L'Industrie nationale : comptes rendus et conférences de la Société d'encouragement pour l'industrie nationale

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  - L’INDUSTRIE
  - NATIONALE
  - COMPTES RENDUS ET CONFÉRENCES
  - DE LA SOCIÉTÉ D’ENCOURAGEMENT
  - POUR L’INDUSTRIE NATIONALE
  - PUBLIÉS AVEC LE CONCOURS DU CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
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- - L’INDUSTRIE NATIONALE
  - COMPTES RENDUS ET CONFÉRENCES DE LA SOCIÉTÉ D'ENCOURAGEMENT POUR L'INDUSTRIE NATIONALE 5
  - publiés sous la direction de M. Albert CAQUOT. Membre de l'Institut, Président, avec le concours de la Commission des Publications et du Secrétariat de la Société.
  - Les textes paraissant dans L’Industrie Nationale n’engagent pas la responsabilité de la Société d’Encoura-gement quant aux opinions exprimées par leurs auteurs.
  - N° 3 : JUILLET-SEPTEMBRE 1954
  - S OMMAIRE
  - DÉFORMATION ELASTICO-VISQUEUSE ET PHÉNOMÈNES DE FATIGUE DANS LES SOLIDES, par M. HENRI LE BOITEUX.. . ..47
  - 44, rue de Rennes, PARIS 6e (LIT 55-61)
  - Publication trimestrielle
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- - DÉFORMATION ÉLASTICO-VISQUEUSE ET PHÉNOMÈNES DE FATIGUE DANS LES SOLIDES ()
  - par M. Henri Le Boiteux
  - Professeur à l’École Supérieure de Physique et de Chimie, Directeur Scientifique à l’Office National d’Études et de Recherches Aéronautiques.
  - I. Introduction.
  - Les phénomènes de fatigue dans les solides soumis à des sollicitations variables plus ou moins périodiquement au cours du temps jouent un rôle de plus en plus fondamental dans les techniques mécaniques.
  - La cause en est que la très grande majorité des pièces constituant nos mécanismes subissent précisément de telles sollicitations et que, d’autre part, les progrès de la technique moderne correspondent à l’accroissement continuel des vitesses, qu’il s’agisse des vitesses de translation de rotation ou de déplacement d’ensemble.
  - Il y a déjà longtemps que s’est imposée cette constatation que le comportement de la matière soumise à des sollicitations variables avec le temps ne peut pas se déduire de la connaissance de ses caractéristiques statiques telles que les font apparaître les essais standards des matériaux.
  - On a ainsi été conduit à élaborer un grand nombre de méthodes d’essais particuliers appelés Essais de fatigue ou Essais d’endurance faisant appel à des types de sollicitations variés.
  - Ces études ont fait apparaître, en outre, un grand nombre de phénomènes nouveaux, dont certains assez inattendus, au sujet des
  - quels les controverses sont loin d’être épuisées et qui, pour la plupart, n’ont jusqu’à présent reçu aucune explication vraiment satisfaisante.
  - Un point fondamental se dégage des travaux récents sur la fatigue. Alors que dans le domaine statique la prévision des phénomènes peut être faite avec une très bonne approximation à partir de la théorie de l’élasticité plus ou moins complétée par celle, en cours de développement, de la plasticité, il n’en va pas du tout de même pour les phénomènes dynamiques.
  - Dans le premier cas la théorie de l'élasticité peut servir de guide parce que la matière peut être considérée comme isotrope et homogène à l’échelle des phénomènes. Il apparaît, au contraire, que cette hypothèse n’est plus du tout justifiée dans le cas de sollicitations rapidement variables — les hétérogénéités ou anisotropies locales jouent un rôle très important et ceci conduit à penser que l’étude du comportement des solides dans ce domaine doit tenir compte largement de la structure fine de la matière.
  - Ce fait oriente un grand nombre des recherches actuelles dont les résultats expérimentaux présentent dès maintenant une grande importance.
  - (1) Conférence faite le 18 juin 1953 à la Société d’Encouragement pour l’Industrie Nationale.
  - L’Industrie nationale. — juillet-septembre 1954. 5
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  - Cependant, j’ai pensé que, si l’évolution du solide, au cours du processus d’une rupture de fatigue, ne peut, en raison des faits rappelés ci-dessus, être prévue entièrement par la théorie, il était probablement possible de comprendre au moins l’origine des phénomènes et d’expliquer le rôle spécial des variations rapides de sollicitation.
  - En partant de cette idée de base que le comportement de la matière en dynamique résulte de ce qu’il est impossible de négliger les effets de viscosité certainement toujours présents, j’ai pu établir une théorie de la fatigue qui, si elle ne permet pas de décrire intégralement les phénomènes, permet néanmoins de prévoir leur apparition.
  - L’intérêt pratique est, en outre, de faire apparaître une distinction très importante entre le cas des efforts imposés et celui des déformations imposées. La matière réagit, en effet, de façon très différente à ces deux types
  - de sollicitation et ceci n’avait pas été clairement vu jusqu’ici.
  - Une autre conséquence importante est que le choix du matériau dépend du mode de sollicitation et que, plus précisément, les solides les plus aptes à résister aux efforts variables sont les moins favorables au cas de déformations imposées.
  - Il est tout à fait remarquable que si l’on examine en détail les problèmes techniques réels, on constate que, presque toujours, ce sont les déformations et non les efforts qui sont imposés et cette constatation, négligée jusqu’à présent, donne une grande importance aux conclusions de la théorie.
  - Je m’attacherai ici à préciser ces conclusions en indiquant très rapidement et sans développer longuement les calculs la base de la théorie que je propose. On trouvera celle-ci beaucoup plus détaillée dans d’autres publications déjà parues ou en cours.
  - IL --- La DÉFORMATION ÉLASTICO-VISQUEUSE.
  - Les matériaux les plus couramment utilisés dans les réalisations mécaniques, au moins jusqu’à ces dernières années, ont toujours été considérés comme parfaitement élastiques et ceci est justifié lorsqu’il s’agit notamment des aciers soumis à des efforts lentement variables.
  - Mais l’apparition de matériaux nouveaux, et en particulier de tous les corps improprement appelés « plastiques », oblige à réviser cette conception et impose cette idée que la déformation des solides est, en réalité, élas-tico-visqueuse. Autrement dit les contraintes développées dans la matière comportent au minimum deux termes nettement différents. L’un d’eux proportionnel à la déformation est le terme ordinaire de la théorie de l’élasticité, l’autre lié aux vitesses de déform ation traduit le phénomène de viscosité.
  - Il en résulte que, pour de tels matériaux, la déformation ne peut être instantanée. C’est le phénomène bien connu de réactivité. Sous l’influence d’un effort appliqué quasi instantanément la déformation croît d’abord très vite, puis plus lentement suivant une courbe analogue à celle de la figure 1. Il en est de même lors de la suppression de l’effort (portion BCD de la courbe).
  - Pour certains corps le phénomène est assez lent pour être parfaitement constaté. L’al
  - longement s’étend sur une période de plusieurs semaines. Par contre, pour les métaux, les aciers notamment, il échappe ordinairement à l’expérience mais réapparaît si on élève la température, c’est le fluage.
  - J’ai montré, dans une communication faite au 8e Congrès International de Mécanique Théorique et Appliquée, à Istamboul en août 1952, qu’il est possible de rendre parfaitement compte de ces faits si l’on adjoint aux équations de Lamé de la théorie de l’élasticité les équations des contraintes visqueuses calquées sur le type de celles établies par Navier pour les fluides.
  - On trouvera dans un prochain numéro du Bulletin de la Société Française des Mécaniciens le calcul complet. J’en dégagerai seulement ici les conclusions. Tout d’abord la notion de module d’Young disparaît et doit être généralisée. Si l’effort appliqué est assez faible, la déformation tend vers une valeur fixe, atteinte asymptotiquement. J’ai appelé Ex la valeur du module correspondant à cet état d’équilibre final.
  - En associant les équations de Lamé et celles de Navier on aboutit à des équations du mouvement du solide élastico-visqueux, mais celles-ci présentent une forme très complexe et dans le cas le plus général il est quasi impossible de les résoudre.
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- - DÉFORMATION ÉLASTICO-VISQUEUSE ET PHÉNOMÈNES DE FATIGUE DANS LES SOLIDES. 49
  - Si, au contraire, on se limite à un cas simple — celui par exemple d’une sollicitation de traction pure — on parvient à écrire la valeur de la déformation et celle des contraintes.
  - Il est évident que l’on voit apparaître ainsi, non seulement une contrainte de tension dans le sens de l’effort appliqué, mais aussi des contraintes tangentielles qui tendent lentement vers zéro, l’équilibre final redevenant un champ de contrainte de tension pure.
  - Si, par exemple, on imagine une barre de section S soumise suivant l’axe des X à un effort axial P appliqué brusquement (fig. 2) on trouve que l’allongement obéit à l’équation :
  - Al =P1 - "Cne-44] (1)
  - Les coefficients a„ sont des grandeurs caractéristiques de la viscosité du matériau et les Cn font intervenir la viscosité et les abscisses extrêmes de l’élément de mesure /.
  - En réalité l’équation différentielle dont cette relation est le résultat d’intégration est' une véritable équation de propagation.
  - L’impossibilité physique d’appliquer un effort P en un temps rigoureusement nul a conduit à des difficultés presque insurmontables de vérification des diverses lois de réactivité données précédemment par un grand nombre d’auteurs.
  - Par contre, j’ai proposé de traduire la relation (1) sous une autre forme.
  - Elle représente, en réalité, la réponse du matériau à une sollicitation du type échelon d’Heaviside (si P = 1) et on peut dire que la barre présente une « impédance mécanique » qu’il est commode d’écrire dans le langage du calcul symbolique sous la forme :
  - (2)
  - Z(p) ES L p +
  - L’avantage considérable de cette façon de raisonner est que nous pourrons maintenant trouver sans difficulté la réponse à une sollicitation dont la variation dans le temps a unie forme quelconque.
  - J’ai en particulier calculé ainsi la déformation prise par une barre soumise à un effort croissant linéairement avec le temps P = kt depuis zéro jusqu’à une valeur Pi atteinte au temps t.
  - Cette réponse est très aisée à obtenir grâce au calcul symbolique et il est possible par une transformation de Laplace d’en déduire la loi de variation dans le temps de l’allongement, grandeur facile à mesurer.
  - On trouve ainsi que : pour t < ti
  - s(t) =Ak-ECn(1—€-„] (3)
  - I ES L an J pour t > t,
  - s(t) -k - xCn(emw— 1)e-ani (4)
  - ES [ .Un
  - J’ai pu tenter une vérification expérimentale en utilisant un corps doué de réactivité, pratiquement du plexiglas, soumis à un effort de traction linéairement croissant, ce qui est relativement aisé à réaliser, et mesurant la déformation en fonction du temps.
  - On trouve ainsi qu’il suffit de prendre 2 termes de la série et que pour ce corps on a les valeurs suivantes :
  - 04 = 0,0617 C = 0,89
  - 02 = 0,000065 G2 = 0,22
  - La concordance de la courbe calculée avec ces valeurs et de la courbe expérimentale est excellente, comme le montrent le tableau de la figure 3 et la courbe de la figure 4.
  - Les phénomènes de viscosité rendent donc bien compte quantitativement de la réactivité.
  - III. — Conséquences sur le comportement de certaines MATIÈRES.
  - Supposons maintenant que l’on impose à l’éprouvette, non plus un effort, mais une déformation quasi instantanée amenant la section B en B’ (fig. 5).
  - En raison de la viscosité, traduite par l’impédance mécanique, l’effort développé est donné par :
  - F(P) = s(p)Z(p) dans laquelle s =BB F(p) == ESs—-----1-------- (5)
  - p(1—2-D)
  - K P + Œn/
  - ou en remontant à la fonction originale et gardant en première approximation un seul terme de la série :
  - F(t) = ESs 1 +G1—C L 1 —c J
  - On voit que pour t = 0 la contrainte développée dans la matière est :
  - s=5-E[1+,G]-E 0
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- - 50 L’INDUSTRIE NATIONALE. -qui est beaucoup plus grand que Es. Cette contrainte décroît ensuite suivant une exponentielle et tend vers la valeur d’équilibre Es.
  - Si l’on veut brusquement ramener B' en B, un phénomène analogue se produit. Il faut développer d’abord une contrainte de compression pour vaincre la viscosité, contrainte qui disparaît ensuite lentement.
  - Le schéma serait celui de la figure 6. L’expérience confirme parfaitement ce point de vue, comme je l’ai montré en mesurant les contraintes par photo-élasticimétrie dans une éprouvette de plexiglas.
  - Si la réactivité de la matière est très élevée la contrainte développée ox au moment de
  - JUILLET-SEPTEMBRE 1954.
  - l’application de la déformation devient considérable et l’éprouvette cassera brusquement, se comportera comme très fragile alors que pour une déformation très lente elle apparaîtrait très ductile.
  - Ceci explique parfaitement le comportement bien connu du brai. Certains matériaux nouveaux, notamment certaines silicones présentent cette propriété à un degré beaucoup plus marqué. Réellement plastiques pour des déformations lentes elles deviennent parfaitement élastiques et aussi fragiles que du verre si on leur impose des déformations rapides.
  - La viscosité explique parfaitement ce comportement en apparence paradoxal.
  - IV. — Phénomènes de fatigue.
  - Il est maintenant possible à partir de la notion d’impédance mécanique de trouver la réponse d’une éprouvette de traction à une sollicitation périodiquement variable.
  - Pour ne pas compliquer les raisonnements et nous affranchir de la difficulté de non symétrie possible des phénomènes, nous supposerons une sollicitation périodique mais non alternée.
  - Deux cas bien distincts sont à considérer :
  - A) Cas d’une déformation imposée.
  - Nous supposons que l’éprouvette subit une déformation répondant à la loi périodique s(t) = s(1 — cos co t) c’est-à-dire représentée par la courbe de la figure 7.
  - Sa valeur en écriture symbolique est :
  - (9)
  - La contrainte développée dans la matière s’écrit :
  - Gx(p) = Es DP2c2 (9) 1 - Cp P + a
  - en se limitant au 1er terme de la série dans l’expression de l’impédance mécanique, ce qui semble bien justifié pour des phénomènes relativement rapides comme ceux rencontrés en mécanique courante.
  - Un calcul un peu long mais facile conduit alors à :
  - c = Es 1 — ------------&—- —----- cos(oot — L V 02+ 2(1— C)2
  - a2 + 62 (1 — C)2 J 7 avec tgo = ------------—coC--------- .----------------------" a2 + 02(1 — C)
  - La contrainte présente donc une pseudo-périodicité modifiée par un terme exponentiel.
  - On peut rechercher les valeurs de ot correspondant aux maxima et minima de cette contrainte et on trouve qu’ils sont donnés par les intersections successives d’une sinusoïde sin(x t — p) et d’une exponentielle
  - — singet-C' (fig. 8).
  - Les maxima successifs sont en M,M2Ma... et les minima en m.m2... et leurs valeurs peuvent être calculées.
  - Elles ont la forme générale :
  - CM = Est
  - avec
  - 1
  - 3
  - 8
  - s 18
  - + 8 I ci -
  - 8 2
  - 2
  - La discussion de ces résultats montre im-
  - médiatement que :
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- - DÉFORMATION ÉLASTICO-VISQUEUSE ET PHÉNOMÈNES DE FATIGUE DANS LES SOLIDES. 51
  - a) Il y a un déphasage des maxima de contrainte par rapport à ceux de déformation, cette dernière étant en retard, résultat expérimentalement bien connu.
  - b) Ce déphasage va en diminuant avec le nombre d’alternances, autre résultat connu. Il tend d’ailleurs vers q.
  - c) La valeur limite vers laquelle tend le maximum de la contrainte est :
  - Q
  - B
  - S
  - O II g
  - qui est plus grand que 2 Es car C< 1.
  - La contrainte est donc supérieure à celle qui correspondrait en statique à la valeur 2s de l’amplitude de déformation.
  - d) La contrainte la plus élevée est atteinte à la première alternance et approche de la valeur :
  - E.1 + 02 + 02(1 — C3)
  - - L0.2 + 62(1—C)2J
  - qui peut être très grande par rapport à 2 Es.
  - e) Il résulte de cette dernière remarque que, si cette valeur est suffisante, une amorce de rupture peut se produire par exemple sur une hétérogénéité locale.
  - Un phénomène irréversible se produisant alors, une véritable déformation permanente apparaît. Tout se passe comme si l’exponentielle se trouvait relevée et le déphasage décroîtra moins vite. Si le mécanisme se répète, il peut même croître avec le nombre d’alternances.
  - Autrement dit, si le premier maximum est inférieur à une certaine valeur il apparaîtra une véritable adaptation, le déphasage allant en décroissant ainsi d’ailleurs que le maximum de contrainte. Si, au contraire, une amorce de rupture a lieu, le déphasage croît, le maximum de contrainte aussi et l’adaptation devient impossible.
  - I) La même discussion sur les minima de contrainte montre que, du fait de la viscosité, il apparaît des compressions dont la valeur va en croissant pour se stabiliser si l’adaptation a lieu.
  - La courbe de la figure 9 montre l’allure générale du phénomène dans ce cas.
  - Il est remarquable que l’on retrouve ainsi tous les caractères fondamentaux des phénomènes de fatigue.
  - Si l’on reprend les valeurs trouvées pour le
  - plexiglas, on constate que pour une déformation d’amplitude 2s la contrainte la plus élevée atteint près de 20 Es, soit 10 fois la contrainte statique correspondante, alors qu’après adaptation la contrainte oscille encore entre 11 Es et — 9 Es.
  - Naturellement cet effet est d’autant plus marqué que la réactivité est plus importante, c’est-à-dire que a est plus petit et C plus grand. Le coefficient a étant petit par rapport à la pulsation ~ correspondant aux phénomènes pratiquement rencontrés, la fréquence de la sollicitation n’intervient pratiquement pas.
  - Mais, même pour des corps comme les aciers pour lesquels il est permis de supposer que a est près de 100 fois plus élevé, on trouve encore pour la contrainte la plus élevée 2,19 Es c’est-à-dire que la rupture peut s’amorcer même pour une déformation qui, en statique, correspondrait à une contrainte nettement inférieure à la charge de rupture et le phénomène garderait le même aspect.
  - Une conséquence pratique fondamentale est que, pour obtenir une limite d’endurance élevée, il faut choisir un matériau dont la viscosité soit la plus réduite possible.
  - B) Cas d’un effort imposé périodique non alterné.
  - Un calcul tout à fait semblable peut être fait; dans ce cas les conclusions sont exactement du même ordre. Il y a encore un déphasage avec retard de la déformation sur l’effort, déphasage qui décroît au cours du temps sauf si le maximum atteint suffit à provoquer une déformation permanente.
  - Mais cette fois le maximum de la déformation est :
  - + 032 (1 — C)2
  - ESL V @2 + 02 J qui est <-— 1 ES c’est-à-dire plus petit que la valeur statique correspondante et d’autant plus petite que le matériau est plus visqueux.
  - Pour un corps très élastique il se rappro-cherait de-----
  - ES
  - L’allure générale de variation est maintenant celui de la figure 10.
  - Il en résulte immédiatement que, contrairement au cas précédent, on a intérêt
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  - 52
  - pour obtenir une limite d’endurance élevée à choisir un matériau aussi visqueux que possible.
  - Répétons que ce mode de sollicitation est extrêmement rare dans la pratique. Il faudrait pour l’obtenir à l’état pur soumettre la matière à un champ de force sans aucune liaison mécanique.
  - Enfin, il est possible de traiter le problème du point de vue énergétique en calculant dans les deux cas le travail des contraintes pour chaque cycle du processus quasi périodique. ,
  - On trouve alors que ce travail comporte une partie réversible qui correspond à l’énergie potentielle de déformation et une partie irréversible représentant une énergie dissipée localement.
  - Elle décroît avec le temps et atteint une valeur constante si l’adaptation a eu lieu mais son accumulation provoque malgré tout la rupture au bout d’un nombre suffisant d’alternances.
  - Si, au contraire, l’adaptation n’a pas lieu, cette énergie dissipée va en croissant et la rupture survient beaucoup plus rapidement.
  - Conclusions.
  - L’introduction des termes de viscosité dans la déformation rend parfaitement compte des phénomènes de réactivité, du comportement paradoxal de certaines substances et enfin des phénomènes de fatigue dans leur aspect le plus typique.
  - Bien entendu, elle ne peut, à elle seule, expliquer tout le processus des ruptures de fatigue parce que celle-ci fait appel au domaine de la plasticité ou au moins des déformations irréversibles qui n’entre pas dans les équations de départ et aussi parce que la structure de la matière joue ici un rôle important.
  - L’étude complète montre, en effet, que les contraintes tangentielles, qui apparaissent du fait même de la viscosité, ont une répartition non homogène dans le solide, de même d’ailleurs que la contrainte normale, en sorte que des défauts très localisés peuvent jouer un rôle primordial sur l’amorce.
  - Il n’en reste pas moins vrai que la théorie permet d’expliquer le comportement
  - particulier des solides aux efforts variables.
  - Elle permet aussi de prévoir que suivant la nature de la sollicitation (déformation ou effort imposé) le choix du matériau doit être différent.
  - En particulier, pour le cas le plus général de déformation imposée, les matériaux dits plastiques ne semblent pas du tout favorables et en tout cas on devra choisir parmi eux ceux qui présentent le moins de réactivité donc le moins de viscosité possible.
  - Celle-ci dépendant essentiellement de leur composition, de leur degré de polymérisation et de leur structure moléculaire, nous pensons qu’il y a là un ensemble de conclusions susceptibles d’orienter le choix et de faire progresser utilement l’industrie des « plastiques ». La très grande généralité des sollicitations dynamiques impose un tel effort pour permettre aux matériaux nouveaux de s’introduire utilement dans la technologie moderne.
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  - _____D
  - TEMPS
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  - 20
  - L’INDUSTRIE NATIONALE. -- JUILLET-SEPTEMBRE 1954.
  - t<t t At e-cit B,(1-e-0.) e— apt B,(1-e-0a) s calc. s exp.
  - 10 40,55 0,5392 27,19 0,9993 9,73 3,63 4
  - 20 81,1 0,2906 41,88 0,9987 18,22 21,01 21
  - 30 121,65 0,1567 49,76 0,9981 26,42 45,47 45
  - 40 162,2 0,0865 53,99 0,9974 36,16 72,05 72
  - 50 202,75 0,0455 56,32 0,9967 45,89 100,54 100
  - 60 243,3 0,0245 57,56 0,9961 54,23 131,51 131
  - 70 283,85 0,0132 58,23 0,9955 62,58 163,04 164
  - 80 324,4 0,0071 58,59 0,9948 - 72,31 193,5 194
  - 88 356,9 0,0043 59 0,9943 79,3 218,6 218
  - t t e—cat Ge-aa s calc. s exp.
  - 300 0,9807 78,29 278,61 274
  - 600 0,9617 76,77 280,13 281
  - 1 200 0,9249 73,84 283,06 283,4
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  - 6 000 • 0,6753 53,9 303 303
  - 10 000 0,5217 41,64 315,26 314,7
  - 15 000 0,3767 30,07 326,83 327
  - 20 000 0,2721 21,72 335,18 334
  - 24 000 0,2097 16,76 340,14 340,5
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- - DÉFORMATION ÉLASTICO-VISQUEUSE ET PHÉNOMÈNES DE FATIGUE DANS LES SOLIDES.
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  - fig. 6.
  - L’Industrie nationale. — Juillet-septembre 1951.
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  - L INDUSTRIE NATIONALE
  - JUILLET-SEPTEMBRE 1954.
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- - DÉFORMATION ÉLASTICO-VISQUEUSE ET PHÉNOMÈNES DE FATIGUE DANS LES SOLIDES. 57
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