Publication : Laboratoire d'essais

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  - RÉPUBLIQUE FRANÇAISE
  - LABORATOIRE D'ESSAIS
  - LABORATOIRE
  - D’ESSAIS
  - 6977 DÉTERMINATION DE LA PERMÉABILITÉ APPARENTE
  - ET DU FACTEUR DE QUALITÉ EN HAUTE FRÉQUENCE
  - D’UNE POUDRE MAGNÉTIQUE par M. A. Colombani
  - PUBLICATION N» 140
  - (Extrait du Journal de Physique T 11, n° 5, mai 1950)
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- - DÉTERMINATION DE LA PERMÉABILITÉ APPARENTE
  - ET DU FACTEUR DE QUALITÉ EN HAUTE FRÉQUENCE D’UNE POUDRE MAGNÉTIQUE
  - Par A. COLOMBANI.
  - Sommaire. — Le but de ce travail a été de calculer la perméabilité apparente p., et le facteur de qualité Qp d’une poudre dont les grains magnétiques et conducteurs assimilés à des « particules » ou « grains » sphériques se trouvent noyés dans un milieu isolant. L’ensemble est soumis à un champ magnétique périodique et uniforme dont la fréquence peut atteindre plusieurs mégacycles.
  - Le problème a consisté à calculer d’abord les champs résultants extérieurs et intérieurs à une seule particule. Puis, en adoptant l’hypothèse de Lorentz sur le champ efficace et uniforme, à appliquer les résultats obtenus à un milieu dans lequel la distribution des particules est supposée uniforme. Les résultats donnent évidemment une perméabilité apparente complexe d’où l’on déduit aisément le coefficient de qualité QF= — — et le facteur de réduction de flux =M. Les calculs sont longs et assez délicats, mais ils permettent d’obtenir des solutions, fonctions de la fréquence, de la perméabilité, de la conductibilité et de la grosseur du « gain », en très bon accord avec les résultats expérimentaux.
  - (‘,
  - Mlr 8n. tan
  - Tea "Th 5
  - Considérons une sphère de conductibilité Y, de perméabilité p. et de pouvoir inducteur spécifique € placée dans un milieu isolant (Y1 = o, p.1, 81). Sur cette sphère agit un champ magnétique uniforme et sinusoïdal de pulsation w telle que la longueur d’onde des oscillations correspondantes
  - 2 1 C
  - )=----------- (c= 3.1010 cm s)
  - W Veipi
  - soit grande par rapport au diamètre de la sphère.
  - Nous nous proposons tout d’abord de calculer les valeurs du champ électrique et du champ magnétique à l’intérieur et à l’extérieur de la sphère.
  - Pour nous permettre d’expliciter les conditions aux limites, nous adopterons les coordonnées sphériques ayant pour centre celui de la sphère, le champ inducteur de = Hoeicol étant dirigé suivant l’axe des z (fig. i).
  - Nous appellerons
  - JC = Hejot et b = he/ot
  - le champ magnétique et le champ électrique (H et h sont indépendants du temps). Les inductions corres
  - pondantes seront
  - 03 = uJC et 6=86.
  - Nous supposerons que les quantités p et s sont constantes et le champ inducteur assez faible pour éviter la saturation si la sphère est ferromagnétique.
  - Si P est la densité de charge et i la densité de courant, les équations de l’électromagnétisme qui s’écrivent en U. E. M. :
  - 003
  - roth = — we‘ (1)
  - *
  - - . I 00 + —
  - rotâe = 4 - avec i = Yb, (2)
  - —
  - divo3 = o, (3)
  - -
  - div6 = 4xc2p (4)
  - se réduisent évidemment aux seules équations (1) et (2), si l’on suppose les solutions harmoniques et si l’on tient compte de la condition de conser-
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  - JOURNAL DE PHYSIQUE
  - 205 o
  - Z
  - vation du courant
  - : 0p
  - divi =— ot
  - D’autre part, les conditions de symétrie per-
  - mettent d’écrire
  - b,= 0, be = 0, JCo = O.
  - Fig. I
  - Les équations (1) et (2) se réduisent alors aux suivantes :
  - rsino SbChq sinü)+jopll,= (3)
  - -1 T(rhp)+joull)= 0, (4)
  - 1 OH, , jso). . 7 ar(rHo)—o0—(* + cz )h= o. (8)
  - Les équations (3) et (4) donnent H, et Ho en fonction de hp. En tenant compte de cela (5) se transforme en une équation (8) à laquelle doit satisfaire le seul champ h:
  - 1 II
  - 1 0, . 1
  - —— (hp sin 0) -— ? r sind 00. ‘ JU.O
  - 1 0. . 1
  - — ---)- 5
  - r or' TJVO
  - Nous poserons
  - /02U.E ., K = V —----------./ 4 RuoY
  - (6)
  - (7)
  - o. (8)
  - (9)
  - et nous nous placerons dans le cas du régime quasi stationnaire, c’est-à-dire que nous négligerons le
  - courant de déplacement devant celui de conduction. Comme nous l’avons déjà vu, cela est parfaitement admissible jusqu’aux fréquences les plus élevées (f = I011 par exemple, c’est-à-dire 7 = 3 mm). N’oublions pas cependant que la longueur d’onde correspondant à ces fréquences doit être nettement plus grande que le diamètre 2a de la sphère, de façon à pouvoir définir une région dans laquelle on puisse admettre l’uniformité du champ [1]. Ainsi nos exemples porteront sur les diamètres de l’ordre de quelques microns qui sont utilisés dans la technique haute fréquence.
  - Remarquons qu’à l’extérieur de la sphère on a
  - y = o, u = Wi, e = E|.
  - Donc
  - - —--COM . C
  - A — VVii— — — ) avec c,= ;
  - C Cl VM1E1
  - C1 est la vitesse de la lumière dans le milieu extérieur. Posons également rho sin 0 = S.
  - L’équation (8) devient
  - 02 S i 02 S I OS — ,
  - 072 + 72 00 —r2cotg0 00 +K2S = o. (10)
  - Suivant la méthode classique, remplaçons S par le produit des fonctions R., et 0,65 qui ne dépendent chacune que de r ou que de 0 et divisons tous les termes obtenus par R, 0 0. On obtient
  - I d2R I I d20
  - Rdra 1 ordez
  - d II + =% o
  - -1% —e
  - Comme on sait, cette équation se décompose en deux équations qui sont
  - + IX 99 1
  - E T
  - 61 co
  - Il est bien connu que la première équation n’a de solution régulière en 0 que si
  - L=I(I+1) (I = 0, 1, 2, 3,...).
  - Si L a l’une de ces valeurs, une discussion assez simple de cette équation montre que sa solution qui est liée aux polynomes associés de Legendre est
  - 09 = —sin 0 P/(cosO). (H)
  - La seconde équation
  - . — — K2 —7 R=o (15) dr2 [-------------r2 J peut se transformer en posant
  - R=f(r)r= et u=Kr
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- - DÉTERMINATION DE LA PERMÉABILITÉ APPARENTE
  - 203
  - 2 O cc
  - en une équation de Bessel
  - de/ 4 1 d/ 4
  - du2 ' u du
  - La seule solution de cette équation d’ordre l + -qui reste régulière pour r= o, est Ji+4 (Kr). La solution de l’équation (15) est donc
  - 1
  - R = Mr:J 1(Kr) (M étant une constante).
  - 4+2
  - La solution générale à l’intérieur de la sphère est donc
  - S/=-MFJ (Kr) sin.0 P/(cos 0), (16) avec
  - S = rhp sin 0.
  - A l’extérieur de la sphère, si l’on néglige le courant de déplacement, on a K = o. Donc (15) devient
  - on en tire
  - S,= (A #+ F) sin2 0.
  - Enfin, avec l= I et par l’intermédiaire de la condition à l’infini (18), on déduit
  - Pi =-----J 00V*
  - On a donc finalement les solutions suivantes :
  - A l’intérieur de la sphère :
  - 1
  - Si = MrJa(Kr) sin20.
  - A l’extérieur de la sphère :
  - Avec
  - Se = (Air+ F) sin20.
  - on déduit finalement
  - qui admet pour solution
  - R = B,r/+14
  - A l’extérieur de la sphère, la solution générale est donc
  - S = rho sin0.
  - avec
  - Calcul des champs. — Dans la sphère l’équation (19) nous donne
  - Puis par (6) et (7)
  - Remarquons que la continuité de hp exige d’autre part la même valeur pour l dans (16) et (17).
  - Calcul de l et de ^. — A l’infini on doit trouver pour H, et Ho des valeurs indépendantes de r qui sont respectivement
  - II, = II, cos @ et H=— Ho sin 0. (18)
  - Or (6) et (7) donnent, avec (17),
  - , _ as 1 r2 sin Ojoui 00 = -—1 piri-1+ Î 1 [sin 0 P/(cos0)], Jousin L’ 11 J 00 ‘ J rr I os Ho = -F sin JOU1 Or
  - Pour que H, et Ho soient indépendants de r à l’infini, il faut donc 1 = 1.
  - Dans ces conditions, comme Pl (cos 9) = — sin 0,
  - (21)
  - E 43
  - M V
  - V.O) V
  - I cos Kr
  - Kr
  - A l’extérieur de la sphère des calculs identiques portant sur Se donnent
  - / Se ( Ho. 32
  - ho = —:—- = ------JUor — — sin0,
  - r sin 0 \ a r2/ 5
  - II, = ITocos 0 4 2132, coso, V.1 01 F
  - = — Ilo sin 0 4-JBz. sinO. V.1 00 F
  - Posons dès maintenant
  - MV=k =NH et B- BH.
  - Déterminations des constantes N et B. —
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  - JOURNAL DE PHYSIQUE
  - 20 %
  - L’expression de la continuité des composantes tangentielles h, et Ho à l’intérieur et à l’extérieur de la sphère de rayon a fournit les deux équations suivantes :
  - Continuité de hp
  - HoN( sin K a — Ka cos K a)= BHK — juia3 0 —, •
  - y__3 . ____________________I____________________
  - 21/11° a ‘ K'azui sin Ka + (u.— y1)[sin K a— KacosKaj]
  - „ . sin Ka — KacosKa
  - D ===== 7 :- O) Cl3 R I - 3|. ____________________________
  - 2 ( 1 KaluisinKa — (y-—ui)[sin K a— Kacos
  - Continuité de Ho :
  - Ho N[( K- «2 — i) sin K a + K a cos K a ] = — BH,K E — juoKaHo.
  - V.1
  - Ces deux équations sont suffisantes pour déterminer N et B. On trouve
  - (23)
  - Utilisation des fonctions de Bessel d’ordre I
  - 2
  - 5
  - et,: — En partant des relations suivantes :
  - sinKr= (—— \ Ji(Kr),
  - Ce qui donne
  - T. _p
  - ; /2K\2
  - (2/1") — )
  - et
  - T[J,(Kr) +J(Kr)] = 2
  - D’où
  - on obtient pour les composantes des champs intérieurs à la sphère
  - ng =-H sinOTF*i(Kr)+J,(Kr)], (23)
  - #,= H, T cosor #,(Kr)+,(Kr)], (26) m = ile T‘sin0r#-J,(Kr) -(Kr), (27) avec
  - T =
  - -1
  - K « >—/ 35
  - Chaque fois que cela sera possible, nous supprimerons l’indice (Kr) ou (Ka) des fonctions J afin d’alléger l’écriture. Nous aurons donc pour T, N, B les valeurs suivantes :
  - II i 1
  - (28)
  - (29)
  - (30)
  - Remarquons dès maintenant que pour des valeurs de K très faibles on peut utiliser les développements en série de
  - 2/* 1
  - 2 2V14 V
  - La composante H. parallèle à Oz a donc pour valeur
  - H-Ho sin0 4 II,cos0 = -3V ITo.
  - 2/1 U
  - Pour 1 = i l’induction vaut donc
  - B.-BMIT. u. 2
  - Nous retrouvons bien un résultat classique concernant l’action d’un champ magnétique constant sur une sphère isolée de perméabilité p..
  - Calcul de l'aimantation. — Appelons H, la résultante suivant Oz des champs H, et Ho
  - Hz — — Ho sin 0 + H, cos 0
  - = HoTr *J,(Kr) cos20 — 5sin:o]-+J,(Kr)
  - L’aimantation correspondante suivant Oz est par unité de volume
  - d/ = — II- do .
  - L’aimantation pour toute la sphère de rayon a est donc
  - 4
  - sa T ~?T _IC )
  - X / / r2) Ja(Kr) i— - sin20 + Ji(Kr){
  - Jo Jo • (2 L 2 J 2 }
  - X r2 sin 0 dr dO do.
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- - 20 O
  - 2
  - DÉTERMINATION DE LA PERMÉABILITÉ APPARENTE
  - 20
  - 61
  - soit
  - I=HT(I) / ,J,(Kr)dr L‘0 2
  - — — / r?Ja(Kr)dr
  - qui, en tenant compte de la relation
  - J(Kr) = "S[,(Kr)+J,(Kr)]
  - donne sans difficultés
  - I = H U(p. - 1)a*J;(Ka),
  - En posant
  - == -(—)aJ(Ka), (31)
  - on aura donc
  - I = H0,
  - le coefficient a caractérisant à la fréquence considérée le degré d’aimantation que la sphère est susceptible d’acquérir.
  - Application, — Considérons un milieu isolant de perméabilité unité dans lequel sont noyées un grand nombre de granules ou particules sphériques semblables à la sphère déjà étudiée. Leur densité de répartition est supposée constante et leur diamètre identique pourra être compris entre une fraction de micron et quelques dizaines de microns. Il est bien évident que si les distances mutuelles des particules sont extrêmement grandes, l’aimantation totale est la somme des aimantations individuelles.
  - Le problème est différent, si, les distances sont petites. Il faut alors tenir compte des influences qu’exercent sur la particule étudiée toutes les autres particules de la substance qui sont, elles aussi, polarisées. •
  - Or, le champ réel dit efficace F qui agit sur une particule est celui qui existerait en ce lieu si l’on supposait que cette particule en fut enlevée sans troubler l’état des autres particules. Si nous considérons l’ensemble de la substance, hors de la particule, comme aimantée d'une façon homogène J, ce qui n’est qu’une première approximation, puisque les particules sont en nombre fini quoique très grand; la quantité de matière extérieure à la particule sphérique agit comme si sa superficie portait une charge de densité — Un (n normale extérieure).
  - Un calcul classique donne pour le champ engendré à l’intérieur de la sphère par une telle distribution J, le coefficient 4F est le coefficient de Lorentz.
  - Nous admettrons donc comme valable pour notre cas le raisonnement utilisé pour Becker sur les diélectriques : aussi longtemps qu’on peut assimiler
  - les effets mutuels des particules à ceux de dipôles ponctuels, le champ efficace qui agit sur une particule individuelle est donné par
  - F=H+4s (1 )•
  - Tant que la répartition des champs ne sera pas perturbée par des contacts entre particules résultant d’une densité de répartition trop élevée, cette hypothèse sera d’autant plus justifiée que le diamètre des particules sera plus faible et leur nombre par unité de volume plus grand.
  - Calcul de la perméabilité apparente et des facteurs de qualité et de réduction de flux. — Appelons N le nombre de particules par centimètre cube, a leur rayon, t le volume total qu’elles occupent dans i cm3. On a
  - Il
  - 2 II 7-
  - ( varie de o à i).
  - D’après le raisonnement précédent, nous considérerons F au lieu de Ho. Donc
  - I=F
  - D’où
  - I-1
  - 5
  - 5 +
  - 4
  - II
  - 8
  - X
  - II
  - *
  - 0
  - J = H.--3*2——.
  - L’induction apparente est donc
  - Br= 104 4=3 = —-—-— \ a'— Ta /
  - Et la perméabilité apparente
  - Bap a3— 2T0 V.a = — = ko a-—Ta
  - Remplaçons a par sa valeur tirée de (28) et (31) en remarquant que
  - J(Ka) = S"[,(Ka)+J;(Ka)]
  - En supprimant l’indice (Ka) pour alléger l’écriture on déduit
  - [u+2+ 2(u — 1)]J 1 + (u. — 1)(1+ 27)J;
  - *+=0=0+=0-)J (32)
  - Nous pouvons dès maintenant remarquer que pour de très faibles valeurs de Ka (basse fréquence) les développements en série limités au second ordre des fonctions Ji (Ka) et Js (Ka) donnent pour la
  - (x) ff est l’aimantation présente dans la matière. Cette formule s’applique rigoureusement pour le réseau régulier et en moyenne pour des corps amorphes dans le cas des diélectriques (8).
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  - JOURNAL DE PHYSIQUE
  - 2 o
  - C
  - perméabilité apparente la valeur
  - Elle est indépendante de Ka.
  - En particulier, si - = i on retrouve bien po„= u. et si t = o on a p.0a = 1. Si p. est très grand avec :# i, I.o, tend vers
  - II
  - Si Ka n’est pas petit, U.a présente une partie réelle et une partie imaginaire.
  - Posons
  - (ce qui revient à écrire Ka =
  - On a
  - [ sin s coshs — j coss sinh s].
  - sin s cosh s — / cos s sinh s ]
  - 3.
  - — — (i +j)[coss cosh s —j sin s sinhs].
  - En transportant ces valeurs dans l’expression générale de U.a et en séparant les parties réelle et imaginaire on aboutit après un long calcul aux expressions suivantes :
  - ( (y— 1)2 (i — -) (1+2r) [1+22R— 2sP] ) _ U+4s*+8(-)(+)Q ( 3
  - 1 s(u—1)2(1—T)2[1-28R—2sP]) ’ 1 ( +4s++ 48*0—) (1 - )Q 3
  - R = 3 T ( P -J ) s2 j^—
  - ( +4s*29(—)(-)Q ) expressions dans lesquelles on a posé p - sinhas + sinas cosh 2s — Cos2s
  - 0 _ sinh2s — sinas - cosh 2s — cos2s‘
  - R - coshas + Cos2s cosh 2s — Cos2s
  - Les trois fonctions P, Q, R tendent chacune vers l'unité dès que la variable s est supérieure à quelques unités (pratiquement à partir de 2S = 4).
  - Les formules (34) et (35) permettent déjà d'ob-server que pour des valeurs de S supérieures à quelques unités, si u. est grand et T = I (remplis-sage complet), U.a varie comme Vp., ce qui est bien conforme aux résultats conus concernant le cylindre plein [1].
  - Sic* 1 pour les grandes valeurs de p., la per-méabilité p.i tend vers zéro, mais p., tend vers
  - Ce résultat est tout à fait de l'ordre de grandeur des perméabilités apparentes observées dans la pratique. Ainsi pour - =, on a pu = 4 et
  - 3
  - pour T= on a U.a = 1O. Ce sont là des valeurs courantes.
  - Sur les formules donnant u.r et U.i on peut également constater :
  - 1° Que pour =0 (p. = 1) quel que soit s : I., = 1 et U.i = o.
  - Il en est de même si p. =1 ( = 1).
  - 2° Que pour o Z4 1, lorsque s croît, p.r tend vers I et (i tend vers zéro.
  - Nous mettons ainsi en évidence un résultat important.
  - Lorsque la fréquence augmente (s = V2rpO a), la perméabilité apparente tend vers l'unité. .
  - Dans les mêmes conditions, nous avons vu [1] que la perméabilité apparente tend vers zéro pour le tube ou le cylindre plein.
  - Les expressions (33) et (34) permettent d'évaluer les caractéristiques fondamentales d'une bobine dont le « noyau » est constitué par une poudre magnétique noyée dans un isolant..
  - Ce sont :
  - 10 Le facteur de réduction de flux : n = F qui est
  - I-Oa
  - le rapport du flux inductif appliqué à un flux de même amplitude, mais de basse fréquence. C'est aussi le facteur de réduction de la perméabilité apparente.
  - On a
  - ___ ur 3±(u—I)(I—t)
  - 1 Vo. 3+(-1) (1-2T)
  - ( (—1)2(1—r)(1+2)[1+252R — 2sP]( )
  - 1______+4s* 292(p—) (2 + t)Q_______( 360
  - ) ((—1)2(1 — ) [1+252R—2sP]) ( 0
  - ( ( +4s*4s*(—)(I—)Q ) )
  - Les développements en série de P, Q, R (jusqu'à la puissance 4) montrent que pour les faibles valeurs de s, n est très voisin de l'unité.
  - Le facteur de réduction n ne commence à décroître que pour des valeurs de S beaucoup plus élevées que dans le cas du cylindre. D'ailleurs la limite de n pour les grandes valeurs de s.dépend uniquement de et c. Ainsi pour : = I, n-5et vaut I pour les grandes valeurs de p. (n =1 si p. = 1). Pour =0,-1 et enfin pour : très voisin de 1, n- - (zéro si p. est grand).
  - Ces résultats indiquent une différence profonde avec le cas du cylindre plein ou creux. Essentiel-lement elle est due à ce que la perméabilité p. inter-vient de façon différente (contrairement à o et Y)
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- - DÉTERMINATION DE LA PERMÉABILITÉ APPARENTE
  - N° 5. dans les équations des champs qui concernent le cylindre indéfini et la sphère.
  - 2° Le facteur de qualité
  - Lo et Ri sont l’inductance et la résistance de pertes par courants de Foucault [1]
  - 0,=L ur
  - Vi
  - , (u — 1)2(1—)(1+2t)[1+2s2R—2sP] )
  - - l+4s+283u—)(2+)Q)
  - 3t(u—I)s*(sP—I) ’‘
  - L’étude de cette expression montre que Qr, très grand pour de faibles valeurs de s, décroît lorsque s augmente, passe par un minimum aux environs de
  - s,==[(-=)(+2)]= (2) (38)
  - V2
  - ou en posant d = 2 a,
  - pod = (--12 (i — T)(1+2). (39)
  - (2) La dérivée de Qr a quatre racines positives ce qui, conduit à deux maxima et deux minima. Mais seul le premier minima est à considérer. Au delà du second Qr croît comme s.
  - 207
  - Le facteur de qualité reste donc important jusqu’à des fréquences d’autant plus élevées que le diamètre des particules est plus faible. Les grandeurs , G), Y, r étant fixées, il y aura donc intérêt à utiliser des particules de diamètre nettement inférieur à celui qui est donné par l’égalité (39).
  - En fait la fréquence correspondant au minimum se trouve en général au-dessus du domaine des fréquences d’utilisation.
  - Suivant les usages auxquels on destine les noyaux, le diamètre des « particules » ou « grains » varie aux environs de 2 . à 3op.. Ainsi la poudre de fer de 20 p est utilisée pour des noyaux toriques jusqu’à loo kc. Celle de 3p est utilisée en très haute fréquence jusqu’à 10 Mc (3). Mais la pratique montre bien que quelque soit la grosseur du grain, le facteur de qualité diminue rapidement au-dessus d’une certaine fréquence. Ceci est bien conforme à nos calculs et justifie nos approximations.
  - Tous les calculs de cet exposé sont en très bon accord avec l’ensemble des résultats expérimentaux obtenus dans la technique des poudres.
  - (3) La valeur de Qrne concerne que les pertes par courants de Foucault. Le facteur de qualité total doit tenir compte en plus des pertes hystérétiques et des pertes résiduelles. Pour les ferrites, ce sont ces dernières les plus importantes. Mais il apparaît qu’on ne peut les réduire qu’aux dépens de la perméabilité [10].
  - Manuscrit reçu le 26 janvier 1950.
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