette, wie z. B. M, in
  - cularly, whose the whole framing perforais a circular crown. The edges of the horizontal purlins [on a level ] are too circular arcs.
  - When the purlins are oblique to the basis [slo-ping ], their edges shaïl be or elliptical, or parabo-lical, or hyperbolical. The same curvities belong to the valleys, Saint-Andrewscrosses, &c.
  - Thus, the shorted walleys applied to theconical roofs shaïl take diverse forms accordingly to the own shapes and sites of the small trusses causing them. The edges shaïl be parabolical, if both the intersecting roofs equafly slope. They are elliptical, when the plan roof which meets the conical one, make with the horizon a lesser angle than the conical apothem [Iess steep]. And those edges shaïl be hyperbolical, when the intersecting plan roof makes greater angle with the horizontal line [is steeper] than the conical apothem. It is understood that a vertical waïl is always so ; but one must know that the hyperbolical branch is transformed in a right line when the waïl passes exactly along the axe of the cône.
  - The collar of the shorted valley shaïl be ïike to an horizontal purlin ; and ail the edges of it, circular arcs: the ashleers, braces, spire, shaïl take curvities analogous to their sites.
  - 147. A conical roof is ordinarily composed with a complété truss, as shows the Fig. 234; and they add to it two, four or more half-trusses : to that primitive composing are applied two or three courses of purlins, to receive the diverse rafters for bearing the lathing and tiles.
  - 148. The horizontal description contains only an half-round tower AB CD [bottom of an oven, oven top]. The Fig. 232 shows the furrows, composed with an inferior collar E, an half-collar F, a bracket G., receiving the shorted collars H, H ; the branching /, and quarter J ( punging in ) : it is too seen a way between the trimmers K,L, for going in the garret.
  - 149. On the Fig. 233, are seen a rafter of truss O ; two ones of half-trusses P, P ; two small rafters Q,Q, which dont out the upper-purlin; another four rafters S, S, S, S, only between the wall-plate and under-purlin ; the hammer-beams R, R; the wall-plate N, and two purlins T1 and U.
  - The vertical description, Fig. 234, shows the complété truss, composed with an inferior collar E ; two strengthening pièces X, X ; the wall-plate N ; the hammer-beams R, R ; the principal rafters 0,0; the upper-collar V ; the spire M ; the purlins T, U ; the shorted collar Y, Y ; and at last the interior appearance of the half-trusses and filling rafters.
  - Diverse Methods of drawing the horizontal Purlins.
  - 150. Let be, Fig. 235, the right angle D A B, the quarter of the horizontal description of a conical roofing : the corner A is the projection of the axis, and the square IJ, the quarter of the bigness of the king-post ; B C is the projection of the half-thick-ness of the rafter of the complété truss ; DE, the half one of a half-truss ; F G, the projection of the whole thickness of another rafter of half-truss, whose ////shows the projected upper-grooving and bevel cuts [unmouthing and uncheeking], but accordingly to the square shape supposed to the king-post: such a rafter could hâve lesser length, and its end KL be framed into a purlin.
  - Let be too A B S D the vertical projection of a part of the king-post, and CD E F the one of a rafter.
  - l.rst Ail the edges of an horizontal purlin M,
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- - .telle que celle M dans la description horizontale, qui occupe l’angle entier, sont des quarts de cercle. Après avoir tracé carrément, sur ïa face verticale CE de l’arbalétrier, son occupation abcd, et sa mortaise, si par le point b on fait passer la droite b b, perpendiculaire à AS, et des autres arêtes c,d, a, d’autres perpendiculaires à b b, on aura sur la ligne b a tous les rayons des arcs de cercle qui doivent former les quatre arêtes de la lierne. Mais, pour faire choix du volume de bois qu’il faut pour l’exécuter, l’occupation abcd ne donne qu’une dimension d’é-carrissage, qui estd d : pour avoir l’autre, il faut tracer au moins la projection horizontale de l’arête c, et sa corde e ; reportant la flèche de c en c, on aura l’autre dimension d’écarrissage, qui sera a e. Si l’on traçait la projection horizontale des autres arêtes, on obtiendrait efgh, qui contient la dimension de longueur et celle de largeur, les tenons et leurs épaule-mens. (Pour indiquer ce procédé, les charpentiers disent couper la lierne par ses quatre arêtes.)
  - 2° Si l’on fait usage du même procédé pour tailler la lierne N, on aura le rectangle mnop, qui contient sa dimension de longueur et une d’écarrissage ; l’autre dimension d’écarrissage sera pareille à la précédente, puisque son occupation ij kl est semblable à abcd. Quelques praticiens, sous le prétexte de l’économie du bois, préfèrent la manière qu’ils appellent couper la lierne par balancement : ce dernier procédé est purement géométrique ; car le calibre P, qui est une portion de la surface conique ou du lattis, est en même temps la face ji de la lierne. Pour tracer ce calibre, on emploiera pour centre le point S, et pour rayons Sj,Si. Le calibre Q, destiné à tracer l’autre sorte de courbure de la lierne, aura son centre au sommet S d’un autre cône dont l’apothème Si serait perpendiculaire au lattis SE et se confondrait avec la ligne d’occupation I i : pour exécuter selon ce dernier procédé, le volume de bois devra avoir la même dimension de longueur ; mais ses dimensions d’écarrissage seront z et &. >
  - Nous avons réuni les deux sections qui montrent ces écarrissages, dont l’une est 1,2,3, 4, Fig. R, et l’autre, 3,5, 6,7, Fig. S'. Selon le premier de ces rectangles, il faudrait du bois très-méplat; l’autre est plus approché du carré. Quant à l’économie du bois, une simple opération géométrique peut présenter à l’œil les deux rectangles sous forme carrée, comme il suit : en portant 3, 4 sur le prolongement de 2,3 en 8, et, du milieu 11 de 2, 8, comme centre, décrivant l’arc 2, 13; 3, 13 est le côté du carré équivalent au parallélogramme 1,2,3,'4 : et en portant 3, 5 de 3 en 9, et, du milieu 10 de 7, 9, décrivant l’arc 7, 12; 3,12 sera le côté du carré équivalent au rectangle 3,5, 6,7, lequel est plus grand que le premier, comme on pourra s’en convaincre en exécutant les deux carrés sur 3, 13, et 3,12, comme côtés.
  - 3.° Au lieu de disposer rectangulairement au lattis l’occupation de ïa lierne, comme aux cas pré-cédens, on l’établit quelquefois parallèlement à la base du cône, telle que qrst : sa projection horizontale O montre que toutes ses arêtes sont aussi des arcs de cercle, puisque toutes les sections du cône droit faites parallèlement à la base donnent des cercles. Cette manière exige des bois méplats, tels que palplanches ou bois carré refendu. Les chevrons que cette sorte de lierne reçoit, sont nécessairement assemblés en about, puisque ses surfaces du dessus et du dessous ne sont pas carrément au lattis : mais il est aussi des cas où l’on préfère aux assemblages à tenon et mortaise les entailles telles que les montre la Fig. T.
  - 151. Les combles coniques peuvent, comme les pyramidaux, être affectés de divers accessoires : celui
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  - der horizontalen Yorsteïlung, weïche den ganzen Winkel einnimmt, sind sâmmtliche Kanten Zirkeï-viertel. Man zeichnet zuvôrderst quadratfôrmig auf der verticalen Flâche CE, der Stuhlsâule , ihren Platz abcd, nebst ihrem Zapfenloche ; zieht man sodann durch den Punkt b, die gerade Linie b b, perpendicular mit AS, undaus den andern Kanten c, d, a, andere mit b h perpendicuîare Linien ; so erhâlt man auf der Linie b a, aile Radii zu denje-nigen Zirkelbogen, weïche die vier Kanten der Fette bilden sollen. Um aber den zur Ausfuhrung nôthigen Umfang des Hoïzes zu haben , so giebt abcd weiter nichts aïs eine Dimension des Abvie-rens , welches d d ist : will man die andere haben , so muss man wenigstens die horizontale Projection der Kante c, nebst ihrer Sehne e, zeichnen; tragt man nun den Pfeil von c nach e zurück, so erhâlt man die andere Dimension des Abvierens, welches ae ist. Zeichnete man die horizontale Projection der andern Kanten, so ergâbe sich daraus das Recht-eck efgh, welches die Lange und Breite, so wie die Zapfen und ihre Backen enthâlt. ( Man nennt dieses in der Bausprache die Fette nach ihren vier Kanten schneiden.)
  - 2. ° Schneidet man die Fette N auf eben cliese Weise, so erhâlt man das Rechteck mnop, welches die Lânge und eine Dimension des Abvierens enthâlt ; die andere Dimension des Abvierens ist der vorigen gleich, indem ihr Platz ij kl, âhnlich ist abcd. Eine andere Verfahrungsweise heisst die Fette par balancement schneiden. Einige Bau-meister wenden sie deswegen an , weil sie clabei Holz zu ersparen vorgeben. Sie ist rein geometrisch ; denn der Lehrbogen P, welcher einen Theil von der conischen Flâche oder dem Lattenwerke aus-macht, ist zugleich die Flâche ji der Fette. Man nimmt bei der Zeichnung dieses Lehrbogens den Punkt S zum Mitteïpunkt, und die Lângen Sj, Si zu Radiis. Der Lehrbogen Q, nach weïchem fur die Fette die andere Art von Biegung gezeichnet wird, hat seinen Mitteïpunkt an der Hôhe S eines andern Kegels, dessen Apothem S i dem Lattenwerke S E gleich sey n, und sich mit der Linie 1 i verschmelzen wird. Soll diese Verfahrungsweise an-gewendet werden, so muss das Holz zwar die nâm-liche ' Lânge haben , aïlein die Dimensionen des Abvierens werden z und & seyn.
  - Wir haben hier beide das Abvieren betreffende Schnitte zusammengestellt. Der eine ist 1 , 2, 3 , 4 , Fig. R, und der andere, 3, 5, 6, 7, Fig S'. Das erste von cliesen Rechtecken erfordert sehr Iialb-fiaches Holz ; das andere aber nâhert sich mehr dem Viereck. Was die Holzersparung anbelangt, so wird eine einfache geometrische Operation die beiden Rechtecke unter einer viereckigen Gestalt wie folgt darstellen. Tragt man 3,4, auf der Verlângerung von 2,3, nach 8, und beschreibt aus der Mitte 11 von 2,8, den Bogen 2, 13 ; so ist 3, 13 die Seite des Vierecks , gleich dem Parallelogramm 1,2, 3, 4; und trâgt man 3, 5, von 3 nach 9, und beschreibt aus der Mitte 10 , von 7, 9, den Bogen 7, 12; so ist 3, 12 die Seite des Vierecks, gleich dem Rechteck 3, 5, 6, 7; dasselbe ist grôsser als das erste, welches dann ersichtlich wird, wenn man die beiden Vierecke nach 3 , 13, und 3 , 12 als Seiten ausführt.
  - 3. ° Anstatt, wie in den vorhergehenden Fâllen, die Fette mit dem Lattenwerke rechtwinkelig anzu-legen, so wird sie bisweilen auch mit der Kegelbasis paraïlel angelegt, wie qrst zeigt. Wir sehen aus der horizontalen Vorstellung O, dass ihre sâmmt-lichen Kanten ebenfalls auch Zirkelbogen sind, weil aile Durchschnitte, weïche an einem geraden Kegel mit der Basis paraïlel gemacht werden, Zirkel geben. Diese Verfahrungsweise erfordert halbflaches Holz, wie z. B. gesâgtes oder Pfostenholz. Die für solche Fetten bestimmten Sparren müssen in clie-selben eingezapft werden, weil ihre^obern und un-tern Seiten mit dem Lattenwerke nicht viereckig gehen : jedoch giebt es Fâlle wo man der Verzap-fung die in Fig. T enthaltenen Einschnitte vor-zieht.
  - 151. Die conischen Dâcher kônnen, wie die py-ramidenfôrmigen, noch gewisse accessorische An-
  - for instance, in the horizontal description, which occupies the whoïe right angle, are quadrants. Aller having traced with the square on the vertical face CE of the rafter, the joint abcd and its mortisc, through the edge-points a,b,c,d, lift perpendieu-lars to b b, or paraïlels to A S ; they sliall give on tbe straight b a ali the rays of the arcs which ought to form the four edges of the purlin. But, for choosing a bulk able to perform the purlin, the said square abcd gives only the one of the measures of squarc-ness, viz, d d : in order to find the other, one ought to draw at ïess the horizontal projection of tlie edge c, ajnd its corde; the arrow heing transferred from c Rte, a e shall be the other size of squareness. If one would trace the projections of the other edges, he could find the rectangle efgh, showing the length and the breaclth with the tenons and tlicir shoulderings. (The practisers call such a drauglit to eut a purlin on its four edges.)
  - 2.% rpfie same method applied to eut the purlin N, shall give the rectangle mnop, showing the length and the breadth of the bulk; its thickncss being equal to the foregoing oné, since the joint i jkl is equal to abcd. Some practisers, pretending to spare the matter, prefer the method they call lo eut a purlin by balancing, which is quite gcoinc-trical ; indeed, the size P, being a part of the conical surface or ïathing, is at the same time the face ijof the purlin. In order to tracing such a mould, the point S is used as center, and Sj, Si, as rays, The size Q, appointed to the draught of the other curvity of the purlin, ought to hâve for center the top S of another cône, whose the apothem £i could bc perpendicular to the ïathing SE, and confoundcd with the line of occupation li : with that method, the bulk ought to hâve the same length; Lut the dimensions of squareness shall be z and &.
  - We hâve annexed to each other the two sections showing those diverse squarenesses : the one, 1,2, 3,4, Fig. R; the other, 3,5,6,7, Fig. S'. The first size requires slater timbers; the second, more next to the square, but few exceeding as to bulk; what can be shown by a geometrical construction, turning each parallelogram on a very square, as it folîows : carry the distance 3,4 on the lengthening of 2,3 at 8 ; and taking as center thç middle point 11 of the line 2,8, descrihe the arc 2,13; 3,13 shall be a side of the square équivalent to the parallelogram 1,2, 3, 4 : by carrying too3,5 from 3 at 9, and, from the middle point 10 of 7,9, describing the arc 7, 12 ; 3,12 shall he the size of the square equal to the parallelogram 3,5, (5,7, which shall be shown greater than the first one, by performing the two squares on the sides 3,13, and 3, 13.
  - 3.,y Instead of seating the joints of the purlins perpendicularly to the ïathing, as the foregoing oncs, sometimes they establish them parallely to the basis of the roof, as qrst: the horizontal projection of it O shows that ail the edges are too circulai' arcs, since ail the sections paraïlel to the basis of the right cône are circular. That method requires timbers much more slat or cïeave again. The faces of such purlins cloing not be perpendiculars to the ïathing, the rafters cannot be framed to them unless with oblique cuts [but-ends] ; nevertheless notches as shows the Fig. T, are sometimes prefered to the assemblage with tenon and mortise.
  - 151. The conical roof can take, as theothers, diverse accessories : the one of that example is a
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- - que présente cet exemple, sous forme de lucarne destinée à éclairer l’intérieur du comble, a besoin d’un vide de forme différente de ceux que laissent ordinairement les bois qui entrent dans la composition de cette sorte de comble. La Fig. 236 montre, sur la description verticale, la face et le fronton de la lucarne ; la Fig. 237, sa jouée ou profil : à la description horizontale, Fig. 238, est représenté son comble à vue d’oiseau ; la Fig. 239 est une coupe horizontale des pilastres et des jouées. H faut, pour recevoir les deux pentes du fronton, deux liernes obliques, dont les arêtes seront nécessairement elliptiques, pui^jue ces pentes font avec l'horizon un angle moindre [ont moins de raide] que l’apothème du cône, comme le montre la ligne AB.
  - Trait d'une Lierne oblique [rampante].
  - 152. Tracez l’inclinaison FB, Fig. 240, de l’apothème du comble conique; et, par la ligne EA, marquez la largeur d’une des faces verticales d’un arbalétrier supposé dans la direction de la ligne de couronnement de la fermette de lucarne : tracez aussi la pente J G, Fig. 241, du fronton de lucarne, et la ligne HI, qui indique la largeur verticale de l’arbalétrier de sa fermette, supposée avoir fait un quart de révolution autour de l’axe, et devenue parallèle à l’arbalétrier AF. Le volume de la lierne faisant partie en même temps, et du volume du comble conique, et de celui du comble droit, ces deux arbalétriers sont réellement deux projections verticales de la lierne ; le premier montrant les distances à l’axe du cône, et le second, les distances au plan vertical qui passerait par la ligne de couronnement de la lucarne. Divisez en parties égales la hauteur 1H du comble de la lucarne; par les points de division 2,3,4,5 et H, menez des horizontales [traversantes] 2k,3 m,&c., qui donneront, surla face verticale de l’arbalétrier de fermette, les points K, L, M,N, O, P, Q,R , S ; et sur les faces verticales de l’arbalétrier du comble conique, les points 1, k, n, m, p, o, r, q, C, D. Par tous ces derniers points, ainsi que par A, B, E, F, menez parallèlement à Ey des droites qui donneront autant de points sur celle x b qui appartient à la Fig. 242, et qui est la projection horizontale [retombée] de la ligne de couronnement.
  - 153. Pour tracer la projection horizontale de cette lierne, Fig. 242, prenez, Fig. 241, les distances de 1 à J et à I, que vous porterez pour marquer, à partir de la ligne x b, Fig. 242, des distances par lesquelles vous tracerez indéfiniment ij et IJ : du point x, qui représente l’axe du cône, comme centre, et xb pour rayon, décrivez l’arc bJj; et de x a pour rayon, l’arc ali : les quatre points i, I, J,j, seront les origines des quatre arêtes, et fourniraient ce que les praticiens nomment le pas, si la lierne devait s’assembler sur la plate-forme horizontale qui est représentée par AB, JI, Fig. 240 et 241. En procédant de même, on obtiendra les points k,K,L,l; m,M,N,n; o,0,P,p;q,Q, R,r, qui, avec E, D, F, C, donneront des points de passage, et les extrêmes des projections horizontales des quatre arêtes : les points d, c, ont été donnés par la distance H S portée de la ligne xb, et les arcs Dd, Ce, aussi décrits du centre x. Le diamètre du petit cercle tracé du centre x étant égal à la dimension d’un arbalétrier, face du lattis ; en traçant à ce cercle une tangente qui passe par le point J représentant I, Fig. 241, et B, Fig. 240, elle coupera les projections des trois autres arêtes aux points s,t,u, qui donnent les épaulemens de l’assemblage du bout inférieur de la lierne, dont les points des gorges seront s, u, et ceux d’about t, J.
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  - lagen erhalten. Wir sehen z. B. in gegenwârtigem Falle ein Dachfenster, welches zur Erhellung des innern Dachraums bestimmt ist. Die Gestalt der Oeffnung ist aber von derjenigen unterschieden , welche sonst gewôhnlich bei dieser Art Dâcher an-gewendet wird. Die Fig. 236 zeigt die verticale An-sicht der vordern Seite und des Fenstergiebels, und die Fig. 237 das Profil. Die Fig. 238 ist die horizontale Ansicht des Fensterdaches, und die Fig. 239, der horizontale Durchschnitt der Pfosten und Seitenwànde. Die beiden Giebelabhânge erfor-dern zwei schrâge Fetten, deren Kanten nothwen-digerweise elliptisch sind , weii diese Abhânge mit dem Horizonte einen geringern Winkel bilden (weniger steil sind) aïs das Apothem des Kegels. Man sehe die Linie AB.
  - Schnitt einer schràgen Fette.
  - 152. Man zeichne die Neigung FB, Fig. 240, welche das Apothem des conischen Daches hat, und bemerke vermittelstder Linie EA, die Breite von einer der verticalen Seiten einer Stuhlsâule, welche nach der Kranzlinie des Dachfensterbinders zu ge-riçhtet ist : man zeichne ferner den Abhang J G, Fig. 241, des Dachfenstergiebels, nebst der Linie HI, welche die verticale Breite der Stuhlsâule an dem Dachfensterbinder anzeigt, und wobei angenommen wird, dass seïbige einen Quadrant um die Axe be-schrieben habe, und mit der Stuhlsâule AF parallel geworden sey. Da die Gestalt der Fette sowohl mit dem conischen aïs auch mit dem geraden Dache im Verhâltnisse steht, so sind diese beiden Stuhlsâuïen die beiden wahren verticalen Vorstellungen der Fette : die erste zeigt nâmlich den Abstand von der Kegelaxe, und die zweite den Abstand von dem verticalen Plane, welcher durch die Kranzlinie des Dachfensters geht. Man theile die Hôhe 1H des Dachfensterdaches in gleiche Theile ; ziehe durch die Theilungspunkte 2, 3,4, 5 und H, die Horizon-tallinien 2k, 3m, u. s. w. , welche auf der verticalen Flâche der an dem Dachfensterbinder stehen-den Stuhlsâule die Punkte K, L, M, N, O, P, Q, R, S ; und auf der verticalen Flâche der im conischen Dache stehenden Stuhlsâule, die Punkte I, k, n, m, p,o, r, q,C,D, geben werden. Durch diese letztern Punkte, so wie durch A, B, E, F, ziehe man parallel mit Ey, gerade Linien, welche eben so viêl Punkte auf der Linie x b geben werden. Diese Ietztere gehôrtzur Fig. 242, und ist die horizontale Yorstellung der Kranzlinie.
  - 153. Um die horizontale Projection dieserFette, i Fig. 242 zu zeichnen, nehme man in Fig. 241, die
  - Abstânde von 1 nach J und nach I, welche man weiter führt, um nus xb, Fig. 242, Abstânde zu bezeichnen, vermittelst welcher man auf unbe-stimmte Weise ij und IJ zeichnet. Aus dem Punkte x, welcher die Axe des Kegels vorstellt, aïs Mittelpunkt, mit dem Radius xb, beschreibe man den Bogen bJj ; und aus xa, aïs Radius, den Bo-gen ali ; worauf die vier Punkte i, I, J, j, die Grundlinien zu den vier Kanten seyn werden; auch würden sie die Schnittlinie geben, wenn die Fette auf der horizontalen Mauerlatte , welche in Fig. 240 und 241 mit AB, JI bezeichnet ist, angelegt werden sollte ; und verfâhrt man weiter auf die nâmïiche Weise, so erhâlt man die Punkte k, K, L, l; m , M, N, n ; o , O, P,p; q, Q, R, r, welche mit E, D, F, C, die Durchgangspunkte nebst den Enden der vier horizontalen Kanten geben werden. Aus dem Ab-stande HS, welcher von der geraden Linie x b ge-führt worden ist, haben sich die Punkte d,c er-geben ; auch sind die Bogen D d, Ce, aus dem Mittelpunkte x beschrieben worden. Der Durch-messer des kleinen Zirkels, welcher aus dem Mittelpunkte x gezogen worden, ist gïeich der Dimension einer Stuhlsâule , an der Flâche des Latten-werks ; zieht man nun an diesem Zirkeï eine Tangente , welche durch den Punkt J geht, dessen Vorstellung in Fig. 241, I, und in Fig. 240, B ist ; so zerschneidet solche die Projectionen der drei andern Kanten in den Punkten s, t, u, weïçhe die Zusammensetzung an dem untern Ende der
  - dormer-window appointed for îightening the inner of the roof, which needs a void quite different from the ones ïet by the timbers usually employed into that kind of roofs. The Fig. 236 shows, on the vertical description, the face and pediment of the dor-mer window; the Fig. 237, the profile of it ; the horizontal description, Fig. 238, the upper-view of the roofîng as the birds do ; the Fig. 239, an horizontal section of the pillars. For receiving the two pourings, it wants two oblique purlins, the edges of which shall be necessariïy elïiptical, since their shelvings make with the horizon an angle less than the apothem of the cône [are less steep], as shows the straight AB.
  - Draught of an oblique Purlin [creeping].
  - 152. Trace, Fig. 240, thesheîvingFRof the apothem of the conical roof ; and, by means of the straight E A, design the breadth of a vertical face of a principal rafter supposed on the direction of the crowning line of the small truss of the dormer window. Then, Fig. 241, draw too the shelving J G of the pediment of the dormer window, and the line HI parallel to it, showing the breadth of the principal rafter of the small truss, supposed having turned a quadrant round the axis, and parallel to the rafter AF. The volume of the purlin being at the same ^time a part of the volume of the conical roofîng, and of the one of the right roof, those two rafters are reaïly each two vertical projections of the searched purlin, the one showing the distances from the axe, the other expressing the distances from the vertical plan passing along the crowning line. The height 1H of the roof being divided into many soever equal parts, and horizontals [ transverse fines] 2k, 3 m, &c., being traced through the divi-ding points 2,3,4,5,H, they shall give on the vertical face of the rafter of the small truss the points K,L,M,N,0,P,Q,R,S; and on the one of the rafter of the conical roof, the points I, k, n, m, p,o,r, q,C, D. Through those latter points and A,B,E,F, bring paralleïy to Ey straights which shall give as many points on xb, which belongs to the Fig. 242, the horizontal projection [dropping] of the crowning fine.
  - 153. For tracing the horizontal projection of that purlin, Fig. 242, take off, Fig. 241, the distances from 1 at J and I; and carrying them from the fine xb, Fig. 242, draw indefinitely ij and IJ, parallel to x b : then, taking as center the point x, the projection of the axe of the cône, describe the arcs b Jj and ali, with the respective rays xb and xa : the points i,I,J,j, shall be the rises of the four edges, and give the trace [bottom, foot, pace] of the purlin on the walï-plate shown by AB, JI, Fig. 240 and 241. On the same manner you shall obtain the points k,K,L,l;m,M, N,n;o ,0, P,p; q,Q,R,r, which, aswell as E,D,F,C, shall be the extremities and points of passage of the fiori-zontal projection of the purïin’s four edges : the points d, c, hâve been found by carrying HS from the fine x b, and describing the arcs Dd,Cc, from the same center x. The diameter of the littïe circle surrounding x, being equal to the dimension of the rafter on the lathing ; if you trace to it a tangent through the point J, the projection of I, Fig. 241, and B, Fig. 240, it shall eut the three other edges at s, t, u, which shall give to you the shoulderings of the under-framing of the purlin, viz, t, J, as the but-ends, and s,u, for the neck points.
  - 3.' Partie.
  - n
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- - Les quatre arêtes qu’on voit tracées sur ïa projection verticale, Fig. 240, ne sont pas nécessaires pour reporter le trait sur le volume de bois : pour les y tracer, on reportera, à la même distance de la droite y E, îes points de la projection horizontale, Fig. 242, sur chacune des traversantes respectives de la Fig. 240. Cependant, y étant admises, cette projection et celle de ïa Fig. 241 sont suffisantes pour exécuter ïe tracé du bois.
  - 154. Les projections verticale, Fig. 240, et horizontale, Fig. 242, ne donnant ni lune ni 1 autre la longueur vraie de la ïierne, on I obtiendra en procédant comme il suit. Après avoir tracé une droite E y', Fig. 243, on portera sur elle les points de division I',K',M', O', Q',H', espacés comme ils le sont à ïa Fig. 241, sur ïa ligne IH; on portera aussi la longueur T G de H' en E, et celle J U de I' en U' : on y reporterait de même les points L,N,P, R,S,T, si, étant retournés carrément sur ïa face IH, ils ne se confondaient pas avec I, K,M, O, Q, H, comme il arrive dans cet exemple, où l’on voit que ïa perpendiculaire IU passe au point L. Par chacun de ces points, on tracera des perpendiculaires à y E ; mais ici, Fig. 243, les perpendiculaires élevées des points I', K', &c., doivent être considérées chacune comme deux lignes, puisque les points de passage des quatre arêtes s’y rencontrent : iï ne reste plus qu’à reporter sur ces lignes et à ïa même distance de y1 E1 les points des arêtes de la Fig. 242, tels qu’ils sont espacés de ïa ligne Ey : les mêmes lettres appliquées aux deux figures font concevoir ce report. Pour tracer la ligne de gorge ainsi que celle d’about, des points s, t, u, Fig. 242, on mènera sur IJ des parallèles à y E; on prendra les distances de J à chacune de ces parallèles, et on les reportera de J' vers sur JJ', Fig. 243; on mènera par ces points des parallèles à. y'E', qui, coupant respectivement les trois autres arêtes, donneront s, u', pour les points de la ligne de gorge, et Ï,J', pour ceux de ïa ligne d’about.
  - Trait d'un Noulet sur le Comble conique. [ Manière de construire un Noidet sur une Tour ronde.]
  - 155. Une ligne droite ne pouvant toucher en tous ses points ïa surface du cône que dans la direction de son apothème, ïa surface inférieure delà branche du noulet, contiguë au comble, n’aurait sur ïui que quelques points de contact, c’est-à-dire quelle ne pourrait s’y appliquer dans toute son étendue sans une préparation spéciale : mais, quelle que soit ïa sorte de courbure qu’il faille lui donner, soit elliptique, soit parabolique, le procédé des projections que nous venons d’expliquer, s’y appliquera sans difficulté ; ïa répétition que nous en donnons ici Fig. 247, 248 et 249, est seulement pour faire voir que la méthode des praticiens, Fig. 244, 243 et 246, n’en diffère que dans le placement des dessins particuliers sur l’étalon.
  - Soient CD, Fig. 244, une portion de Taxe du cône, et BE, son apothème; KH IJ, ïa face, mais verticale, d’un des chevrons de ïa fermette de ïa lucarne , qui doit se projeter sur ïa face de lattis du comble conique, et y déterminer ïa forme que doit avoir ïa branche de noulet : A F marque ï’autre dimension d’écarrissage qu’on veut donner à la branche de noulet. On divise en parties égales ïa ligne CH, qui mesure verticalement ïa hauteur de ïa fermette ; et, par les points de division, l’on mène des horizontales [traversantes] qui donnent, sur la face JH de l’arbalétrier, les points a, b;c,d; e,f;g, h ; i,j; k,l, et m, n : et, sur l’autre face d’écarrissage B F, les points a,b;c,d; &c. L’autre traversante IA', menée par ïe point I, est égale au rayon CB du cône, augmenté de lepaisseur horizontale B A de
  - ( 9-t )
  - Fette geben, wovon s, u, die Kehïpunkte, und t, J die Endpunkte sind.
  - SoII der Schnitt auf dem Hoïze gezeichnet wer-den, so sind die auf der verticalen Vorsteïïung in Fig. 240 gezeichnetenvier Kanten cïabei nicht erfor-derlich; wilïman sie darauf zeichnen, so bringt man in dem namlichen Abstande von der geraden Linie y E, die horizon taïen Projectionspunkte in Fig. 242, auf jede der respectiven schrâgen Linien der Fig. 240 ; worauf diese Projection nebst der in Fig. 241, zur Zeichnung des Hoïzes hinreichend ist.
  - 154. Da die verticale Projection, Fig. 240, sowohï aïs die horizontale, Fig. 242 , die wahre Lange der Fette nocïi nicht geben, so erhâït man soïche auf foïgende Weise. Hat man eine gerade Linie E'y', Fig. 243, gezeichnet, so bringeman darauf die Theiïungspunkte I', K', M', O', Q', H', in den namlichen Abstânden wie in Fig. 241, auf der Linie IH ; man trage ferner die Lange T G von II' nacli E, und die Lange J U von I* nach U' ; man wiirde dahin auch die Punkte L, N, P, R, S, T bringen , wenn soïche, nachdem sie auf die Fïâche IH quadratfôrmig zurückgetragen sind, sich nicht mit I, K, M, O, Q , H vereinigten, wie es in gegenwârtigem Faïïe geschieht, wo die Perpendi-cuïarïinie IU zu dem Punkte L geht. Durch jeden von diesen Punkten ziehe man Perpendicuïarïinien mit y'E. Die in Fig. 243 aus den Punkten EK’, u. s.w., aufgerichteten Perpendicuïarïinien müssen aber jede aïs zwei Linien betrachtet werden, weiï die Punkte der vier Kanten daseïbst mit einander zusammentreffen, Endïich werden noch auf diese Linien, in dem namlichen Abstande von y E, die Kantenpunkte aus der Fig. 242 herübergetragen, und zwar eben so wie sie von der Linie Ey ab-stehen ; wie soïches die namlichen zu beiden Fi-guren angewendeten Buchstaben zeigen. Um die Kehl- und Endïinie zu zeichnen, so ziehe man aus den Punkten s, t, u, Fig. 242 , mit xyE Paralïeï-ïinien auf IJ; nehme die Abstande von / nach jeder von diesen Paraïïelïinien, und trage sie von J gegen l auf l'J', Fig. 243 ; ziehe durch diese Punkte mit y E Paraïïelïinien, weïche die drei andern Kanten durchschneiden, und s', u', für die Punkte der Kehïïinie, und t', J , fiir die der Endïinie geben werden.
  - Zeichnung einer Kehle auf einem conischen Dache. [Art und Weise eine Kehle auf einem runden Thurme anzulegen.]
  - 155. Da eine gerade Linie die Fïâche eines Ke-
  - geïs an allen seinen Punkten bïoss in der Richtung des Apothems berühren kann, so würde der untere Theiï des Kehlschifters, weïcher an dem Dache an-ïiegt, mit diesem bïoss einige Berührungspunkte Iiaben ; d. h., er kônnte sich, ohne eine hesondere Yorrichtung, der ganzen Lange nach nicht an das-seïbe anlegen. Die dazu erforderïiche Biegung sey jedocïi von weïcher Beschaffenheit sie woïïe, eïïip-tisch oder paraboïisch, so lâsst sich die vorstehende Verfahrungsweise sehr ïeicht dazu anwenden. Wir wiederhoïen soïche in Fig. 247, 248 und 249 bïoss deshaïb , um zu zeigen, dass die gewôhnïiche in den Fig. 244, 243 un à 246 enthaïtene Verfahrungsweise sich davon bïoss durch die besondere Anordnung der auf der Lehrezu machenden Zeich-nungen unterscheidet. ^
  - Es sey CD, Fig. 244, ein Theiï der Kegeïaxe, und BE das Apothem ; KHI J, die verticale Fïâche von einem derSparren an demDachfenster, weïches an dem Lattenwerke angeïegt, und daseïbst die Ge-staït des Kehlschiftersbestimmen soïï; AF die an-dere Dimension nach weïcher der Kehlschifter ab-geviert werden soïï. Man theiït die Linie CH, weïche das verticale Maas zur Hôhe des Dachfenster-binders ist, in gïeiche Theiïe , und zieht durch die Theiïungspunkte Horizontallinien , weïche auf der einen Stuhïsâuïenflâche J H, die Punkte a, b ; c, d; e>f>g>h ; i >jf h} h und m, n, und auf der andern Fïâche B F, die Punkte a, b; c, d ; u. s. w. geben. j Die andere Horizontaïlinie IA’, weïche durch den Punktl geht, ist gïeich dem Kegeïradius CB, weïcher um die horizontale Dicke B A, des Kehï-
  - The four edges drawn on the vertical projection, Fig. 240, not are necessary for transferring tlie draught on the buïk. Besides they hâve been traced there by carrying at the same distance from y E the points foundùr the horizontal projection, Fig 244, on each of the respective transverse ïines of the Fig. 240. Nevertheïess such a projection, with the one of the Fig. 244, suffices for performing the draught of the timber.
  - 154. Never the horizontal projection, never the vertical, Fig. 240 and 242, gives asunder the real ïength of the purïin, which shaïï be found asit foïïows. On a straight E y1, Fig. 243, carry the dividing points of the Fig. 241, at I',K',M',0', Q\ H', distanced as in the other Fig. 244. Then carry too T G from H’ at E', and J U from fat U': the points L, N, P, R, S, T, couïd be ïike carried, if they, turned squareïy on IH, might not Leçon-founded with I, K, M, O, Q,N, as in that example, where the perpendicuïar IU passes through the point L. Through each of those points, Lring per-pendicuïars to y'E ; but, in the présent example, each of them ought to be ïooked as showing two ïines, since the points of passage of two edges meet on it : thus carry the edge’s points of the Fig, 242, distanced as they are there from the straight Ey: the same ïetters stamped on both the figures show pïainïy such a carrying. For tracing the ïines of neck and but-end, from the points s, t, u, Fig,242, bring on IJ paraïleïs to y E ; take off the distances from J at each of those paraïleïs, and carry tliem from J' towards ï on l'J’, Fig. 243; and through those points bring paraïleïs to y' E'; they, hy cutting respectiveïy the three other edges, shaïï give s,u, as the points of the neck-ïine, and t, /, for the but* end’s ones.
  - Draught of a shoried Valley on the conical
  - roof. [Method for constructing a shorted Valley on a circular Tower.]
  - 155. A right fine doing not abïe to toucha conical surface with alï the points unless along the apothem, the under-face of a branch of shorted valley couïd not be contiguous to the conical roof, unless by few points of contact, and cannot apply itseïf to it by its whoïe extent, without a par-ticuïar préparation : but, whatever be the kind of curvity whom it ought to hâve, or eïïiptical, cither paraboïicaï, the method of the projections we hâve next expïained, shaïï be applied to it without any difficuïty. The application of it to the Fig. 241, 248 and 249, is onïy to show that the method of the practisers, Fig. 244, 243 and 246, differs onïy by the disposai of the parts of the draught on the large scaïe.
  - Let be CD, Fig. 244, the vertical projection of a part of the axe of the cône; BE, the apothem; HIJ K, the one of the vertical face of the rafterof the smaïï truss of the dormer window, which ought to be projected on the Iathing of the conical roof, and détermine the shape whom ought to hâve the branch of the shorted vaïïey : A F shows the other dimension of squareness adopted for that branch. Cil, the vertical height of the smaïï truss, is divided into equaï parts ; and through each dividing point, are brought horizontaïs [transverse ïines], which give, on the face J H of the principaï rafter, the points a,b ; c, d; e ,f; g, h;i ,j ; k, l, and m,n; and on the other face of the squareness B F, the points a,b;c,d;&c. The other horizontal IA', brought through the point I, is equaï to the radius CB of
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- - fii branche de noulet, puisqu’elle est comprise entre les parallèles CD et AA'. Pour donner moins d’extension aux figures, on prend pour centre le point I, et pour rayon IA’, au fieu de A C ; ce qui est indifférent, puisque cette transposition ne change rien au procédé.
  - Par les points A, B ; a, b ; c, d ; &c., on mène parallèlement à faxe les lignes A A', a 2, B B', c 3, b 4, kc. ; on méfie aussi parallèlement à CD, par les points K, J, a, b,0,(1, &c., d’autres droites indéfinies KK,JJ,aa,bb, &c. : employant ensuite pour centre le point I, et pour rayon IA', on décrit un premier arc A 'A ; avec ïe même centre, et IB* pour rayon, on trace un second arc B B : ïe quadrilatère K B J A est la section ou coupe oblique du pied [le pas] de ïa branche de noulet dont la ligne K est Fafeout, et J la gorge : les quatre angles du quadrilatère seront les origines des quatre arêtes en projection horizontale. Du même centre I, et avec ies rayons 12,14, on trace deux autres arcs, qui donnent un deuxième quadrilatère abba; en opérant de même avec ïes rayons I 3,1 6, on a un troisième quadrilatère cd clc : ïes angles de chacun de oes quadrilatères sont autant de points par lesquels on fait passer des courbes qui sont les projections horizontales des arêtes.
  - Pour avoir l’extension [ïa herse], c’est-à-dire, ïa forme et les dimensions réelles de ïa branche de nou-ïet, et en tracer ïe volume au moyen de ses deux projections, on mène des perpendiculaires indéfinies à IJ et H K, Fig. 244, par tous ïes points de division qui existent sur ces lignes à ïa Fig. 245: par un point quelconque, x, par exemple, on prend une directrice [ligne de direction] ce y, paraïïèle à AC; et en un point x', Fig. 246, on prend une directrice correspondante x'y : on porte ensuite, à partir de x rf, sur chaque perpendiculaire correspondante , ïa distance perpendiculaire où chacun des angles des quadrilatères de ïa Fig. 245 se trouve par rapport à ïa directrice x y ; et l’on fait passer par tous les points ainsi trouvés quatre courbes, qui sont ïes arêtes réelles de la branche de noulet, avec ses véritables dimensions.
  - 156. Dans la Fig. 247, B G exprime de même ïa pente du comble conique ; GG, ïa hauteur verticale de ïa fermette de ïucarne, par rapport à ï’ho-rizontaïe CB; et B A, l’épaisseur que produit une des dimensions d’écarrissage de ïa branche de nou-ïet, mesurée horizontalement. Cette hauteur a été aussi divisée en parties égales; et des horizontales menées par ïes points de division ont donné ïes points a, b, c, d, &c. ; des verticales abaissées de ces points ont donné, sur le rayon CA, ïa distance où chacun de ces points se trouve de l’axe du cône : en sorte que les arcs A a, B b, &c., décrits du centre C avec ïes rayons respectifs CA,CB, contiennent chacun ïa projection horizontale de deux points d’arête de ïa pièce, situés à même hauteur, en tant qu’ils sont tous les deux à même distance du centre.
  - Dans ïa Fig. 248, on a pris ensuite la même ligne C A comme projection horizontale de ïa ligne de couronnement de la ïucarne : en un point quelconque q, une perpendiculaire qK y représente ïa trace ou base du fronton [ïigne de trave]; et y reportant de q en H la hauteur verticale G G avec ses divisions, et traçant ensuite ïa pente du fronton HKq, et son autre dimension d’écarrissage, d’où résulte ïe trapèze HIJ K; ïes parallèles à ÜTq, menées par ïes points de division de ïa hauteur, ont donné sur la face IK les points d’arête a, b, c, d, &c. situés aux mêmes hauteurs respectives que a,b,c,d, &e., Fig. 247; et ïes parallèles indéfinies menées à q H par chacun de ces points a a,b b ,cc ,dd, &c. contiennent aussi chacune ïes projections horizontales de deux points d’arête à même hauteur que ceux
  - •
  - ( 95 ;
  - schiftérs vergrôssert worden ist ; denn selbige ist zwischen den Horizontaïïinien CD und AA' be-griffen. Um der Figur einen geringern Umfang zu geben, so nimmt man denPunkt Izum Mitteïpunkt, und zum Radius I A', anstatt A C. Diese Yer-setzung ist ganz gïeichgüïtig, und thut der Operation keinen Eintrag.
  - Durch die Punkte A, B; a, b; c, d; u. s. w., zieht man paralïel mit der Axe, die Linien A A', a2, BB , c3, b4; u. s. w, ; ferner zieht man an-dere unbestimmte gerade Linien KK, JJ, aa, bb, u. s. w., durch die Punkte K,J, a,b,c,d,u.s.w., paralïel mit C D : endïich nimmt man den Punkt I zum Mitteïpunkt, und IA' zum Radius, und be-schreibt damit einen ersten Bogen A' A ; einen zweiten Bogen B B, mit dem Radius IB', be-schreibt man aus dem nâmïichen Mitteïpunkte ; das Yiereck KBJA ist sodann der schràge Durch-schnitt vom Fusse des Kehïschifters, wovon die Linie K das Ende , und J der Ausschnitt ist ; die vier WinkeïdesYierecks werden sodann den Anfang zu den vier Kanten horizontal darsteïlen. Aus dem nâmïichen Centro I, mit den Radiis 12,14, zieht man zwei andere Bogen, weïche ein zweites Yiereck abb a geben; und verfâhrt man auf gïeiche Weise mit den Radiis 13, 16, so erhâït man ein drittes Viereck cd c/c; die Winkeî dieser Vierecke sind eben so vie! Punkte, bei denen man durch jeden krumme Linien zieht, weïche die Kanten horizontal vorsteïïen.
  - Um die Form und wahren Dimensionen des Kehïschifters zu erhaïten, und die Gestaït dessel-ben vermitteïst der beiden Projectionen zu zeichnen, so zieht man unbestimmte Perpendicuïarïinien mit IJ und H K, Fig. 244, durch alïeTheiïungspunkte, weïche sich auf diesen Linien in Fig. 245 befinden. Durch einenbeïiebigen Punkt, z. B. x, nimmt man eine Directionsïinie x y, mit A C paralïel ; und in einem Punkte x', Fig. 246, nimmt man eine cor-respondirende Directionsïine x' y'. Man trâgt sodann aus x y', auf jede correspondirende Perpendicuïar-linie, die perpendicuïare Distanz, in weïcher sich ein jeder von den Winkeïn der Yierecke in Fig. 245 in Bezug auf die Directionsïinie xy befindet, und zieht durch sâmmtïiche soïchergestaït gefundene Punkte vier krumme Linien, weïche sowohl die wahren Kanten an dem Kehïschifter aïs auch dessen wahre Dimensionen sind.
  - 156. In Fig. 247, zeigt B G ebenfaïïs den Abhang des conischen Daches, und G G die verticale Hôhe des Dachfensterbinders in Bezug auf die Horizon-taïïinie CB; so wie B A die Dicke, weïche eine von den gevierten Dimensionen des horizontal gemesse-nen Kehïschifters giebt. Diese Hôhe ist ebenfaïïs auch in gïeiche Theiïe getheiït worden, und durch die Theiïungspunkte sind Horizontaïïinien geführt worden, weïche die Punkte a, b, c, d, u. s. w., ge-gegeben haben ; die aus diesen Punkten gezo-genen senkrechten Linien haben auf dem Radius CA den Abstand gegeben, in weïchem sich ein jeder von diesen Punkten von der Kegeïaxe be-findet ; sonach enthaïten die aus dem Cëntro C be-schriebenen Bogen Aa, Bb, u. s. w., deren respective Radii C A , C B sind, jeder insbesondere die horizontale Vorstelïung von zwei Kantenpunk-ten, weïche in gïeicher Hôhe stehen, in wiefern sie sich nâmïich in gïeichem Abstande vom Centro befinden.
  - In Fig. 248 ist sodann die nâmïiche Linie C A zur horizontaïen Yorsteïïung der zum Dachfenster gehôrigen Kranzïinie genommen worden, und in einem beïiebigen Punkte q, steïït eine Linie q K, die Basis des Daches [ Stuhïwandïinie ] vor ; trâgt man ferner die Verticaïhôhe G G nebst ihren Theilungen daseïbst von q nach H, und zeichnet den Giebeï-abhang HKq, nebst der andern gevierten Dimension , woraus sich das Trapezium HIJ K ergiebt, so geben die mit Kq paralïel ïaufenden Linien, weïche durch die Theiïungspunkte der Hôhe ge-zogen worden sind, auf der Flâche I K, dieKanten-punkte a, b, c, d, u. s. w., weïche an den nâmïichen respectiven Hôhen stehen wie a, b, c , d , u. s. w. Fig. 247J so wie auch die unbestimmten Paraïïelïinien, weïche durch die Punkte aa, b b,
  - the cône, augmented with the horizontal thickness B A of the branch, since it is comprehended hetween the paralleïs C D and A A', In purpose to shorting the extent ofthe figures, they takel as center, and I A' instead of A C ; what is quite indifferent, since that transposition aïters nothing in the method.
  - Through the points A, B ; a, b ; c, d; &c., bring paralleïy to the axe, the straights A A', a 2, B B', c3,b4,&c.; and paraïïeïy to CD, through the points K, J, a, b, c, d, &c., other indefinite straights KK, JJ,aa, bb, &c. : then from the point I as center, with the ray IA', describe forthwith the arc A 'A; and with the ray I B', the arc B' B from the same center : the quadriïater K B JA is the oblique section of the foot [pace] of the branch of the shorted vaïïey, K the but-end, and J the neck : the four corners of the quadriïater are the horizontal projections of the origins of the four edges.From the same center I, with the rays 12,14, describe two other arcs, which shaïï give the quadriïater a b 6a; and with the rays 13,16, the quadriïater edde: through the angles of those quadriïaters, trace four curve-ïines, which shaïï be the horizontal projections of the edges.
  - As to obtain the extent [ïedgement], the shape and real measures of the branch, and trace the buïk by means of the both projections, bring indefinite perpendicuïars to IJ and HK, Fig. 244, through aïï the dividing points being on those ïines in the Fig. 245: on a whatsoever point, x, for instance, take as directress xy, paraïïeï to AC; and in a point x1, Fig. 246, take a corresponding directress x' y' : carry on each perpendicuïar correïative the distance perpendicuïar of each corner of the quadri-ïaters from the directress xy on the Fig. 245; and through ail the points so found, trace four curves, which shaïï be the reaï edges of the branch of the shorted vaïïey, with its true dimensions.
  - 156. In the Fig. 247, B G expresses too the sheïving of the conicaï roof; GG, the vertical height of the small truss of the dormer window with regard to the horizontal CB; B A, the thickness caused by the one of the sizes of the squareness of the branch, measured horizontaïïy. That height has been too divided into equaï parts ; and horizon tais drawn through the dividing points, hâve given the points a, b, c, d, &c. ; verticaïs sent back from those points hâve given, on the radius C A? the distance where each of those points is from the axis of the cône : so that each of the arcs A a, B b, &c., descri-bed from the center C, with the respective rays CA, CB, contains the horizontal projection oftwo edge-points of the timbers, sitting at the same height, as being at the same distance from the center.
  - In the Fig. 248, the same ïine CA has been taken as the horizontal projection of the crowning line of the dormer window : on a whatsoever point q, a perpendicuïar q K shows the trace or basis of the pediment [ trave-Iine ] : carry on it from q at H the verticaï height GG, with its own divisions, and trace the sheïving of the pediment HKq, with its other size of squareness, whence resuïts the trapezium HIJ K : the paralleïs to Kq, brought through the dividing points of the height, hâve given on the face IKthë edge points a,b,c,d,kc., sitting at the same height as a, b, c, d, &c.> Fig. 247; and each ofthe indefinite paralleïs to qH,aa,bb,cc ,dd,kc., brought through each of those points, contains too the horizontal projection of two edge-points at the same height, as the ones shown by the respective
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- - •qui sont représentés par les arcs respectifs Aa, Bb, &c., mais en tant qu’ils sont tous les deux à meme distance du plan vertical qui passerait par ïa ligne de couronnement.
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  - Peur avoir f extension réelle de ïa pièce [la herse], on peut établir une directrice transposée, telle que H" K", Fig. 249, sur laquelle on porte ïa longueur réelle JI, Fig. 248, avec ses divisions de J' en ; on y ajoute ensuite o K de J‘ en K1 ; puis, à partir du point K", on porte de même toutes ïes divisions a,c,e,g,i,k,m,H, en a ,c ,e ,g , i',k',m,H' : par chacun de ces points de ïa directrice transposée, on ïui élève des perpendiculaires indéfinies K" K', J" J', a a, b'b, kc., sur chacune desquelles on porte ïes distances respectives où se trouve, Fig. 248, chacun des angles des quadrilatères, par rapport à la directrice GM de cette figure.
  - Si l’on renvoyait au plan vertical, chacun à la hauteur qui lui appartient, les angles des quadrilatères de la Fig. 248, on aurait, comme la Fig. 247 les fait voir, quatre nouvelle^ courbes, qui forment ïa projection verticale de ïamême branche, dans ïa supposition que ïa base du nouïet ait fait un quart de révolution autour de Taxe et soit devenue perpendiculaire au plan vertical de projection, tandis que ïes projections HIJK,HIJK, Fig. 244 et 248, supposent la base [ligne de trave] du nouïet parallèle au même plan, et cette nouvelle description auxiliaire du même corps pourrait servir, comme celles des Fig. 243 et 248, à former celle d’extension,^^. 246 et 249.
  - 157. Dans certains cas, cette sorte de comble doit aussi, à son intérieur, simuler des voûtes : ïes détails que contiennent les Fig. 230, 234, 232, 233, 234, 233, 236, 237 et 238, montrent ïe tracé d’une des fermes et d’une voûte sphérique qui lui est adhérente. On voit dans la description verticale, Fig. 230, ïes plates-formes N, N, ïes bïochets R, R , les arbalétriers O, O, l’entrait V, l’aiguille M, &c., comme dans la Fig. 234.
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  - La partie de cette description cotée Fig. 234 fait voir en élévation un quart de ïa voûte sphérique compartie en caissons; et, dans ïa description horizontale, la partie cotée Fig. 232 en montre ïa retombée. Le tracé des caissons doit se faire simultanément dans les deux figures, comme il suit. A ïa Fig. 232, on tracera ïes rayonnantes AB, CD, EF, GH, qui, d’une part, aboutiront en B,C,F,G, sur le quart de cercle qui est ïa retombée de l’arête supérieure de ïa largeur du champ de ïa courbe, à ïa naissance de la voûte ; et, d’autre part, enA,D,E, H, au quart de cercle qui marque ïa retombée du membre extérieur du cadre circulaire au sommet de la voûte. Près des points B, C,
  - F, G,, on fixera, en Q,R, S, T, U, V, les largeurs de champ des courbes rayonnantes à leurs naissances; on y joindra le tracé du filet et des panneaux en arrière-corps : on fixera aussi la largeur de champ à ïa partie supérieure des courbes aux points X, Y,Z,h., parce que, d’ordinaire, pour
  - laisser en cette partie aux courbes une force suffisante relativement à l’emploi quelles ont à remplir, on ne fait pas rayonnantes ïes lignes de largeur VX, U Y, kc. Après avoir tracé, dans ïa Fig. 234, a une largeur de champ au-dessus du bandeau d’imposte, ïa droite EF, on portera du point E sur ïa courbe la hauteur qu’on veut donner aux premiers caissons, par exemple a b ; au-dessus de b, une clemi-ïargeur de champ donnera ïe point H, par lequel on tracera H G parallèle à ï’imposte CD : avec ïe rayon GH on décrira du centre C, Fig. 232, ïe quart de cercle J K N O, qui sera la retombée de ïa ligne-milieu du champ au-dessus des premiers caissons. Après avoir marqué près de cette dernière ïes retombées des arêtes, on tracera ïa largeur du champ et ses filets ; ce qui achèvera la projection horizon-taïe des premiers caissons. On opérera de même pour le tracé des seconds et troisièmes, dans l’une
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  - cc, dd, u. s. w. nach q H gefiihrt worden sind, ebenfaïïs die horizontaïen Projectionen zu zwei Kantenpunkten enthaïten, weïche an der nâmïi-chen Hôhe stehen, wie die an den Rogen A a, Rb, u. s. w., in so fern sie sich nâmïich beide in dem nâmïichen Abstande von dem verticaïen Plane be-finden , weïcher durch die Kranzïinie geht.
  - Um die erweiterte Zeichnung zu erhaïten , kann man eine versetzte Directionsïinie , wie H" K", Fig. 249, anïegen , und auf dieseïbe aïïe wahre Distanzen J, b, d,f, h, j, l, n, I, der Fig. 248, von J1 nach /' tragen ; man fügt sodann o h von J' nach K" hinzu ; trâgt aus dem Punkte K gïeicher-gestaït die Theilungen a,c,e, g, i,k,m, H, nach d, d, e , g , i , k', m , H ; führt durch jeden Punkt der versetzten Directionsïinie die unbestimm-ten Perpendicuïarïinien K' K', J" J', a a, b'b, u. s. w., auf weïche man die respectiven Abstande trâgt, in weïchen sicïi in Fig. 248, jeder Winkeï der Vierecke in Bezug auf die zu dieser Figur ge-horigen Directionsïinie GM befindet. k
  - Trüge man in den verticaïen Plan die Winkeï der Vierecke, Fig. 248, und zwar einen jeden an die ihm gehôrige Hôhe; so erhieïte man nach Maasgabe der Fig. 247 vier neue krumme Linien, weïche die verticale Vorsteïïung des nâmïichen Schifters unter der Voraussetzung geben , dass die Kehïbasis ein Zirkeïvierteï um die Axe beschrieben habe, und mit dem verticaïen Projectionspïane per-pendicuïar geworden sey, wâhrend die Projectionen HIJK,HIJK, Fig. 244 und Fig. 248, die Einkehïbasis [Stuhïwandïinie] mit dem nâmïichen Plane parallel annehmen ; so dass diese neue Vor-stelïung des nâmïichen Gegenstandes, wie die in Fig. 243 und 248, zur erweiterten Zeichnung Fig. 246, 249, dienen kônnte.
  - 157. In gewissen Fâïïen kônnen dergleichen Dâcher auch in ihrem Innern aïs Gewôïbbogen dienen. Die in den Fig. 230, 234, 232,233, 234, 233 , 236, 237,238, enthaïtenen Zu-sammensetzungen zeigen die Zeichnung zu einem Binder , so wie zum sphârischen Bogen, den er umgiebt. Die verticale Vorsteïïung in Fig. 230, enthâït die Mauerïatten N, N, die Stichbaïken R, R, die Stuhïsâuïen O, O, den Spannriegeï V, die Giebeïsâuïe M, u. s. w., wie in Fig. 234.
  - Der mit Fig. 234 bemerkte Theiï der Zeichnung enthâït den Aufriss von einem Vierteï des sphârischen Gewôïbes, weïches in Füïïungen ein-getheiït ist; der mit Fig. 232 bemerkte Theiï zeigt davon die horizontale Vorsteïïung : die Füï-ïungen miissen in beiden Figuren foïgendermaassen gemeinschaftïich gezeichnet werden. Man zeichnet in Fig. 232 die strahïenfôrinigen Linien AB, CD, EF, GH ; seïbige endigen sich einerseits bei B, C ,F, G, auf dem Quadrant, weïcher die obéré Kante an der Breite des Biigenfeldes am Anfange des Gewôïbbogens vorsteïït, und andererseits bei A, D, E, H, an dem Quadrant, weïcher den âus-sern Rand der an der Hôhe des Gewôïbbogens befind-ichen zirkeïrunden Einfassung vorsteïït. Nahe an den Punkten B, C, F, G, bemerkemanin Q, R, S, T, U, V, die Fïâchenbreite der strahïenfôrmigen Bü-gen an ihrem Anfange ; zeichne die Leiste und hin-tern Feïder ; bemerke auch die Fïâchenbreite an dem ohern Bügentheiïe bei den Punkten X, Y, Z, k, denn da die Bügen an diesem Orte
  - eine mit ihrer Bestimmung im Verhâïtniss stehende Kraft behaïten müssen, so werden die Breitenïinien VX, U Y, u. s. w. , gewôhnïich nicht strahlen-fôrmig gemacht. Hat man zuvôrderst in Fig. 234, in dem Abstande einer Feïderbreite iiber der Im-postïeiste, die gerade Linie E F gezogen, so trâgt man aus dem Punkte E, auf die Büge, die Hôhe, weïche die ersten Füïïungen erhaïten soïïen, z. B. a b ; über b, wird eine haïbe Feïderbreite den Punkt H geben, durch weïchen man H G mit dem Impost CD parallel zieht; man beschreibt sodann mit dem Radius GH, aus dem Mitteïpunkte C, Fig. 232, den Quadrant J K N O , weïcher die Mittellinie an dem Feïde über den ersten Füïïungen vorsteïït. Hat man neben dieser ïetztern Linie die Vorsteïïungen der Kanten bemerkt, so zeichnet man die Feïder-und Leistenbreite, womit sich die horizontale Pro-
  - arcs A a, B b, &c., but as being at the same distance of the vertical plan passing aïong the crown-line.
  - c-
  - For obtaining the reaï extent [ïedgement], one can estabïish a transposed directress H" E', Fig. .249, and transfer on it the real ïength*Jl of tlie Fig. 248, with its divisions from J' at V: thus add to it o K, from J' at E'; and setting off from that point K", carry on the same manner aïï the divisions a,c,e,g,i,k,m,H, at d,d,d, g',{,V,id,lï', through each of those points of the transposed dirse-tress, ïift to it indefinite perpendicuïars K"K',J'J', d a, b' b, kc., on each of which carry the respective distances where, in the Fig. 248, each corner of the quadriïaters is from the directress GM.
  - If one wouïd send back on the vertical plan, each at the height belonging to it, the angles of the quadriïaters of the Fig. 248, he could hâve, Fig. HJ, four other curves, which form the vertical projection of the same branch, in supposing that the basis of the shorted valley has turned a quadrant on the axe, and that it is now perpendicuîar to the vertical plan of projection, whiïst the projections II IJ K, HIJK, Fig. 244 and 248, suppose that hase of the valley paraïïeï to the same plan; and thisnew auxiliary description of the same timher could hc used as the ones of the Fig. 243 and 248, for per-forming the one of extent, Fig. 246 and 249.
  - 157. Sometimes, such a roofought toof feign a vauït inward : the detaiïs contained in the Fig. 290, 234,232,233,234, 233,256,251 and 258, show the draught of the one of the trusses, and a sphericaï vauït added to it. The vertical projection, Fig. 230, shows the waïï-pïatesN,N,thehammer-beams R, R, the principal rafters 0,0, thecollarV, the king-post M, &c., as in the Fig. 234.
  - The part of that description quoted Fig. 251 shows in profile a fourth part of the sphericaï vault, apportioned into square frames ; and, in the horizontal description, the part stamped Fig. 252 shows the dropping of it. The draught of the frames ought to be made at the same time on hoth the figures, as it foïlows. On the Fig. 252, trace the rays AB, CD, EF, G H, ending at B, C, F, G, on the quadrant which is the drop of the upper-edge of the breadth of the bordering of the frame, at the rise of the vauït; and on the other side, ending at A, D, E, H, the quadrant showing the drop of the exterior ïimb of the circuïar frame at the top of the vauït. Near to the points B, C, F, G, fix at Q,R,
  - S, T, U, V, the breadth of the curves radiant at their origins ; and add to them the draught of the threads and panneïs in back - body : fix too the breadth for the superior part of the curves at A, F, Z,k,k', k", because, usuaïïy, the ïines of breadth VX, U Y, &c., do not are traced radiant, for reserving to the timbers in that part a strength suitabïe to their empïoyment. After having traced, in the Fig. 234, the straight EF, at one breadth of bordering over the bandow of impost, carry on the curve, from the point E, the height wished for the first curse of frames, a b for instance; from the point b, an haïf breadth of bordering shallgive the point H, and the straight Ii G, parallel to the impost CD ; from the center C, with the ray G II, trace the quadrant JKNO, Fig. 232, the drop of the middïe line of the bordering over the first frames. After having marked, near to thatïatter, the drops of the edges, dra w the breadth of bordering with the threads, what shaïï perforai the horizontal projection of the first run of square frames. The other curscs ought to be drawn on the same manner in hoth the descriptions. The Fig. 253 shows the one of the superior curves which contains, as to a quadrant of
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- - et l’autre des descriptions. La Fig. 253 montre une clés courbes supérieures qui contient pour un quart de la circonférence la moulure circulaire, et le champ attenant, qui reçoit les bouts supérieurs des courbes rayonnantes assemblées avec tenon et barbe raïon-gée dans le filet.
  - 158. L’autre moitié de la description horizontale, Fig. 234, montre la plate-forme N; la projection des blochets R, R, &c., celle des arbalétriers de demi-ferme 0,0, et de ceux O , O', qui n’outrepassent pas la lierne U; la projection des courbes rayonnantes X,X, &c.; celle des traverses ou entretoises T, T, T, t,t,t, et celle dun chevron de sommité p. Pour tailler les courbes rayonnantes, on en fera le tracé comme il suit : d’abord on divisera à volonté l’arc de douelle, comme le montrent les points a,b, c,&c., Fig. 233; on portera ces divisions sur une droite a j, Fig. 236, supposée ici être la rectification de l’arc : on fera ak perpendiculaire à aj et égale à la retombée a'k' de la demi-largeur à la naissance, Fig. 234; on fera pareillement jt perpendiculaire à ja, et égale à la retombée j't' de la demi-largeur au sommet ; puis on mènera la droite kt : les autres perpendiculaires élevées des points b,c, &c., donneront les points l,m, &c. En procédant de même avec les divisions d’extrados de la courbe, Fig. 233, on tracera encore a la Fig. 236 la ligne 1, 10, et les points 2,3,4, &c. S’il était exigé que les champs fussent rayonnans, on les tracerait conformément à la conduite géométrique pour le développement de la sphère par fuseaux (sect. II, n.° 48). Les bois étant primitivement débillardés selon les courbes d’intrados et d’extrados, les détails de cette Fig. 236 sont suffisans pour en tracer les largeurs : mais, dans le cas de l’étude, les deux descriptions auxiliaires, Fig. 237 et 238, faciliteront pour concevoir le report des lignes en progressions arithmétiques a k,bl, &c., pour l’intrados, et celles a 1, b 2, &c., pour f extrados.
  - Faites ae, Fig. 237, parallèle àae, corde de l’arc d’intrados abc de de la Fig. 233; par chacun de ces derniers points, menez les droites aa,bb, cc, dd, ee, perpendiculaires à la corde; et ceux de l’extrados 1,1 ; 2,2; 3,3; 4,4; et 5,5: faites ensuiteak, bl,cm,dn,eo de la Fig. 237 égales à celles ak, bl, &c. de la Fig. 236; et, par ces derniers points de la Fig. 237, tracez, avec une règle ployante, l’arête kïmno : l’arête d’extrados 1, 2, 3, 4, 5, même figure , sera pareillement tracée ; mais les longueurs «1,52, &c. seront prises égales à celles qui ont les mêmes caractères dans la Fig. 236. On procédera de même pour la Fig. 238.
  - Trait d'une Courbe hyperbolique à la section d'un Comble conique, lequel contient une Voûte sphéroïde.
  - Lorsqu’un comble conique est coupé par un mur vertical, un pignon, un tuyau de cheminée, &c., la plate-forme ou quelqu’une des ïiernes, au lieu de former une couronne de cercle complet, est interrompue, et remplacée dans l’interstice par les deux branches d’une courbe hyperbolique verticale, qui n’est pas exactement ce qu’on appelle noulet, puisque les assemblages inférieurs des arbalétriers et des chevrons sont dans une des faces verticales de la courbe, au lieu de reposer sur la face supérieure, comme ils reposent sur les plates-formes et les branches des noulets ordinaires.
  - 159. On voit aux Fig. 239, 262 et 264, une partie de la description horizontale du comble proposé; les projections d’une ferme complète, d’une demi-ferme, des ïiernes, du chevronage, et de la courbe demandée A'A"a a', qui doit tronquer le comble conique étant appliqué contre le mur vertical, qui tronque lui-même la tour cylindrique.
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  - jection der ersten FüIIungen endigt. Auf gïeiche Weise werden die zweiten und dritten FüIIungen gezeichnet. Die Fig. 233 zeigt eine von den obern Bügen : sie enthâlt ein Viertel vom zirkelrunden Ge-simse, so wie das daran anstossende Feld, in welches die obern Enden der strahlenfôrmigen Bügen kom-men, welche ihrerseits in die Leiste eingezapft sind.
  - 158. Die andereHâlfte des Grundrisses, Fig. 234, enthâlt die Mauerïatte N, die Stichbalken R, R, u. s. w.; die Stuhlsâulen O, O, zum halben Dachstuhle ; die Stuhlsâulen O', O', welche über die Fette U nicht hinausgehen ; die strahlenfôrmigen Bügen X, X, u. s. w., die Querhôlzer T, T, T, t,t,t, und einen Sparren p. Die Zeich-nung zum Schnitte der strahlenfôrmigen Bügen geschieht auf folgende Weise : zuvôrderst theiït man nach Belieben den innern Bogen, nach Maas-gabe der Punkte a, b, c, Fig. 233 ; trâgt diese Theilungen auf eine gerade Linie aj, Fig. 236, welche hier aïs die Rectification des Bogens be-trachtet wird; man macht ferner ak mit aj perpen-dicuïar, und gleich a' k', halbe Breite am untern Ende des Bogens Fig. 234; ferner macht man jt perpendicuïar mit ja, und gleich j't', halbe Breite an der Hôhe, und zieht die gerade Linie kt; worauf die andern aus den Punkten b, c, u. s. w. aufge-richteten Perpendicularlinien die Punkte I, m, u. s. w. geben werden. Auf gïeiche Weise verfâhrt man bei den Punkten an der âussern Bogenseite, Fig. 233; und zeichnet in Fig. 236 die Linie 1, 10, nebst den Punkten 2,3,4, u. s. w. Werden strahlenfôrmige Felder verlangt, so zeichnet man sie nach der Verfahrungsweise, welche wir für die Ausführung der Sphâre mit Spindeïn ( Abschnitt II, N.° 48) angegeben haben. Ist das Hoïz nach Erforderniss des innern und âussern Bogens aus-geschnitten, so reichen die in dieser Fig. 236 enthaltenen Vorstellungen zur Zeichnung der Breite hin ; für das Studium aber erldâren die zwei zuge-gebenen Vorstellungen Fig. 237 und 238 den Uebertrag der Linien in arithmetischen Progres-sionen, ak, bI, u. s. w., für die innere Bogenseite, und al, b2, u. s.w., für die âussere.
  - Man mâche ae, Fig. 237, parallel mit ae, welches die Sehne des innern Bogens abcde der Fig. 233 ist ; ziehe durch jeden von diesen ïetz-tern Punkten diegeradenLinien aa, bb, cc, dd, e e, perpendicuïar mit der Sehne ; so wie die Punkte des âussern Bogens 1, 1 ; 2, 2 ; 3, 3 ; 4, 4;5,5; mâche sodann ak, bl. cm, dn, eo, Fig. 257, gleich ak, bl, u. s. w., Fig. 236, und ziehe durch diese ïetztern Punkte der Fig. 257, mit einem bieg-samen Lineal die Kante klmno ; zeichne ferner die âussere Bogenkante 1, 2, 3, 4 , 5, in derselben Figur ; wobei aber die Lângen al, b2, u. s. w., denjenigen gleich genommen werden, welche in Fig. 256, mit den nâmlichen Buchstaben bezeich-net sind. Bei der Fig. 258 verfâhrt man auf die nâmliche Weise.
  - Zeichnung einer hyperbolischen Biige, welche sich an dem Abschnitle eines conischen, mit einem sphàrischen Gewôlbe versehenen Daches befndet.
  - Wird ein conisches Dach von einer verticalen Mauer, einem Giebel, Schornsteine , u. s. w. , durchschnitten, so kann die Mauerïatte oder eine von den Fetten, keine vollkommene Rundung bil-den ; so dass nun an diesem Orte eine Lücke ent-steht, welche durch eine hyperboïische Biige aus-gefüllt wird ; jedoch ist diese letztere keine soge-nannte Kehle, indem die Stuhlsâulen und Sparren mit ihren^mtern Enden in eine von den verticalen Flâchen der Büge eingesetzt werden, und nicht auf der obern Seite derselben ruhen, wie sie es auf den Mauerlatten und gewôhnlichen Kehïschiftern thun. *
  - 159. Die Fig. 259, 262 und 264 enthalten einen Theil vom Grundrisse des gegebenen Daches ; ferner die Ansiehten von einem ganzen und einem halben Binder, von einer Fette, von dem Sparren-werkeund der gegebenen Büge A'A" a a’, welche das conische Dach stumpfen solï, weil sie an der Mauer anliegt, welche ihrerseits das cylindrische Dach stumpft.
  - the circle, the circulai’ moulding and the ncxt bor-dering breadth, which is to receive the upper-ends of the radiant curves, framed with tenon barbed on the thread.
  - 158. The other moiety of the horizontal description, Fig. 254, shows the projection of the wall-plate N, the hammer-beams R,R,kc., the rafters of half-truss 0,0, and O1, O1, ending at the purlin U; the radiant curves X, X, &c. ; the quar-ters T, T, T, t,t,t, and a top’s rafter p. In order to eut the radiant curves, draw them as it folïows : forthwith divide at will the interior arc [sweep intrados], as show a,b, c, &c., Fig. 255; carry that divisions on a straight a j, Fig. 256, the rectification of the arc : make a k perpendicuïar to a j, and equal to the drop a' k' of the half-breadth of the origin, Fig. 254; make too j t perpendicuïar to a j, and equal to the drop j't' of the breadth at the top ; and bring the straight k t : the other perpendicuïars Iifted from the points b, c, &c., shall give like the points 1, m, &c. By employing on the same manner the exteriorarc [extrados] of the curve, Fig. 255, y ou shall trace on the Fig. 256 the line 1,10, and find the points 2,3,4, &c. If it would be required that the borderings of the frames should be radiant, they could be drawn according to the geometrical method of the unfolding [ledgement] of the sphere by spindles (Section II, n.r 48). The timbers being first arched [unbulked] accordingly to the moulds of the interior and exterior curves [ intrados and extrados], the details of that Fig. 256 suffice for tracing their breadthes ; but as to study, the auxi-liary descriptions, Fig. 257 and 258, shall enabïe any man to conceive the carrying of the fines arith-meticalïy progressive ak,bl,&c., for the sweep, and «1,52, &c., for the extrados.
  - Take ae, Fig. 257, parallel to ae, the cord of the sweep [intrados] abcd of the Fig. 255; through each of those latter points, bring perpendi-culars to the cord aa,bb,cc,dd,ee; and the ones of the extrados 1,1;2,2;3,3;4, 4;5,5: then carry a k, b I, c m, d n, e o of the Fig. 256, on the perpendicuïars like stamped in the Fig. 257; and through those latter points, by means of bending rule, draw the edge klmno: the external edge 1,2,3,4,5, shall be traced on the same manner ; but the distances «1,52, &c., shall be made equal to the ones stamped with the same letters on the Fig. 256. It ought to be proceeded alike as to the Fig. 258.
  - Draught of an hyperbolical Curve at the
  - section of a conical Roof, which contains
  - a spheroïdal Vault.
  - When a conical roof is eut by a vertical waïl, gable-end, funnel, &c., the wall-plate, or some purlin, instead of fulfilling a circular crown, is broken olf, and replaced in such interstice with both the branches of an hyperbolical curve, which cannot be considered as a true shorted valley, since the under-framings of the rafters are into the one of the vertical faces of the curve, instead of laying on the upper-face, as on the ordinary shorted valleys or wall-pïates,
  - 159. See, Fig. 259,262 and 264, a part of the horizontal description of the proposed roof, the projections of a complété truss, half-truss, purlins, raftering, and of the searched curve AA" a d, which is to terminate the conical roof, and be applyed along the vertical waïl, which cuts the cylindrical tower.
  - 3.e Partie.
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- - La Fig, 260 est la description vcrticaïe des mêmes objets, où Ton doit remarquer le trapèze H 1, 16, 15, formant la projection verticale de la courbe proposée. Sa hauteur H 15, ayant été divisée en parties égales, a donné les transversales HI, G J, - FK,EL,DM, &c., dont les intersections sur le cintre primitif, marqué par la jambette Q L, ont été renvoyées par des parallèles à Taxe, dans la description horizontale, en Q,P,Of &c., Fig. 264.
  - 160. Le parallélogramme H, 1,2, A, étant ïa section verticale produite par un plan passant par le sommet de la courbe et par Taxe du cône, on voit que le côté H1 des deux figures se confond avec l’apothème [la ligne de lattis] A Y', et le côté 42 de la seconde avec la ligne 12,4, qui est a la surface du lambrissage : les cjuatre points H, 4, 1,2 sont donc ceux de sommité des quatre arêtes hyperboliques de la courbe ; et les projections horizontales seront 77, 1, de la Fig. 262. Nous devons ici faire observer que les points II, 4; 1,2, sont éloignés de l’axe dans la Fis?. 260, comme ils le sont en 771 dans ïa Fig. 262 ; et que, sur le prolongement du rayon Y A, même figure, ils sont représentés par les points h, 1,4, 2, Fig. 263, h. la même distance du point A qu’ils sont éloignés de la ligne de base [ ligne de trave] A P dans la Fig. 260 : ce que montrent évidemment les points H', 1,4,2, du rayon A H', qui est sur le prolongement de la ligne de base, puisque ce sont les quarts de cercle tracés du centre A aux diverses hauteurs des transversales qui ont donné ces points sur ce rayon A H' : ainsi la ligne h 142, Fis. 263, forme réellement le sommet de ïa description d’extension de ïa courbe cherchée. On voit aussi que les autres points F,E, D, &c. de cette Fier. 261, ont été trouvés de la même manière pour transporter à ïa Fig. 263 les divers points de hauteur de la Fig. 260.
  - On peut se procurer de la même manière les projections horizontales et d’extension de la section verticale qui passerait à tout autre endroit de la courbe, par exemple, en celui qui est à ïa hauteur G, Fig. 260: on renverra ce point, par une parallèle à l’axe, en G, Fig. 262; puis en G', par un arc de cercle décrit de Y comme centre avec le rayon Y G. Le rayon Y G 3 donnera, dans sa portion G' 3', ïa projection horizontale de la section verticale de la courbe à la hauteur G. On supposera’ que ces points ont tourné autour de l’axe avec l’apothème qui y passe, jusqu’à ce qu’ils soient parvenus en G et 3, en décrivant du centre Y, avec le rayon Y3', l’arc 3'3 : on mènera parallèlement à l’axe ïa droite 3,3; et le parallélogramme G g-3,4, sera la projection verticale de la section de la courbe faite à la hauteur du point G. Pour la transporter dans la description d’extension, Fig. 263, on y reportera les quatre angles G, g, 3,4, comme on a fait ceux de H,4,1,2; et, d’un autre côté, par les points G' et 3' de la Fig. 262, on mènera parallèlement à IIh les droites G'g, 3' 3", lesquelles, par leurs rencontres respectives chacune avec les deux lignes de report qui lui appartiennent, donneront pour points de passage des arêtes sur la description d’extension g,g', 3", 4'.
  - On suivra le même procédé sur autant de sections qu’on voudra avoir de points pour tracer chacune des quatre arêtes hyperboliques.
  - 161. Les arbalétriers et chevrons qui viennent aboutir sur cette courbe, s’y assemblent sur le plan vertical que présente celle de ses faces qui est tournée vers l’axe, où ils occuperont des quadrilatères dont les côtés verticaux seront donnés par des droites menées aussi parallèlement ai/ h, des points que leurs retombées produiront dans la description horizon-
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  - In Fig. 260 sind die nâmlichen Gegenstânde im A ufrisse enthaïten ; wir sehen daselbst das Trape-zium H 1, 16, 15, welches die gegebene Büge vertical darstellt. Aus der Hôhe H 15 , welche in gleiche Theile getheilt worden ist, haben sich die Querlinien HI, GJ,FK, EL, DM, u. s. w., ergeben. Ihre auf dem Bogen, welchen das Stütz-holz QL anzeigt, Statt gehabten Durchschneiclun-gen sind durch die mit der Axe parallel laufenden Linien in den Grundriss Fig. 264, nach Q, P,0, u. s. w., herübergetragen worden.
  - 160. Das Parallelogramm H, 1,2,4, ist der verticale Durchschnitt ; der Plan wodurch derselbe ge-schehen ist, geht durch die Hôhe der Büge und durch die Kegelaxe. Die Seite H 1, der beiden Fi-guren verschmilzt sich , wie man sieht, mit dem Apothem (der Lattenïinie ) A Y', und die Seite 4 2, der zweiten Figur mit der Linie 12, 4, welche sich| auf der Oberflàche derVerschalungbefindet. Die vier Punkte H, 4,1,2, sind folglich die Hôhenpunkte der vier hyperbolischen Biigenkanten; die horizontalen Vorstellungen derselben sind 77, 1, Fig. 262. Wir bemerken hierbei, dass in Fig. 260 die Punkte H, 4 ; 1,2, eben so weit von der Axe abstehen, wie bei 7/1 , Fig. 262 ; und dass sie in der nàmlichen Figur auf die Yerlàngerung des Radius Y Aver-mittelst der Punkte h, 1,4, 2, Fig. 263, in dem-selben Abstande von dem Punkte A dargestellt worden sind, in welchem sie von der Grundflâchenlinie (Stuhlwandlinie) AP, Fig. 260 stehen; dieses er-hellt deutlich aus den Punkten H', 1, 4, 2 , des Radii A H', welcher sich auf der Yerlàngerung der Grundflâchenlinie befindet ; es sind nâmlich die aus dem Centro A, nach den verschiedenen Hôhen der Querlinien gezogenen Quadranten, welche diese Punkte auf dem Radius A H', gegeben haben. Diesem zufolge biïdet die Linie h 142, Fig. 263, die wahre Hôhe zur erweiterten Zeichnung der ge-suchten Büge. Auch sieht man, dass die übrigen Punkte F, E, D, u. s. w., Fig .261, auf die nâm-ïiche Wèise gefunden, und sodann dierverschiedenen Hôhenpunkte der Fig. 260 nach Fig. 263 getragen worden sind.
  - Auf gleiche Weise erhâlt man die horizontale und erweiterte Yorstellung des verticalen Abschnitts, welcher auf der Büge durch jeden andern Ort gienge, z. B. durch denjenigen, welcher sich an der Hôhe G, Fig. 260 befindet; man trâgt diesen Punkt vermittelst einer mit der Axe paraïleïen Linie nach G, Fig. 262, und sodann nach G', vermittelst eines aus Y, aïs Centrum beschriebenen Zir-kelbogens, dessen Radius Y G ist. Der Radius Y G' 3', giebt bei G'3', die horizontale Vorstellung der horizontalen Bügensection an der Hôhe G. Es wird hierbei angenommen , dass diese Punkte sich mit dem Apothem, welches da durch geht, so lange um die Axe herumgedreht haben, bis sie nach G und 3 gekommen sind ; wobei sie aus dem Centro Y, mit dem Radius Y3', den Bogen 3'3 beschreiben. Man ziehe sodann parallel mit der Axe die gerade Linie 3, 3; worauf das Parallelogramm G g 3, 4, die verticale Vorstellung der an der Hôhe des Punktes G geschehenen Bügensection seyn wird. Um dieselbe in die erweiterte Zeichnung Fig. 263 überzutragen, so bringe man dahin die vier Winkel G, g, 3, 4, wie man es mit H, 4, 1, 2 gemacht hat, und ziehe ferner durch die Punkte G und 3' der Fig. 262 parallel mit 77 h die geraden Linien G'g, 3'3", von denen eine jede mit den beiden Uebertragungslinien, welche zu ihr gehôren , zu-sammentrifît, und woraus sich auf der erweiterten Zeichnung die Punkte g, g', 3", 4' aïs Kanten-punkte ergeben.
  - Die nâmliche Verfahrungsweise wird bei so viel Sectionen beobachtet aïs Punkte zur Zeichnung der vier einzelnen hyperbolischen Kanten erfordert werden.
  - 161. Die auf diese Büge zu stehen kommenden Stuhlsâuïen und Sparren werden auf dem verticalen Plane eingesetzt, der an der nach der Axe zu ge-richteten Seite zu sehen ist, woselbst sie in die viereckigen Oeflhungen eingesetzt werden, deren verticale Seiten man durch gerade Linien erhâlt, welche parallel mit 77 h, aus den Punkten gezogen
  - The Fig. 260 is a vertical description of the same things, where ought to be remarked the tra-pezium H1,16,15, the vertical projection of the asked curve. The heightH15, being divided into equaï parts, gives the transverse lines HI, G J, F K, EL, DM, &c., whose intersections with the primitive center of the ashleer Q L hâve been pro-jected on the horizontal description by means of paralleïs to the axe at Q,P, O, &c., Fig. 264.
  - 160. The parallelogram H, 1,2,4, being the vertical section made into the curve by a plan passing through tire summit and aïong the axe of the cône, it is plain that the side H1 of both the figures is confouncled with the conical apo them A Y' [lathing], and the side 42 of the latter, with the line 12,h [ceiïing] : then the four points H,4,1,2, arc the summits of the four hyperboïical edges of the curve whose horizontal projections are//, 1, Fig. 262, which are distanced from the axe F, as H, 4,1,2, on the Fig. 260; but, on the lengthen-ing of the ray Y A, Fig. 263, the same points are represented at h, 1,4, 2, distanced from the point A, as they are from the base-line AP, Fig. HO; what is pïainly shown by means of the quadrants described from the center A, which carry the diverse heights of the transverse lines on AH1, the lengthening of the trave-line A P. Thus the line h 1 42, Fig. 263, is reaïïy the summit of the extenfs description [ledgement] of the scarched curve. That Fig. 261 shows aïso that the other points F, E, D, &c., hâve been found on the saine manner for carrying on the Fig. 263 the diverse points of height of the Fig. 260.
  - On the same manner shall be performed the horizontal projection and ledgement of the vertical section passing through a whatever point of the curve, for instance, at the height G, Fig, 260: by the means of a parallel to the axe, that point shall be projected at G, Fig. 262 ; and after at G,by means of an arc described from the center F, with the ray Y G. Then the ray Y G' 3' shall give, on its part G'3', the horizontal projection of the vertical section of the curve at the height G. You shall suppose that those points hâve turned round the axe with the apothem belonging to them, and ar-rived at G and 3, by tracing the arc 3'3 from the center Y with the ray Y 3' : after, you shall bring3,3 parallel to the axe; then, the parallelogram Gg3,l shall be the vertical projection of the same vertical section passing at the height G of the curve. In order to carry it on the description of extent, Fig. 263, the four angular points G,g,3,ï, shall be projected there on the same manner, as the points H, 4, 1,2; and from another side, the straights G'g, 3'3", shall be brought parallely to 77h, through the points G' and 3 of the Fig 262; thus the respective intersections of those latter lines with both the carryed ones belonging to eacli of them, shall give for points of passage of the edges in the description of extent g, g, 3" ,4'.
  - The same construction’shall be employed for as much sections of the curve, as shall be wishedfor tracing each of the four hyperboïical edges.
  - 161. The rafters and principal rafters endingat such a curve frame into the vertical side ofit, which seat over against the axe, and occupy there quadriïaters whose vertical sides are given by straights parallel to H h, brought through the drops of that rafters on the line IIA1 in the horizontal description, Fig. 262, as 19, 20, 21, &c.; the
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- - talc sur fa ligne HA', Fig. 262, tels que 19, 20, 21, &c.; les autres côtes des occupations sont déterminés par fes arêtes de fa même surface de la courbe ; les mortaises seront tracées dans ces occupations, et leur direction d’enfoncement suivra celle du défardement supérieur.
  - 162. Le procédé sera encore le même pour tracer la jambette T, qui forme Tare de naissance de fa voûte : car les points Q, P, O, &c., dans fa Fig. 264, seront éloignés du point Y comme ils le sont de l’axe dans fa description verticale, Fig. 260, où est tracée l’ellipse, cintre primitif delà voûte. Si, de même, au moyen d’arcs de cercle décrits du centre Y, on fait leur report sur fa projection horizontale de fa courbe A'cia A", on aura fes divers points pour tracer fa courbure de la jambette qui doit être appliquée au dessin d’extension de fa courbe, Fig. 264. Les points reportés ainsi dans fa Fig. 262, de fa manière que nous venons de l’expliquer, sont Q', P', &c. sur fa trace A' a de la face de fa courbe du côté de l’axe. Pour les reporter à la Fig. 26S, il suffit de mener par ces points de nouvelles paralfèfes à Hh, dont les intersections q,p,o,n,m,f, sur les mêmes transversales qui ont servi au tracé de fa courbe, serviront pour tracer à fa main Iarête qpo, &c., qui est celle de fa face du côté de l’axe : mais il faut bien observer que, dans cette dernière figure, fa droite a 'a!' étant fa trace qui se confond avec celle de fa base du comble, puisqu’elle est à même hauteur, if faut reporter au-dessous d’elïe fa portion de hauteur p q de la jambette, comme elfe est en Q P, Fig. 260, afin que son pied repose sur fa portion de dérasement qui est faite au niveau de l’arête supérieure de l’imposte intérieure où commence fa voûte. On opérera de même pour tracer fautre face de fa jambette.
  - Trait de la Courbe d'un Noulet parabolique
  - dans un Comble conique contenant une Voûte sphéroïde.
  - 163. La configuration des parties supérieures des murs et celle des pièces de bois qui composent fa ferme complète et les acccessoires pour la voûte, Fig. 26o, étant tracées comme nous l’avons expliqué pour les figures qui précèdent; on tracera sur ce profil de ferme la ligne 17 &, qui marque le lattis du comble droit qui pénètre le comble conique (n.° 146) ; on mènera à cette droite une parallèle A U espacée de fa dimension d’écarrissage du bois qu’on veut mettre en œuvre : ces deux parallèles et celles qui montrent la face verticale de l’arbalétrier, formant le parallélogramme A C 18,17; on a tracé, par les points A, C, deux transversales A a, ce, et les autres transversales ee,gg,ii, &c., espacées par paires comme les deux premières, mais dont le nombre et fa position de chaque pafre peuvent être pris arbitrairement. Les points 2, 3, 4,5, &c. ont été de même donnés par fes transversales sur fa portion de la demi-ellipse qui esHe cintre primitif de la voûte. Nous observons qu’en cet exemple fe parallélisme des lignes AU, au, et légalité de leurs subdivisions, ont permis de faire usage des points a, c, e, g, &c., reportés, au moyen d’arcs de cercle, ena',c',e', g', &c., pour servir au tracé de la description d’extension [de la herse].
  - Par tous ces divers points, on a mené des droites parallèles à l’axe : leurs intersections sur le rayon u Y de la description horizontale, Fig. 266, ont donné, savoir : ceux de la trace A U de la projection verticale, A, B, C, D, &c. ; et ceux de fa trace 17, &, ont donné 17, 18 , 19, &e. : ceux de l’apothème Au, Fig. 265, sont aussi cotés des mêmes caractères littéraux et numériques sur le rayon u Y de la Fig. 266. On procédera de même pour ceux de la Fig. 267.
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  - werden, weïche im Grundrisse auf der Linic H A1, Fig. 262 enthalten sind; afs z. B.: 19, 20, 21, u. s. w.; die übrigen Seiten dieser Oeffnungen werden durch die Kanten der nâmïichen Biigen-flâche bestimmt. Die Zapfenlôcher, weïche in diese Oeffnungen eingeschnitten werden , müssen eine solche Gestalt erhalten, weïche mit der Richtung des einzusetzenden Holzes im Verhâltnisse steht.
  - 162. Die Zeichnung des Stützholzes T, an wefehem derBogen seinen Anfangnimmt, wird wie-derum nach derselben Yerfahrungsweise ausgeführt: denn die Punkte Q, P, O, u. s. w., Fig. 264, stehen von dem Punkte Y so weit ab, aïs sie im Aufrisse Fig. 260, wo die Ellipse oder der Gewôlbbogen gezeichnet ist, von der Axe abstehen. Tragt man dieselben nun durch Zirkelbogen, weïche aus dem Mittefpunkte Y beschrieben werden, auf die horizontale Yorsteïlung der Büge A' a a A" ; so erhâlt man die verschiedenen Punkte, wonach man die Biegung des Stützholzes zeichnet, weïches bei der erweiterten Zeichnung der Büge Fig. 263 ange-wendet wird. Die soïchergestaït nach Fig. 262 ge-tragenen Punkte sind Q', P', u. s. w., auf der Linie A' a, an der Seite der Büge nach der Axe zu. Um sie nach Fig. 263 überzutragen, so braucht man bloss neue, mit Hh parallèle Linien durch diese Punkte zu ziehen ; ihre auf den nâmïichen Quer-ïinien, wonach die Zeichnung der Büge Statt hatte, geschehenen Durchschnitte q, p, o, n,m,ï, dienen sodann zur Zeichnung der Kante q p ô u. s. w., weïche sich auf der Seite nach der Axe zu befindet. Da nun aber in dieser ïetztern Figur die gerade Linie a 'a" diejenige Linie ist, weïche sich mit der an derselben Hôhe befindlichen Dachgrundflâchen-finie verschmilzt ; so muss man den Hôhentheil p q des Stützholzes unter dieselbe bringen, wie es bei QP, Fig. 260 der Fall ist, damit der Fuss auf demjenigen Ffâchentheile ruhe, welcher am Anfange des Bogens mit der obern Kante des innern Imposts einerlei Hôhe hat. Die andere Seite des Stützholzes wird auf gïeiche Weise gezeichnet.
  - Zeichnung der Büge an einer par abolischcn
  - Kehle, weïche sich in einem conischen mit
  - einem sphcirischen Gewôlbe versehenen
  - Dache befindet.
  - 163. Sind die obern Theife der Mauern nebst den zum voïlstândigen Binder gehôrigen Hôlzern, so wie die accessorischen Theile des Gewôïbes, Fig. 265, auf vorstehend angegebene Weise gezeichnet worden, so zieht man auf diesem Binder-profile die gerade Linie 17 &; sie bezeichnet das Lattenwerk an dem geraden Dache, weïches in das conische hineingeht (N.° 146) ; man führt sodann zu dieser geraden Linie eine Paraïlellinie AU, in dem Abstande der Dicke, weïche das anzuwendende Holz erhalten soll. Diese beiden Parallellinien bilden mit denjenigen, weïche die verticale Flâche der Stuhl-sâuïe bezeichnen das Parallelogramm AC 18, 17. Durch die Punkte A, C, zieht man die zwei Quer-linien Aa, c c, nebst den übrigen Querlinien ee, gg, ii, u. s. w., weïche zwar, wie die ersten, paar-weise geordnet sind, deren Anzahl und Stellung aber willkührlich ist. Die Punkte 2,3, 4 , 5, u. s. w., ergeben sich aus den Querlinien auf dem Theile der halben Ellipse, weïche den Gewôlbbogen vorstellt. In diesem Exempel verstattete die parallèle Stellung der Linien AU, a u, so wie die Gleichheit ihrer Unterabtheilungen den Gebrauch der Punkte a, c, e, g, u. s. w. , weïche durch Zirkelbogen nach a', c', e', g', u. s. w., herüber getragen worden sind , um zur Ausführung der erweiterten Zeichnung zu dienen.
  - Durch diese sâmmtfichen Punkte sind gerade Linien mit dér Axe parallel gezogen worden. Ihre auf dem Radius u Y des Grundrisses Fig. 266 Statt gehabteri Durchschnitte haben in der verticaïen Vor-stellung für die auf der Linie AU befindlichen Punkte, A, B, C, D, u. s. w., und für die auf der Linie 17, &, stehenden Punkte, 17, 18, 19, u.s.w. ,gegeben. Die Punkte auf dem Apothem Au, Fig. 265, sind auf dem Radius u Y, Fig. 266, mit den nâmïichen Buchstaben und Zahlen bezeichnet. Bei Fig. 267 verfâhrt man eben so.
  - other sides of that occupations arc determined by the edges of that same face ; thé mortises shaff be traced on such a manner, that the direction of the grooving follows the one of the superior shaving [unlarding].
  - 162. The same method ought to be empfoyed to draw the ashfeer T, which forms the arc of rising of the vault : indeed the points Q, P, O, &c. of the Fig. 264, are distanced from Y as they are frc|n the axe in the Fig. 260, where is traced the éÏÏip-sis, the primitive center of the vault. By means of arcs described from the center Y, carry them on the horizontal projection of the curve A'a a! A", and you shall hâve the diverse points for tracing the curvity of that ashïeer which is to be appïyed to the extent’s draught of the curve, Fig. 263. The so car-ryed points on the Fig. 262 are Q,P,kc. on the trace A'a of the face of the curve seated towards the axe. In order to carrying them on the Fig. 263, it suffices to bring through that points new paralleïs to H h, whose intersections q,p, o,n,m,ï, with the same transverse lines which are used for the draught of the curve, shall be the passages points for tracing the edge qpo,&c., which is the one towards the axe : but it is to be remarked, that, in the latter figure, the straight a 'a" expressing the trace of the base of the roof, as seated at the same height, the part pq of the height of the ashfeer is to be carryedunder that line, as it is in Q P, Fig. 260; so that its foot might fay on the ïevelness of the superior edge of the interior impost, the origin of the vault. The other face of the ashïeer shalï be draught on the same manner.
  - Draught of the Curve of a parabolical shorted Valley inaconicalRoof containing a spheroïdal Vault.
  - 163. The shape of the superior parts of the walfs, and timbers composing the complété truss, with the accessories beïonging to the vault, being traced, Fig. 265, as it was expfained for the foregoing figures ; draw on that profile of truss the straight 17 &, showing the fathing of the plan roof penetrating the conical one (n.r 146) ; bring to it the parallel A U, distanced accordingly to the square-ness of the timbers to be employed : those paralleïs with both the ones showing the face of the principal rafter, form the parallelogram A C18,17 ; through the points A, C, draw the transverse lines A a, cc, as well as the other pairs of paralleïs e e, gg, i i, &c., at wish for the seat and number, but distanced by two as the first ones. The points 2,3,4,5,&c. hâve been given on the same manner by the same transverse lines on the half ellipsis, the primitive center of the vault. The parallelism and the equality of divisions of the straights AU, a u, alfow in that exampïe to use the points a, c,e,g,&c., carryed with quadrants on a', c', e*, g, &c., for the draught of the extent’s description [fedgement].
  - Trace straights parallel to the axe through ail those diverse points : their intersections with the ray u Y, on the horizontal description, Fig. 266, shall give A, B, C,D, &c., for the trace AU; 17, 18,19, &c., for the line 17 & ; c,e,g, i, &c., for the apothem Au. The same drawing shall be appïyed to the Fig. 267.
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  - 164. Um diese Büge im Grundrisse Fig. 266 zu zeichnen, bemerke man, dass das Paraïleïogramm AC 17, 18, Fig. 265, nichts anders aïs die Section ist, welche an der Hohe der Büge vermitteïst eines durch die Axe gehenden Planes gemacht. wor-den ist , und dass dadurch diese vier Eckpunkte , welche vermitteïst Parallellinien mit der Axe nach Fig. 266 herübergetragen worden sind, daselbst auf dem Radius Yu , die Punkte 18, 17, A, C, aïs horizontale Yorstellung dieser Section , und so-nach die Hohen zu den vier parabolischen Kanten geben.
  - Was die verticale Section anbelangt, welche bei dem Punkte C geschehen soïl, so nimmt man an, dass die Büge sich so lange um die Axe herumge-dreht habe, bis dieser Punkt C auf dem Apothème Au zum Vorschein kommt, woselbst erden Platz des Punktes c einnimmt. Dieser ietzte Punkt wird sodann nach c, Fig. 266 versetzt; so dass Y c der Abstand der Axe von dem Punkte C ist ; allein er ist transponirt, und muss vermitteïst des Bogens c C, weicher bis zur Yerticallinie C C geht, auf sein wahres Apothem gebracht werden; man siehtdaraus, dass der Durchschnitt C' die horizontale Yorstellung des Punktes C ist. Für die Punkte E, 19 und 18, Fig. 265, erhâït man auf die nâmliche Weise die horizontalen Projectionen derselben, welche sind E, 19' und 18’. Gleiche Bewandtniss hat es mit allen übrigen verticalen Sectionen, deren horizontale Projectionen man zur Zeichnung der vier Kanten zu haben wünscht. Das nâmliche gilt auch von dem unterri Schnitte , dessen verticale Yorstellung U& ist; denn der Punkt U nimmt, wenn sich die Büge, wie obgedacht, um die Axe herum-dreht, auf dem Apothème seinen Platz in u, und & in &' ; diese Punkte sind im Grundrisse mit u und & bezeichnet ; werden dieselbën durch Zirkelbogen versetzt, so geben sieauf den geraden Linien U LF,
  - : die Durchschnittspunkte, vermitteïst weicher
  - die untern Schnitte gezeichnet werden. In dieser Figur stehen, wie man sieht, die Punkte X, 1,2, 3, u. s. w., so weit von dem Punkte Y ab, wie sie in Fig, 265 von der Axe abstehen ; auch ist nach ihnen die Biegung des Stützhoïzes gezeichnet worden. Die Stuhlsâuïe und Sparren, welche bis an diese Büge gehen, sind durch punktirte strahlenfôr-. mige Linien dargestellt worden.
  - 165. Wenn durch jeden der Punkte, welche in Fig. 266 zur Zeichnung der horizontalen Projection der vier Biigenkanten gedient haben, gerade mit dem Radius u Y parallèle Linien gezogen werden ; so geben ihre Durchschnitte auf den mit der Axe parallelen Linien, welche aus den Punkten a', b', c', Fig. 265gezogen worden sind, und mit jedem einzelnen Durchschnitte correspondiren, die erforderlichen Punkte, nach denen die erweiterte Zeichnung der Büge , Fig. 267 sowohl aïs der Stützhôlzer auf eben die Weise ausgeführt wird, wie solches bei N.° 160 für die hyperbolische Büge angegeben worden ist.
  - Die horizontalen Ansichten der Stuhlsâuïe und Sparren zeigen in Fig. 266 die Punkte, bei denen die Kanten derselben auf der Biigenseite, in welche sie eingesetzt werden, ihren Anfang nehmen ; diese Punkte vereinigen sich mit den zu dieser Bügenseite gehôrigen Kanten, welche ebenfalls auch horizontal dargestellt sind. Zieht man nun durch diese Punkte mit dem Radius u Y parallèle Linien , so werden ihre in Fig. 267 auf den respectiven Kanten ge-schehenen Durchschnitte die Hôhenpunkte zu den vierseitigen auf der Büge eingeschnittenen Oeffi nungen seyn. Die in diese Oefïhungen einzuschnei-denden Zapfenlôcher erhaïten diejenige Richtung, welche in N.° 161 beschrieben worden ist, woselbst auch die bei der Zeichnung des Stützholzes anzu-wendende Yerfahrungsweise erklârt worden ist.
  - 164. For designing the horizontal projection of that curve, Fig. 266, observe that the paraïleio-gram AC 17,18, Fig. 265, being the section macle at the summit of the curve by a vertical plan passing along the axe, those four angular points, projected on the Fig. 266 by means of parallels to the axe, give there, on the ray Y u, the points 17, 1S,A,C, as the horizontal projection of such a section, and consequently of the summits of the four parabolical edges.
  - As for the vertical section which could pass through the point C, suppose that the curve lias turned round the axe untill it présents that point C on the apothem A u, where it then could occupy the point c ; thus, that point shah be projected at c, Fig. 266 ; and Y c shall be the real distance of the axe at the proposed point C, but transposai, and to be carryed on the projection of its true apothem hj means of the arc c C1, ending at the intersection of the vertical C Cthen that point C' is the horizontal projection of the point C of the curve. By arguing aïike on the points E, 19 and 18 of the Fig. 265, one shall perceive that the horizontal projections of them shall be E, 19* and 18(, ohtained on the same manner ; and that it shall be the same for so much vertical sections of the curve, as muchone will wish hâve horizontal projections, for tracing the ones of the four edges. It shall be also the same for the inferior eut [the heel], whose vertical projection is U & ; indeed the curve turning round the axe by the fore-supposing, those points shouldseat themselves, the one on the apothem at u, the other on the ceiling at their projections on the horizontal description, Fig. 265, could Le u and k, which, carryed with circular arcs on the straights U LF and give the points intersecting U‘
  - and &" for tracing the horizontal projection of the inferior sections. On the same figure are seen also the points X, 1,2,3,4, &c., distanced from Y as they are from the axe in the Fig. 265; and tliey hâve been used for designing the horizontal projection of the curvity of the ashleer. The rafters ending at the curve are also traced there radiant, But with dotted lines.
  - 165. Through each of the passages points which are used in the Fig. 266 for drawing the horizontal projection of the four edges of the curve, bring parallels to the ray u Y; their intersections with the parallels to the axe brought from the points a', b', c', Fig. 265, belonging each to each, shall be also the passages points for tracing the extensions description [ledgement] of the curve, Fig, 261, as well as of the ashleers, according to the explanation made ( n.r 160 ) on the hyperbolical curve.
  - The horizontal projections of the rafters and principal rafters show, Fig. 266, the origins points of the edges of them on the face of the curve receiving them ; and those points are seated exactly on the edges of that said face. Through those points, br.ing also parallels to the ray u Y; their intersections with the respective edges of the Fig. 261 shall be the angular points of the quadrilaters of the joinings [occupations] on the next face of the curve. The mortises shall be traced into that quadrilaters ; and their grooving’s direction shall bc made according to the n.r 161, which contains also the method for tracing the ashleer.
  - 164. Pour tracer dans la description horizontale, Fig. 266, la projection de cette courbe, on remarquera que, le parallélogramme AC 17,18, Fig. 265, étant la section faite au sommet de la courbe par un plan vertical passant par l’axe , ces quatre points angulaires, renvoyés à la Fig. 266 par des parallèles à Taxe, y donneront, sur le rayon Yu, les points 18, Il, A, C, pour la projection horizontale de cette section, et conséquemment des sommets des quatre arêtes paraboliques.
  - Pfiur la section verticale de la courbe qui serait faite au point C, on supposera que la courbe ait tourné autour de l’axe jusqu’à ce quelle présente ce point C sur l’apothème A u, où il occuperait alors le point c : on renverra donc ce dernier point en c, Fig. 266 ; et Y c sera la distance de l’axe au point C, mais transposée, et qu’il faudra reporter sur la projection de son véritable apothème, au moyen de l’arc c C, terminé à la rencontre de la verticale C C': d’où l’on voit que l’intersection C est la projection horizontale du point C de la courbe. En raisonnant de même sur les points E, 19 et 18 de la Fig. 265, on verra que leurs projections horizontales sont E, 19' et 18', obtenus de la même manière, et qu’il en est de même de toutes les sections verticales de la courbe dont on voudra avoir les projections horizontales pour tracer celles des quatre arêtes. II en sera encore de même de la coupe inférieure [du pas], dont la projection verticale est U& : car, la courbe tournant sur l’axe par la supposition précédente, le point U se placerait sur l’apothème en u, et & en &' ; leurs projections dans la description horizontale seront u, &,qui, renvoyés par des arcs de cercle, donneront sur les droites U U', les points d’intersection pour tracer la projection horizontale des coupes inférieures. Dans cette même description, on voit aussi les points X, 1,2,3, &c., espacés du point Y, comme ils le sont de l’axe dans la Fig. 265, et qui ont servi au tracé de la projection horizontale de la courbure de la jambette. L’arbalétrier et les chevrons qui aboutissent à cette courbe, y sont aussi tracés rayonnans, mais en lignes ponctuées.
  - 165. Si, par chacun des points de passage qui ont servi, dans la Fig. 266, à tracer la projection horizontale des quatre arêtes de la courbe, on mène des droites parallèles au rayon u Y, leurs intersections sur les parallèles à l’axe qui ont été menées des points a, h', c', Fig. 265, correspondantes à chacune, seront aussi les points de passage pour tracer la description d’extension [la herse] de la courbe, Fig. 267, ainsi que des jambettes, comme nous l’avons expliqué (n.° 160) pour la courbe hyperbolique.
  - Les projections horizontales de farbalétrier et des chevrons montrent, dans la Fig. 266, les points d’origine de leur arête sur la face de la courbe qui les reçoit ; et ces mêmes points se confondent dans les arêtes aussi projetées horizontalement de ladite face : si donc, par ces points, on mène encore des parallèles au rayon u Y, leurs intersections sur les arêtes respectives, dans la Fig. 267, seront les points ou sommets des quadrilatères dits occupations; sur la face d’extension de la courbe, on tracera les mortaises dans ces occupations, et leur direction d’enfoncement suivra la règle indiquée n.° 161, lequel contient aussi l’explication du procédé à suivre pour tracer la jambette.
  - SOUS-SECTION.
  - Trait d’un Comble à deux v ers ans, dont la base est un Quadrilatère irrégulier.
  - A la deuxième section, nous avons expliqué et démontré qu’une croupe triangulaire ne pouvait avoir de gauche, mais qu’un long-pan, dont la ligne
  - BEI ABSCHNITT.
  - Zeichnung eines Daches mit zwei Abhàngen und vierseitiger unregelmassiger Grundjlàche.
  - Wir haben im zweiten Abschnitte gezeigt, dass ein dreiseitiger Walmen keine schrâge Neigung haben dürfe, und dass diese Eigenschaft bloss bei
  - U ND ER-SECTION.
  - Draught of a Roof with double pouring, on an irregular Quadrilater.
  - We hâve enïightened, in the second section, (hat a triangular roofing-end never cannot be awlrord ; but as to the sides, when the eaves-Iines dont bc
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- - d’égout n’est point parallèle à ceïle du couronnement, est nécessairement gauche, parce qu’il est d’usage d’établir de niveau, et l’égout, et le faîtage. (Voy. ïe n.° 64, Fig. 32.)
  - 166. Soit ÂBCD, Fig. 268 et 269, ïe trapèze qui forme la base du comble, A B étant une des lignes d’égout, D C Fautre : si fon divise, suivant l’usage adopté, AD et B C chacune en deux parties égales, on aura ïes points JE, F, qui seront ceux des extrémités de la ligne de couronnement FF. Ce comble est susceptible d’être construit de plusieurs manières ; nous en examinerons seulement deux : l.° lorsque le comble est supporté par quatre murs, dont deux sont exhaussés en pignons, comme le montre la moitié du plan, Fig. 268, et qu’entre ces deux pignons on place une ou plusieurs fermes intermédiaires; 2.° lorsque, les murs étant remplacés par des pans de bois arasés à la hauteur de la base du comble, les chevrons posent sur des sablières, au lieu d’être assemblés sur des plates-formes, et que les extrémités de la couverture sont soutenues par des fermes, au lieu d’être portées par des pignons.
  - 167. La projection horizontale de notre exemple, Fig. 268, montre que les chevrons &, &, sont placés perpendiculairement à la ligne de couronnement ; ce qui rend leur coupe et leur assemblage au faîtage FF semblables à ceux des combles à surfaces planes. En cela nous n’avons pas opéré selon la règle de quelques praticiens, qui veulent que le compassement soit fait, et sur la ligne de couronnement, et sur celle d’égout : mais, en voulant régulariser le chevronage de cette manière / ils multiplient inutilement ïes difficultés de manipulation, parce qu’alors les chevrons sont déversés, et toutes leurs coupes biaises.
  - Les Fig. 270, 27J et 272, sont des profils qui montrent, aux extrémités et au milieu du versant, l’épaisseur du mur d’égout NPQO, son dérasement supérieur, qui est de niveau, la corniche, les pannes, et chacun des chevrons qui se trouvent à l’endroit où ces profils sont pris dans ïe plan. II faut y remarquer que celui de la Fig. 27J est dessiné en coupe, c’est-à-dire, sur la trace G LT (ligne milieu de l’épaisseur de la ferme en plan) : cette sorte de dessin a la propriété de montrer les formes qu’ont les assemblages dans l’intérieur des bois.
  - l.° Si Ton suppose la trace supérieure de la plateforme donnée dans chacun des trois profils par les intersections k,m,o, de la verticale prolongée du nu du mur et de la ligne du lattis, menée du couronnement à l’arête supérieure de la corniche, on aura, pour cette plate-forme, des épaisseurs croissant depuis l’extrémité la plus large du bâtiment jusqu’à la plus étroite. Mais l’about du chevron, qui vient se confondre avec l’arête de la plate-forme, ne laisse point de bois pour empêcher ïe glissement du chevron : cette méthode force donc de faire à la coupe du chevron un décollement ou entaille ghi, en commissure avec la partie de la surface supérieure de la plate-forme près l’arête; mais ce décollement est pris sur la partie à mordant qu’on réserve ordinairement pour occuper l’entaille de la plate-forme appelée lepas. (Voy. Coupe en crémaillère, I.repartie.) 2°. Dans chacun des trois profils, à partir de la ligne de lattis du chevronage, nous avons mené en dehors des parallèles espacées d’une quantité égale à l’épaisseur de la volige ou latte destinée à opérer le lattis, et ïes points d’intersection k,m,o, font passer plus haut les traces supérieures de la plate-forme, sur lesquelles on voit ïes points d’about des chevrons 15,3,17, et ceux de gorge 16,4, 18. Si la portion de cette trace comprise jusqu’à la ligne de lattis du chevronage ne paraissait pas suffisante pour arrêter le glissement du chevron au bout de l’entaille de la plate-forme qu’on appelle le pas, on ferait en outre au chevron une entaille comme dans le cas
  - ( 101 )
  - einer îangen Dachseite, deren Dachrinnenîinie mit der Kranzïinie nicht parallel lauft um deswillen Statt haben musse , weil man die Dachtraufe mit der Giebelfette in wagerechter Linie anzulegen pflegt. (Man sehe N.° 64, Fig. 32. )
  - 166. A B CD, Fig. 268 und 269 sey das Tra-pezium, weïches dieDachgrundflâche bildet; sodass A B die eine, und D C die andere Dachrinnenîinie ist. Theilt man nun, dem eingeführten Gebrauche nach, sowohl A D, aïs B C in zwei gleiche Theile, so erhâlt man die Punkte F, F, welche die End-punkte an der Kranzïinie FF seyn werden. Dieser Dachstuhl kann zwar auf verschiedene Weise erbaut werden ; wir wollen hier aber bïoss zwei Arten be-schreiben. Bei der ersten nehmen wir an, dass dieser Dachstuhl von vier Mauern getragen wird, wovon zwei oben giebelfôrmig zu laufen, wie soïches aus der Hâlfte des Grundrisses in Fig. 268 zu sehen ist, und dass zwischen diesen beiden Giebeln ein oder mehrere Binder angelegt werden. Bei der zweiten setzen wir voraus, dass anstatt der Mauern Holzwânde bis zur Dachgrundflâche aufgeführt wor-den sind, dass ferner die Sparren nicht in Mauer-Iatten sondern in Schwellen eingesetzt sind, und dass endlich die âussern Enden des Daches von Bindern und nicht von Giebeln getragen werden.
  - 167. Der Grundriss in Fig. 268 zeigt, dass die Sparren &, &, mit der Kranzïinie perpendicuîar an-geordnet sind ; so dass ihr Schnitt und ihre Verbin-dung mit der Dachfettc UF, auf die nâmliche Weise geschieht, wie bei Sparren auf flachen Dâchern. Hier wollen nun einige Baumeister, dass die An-ordnung der Sparren sowohl mit der Kranzïinie aïs auch mit der Dachrinnenîinie correspondirt, anstatt aber solchergestalt das Sparrenwerk regelmâssig zu ordnen, so vermehren sie ganz unnützerweise die bei solchen Arbeiten entstehenden Schwierigkeiten ; indem sodann die Sparren gewendet und die Schnitte derselben schief werden. Wir haben aus diesem Grande eine andere Verfahrungsweise befolgt.
  - Die in den Fig. 270, 271 und 272 enthaltenen Profile zeigen an den âussern Enden und in der Mitte des Daches die Dicke der Dachrinnenmauer NPQO, ferner ihre obéré wagerechte Flâche, so wie das Karniess nebst den Fetten, und endlich die Sparren, welche sichan demjenigen Orte befinden, wo diese Profile im Grundrisse genommen worden sind. Wir bemerken hierbei, dass der Sparren in Fig. 271, im Durchschnitte, nach der Linie GIJ, gezeichnet ist. Diese Ietztere ist die Mittellinie von der Dicke des im Grundrisse befmdlichen Binders. Diese Art von Zeichnung hat das eigene, dass man daraus sieht, wie die Zusammensetzungen im In-nern der Hôlzer beschaffen sind,
  - l.° Denkt man sich die obéré Linie auf der Mauerlatte, welche in jedem Profile vermittelst der Durchschnitte k,m, o, der aus der Mauer gezoge-nen Verticallinie, so wie vermittelst der aus dem Kranze jiach der obern Kante des Karniesses ge-zôgenenLattenîinie sich ergeben hat, so erhâlt man für diese Mauerlatte eine Dicke, welche von dem breitesten Ende des Gebâudes bis zum schmâlsten zunimmt; da aber am Ende des Sparrens, weïches sich mit der Kante der Mauerlatte verschmilzt, nicht Holz genugübrigbleiben würdeum das Ausweichen desselben zu verhindern ; so muss an diesem Ende ein Einschnitt ghi gemacht werden, mit welchem der obéré Theil der Mauerlatte nahe an der Ka'nte derselben verbunden wird. Dieser Einschnitt wird an demjenigen Theile angebracht, welcher zur Aus-füllung des Zapfenïoches in der Mauerlatte bestimmt ist. (Man sehe denZahnschnitt, Th. I.) 2.°Bei jedem der drei Profile sind von der Lattenlinie an, ausser-halb derselben, Parallellinien gezogen worden , welche so weit von einander abstehen, aïs das Lat-tenbret, auf weïches dieLatten aufgenagelt werden, dick ist: die Durchschnittspunkte k, m, o, zeigen die obern Linien der Mauerlatte, auf denen die End-punkteder Sparren 15, 3, 17, so wie die Kehl-punkte 16,4, 18, zu sehen sind. SoIIte der Theil dieser Linie, welche bis zur Lattenlinie geht, das Ausweichen des Sparrens im Zapfenloche der Mauerlatte noch nicht verhindern , so müsste man noch überdies an dem Sparren einen kïeinern dem
  - parallel to the crowii ; tliey are necessarily awkward, since those ïines are usually ïevelled. (See the n." 64, Fig. 32.)
  - 166. Let be ABCD, Fig. 268 and 269, the trapézoïdal basis of the roof; AB the one of the eaves-Iines, DC the other: if both the obliques AD and BC are divided equally, as nsual, the middle points E, F, shall détermine the crowning-line F E. Such a roof can be framed on diverse manners, vvhose we will explain only the principal two, viz : l.m when the roof is lain on four walls, whose two are raised triangularly in gables, as shows the half-pïan, Fig. 268, and between those gable-ends are established intermediar trusses; 2.dly when the roof relies on four plastered walls ïevelled at the roofing-basis, the rafters settïing on beams, instead of being framed with wall-plates, and gable-ends on extreme trusses, instead of triangular walls.
  - 167. The horizontal projection of the first example, Fig. 268, shows that the rafters &,&, are disposed perpendicuïarly to the crowning-Iine EF, whence resuit the same cuts and framings with the ridge-purlin as in the roofs with pïain surfaces : what differs from the raie used hy some practisers, who prescribe the measuring to be made on the eaves-Iines as weil as on the crowning one ; but the raftering regulated in such a manner increases the difficultés of execution, since such rafters are necessarily warped and awkward at ali their surfaces.
  - The' Fig. 270,271 and 272, are sections made at the middle and ends of the roofing, showing the thickness of the eaves-wall NPQO, upper Ïevelled, the cornice, the purïins, and the rafters belonging to each section. It is to be remarked that the Fig. 271 has been designed as a eut made aïong the trace GH, the middle line of the depth of the truss horizontally projected ; because such a draught shows the shapes of the framings into the inwards of the timbers.
  - l.m If you suppose that the superior trace of the walï-plate might be determined in each of the three profiles by the intersectings k,m,o, of the lathing-Iines brought through the crown to the superior cornice’s edge, and the vertical lengthened of the wall’s exterior, such a walï-plate shall hâve an increasing thickness from the broadest extremity of the building till to the closest part. But the but-end of the rafter, being confouncled with the edge of the wall-plates, does not let any part of the timber for keeping the rafter from slipping : it is then indispensable to eut at the foot of the rafter an unnecking or notch ghi, for joining with the upper-part of ’ the walï-plate, near to the edge ; and such a notch is made into the matter reserved for occupying the grooving of the walï-plate said the pace. (See the eut rakwise into the I.rst part.) 2,Iy On each of those three profiles, from the lathing-Iine of the raftering, we bave brought outwards parallel straights di-stanced accordingly to the thickness of the lathes or boards to be employed for ïathing, and through the so raised intersecting points k,m,o, hâve designed the superior traces of the walï-plate, where are the points of the rafters but-end 15,3,17, and of the neck 16, 4,18. If the part of that trace contained till to the lathing-Iine of the raftering does not appear sulficiently keeping the rafters from slipping into the grooving or pace of the walï-plate, you shall make farther to the rafter a notch ïike the foregoing, but lesser; otherwise, you shall take at will, on the verse
  - 3.' Partie.
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- - precedent, mais pïus petite; ou bien on prendrait à volonté', sur la verticale, un point plus haut que ïes intersections k,m,o, à égale distance dans chaque profil, ce qui ferait dépasser un peu ïa plate-forme, que l’on désarêterait ensuite à proportion de l'excédant qu’on lui aurait donné.
  - Nous observons que, dans cet exemple, ïa plateforme étant composée de deux parties, on pourra facilement atteindre à son inégalité d’épaisseur dans une même pièce de bois, en la débitant par un trait de scie obïique à deux de ses surfaces ; combinaison simple, et qui n’a pas besoin d’explication. Si fon se trouvait dans ïa nécessité d’employer des pïates-formes déjà débitées et d’égaïe épaisseur, un simple garni en tuileau et mortier dessous suffirait pour soutenir les parties qui ne touchent pas au dérasement.
  - L’éloignement particulier de la ligne d’axe à chacun des points angulaires des sections des pannes dans ces profils, a donné les points de passage des projections horizontales des arêtes desdites pannes dans ïa Fig. 268, mais reportés sur ïes lignes RQ,M O, qui sont les traces horizontales des profils, iFig. 27O et 272} et en partant de ïa ligne EF, projection horizontale de celle de couronnement.
  - 168. Les surfaces gauches ne pouvant s’appliquer que par une ligne aux surfaces planes ; si ïa droite 21, 22, Fig. 274, est ïa trace d’un plan assez étendu pour recevoir un des versans du comble, ïa pente dont ïa projection horizontale est B F, Fig. 268, s’appliquera audit plan de C à F, tandis que la pente dont la projection horizontale est A E, même figure, en sera éloignée de ïa quantité E 23, prise perpendiculairement au plan 21, 22.
  - Supposons maintenant que ïa surface gauche soit confectionnée en matière fiexibïe, teïïe que ïe plomb laminé, ïe carton, &c., qui permettrait de détruire son gauche et de rendre ïa totalité de sa surface contiguë au plan ; c’est d’après cette hypothèse que nous avons tracé ïe développement [la herse] de ce versant, Fig. 273 ; et, quoique le gauche y soit détruit, ce développement n’en donne pas moins ïes longueurs vraies des chevrons et de l’arbalétrier, parce que le tracé y a été fait comme il suit.
  - Sur ïa droite FE, Fig. 273 et 279, on a tracé ïes perpendiculaires JC, GI, KD, espacées comme elfes ïe sont dans ïes Fig. 268 et 269 ; sur ces dernières figures, on a encore pris E V, qu’on a portée de Y en E, et TF, qu’on a portée de T en F : I’éïoi-gnement du point A à ïa ligne KD, ayant aussi été reporté du point K, a donné un point de passage de ïa droite A X, qui est parallèle à KD ; et ï’éïoi-gnement de B à JC a de même donné ïa ligne B Y parallèle à J C. Après avoir construit ïes profils respectifs des pentes sur ïes projections des corniches en frontons [les ruellées, les dévirures], c’est-à-dire, les faces extérieures des pignons AD, B C, on a d’abord pris pour rayon la pente A X, et E pour centre; et ï’on a tracé un petit arc de cercle qui a donné le point A; la pente BU a pareillement donné ïe point B : ïes lignes EA,A B, BF et FE, montrent l’extension du versant, Fig. 273, dont ïa projection horizontale est la Fig. 268; mais on doit concevoir cette extension comme affaissée sur un pïan, et n’ayant plus de gauche. l.° Par ïe point de passage 14 de ïa ligne de couronnement, Fig. 271, on a tracé ïa droite jk [le trait carré] perpendiculaire à ïa trace du lattis 3,14 ; et ïa distance de cette ïigne jk à ï’about de ï’arbaïétrier, ayant été reportée de ïa ligne de couronnement EF sur ïa ïigne H G, Fig. 273, a donné le point 1 pour ï’about: le point de ïa gorge, 2; et ceux 5, 6;7,8, des mortaises pour les brandies de croix de Saint-André, ont été de même reportés d’après leurs distances respectives à ïa ïigne jk, ainsi que l’assemblage supérieur ; ce qui a achevé le tracé dudit arbalétrier, qui est vu
  - ( 102 )
  - vorigen àhnïichen Einsehnitt machen, oder auf der Verticaïlinie einen beliebigen Punkt nehmen, weï-cherhôher wâre aïs die Durchschnitte h,m, o, und sich bei jedem Profile ingleichem Abstande befânde ; alsdann würde aber die Mauerïatte ein wenig her-vorragen, weïches jedoch nichts ausmacht, indem der Vorsprung verhàïtnissmâssig abgehoïzt werden kann.
  - Da in diesem Faïïe die Mauerïatte theiïs starker, theils schwàcher ist, so ïàsst sich diese ungïeiche Dicke an einem und demselben Stück Hoïze durch einen schragen Sâgenschnitt ïeicht erïangen. Da diese Operation ganz einfach ist, so bedarf sie kei-ner weitern Erkïârung. Wâren keine andern aïs be-reits schon gesagte und gïeich starke Mauerïatten vorhanden , so reicht eine bïosse Unterïage von Ziegelstücken und Môrteï schon hin um die Theiïe, welche die Mauer nicht berühren, zu tragen.
  - Der besondere Abstand der Axenïinie von jedem der Winkeïpunkte in den Durchschnitten der Fet-ten , hat die Punkte zu den horizontaïen Projectio-nen derFettenkanten inFig. 268gegeben; sie sind aber auf die Linien RQ, MO, welche die horizon taïen Yorsteïïungen der in den Fig. 270 und 272 befindïichen Profile sind, gebracht worden, wobei man von der Linie EF ausgegangen ist, welche die horizontale Vorstelïung der Kranzïinie ist.
  - 168. Die schragen Flâchen kônnen mit den ebe-nen Flâchen bïoss durch eine Linie in Berührung gebracht werden. Ist die gerade Linie 21, 22, Fig. 274, ein Plan, weïcher gross genug ist, um eine Dachseite darauf anzuïegen , so berührt der Abhang, dessen horizontale Vorstelïung BF, Fig. 268 ist, den gedachten Pïan von C bis F; wâhrend der Abhang, wovon A E in der gedachten Figur die horizontale Vorsteïïung ist, davon umdie Grosse E 23 , welche mit dem Pïane 21,22 per-perpendicuïar genommen ist, entfernt seyn wird.
  - Wir woïïen nun annehmen, dass die schrâge Flâche aus einer biegsamen Materie, z. B. aus Bïei, Lahn, Pappe , u. s. w., verfertigt wurde, so dass aïso das Schiefe daran weggebracht, und die ganze Ffâche mit dem Pïane in Verbindung gesetzt werden kann, nach weïcher Voraussetzung die erwei-terte Zeïchnung dieses Abhanges in Fig. 273 aus-geführt worden ist ; und ohnerachtet daran nichts Schiefes mehr übrig gebïieben ist, so ergiebt sich dennoch aus dieser Zeichnung die wahre Lange der Sparren sowohï aïs der Dachstuhïsâuïe. Die Ver-fahrungsweise welche man hierbei beobachtet hat, ist foïgende.
  - Auf der geraden Linie F E, Fig. 273 und 279, sind die Perpendicuïarïinien JC, GI, KD, in dem nâmïichen Abstandegezeichnet worden, in weïchem sie in den/àg\ 268und 269 von einander entfernt sind ; auf diesen ïetztern Figuren wurde ferner noch der Punkt E V genommen , und von V nach E ge-tragen, so wie auch der Punkt TF, weïcber von T nach F getragen worden ist. Aus der Entfernung von A bis KD, welche von K zurückgetragen worden ist, ergab sich ein Durchgangspunkt zur geraden Linie A X, weïche mit KD paraïleï ist ; und ans dem AbstandevonEnach JC, die Linie B Y, weïche mit J C paraïleï ist. Nachdem zuvôrderst die respectiven Profile der Abhànge auf die Projectionen der vordern Karniesse, d. h. die âussern Seiten der Giebel AD, B C, gezeichnet worden sind , so wurde der Abhang AX aïs Radius, und E aïs Centrum genommen ; es wurde ferner ein kïeiner Zirkeïbogen gezeichnet , aus weïchem sich der Punkt A ergeben hat. Der Abhang B U gab seinerseits den Punkt B: die Linien EA, AB, B F und FE zeigen das aus-gedehnte Dach Fig. 273, weïches in Fig. 268 im Grundrisse zu sehen ist ; man muss sich aber vor-steïïen aïs ob diese Ausdehnung abwârts auf einen Plan geschehen sei, so dass nichts Schiefes mehr übrig gebïieben ist. l.° Durch den Punkt 14 in der Kranzïinie Fig. 27E ist die gerade Linie j k, perpen-dicuïar mit der Lattenïinie 3, 14, gezeichnet worden. Der zwischen jk, und dem Ende der Stuhï-sàuïe begriffene Abstand , weïcher von der Kranz-ïinieEF, auf H G, Fig. 273 getragen worden ist, hat den Endpunkt 1, den Kehïpunkt 2, so wie die
  - ticaï a point superior to k^m,o, equaïïy distanccd from them on each profile, whence lhe waïl-plate outing a few, shall be after unedged accordingïy to the adopted exceeding.
  - It is to be observed on that exampïe, that, thewaïf-pïate consisting into two parts, such an inequality can be easiïy effected into onïy one timber, withsaw-ing it obïiqueïy to two of its longitudinal faces:such a pïain combination no requires any explication. If the given timbers shouïd be aïready sawed and equaïïy thick, simple tiïe-wedges with pïaster slial! sufficientïy heïp lhe parts raising upper the lève!-ness.
  - The particuïar distance of the axe-ïine from each of the anguïar points of the purïins’s sections in those profiles, has determined the points of passage of the horizontal projections of the edges of that purïins on the Fig. 268, but carryed on the straights RQ, M O, the horizontal traces of the profiles, Fig. 270 and 272, and from EF, tlic horizontal projection of the crown-Iine.
  - 168. The awkward surfaces doing not be ahfc to coïncide with a pïain one, but aïong an onïy line; if the straight 21,22, Fig. 274, isthe trace of a pïan extent enough for admitting one of the pour-ings of the roof, the sheïving or decïivity projectcd on BF, Fig. 269, can be appïyed to C F : but the sheïving dropped on A E, in the same figure, shall to ïose that plan perpendicuïarïy from E to 23.
  - We then suppose the awkward surface made with a flexible matter, fïat-ïead, pasteboard, or eïse, wïiich can ïeave its awkward and be appïyed aïongthe whoïe surface to the said pïan ; and, after such a sup-posing, we hâve draught the unfoïding [ledgement] of that pouring, Fig. 273; and, though it mightbe designed without any awkward, it nevertheïess con-tains the true ïengthes of the rafters either principal or smaïï, because it has been draught as it foïlows.
  - On the straight FE, Fig. 273 and 279> bave been brought the perpendicuïars JC,Gl,KD, distanced as on the Fig. 268 and269;hmhm taken oïf, in that ïatter figures, El F, to betransferred from V to E, and TF, to be carryed from T to F : the distance of the point A from the slraigkKD, being transferred from K, has given a passage point of the straight A X, paraïleï to K D ; and the distance of B from JC has determined B Y paraïleï to JC. The respective profiles of the sïieïvings being drawn on the projections of the cornices in pediments, viz, the exterior faces of the gable-ends A D, B C, from the center E, with the sheïving A A as radius, a smaïï arc has given the point A ; and the sheïving B U, the point B : the straights E A, AB,BF and FE, show the extent of the pouring, Fig. 2J3, whose horizontal projection is the Fig. 288; but such a ledgement ought to be considered as being sinked down on a plane, and without any awkward. l.r“ Through the passage point 14 of the crown-ïine, Fig. 277, has been brought the straight jk [square draught], perpendicuïar to theïathing-ïine 3, 14; and the distance of that line jk from the but-end of the principal rafter, being carryed from the crown-Iine EF on H G, Fig. 213, has given the points 1 as but-end, 2 asncch and 5, 6 ; 7, 8, for the mortises to receive the branches of the Saint - Andrews cross, hâve been carryed according to their respective distances from the straight j k, as weïï as the superior framing;and then has been compïeted the draught of such a principal rafter, which is seen on the ceiïing face (n.T13).
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- - à sa face du lambrissage (n.° 113). 2.° Des traits carres ayant été pareiïlement faits aux points de couronnement des Fig. 270 et 272, on a pris le-ioignement des abouts et des gorges des pas des chevrons, qui ont été de même reportés de fa ligne de couronnement sur les lignes respectives M O, R Q ; ce qui a donné fes points 15, 16; 17, 18, qui, joints par des droites 15,17; 16,18, ont donné, sur une surface plane, fes fongueurs vraies des chevrons extrêmes, et conséquemment fes longueurs des chevrons intermédiaires.
  - 169. L’autre moitié de fa description horizontale, Fig. 269, montre, en LM' O1 N', N O'Q P1, P1 Q1 R1 S1, fes plans de trois pans de bois qui soutiennent le versant EDCF : fe chevronage étant le même à ce versant qu’au précédent A EFB, on s’est dispensé d’en tracer fa projection horizontafe.
  - Si les deux bouts incîinés [rueîfées] de ce versant étaient pîacés [établis] d’à-plomb aux faces extérieures LN',SP‘, des pans de bois, on pourrait construire fes fermes qui doivent entrer dans sa composition avec pannes assemblées dans fes arbalétriers, comme fe montre fa Fig. 271 de l’autre versant : mais fobliquité fréquente des eaux ddl pluie, pouvant sans obstacfe couvrir fa surface des pans de bois, ainsi que celle des fermes qui sont dessus, amènerait promptement feur corruption; ce qu’on doit éviter, en faisant outre-passer fes pannes au-delà des surfaces extérieures des fermes, d’une quantité égafe ou inégafe à ceffe de fa saiffie de l’égout. Pour cet effet, if faut que fes pannes soient juxta-posées sur fes arbafétriers (par chambrée) [sur tasseau] : fa Fig. 273 montre évidemment ce dispositif, que nous avons déjà expliqué aux pavillons.
  - 170. Au fieu de représenter fa ferme intermédiaire, Fig. 273f vue à î’une de ses faces verticales , comme fe font généraîement fes dessinateurs du trait, nous bavons représentée en coupe prise sur fa ligne HI, au miïieu de son épaisseur. On y voit aussi fes coupes du poteau a, de fa sablière d’égout b, de l’entrait inférieur c, assembîé à mordant et queue recouverte sur la sablière; de la jambette d, avec ses tenons haut et bas ; du chevron e à égout pendant [en queue de vache] ; de l’arbalétrier f, de l’esselier g en croix de Saint-André avec son tenon dans l’arbalétrier et son entaille à mi-bois ; des pannes h, i, et de leurs tasseaux et chantignoîes. En prenant cette coupe pour profif primitif, celle qui reposera sur le pan de bois R! S'P' Q', ayant même hauteur, aura plus de raide ; et celle qui sera posée sur le pan de bois LM' O'N', en aura moins : les Fig. 276 et 277 montrent ces deux pentes, et sont, comme la Fig. 273, des coupes prises sur fes lignes du milieu de l’épaisseur des fermes qui sont sur fes pans de bois. Comme ces dernières sont composées de pièces semblables à celle de l’intermédiaire, fa notation qui précède leur est applicable.
  - On se dispense parfois de tracer ces deux coupes, et Ton y supplée au moyen d’un tracé plus simple, ainsi qu’il suit. Sur une droite ef, Fig. 278, faites une perpendiculaire e g qui soit égale à la hauteur du comble; portez la longueur HI, qui est la demi-largeur de la base du comble, de e en h, et joignez h g : cette dernière aura même inclinaison et même longueur que celle de lattis /&. En portant de même sur ef la longueur a b, de e en *, la droite ig aura même inclinaison et même longueur que celle du lattis de la coupe, Fig. 276; en opérant de même avec la longueur cd, on aura aussi fg, semblable à la ligne de lattis de la coupe, Fig. 277. Si bon mène ensuite, par les points n,o,p,q,r,s,t,u,v,x, y,
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  - Punkte 5, 6 ; 7, 8, gegeben. Die Zapfenlôcher zu den Kreuzbügen sind mit Rücksicht auf ihre respec-tiven Abstânde von der Linie j k, ebenfalls zurück-getragen worden ; was auch mit den obéra Zusammen-setzungen geschehen ist, wodurch die Zeichnung dieser Stuhlsàule, welche von der nach der Ver-schalungzu gerichteten Seite zu sehen ist(N.° 113), vollendetwurde. 2.° Nachdem bei den Kranzpunkten in Fig. 270 und 272 ebenfalls gerade Linien ge-zogen worden sind, so wurde der Abstand der En-den und Kehlen am Fusse der Sparren genommen, und von der Kranzlinie auf die respectiven Linien MO, RQ getragen; woraus sich die Punkte 15, 16 ; 17, 18, ergeben haben ; diese letztern, welche mit den geraden Linien 15, 17; 16, 18, vereinigt wurden, gében auf einer ebenen Flàche die wahre Lange der aussersten Sparren, und folglich auch die Lange der in der Mitte stehenden.
  - 169. Die zweite Hâlfte des Grundrisses in Fig. 269, zeigt in LM'O'N', N' O' Q' P', P'Q' R S', drei Holzwânde , welche das Dach EDCF tragen. Da hier das Sparrenwerk eben so beschaffen ist wie bei dem Dache A EFB, so war die horizontale Yorstellung desseïben überflüssig.
  - Stànden die beiden geneigten Enden dieses Dach-abhanges senkrecht auf den âussern Seiten LN', SP1 der Holzwânde; so kônnten die Binder nebst den mit den Dachstuhisâuïen verbundenen Fetten eben so angeïegt werden wie bei dem andern Dache Fig. 271 ; alsdann würde aber der schrâge Einfall desRegenwassers, welchem die Holzwânde so wie die darauf stehenden Binder sehr oft ausgesetzt wâren, die Enden dieser Hôlzer in kurzer Zeit in Fâulniss setzen, was jedoch dadurch verhindert werden kann, dass man die Fetten um eine dem Dachtraufenvor-stosse gleiche oder ungleiche Lange über die âussern Flâchen der Binder hervorragen lâsst. Zu diesem Ende müssen die Fetten auf die Stuhlsâulen aufge-setzt und mit Würfeln versehen werden. Diese Anordnung , welche bereits oben bei den Pavillons erklârt worden ist, ergiebt sich sattsam aus Fig. 273. N
  - 170. Anstatt den Mitteïbinder Fig. 273, von einer verticaïen Flâche, darzustellen , wie es bei stereotomischen Zeichnungen gewôhnlich zu geschehen pflegt, haben wirselbigenim Durchschnitte dargesteïlt, qud dflÉsen letztern von der Linie HI, die Mitte der Dicke, genommen. Die Figur zeigt diesem zufolge die Durchschnitte des Pfostens a; der Schwelle b ; des Hauptbalkens c, welcher durch Versatzung mit der Schwelle verbunden ist; des Stützholzes d, nebst seinem obéra und untern Zapfen ; des Sparrens e ; der Stuhlsàule f ; des Jagdbandes g, weïches in die Stuhlsàule eingezapft ist, und die Stelle eines Buges vertritt, dessen mittlerer Einschnitt in halbe Holzdicke geschehen ist; endlich der Fetten h, i, nebst ihren Würfeln und Baïkenhôîzern. ^ïimmt man diesen Durchschnitt aïs eigentliches Profil an, so wird der Binder, welcher auf der Holzwand R1 S1 P1 Q' ruht, und die nâmliche Hôhe hat, steiler seyn ; derjenige aber, welcher auf
  - i der Holzwand LM' O N' steht, wird nicht so steil seyn. Diese beiden Abhânge ergeben sich aus den Fig. 276 und 277, welche, wie Fig. 273, Durchschnitte darstelïen, die von der Dicke der auf den Holzwânden stehenden Binder genommen sind. Da diese letztern aus âhnlichen Hôlzern zusammenge-setzt sind, wie der mittlere Binder, so ist die vor-stehende Erklârung auch auf sie anwendbar.
  - Bisweiien unterlâsst man die Zeichnung dieser beiden Durchschnitte, und wâhlt dafür folgende einfachere Verfahrungsweise : Man macht auf einer geraden Linie ef, Fig. 278, eine Perpendicuïar-Iinie e g, welche der Hôhe des Daches gleich seyn muss; trâgt hierauf die Lânge HI, welche die halbe Breite der Dachgrundflâche betrâgt, von e nach h, und zieht h g zusammen ; diese Ietztere Linie wird so-dann die nâmliche Neigung und Lânge haben wie die Lattenïinie/& ; trâgtman ferner auf der Linie efdie Lânge a b, von e nach i, so erhâït die gerade Linie i g dieselbe Neigung und Lânge wie die Lattenïinie des Durchschnitts Fig. 276: verfâhrt man gleicher-gestalt mit der Lânge c d, so mrdfg der Lattenïinie
  - 2.dly Like square draughts being made on the crown points of the Fig. 270 and 272, the distances from the but-ends and necks of the rafter’s feet hâve beenlike carryed from the crown-Iine on the respective straights M O, R Q, and hâve given the points 15, 16; 17,18, and the fines 15,17; 16,18, showing, on a plane surface, the true lengthes of the extreme rafters, and consequently of the intermedial ones.
  - 169. The other part of that horizontal description, Fig. 269, shows, with LM'O'N1, N'O'Q'P', JP Q'R'S', the three plastered walls bearing the pouring EDCF : the raftering being quite like to the one of the foregoing AEFB, we hâve dis-pensed ourselves with designing the horizontal projection of it.
  - If the gable-ends of the pouring should lay per-pendicularly over the exterior faces LN',SP', the trusses could be made with purlin framed into, as shows the Fig. 271 of the other pourings ; but the frequent obliquity of the rain could waste the plastered walls and the trusses over-Iain. Then those pur-lins ought to out the exterior faces of the trusses, as the jutty of the eaves, or more, or less. To that erftl, the purlins ought to be lain over the principal rafters : the Fig. 273 shows plainly such a disposai, already enlightened on the pavilions.
  - \
  - 170. Instead of drawing the intermedial truss, Fig. 273, seen on the vertical face, as usually do the drawers, we hâve designed it in eut on the straight HI, the middle of the thickness. You see there the sections of the king-post a, of the beam of the eaves b, of the inferior collar c, framed with notch and recovered tail into the beam; of the ashleçr d, with its under and upper tenons; of the rafter e, with hanging-eaves [cow’s-taiï]; of the principal rafter f; of the brace g in a Saint - Andrews cross, with its tenon into principal rafter, and notch half-way in the timbers; of the purlins h, i, with stoppers and tessel-props. By taking that truss as primitive profile, the one lain on the wallR'S'P'Q1, which has the same height, shall be steeper; and the one of the wall LM'O' N', less steep. The Fig. 276 and 277 show those two shelvings, and, as the Fig. 273, are cuts made on the middle fines of the trusses lain on the plastered walls. Those latter being compounded with the same timbers, as the intermedial one, are able to the same notation.
  - Often they dispense themselves with drawing those two cuts, and supply to that with a simple draught, as it follows. On a straight ef, Fig. 278, bring a perpendicuïar e g, equal to the height of the roof; take off the breadth of the roofing basis III, and carry it from e to h, and bring h g, which shall hâve the same shelving and length as the ïathing-îine /&. By carrying like on ef the length ab, from e to i, the straight ig shall hâve the same declivity and length as the ones of the lathing of the cut-end, Fig. 276. The same method being applyed to the length cd, you shall hâve also f g, equal to the lathing fine of the cut-end, Fig. 277. After that, they bring paralleïs to HI through the
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- - 2, k, des parallèles à///, on aura, sur les lignes ig, fg, les points 0,0 ;p,p ;q,q', kc., qui serviront à tracer fa description d’extension [ïa herse], Fig. 279, dessinée aussi à fa face du lambrissage.
  - 171. Pour tracer cette description d’extension, Fig. 279, ïe quadrilatère CDEF étant déjà tracé, •comme if a été expliqué n.° 167, on prendra du point I, Fig. 27’5, les distances de ce point à n,o, p,q, &c., qu’on portera successivement sur fa figne 1H de fa Fig. 279: on aura fes points n pour l’about, et o pour fa gorge de l'arbalétrier (on aura de même fes points pour tracer fes arêtes du tenon clé-sabouté); fes points p, q, donneront ceux p, q, pour fa mortaise de fa jambette; ceux r, u, donneront r, u, pour fa mortaise de fa branche de croix de Saint-André, kc. Les points n,o,p, q, kc. qui sont sur fa figne ig, Fig. 278, étant pareillement reportés, sur celle a b de fa Fig. 279, serviront à tracer fes mortaises, tenons et abouts de î’arbaîétrier de fa ferme sur fe pan de bois R'S P'Q' : en opérant de même avec fes points ri,o' ,p' ,q', kc. de fa figne fg, Fig. 278, on aura sur ccl, Fig. 279, tous fes points pour tracer f’arbafétrier de fa ferme sur îe pan de bois LM' O'N' : fes pannes et chevrons seront tracés à ce versant comme à celui de fa Fig. 273*
  - 172. Présumons d’abord les surfaces des pannes *et des chevrons sans gauche : ces surfaces ne se confondront pas exactement avec celle du versant, à moins d’une préparation particulière. Deux sortes de manipulations sont usitées. l.° Au moyen de faibles entaiffes à fa surface des pannes, on pourrait y appliquer fes chevrons ; et une seule entaiîfe suffira pour pfacer une panne sur deux arbalétriers. 2.° Un fàibfe défardement disposera convenablement fa surface de fa panne pour fe placement des chevrons, et fe tracé en sera fait ainsi : deux paraffèles ab ,cd, Fig. 280, tracées sefon fa pente d’un des arbalé-triers, seront espacées de fa quantité appelée chambrée : on y tracera fa section perpendicufaire e f g h, qui montre la grosseur decarrissage de fa panne à f’un de ses bouts, et, de pfus, disposée sefon î’une des pentes. Tracez deux autres paraflèfes selpn la pente qui se trouve à l’autre bout de fa panne, dont l’une ij passe par fe point A; et f’autre Ik, par le point /’; fes triangfes mfg,nhe, sont fa quantité de bois qu’if faut retrancher au bout opposé de fa panne pour opérer fes défardemens, quantité qui doit être en progression décroissante jusqu’aux angles solides e, g, dudit bout.
  - Observation. l.a Quand fintérieur du comble n’est pas destiné à être vu, au fieu d’exécuter à fa surface du fambrissage un défardement semblable à celui qui se fait à celle du lattis, on se contente d’y opérer une entaille à l’endroit par où fa panne doit poser sur l’arbalétrier, et le trait indiqué ci-dessus pour ïe second défardement sert alors pour faire cette entaille. 2.° Si fa pièce de bois n était pas de la même force à ses deux extrémités, il est sensible qu’il faudrait choisir ïe bout fe plus fort pour y exécuter ces retranchemens, qui diminuent nécessairement fa force du bois.
  - 173. Pour exécuter ïe défardement d’un des chevrons, il faut tracer, Fig. 281, la projection horizontale a de son about inférieur, à la surface du lattis, coupée obliquement en f, e, par une portion e d de la ligne d’égout. Tracez ensuite parallèlement à fa projection horizontale a ïa droite jg, représentant une portion de fa trace de la base du comble ; et, sur elle, la projection b d’une des faces verti-
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  - des Durchschnittes Fig. 277 àhnfich seyn. Zieht man sodann durch die Punkte n,o,p, q,r,s,t, u, v, x, y, z, k, Paralïellinien mit III, so erhàlt man auf den Linien ig, fg, die Punkte o, o'; Pf P' i 9 r 9 i u* s* w* > welche zur Ausführung der erweiterten Zeichnung Fig. 279 dienen, welche auch an der Seite der Verschalung ge-zeichnet ist.
  - 171. Die erweiterte Zeichnung Fig. 279, wird, nachdem das Yiereck CDEF bereits nach Maas-gabe N.° 167 gezeichnet worden ist, foïgenderge-stalt ausgefiihrt : Man nimmt von dem Punkte /, Fig. 27o, die Abstânde dieses Punktes von n, o, p, q, u. s. w., und tràgt sie nach und nach auf die Linie IH, Fig. 279; worauf man den Punkt n, aïs Ende, und o, aïs Kehle der Stuhfsàuïe erhàlt (auch erhàlt man zugleich mit die Punkte, wonach die Kanten an dem abgeschnittenen Zapfen gezeichnet werden); die Punkte p,q, geben p, q, für das Zapfenloch zum Stützhoïze, so wie f, u, die Punkte r, u, für das Zapfenloch zum Buge u. s. w. geben. Die Punkte n, o, p, q, u. s. w., welche sich auf der Linie ig, Fig. 278 befmden, und gïeicherge-stalt auf a b , Fig* 279 herübergetragen worden sind , dienen zur Zeichnung der Zapfenlôcher, Zapfen und Enden der Stuhfsàuïe des auf der Hoïz-wand R' S1 P' Q' stehenden Bundes. Verfâhrt man auf âhnîiche Weîse mit den Punkten ri, o', p', q , u. s. w., auf derLiniey^, Fig. 278, so erhàlt man auf cd, Fig. 279 aile diejenigen Punkte, wonach die Stuhlsàufe des auf der Hoîzwand LM’O N' ruhenden Bundes gezeichnet wird. Die Fetten und Sparren werden beidiesemDachabhange eben so gezeichnet wie bei dem in Fig. 273.
  - 172. Nehmen wir an, dass die Fîachen der Fetten und Sparren nichts Schiefes enthalten, so werden sich dieselben, wenn sie nicht besonders zu-bereitet werden , mit der Dachflâche nicht genau verschmelzen. Die Yerfahrungsweise, welche man1* zu diesem Behufe zu beobachten pflegt, ist zweier-fei: l.° lassensich vermittelst leichter Einschnitte in die Fetten, die Sparren daran befestigen ; wâhrend es bfoss eines Einschnittes bedarf um eine Fette mit zweiStuhlsàufen zu verbinden. 2.° Die Fette braucht bfoss leicht abgeholzt zu werden, um die Sparren gehôrig darauf zu befestigen ; zu diesem Ende wird die Zeichnung fofgendergestaft ausgeführt : Man ziehe zwei Paraflelïinien ab',*cd, Fig. 280, welche nach der Neigung einer Stuhîsaule gezeichnet werden, um eine Sparrenweite auseinander ; zeichne darauf die perpendicufare Section efgh, welche die Stârke der Fette an dem einen Ende derseïben anzeigt, und nach einer der Neigungen angeordnet ist ; zeichne ferner zwei andere Paralïellinien nach Maasgabe der Neigung am andern Fettenende ; die eine derseïben ij wird durch den Punkt h, und die andere Ik, durch den Punkt f gehen ; worauf sodann die Triangel mfg,nhe die Quantitàt Holz seyn wird, welche an dem entgegengesetzten Fettenende, des Abhofzens wegen, abgenommen werden muss, und welche Quantitàt bis zu den kôrperlichen Winkeln e, g, des gedachten Endes stufenvveise abnimmt.
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  - Bemerkung. l.° Wenn die Ansicht der innern Dachverbindungen nicht erforderlich ist, so wird die Seite an der Verschalung nicht so abgekantet wie es bei der am Lattenwerke geschieht ; man macht vielmehr bloss einen Einschnitt an dem Orte wo die Fette auf der Stuhlsàule aufliegen soll ; so dass die vorstehend gegebene Zeichnung, nach welcherdas zweite Abholzen geschieht, bei der Ausführung dieses Einschnittes zur Regel dient. 2.° Soif te das Holz an seinen beiden Enden nicht von gleicher Stàrke seyn , so muss, weil dergfeichen Schnitte dem Holze die Kraft benehmen, das stàrkste Ende abgekantet werden.
  - 173. Soll ein Sparren abgeholzt werden , so zeichnet man erstfich nach Fig. 281, die horizontale Projection a seines untern Endes, und zwar der-jenigen Flàche am Lattenwerke, welche bei f, e, vermittelst eines zur Dachrinnenlinie gehôrigen Theiles e, d, schràg durchschnitten wird; hierauf zeichnet man paraffel mit der horizontalen Projection a, die geradeLinie jg, welche einen Theil von
  - points n,o,p,q,r,s,t,u, v,x,y,z,&; thc straights i g, f g, shallbe cutat the points o, d ;p,p'; which shall be used for tracing the extenfs description [ïedgement], Fig. 279, désignée!also on the ceifing face.
  - 171. In order to drawing such an extent’s description, Fig. 279, the quadrilater CDEF being already traced, as it is explained n.r 167, take olf the distances from I, Fig. 273, to the points n, o, p,q, kc., and bring respectively on the straight IH, Fig. 279, from I at n the but-end, o thc neckingof the principal rafter; and other points for tracing the tenon unended; p, q, for the ashlecr; r, u, for the mortises of the Saint-Andrew’s cross, kc. The points n,o,p,q, kc., of the straight ig, Fig. 278, shall be like used for drawing the mortises , tenons and but-ends of the principal rafter îain on the wall R' S P' Q1 ; and a like construction shall be made with the points ri, o',p, j, kc. of the straight f g, Fig. 278, for finding on cd, Fig. 279, the points necessary for tracing the principal rafter of the truss Iain on the pïastered wall LM'N' O': the purlins and rafters of that pouring shall be drawn as the ones of the Fig. 213,
  - 172. Presuming beforehand the surfaces of the purlins and rafters be without any awkward, such surfaces cannot coincide with the pouring, without a particuïar préparation, which is used on two man* ners. 1 ,TSt By means of small notches made on the purlins, the small rafters shall be perfectly applycd to them ; and one only notch made to one of the extremities of the purlin, shall apply that timber to two principal rafters. 2.ly The surface of the purlin shafl be made abfe to receive the rafters by a small shaving [unlarding], which is drawn as it follows, Two paraflefs a b,cd, Fig. 280, distancedaccord-ingïy to the purlins feature perpendicular to the lathing, show the squareness of the purlin efgk, by the means of the perpendiculars e f, g h, tonds the smalfest end of it ; trace other paraliels (/,/£, in-cïined to the first ones accordingïy to the diversity of shelving of the two principal rafters, and whose one passes through the point h, and other at/, faced diagonally to h : then, the triangles mj«, nhe, show the matter to be shaved off to the opposite end of the timber, for effecting the un-lardings of the purlin ; and such a shaving ouglit to decrease till to the soïid angles e, g, of the smallcst end.
  - Remark. 1."* When the interior part of thc roofîng cannot be look’d on, instead of shaving the ceiling face of the purlins, as welf as the lathing one, a simple notch suffices on the place of thc juxtaposition of the purlins with the principalrafters; and such a notch ought to be made accordingïy to the foregoing draught of the shaving. 2.diy It is plain that the prescribed shaving, diminishing neccssariiy the strength of the timbers, ought to be elfected into the strongest end, when the squareness does not be equal at both the ends of the timbers.
  - 173. As for the smaïï rafters, the shaving [unlarding] shafl be drawn as it folfows : trace the horizontal projection of its inferior but-end a, Fig 2SI, at the lathing surface, obfiquely eut on f, e, by a part ed of the roofing’s but-end line; and after, thc straight j g, paraïlel to the projection a, and showing a part of the roof’s trave-ïine, with the projection b of the one of the vertical faces of the rafter; incli-
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- - cafés du chevron, qui sera inclinée comme doit être îe chevron sur lequel vous opérez : les droites menées perpendiculairement à jg, des points e et f, donneront le délardement g h au pied du chevron, ' qu’il faut aussi taiïïer en progression décroissante jusqua l’angle solide du bout opposé.
  - Trait d’une Croupe biaise.
  - 174. La construction du tracé primitif de la description horizontale, aussi appelée le plan, Fig. 282 et 283, se fera ainsi : Tracez sur une droite A B ïa perpendiculaire CD, et adoptez leur intersection A pour projection horizontale de Taxe du poinçon : portez de droite et de gauche de ce point sur CD la moitié de la longueur qu’a donnée le mesurage dans oeuvre des murs ; ce qui donnera les points I,L : ajoutant l’épaisseur des murs, on aura
  - E, //; et en portant en continuité les saillies de la corniche, on aura CD. Par tous ces points, menez des droites parallèles à AB; portez la longueur qu’a donnée le mesurage depuis la ligne milieu de la projection horizontale de ïa ferme EH, jusqu a l’arête extérieure de chacun des murs, comme ici de E en
  - F, et de H en G : vous joindrez F G, qui sera ïa trace de l’extérieur du mur de croupe. La trace de son intérieur J K lui est parallèle, et est à la même distance que celles des autres murs, parce qu’on suppose que les trois murs ont été faits de même épaisseur. La saillie de la corniche étant aussi la même, sa projection horizontale [la retombée des égouts ] sera encore la même pour le mur de croupe.
  - Menez aussi parallèlement à EH les deux droites ah,cd, espacées entre elles de la dimension d’écar-rissage à la surface du lattis de bois qu’on doit mettre en œuvre : elles montreront la projection horizontale de la ferme; et les lignes ef,gh, tracées de même, la projection horizontale de la demi-ferme : le quadrilatère ij k l, qui environne le point À, montre la projection horizontale du poinçon ; on a représenté aussi le solivage du plancher. En tout cela, nous avons suivi les usages adoptés par les praticiens, quoique nous ayons fait remarquer, n.° 93, qu’ils entraînent des irrégularités, de véritables défauts, tant au-dedans qu’au-dehors de la couverture. La Fig. A, que nous avons insérée en cet exemple, confirmera ce que nous avons précédemment dit à cet égard : car la ligne XX', pente du long-pan, qui est dans une parfaite direction de Fégout au couronnement, doit passer par le point b, pour que le pied du chevron soit porté par le mur ; par le même motif, le pied du chevron de croupe, dont xx' est ïa pente, doit aussi passer au point b : mais la pente xx1 verserait les eaux sur la corniche; ce qu’il faut éviter, en plaçant un coyau dirigé de b en X#, et qui, nétant plus dans la direction de xx1, donne à ce versant un pli en b. II faut même ajouter que l’impression faite par ce pli sur la vue est plus considérable que celle de l’angle formé entre chaque chevron et son coyau, puisque ceux-ci sont l’un et l’autre obliques au pli de la couverture, qui est un véritable angle plan, et quun tel angle se mesure entre deux perpendiculaires à un même point de l’arête, et est plus grand que celui qui est formé par deux lignes quelconques obliques à cette arête. Mais, avant d’achever cette description, nous passons au tracé de la verticale.
  - Description verticale de la Ferme, Fig. 284 et 285.
  - 175. On tracera les coupes des parties supérieures des murs du long-pan et celles des solives du plan-
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  - der Dachgrundfiâchenlinie vorstellt, und auf soïche die Projection b, von einer der verticalen Flâchen des Sparrens, weïcher so geneigt seyn wird, wie es der Sparren seyn muss, auf dem man die Operation vornimmt. Die aus den Punkten e und f, mit j g perpendicuïar gezogenen geraden Linien geben sodann den Schnitt gh, am Fusse des Sparrens, weïcher bis zu dem kôrperlichen Winkel des ent-gegengesetzten Endes in abnehmender Progression zugeschnitten werden muss.
  - Zeichnung eines schrâgen Walmens.
  - 174. Die Zeichnung der horizontalen Vorstel-ïung oder des Grundrisses, welche in Fig. 282 und 283 enthalten ist, wird folgendergestalt ausgeführt. Man zeichne auf einer geraden Linie AB, die Per-pendieularlinie C D, und nehme ihren Dqrchschnitt A, aïs horizontale Projection der Giebelsâulenaxe. Trage hierauf rechts und links von diesem Punkte auf CD, die halbe innere Lange der Mauern , wo-raus sich die Punkte I,L, ergeben werden ; fügt man noch die Dicke der Mauern hinzu, so erhâlt man E, H ; und verbindet man damit die Vorstosse des Karniesses, so bekommt man CD. Durch diese sâmmtlichen Punkte ziehe man gerade, mit A B Parallellinien : trage die Lange, welche von der Mittellinie des Binders E H, bis zur âussern Kante einer jeden Mauer begriffen ist, wie hier von E nach F , und von H nach G ; ziehe F G zusammen, welches die Linie zur âussern Walmenmauer seyn wird; JK, die Linie der innern Mauer, ist mit der-selben paraïlel, und befindet sich in dem nâmlichen Abstandewie die der andern Mauern, weilangenom-men wird, dass die drei Mauern von einerlei Dicke sind ; da hier der Karniesvorstoss derselbe ist, so wird auch die horizontale Vorstellung desselben für die Walmenmauer die nâmliche seyn.
  - Ferner ziehe man mit EH paraïlel, die beiden geraden Linien ab,cd, welche so weit aus ein-ander stehen aïs die am Lattenwerke stehenden Hôlzer dick sind, und den ganzen Bund horizontal vorstellen, wâhraid ef, gh, welche ebenfalls ge-zogen werden, die horizontale Vorstellung des halben Bundes geben. Das Viereck ijkl, um den Punkt A, giebt die horizontale Ansicht von der Giebeïsâuîe. Das Balkenwerk ist ebenfalls mit zu sehen. Bei diesem Verfahren haben wir zwar die in der Praxis angenommenen Grundsâtze befolgt ; allein wir haben von der andern Seite bereits in N.° 93 das Unregelmâssige und die unverkennbaren Fehler gezeigt, welche diese Grundsâtze sowohl am âussern aïs am innern Dache zur Folge haben. Die diesem Exempeï beigefügte Figur A, giebt zu dieser Be-hauptung den Beleg ab; denn die Linie XX', welche der Abhang der iangen Dachseite ist, und die Richtung der Dachrinne zum Kranze genau befolgt, muss, wenn der Sparrenfuss von der Mauer getragen werden soll, durch den Punkt b gehen , so wie auch aus derselben Ursache das Ende des Walmensparrens dessen Neigung xx1 ist, ebenfalls auch durch den Punkt b gehen muss. Da aber der Abhang xx' das Regenwasser auf das Karnies werfen würde, so muss man zur Vermeidung dieses Umstandes einen Schifter anlegen , weïcher von b nach X' gerichtet ist, und nun , weil er sich nicht mehr in der jBichtung von xx befindet, an diesem Abhange bei b eine Kehle ’veranlasst. Die Wir-kung welche diese Kehle für das Auge hervor-bringt, ist stârker aïs die, welche der von einem Sparren und seinem Schifter gebildete Winkel ver-ursacht; denn diese letztern sind schrâg im Verhâlt-niss zur Dachkehle, welche einen wahren flachen Winkel bildet ; auch wird ein soïcher Winkel zwischen zwei, mit einem und jlemselben Kanten-punkte perpendicularen Linien gemessen , und ist grôsser aïs der, den zwei mit dieser Kante schrâg gehende Linien bilden : ehe wir diese horizontale Vorstellung aber vollenden, wollen wir zuvor den Aufriss zeichnen.
  - Aufriss des Binders, Fig. 284 und 285.
  - 175. Man zeichnet zuvorderst die Durchschnitte sowohl der obern Mauertheile an der Iangen Dach-
  - ning that projection accordingly to the particular shelving of the roof at the place to be occupyed by the proposed rafter : the perpendiculars to j g brought through the points e and f shall détermine at the rafter’s foot the shaving g h, which ought to be eut on a decreasing progression till to the solid angle of the opposite extremity.
  - Draught of an End slanting.
  - 174. The disposai of the primitive draught of the horizontal description, said also the plan, Fig. 282 and 283, shall be made as foïlows. On a straight AB, trace the perpendicuïar CD, and take the intersection A for the horizontal projection of the king-post’s axis : carry on each side of it, aïong CD, at / and L, the half length of the clear measured between the waïls : add to them the thickness of the walls at E and H, and after the jutty of the cornice at C and Z). Through ail those points, bring parallels to A B, and carry the lengthes found by the measure-ments from the middle line of the horizontal description of the truss E H, till the exterior edge of each wall, as here from E at F, and from H at G : join F G, which shall be the trace of the outside of the end’s wall. The trace of its inside J K shall be paraïlel to it, and at the same distance as the ones of the other walls, silice ail the walls are supposed with the same thickness. The jutty of the cornice being also like, its horizontal projection [eaves’s dropping] shall be also ïike for the end’s wall.
  - Bring paraïlely to EH the straights ab,cd, distaneed accordingly to the squareness at the lathing surface of the timber to be empïoyed : they shall show the horizontal projection of the truss, and the straights ef, gh, like drawn, the projection of the half-truss : the quadrilater ij k l, surrounding the point A, shows the horizontal projection of the king-post ; the joisting of the floor has been also designed. Ail those details are according to the ones used by the practisers, tho’ we hâve enlightened, n.r 93, that they induce some irreguïarities, and ever true defects either inside, or outside. The Fig. A shall confirai that foregoing observations : indeed, the line XX', the shelving of the side, keeping an exact direction from the eaves at the crown, ought to pass through the point b, in order that the rafter’s foot couïd rely on the wall ; and the foot of the end’s rafter, shown on xx', ought also to pass on the same point b, for the same reason : but the shelving xx' should shed the waters on the cornice, if couïd not be added a broken rafter directed from b to X', which produces into the pouring a wrinkle at b. It is ever to be observed that the sight of such a foïd is more grievous than the one of the angle being between the rafter and its broken lengthen-ing, since both those are oblique to the plan angle being at the wrinkle, whose true measure is between two perpendiculars to the same point of the edge, and greater than the angle formed by two whatever straights oblique to lhat edge. But, before of terminating that projection, we shall draw the vertical one.
  - Vertical Projection of the Truss, Fig. 284 and 285.
  - 175. The sections of the superior parts of the side’s walls and *of the floor being designed ; oh the
  - 3.e Partie.
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- - cher : sur les traces EI, LH de leur dérasement, on figurera les coupes des plates-formes N,N, de la grosseur d’écarrissage des bois qu’iï faudra employer, en faisant attention que leurs surfaces verticales extérieures soient à environ un pouce de distance des faces extérieures des murs; par les traces supérieures desdites plates-formes, on tracera celle de la base du comble a b [la ligne de trave]. Nous devons faire remarquer que les points a et b sont à environ trois pouces du bord des plates-formes, pour réserver cette force de bois en avant des pas recreusés pour recevoir ïe pied des chevrons. Comme, dans cet exemple, les pentes des chevrons forment un angle droit, on a décrit un demi-cercle dont le centre est c, et le rayon c a, l’extrémité X du rayon cX étant de point de projection de la ligne de couronnement : les droites aX et Xb, menées par ce point, seront celles des lattis du comble. La moitié de cette figure, qui est cotée 284, est une coupe prise au milieu de l’épaisseur de la ferme ; elle montre les détails intérieurs des mortaises et les tenons qui les occupent. On y voit que le blochet O contient une entaille d à sa surface inférieure, qui se réunit à la plate-forme, laquelle a elle-même une entaille à sa surface supérieure pour recevoir la partie du bois réservée au blochet entre son bout et son entaille. Ce blochet projette un tenon e, dans la jambe de force M; et, à sa surface supérieure, il a une mortaise f qui reçoit le tenon décollé du pied de l’arbalétrier. Le pied g de la jambe de force M est scellé dans la maçonnerie sans aucun porte-à-faux ; son bout supérieur h est assemblé à tenon et embrèvement sous l’entrait. Le bout supérieur de l’esselier P est assemblé de même par un tenon i, ainsi que l’inférieur j dans la jambe de force. ( Ces sortes d’assemblages, qui ont des coupes très-allongées, sont nommées, par Nicolas Fourneau, embrennement.) L’entrait projette un tenon k dans l’arbalétrier ; mais, pour faciliter au levage sa mise dedans, on amaigrit une des rives de son tenon : 1,1, sont les mortaises pour les tenons des pannes. Le pied du poinçon a un petit tenon m, très-court, à cause de celui du demi-en-trait, qui est très-près ; la contre-fiche est assemblée aux deux bouts avec tenons n, o; et l’arbalétrier a son tenon p, avec épaulement dans ïe poinçon. L’autre moitié de la description verticale, cotée Fig. 285, montre fia face de la ferme qui est du côté de la -croupe.
  - 176. La Fig. 286 contient le profil de la demi-ferme , dessinée conformément au biais du plan : les pièces sont disposées comme celles des Fig. 284 et 286} et marquées des mêmes caractères littéraux. Nous observons que ce n’est que dans le cas où la régularité serait exigée à la surface du lambrissage, qu’il faut refaire les bois et faire les assemblages selon le biais : hors cette condition, on se contentera de délarder seulement la face du lattis; les autres faces, étant conservées selon la régularité de leur ecarrissage, seront assemblées, comme dans les fermes , sur plan rectangulaire.
  - 177. Pour tracer, dans la Fig. 282, les projections des plates-formes, on mènera parallèlement à la droite XB deux lignes dont les origines seront aux rives de la plate-forme N, Fig. 284, jusqu’à la ligne d’arête FA : elles montreront en plan la plateforme du long-pan; et, en opérant d’une manière analogue pour la plate-forme N, dans la Fig. 286, on aura la projection de celle de croupe. Les points a, 1,2, qui montrent les recreusemens des pas sur lesdites plates-formes, Fig. 284 et 286, donneront pareillement, avec ceux de la dimension d’écarris-sage à la surface du lattis, les points pour tracer îes-dits pas sur la surface supérieure des pïatés-formes dans h Fig. 282. En supposant de même des lignes menées parallèlement à XI? par les points q,r,s, t,u, on aura sur EÀ leurs projections q,r,s,t,u, lesquelles serviront à tracer les arêtes de l’about' du blochet, la mortaise pour ïe tenon de l’arbalétrier, et
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  - seite , aïs aueh des Gebâlkes. Man zeichnet ferner auf den Linien El, LH, die Durchschnitte der Mauerlatten N,N, und zwar so dick als das dazu an-zuwendende Holz ; wobei ihre verticaïen àussern Flâchen ohngefahr einen ZoII breit von den àussern Mauerflàchen abstehen müssen ; nach diesen Mauer-lattenlinien zeichnet man die Dachgrundflâchenlinie a b [Stuhïwandlinie]. Die Punkte a und b stehen ohngefàr drei Zoll von dem Rande der Mauerlatten ab, und bezeichnen die Holzstârke, welche vor den zu den Sparrenfüssen bestimmten Einschnitten ge-lassen werden muss. Da die Neigungen der Sparren in diesem Exempel einen rechten Winkel bilden , so ist ein Halbzirkeï beschrieben worden, dessen Mittelpunktc, und der Radius ca ist, indemdasEnde X, des Radii c X, der Projectionspunkt zur Kranz-linie ist : jlie geraden Linien a X und X b, welche durch diesen Punkt gehen, sind die Projectionen der Lattenlinien. Die andere Hâlfte dieser Figur, welche mit 284 bezeichnet ist, stelït einen von der Mitte des Rinders genommenen Durchschnitt vor : wir sehen darin die Zapfenïôcher nebst ihren Zapfen : auch sehen wir an der untern Seite des Stichbaïkens O, einen Einschnitt d, in welchen die Mauerlatte eingesetzt wird; diese letztere hat aber ebenfalls einen Einschnitt, in welchen der zwischen dem Ende und dem Einschnitte des Stichbaïkens geïassene Holztheil eingezapft wird. Dieser Stich-baïken wird vermitteïst eines Zapfens e, in den Strebebug M eingezapft ; an seiner obern Seite be-findet sich ein Zapfenloch f, in welches die Stuhl-sàule auf und eingesetzt wird. Das untere Ende g, des Strebebuges M, ruht fest auf der Mauer ; das obéré Ende h aber ist unter dem Spannriegel eingebunden. Das Jagdband P , ist sowohl mit seinem obéra Ende i, als mit seinem untern j, ebenfalls eingezapft; und zwar dieses letztere in den Strebebug. Nicolaus Fourneau nennt die Zu-sammensetzungen, welche dergleichen Schnitte haben, Embrennement. Der Spannriegel wird ver-mittelst eines Zapfens k, mit der Stuhlsâule ver-bunden ; um aber beim Richtq^ den Einsatz zu erleichtern ; so wird der eine Rand des Zapfens ein wenig abgekantet. 1,1, sind die Zapfenïôcher zu den Fettenzapfen. Am Fusse der Giebelsâuïe be-fmdet sich ein kleiner Zapfen m, welcher aber, wegen des nahe daran an dem halben Spannriegel befindlichen, sehr kurz ist. Die Strebe wird an ihren beiden Enden vermitteïst der Zapfen n, o, eingesetzt, und die Stuhlsâule mit ihrem Zapfen p, in die Giebelsâuïe eingebunden. Die in Fig. 285 enthaltenezweiteHalfte des Aufrisses zeigt die Bund-seite am Waïmen.
  - 176. Der in Fig. 286 enthaîtene haïbe Bund ist im Profil nach Maasgabe des schragen Planes ge-zeichnet. Die Holzer sind wie die in Fig. 284 und i’ô’^angeordnet und mit den nâmlichen Buchstaben bezeichnet. Müsste die Seite an der Yerschalung regulâr seyn , so müssten die Holzer von neuem ge-schnitten, und die Zusammensetzungen dem schrâ-gen Plane gemâss geschehen : im entgegengesetzten Falle ist es schon genug, wenn bloss die Seite am Lattenwerke abgeholzt wird ; die übrigen Seiten, welche in ihrer regulâren Gestalt bleiben, werden wie bei dem Bundwerke, welches auf rechtwinke-liger Flâche steht, eingesetzt.
  - 177. Um in Fig. 282 die Linien zu den Mauerlatten zu zeichnen, zieht man paraïïel mit der geraden Linie XB, bis zu der Kantenlinie FA, zwei Linien, welche von den Rândern der Mauerlatte N, Fig. 284 ausgehen, und die Mauerlatte an der ïangen Dachseite im Grundrisse anzeigen. Verfâhrt man auf àhnliche Weise bei der Mauerlatte N, Fig. 286, so erhaït man die Linie zur Walmen-mauerlatte. Die Punkte a, 1, 2, welche die Einschnitte an den Mauerlatten, Fig. 284 und 286 anzeigen , geben gïeichergestalt mit denen , welche den Umfang anzeigen, die Punkte, wonach die ge-dachten Einschnitte auf der obern Seite der Mauerlatten Fig. 282 gezeichnet werden. Nimmt man ferner an , dass Linien paraïïel mit XB, durch die Punkte q, r, s, t, u, gezogen worden sind, so er-hâlt man auf EA ihre Projectionen q, r, s, t, u, nach denen die Kanten an den Sticlibalkenenden, das
  - traces El, LH, of their Ievelness, shaïl bc drawn the cuts of the wall-pïates N,N, accordingly to the squareness of the timbers to be empïoyed, and on such a manner that their vertical exterior faces may mislead an inch from the exterior faces of the walls; along the superior traces of that wall-pïates, trace the base-line of the roof [the trave-line]. Wehavc fixed the points a and b about three inches distant from the exterior edges of the wall-pïates, in order to reserve to the timbers a sufficient strength aforc the grooved pace to receive the rafters’s fect. The sheïvings of the rafterings being right anglcd in that example, an half circle bas been traced from tlie center c with ray c a, the extremity X of the vertical radius c X being the projection of the crowii-line : the straights aX and bX, drawn tbroughsuch apoint,shaII be the lathing-fines. The Iialf part of that figure, numbered 284, is a section madeon the middle thickness of the truss, showing the in-terior details of the mortises, and tenons occupying them. It is seen there that the hammer-hcam ü has a notch d at the inferior face joining the wafl-plate, which is also notched at its superior side, to receive the reserved part between the hammer’s end and notch. That hammer is framed with tenon e, into the strengthening-piece M, and upper-mortised at f, to receive the unnecked tenon of the principal rafter. The foot g of the strengthening-piece M is sealed into the masonry without any false-prop ; and its upper-end h, framed under the coiïar with tusked or bevel-shouldered tenon. The upper-end of tlie brace P is like framed with tenon i, as wcllasthe inferior one j into the strengthening-piece. (Such framings, with very iengthened cuts, are toidtusk or bevel-shoulder by Nie. Fourneau.) The coffar is framed into the principal rafter with thinned or unnecked tenon k, in order to facilitate the layingof the timbers; 1,1, are the mortises to receive the tenons of the purïins. The foot of the king-post has a smallest tenon m, according to the nearest oneof the half-colïar ; the counter-fastening is framed at both own ends with tenons n,o; and the principal rafter is like so into the king-post with shouldcred tenon p. The other part of that vertical description, quoted Fig. 285, shows the side of that truss facing to the end.
  - 176. The Fig. 286 shows the half-truss, de-signed accordingly to the slanting of the basis : tlie disposai of the timbers is like to the one of tlie Fig. 284 and 285, noted also with the same respective letters. We shaïl observe that the timbers ouglit not to be pïained or shaved, and framed according to the slanting, but when the regularity is required at the ceiling face of the roof as well asat the latliing one : otherwise, they shave [unlard] only tlie lathing face, let the other sides on the squareness of the timbers, and frame as the roofs on a right-angled basis.
  - 177. For tracing on the Fig. 282 the projections of the wall-pïates, bring parallely to XB two straights from the exterior edges of the wall-platcsN, Fig. 284, till to the edge-line FA : they shall show on the plan the sicle’s wall-pïate ; and, by proceeding on the same manner with the wall-pïate N on tlie Fig. 286, you shaïl hâve the projection of the end s wall-pïate. The points a, 1,2, showing the grooved paces into the wall-pïates, Fig. 284 and 286, sMI like give, with the ones of the squareness- at tiic lathing-face, the points for tracing those pacesonthe superior face of the wall-pïates in the Fig. 282, By like supposing parallels to XB tbrough tlie points q,r, s, t, u, you shall hâve on EA the projections of them q,r,s,t,u, which shall be used for tracing the edges of the but-end of the hammer-beam, the mortise for the rafter’s tenon, and the tenon for the mortise of the strengthening-piece.
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- - le tenon pour la mortaise de la jambe de force. Le blochet, sur ia ligne B A, sera de même tracé en employant respectivement les points q, r, s, t, u, de fa Fig. 286. La Fig. 291 sera de même employée pour fe blochet d’arêtier sur fa figne FA ; cette même Fig. 282 montre aussi les lignes xx1, y y, données par les points x et y de la Fig. 284.
  - 178. L autre moitié de fa description horizontale, Fig. 283, contient les projections de f’arbalé-trier, des pannes et des empanons de long-pan, fe tout taillé et assembfé comme aux pavillons carrés, excepté les empanons de fa croupe, qui, dans cet exempfe, sont délardés (n.° 173). On voit que des parallèles à XB, menées par les points s,r, de fa Fig. 283, ont donné en plan fes fignes d’about r' r", et r" r, ainsi que fes fignes de gorge s's", s" s. Les fignes d’about montrent f’angfe îinéaire de fa base du comble* et c’est après avoir tracé cet angle, que se fait le tracé particulier de l’arêtier.
  - Trait d!un Arêtier dévot/é.
  - Problème. Tracer fes coupes d’un arêtier dévoyé, quelles que soient ses dimensions, sa pente, celles des deux versans, f’angfe linéaire de la base, et fa déviation arbitraire qu’on veut fui donner.
  - Observations. 1.® Les quatre données arbitraires de fa pente de fong-pan, de celle de fa croupe, de fa déviation de f arêtier et de sa pente, sont tellement fiées, que trois de ces conditions entraînent fa quatrième, et même que deux suffiraient pour fes quatre, si fa pente de f arêtier n’était pas une des deux.
  - 2. ® Le tracé fondamental nayant besoin que de la dimension d’arêtier qui paraît à fa surface du lattis ou à celle du lambrissage, l’addition qu’on fait de f’autre dimension dans fes dessins est un véritable hors-d’œuvre.
  - 3. ° Ce problème, contenant fes données d’un pentaèdre formé de deux tétraèdres contigus, ne peut avoir qu’une seule solution, bien qu’if renferme, dans sa généralité, fe cas où f’angfe de fa base du comble serait droit : c’est donc à tort que fes praticiens croient avoir plusieurs solutions pour fe comble biais, indépendamment de celle du comble droit. Elles ne peuvent différer les unes des autres que par l’objet particulier qu’on veut découvrir fe premier, pour en tirer tous les autres, et que fes circonstances pourraient quelquefois rendre plus intéressant, en fournissant, par hasard, une donnée de plus que celles de l’énoncé ci-dessus; mais on doit être bien convaincu quelles ne peuvent être que plusieurs méthodes d’arriver à fa même solution, dont chacune conduit également à toutes les autres.
  - SOLUTION. Parmi toutes fes coupes que bon pourrait supposer faites à la pièce de bois destinée à former umarêtier, et dont chacune aurait nécessairement une figure déterminée et différente, on s’arrête aux trois principales, qui sont l’horizontale, fa verticale, et celle qui est perpendiculaire à fa dimension longitudinale de fa pièce.
  - 179. l.° Coupe horizontale, Fig. 287. — Soit B A Cl angle linéaire de fa base du comble, donné par fes lignes d’about des descriptions tant hori-zontafe que verticale; AD, la projection horizontale de l’arête, d’après le degré de déviation de l’arêtier ; et DA E, la pente qui résulte, pour l’arêtier, tant de sa déviation que des pentes respectives des deux versans. Élevez à la ligne d’arête AD la perpendiculaire A F, égale à fa dimension d’épaisseur de l’arêtier; menez au côté AB de fa base fa droite
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  - Zapfen loch zu dem Stuhlsâulenzapfen, so wie der Zapfen zu dem Zapfenloche des Strebebuges ge-zeichnet werden. Vermittelst der respectiven Punkte q, r, s, t, u, Fig. 286, wird der Stichbaïken auf der Linie B A gezeichnet. Der am Gradsparren befind-liche Stichbaïken auf der Linie F A aber wird nach der Fig. 291 entworfen. Die Fig. 282 zeigt ausser-dem noch die Linien x x', y y', wefche sich aus den Punkten x und y, Fig. 284 ergeben.
  - 178. Die zweite Halfte des Grundrisses, Fig. 283, enthâlt die Ansichten der Stuhïsâule so wie der Fetten und Schiftsparren an der ïangen Dachseite. Diese sâmmtlichen Hôlzer sind ganz so geschnitten und zusammengesetzt wie bëi den viereckigen Pavillons. Die Wafmenschiftsparren machen hiervon allein eine Ausnahme, indem dieselben abgekantet sind (N.° 173).Wir sehen, dass sich aus den mit XB paralleï faufenden Linien, weïche durch die Punkte s, r, Fig. 283, gezogen worden sind, die Endlinien r r", und r" r, so wie die Kehlïinien s* s", s" s ergeben haben Die Endlinien, wefche den geometrischen Winkef der Dachgrundflâche darsteïfen, haben zur besondern Zeichnung des Gradsparrens gedient.
  - Zeichnung eines gewendeten Gradsparrens.
  - Problem. Die Schnitte zu einem gewendeten Gradsparren zu zeichnen, dessen Dimensionen und Neigung, so wie ferner die Neigung der beiden Dachabhânge, der geometrische Winkef der Grund-flâche und die beliebige Richtung weïche er erhalten soif, môgen übrigens seyn weïche sie wollen ?
  - Bemerkungen. l.° Die vier beliebigen Aufgaben für die Neigung der ïangen Dachseite und der des Wafmens, so wie für die Richtung des Gradsparrens und seiner Neigung, sind dergestaft mit ein-anderverknüpft, dassdrei von ihren Erfordernissen dass vierte entbehrfich machen, und dass selbst zwei zu allen vier Aufgaben hinreichend wâren , wenn die Neigung des Gradsparrens nicht eins von diesen zwei Erfordernissen ausmachte.
  - 2. ° In der Hauptzeichnung ist bfoss diejenige Dimension des Gradsparrens nôthig, weïche am Lattenwerke oder an der Verschalung steht ; es ist folglich unnütze Arbeit, wenn man die andere Dimension zugleich mit zeichnet.
  - 3. " Für dieses Problem , wefches die Aufgaben eines aus zwei Tetraëdern gebifdeten Pentaëders enthâlt, kann bloss eine einzige Auflôsung Statt finden , ob es schon im aïlgemeinen den Fall in sich begreift, in weïchem die Dachgrundflâche einen rechten Winkeï bildet. Diejenigen haben daher Un-recht, weïche gïauben, dass ohne die Auflôsung des geraden Daches mit zu rechnen, es mehrere Auflôsungen für das schrâge Dach giebt. Das Eigen-thümliche wodurch sie sich von einander unter-scheiden lassen , kann bloss in dem besondern Gegenstande fiegen, den man zuerst auffïnden will um die übrigen aile daraus herzuleiten, und welchen die Umstânde bisweilen nôthig machen kônnen, wenn er zufâlliger Weise ein Auflôsungsmitteï mehr an die Hand giebt aïs die angezeigten. Genau ge-nommen sind es aber weiter nichts als verschiedene Methoden, wefche die namfiche Auflôsung herbei-führen, und von denen die eine die Fofge der an-dern ist.
  - AUFLÔSUNG. Unter den verschiedenen Schnit-ten, weïche ein zu einem Gradsparren bestimmtes Holz erhalten kann, und von denen sich jeder ein-zelne durch eine besondere Gestalt von den übrigen auszeichnen muss, verdienen vorziïglich dreibemerkt zu werden ; nâmlich : der horizontale, der verticale, und der, wefcher mit der der Lange nach gehenden Dimension des Holzes perpendicular ist.
  - 179. l.° Horizontaler Schnitt,¥ig. 287.-—Es sey BAC der geometrische Winkel der Dachgrundflâche, welcher sich aus den Endlinien sowohl des Grund- aïs auch des Aufrisses ergeben hat. A D sey die horizontale Vorstellung der Kante, und zwar nach dem Grade der Richtung, den der Gradsparren erhâlt; DAE sey die Neigung weïche sich für den Gradsparren sowohl aus seiner Richtung aïs auch aus den respectiven Neigungen der beiden Dachabhânge ergiebt. Man richte auf der Kanten-
  - The hammer-bcam shall be drawn Iike on the line B A, h y the means of the points q, r, s, t, u of the Fig. 286. The Fig. 291 shall be Iike used for the edge-wood’s hammer-beam on the straight FA; that Fig. 282 shows also thelines xx ,y y , brought through the points x and y of the Fig. 284.
  - 178. The other half part of the horizontal description, Fig. 283, contains the projection of the principal rafter, purlins and shorted-rafters of the side, ail eut and framed as in square pavilions, except the shorted rafters, which,in that exampïe, arc shaved [unlarded] (n.r 173). It is seen that parallels to XB, brought through the points s,r of the Fig. 283, give on the plan the but-end lines r' r", r" r, and the neck-Iines s's", s" s. Those but-end lines show the linear angle of the roofs basis, which is necessary for the peculiar draught of the hip.
  - Draaght of a deviated Hip.
  - Problem. To draw the cuts of an edge-wood, whatever may be its dimensions, déviation, shel-ving, the declivity of the pourings, and linear angle of the basis.
  - Remarks. l.rst The four arbitrary conditions of the hip’s déviation and the shelving of the side, end or hip, are so connected, that the fourth follows necessarily the three others, and ever two of them suffice when the shelving of the hip does not be the one of them.
  - 2., y The fundamental draught not requiring but the hip’s dimension set at the lathing or ceiling, the other feature of it is a true outwork in a draught.
  - 3., y That problem belonging to a pentaedron compounded with two contiguous tetraedron, it can’t hâve but only one solution, tho’ it may contain, with its generality, ever the case of a right-angled basis; then wrongfulfy the practisers befieve that they hâve, for the slanting roof, many solutions independent from the one of the right-angled basis. Their methods cannot differ from each other but by the particular object to be found forehand, for deducing ail the others from it, when the circum-stances make it more interesting, by adjoining some new condition to the given ones into the foregoing question ; but one ought to be very convicted that they are but diverse methods for finding the same solution, and that each of them drives necessarily to the others.
  - Solution. Between ali the sections abfe to be supposed made into a timber destinated to occupy the edge of a roof, and whose each ought necessarily to hâve a determinated diverse shape, they adopt only the three principal cuts, viz, horizontal, vertical, and perpendicular to the timber’s length.
  - I »
  - 179. l.rst Horizontal eut, Fig. 287. — Let be BAC the linear angle of the roofing basis, formed with the but-end lines of the horizontal description ; A D, the horizontal projection of the edge-Iine re-sulting from the hip’s déviation; and the angle DAE, the declivity resulting, as to the hip, from its déviation and the respective shelvings of the two pourings. Bring to the edge-Iine the perpendicular A F, equal to the thickness of the hip; then F G, paralleï to side A C, and ending at the other side,
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- - FG, parallèle à l’autre côté A C; par l’intersection G, menez GI, perpendiculaire à la ligne d’arête AD ; les deux points G,I, seront les origines des arêtes des délardemens ; en sorte que GM et IN, parallèles a AD, sont ïes projections horizontales des faces verticales de l’arêtier, et que le triangle A GI constitue essentiellement la coupe horizontale de cette pièce de bois, coupe qui se prolonge plus ou moins vers D, suivant ïa largeur de la pièce. D’après la* disposition de ïa figure, le point H de la projection -horizontale, appartenant aussi à ïa projection verticale de l’arêtier, est, dans celle-ci, i’ori-gine de la projection des arêtes de déïardement qu’on mènera par ce point parallèlement à la ligne d’arête A E : mais cette seconde projection n’est pas même -nécessaire pour faire l’application de ce tracé au volume.
  - Sur ïa face du lattis de ïa pièce de bois, tracez une perpendiculaire à la dimension longitudinale [un trait carré], et portez-y, à partir de l’une des arêtes, l une des distances GH ou III : vous aurez ainsi un point de passage de la ligne d’arête qui doit être réservée sur cette face, et que vous tracerez parallèlement aux arêtes. Sur ïes faces verticales, d’un point quelconque d’une arête du lattis, tracez une ligne qui fisse avec cette arête, vers ïe bout supérieur de la pièce, un angle égal à la pente de l’arêtier, et qui soit ainsi parallèle à la coupe horizontale, telle qu’est AD de la figure; et portez-y, à partir du sommet, ïa distance A H, qui vous donnera un point de passage de chacune des lignes de déïardement, que vous y mènerez par ces points parallèlement aux arêtes.
  - II est très-facile de déduire de ce tracé ïa coupe perpendiculaire de la pièce de bois, puisqu’il suffit pour cela de supposer la coupe horizontale relevée jusqu a ce quelle se trouve perpendiculaire à la longueur de l’arêtier. Or, dans ce cas, GI, ou toute autre perpendiculaire à la ligne d’arête, telle que JL, Fig. 288, resterait base du triangle, et en traçant, de l’intersection K, la droite Km, perpendiculaire à ïa pente A E, on aurait ïa hauteur réelle de la nouvelle coupe ; en sorte que, portant Km de K en n, et joignant nL et n/, ïe triangle JnL serait celui de ïa coupe perpendiculaire, dont on réduirait la surface à sa véritable grandeur, en prolongeant indéfiniment L n, menant n o perpendiculaire à A D et égale à l’épaisseur de l’arêtier, et menant ensuite o p parallèle an/,
  - On peut de même en tirer la forme de ïa coupe verticale : car, si, sur ïa projection horizontale d’arête AD, on élève une perpendiculaire ou verticale jusqu’à ïa pente A E, par l’intersection H, ou par celle de toute autre perpendiculaire, telle que le point K de JL, Fig. 289, elle sera la hauteur réelle du triangle qui formerait ïa coupe verticale du comble : en sorte qu’en portant Kr en Kn, et joignant J n et Ln, ïe triangle JnL serait celui de la coupe verticale , dont on réduirait aussi la surface à la grandeur qui appartient proprement à l’arêtier, en prolongeant indéfiniment Ln, faisant no perpendiculaire h. AD et égale à l’épaisseur de ï’arêtier, et menant op parallèle à J n.
  - 180. 2.” Coupe perpendiculaire, Fig. 288. — Pour tracer l’arêtier sur sa coupe perpendiculaire, qui est celle qui se trouve faite le plus ordinairement; dans l’angle de la base B AD, sur la projection horizontale AD de l’arête, menez une perpendiculaire quelconque JL, et, de l’intersection K, une perpendiculaire Km à la ligne de pente A E. Elle pourra se représenter sur ïa pièce de bois., mais pour ïa direction seulement, par un trait
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  - finie AD, die Perpendicuïarlinie AF auf, weïche der Dicke des Gradsparrens gïeich ist ; ziehe neben A B der Basis, die gerade Linie F G, paraïleï mit der andern Seite A C j und fiïhre GI durch den Durehschnitt G, perpendicular mit der Kantenïinie AD; worauf die beidenPunkte G, I, die Anfangs-linien zu den abgekanteten Flâchen seyn werden; so dass G M und IN, weïche mit AD paraïleï sind, die horizontalen Vorstellungen zu den verticalen Flâchen des Gradsparrens sind, und dass ferner der Triangeï AGI nothwendigerweise der horizontale Schnitt dieses Holzes ist, wobei sich dieser Schnitt, zufolge der Holzbreite , mehr oder weniger nach D zu er-streckt. Der Punkt H der horizontalen Projection , welcher der Anordnung der Figur zufolge, auch zur * verticalen Vorstellung des Gradsparrens gehôrt, ist hier der Anfang zu den abgekanteten Seiten, weïche man durch diesen Punkt mit der Kantenïinie A E paraïleï zieht ; diese zweite Projection ist selbst nicht einmaï nothwendig, wenn diese Zeichnung auf den Gegenstand angewendet werden solï.
  - Man ziehe auf der dem Lattenwerke zugekehrten Seite des Holzes, eine mit der der Lange nach gehenden Dimension perpendiculare Linie , auf weïche man, von einer der Kanten aus, den einen der Ab stand e GII oder IH trâgt : man erhâlt da-durch einen Punkt, durch welchen die Kantenïinie geht, weïche auf dieser Seite aufgelassen werden muss, und weïche man mit den Kanten paraïleï zieht. Man ziehe auf den verticalen Flâchen eines beliebigen auf einer Kante am Lattenwerke befind-lichen Punktes eine Linie, weïche mit dieser Kante am obern Ende des Holzes einen der Neigung des Gradsparrens gleichen Winkel biïden, undsoïcher-gestalt mit dem horizontalen Schnitte paraïleï seyn muss, wie es A D in der Figur ist : auf diese Linie trage man aus dem Scheitel die Distanz A H, wo-raus sich die Punkte zu den Linien der abgekanteten Seite ergeben , weïche man durch diese Punkte nach jener Distanz mit den Kanten paraïleï zieht.
  - Aus dieser Zeichnung lâsst sich die des perpen-dicularen Schnittes sehr leicht abïeiten, indem man sich bloss zu denken braucht, dass der horizontale Schnitt sich so hoch erhoben hat, bis er mit der Lânge des Gradsparrens perpendicular geworden ist. Hier bliebe also GI, oder jede andere mit der Kantenïinie perpendiculare Linie, wie z. B. JL, Fig. 288, die Basis desTriangels ; und zôge man aus dem Durchschnitte K, die gerade Linie Km, perpendicular mit dem Abhange AE ; so erhieïte man die wahreHôhe dieses Schnittes ;so dass, wenn man Am von K nach n trüge, und n L und n J zu-sammenzôge , so würde der Triangeï JnL zum Triangeï des perpendicularen Schnittes werden, dessen Flâche man auf seine wahre Grosse dadurch reducirt, dass man Ln unbestimmt verlângert; no, mit AD perpendicular, und der Gradspar-rendicke gïeich macht , und o p mit n J paraïleï zieht.
  - Die Zeichnung des verticalen Schnittes kann ebenfalls daraus abgeleitet werden ; #denn zieht man auf der horizontalen Projection A D, eine Perpendicular- oder Verticalïinie bis zum Abhange AE, durch den Durehschnitt H, oder durch den einer jeden andern Perpendicuïarlinie , wie z. B. der Punkt K von JL, Fig. 289; so wird sie die wahre Hôhe des Triangels seyn, welcher den verticalen Durehschnitt des Daches bildet; so dass, wenn man K y nach Kn trâgt, und J n und Ln zusammen-zieht, der Triangeï JnL der des verticalen Durch-schnittes seyn würde, dessen Flâche man ebenfalls auf die Grosse des Gradsparrens reducirt, wenn man Ln unbestimmt verlângert, no mit A D perpendicular und der Gradsparrendicke gïeich macht, und op mit J n paraïleï zieht.
  - 180. 2.° Perpendicularer Schnitt, Fig. 288. — Die Zeichnung dieses Schnittes, welcher am hâu-figsten angewendet zu werden pflegt, geschieht folgendergestalt. Im Grundfîâchenwinkel B AD , ziehe man auf der horizontalen Kantenprojection AD, eine beliebige Perpendicuïarlinie JL ; und aus dem Durchschnitte K, eine mit der Abhangs-linie A E perpendiculare Linie Km. Sie kann sich zwar auf dem Holze darsteïlen, muss aber der Rich-
  - AB of the basis; at ïast, through the interserlion G, the straight GI, perpendicular to the edge-Iine AD : G and / shall be the origins of the edges of the shavings [unlardings] ; so that the straights GM and IN, parallels to AD, are the horizontal projections of the vertical faces of the hip, and the triangle AGI constitutes essentiaïly the horizontal section of such a timber, which ought to be or more or less amplified with parallelogram addecl towards D, according to the breadth of the timber. Aftcr the disposai of that figure, the point II of the horizontal projection, belonging also to the vertical description, is, in that case, the originofthe projection of the shaving’s edges, which shah be brought through that point, parallely to the edge-Iine AE: but such a second projection does not be necessary for appïying that draught to the timber.
  - On the ïathing face of the timber, trace a perpendicular to the length [a square draught], andcarry on it, from the one of the edges, either GIIoïIII: you shall hâve so a passage-point for the edge-Iine to be reserved on that surface, which shall be traccd here parallely to the latéral edges. On both the vertical faces, from a point whatsoever of the ïathing-edge, trace a straight angled with that edge towards the upper-end of the timber, as does the shelvingof tlic hip, and being so paraïleï to the horizontal section, as AD on the figure; and bring on it, from the top of that angle, the distance AH, which shallgivc a passage-point for each of the shaving-Iines, which shall be traced parallely to the edges through that points.
  - It is very facile to deduct from such a draught the perpendicular section of the timber, sinceit sulfites for it to suppose the horizontal eut set up till to become perpendicular to the hip’s length : but, in such a case, GI, or any other perpendicular to the edge-Iine, as JL, Fig. 288, should remain the basis of the triangle; and, by tracing, through the intersection K, the straight Am, perpendicular to A E, you should hâve the true height of the new eut; so that, by taking ofF tfe distance Am, and carrying it from K at n, and bringing n L and n J, the triangle JnL should be the perpendicular section of the roof, and ought to be reducted at the true greatness belonging to the hip, by Ïengthening in-definiteïy Ln, bringing no perpendicular to A/) and equal to the thickness of the hip, andat lastop paraïleï to nL
  - You can ïike thither deduct the shape of the vertical section : for, if, on the horizontal projection of the edge A D, you raise a perpendicular or vertical till to the sheïving-ïine A E, through the intersection H, or the one of any other perpendicular, as the point K of J L, Fig. 289, it shall be the real height of the triangle forming the vertical eut of the roof : so that by carrying Kr at An, and joining/n and Ln, the triangle JnL shall be the vertical section of the roofing, whose surface ®ught to he reducted at the greatness belonging properly to tlic hip, by ïengthening indefinitely Ln, tracing no perpendicular to AD and equal to the hip’s thici:-ness, and bringing op paraïleï to J n.
  - 180. 2.ly Perpendicular eut, Fig. 288.—For tracing the ecîge-wood on its perpendicular section, which has place most usually ; into the ïinear angle of the basis B AD, on the horizontal projection AD of the edge, bring a perpendicular whatever JL; and, through the intersection A, the perpendicular Am to the sheïving AE. Such a straight can he expressed on the timber, as for the direction,with a square draught turned round topsy-turvy ; and is
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- - carré retourné sur toutes les faces ; et elle exprime par elle-même la hauteur réelle du triangle qui forme Ja coupe perpendiculaire du comble faite sur JL, qui est la sous-tendante de l’angle pian formé par ies deux versans à l’arête de i’arêtier. Portez donc cette hauteur Km de K en n, et joignez /netLn; vous aurez la forme et i'étendue réelles de cette coupe du comble dans le triangle JnL; et si vous prolongez indéfiniment Ln, et que vous meniez no perpendiculaire à AD et égale à l’épaisseur de i’arêtier, puis o p parallèle à J n, vous aurez dans ie triangle nop ia coupe réelle et propre de i’arêtier, indépendante de ïa largeur de la pièce, qui peut y ajouter un parallélogramme plus ou moins étendu.
  - Pour appliquer à îa pièce de bois ce tracé supposé fait ailleurs, iî suffit d’y transporter sur chacune des faces verticaîes ia perpendiculaire pq sur ie trait carré, à partir de chaque arête de ïa face du iattis, comme ia figure ie montre de menq'; de mener longitudinalement par ces deux points les lignes de déïardement, et de porter aussi de i’une de ces arêtes sur la face du iattis qn, ou bien q o, pour avoir un point de passage de la iigne d’arête à réserver sur cette face.
  - Ii est évident que les deux mêmes longueurs q n et qo, portées de part et d’autre de l’intersection K en r et s, donneront de suite ies points de passage des lignes de déïardement qui formeront la coupe horizontale; et qu’on en déduirait de même la coupe verticale, comme nous favons fait du premier procédé.
  - 181. 3.° Coupe verticale, Fig. 289. — Si ïa pièce dont on veut former i’arêtier, avait déjà une section verticale provenant d’un emploi antérieur, on pourrait trouver intéressant d’y faire ie tracé primitif, et voici comment on y parviendrait. Par un point quelconque m de ia ïigne de pente A JB, on mènerait à la projection horizontale de ia ligne d’arête A D, dans ï’angie de la base BAC, une perpendiculaire LmKJ : LJ serait ïa trace horizontale et la sous-tendante d’une section verticale du comble, perpendiculaire au pian verticai qui passerait par barète ; etia portion mK, îa hauteur du triangle qui formerait cette section. Ainsi, en portant Km de K en n, et joignant J n etLn, on aurait cette coupe du comble dans ie triangle JnL, et ï’on déterminerait ïa portion du sommet de ce triangle qui appartient proprement à i’arêtier, en prolongeant Ln, menant n o perpendiculaire à A D et égaie à fépaisseur de ia pièce, puis o p paraîlèie à Jn.
  - Pour appliquer ce tracé au volume, il suffit de porter q n ou q o de l’un des bords sur l’épaisseur de ia pièce : on aura un point de passage d’une iigne qui, menée parallèlement aux faces verticales, déterminera la ligne d’arête sur ïa face du iattis ; et ïa hauteur q p du triangle donnera ies iignes de déiarde-ment, en ia portant sur ies faces verticaîes, à partir de l’arête du lattis, sur une verticaie quelconque.
  - Ii est évident que ce tracé conduit aussi aux deux autres : en effet, il suffit de porter qn et qo de part et d’autre de ïa ligne d’arête AD, et de mener à ces deux distances ies parallèles GM, IN, pour avoir la coupe horizontale ; et, pour avoir ïa perpendiculaire aji, il suffit de mener deux perpendiculaires à i’arêtier bf, ce, espacées entre elles suivant l’épaisseur de îa pièce, et de porter sur ji, en k, l’une des distances qn ou qo, et de joindre aj et ai.
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  - tung wegen, durch einen rechtwinkeligen Zug auf alie Seiten umgeiegt werden, und zeigt die wahre Hôhe des Triangels an, weicher den von JL ge-machten perpendicularen Durchschnitt des Daches biidet. Diese Linie JL ist die Sehne zum fiachen Winkeï, dendiebeiden Dachabhànge an derGrad-sparrenkante biïden. Trâgt man nun diese Hôhe Km, von K nach n, und zieht Jn und Ln zusammen , so erhâlt man in dem Triangei JnL, die wahre Ge-stait und Grosse dieses Dachdurchschnittes. Und wenn man ferner Ln unbestimmt veriângert, und n o mit A D perpendicuiar und der Gradsparren-dicke gïeich macht, und op mit Jn paralleï zieht, so erhâlt man in dem Triangei nop den wahren und eigentiichen Schnitt des Gradsparrens, ohne Bezug auf die Hoïzbreite, durch weïche noch ein mehr oder minder grosses Paraïlelogramm hinzu-kommen kann.
  - Soi! diese Zeichnung, von weicher angenominen wird aïs ob sie bereits an einem andern Orte ausge-führt wqrden sei, auf das fragiiche Hoiz angewendet werden ; so braucht man bloss auf jede verticale Fiâche die Perpendicuiariinie pq zu tragen, wobei man von jeder an der Lattenseite stehenden Kante ausgeht, wie soiches aus der Figur bei der Richtung von m nach q' zusehen ist; ferner zieht man, der Lange nach, durch diese zwei Punkte, die Linien der abgekanteten Seiten, und trâgtendlich q n, oder q o, von der einen Kante auf die Lattenseite ; wodurch man einen Punkt erhâlt, durch weichen die Kanten-iinie geht, welche auf dieser Seite aufgeiassen wird.
  - Es îeidet keinen Zweifel, dass die beiden Lân-gen qn und qo , welche zu beiden Seiten des Durchschnittes K, nach r und s getragen worden, die Durchgangspunkte zu den Linien der abgekanteten Seiten geben werden , aus denen sich der horizontale Schnitt ergiebt ; und dass man vermit-teist der ersten Verfahrungsweise ebenfalls auch daraus den verticalen Schnitt erhaïten würde.
  - 181. 3.° Verticahr Schnitt, Fig. 289. — Be-fânde sich an dem zum Gradsparren hestimmten Hoize bereits schon ein verticaier Schnitt, weïcher von einem vorherigen Gebrauch herrührte , so kônnte man vieiieicht zu wissen wünschen, wie man sich zu benehmen hat, um die fragiiche Zeichnung darauf auszuführen. Dies geschieht foigendergestaït : Man zieht durch einen beîiebigen auf der Abhangs-iinie A E befindiichen Punkt m, eine Perpendicu-iarlinie LmKJ, in die horizontale Projection der Kanteniinie A D, im Grundflâchenwinkei BAC ; so dass LJ die horizontale Vorsteiiung und Sehne eines verticalen Dachdurchschnitts seyn wird, weicher mit dem verticalen durch die Kante gehen-den Plane perpendicuiar ist ; und der Theii m K, wird der Scheitel des Triangels seyn , weicher diese Section biidet. Trâgt man aiso Km von K nach n, und vereinigt J n mit L n, so erhâlt man diesen Dachdurchschnitt in dem Triangei JnL, an wel-chem man denjenigen Hôhentheii, weicher zum Gradsparren gehôrt, dadurch festsetzt, dass man Ln veriângert, no, mit AD perpendicuiar und der Dicke des Hoizes gïeich macht, und op mit Jn paraîlel zieht.
  - SoII diese Zeichnung auf das Hoiz angewendet werden, so braucht man bloss qn oder qo von einer der Randseiten auf die Dicke des Hoizes zu tragen, wodurch man einen Durchgangspunkt zu einer Linie erhâlt, woraus sich, wenn sie mit den verticalen Flâchenparaîlelgezogen wird, die Kantenîinie an der Lattenseite ergiebt. Die Triangeihôhe qp giebt die Linie zu den abgekanteten Seiten, wenn man dieseïbe auf den verticalen Flâchen von der Lattenkante aus auf eine beiiebige Verticallinie trâgt.
  - Man sieht ieicht ein, dass sich diese Zeichnung auch auf die beiden andern Schnitte anwenden iâsst ; denn um den horizontaien Schnitt zu er-haiten, braucht mann bloss qn und qo auf jeder Seite der Kantenîinie A D zu ziehen, und die Pa-ralieiinien GM, IN nach diesen Abstânden zu führen. Um den perpendicularen Schnitt aji aber zu erhaïten , so zieht man zwei mit dem Gradsparren perpendicuiar iaufende Linien bf, ce, welche so weit von einander abstehen ais das Hoiz dick ist,
  - itseïf the reaï height of the triangle forming the perpendicuiar section made into the roof aïong JL, the subtense of the pian angie formed between the pourings at the hip’s edge. Then carry that height Km, from Katn, and join Jn and L n ; y ou shaïi hâve the reaï shape and greatness of such a section of the roof into the triangle JnL. Then ïengthen indefiniteiy L n, trace n o perpendicuiar to AD and equai to the hip’s thickness, and bring o p paraîlel to J n, you shaïi hâve into the triangle nop the real eut properiy beïonging to the hip, in-dependentiy from its pecuiiar breadth, which can add to that triangle a more or iess great paralielo-gram.
  - For appiying to the timber such a draught traced eisewhere, it suffices to carry on each of the vertical faces the perpendicuiar pq on the square draught from the iathing-edge, as shows it the figure from m at q'; to trace iongitudinally the shaving-Iines through those points, and to carry like <yi the iathing-face from the one of the edges, either qn or qo, for having so a passage-point for the edge-Iine to be reserved on that face.
  - It is évident that the two same ïengthes q n and q o, brought on both sides of the intersection K, at r and s, shaïi give immediateiy the passage-points of the chamfering fines which shaïi form the horizontal section ; and that from thence one couid de-duce aïike the vertical section, as we hâve done from the first proceeding.
  - 181. 3.,y Vertical Cut, Fig. 289. — If the timber had aïready a vertical section resulting from an anterior employment, they shouid find usefulness to do on it the primitive tracing, as it foliows. Through any point whatsoever m of the shelving-line A E, bring into the angle of the hasis BAC a perpendicuiar LmKJ to the horizontal projection of the edge AD: LJ shaïi be the horizontal trace and subtense of a vertical section of the roof, perpendicuiar to the vertical plan passing aiong the edge; and the part mK, the height of the triangle forming such a section. Then, by taking off Km, and carrying it from K at n, and joining Jn and Ln, you shaïi hâve, into the triangle JnL, that vertical cut of the roof, and détermine the upper part of that triangle beïonging properiy to the hip, by iengthening Ln,bringing no perpendicuiar to A D and equai to the hip’s thickness, at Jast o p paraîlel to J n.
  - As for appiying that draught to the timber, it suffices to carry or q n either q o from the one of the Iathing-edges on the timber’s thickness : it shaïi give a passage-point for the edge-Iine to be brought on the lathing face parallely to the vertical faces; the height qp of the triangle shaïi give the shaving fines by carrying it into the vertical faces, from the lathing edge, on a vertical whatsoever straight.
  - It is no iess évident that such a draught drives aiso reciprocaiiy to the others : indeed, it suffices to carry qn and qo respective on each side of the edge -fine AD, and bring at those distances the paralleis GM, IN, for performing the horizontal cut; and the perpendicuiar cut aji shouid be performed by drawing to the hip two perpendicuiar straights b f, c e, distanced from each other accord-ingly to the timber’s thickness ; carrying on j ï, at k, either q n or q o, and joining a j and a I.
  - 3.‘ Partie.
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- - 183. Les Fig. 287 bis, 288 bis et 289 bis, présentent l'application des mêmes méthodes sur un arêtier destiné à occuper un angle aigu : on y reconnaîtra facilement les mêmes tracés, puisque les mêmes objets y sont cotés des mêmes caractères littéraux. Dans les Fig. 290 et 290 bis, on voit les trois procédés réunis sur une même pièce de bois, soit pour l’angle aigu, soit pour l’angle obtus, et aboutissant tous au même résultat. On peut ainsi se convaincre parfaitement que le tracé d’un arêtier biais ne diffère en rien de celui d’un arêtier droit, et que le mystère que chaque praticien semble attacher à la méthode qu’iï a adoptée, sous des noms presque insignifians (tracé sur le irait, par les quatre arêtes, par déliassés, &c.J, ne peut être que l’effet de l’ignorance ou du charlatanisme.
  - 183. Les deux arêtiers d’une croupe biaise, étant de longueur et de forme différentes, sont désignés par des noms particuliers : on appelle petit arêtier celui qui coupe f’angfe obtus, et dont on voit la projection horizontale en r A , Fig. 282 ; celui de la Fig. 283, qui est pfacé à l’angle aigu du bâtiment, se nomme grand arêtier. En procédant comme à l’article du pavillon droit, nous avons placé au-dessus de ces projections horizontales leurs profils ou élévations, Fig. 294 et 292, dessinés à la manière des praticiens; c’est-à-dire qu’ils contiennent les projections verticales, non-seuïement de la coupe ou section faite verticalement par fa ligne d’arête, et montrant toutes les pièces qui composent fes demi-fermes d’arêtiers, avec fes détails de mortaises et de tenons qui en forment î’assembfage, mais encore ceffes des faces verticales de ces demi-fermes et des faces obfiques qui résuîtent des défardemens : on y ajouterait de même ceffes des faces et arête du recreusement, si cette façon avait fieu dans î’exempfe proposé. Au reste, fes pièces qui composent ces demi-fermes, sont combinées comme ceffes des fermes complètes; et, dans chacune, nous avons appfiqué fes mêmes caractères fittéraux aux mêmes objets : ce que nous avons précédemment expfiqué pour tracer fes arêtiers sur base rectangufaire, suffit pour opérer fe tracé de ceux-ci, quoique de dimensions différentes entre eux.
  - 184. La Fig. 293 montre fe dévefoppement [fa herse] de fa croupe, qui est un triangfe scafène; mais fes deux portions des versans de long-pan qui s’y réunissent, présentent chacune un triangfe rec-tangfe. Cette figure étant pfacée ici comme application pratique de ce qui est démontré dans fa seconde section de cette troisième partie, nous nous contenterons d’y renvoyer, pour fairè voir que cette , description d’extension peut servir au tracé de toutes fes pièces d’un paviffon biais, aussi bien qu’à celui du paviffon droit.
  - Trait d'une Ferme oblique pour un Pavillon biais.
  - Lorsque fa disposition des baies, ou quelque autre circonstance îocaîe, empêche d’établir fes fermes de fa couverture perpendieufairement aux murs de fong-pan sur un paviffon biais, if est de nécessité d’y substituer des fermes obfiques, qui sont l’objet particulier que fes praticiens veufent désigner par le nom de pavillon biais. Dans ce cas, if est d’usage d’étabfir fes fermes paraffèfement au mur de croupe, conformément à cefui qui est aussi généralement adopté pour fes autres cas, de faire fa demi-ferme de croupe paraffèfe aux murs de fong-pan, et que nous avons précédemment expliquée sous fe titre de croupe biaise. Afors, toutes fes fermes et demi-fermes étant obfiques aux murs qui fes supportent, on est obligé de déïarder toutes fes pièces de bois de fa couverture qui ne sont pas dans une disposition horizontale, quand fa surface au lambrissage doit être apparente.
  - Cette disposition oblique entraîne pîus de longueur dans presque toutes les pièces de bois qui
  - ( no )
  - und trâgt auf jï nach k, die eine der Distanzen qn oder qo, und zieht endlich a j und aï zusammen.
  - 182. Die Fig. 287 bis, 288 bis, und 289 bis, zeigen , wie die nâmfichen Methoden auf einen Gradsparren angewendet werden , wefeher seinen Pfatz an einem spitzen Winkel erhaften soif. Da zu den nâmfichen Gegenstânden einerfei Buchstaben angewendet worden sind, so lassen sich die Zeich-nungen feicht erkennen. In Fig. 290 und 290 bis, sind auf dem nâmfichen Holze aile drei Yerfahrungs-arten, wefche sâmmtfich zu dem nâmlichen Resuf-tate führen , sowohl fur den spitzen aïs auch fur den stumpfen Winkel ausgefürt worden. Man sieht afso deutfich hieraus , das zwischen der Zeichnung eines schrâgen und der eines geraden Ecksparrens auch nicht der mindeste Unterschied Statt findet, und dass, wenn einige mit ihren Methoden, denen sie oft nichts bedeutende Benennungen beifegen, geheimnissvoff thun , so geschieht es entweder aus Èinfaft oder aus Grossprecherei.
  - 183. Da die beiden an einem schrâgen Waïmen stehenden Gradsparren der Lânge und Gestaft nach von einander unterschieden sind, so nennt man kleinen Gradsparren denjenigen, wefeher am stumpfen Winkeî steht. Die horizontale Vorstef-fung dessefben ist bei rA, Fig. 282 zu sehen ; grosser Gradsparren , Fig. 283, heisst hingegen derjenige, welcher den spitzen Winkeî des Gebâudes einnimmt. Wir haben übrigens, wie bei den geraden Pavillons , die Profile und Aufrisse Fig. 294 und 292 über die horizontafen Vorsteilungen gesetzt, und haben sie, wie es gewôhnfich zu geschehen pflegt, dergestalt gezeichnet, dass sie nicht nur den von der Kantenïinie genommenen Durchschnitt, nebst aïlen zu den haïben Gradsparrenbündengehô-rigen Hôfzern, Zapfen und Zapfenfôchern, son-dern auch die verticalen Ffâchen dieser haïben Bünde, so wie die schrâgen abgekanteten Seiten zeigen. Die Seiten an den Einschnitten wiïrden ebenfaffs mit angegeben seyn, wenn es in dem auf-gegebenen Exempef nôthig wâre. DieHôlzer, aus denen diese haïben Bünde bestehen, sind übrigens eben so zusammengesetzt, wie bei den ganzen Bün-den ; auch sind bei jedem Holze die betreffenden Gegenstânde mit den nâmfichen Buchstaben be-zeichnet worden. Die Erklârung, welche wir über die auf rechtwinkelig|f Grundflâche stehenden Gradsparren gegeben haben, iâsst sich auch auf die jetzt beschriebenen anwenden, ohnerachet sie der Dimension nach von einander unterschieden sind.
  - 184. Die Fig. 293 enthâît die ausführfiche Zeichnung des Waïmens, welcher einen ungleich-seitigen Triangef biïdet, wâhrend jede der beiden daran anstossenden Dachseiten ein rechtwinkeïiges Dreieck beschreibt. Da diese Figur die Anwendung der im zweiten Abschnitte aufgestefïten Grundsâtze enthâît, so verweisen wir den Leser dahin , um ihm zu zeigen, dass nach dieser Zeichnung aile zu einem schrâgen sowohl aïs zu einem geraden Pavillon ge-hôrigen Ilôlzer gezeichnet werden kônnen.
  - Zeichnung eines zu einem schrâgen Pavillon bestimmten schrâgen Binders.
  - Kônnen auf einem sofehen Pavillon die Binder wegen der Dachôffnungen, oder anderer localer Umstânde wegen nicht perpendieufar mit den Mau-ern der fangen Dachseite angefegt werden, so müs-sen schrâge Binder angewendet werden, welche bei den sogenannten schràgèn Pavillons ein wesent-fiches Erforderniss ausmachen. Man pflegt diesfaffs die Binder paraflef mit der Wafmenmauer, und auf die nâmfiche Weise anzulegen, wie in denjenigen Fâïfen, wo der hafbe Wafmenbund mit den Mauern der fangen Dachseite paralfef gemacht wird, was wir weiter oben, bei dem schrâgen Walmcn erkfârt haben. Und da àfsdann aile ganze und hafbe Bünde mit den Mauern, von denen sie getragen werden, schrâg gehen, so miissen aile diejenigen Dach-hôfzer, welche sich in keiner horizontafen Richtung befinden, und deren Seiten an derVerschafungzum Vorschein kommen soffen, abgehofzt werden.
  - Diese schrâge Anordnung ist die Ursache warum die Bearbeitung der zu einem sofehen Dachstuhfe
  - 182. The Fig. 287 bis, 288 bis and 289 lis, show the application of the same methods to an edge-wood destinated to occupy an acute angle : the same draughts shalf be easily known again there, since the same objects are quoted with the same fetters. The Fig. 290 and 29Q bis show the three me-thods united on one timber, either for obtuse or sharp angle, and ail ending on the same resuit. One so ought to be very convicted that the draught of a sfanting hip differs by no means from the one of a right-angfed roofing, and that the mystery alfixed by each of the practisers to his own rnanner, with some nearfy senseless names (draught on a draught, on the four edges, by stilts, éfc.J, cannot be but the effect of ignorance or quackery.
  - 183. The two edge-woods ofaslantingend, differ-ing from each other, either in length, or in form, are distinguished by peeufiar names : the one which occupies the buildings obtuse angle, projected hori-zontally on r A, Fig. 282, is caïl’d small hip; and the other, to be ïain on the sharp angle, is named great hip, Fig. 283. On the same rnanner as for the right-angfed pavilion, we hâve put over thosc horizontal projections their profiles drawn as the practisers do; viz, containing the vertical projections, not only of the eut or section made verticafly afong the edge-ïine, with ail the timbers performing the haff-trusses of the bips, and the details of mor-tises and tenons for the framing of them, but afso the ones of the vertical faces of those trusses, and the oblique faces resulting from the shavings : the ones of the edge and faces of the grooving shoukl be added also, if the bips could be grooved in that example. Besides 'the timbers composing such half-trusses are combinated as the ones of a complété truss, and the same Ietters hâve been applyed On the same objects in each of them : the explication of the bips draught, made before for the roofs on a right-angfed basis, suffices for tracing the ones of a slanting roof, though they may differ from each other as to the length.
  - 184. The Fig. 293 shows the unfolding [Iedgc-ment] of the end in a scalene triangle ; but the both parts of the side’s pourings reunited with, are right-angfed triangles. That figure being ïain here as a practical application of the principles explained in the second section of that third part, it suffices to send back there, for showing that such an extcnt’s description can be used for tracing ali the timbers of a slanting pavilion, as welï as the ones ofanother.
  - Draught of an oblique Truss for a slopc Pavilion.
  - When the compartment of the bays, or another local circumstance, refuses the roofing trusses to be established perpendicularly to the side’s walls over a slope pavilion, it needs to substitute to them oblique trusses, which are the peculiar thing callecl by the practisers slope pavilion. Then it is usual to dispose the trusses parallely to the end’s wall, as it is generally adopted for the other cases, viz, to lay the end’s half-truss parallel to the side’s walls, which had been explained with the name slope end. AU the trusses and half-trusses being in such a rnanner oblique to the bearing walls, one ought to shave [unlard] ail the timbers not ïain horizontally, if the ceiling faces are to be seen.
  - Such an oblique disposai requires a grcatcr •fengthness for afmost ail the timbers which com-
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- - doivent entrer dans la composition d'une charpente; elle exige, en outre, dans toutes les pièces qui doivent subir le délardement, une dimension d ecar-rissage plus forte et un travail assez considérable pour l’execution de ces délardemens : ainsi, hors les cas de nécessité absolue, le praticien prudent doit éviter ce mode de construction, d’où résulterait, pour le propriétaire, un excès de dépense sans aucune utilité réelle.* -
  - 185. L’espacement, l’épaisseur et fangle des murs étant connus, soit par les cotes des plans, soit au moyen du mesurage fait sur ïes murs eux-mêmés, on les emploiera pour tracer l’ételon, en commençant parla description horizontale, Fig. 294 et 295. Cette description fait voir que la base du comble de cet exemple est un parallélogramme non rectangle, et que le mur, sous l’égout de la croupe, forme un angle aigu avec l’un des murs de long-pan qui y aboutissent, et un angle obtus avec l’autre. Pour parvenir au tracé de ces fermes obliques, on trace d’abord deux fermes auxiliaires, l’une perpendiculaire aux murs de long-pan, et dont la coupe milieu aurait pour trace ou projection horizontale la perpendiculaire 2 Q, Fig. 294 et 294 bis ; et l’autre, perpendiculaire au mur de croupe, ayant pour trace horizontale de sa coupe milieu la perpendiculaire 4 Q, mêmes figures.
  - 186. La Fig. 296 est une projection verticale faite sur la trace 2 Q [chevron carré de long-pan], montrant les combinaisons et assemblages des bois qui composent la première de ces fermes auxiliaires, que nous regarderons comme profil primitif de cet exemple, et que l’on tracera comme il a été précédemment expliqué pour toutes les fermes qui sont perpendiculaires à la direction des murs qui les supportent. Mais on doit remarquer avec soin que les droites no,pq, y sont tracées normales ou perpendiculaires à la pente qu’aurait réellement ce chevron carré de long-pan, et qui est la pente réelle du long-pan de la couverture. Ce sont les hauteurs Zo et Zq, prises sous le couronnement, qu’il faudra reporter sur les axes des figures suivantes, pour y diriger les lignes no,pq, qui, dans ïes autres figures, ne sont point perpendiculaires au chevronage, et qu’on appelle improprement devers de pannes, puisqu’elles ne représentent point la pente d’une des faces de la panne : dans ïes représentations verticales des fermes obliques, ces lignes no, p q, sont des traces de l’une des faces des pannes sur un plan vertical parallèle aux fermes obliques ; et nous les nommerons trace du plan normal.
  - Des divers points remarquables de la Fig. 296, on mènera parallèlement à l’axe du poinçon ZQ, sur la Fig. 294 bis, des droites jusqu’à la ligne d’arête du petit arêtier cQ : les lignes ce, dd, donneront les points c pour l’about et d pour la gorge des pas des chevrons et des empalions sur la plateforme; ee, (f, gg, hh, donneront de même les abouts et les gorges des pas et des mortaises des chevrons et des arbalétriers sur les blocbets; et il en sera de même clés points i, j, I, m, de la Fig. 296.
  - 187. En établissant une nouvelle ligne d’axe ZQ, Fig. 297, perpendiculaire à la trace 4 Q, ou parallèle au mur de croupe, et lui menant des parallèles par tous les points c,d, e ,f, &c., trouvés sur la projection horizontale de la ligne d’arête, on tracera de même la projection verticale de la seconde demi-ferme auxiliaire, supposée perpendiculaire au mur de croupe, et que l’on nomme, dans la pratique, chevron carré de croupe. On reconnaîtra facilement que cette Fig. 297 contient les mêmes combinaisons des pièces de bois que montre la Fig. 296, cotées des mêmes lettres, et établies aux mêmes points de hauteur; et l’on aura soin cl’y appliquer de même 1 observation qui a été faite pour la première ferme auxiliaire, au sujet des normales no, pq. Au reste, les observations données sous les n.os 98,99 et 103, étant suffisantes pour les détails
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  - gehôrigen Hôlzer einen grôssern Zeitaufwand aïs ge-wôhnlich verlangt. Auch müssen die abzuholzenden Hôlzer stârker aïs gewôhnlich seyn. Das Abholzen selbst erfordert ebenfalls auch viele Zeit; so dass dieser Bau, welcher sehr kostspielig ist und keinen wahren Nutzen gewâhrt, nicht anders aîs in unver-meidlichen Fâllen anzuwenden ist.
  - 185. Kennt man den Abstand, die Dicke und den Winkel der Mauern, entwederaus dem Grund-risse , oder aus der wirklichen Ausmessung der Mauern selbst, so wird die Lehre gezeichnet, wobei man mit dem Grundrisse, Fig. 294 und 295 den Anfang macht. Man sieht darin , dass die Grund-flâche in diesem Exempel kein rechtwinkeïiges Pa-rallelogramm bildet, und dass die Mauer unter der Waïmenrinne mit einer daran anstossenden Dach-seitenmauer einen spitzigen, und mit der andern einen stumpfen Winkel beschreibt. Bei der Zeich-nung dieser schrâgen Binder zeichnet man zuvôr-derst zwei zu Hülfe genommene Binder ; und zwar den einen, dessen Durchschnitt die Perpendicu-larlinie 2 Q, Fig. 294 und 294 bis, andeutet, perpendicular mit den Mauern der langen Dach-seite ; und den andern, dessen Durschnitt die Per-pendicuïarlinie 4 Q, in denselben Figuren ist, perpendicular mit der Walmenmauer.
  - 186. Die Fig. 296 ist eine von der Linie 2 Q [viereckiger Sparren an der langen Dachseite ] genommene verticale Vorstellung, weïche die Holz-verbindungen an dem ersten zü Hülfe genommenen Binder darstellt. Wir nehmen diesen letztern als Grundprofil dieses Exempels an. Gezeichnet wird er wie wir obstehend angegeben haben ; nâmïich wie ralle Binder weïche mit den unter ihnen stehenden Mauern perpendicular sind. Man bemerke jedoch, dass die geraden Linien n o, p q, mit der Neigung, weïche dieser viereckige Sparren an der langen Dachseite eigentlich batte, und weïche die wahre Neigung der langen Dachseite ist, normal oder perpendicular gezeichnet worden sind. Die Hôhen Z o und Zq, weïche unter dem Kranze genommen worden sind, sind es , weïche auf die Axen der fol-genden Figuren getragen werden müssen, um da-selbst die Richtung der Linien no, pq zu bestim-men , weïche in diesen Figuren mit dem Sparren-werke nicht perpendicular sind, und weïche man un eigentlich die schiefe Fetienseite [devers de pannes] nennt, denn sie stellen die Neigung von einer der Fettenseiten nicht vor. DieseLinien no, pq, sind bei den verticaïen Vorstellungen der schrâgen Binder die Vorstellung einer Fettenseite auf einem verticaïen mit den schrâgen Bindern parallel lau-fenden Plane. Wir woïlen sie die Vorstellung des normalen Planes nennen.
  - Aus den Hauptpunkten in Fig. 296, ziehe man parallel mit der Giebelsâulenaxe Z Q , auf Fig. 294 bis, gerade Linien bis zur Kanterilinie des kleinen Gradsparrens c Q; worauf die Lrnlen ce, d d, den Punkt c aïs End- und d aïs Kehïpunkt zu den Sparren und Schiftsparren auf der Mauerlatte geben werden : auf gleiche Weise geben ee, ff, gg, h h, die Enden und Kehlen zu den Ausschnit-ten und Zapfenlôchern der Sparren und Stuhîsâulen auf den Stichbalken : ein Gleiches gilt von den Punkten i, j, I, m , Fig. 296.
  - 187. Legt man eine neue Axenïinie ZQ, Fig. 297, an, weïche perpendicular mit 4 Q, oder parallel mit der Walmenmauer ist, und zieht da-hin Paralleliinien durch die Punkte c, d, e, f, u. s. w., weïche auf der horizontalen Projection der Kantenlinie gefunden worden sind , so lâsst sich da-nach die verticale Projection des zweiten zu Hülfe genommenen halben Binders zeichnen, welcher mit der Walmenmauer perpendicular gedacht und in der Bausprache viereckiger Walmcnsparren genannt wird. DieseFigur enthâït, wie man sieht, die nâmlichen Holzverbindungen wie in Fig. 296; auch sind soïche mit den nâmlichen Buchstaben be-zeichnet , und an den nâmlichen Hôhenpunkten bestimmt worden. Uebrigens kommt die bei dem ersten Binder in Betreff der Normaïïinien no, pq gemachte Bemerkung auch hier zur Anwendung.
  - pound a roofmg, and farther a greater squareness and considérable work for the shavings in ail the timbers which ought to be shaved : then, excepting the cases of an absolute needness, the wise practiser ought to avoid that manner of working, which brings to the owner an excess of expense without any real utility.
  - 185. The distance, thickness and angle of the walls, being known, either by the numbers of the plan, or by measuring the objects, shall be used for tracing the large plan, and forthwith, the horizontal description, Fig. 294 and 295. It is seen there that the roof’s basis of the présent example is an obliquangle parallelogram, and that the end’s wall forms with the one of the sides an acute corner, and an obtuse angle with the other. In order to reach the draught of such oblique trusses, they draw forthwith two auxiliary trusses, the one perpçndicu-lar to the sides walls, projecting its middle eut on the horizontal perpendicular 2 Q, Fig. H94 and 294 bis ; the other, perpendicular to the end’s wall, dropping its middle eut on the perpendicular 4 Q of the same figures.
  - 186. The Fig. 296 is a vertical projection drawn over the trace 2 Q [side’s right rafter], showing the combinated and framed timbers which compound the fïrst auxiliary truss, whom we will consider as the primitive profile of that example, and trace accordingïy to the foregoing explications on the trusses perpendicular to the bearing walls. But it is to be carefully observed that the straights no,pq, are there true normals, that is to say, perpendicular to the real shelving of the side’s pane of the roofmg, equal to the one of such a fictitious right rafter. The heights Zo, Zq, from the crown-ing point, ought to be carryed on the axe-line of the following figures, for determining on each of tliem their own Iines no,pq, which dont be there perpendicular to the rafters, and are abusively caüed slanting of thepurlins, since they dont show the shelving of none of the purlin’s faces : on the vertical description of the oblique trusses, those Iines n o, p q, are traces of the one of the purlin’s faces on a vertical plan parallel to the oblique truss ; and con-sequently we will call them traces of the normal plan.
  - Through every intersecting point of that Fig. 296, bring paraïlely to the axe-IineZQ, on the Fig. 294 bis, straights untill to the edge-line of the small hip c Q : so ce and d d shall détermine the point c as the but-end, d as the neck of the rafter’s heels on the wall-plate; ee, ff, g g and h h, shall like give the but-ends and necks of the heels and mortises of the small and principal rafters on the hammer-beam ; it shall be the same for the points i, j, 1, m, of the Fig. 296.
  - 187. Draw another axe-line ZQ, Fig. 297, perpendicular to the trace 4 Q, or parallel to thé end’s wall; and paraïlely to it, bring straights through every one of the points c, d, e,f &c., found on the horizontal projection of the edge-line c Q : thus you can trace the vertical projection of the second auxiliary truss, supposed perpendicular to the end’s wall, and called by the practisers end’s right rafter. You shall see easily that it contains the same combinations of timbers shown on the Fig. 296, quoted with the same letters, and esta-blished at the same heighfs points; and carefully apply to it the remark made in the fïrst auxiliary description, on the normals no,pq. Besides, the explications of the n.rs 98, 99 and 103, being sufficient for ail the spécial details of such a draught, it shall be enough to send back to them.
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- - particuliers du tracé de ces figures, nous nous contenterons d’y renvoyer.
  - 188. La Fig. 298 est la description verticale de la ferme oblique de long-pan qui reçoit la Croupe, dessinée sur la trace horizontale 1 Q, Fig. 294, de la coupe faite sur le milieu de son épaisseur. Elle présente encore les mêmes combinaisons et assemblages, et ne diffère de la Fig. 296 que par la longueur des pièces de bois. La Fig. 299 présente l’autre moitié de la même ferme, dessinée pour faire voir la face qui est du côté de la croupe, l’excès de la longueur des pièces de bois, et celui de leur écarris-sage, qui est renforcé à raison des délardemens que le plus grand nombre d’entre elles doit subir. La Fig.300 montre pareillement la demi-ferme oblique de croupe, dessinée sur la trace horizontale 5 Q, Fig. 294, d’après la demi-ferme droite, Fig. 297, et vue du côté du grand arêtier. On voit, dans ces deux dernières figures, les délardemens que doivent éprouver les diverses pièces de bois, quand on observe, dans l’exécution, le biais intérieur aussi bien que l’extérieur : le tracé de ces délardemens a été suffisamment expliqué n,° 176.
  - 189. La Fig. 301 est le profil du petit arêtier, et la Fig. 302 celui du grand, montrant l’une et l’autre la face qui est du côté de la croupe, dessinées chacune respectivement sur la trace horizontale qui en existe aux Fig. 294 ter et 295 ter. On voit encore dans ces deux figures les mêmes combinaisons de pièces de bois, cotées des mêmes signes littéraux et assujetties aux mêmes points de hauteur ; tellement que o et q y ont été placées aux mêmes distances du sommet que les points correspondans le sont dans la Fig. 297, et qu’ils établissent ainsi ce qu’on appelle dans la pratique le devers des pannes de croupe. Si l’on voulait faire la projection de l’autre face verticale des mêmes arêtiers, il faudrait prendre ces hauteurs dans la Fig. 296, pour établir par leur moyen le devers des pannes de long-pan. On voit aussi dans ces deux figures les délardemens des diverses pièces qui doivent y être soumises. Mais, si l’ouvrage que l’on doit exécuter exigeait aussi les recreusemens, on y procéderait comme nous l’avons enseigné n.° 107.
  - Remarque. Lors même que les fermes et les demi-fermes sont biaises, comme dans cet exemple, si l’intérieur du comble ne doit pas être apparent, on fera bien de se dispenser d’exécuter les déïarde-mens et les recreusemens, n y ayant de rigueur que les délardemens des faces du lattis et les recreusemens des tasseaux d’arêtiers. On peut employer les pièces dans leur état d’écarrissage primitif, mais en faisant de faibles entailles à deux des arêtes des arêtiers et a une face des arbalétriers, pour pouvoir opérer la juxta-position des pannes.
  - 190. La Fig. 304 présente la description d’ex-
  - tension [la herse] d’un comble ainsi composé de fermes obliques, et dont nous allons expliquer le tracé, à cause de sa configuration. A l’extrémité d’une droite 4z, égale à l’apothème [chevron carré] delà croupe g x, Fig. 297, élevez une perpendiculaire 3,6, que vous ferez égale à la ligne d’about de l’arbalétrier de croupe, en portant respectivement de part et d’autre du point 4, en 3 et en 6, Fig. 304, les distances 4, 3, et 4,6, des Fig. 294 ter et 295 ter : en menant les lignes d’arête z3 et z6, vous aurez, dans le triangle 3z 6, l’extension réelle de la croupe. Pour avoir celles des triangles de long-pan, qui sont comprises depuis les arêtiers jusqu’à la ferme oblique, du centre z décrivez de petits arcs indéfinis de part et d’autre, vers 1 et vers 7, Fig. 304, en prenant pour rayon la longueur de l’arbalétrier de ferme oblique gx, Fig. 298 ou 299 ; et coupez-Ies chacun par un autre are décrit en prenant respectivement pour centres les extrémités des lignes d’arêtes 3 et 6 , et pour rayons les portions correspondantes des lignes d about de long-pan 3,1, ou ^ ^ > Fig< 294 ter ou 2.95 terensuite, des
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  - Und da die in N.° 98, 99 und 103 gegebenen Be-schreibungen zur Erklàrung hinreichend sind , so verweisen wir dahin.
  - 188. Die Fig. 298 ist die verticale Vorsteïlung
  - vom schrâg£n Binder an der langen Dachseite, an welchem der Walmen angelegt wird. Die Zeich-nung desselben ist nach der horizontaïen Vorstel-lung 1 Q, Fig. 294, des aus der Mitte seiner Dicke genoinmenen Durchschnitts geschehen.Diese Figur enthâlt wiederum die nàmlichen Zusammensetzun-gen, und unterscheidet sich von Fig. 296 bloss durch die Lange der Hôlzer. Die Fig. 299 enthâlt die andere Hâlfte des nàmlichen Binders. Man sieht darin die nach dem Walmen zu stehende Seite, die grosse Lange der Hôlzer und ihre Stârke, weïche bei den meisten, des Abholzens wegen, vermehrt werden muss. Die Fig. 300 zeigt gleichergestalt den halben schrâgen Walmenbinder, welcher von der horizontalen Vorsteïlung 5 Q, Fig. 294, nach dem halben geraden Binder Fig. 297, gezeichnet, und nach der Seite des grossen Gradsparrens zu dargestellt ist. Diese beiden letztern Figuren zeigen das Abholzen, welches bei den verschiedenen Hôl-zern Statt haben muss, wenn die schrâge Richtung im Innern und Aeussern gehôrig angeordnet werden soll. Die Zeichnung dieses Abholzens ist sattsam in N.° 176 beschrieben worden. >
  - 189. Die Fig. 301 ist das Profil vom kîeinen Gradsparren, und die Fig. 302 das vom grossen. Beide zeigen die nach dem Walmen zu stehende Seite, weïche bei jedem nach der in Fig. 294 ter und 295<ter, enthaltenen horizontalen Vorsteïlung gezeichnet ist. Diese Figuren enthalten übrigens die nàmlichen Zusammensetzungen, weïche mit den nàmlichen Buchstaben bezeichnet und nach den nàmlichen Hôhenpunkten bestimmt sind ; so dass aïso o und q in dem nàmlichen Hôhenabstande angelegt worden sind, wie die correspondirenden Punkte in Fig. 297, und dass sie soîchergestalt das bezeichnen, was man in der Bausprache die schiefe Wahnenfettenseiie [devers des pannes de croupe] nennt. WoIIte man die andere verticale Seite der nàmlichen Gradsparren darsteïlen, so miisste man diese Hôhen in Fig 296 nehmen, um vermittelst ihrer,die schiefe Fettenseite an der langen Dachseite zu bestimmen. Diese beiden Figuren enthalten ferner das Abholzen der verschiedenen Hôlzer. Müssten ausserdem noch Hôlzer ausgelocht werden, so verführe man wie in N.° 107 gezeigt worden.
  - Bemerkung. Ohnerachtet, wie im gegenwârti-gen FaHe, die ganzen und halben Binder schrâg seyn müssen, so kann man dennoch, wenn das innere Dach nicht sichtbar werden soll, das Abholzen und Auslochen unterlassen., indem das erstere bloss bei den Seiten am Lattenwerke, und das letztere an den Gradsparrenwiirfeln nôthig ist. Die Hôlzer kônnen, wié sie sind, in ihrer ersten Stârke geïassen werden, und man macht, um die Stuhïrahmen aufzusetzen , bloss schwache Ein-schnitte an zwei Gradsparrenkanten und an einer Stuhïsâulenseite,
  - 190. Die Fig. 304 zeigt die ausführïiche Dar-stellung eines aus solchen schrâgen Bindern zusam-mengesetzten Dachstuhls, dessen Zeichnung wir jetzt erkïâren wolïen. Man richte an dem Ende einer geraden Linie 4z, weïche dem Walmenapotheme gx, Fig. 297 gleich ist, eine Perpendicularlinie 3, 6, auf, weïche mander Endlinie der Walmen-stuhïsâule gleich (macht, indem man zu beiden Seiten des Punktes 4 , nach 3 und nach 6, Fig. 304, die Abstânde 4, 3, und 4 , 6, der Fig. 294 ter und 295 ter trâgt ; zieht man sodann die Kantenlinien z3 und z6, so erhâlt man in dem Triangel 3z6 die wahre ausführïiche Zeichnung des Walmens. Um die der Triangel an der langen Dachseite, weïche zwischen dem Gradsparren und dem schrâgen Binder begriffen sind, zu erhalten, so beschreibe man aus dem Centro z, kïeine unbe-stimmte Bogen von beiden Seiten nach 1 und nach 7, Fig: 304, wober man die Lânge der Stuhlsâule an dem schrâgen Binder ,-gx, Fig. 298 oder 299 zum Radius nimmt; und durchschneide jeden der-selben vermittelst eines andern beschriebenen Bogens, wobei man die Enden der Kantenlinien 3
  - 188. The Fig. 298 shows the vertical description of the oblique truss of the side which receivcs the end, drawn on the horizontal trace 1 Q, Fig. 294, of the its thickness’s middle eut. It con-tains again the same combinations and framings, and does not differ from the Fig. 296 but by the length of the timbers. The other half part of the same truss has been designed on the Fig. 299 for expressing the face seated towards the end, and the excess of the timbers’s length and squareness, which is increased according to the shavings to be made on many of them. The Fig. 300 shows alite the oblique half-truss of the end, designed on the horizontal trace 5 Q, Fig. 294, accordingly to the perpendicular truss of the Fig. 297, as to the face seated towards the ground’s acute angle, or the great hip. On both that latter figures, are seen the shavings to be made to the diverse timbers, when the sïoping is observed inwardly as weïl as out-wardly. The draught of such shavings has been sufficiently expïained n.r 176. ,
  - 189. The Fig. 301 and 302 are the profiles of the îess and great hips, both showing the face seated towards the end, and respectively designed on the horizontal trace of each, being on the Fig. 294 ter and 295 ter, Are seen aïso on those figures the same combinations of timbers, stamped with the same letters, and seated at the same height’s points ; so that o and q are distanced here from the top, as on the Fig. 297, and so détermine the warping of the end9s purlins, as the practfsers say. If one would project the opposite vertical faces of the same hips, those height’s points ought to be taken ofF on the Fig. 296, for determining the warping of the side’s purlins. The shavings of the diverse timbers are seen aïso on two that figures ; but, if the building to be performed would require alike the grooving of the edge’s timbers, it could be proceeded as it is expïained n.r 107.
  - Remark. AlthoUgh the trusses and half-trusscs are slope, as in that example, if theinward of the roofing would not be apparent, one shouïd goodly dispense with working the shavings and groovings; the shaving of the lathing faces and the grooving of the hip’s stoppers being only necessary. The timbers can be employed with their own primitive squa-reness, by the means of feebïe notches made on two edges of the hips and one of the faces of the principal rafters, in order to apply the purlins to them.
  - 190. The Fig. 304 shows the extent’s description [ledgement] of such a roof with oblique trusses, whose behold the draught on account of its peculiar configuration. On the end of a straight 4z, equal to the end’s apothem [right rafter] gx, Fig. 297, lift a perpendicular 3,6, equal to the abutmenfs line of the end’s rafter, by carrying respectively on each side of the point 4, Fig. 304, the distances 4,3, and 4,6, Fig. 294 ter and 295 ter : if y ou trace the edge’s line z 3, z 6, the triangle 3 z 6 shaïl be the real extent of the end. As to the ones of the side’s triangles, contained between the hips and the oblique truss, from the center z, with the radius gx, Fig. 298and 299, the length of the principal rafter of the oblique truss, trace two small arcs, on both sides, towards 1 and 7, Fig. 304; and eut each of them with another arc described by taking as rays the corresponding parts of the butment’s fines of the sides 3,1, or 6, 7, Fig. 294 ter or 295 ter, and as centers, the extremities of the respective edge’s lines 3 and 6 : then trace through the intersect-ing points 1 and 7, the straights 1,3; 1, z, and 7,6; 7z. It needs after only to add the apothem of
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- - points d’intersection 1 et 7, menez les droites 1,3 ; lz et 7,6;7z. II ne reste plus qu’à y ajouter l'apothème du long-pan de l’angle obtus, et la ligne milieu de la demi-ferme oblique de croupe, en prenant les distances 3, 2, et 4, 5, Fig. 294 ter, et les portant aux places correspondantes de la Fig 304, où les mêmes points ont les mêmes cotes indicatives.
  - 191. Sur cette même Fig. 304, nous avons tracé sur la ligne 9 z le chevron du grand arêtier, auquel nous avons appliqué une petite description auxiliaire qui montre sensiblement à l’œil les points où doivent passer les lignes des délardemens du chevron et celles des démaigrissemens pour les coupes supérieures des empanons de la croupe et du long-pan; mais, pour rendre cette description auxiliaire plus intelligible, nous l’avons dessinée séparément et plus en grand, Fig. 303.
  - Soit l’angle 8, 9, 10, égal à celui du plan, Fig. 293 ter, coté des mêmes nombres ; la ligne 9 Q, la projection horizontale de l’arête au lattis dudit chevron; et Q9x, l’angle de sa pente, en considérant la trace 9 Q comme sa ligne de trave. Soient encore le point K, pris à volonté sur la droite 9 Q, et la ligne JL perpendiculaire à 9 Q, et passant par le point K. La ligne JL étant la trace d’un plan vertical de forme triangulaire dont la hauteur serait Km ; si l’on reporte cette hauteur de if en a au moyen de l’arc m a, décrit du centre K, et qu’on joigne a L et a J, le triangle La J montrera la forme du plan vertical sur la sous-tendante JL. ( Voyez ce qui a été expliqué pour la Fig. 289 bis, n.° 182.)
  - Supposons présentement que la ligne 9 x se rabatte par un mouvement sur sa projection 9 Q, sans quitter le point 9 : son point m décrira, dans ce mouvement, un arc vertical égal à l’arc ma, ert viendra se placer en a, c’est-à-dire, à une distance du point 9 qui sera égale à 9 m. Ce déplacement entraîne nécessairement celui des lignes a L et a J, qui appartiennent par elles-mêmes au lattis, et que l'affaissement de 9 x fait aussi affaisser et place dans une position horizontale, sans altérer ni la longueur de ces lignes, ni la distance de leurs extrémités au point 9 ; en sorte que ïes points LetJ doivent être à la même distance de a qu’ils l’étaient de a, et encore du point 9, comme on le voit par les arcs LL1 et JJ1, décrits du point 9 comme centre. Alors on a réellement la herse de ces deux pans de couverture dans l’angle S1 L19 J110'; et J'a IJ représente sur cette herse f angle supérieur du triangle vertical dont il a été parlé d’abord, mais incliné d’une quantité égale à la pente réelle du grand arêtier, et ainsi devenu lui-même horizontal.
  - Supposons encore que le mouvement qui a converti l’angle La J en L1 a J1, ait divisé le polygone alfe j, en l’ouvrant sur la ligne ad, comme sur une charnière placée en a : l’effet de la supposition donne les quadrilatères a Ifd et a cl1 ej, en prenant le rayon ad pour tracer l’arc gdi, traçant du centre a l’arc g i avec le même rayon, portant al et a j en a l et aj, prenant les arcs partiels gd, id, les portant respectivement en gd et id1, joignant adet a d', et menant enfin à ces dernières les parallèles lf,je, et les perpendiculaires df et d' e : une parallèle à 9 0, passant par le point l, montre évidemment la ligne d’arête du délardement dans la herse ; et celle qui passe en f, montre le démaigrissement des empanons de long-pan : celle qui passe par le point y, montre pareillement l’arête de délardement en herse; et celle qui passe en e, les amaigrissemens des empanons de croupe.
  - ( 113 )
  - und 6, zu Mitteïpunkten, und die correspondiren-den Theile der zu den langen Dachseiten gehorigen Endlinien 3, 1, oder 6,7, Fig. 294 ter, oder 293 ter, zu Radiis nimmt; endlich zieht man aus den Durchschnittspunkten 1 und 7 die geraden Linien 1,3; 1 z und 7, 6; 7z ; und fügt zuletzt noch das Apothem des stumpfen Winkels an der langen Dachseite und die Mitteïlinie des halben schrâgen Walmenbinders hinzu, indem man die Abstânde 3, 2, und 4, 5, Fig. 294 ter, nimmt, und sie an die correspondirenden Stellen der Fig. 304 tràgt, wo die nâmïichen Punkte mit deq nàmlichen Buchstaben bezeichnet sind.
  - 191. Wir haben in dieser letztern Figur auf der Linie 9z, den Sparren am grossen Gradsparren gezeichnet, und dieser Zeichnung eine Beschrei-bungbeigefiigt, weïche die Punkte andeutet, durch weïche die Linie zum Abholzen des Sparrens, so wie die obern Schnittlinien der Walmen- und Dach-seitensparren hindurchgehen. Wir haben diese Be-schreibung, um sie verstândlicher zu machen, in Fig. 303 ausführlicher gezeichnet.
  - Der Winkeï 8, 9, 10, sey gïeich dem des Grundrisses Fig. 293 ter, welcher dieselben Zeichen enthâlt ; die Linie 9 Q, sey die horizontale Vorstellungder Sparrenkante am Lattenwerke, und Q 9 x, der Winkeï, den die Neigung des Sparrens bildet, wobei die Linie 9 Q als Stuhlwandlinie an-genommen wird. Fernerwird gegeben derPunkt K, welcher willkührlich auf der geraden Linie 9 Q ge-nommen ist, und die Linie JL , perpendicular mit 9 0, und durch den Punkt K gehend. Die Linie JL ist ein verticaler dreieckiger Plan , dessen Hôhe Km ist ; tràgt man diese Hôhe vermitteïst des aus dem Centro K beschriebenen Bogens m a, von K nach a, und zieht a L und a J zusammen , so zeigt der Triangel La J die Gestalt des verticaïen Plans auf der Sehne JL ( Man sehe die fur Fig. 289 bis, gegebene Erklàrung, N.° 182.)
  - Nehmen, wir nun an, dass die Linie 9x, sich, ohne den Punkt 9 zu verïassen, auf ihre Projection 9 0 umlegte; so wird bei dieser Bewegungihr Punkt m einen verticaïen, dem Bogen m a gleichen Bogen beschreiben, und seinen Platz in a nehmen, d. h. in einem Abstânde von 9 , welcher gïeich ist 9 m. Diese Versetzung veranlasstnothwendigerweise auch die der Linien a L und aJ, weïche an und fur sich seïbst zum Lattenwerke gehôren, und weïche, weil 9 x sich herabgesenkt hat, sich ebenfalls her-absenken, und eine horizontale Steïlung annehmen, wobei weder die Lange dieser Linien noch der Abstand ihrer Enden vom Punkte 9 veràndert wird ; so dass also die Punkte L und J sich in dem nâmïichen Abstânde von a befinden müssen, wie sie es von a und von dem Punkte 9 waren, wie soïches aus den aus dem Punkte 9, aïs Mittelpunkt beschriebenen Bogen LL' und JJ1 ersichtlich ist. Man erhâlt aïsdann in dem Winkeï 8' L19 J' 10', die wahre erweiterte Vorstellung von diesen beiden Dachseiten; und J'aL' bezeichnet auf dieser Vorstellung den obern Winkeï des gedachten vertica-len Triangels, welcher aber um eine dem wahren Abhange des grossen Gradsparrens gleiche Grosse geneigt, und solchergestalt seïbst horizontal ge-worden ist.
  - Nehmen wir nochmals an, dass die Bewegung, weïche den Winkeï La J in L'a J'verwandelte, das Poîygon alfej dadurch getheilt habe, dass sie sel-biges auf der Linie ad wie auf einem in a angelegten Scharniere aus einander gethan hat, so ergeben sich aus dieser Voraussetzung die Vierecke alfd, und ad1 ej ; und nimmt man sodann den Radius ad, um den Bogen gdi zu zeichnen, und beschreibt aus dem Mittelpunkte a den Bogen gi, mit dem nam-lichen Radius; tràgt ferner al undaj nach a /und aj, nimmt die einzelnen Bogen gd, id, und tràgt sie, den einen nach gd und den andern nach id1, zieht a d und a d zusammen, und bringt endlich zu diesen letztern Linien die Parallellinien If, j e, und die Perpendicularlinien d f und d e ; so giebt eine mit 9 Q Parallellinie, weïche durch den Punkt l geht, die erweiterte Zeichnung der abzuholzenden Theile ; aus derjenigen Parallellinie aber, weïche
  - the side belongjng to the obtuse angle, and the middle line of the oblique end’s half-truss; by taking off, Fig. 294 ter, the distances 3, 2, and 4, 5, and dflrying them on the corresponding places of the Fig. 304, where the same points are quoted with the same numbers.
  - 191. On the same Fig. 304, we hâve designcd along the edge-line 9 z the rafter of the great hip, and applied to it a îess auxiliary description for showing the passage-points of the shaving-Iines of such a rafter, and the ones of the upper-bevel-cut [ungreasing] : but, in order to facilitate the under-standing of that auxiliary draught, we hâve traced it aside and with a larger scale, Fig. 305.
  - Let be the angle 8, 9,10, equaï to the one of the plan, Fig. 295 ter, stamped with the same numbers ; the straight 9 Q, the horizontal projection of the lathing-edge of such a rafter; and Q 9x, the angle of its own shelving on its trave-Iine 9 Q. Let also bring at will the straight JL, perpendicular to 9Q, and the vertical Km, traced through the intersection K. Such a straight JL is the trace of a vertical triangular plan, whose height shall be Km ; then, by describing the arc ma, and tracing a L and a J, the triangle La J shows the vertical plan supposed on the subtense JL. (See the explication made on the Fig. 289 bis, n.r 182.)
  - Let us now suppose the straight 9 x abated down by movement on its point 9 : the point m, in such a motion, shall describe a vertical arc equaï to ma, and occupy the point a, distanced from 9 as the point m itself. That displacing drags necessarily the one of the fines a L and a J, which are on the lathing, and become themselves horizontal, without any alteration of length, or of the distances where the extre-mities of them are from the said point 9 ; thus the points L and /ought to be seated at the same distances from 9, and distanced from a as they were from a, as it is seen on the arcs LL' and JJ’, described from the center 9. Then the angle 8'Z/ 9 J' 10' shows the real ledgement of those two roofing’s panes ; and J'aL', thesuperior angle of the said vertical triangle, butalterated as for the angles opening, by becoming horizontal.
  - Let us suppose at ïast that the movement which has turned the angle La J into L! a J', has also divided the poîygon alfe j into two parts by opening it along a d, as on a hinge seated at the pointa : from thence shall resuit the two trapeziums alfd and a de j, by describing the arc g d i with the ray a d, and the one g i from the center a with the same radius ; carrying a I and a j on al and aj, taking off the partial arcs g d, i d, and transfering them respectively on g d and i d ; joining a d and a d, and bringing pa-rallely to that ïast fines the straights If and y e, and the perpendiculars df and de: a parallel to 9 Q, brought through the point l, shows evidently the edge-line of shaving on the ledgement ; and the one passing at f, the bevel-cut [ungreasing] of the shorted rafters of the side : the one brought through y shows alike the shaving on ledgement ; and the one at e, the bevel-cut belonging to the end’s rafters.
  - 3.e Partie.
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- - Trait d’un Noulct biais.
  - A cause de la disposition des parties du dessin nécessaire pour tracer les pièces d’un nouïet, quand sa ligne de couronnement n’est point perpendiculaire à la ligne d’égout du grand comble, il est à propos d’expliquer d’abord le tracé de ses principales descriptions que présente ïa Fig. 306.
  - 192. Soit c d la projection horizontale de ï’égout du grand comble ; ef et g h, celles des deux égouts du petit, que i’on voit être obliques h la première, ainsi que sa iigne de couronnement ji. Le triangle lin est ia projection verticale d’une ferme droite du petit comble, ayant m i pour hauteur, et pour pente l’angle i Im : cette ferme est supposée perpendiculaire aux murs de ïong-pan, comme on le voit par sa projection horizontale op. On voit en o'p' ia projection d’une autre ferme du petit combie, mais obïique, et que nous avons placée en dehors du grand comble, par les raisons expliquées n.° 136. C’est ceiie-ci qui, dans ie nouïet biais, remplit ia fonction de celle qu’on appelle fermette dans ie nouïet droit ; mais le triangle lin forme en même temps ia projection verticale et de ia ferme oblique, et de ia ferme penchée du nouïet (137).
  - Pour former ïa projection horizontale de ia ferme penchée qui termine ie petit comble à ia surface du iattis du grand, sur une ligne indéfinie ac, on a d’abord étabii la pente du grand comble a b; et ayant fait ïa perpendiculaire a i' égaie à la hauteur du nouïet m i, et mené i'b parallèle a ac, cette ligne i b serait la ligne de couronnement du nouïet, si ceiie-ci était perpendiculaire à la direction de ï’égout du grand comble. On a donc élevé à cd la perpendiculaire j b', qu’on a faite égaie ai' b, et, en menant b'k parallèle à cd, on a eu jk pour ia projection horizontale de ïa iigne de couronnement du nouïet: en sorte que les droites ek et hk sont celles des branches du nouïet. Nicolas Fourneau appelle cette ligne j k, aiguille oblique ; et il nomme aiguille droite ïa perpendiculaire kq, qui est ici égaie à ïa ligne de couronnement : ce sont proprement les projections horizontales [retombées] de Taxe et de ï’apothème de ïa ferme penchée du nouïet.
  - Pour obtenir l’étendue réelle [ïa herse] de cette Terme penchée, après avoir mené à la ligne de couronnement i m j k les perpendiculaires indéfinies kk',jj', on a tracé parallèlement à la même iigne les indéfinies x m', k1 i", espacées de ïa quantité m i, qui est ïa hauteur du nouïet ; puis on a porté de x sur xm les longueurs kh et ke en h' et e1 ; et i’on a mené k1 e1, k' h1 et k'j1, qui sont ainsi les longueurs réelles respectives ou projections verticales directes des droites projetées horizontalement en ke,k h et kj, et verticalement en il, inet im. Alors on a mené à la ligne d’égout cd une parallèle e" h", et les perpendiculaires ee", jj" et h h!'; et, prenant successivement pour centres e" et h", et pour rayons respectifs e'k' et 1i k', on a tracé deux petits arcs qui se coupent en k” ; et i’on a mené les droites k"e", k"h" et k"j", lesquelles, avec e"h", qui est nécessairement égaie à e h, ont donné la forme et ia grandeur réelles de ia ferme penchée qui termine ie nouïet à ïa surface du grand combie.
  - 193. Les lettres de cette figure, appliquées aux points correspondans des Fig. 307, 308, 309, .311 et 314, font voir que ie principal tracé de ces dernières a été fait conformément à ce qui vient d être expliqué : la combinaison des pièces de bois
  - ( HT )
  - durch f geht, ergiebt sich das Abkanten der Schift-sparren an der langen Dachseite; aus der, weiche durch den Punkt j geht, ergiebt sich ebenfaiïs das Abholzen, und aus der, weiche durch e geht, das Abkanten der Walmenschiftsparren.
  - Zeichnung einer schrâgen Kehle.
  - Die Anordnung der Zeichnung, nach weïcher die Hôlzer an einer Kehle, wenn deren Kranziinie mit der Dachrinnenlinie des grossen Daches nicht per-pendicuiar ist, zusammengestellt werden, macht es nothwendig zuerst die vornehmsten in Fig. 306 enthaitenen^Zusammenstellungen zu erklâren.
  - 192. Es sey cd die horizontale Vorstellung von derDachrinne am grossen Dache, und ef und g A die der beiden Dachrinnen am kleinen , weiche, wie man sieht, mit der ersten Vorstellung schrâg gehen, was auch mit der Kranziinie j i der Faïï ist. DerTriangel lin ist die verticale Vorstellung eines geraden Binders am kleinen Dache ; derseïbe hat mi zur ITôhe, und den Winkel ilm aïs Neigung. Dieser Binder wird, wie man aus dessen horizon-taïen Vorstellung op ersieht, mit den Mauern an der ïangen Dachseite perpendicuiar angenommen. Ein anderer zum kleinen Dache gehôriger Binder ist bei o'p zu sehen ; derseïbe ist aber schrâg, und aus den in N.° 136 angezeigten Ursachen ausserhalb des grossen Daches angelegt worden. Dieser Binder ieistet bei der schrâgen Kehïe das, was der kleine Dachbinder bei der geraden Kehle ieistet ; indessen stelit derTriangei lin zu gleicher Zeit beide Kehï-binder, sowohi den schrâgen aïs geneigten vertical vor (N.° 137).
  - Um die horizontale Vorstellung des geneigten Binders, mit weichem sich das kleine Dach an der Lattenseite des grossen endigt, zu zeichnen, ist zu-vôrderst auf einer unbestimmten Linie ac die Neigung des grossen Daches ah angelegt worden ; wobei die Perpendicularlinie ai' mit der Kehihôhe mi gieich gemacht, und i'b paralieï mit ac ge-gezogen worden ist ; diese Linie i' b würde die Kehï-kranzlinie seyn , wenn diese ietztere mit der Rich-tung der R inné am grossen Dache perpendicuiar wâre. Diesem zu Foïge ist auf cd die Perpendicularlinie j b' aufgerichtet und der Linie i' b, gieich gemacht worden ; sodann ist b' k paralieï mit c d ge-zogen worden, woraus sich j k aïs horizontale Vorstellung der Kehlkranzlinie ergeben hat ; so dass die geraden Linien ek und hk die Linien zu den Kehï-schiftern sind. Nicolaus Fourneau nennt diese Linie jk schrage Spin de l ; die Perpendicuiariinie kq aber, weiche hier der Kranziinie gieich ist> nennt er gerade Spindel: dieses sind eigentïich die horizon-talen Vorsteliungen von der Axe und dem Apothème des geneigten Kehlbinders.
  - Die verticale Zeichnung dieses geneigten Binders erhâlt man foîgendergestaït : zuvôrderst werden auf die Kranziinie imjk, die unbestimmten Per-pendicularlinien kk' ,jf geführt; man zeichnet sodann paralieï mit der nâmïichen Linie, die unbestimmten Linien xml, k' i", in dem Abstande der Grosse mi, weiches die Hôhe der Kehle ist; trâgt von x auf x m' die Lângen k h und k e, nach h' und d und zieht k' e', k!h' und k'j', weiches solchergestalt die wahren respectiven Lângen oder unmitteibaren verticaïen Vorsteliungen der geraden bei ke, kh und kj horizontal, und bei il, in und im vertical angegebenen Linien sind. Man bringt hierauf zur Dachrinnenîinie cd, eine Parai-ieilinie e" h" nebst den Perpendicuïariinien ee",jj" und h h"; nimmt nach und nach e" und h" zu Mitteï-punkten , und e' k' und h' k', zu Radiis, und be-schreibt damit zwei kleine Bogen, weiche sich bei k" durchschneiden ; zieht ferner die geraden Linien k" e", k" h" und k"j", weiche nebst e" h", weiches e h nothwendig gieich ist, die wahre Gestalt und Grosse des geneigten Binders geben , mit weichem sich die Kehle am grossen Dache endigt.
  - 193. Die in dieser Figur enthaitenen, und in den Fig. 307, 308, 309, 341 und 314 zu den correspondirenden Punkten angewendeten Buch-staben zeigen, dass die Hauptzeichnung dieser ietz-tern Figuren nach den vorstehend angegebenen
  - Draught of a slanting shorted Valley.
  - On account of the disposai of the drawing’s parts necessary for tracing the timbers of a shorted valley, when the crowning of it does not be perpendicuiar to the eaves-Iine of the great roof, we will expiant forehand the draught of its principal descriptions whom shows the Fig. 306.
  - 19 2. Let be cd the horizontal projection of the eaves of the greater roof; ef and gh, the ones of the eaves-Iines of the smalïer one, oblique to the first, as well as j i, the projection of the crowning-ïine. The triangle lin shows the vertical projection of a right truss of the small roof, whose Iieight is mi, and sHelving the angle ilm: that truss is supposed perpendicùiar to the side’s wall, as shows its horizontal projection op. See on o'p' the projection of another truss of the same small roof, seated out of the greater roof, according to the remark of the n.r 136. It is that ïatter oblique truss which makes the office of the one calied small truss into a right vaïiey ; but the triangle lin shows at the same time the vertical projection of the oblique truss, and of the incïined one ( 137).
  - For performing the horizontal projection of the incïined truss bounding the Iess roof at the Iathing surface of the greater one, on an inclefinite line «c, trace first the sheiving a b of the great roof; and ïift the perpendicuiar a i' equal to the height mi of the vaïiey ; bring after paralfely to « e the straight i1 b, which should express the crowning-Iine of the valley, if it couid be perpendicuiar to the eaves of the great roof. Then lift to cd the perpendicuiar j b', equal to i' b, and bring b1 k paralieï to c d : j k shaii be the horizontal projection of the crowning-Iine of the shorted valley; so that the straights e k and h k shaii be the ones of both the branches of the same valley. Nichoias Fourneau cails such a line j k, ihc oblique necdlc; and right needle, the perpendicuiar kq, which is here equal to the crowning-Iine : they are really the horizontal projections [drops] of the axis and of the apothem of the incïined truss of the shorted valley.
  - In order to obtain the real extent [ledgement] of such an incïined truss, after having*brought to the crowning-Iine imjk the indefinite perpendiculars kk',jj', we hâve traced paraiiely to the same line the indefinite straights xm', k'i", distanced from each other as mi, viz, the height of the shorted valley ; then the distances k h and k e hâve been carryed from x at h1 and e', on the lengthening of x m'; and the straights k' e', k' h' and k'j', are the real respective iengthes and vertical direct projections of the fines horizontaily projected on ke, k h and kj, and verticaiïy on i l, in and im. Thus, to the eaves-fine cd, hâve been brought the perpendiculars c e", jj" and h h", and the paralieï e" h!', distanced at wiii ; and taking successively e" and h" as centers, and e' k', h! k', as respective rays, two small arcs hâve intersect each other on k" ; and the straights k"e", k" h" and k"j", with e" h", which is necessarily equal to eh, hâve performed the shape and real greatness of the inciined truss which bounds the shorted valley at the surface of the great roof.
  - 193. The ïetters of that figure, appfied to the corresponding points of the Fig. 307,308,309, 311 and 344, show that the principal draught of that iatters lias been done accordingiy to the fore-going explications. The disposai of the timbers corn-
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- - qui composent fa ferme droite Fig. 309, étant dessinée comme aux articles précédens, n’a plus besoin d’explication. La projection horizontale d’une partie du petit comble, Fig. 308, sera aussi dessinée selon les procèdes ci-devant expliqués; cette même figure montre aussi que fes chevrons de fa partie appelée noulet y sont disposés perpendiculairement à fa figne de couronnement J K. La ferme oblique, Fig. 310, sera aussi tracée comme nous f’avons enseigné n.os 185 et 186.
  - 194. Pour exécuter dans fa description horizontale, Fig. 308, le tracé des projections des arêtes de fa grande branche de fa ferme penchée, nous avons opéré comme if suit. Nous avons d’abord supposé un plan verticaf qui coupe fe noufet perpendiculairement à sa figne de couronnement ; de sorte que a b est une partie de fa trace de ce plan vertical sur un plan horizontal qui passerait au point a, lequel appartient en commun au lattis du vieux comble et à f’arête inférieure et extérieure de fa branche de noulet. Sur fe prolongement de a b , nous avons construit fa description auxiliaire, Fig. 312, dont fa figne ab a été faite de même fongueur que a b : nous fui avons élevé fa perpendiculaire indéfinie bc; après quoi fa considération suivante nous en a fait obtenir fa longueur. Pour connaître fa situation du point a entre fa base du comble et fe couronnement du noulet, if faut porter fa portion Ea de fa projection horizontale EK, à fa Fig. 311, de E en y sur E #, qui est fa figne de trave de cette dernière figure; et par fe point y, mener y c perpendiculaire à E# : son intersection b sur E K représente sur cette figure fe point a de fa Fig. 308; y b est la hauteur où se trouve, au-dessus de la base du comble, fe point projeté en a, Fig.308; et bc, Fig. 311, fa fongueur quif faut reporter à fa Fig. 312 de b en c, pour y avoir en c fa hauteur du couronnement par rapport au point a. Ainsi, en menant ac, on a fa projection verticale du fattis du chevron, à laquelle on mènera une parallèle dk, qui, en exprimant sa largeur, en sera fa trace au lambrissage. Parallèlement à l’égout du vieux comble, on a mené dans cette figure fa figne ae; et ï’épaisseur de fa croix de Saint-André y est fa figne hf: mais cette épaisseur a été prise verticalement sur la Fig. 311 de e en f. Par le point d’intersection h des deux dimensions, on a mené kg perpendiculaire à a c : cette ligne g h sera fa trace verticale de fa face de fa branche de noulet qui reçoit f’assembfage des chevrons ; et h i, celfe de fa face qui reçoit Fassemblage des branches de fa croix de Saint-André : fes ïignes g/c, hj, sont perpendiculaires à a b. On prendra donc sur cette description auxiliaire fes longueurs ak, aj, que î’on portera sur l'horizontale, Fig. 308, de a en k et j ; et fes parallèles a EK menées par fes points k, j, seront fes projections horizontales des arêtes de fa grande branche de noulet, où s’assembfent fes chevrons et fes branches de fa croix de Saint-André.
  - Pour reporter ces ïignes d’arêtes dans fa description d’extension de fa ferme penchée, Fig. 314, if faut d’abord y fixer fa position du point a de fa Fig. 308, en prenant fa fongueur réeîfe Eb, Fig. 311, qui est projetée horizontalement en Ea, Fig. 308, et fa portant de E en a, Fig. 314. On observera ensuite qu’en rabattant fa ferme penchée sur fa base du combîe par un mouvement exécuté sur fa figne d’égout, comme sur une charnière, pour opérer la description d’extension, if ne se fait de changement que dans fa longueur de fa branche de noufet et dans f’angfe quelle forme alors avec fa figne de trave ; mais que fes dimensions perpendiculaires à sa fongueur n’éprouvent aucun changement. On tracera donc au point a, Fig. 308, fa droite 1,2, faisant avec fa figne d’égout EF[ un angle égal à celui du développement KEH, Fig314; et on fui
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  - Erkfarungen ausgeführt worden sey : und da die Zusammensetzung der zu dem geraden Binder, Fig. 309 gehorigen Hôfzer nach Maasgabe der vo-rigen Figuren gezeichnet worden ist, so bedarf auch sie keiner weitern Erkfârung. Die horizontale Vor-steffung von einem Theile des kleinen Daches, Fig. 308, wird ebenfalîs auch nach der vorstehend angegebenen Yerfahrungsweise gezeichnet. Diese namfiche Figur zeigt ferner, dass die Sparren an der Kehle daselbst mit der Kranzlinie J K per-pendicular angeordnet worden sind. Was den schrâgen Binder Fig. 310 anbetrifft, so wird er nach den in N.° 185 und 186 gegebenen Erkfâ-rungen gezeichnet.
  - 194, Die Kanten des zum geneigten Binder gehorigen grossen Schifters sind in der horizontalen Vor-stelfung Fig. 308, fofgendergestaft gezeichnet worden : Wir haben zuvôrderst einen verticafen Plan an-genommen, welcherdie Kehle mit ihrer Kranzlinie perpendicular durchschneidet; so dass a b ein Theif von der Vorsteflung dieses Planes auf einer horizontalen Flâche ist, wefchezu demzumLattenwerke des alten Daches sowohf alszurunternundâussernKante des Kehfschifters gehorigen Punkte a geht. Wir haben ferner auf der Verfângerung von a b die zugege-bene Vorsteflung Fig. 312, gezeichnet, derenLinie a b eben so fanggemacht worden ist aîs a b, und wo-rauf wir die unbestimmte Perpendicufarïinie bc er-richtet haben. Die Lange hat sich sodann aus folgen-der Zusammenstellung ergeben : Um den gehorigen Pfatz des Punktes a zwischen der Dachgrundflàche und dem Kehlkranze auszumittefn, trage man den Theif Ea der horizontalen Vorsteflung EK, in Fig. 311, von E nach y auf E x, welches die Stuhfwandfinie dieser fetztern Figur ist; und ziehe durch den Punkt y die Linie y c perpendicular mit E x; woraufihrDurchschnitt b, auf EK, auf dieser Figur den Punkt a der Fig. 308%ieht : y b ist die Hôhe, an wefcher sich, über der Dachgrundflàche, der bei a , Fig. 308, angedeutete Punkt befindet ; und b c , Fig. 311 , ist die Lange , weîche in Fig. 312 von b nach c, um deswilfen getragen werden muss, um dort in c die Kranzhôhe in Be-zug auf den Punkt a zu erhaften. Zieht man afso ac, so erhalt man die verticale Vorsteflung der Sparrenfatten, auf die man eine Parallelfinie dh führt, wefche die Breite dieser Projection angiebt, undzugfeich die Linie dersefbenan derVerschalung seyn wird. Die Linie des durchschneidenden Plans auf dem alten Dache ist in dieser Figur mit a e, und die Dicke des Kreuzbuges mit hf bezeichnet ; jedoch ist diese Dicke auf Fig. 311 vertical von e nach f genommen. Durch den Durchschneidungs-punkt H, der beiden Dimensionen, ist h g perpen-dicular mit ac geführt worden. Diese Linie gh, ist die verticale Vorsteflung von derjenigen Schifter-seite, an wefcher die Sparren angesetzt werden; und h i diejenige in wefche die Bughôlzer eingesetzt werden; die Linieng7c, hj, sind mit ab perpendicular. Man nimmt diesem zufolge auf dieser zugegebenen Vorsteflung die Langen ak, aj, und tragtsie auf der horizontalen Projection, Fig. 308, von a nach k und nach j ; worauf die mit EK parallelen Linien, wefche durch die Punkte k, j, gezogen worden sind, die horizontalen Vorstelfungen derjenigen Kanten an dem grossen Kehfschifter seyn werden ,an denen die Sparren und Bughôlzer eingesetzt werden.
  - Um diese Kantenlinien in die erweiterte Zeich-nung des geneigten Binders Fig. 314 herüberzu-tragen, so muss daselbst zuvôrderst der Standort des in Fig. 308 befindfichen Punktes a festgesetzt werden; man nimmt zu diesem Ende die wahre Lange Eb, Fig. 311, wefche bei Ea, Fig. 308, horizontal angedeutet ist, und tragt sie von E nach a, Fig. 314. Man wird sodann gewahr werden, dass wenn wegen der zu machenden erweiterten Zeich-nung, der geneigte Binder vermitteïst einer auf der Dachrinnenfinie geschehenen scharniermassigen Be-wegung auf die Dachgrundflàche umgefegt wird, so hat bloss bei der Lange des Kehfschifters und bei dem Winkef, den er sodann mit der Stuhfwand-ïinie Uifdet, eine Verânderung Statt, und dass da-gegen die mit seiner Lange perpendicular gehenden Dimensionen keine Verânderung erleiden. Die-
  - pounding the right truss, Fig. 309, being drawn as the precedingones, does not need any expïanation. The horizontal projection of a part of the smaff roof, Fig. 308, shail be fike traced accordingfy to the former methods ; the rafters of the shorted roof are seen on the same figure disposed perpendicufarly to the crowning - fine J K. The oblique truss, Fig. 310, shall be fike drawn as it is taught at the n.rs 185 and 186.
  - 194. The horizontal projections of the edgesof the greater brandi of the inclined truss, hâve becn traced on the Fig. 308 as it folfows. Suppose a vertical plan cutting the smaff roof perpendicufarly to its own crowning-fine ; so that a b may be a part of the trace of that plan, on an horizontal one passing through the point projected on a, which befongs at the same time to the fathing of the great roof and to inferior out-edge of the valfey’s branch. On the fengthening of that straight ab, we hâve established an auxifiary description, Fig. 312, wherein the fine a b has been done equaf to ab; and perpendicularly to it has been Iifted the indefinite straight b c, whose fength has been determined after the foffowing considération. In order to discover the height of that proposed point a between the roof’s basis and the valfey’s crown, take off, on trie Fig. 308, the part Ea of the horizontal projection EK; and carry it on the Fig. 311, from E at y afong Ex, the trave-line of that latter figure; then, through y, lift y c perpendicular to Ear: the intersection b of yc with EK represents on that ïatter figure the point a of the Fig. 308 ; y b is the height of the said point over the point a, the its own dropping on the Fig. 308; and bc, Fig. 311, is to be carryed on the/Fig. 312 from bat c, for determining at c the height of the crown with regard to the point a. Then the straight a c shows the vertical projection of the rafter’s lathing; and the paralfel dh, traced accordingfy to the breadth of that rafter, shows the ceifing trace of it. The straight ae is the vertical trace of an horizontal plan passing through the point a, and the thickness of the Saint-Andrew’s cross, as weïl as of the other timbers of the inclined truss, fias been taken off verticaïîy from e at f, Fig. 311, and expressed with hf paralfel to ae, Fig. 312. Through the intersection h, trace perpendicularly to ac the straight h g, which shaïl be the vertical trace of the branch’s face receiving the framing of the rafters; and hi, the one of the face wherein the branches of the Saint-Andrew’s cross ought to be framed : the fines gk,hj, are perpendicular to a b. Then take off on that auxifiary description the distances ak,aj; and carry them on the horizontal one, from a at k and j; and through the points k, j, bring paraïlely toi? A the horizontal projections of the faces of the great branch of the shorted valley, which receive the framings of the rafters and of the branches of the Saint-Andrew’s cross.
  - In order to carry such edge-ïines on the extent’s description of the inefined truss, Fig. 314, it is forehand to be fixed there the site of the point a of the Fig. 308, by taking off the reaï fength Eb, Fig. 311, horizontafly projected on Ea, Fig.308; carrying it from E at a, Fig. 314. You shall observe after that when one pulls down the inclined truss on the roofing-basis by a motion performed on the eaves-fine, as on a hinge, for reafizing the extent’s description, the fength of the branch and its angle with the eaves-fine are changed; but the dimensions perpendicular to the fength cannot prove any alteration. Then, through the point a, Fig.308, trace the fine 1,2, inclined on the eaves E H, as EK on EH, Fig. 314; lift a4 perpendicular to 1,2, and équivalent to the horizontal trace of a section of the branch made perpendicularly to the
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- - mènera ïa perpendiculaire a4, qui se trouvera ainsi équivalente à la trace d’une section de la branche de noufet faite perpendiculairement à sa longueur : en sorte qu’il suffira de prendre les longueurs a 3, a 4, de cette Fig. 308, et de les porter, Fig. 314, de a en 3 et en 4, pour y mener par ïes points 3 et 4, parallèlement à EK, des lignes qui y représenteront ïes arêtes de la grande branche de ïa ferme penchée, et dans une situation perpendiculaire à son arête E K, contiguë au lattis du grand comble.
  - 195. La Fig. 342 étant une coupe verticale du chevron, et contenant une coupe verticaïe de la branche de nouïet, ïes lignes kg, jh, ji, sont des hauteurs de points pris sur trois des arêtes de ïa branche de nouïet, par rapport à un plan horizontal qui passerait au point qui est projeté en a dans ïa Fig. 308 : elles seront donc reportées sur ïa ligne y c, Fig. 344, de b en 5, en 6 et en 7 ; puisque la ligne y c est, dans cette dernière figure, ïa trace verticaïe de ce plan coupant. Si, par les points 5,6, 7, on mène parallèlement à E K ïes droites 7, 8 ; 6, 9 ; 5, 10; elles formeront avec E K ïa projection verticaïe de ïa branche de nouïet, sur laquelle on mènera b 10, perpendiculaire à EK, et qui sera une seconde trace d’une section perpendiculaire de ïa branche de nouïet, mais dirigée à angle droit de ïa première trace déjà trouvée a4, Fig. 308 et344. On prolongera même de part et d’autre ces lignes 7, 8 ; 6, 9 ; 5, 10 ; ce qui donnera sur la ligne supérieure du bïochet les points 11, 12, 13 et 14; et sur ïa ligne de couronnement IK, ïes points 15 , 16 et 17 : ces divers points seront employés au tracé d’une autre description auxiliaire que ï’on voit Fig. 343.
  - 196. A une distance arbitraire de la ligne EK de fa Fig. 344, on mènera d’abord une première parallèle !4i>K; puis trois autres 13, 8, 15; 12,9,16 ; 11, 10, 17, qu’on espacera de ïa première, comme le sont de EK, dans la Fig. 344, ïes droites 7,8; 6, 9; 5, 10; ce qui s’exécutera en prolongeant la perpendiculaire 4 a de la Fig. 344, et y portant du point h en 8, 9 et 10, Fig. 343, les distances 1>8, b9, b 10 de ïa Fig. 344. On prendra encore, dans cette Fig. 344, les distances de 10 à 11 et à 17, de 9 à 12 et à 16, de 8 à 13 et à 15, et de b à Eet à K; en les portera respectivement sur ïa Fig. 343, à partir de sa perpendiculaire b 10 ; et ï’on y tracera les droites 11, 12; 12, 13; 13, 14; 17, 16; 16, 15, et 15K, ainsi que les occupations et ïes mortaises destinées à recevoir ïes tenons des chevrons dé nouïet.
  - La petite branche de ïa ferme penchée a été tracée par ïe même procédé, au moyen des Fig. 343, 344 et 346 : ïes caractères littéraux et numériques appliqués à ces dernières figures sont analogues dans chacune ; ce qui nous dispense de toute explication.
  - 197. Les points principaux 31, 32, 33, 34, 35, 36, de ïa projection de la croix de Saint-André dans ïa Fig. 309, ayant été, au moyen de lignes droites et de quarts de cercle, reportés dans la Fig. 344, y ont donné, par leurs intersections sur les lignes EK, H K, J K, des points de longueurs réelles qui ont servi au tracé de ïa croix de Saint-André dans ïa description d’extension, Fig. 344, en opérant comme il suit. On prendra sur ïa ligne J K, Fig. 344, ïes distances de J aux points d’intersection des lignes 31 et 32, qu’on portera dans ïa Fig. 344, sur ïa ligne J K, de J à 31 et 32 : on prendra aussi sur H K, Fig. 344, ïes distances du point II aux intersections des lignes 33 et 34 ; et on
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  - sem zufoïge zeichnet man bei dem Punkte a , Fig. 308, die gerade Linie 1,2, weïche mit der Dachrinnenïinie E H, einen Winkeï biïdet, der dem Winkeï der Vorstelïung KEH , Fig. 344 gïeich ist ; und führt dahin die Perpendicuïarïinie a 4, weïche soïchergestaït mit einer Section des Kehïschifters, die mit dessen Lange perpendicuïar geschehen ist, von gïeichem Werthe seyn wird : man nimmt sodann nur noch die Lângen a3, a4 , Fig. 308, und trâgt sie, Fig.344, von a nach3 und nach 4, und zieht dahin durch die Punkte 3 und 4, parralïeï mit EK, Linien, weïche daseïbst die Kan-ten an dem grossen zum geneigten Binder gehôrigen Schifter in einer mit dessen Kante EK perpendicu-ïaren und an die Latten des grossen Daches anstos-senden Steïïung darsteïïen werden.
  - 195. Da die Fig. 342 ein verticaïerDurchschnitt desSparrens ist, und einen verticalen Durchschnitt des Kehïschifters in sich enthàït ; so sind die Linien kg, j h, ji, Hôhen von Punkten, weïche an drei Kehïschifterkanten, in Bezug auf einen ho-rizontaïen Plan , weïcher zu dem bei a, Fig. 308 angedeutetenPunkte geht, genommen worden sind; diese Linien werden sodann auf die Linie yc, Fig. 344, und zwar von b nach 5, nach 6 und nach
  - 7, um deswiïïen herübergetragen, weiï die Linie y c in dieser ïetztern Figur die verticale Vorsteïïung dieses durchschneidenden Planes ist. Zieht man durch die Punkte 5,6, 7, paralleï mit EK, die geraden Linien 7 , 8; 6, 9; 5, 10; so geben sie mit EK die verticale Projection des Kehïschifters, auf weïche man b 10, perpendicuïar mit EK zieht, so dass clieseïbe eine zweite Vorsteïïung von der perpendicuïaren Section des Kehïschifters seyn wird; aïïein sie ist von der ersten bereits gefundenen Vorsteïïung a 4 , Fig. 308 und 3/4 rechtwinkefig gerichtet. Man verïàngert seïbst zu beiden Seiten die Linien 7, 8;6,9;5,10; woraus sich auf der obéra Stichbaïkenlinie die Punkte 11, 12, 13 und 14; und auf der Kranzïinie IK, die Punkte 15, 16 und 17 ergeben, Diese verschieclenen Punkte werden zur Zeichnung einer anclern zugegebenen Vorstelïung angewendet ; man sieht diese ïetztere in Fig. 343.
  - 196. Man ziehe zuvorderst in einem beïiebigen Abstande von der Linie E K, Fig. 344, eine erste Paralïellinie 14bK; und sodann drei andere, 13,
  - 8, 15; 12, 9, 16; 11, 10, 17; weïche so weit von der ersten entfernt werden, aïs in Fig. 344 die geraden Linien 7,8; 6, 9; 5, 10, von EK entfernt sind ; dieses geschieht dadurch, dass die Perpendicuïarïinie 4a, in Fig. 344, verïàngert und daseïbst aus dem Punkte b, nach 8 , 9 und 10, Fig. 343 , die Abstàncle b8, b9, blO, der Fig. 344 getragen werden. Man nimmt sodann nochmals in Fig. 344, die Abstande von 10 zu 11 und 17 , von 9 zu 12 und 16, von 8 zu 13 und 15, und von b zu E und K; und tràgt sie auf die respectiven Orte in Fig. 343, wobei man von der Perpendicuïarïinie b, 10 ausgeht ; und zeichnet darin ferner die geraden Linien 11, 12; 12, 13; 13, 14; 17, 16; 16, 15 , und 15 K , nebst den Zapfenlôchern, in weïche die Zapfen an den Kehl-sparren eingesetzt werden.
  - Der Heine Schifter an dem geneigten Binder ist nach derseïben Verfahrungsweise vermitteïst der Fig. 343, 344 und 346 gezeichnet worden. Da die in diesen ïetztern Figuren enthaïtenen Buchstaben und Zahïen fur jede einzeïne Figur die nàmïichen sind, so ist jede weitere Erklàrung überfïüssig.
  - 197. Die Hauptpunkte 31, 32 , 33, 34, 35, 36, in der Vorsteïïung des Kreuzbuges, Fig. 309, weïche vermitteïst gerader Linien und Zirkelviertel nach Fig. 344 getragen worden sind, haben daseïbst durch ihre Durchschnitte auf den Linien EK, H K,
  - J K, wahren Làngenpunkte gegeben, weïche in der erweiterten Vorsteïïung Fig.344, zur Zeichnung des Kreuzbuges gedient haben. Man nimmt zu diesem Be-hufe auf der Linie J K, Fig. 344, die Abstande des Punktes J von den Durchschnitten der Linien 31 und 32, und tràgt sie in Fig. 344, auf der Linie JK, von J nach 31 und 32 : man nimmt ferner auf H K, Fig. 344, die Abstànde des Punkteé H von den Durchschnitten der Linien 33 und 34 ;
  - ïength ; after take off a 3, a 4, Fig. 308, and carry them perpendicuïarïy to EK on the Fig. 3/4, froin a at 3 and 4 : the paraïïeïs to EK, traced through the points 3 and 4, shall express the edges of the great branch of the inclined truss, and in a situation perpendicuïar to the edge EK, contiguous to the ïathing of the great roof.
  - 195. The Fig. 342 being a vertical eut of the rafter, and containing a vertical section of the valley’s branch, the straights kg, jh,ji, are the diverse heights of points seated on threeof the edges of the valley’s branch, with regard to an horizontal plan passing through the point projected at a on the Fig.308 : then, they ought to be transferred on the straight y c, Fig. 344, from b at 5, 6 and 7 ; since that line y c, on that ïatter figure, is aïso the vertical trace of the said vertical cutting plan. If, through that points 5, 6, 7, you trace paralleïy to EK the straights 7, 8;6,9;5,10; they shall perforai, with EK, the vertical projection of the valley’s branch, whereunto you shah lift b 10, perpendicuïar to EK, which shaïï be a second trace of a branch’s perpendicuïar eut, but dirccted perpendicuïarïy to the first one already found, a4, Fig. 308 and 344. You shaïï ever Iengthen towards both the sides the straights 7, 8;6,9;5,10; which shaïï détermine on the upper-Iine of the hammer-beam the points 11, 12,13 and 14; and on the crown-Iine IK, the points 15,16 and 17 : such points shaïï be used for the draught of another auxi-liary description seen on the Fig. 343.
  - 196. After having traced paraïïeïy to EK the line 14bK, distanced at wiïï from EK, bring the three other paraïïeïs 13, 8,15; 12,9,16; and 11, 10, 17, distanced from the first one 14bK, as 7, 8; 6,9 ; 5,10, are so from E K on the Fig. 344; wïiat shall be performed by ïengthening the perpendi-cular 4 a of the Fig. 344, carrying on it from the point b at 8,9,10, Fig. 343, the distances b8, b 9, b 10, Fig. 344.Ha\e ïike, on that Fig. 311, the distances from 10 at 11 and 17, from 9 at 12 and 16, from 8 at 13 and 15, and from b at E and K; carry them on the Fig. 343, respectively on the corresponding fines, from the perpendicuïar b 10; and bring at ïast the straights 11,12; 12, 13; 13,14; 17,16; 16,15, and 15K, as weïlas the occupations and mortises to reçeive the tenons of the valley’s rafters.
  - The smaïï b ranch of the inefined truss shaïï Le ïike drawn by the means of the Fig. 343,344 and 346 : the same ïetters and numbers, appïied to the same objeets, enïighten enough such a draught without any explication.
  - * 197. The principal points 31,32,33,34, 35, 36, of the projection of the Saint-Andrew’s cross on the Fig. 309, having been transferred on the Fig. 344 by means of straights and quadrants, détermine there, by their intersections with the fines EK, H K, J K, points of real Iengthes, which shaïï be used for the tracing of the Saint-Andrew’s cross on the extent’s description, Fig. 344, as itfolïows. Take off on the straight J K, Fig. 344, the distances from J at the intersections of the straights 31 and 32; and carry them, on the Fig. 344, from J at 31 and 32 on the fine J K : on the same manner, carry on the straight H K, from H at 33 and 34, the distances taken off, on the Fig. 344, from the point II
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- - les portera sur H K, Fig. 314, à partir du point H, aux points 33 et 34, par lesquels, et par les précé-dens 31 et 32, on mènera deux droites, qui seront les arêtes de la petite branche de la croix de Saint-André à la face du lattis du grand comble. On opérera de même pour la grande branche ; mais c’est sur la ligne EK, Fig. 311, qu’il faudra prendre les distances de E aux points d’insersection des lignes 33 et 34, pour les porter sur EK, Fig. 314, de E aux points 33 et 34, par lesquels, et par ceux qu’on a déjà trouvés, 31 et 32, on tracera la surface de cette branche, qui est contiguë au lattis du grand comble : on pourrait employer également les points donnés sur EK, Fig. 311, par ceux qui sont cotés 35 et 36 dans la Fig. 309.
  - 198. La ligne J K, Fig. 311, étant la trace des surfaces en juxta-position au grand comble de toutes les pièces de la ferme penchée, la ligne &&’ est celle des surfaces de la croix de Saint-André qui sont opposées au lattis du grand comble : cette dernière a été tracée à une distance de J K égale à celle des parallèles qui montrent l’épaisseur de la ferme droite OP, dans la description horizontale. Pour tracer les arêtes de cette dernière surface de la croix de Saint-André dans la herse, par le point J de la Fig. 311, on tracera perpendiculairement à J K la droite J &, qui coupera &&' au point & : en prenant, de ce point &, les distances des points d’intersection des lignes 31 et 32 , et les portant du point J, Fig. 314, on aura deux nouveaux points, 37 et 38, par lesquels on mènera des parallèles à celles qui passent par 31 et 32, et qui montreront les arêtes des branches de croix de Saint-André aux faces opposées à celles qui touchent le lattis du grand comble,
  - . 3
  - 199. Le berceau du petit comble, qui se projette dans la ferme penchée, a pour cintre primitif un demi-cercle [plein cintre], Fig. 309; ses ordonnées sont retombées dans la projection horizontale de la ferme oblique O1 P1, Fig. 308, et de là reportées parallèlement à J K, Fig. 314, où les longueurs en seront fixées comme il suit. Les portions d’ordonnées 39, 40, 41, &c. comprises entre le cintre et la ligne de trave LN de la Fig. 309, ont été reportées sur a? K de la Fig. 311, de x aux points cotés des mêmes nombres ; et par ces points on a mené des parallèles à x M : les intersections de ces parallèles sur J K, &&', sont les points dont il faut prendre les distances respectives à J et à &, pour les reporter sur les ordonnées analogues de la Fig. 314, à partir de la ligne E H, où elles donneront les points nécessaires pour faire passer les deux courbes qui y représentent les arêtes des branches de croix de Saint-André et des jambettes au lattis du berceau; ce que le dessin montre évidemment.
  - Nous devons seulement faire remarquer qu’il n’est pas nécessaire d’admettre des croix de Saint-André aux chevrons de remplissage, comme aux fermes elles-mêmes. La Fig. 317 montre qu’un simple entrait c, auquel on assemblera des goussets d, faits en bois mince, sera suffisant pour porter le lattis et le crépi du berceau.
  - II.e SOUS-SECTION.
  - 1
  - Trait à!un Comble à cinq Epis.
  - A mesure que les générations se succèdent pour composer la durée des nations qui se succèdent les unes aux autres, on voit se succéder aussi les formes des costumes, des pensées, des goûts, des mœurs mêmes. Chaque époque de l’histoire signale la naissance d’un usage, d’une mode, d’un goût particulier ;
  - ( 117 )
  - und tràgt sie auf H K, Fig. 314, von dem Punkte H, nach den Punkten 33 und 34 ; durch diese letztern, so wie durch die erstern, 31 und 32, zieht man zweigeradeLinien, welche die Kanten an dem kleinen zum Kreuzbuge gehorigenHoIze, nach der Lattenseite des grossen Daches, zu, vorstellen. Fiir dass grosse Holz an diesem Buge wird auf àhn-liche Weise verfahren ; nur nimmt man auf der Linie EK, Fig. 311, die Abstânde zwischen E und den Durchschnitten der Linien 33 und 34, und tràgt sie auf EK, Fig. 314, von E nach den Punkten 33 und 34, und zeichnet vermittelst dieser Punkte, so wie vermittelst der schon gefundenen, 31 und 32 , die Flâche dieses Holzes an dem Lattenwerke des grossen Daches : es liessen sich dazu ebenfalls auch diejenigen Punkte anwenden, welche die in Fig. 309, mit 35 und 36 bezeichneten, auf EK, Fig. 311, gegeben haben.
  - 198. Da dieLinie J K, Fig. 311, dieVorstellung von denjenigen Seiten ist, an welchen, am grossen Dache, die sâmmtïichen zum geneigten Binder ge-hôrigen Hôlzer zusammengesetzt werden ; so stellt dieLinie &&' diejenigen Seiten am Kreuzbuge vor, welche dem Lattenwerke des grossen Daches ent-gegengesetzt sind. Diese letztere Linie ist eben so weit von J K entfernt gezeichnet, aïs die Parallel-ïinien, welche die Dicke des geraden Binders OP, in der horizontalen Vorstellung zeigen, von einan-der entfernt sind. Um die Kanten an dieser letztern Bugseite in der erweitertcn Vorstellung zu zeichnen, ziehe man durch den Punkt J, Fig. 311, perpendi-dicular mit J K, die gerade Linie J & , welche &&' bei dem Punkte & durchschneidet : nimmt man sodann von diesem Punkte &, die Abstânde der Punkte, an denen sich die Linien 31 und 32 durchschneiden , und tràgt sie auf den Punkt J , Fig. 314, so erhàlt man zwei neue Punkte 37 und 38, wodurch mit den Linien, welche durch 31 und 32 gehen, parallèle Linien gezogen werden. Diese Punkte zeigen sodann die Kanten an den Bug-hôlzern , und zwar an denjenigen Seiten , welche den das Lattenwerk am grossen Dache berührenden Seiten entgegengesetzt sind.
  - 199. Der Bogen am kleinen Dache, welcher sich in dem geneigten Binder darstellt, hat zum ertsen Bogen einen Halbzirkel [vollen Bogen], Fig. 309; die Ordinaten desseïben sind aus dem Grundrisse des schràgen Binders O1 P', Fig. 308, paralïel mit J K, nach Fig. 314 zurückgetragen , und daselbst die Làngen desseïben foïgendermassen gefunden worden: Die Ordinatentheile 39, 40, 41, u.s.w., welche sich zwischen dem Bogen und der Stuhï-wandlinie LN, Fig. 309, befmden, sind auf xK, Fig. 311, von x nach den mit den nàmlichen Zif-fern bezeichneten Punkten gebracht, und durch diese PunkteParallellinien mit x M gezogen worden. Die Durchschnitte dieser Parallellinien auf JK, &&', sind die Punkte, an denen die respectiven Abstânde von J und von & genommen, und auf dieâhnïichen Ordinaten, Fig.314 getragen werden müssen ; wobei man von der Linie E H ausgeht, woselbst sie die zum Durchgange der beiden krum-men Linien nothigen Punkte gehen. Diese krummen Linien bezeichnen daselbst die Kanten an den Bug-und'StützhôIzern am Lattenwerke des Bogens; wie sich solches deutlich aus der Zeichnung ergiebt.
  - Wir bemerken nur noch, dass die Anlegung der Kreuzbüge an den ausfüllenden Sparren nicht so erforderïich ist wie bei den Bindern. Die Fig. 317 zeigt, dass ein einfacher Spannriegel c, nebst einigen aus dünnen Hôlzern gearbeiteten Tragbândern d, das Latten- und Tünchwerk am Bogen ohne Gefahr tragen kônnen.
  - ZWEITER BEIABSCHNITT.
  - Zeichnung eines Dachstuhls mit fünf Giebel-’ sàulen.
  - So wie Geschlechter vergehen und sich erneuern zür Fortdauer der Nationen , die ihrerseits sich ebenfalls einander PItaz machen ; eben so wechseln auch Trachten, Ansichten, Sittenund Geschmack. Eine jede Zeitperiode meldet die Entstehung einer besondern Mode, eines besondern Gebrauches und
  - at the intersections of the parallels 33 and 34 willi the straight HK: then, through that so found points on HK, Fig. 314, and the ones already fîxed on J K, bring two straights, which shall be the edges of the smaïl branch of the Saint-Andrew’s cross at the lathing of the great roof. The great branch shall be traced on the same manner by taking off on the straight EK, Fig. 311, the distances from E at the intersections of the fines 33 and 34 ; carrying them on E K, Fig. 314, from E at 33 and 34, and bring-ing the straights 33,31 ; 34,32, which shall be the edges of the great brandi of the Saint-Andrew’s cross, contiguous to the lathing of the great roof. The points given on EK, Fig. 311, by the straights quoted 35 and 36 on the Fig. 309, can be like used, and drive the same resuit.
  - 198. The straight J K, Fig. 311, being the trace of the surfaces contiguous to the great roof in every timber of the inclined truss, the surfaces of the Saint-Andrew’s cross, which are opposite to the lathing of that great roof, hâve for their own trace the straight & distanced from J K accordingly to the thickness of the right truss OP, on the horizontal description. In order to drawing on the Iedgement thatNformer surface of the Saint-Andrew’s cross, through the point J of the Fig. 311, lift to J K the perpendicular J&, cutting &&' on &; take off the distances of that point & at the intersections of the straights 31 and 32, and carry them on the Fig. 314 from the point J at 37 and 38; and through that latter points, bring parallels to the foregoing straights passing at 31 and 32 : they shall show the edges of the branches of the Saint-Andrew’s cross at the faces opposite to the ones which touch the lathing of the great roof.
  - 199. The bower of the smaïl roof, which pénétrâtes the inclined truss, having for primitive center a half circle of the Fig. 309; the ordinates of it are dropped on the horizontal projection of the oblique truss O' P', Fig. 308, and thereof carryed parallely to JK, Fig.314, wherein they hâve been deter-mined as it follows, with regard to their own length. The parts of ordinates 39,40,41, &c., con-tained between the curve and the trave-line L N, Fig. 309, hâve been carryed on æK, Fig. 311, from x to the diverse points quoted with the same numbers; and through the so found points, parallels hâve been brought to x M : the respective distances from J and &, at the intersections of that parallels on the straights J K and &&', shall be taken off, and carryed on the analogous ordinates of the Fig. 314, from the trave-Iine EH, and they shall détermine there some passage-points for tracing the two curves showing the edges of the Saint-Andrew’s cross and of the ashleers, as it is plainly seen on the figure.
  - We wilï only remark that it should be needless to add a Saint-Andrew’s cross to each of the filling rafters, as well as to the truss. The Fig. 317 shows how a simple collar c, with framed brackets d, of thin wood, shall sufficiently bear the lathing and plastering of the bower.
  - 11/ UNDER-SECTION.
  - Draught of a Roofing with five Tops.
  - Even as the progenies succeed to each other, and perform so the duration of the nations, successive also to each other, one sees the same succession into the manners, raiments, thoughts, tastes, cus-toms. Every epoch of the history shows the birth of a particular usage, fashion, fancy ; the rising of
  - 3.e Partie.
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- - les accroisscmens d’un autre; le triomphe d’un troisième, auquel se rattachent alors les idées de grâce, d’élégance, de beauté; la décadence d’un quatrième, et ïanéantissement d’un plus ancien. II en est, pour ainsi dire, de même des ouvrages des arts : et nous citerons, à cet égard, les combles très-élevés des siècles précédons ; ceux qui leur ont succédé dans les derniers siècles, et que l’on a brisés pour en diminuer la hauteur; et ceux qui sont composés d’un très-grand nombre de surfaces, comme était celui de la petite flèche qui surmontait la croisée du comble de la cathédrale de Paris, &c. Cette multiplicité de surfaces a donc eu ses admirateurs, qui les ont employées dans les ouvrages confiés à leur art, en croyant donner ainsi un caractère d’importance au monument qu’ils couvraient. Aujourd’hui nous blâmerions un ouvrier qui les emploierait sans nécessité, parce que cette multiplicité de surfaces enchérit le prix de l’ouvrage. Si cependant un plus grand nombre de surfaces que celles qui sont absolument nécessaires pour couvrir un bâtiment, pouvait, dans certains cas, être toléré, en raison, soit de la composition du bâtiment, soit de ses localités, soit des matières qui y sont admises; on pourra exécuter la sorte de comble que les praticiens appellent un cinq épis, et que nous avons prise ici pour exemple, en supposant un corps de bâtiment terminé par un pavillon rectangulaire qui est en avant-corps sur ses deux faces.
  - 200. On voit dans la description horizontale , Fig. 318, 319, 320 et 321, les quatre angles F, H, J, M, de l’égout du pavillon ; et en L N et KO, ceux du corps du bâtiment : les lettres A, B, C,D, montrent les projections horizontales des quatre poinçons. Au premier, A, qui occupe le centre, aboutissent les deux noues, AH et AF, qui sont propres au pavillon ; ainsi que les deux autres, AK et AL, qui appartiennent en commun au pavillon et au grand comble : les six arêtiers des trois croupes aboutissent aux autres poinçons, B, C,D. La moitié de cette description horizontale, cotée Fig. 318et319, montre le chevronage, c’est-à-dire, les surfaces des arêtiers, des chevrons et des empanons qui doivent recevoir le lattis ; l’autre moitié, Fig. 320 et 321, montre les plates-formes et les blochets.
  - /
  - Les Fig. 322, 322 bis et 323, présentent les descriptions verticales des demi-fermes du pavillon, prises au milieu de leur épaisseur : la Fig. 327 montre celle d’une des fermes du grand comble, dessinée de même.
  - 201. La Fig. 324 représente la face verticale de l’un des arêtiers de long-pan, côté de la croupe, et des autres pièces qui y sont assemblées, dessinée sur sa projection horizontale HD, Fig. 320. La Fig. 325 montre également une des faces verticales de la noue de pavillon, dont la projection horizontale est HA. La Fig. 328 est aussi la projection verticale de la face verticale tournée vers la croupe, de la noue projetée horizontalement en A K, Fig. 321, et qui est en raccordement d’une des faces du pavillon avec un des versans du grand comble.
  - 202. Les noues sont, comme les arêtiers, susceptibles de différentes formes ; et leur tracé s’exécute par les mêmes procédés : la seule différence est que l’angle recreusé, qui est à la face du lambrissage aux arêtiers, est a celle du lattis aux noues, quand celles-ci sont recreusées. Nous avons adopté dans cet exemple les noues que les praticiens nomment dc-ïardces, c’est-à-dire, d’une configuration telle, que les empanons s’y assemblent par une coupe qui, sur deux de leurs faces, soit perpendiculaire à leur dimension longitudinale; et nous avons supposé les empanons tellement disposés, que leur projection horizontale soit parallèle à celle des lignes de couronnement. Le tracé a été fait comme il suit : 1,° poür la noue projetée en AH, Fig. 320, et dont le bout supérieur s’assemble au poinçon central A.
  - ( H» )
  - Geschmackes ; die Verbreitung eines andern ; den Triumph eines dritten, welcher sich sodann durch grôssere Schônheit und Zierlichkeit auszeichnet ; das Veralten eines vierten, und endlich das Auf-Iiôren eines seit lângerer Zeit bestehenden. Das nâmliche kann auch von den Künsten gesagt wer-den. Wir erinnern diesfalls an die hohen in den vorigen Jahrhunderten üblichen Dâcher, ferner an die , welche in den letztern Jahrhunderten an ihre Stelle traten , und zur Verminderung der Hôhe ge-brochen wurden, so wie endlich an die vielseitigen , wie z. B. das kleine Thurmdach über dem grossen Fenster der Pariser Kathedralkirche, u. s. w. Diese vielseitige Gestalt fand den Beifall gewisser Bau-meister, welche solche nachahmten, weii sie glaub-ten, dass dadurch das Gebàude ein wichtigeres An-sehen erhielte. Gegenwârtig aber würde sich ein Baumeister, welcher solche ohne Noth anwendete, gerechtem Tadel aussetzen, indem dergleichen vielseitige Dâcher den Bau kostspielig machen. Soflte aber bei einem Gebâude wegen der Zusam-mensetzung desselben, oder wegen localer Um-stânde, oder auch wegen der dazu anzuwendenden Materialien eine grôssere Menge Dachflâchen aïs ge-wôhnlich angebracht werden müssen ; so kann das sogenannte fünfgiebelsâuligc Dach nach dem hier angegebenen Muster ausgeführt werden ; wobei wir ein Gebâude angenomm en haben, welches sichvorn an den beiden Seiten in einem rechtwinkeligen Pavillon endigt.
  - 200. Der Grundriss in den Fig. 318,319,320 und 321, zeigt die vier Winkel F, H, J, M, an der Dachrinne des Pavillons; und bei LN nnd KO, die Winkel am Gebâude. Die Buchstaben A, B, C, D, zeigen die horizontalen Vorstellungen der vier Giebeïsâuïen. Mit der ersten, A, welche im Mittel-punkte steht, sind die beiden zum Pavillon gehô-rigen Kehlsparren A H und A F, so wie die beiden andern, A K und A L, welche zum Pavillon und zum grossen Dache gemeinschaftlich gehôren, ver-bunden ; die sechs andern zu den drei Walmen ge-hôrigen Ecksparren, sind in die übrigen Giebeïsâuïen B,C,D, eingebunden. Die in denFig.318 und319 enthaltene erste Hâlfte dieses Grundrisses zeigt das Sparrenwerk, d. h. die Flâchen derEck-Schift- und gewôhnlichen Sparren, auf welche die Latten aufge-nagelt werden. In derzweiten Hâlfte, Fig. 320 und 321, sind die MauerlattenundStichbalkenenthalten.
  - Die Fig. 322,322 bis und323, stellen die Auf-risse von den halben Pavillonsbindern vor, welche in der Mitte ihrer Dicke genommen sind. In der Fig. 327 ist der Aufriss von einem zu dem grossen Dache gehôrigen und auf gleiche Weise gezeich-neten Binder zu sehen.
  - 20 L Die Fig. 324 zeigt die verticale Flâche von einem an der Waïmenseite stehenden und zur lan-gen Dachseite gehôrigen Gradsparren , nebst den übrigen damit verbundenen Hôlzern. Die Zeich-nung ist nach der horizontalen Vorstellung HD, Fig. 320, geschehen. In Fig. 325 sieht man gleichergestalt eine von den verticalen Flâchen des zum Pavillon gehôrigen Kehlsparrens, dessen horizontale Vorstellung HA ist. Die Fig. 328 ist die verticale Vorstellung von einer nach dem Walmen zu gekehrten verticalen Flâche des bei AK, Fig. 321 horizontal angegebenen Kehlsparrens; diese Flâche trifft mit der einen Iangen Dachseite und einer der Pavillonflâchen zu.
  - 202. Die Kehlsparren kônnen, wie die Gradsparren , verschiedentlich gestaltet seyn ; wobei die Zeichnung bei beiden auf die nâmliche Weise ge-schieht. Der einzige Unterschied ist der, dass bei den Gradsparren der ausgeschnittene Winkel sich nach der Verschalungzu, und bei den Kehlsparren, wenn solche ausgeschnitten sind, nach dem Latten-werke zu befindet. Wir haben im gegenwârtigen Beispiele die sogenannten abgeholzten Kehlsparren angenommen , mit denen die Schiftsparren vermit-telst eines Schnittes verbunden werden, welcher auf zwei Seiten mit der der Lângenach gehenden Dimension perpendicular ist ; auch sind die Schiftsparren dergestalt angeordnet worden, dass ihre horizontale Projection mit den Kranzlinien parallel ist. Die Zeichnung geschieht wie folgt : l.° bei dem
  - another ; the triumph of a third one, to which every one tied then the Iiint of agreeableness, elegance, beauty ; the decay of a fourth, and the annihilating of an older one. It is thereabout the same as for the arts’s works : and we can enumerate Iiere the highest roofings of the older âges; the broken ones less high, which hâve succeeded to them ; and the roofs com-posed with numerous surfaces, as the smaïl spire which had been lain over the cross of the cathédral church in Paris, &c. Then such a multiplicity of surfaces bas been formerly admired, and used for confering into the roof’s workings a note of importance. The employment of them without any neccs-sity should be now blamed, because they increase the price of the working. If nevertheless more surfaces than the ones severely necessary for roofmg should be admitted, according to the buildings disposai, or site, or matters; one could execute the kind of roofings caîled by the practisers with five tops, the matter adopted for that example, sup-posing a building bounded by a rightangled pavilion making a forebody on both its faces.
  - 200. On the horizontal description, Fig. 318, 319,320 and 321 , are seen the four corners F,11, J,M, of the pavilion’s eaves; LN and KO, the eaves-Iines of the buildings body : the letters A, B, C,D, show the horizontal projections of the four king-posts. On the .central one, A, end both the valleys, AII, AF, own to the pavilion, as wellas both the others, AK, AL, common to the pavilion and great roof : the six bips of the three ends border on the other king-posts, B, C,D. The half part of that horizontal description, quoted Fig. 318 and 319, shows the raftering, viz, the lathing faces of the rafters, or principal, either smaïl, whether shorted ; the other half part, Fig. 320 and 321, shows the wall-plates and hammcr-beams.
  - The Fig. 322,322 bis and323, show the vertical descriptions of the half-trusses of the pavilion, designed on the middle way of their depth : the Fig. 327 is the one of a truss of the great roofmg, drawn on the same manner.
  - 201. The Fig. 324 shows the vertical face of one of the hips of the long side, at the end, and of the other pièces assembled here, drawn on its horizontal projection HD, Fig. 320. The Fig. 325 equally shows one of the vertical faces of the pavilion’s valley, the horizontal projection of which is II A. The Fig. 328 is also the vertical projection of the vertical face turned towards the end, of the valley horizontally projected in AK, Fig. 321, and making the levelling of one of the pavilion’s faces to one of the great roof’s pourings.
  - 202. Valleys, as well as hips, are able toreceive diverse shapes, and drawn on the same manners: but the grooved angle, being on the ceiling of hips, is on the lathing of the grooved valleys. On the présent example, we hâve adopted the valleys caîled by the practisers shaved, what is to say, soshaped that the framing of the shorted rafters can be effected with a eut perpendicular to length on the vertical faces of the said rafters ; and we hâve sup-posed such a disposai of the rafters, that the horizontal projection of them could be parallel to the one of the crowning-Iines. The draught of it lias been performed as it follows: l.rst concerning the valley projected on A H, Fig. 320, upperhound-ing on the central king-post A.
  - i
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- - Supposé que Ton prenne pour point de départ du tracé le point x de cette noue, placé sous ï’angïe du plan de couronnement déterminé par les poinçons, ia perpendiculaire xd, menée à HA sur ïa Fig. 325, y donnera en x' la projection verticale de ce point; et dx' sera ïa quantité dont ce point est abaissé au-dessous du plan de couronnement. Ainsi, en prenant xD, Fig. 320, pour ïa trace verticale d’un plan horizontal qui passe en x; portant dx' de ïa Fig. 325 de D en c, Fig. 320; menant ex, et sa parallèle ge, qui exprime ïa largeur de ï’em-panon, et coupant ces deux lignes par ïa perpendiculaire xe, on aura ïa projection verticaïe de ï’em-panon en egex, dans îaqueïïe ex sera la trace verticale de ïa face de la noue qui doit recevoir l'assemblage des empanons coupés à l’équerre à leurs faces verticales.
  - Nous avons représenté plus en grand, Fig. 329 et 330, ïa même marche de tracé, pour en tirer plus sensiblement ce qui regarde la coupe de la noue. On voit, Fig. 329, avec les mêmes caractères littéraux, ïa projection horizontale ACDx de ïa sommité de ïa noue AH de ïa Fig. 320; et à la Fig. 330, ïa description verticale a'c'x' des mêmes objets, dans ïaqueïïe x'a', quoique transposée, faute de place, est égaïe êt.paraïïèïe à xA, Fig. 329; et x1 c1 représente, sous ï’angïe c'x'a', égal a. x'a D de ïa Fig. 325, la projection verticaïe de ïa sommité de la même noue, edex, Fig. 329, représente de même ïa projection verticale de ï’em-panon proposé ; x e, sa coupe inférieure sur ïa face verticale, d’équerre à sa longueur; e, un point de ïa ligne du déïardement de ïa noue, pris sur une coupe verticale de cette noue, faite en continuité de ïa face verticale de fempanon; et ef, la quantité dont ce point e se trouve abaissé au-dessous du plan horizontal que l’on ferait passer par le point a/ de ïa Fig. 325.
  - II suffit donc de porter e f sur une verticaïe de ïa Fig. 330, par exemple de c' en e', et d’y mener par e* une parallèle à c' x', pour avoir ïa ligne de déïardement de ïa noue en projection verticaïe : le déïardement de l’autre face verticaïe de cette noue, étant ïe même, se trouve déterminé par le même tracé ; et l’autre parallèle à c' x', menée par le point g de ïa même Fig. 330, y montre ïa trace verticaïe de la face de ïa noue au lambrissage, d’après ïa largeur de cette noue. Pour appliquer ce tracé au volume sur un trait carré, il suffit de mener à x'c' une perpendiculaire quelconque, comme gi; d’y prendre ïes longueurs g h ou ih, et d’en porter une sur chaque face verticaïe de la pièce de bois, à partir de l’arête respective d’où ïa mesure a été prise : on aura ainsi un point de passage de chaque arête de déïardement.
  - 203.2.° Pour ïa noue projetée en A K, Fig. 321, nous avons pris aussi pour base du tracé le point y, placé de même sous l’angle du plan de couronnement. Ici, il y a de ïa différence entre les projections horizontales y D, yz, des deux empanons qui aboutissent à ce point ; ce qui entraîne deux constructions pour trouver ïes déïardemens. La verticaïe y b, dirigée sur ïa Fig. 327, y donne y' pour ïa projection verticaïe de ce point, et b y' pour son abaissement au-dessous du plan de couronnement : ce sont ïes mêmes résultats qu’on aurait en dirigeant sur ïa Fig. 328 ïa droite y y'b, perpendiculairement à AK. Portant donc cette hauteur b y1 de D en b1, et menant b1 y, on a eu la pente réelle de fempanon du pavillon; et en portant ïa même hauteur de z en b", la droite b" y exprime pareillement ïa pente de fempanon de long-pan projeté en yz.
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  - in AH, Fig. 320 angegebenen Kehïsparren, dessen obérés Ende in die in der Mitte stehende Giebeïsâule A eingebunden wird.
  - Nimmt man an, dass man bei der Zeichnung von dem Kehïsparrenpunkte x ausgeht, weïcher unter dem Winkeï desvonden Giebeïsâuïen angegebenen Kranzpïanes steht ; so wird die Perpendicularïinie xd, weïche nach HA, Fig. 325 gezogen worden ist, daseïbst bei x' die verticaïe Projection dieses Punktes geben ; und dx' wird die Grosse seyn, um weïche dieser Punkt unter den Kranzpïan herabge-senkt worden ist. Nimmt man aïso xD, Fig. 320 aïs verticale Vorsteïlung einer horizontaïen Flâche, weïche durch #geht, und tragt dx', Fig. 325, von D nach c, Fig. 320; zieht sodann ex, nebst dessen Paraïlellinie ge, weïche die Schiftsparren-breite angiebt ; und durchschneidet diese beiden Linien vermitteïst der Perpendicularïinie xe ; so erhâït man die verticale Vorsteïlung des Schiftspar-rens bei egex, worin ex die verticale Vorsteïlung derjenigen Kehïsparrenseite seyn wird, mit weïcher die an ihren Flâchen geradewinkeïig geschnittenen Schiftsparren verbunden werden.
  - Die nâmïiche Zeichnung ist in Fig. 329 und 330 nach einem grôssern Maasstabe ausgeführt worden ; wodurch der Kehïsparrenschnitt noch er-sichtlicher wird. Die Fig. 329 zeigt mit den nâmïichen Buchstaben die horizontale Vorsteïlung AC D x, von derHôhe des Kehïsparrens A H, Fig.320; und Fig. 330, den Aufriss a'c'x', von den nâm-ïichen Gegenstànden. x' a', welches aus Mange! an Pïatz transponirt werden musste, ist darin gïeich xA, Fig. 329, und mit demseïben paraïïel; und x' c', zeigt unter dem Winkeï c'x'a’, gïeich x' aD, Fig. 325, die verticale Vorsteïlung von derHôhe des nâmïichen Kehïsparrens. edex, Fig. 329, zeigt die verticale Vorsteïlung vom Schiftsparren ; x e, dessen untern Schnitt auf der verticalen Flâche ; er ist mit seiner Lange geradewinkeïig ; e einen Punkt zur Linie , weïche das Abhoïzen am Kehïsparren bezeichnet ; dieser Punkt ist an diesem Sparren auf einem verticalen Schnitte genommen, weïcher mit der verticalen Schifftsparrenfïache in fortgesetzter Richtung geschèhen ist ; e f, endlich, bezeichnet die Grosse, um weïche dieser Punkt e, unter den horizontaïen Plan , weïcher durch den Punkt x', Fig. 325 geht, herabgesenkt ist.
  - Um aïso die Linie zum Abhoïzen des Kehïsparrens vertical zu erhaïten, braucht man bïoss ef auf eine Verticaïïinie der Fig. 330, z. B. von c' nach e' zu tragen , und daseïbst durch e' eine mit c'x' parallèle Linie zu ziehen. Das Abhoïzen an der an-dern verticalen Flâche dieses Sparrens, ergiebt sich aus der nâmïichen Zeichnung. Die andere, mit c'x1 parallèle Linie , weïche durch den Punkt g, Fig. 330, gezogen worden ist, zeigt, der Breite nach , die verticale Vorsteïlung der nach der Verschaïung zugèkehrten Kehïsparrenseite. Um diese Zeichnung auf den fragïichen Gegenstand an-zuwenden, braucht man bïoss auf xV, eine belie-bige Perpendicularïinie, z. B. gi, zu ziehen, die Lângen g h oder ih zu nehmen, und eine davon auf jede verticaïe Flâche des Holzes zu tragen ; wobei man von der respectiven Kante ausgeht, von weïcher der Maasstab genommen worden ist : man erhâït soïchergestaït einen Durchgangspunkt zu jeder Kante an den abzuhoïzenden Seiten.
  - 203. 2,° Bei dem in A K, Fig. 321 angegebenen Kehïsparren, sind wir von dem Punkte y, weïcher ebenfalïs unter dem Winkeï irn Kranzpïane steht, ausgegangen. Da hier aber zwischen den horizontaïen Vorsteïïungen yD, y z, der beiden bis zu diesem Punkte gehenden Schiftsparren eine Ver-schiedenheit Statt findet, so sind zur Ausmitteïung des AbhoHens zwei Zeichnungen nôthig. Die Ver-ticaïïinie y b, weïche nach der Fig. 327 geht, giebt daseïbst y' zur verticalen Vorsteïlung dieses Punktes , und by zur Grosse, um weïche sich der-seïbe unter den Kranzpïan herabsenkt. Die nâmïichen Resuïtate würde man erhaïten, wenn man auf die Fig. 328, die gerade Linie yy'b, mit A K perpen-dicular hinzôge. Trâgt man aïso diese Hôhe b y', von D nach b', und zieht b' y, so erhâït man die wahre Neigung des zum Pavillon gehôrigen Schiftsparrens;
  - Let be supposed for the draught’s departure the point x of such a valley, seated under the corner of the crowning-pïan determined by the king-posts; the perpendicuïar xd, Iifted on IIA, towards the Fig. 325, fixes on x‘ the vertical projection of that point; and then dx1 shows the vertical distance of such a point below the crowning-pïan. Consequently, ïook on xD, Fig. 320, as the vertical trace ofan horizontal plan passing through x; carry dx' of the Fig. 325 from D to c, Fig. 320; bring ex, and paralïeïy to it ge, showing the rafter’s breadth; and eut that former fines with the perpendicuïar x c : you so shaïï hâve the vertical projection of the rafter egex, and into e x the vertical trace of the valley’s face into which ought to be framed the shorted rafters eut rectanguïarly at their vertical faces.
  - On the Fig. 329 and 330, we hâve amplified such a draught with a greater scaïe, in order to teach more sensibly the valley’s eut. One sees on the Fig. 329, with the same ïetters, the horizontal projection ACDx of the summit of the valley AII of the Fig. 320; and on the Fig. 330, the vertical description a'c'x' of the same objects, wherein a'x', though transposed for want of place, is equaï and paraïïel tox-4 of the Fig. 329; and c'x' shows, with the angle c'x'a', equaï to x’ a D of the Fig. 3 25, the vertical projection of the summit of the same valley, edex, Fig. 329, shows aïso the vertical projection of the proposed rafter; xe, its inferior eut perpendicuïar to the length ofit; e, a point of the valley’s shaving-line, being on a vertical eut of that valley, made along the lengthening of the vertical face of the rafter ; and e f, the vertical distance of that point e under the horizontal plan, which shouïd pass through the point x' of the Fig.325.
  - Consequently, by carrying e f on a vertical straight whatsoever of the Fig. 330, from c' at e', for instance , and bringing through e' a paraïïel to c' x', you shaïï hâve a vertical projection of the valley’s shaving-ïine, which belongs to both the vertical faces of such a valley : the other paraïïel to c'x', brought through the point g on the same Fig. 330, shows there the ceiling vertical trace of the valley, according to its own breadth. As for appïying such a draught to a square trace on the buïk, it suffices to lift a whatsoever perpendicuïar to x' c', as g i ; take off g h or i h, and carry it on each of the vertical faces of the timber, from the edge anaïogous to the departure of measuring; and then, a passage point of each shaving-edge shaïï be determined.
  - 203. 2.<î,y As for the vaïïey projected on AK, Fig. 321, we hâve adopted ïike, as draught’s departure , the point y, seated aïso under the corner of the crowning-pïan. Here, the horizontal projections y D,yz, of both the rafters bounding on such a same point, are diverse from each other; and then, only one draught cannot be sufficient for both the shavings. The vertical y b, directed on the Fig. 327, shows there at y‘ the vertical projection of that point, and b y' the vertical distance of it under the crowning-pïan : what shouïd ïike resuit, if one couïd direct towards the Fig. 328 the straight y y b, per-pendicuïar to AK. Then, carry that height b y' from D at b1, Fig. 321, and bring b'y, as the reaï shelving of the paviïion’s rafter : by carrying the samje height from z at b", and bringing b y'1, you shaïï express ïike, by the means of the straight
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- - Ces deux constructions se voient faites plus en grand, Fig. 329, au moyen de la Fig. 331, qui est fa projection verticale de la sommité de la noue, faite sur ay, égale et parallèle à A y de la Fig. 3.29, avec fangle b y a, égal à b y' a, qui exprime fa pente réelle de cette noue dans la Fig. 328. Alors a h de cette Fig. 331 exprimant la hauteur du couronnement au-dessus du point y, on a porté cette hauteur, Fig. 329, de D en c, d’une part, et de z en j, d’autre part; puis, ayant mené c y et j y, et exprimé ïa largeur des empanons par les parallèles respectives (le et k l, on a coupé ces lignes par les perpendiculaires aussi respectives y e, y l.
  - Les hauteurs verticales ef et Im ont été ensuite transportées à ïa Fig. 331, sur une verticale cg; savoir, ef, de c en e , par où l’on a mené la ligne de déïardement du côté du pavillon; et Im, portée de c en/', a déterminé f arête du déïardement de ïa face tournée vers ïe long-pan. En exprimant aussi ïa ïargeur de ïa noue dans cette figure, et y traçant une perpendiculaire gi, on pourra transporter sur un trait carré du volume les points k,h, des deux arêtes de déïardement, comme il a été expliqué à ïa noue du pavillon.
  - 204. Ce dernier tracé supposant inégaux en pente, en longueur et en projection, ïes deux empanons qui doivent s’assembler en un même point de ïa noue, et étant absolument indépendant des angles du bâtiment, iï est sensible qu’il possède une généralité qui le rend susceptible de résoudre tous ïes cas, et même ceux des bâtimens biais, dont ïes auteurs de trait font cependant une théorie particulière.
  - Remarque. On trouve dans l’Art du trait de charpente, par Nicolas Fourneau, I.rc partie, page 9, l’observation suivante : « A ces sortes d’ouvrages, iï » faut bien proportionner ïa force des bois suivant » leur fardeau, et faire attention que l’on ne peut » mettre les noues trop fortes, vu que tous ïes em-« panons et ïes pannes contribuent beaucoup à leur » mine; et qu’au contraire, dans les croupes, ïes » empanons soutiennent ïes arêtiers , et qu’ils n’ont » pas besoin detre aussi forts, à beaucoup près, que » les noues. »
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  - Nous regrettons que cette observation ne fasse pas connaître les proportions des résistances, la force des bois, que ïe praticien doit employer en raison des longueurs des arêtiers, des noues, des empanons, et aussi en raison des plans inclinés que ces pièces forment ensemble. Nous croyons devoir engager les savans à examiner ces problèmes, qui intéressent essentiellement ï’art, et dont nous croyons ïa solution possible, vu que ïa considération des forces mortes est généralement suffisante pour cela, et que ceïïe des forces vives, admise dans ïes planchers, est inutile dans ïes combles , si ï’on excepte ceux des théâtres, auxqueïs on est parfois forcé d’adapter quelque machine.
  - ( 120 )
  - und trâgt man diese nâmïiche Hôhe von z rtach b", so bezeichnet die gerade Linie b" y die Neigung, weïche der bei yz angegebene Schiftsparren an der langen Dachseite hat.
  - Diese beiden Zeichnungen sind in Fig. 329, vermittelst der Fig. 331 weitïâuftiger ausgefiïhrt worden. Diese ïetztere Figur ist die verticale Vor-steïlung von der Kehïsparrenhôhe, weïche auf ay, paralleï und gïeich A y, Fig. 329, vermittelst des Winkeïs bya, gïeich by a, ausgeführt worden ist; dieser Winkeï zeigt in Fig. 328 die wahre Neigung des Kehïsparrens : a b, Fig. 331 bezeichnet sodann über dem Punkte y die Kranzhôhe , weïche in Fig. 329, einerseits von D nach c, und anderer-seits von z nach j getragen wurde ; ferner ist c y und j y gezogen, und die Breite der Schiftsparren durch die respectiven Paraïïeïlinien d e und k l an-gegeben worden ; worauf diese Ietztern vermittelst der ebenfaïïs respectiven Perpendicuïarïinien y e, y l, durchschnitten worden sind.
  - Die verticaïen Hôhen ef und Im sind sodann nach Fig.331, auf eine Verticaïlinie cg getragen worden ; und zwar ef, von c nach eJ, woraus sich die Abhoïzungsïinie an der Paviïlonseite ergeben hat ; und Im, von c nach woraus die Schnitt-kante an der der ïangen Dachseite zugekehrten Fïâche entstanden ist. Giebt man zu gïeicher Zeit in dieser Figur die Kehïsparrenbreite an, und zeich-net darin eine Perpendicularïinie gi, so kann man auf das fragïiche Hoïz die Punkte k, h, der beiden Schnittkanten so tragen, wie bei dem zum Pavillon gehôrigen Kehïsparren erkïârt worden ist.
  - 204. Da diese ïetztere Zeichnung die beiden Schiftsparren, weïche mit dem Kehïsparren an ei-nem und demseïben Punkte verbunden werden solïen, der Neigung, Lange und Projection nach aïs ungïeich annimmt, und da ferner dieselhe mit den Winkeïn des Gebâudes in keiner Beziehung steht, so foïgt daraus, das selbige, ihrer AHgemein-heit wegen, zur Auflôsung aller Fâlle geeignet ist, seïbst bei schrâgen Gebâuden, wo indess die den Hoïzschnitt abhandeïnden Schriftsteîïer eine beson-dere Théorie aufsteïïen.
  - Anmerkung. In der von N. Fourneau herausge-gebenen Abhandïung, betiteït l’Art du trait de charpente, Th. 1, p. 9, befindet sich folgende Bemerkung : « Bei Zusammensetzungen dieser Art » muss die Stârke der Hôïzer mit der zu tragenden » Last im Verhâltnisse stehen ; auch müssen sehr » starke Kehïsparren angeïegt werden ; indem aile » Schiftsparren und Fetten zu ihrer Schadhaftwer-»> dung sehr viei beitragen ; bei den Waïmen aber » unterstützen die Schiftsparren die Gradsparren , » so dass sie bei weitem nicht so stark zu seyn » brauchen aïs die Kehïsparren. »
  - Es ist zu bedauern, dass diese Bemerkung keinen Aufschïuss giebt über die Grade des Widerstandes (Kraft der Holzer), weïche nach den verschiedenen Langen der Eck- Kehï- und Schiftsparren, so wie auch nach den geneigten Pïânen, weïche diese Hôïzer unter einander biïden , angewendet werden müssen. Wir fordern die Kunstverstândigen auf, sich mit der Untersuchung dieser Aufgabe zu be-schâftigen : sie ist für die Künste vom hôchsten Interesse; auch zweifeïn wir an ihrer Auflôsïichkeit um deswiïïen nicht, weiï der Begriff der todten Krâfte im aïïgemeinen dazu hinreicht, wâhrend der Begriff der lebenden Kràfte, weïche bei Ge-bâïken Statt finden kônnen, in Dachstühlen von keinem Nutzen ist, ausgenommen bei Sçhauspiel-hâusern, wo nicht seïten oben itn Dache Maschinen angebracht werden müssen.
  - b" y, the sheîving of the side’s rafter droppcd on yz.
  - These two latter constructions are amplifiée! with a ïarger scaïe on the Fig. 329, by the means of the Fig. 321, which is the vertical projection of the valley’s summit, designed on a y, equaï andparaïîeï to Ay, Fig. 329, with the angle bya, equaï to b y’ a, showing the real sheîving of the vaïïey on the Fig. 328. Then, the straight a b of that Fig. 331, expressing the height of the crown over the point y, lias been carryed on the Fig. 329, from D at c, and from z at y; and after having brought c y and j y, and expressed the breadth of the rafters with the respective paraïïeïs to them d e and k l, these straights hâve been eut with the respective perpen-dicuïars y e, y l.
  - The vertical heights ef and Im hâve been after carryed at the Fig. 331 on a whatsoever vertical, as c g; viz, ef, from c at e1, through which lias been brought the shaving-Iine facing to the paviïion ; and Im, being like brought from c at has aïso fixed the shaving-edge facing towards the side. By showing ïikeon that figure the vaïïey’s breadth, and lifting g i perpendicuïar to by, you shalï carry on a square-trace of the buïk the points k and h of the shaving-edges, as it bas been expïained for the pavilion’s vaïïey.
  - 204. That latter draught, which suppose diverse, or by ïength, either by dropping, both the >rafters bordering on a same point of the vaïïey, being abso-lutely independent from buildings angles, it is very pfain that it has a perfect generality, and can be appïied on aïï the cases, ever on theslanting buildings, though the draught’s masters couïd teach a speciaï theory of them.
  - Remark. Nichoïas Fourneau, into the I.MI part, pag. 9, of the Art of the carpentry’s draught, offers the foïïowing observation : « Into such work-» ings, the strength of the timbers ought to be » proportioned to the weight, and it is to be observed » that the vaïïeys cannot be too strength, since ail » the rafters and purïins contribute much to destroy » them; whiïst, on the contrary, into the ends, » rafters bear hips, £o that those ïatters dont need a » strength so great a3 the vaïïeys. »
  - It is to be regreted that such an observation couïd not contain the proportions of the résistances, the timber’s strengthes to be empïoyed, as the rate of the ïengthes of hips, purïins, rafters, and of the incïined plans resuïting of them. The ïearned ought to be stirred up for discussing such probïems, of great con-cern for the art, and which we think very soïubïe, because it is generaïïy suïficient for them to consider the dead energies ; and the considération of the sprightly strengthes, admitted into the combinations of fïoors, is needïess into roofings, except the ones of théâtres, wherein many engines ought to be aïways adapted.
  - FIN DE LA TROISIÈME PARTIE.
  - Nous nous sommes aidés, pour lexécution de cette Partie, des secours de M. CrüSSIÈRE, Démonstrateur de trait. Dieser dritte Heft ist zum Theil mit von H. Crussière , Lehrer der Stéréotomie, verabfasst worden.
  - That Part has been made up with helping of Sir Crussière, Demonstrator of draught.
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- - 1/ART DU TRAIT
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