Publication : Laboratoire d'essais

- - s
  - <8
  - RÉPUBLIQUE FRANÇAISE
  - LABORATOIRE D'ESSAIS
  - LABORATOIRE
  - D’ESSAIS,
  - CHAUFFAGE PAR INDUCTION D UNE SPHÈRE MÉTALLIQUE CREUSE par M. Antoine Colombani
  - PUBLICATION N° 151
  - (Extrait du Journal de Physique et Radium T. 12 - Janvier 1951 - p. 26)
- Page de titre n.n. - vue 1/10
- p.n.n. - vue 2/10
- p.n.n. - vue 3/10
- - LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM.
  - TOME 12, JANVIER 1951, PAGE 26.
  - «CHAUFFAGE PAR INDUCTION D’UNE SPHÈRE MÉTALLIQUE CREUSE
  - Par M. Antoine COLOMBANI.
  - Sommaire. — J. J. Thomson a montré le premier qu’un tube métallique soumis à un champ magnétique périodique axial présente un maximum de puissance dissipée par courants de Foucault pour-une valeur optima de son épaisseur. G. Ribaud retrouva et vérifia expérimentalement ce résultat. Il signala également un phénomène analogue dans le cas du disque métallique mince de dimensions finies perpendiculaire au champ.
  - J’ai pu, dans le cas d’une sphère creuse d’épaisseur faible, mettre en évidence un optima semblable aux précédents et susceptible d’applications intéressantes dès l’instant où l’on se propose de faire absorber par une couche métallique sphérique un maximum d’énergie.
  - Les calculs en coordonnées sphériques font intervenir normalement les fonctions de Bessel et de Legendre. Ils deviennent rapidement très compliqués du fait des « conditions aux limites ».
  - Cependant, en utilisant la notion de potentiel magnétique, j’ai pu éviter l’introduction des fonctions sphériques et aboutir très rapidement à un résultat qui n’avait pas encore été mis en évidence.
  - Considérons une sphère métallique creuse placée dans un champ magnétique périodique et uniforme H = Hocosot(fig. 1). Par induction, des cou-
  - O
  - e
  - 2 7
  - rants de Foucault se développent dans le métal. Pour écrire les relations de Maxwell qui relient les champs entre eux à l’intérieur comme à l’extérieur du métal, nous supposerons le régime quasi stationnaire. Jusqu’à des fréquences élevées, nous savons
  - que cette approximation est bien justifiée [1, 2]. Nous nous placerons d’autre part dans le cas où l’épaisseur de pénétration € = (2 T0Y) ' (o), pulsation; y, conductibilité) est grande vis-à-vis de l’épaisseur du métal. Pour des fréquences assez élevées, cette épaisseur sera donc celle d’une couche mince métallique.
  - Ceci posé, remarquons que les trajectoires circulaires des courants de Foucault dans le métal sont situées dans des plans perpendiculaires au champ inducteur H.
  - En coordonnées sphériques les composantes h, et ho du champ électrique h sont donc nulles ainsi que la composante Hp du champ magnétique
  - h,= ho = H,= o.
  - Les équations générales , OH rot h = — -, ot rot H = 4*yh, divH = o, se réduisent alors aux suivantes : 00 sinoh)=—r”sin0 00 ) (1) Lor sin Ohy)= 7- sin0^) (2) o OH, , or(Ho) 00 -ny (3)
  - I LrH) 9 (sin 0H) = 0. (4)
  - r1 orT sin 0 00.
- p.26 - vue 4/10
- - N°1.
  - CHAUFFAGE PAR INDUCTION D’UNE SPHÈRE MÉTALLIQUE CREUSE
  - 27
  - En négligeant les termes de second ordre (qui sont continus) l’intégration de l’égalité (3) sur l’épaisseur e très petite de la couche conduit à la relation
  - 4ryaehç= [ri/o]2, (5)
  - a étant le rayon extérieur de la sphère.
  - Les notations 1 et 2 désignent les milieux extérieurs au métal de la couche. Le chiffre 1 se rapporte à l’espace extérieur, et le chiffre 2 à la cavité interne.
  - L’égalité (5) permet d’écrire 0 o • 11
  - 4xy ae-(sin ho) =(r sin Ho) . 00 ‘ 00 2
  - Or, d’après (1) : 0 OH, 00 ( sinhp)=—r sin6 or
  - (en 1 comme en 2).
  - De plus, d’après (4) : sinO J(rH,) 4(r sin 0 Ho) = 0. or 00
  - Par conséquent, on déduit que
  - 4 *Y ae (rn,)i = 4Y ae ° (r11,)2 = | "(,2II,)
  - Ces relations se refèrent au champ H, à la limite de la couche, mais à l’intérieur de celle-ci. Par continuité, on peut écrire en fonction des potentiels +1 et ô2 en (1) et (2) :
  - oi V‘ or) diV or) zaeLorl 0r/2
  - avec
  - Détermination des potentiels. — Prenons comme potentiel inducteur :
  - Vo=— Hor cos 0ejot. (7)
  - La présence des courants induits perturbe ce potentiel et conduit à écrire
  - =*= ,2 41 cosO eict, (8)
  - 42 =+ Agr COS 0 ejcot. ' (9)
  - Ces formes satisfont aux conditions générales de régularité et le champ extérieur se réduit bien au champ inducteur à grande distance.
  - Elles satisfont d’autre part aux conditions aux limites des égalités (6) si
  - / o[— Ho+ 42] =jo[ Ho 241 l=ae [41 42].
  - D’où
  - - Ho
  - / 3k
  - 2 H-----.---
  - \ 2joae
  - Soit Ho(1ja) 1 2 5 2(1- 03)1 en posant _3k 3 _3€2 20 ae 4 xoy ae 2ae
  - D’où
  - L = — /• ——J — Ho cos0 e/c‘, L 2(1 0.2) F2 J 4= — ri — I+U ig cosO elon‘.
  - En prenant les parties réelles et en posant tgx =0 on en déduit les valeurs de + et V2 correspondantes au potentiel inducteur Vo :
  - $= — Ha cosor cosu+ 2 cosz cos(o+%), (10)
  - 12 = rHo C0s0[— cosot + cosx cos(œt+ x)]. (11)
  - Les termes additionnels représentant les perturbations de potentiel dues aux courants induits.
  - Nous voyons déjà qu’à l’intérieur de la sphère, la présence des courants de Foucault produit un champ de sens opposé au champ inducteur Ho, d’amplitude égale à Hocos% et déphasé d’un angle
  - 3 s2
  - y = arctg —
  - Calcul des champs. — En supposant les perméabilités égales à l’unité, la valeur des champs dans les milieux 1 et 2 s’obtient directement à partir de V1 et V2 : On a
  - or
  - = II, cosO coso»!— $ cosx cos(ot + %), (12)
  - _ 0bi
  - = — Ho sin 0 cosot + 2 cosx cos(/+%), (13)
  - 0,
  - Hr, = — = Ho cos@[ cosot— cos% cos(ot+7)1 (14)
  - II
  - 09
  - —90 = Ko sin @[cosotcosx cos(o+X)1 (15)
  - hp=— por sinosinoé — p cosx sint+X) (16) ho. = — llo co r sin 6[ sin ol — cosy sin (0 z + X)]. (17)
  - A la limite pour r=a, on a
  - h= /,= — l a sin@[sinot — cosy sin t + 7)]. (18)
  - C’est le champ électrique dans la couche métallique (la composante tangentielle du champ électrique est continue).
- p.27 - vue 5/10
- - 28 JOURNAL DE PHYSIQUE N° 1.
  - Remarques. — 1° Toujours dans la condition s> e si la fréquence est suffisamment élevée pour
  - 3 £2
  - que tg% =0=) soit très petit, on constate facilement qu’à l’extérieur de la sphère (région 1) les formules donnant les champs deviennent
  - 431
  - I— — cosO cosot, (19)
  - IT, = — H,1+ 27 sin 0 cosco/, (20)
  - h.=------------------, Ho I-----3 sind sinopt. (21)
  - La densité superficielle de courant i, est donnée à partir de Ho, pour r =a par la relation
  - 4ri,= Io,= — 3 I sin 0.
  - D’où
  - . 3 .
  - is = — — Ho sin 0.
  - On retrouve des formules déjà établies dans le cas de la sphère conductrice pleine pour des fréquences élevées [2, 4, 6].
  - 2° A l’intérieur de la cavité sphérique, le champ résultant magnétique
  - H,= H,, cos 0 — Ho, sin 0
  - vaut, tous calculs faits :
  - Ht = Ho sin X sin(ot + %)
  - et le champ électrique (h, = ho) :
  - ht = — Ho , sinO sin x cos(ot+7) (1).
  - Si a est grand (basse fréquence), on peut écrire
  - D’où
  - H
  - cosot
  - H. — sin 0 cos
  - 2
  - Le champ Ho est peu perturbé.
  - Si & est très petit, en remplaçant sin x par a,
  - (1) La valeur moyenne du vecteur de Poynting # H0„Ah, est nulle. Il n'y a pas d’énergie dissipée dans la cavité sphérique.
  - on obtient
  - 3 82
  - H,= --- 11a sin t,
  - 2ae
  - Le champ magnétique résultant est négligeable.
  - Enfin, un cas particulièrement intéressant est celui où a = 1, comme nous le verrons plus loin. On trouve alors dans la cavité
  - Ht— - Ho cos ( — 2), V2 \
  - — ——LorH sin 2 V2 \ 47
  - / 3 £2 \
  - Si la condition a = i -— = i est réalisée, l'am-\2ae / plitude du champ magnétique intérieur vaut t et
  - est déphasée de — F sur le champ inducteur.
  - Calcul de la puissance dissipée dans le métal. — L’expression de la puissance dissipée par les courants de Foucault dans le métal est
  - 1 7 a * 2 W=* // Yhç dt, - wo ~a—e vo vo
  - avec
  - dr = r2 sjn Q de dr do
  - et
  - , Hooa. . . -ho = — sin 0 sin ot — cosX sin(ot + X))-
  - On en déduit après intégration
  - W=15watesin7,= 3 (29)
  - Cette dernière expression passe par un maximum pour une valeur optima de l’épaisseur
  - eop = 2 a (-3)
  - Pour cette valeur de e la puissance dissipée vaut
  - Wop= — o as. (2/1)
  - Elle est proportionnelle au cube du rayon et indépendante de la conductibilité. La représentation de W en fonction de e a donc l’aspect de la figure 2.
  - Apres un maximum pour eop=9 - la puissance décroît rapidement. Lorsque l’épaisseur continue à croître, la formule (22) n’est plus valable et doit être remplacée par celle qui donne la puissance
- p.28 - vue 6/10
- - N° 1. CHAUFFAGE PAR INDUCTION D’UNE SPHÈRE MÉTALLIQUE CREUSE
  - 19 co
  - dépensée en haute fréquence dans une sphère pleine de rayon b e (e étant la variable et b le rayon
  - W
  - Fig. 2.
  - 8 Nu C 3
  - 3 Ho a’w &
  - Sphère creuse
  - =
  - Epaisseurs
  - Sphère pleine
  - inces
  - 2
  - eL3 E 600.
  - 0
  - intérieur de la sphère creuse considérée jusqu’ici). Cette puissance est
  - 3
  - W1=sH3(b - e)2 @E, avec b= a — e.
  - La courbe W1 doit donc se raccorder avec W.
  - G. Ribaud [3], dans son étude sur le disque plan
  - de faible épaisseur perpendiculaire au champ inducteur, trouve pour la puissance dissipée optima une valeur égale à (24) pour une épaisseur
  - eop=
  - a
  - (a, rayon du disque, k, coefficient voisin de 2).
  - Je rappelle que J. J. Thomson a également obtenu une valeur optima pour l’épaisseur d’un tube indéfini soumis à un champ magnétique axial.
  - Copt == — et Wopt == — a2H3 'a 16
  - (a, rayon moyen du tube).
  - Si nous calculons le rapport de la puissance optima donnée par l’expression (24) à la puissance dissipée dans une sphère pleine de même nature et de même diamètre, nous trouvons dans les mêmes conditions d’induction
  - Wopt W
  - IHZwas 0 3 13 «2 COS 8
  - Ce rapport peut être très élevé. Je donne ci-dessous quelques exemples portant sur des couches sphériques de nature différente avec a = 10 mm, et pour deux fréquences 5.107 et 5.105.
  - ./'= 5.107. f= 5.105
  - Nature. €opr r. e. €opu n-
  - Cu tiède.... .... 10 U. 15 mu 333 0,1 mm 1,5 u. 33
  - Métal :
  - 0 = 10.10-6 2:cm 20 u. 60 mu 166 0,2 mm 6 p 16
  - p = 100. 106 2:cm 70 y. 0,7 P 50 0,7 mm 73 y. 5
  - Graphite.... .... 220 U. 7,2 y. 15 2,2 mm 0,72 mm 1,
  - Il est certain, par analogie avec le problème du disque plan, que l’existence de l’optima de puissance dans le cas de la sphère creuse, peut présenter un grand intérêt pour le chauffage de certains corps, ou dans les études de bolométrie. Dans ce dernier cas, l’épaisseur optima très faible peut être obtenue par dépôt métallique sur un support sphérique ou un tube cylindrique isolants. J’espère pouvoir revenir ultérieurement sur cette question.
  - Signalons enfin que le rapport de la puissance dissipée dans la couche (22) à celle qui serait dissipée dans les mêmes conditions dans une sphère pleine de même rayon, tend vers la limite
  - g=E (e<s) e
  - quand le rayon a de la sphère croît indéfiniment. Le même raisonnement, appliqué au tube indéfini de J. J. Thomson, conduit au même résultat, ce qui est bien normal.
  - Remarque. — On peut également calculer la puis- * sance dissipée par l’intermédiaire du vecteur de Poynting.
  - La valeur moyenne du flux de ce vecteur sur la surface extérieure de la couche est en effet
  - W=— L 1 ( I ho,A Ho,r2 sin 0 d0 dç , 47 1 Jo Jo Jo
  - avec (pour r — a) :
  - Ho, = — IR sin 0 costi + I cosz cos(o' + / )j, hqi = — — sin sin — cosx sin(ot +
  - On trouve
  - H3o a3 .
  - W = ------------- sin 7 COS/7 =
  - 2 -
  - PIo ci
  - % c
  - + 6
  - (2) Pour le cas J. J. Thomson, 011 trouve 7 ==
  - 2 €
- p.29 - vue 7/10
- - 30
  - JOURNAL DE PHYSIQUE
  - o
  - Z
  - expression identique au résultat déjà obtenu (22).
  - Enfin, la valeur moyenne du flux dans la cavité est
  - II
  - 9-
  - S-
  - E
  - 5
  - avec
  - //0,== Io sin 0[— cosot + cosx cos(ot — x)], hp. = — Hlo " sin 8[sin ot — cosy sin(wot + %)]. .
  - On vérifie qu’elle est nulle, ce qui est évident puisqu’il n’y a pas de puissance dissipée dans cet endroit.
  - Manuscrit reçu le 21 avril 1950.
  - BIBLIOGRAPHIE.
  - [1] Thomson J. J. — Recent Researches.
  - [2] COLOMBANI A. — Étude sur les courants de Foucault. J. Phys., 1948, 9, 273-286. Détermination de la perméabilité apparente et du facteur de qualité en haute fréquence d’une poudre magnétique, J. Phys., 1950, 11, 201
  - [3] Ribaud G. — Chauffage par induction d’un disque circu
  - laire mince normal aux lignes de champ, J. Phys., 1946, 7, 000.
  - [4] JOUGUET M. —• Courants de Foucault et fours à induction (Gauthier-Villars).
  - [5] Poynting.— On the transfer of Energy in the Electro-magnetic Field. Phil. Trans., 1884, Part. II, 343.
  - [6] CLERK Maxwell. — Traité d’Électricité et de Magnétisme, II.
- p.30 - vue 8/10
- p.n.n. - vue 9/10
- p.n.n. - vue 10/10