Théorie, vérification et correction des bascules dont le principe repose sur une combinaison de leviers peu flexibles et de tiges peu extensibles agissant les uns sur les autres

- - THEORIE, VERIFICATION ET CORRECTION
  - DES
  - BASCULES
  - DONT LE PRINCIPE REPOSE SUR UNE COMBINAISON DE LEVIERS PEU FLEXIBLES ET DE TIGES PEU EXTENSIBLES, AGISSANT LES UNS SUR LES AUTRES,
  - PAR
  - B. B. MOOES,
  - Inspecteur du service des poids et mesures dans les Pays-Bas.
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- - T.*,'
  - ♦
  - ite V* V
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- - THÉORIE, VÉRIFICATION ET CORRECTION
  - DES
  - BASCULES.
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- - MET Tfi (<) £&
  - THEORIE, VERIFICATION ET CORRECTION
  - DES
  - BASCULES
  - DONT LE PRINCIPE REPOSE SUR UNE COMBINAISON I)E LEVIERS PEU FLEXIBLES ET DE TIGES PEU EXTENSIBLES, AGISSANT LES UNS SUR LES AUTRES,
  - PAR
  - B. B. MOOES,
  - Inspecteur du service des poids et mesures dans les Pays-Bas.
  - g\B C N A M RESERVA-
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- - IMPRIMERIE ci-dovant E. J. BRLLL — LEIDE.
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- - TABLE DES MATIÈRES.
  - Page.
  - Description de la bascule de Quintenz.
  - Exigences générales auxquelles la bascule doit répondre ... 1.
  - Le plan de mouvement de chaque point de la bascule doit être parallèle au plan de mouvement du fléau..............................2.
  - Pour que l’équilibre de la bascule, à chaque position du fléau, soit indépendant de la place de la charge sur le tablier, le tablier, pendant les oscillations du fléau, doit toujours se mouvoir parallèlement à sa position normale.........................................4.
  - Recherches des conditions auxquelles doit satisfaire la bascule pour (pie le tablier, lorsque le fléau fait un angle d’inclinaison arbitraire, se déplace parallèlement ci sa 'position normale, c’est-à-dire pour que a l’équilibre et b la sensibilité soient indépendants de la place qu’occupe la charge sur le tablier.......................G.
  - Construction de la coupe d’une bascule dont, pendant les oscillations du fléau, le tablier se déplace toujours parallèlement à sa 'position normale......................................................14.
  - Recherches des conditions auxquelles doit satisfaire la bascule pour que la sensibilité soit grande lorsque le fléau se trouve dans sa position normale....................................................18.
  - Le Frottement.
  - De préférence la charge doit être placée sur le tablier dans la proximité de l’axe du levier triangidaire supérieur..................23.
  - Recherche concernant l’influence de petits défauts de construction de la bascule sur l’indépendance de l’équilibre et de la sensibilité
  - de la place de la charge sur le tablier............................27.
  - Formes de bascules dont la théorie équivaut à celle de la bas-
  - cide de Quintenz...................................................31.
  - Vérification des bascules de Quintenz et de Roberval. a. Détermination, dans la bascule de Quintenz, de la gran-
  - deur des fautes dans la longueur des bras de levier, au
  - moyen du pesage.............................................38.
  - b. Détermination, dans la bascule de Quintenz, de la gran-
  - deur des fautes dans la longueur des bras de levier, au moyen d’un niveau d’eau..................................41.
  - c. Vérification de la bascule de Roberval....................43.
  - d. Vérification de la bascule de comptoir de Roberval . . . 45.
  - Notes............................................................49.
  - S .
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- - § 1.
  - Description de la bascule de Quintenz (*). (T) Exigences générales auxquelles la bascule doit répondre.
  - La balance ordinaire se compose d’un levier du premier genre à bras égaux.
  - La balance romaine se compose également d’un levier du premier genre mais à bras inégaux.
  - Les instruments de pesage dans lesquels s’offrent deux ou plus de deux leviers s’appellent bascules.
  - Les bascules où il n’y a que des leviers et des tringles rigides et inextensibles reposent toutes sur le même principe; de sorte que, si l’on connaît les conditions auxquelles doit satisfaire un seul type, il est facile d’en déduire celles auxquelles n’importe quel autre doit répondre aussi.
  - Comme la bascule de Quintenz est fort en usage et généralement connue, nous la prendrons comme point de départ de nos considérations. Faisons précéder ici, avant la discussion mathématique, une courte description de cet instrument.
  - La fig. I est une figure schématique et la fig. II une coupe verticale de la bascule de Quintenz dans sa longueur.
  - La bascule consiste en un fléau A D reposant, au moyen d’un couteau d'appui B, sur un coussinet fixe, fig. I. A l’extrémité A, est fixé un couteau qui, au moyen d’un coussinet, porte un plateau (ou bassin) destiné à recevoir le poids P, qui doit faire équilibre à une charge à peser C. Aux points F et D du fléau sont également fixés des couteaux auxquels pendent, également au moyen de coussinets, les tiges ou tringles F E et DG, qui portent les leviers triangulaires
  - (*) Les notes sont placées à la suite de l’opuscule. Un petit chiffre intercalé dans le texte correspond au chiffre de la note.
  - 1
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  - Hj h( E h H et K, G K, aux points E et G. Dans ces leviers triangulaires sont fixés, aux points E et G, des couteaux qui reposent sur des coussinets adaptés aux mêmes points E et G des tiges dont nous avons déjà fait mention; tandis que le levier triangulaire K, G K porte, aux points H, et H, des couteaux sur lesquels repose, au moyen de coussinets, le levier triangulaire H, b, E h H. Enfin, le levier triangulaire K, G K s’appuie sur des coussinets fixes au moyen de couteaux dont il est muni aux points Kj et K.
  - Au levier triangulaire Hj lq E h H, est fixé à demeure le tablier destiné à porter la charge C soumise au pesage.
  - Or, si la charge C est placée sur le tablier, le poids se partagera sur les trois couteaux Hn E et H. Les tractions en H, et H tâcheront d’abaisser le couteau D du fléau et la traction en E tâchera d’abaisser le couteau F, à quoi s’opposera le poids P dans le plateau.
  - Donc trois forces agissent sur le fléau, qui s'équilibrent à cause de la résistance du coussinet B, notamment une force en A, une en F et une en D.
  - Lors de l’emploi de la bascule, c’est une condition essentielle, dans la position normale du fléau (1T), que l’équilibre entre la charge C et le poids P soit indépendant de la place qu’occupe la charge sur le tablier.
  - Dans les paragraphes 2 — 5, nous rechercherons à quelles conditions doit répondre la bascule pour que cette indépendance ait lieu; provisoirement nous ne prendrons pas en considération les frottements, dont nous ne nous occuperons qu’au § 7.
  - § 2.
  - Le plan de mouvement de chaque point de la bascule doit être parallèle au plan de mouvement du fléau.
  - La fig. III est une représentation partielle de la bascule, dans laquelle le tablier Hj lq E h H et la tige F E de la fig. I sont expressément omis. De même que dans la fig. II, A D
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  - représente, dans la fig. III, le fléau, D G la tige à laquelle est suspendu le levier triangulaire Kj G K et G k0 une verticale qui, du point G, est abaissée sur l’axe Kj K.
  - Nous supposons qu'il y ait équilibre entre la charge sur le tablier et le poids dans le plateau.
  - La charge sur le tablier fait que le couteau G est abaissé comme si, sur ce couteau, agissait une force verticale que nous représenterons par J
  - Décomposons cette force J dans les deux forces 1 et Jn dont 1 agit dans la direction du prolongement de D G, et dans une direction tombant verticalement sur D G.
  - Suivons d’abord la composante I. Il est évident que celle-ci, quelle que soit l’oscillation du fléau, doit toujours demeurer
  - dans le plan de mouvement du fléau (T), sinon il en résulterait une torsion qui diminuerait la sensibilité et la stabilité de l’instrument. En outre la composante /, dans l’état d’équilibre de la bascule doit, autant que possible, tomber verticalement sur l’axe longitudinal du fléau, puisque, saus cela, la force transmise par elle aurait pour effet de presser les couteaux contre les coussinets, chose qui doit nuire aussi bien à la stabilité de l’instrument qu’à la conservation des couteaux et des coussinets.
  - Nous acceptons donc que la tige D G se trouve dans le plan de mouvement du fléau. Si l’axe Kj K ne tombe pas verticalement sur ce plan, alors la seconde composante de J, c’est-à-dire Iv ne tombe pas verticalement sur K, K. Il en résulte que les couteaux Kj et K ont une tendance à glisser au delà des coussinets, d’abord dans la direction Kj K et secondement dans une direction latérale. Ces deux actions disparaissent lorsque l’axe Kj K tombe verticalement sur le plan de mouvement du fléau ; et c’est donc là la position la plus avantageuse pour l’axe Kj K. En outre la composante lx doit être aussi petite que possible, puisqu’elle tend à faire glisser le levier triangulaire au delà des coussinets Kj et K dans la direction de k0 G ; par conséquent, dans l'état d’équilibre normal, la tige D G doit être verticale, et le fléau A D doit être horizontal.
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  - Pour la même raison, il est évident qu’également la tige F E, fig. I et II, doit se trouver dans le plan de mouvement du fléau et doit être dans une direction verticale lorsque la bascule se trouve dans un état d’équilibre normal; et l’axe H et les couteaux de la bascule doivent être perpendiculaires à ce plan.
  - Nous acceptons donc dans la suite que la bascule répond à ces conditions essentielles, que les tiges F E et D G se trouvent dans le plan de mouvement du fléau et que les couteaux et les axes H, H et Kj K sont perpendiculaires à ce plan.
  - § 3.
  - Pour que l’équilibre de la bascule, à chaque position du fléau, soit indépendant de la place de la charge sur le tablier, le tablier, pendant les oscillations du fléau, doit toujours se mouvoir parallèlement à sa position normale.
  - La distance entre les couteaux A et F. figr. I, et la ligne
  - 7 O 7 O
  - B D ou son prolongement, la distance entre l’axe H, H et le plan K, G K, les directions et les longueurs des tiges F E et D G, ainsi que les angles que forment les lignes AB, B F, B D et les plans K, GK et H, E H avec le plan horizontal, restent entièrement indéterminés.
  - Nous admettons que la bascule est dans l’état de repos, c’est-à-dire que toutes les forces en action se font équilibre. Nous fixons la distance entre la verticale qui passe en E et la ligne H, H égale à b, la distance entre la verticale qui passe par le centre de gravité de la charge et la ligne H, H égale à x, la distance entre cette même verticale et le plan de mouvement du fléau A D E h0 k0 égale à ?/, et enfin b0 = hl et H h0 = h.
  - La charge C se partage entre les points Hn E et H, comme si, sur ces points, agissaient des forces verticales ;
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  - nous nommerons ces forces » pression en Hj”, » pression en E” et » pression en H.”
  - Afin de déterminer l'équation d’équilibre entre ces pressions et le poids P, c’est-à-dire les conditions d’équilibre entre C et P, nous donnons au fléau un angle d’inclinaison infiniment petit, grâce à quoi les points Hp E, H et A parcourent des chemins infiniment petits.
  - Si nous nommons les projections sur la ligne verticale des chemins parcourus par les points Hj, E, H et A, respectivement » élévation Hx”, »élévation E”, etc., alors, d’après le principe des vitesses virtuelles, l'équation d’équilibre se traduit par
  - (pression en Hj). (élévation Hj) -f- (pression en E). (élévation E) -j--j- (pression en H) . (élévation H) -J- P. élévation A = o ;
  - d ^. ô"/oJ d’où l’on obtient
  - —. C. élévation E b
  - C (A, . élévation H -f- h . élévation Hx)
  - h + A,
  - M-
  - c , ji _ ï| + 1 _ «
  - L’ équation doit tout d’abord être indépendante de y, parce que l’équilibre doit être indépendant de tout déplacement de la charge dans la direction perpendiculaire au plan du fléau, donc avant tout il faut que ^élévation Hj” = «élévation H”, grâce à quoi l’équation d’équilibre, indépendante dey, devient:
  - x
  - b‘
  - C (élévation E —
  - élévation H) -f C. élévation H -f- P. élévation A = 0
  - L’équation doit être aussi indépendante de x, parce que l’équilibre ne peut pas dépendre d’un déplacement de la charge sur le tablier dans une direction parallèle au plan du fléau, donc il faut aussi que «élévation E” = «élévation H”, grâce à quoi l’équation d’équilibre, indépendante de x et de y, devient :
  - C. élévation H -f- P- élévation A = o.
  - C’est pourquoi il faut, en vue de l’indépendance dont nous nous occupons, que „élévation H,” = «élévation H” = «élévation E”, c’est-à-dire que le tablier, pendant que le fléau
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  - fait l’angle d’inclinaison infiniment petit, doit se déplacer parallèlement à sa position normale. Maintenant, pour que l’équilibre de la bascule, dans quelque position que ce soit parmi les positions infiniment nombreuses dans lesquelles peut se placer le fléau en mettant quelque poids additionnel dans le plateau, soit indépendant de x et de y, il faut que l’équilibre, quelle que soit la position du fléau, satisfasse à la dernière équation. D’où il résulte, que, pendant que le fléau parcourt un angle d’inclinaison arbitraire, le tablier doit se mouvoir parallèlement à sa position normale, et c’est ce qu'il fallait démontrer.
  - Inversement, dans toute bascule dont le tablier pendant les oscillations du fléau se déplace parallèlement à sa position normale, il sera satisfait à la dernière équation ; c’est pourquoi aussi la sensibilité de cette bascule, de même que son équilibre dans la position normale, seront indépendants de la place qu’occupent les marchandises sur le tablier.
  - § 4.
  - Recherches des conditions auxquelles doit satisfaire la bascule pour que le tablier, lorsque le fléau fait un angle d’inclinaison arbitraire, se déplace parallèlement à sa position normale, c’est-à-dire pour que a l’équilibre et b la sensibilité soient indépendants de la place qu’occupe la charge sur le tablier.
  - Si, fig. I, pendant les oscillations du fléau, le tablier hj E h se déplace parallèlement à sa position normale, alors évidemment la ligne h0 E, de la coupe de la bascule avec le plan de mouvement du fléau, se déplacera toujours parallèlement à sa position normale.
  - L’inverse est également vrai. Car le mouvement du point h0 est tout à fait indépendant de la longueur de la ligne Kj K ; et, en outre, il est évident que tous les points de l’horizontale h0 H auront toujours des mouvements égaux
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  - et parallèles dont les projections sur un plan vertical seront toujours réciproquement égales.
  - Si donc, pendant les oscillations du fléau, la ligne h0 E demeure parallèle à sa direction normale, alors aussi le tablier H[ EH doit demeurer parallèle à sa position normale.
  - 11 nous suffira donc de rechercher quelles sont les conditions auxquelles doit satisfaire la eoupe de la bascule avec le plan de mouvement du fléau, pour que la ligne b0 E, en même temps que le fléau fait un angle d’inclinaison, se déplace parallèlement à sa direction normale.
  - Soit fig. IY cette coupe.
  - Ici, voyez fig. II, les points A et F sont en dehors de la ligne B D, le point H en dehors de la ligne G K, et les directions et les dimensions des lignes F E et D G sont prises assez arbitrairement.
  - Les lettres identiques dans les figures II et IV ont la même signification ; de sorte que B et K représentent des points fixes et que la ligne A B et le point F sont reliés à la ligne B D, de même que le point H est relié à la ligne G K ; c’est pourquoi les distances des points A, B, F et D entre eux, de même que celles des points K, H et G, sont constantes. Les lignes BD, D G et G K, nous les considérons comme unies par des charnières en D et G, de même que le sont les lignes B F, F E, EH et H K en F, E et H; tandis que la ligne brisée A B F D repose sur une charnière fixe au point fixe B, et la ligne brisée G H K au point fixe K ; de sorte que lorsque le point A se déplace, les lignes brisées B D G K et B F E H K changent en même temps de forme. Le tablier est fixé à la ligne E H, et la charge C agit sur le point M de la ligne E H et nous établissons HM=i, Les bras de fléau D B et AB forment un angle de (180°—x), les bras de fléau D B et F B un angle de x1} et les bras de levier H K et G K un angle de «2, tandis qu’en cas d’équilibre entre la charge C et le poids P suspendu en A, le bras B F forme l’angle cp avec l’horizontale. Les autres angles, que les lignes susdites forment avec l’horizontale, sont donnés dans la figure. Les dimensions des lignes AB = a, B D = e, DG = s, GK = r, B F = en F E = s,, E II = b, H K = r*, et B K = n sont
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- - 8
  - constantes, de même que les angles x, xx, x2 et Z; tandis que provisoirement tous les autres angles, notamment 0, à, y, àx et (3 sont considérés comme variables. Soit, à l’avenir, l’angle 0 considéré comme le variable indépendant.
  - Soit encore P0 le poids du plateau suspendu en A, Z le poids et Z le centre de gravité du fléau, B Z = z et l’angle que B Z fait avec l’horizontale égal à t ; ensuite Zx le poids et Z, le centre de gravité du levier triangulaire G K H ; K Z, = zx et tj l’angle que la ligne K Zt fait avec l’horizontale; représentons enfin le poids des tiges DG et PE par S et 5, et celui du tablier par B, agissant en D,, F, et Ex, soit G D, = E F, = tx et H E, = c.
  - a. U Equilibre.
  - D’après le principe des vitesses virtuelles, la condition d’équilibre est représentée par l’équation
  - Zx . d \zx sin tx J -f- . d \ t sin 5 -J- y sin y} -j-
  - -j- B. d \c sin (3 -f- rxsin (y + x^}\ -\-G.d \x sin (3 -)- rxsin (y -j- x2)\ -f-
  - -(- Sx . d fi, sin 5, + b sin j3 -)- y, sin (y -f- x2)] -j- Z. d \z sin r| —
  - — (P -j- P0). d [a sin O -f xx -f 0)} = 0;
  - ainsi, puisque dr = d0 et d rx = d y,
  - ~ ^ cw dy\ y
  - Z. z. cos t, . —— 4- o u cos à . —-\- r cos y . ——> 4-
  - 11 1 d0 1 1 d0 ' d0)~
  - + B\ccosl3-i^ +«•,<»»(>' + «,) +
  - + c {*"0 if + r>cos ^% | +
  - + S‘ |*i c£>s 5> • + b eos $ + r> C0S & + *2) • j +
  - -j— Z z cos t — (P -f P0) a cos (x -j- -j- 0) = 0
  - ou
  - ^ . d ^ i ~ ^ d S.
  - St cos 5 . —--f- S. t. cos à, . -p-i 4-
  - d0 1 11 1 d0 ~
  - -f-1 Zx zx.costx -f Sr. cos y -f- (B -f- C-\- Sx) rx cos (y -f *2)| ^ +
  - -(-(Pc -f- C x -f- b) cos (3 . -j- Z z cos t —
  - — (P -f P0) a cos (x -f xx -f 0) = 0 . . . (1)
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- - 9
  - A cette équation, il doit être satisfait indépendamment de x ; l’équation (1) renferme donc les deux équations de condition :
  - ff = °©.........................(2)
  - et
  - S t cos 5 . —I- -S. t. cos 5, . —(-
  - dcp ~ 1 1 1 dQ 1
  - + zi cos Ti + &r cos 7 + (B -t* G + -SJ r, cos (y + *2) j . -f-
  - -J- ^z cos t — (P -f~ P0) a cos (« -j- x{ -(- $) = 0 . (3)
  - L’équation (2) donne la condition à laquelle, en cas de position normale du fléau, le, résultat du pesage sera indépendant de la place de la charge sur le tablier; l’équation (3) donne, dans cette position de la bascule, une équation entre C et P.
  - b. Là Sensibilité.
  - La valeur du rapport exprime la mesure de sensibilité ;
  - on obtient cette valeur en dififérentiant l’équation d’équilibre (1). Nous trouvons
  - o * P ^ o . * ( d l \2 , o . d2 5, _ . . (d S, \2 ,
  - S t cos S . -r—- — S t sm 5 ( —— ) -j- -S, cos S, . — S j t{ sm ( —j—} +
  - d<pz \d <p / 11 1 dQ2 11 l\dcp/
  - + |Zt zx cos t1 -f 5 r cos y -f (B + C -f -SJ rt cos (y + *2) j —
  - — zt sin rt -f- S r sin y -f (B -f- C -f- -SJ rx sin (y + *2)j +
  - + {B c -j- C x -f Sx b) cos (B . — (P c + C x + St b) sin £ . (^j^J —
  - d P
  - — Z z sin t -f- (P -J- P0) a sin (x -f- x{ -f- 0) •— a cos (x -f- xx -f- (p) = 0 . (4)
  - alors le terme avec
  - Si nous admettons qu’on ait satisfait à la condition (2),
  - 'dji y ,d<f)/
  - doit être indépendante de x, la dernière équation se transforme dans les deux équations de condition suivantes:
  - disparaît; et, comme la sensibilité
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- - 10
  - f-4 = ° (7)
  - d O)2
  - et divisant par a cos {x -j- xx -j- 0),
  - (5)
  - o * d2 à e . . r<n\2
  - J T, ot COS à . 5 — O t SVtl 0 j — J
  - J9= (P+p-> *(x+•+*>+—^+-^+ï>h +
  - +
  - o * d2 5, _ . . / <2 S,
  - & £, cos S, . -r~~ — S. t< sm 5,. ( —~
  - 11 1 dtp2 1 \d0
  - a cos {x -f- xx -}- 0)
  - \ZlZl cos tx S r cos y -J- (B -)- C -f- 5j) rx cos {y -f- x2)} 2
  - d2 y dQ?
  - a cos (x -j- xx -f- 0)
  - (7 \ 2
  - d0/
  - sm t
  - a cos (x xx 4- 0)
  - L'équation (5) exprime la condition à laquelle la sensibilité, en cas de position normale du fléau, sera indépendante de la place de la charge sur le tablier; l'équation (6) donne l’inverse du coefficient de sensibilité dans cette position de la bascule.
  - (6)
  - Le résultat de notre calcul est donc que, pour construire une
  - bascule telle que lorsque le fléau est dans sa position normale
  - aussi bien l’équilibre que la sensibilité soient indépendants
  - de x, la bascule doit répondre à deux exigences, c’est-à-dire
  - d(3 n . d2 (S
  - que — = 0 et que ——- = 0.
  - d0 d02
  - Pour pouvoir apprécier l’importance de ces conditions, nous
  - devons exprimer les quotients différentiels et mettre ensuite
  - d <2/3 d y d S d 0’ d0' d0 G d0
  - d$ O
  - 1— = 0 et —— = 0. d 0 d 02
  - A cet effet, sont nécessaires quatre équations que nous obtenons en projetant les lignes fermées B P E H K B et B D G K B sur une horizontale ; alors nous obtenons
  - ex cos 0 -j- Sj cos -j- 6 cos /3 -j— rx cos (y -j- x2) = n cos Z . (7)
  - — ex sin 0 -j- s, sin -f- b sin /3 rx sin {y -j- x2) = n sin S . (8)
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- - 11
  - e cos (0 -j- xx) -j- s cos 5 -f" r cos y — n cos S . . . . (9)
  - et — e sin (q) -{- xx ) -f- s sin 5 -f- r sin y = n sin 2 . . • (10)
  - Et en différentiant ces équations,
  - . . . * d S, 7 . _ d @
  - — ex sin Ç — Sj sm -----b sin [d .
  - d <p
  - d(p
  - r, sin (y #2) • -—— = 0
  - d y d <p d y
  - — ex cos (p 4- s< cos 5. . 4- b cos (3 . —^4- r, cos (y 4- x0) . = 0
  - 1 ^ 1 1 1 dQ 1 d <p 1 1 v 1 27 d Q
  - . .. , . . . d à . dy
  - — e sm (q) h- x< ) — s sm d . ——— — r smy . -
  - v 1 17 d(p d <p
  - 0
  - , _ , . . C? à . ^7 rv
  - et — e cos (q> 4- «. ) 4- s cos o . -T— 4- r cosy . -p— = ü .
  - v 1 17 1 d<p d(p
  - En multipliant (11) par cos ^ et (12) par sin ^ nous obtenons en additionnant:
  - — ex sin (<p + ^) — b sin (/3 — Sj)
  - d (3
  - d <p
  - rx sin (y-f «2 — ^i) •
  - d y
  - dcp
  - d’où
  - d (3
  - Cj sin -J- 0) — î*i sin — y — x2) .
  - d y
  - ~dQ
  - d <p b sin (S! — /3)
  - En multipliant (13) par cos S et (14) par sin 5 et en additionnant ensuite, nous obtenons:
  - d *y
  - — e sin (<p -f- Xj -{- S) — r sin (y — 5) . = 0
  - d’où
  - d y d <p
  - e sin (à -j- <p -j- «j)
  - d (3 d Cp
  - r sin (S — y)
  - de sorte que (15) devient:
  - rx e sin (àt — y — x2) . sin (à -f- (p -f- xx)
  - ex sin (5, -f (p) —
  - r sin (5 — y)
  - b sin (5 j — (3)
  - d (3
  - Si maintenant -— = 0, alors le numérateur du second dcp ’
  - membre de (17) doit être égal à 0, tandis que le dénomina-
  - d(3
  - teur garde une valeur finie; donc la condition = 0 équivaut à la relation :
  - (11)
  - (12)
  - (13)
  - (14)
  - (15)
  - (16)
  - (17)
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- - 12
  - e, sin (S, 0) ___ e sin (5 0 4“ a\ )
  - rx sin (5j — y — x2)
  - r sin (5 — y)
  - (18)
  - ou, en d’autres mots: »les projections de B F et K H sur une » perpendiculaire à la ligne F E doivent être proportionnelles »aux projections de BD et K G sur une perpendiculaire à »la ligne D G.”
  - d (3
  - Si inversement cette relation existe, alors -v— = 0, ce qui
  - dcp
  - ressort immédiatement de (17), à moins qu’également sin (5, — (3) = 0, c’est-à-dire (3 = ou — (3 = 180° (c.-à-d. (3 = \ —180°), ou — (3 = — 180° (c.-à.-d. (3 = \ + 180°). Comme cependant aucune de ces valeurs de (3 ne peut se présenter dans la bascule que nous considérons, et que, par
  - d(3
  - conséquent, sin (Sj — (3) ne peut pas être égal à zéro,
  - sera donc aussi = 0, si la relation (18) existe.
  - d? (3
  - On obtient l’expression pour
  - d 0
  - dcp
  - 2 en différentiant l’équa-
  - tion qui précède immédiatement (15); nous trouvons alors
  - /vi . dcp -f- d 5, , T . „ â} 8
  - — et cos {\ + q>). -—-—1 + b sm {\ — (3) -j-
  - -J- b cos (Sj — (3) .
  - d <p
  - d (3 dlx — d(3
  - d(p * dtp
  - d cp2
  - rl sin (Sj — y — x2)
  - d2 y
  - dcp2
  - + ricos (si — y — •
  - d y d"Bx — dy
  - d Cp
  - d (p
  - = 0
  - d(3
  - ou, en admettant qu’on ait satisfait à la condition —- = 0
  - ^ dcp
  - et donc aussi à (17):
  - /v t dcp-\-dl. . ,d2y
  - #0 e.««(S1+<p).—^---------,,««(5.-/-»,)—, -
  - d cp2 b sin (St — (3)
  - dy d^x—dy
  - rx cos (3t — y — x2).
  - dcp' dcp
  - b sin (àj — /3) ... (19)
  - Dans cette expression, nous devons encore exprimer les quotients différentiels dans les données.
  - d
  - e.
- p.12 - vue 22/178
- - 18
  - A cet effet, nous obtenons, en additionnant (18) et (14), après avoir préalablement multiplié (13) par cos y et (14) par sin y,
  - d 5 e sin (y -j- —(— cp)
  - d Ç> s sin {y — 5) ’
  - (20)
  - par l’addition de (11) et (12), après avoir multiplié (11) par
  - d(3
  - cos (y -j- x2) et (12) par sin (y -f- <x2) en supposant que = 0 et que, par conséquent, on a satisfait à la condition (18), d el sin (y + + <P)
  - dCp st sin (y a2 — 5j) ’
  - et en différentiant (16), en prenant en considération (20),
  - (21)
  - d (p2 r sin (S — y) • ( )
  - De sorte que, en substituant dans (19) la valeur que nous y ^
  - avons obtenue pour en prenant en considération (16),
  - d2 B
  - (18) et (21), nous trouvons que la condition = 0 équivaut à la relation
  - r sin (5 — y) r, sin (\—y — *2)
  - e cos (S + Q + *t) f s + r cos (5
  - (d S
  - Yç) “Hricos(^i y
  - Si ce rapport existe en sens inverse, alors -—- sera aussi rr d
  - égal à zéro, à moins qu’en même temps sin (Sj — /3) = 0,
  - ce qui, comme nous venons de le faire remarquer, ne peut
  - pas être le cas dans la bascule dont nous nous occupons en
  - ce moment.
  - Les équations (18) et (23) expriment donc, dans les données, les conditions auxquelles la bascule doit répondre pour
- p.13 - vue 23/178
- - 14
  - que, lorsque le jlèau se trouve dans la position normale, l’équilibre et la sensibilité soient indépendants de la place de la charge sur le tablier.
  - § 5.
  - Construction de la coupe d’une bascule dont, pendant les oscillations du fléau, le tablier se déplace toujours parallèlement à sa position normale.
  - Nous avons prouvé, dans le paragraphe précédent, que, lorsque le jlèau est dans sa position normale, l’équilibre et la sensibilité sont indépendants de la place de la charge sur le tablier, pourvu qu’il ait été satisfait aux conditions (18) et (23).
  - Les équations (7), (8), (9) et (10) font dépendre les grandeurs qui se présentent dans (18) et (23) de quatre conditions, de sorte qu’en tout il existe six conditions entre toutes les grandeurs de la bascule.
  - Donc il y a dans la bascule — en ne comptant pas, il est vrai, le poids des parties mobiles — en tout dix-huit grandeurs, à savoir: ev <p, sv b, (3, rv a2, r, y, s, e, *„ n, 2, a et x, qui dépendent donc de six conditions seulement, de sorte que nous pouvons encore admettre arbitrairement douze conditions, qui sont indépendantes les unes des autres et également des six conditions connues.
  - Le problème : Construire une bascule dont, lorsque le jlèau se trouve dans la position normale, l'équilibre et la sensibilité soient indépendants de la place de la charge sur le tablier, est donc très indéterminé.
  - Si provisoirement nous admettons, pour obtenir de simples équations de condition, p. e.
  - oc. = 0, x =0 et — =
  - 12 e r ’
  - alors (18) devient
  - sin (5, <p) sin (3 -f- 0)
  - sin (5, — y) sin (S — y)
  - à quoi on satisfait e. a. en posant
  - . . (24)
- p.14 - vue 24/178
- - 15
  - 3, = 5 (8).
  - Si nous posons dans (23) xx = 0, x2 — 0, ^ = % et ex r = rx e, alors nous obtenons
  - et, en transférant de (20) et (21) dans la dernière expression
  - les valeurs de et
  - d<p d<p
  - «t_ ^ iî_ = JÜL.
  - s e r
  - De à, = S, il résulte, étant données les conditions arbitraires
  - xx = 0, x2 = 0 et = -^j-, que les tiges DG et F E de la
  - figure IV doivent être parallèles, comme il est indiqué dans la fig. V ; et, comme s et sx sont proportionnels à « et «j, les points B, E et G tombent dans une ligne droite.
  - 11 résulte ensuite que
  - s r G K G B
  - “ V^VX ~ "GTE" = "GW1
  - donc E H doit être parallèle à B K et (3 = 2.
  - Enfin nous avons :
  - T —1 T
  - b : n = (r — r. ) : r ou b = n . --
  - v 4 7 tp
  - Les égalités obtenues = 5, (3 = S, etc. ne valent jusqu ici que pour la position normale du fléau; elles demeurent cependant valables quelle que soit la position du fléau, ce qui peut être indiqué de la façon suivante:
  - Admettons — = — = — = A s e r
  - et par conséquent
  - b*=n-r—rL = n(1 — -7) = n(1 — *)>
  - ensuite xx = 0 et x2 = 0, égalités qui évidemment persistent quelle que soit la position de la figure, du moment qu’il y a
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- - 16
  - été satisfait dans une position déterminée; et, si nous substituons ces valeurs dans (7) et (8), nous trouvons:
  - A e cos <p -J- A s cos -f- (1 — A) n cos (3 -j- A r cos y = n cos 2 et
  - — A e sin (p -f- A s sin —j— (1 — A) n sin (3 -f- A r sin y — n sin 2.
  - De ces équations, nous soustrayons respectivement les équations (9) et (10) multipliées par A, alors
  - A s (cos — cos 5) -f- (1 — a) n cos (3 = (1 — a) n cos S
  - et
  - A s (sin ^ — sin 5) -j- (1 — A) n sin (3 = (1 — A) n sin 2 ; ou
  - A s (cos 5, — cos à) = (1 —- A) n (cos 2 — cos (3) et
  - A s (sin — sin à) = (1 — A) n (sin 2 — sin (3) ;
  - en place de quoi, nous pouvons aussi écrire:
  - A s sin x/2 (àj -j- 5) . sin ’/2 (à, — 5) =
  - = (1 — A) n sin ’/2 (2 -f- (3) . sin */2 (2 — (3) et
  - A s sin x/2 (^i — • cos V2 (^1 + 5) =
  - = (1 — A) n sin x/2 (2 — (3) . cos x/2 (2 -f- (3).
  - Ces équations sont générales et sont valables quelle que soit la position de la figure. Si nous n’avons pas àj = 5 et (3 — 2, alors nous obtenons en divisant:
  - H V2 (^1 Jr^) = t9 V2 (2 + Æ),
  - donc
  - Va & ~\r = Va (2 + Æ) ± n 7r,
  - ou
  - $1-fâ = 2-f/3 + 2w7T.
  - Si nous supposons qu’uniquement dans la position normale Sj = à et (3 = 2, alors est valable, pour toutes les positions excepté la position normale, la relation
  - 51-J-S = 2-]-/3 + 2w7r.
  - Mais, si cette relation est valable pour toutes les autres positions, alors elle doit l’être aussi pour la position normale, attendu que le mouvement est continu et qu’il ne peut se présenter de modifications brusques; de sorte que cette rela-
  - 72? ,
  - 72 .
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- - 17
  - tion, qui existe de façon continue, ne peut être suspendue lorsque le fléau revient dans sa position normale.
  - Cette relation doit donc également être valable dans la position où fi = 2 et Sj = S ; donc
  - § = 2 + n 7T,
  - ce qui, comme il résulte de la figure, aboutit à l’absurde. Il ne reste donc d’autre ressource que de poser
  - = 3 et fi = 2
  - pour toutes les positions de la figure, par quoi il est satisfait aux dernières équations.
  - Suit ici la construction complète de la figure:
  - Nous prenons, fig. V, arbitrairement les points B et K, c’est-à-dire les grandeurs n et 2 ; tirons les lignes B D et K G dans des directions arbitraires, et y prenons arbitrairement les points F, D et G, par quoi nous avons admis arbitrairement les sept grandeurs n, 2, cp, y, ev e et r. Nous joignons D et G, et tirons en F une ligne parallèle à D G; sur cette ligne parallèle, le point E doit être placé de telle façon que FE:DG —BF:BD; à cet effet, nous joignons B et G ; E est le point d’intersection de B G avec la parallèle à D G tirée du point F. Ensuite, de E, nous tirons une ligne parallèle à B K, parce que nous devons avoir fi = 2 ; H est le point d’intersection de cette ligne avec G K. Comme fi — S demeure constant pendant les oscillations du fléau, le tablier se déplace parallèlement à sa position normale. Le point E décrit donc un cercle autour d’un point fixe Kt, qui est déterminé par EK,, que nous admettons égal et parallèle à H K. Le quadrilatère E H K K, est donc toujours un parallélogramme. Nous pouvons encore prendre la ligne B A dans une direction arbitraire et lui donner la longueur que nous voulons.
  - 2
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- - 18
  - § 6.
  - Eecherches des conditions «auxquelles doit s«atisfaire la bîiscule pour que la sensibilité soit grande lorsque le fléau se trouve dans sa position normale.
  - Nous pouvons évidemment nous contenter ici de considérer la coupe du levier triangulaire et du tablier avec le plan de mouvement du fléau, car, quelles que soient les positions des centres de gravité du levier triangulaire et du tablier par rapport au plan de mouvement du fléau, ces points, lorsque le fléau fait un angle d’inclinaison, subissent des mouvements absolument identiques à ceux de leurs projections sur le plan de mouvement du fléau.
  - Si, dans la fig. IV, nous admettons xx — 0, x2 = 0 et
  - ê T
  - — = —, et que la bascule est construite, voyez fig. V, conformément au § 5, alors S, = 5 dans toutes les positions ; donc
  - . d\ dî . _ , . . , ,
  - aussi -—- = et = -r—r ; et (o) devient, apres sub-dcp dcp dcp2 d(p2 v '
  - stitution de 51 -J- = X et & r -}- (B C -}- St) r, = Y,
  - dP
  - d$
  - = -^o) ty {x 4" Q) +
  - Y( <***
  - A Icos -r^m — Sin
  - in 5 (II)} + {zi *1cos Tl+Ycos 7}
  - æ-y
  - X"" dQ* \d(p/ ) 1 ( 1 1 11 ' )d<p2
  - — |Zxzt sin r(-f Y sin y j — % z s^n 7
  - a cos (x -J- cp)
  - .(25)
  - Pour connaître la signification de cette expression, nous
  - d2 j
  - devons encore exprimer le quotient différentiel dans les
  - connues. En différentiant (20), nous obtenons, en prenant en considération (16),
  - ecos(Q + r) + scoS(y-*)XXJ+ r(XX)
  - d <pz s . sin (y — 5)
  - O .
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- - 19
  - Si nous posons encore p. e. ac = 0, y = 0, <p — 0, S = 90°, Z = 0 et Zx == 0, alors (25) devient
  - dP
  - dp
  - et la bascule est en équilibre instable.
  - La bascule doit cependant répondre à la condition que, si le fléau fait un angle d’inclinaison restreint p, elle demeure sensible et que l’équilibre est stable entre p = 0 et p = p. On y satisfait e. a. en posant otx — 0, x2 = 0 et et = 0 et, dans la position normale de la bascule, (p — 0, 7 = 0, S = 90°, s e et rye et en plaçant les centres de gravité Z et Z, au-dessous, mais cependant dans la proximité respectivement de l’axe du fléau et du levier triangulaire.
  - Car, si nous supposons que, dans ces données, le fléau fasse un angle d’inclinaison p, infiniment petit du premier ordre, alors il résulte de (16) que y est un infiniment petit du même ordre, tandis que de (20) ressort que d 5, et par conséquent aussi cos à, sont des infiniment petits du second ordre; donc, en négligeant les infiniment petits du second ordre, (25) devient
  - dP _ 1 d (p a
  - — zx sin Tj -j- Y sin yj — % z sin rj.
  - Or, selon (22) et (16), en négligeant les infiniment petits du second ordre, pourvu que e sin p — r sin y :
  - • j/?, zx sin r, -j- Y sin y j —Z z sin r e% r. ( .
  - a sm p — —^ Zx zx jsîft r, — cos r, . sm y
  - 1
  - [(P+ ?<,)
  - a
  - Zx zx cos t y —Y > sin y — Z z sin r
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- - 20
  - ou, suivant (3) en négligeant les infiniment petits du second ordre :
  - Zy Zy COS Tj —f- Y = j(P -f- P0) et — Z Z COS T| —, ainsi nous trouvons, après réduction, en prenant en considé-
  - • 7*
  - ration que — sin y = sin 0:
  - dP
  - 1U2. . . )
  - ^ — — <-j- Zx Zy (sin ty — cos ty. sin y) -|-Zz (sin t — cos r. sin 0)^,
  - ou, étant donné que (sin rt — cos r,. sin y) et (sin r — cos r. sin 0) ne diffèrent respectivement que d’une grandeur infiniment petite du second ordre de sin (r,—y) et sin(r — 0):
  - dP
  - d0
  - -----. Z. z. sin (r. — y) 4- Zz sin
  - a (
  - (t ~ <P) j-
  - A l’effet de rendre la bascule pratique, la somme des deux termes du second membre de la dernière équation doit être positive, ce qui a lieu e. a. lorsque les centres de gravité Z et Zt sont situés respectivement au-dessous de l’axe du fléau et du levier triangulaire. Dans ce cas, la sensibilité augmente en raison que Zy, Z, zx sin (rt — y), z sin (rx — 0) et e deviennent plus petits et que par contre a et r deviennent plus grands, c’est-à-dire à mesure que le fléau et le levier triangulaire sont plus légers, et que leurs centres de gravité tombent plus dans la proximité de leurs axes, et à mesure que B D = e, fig. IV, est pris plus petit et que, par contre, AB = a et K G = r sont pris plus grands. En même temps, il résulte de la dernière formule qu’aussi longtemps que l’angle d’inclinaison 0 reste très petit et que le frottement n’entre pas en considération, le poids de C et celui de P n’ont pas d’influence sur la sensibilité de la bascule, pas plus que s et Sy, c’est-à-dire la longueur des tiges de traction D G et F E.
  - Grâce à (25), on peut aisément constater que la dernière expression obtenue pour la sensibilité, en cas d’une valeur croissante de 0, sera d’autant plus longtemps valable que les
  - B B
  - relations — et — seront plus petites, c'est-à-dire en raison que e sera plus petit et que r et s seront plus grands. —
  - t.
  - V.
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- - 21
  - Les conclusions concernant Zx et Z, que nous avons tirées
  - d P
  - de la formule qui fait connaître la valeur de -, ne sont
  - ^ d(p
  - vraies que pour autant que les leviers ne fléchissent pas considérablement, même lorsque la bascule est sous l’action de sa charge maximum. La formule nous apprend donc seulement par rapport à Zx et Z, que les leviers doivent être faits de telle sorte que toute diminution dans leur solidité aurait pour effet une flexion sensible.
  - La flexion d’un levier dépend de la matière dont il est fait; de sa longueur et de la forme de son profil; de la grandeur, le point d’application et la direction de la force qui agit sur lui; etc. 11 nous est possible, en cas de poids égal, de longueur égale et de charge égale, de réduire à un minimum la flexion d’un levier et cela en le fabriquant d’une matière dont le module d’élasticité est grand; en lui donnant une coupe plus haute que large; en diminuant peu à peu, vers le point d’application de la force, cette hauteur de la coupe, et en plaçant le centre de gravité très près du point d’appui. En général les bascules en usage dans le commerce satisfont suffisamment à ces exigences, en tenant compte que lors des pesées effectuées par la bascule on ne réclame pas une précision rigoureuse. L’important est de prendre pour les bascules des leviers bien solides, afin que les pesées maxima ne les fassent pas fléchir et en même temps de donner à z et zx une valeur petite. —
  - On sait que le frottement augmente et que pour la même raison la sensibilité diminue à mesure que le poids des leviers et des tiges augmente ; mais le frottement est insignifiant lorsque les couteaux et les coussinets de la bascule sont faits d’un acier très dur et parfaitement poli, que les couteaux sont convenablement affilés et que, de même que les coussinets, ils sont d’un travail bien fini. Je connais une balance à bras égaux dont le fléau est massif et de très grande hauteur (ainsi relativement très lourd) et de si bonne construction que son centre de gravité ne se déplace presque pas à la charge maximum de la balance. Grâce à la bonne construction du fléau, pour ce qui regarde les couteaux, les coussinets, le rapport de sa
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- - 22
  - hauteur à son épaisseur et la place de son centre de gravité, cette balance, chargée dans chaque plateau d’un poids de 40 K. G., est encore sensible pour un poids additionnel de 1 m. G., sensibilité qu’elle garde à peu près pour toutes les charges jusqu’à la charge nulle. On voit combien, dans cette balance, est minime l’influence du frottement sur la précision des pesées. Cependant, on ne peut pas perdre de vue que la bascule de Quintenz, p. e., compte plusieurs (au moins dix) couteaux, tandis que la balance ordinaire n’en compte que trois; qu’en général les couteaux et les coussinets des bascules sont assez grossièrement construits, et que par conséquent il est recommandable, dans cette construction, d’éviter toutes causes qui pourraient augmenter le frottement, pour autant qu’on ne contrevienne pas aux autres exigences auxquelles la bascule doit satisfaire.
  - Dans l’expression pour la sensibilité
  - Tÿ = "" a Sin (Ti “ y) + sin (T - <£)j
  - € 7*
  - les relations — et — ne se présentent pas, d’où résulterait que
  - la sensibilité est indépendante des valeurs de ces relations. Si cependant nous avions aussi porté en compte la flexion, nous aurions trouvé que ces relations doivent être aussi petites que possible, parce que plus les points H et F, fig. V, s’éloignent respectivement de K et B, plus aussi doivent être grandes, à charge et à flexion égales, les dimensions des leviers KG et BD, à la suite de quoi leur poids et par conséquent aussi le frottement augmentent, de même que le prix de la bascule et l’espace qu’elle occupe, tandis qu’il devient aussi plus difficile de la déplacer. La longueur de r dépend de la dimension de la charge la plus volumineuse que doit peser la bascule; si nous admettons donc pour r une certaine longueur, alors et et e doivent être aussi petits que le permet la construction du fléau.
  - Si nou3 soustrayons de l’équation d’équilibre (1) celle obtenue en mettant dans (1) C = 0 et P = 0, c’est-à-dire l’équation à laquelle il est satisfait en tarant, alors nous obtenons pour l'équation d’équilibre entre C et P:
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- - 23
  - Si nous posons, dans la fig. V, = 0, — 0, a, = 0,
  - cp = 0, y = 0, S. = à = 90° et — — — , alors (26), suivant
  - e r
  - (15) et (16), devient
  - MT.
  - tandis que, selon (19), —-= 0, d’où résulte que, dans ces
  - conditions, l’équilibre et la sensibilité sont indépendants et de la place de la charge sur le tablier et de l’angle /3, c’est-
  - § 7.
  - Le Frottement.
  - l)e préférence la cliarge doit être placée sur le tablier dans la proximité de Taxe du levier triangulaire supérieur.
  - Si la bascule est en repos, il faudra placer dans le plateau un poids additionnel pour mettre la bascule en mouvement, c’est-à-dire pour vaincre le frottement des couteaux sur les coussinets. Lorsque la bascule est chargée nous pouvons, en plaçant la charge sur le tablier, aider à diminuer Pv
  - Pour démontrer ce fait, admettons que le travail pour vaincre le frottement soit proportionnel à la pression et à l’angle de rotation.
  - Dans cette conjecture, il s’agit de déterminer le poids qui, lorsque la bascule est en repos, doit être mis dans le plateau pour vaincre le frottement.
  - Déterminons d’abord le frottement pour autant que celui-ci est produit par la pression des couteaux sur les coussinets, exclusivement par la charge C et le poids P; de sorte que
- p.23 - vue 33/178
- - 24
  - provisoirement nous négligeons le poids des parties mobiles de la bascule.
  - Soit, fig. V, M le point d’application de la charge sur le tablier (9^), M H = x ; et admettons que la bascule soit en
  - équilibre dans sa position normale, qu’en outre les tiges F E et D G soient verticales et que aq, «2, a, y et cp soient égaux à zéro; représentons encore les pressions que la charge produit sur les couteaux par K, H, G, E, etc., pressions qui agissent sur les points du même nom, alors nous avons:
  - H+E = C.
  - Considérant comme égaux les moments de (H -|— _E7) et C par rapport au point H, nous avons
  - Eb = Cx, ainsi E=F=~ C et
  - b b
  - nous avons ensuite
  - G r = H r., ainsi G = D=-' . h-^ . C,
  - r b
  - K— H — G — T~^ . . C
  - r b
  - et
  - B = A + F+ D = P + ^-. C+ -—Ü .-.C.
  - r r b
  - Selon le principe des vitesses virtuelles, il faut que le travail accompli par le poids additionnel, soit égal au travail accompli par le frottement. Maintenant, suivant la conjecture précédente, quand / est une constante, le travail du frottement sera
  - en
  - r
  - en
  - —Cfdy, Cfdy,
  - en G = — . ^ • C f (d y — d à),
  - en E = ~ Cfdl,
  - en D = ^ . Cf(d(p -f d 3),
- p.24 - vue 34/178
- - 25
  - X
  - y.
  - en F = ^ . Cf{d<p + dl),
  - en
  - B = (f + ?C + V -y)/^et
  - en A = P fd <P]
  - tandis que le travail accompli par le poids additionnel équivaudra à
  - Px a dQ.
  - Par conséquent, en négligeant d 5 — grandeur qui, selon (20), en cas que Cp, 7 et (90° — à) seraient des infiniment petits, est elle-même infiniment petite par rapport à d Cp et
  - d 7 (10) — nous avons
  - p = f[r~r
  - 1 a \ r
  - ~ æ ^ d 7 , b — x n d y . rx b — x rtdy , b L'd(p^~ b b'd$^r' b ' ° +
  - + !:..^c+^c+p+^.‘c+^,'' *
  - r b b r r
  - 'z c+4
  - ou, en prenant en considération (16) :
  - 9 f fi + ri + f (r - e - ri)
  - pl=-i\---------------------
  - a [ r
  - et donc pour x = 0
  - P =*1 jt±lL . C + PÎ ; x = o a \ r )
  - et pour x = b
  - y=,=24ic+4;
  - et la différence
  - P _____ p __ 2/ r — e — r,
  - 1 riI=o - ‘
  - • c + iJj,
  - (27)
  - C.
  - Dans la bascule de Quintenz de dimensions ordinaires, la différence est certainement positive; et, par conséquent, il y a un avantage certain à faire tomber le centre de gravité de la charge au-dessus du point H (il). Si nous posons par
  - exemple r — 4 e — 6 rx et P — ^ C, alors la différence s’élève presque à la moitié de Pt b. —
- p.25 - vue 35/178
- - 26
  - Soit P0 le poids du plateau en A, Z le poids du flcau, Zx celui du levier triangulaire, Sx et S ceux des tiges, P celui du tablier, etc. comme dans le § 4.
  - Le poids des parties mobiles effectue les pressions suivantes :
  - en E = ^ P,
  - b
  - en H = P,
  - b
  - en G =
  - t b r
  - r — rt b — c r — zxcostx
  - en K = ——— . —j— P A----------------------------- zf,,
  - . r b r
  - en D = -1 . -7-C P -f Z>--°S Tl Zv + S,
  - r b r
  - en P-ip+5,,
  - en B =
  - ^p.Z1 + S + ^B + S1 + Z + P0et
  - en A = P0.
  - Si nous calculons le poids additionnel qui est nécessaire pour vaincre le frottement occasionné par ces pressions, alors nous trouvons que ce poids équivaut à:
  - U
  - a
  - b — ce-\-rx c
  - l\B + e + 2*'rC°ST'.Z, + S+S. + f+P0],
  - De cette dernière expression et de (27), résulte entre autre que le frottement diminue en prenant a et r grands et en prenant par contre e et rx petits; nous devons par conséquent, si nous voulons que la sensibilité de la bascule soit grande,
  - diminuer et = —1 autant que le permet la construction de la
  - bascule. Concernant ex nous avons déjà trouvé un même résultat à la fin du paragraphe précédent.
  - z
  - c2 d
- p.26 - vue 36/178
- - 27
  - § 8.
  - Recherche concernant l’influence de petits défauts de construction de la bascule sur l’indépendance de l’équilibre et de la sensibilité de la place de la charge sur le tablier.
  - Toujours, dans les bascules en usage dans le commerce, se produiront de petites inexactitudes dans la position et les dimensions des leviers et des tiges, inexactitudes provenant d’une construction défectueuse, ou bien elles se produiront à la suite des flexions et des tensions des tiges pendant le chargement du tablier; elles se produiront aussi à la suite de l’usure des couteaux et des coussinets, et à cause de la dilatation et de la contraction du matériel dont la bascule est formée ; etc. Aussi le point E n'est pas dans la ligne B G, comme dans la fig. V, mais les tiges F E et D G sont, comme dans la fig. II, à peu près d’égales longueurs.
  - Nous allons rechercher quelle influence ces déviations de la forme parfaite ont sur l’indépendance dont nous avons parlé plus haut. Nous partons à cet effet de la supposition qu’on s’est efforcé de construire la bascule de telle sorte que, dans la position normale, = 0, «2 = 0, a — 0, <p = 0 et = 3 = 90°.
  - a. L'équilibre.
  - Suivant (26), l'équation d’équilibre entre C et P s’exprime par Crx cos (y -j- a2). -j- Cxcos fi . — P a cos (« -[- a,, -j- 0) = 0.
  - Si nous acceptons maintenant que les grandeurs «, xv #2, <p, y, 90° — 3 et 90° — sont des infiniment petits du
  - B 7*
  - premier ordre et qu'il a été satisfait à l'égalité -j = — , alors,
  - en négligeant les infiniment petits du second ordre, la dernière équation d’équilibre, en prenant en considération (16), devient
  - Ce j sin (3 — y) ( Cxcos fi d fi)
  - P a sin (5 -j- -j- &x) ' ( P a ‘ dÇ>)'
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- - 28
  - tandis que (17) devient
  - d (3 ex sin (h— y). sin (5, -j- (p) — sin (5j — y— a2). sin (5 -j- <p -f- xx )
  - d<P b sin (5, — (3) . sin (S — y)
  - Puisque maintenant chacun des angles (S — y), (5, -j- (p), (^i — 7 — &2) et (S -f- (p -j- xt) n'a, avec 90°, qu'une différence infiniment petite et que, par conséquent, le sinus de chacun de ces angles n’a, avec l'unité, qu'une différence représentée par un infiniment petit du second ordre, il est évident que — indépendamment de la valeur positive ou négative de (3, pourvu que (à — (3) représente une grandeur finie — la valeur de la
  - d(3
  - relation — sera un infiniment petit du second ordre; d'où d<p *
  - (2 7*
  - résulte que, s'il a été satisfait à l'égalité — = —, la longueur
  - de la tige F E, voyez fig. Il, et les petites déviations dans la construction de la bascule, n’auront pas d’effet appréciable sur l’indépendance de l’équilibre de la place de la charge sur le tablier, b. La sensibilité.
  - On peut dériver de (4) la sensibilité.
  - Comme il est ressorti précisément que, dans les conditions
  - données,
  - la valeur de
  - dj3 d (p
  - est un infiniment petit du second
  - d2 Û
  - ordre, uniquement le terme en (4), dont est le facteur,
  - détermine si la sensibilité est dépendante de la place qu'occupe la charge sur le tablier.
  - d2 (3
  - L’expression pour -—^ se présente sous (19), dans la sup-
  - dcp'
  - d (3
  - position que — 0, et est donc maintenant aussi utilisable d (3
  - parce que est du second ordre; et, puisque, selon les
  - conditions posées, étant donnés (16) et (21), d Sj est un infiniment petit par rapport à d (p et dy, nous pouvons, en négligeant les infiniment petits d’un ordre plus élevé que le premier, et après substitution de (16) et (22), écrire
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- - 29
  - <?<?
  - r/</
  - ^ „ d2 (3 v , e2 sin2 ($4- 0 -f- x< )
  - b sin — (3) —5 = ex cos (5,+ 0) + rl cùs (S, — y — <x2),
  - d02
  - — rx sin (S, — y — <*2)
  - gcos(à-]-<£-l-d51)-}-7,cos(5 — y)
  - r2 sin2 (5 — y) e2sin2(è-{-0-\-x1) r2 sin2 (S — y)
  - r sin (5 — y)
  - S 7*
  - ou, après substitution de — = — et, en négligeant ensuite
  - e r
  - les infiniment petits d’un ordre plus élevé que le premier : W = b sin (1-0) H (S' + ® + ? e" (5' “ »" “ ^ -
  - — cos (5 -f- 0 -f- <*i) — - cos (à — y)\.
  - Comme maintenant chacun des termes du dernier] membre
  - d2 (3
  - est un infiniment 'petit du premier ordre, est également
  - une grandeur du même ordre, d’où résulte que de petites inexactitudes dans la construction de la bascule auront de l’influence sur l’indépendance de la sensibilité de la place de la charge sur le tablier; c’est-à-dire, que si la charge repose au-dessus* du point H, fig. II, et que si elle est ensuite placée dans la proximité du point G, alors — abstraction faite du frottement — le rapport des poids additionnels Pt et P2, qui, clans les deux positions, doivent être respectivement mis dans le plateau pour donner au fléau un même angle d’inclinaison, diffère de l’unité.
  - La question est maintenant de savoir si la différence en sensibilité est appréciable. Cela dépend — abstraction faite du frottement — de la valeur de la somme des termes dans le second membre de (6), surtout de la valeur des termes Zx zx sin tx et Z z sin t. Si cette somme est relativement grande et si, par conséquent, la bascule n’est pas très sensible et si les défauts dans la construction sont peu importants, alors, lorsque le fléau fait un petit angle d’inclinaison, la différence de sensibilité aux différents points du tablier ne sera pas appréciable. Si au contraire la somme des termes Zy Zy sin t y et Z z sin r est très petite et que, par conséquent, la sensibilité de la bascule soit extrême, alors la différence,
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- - 30
  - eu cas de défauts considérables dans la construction et si le fléau fait un angle d’inclinaison relativement grand, sera assez appréciable (là).
  - Comme généralement dans le commerce on n’exige pas une exactitude fort scrupuleuse, mais comme il importe surtout de pouvoir peser rapidement, une trop grande sensibilité rendrait la plupart du temps la bascule moins utilisable. Nous pouvons par conséquent accepter que si, dans une bonne bascule de commerce — donc une bascule • dont e. a. la sensibilité n’est pas excessive — as, av x2, y, (p, 90° •—§ et 90° — àj sont très petits dans la position normale, le terme
  - d2 (3 d$2
  - indépendamment de la valeur de (3 — sera si petit
  - que la sensibilité, à un angle d’inclinaison pas trop grand, sera suffisamment indépendante de la place de la charge sur le tablier.
  - De ce qui précède il résulte donc, que la bascule de Quin-tenz, dans laquelle les tiges, de même que dans la fig. II, sont à peu près de la même longueur, peut répondre aux conditions d’un bon pesage aussi bien que la bascule construite conformément à la fig. V.
  - Evidemment les résultats qui ont été trouvés dans le § 7 concernant le frottement demeurent entièrement applicables si les tiges DG et F E, fig. II, sont à peu près de la même longueur; et, en même temps, la possibilité que le tablier se déplace, si le fléau fait un angle d’inclinaison, demeure plus petite que lorsque les tiges, comme dans la fig. Y, diffèrent considérablement en longueur; il est donc préférable, étant donné ce qui précède, de construire la bascule conformément à la fig. II que conformément à la fig. Y.
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- - 31
  - ee.
  - § 9-
  - Formes de bascules dont la théorie équivaut à celle de la bascule de Quintenz.
  - 1°. Si, en laissant de côté le bras de fléau À B, fig. V, une force agit en R sur le bras de levier prolongé B D dans le sens indiqué par la petite flèche, alors nous obtenons en principe la bascule représentée par la fig. VI. Cette bascule est en usage pour le pesage de charges très lourdes et de grandes dimensions, comme par exemple des voitures chargées, etc. L’équation d’équilibre, dans la position indiquée par la fig. VI, est
  - C__ MN RJB P — NQ ' FB;
  - s’il a été satisfait à l’égalité
  - KH _ FB KG“DB‘
  - Si nous prenons M N = 10 N Q et R B = 10 F B, nous avons
  - C= 100 P.
  - Cette bascule est donc une centésimale.
  - Pour épargner de la place, le fléau M Q, dans beaucoup de bascules, est perpendiculaire à la position indiquée dans la figure VI.
  - Il est évident que cette position du fléau, en prenant en considération le déplacement restreint du couteau Q lors des pesages, ne peut pas avoir d’influence marquante sur l’équilibre et la sensibilité de l’instrument, pourvu qu’entre autre la tige Q R ne soit pas trop courte.
  - Cette dernière remarque est aussi applicable à la bascule centésimale représentée par la fig. VIa. Cette bascule consiste dans la réunion de deux leviers triangulaires K G et kGkj, dont les plans, dans la position normale de la bascule, tombent dans un seul plan horizontal et dont les extrémités G, très proches l’une de l’autre, sont élevées au moyen
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- - 32
  - de deux tiges D G qui en haut aboutissent à un seul coussinet reposant sur le couteau D, lequel est fixé sur le levier R B ; le levier R B lui-même repose en B sur un coussinet fixe et est élevé en R par la tige R Q ; tandis qu’ à son tour cette tige repose en Q sur le levier Q M, qui repose sur le coussinet fixe N.
  - Le tablier de la bascule repose à gauche sur les points H et Hj du levier triangulaire KGK„ et à droite sur les points e et e, des tiges h e et b, en qui sont suspendues en b et bj au levier triangulaire k G k,.
  - Si dans cette bascule NM.BR.Gk2= 100 Q N . D B. h2 k2, alors C= 100P(*).
  - Il est évident que, conformément à la théorie, cette bascule ne peut satisfaire aux conditions (2) et (5) dans aucune autre position que la normale, vu que les points H et C, lorsque le point D s’élève, ne décrivent pas des courbes égales, de sorte que, en cas de déplacement du point D, la ligne H e ne peut se déplacer parallèlement à sa position primitive, et non plus par conséquent le tablier.
  - Cependant, il résulte du § 8 que, si, comme il est d’usage, les leviers triangulaires K G R, et k G k, sont grands et si respectivement les distances, entre les points H et b et les lignes KK, et k k1? sont petites et si aussi l’angle d’inclinaison est petit, les différences de sensibilité, en cas que la charge soit placée sur divers points du tablier, seront peu
  - appréciables (f^)*
  - Parfois aussi le tablier de cette bascule n’est pas suspendu à des tiges ou à des chaînes en b et h,, mais il s’appuie aussi en ces points directement sur les leviers k G et k, G ; d’où résulte nécessairement qu’avec n’importe quel angle d’inclinaison du fléau il doit se produire un frottement extrêmement nuisible entre les coussinets du tablier et les couteaux sur lesquels ils reposent.
  - 2°. Si nous prenons, comme dans le § 5, ocx = 0, = 0,
  - (*) Gkj représente une perpendiculaire de G sur kk,; h2 est le point d’intersection des lignes G k, et h h,.
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  - 5. = 2 et — = —, mais cette fois e. > e, alors nous obtenons er
  - d’après (18) et (23) de nouveau
  - £i = îi. s e '
  - La fig. VII représente, dans la forme la plus simple, la coupe de cette bascule.
  - 3°. Par la combinaison de deux formes selon la fig. VII, nous obtenons la bascule de comptoir conforme à la fig. VIII (système de Béranger) (15).
  - 4°. 5 -f- 180° satisfait aussi à (24).
  - Si nous posons (23) <xx = 0, x2 = 0, — = — et 2 = à, -f- 180°, alors nous trouvons:
  - «i
  - € V
  - d’où, étant donnée la condition — = —, il résulte ou bien
  - e r
  - que ex et rx doivent être négatifs et e et r positifs, ou bien que ex et rx doivent être positifs et e et r négatifs.
  - Pour ex et rx négatifs on a la fig. IX, et, pour ex et rx positifs, la fig. X.
  - 5°. Par la combinaison de deux formes selon la fig. IX, on obtient la bascule de comptoir selon la fig. XI.
  - 6°. Par la combinaison de deux formes selon la fig. X, on obtient la bascule de comptoir selon la fig. XII.
  - Si ici les bras de levier KG et K H sont pris égaux et si en outre K Gx est égal à K G, alors nous obtenons la
  - bascule représentée à la fig. XIII (Î6).
  - 7°. àj = S -f- 180° satisfait également à (24). Si nous posons en (23) ccx = 0, a1 = 0, = 180°+ 5 et ^ alors nous
  - € €
  - trouvons — — = —, et, par conséquent, il faut, si e, rxx r 8
  - et s sont positifs, que sx soit pris négativement, c’est-à-dire, que le tablier, au lieu d’être, comme dans les autres figures,
  - 3
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- - 34
  - suspendu à une tige doit au contraire reposer sur une tige, comme nous le montre la fig. XIV.
  - 11 est évident qu’une telle forme serait peu pratique; du § 8 cependant, il a déjà résulté que (3, ou, ce qui revient au même, que la longueur de la tige d’appui peut être prise fort arbitrairement et aussi négativement sans que ceci ait une influence marquante sur la sensibilité.
  - Naturellement les modifications dans la longueur et aussi éventuellement dans la nature des tiges demeurent sans effets sur l’état d’équilibre lorsque le fléau est dans la position horizontale, en supposant qu’alors les tiges se trouvent dans une direction verticale.
  - Nous pouvons donc, comme dans la fig. XV, suspendre tout aussi bien le tablier à une tige de longueur arbitraire (&)•
  - Ici encore nous pourrions, par exemple, prendre el > e.
  - 8°. Par la combinaison des deux formes selon la fig. IX et la fig. XV, nous obtenons la bascule de comptoir conforme à la fig. XVI.
  - L’équation d’équilibre des quatre dernières formes est pour toutes la même, notamment
  - P BP
  - et, en même temps, il doit être satisfait à l’égalité
  - F B KH F, B, K, H,
  - BD
  - K G
  - Les relations
  - PE
  - F E
  - ____ ri -^i
  - DG D, G,
  - B, Dt Kj G,
  - peuvent, pour toutes les formes
  - de bascule ici représentées, pourvu qu’elles ne soient pas trop petites, êtres prises arbitrairement.
  - 9°. y — 180° — <p satisfait également à (24).
  - Si nous posons en (23) ocx = 0, a2 = 0, — = - et
  - y = 180° — 0, alors nous trouvons, en prenant en considération (16), (17), (20) et (21), el=rl et par conséquent
  - aussi e = r, indépendamment de la relation — et des angles
  - s
  - (3 et 5,. La figure XVII représente la bascule en question.
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- - 35
  - Pour arriver au dernier résultat, il faut que nous démon-
  - trions au cours des calculs que
  - = t), si nous prenons
  - a. = 0, a9 = 0, — = — et y — 180° — Cp. i * e r
  - Dans cette supposition, il résulte de (17)
  - d (3__(r el — r-yé) sin -f- Cp)
  - d(p b r sin (àj — (3) ’
  - d Q
  - de sorte que la valeur de -r- devient zéro pour toutes les valeurs ^ d<p
  - de et (3 qui n'annulent pas sin (5j — (3) ; tandis que, pour (3 — àj la dernière égalité devient Mais si (3 = Sj,
  - alors devient -4—^- et pour cette valeur particulière de (3, dtp d cp
  - selon (21), indépendamment de la valeur de la proportion
  - —, nous avons: r
  - f I n d(3
  - d (3
  - S . -r- = 0 d Cp
  - d’où résulte qu’également, pour cette valeur de /3, il faut
  - d (3 f c
  - que — = 0, indépendamment de —. d cp r
  - Si nous acceptons encore que ex = e et que, par conséquent aussi rx = r, il en découle les formes de bascules qui sont représentées par les fig. XVIIa, XVIIb et XVIIe.
  - Chacune de ces bascules — qui peuvent être nommées à bon droit, d’après leur inventeur, bascules de Roberval — consistent en un fléau auquel sont fixés les trois couteaux A, B et D. Ces couteaux ont les fonctions suivantes: Le couteau B du fléau repose sur un support fixe B K et supporte donc le fléau ; le couteau D soutient le tablier sur lequel doit être placée la charge C et le couteau A porte le plateau, qui peut contenir le poids P devant faire équilibre à la charge C. — Le support fixe est muni en K et le tablier est muni en G d’un couteau ; ces deux couteaux sont réunis au moyen d’une tige qui empêche le chavirement du
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- - 36
  - tablier. Dans les bascules de grand format et dans celles dont les tabliers doivent être assez grands, le fléau doit se terminer en fourche, de façon que le couteau d’appui, divisé en deux parties, repose sur deux coussinets et que le fléau supporte le tablier en deux points.
  - Il est évident que, dans les bascules suivant les fig. XVIIa et XVIIe, les charges ne pourront être placées qu’à gauche de la planche D G et que, par contre, dans les bascules conformes à la fig. XVIIb, les charges devront être placées seulement à droite, à moins que la tige G K soit construite de telle sorte qu’elle puisse à la fois servir de tige d’appui ou bien exercer une traction, selon que la charge est placée sur le tablier soit à gauche soit à droite de la planche D G.
  - 10°. La bascule de Roberval à deux tabliers consiste dans une jonction de deux des formes suivant la fig. XVIIb ou XVIIe.
  - La fig. XVIII représente la bascule de comptoir très connue
  - de Roberval
  - Ici D Dj représente le fléau qui, en B, repose sur un support B M N et qui, en D et Dj, porte les tiges DG et Dj Gj auxquelles sont adaptés les plateaux. Ces tiges sont réunies aux extrémités par le levier G Gr
  - Le support se termine par deux barres M et N qui se trouvent des deux côtés, quoique cependant très près du plan vertical qui passe par B et qui est perpendiculaire au plan de mouvement du fléau. Entre ces barres, se meut le levier G Gj qui toujours, au moyen d’une des deux dents dont en son milieu et suivant un plan horizontal ce levier est muni, repose contre le plan vertical d’une de ces barres. Ce levier sert donc à la fois de tige d’appui et de tige de traction (ainsi qu’il en a été question dans l’alinéa final sub 9°).
  - La tige Dj Gj est, en bas, échancrée dans le sens de son axe et suivant un plan qui est perpendiculaire au plan de mouvement du fléau. Contre cette échancrure est fixée une petite plaque, partiellement ouverte, qui sert au levier G Gj à s’appuyer et à empêcher qu’il ne glisse de côté.
  - A l’extrémité Gj du levier G Gx, est ménagée une ouverture destinée à laisser passer l’extrémité inférieure de la tige
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- - 37
  - Dj G15 grâce à quoi elle peut intérieurement reposer contre le levier.
  - Au point G de la tige D G et du levier G G1? la construction est la même qu’au point analogue Gj.
  - La fig. XVIIIa représente la coupe du levier G Gx, des barres M et N, des tiges et des plaques avec un plan horizontal, qui passe par Taxe du levier.
  - Les fig. XVIIIb et XVIIIe représentent la liaison entre les tiges et les plaques, vue dans la direction G Gx.
  - La fig. XVIIId montre de quelle façon les tiges sont suspendues au üéau.
  - 11°. Dans quelques formes de bascules, le principe de la bascule de Roberval est fusionné avec celui de Quintenz. Ainsi la bascule de George (l^), suivant la fig. XIX, diffère de celle de Roberval en ce que le tablier ne repose pas directement sur le fléau, mais est porté au moyen d’une tige D G qui, en D, est suspendue au fléau et, en G, agit sur le tablier. En outre le tablier est relié au support fixe au moyen de deux tiges et cela au moyen de la tige de traction Kj Gx et de la tige d’appui K G.
  - 12°. Si, dans la fig. XIX, nous intervertissons la tige d’appui et la tige de traction et si ensuite nous renversons le tablier, nous obtenons la bascule suivant la fig. XX. —
  - Il est évident que beaucoup d’autres formes de bascules peuvent être dérivées des formules que nous avons trouvées et qu’elles peuvent être combinées entre elles de différentes manières. Nous nous bornerons cependant à celles qui précèdent. Toute bascule basée sur un système de leviers et de tiges peu flexibles et peu extensibles, pourra être facilement étudiée au moyen des formules que nous avons exposées, de sorte qu’on pourra rapidement déterminer les conditions auxquelles elle doit satisfaire.
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- - 38
  - 10.
  - Vérification des bascules de Quintenz et de Roberval.
  - a. Détermination, dans la bascule de Quintenz, de la grandeur des fautes dans la longueur des bras de levier, au moyen de pesages.
  - Nous admettons que la ligne Kj K, fig. I, est perpendiculaire au plan du fléau; que, dans la position normale de la bascule, les couteaux du fléau se trouvent à peu près dans un plan horizontal ; de même les couteaux du levier triangulaire inférieur; que les tiges sont approximativement verticales, et que la charge — dont le centre de gravité se trouve dans la verticale qui passe par le point M du tablier — fait équilibre au poids placé dans le plateau.
  - S’il faut, lorsque la charge est placée sur un autre point du tablier, ajouter un poids additionnel pour faire revenir le fléau dans sa position normale d’équilibre, alors ceci résulte — sans nous occuper du frottement —, conformément au § 8, uniquement de ce que les longueurs des bras de levier de la bascule ne satisfont pas à l’égalité
  - longueur de la verticale du couteau H sur Kj K
  - longueur de la verticale du couteau G sur Kx K
  - longueur de la verticale du couteau H! sur Kj K B F
  - longueur de la verticale du couteau G sur Kj K BD
  - . (28)
  - Car, s’il avait été vraiment satisfait à cette égalité, alors le déplacement de la charge sur le tablier n’aurait pas eu d’influence appréciable sur l’équilibre.
  - La grandeur des fautes dans la longueur des bras de levier peut se déterminer au moyen de trois pesages, dans lesquels une même charge est placée la première fois au-dessus du couteau H, une seconde fois au-dessus du couteau Hj et une troisième fois dans le plan de mouvement du fléau au point Mt (20). Chaque fois la bascule est ramenée dans sa position normale en plaçant un poids additionnel dans le plateau.
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- - 39
  - A la suite des deux premiers pesages, on détermine la correction que doit subir une des perpendiculaires de H ou Hj sur Kj K, pour que ces perpendiculaires soient égales entre elles, tandis que le troisième pesage sert à pouvoir calculer quelle correction il faut faire aux perpendiculaires maintenant égales, qui tombent de Hj et H sur Kj K, ou à une des grandeurs B F et BD ou à la perpendiculaire de G sur Kj K pour donner la même valeur aux proportions de (28).
  - Supposons que la charge C au-dessus de H fasse équilibre au poids P; au-dessus de H! au poids P -j- Pv et, au-dessus de Mj au poids P -J- P2j que lors du dernier pesage la verticale qui passe par le centre de gravité de la charge se trouve à la distance æ de la ligne Hj H; et que Hj h0 = A1? h0 H = A, que les perpendiculaires de H et Hj sur Kj K soient respectivement égales à rl et r% et que la distance de la ligne F E à la ligne qui passe par les couteaux Hj et H soit égale à A, alors nous avons les pressions
  - au premier pesage : en H = C et en Hj et E = 0 ; au deuxième pesage : en Hj = C et en H et E = 0 ;
  - au troisième pesage : en H =
  - et en E = % . C.
  - b
  - Suivant la notation du § 4, l’équation d’équilibre entre G et P, P -f- Pl et P -f- P2 s’exprime, conformément au principe des vitesses virtuelles, respectivement par
  - C. d (rx sin 7) — P. d \a sin (x aj -j- <P)J = 0,
  - C. d (r2 sin y) — (P -f- P,) . d \a sin {x -f- a1 -J- Q)\ — 0 et
  - h -f- A,
  - h
  - ou
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- - 40
  - d *y
  - C rx. cos y . -j-Q = P a cos (x x j <p),
  - Cr2cosy .~^ = (P+ Pj) a cos (« + «! + <p),
  - et
  - \Jh_________
  - (/i-J-Aj* b
  - b —jc . h b —sc .sc hr9-\-hxr-, d y ,
  - r'+h+hl-—'r>+h--tFt\Ceosr-dQ+
  - d(3
  - + sc C cos (3 . -7- = (P + P 2) acos (« + « i + <p).
  - CÏ
  - Ces équations sont générales, de même que les valeurs de
  - %ifde <16)et <17)-
  - Si nous supposons maintenant que #, «2, <p, /3, 7,
  - 5 — 90° et àj -- 90° sont très petits, alors les trois équations d’équilibre, en prenant en considération (16) et (17), deviennent
  - Cr1.- = Pa,
  - et
  - tf'i-r = (P+pi)«
  - Vj+Ar, e , e^r — ^e D x _
  - ^ Â+Üj " + C7‘ "P,. .^-(P+P2)«.
  - r 6r
  - En soustrayant la première équation des deux dernières, nous obtenons
  - e
  - C(r, ->•,)- = P, a.........(29)
  - et
  - C, * ('iSTJji . i + c . . ,=J», a. . (30)
  - En substituant en (80) l’égalité de (29), notamment
  - 7^Fri-c{r>-r')7 = TTTt-p'a’
  - on trouve
  - e r — r e h
  - C.
  - b r
  - 1 ^ ___ T)
  - — sc = P, a —
  - h -f A, ' Pl Æ
  - d’où
  - //
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- - 41
  - /n m ,
  - ïin .
  - oo,
  - fp-
  - «1
  - — T
  - e
  - ab r
  - h
  - C e x \h —]— hl
  - Pi-r-.
  - (31)
  - Tout d’abord un des points Hj ou H doit être déplacé pour rendre équivalents r2 et rv Si, par exemple, on déplace Hj alors r2 doit subir une correction, de sorte que r2 corr. r% = r1? ou, suivant (29),
  - P-, a r
  - corr. r„ —--------^—.
  - 2 Ce
  - Après avoir corrigé r2, r2 devient = rl ; il faut maintenant encore faire subir une correction commune à rL et (r2 -|- corr. r2), de sorte que nous avons
  - 7*! —j— corr. 7*1 == — . 7*, ou, suivant (31), e
  - abr(D h
  - corr. rj = -— P2 — -—j—r 1 Cex \ 2 4 /ij
  - 11 reste encore à satisfaire à l'équation
  - ei : (a + corr- °) — 1 : n
  - d'où
  - corr. a = n e1 — a,
  - n étant égal à 10 ou 100, suivant que la bascule est une décimale ou une centésimale.
  - La grandeur e-j n’est pas susceptible d’être mesurée exactement; de (30) résulte
  - éi =
  - e
  - a b Cx
  - b. Détermination, dans la bascule de Quintenz, de la grandeur des fautes dans la longueur des bras de levier, au moyen d'un niveau d'eau.
  - S’il a été satisfait aux conditions posées au commencement de ce paragraphe et en même temps à l’égalité (28) alors, suivant le § 8, le tablier, pendant les oscillations du fléau, se déplacera parallèlement à sa position normale. Si donc, pendant les oscillations du fléau, le tablier de la bascule dont il est question au commencement de ce §, ne se
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- - 42
  - déplace pas parallèlement à sa position normale, alors ce fait prouve que les dimensions des bras de levier ne satisfont pas à l’égalité (28).
  - Maintenant il résulte de (16), que, si au fléau dans sa position normale on fait faire un angle très petit d’inclinaison 0 et si alors l’angle, que fait le plan KjGK avec sa direction primitive, est égal à y, il sera très approximativement
  - sm y — — sm 0 ; r
  - ainsi l’élévation qui correspond avec l’angle d’inclinaison 0 est très rapprochée
  - g
  - élévation H = r, . — . sin 0, r
  - et
  - élévation Hj = r2 , — . sin0;
  - par conséquent
  - élévation h
  - Aj r1 -j- A r2 e
  - ‘ r
  - 2 . — . sin 0.
  - h /i-j
  - Encore on a très approximativement
  - élévation E = e1 sin 0.
  - Si nous supposons maintenant que l’angle que fait la ligne h0 E, lorsque le fléau fait un angle d’inclinaison 0, avec sa position lorsque l’angle d’inclinaison est nul, soit égal à £, celui de la ligne H Hj égal à Çly et que le tablier dans la position normale de la bascule soit approximativement horizontal, alors nous avons:
  - 6
  - (A -f- /q) sin = élévation H2 — élévation H = (r2 — Tq) — sin 0 . (32) et
  - b sin £= élévation E — élévation h0=fel — —r jj"f ^ * —) sin <3> • (33)
  - \ A -f- /q v J
  - Tout d’abord r2 doit subir une » correction r2”, de sorte que nous avons de nouveau :
  - r2 -|- corr. 7*2 = 7*!
  - ou, suivant (32), étant donné que £j, et aussi Ç sont supposés très petits,
  - (A + Aj) r
  - corr. r, = — -—!—— . —.
  - 1 e 0
  - ff
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- - 43
  - Eu substituant
  - € C
  - r2 — sin cp = (A + A2) sin -f- rl — sin cp de (32) dans l'égalité de (33), on obtient
  - 7 y . ^ h\r\ 6 • ^
  - b smÇ — e-, sm Cp — —— . — sm CD —
  - A -f- Aj r
  - A
  - d’où
  - h _|_ j(7i + 7il) sin £l + rl ^ sin <?>}’
  - \ . . br hr . y
  - r — r1J sm Cp = — sm Ç -|—— sm <,x ;
  - ainsi, puisque rx -|- corr. r^ — — r, on trouve pour la cor-
  - rection commune à et (r2 -f- corr. r2)
  - OQrr. rj=—(6^+A^) . .
  - (34)
  - De (33) résulte
  - __7 Ç , hi ^i+/^2 £
  - 1 + A + Aj ‘r*
  - Pour déterminer les angles £ et Ç1} on peut faire usage entre autres d’un niveau d’eau très sensible ou d’un plomb pendant à un support.
  - c. Vérification de la bascule de Roberval.
  - La fig. XXI représente la coupe de cette bascule dont les bras de levier B D et G K et la tige D G sont de longueurs plus ou moins inégales. Les points B et K sont des points fixes ; le quadrilatère B D G K est variable ; le tablier M Mj est fixé à la ligne DG; en M repose la charge C. La longueur de la ligne B D est égale à e; ensuite D G = 5, G K = r, KB=« et B A = a; un angle de (180° — a) est inscrit entre les bras de levier AB et BD.
  - 1°. Conditions pour Vindépendance de Véquilibre de la place de la charge sur le tablier.
  - Dans 9°, page 34, se trouve démontré que si — = — et
  - e r
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- - 44
  - CL 16 , 6
  - y — 180° — 0, = 0, indépendamment de la relation-,
  - c’est-à-dire: il suffit, pour Vindépendance de Véquilibre dans la position normale du fléau, que BD et KG soient parallèles ; les longueurs mêmes de B D et de K G peuvent être inégales
  - 2°. Calcul de la différence d’inclinaison de B D et de K G.
  - Supposons, lorsque l’angle d’inclinaison du fléau est 0, que la charge C en M fasse équilibre au poids P dans le plateau. Si nous transférons la charge C au point M1? alors, au cas que les angles y et 180° — Cp ne sont pas égaux, l’équilibre sera rompu, et il faudra ajouter au poids P un poids additionnel Pl pour replacer, avec le même angle d’inclinaison Cf) du fléau, la bascule en équilibre.
  - Si Mm et M: nq sont des verticales, et m nq = x, alors nous trouvons, en soustrayant l’équation d’équilibre de C en M de celle de C en Mj,
  - d ^
  - C x cos § . -r— = Pt a cos (a -f- 0),
  - ou, étant donné que selon (20)
  - d à e sin (y -j- 0) d0 s sin (y — §) ’
  - nous obtenons
  - Pj a s cos (x -j- 0) . sin (y — 5)
  - Ce x cos 5
  - Si nous posons maintenant que M M, = y est approximativement horizontal et que chacun des angles x, 0, 180° — y et 5 — 90° est très petit, alors nous avons approximativement x cosïi = y et
  - sin (y -j- 0) =
  - sin (y -j- 0) =
  - ou, posant y = 180° — y1} alors
  - P-^as
  - sin (y1 — 0) =
  - P^as
  - Cey
  - H.
  - (35)
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- - 45
  - d. Vérification de la bascule de comptoir de Roberval.
  - La fig. XXII représente la coupe d'une telle bascule, dont les bras de levier et les tiges ont des longueurs plus ou moins inégales.
  - Remarquons que, ci-dessous sub 1°, 2° et 3°, les trois couteaux du fléau DBDj sont supposés perpendiculaires au plan de mouvement du fléau ; de même pour les trois couteaux du levier GKGj; en outre que le point K ne peut pas être un point fixe, mais qu'il doit y avoir en ce point, en sens horizontal et vertical, quelque jeu entre les couteaux et les coussinets; car, dans le cas contraire, dans une construction non absolument juste, il n'y aurait pas de mouvement possible sans torsion du levier G Gr
  - 1°. Recherche si les bras du fléau D B et B Dj sont égaux.
  - Nous supposons qu'avant le chargement le fléau de la bascule ait une position horizontale. On s’enquiert si les bras du fléau D B et B Dj sont égaux en plaçant deux poids identiques P sur les plateaux aux points M et Mj situés dans les verticales qui passent par D et Dj ; on peut admettre alors que les poids agissent sur les points D et Dj. S’il se présente maintenant qu’un des plateaux, par exemple celui qui repose sur la tige Dx G15 doit encore recevoir un poids additionnel Pj pour que le fléau prenne la même position qu'avant le chargement, alors nous avons:
  - pa = (P + Pl)gl,
  - et, par conséquent, e1 doit être corrigé, de sorte que nous obtenons
  - P e = (P -f- Pj) (e — corr. ej) ;
  - d’où
  - corr.
  - __ Pi e Pi ei
  - 1 P + Pj P ’
  - indépendamment de la longueur des bras du levier inférieur et de la longueur et de la position des tiges.
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- - 46
  - 2°. Recherche si le fléau et le levier inférieur sont parallèles.
  - Nous chargeons la bascule en M et Mj avec des poids identiques P; soit 0 l’angle d’inclinaison; et si ensuite, dans le plateau de gauche, nous déplaçons le poids du point M au point M2, alors, si la construction de la bascule est peu précise, il faudra, lorsque le poids P est en M2, ajouter le poids additionnel Pl pour rendre au fléau le même angle d’inclinaison 0. Suivant (35) nous avons alors, en admettant que (<?! — e), 0, yv 5 — 90° et — 90° sont très petits, approximativement
  - P s
  - sin (yl — 0) = -ÿ . - ;
  - d’où l’on peut déduire, en cas de position normale du fléau, la position du levier inférieur par rapport au fléau. —
  - Nous pouvons aussi faire cette dernière épreuve au moyen de deux niveaux d’eau très sensibles posés sur les deux plateaux dans la direction du fléau. Si nous faisons faire au fléau avec sa position normale un angle d’inclinaison cp, alors nous avons, comme il résulte de (20), d 5 e sin (y -J- 0) d0 s sin (y — à)
  - Si nous représentons par (3 la différence entre les angles que fait le plateau de gauche lorsque 0 = 0 et lorsque 0 = 0, et si 0, 180° — y et 90° — à sont très petits, alors nous avons fort approximativement
  - | = 7sin (y + <P)i
  - ou
  - . , (3 s
  - sm (y1 — 0)=- . - ;
  - d’où peut ressortir si y1 diffère de 0.
  - 3°. Recherche concernant l'égalité en longueur des tiges.
  - Nous venons de trouver
  - d 5 e sin (y + 0) d0 s sin (y — 5) ’
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- - 47
  - de même nous avons l’égalité
  - d \ ej sin (yx + 0f> .
  - d Sj sin (y2 — ’
  - ou bien, étant donné que y + yY — 360° et 0 + 01 = 0, c’est-à-dire yl = — y, 0y = — 0 et d 0 — d 0V d 5, e1 sin (y + 0) d0 «j sin (y -J-
  - Si y n’est pas égal à 180° — 0, alors nous trouvons en divisant
  - d 5 e s1 sin (y -J-
  - d Sj e1 ‘ s sin (y — 5) ’
  - et si ensuite 180° — y, 90° — Sj et (ex — é) sont très petits, alors nous avons fort approximativement
  - d 5 Sj
  - d s ’
  - par conséquent, lorsque le fléau oscille, le plateau, qui est relié à la plus petite tige, fera le plus grand angle avec sa position primitive.
  - Si s et sv c’est-à-dire les tiges, sont de longueur égale, alors les angles que les plateaux font avec l’horizon augmenteront d’une quantité égale.
  - Si nous représentons par (3 et (31 la différence entre les angles que font les plateaux en B et Dx, lorsque 0 = 0 et 0 = 0, alors nous avons
  - /3 Sj s-f-corr. s
  - 8 S ’
  - 0 (0 ,
  - ou corr. s = s — — s = s ( — — 1
  - Pi \Pi
  - 4°. Détermination des angles que font les couteaux de suspension du fléau avec le couteau d’appui.
  - Dans la fig. XXIII, b B représente le couteau d’appui et dD et dj Dj représentent les couteaux de suspension.
  - Soit d b = ni, b d1 = n, Dx B = q, B D = p et b B = Je ; les longueurs d D, b B et dj Dj peuvent être considérées comme égales.
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- - 48
  - Si nous supposons maintenant, fig. XVIIId, que lorsque le fléau est dans sa position normale, une charge G fasse équilibre, au-dessus du point d, à la charge Cv placée au-dessus du point djj que de même une charge C, au-dessus de d, fasse équilibre à la charge C2 au-dessus de Dj; et qu’enfin une charge C3 au-dessus de D fasse équilibre à la charge C2 au-dessus de Dj? alors nous avons
  - Q
  - Cm— C1 n, d’où n — -~r m ;
  - q
  - C m = C2q, d’où q — — m;
  - q
  - C3 p = C2 q — Cx n = C m, d’où p = -^r m.
  - Si nous désignons par <p et (p1 les angles que font les lignes d D et dx avec b B, alors
  - 7 . . ,'C \ v ^ . m C— C3
  - k sm(p= p — m = I -p;-1 ) m, d ou sm <p — — A
  - a
  - et
  - ou
  - {C C \
  - k sin Cpl = q — n = ----— ) m, d’où
  - . m C C, — C2 n G-, — C2
  - stn cp1= - . — . = - . ç-—
  - ^ m c c1 — a g c, —a smq)'=k'c2'—cr=k--cr-
  - W\
  - ivw.
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- - NOTES.
  - 0 Quintenz, de Strasbourg, est l’inventeur de la bascule qui porte son nom. Elle fut construite pour la première fois par lui en 1821 ; plus tard Rollé, Scbwilgué, Schüller, Béranger et d’autres y apportèrent des modifications. Yoyez Fri'edr. Bamberger: Beschreibung und Abbildung der in neuerer Zeit erfundenen und verbesserten M as chine n zum W à g en; Quedlinburg und Leipzig, 1832.
  - (jT) Nous entendons par » position normale du fléau”, la
  - position où le rapport de la charge C avec le poids B est constant pour toute charge C pour laquelle la bascule peut être employée. Dans les instruments parfaitement achevés, le fléau dans sa position normale est placé le plus exactement possible dans la position horizontale.
  - Par » position normale du tablier” nous entendons la position qu’occupe le tablier lorsque le fléau lui-même est dans la position normale ; même remarque pour les leviers, les tiges, etc.
  - (1T) Ici et dans la suite, nous entendons par » couteau” l’arête du couteau.
  - (T) Il s’agit du plan vertical dans lequel se meut l’axe longitudinal du fléau, lorsqu’il fait un angle d’inclinaison.
  - ^5^ Le poids des parties mobiles de la bascule peut rester
  - hors de considération, puisqu’il n’a pas d’influence sur l’indépendance que nous avons en vue ici.
  - (fT) Il est évidemment inutile de considérer que l’équilibre est indépendant de x si cos /3 = 0, c’est-à-dire que, si
  - 4
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- - 50
  - le tablier est vertical, la charge peut être déplacée dans le sens du centre de gravité sans que l'équilibre soit troublé.
  - (T) La sensibilité est également indépendante de x, si
  - cos (2 = 0 et si en outre — 0 ? voyez la note (^T) concernant ce point.
  - (8^ A l’équation (24) satisfont encore d’autres conditions que = S ; nous nous occuperons de ces valeurs dans le § 9.
  - (IT) La somme des pressions, occasionnées par la charge G sur les points Hj et H, Kj et K, fig. 1, ne varie pas si, sur le tablier, la charge se déplace dans une direction perpendiculaire au plan de mouvement du fléau ; par conséquent le frottement est aussi indépendant de ce déplacement de la charge; d’où résulte que nous pouvons ici aussi considérer la largeur du tablier et celle du levier triangulaire comme égales à 0.
  - (10) Généralement le point E de la tige F E et celui du levier triangulaire supérieur ne reposent pas l’un sur l’autre au moyen d’un couteau et d’un coussinet, mais au moyen d’un oeillet et d’un crochet de fer épais. Etant donnée la grandeur du frottement en E, il résulte que ce dispositif peut être appliqué sans guère intéresser la sensibilité de la bascule. Voyez, e. a., le dernier alinéa de 1’ »Eiuleitung” du traité de » Th. Schônemann: » Von der Empjindliehkeit der Brüc/cenwagen” (A us dem V Bande der Denkschriften der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften zu Wien).
  - (lî) Les grandeurs a et r doivent être prises relativement
  - grandes et les grandeurs e et rq relativement petites. Voyez, dans le § 6, l’alinéa précédant immédiatement l’avant-dernier.
  - (12) Voyez le dernier alinéa de 1’ »Einleitung” du traité
  - de Schônemann : » Von der Empjindliehkeit der Brückenwagen" et notre note (^T).
  - (13) Voyez les notes (10) et (12)
  - (14) On trouve une description très détaillée de cette bas-
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- - 51
  - cule avec figure sous le n° 317 dans le Traité sur la Balance ou théorie des Instruments de pesage par J. S. Lucciardi, Annecy, 1899, où se trouvent décrites longuement les bascules admises en France à la vérification, ainsi que leurs principales parties constitutives.
  - (15) Voyez n° 190 de l’ouvrage de Lucciardi précédem-
  - ment cité et la page 63 ainsi que les figures 41 et 45 de l’ouvrage de Ernst Brauer cité à la note (18) ci-après.
  - (l6) Il s’agit ici de la bascule de comptoir de Pfanzeder,
  - que les frères Pfitzer fabriquaient en grand nombre autrefois et qui, pour cette raison, a souvent porté leur nom. Cette bascule est admise à la vérification en Autriche et en Allemagne.
  - Voyez »Instruktion in Ausführung der Eichordnung vom 16 Juli 1869;” Berlin et » Instruktion für die Aichâmter der im Reichsrathe vertretenen Kônigreiche und Lânder der Oester-reichisch-ungarischen MonarchieWien, 1872.
  - ni) Les mêmes remarques concernant les tiges d’appui
  - qui, dans les fig. XIV, XV et XVI, reposent en H et H1 sur les coussinets.
  - (l8) Les premiers instruments de ce genre parurent sous le nom de balances anglaises ou bien de balances de Roberval, parce qu’elles étaient l’application d’une particularité des leviers, qu’avait mise en lumière ce mathématicien, qui fut, au 17e siècle, professeur au Collège de Paris.
  - Dans la forme où elle est représentée à la fig. XVIII, cette bascule de Roberval est reçue à la vérification aussi bien en France qu’en Belgique. Pour ce qui regarde la Belgique, nous renvoyons à la planche n° 24 de 1’ Atlas des Plans formant annexe au Ie1' supplément du Recueil des Arrêtés Royaux et des Instructions relatifs au service des poids et mesures, Bruxelles, 1895, où entre autres sont représentés dans tous leurs détails les instruments de pesage qui sont reçus à la vérification en Belgique.
  - En Autriche, la bascule de Roberval est exclue de la vérification ; autrefois c’était aussi le cas en Prusse ; maintenant cependant, après que la tige GGj a été modifiée par West-
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- - 52
  - pliai et Cramer, cette bascule est également admise dans l’empire allemand. Voyez Ernst Brauer: Die Konstruktion der Waage, Weimar, 1887, fig. 184. Cet important ouvrage — une continuation de l'excellent ouvrage de Schonemann, cité précédemment dans la note (12) — est une édition corrigée
  - de Hartmann’s Waagen und ihre Konstruktion (Zweite ver-mehrte und verbesserte Auflage von Robert Jasmund) Weimar, 1864. Ce livre de Brauer traite consciencieusement des instruments de pesage en général, aussi bien au point de vue théorique qu’au point de vue pratique, surtout même à ce dernier point de vue, tandis que les parties constitutives d’un grand nombre de bascules sont représentées par des dessins extrêmement détaillés et clairs. Voyez aussi Prechtl: Tech-nologische Encyclopàdie, Volume XX, tables 486—504.
  - (19) Voyez Schonemann: Von der Empfindlichkeit der
  - Brückenwagen, § 9, et Ernst Brauer : Die Konstruktion der Waage, page 51.
  - (2$) Aussi près que possible du point E.
  - (21) Recherche des défauts dans les dimensions d'une bascule décimale de Quintenz.
  - Soient, dans cette bascule (voyez aussi la fig. 1) les dimensions de
  - A B = a = 482 m.M. ;
  - BD = e = 290 »
  - Soient la distance entre la verticale F E et la ligne H ïïj = = 6= 1170 m.M. ;
  - la distance entre la verticale DG et la ligne K K 2 = — r = 1119 m.M. et
  - la distance de la perpendiculaire de H à la ligne KKj = = rx — 188 mM. ;
  - H h0 = h == 805 m.M.,
  - Hj h0 = hj — 307 m.M.
  - En pesant une charge C= 100 Kilog., l’équilibre s’établit en plaçant dans le plateau :
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- - 53
  - lorsque Cse trouve au-dessus de H un poids de P= 10,1083 Kilog., » C» » » » » Hj» » » P+Pt= 10,054° » ,
  - » C » » » » » Mj » » » P-J-/>2 = 10,1923 »
  - <-—e------»
  - <Qi>
  - F B
  - -> 1
  - Soit placée, dans la dernière pesée, la charge dans le plan de mouvement du fléau et soit la distance, entre la verticale qui passe par le centre de gravité de C jusqu’à la ligne HHj, # = 690 m.M. ; alors on a:
  - corr. r2
  - P1a r
  - ~cY
  - - 0,0537.482.1119 100.290
  - = + 0,999 m.M.,
  - corr. rj
  - Cex ' 1
  - h 4“
  - p. =
  - e, — r
  - = ISieiô9 (°>084 + m • °-0537)=3’49 m-M"
  - -TTx(rpr F'-pî) =188• ni +
  - corr. a = n ex — a = 496,273 — 482 = 14,274 m.M.
  - Nous avons donc à apporter les corrections suivantes:
  - Le coussinet H doit être déplacé de 3,49 m.M. dans la
- p.53 - vue 63/178
- - 54
  - direction de B vers A ; et le coussinet H: : 3,490 -j- 0,999 = 4,489 m.M. Le bras de levier A B doit être allongé de 14,237 m.M.
  - (22) Le paradoxe statique de Roberval.
  - La justesse de la règle ressort immédiatement en faisant agir au point D deux forces perpendiculaires C de direction contraire; il se produit alors une couple qui, indépendamment de la place de la charge sur le tablier M M1? se trouve annulée par la résistance aux points fixes B et K, tandis que, en D, il subsiste une force C qui fait équilibre à P en A. Si la bascule est construite comme l’indique la figure XXII, alors la règle continue à se vérifier, également lorsque le levier D Dj est courbé et que le levier G Gj est ou non composé de deux parties, pourvu que D B//G K et B Dj //K Gr La règle est en défaut dès que le fléau cesse d’être dans sa position normale, parce que alors les leviers ne sont plus parallèles.
- p.54 - vue 64/178
- - PU.
- pl.1 - vue 65/178
- - PLU.
  - Fig. XI.
  - H K
  - ZD KZ~...ZD
  - Fig XVI.
  - Fig. XVII.
- pl.2 - vue 66/178
- - Tir M
- pl.3 - vue 67/178
- p.n.n. - vue 68/178
- p.55 - vue 69/178
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