Publication : Laboratoire d'essais

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  - RÉPUBLIQUE FRANÇAISE
  - LABORATOIRE D'ESSAIS
  - LABORATOIRE
  - D ESSAIS
  - SUR LE CALCUL DES COURANTS INDUITS DANS UNE SPHÈRE PLEINE. SELF PROPRE ET MUTUELLE INDUCTANCE AVEC UN SOLÉNOÏDE INDÉFINI par M. A. Colombani
  - PUBLICATION N° 143
  - (Extrait des Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, T. 231 P. 570-572 - Séance du 18 Septembre 1950)
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- - ÉLECTRICITÉ. — Su7' le calcul des courants induits dans une sphère pleine.
  - Self propre et 7nutuelle inductance avec un solénoïde indéfini. Note (*) de M. Antoine Colombani, présentée par M. Gustave Ribaud.
  - ille ---------------------------------
  - J’ai exposé dans de récentes publications (‘) les résultats intéressants auxquels conduit l’étude des courants induits dans une pellicule métallique sphérique d’épaisseur e et de conductibilité y placée dans un champ magnétique périodique et uniforme :
  - H — II0 cosot.
  - Je donne brièvement ici ceux qui concernent le cas d’une sphère métallique pleine de rayon a.
  - Toujours en régime quasi stationnaire et dans le système de coordonnées sphériques r, 0, ^, considérons les équations déjà obtenues dans le cas de la pour le champ magnétique tangentiel, pour le champ électrique,
  - pellicule. Les champs intérieurs sont : H01=-1Io sinO ^cosw£ + l cos/cos(w£ + %) h,=— — Ma sinO[sinu/ — cos/sin(w^ + /)]
  - avec
  - lgZ~ ade 8= (2TpOY) 2 -
  - Il suffit évidemment, pour passer du cas précédemment étudié à celui de la sphère pleine pour une profondeur de pénétration très faible devant le rayon a, de poser lg/ = o en première approximation.
  - D’où
  - 3
  - H =-----Hosin9 et h,=0.
  - Le champ électrique total extérieur est
  - =— H0 —sin9 sinot — — cos/+ /) -
  - (*) Séance du il septembre 1950.
  - (*) Comptes rendus, 230, 1950, p. 11^9; 230, 1950, p. 2i58-2i6o.
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- - (2)
  - Pour Cos, == I on en déduit donc que le champ électrique créé par les courants induits à travers le solénoïde est
  - , 003.
  - — Ho---- sin 0 sin G) C.
  - T- 2r2
  - La f. é. m. induite dans le solénoïde de rayon b portant n spires au centimètre est
  - A —- 00
  - e,= 2nnb 1 hedz = 21njoaH=j8n2n20a3l, avec H =4mnI.
  - Du fait de notre approximation es est purement imaginaire. On en déduit la variation de self du primaire : L, == 8 n2 n’as.
  - Mais il existe évidemment dans la f. é. m. induite une partie réelle correspondant à la puissance dissipée par courants de Foucault. On obtient celle-ci en calculant la valeur moyenne du flux du vecteur de Poynting sur la surface extérieure de la sphère
  - w=( H Ah, dS, avec H —— 3 Hsino et h^ =— 3 Hosino.
  - J4T " 2 8TYE
  - On obtient hp en remarquant que pour une fréquence infinie la densité superficielle i, et Ho satisfont pour r= a à la relation 4ni == He. D’où
  - 6,=- si1,0 si"e-
  - Si l’on considère alors une fréquence très élevée mais finie on peut poser i— is/E, i désignant une densité de courant uniforme dans la couche d’épaisseur E. D’où h= U/YE. Tous calculs faits, on trouve W = 3 a2 H3/16RYE. D’où l’augmentation de résistance du primaire R,= 6na2n2/Y€ et un facteur de surtension s, == L, 6/R, == 2a/3E.
  - La connaissance de l’intensité totale induite qui est 1,=
  - E
  - ©
  - 3
  - CO
  - Al —
  - (avec d2 = asd0) et de W permet le calcul de la résistance propre de la couche sphérique occupée par le courant 1/2 RI2 == W. D’où R == 2R/3YE. De même pour la self propre Col=e,Io. D’où C=82a/9. On en déduit le coefficient s = Co/R = 2a/3E égal à celui du primaire. (Dans le cas de la sphère creuse, nous avons vu que l’égalité s==S n’avait lieu que pour la valeur optima e = 3E2/2 a).
  - Enfin, le coefficient d’induction mutuelle s’obtient par la relation
  - e,= — j Moli,
  - ce qui donne M=8 3na2/3.
  - Dans le cas de la pellicule métallique sphérique, nous avons trouvé
  - d
  - S
  - R
  - E
  - C (0 —
  - f 4aze: ‘
  - « -CI
  - 8 8
  - ou
  - E Le 00 IcO
  - 0
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- - Remarque. — On peut aboutir à ces résultats en posant « très grand dans les formules générales donnant les champs intérieurs et extérieurs à la sphère (2). Mais les calculs sont infiniment plus longs et ne présentent pas l’originalité et la simplicité de ceux qui se déduisent de nos équations sur la pellicule sphérique.
  - (2) Journal de Physique, 11, 1950, p. 201.
  - (Extrait des Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. 231, p. 570-572 séance du 18 septembre 1950.)
  - GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE DES DOMPTES RENDUS DES SEANCES DE L’ACADÉMIE DES SCIENCES
  - 137553-50
  - Paris — Quai des Grands-Augustins, 55.
  - ‘ 4
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