Elemens de fortification. Premiere partie, qui contient l'arithmetique de l'ingénieur françois

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  - ELEMENS
  - DE
  - FORTIFICATION
  - PREMIERE PA RT I E , QJJ I contient l’Arithmétique de l’Ingenieur François ; Où l’on verra plulîeurs nouvelles Méthodes qui abbregent 8c facilitent extrêmement les calculs des Toifez de la Maçonnerie, des Terres, 8c de la Charpente.
  - Ouvrage utile non-feulement aux Ingénieurs , mais encore aux Architectes , aux Arpenteurs, aux Financiers & aux Marchands.
  - A PARIS,
  - Chez la Veuve de Denys Niom, au premier Pavillon du College des quatre Nations , à l’Image de fainte Monique.
  - M. D C. L X X X V.
  - AFEG PRIVILEGE DV ROY.
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- - PREFACE.
  - E S Livres d’Arithmétique font fi communs êéen
  - JL/fi grande quantité, que plufieurs me diront qu’ils s’étonnent de ce que j’ofe en produire un nouveau fur cette matière qui doit être épuifée. Je leur répondray, qu’il n’y a point de Science où les bons Livres foient fî rares que dans celle-cy, puifqu’il n’y a quun trêâ^* petit nombre de Sçavans , qui nous ayent communiqué leurs Ouvrages fur la pratique des Nombres , &c que pas un d’eux, que je fçache , ne s’eft appliqué au Toile.
  - Cette raifon eft une de celles qui m’obligent à rendre publiques les pratiques dont je me fers : lapriere de plufieurs Ingénieurs en eft une autre : Mais la plus forte eft le defir extrême que j’ay d’ajoûter au fervice que j’ay eu le bon-heur de rendre au Rôy,dans beaucoup de Sieges, &C dans la conftrudion daun bon nombre de lès Places,celuy d’inftruire les honnêtes gens, dans un Art fi important pour fervir fa Majefté avec fidelité. J’entens parler de Meilleurs les Diredeurs de la dépenie des Travaux , que les nouvelles abbreviations ÔC facilitez que je propofe , doivent inviter à fe rendre familière une connoiifance abfolument neceflaire pour em-pêcKer la diilipation que l’ignorance ou la malice des Toifeurs pourroit faire des finances de fa Majefté.
  - Cet Ouvrage contient non-feulement Jes* maniérés
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- - P RE F AC E.
  - de calculer les Toifez \ mais afin que le jeune Ingénieur
  - peuvent être de quelque ufage dans les affaires de la vie civile. De forte que les Ingénieurs &c toutes les per-fonnes, à qui la connoiffance des Nombres eft neceffaire, comme les Architedes, les Arpenteurs, les Marchands & les Financiers, pourront appliquer les Réglés qui font icy contenues, aux matières particulières , qui fè rencontrent dans l'exercice de leurs divers emplois.
  - J e n’ay point parlé de la Réglé d’Alliage, ny de celle ^P^^^^^de Fauffes polirions, non plus que derTrogreffions, <^^fi?Z7:ê^dautant que je n’en ay jamais veu d’ufage dans la For-tification, & que je fuis perfuadé qu’elles nefontgueres èr^^^T/^davantage pratiquées dans les autres fondions de la vie civile* Pour les mêmes raifons j’ay obmis Pextradion /de la Racine cubique 5 dont je me voulus fervir une ________- fois en ma vie, mais TEntrepreneur ayant crû ma méthode ordinaire fufpede pour ne l’avoir pu comprendre, j’eftimay qu’il étoit plus à propos de me fervir d’une autre voye,quoy que plus longue, pour le contenter. Voila pourquoy je ne penfe pas que l’ingenieur s’y doive appliquer, puifqu’il ne doit pas avoir du temps de'refte, s’il s’occupe comme il doit, à bien apprendre &c à bien -h pratiquer la Conftrudion, l’Attaque & la deffenfe des Places. Si toutesfois quelqu’un eft curieux d’apprendre lefHites réglés, je l’avertis qu’il les trouvera tres-clai-resnent expliquées , dans le fçavant Ouvrage que le ~b R. Pere Preftet, Prêtre de l’Oratoire a intitulé Siemens des Mathématiques.
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- - PREFACE.
  - Il merefte à dire aux Critiques ,rsqué mon delïein n'a pas été d'écrire pour les Théoriciens -, ny dans une rigueur entièrement géométrique, &; qu’ainfi ils ne fe doivent pas fcandalifer, fi, par exemple, ayant éprouvé qu’en certain temps, certaine portion de terre a pu être enlevée, j’en conclus le temps qu’il faudra employer pour le tranfport de la maiïe totale : De même fi dans la Maçonnerie , fur la fuppofition de ce que peut faire un bon Maçon en*un jour, lorfqu’il eft bien fervy, j’en inféré le temps de la conftruétion du revêtement d’un Baftion, d’une Citadelle , &cc. Je fçais bien que tout cela ne fait qu’approcher du jufte, puis qu’il ne faut qu’une tres-mediocre expérience pour faire connoître que dans le tranfport des terres, les difficul-tez deviennent plus grandes à mefure que la profondeur des foffez augmente,&C que dans la maçonnerie , un Baftion fec qui .«eft élevé prés du Cordon,fend le fervicc des Maçons bien plus difficile, que lorfqu on commence de faire la retraite fur les fondations 5 Mais ces fortes de différences font fuffifamment corrigées , par la compenfation eftimative du fort au foible , &C Veft dans ces occafions que l’Ingenieur doit joindre l’expe-rience & le bon fens avec l’Art de calculer. Je n’ay pas été plus fcrupuleux dans plufieurs autres queftions, comme lorfque j’ay obfervé qu’une Citerne pleine,peut fe vuider en tant d’heures , j’ay laiffé à ceux qui traitent particulièrement des eaux le foin d’obferver le plus &C le moins de vîteffe avec laquelle elle fo vuide au commencement &C vers la fin. Parce que je n’ay eu pour objet que d’expliquer l’Art de calculer &C pour
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- - PREFACE.
  - cela j’ay crû qu’il fufïifoit de fuppofer que cet écoulement eft toûjours égal uniforme. Et d’ailleurs on pourra rectifier les calculs lorfqu’on aura appris les Arts particuliers aufquels on les applique. L’Ingeriieur fc trouvera à tous momens dans ces fortes de pratiques, qui le rendroient ridicule s*il s’y attachoit avec une précifion trop fcrupuleufe : &C c’eft pour cela que je n’ay point voulu luy charger la mémoire d’aucune réglé curieufè, comme de toutes les maniérés de faire la la Réglé de Trois, de changer l’inverfe en dirc&e &; de beaucoup de chofes femblables: mêmeje mefuis abfte-nu d’écrire plufieurs des méthodes que j’ay trouvées pour le calcul de la Maçonnerie & des Bois, dautant qu’elles ne me femblent pas plus abbregées que celles que je donne icy, &c que fans connoître ces fortes de curiofitez l’Ingenieur peut très-bien fervir fon Prince.
  - *
  - L'Auteur ne donne icy que la première 'Partie de ces Elcmens 3 la dijpofition de fes affaires ne luy permettant pas de donner les autres prejentement.
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- - I
  - L ARITHMETIQUE
  - DE
  - L’INGENIEUR
  - FRANÇOIS.
  - CHAPITRE PREMIER.
  - De la Numération des Nombres’ entiers.
  - ’A RIT H M E TI QU E telle que nous avoirs, deffein det’expliquer icy 6 peut eftre définie l’Art: de bien &c ; promptement lùpputer..
  - La Numération eftla defcriptian;,oü expreffion de quelque nombre propofé que ce pufife- eftre ,, par les figures ou caractères qui lu y font propres.
  - Les Arithméticiens emploient dix caradteres ou figures:* pour exprimer tout nombre propofé , a fçavoir, r. z. 3,. 4. 5. 6. 7. 8. % o. dont les neuf premiers font fignifieatifs * chacun d’iceux dénote autant d’unitez que le lieu qu’il occupe dans cette fuite en defigne, par exemple, la figure 81 qui eft dans le huitième lieu, marque huit unirez-, Sc ainfi des autres..
  - A
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- - 2 U Arithmétique
  - Mais comme ces cara&eres ne ppurroient pas exprimer un nombre qui feroit plus grand que neuf, les Arithméticiens augmentent ainfi leur valeur.
  - Premièrement, ils nomment première,la figure qui eft écrite a la droite > fécondé, celle qui la luit vers la gauche j trqifié-me, celle qui fuit cette fécondé encore vers la gauche , &c ainfi de fuite a l’infini.
  - Secondement , ils ont établi que toute figure qui fera première vaudra feulement la quantité d’Unitez quelle defigne.
  - Que toute figure fécondé vaudra dix Fois autant que fî elle étoit première * c’eft-à-dire, vaudra autant dedixainesquelle contient d’Unitez.
  - Que toute figure troifiéme vaudra dix fois autant que fi elle' étoit feconde^&ainîTde fuite àTTnfini.
  - Cecy fuppofé, voicy la méthode la plus facile pour exprimer tout nombre propofé.
  - i°. Il faut partager les figures en plufieurs membres , en commençant par la' première figure qui eft comme nous avons dit à la droite, & enfermant toujours trois figures dans chaque membre , excepté au dernier qui eft Fur la gauche , lequel peut n’en avoir qu’une ou deux.
  - z°. La première figure de chaque membre fera appellée nombre , la fécondé dixaine, & la troifiéme centaine..
  - 3°. Le premier membre ^contiendra les Unitez, le fécond les mille, le troifiéme les millions, le quatrième les billions, le cinquième les trillions, & ainfi à l’infini.
  - 4°. Dans l’expreffion vocale, le premier membre feraxeluy,
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- - de ÏTrigèhïitir François. 5
  - qui effc le dernier î la gaüChé, & ïé dernier fera celuy qui eft le premier à là drbîéë. Alrifî jpbtfir exprimer le nombre icy
  - f>rôpofé, il faudra cbnimencer pàr lé membre D;. & finir par e membre A. en cette maniéré : trente-deux billions, quatre cents vingt-huit millions, cinq cents qüarante-fept mille, trois cents cinquante-quatre.
  - Qüânt à la figuré o. appellée zéro, elle ne fîgnifie rien de foy, niais elle augmente la valeur de la figure qui la luit vers îâ gaiiche ? ainfi dans ce nombre 30. zéro ne fignifie rien, mais? il fait monter lé trois au rang des dixain.es, & par con-fequênt valoir trois dixàines, c’eft-à-dire trente.
  - CHAPITRE II.
  - DES' QUATRE PREMIERES REGLES de P Arithmétique.
  - PROPOSITION PREMIERE.
  - De l'ÀMitiori.
  - L’Addition eftLafTemblage dé plüfieürs Tommes données en une feule:
  - Nous appelions fomme tout nombre prbpofé , quand même il ne contiendroit que l’Unité.
  - . Il faut dilpôferles nombres que Pon:veut ajouter l’un fous loutre : De forte qué' lés premières figures foierit fous les premières, les fécondés fous lès fécondés, les trôifîémes fousdes troïfiémesv &c. dé riràiiiëre qtië le défaut de figure, s’il yen a y foit apperçû fur la gaùché • comme en cét exemple, où il
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- - 4 L\Arithfnetiquri nv faut ajouter enfemble 3 z# 04. $7 ? zr& 4 J 8. après avoir difpofé ces nombrps^ comme, nous venons de dire , & comme il paroît dans cette figure.
  - Ayant enfuite mené une ligne fous les nombres qu’il faut ajouter, on ajoute toutes les premières figures enfemble, & fi le nombre quelles com-pofont peut eftre écrit avec une feule figure, il le faut écrire fous les premières figures & au deflous de la ligne \ mais s’il doit eftre exprimé avec deux figures ,Ja^pnemiere doit eftre écrite fous les premières, & la fécondé ‘doit7etre refervée pour eftre ajoutée avec les fécondés, par après on ajoute enfemble les fécondés figures , en ajoutant avec elles celle que nous avons retenue des premières , au cas qu’il en ait fallu retenir, nous faifons la même chofe aux troifiémes & quatrièmes figures &c à toutes celles qui füivent.
  - Ainfi, dans l’exemple propofé 8 plus z font font 10. &: 10 plus 4 font 14. &: j’écris 4 fous les premières figures ôc retiens 1. pour les fécondés.
  - Je pafle enfuite aux fécondés figures, &c je dis 1. que j’ay retenu , plus 5 font 6. èc 6 plus ? font 15. ôc j’écris 5. fous les fécondés figures & retiens 1. pour le? troifiémes.
  - Je viens aux troifiémes. figures, 3c je dis 1 que j’ay retenu plus 4 font 5. & 5 plus 7 font 1 z. ôc flz plus 8 font 10. & j’écris o fous les troifiémes figures & retiens z pour les quatrième?,
  - Eftant arrivé aux quatrièmes, je dis z que j’ay retenus plus
  - 5 font 7. & 7 plus z font 5>. que j’écris fous les quatrièmes
  - figures fans rien retenir. -,:i
  - Enfin , ne trouvant au cinquième 3c dernier rang que la feule figure 3. je* l’écris fous la ligne & au cinquième rang, ôc l’Addition eft achevée. Où vous remarquerez qu’en-core qu’en faifant les Additions des figures, nous ayons monté de bas en haut, nous euffions pu defcendre dé haut en bas avec la même facilité.
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- - ic i*Ingénieur François. $
  - Remarquez qu*il peut arriver, quoy que rarement, que les figures du meme rang , par exemple, les premières eftant ajoutées produifent un nombre qui doit eftre écrit par trois figures, par exemple 115I en ce cas, écrivez 5 fous les premie-res figures, 8c retenez n. pour les fécondés, faites la même chofe dans les autres rangs.
  - Preurje de l'Addition.
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  - U*.
  - truffe*.
  - GFEDCBA
  - Soient ajoutées, enfemble les figures de chaque rang, en commençant par le dernier, 8c foit leur fournie ôtée de la totale comme s’enfuit, 8c s’il ne refte rien, l’Adition fera bonne, finon il y aura erreur. En cét exemple , commençant par le rang G dites 5 plus 6 font n. 8c n eftant ôtez de 13. refte z que j’écris fous le rang G. Je paftè au rang. F. 8c jedis 7 plus 3 font ro. 8c 10 plus 5 font 15.8c 15 plus 4 font i<>. que j’ofte de zi 8c il refte z que j’écris fous le rang F.
  - Je viens au rang ij. ôcje dis 9 plus 7 font 16.8c 16 plus 4. fofit zo. 8c zo plus z font zz. 8c zz ôtez de 2.4 il refte z que j’écris lotis E.
  - Pour le rang D. je dis 4 plus 5 font 9.
  - 8cp plus 3 font iz. 8c. iz plus 8 font zo. lefquels ôtez de 2.3 il refte 3 que j’écris fous le rang D.
  - Pour le rang C. je dis 5 plus 9 plus 8 plus 6 font z8. 8c 30 moins 2.8 laiffent z que j’écris fous le rang C.
  - Pour le rang B. je dis 7 plus 3 plus 7 plus 5 font zz. qui ôtez dre 24 il refte 1 que j’écris fous le rang B.
  - Enfin, pour le rang A. je dis 8 plus o plus 5 plus 4 font 17. lefquels ôtez de 17.il ne refte rien,d’où je conclus que l’Adition a efté bien faite.
  - 5 7 9 4 5 7 $
  - 3 7 5 9 3 O
  - 6 5 4 3 8 7 S
  - 4 2 8 6 5 4
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  - X X x 3 X t 0
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- - 6 U jdrithmttîque
  - Exemples d'addition avec leurs premeù
  - 4759285 3 8 9 6 8 4 3
  - 3028597 3 5 9 2 5 4 9 8 6 7 8 5
  - .9*54872 8 7 5 8 9 4869
  - 4789 7 5 6 7
  - I 7 6 4 7 5 4 3 1 ! 454410 [ 4 8 8 8 4 9 7
  - x x X X % X 0 | 1 X X XX X Q J X X X X X X 0
  - ' AVERTIS SEMJE N T.
  - Il arrive tres-fouvent dans les Toifez des Fortifications que la multitude des nombres qu’il faut ajouter eft tres-grande j En ce cas & pour plus de facilité, il faut partager l’Addition
  - peut------~ ..........—* 6
  - Additions, &: les faire tout d’un coup en marquant avec un point les dixaines de chaque rang pour les reprendre enfiiite & les ajouter au fuivant comme vous verrez dans cét exemple , j’ajoute toutes les Figures de la Colomne ou rang A. en commençant par haut, & je dis o plus 8 font 8 8c 8 plus 7 font 15. je marque la dixaine par un point à côté du 7. & je retiens 5.0c je dis 5 plus ? font. 14.je marque lacUxaine vis-à-vis du 9 ôt je retiens 4. & je dis 4 plus 8 font 11. je marque la dixaine à côté du 8 fupe-rieur, & je retiens 1. & je dis 1 plus 8 font 10. ôc jç marque ha dixaine à côte du 8 inferieur fans rien retenir. Enfin je dis 9 plus 7 font 16* ayant marqué la dixaine à côté du 7. je-p,ofe 6 fous.la..ligne, & parcourant la Colomne À. je trouve cinq points qui valent cinq dixaines, lefquelles ajoutant à la Colomne fuivante B. j’y marque
  - 4 3 4.5. o 978 6.8.9.7* v/ 9.6.8.9. Æ/ 8.7. 6t 9. 8. Pt* S Ç.7.8.
  - 8.9. 8 9 F,» 9*8. 8; 7*
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  - 176566
  - F.E.D.C.B.A.
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- - de l* Ingénieur FtmçoU. ?
  - üx points pour.lesjouter à là Coiomne C.dans laquelle je marque & trouve encore: fix points ou dixaines que j’ajoiiteàla Coiomne D. où je marque cinq points que j’ajoute comme defliis à la Coiomne E. où je ne marque & ne trouve qu’un point ou une dixaine que j’écris fous la Coiomne F.
  - PR O PO SITION SECON DE.
  - De la Souflraâlion.
  - l&ZZ
  - ^ A- * ^ .
  - 789547
  - 767435
  - SOuftraire eft ôter unxplus petit nombre d’un plus grand w un égal de fon égal, \
  - Pour le faire, écrivez le moindre nombre fous le plus grand,, de manière que la premiers; Figure foit foûs la première, h fécondé fous la fécondé ôco. puis ayant tiré une ligne fous les deux nombres qui font A\ & B. fou-ftrayez chaque figure du nombre B. de celle qui luy répond dans le ntombre A. en commençant par la droite, Récrivez les réfidus fous la ligne & fous leuÈ propre degré ou rang. Ainfi en en cét extemple, dites 5 ôtez ae 7 il refte z que j’écris au rang C. & fous la ligne» Item, 3\de 4 refte 1. que j’écris au rang D. Item, 4\de 5. refte 1.que j'écris au rang E. Item, 7 de 9 refte z que j’écris au rang F. Item, 6 de 8 refte z que j’écris au rang G.Enfin rien ôté de 7 ilrefte7 & j’écris 7 au rang H.(Car il eft évident qu’on don foûs-entendre un zéro écrit fous le 7 de la derniere figure du nombre A. ) Et le nombre requis qu’on appelle aufli différence, fera\ marque'K.
  - Que fi quelqu’une des Figures inferieure^ eft plus grande que la Supérieure qui luy correfoond, & qu’amfi elle n’en puifle pas eftre fouftraite, alors il faut fouftrairc lVdite Inferieure du nombre dix, 8c ajoûter le refte avec la Supérieure &: écrire cette
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- - g , & Arithmétique
  - fommefiousla ligne , dautant quelle donnera le nombre requis 3 de en ce càs, il faut augmenter de l’unité la figure inferieure, qui fuit ^ers la gauche , de fouftraire cét aggregé de la figure Supérieure qui luy répond, ainfi que nous venons de dire, & que nous allons faire dans cét exemple où nous voulons ôter le nombre Ç. du nombre A.
  - Je dis premièrement , 7 ôtez de 1 cela ne fe peut * c’eft pourquoy j’ôte 7 de idv refte 3 aufquels j’ajoute 1 qui eft la Figure Supérieure de j’ay 4 que j’écris fous la ligne de au premier rang d. enfuite j’augmente de l’Unité la Figure Inferieure fuivante, & j’ay 4 de je dià 4 de 10 il refte 6 de 6 plus o font 6. que j’écris fous la ligne ôc. s o o«i r A.
  - au feçond range. Je paffe au troifiémerang f. 5 ^ 3 7 j B
  - où l’inferieure maintenant vaut trois, de je dis 3 de 10 refte 7. &; 7 plus o fait 7 que j’écris fous. 2 7 6 4 G la ligne au troifiéme rang f. Enfifite je paffe au S* e* * quatrième rang g. où l’inferieure vaut maintenant 6. de je dis; 6 de 8 relie z. de la Souftraétion ej^ achevée, de la différence: cherchée eft C. \
  - 41 La preuve de la Souftraélion:-
  - Ajoutez enfemble les Figures de chaque rang du nombre iouftrait B. de du refidu C. en commençant par le dernier, de foit leur fomme ôtée ainfi que s’enfuit dft nombre A. duquel on a fouftrait, de s’il ne refte rien la Souftraélion eft bonne, fi? non elle eft mal faite de il ta faut recommencer.
  - Ainfi dans cét exemple commençant par les rangs g. je dis z plus 5 font 7 qui ôtez de 8. refte 1 que j’écris fur le 8,
  - Je viens au rang f. Se je dis 7 plus z font 9 qui ôtez de 10 refte 1. que j’écris au deffus.
  - Pour le rang e. je dis 6 plus 3 font 5? qui ôtez de 10 refte î. que j’écris encore au deffus.
  - Enfin,
  - ï t i o
  - 8001 1 A
  - 5 2. 3 7 J 1 B
  - 2 7 6 4 Ie
  - g. f. e. d. - 1
- p.8 - vue 18/176
- - de l* Ingénieur Françoisl ç
  - Enfin, pour le rang d. je dté 4 plus 7 font ix. qui ôtez de ti. il ne refte rien, 6c de la/je conclus que la Souftraâion eft bonne.
  - Exemples de la/SouJlraétion avec leurs preuves.
  - x. * * x ;x 0 i ÏO x x x o X X X I x x 0
  - 30 1001 9567 2/ ^ 3 O 0 2 I 2 T 3 4 2 I 0 0 I 0 3 4 7 3 0 0 1 0 4 1 9 5 4 3 7 2
  - z'o S i S 6 7 9 9663 2 O 4 6 6 6 9
  - ---J-----------------:------------
  - PROPOSITION TROISIE’ME,
  - De la Multiplication. "
  - Multiplier un nombre par un autre, eft augmenter autant de Fois le multiplié que l’Unité eft contenue de fois dans le Multiplicateur * Comme fi je veux multiplier 3 par 4. c’cft prendre 3 autant de fois qu’il y a d’Uiiitez en 4. c’eft à dire 4 fois 6c on aura 12. qu’on nomme ordinairement produit. *
  - Il eft neceflaire afin de multiplier facilement & promptement de fçaVoir le produit de deux Figures l’une par l’autre. Ce qui eft plus à propos d’apprendre par habitude, que par aucun precepte. En attendant fervez-vous de la TableSuivante, qu’on dit avoir été inventée par Pythagore.
  - <s>
  - B
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- - io U Arithmétique
  - Cette Table a T*— if _
  - un très - grand nombre d’Uiagesj 1 2 3 i 4 6 1- S l~
  - 2 4 6 8 12 M4 16
  - mais voicy la ma- 3 6 9 12 115 18 21 24 27
  - niere dont on s’en 4 s 12 16 I 20 lî 28 32 36
  - fert pour la Mul- 5 10 15 20 25 30 35 40 45
  - tiplication. 6 3 2 18 24 30 3<T 42 48 54
  - Soient par exemple , propofez a multiplier 8 par 7. 7 14 21 28 3 5 1 42 49 J1 63
  - 8 16 24 32 40 t 48 56 64 72
  - cherchez l’un des nombres au haut 9 18 27 36 El 54 63 72 81
  - de la Table, de l’autre dansla marge gauche, de vous trouverez dans le Quarré de leur commun concours le nombre defiré, qui dans cét Exemple eft
  - Multiplicande.-.— 7 46$ Multiplicateur;-----“3 2 5
  - A
  - 8
  - 3 7 3 4 o 14 9 16 22404
  - C
  - D
  - £
  - 2 4 2 7 I O O
  - Maintenant foient donnez les nombres A, &; B. qu’ihfaut multiplier entr’eux, de s'ils font iné-gaux , foit pour plus grande facilité écrit le moindre fous le plus grand, de la même maniéré ^ qu’en l’Addition de SouftracHon.
  - Et après avoir tiré une ligne au deffous, commencez par 5 première Figure du Multiplicateur B. a multiplier tout le nombre A en cette maniéré , dÜfant premièrement 5 par 8 font 40. je mets o fous la ligne de au premier rang, de retiens 4, , „
  - Enfuite je dis 5 par 6 font 30 qui avec 4 que j’ay retenus font 34. je pofe 4 au fécond rang de fous la ligne, de je retiens 3. •
  - Après je dis 5 par 4 font 20 qui avec 3 que j’ay retenus font 23. je pofe 3 au troifiéme rang de toujours fous la ligne , de je retiens 2.
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- - de i Ingénieur François. u
  - Je dis enfin 5 par 7 font 35 qui' avec z que j’ay retenus font 37 & je pofe 7 au quatrième rang > & avance 3 au cinquième, d’autant qu’il n’y a pas davantage de Figures dans le nombre
  - A.
  - Par la même Méthode foit multiplié tout le nombre A par la fécondé Figure du Multiplicateur B, &ie produit fera D. la première Figure duquel lera mife fous la Figure Multipliante qui eft icy z. de les autres enfuite vers la gauche.
  - Continuez à multiplier tout le nombre A par la troifiéme Figure du fufdit Multiplicateur B pour avoir le produit E. que vous édferez comme nous venons de dire. Et s’il y avoit plus de Figures dans le Multiplicateur 3 continüez toujours de la même maniéré.
  - Cela fait y ajoutez enfemblc les produits C.TXE. en une. meme fomme F qui donnera le produit que vous cherchez de A par B. _______________—
  - Remarquez icy que la Multiplication auroit donné un même produit fi vous aviés pris le plus grand nombre À pour Multiplicateur, Scie moindre B pour MultFplicande * mais l’o-peratiônâïïroirètè^un peu plus longue^
  - Que fi Pun & l’autre nombre où l’un des deux a quelques zéro -au commencement^ la Multiplication en deviendra plus aifée ënlaiifant lefdits zéro, de enluite les remettant aux premiers rangs du produit des autres Figures : comme fi vous vouliez multiplier py par 100. il faut feulerhent multiplier ^7 "par üT&vous aurez 97. devant lequel nombre mettant les deux zéro obmis vous aurés ^700 qui eft le produit de 5*7. par ioo*
  - La preuve de la Multiplication.
  - Plufieurs la fontpar la TDivifion dont nous allons parler 5 mais on la fait plus facilement de plus promptement par p. en^ cette maniéré.
  - B ij
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- - 7468, 3 Z S | ! »
  - 3 7 3 4 0
  - 1 4 9 3 6
  - 2 2 4 0 4
  - 2 4 2 7 I O O F *•’ !
  - 7
  - I*ï*7
  - 7
  - 12 U Arithmétique ^
  - Otés tous les p du nombre multiplié"autant de fois qu’il eft pbfiible, ôc marqués le refte qui eft icy 7 a la droite dune Croix.
  - Faites la même chofe au Multiplicateur B , ôc marquez le refte ( qui eft icy 1. ) a gauche de ladite Croix. Enfuke multipliez ces deux reftes enfem-bléT^ôc ayant ôté tous les 9 du produit 3 marquez le refte ( qui eft icy 7 ) au haut de la Croix.
  - Enfin ôtez tous les 9 du produit F ôc marquez le refte .au bas de la Croix. Et fi les deux refiduT cfu7 haut ôc du bas de ladite Croix font é-
  - gaux la réglé eft bonne, finon elle eft faufîe > ôc il la faut recommencer.
  - Il eft necefifaire de remarquer que pour ôter facilement tous les 9 de tout nombre propofé, il n y a qu a ajouter toutes les Figures enfemble, comme fi elles étoient au premier rang, ôc d’abord que la fournie fera 9 ou excédera 9 ( ce qui arrivera lors qu’elle fera exprimée par deux Figures ) rejetter 9 ôc garder le refte, ou bien ajouter les deux Figures enfemble, ôc en fuite ajouter leur fomme aux Figures fuivantes , ôc continuant ainfi julques à la fin.
  - "’^Par exemple , pour ôter tous les 9 de 56’. ajoutez enfemble 5 ôc 6. qui font n ôc ajoutant encore les deux Figures de n vous aurez 2 qui eft le refidu, après avoir oté tous les 9. de 56.
  - Les Arithméticiens après avoir ôté 9. dun nombre , tant qu’il eft poffible, appellent le refte preuve.
  - - Plu (leurs blâment cette preuve par ^.comme étant quelquefois fujette à erreur.
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- - de F Ingénieur François. rj
  - J’avoue qu’une Réglé pourra paroître bonne par la preuve de 0 qui fera neanmoins absolument fauffe. Par exemple , en flippmnant la Figure ou un zéro ou deux Figures, qui en-, lén{bIèrlâÆntp.nmais cela a arrivera qu’a ceux qui le feront a 'aeffein ; difïîfWis^ett^pïeuvéTera toûjours véritable eifcette
  - Î>artie, qui eft que lors que le^refidus dont nous venonsdepar-er ne feront pas égaux, la Réglé fera neceflaifônent Voilà pourquoy tous les habiles fe fervent de ladite'preuye^^ÿ
  - * C*?/- rît r/7m,~ _£*»' £*
  - Proportion quatrième de la Dwijîon.
  - Divifer un nombre par un autre, par exemple \A par B. eft trouver un nombre Ç> qui contienne l’unité D. autant de fois que A contient B./ledit nombre C eft ordinairement appelle Quotient.
  - Auparavant que de commencer laDivh A. 18. C. 3.
  - fion, il faut écrire le Divifeur fous le Divi- B. 6. D. 1.
  - dende-, de forte que la derniere figure du Di- J__________
  - vifeur foit fous la derniere du Dividende , ôHïeryajQFtoutesfois que le Divifeur ne iurpaife jamais les rangs du Divifé fous lef-quels on le place /autrement il faudroit faire avancerToutTe Divifeur d’un degré vers la droite.
  - Cela fuppofé , foit le nombre A qu’il faut divifer par le nombre B. &: ioit écrit B fous A en la manière que nous venons de dire. Faites une petite ligne courbe fur la droite pour y placer lé quotient , ôc obfer^ez quatre préceptes.
  - 1. Cherchez combien de fois la première figure du Divifeur -------------eft contenue dans le nombre du Dividende
  - B g* qui luy correfpond ( ce nombre correfpon-______-2 dant eft non feulement compofé de la figure du Dividende qui eft au deffus ; mais encore de celle qui eft fur la gauche, s’il y en a ) comme icy z dans 8 eft contenu
  - B iij
  - A. 8(>3 4
  - B. 2,78
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- - 14 U Arithmétique
  - 4 fois, ôc j’écrirois 4 dans lalignecourbe au quotient, fi la figure z faifoit feule tout le Divifeur j mais comme il ne refie-roit pas affez pour les autres figures du Divifeur total B. j’écris feulement 3 audit quotient , & fi je trouvois que le nombre 3 fût encore trop grand je n’écrirois que z audit quotient. Ce qui arrive dautant que je cherche non feulement combien de fois z eft dans 8. mais combien de fois Z78. eft dans 865. Ôc je dois foigneufement prendre garde que la figure que je mettray au quotient multipliant tout le Divifeur félon l’ordre que nous allons prefcrire produife un nombre qui ftra^de
  - celuy qui luy corr^o^dd^nsjexliyifç,^queTlcTrefidu ( s’il y
  - en a quelqu’un ) foit’moindr^que le Divlfeimjg^^^^^^
  - $ 0 ? 4 [3
  - .* i 8
  - z. Multipliez le quotifîut trouvé partout le Divifeur, commençant par fa première figure à la droite.
  - 3. Otez le produit de chaque figure du _________________
  - Divifeur de celle qui luy correfpond dans le Dividende, à laquelle ( fi elle eft trop petite ) vous donnerez autant de dixaines qu’il en fera neceffaire, pour en faire ladite foüftradion, ôc écrivant le refte (s’il y en a J au deffus, vous re-"'Itiendrez autant d’imitez que vous avez donné de dixaines a ladite figure du Dividende. Par exemple, icy 3 fois 8 font Z4, qui ne pouvant eltrè fouftraits de 5. vous donnerez a ce 5 deux dixaines , ôc vous aurez z$ defquels fouftrayant Z4, reftera 1 que vous écrirez fur le 5. ôc retenant z unitez à caufe des deux dixaines que vous, avez données , vous effacerez le 8 ôc le 5. \
  - Et en continuant l’opération dites 3 fois 7 font zi , qui avec z que j’ay retenus forçt Z3'. qui ne pouvant être ôtez de 6. je donne deux dixaines £ ce 6, ôc j’ay .16. d?où ôtant Z3 il refte 3. que vous écrirez fuf le G, ôc retenant z unitez vous effacerez le 6 ôc le 7. \
  - Dites enfin 3 fois z font 6\ôc z que j’ay retenus font 8
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- - O 3 I
  - x -jf js. g (3 2 7
  - (’
  - de ïIngénieur François. j$
  - lefquels fouftrait! de 8. il ne refte rien , ôc effaçant le 8 ôc le z. écrivez zéro ai 1 defïiis du 8.
  - Il eft important de remarquer que ce zéro ne fert icy de rien que pour vcus avertir qull~ne~fi~ut jamais biffer aucun rang ou degré viide~aprés la SoufirâSion , mais qu’il le faut toûjours rempIuTd un zéro , qui fervira*dans tout autre degré que le dernier.
  - 4. Faites defç^ndre d un degré vers la droite chacune des figures de vôtre pivifeur , ainfi que voyez en cette figure. Èt voSs avez achevé la première operation de la Diviüon > & il vous refte l|e nombre ^14 duquel il faut continiier lia .Divifion pour trouver une nouvelle figure dans le quotient, pour ce faire fei\vez-vous du premier précepte cy-detfhs, à dites z en 3 eft une fois.
  - Et par le fécond 1 fois 8 eft 8. & par le troifiéme 8 eftant ôtez de 14. il refte 6 que vous écrirez au deffus du 4. & vous effacerez le 8 & le k en retenant 1 unité à caufe de la dixaine que vous avez donnée au 4.
  - Dites enfuifee 1 \fois 7 eft 7* & 1
  - Sue j’ay retenu font 8% qui ôtez de 11 refte 3. que vous! écrirez au deffus de 1. & vous effeceréz le 7. & le 1. & retiendrez. 1 unité. 1
  - Dites enfin 1 fois, z font zôc 1 que je retiens font 3. &c 3 otez de 3. il ne refte rien , & vôtre Divifion eft achevée , dans laquelle il vous refte 36 que vous écrirez après le quotient fo r une petite ligne, au deffous de laquelle vous écrirez le Divifeür} de. forte que le quotient requis > & que nous venons icy Üe trouver eft 31.^
  - Mais nous parlerons amplement de ce refte dans le Chapitre des nombres rompus ou fractions.
  - 9S $ x.
  - A £ fi V #
  - B X h 8 $
  - * f
  - 36
  - 278
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- - 16
  - L‘
  - La première operationede ]a Divifion étant achevée, il arrivera quelquefois que*lans la fécondé ou quelque autre des fuï-^a- vantes, en voulant pratiquer le premier précepte cy-deflus^vous trouverez que le Divifeur n’eft point contenu dans les parties du Dividende qui luy correfponaent : En ce cas il faut mettre un zéro au quotient * & faire décendre vôtre Divifeur ^ers la droite, & recommencer une nouvelle operation. Ainfi que vous voyez dans la féconde operation de la Divifion de 452,p par 44 qui donrfe pour quotient ioxi^
  - /UrkOJ’f -
  - Remarque II.
  - Lors que vous trouverez que vôtre Divifeur fera contenu plus de 9 fois dansies ' fifflresdu Dividende quiluy corref-pondent. Sçâchez que l’operation precedente aura été vicieufc, ôc qu'il la faudra recommencer, dautant que jamais on ne peut écrire au quotient un plus grand nombre que 9.' *
  - Remarque III.
  - (
  - ^Lots que le Divifeur aura un ou plufieurs zéro au côté droit, on fera la Divifion plus promptement fi on retrancEe^ïTDi-vidende autant de figures qu'il y a de zéro au côté droit du Divifeur /& qu’on divife le refte par le Divifeur, duquel on aura _ ‘"Tics '
  - ______________reitepar le
  - fétranchelês ïufdits zéro, y a~du refte dans la Divi-
  - v-^-^onTrfaüdrrTFmettre au côté gauche des figures retranchées pour le mettre audeffus de la ligne fous laquelle on mettra le\ Divifeur avec les zera quiluy avoient efté retranchez. Ainfi \ divifant 7^.5 par 100 lF~quorient-eflL^8^r ôc divifant J
  - #««7 <*«-«-
  - 870 51a
  - 7/X- C*< ----
  - par 4^oc
  - o. vous trouverez/
  - & pour réduire )
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- - f,uu«**âe l'Ingénieur François. 17
  - 42569. fols en livrbss^c’eft-à-dire les divifer par 20 fols , vous trouverez au quotienrs^ii8 /-\ceft à dire 2128 livres^ fols, ôc ainfi des autres.
  - Remarque I V~.
  - Si tant le Dividende que le Divifeur ont des zéro au côté droit, retranchez-en autant à l’un qu’a l’autre,. ôc apres ce retranchement faites la Divifion , ôc vous trouverez le meme quotient que fi vous n’aviez rien retranché.
  - La preuve de la Divifion. ^yuL
  - Elle peut être faite trés-feurement par la Multiplication, a fçavoir en multipliant le Divifeur par le quotient, ôc ajoutant au produit le refte s’il y en a. Car fi après ces operations , on trouve le Dividende , la Divifion eft bonne,, finon il la faut recommencer..
  - Autre preuve. Ja ^
  - X. ,-L
  - Soit multipliée la preuve du Divifeur par la preuve du Quo* dent, ôcfoit ajoûtée a la preuve du produit, la preuve du reftr s’il.y en a, ôc vous trouverez la preuve du Dividende, fi h Divifion eft bien faite. Ainfi que vous voyez en ces Exemples*.
  - 3 6
  - . 9 * /
  - Divifê. # ^ ^j je
  - Itfvifeur. # h $ $
  - ’*t 5
  - Divifé.
  - Divifeur.
  - *. 2
  - $ ? $ 4->
  - # ? é h 8 [ 1242 j±;
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- - V Arithmétique
  - _ _ <A VERT IS S £ME N T. ™*~,.,
  - '- /f*j,^jm~' 1 1 *2^. ^vyyj
  - icy^le lieu de traiter des Fra&ions ou nombres rompus. Mais dautant que la Réglé de trois peut contribuer beaucoup à ^ ^ rendre leur intelligence plus facile, nous en donnerons icy une '4.*^^c^^i^Tniediocre connoiüance, en attendant que nous fbyons dans le lieu d’en traiter plus particulièrement.
  - f a &eglc de tr°ls 3 autrement de proportion, eft celle qui en-feigne'à trouver un quatrième nombre proportionel à troisqui d°nnez >c e^ à dire que le premier contienne ou foit con-tenu daus le fécond. De meme le trolfiéme contient où eft contenu dans le quatriéme_qu on cherche. Qui eft-ce qu’on appelle quatre nombres proportionels, tels que font,
  - A
  - 3.
  - C P,
  - Vbicy de quelle[maniere on la pratique pour le befoin que noujS en avons prefentement. Suppofons que des quatre nombres A, B, Q D. cy-deflïis, je ne connoiüe point le quatrième que je le doive chercher. après les avoir rangez dans 1 ordre qui les doit rendre proportionels. Multipliez le troi-fiéme C ij par le fécond B 6.&c foit le produit B C. 90. divifé par le premier nombre A 3. le Quotient vous donnera le requâ D. 30.
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- - de l'Ingénieur François.
  - 19
  - CHAPITRE III,
  - £>E L’ARITHMETIQUE ? PRATIQUE des Fractions ou Nombres rompus.
  - PROPOSITION PREMIERE,
  - Contenant la nature & les Définitions des Fractions.
  - PREMIERE DEFINITION.
  - LO R s que l’Unité eft appliquée aux chofes materielles, on la peut divifer à l’infini en Parties égales, une ou plufieurs defquelles on appelle ordinairement Fradion ou nombre rompu.
  - D’icy il eft évident qu’il faut deux nombres pour exprimer une Fradion , l’un qui reprefehte l’Unité divifee en plufieurs Parties égales, St l’autre qui marque la multitude de ces memes Parties qui ont été prifès de l’Unité. En voicy u.n exem- ^ ^ pie en -$• où le nombre inferieur B ( appelle Dénomi- -—* nateur) marqué l’Unité divifée en quatre Parties éga- ® * les, St le fiiperieur A ( appelle Numérateur ) marque — qu’on a pris trois parties de ces quatre qui font en B. Cette définition eft naturelle St claire. Cependant comme les fradions naiffent ordinairement de ce qui refte de la Divifion des entiers* il fera bon que nous donnions encore une définition des rompus, qui fera toutesfois équivalente à la précédente. La voicy.
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- - 20
  - L* drithmetiquê Seconde Définition»
  - Fradtion ou nombre rompu eft le quotient delà Divifion. D’un petit nombre par un plus grand.
  - Par exemple , cette Fraction ^ lignifie qu’un petit nombre F 3 a été divifé par un plus grand G 5.
  - Or il eft évident que cette définition, eft la même
  - que la précédente , puifque c’eft la même chofe de .divifer l’Unité en 5 parties égales *, &: en prendre 3. fuivant la première définition : ou de divifer 3 Unitez en 5 parties égales fuivant la fécondé, ôc prendre une de ces cinquièmes-, laquelle fera le Quotient qu’on demande.
  - Pour bien entendre cecy, concevez que la ligne A B repre-fente les trois Unitez du Numérateur A c- t d‘ , c B Fpaffcs 3 parties c. d. e. 11 eft queftion de divifer A B. c’eft À diree. d. e. en 5 partiesôc prendre une de ces cinquièmes. Pour ce faire il eft -évidentqu’il faut prendre la cinquième de c. plus la cinquième de d plus la cinquième de, e, ôc que ces trois cinquièmes * enfemble latisferont à la demande, ôc donneront une cinquième, de la totale AB.
  - Mais ces trois cinquièmes, quoy que prifes dans trois diver-fes Unitez font égales entr’elles, puifque les trois Unitez d’où elles naiffent font foppofées égales. Or les cinq parties aufquel-les une feule de ces Unitez eft aivifée font aufli fuppofées égales entr’elles c’eft donc la mefme chofe de prendre trois de ces parties dans une même Unité ( ce qui fait la première Définition ) ou de les prendre dans trois diverfes Unitez ( ce qui fait la fécondé. )
  - Vous pouvez encore plus fenfiblement cong^oir^cecy, en
  - cctte ^ar dl,vifez une livre en 5 parties ôc en prenez trois, vOus aurez 12.1. lui-
  - vant la première Définition, ou bien divifez 3 livres, c’eft à dire
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- - de t Ingénieur F fanfms. -rfr- zt
  - 6o £ ci/5,1e Quotient vous donnera encore 11 fols.
  - De ce que deffus il eft aifé de conclure, que dans toute fr$« étion proprement dite, le Numérateur doit être moindre que lé Dénominateur, Ôc que lors que tous deux font égaux , la fraction eft égale à l’Unité j enfin lors que le Numérateur eft plus grand que le Dénominateur , la fraétion eft plus grande que TUnké.
  - Pour entendre bien à fond la nature des rompus, il faut fçar-voir que la différence d’entr eux Ôc les entiers, eft que les entiers contiennentdes unitez abfolües, ôc que Tés rompus contiennent des parties de ces Unitez , qui par çonfequent font relatives à leurs Touts, c’eft a dire aufdites Unitez ; ôc voila la raifon pour laquelle un même nombre peut être entier i l’égard d’un moindre, ôc rompu à l'égaré, d’un plus grand. Par exemple 4 fols font 4 Unitez entières fi on les .confidefeablolument j chacune de f-quelles contient 12, parties ou fractions qu’on appelle démers* mais fl on compare cerinemës ^Tfoîs^vec la livre, ils feront un cinquième de livre. Pareillement 4 livres confiderées en elles-mêmes font 4 Unitez abîoliies * mais fi on IëTcomparc avec une Piftôle qui vaufiflivres , elles feront -f— de Piftole, Ôc ainfi des autres---
  - Remarquez diligemment que lors que cy-apres nous comparerons deux ou .plufieurs rompus enfemble, il faut toujours entendre qu’ils font parties d’une même Unité,
  - PROPOSITION SECONDE.
  - Des dmerfes réductions des FmClibns.
  - IL eft évident par la première définition, que la valeur d’une fraétion ne doit pas être prife de la grandeur des nombres qui l’expriment, mais feulement du rapport qu’il y a du N ume*
  - C lij
- p.21 - vue 31/176
- - 22 ^ V
  - ratçjafa fou Dénominateur, 1;
  - vnetu Ainfi
  - ’Uâ
  - î. 7 ,
  - __ _ _ _t &c. fignifîenc
  - éme choie, ôc font fra^îohs' égales ,dautaitt que le Nume-,teur contient toûjoursla moitié des parties aufquelles l’U ni té, ( qui eft le Dénominateur ) a été divifée : "D^ouiileft aifé de con-clurc^que les fraélionsTjefquelles les Numérateurs ont même rapp6^4eurJDeno5nnatéurs font égales ique celles-là font plus grandes,defquelles les Numérateurs ont plus grand rapport à leurs Dénominateurs, ôcc.
  - . PREMIERE REDUCTION.
  - Réduire une Fraélion donnée en moindre termes quand cela fe peut,
  - PUis qji e foivant ce que nous venons de dire , une Fra-Cfcon ne change ppint de valeur, quand on change fesdeux termes en deux autres, qui gardent entr’eux le meme rapport ÿ il eft évident que fi on divifel’un ôc l’autre de fes termes, par un même nombre , les quotiens donneront une fraCtion égale à la propofée* par exemple la fraCtion g-^f-oii.Ie Numérateur A eft moitié duDénominateurB eft réduite à cette autre en prenant
  - la moitié de chacun des deux termes.Item^ eft réduite à qui
  - luy eft*équivalente, en prenant encore la moitié des deux termes C. D. Enfin peut encore être réduite à cette autre qui luy eft égale — en prenant la cinquième partie tant du Numérateur E, que du dénominateur F. pareillement cette autre fraction £7 eft réduite à en divifant l’un ôc l’autre terme K. ôe L. par 3.
  - Où vous voyez que toute la difficulté de cette réduction con-fifte à trouver des nombres qui puilfent exactement ôtfans refte divifer l’un ôc l’autre terme de la fraCHon propofée, ôc fe feryir du plus grand, lors qu’il y en a plufieurs. Les Arithméticiens en don-Inent une réglé prifedelaz. propof. du 7. d’Eùdide j mais comme
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- - de l* Ingénieur François* 2%
  - cette reàu&iôn n'eft pas abfolument neceffaire, ce que nous en avons dit eft plus que fuffifant pour l’Ingenieur.
  - SEC OjN D E REDUCTION.
  - Réduire me Fraction proposée à un Dénominateur donné\
  - SOi t par exemple donnée la fradion dune livre qu’il faut réduire à un autre dénominateur, à fçavoir. zo : D autant que fuivant l’ordre de nos Princes ôc l’ufage ordinaire, la livre eft divifée non pas en cinquièmes parties, mais en vingtièmes. ba-i
  - Puifque fuivant ce que nous avons dit au commencement de cette Propofition, les fractions dont les termes gardent entr’eux même rapport, font égales entr’elles , dites par la réglé de trois.
  - Si B. donne A. que donnera C il donnera D 5 4. 2.0 16
  - Et parconfojuent la fra&ion eft celle qu’on cherchoit, puis qu’elle eft égale à & que fon dénominateur. C. defigne des vingtièmes, defquellcs il y en a 16. dans le Numérateur. D. c’eft à dire que la rradion £ ou ~ qui luy eft égale vaut 16 fols.
  - Soit p r o p O s e’e cette autre Fra&ion, à fçavoir -J de livre qu’il faut réduire en vingtièmesc’eft à dire en fols* Dites comme cy-deflus.
  - Si 3. donnent z. que donneront zo ? Et vous trouverez c’eft d dire 13. fols, mais il réfte encore de fol, que vous voulez réduire en douzièmes > c’eft à dire en deniers, dites donc derechef par la Réglé de trois.
  - Si 3 donnent 1 quedonneront iz? ôc vous trouverez -—c’eft à dire 4 deniers.
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- - z 4 , L* Arithmétique
  - L’Ingenieur doit icy remarquer, que pour , ne pas faire deux Réglés de troisil doit tout d’un coup réduire la fradion a Tef-pece qu’il cherche * par exemple, pour feavoir la valeur de -J-de toife en pieds ôc en pouces. Il Faut tout d’un coup Ravoir combien cette fradion va'ut de pouces , en; difant. •
  - Si 8 donnent 5 que donneront yz } qui eft le nombre des pouces contenus dans une toife, ôc vous trouverez 45 pouces qui valent 3 pieds ôc ? pouces.
  - Si on jugeoit avoir befoin de lignes .il faudreit mettre au . troifiéme ternie de la Réglé de trois 864. qui. eft le nombre des lignes contenues dans la toife, ôcc.
  - TROISIE’ME REDUCTION.
  - Réduire d un nombre entier une fruéîionp lus grande qu un entier-
  - LO r s, que le Numérateur eft plus grand que le Dénominateur, il eft évident que la fradion vaut plus d’un entier,
  - fuifque par la premlere^deHnition le Dénominateur marque UmteT Ainfi la fradion f-f vaut plus d’un entier , puifqtie l’Unité B étant feulement divifée en trois parties égales, vous en prenez 2.4 dans le. Numérateur A.
  - Cette redudion eft très-facile a faire , car il n’y aqu adiyifer Je Numérateur par le Dénominateur , le Quotient donnera la valeur du rompu exprimée en entiers, * comme icy en divilànt À par B le Quotient 8 donnera en entiers la valeur de la fradion
  - Que fi laDivifion du Numérateur par le Dénominateur ne fe peut faire fans reftqalcwrs la valeur de la fradion propoféeftra exprimée par un entier , joint à une fradion, ainhv.ous reduL
  - ^QUATRIEME
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- - de l'Ingénieur François.
  - QUATRIEME REDUCTION.
  - trouver me
  - z ~
  - 3 C y
  - EJîant donne un nombre entier , joiqt d une fraéîion fraéîion égale d tous les deux enfemble.
  - SOiT l’entier A 3 & la fraction qu’il faut réduire à une (impie fraction quifoit égale à tous les deux enfemble.
  - Multipliez le Dénominateur1 C par l’entier A , ajoutez au
  - Î>roduit le Numérateur B. ôt foit cette fomme égale à D. fous aquelle écrivez le même dénominateur C. & vous aurez la fraction §-égale a l’entier A & au rompu Cette réduction eft ia contraire de celle qui précédé. -g f
  - CINQUIEME REDUCTION.
  - Réduire un entier donné d une fraéîion dé un Dénominateur donné*
  - IL faut premièrement (çavoir que tout entier eft réduit en fraction en luy fuppofant l’Unité > ainfi le nombre 8. eft égal à la fraction ce qui eft manifefte parla première définition.
  - Cecy fuppofé, fi vous voulez réduire votre fradH°n a un dénominateur donnéj par exemple 3. vous n’avez qu a multiplier À 6c B par 3. & vous aurez la nouvelle fraction q1-, égale au nombre donné 8. Vous verrez la raifon de cecy dans Iapre- ^ miere réduction»
  - D
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- - 26
  - S IX lE’M E RJB D UC TI O N,
  - Réduire les FraÛions fro^&sées à m meme Dénominateur,
  - S O i E K T données les deux Fraâions A & B qu’il faut réduire a un même Dénominateur.
  - Soient multipliez entr’eux les I A H B J-gîfi^Sfî
  - Dénominateurs d, £ leur produit 1 ___[_________
  - d £ fera le Dénominateur commun des deux Fractions re-quifes.
  - Eofuke multipliez le numérateur c par le dénominateur f, & vous aurez c f qui fera le numérateur de la fra&ion g. égale à
  - A.-
  - Pareillement multipliez le numérateur e. par le dénominateur d &: vous aurez e d, qui fera le numérateur de la fraction h égale i B.
  - S i vous avez 3 ou davantage de fractions à réduire à un même dénominateur, ayant multiplié tous les dénominateurs les uns par les autres^ vous trouverez le dénominateur commun , & pour avoir chaque nouveau numérateur , il faut multiplier le numérateur de chaque fraction propoféc par les dénominateurs de toutes les autres hormis par le nen propre, & vous aurez lés numérateurs requis. Cette Réglé peut être abbreviée, mais comme elfe n*eft gueres en ufage, nous n’en dirons rien davantage
  - Cette réduction fert pour con- I A H R H j g rri h jfe:
  - noître laquelle des fra&ions propo* j______________
  - fées eft la plus grande5 car apres les avoir réduites i un meme dénominateur, celle qui a le plus grand numérateur eft la plus
  - f;rande, comme icy la fraétion A eft moindre que B à caufe que e numérateur c f eft moindre que le numérateur e d.
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- - ^ de rîngemeurFrdriffîs.____^^ 17
  - Elle eft encore neceilaire pour les Réglés d* Addition & de SouftrâCtion dont nous allons parler. Mais lors que vous au* irez plus de deuxfraCtionsà ajouter ou à fouftraire \ je fuis d'avis quë^vous~àyez recours à la dixtne que nous explique-rons"dâns le Chapitre fuivSc, dautant que la grande multu tud^d^s^adions^qj?!! fautTtrés-fouvent ajouter enfemble, pfincipidtemétitdans les Plofils destoifez-, dôimèrgîe t^op de peinêaTTH^^éurxsut Ce Ceryok de la Méthode precedente, qui eit laTcommuae.
  - PROPOSITION TROISIEME.
  - De P Addition des FraCtions ~
  - SE les? FraCHom qu'on veut ajouteront un meme Dénominateur ril font ajouter enfemble les Numérateurs, âr écrire fous leur famine le même dénominateur. Ainfi te deux Fra-
  - ctions A & B font ajoutées dam la fraction C qui eu eft la
  - foraine; 1 •+*«-!-
  - Mais files dénominateurs font dîffêrens r il fout réduire les Éraétions a un même dénommateur& foire 1*Addition comme cy-deifiiSi Audi pour ajouter enfèmUe-- & -*-+ reduifez-Jes auparavant à&-^- & faifont comme dellus, vous trouverez, leur fomme qui effi -t7- Quand il y a des entiers joints aux fractions, la chofe nenefï pas plus difficile, aisû que vous voyez dans les Exemples foi vans.
  - & Y~~ font enfemble 15^- Item i~ Sc font enfete
  - Me 4-5-.-
  - De meme 8fc - J- font enfembfc ~ ou. bien Et
  - ~ & -J— font enfemble r— . —-
  - Tf-avec i<Hr font 17^- Et: 3-i- avec^—- font ^r.
  - D ij s
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- - 2S U Arithmétique
  - PROPOSITION QJJ ATRIË’ME,
  - De U SoujlraSiion des Fraélians. -
  - SI la fraction à fouftraire a meme dénominateur que celle d’où on la veut fouftraire. Otez le numérateur de celle-là du numérateur de celle-cy , & écrivant au deiTous le dénominateur commun, vous aurez la cUfference requife. Ainlî voulant ôter 4 de 4- il relie 4- ou 4,
  - 5 1
  - . ' 6 ' G
  - Mais, lors que les fradions nont pas même dénominateur, *il faut les y réduire & faire la fouftradion comme cy-deflus, ôc comme vous voyez dans les Exemples lui vans pour ôter 4 de ~i- .reduifez-les auparavant à -4 &4 & le relie fera 4 •
  - J3e -f- ôtez ~~. Il reliera 4. Si de 4 vous ôtez 4 il
  - 4 3 ii 4 S
  - reliera 4 Si de 4 vous ôtez 4 reliera 4 ôte.
  - Si on propofe une fradion à fouftraire d’un entier , comme par exemple, £4 de 8. Il faut emprunter une Unité de l’entier 8. 6c la réduire en fradion 4 qui ait fes deux termes égaux au dénominateur B. puis laifant la fouftradion comme ey-devant, vous trouverez pour .-relîdu 4 auquel ajoutant l’entier moins l’Unité empruntée ? le relidu total f ra .
  - D’icy on apprendra la maniéré de fouftraire une fradion d’un nombre entier joint avec une fradion, & les autres cas fembla-bles que nous omettons, dautant que leur folution n’a pas d’autre difficulté que la precedente. . ;
  - 4 *
  - ----ou ----
  - * 3
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- - 29
  - de 'f Ingénieur François
  - PROPOSITION CIN QJJIE’M E.
  - De U Multiplication des Frottions.
  - S O i T donnée la fradion qu’il faut multiplier par la donnée -L-. les numérateurs A. C foient multipliez l’un par l’autre, ôc foit leur produit E. Les dénominateurs B.D. foient aufli multipliez, ôc loit leur produit ^ z C I E E. le produit E. fera le numérateur Z *
  - delarradionrequife, ôc le produit F fera fon dénominateur.
  - D 6i F 18
  - Si un entier doit être multiplié par une fradion. Il faut réduire l’entier en fraction en luy donnant l’Unité pour dénominateur. Comme icy pour multiplier 8 par faites de 8 une fradion -f- laquelle multipliant par comme cy-devant.
  - Vous aurez ou 5 .
  - Si l’entier a quelque fradion adjointe , reduifez l’un Ôc l’autre en une fimple Fradion par la, quatrième redudion cy-def fus , ôc faites la multiplication comme cy-devant ; par exemple r fi vous avez à multiplier 6 par z*— reduifez 6 en la, fradion-f- ôc 2.—en cette autre .tJ-, Et multipliant-fp^iryous
  - trouverez-f-qui valent en entiers 13-f-j
  - D iij
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- - »
  - Exemples de la Multiplication des Eraflions]
  - 8 i a. qui valent 4.
  - » SC S- *3 3 1 ; -r*
  - s r»:< ^1 4 ; t. « it
  - 7 T ;4 1 -r «î*r
  - *5 R T -équivalent 5:
  - 11-4" 3 T -T,1 OU 40-f-
  - F R O P O S IT ION SI XIFME.
  - De la Divijton les Fmfliàns~
  - Æ ****.*** lês termes tltr Dmfëttr , <feffc à <Bre ^écrivez le Numérateur fouslaligrre, & le dénominateur an dei&s.. Cela fiit multipliez lesdeux Bradions airifi que nous
  - vifer par la fraction
  - Changez, les termes du Divifeur comme nous avons fait en é & multipliez: la fradion donnée -4- par la fradion: ~-le produit g-£ fera fe quotient que: vous cherchez.
  - A 3 D z B a Ci
  - Aj
  - B 4
  - C
  - d"
  - c
  - d 6
  - b c
  - Lots qu’il ft trouvera quelque entier dans le Dividende oui
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- - de F Ingénieur François1 a
  - dans lelMyifcur , ou danstous les deux. Apres avoir fait les mêmes réductions que, nous avons faites dans la précédente Propofïtion, vous ferez la Divifion comme nous venons de la prelcrire en ceHfc-cy. En voicy des Exemples.
  - 4-f par 3 -' 4V- F» -* f par a-i T Par 4-
  - 4 par a 4-4 par 4
  - P.\
  - ®i T par-,,
  - Pr If'. , .
  - f parf^
  - q tfi S- çf
  - I U
  - O-
  - o
  - tïvit
  - T Par'T -î par f
  - f par -f
  - Les Qmtkns, 41 ou i-r-
  - 4 OU 6 .
  - 17
  - -nr<>u^ 4' OU ii OU 20 .
  - Nous ne parlons point des preuves de ee$ quatre dernieres Prppofitions, parce que tout ainfi qu’aux entiers l’Additioiv &c la Souftra&ion fe fervent Tune à l’autre de preuve mutuelle. De meme que la Multiplication & la Divifion.
  - PROPOSITION SEPTIEME.
  - Des Fraflions des Nombres romans.
  - DE mefmequel’Unité divifée en plufieurs parties produit des fractions , ainfi une fraction eft fouvent fuppofée valoir une Unité a & eft divifée en plufieurs Particules qu’on appelle fractions de fractions. Ainfi 4 deniers font une fraction de fraction à l’égard de la livre. Car ils font le tiers
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- - '~&T~ . L Arithmétique
  - d’un fol , lequel fol ,eft fraction %’une livre , a fçavoir un vingtième. ... . ... ; ;;
  - • Semblablement quatre pouces font fra&ion defraftion à l’égard de la toife, puis qu’ils font partie .d’uülpied , lequel eft luy-méme partie de la toife.
  - De ee que nous venons de dire \ il eft lé vident qu'une fraction peut tenir lieu d’un tout a l'égard dune moindre fraction \ par exemple, un pied qui eft fraction de la toife eft un tout à l’égard de 4, pouces, ^puifcpie 4 pouces font le tiers d’un pied. Or ce tiers ^doit etre écrit à l’ordinaire Mais immédiatement apres il< faut’écrire le tout duquel il .eft tiers. Or ce tout eft icy ‘ écrivez donc ~ qui veut dire que *4- eft le tiers de ou ce qui eft la même chofe que la fra^
  - £tion-|~ étant divifée entrois, la fraction -^-contient une de ces trois parties. Et vous remarquerez que ce Tout qui eft icy la fraction £ doit être écrite, de maniéré qu il n’y ait point de ligne entre le numérateur ôc le dénominateur, ôc cela pour la diftinguer des autres fractions.
  - Ce que nous cherchons icy eft de rapporter la fra&ion -4" qui vaut 4 pouces,non pas au pied mais immédiatement à latoifé qui eft le tout primordial. Pour ce faire , dites par la Réglé de trois. 1. L’Unité qui eft icy la toife eft à fa troiliéme partie, ou 4- qui eft J comme £4 eft a un quatrième terme qui fera aufli fa troifiéme Partie.
  - Et que vous trouverez icy De maniéré que la fraction l ] eftant rapportée à la toife vaudra £ £4 c’eft à dire la dix-huitiéme partie de ladite toife.
  - Ai Ci B 3 De
  - Remarquez icy que pour trouver le Numérateur A C 1. Il a falu feulement multiplier entr'eux les Numérateurs A & C* La meme choie pour le Dénominateur B D18, qui eft le produit
  - des
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- - dH, Ingénieur François.
  - desDénominateurs B 6c D multipliez entr’eux.
  - Il arrive fouvent.que^ar pluheurs fubdivifions on trouve des Bradions de fractions,/&c quelquefois davantage. Comme par exemple, la ligne eft fradion de pouce , le pouce eft fradion de pied, 6c le pied eft fradion de la toife. Mais il n y a point de nouveau précepte à donner pour ces fortes de Bradions* 6c vous aurez toujours le Numérateur de la fradion immédiate, en multipliant ( comme vous avés vu cy-devant ) les Numérateurs entr’eux* 6c fon Dénominateur en prenant aufli le produit des Dénominateurs des Bradions de Bradions. Par exemple , fïx lignes que vous exprimerez ainfi feront réduites à une fradion immédiate par fâg^iuki-plications que nous venqrfs de dire , par lesquelles nous apprendrons que lefdites fix lignes font la cent quarente-quatriéme partie d’une toile.
  - A VEK T ï S S E M EN T.
  - Auparavant que de paffer outre , nous eftimons qu’il fera utile au jeune Ingénieur de l’exercer dans plu-jfieurs petites Queftions , dont la folution dépend des Réglés que nous avons jufqu’icy données , tant pour les entiers que pour les Bradions.
  - QJJESTION PREMIERE.
  - DE quel nombre faut-il fouftraire 64. afin que lerefte foit 81? Ajoutez enfemblet^4 6c 81. leur fomme 145 fera le nombre requis, duquel lî vous ôtez 64. il reftera 81.
  - La même en Fraftions.
  - De quel nombre faut-il fouftraire -L afin que le r eft e foit 1 z~~ î Cette Queftion eft la meme que la precedente. C eft
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- - 24- fL’Arithmétique '*
  - pourquoy ajouter enfemble 12, ~~ leu* fommér}-^ fera
  - lé nombre requis, duquel fi vous ôtet J- if reliera iz 4-.
  - QUESTION SECONDE.
  - QUel Nombre faut-il fouftraire de 104 afin que le relie fait 41 ? Souftrayez 41.de 104. & le refidu 63. fera le nombre que vous cherchez.
  - La mime en Fraflions.
  - Quel nombre faut-il ôter de 4-afin que le relie foit -j- ? Souftrayez de -f & le refidu qui eft fera le nombre que Vous cherchez, qui ôte% de-f- il reliera-f-.
  - .>.
  - question' troisifme.
  - O U el Nombre faut-il ajouter à 47. afin que le total foit ioi > Souftrayez 47» de ion 8c le refidu 54. fera le nombre cherché.
  - La meme en Fr a fiions.
  - A quel Nombre faut-il ajouter -j~\- afin que leur fbmme foit 15——Souftrayez 7-4- de 154- & le refidu 7-^fera le nombre cherché.
  - QUESTION QUATRIEME.
  - QUelle eft la différence entre 105. 8c 45>4JL^$!5Srayez le moindre nombre Z05. du plus grand 494. U refidu z8? lera le requis.
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- - àt l'ingemtw Funçots* $ /
  - La même en Fraéîms*
  - Quelle eft la différence entre 17 i- U u^7 ? Souftrayez n -J-de 17 Le refidu fera la différence requife.
  - QUESTION CINQUIEME.
  - QU £ l Nombre doit eftre divisé par 19. afin que le quotient foit 8. Multipliez 19 par 8. ôc le produit 152.. fera le re-
  - quis.
  - La mefme en fraéliom*
  - Quel Nombre Aoit être divisé par --afin que le quotient foit 6-~. Multipliez —par * Sc le produit 5 -J~fatisfera i la Queftion.
  - QUESTION SIXIEME.
  - QU EL eft le nombre qui contient les de 9<f.
  - Dites par la Réglé de trois, comme l’Unité eft a -£• parties de l’Unité rainfi 96 eft i parties de 96, que vous trouverez eftre 84.
  - La mefme en Fraêliom.
  - Quel nombre contient les ~ de Dites par la Réglé de trois.
  - Comme l’Unité eft aux deux tiers de l’Unité. Ainlî G-j eft aux deux tiers de 6 que vous trouverez eftre 4 .
  - E ij
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- - 3<î
  - UArithmétique
  - QUESTION SEP TIE’ME.
  - PA r quel Nombre faut-il divifer 432,. afin que le quotient foit 16} Divifez 432,. par 16. le quotient 2.7 fatisrera à la Queftion.
  - La mejme en Frafiions.
  - Par quel Nombre faut-il divifer afin que le quotient (bit
  - Divifez -7- par 3JL.. Le quotient ^ fera le nombre requis , par lequel fi vous divifez ~ le quotient fera 3-—.
  - QUESTION HUITIEME.
  - 36
  - PA r quel Nombre faut-il multiplier 15 afin que le produit foit 35 î
  - Divifez 35 par 15. le quotient i-j- fatisfera à la Queftion.
  - /5 La mejme en Fra fiions.
  - Par quel Nombre faut-il multiplier afin que le produit foit-f- ?
  - Divifez par —. Le quotient fera le Nombre requis , par lequel fi vous multipliez le produit fera-—.
  - QUESTION NEUVIEME.
  - TRouver deux Nombres, qui multipliez entr’eux pro-duifent 45 >
  - Divifez 45 par quel nombre il vous plaira -, par exemple, par 6> le quotient 7-f- & le Divifeur 6 fatisferont à la queftion.
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- - de t* Ingénieur Ftdnçois.
  - La me fine en Frottions.
  - Trouver deux Nombres, qui multipliez entr’eux produisent 3 f.
  - Divifez 37- par quel Nombre il vous plaira -, par exemple, par ~~ le quotient ou 16 ~ 6c leDivifetfr ~ fatisferont a la queftion, puifque 1 un étant multiplié par l’autre, le produit cft-£ ou$JL.
  - QUESTION DIXIEME.
  - Sç A v o 1R quelle partie eft le Nombre iz du Nombre znr.
  - Divifez iz par zi*. le quotient marquera que il eft la dix-huitième partie de zi*.
  - La mejme en Frottions.
  - Sçavoir quelle partie eft -4- de ? Divifez la fra&ion ~ par-*-. Le quotient-^-marque de quelle maniéré -f- eft contenu dans
  - QUESTION ONZIFME.
  - TRouver le nombre dont 9 fait la cinquième partie?
  - Dites par la Réglé de trois, comme de l’Unité eft
  - à 1* Unité, ainfi ? eft a un quatrième terme 45.
  - AV/-? ruzs^ ‘e
  - La mejme en Frottions,
  - Trouver le nombre dont—- fait les -J . Dites par la Réglé de trois, comme --font à l’Unité. Ainfi -f- a un quatrième nombre requis 4 . E iij
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- - 38 . L'Arithmétique
  - QU ES TI ON DO UZIÈU E.
  - REduire ai livres aine femme donnée de deniers éfyzi Reduifez-U premièrement en fols en la divifant par Le quotient vous donnera 571 fcdsjtfque&s divilant par 2,q»vous trouverez iB. livres n Xdk»
  - CHAPITRE IV*
  - DE L’ARITHMETIQEJE , H AT IQJEJ E-
  - des Fractions Décimales-
  - rvu oîque les Fractions que nrxus venons d’expliquer V jrfoient les plus univerfelles &: les. plus naturelles : Neanmoins leurs operations font quelquefois un peu longues & em-barafsées j c’eftcequi a obligé les Sçavans , comme par exemple > les Aftronomes à y chercher des Abréviations. Mais il n’y en a point qui foit comparable ny chez les Anciens ny chez les Modernes à l’invention de l’illuftre Stevin Ingénieur du grand Prince d’Orange * laquelle nous allons expliquer.
  - PROPOSITION PREMIERE*
  - Définition des Nombres de U Dmme*
  - LE s Nombres de la dixme fuppofent que l’Unité de quelque nature quelle puifle être , eft divisée en dix parties égales y qu’on appelle Primes. Que chaque Prime eft fubdivisée en dix parties, qu’on appelle fécondés* Chaque fécondé en
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- - 39
  - de I Ingénieur François.
  - dix tierces. Et ainfi i l’infini
  - Ol 5
  - ii ni iv 6 S 4.
  - b c d
  - C fécondes ou
  - a fignifie $ Primes ou b w vu -7^-. cx
  - 8 tierces ou ~0- & d : 4 Quartes
  - Où vous voyez que les Dénominateurs de tous ces rompus n’ont que des zéro precede^par l’Unité. Mais on fupprime tous ces DénominateurSw^Ôn les marque ordinairement au deflixs de chaque Figure comme vous voyez en a,, b. c. d, ou ce qui efl la meme dnofè, on les fbus-cntend,pour éviter la con-fufion,ôc on fepaCe feulement les entiers d’avec les décimaux par cette marque [ qui dénote que toutes les Figures qui font fur la gauche de cette ligne font des nombres entiersTBc^Ues qui font fur la droite font des nombres de ladixme: Ainfi 45 f 4^. figjij-fie 45 entiers 4 primes & z fécondés. Ce quon peut écrire éfi cette maniéré 4 5 4iliv./ ou en celle-cy 45-42.
  - Auparavant que d’entrer dans les operations, nous devons /. , remarquer "trois Axiomes dont nous aurons fouvent befoin cy-après.
  - i°. Pour écrire une fradion Décimale à la maniéré des fra- __t
  - étions vulgaires, fon Numérateur fera la fradion même, & fon Dénominateur fera l’Unité fuivie d’autant de zéro que ladite fradion a de Figures.^Ainfi la fradion^o \a^78 équivalente à celle-cy-^,70* rac
  - gaires en cette maniéré 45^ &c. ^ ___________________
  - 20. Si à un nombre entier vous*"pfépoîez vers la droite plu-fieircs zéro , vous ne changerez pas pour cela^f^valeujr^pàr exemple 4 ne change point de valeur en écrivant 4(000. c’eftà dire4 Unitez, nullesprimes, milles fécondés, milles tierces. La meme chofe arriyeroit fi le nombre entier avoit des Décimaux ajoints. Ainfi 4 j^Tœnferve fa même valeur en écrivant 4 [ 500 : car il fignifie toujours 4 entiers 5 primes, milles fécondés, nulles tierces, &c.
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- - 40 U Arithmétique
  - 3°. Si la fuite des Décimaux eft interrompue, de qu’on la remplifle de continue par *des zéro, la valeur defdits nombres n’en fera point changée comme en cét Exemple > Deux entiers, 4 primes de 8 quartes , conferveront la meme valeur fi vous les écrivez, comme vous voyez dans l’Exemple A
  - Ces Principes fuppofez, paflbns maintenant aux Operations.
  - AÎ i
  - tmwAf
  - IV
  - Htir>-*
  - ^ 4«oé
  - PROPOSITION SECONDE.
  - De FAddition des Frottions Décimales.
  - QU E L QJJ e F o i s ces FraéHons fe trouvent feules,de quelquefois jointes à des entiers, ces divers cas ne feront aucune nouvelle difficulté. C’eft pourquoy l’Exemple luivant fu£-lira pour l’intelligence de cette operation.
  - Qu’il faille ajouter enfèmbleles Fractions Décimales A. B. C. D. entre lefquelles A. B. de D. font jointes à des entiers.
  - Ecrivez les nombres de même dénomination les uns fur les autres , de fuppléez fi vous voulez les places vuides par des
  - A 45 1 | 004
  - B" 7 I poo
  - C. .. 1 85047
  - D 9 J 52.
  - E 63 1 27447.
  - zéro, par l’Axiome z.prf'comme nous avons fait en B. ou fous-entendez les. Et faites l’Addition comme aux nombres entiers, de vous trouverez icy que cette fomme eft le nombre marqué E. / ^ y
  - ^n.— #i. a- *— ------
  - Li
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- - 4*
  - nimr
  - ois.
  - PROPOSITION TROISIEME.
  - De la Souflrafôion. des fraffions décimales.
  - E
  - TLife' fe fait encore comme fa Souftra&ion des entiers-.**&•&**
  - apres avoir écrit les nombres^de même dénomination
  - A 451004^3^^^
  - l’un fous l’autre. Comme dans cet Exemple ou B. étant fouftrait de A. il relie C. Remarquez icy que nous avons remply avec des zéro les places vuides du nombre A-. parcl’Axiome $. & que* nous avons continue B* par un *@r© ,*pàr le fécond. »,
  - B 7(p/o
  - ------—
  - c ^|oj4
  - rt VM//J
  - Soit je-: nombre entier.i>/ duquel) il ïaüT otér^^iorrfbre E. »
  - compQféd’ep^ers.& de.îi:a6fibns décimales! Pre- w ' * * *
  - pofezà l’entier D-.^ersda; droite autant de zéro, qu’il eft neceffaire pour faire cette fouftraétion par faxiome i. & vous trouverez F. refidu ou différence requife.
  - J
  - OOO f-
  - ?t! 4 y
  - -------;---****>*-'
  - F 42.roz6 i
  - G
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- - L’Jrithmefttpt*
  - 4i
  - AVERTISSEMENT.^
  - ï
  - ' L cft important d’avertir ceux qui commcjK^n^qu en tout nombre foit entier ou rompu, il faut rôûjours que celuy queTôh veut foufiraire fo^t^us^petft que celuy duqijd on ^ veïïFSïreTa fôultraéHon.^Ce qtîfnarrive pas danslaTHvmon, car tout nombre qui djvife peut fans inconvénient être plus grârid ou plus petit queleaivife. Et cela fe doit cntendrenon-feulementdes Fractions décimales dont nous traitons icy, mais encore de celles du Chapitre precedent, & de celles du Cha-
  - pitre fuivant.
  - LA*-
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- - de FIngénieur François.
  - 4.i.
  - PROPOSITION QJJATRIE’ME,
  - De U Multiplication des fraflions Décimales.
  - FA i T E s la Multiplication de meme que fi c étaient des nombres entiers, Et donnez au produit autant de figures de bradions Décimales que le multipliant & le multiplié en
  - avoi^g MjfegMs^P^MnRle^ur^multiplier A. 4 |io3. par B5102.. Ecrivez A comme vous le voyez. c'
  - En C & B comme vousje-voyéz en D. c’eft à dire comme ff?etoient des entiers, ôc marquevfau AtiTusjxir unCarader e different •IcnoînlSfe*àSi3eéimaiK de l’un &
  - 1 GO | v*. fc» | O O » * - j
  - 2 % 4 O 6 10150
  - E2I 09906.
  - lUl.Vj GJXlvy V. ajJtwavwu va*** *a uiviuw^uw vu*.
  - tiers ôc trouvé le produit E. retpâlchez eh 5 Figures fur la droite, c’eft à dire donnez-luy.cinq Figures Décimales, fuivant le prprepteAr ainü qu’il jeflf marqué par la figure v..& ledit produit contiendra 2.1 entiers ôc 0990^. v
  - *5
  - entier
  - ayant trouvé le produit H. comme cy-devant,& en^aymt retranché deux figures Décimales , vous ‘ ^ iî:
  - aurez pour ledit produit H 13 63 entiers, Igs deux zéro ne lignifiant rien en cét endroîtTPàïeillëmentIfVou&multir. pliez 42^ntiers par ijotf. vous trouvé xez au procfei^44152,, ôTaîîrfrde^adtresv
  - 'Z. 1 'TL 4
  - Z.
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- - 41
  - L'Arithmtûqm
  - PROPOSITION CINQUIEME.
  - De la Divifim des fractions Décimales*
  - /U>fa~ » l faut premièrement fçavoir que le Dividende ne doit ja-[ mais avcfîr un moindre nombre de Figures Décimales que lé Divifeur ; mais qu’il en doit avoir pour le moins autant , 8c meme davantage fi on veut trouver un quotient fort exaét,
  - —griors que le fufdk4 Dividende n’aura pas le nombre fuffifant de figures Décimalesy il ny auraquà luy appofer un ou plu-ïièurs zéro fuivantTÂxiome z. Cecy fupposé, faites la divi-fion comme aux nombres entiers , 8c donnez au quotient autant de figures Décimales, que la différence qui Ce trouvera entre la multitude des Décimaux du Dividende, 8c la multitude des Décimauxdu Divifeur, contiendrad’Unîtes.
  - (c*{?
  - A. o B o
  - 188
  - Exemîle I. Soit a ditifer le Nombre Décimal A. .par le Décimal
  - B. La Divifion. étant faite a la maniéré ______________
  - des entiers foit le quotient C. Pour luy affcner la quantité des figures décimales qui luy conviennent, dites qui de trois (Nombre des figures décimales du divisé) fbuftrait z. ( nombre des figures décimales dudivifeur ) il refte u Et par confequent le quotient C contiendra une feule figure décimale : & vous l’énoncerez ainfi deux Unitez entières plus 4 primes ; c’eft a dire z ou 2~- 8c ainfi dans toutes les autres divifîons.
  - Exemple IL Soit àdivifer l’entier A is44spar B z [5, Ajoutez un décimal au nombreA afin A. 15445S / qu’il n’en ait pas moins que fbn divifeur B. 25. \ ’
  - B. La divifion étant faite le quotient eft_'__________
  - C. qui fuivant ce que nous avons dit doit être un nombre en-
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- - de tlngenkm François. 43
  - Remarquez que fi apres cette Divifîon ilétoit refté quelque CÏïofe y il aurait faiu appofer au nombre À encore un ou plu-fieurs zéro > ainfi qu’en l'exemple fuivant où le dividende D. 15446 différé du precedent A feulement de l'Unité le divi-feur B zj5 eft le meme.
  - No^avo.Qs.icyçûsaude- . D. *544<foa
  - vant du divise D deux deci- I —— -----------f p
  - maux > à fçavoit o q. Et par 1 R* x | 5 \
  - cpnfeqiient le quotient F. doit ' !" '
  - avoir une figure décimale. Autre Exem el e S oit à di~
  - vifer 3 ] 4 par. o |oo8, ajoutez au dividende* 1 - --
  - 3 J 4 deux 00 pour avoir 3400. c’eft à dire pour, le moins autant de décimaux que le divifeur 8
  - ---- * -rt--L T O Afl-'int*
  - 340of g ,4^
  - l
  - juïêfteénséen avoir trois. lidivifion eftant faite le quotient
  - ^S’ily atoûjours quelque reïïeea fa drvifionyil faudra donner tant de zéro au dividende, qu’à lafin ce refte devienne de nulle eonfequence -, ainfi pour divifer 3 par 7 donnez au dividende 3 cinq o. pour avoir 3}00000 & vous aurez au quotient o 14 a g* 5 7, ou ilrefte à là vérité quelque chofe , mais qui cft infenfible dans la pratique la plus rigoureufe. .
  - Il arrive fduvent que le premier cara&ere décimal, eft un o. ce qui peut arriver au fécond & au troifiéme, &c. ainfi en divi-fem i par 4». le quotient fera o J 041*6 endormant 5. zeroai* dividende à*-
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- - 44
  - L'Arithmétique
  - /etcÀ'/*<* 'l*f 'T-'-jb*y^'f’'À'c~7 U^^p>.
  - PROPOSITION SIX IE’ME.
  - De la maniéré de réduire me Fraêlibn 'vulgaire en une Décimale ou jufle ou Ji approchante dujufle quon 'voudra.
  - S O i T la Fradion qu’il faut convertir en Décadique. Il eft évident que toutes fradions font Decadiqugs*, lors qu’elles ont pour dénominateur l’Unité A 5 D 6 z 5 o
  - frecedée d’un ou piufieurs o. fuivant Axiome 1. £c par confequent tout l’ar-
  - B 8 C 10000
  - tifice de cette redudion confifte à changer la Fradion en une autre, dont le dénominateur foit C. ( Remarquez icy que je donne à C autant de o. qüe je le juge à propos, Sc plus que moins. ) le dis donc par la Réglé de trois fuivant la fécondé re-dudion des Fradions vulgaires.
  - Comme B 8. eft à A 5. ainfi C. 10000. eft à D. £2.50. & vous avez la fradion que vous pouvez réduire en décimale. D. o J 62.50. fuivant le fusdit premier Axiome. Mais il eft mieux de iupprimer le zéro des Quartes, & d’écrire o | 6z5. Ce zéro fupèrflu nous eft arrivé , dautant que ne fçaehant pas combien Je dénominateur C en devoit avoir , nous avions mieux aimé iuy en donner plus que moins.
  - Remarquez icy que la pratique de cette redudion eft fort courte, puifque nous n’avons fait qu’ajouter au numérateur A le nombre de o. que nous avons jugé îuffifant, pour le divifer en fuite* par le dénominateur B.
  - Ainfi pour réduire en, une fimple fradion décimale z pieds 7 pouces, qui font 31 pouces , c’eft a dire i^detoife { puifque la toife contient 7z pouces, ) donnez au Numérateur 31 autant de o. que vous fouhaitez avoir d’exaétitude. Par exem-
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- - de l* Ingénieur François. 4$
  - pic quatre, & divifez 310000 par 72, le quotient 0J4305. don* nera la fradiondécimale que vous demandez, que vous auriez pu rendre plus exade en ajoutant cinqo. au Numérateur 31. mais cela auroit été inutile.
  - Vous trouverez de même manière que 7 fols & n. deniers valent o ( 39583. d une livre.
  - PROPOSITION SEPTIEME.
  - De la Reduélion dune Fraélion Décimale , en une fraction vulgaire £un Dénominateur donné.
  - CEtte Proportion ne différé poiift de la fécondé réduction des fractions vulgaires contenues dans la fécondé Proposition du Chapitre troifiéme de cette Arithmétique. C’eft pourquoy nous nous contenterons d’en donner icy un Exemple. Soit proposée la fraction de.cimale A.o ]7<? d’une livre} c’eft à dire 7t6o-. Puis qu ordinairement on fouhaite aller jufques aux deniers dans les fradions de la livre. Il eft évident que vous voulez changer cette fraction en un autje qui ait" pour dénomininateur 2.40, c’eft a dire le nombre des denÜs contenus dans la livre. Dites donc par laRegle de trois. Comme 100 font à 76. ainfi 2.40 font à iSz. & vous trouverez que cette fradion J*ao eft- égale à c’eft à dire à 182, deniers un peu plus, & divifant 181 par 12, vous aurez 15 f. z. d. pour la valeur de ladite fradion A o 176 d’une livre exprimée à la maniéré accoutumée. Voyez la fufdite féconde redudion des fradions vulgaires contenues au Chapitre 3.
  - AVE RT IS S EM EN T u
  - Les Redudions mentionnées dans les deux precedentes Pro-
  - F iij
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- - 'V7 X,
  - c
  - AVERTI SS EMEUT
  - Pour fefervir de la dixme avec plus de facilité r il faut divifer la toifeen départies égales que nous avons appellées primes, ôc chaque prime en dix fécondés.
  - U faut de plus fuppofer que la livre foit divisée en dix primes, ^^cEicüne defquèllèsvaudrari fols chaque prime en dix fécondés, ôcc.
  - Les foliyes, les pieds de gifle, les fcaf, ôcc. feront auffi di~ Yifez OU fuppofez Péflre de la meme manière, ôc généralement toutes les mefures & poids dont l'Ingenieur fè fervira, foit pour la chaux, le charbon, ou autres Matériaux; Ce que faifant, il ne rencontrera jamais de fractions dans fes Calculs.
  - Tout ce qui nous reffié à faire iey eft de donner quelques exemples de Pufâge des Nombres décimaux, ôc comme ceux la quatrième Proposition, fuffifent pour multiplier une li~ e par une autre, ou une fuperficie par une ligne,.
  - Nous nous contenterons d’en apporter icy quelques-uns de là Multiplication des toifes, pieds & pouces par livres, fols ôc deniers , ôc attëridrons a donner~des~Exëmpîet~deia"Pivjfion dans lé Chapitre de la Réglé de trois, où ils feront expliquez glus commodément ôc plus clairement.
  - Exemple Premier.,
  - Multiplier À. 487, toifes par B. 7. liv, iz. fois, Ils eff mani-fiefïe par là fixiéme Propofition, que iz C valent o \6 de livre, ôc par. confeqpent multipliant A par B le produit C donnera le
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- - de T Ingénieur Françoü.
  - ^cqi|ijj|cii retranchant îa figuré décimale 2,. fiiivant les réglés de la Multiplication. Cette Figure z. par la precedente Propofi-tion vaut 4fals , ôc par conlequent leprp-dluit fera de 3701.ÜV. 4.f.
  - B . . . 7 $
  - 2 9 2 Z 3 4 0 9
  - C.- 7%o 1)3
  - Exemple IL, * ^
  - Multiplier À. 542, toifes par B. &.IiV. 15. fbïsr. Par la fikiéint Proposition j les 15 fols valent én dfxni£| i: **•
  - of’75 dune livre. Multipliant donc A 54*. | par B 81 75 le produit C ( reduifant fes fradions aux ordinairés ) donnera 47^2;. livres io.. fols.
  - A»
  - B f
  - 5 4 2 S 7 5
  - 27 IO 3 7 0 4' 4 3 3 0
  - 7 4 2ÎS O
  - Exemple IIL
  - Soient a multiplier A* 45 toifes par B 8 liv. 15 C 7 d. Redut fez 15 Cjd.eà décimaux, cm par le$ Réglés precedentes, ou par la Table qui eft cy.apres, & vous aurez o 177010 y & le nombre B fera 8177010 que vous multiplierez pat A• & vous aurez Ç.305 liv. 1 f. 3. dL
  - & a 7 7 9 i 6
  - A ,__ 4 5
  - 4 3 8 9 5 80 3 5 1 I 6 6 4
  - C* 3 9 5 J Ô 6 ,
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- - 48
  - L Arithmétique Exemple IV.
  - R 498 8 7 $
  - _____ A........ i 6-4-6
  - a b. Z 9 9, 3 2 5 o a b 4 9 8 8 7 5 pour 3 • pieds, z 4 9 4 3 7* ‘
  - pour i pi.6 pou. i z 4 7 i 3.
  - C. 8 J 5I 6 I 5 6
  - Trouver combien valent A. 16. toif. 4 pi. 6 pou. à raifon de B. 49. liv; 17, jf. 9. d. la toife.
  - Cette operation fe peut faire en redisant les deux firmes A & B. en nombres décimaux \ mais d autant quelle feroit trop longue , ileft mieux de n’y en réduire qu’un. Je choifis B.d’au-tant que la Multiplication par
  - les parties aliqüotes ( que vous #‘------------------—:-----
  - apprendrez dans le Chapitre fuivant, 8c qui peut tres-bien qua-drer avec la dixme ) en deviendra plus aisée.
  - Soit donc B. 49 liv. 17. f. 9. d. changé en B. 4918875 , lequel multipliant par A. comme vous voyez., vous taouverez C. qui vaut 835.liv.iz.C 4-d.
  - Remarquez cependant icy que ces fortes d’operations, feront plus aisément & plus promptement laites par les Réglés du Chapitre fin1vant, &: que les fractions vulgaires que vous voyez exprimées dans cét exemple auroient pu être négligées „ fans crainte d’aucun erreur. ’
  - Chapitre V.
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- - Je ttngmim Frwfeh,
  - #
  - CHAPITRE V.
  - DE L’ARITHMETIQUE PR ATIQUE^S^*^
  - - £ * -*vv
  - La Logifiique des Nombres de diverses e/peces.
  - LE S Nombres décimaux que nous venons d’expliquer abrègent merveilleulement les Calculs , & il èft inutile de rien elperer de plus courte principalement loriqu ii s'agit de là Re-_gfi£*= ffle deJIxois 1 ou^deçalculer les Lignes d’une Porter elfe par k Trigonométrie, ou de la traceDibr lejcerrein. Ils ont cepen- rwffr-
  - dant ce défaut, qüe*dans^gdelqlresMultipucïtionsylâTtrop^f^^^^T grande quantité de leurs figures embaraile i ingénieur. Outre que les Entrepreneurs ne manqueroient pas de fe plaindre s’ils voyaient melurer leurs Ouvrages avec uneToifedivifëeendix»^
  - C elt pourquoy lorfquil eft queftion detoifer définitivement, c’eft quafi. une neceflité de fc fervir d une autre Méthode , 6c
  - qui ne loir pas fufpe&e aux Entrepreneurs. C’eft ce que nous
  - allons expliquer dans çe Chapitre ^que nous appliquerons ^‘ “ :s de i
  - uniquement à la Toife, à la Livre, & aux parties de lune Sc de 1 autre ; quoy quil puiffe indifféremment convenir à tous les Nombres appliquez à k matière , divilee dans les mêmes ouiemblables parties.
  - La Toile eft divilee en 6. pieds, chaque pied en u. poucesj chaque pouce en iz. lignes, & nous divilons chaque ligne en n. points.
  - La Livre eft divilee en ao. lois, le loi en u. deniers,qui eft ordinairement la derniere divifion. Mais pour montrer l’exa-étitude & la brièveté de mes Méthodes f je divifele denier en____—
  - Ù. mailles, & la maille en n. oboles.
  - G
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- - J*
  - 11 Arithmétique
  - PROPOSITION PREMIERE.
  - DE D ADDITION
  - Exemple Premier;
  - Pour les Livres y Sols. (djr Denierd
  - CEtte Addition dlfee 4e celle que nous avons expliquée pour les entiers, en. ce. qu’autant de fois gue^MQUS^ trotté verez il daas garder r fol, pour le join-
  - dre avec les fols : Ôc autant ae fois que vous trouverez l dixai-nés dans les fols, il faut garder une livre,pour la joindre avec les livres.
  - Soient donc propofèz à ajouter tant de nombres qu on you-. dra. Par exemple,, les trois. A, B. & qui contiennent des Tir vres, des fols & des denierSi
  - Ayant difpofé lés nombres de même dénomination les uns fous les autres y èc à la maniéré enfeignée dans '
  - T Addition des entiers , je commence par les deniers, & je dis 9 plus 8 font 17. ôc 17 plus ii- font 2.8. Je pofe 4 deniers Ôc retiens z fols.
  - Enfuite,.je paflè aux premières figures des fols, ôc je dis fols retenus, plus 1 font 3. & 3 plus j font 8, ôc 8 plus 7 font ip Je pofo 3 fols fous les premières figures des fols & je garde r pour le joindre avec les dixaines des fols en cette forte , 1 retenu plus 1 font l_, ôc l, plus 1 font 5. qui font 3. demy livres. Je pôle done-une- dixaine qui vaut une demy livre , ôc je retiem ï livre, pour là joindre avec les livres..
  - livres
  - 4M -13~ 9 -
  - fils den.
  - 17 — r®
  - 15 »
  - I----- s
  - DI448—1 y— 4
- p.50 - vue 62/176
- - de Hlngen'wlY François, ji
  - Enfin, je viens aux premières figures des Livres où je commence l'Addition par celle que j*ay retenue, & qui eft provenue des fois* & continuant fuivant les préceptes expliquez dans J-Addition des entiers* je trouve que la fomme totale eft D, 448 liv. 1 s C 4 d.
  - Exemple' II.
  - Tour tes Toifes, Pieds y Pouces Vignes.
  - Disposez comme cy- deflus les nombres de même dénomination les uns fous les autres, & commençant par les Lignes, autant de fois que vous trouverez 1 z. retenez 1, pour le joindre avec les pouces, dans lefquels faites la même chofe ; c c& à dire, autant de fois que vous trouverez 11,retenez 1 pour 1e joindre avec les pieds, & dans les pieds autant de fois que vous trouverez 6. retenez 1, pour le joindre avec les Toifes.
  - Soient propofez les quatre nombres A. B.*C. D. qu il faut ajouter enfemble.
  - Commençant par la Colomne k, qui eft des lignes, je dis ; La Colomnek vaut 34,&parconfe-quent je pofe 10 & retiens z pour la Colomne H , à laquelle arrivant je dis : La Colomne h vaut 35, qui avec z que j*ay retenus font 37. Donc je pofe i retiens 3. pour la Çolomne g. .ou étant je dis, la Colomne g vaut 16, qui avec 3 que jay retenus font 19. ie pofe 1 & retiens 3. pour le joindre avec les premières figures des toifes , l'Addition defquelles continuant, comme nous lavons expliquée dans les entiers, je trouve que la femme totale eft E. 1130 toifes 1 pied 1 pouce 10 lignes.
  - Si vous voulez vous loulager la mémoire , & faciliter les
  - G ijj
  - toifes fi. fo. lk*
  - A 154- -S — 9 7
  - B 1045 ~ -4 — 8 9
  - C 11- — 3 11 — 8
  - D 6 4 -,— 7 10
  - f g h K
  - E[ 1130 - — j — 1 10
- p.51 - vue 63/176
- - L'Jnthmetume
  - grandes Additions qUi arrivent tres-louvent dans les calculs dé Fortification, confultcz lAvertiffement que nous avons donné à la fin de 1 Addition des entiers, & fouvenez-vous que dans les lignes & lés pouces pour chaque 11. il faudra marquer un points mais dans les pieds pour chaque 6> &c.
  - PROPOSITION SECONDE;
  - DE LA SOV STR A CT 10 ET.
  - ECrivez le moindre Nombre fous le plus grand, en forte que les parties qui font de même dénomination foient les unes fous les autres, 6c foufirayez les inferieures des fiipe-rieures, quand cela fe peut ; mais lorfque les inferieures excédent les fuperieures, vous ferez à peii prés comme nous avons dit dans les entiers, en cette maniéré.
  - %
  - Premier Exemple^*
  - Pour les Livres, fols $ deniersl
  - S O i T le Nombre A. duquel il faut fouflraire le Nombre B.
  - Ayant difpofé lun & fautre, comme nous venons de dire, je commence par la Colomne D. qui eft des deniers,
  - & je dis, qui de 6 deniers veut payer 8 deniers ne peut, c’cft pourquoy j’ôte lefdits 8 deniers de i fol ou u deniers &refte 4. que j’ajoute aux 6 deniers du nombre A. & jay 10 deniers, que j’écris fous la Çolomne D. 6c je retiens une unité, à caufe que j’ay donné 1 fol pour en faire la fouftraélion de S •deniers.
  - livres fols de»:
  - A 14 J 3~ — 6
  - B ?8 I7 8
  - L. S. D.
  - c 1146 — 5 IO
- p.52 - vue 64/176
- - 'de Hngenieür Franpisl
  - Je pafle à la Colomne S. qui eft des fols, & où je trouve 17 fols aufquels ajoutant le fol quege viens de retenir, j ay 18 fols, 6c je dis qui de 3 fols veut payer 18 fols ne peut, c eft pour-quoy jefouftrais lefdics 18 fols dune livre ou 2.0 fols,&ilrcfte % fois, que j’aioûte aux 3 fols du Nombre A. 6c j ay 5 fols que j'écris fous la Colomne S. & je retiens une unité, à caufe que j*ay donné une livre pour en faire la fouftraéfcion de 18 fols.
  - Enfin je viens à la première figure des Livres, à la Colomnë L. où je trouve 8 livres, qui font avec une livre que*) ay rete-; nue 9 livres, & je dis qui de 5 livres veut payer 9 livres ne peut,' 6cc. Et continuant foivant ce que nous avons dit dans la Sou-ftra&ion des entiers , je trouve pour refidu le Nombre C 146 livres y fols 10 deniers.
  - Second Exemple/
  - Pour les Livres, fois O* deniers.
  - CE T Exemple naaucu ne difficulté qui ne foit éclaircie dans le precedent, & nous le donnons feulement comme un cas, ainfi que le fuivant.
  - Si du nombre A livres 114J ~ fois den* 0 — 3
  - Vous ôtez le nombre B 67 — 8 ~6
  - 1 L S D
  - Il reftera C | 77— il —$
- p.53 - vue 65/176
- - J4
  - L*Arithmétique
  - Troisie'me Exemple,
  - Pour Us Livres, &c,
  - livres fols déni
  - SI du nombre zoo— o_______o
  - Vous ôtez le nombre 96— 17 — 5
  - Il reliera 103— z — 3
  - \ 11 .. ———------3
  - Quatrième Exemple.1
  - Pour les Toijès, pieds 3 pouces & ligne si
  - L A différence qu'il y a de cette Squllraôtion à la precedente eft fi petite,qu il fuffirad’en apporter des Exemples.
  - Totfes pieds pou. Ug.
  - Si de 143 -— z — 8 — g
  - «Vous ôtez 8f>---3 — 10— 8
  - |1 reliera $$—4— 9 — 10
  - Ç1N qu. 1 yME Exemple.
  - Pour les Toijès} &c.
  - Totfes pieds foui ligl
  - S I de zoi—»- o—o—o
  - Vous ôtez 43_____z—* 6—8
  - il reliera 137— 3—J _________4
- p.54 - vue 66/176
- - de IIngénieur François'. jj
  - Les Preuves de l'Addition & de laSouftraéfcion font quafi les mêmes que celles des entiers s cëft à dire, que ces deux Réglés le prouvent mutuellement luné par Tatitre. Il faut feulement le iouvenir que dans les Livres Tunité vaut fols, ^ue dans les fols lunité vaut i z deniers* Et que dans les Toiles l’unité vaut 6 pieds, que dans les pieds lunité vaut i% pouces, &c.
  - Preuve de la demiere jéddition de la première Proportion, Toifes fieds fonces lîg», 154 ; 2 7 1045 4 8—- 2 il 3 11 8 6 4 7 IO Preuve du premier Exemple de U Souftrattion de cette fécondé Proportion, " p Livres fols den. XiX — * 0
  - Z4S 3 6 5)8 17 8
  - 1130 I I IO 146— 5 —10
  - 0 ï Z% Z « 0
  - DE LA MULTIPLICATION DES TOISES*
  - pieds j pouces & lignes , parToiJes ^ pieds , &c*.
  - GE t t e Réglé eft la plus neceffaire die toutes à l’rngemeur pratiquant, & cependant la plus ignorée jufqu’à prefent*. €eft pourquoy nous f expliquerons fort au îong & pour nous, rendre plus clairs* nous la pratiquerons par diverfes Meikodes,
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- - PROPOSITION TROISIEME.
  - PREMIERE METHODEV
  - De la Multiplication des Toifes, pieds & pouces, par Toijes, piçd$ & pouces, en reduifant tout en pieds & jraffms de pieds.
  - LÀ Méthode la plus commune de faire cette Multiplication eft de réduire les Toifes en pieds , & y ajoûtcr les pieds {s'il y en a ) avec les fractions de pied, qui font les pouces, de négliger les lignes dans les produits ; par la feule raifort qu elles donneraient trop d’embarras.
  - Suivant cecy la Toife quarre'e doit avoir 56 pieds quarrez ôf la Toife cube *4 6 pieds cubes.
  - * Exemple:
  - Soit donnée une longueur A. 3.4 Toifes 4 pieds é pouces a multiplier par 9 Toifes j pieds 9 pouces, qui eft une largeur*
  - A
  - C
  - 148—f- B
  - S9-\ D
  - G par A 133*
  - C par A 740 C par B
  - ./C c pouces, par A 74 £ 3 pouces, par A 37
  - D par B------—f
  - Remarque^ quori prend ordinairement pour Multiplicateur le moindre des deux nom-hres propofeT^ , pour une plus grande faci~ lité,
  - Produit total
  - -£
  - Reduifes
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- - & Vïnpnmr fmnçôis]
  - :ib. Réduites en pied# les toifes du Multiplicande A. i fça, voir en ï^yaufqueîs ajoutant les4pieds qüll y a déplus, vous aurez 148 pieds >&c avec les. 6 pouces 148 f pieds. Ce que nous avons marqué dans la figure par A. B.
  - :ih. Faites la même chofe du Multiplicateur C. &Jç réduites à jp pieds s pouces ;ceftà dire à jp ^pieds, que nous avons marquez C. D.
  - 3Ô. Obfervez icy,,comme dans toute autre Multiplication,, que toutes les parties du Multiplicateur ( qui dans cét Exem-pleiont C,,& D.) doivent multiplier toutes les parties du MuU tiplicande, qui font icy A & B ; c eft à dire, que C doit mul-xjplier A. & B. & que D.doitaufli multiplier les mêmes A & B.
  - 4Ô. Multipliez A. par ,C. Clivant les Réglés de la Multiplication des entiers.
  - jô.;Multipliez B. par le meme C. en di&nt la moitié de C* eli zpy; Ce qui eft fondéfur ce que fi un pied multiplioic 5^ jlproduiroit j9. & par contequent qu’un demy pied multipliant lemême $9, doit produire la moitié de $9 à îçavoir . .6b. Puilque-vous avez fait avec C tout ce que vous deviez faire , .venez maintenant! D. qui doit multiplier les mêmes A Sc B, & premièrement A. &,pour faciliter 1 operation, prenez dans D. pour £-•, ceftà dire,.pour <> pouces, qui font un demy pied , & dites la moitié de 148 eft 74.
  - 7Ô. Et jffr l autre quart qui eft refté dans le même D -> ceftà dire pour 3 pouces ou un quart de pied, vous pouvez prendre un quart de A, ou plus facilement prendre la moitié de ce qui a été produit pour 6 pouces * à fçavoir la moitié de 74, qui eft -37. Et qui fera le produit du dernier quart qui eft en D, par A.
  - 8\ Multipliez D. par B. ce que vous ferez , ou fuivant la cinquième Propofition de III. Chapitre, ou bien en difant la moitié de ^eft 4,
  - p6. A joûtez enfemble tous les produits cy deflus, & vous aurez le total E. 8872,. J-pieds quarrez, ou plûtôt 8873. à caufe
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- - jS L’Antbmttïc^ur
  - que la fradHon J- excede le demy pied;
  - ioô. Pour réduire ce produit en toifes quarrées, divifcz: 8873 par 36, & le quotient vous donnera 2.46 toifes quarrées* & 17 pieds quarrez.
  - En voila affez pour vous faire comprendre comment il fau-droit faire fi vous aviez un folide à fupputer, & généralement tou tercet te Méthode fà laquelle je fuis leur que vous ne voudrez: pas vous attacher quand vous aurez compris les fui vantes : il faut néanmoins la fçavoir pour fe conformer affez fou-jyent à la capacité des Entrepreneurs r ôc les contenter en ce point pôuFEür ©ter tout fujet de plainte.
  - Ce qu’il y a d’incommode dans cette Méthode ,.efl la longueur. outre cju’aprés la Multiplication faite , fi vous voulez: avoir des tojïës, il faut ~dîvifer~pa~r 3 <?, fi vous avez multiplié: une longueur par unelargeur y & par zié^ii vous avez multiplié u nejhperliciepar unehautëur ou épaiffeur.
  - Ajoutez à cecyquëTômiffion des lignes dans les produits* peut cauferun erreur confiderable dans un grand toifé de Ma-“çonneriê (; car on les négligé avec raHoïTclins les~tërres, ) non pas par elles-mêmes, mais parce quelles augmentent ou diminuent affez confiderablement les produits des toifes quarrées ou cubes, principalement lorfqu’il ne faut que 864 lignes pour faire une toife fuperfîcielle ou folide : comme il arrive dans les Méthodes que nous expliquerons cy-aprês.
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- - de t Ingénieur François,
  - $9
  - PROPOSITION QjJ ATRIE'ME. SECONDE METHODE.
  - De la Multiplication des Toifes, pieds , pouces & lignes s par Toifes* pieds ,pouces (djr lignes, en donnant aux Toifes quarrées & cubes Autant de fardes qua la Toife de longueur.
  - DA n s cette Méthode , non-feulement la Toife de longueur , mais encore la quarrée & la cube font ccnfeçs îêtre divifées en & parties égalés, quon appellepieds; chaque pied en douze parties égalles., qu’on appelle pouces , Scc. de maniéré que s’il s’agit de Toifes cubes, un pouce de cette Di-vifion contiendra trois pieds cubes 9 Sc s’il s’agit de Toiles quarre'es ,un de ces pouces vaudra un demy pied quatre. Quant à l’artifice de cette Méthode * il confifte dans cette
  - MAXIME
  - Toifes r Toiles
  - points
  - pouces > produifent
  - Exemple premier.
  - Je veux multiplier par E. 3 Toifes.
  - Toifes -pieds pou.. lig.
  - A. B. C. D.
  - it—S — 9 — 6
  - H ij
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- - 6o JC Arithmétique
  - ib. J’écris lès Toiles E. fous les Toiles AV z°. Jé commence par la multipli- 1 ' A. B. C. DV
  - cation de E par D, & je dis E par D I 4— 5 — ?*.•— G
  - fait 18 lignes, je pofe 6/fous D & je | E 3> retiens 1: pouce. TT\~T^--y~ 4 - 6
  - 3°, Je dis E par Crait 17 pouces, ' ______________
  - qui avec 1 que jJay retenu font 2.8 , je pofe 4 fous C & je retiens z pieds.
  - 4Ô. Je dis Epar B fait 15 pieds* qui avec z que j’ay retenus ^ valent 17. je pofe y fous B. & je retiens z Toiles.
  - yô. Je dis E par A fait 1 z. Toifes. , aufquelles j’ajoute les z que j’ay retenues, & je pôle 14Toifes.
  - Cela fait, vôtre multiplication eft achevée, & le produit total eft F i4.Xoifes y pieds 4 pouces 6x lignes.
  - Second Exemple.'
  - Toifes pieds
  - A. b.
  - pou.
  - c.
  - lig.
  - D;
  - Maintenant foie donne lé même nombre* compole de Ai B. C. D. à multiplier par le même E. augmenté de H. K.
  - i*.-.E. multipliant A. B. G D. produira F. ainlî que dans 1 exemple precedent.
  - zô. Par l’Axiome precedent, fi le nombre^E. valoit 1 Toife, en le multipliant par A. B., C. D. il produiroit les mêmes A*B. C. D.
  - Suppolons que H vaille feulement 3 pieds (qui font la moitié de la Toife) & prenons là moitié de A.
  - B. C. D. qui eft L.
  - 3.^. Il nous refte encore à prendre pour 1 pied 6 pouces, qui font la moitié de 3 pieds * & puifque pour 3 pieds j’ay trouvé le nombre L.. fi j’en prends la moitié, j’auray ce que je cherche^ cette moitié eft M.î
  - E. ..
  - F.
  - L.
  - .M,
  - 4 — Jr- 5>““^
  - 3 - H 4- K 6 14 — X~ 4-—* 6
  - z — z — 10 "— 9 1 — 1— J —4 — G
  - N. 18 — 3'— 8—7— 6
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- - de f Ingénieur Prànçoïs. 61
  - .4Ï Ajoutez enfemble les produits F. L. M. & vous aurez le total N. qui eft le requis.
  - Remarquez bien que toute l’induftric de la Multiplication par fractions confifte à fuppofer, que fi le Multiplicateur E; écoit l’unité j c3e£l à dire i; Toile, en multipliant E. par A. B. C. D, le produit feroit toûjours le même A. B. G D. Mais que fi le Multiplicateur ne contient pas toute l’unité E. mais feulement une ou plufieurs des parties qui la mefurent ou di-vifent exactement ôc fans relie, il faut prendre de pareilles par-’ ties ( on les appelle ordinairement aliquotes) dans le Multiplia cande A. B. C. D. en une ou plufieurs fois. Ce que vous coïte cevrez encor mieux par les Exemples fuivans,-
  - Trotjtème -Exemple. -
  - Soit encore donné lé même Nombre oompofé de A; B. C D» qu’il faut multiplier par le même E. H. K. augmenté de R -
  - a: b. c. d?
  - 4 — J— 5? —6
  - 3 -H4 • K 6 -P<>
  - a b c 'd F. 1 14— S— 4—6"
  - a b c d R. i — 3 — 11 —-z"
  - a b cd r; 1 M M 1 m 1
  - a b c d T. o — z—* y— ç) -^ 6
  - a b c d V. o — o— 3 — 8 — 8 — y
  - xT j 18 — 4— o — 4—i —y
  - 'ià. E. para. b. c: d. donnera comme cy^délfus F; z?. Pour 2 pieds (qui font la moitié de H. Ôc un tiers- dé» Joilè<) prenez Je tiers de a. b* c. d. qqi eft R.<
  - H iij
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- - If Arithmettyw
  - 3Ô. Pour les % pieds reftans de H. écrive? encore une fois R# 4Ô. Pour K. dites fi deux pieds ont dennéR. le quart dedeius pieds (qui eft K) donnera le quart de R. qui eft T.
  - jô. Pour P. dites 5 fi pour K jay trouvé T. pour la huitième partie de K. ( qui eft P. ) je dois prendre la huitième partie de T. qui eft V.
  - 46. Ajoutez enfemble les produits F. R. R. T, V. 3c leur fornme X. fera le produit total que vous cherchez.
  - Quatrième Exemple.
  - Afin que vous fç a chiez qu une même multiplication peur .être faite en une infinité de maniérés, & que vous appreniez à choifir les plus courtes, nous ferons cette derniere d’une autre on.
  - Soit donc encore A, B. C. D. à multiplier par E. H. K. P-
  - « Teifes pieds pouces lignes..
  - A, B. C. D.
  - 4—5— î>— 6 E. 3.H4-K 6-P ?
  - E par à, b. c. d. |E. 14—;— 4— <z
  - pour 3 pieds j G. x — z— 1.0 —
  - pour a pied L. 0 — 4— 11 — 7
  - pour 3 pouces M.: 0 — 1 — z — 1,0 — 5?
  - pour 3 pouces M. .0 — 1—. Z.— IO — 5>
  - pour p lignes N. £)__o— 3— .8 — 8 — 3
  - X. .18—4— 0— .4—z—3
  - E par a. b. c. d. donnera toujours #,
  - 2.°. Pour 3 pieds ; c’eft à dire, pour une demy Toife > prenez la moitié de a. b. c- d. qui eft G.
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- - de U Ingénieur François. fy
  - $?. Pour i pied qui eft un tiers de 3 pieds, prenez un tiers de G. qui eft U
  - 4Ô. Pour 3; pouces, qui font un quart de pied , prenez un quart de L. qui eft M.
  - Pour les trois autres pouces, écrivez encor M.
  - 6à. Pour 9 lignes qui font le quart de 3. pouces, prenez le quart de M. qui eft N.
  - 7Ô. Ajoutez enfemble les produits F. G. L. M, M.N. Scieur fomme X. fera le produit que vous cherchez.
  - Ces Exemples peuvent fùffire pour faire connoîrre de quelfe maniéré il faut operer, Clivant les divers cas qui fe prefontent. Jajouceray feulement , que pour une plus grande facilité,.les* pouces ne doivent pas immédiatement prendre leurs parties aliquotes dans les Toi/es, mais danslëspkds . à la referve de S pouces Sc de % pouces. Ceux4à étant un neuvième & ceux-c^' un huitîémlTde~Ia Toile._________:___________________________^
  - Les plus habiles Ingénieurs fe fervent de là precedente Me-thode , ôc avec raifon, puifquelle eft la plus facile & la plus, Z/s*.^ exacfte, de toutes celles qui ont _ete connues jufqu a prefènc;
  - Ma i r~jë~ nrafteure qu'ils me /çauront bon gré de la leur abrégés Si faciliter par celle qui foie.
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- - PROPOSITION CI N QU I E’M E,
  - T RO ISIEME METHODE.
  - De ïInvention des memes produits , avec les memes Donne^de l& precedente Proportion, par une rvoye nouvelle — pr beaucoup plus aisée.
  - Elle confiftë dans ces deux Maximes.
  - M A X I M E PREMIER E.
  - Toif. fieds fou. îig.
  - A. B. C. D. A. B. C. D.
  - 4-r j—*—7 4— ; — 2 — 7
  - F (3 F 6
  - z b c d z b c d
  - .0 —'*--7 0 1 b» 1 1 1
  - LOrlque dans le Multiplicateur la fraction de Toile contient 6 parties 5 ceft à^îre 6 pouces ou 6 lignes : elle multiplie les pieds, les pouces & les lignes du Multiplicande, en abaiflant les pieds à loti degré & déprimant les pouces & les lignes d’un pareil nombre de degrez vers la droite.
  - SEC O N DE MAXIME.
  - CE même rompu 6 multiplie les Toifes en prenant leur moitié, & la fài/ànt defeendre au degré qui le précédé immédiatement fur la gauche.
  - Exemple.
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- - de îlngenieur François. 6§
  - Exemple.
  - A. B. C. D. eft le Multiplicande. *, Llh deMX/ois
  - i à cetufe des deux
  - & V ( 6 pouces, ou 6 lignes) eft le Multiplicateur, fa»™.
  - Pour multiplier les parties B. C. D. par F. écrivez les en b. c. d. de maniéré que b. foit fous F. & que -c. d. le fuivent immédiatement vers la droite.
  - Pour multiplier le même F. par A. prenez la moitié de A. & la faites delceadre au degré qui précédé immédiatement F. fur la gauche : ce produit eft icy marqué z -, ainfi le produit total de F. par A. B. C. D. eft z b ci
  - PREMIERE CONSEQVENCE.
  - DE ce que nous venons de dire, il eft évident que F. place fous C. tient lieu de lunité à l’égard de B. C. D. placez en b. c. d. Ce qui fait que la Toifê qui n’a ordinairement que trois parties aliquotes, qui puiffent donner un produit par une ïèule multiplication, fuivant la fécondé Méthode j à /ça voir„ j. &. Ôc 3. pieds, aura par cét artifice onze parties, qui font 1. i~. z. 3. 3 4. 4-;. 5. 5 qui pourront par une feule
  - multiplication donner le produit cherché, lequel fouvent ne fè trouve qu’aprés trois ou quatre , par laliifdite feconde Méthode,
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- - 66 H Arithmétique
  - Exemple,
  - Qu’il faille multiplier À. B. C. D. par E. F.
  - iô. Puifque F. fuivant ce que nous venons de dire, tient lieu de Yunité à le-gardde B. C. D. placez en b. c. d. Il eft évident que joignant E. avec F. leur fbmme tiendra lieu de de 11 unitez, placées audit lieu F. Ceftpourquoy gardez ce nombre 11 qui va nous fèrvir d un (impie & unique Multiplicateur, à la place des deux E. & F.
  - Celaérant Fait, comptez combien vous avez de parties ou fractions B. C. D. & marquez autant de points depuis F. vers la droite-, à fçavoir, trois dans cét Exemple , en b. c. d.
  - 3Ô. Dites, le Multiplicateur i1 par D 4 donne 44 & je de-vrois fuivant la Réglé écrire 44 fous d. 'mais doutant que ce nombre excede 11. jen retranche 12 autant de fois que je le puis $ ceft à dire 3 fois, & je retiens 3 unitez, & jécris ce qui refte, à Ravoir 8 fous d.
  - 4Ô. Dites’, 11 par C. 3. donnent 33., qui avec 3 que j’ay retenus font 3 6. où (ont contenus 3 fois 12. & (ans refte , c’eft pourquoy je retiens 3 unitez ,& j’écris o fous c.
  - Dites , 11 par B. 2 donne 22. qui avec 3 que j’ay retenus valent 23. qui contiennent deux fois 12, & il refte 1. & par confèquent /écris 1 (ous b. & j’avance 2 unitez fous le degré B»’ & voila la première multiplication achevée.
  - Enfin fuivant le (econd Axiome, multipliez 11 par A 4. le produit (era 44 dont la moitié 22 doit être attribuée au degré B. ( qui précédé immédiatement F. fur la gauche. ) Mais dautant que ce degré ne reçoit pas un nombre plus grand que
  - Teifes pieds fou, lig,
  - A. B. C. D.
  - 4—2—3—4
  - o -E 5-F6
  - b. c. d.
  - o —2,—i—o—£
  - 3 — 4
  - X. 4 — o — 1 — 0 — 8
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- - de T Ingénieur François. 61
  - y. & que pour chaque 6 on retient une unité' pour le degré A. écrivez 4 fous B. & avancez trois unitez fous ledit degré A. puifque 6 efi: contenu trois fois dans 22. ôc qu’il refte 4.
  - 7à. Ajoutez enfemble les deux produits de 11 par B. C. D. ôc de î i par A.ôcleurfomme fera.le produit total que vous cherchez.
  - Remarquez qu’il n’étoit pas befoin de faire à parc la multiplication de 11 par A. 4. ôe que vous auriez pû trouver le produit X. par la continuation de la première; mais nous eftimons quil efl plus à propos d’en faire deux, dautant que le nombre A. ( des Toifes ) étant grand a cela pourroit caufer de l’embarras.
  - SECONDE CONSE OVENCE.
  - Toifei
  - A
  - pieds
  - B
  - pontes lignes*
  - C D
  - DA ns l’Exemple precedent nous avons fïippofé que F. fous le degré C. contenoit 6 pouces ou lunité : dans le ftii-vant nous allons faire voir que la multiplication fe peut faire par la même méthode, quoy que ledit nombre F. fous le même degré C. contienne plus ou moins de pouces.
  - Soit à multiplier A. B. C. D. par E. F. G. iô. Prenez 4 pieds 6 pouces ; c’ell à dire, 9 unitez pour Mul. tiplicateur, ainfi que nous avons dit dans l’Exemple precedent , ôc le multipliant par B. C. D. le produit vous donnera les nombres M.
  - 20. Multipliez ce même 9 par A. 3 Toifes, ôc vous aurez 27. dont la moitié 13 \ appartient au degré B. (par la féconde Maxime de cette Méthode) ôc par con-fequentvaut 13 \ pieds, ou pour "mieux dire 2 Toifes 1 pied 6 pouces, & écrivant chacun de ces nombres, fous le degré qui
  - I ij
  - 3 _ j — 2— 7 0-E4-F 9-G 6
  - M. o — 3 — 1 o <— 11 — 3
  - N. 2 — 1 — 6
  - b C d p 3 — o -— 6 — l
  - Z 10— 6
  - X; 3 — p — 6 — j — 9 — 1
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- - 68 L* Arithmétique
  - luy convient , ce produit fera celuy qui eit icy marque' Ni '
  - 3". Les 3 pouces reftans du nombre F. valent 6 unirez air degré D. aufquelles ajoutant l’unitédudit degré marquée G. vous aurez 7 unitcz, que vous prendrez pour fécond multiplicateur.
  - 4°. Multipliez B. C. D: par ce fecond multiplicateur 7 après avoir compté depuis G* vers- la droite trois points ; à fçavoir, b. c. d. pour écrire le premier produit fous d. comme dans l’Exemple precedent i le produit total de cette multiplication eft icy marqué P; b. c; d;
  - yô. Multipliez ce même 7 par A. 3, Toifes,& vous aurez zi, dont la moitié ioj appartient au degré C. c eft à dire quelle vaut 10. pouces 6 lignes, qui font marquez par Z.
  - 6°. Ajoûtez enfemble M. N. P. Z. leur fomrae donnera le produit cherché X.
  - Remarquez r6'. Que là multiplication de l'article quatrième de cét Exemple, peut faire connoître que dans d’autres cas les multiplicateurs pourront être 1. r. 3.-4* y. 6. 7. 8. .10 & m
  - c’eft à dire, les mêmes que nous avons remarquez danslapre-miere Confequence, ce qui donne une tres-grande facilité..
  - Remarquez zô. Que fî vous aviez au degré D. un nombre de lignes' autre que 6. comme dans l’Exemple fui-vant G 3. pour trouver le produit de G 3. par A. B. C. D.
  - Il feroit bon de faire dans un papier à part la multiplication de l’unité ou 6 lignes par A B C D. qui eft icy Z & de ce produit,prendre la partie, ou
  - Toifes pieds pouces lignes. „
  - A B C D
  - 3- 5 1 7
  - F o - G 3
  - 7
  - K 1 - L 6
  - Z O'— o — r— ir— 2, — 7 X o — o — o—1-1 — 7—3—6
  - les parties aliquotes, defignées • par G. qui en cét Exemple eft une moitié, laquelle nous avons marquée X.
  - Remarquer 3°. Qujencore que dans les deux Gonfequenecs
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- - de tlngenieur François. 69
  - qui*précédant, nous ayons amplement fait voir la facilité de cette méthode, toutefois pour donner une plus ampleexplica* cion de fon ufage& ouvrir l’efprit de ceux qui commencent, nous pouvons y joindre les parties aliquotes. (Car lorfque les pouces du multiplicateur en F. fous le degré C feront en moindre nombre que 6 , iHeraaifé de trouver leurs produits , en prenant lés parties aliquotes , qu’ils defignent dans B C D. par Exemple, sfil y a un pouce, vous prendrez la fixiéme partie def-dits B C D. s’il y a deux pouces^ vous en prendrez* le tiers, & s’il y en a trois, vous en prendrez la moitié, *
  - Mais lorfque vous multiplierez ces mêmes pouces ( dont la multitude n’eft pas 6') par-les Toiles A. pour une plus grande facilité, lerve* vous de la Maxime de la féconde Méthode, ainfi que vous verrez dans TExcmple fuivantpar la raifon, que lorft qu’un même produit, peut être trouvé par différentes maniérés^ il eft de rinduftrie & de l’experience du Calculateur de choifîr là plus courte & la plus facile.
  - Il n’y a pas plus de difficulté lorfque les pouces excédent lè nombre de 6. comme dans l’Exemple fuivant, où* le Multiplia cateur eft E 4 pieds^ F 9 pouces.-
  - iô. Les produits M,& N font les mêmes', & font trouvez dé la même maniéré qu’a là fécon- j dë Confèquence. j
  - 2°. Pour les 3'pouces reftans '
  - ( quifont la moitié de l’unité 6) prenez k moitié de B G D H; qui eft P ou b c d H.
  - Multiplier les mêmes1 3 pouces reftans, par A 3 Toifes,
  - Ôc vous produirez 9 pouces par la maxime de là féconde Méthode, écrivez; donc 9 pouces fous le degré C en Zr
  - Toifes pieds
  - A B
  - pouces
  - G
  - -5— z-E4- F>*
  - lignes points.
  - D H
  - 7—O
  - M
  - :N-
  - o •— 3 — 1 o' — n — 3: z—1— 6
  - b c d Pz— 7— 3-Z 9
  - X 3/—o—* 4'— c — c-
  - K
  - -ù
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- - 70 D Arithmétique
  - 46. Enfin ajoutez les produits M N P Z. leur fbmme donnera le produit total X que vous defirez.
  - Vous avez veu dans les Exemples precedens que nous avons pouffé le Calcul au delà des lignes , ce n’eft pas toutefois que nous voulions concilier à Tlngenieur de le faire (fi ce neft en certaines rencontres qui arrivent rarement : par exemple s il y avoit une fuperficie de Maçonnerie de grand prix à multiplier par une longueur de 5 à 600 Toifes,) mais afin de le rendre capable & de l’inftruire à fonds, & il eft neceffaire quil fçache qu’en prenant les dimenfions dans les. Toifèz definitifs on convient avec l’Entrepreneur d’écrire un demy pouce , lorfqu’il fe rencontre ; d’écrire un pouce entier, s’il fe rencontre plus qu’un demy, & de n’écrire rien s’il fe rencontre moins.
  - Cette troifiéme Méthode m’étantvenuëenpenfeelapremieJ re, je m’en luis fervy long-temps,comme étant plus facile que toutes celles qui ont paru jufqu’à prefent ; Mais lorfque j’eus fait la découverte de celle qui fiiit, je m’y attachay uniquement, ne me fers d’aucune autre: & je fuis affeuré que tous ceux qui fe donneront la peine de la concevoir, feront la même chofe que moy ; en-tout cas, je ne blâmeray point ceux qui voudront per-fifter dans les precedentes.
  - (TtSV'/t'X C-yci C ___
  - Jr 7-
  - PROPOSITION SIXIEME.
  - ft''? 4*- ***«;/
  - 4*
  - Q/Ujt TRIE'M E Ad EE U ODE.
  - JÎîE' De l'Invention des memes produits 3 avec les mêmes Donne^ que dans les deux precedentes Proportions > par une njoye encore plus —' nouvelle çr plus aisée.
  - NO us l’expliquerons en joignant les Préceptes aux Exemples , afin de nous rendre plus intelligibles.
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- - de l’Ingénieur François. 71
  - Premier Exemple.
  - S
  - O it à multiplier— A zToi&s 4 pieds opouces alignes.'
  - par-------------------- B 3 Toiles z pieds z pouces a lignes.
  - iô. Doublez les fraébions de chacun de ces deux Nombres, en forte que chaque degré defditës fra&ions puifle contenir de^ puis 1 julqu’à 11. aufli bien que celuy des.pieds, que ceux des pouces & des lignes : afin que par. cette nouvelle divifion la Toife contienne iz pieds, chaque pied rz pouces, chaque pouce 1 z lignes, &c. & commencez par doubler les fra&ions du Nombre A. & après la duplication faite, pour A z«—4—o — ^ éviter la confufion nommezJe* C D E. , \ 4 —0__£
  - Doublez delà même maniéré les fractions
  - du Multiplicateur B 5 Toifes z pieds z pouces 6 lignes, & apres la duplication faite , nommez-le F K H. ~
  - zô. Dans cette multiplication, ainfi que dans toutes les autres, il doit y avoir autant IB de produits que le Multiplicateur a de par- J des: par exemple icy trois, â caufe des trois ~ parties F K H. & tout Fartifice confifte à bien placer les degrez de chaque produit,, le_ __
  - C D E z — 8— 1 — é
  - 3_2.-— z— s z — z — &
  - F~ K H *
  - 3— 4—j—a
  - voicy. -— _____------. -------—'
  - Le degré le plus élevé -7 ceft à dire, de la plus haute valeur de chaque produit doit être écrit fous le Multiplicateur & les autres enfuite vers la droite.
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- - 7'fc
  - LïArithmétique
  - Lis lettres M é1! N ne fervent icy I que pour marquer i les degrez qui font au deffous de E. ] C DE M N .3,— 8—1 — 0—0 {} - k^-hj MulHplicdnâes. Multiplicateurs.
  - fc fd fe
  - f.parED.C 8—, -0 — =3 I. Produit*
  - kc kd ke
  - k par E D-C 0 .1 CO 1 4. il. Produit.
  - hc hd he
  - hiparEDC 1—1—4—y IM. Produit.
  - 'pi vo l O 1 O 1 00 i j | Produit total
  - ! 1 1 O 1 O 1 C\ N 6
  - Je commence parf dont lerproduit aura,.comme nous venons de .dire., trois degrez, defquels le plus élevé donnera des Toifes, que j’écriray fous C. 6c par confoquent le plus bas de-2 gré doit être mis fousE. je .dis donc f parE donne £e. 3 que j'écris -fous E. enfuite f par D donne f d ,24. Au lieu duquel nombre j’écris o. en fd fous D ôc je retiens z. ( fuivant ce qui a été dit dans le premier Article. ) Enfin f par C. donne fc. 6 gui avec % que j’ay retenus valent 8. que j écris fous C.
  - 3ô. Jepaflcau Mulciplicateurk. depuis ?lequel inclus jecom-pte allant vers la droite trois points, ( à caufe des trois nombres C.È>.E<) à fçavoir, kc. «kd. ke. & je commence la Multiplication par k e qui donne le plus bas degré. En dilant k par E donne ke 4. que j’écris fous M. Enfuitte k par D. donne k dL 32. d’où je retranche 24 c’eftà dire deux unitez, & j’écris le relie 3 enkd fous E. 6c je retiens les deux unitez fouftraites. Et je disk par C. donne kc 3. qui avec les deux unitez que j’ay retenues ,font 1,0. que j’écris en k c. fous D.
  - ' 4°. Je viens enfin au Multiplicateur h. depuis lequel inclus je compte vers la droite trois points h c h d. h e. je mets le
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- - de ïIngénieur François. 7:5
  - plus bas degré de fon produithe 5 fous N. leproduitfuivantde Ji par D fait 40. d’où je retranche 36. c*eft à dire 3 unitez que jeretiens, & j écris le refte 4 en hd fousM. Enfin le produitde h par C donne 10, qui avec 3 que j’ay retenus font -13. & j e-cris 1 en h c fous E, & j’avance 1 fous D.
  - Cela fait j’ajoute les trois produits cy-dcffus,&leur fom-jne X eft le produit total que je cherche.
  - 6\ Si vous voulez avoir les fradions dudit produit X, expri-'.îne'es à la maniéré ordinaire , prenez-en la moit ié ainfi que nous .avons fait en Z.
  - Sæ c o nd Exe m plîe i
  - Qu’il faille multiplier
  - par -
  - A 1—5 — *
  - H z — 3—0
  - 7*
  - 6.
  - ih. Apres avoir doublé les fraétions du Multiplicande A nommons le A B C D E F. & apres avoir fait la même chofe à cd J des du Multiplicateur H appellons-le h k m.
  - Les lettres :&¥ fervent feulement pour mar-quer Us de-grez au jejfvês ,de
  - A B c D E E ;
  - ai — 10.— 3 — .z—0 — -0
  - h z-k .6-m 1.
  - * ha hb hc hd .
  - • 3 — 8 — • G — •4 ^Premier produit,*
  - ka kb kc kd
  - jj — - 1 — 7 — 0 Second produit.
  - s ma m b me md
  - 1.0 — 3 - -;Z Troifïéme produit.
  - X 4- 7- 9 — 9 — 3 ~ - Z / j
  - Z. 4- 3 — 1:0 — 10—7 - -7
  - K
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- - 74 1/Arithmétique
  - zô. Suivant ce que nous avons dit dans le premier Exemple à commencez par chercher le produit de h par AB CD duquel le plus haut degré fera h a fous A. & le plus bas fera h d fous D. Ce produit fera trouvé en rétrogradant comme cy-devant, en cette maniéré, hd. hc. h b. ha.
  - 3Ô. Il faut multiplier k par les mêmes A B C D. & marquer depuis B inclus vers la droite quatre points, à caufè des quatre membres A B C D. Le dernier marqué de ces points fera k d ious E, par ou commençant la multiplication & revenant vers la gauche comme cy-devant, vous trouverez que ce produit fera k d. k c. k b. k a, ou pour mieux parler k a. k b. k c. k d. O ù vous remarquerez que k d quoy qu il ne contienne que o ne laifïè pas de devoir être marqué, pour affigner le degré qui convient à .chacune des parties k c. k b. k a. du fécond produit.
  - 4°. Pour multiplier m par les mêmes A B C D marquez depuis C inclus vers la droite les quatre points m a. m b. m c. m d, & écrivez d’abord le plus bas degré de ce produit en md fous P. & continuant à revenir vers la gauche vous trouverez que ce troifiéme produit eft md. m c. m b. ma, ou pour parler pies naturellement ma. m b. me. md.
  - Ajoutez enfèmbîe les trois produits cy-deffus, leur fbm* me X fera le produit total que vous cherchez.
  - Pour réduire les fraélions de X aux ordinaires, prenez-en la moitié, comme nous avons fait en Z. Il eft bon de remarquer dans cétExemple & dans tous les autres, quon choifît pour multiplicateur celuy des deux nombres propofez , qu’un peu d’experience fait connoître le plus commode pour cét effet. Ordinairement c’eft celuy dont les toifès font en moindre nombre.
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- - de ïIngénieur François. jj
  - Troisième Exemtlb.
  - SOIT à multiplier A 4 Toifes 3 pieds 7 pouces;
  - par H zToifes 4 pieds j pouces 6 lignes
  - ou pour abréger, foie A B C. le Multiplicande & h k m le Multiplicateur,
  - Première figure*
  - A B C D E 4—7— z
  - h k m *
  - z — 8 — xi ha hb hc
  - Q r> — z — 4 Premier produit,
  - ka kb kc
  - N *3—q—*5— 4 Second produit, ma mb me
  - P 0 — 4— z— £—ioTroifie'me produit
  - X ll — l— 3 —10— 10
  - Z 1*—J — 7—xi— ;
  - Ie», Les deux premiers produits trouvez comme ey- deflus font marquez dans cette figure première, par Q& N.
  - %à. Vous pouvez trouver le troifie'me ; àfçavoirde m par A B C de la même maniéré, ou fi vous voulez en multipliant dans un papier à part A B C D E.par m u . comme vous verrez dans la féconde figure fuivante. Où fuppofant que m vaille une unité de k fous B, vous écrirez ka kb kc fous les degrez B C D. (qui eft le produit de k 1 par A B G, Mais commepouc
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- - yg* L9 Arithmétique
  - trouver ce produit vous avez donné une unité de trop a-m, il' en faut retrancher un autre produit engendré de ladite unité,ajoutée par les mêmes A B G. lequelproduit cft icy o —0-4—7—1. & marqué! fous C D E. & la fouflraâion étant faite il vous reliera le produit? cherché P. que vous ajouterez avec les deux Q & N de la première figure, leur fomme vous donnera, le- produit: total X. dont vous réduirez les fractions aux vulgaires r ainfi que nous avons fait en ZI
  - m
  - QUATRIEME Ex EMBLEE
  - A F i n de faire voir là grande étendue '& la facilitéde cette Méthode, nous allons dans l’Exemple, fuivant, y applû qireT Îes parties alïquotes , dônt l'ùfage ordinaire eft icy abrégé de plus de la moitié, aihfï que ia pratique vous le féra con-5 noître..
  - 4r-7*— * k m
  - 11:
  - ka kb kc
  - 0—4— 7 — 2*~
  - .4— 7~
  - P 0—4—1—6—10:
  - 1. »
  - Seconde figure. r r
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- - de ÎTngenieur François.
  - l ! * A B C D E Si— 11— 6— 0—0 h- k m n 5— 7— o— 6 /
  - ha li b h c
  - li par A B C- — 402— 9—6
  - ^pour (î piedsi- —- 40.— i n—- 9
  - pour 1 pied. - ———-—-. 81—11— G.
  - pour G lignes. 40 — n — 9:
  - 1 X 445> — 101 — GG — 17 — 5>.
  - 1; i . 8— 5—. 1 .
  - ! Y 4J7— 10 — 7— 5— 6 :
  - » • Z 4J7;.— y,— 3— 8 — 10 — G
  - 77
  - Qu’il faille multiplier-A 81.Toiles 5<pieds ^pouces; par H f; Toifes 3 pieds ^pouces 3 lignes5c’eft adiré ABC par h kmn. * iô. Trouvez le produit de li par A B C comme cy-devant, rô. Pour <£ pieds du nombre k ( qui font icy lamoitiéd une-toile } prenez la moitié de A B C
  - 3Ô, Pour le pied reliant du même k’.(. qui fait un ~ dé la Toife) abaiffez'd’un degré, chacun des nombres A BC, que vous écrirez par confoquent fous BCD ce qui fait la même chofe que fi vous aviez multiplié 1 du degré k:, ou B. par* ABC.
  - 4Ô. Pour fix lignes qui font en n, & qui fêroient la moitié de 1 unité quiforoit en m, prenez la moitié de ABC, qui clb là même que celle de Tarticle fécond : mais icy fon plus haut' degrt?doit être placé fous Tunité , dont elle fait la-moitié-, &} %tvoir fous m ? c’eft à dire fous le degré C#
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- - UAnthmtfïqm
  - j*. Ajoôcant enfemble les quatre produits ey deflus, leur fomme vous donnera, le produit total % que vous réduire? à Y, en ôtant de chacun des degrez B C D E autant de fois \% qu’il s’y rencontre, &: apres avoir écrit le fefte au défions , & donnant pour çhaqu£ fais une unité au degré qui précédé fer la gauche.
  - 6Ô. Enfin vous réduirez lès fractions du produit Y aux fra. étions accoutumées, emprenant leur moitié , ainfi que nous avons dit plufieurs Fois, & que nous avons icy fait en z,
  - ^ Ceux qui nous diront que l’addition du produit X eft un peu plus longue qu’il ne falloir,- feront avertis que nous l’avons faite ainfi, pour nous rendre plus intelligibles,
  - Pour mieux vous recommander la fufdite méthode,j’en finiray l'explication en rapportant icy quelques uns des avantages, qui Juy font particuliers.
  - ïô” Elle s’accommode également a la multiplication ordinaire, êc à celle qu’on fait par les parties aliquotes, qui font icy très-faciles & en bon nombre.
  - iK Dans la méthode ordinaire des parties aliquotes, il faut avoir l’efprit toûjours tendu, pourfefouvenirqueJaTodedonne des (memes > & que les pieds & les pouces donnent de$ douzièmes, ce qui n’arrive point icy.
  - Iè. Un demy pied, un pquçe, onze pouces, onze lignes J &q, donnent de grands embarras dans la metbode vulgaire, 6s c’eft çg qu’il y a de plus aifé dans celle-çy, où les lignes re donnent quafi d’elles-mêmes. & ne font pas plus de peine que les ,Toifès,& lorfquil n’y a que $lignes ( qui eft quafi l'unique nombre dans lequel on les donne, ainfi que nous avons avert^ à la finjlÊiajeinquiéme propofition, ) elles $ évonaüiflènt tout a fait* & on les multiplie fans s’en appercevoir,
  - Si un même nombre ïg trouve deux ou plufieurs fois dam le multiplicateur, il donne les mêmes produits, iPriy a quà leur aiïigner.ies divers degrez qui leur conviennent ï de
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- - de l'Ingénieur François. 79
  - maniéré que G vous avez 4 Toifes & 4 pouces , ayant trouvé le produit pour 4 Toifes vous lavez auflï pour 4 pouces, en le faifànc defcendre vers la droite s ainG vous évitez un travail qu il faut faire dans toutes les autres Méthodes.
  - PROPOSITION SEPTIE'ME.
  - De la Multiplication des Toifes, pieds, fonces 3 &c. par Livres, fols & deniers.
  - JE penfe n avoir pas éré moins heureux dans la découverte dê la folution que je vais donner à cette PropoGtion, que je l’ay été dans celle de la precedente : & j’avertis auparavant que pour exercer le jeune Ingénieur, je poulie le Calcul plus loin que les deniers, chacun deiquels, je fuppofe avoir douze par-ties, que j appeIleTnaffles^”& chaque maille douze oboles, ainfi que j’ay déjà dit au commencement de ce Chapitre. Quoy qu’il foit inutile & même ridicule dans la Pratique d’aller au delà des deniers.
  - Je diftingue cette PropoGtion en deux Cas,le premier cft, quand le nombre des Livres ( que je choifis toujours pour multiplicateur ) n’eft point accompagné de fols ny de deniers.
  - Le fécond.eft* lorlque ces trois e/peces ( que nous prenC drons auffi toujours pour multiplicateur ) font enfemble , ou feulement deux quelconques, ou l’une des deux dernkres*
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- - |o " L'Arithmétique
  - PREMIER CASl
  - Oîi lorfque U nombre donné de Livres ne fl point accompagné de fols nyâedenkrs,
  - Toifes pieds pouces,
  - A 3.06-----B s-----C ro
  - D x 8 Livres.
  - d a-2448 d a - 61 x d b — 14 de-— 1
  - Ir_ ; X I —1 4 .
  - F IC “ p
  - ,X î8j 83 ;ii — 4 — 0
  - M 3 — N p - 0.4
  - M 3N <> - Q_4
  - H :l 8 fois —IO deniers — 8 mailles.
  - Z 8583 Livres—.18 fols—-10 deniers— 8 mailles.
  - Soient à multiplier A 3q6 Toiles 3 pieds j pouces , par ®-.a£ Livres.
  - j°. Doublez les fraéïions de laToifè comme nous avons fait .dans la fixiéme Propofîtion, après quoy le nombre A loit appelle A B Q où les unitez.de .A de B 5c de C font en progreC. (ion duodecuple^ceft.à dire gu une unité de A en vaut i-zde celles qui dont eiîB, 5c une de celles >qui font en B, en vaut 17. de celles gui font en C. 5cc.
  - Multipliez A par D. 5c foit le produit da.
  - 5Ô* Multipliez D par B. ce gui feiàit icy en prenant la moitié de D. gui eft d b 14.
  - .4*
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- - de îIngénieur François. Si
  - r4s. Multipliez D par C x o & vous aurez d c, ceft à dire z So C.
  - Mais comme aucun des degrez B C &c. ne doit contenir plus de ii unitez à caufè de la progreflion duodecuple j voyez combien de fois le nombre u eft contenu dans z8o, & l’y ayant trouvé Z3 fois y gardez z 3 pour le degré B & écrivez le relie 4 lous le degré C.
  - Maintenant vous avez z 3 qui appartiennent effeâiyement au degré B. mais comme iz de ces unitez en valent une de celles du nombre A ; c’eft à dire une Toife, ôtez iz de 13 & écrivez le relie n fous B. & retenez une unité, pour rajoûter aux unitez des Livres fous A.
  - jà. Ajoutez enfemble les produits da. da. db. de. & leur fomme totale X F K fera le requis. Mais les fractions F K marquent des douzièmes , & pour les réduire en fols & en deniers.
  - Prenez le tiers de F K P ( fuppofànt que l unité en P^ s’il yen avoit une, feroit un douzième de lunité en K) ce tiers foie appellé M N Q^Jequel foit écrit deux fois , ainfï que vous voyez.
  - Ajoûtez enfemble ces trois nombres, à fçavoir F K P. Ôc le double de M N leur fomme R vous donnera les fols, les deniers & les mailles, qui ajoûtez à X feront le produit Z que vous defirez.
  - Remarquez icy diligemment que dans cette addition des fractions F K P & du double de M N QJc degré le plus proche des livres , c*eft à dire , qui eft foiis F ou M. Sc qui appartient aux fols peut contenir 19 unitez, mais les autres degrez qui fuivent vers la droite , n’en peuvent jamais avoir plus de ii.
  - Second Exemple du premier Cas•
  - Soit le même nombre A 306 Toifes 3 pieds 5 pouces 9 lignes*
  - L
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- - St JO Arithmétique
  - augmenté feulement dé 9 lignes, à multiplier par le même
  - t> 2,8 livres-. ' - , : - ‘
  - iè. Doublez les frayions de laToife,ainfi que dans l’exem^ pie precedent, après quoy le nombre A foitappelle A B CH.
  - rV Cherchez lès produits d a; & db.- comme dans l'Exemple- precedent.
  - 30. Multipliez D pàL-C & vous aürêz 308 C. ceft à dire; -V"b*’c 4ue vous devez avoir remarqué dans l'article 4, de l'Exemple precedent. ^
  - .. .4;, 1 , lr:iu , \v y .. . .
  - V A. B C H
  - D 18 Livres, da 2.448
  - • da 61 z •
  - d b 14^
  - d c —— z T-------- 1 • —. — 8
  - dh--------------—— 1------"z
  - F K P
  - x 8584— — z 10 *——. — 0
  - M 0—N 11 0.4
  - M 0—N II 04
  - R. 4 fols — 8 deniers —. 8 mailles.
  - Z 8 5-84 Livres — 4 fols *— 8 deniers— 8 mailles.
  - 4°. Multipliez D par H & vous aurez 168 H. ou plus brie^ vement par les parties aîiquotes> prenez la moitié de D. qui eft 14 C. ( iuivanr iarticle 4. du quatrième-Exemple delàfixiér fne Proportion de ce Chapitre ) ou pour mieux parler ^ c ,j\ Ajoutez çnfemble d,.a. da. db. de. dh. leur femme fèr§
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- - de l'Inventeur François. . gj
  - X F K. Mais pour réduire les fraétions F K en fols, deniers, &c. faites la même choie que dans rExenipie precedent , ôc vous trouverez que le produit cherçhé'çft Z 8/84 livres 4fols 8 deniers 8 jnailles.
  - Troifieme Exemple du-premier Cas.
  - ToJfes pieds poncesA
  - Z8----------- 7—" ;>
  - 11 Livres.
  - Ts nrr"r, a ’
  - z8
  - jpour 6 pieds 5 —*—6 pour 1 pied ——;—-1 j pour z pouces ----—1 —^ 10
  - *
  - 3*4 6 — 10
  - l.rrrr 3.——-“—4
  - z—r- 3———t-—-4 ...
  - i- - --------L--t.m
  - 314 Livres —11 fols-4 deniers^ 8 maillés.
  - ------------------------------:-----------— 3
  - Soient données z8 Toifes 5 pieds 7 pouces, à multiplie? par 11 livres. /
  - Ayant doublé les fra&ions de la Toife comme cy-deflus^ vous aurez le nombre 2,8 Toifes 7 pieds z pouces, lequel multipliant par 11 livres, delà même maniéré que nous venons de faire dans les deux Exemples précédons, vous aurez pour pro* cluit 314 Livres n.fols 4 deniers & .8 mailles.
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- - P'
  - £4 'Z'Arithmétique
  - Quatrième Exemple du premier Cas.
  - Sçavoir combien valent 4 Toifes j pieds n pouces n lignes,: railon d une Livre la Toiüè. .
  - Ayant doublé les fractions de la Toife & opérant comme cy-deffus vous trouverez 4*livres 19 fols n deniers 8 mailles & 8 obolles.
  - Toifes _ pieds.. pou. îig.
  - 4---—------IX.-----.11 -------IO
  - i Livre.
  - 1 x----11---------10
  - 3------11-----— 11 — —•— 4
  - 4 Livres — 19 lois 11 deniers 8 mailles 8 obolles.
  - Si vous prenez la peiné de faire .céc Exemple par quelque au-|re méthode , vous trouverez celle-cy tres-facile & très- courte.
  - SEC O ND CAS,
  - Pu lorjbue le Multiplicateur contient les trois efpeces enfemble , oti Jeulement deux quelconques, ou îune des deux dernières.
  - CEtte operation confiftc dans l'intelligence des Réglés fuivantes.
  - iô. Le Multiplicande doit toujours être le nombre qui contient les Toifes ôc les fractions de la Toife, lefquellesfradions il faut doubler, ainfi qu’au premier Cas.
  - z6. Suivant cecy, le Multiplicateur aura toujours des livres & des parties de livre, ou feulement des parties de livre. Et
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- - âe ïIngénieur François. Sç
  - la plus grande induftrie de cette Réglé confifte à le bien établir. Suppofons en premier lieu qu’il n’ait que des fols. S’ils font en nombre pair, leur moitié prifè comme un nombre entier de Toifes fera vôtre Multiplicateur, mais s’ils font en nombre impair, apres en avoir ôté l’unité, la moitié du refte tiendra encore lieu de nombre entier ou de Toifes,dans le multiplicateur ; & la moitié du fol refiant à fçavoir c deniers, tiendront lieu de 6 pieds ; c’eft à dire d’une demy toife, puifque nous divifons la Toife en iz pieds ; par exemple fi vous avez à multiplier 1575 Toiles 4 pieds 7 pouces par 11 fols: le Multiplicande,fera par la première Réglé A B C & par cette fécondé le mukipli cateur fera D 6 qu’il faudra prendre comme C Toifes.
  - * Mais fi vous aviez à multiplier 17 Toifes j pieds 10pouces, par 5? fols,fuivant ladite pre miere Réglé, vôtre multiplicande feroit E F G.
  - &par la féconde, le multiplicateur feroit H K.
  - B C
  - l57S D (7
  - EFG 17 -—• 11 —8 H4-K6
  - 'le même que fi on vous a voit donné 4 Toifes & demie.
  - 3Ô. Si le multiplicateur donné a des deniers, ou ils font joints avec les fols, ou ils ne le font pas. S’ils font joints avec les fols, après avoir pris la moitié des fols, prenez celle des deniers : Comme fi le multiplicateur eft y fols 8 deniers, fa moitié donnera des unitez, que j’appelle Toifes dans le nombre A. & des pieds dans B. c’eft à dire z Toifes 10 pieds ou £ de toife. Mais fi le multiplicateur contient feulement des deniers & non des fols, il faut neceflairement remplir la place des fols par un zéro, & prendre leur moitié comme devant : par Exemple fi le multiplicateur donné étoit 9 deniers, écrivez o fols 9 deniers & prenez-en la moitié o fols 4 deniers 6 mailles que vous appellerez qui fera vôtre multiplicateur.
  - Mais fbuvenez-vous que A doit être écrit fous la première figure des toifes, B fous les pieds & C fous les pouces, vous
  - L iij
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- - A
  - 4*3 1 D 10
  - B C
  - ~ 5— * ES
  - Î6 If Arithmétique
  - en verrez la raifort dans les Exemples cy. apres.
  - 4Ô, Si les mukiplicateursque nousvenons de trouver étaient précédez par des livres , il n’y auroit qu’à écrire la première figure des livres fous la féconde du Multiplicande, fous la première figure duquel nous avons déjà écrit celle qui marque la moitié des fols, quand il y en a,ou un zéro lorlqu’il n’y en a pas : par exemple , s’il falloit multiplier 413 toif 1 pi. 7 pou. par 1 liv, o f 10 den. le multiplicande étably par la première Réglé feroit A B C, 6c le multiplicateur trouvé par cette quatrième feroit D E.
  - Le Multiplicande Ôc le Multiplicateur étant difpofèz de la maniéré que nous venons de dire, multipliez l’un par lau-tre, ainfi que le preferit la fixiéme Propofition de ce Chapitre $ c’eft à dire, de même que fi l’un ôc l’autre contenoit toifes, pieds, pouces, Ôcc.
  - Après la multiplication faite, retranchez la première fi-’ gure du produit des entiers , pour la mettre au nombre des fractions, où elle tiendra" le premier degré : ôc les entiers* ainfi corrigez donneront des livres;
  - 7°. Pour réduire les fractions de ce produit, aux fractions ufitées de la livre ; c’eft à dire aux fols, deniers ôc à celles que nous appelions mailles ôc oboles, il les faut doubler * mais fou-' venez vous que le degré le plus proche des livres peut contenir jufqu a 15). comme appartenant aux fols ôc que les fuivans ne peuvent avoir que n. comme étant deniers, mailles & obol-’ les, ôc par confequent vous commencerez l’addition par la moindre des efpeces.
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- - de îIngénieur François..
  - Premier Exemple du fécond cas.
  - n
  - A (i)
  - *S7S-D (î
  - B
  - ----5>'
  - C
  - - z
  - 5>45
  - or
  - ' 5>4J
  - H
  - 4 — 4 —
  - F
  - '7-- 7"
  - G
  - -o
  - -O
  - K L
  - 5> fols — z deniers
  - M
  - - o mailles.
  - Qu’il Fiille mul- j tipher ij75^Toifcsl 4 pied>. 7 pouces, par u fols ; c’efl: à dire, A B C par D. qui eft le premier exemple pro-pofë dans la féconde Réglé , & fui vaut la cinquième, _ foie trouvé le produit de la multiplication de ces deux nombres qui feraE F G. Par la fïxiéme, retranchez de £ <>4J4 la première figure H Ôc vous aurez pour entiers 24j livres, ëc pour fra&ions H F G.
  - Par la feptiéme, doublez les fra&ionsH F G & vous aurez KLM qui font fols v deniers & mailles, & par confequent le produit cherché contiendra 945 livres ^*fols z deniers.
  - Remarquez que nous avôns écrit à'côté des Toiles A, cette marque (1) afin de nous faire fouvenir, quaprés avoir trouvé le produit des entiers , il en falloir retrancher la premiers
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- - 8S L’drhhmetique
  - Second Exemple du fécond Cas.
  - E (i) F G
  - *•7 — '--------- jg
  - H 4——K £
  - H par EFG III — — IO -r~~- — 8
  - K par E F G 13 — Il — 10
  - P M N
  - L u 5 — ro — G
  - 5 — 10*—. — 6
  - Liv. Q R S
  - n 11 fols — p deniers — 0 mailles.
  - Soient donnez 27 Toifès j pieds 10 pouces , à multiplier par 9 fols, ceft à dire , £ F G par H K qui eft le fécond exemple propofé dans la fécondé Réglé.
  - Le produit trouvé *par la cinquième defdites Réglés fera L M N dans lequel, par la fixiéme, retranchant la première figure P du produit des entiers izj. les Livres feront L u. & les fractions P M N. lefquelles étant doublées donneront QR S. c’eft à dire, fols, deniers & mailles, & le produit to* tal fera 1 z livres 11 fols p deniers.,
  - Troifémé
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- - de iIngénieur François. %
  - Tmjïéme Exemple du fécond fa*
  - A (i) B C
  - 175 --—4----:--~ 10
  - D 25
  - DA - 87.J
  - D A 3jo
  - D B — ~ 8 -4
  - D C — V- I '8 IO
  - K G H
  - F 438 S O- T~ IO
  - s O IO
  - Liv. U N P
  - 438 10 fols — 1 denier — 8 mailles.
  - Soient données Toifcs a pieds j pouces, à multiplier pat z livres 10 fols.
  - ià. Les Toifos avec leurs fra&ions feront exprimées par A B C. fuivant la première Réglé, & les ^livres 10 fols par D fuivant la quatrième.
  - z\ Multipliez ABC. par D 25. comme cy-deffus, & foie Le produit F G H.
  - 3Ô. Retranchez de F la première figure K. pour avoir 438 livres, & les fractions K G H. fuivant la fïxiériie Réglé.
  - 4Ô. Doublez lefdites fraétions K G H. & elles vous donner ront MNP. qui font les fols, les deniers & les mailles , par la feptiéme Réglé, & le produit total fera 438 livres 10 fols 1 denier 8 mailles.
  - M
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- - ÿo L'Arithmétique
  - Quatrième Exemple dn fécond £as.
  - A (1) B c
  - .90 — D 17 — E 6 2
  - D A- 630
  - D A 180
  - n r. /T
  - E. A B C 4j- - . 0 —;^ 1
  - ! L H K
  - G 147 j— I 5 4. — J4 — - 7 7
  - L».
  - 247
  - 10 fols — deniers — 2 mailles.
  - Soient données à multiplier >0 Toiles o pieds 1 pouce, par 2 livres 15 fols. ' .
  - 1°., Par la première Réglé le Multiplicande fera A BC, & par la quatrième le Multiplicateur fera DE.
  - 2°. La multiplication étant faite, fon produit donnera G H K.
  - 3®. Retranchez de G la première figure L. & vous aurez four entiers 247 livres, & pour fraélions L H K. qui étant doublef comme deflùs, le produit total fera 247 livres 10 fols 5? deniers 2 mailles.
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- - de l'Ingénieur François] 91
  - Cinquième Exemple du fécond Qds.
  - A(0 B c
  - 4 J — 2.
  - D 0— — E 4^ F 6
  - E par ABC 1$- 3 —:—- o -— 8 *
  - F par A B C - 1—-—10 -10 -— 7
  - I 7 I : II— 3
  - 7 * 1 —11 3 4 * 5
  - Liv.
  - 1 14 fols — 3deniers— 10 mailles — C
  - On donne 47 Toiles 4 pieds 7 pouces , à multiplier par 5> deniers.
  - iô. Le Multiplicande fera A B C. par la première Règle.
  - z6. Par la troifiéme, le Multiplicateur fera D EF. —
  - 3ô. La multiplication étant faite par la cinquième, comme cy- devant, vous trouverez le produit 17 —1—11— 3.
  - 4Ô. Retranchant comme nous avons faitey-deflus de ce produit la figure 7. qui eft la première de 17. vous aurez pour entiers une livre,, ôc pour fraébions 7 — 1 — n — 3. qui étant double^ vous donneront 14 lois 3 deniers 10 mailles ôc 6 obol-les, ôc par confequent le produit cherche fera 1 livre 14 fols
  - 3 deniers 10 mailles 6 obolles.
  - Remarquez encore icy qge .1$ D o du Multiplicateur ne fert que pour vous faire fouvenir de bien placer les parties du Multiplicateur E Ôc F. & que la première figure du produit des entiers appartiendra aux fra&ions.
- p.91 - vue 103/176
- - &
  - Nota que nous appelions les noires D E Toifes & pieds, quoy qu'ils foient des livres, eu parties 4e livre.
  - V^énthmetiqm ^
  - Sixième Exemple du fécond Cas,
  - A (i) B
  - J 4 — — —
  - T> 2 — E io
  - C
  - - Q
  - D par ABC ig^------------------6
  - 6 pieds par A B C -- 27------ 4
  - 4 pieds par A B C 18---------— 3 -
  - ij| 5------
  - 5'“--— !
  - o
  - 6
  - • o
  - 6
  - 6
  - Liv.
  - ij J 10 fols — j deniers —o mailles.1
  - Soient à multiplier j.4 Toifes 4 pieds 6 pouces par j fols $ deniers, c’eft à dire ABC par D Ç,
  - « Tailànt loperation comme cy . deflus, le produit vous donnera 1 j livres 1 q fols 3 deniers.
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- - de l'Ingénieur François. 9)
  - Septième Exemple du fécond fas,
  - A(1) B C
  - 2:27-----4 ---------IO
  - D 20—• E 4-------------F 6
  - O par A —- 4540
  - D par B....... c —----8 _______ o
  - D par C ......i ------ 4_______ 8
  - E par ABC -—75 —— 9---------—— 7---------4
  - î3 par A B C —- 9 —:—.5 ----8 ----------- $
  - 463
  - 5 ----3 ------.11
  - 3-----3 ------"ii
  - 9
  - 9
  - Liv. L 463
  - 6 fols —7 deniers — u mailles — 6 oboles.
  - Soient données 117 Toifos 2 pieds -5 pouces, à multiplier par 2 livres o fols 9 deniers.
  - Le Multiplicande fera A B C. parla première Réglé: êcpar la quatrième , le Multiplicateur fera DEF. '
  - La multiplication faite comme cy - deflus, le produit fera L 463 livres 6 fols 7 deniers ji mailles 6 oboles.
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- - 94
  - £ Arithmétique Iluhiéme Exemple du fécond fas.
  - A (i) B C
  - i3-------9---------6
  - D 4?------B ?
  - D par A —. 117 D par A —- 52,
  - D par B ---.3 6 ———9 — -------; o
  - D par C -——- z —-----o — -----6
  - 6 pieds par ABC — c-------- --------*9
  - 3 pieds par A B C-^- 3 —-j-------— 4 ———6
  - 62 I 6-------1------------7-*----— <>
  - J £------1 ----------7------— 6
  - yv. |
  - M 68 'n fols — 3 deniers — 3 mail.— o obol.
  - Soient données 13 Toifos 4 pieds 5? pouces , c’eft à dire A B C. à multiplier par 4 livres ip fols 6 deniers, c’eft à dire par D E.
  - Failànt comme cy-deffus, vous trouverez le produit M qui vaut 62 livres u fols 3 deniers 3 mailles.
  - TPREMIER AVERTISSEMENT.
  - CE qui nous a cy-deflus obligé à prendre toujours pour Multiplicateur le nombre où font les livres ou les parties de la. livre, a été pour nous rendre plus intelligibles à ceux qui commencent* les plus avancez choifirontpour multiplicateur celuy des deux nombres propofez qui leur paroîtra le plus commode.
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- - de t Ingénieur François.
  - 95
  - SECOND AVERTISSEMENT.
  - NOus n’avons point parlé des Preuves des Multiplica-
  - dons precedentes , dautant que nous eftimons qu’il n’y -
  - en a point de~meilleure que de faire une même Réglé ei\deux *
  - maniérés, ou du moins la faire deux fois , puis qu ordinairement les grandes fommes qu elles contiennent méritent affez qu’on prenn# cette peine.
  - TROISIEME AVERTISSEMENT. /*>*~*<-*-.
  - La pratique des deux Cas precedens fe peut diverfîfier en pluGeurs maniérés. Mais ce quenous avons dit eft plus que fuf-fifant pour 1’Ingenieur, qui doit foi gneufèment éviter le curieux pour s’attacher uniquement au neceffaire.
  - QV ATRIE'M E AVERTISSEMENT.
  - LE s Marchands qui fe fervent d’Aunes , trouveront icy toute l’abbreviation ôc la facilité qu’ils fouhait-tent, puilqu ordinairement ils divifènt l’aune en demies, en tiers & en quarts, toutes lefquelles parties font contenues dans le nombre de iz, ceit pourquoy s’ils veulent divifer un côté de l’aune en 11. parties, & les appeller pieds, & chaque pied enTz. qiulspourront appeller pouces , ils n’auront qu’à pratiquer les Réglés precedentes,à la referve delà première, qu’ils trouveront déjà toute faite, puifque l’aune contiendra des douzièmes ou pieds % & chaque pied des douzièmes ou pouces, s’ils veulent aller jufqu’à cette exactitude.
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- - Exemple du premier cas.
  - Pour fçavoir combien valent nz. aunes trois quarts Sc un demi tiers d’une étoffe à 7. livres l’aune.
  - — Ayant trouvé fur l’aune le point où fe terminent les trois quarts avec le demy tiers en la tournant fur le côté marqué par pieds & pouces , on trouvera que les parties fùfdites valent 11 pieds.
  - C eft pourquoy multipliez
  - 12.2, -------_ Il — O
  - 7 livres
  - par
  - livres A B
  - 860-------5 — o
  - Vous trouverez-----------------
  - Les deux tiers de A & B font
  - Somme totale
  - 860livres. 8f -4 et.
  - Exemple du fécond Cas.
  - On demande combien valent 10. aunes 1. tiers & un demy
  - quart, à raifon de 4. livres \p. fols 6. den. l’aune.
  - Cherchez
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- - 9t
  - de ïIngénieur François.
  - Aunes pieds pouces 1
  - A (i) B C '
  - 20-----— <> ———G
  - D 4<> —— E
  - D par A B C 1018----------s>----«-----6
  - £ pieds par A B C io--------4 —--------2
  - 3 pieds par ABC 5-------2-------------4--------G
  - f
  - io3
  - 4-----4
  - 4-----4
  - Liv.
  - 103
  - 8 fols — 5? deniers — 3 mail. — o obolesi
  - Cherchez fur les parties de l’Aune divifee en 12 ,celles qui répondent à deux tiers & un demi quart & ayant trouvé 9. pieds épouces foit ABC vôtre Multiplicande, ôc D E. vôtre MuItiJ plicateur ainfi que defTus, & la multiplication étant faite comme C A B C étoient toifes, pieds Ôc pouces, vous trouverez de la même maniéré que nous avons fait plufieurs fois cy-defïus,que io, aunes 1. tiers & un demi quart à raifon de 4. livres 19. fols 6. deniers laune, valent 103. livres 8. fols 9. deniers 3. mailles^ Lorfque le Marchand aura acquis une médiocre pratique 9 il n aura pas befbin d avoir une aune actuellement divifëe en lu
  - C IN QV IEM E AVERTISSEMENT ,
  - plus important que les precedens.
  - s Ingénieurs ôc les Marchands qui craindront^jcte îd^gg^l^ mémoire, pourront réduire le premier câsaiT Ld^en mettant un zéro devant le premier caraétere des livres.
  - N
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- - IIArithmétique Exemple..
  - Soit répété le fécond Exemple du premier Cas, & foient données 300 toifés 3 pieds j pouces 5 lignes à multiplier par D z8 liyres.
  - i'°. Les fradions étant doublées comme cy-deffus^Ic Multiplicande fera A B C H.
  - A CO B G FT
  - 306 6 ri — G
  - D 180
  - I> par A 8 j6So
  - D par B — 14a
  - D par C 11 ——*— 4 *
  - D par H t 0 11 8
  - E F G
  - X 8^84 ] Z— 4 4
  - 1 Z. 4— 4
  - Liv.
  - Z 8/84 - 4 fols — 8 deniers — 8 mailles-.
  - zô. Le Multiplicateur ( qui eft le nombre entier des livres précédé par un zéro ) fera D z8o.
  - 3°. La multiplication étant faite comme fi le Multiplicande & le Multiplicateur contenoienc destoifes Ôc parties de toifes, foie le produit X.
  - 4°. Retranchez’ des entiers la première figure E ,pour avoir les fradions E E G.
  - 5?. Doublez lefdites fradions E F G & vous aurez le produit cherché Z 8584, livres 4 fols 8. deniers 8. mailles.
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- - de tIngénieur François,
  - 99
  - PROPOSITION HUITIEME,
  - De la Divijîon des Nombres de divcrfesj/peces,
  - L’Usage de cetteJDivifion ne paroîtra que dans la Réglé de Trols'ftfe laquelle nous parlerons cy-après.
  - Pour la faire il faut réduire les nombres propolèz en Décimaux , par la fîxieWeT^dpfafition du I vf"Chapitre de ce Livre,
  - =& apres faire la Divifîon, par la cinquième Propofïtion du/*°>^2~ même Chapitre.
  - Premier Exemple.
  - Soit propofé le nombre 196 li-1A ] IJ4lg , vres 3 fols 1 denier à divifer j g 4] 619 ( C 4i[ 37
  - par 4 livres i z fols 7 deniers. —---------------------
  - Les deux nombres étant réduits en Décimaux, comme nous venons de dire, le dividende fera A 1961 15416. & ledivifeur B 4 j 6z9 & la divifîon faite le quotient fera C 42, | 37 qui doit avoir deux Décimaux & valoir 41 livres 7 fols 6 deniers.
  - Second Exemple;
  - Soit propofé à divifer le nombre 4/7 Toiles 5 pieds 3 pou, 5? lig. à divifer par 8 ï to. 5 pi. ? po. I C 4571 88542, /-
  - Les redudions étant faites com- £> 81 <>^8 5 |
  - me dans l’Exemple precedent le di—----------*----------
  - vidende fera C 457)88541 & le divifeur D 811 5,58.
  - Et apres la divifîon faite, vous trouverez le quotient H 5 [ 5S. qui vaut 5 Toifes 3 pieds pouces un peu plus.
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- - ÎQQ
  - L’Arithmétique
  - AVERTI S S E ME NT.
  - QUelc^ues-uns enfeignent à faire ce s fortes de divi-‘ fions en reduifant toutes les elpeces à la plus petite % comme dans ce dernier Exemple, fi on reduifoit les deux nombres C & D en lignes, mais cela caufo un étrange & prefque invincible embarras , par la grande quantité des figures des \ nombres ainfi réduits, puifque la toife cube, par exemple contient 64427x544 lignes cubes.
  - Si vous vouliez vous forvir des fractions vulgaires , foperaC tion ne feroit gueres moins ennuyeufo s on la pourroit un peu abbreger, en imitant les calculs Aftronomiques j mais il fàu-'Tïrqir^charger la^memoirejde ringenieurde nouveaux préceptes» 8c à peine_aura-t’ii occafion de fo fervirde^ette divifion deux fois dans une année, c’eft jpourquoy Te meilleur efl: qu’ilfe fer-ve de la pratique que nous venons de donner.
  - CHAPITRE
  - / DE L'ARITHMETIQUE PRATIQUE.
  - Du Calcul du Toisé de ld Charpente.
  - QUELQU’UN me pourra dire que je devois référé ver ce Chapitre pour l’infercr dans le Traité de la Géométrie pratique de l’Ingenieur , mais je luy ré pond ray qu’il peut être__placé icy aveç_âutant de droit que Ta racine qûarJ ree que les Arithmeririens n’obmettent jamais, quoy que les ulâgesToient dans la mefure des lignes êc des fu-pe rfici es. De plus les réglés du Calcul que je donneray icy
- p.100 - vue 112/176
- - de ïIngénieur François . ior
  - font purement Arithmétiques ; c’eft pourquoy j’ay crû ne devoir pas obmettre dans ce Traité une connoiflance fi neceffai, re à llngenieur.
  - Ce Chapitre contiendra deux méthodes de calculer les dimenfions des Bois équarris, toutes deux nouvelles, & qui y à mon avis, feront bien receuës, puifqu’elles font fi faciles, fi courtes & fi generalles, que ceux qui les voudront apprendre abandonneront fans doute toutes celles dont ils fe feront fervis jufques alors.
  - PROPOSITION PREMIERE.
  - Du Qdcul des T) menions des, ; B pis équarris par votre première ^iethodç.; -
  - LEs Bois des Travaux du Roy,, font ordinairement toifez
  - condenc 3.
  - pieos^eubes je la divife én fix parties égalas^que j. appelle piedsrS^cïiaque pied en 12,. que jappelie poulces^&c. Pour toiftr une pièce de Bois équarri, fiiivant cette Propofition * obftrvez les règles fuivantes.
  - iô Melurez deux de fes dimenfions ( je çhoifis quafî toujours les deux de la groffeur) par pouce s,êc la troifiéme par toifes 6c parties de toife.
  - zh Prenez les deux dimenfions exprimées par pouces, comme fi c’étoient des pieds. Par exemple, foienc les trois dimenfions trouvées par la première Réglé A B D dont les deux premières A & B. font exprimées en pouces. Changez les ij. pouces de A en 1 y pkds , ceft à dire en % toiles 3 pieds, 6c les écrivez en A Changez de la même maniéré les
  - toifes pieds- pouces,
  - A o — o — 1 y B o — Q — 14
  - D 6 — 4"—- &
  - N irj;
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- - telfes pieds feu.'
  - a z— 3 —o
  - b i — z— o
  - D 6—4 — ^
  - toifes pieds pou.
  - a ; 2—3 — 0
  - b i — i — o
  - D 6 •—* 4 “ ^
  - roi , jüArithmétique
  - 14 pouces de B en 14 pieds , c eil à dire en z toifes 2 pieds, & les écrivez en b. Enfin ecri vez D fans y rien changer.
  - 3à. Prenez la moitié de celle des trois dimen-fions a b D qu’il vous plaira ^ c’eftà dire de colle'qui vous paroîtra la plus aifée à partager par.la moitié, je choifis icy b , qui me donnera 1 toifè 1 pied o pouce, ôc pour la diltinguer je, l’appclleray b.
  - 4° Multipliez entr elles les trois dimenfions a b D ( lup-pofant que toutes contiennent toifes, pieds ôc pouces ) ôc en tel ordre quil vous plaira , c’eft à dire multipliez d’abord les deux, a, by ôc leur produit par D ou les deux, a, D, Ôc leur pro-’ duit par b ou les deux é D & leur produit par, a , en toutes ces maniérés; le fécond produit vous donnera les fblives, les pieds ôc les pouces de {olives que vous cherchez *, par exemple je multiplié d’abord a par b ôc je trouve z toifes j pieds c pouces, lequel produit je multiplie par D, 6 toifes 4 pieds 6 pouces, ôc fécond produit me donne 15? toifes 4 pieds 1 pouce C lignes , qui eft celuy que je cherche. .
  - Remarquez que les 1 9 toifes dé ce dernier produit devroienü être nommées {olives. Mais j’ay crû les devoir appeller toifes, afin de faire voir à l’Ingenieur que les deux fufdites multipli-cationsnedifferent-en rien de celles qui ont été expliquées dans les 4 5 ôc 6 Propofitions du Chapitre V. de ce Livre.
  - Les jeunes Ingénieurs fe pourront exercer en commençant par multiplier , a, par D. ôc enfuiteleur produit par b &c.
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- - de ltIngénieur François. Autre Exemple.
  - ÏOj
  - Une pièce de bois contient dans fa grof- rToifes Phiî P™- %
  - leur-------------------------------------- \ o ~ o i o 9
  - C O — O — T. I — o
  - & dans {à longueur--------------------------16--4 — o —0
  - Les deux premières dimenfions étant changées ,jfïiivant la fè-2 conde Réglé, vous aurez pour première dimenfion io pieds
  - 9 pouces, c’efl à dire i toifè 4 pieds 9 pouces , & pour la conde n pieds, c’eft à dire i-, toifè j pieds, 1 ! toifè s pieds pouces. & la troifîéme peut demeurer la même qu'au-paravant 16 — 4— o> Mais à caufe que fa moitié eft facile à prendre, je 1 écris en fa place, à fçivoir 8 toifès z pieds. Cela fait je multiplie premièrement 1 toife 4 pieds 9 pouces , par r — j — c*
  - êc le produit me donne 3 — 1 — 8-------tf. lequel je multiplie
  - par &— 1 — o. & je trouve enfin 27 fblives z pieds z pouces
  - 10 lignes. ____________
  - Souvenez-vous que vous pourrez beaucoup abbreger ces
  - 1 — 4 —
  - 1 — s — o
  - 8— z — o
  - mulciplicarions^par Ta'^f'^ropofition duvf^t5apitre, quoy que nous ne l’ayons pas fait icy , ayant voulu exprimer les parties de la toife à la maniéré ordinaire.
  - Si la pièce de Bois à mefurer étoit fi petite que fes trois dimenfions euflent feulement des pouces, il en faudroit élever z au degré des pieds, comme nous avons dit & laifîer la troi^ fîéme en pouces & faire comme cy deffus ; mais s’il fè trouvoit quelque niafTe ou piece de Bois fi grofTe que deux de fes dimenfions ou même les trois peûffent être mefiirées par toifès ou par pieds, comme le plancher ou la doubleure d’un Pont,le plancher d un magazin à farine,&c. il fitudroittoujours réduire deux dimenfions en pouces , ainfi que nous avons dit; mais cetre réduction étant un peu longue, fèrvez-vous en ce cas de la Propo,,
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- - •k>4 ÙAnthmeHqHi ...
  - fitionqui fuit, bu plutôt fervez-voüs-en toûjours, ainfi que je eommençay/de faire dés le moment que je 1 eus trouvée.
  - RO POSITION
  - SECONDE.
  - Du calcul des dimenjîons des Bois equant s par notre fécondé Méthode.
  - E. L l e divife la folive de la même maniéré que la prece-2 dente 5 les Réglés qui luy (ont particulières font, iô. Mefurez les trois dimenfions avec la toife & les parties de la toile, ceft à dire, comme fi vous mefuriez une Maçon^ nerie, ou une malfe de terre.
  - zô. Si une de ces crois dimenfions eft exprimée en pouces J l aiiifi quil arrivera quafi toujours ) élevez-la au degré des toiles: celt à dire , fi elle contient 4. pouces , faites-la valoir 4, toiles, &c. & fi chacune de ces trois dimenfions excedoit 11. pouces , il en faut réduire une en pouces, afin delelever, ainfi que nous venons d[e dire, au degré des toiles.
  - 3°. Ces trois dimenfions ( dont deux font telles que vous les avez prifes fur le bois, & la troifiéme telle que nous la venons de décrire ) étant multipliées entr‘elles , comme nous avons dit dans la première Propofition , leur produit vous donnera les Solives & les parties de Solives que vous cher^ ches.
  - PremieS
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- - âe ïIngénieur François, îoj
  - Premier Exemple!
  - .i°.
  - Première figure,
  - , Toifes fieds pou»
  - A 13 —5— O B z—3 — J. D 0—0—3
  - LE plancher dun Pont contient en longueur A13 toifes 5 piedso pouces. Dans ià largeur B z toiles 3 pieds 5 pouces & dans fon épaiffeur D 0 — 0—3. ceft a dire 3 pouces , le tout mefuré comme k preferit la première Réglé. f,
  - z\ Par la féconde Réglé, puifque la di-menfion D contient feulement des pouces, élevez la au degré des toifes, ceft à dire pen-féz que ces trois pouces valent 3 toifes & ks appeliez d dans la féconde figure.
  - 3à. Multipliez enfemble ks deux dimenfions A B par la troifiéme Réglé , &vous trouverez leur proJ <duit 3 j* toifes 3pieds 3 pouces z lignes, lequel multipliant par d 3 toifes, vous aurez 106 Solives^ pieds .£• pouces 6 lignes pour 1e contenu folide du plancher du Pont que vous voulez mefurer. -
  - Seconde figure
  - Toifes pieds pou.
  - A 13 — 5—0 B z—3 — S
  - d 3 — 0 — 0
  - Second Exemple.
  - Calculons par cette méthode le pre- ‘Première figure, rnier Exemple de la première Propofî- . 7o^ts tleds poti‘ don, où les dimenfions étoient A B D. j t 6 Par la première Réglé écrivez ces trois j
  - dimenfions naturellement, ceft à dire comme £ elles étoient d’une maçonnerie,-d’un Rempart, &c.
  - 0—1—3
  - O — I — Z
  - 6 — 4-^6
  - O
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- - io 6 L*Arithmétique
  - zo. Elevez une des dimenfions réduite en pouces au degré des toiles, par Exemple A. c’eft à dire donnez aux ij pouces de A la va. leur de i j toiles & les écrivez en a. par la féconde Réglé& dans la fécondé figure.
  - 3®. Par la troifiéme defdites Réglés multipliez a. par B. le produit vous donnera z toiles j pieds 6 pouces, lequel étant multiplié par D vous aurez 15» Solives 4 pieds j pouce c lignesqui eft le nombre que vous cherchez.
  - Seconde figure.
  - Toifes pieds pou'.
  - a ij — o — o B o — 1 — z D 6 —4—6
  - T r o 1 s 1 e’m e Exemple.
  - Trente - s 1 x poutres des planchers d un Bâtiment contiennent
  - enlèmble dans leur longueur---------
  - dans une des dimenfions de leur groflèur-& dans l'autre----------------------
  - Première figure.
  - Toifes ' pieds pou. Iig;
  - D 15,0—3— 7 — 0 E o — o— 10— 6 F ©— 1 — o — o
  - mefurées fuivant la première Réglé. --------------------"----
  - - Par la féconde Réglé élevez la ‘dimenfion E ( qui con. tient 10-pouces) au degré des toiles, ceffc Seconde figure. à dire faites la valoir ioi toiles , ou 10 toiles , _ Toiies tteds tou‘ 3 pieds , & récrivez en e. dans la féconde figure. Cela fait multipliez D par e, & enlùite e le produit 2001 — 1 — 7 — 6 par F. & vous trouverez enfin 333 Solives 3 pieds 3 pouces $ lignes.
  - D 1^0— 3 —7
  - 10 — 3—0: G-- I — Q
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- - io?
  - de tIngénieur Franpis.
  - PROPOSITION TROISIEME.
  - T)u Calcul du Toisé des Bois ronds*
  - JE ne fçache gueres d’autre ufoge de la pratique de cette Pro-pofition que dans le calcul du Pilotis, mais je TeHirne très-eonfiderable, puifque fa Majcfté y fait de très groiTes dépen-ies : par exemple, lorfqu’il eft necelTaire de piloter les fondations des murailles d’une grande Ville , comme il eft arrivé à Ath, ou quil faut foûtenir avec les plus gros arbres les grandes Digues quon oppofe à la violence de la Mer , ainfi qu’on a fait à Dunquerque : & cette connoilïànce eft d’autant plus ne-ceflaire à l lngenieur que l’ignorance ou la malice des Ouvriers a introduit de faufies Réglés pour le Toile de ces fortes de Bois, qui font préjudiciables au fervice du Roy. Voicy de quelle maniéré vous ferez ces fortes de Calculs.
  - Premièrement., lorfque vous aurez en main là Table qui eft: à la fin de ce Livre, fèrvez-vous.en , dautant qu’avec elle on peut faire plus de ces fortes de Calculs en deux heures qu’on ne feroit fans elle pendant un jour entier -, c’eft pourquoy je vous confèille de n’y pas manquer, mais lorfque vous ne Tau-rez pas, fer vez-vous de la Méthode fui vante, dont voicy les Réglés.
  - iô. Melurez par pouces le diamètre moyen du pilot, c’eft à dire pris dans fon milieu, ce qui faffit pour la pratique, &qui eft conforme aux conventions ordinaires des Marchez, & qu’on fait avec un plomb appliqué à deux endroits d-une toife diviféc en pouces. Cela fait melurez la longueur par pieds, ôc parties de pieds.
  - il6. Quarrez ce diamettre, c’eft à dire multipliez le par luy meme.
  - O ij
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- - io 8 L Arithmétique
  - 3Ô. Multipliez cequarrépar n. & divilèz le produit par 14; Fuivant la Réglé d’Archimede, & le quotient vous donnera lë nombre des pouces quarrez contenus dans le cercle moyen du pilot.
  - 4Ô. Divifez. derechef ce quotient par 431. ou fi vous ne voulez faire quune feule divifion, divifiz tout d’un coup le produit du quarré & de 11 par 6048, & vous aurez le même quotient que fi vous aviez fait deux divifions, gardez ce quotient, y6. Multipliez ce quotient que vous venez de garder , par la longueur de 1 arbre bu du pilot, mefurëe en pieds & par-, ties de pieds, comme enlèigne la première Réglé , & le proa duit vous donnera le nombre des Solives que vous cherchez,
  - - - Exemple.
  - iô. Par la première Réglé, Soit le diamètre réduit dun*pilot de 6~ pouces, & fa longueur de 30 pieds.
  - 20, Par la fécondé defdites Réglés trôuvez le quarré de ce diamètre ^ qui* eÜ4i| 2 joo.
  - Par la troifiéme ôc quatrième defdites Réglés, foit multiple ce quarré par 11. & le produit 464I7500 divifepar 14. ôc foit le quotient 3^1964. derechef divifë par-43 2 pour avoir enfin le.quotient o|o7^8(4) ou plus brièvement, foit divifé 464J7500:par.pour trouver le même quotient o\oj68.U)
  - 4°. Par la cinquième Réglé multipliez ce quotient 0I07&8J par la longueur de l’arbre, à fçavoir par 30 pieds , & le produit vous donnera: i|304 Solives y c'eft à dire deux Solives, trois primés, huiles fécondés & quatre tierces , lefquelles frayions fi: vous voulez réduire aux mêmes que celles des Bois équarrisvous le ferez par les Réglés de la dixme,, ou fi vous voulez plus promptement par la Table qui eft à la fin de ce Livre, en prenant les Solives pour des Toiles , & de quelque maniéré que vous ayez opéré, vous trouverez 2 Solives 1 pied
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- - de ï Ingénieur François. 109
  - 10 pouces quafî, mais cetre reduéfion me paroît inutile, & je ne la fais jamais,
  - RE M A R QJJ E.
  - T A pratique de cette Propofïtion fera connoître à l’Inge-R jnieur de quelle maniéré il pourra trouver le nombre des pieds cubes contenus dans les mannes ou autres mefures, avec lefquelles on mefure ordinairement la Chaux & le Charbon, lorfque lefaites. mellires font cylindriques, c’eft à dire lorfque rroU» le cercle du fond eft égal à celuy du haut. Car apres, avoir trouvé par la troifiéme Réglé cy-deflus, le nombre des pouces quarrez contenus dans la îuperficie du cercle d’une manne, il n’y aura qu’à les multiplierpar le nombre des pouces contenus dans la.hauteur de ladite manne le produit donnera le nombre des pouces cubes contenus dans fà capacité , & divifanc lefdits pouces par 1718 on aura le nombre des pieds cubesqu’on cherche. Il eft vray que j’aurois pu abbreger ce calcul, mais te me fer ois rendu moins intelligible à ceux qui commencent ; -
  - les plus habiles trouveront d’eux mêmes ces’abbreviations, de je rpnvnye les un-s A les autres à la Table, qui eft comme j’ay dit, à la fin de ce Livre ; puifqu’outre fa plus grande facilité, elle contient auffi beaucoup, plus d’exaébitude que la Méthode dont nous venons de nous fervir, quoy qifelle foit d’Archi-,mede.
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- - no L’Arithmétique
  - <$*S5<3yâ? « <&fâ?Ç£*î?
  - chapitre VII.
  - DE L’ARITHMETIQUE PRATIQUE.
  - De la Réglé de Trois ou de Proportion. •
  - NOUS avons déjà parlé de cette Réglé à la fin du fécond Chapitre., mais ce n’a été qu’en paflant & autant que nous en avons eu befoin, pour rendre facile l’intelligence des nombres rompus. C’efl: icy le lieu d’en faire l’application aux choies materielles, tant avec les nombres entiers qu avec les rompus, & c’efl: ce que nous allons faire après avoir étably trois maximes, qui fervent de fondement à cette Réglé.
  - iô. Il faut arranger les trois termes donnez , de maniéré que celuy auquel efl jointe la queftion, ou qui demande le combien, foit au troifiéme lieu, Sc que celuy qui efl: de même nom & de même nature que luy foit au premier,& entre ces deux termes, il faut placer le troifiéme, qui efl: toujours de même nom & de même nature que le quatrième qu’on cherche.
  - ià. Il faut enfuite multiplier les deux derniers l’un par Tau-tre, c’efl à dire le fécond par le troifiéme, ou le troifiéme pat le fécond.
  - 3Ô. Le produit de cette multiplication doit être divifé par le premier, & le quotient fera le quatrième terme cherché.
  - PREMIERE QUESTION.
  - LE trànfport de 815 toifes cubes de terre a coûté 1141 livres 5 fols, combien coûtera au même prix le trànfport de 1178 toifes cubes.
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- - de tIngénieur François. m
  - \h, Par la première maxime, les 1278-i toifescubes doivent être au troifiéme lieu G puifqu’elles demandent combien de livres elles coûteront. *
  - ABC . D
  - toifes livres toifes livres
  - Siy----------2,141:| —— 1178^ l Réponfe 3516—
  - fols
  - II
  - deniers,
  - -3
  - Par la même maxime, le premier lieu A doit être remply par celuy des autres termes qui contient des toifes , ainfi que le fiildit troifiéme C ; enfin le nombre des Livres, qui efi: de même nom Ôc de même nature que celuy que je cherche, doit être au milieu B*
  - 2°. Par la fécondé maxime, multipliez B par C. & le produit fera 28652.98I4375;
  - 3à. Divïfez ce produit par le premier terme A 81 y. fuivant la troifiéme maxime, & le quotient D. 3^ 16] 5/6 25 fera le nombre que vous cherchez , qui vaut 3516 livres n fols 3 deniers.
  - S E CO N DE QUE S TI O N»
  - UN Entrepreneur a emprunté 516428 livres , a raifon de 8 livres pour cent d’intérêt annuel, combien devra-ni au bout de lannée.
  - A B C D
  - livres prêtées. livres d’intérêt,, livres prêtées, livres d'intérêt.
  - r00 donnent 8---------5641-8. 94* donneront 4/14 fs
  - iK Vous voyez que 56428 livres demandent combien dm-terêt, .& par confequent il a fallu lies placer au troifiéme lieu G.
  - De plus, puifque ledit lieu C contient des livres prêtées,il faut que le premier A contienne auiïï des livres prêtéesc eft pourquoy nous , y avons mis 100 livres enfin B que nous
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- - Ui L* Arithmétique •
  - avons mis dans le milieu eft l’intérêt, & de même nature que
  - le quatrième nombre cherché.
  - 2° Multipliez C par B. & le produit fera 451414.
  - 3°. Divifez ce produit par A 100 & le quotient D 4514 ^ liv. ou 4514 livres 4 lois & quafi 10 deniers,fera l’inteiêtque vous cherchez.
  - Vous trouverez îinterêt de la même fortune 56428 livres au denier 20 en difant. .
  - Si 2.0 livrés prêtées donnent 1 livre d’intereft 56428 livres prétées donneront 2821 - livres ceft à dire 2821 livres 8 fols.
  - TROISIEME QUESTION.
  - LA dépenfe faite pour les Fortifications dune Ville pendant 2 mois 15 jours a été de 2015514 livres: on demande quel fonds le Secrétaire d’état doit faire tenir au Treforier pour faire continuer les mêmes Travaux, avec la même Gar-nifon pendant une année. .
  - i6. Dans cét exemple le terme qui demande le combien eft une année.
  - A B C D
  - livres. livres foie.
  - ^ d’année 2015514— 1 année. ? Réponfe 51810510— 16.
  - qui doit être au troifiéme lieu C. & par confequent celuy qui fera au premier A ( puifqu’il doit être de même nom & de même nature que le troifiéme )lera aufïi .exprimé par année ou par portion d’année,à fçavoir-ÿ- ou plutôt -7\ d’année ffup-pofant l’année commune ôc les deux mois en queftion avec les 15 jours adjoints contenir enfemble 75 jours, ) & le nom^ bre de la dépenfe 2015514 livres fera placé dans le milieu B.’ comme deffus , ou bien fi vous voulez éviter les fraétions
  - reduifcz
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- - de îIngénieur François,
  - teduifezen jours les deux termes A & C. en cette maniéré, en 7^ jours on a de'penfé *0155*4 livres, combien en 3^5. Rép, D 5*8105*0 livres 16 fols.
  - Et de quelque façon que vous opériez vous trouverez D 5*8105*0 livres 16 fols.
  - QUATRIEME QUESTION,
  - UN Entrepreneur doit au Roy 3456 livres 18 fols : on l'oblige à faire certain nombre de toiles quarrées de maJ ^onnerie à 21 livres 14 fols la Toife : on demande quel nom-’ bre defdites toifes il doit faire pour ladite fomme,
  - iivresl toifes.. livres. toifes. fieds fautesi
  - 11J7 donnent 1. combien 345^]5>. Reponlè 2.5*5
  - CINQUIEME QUESTION.
  - SEpt Soldats qui ont travaillé raifonnablement pendant une journée d’hyver, ont tranfporté 45*4 pieds cubes de terre, & ont gagné chacun 8 fols, fuivanr l’ordre du Rpy, qui font j 6 fols pour le prix defdits 4^4 pieds cubes : on demande a combien revient la toife cube , afin de faire marché avec l'Entrepreneur avec plus de feureté : dires,
  - ;;pieds cubes. fols. fieds cubes,. livres.
  - 45*4 coûtent 56. combien 116. Réponfo *4 C’eft à dire 24 fols 6 deniers quafi.
  - SIXIEME QUESTION.
  - YIngt-cvuatre Soldats ont entrepris un remuement de terres defquelles pendant 6\ jours ils ont tranlpor2 të 48toifes cubes, il en relie encore 541~. on demande ea combien de temps ils auront achevé.
  - p
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- - n4 JO Arithmétique
  - Vous voyez bien que le nombre de *4 Soldats ne doit point entrer dans la Réglé, & que les termes doivent être ainfi difpofez.
  - toijes. jours. toifes. ‘ jours.
  - 484 ont été portées en 6-z. —• 541 * le feront en 72.7*. C’eit à dire en 72, jours 8 heures & fs d’heure qui valent 3* minuttes.
  - SEPTIEME QUESTION.
  - LE cent de Solives du bois de Charpente coûte par marché fait 164 livres 1 1 fols , on demande combien valent 647 f folives audit prix.
  - Il faut avertir icy l’Ingenieur qui commence, qu’encoreque tous les Bois d’une Forterefïè fuflènt d un même prix , cependant on fupputc à part ceux qui appartiennent à un même ouvrage : par exemple, ceux d’un rang de Cazermes, ceux d’un Magazin, d’un Pont, &c. & que ce feroit un extrême fatigue pour luy, s’il falloit faire chacune de ces fupputations par la Réglé de Trois ordinaire j c’eft pourquoy il eft à propos qu’il fçache que la Réglé de Trois, que nous venons de décrire, peut être faite d’une façon qui luy fera bien plus commode en beaucoup de rencontres que la precedente : la voicy , les termes étant arrangez comme cy-devant.
  - iô. Divifez le fécond terme par le premier. zô. Multipliez ce quotient par le troifiéme, & le produit vous donnera le quatrième terme que vous cherchez.
  - Ainfi dans cét exemple ayant difpofé les trois termes à la maniéré accoutumée.
  - /olives livres fols. /olives livret folsden.
  - i 00 coûtent 164—11. combien coûteront 647-*. & io6j- i/ 9 Divifèz 164 livres n fols par 100. le quotient fera 1)646.,] lequel étant multiplié par le troifiéme terme 647 f Solives9 vous trouverez 106$ livres ij'fols 9 deniers.
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- - de îIngénieur François. uj
  - RE MA R £V E.
  - (~^E T T E Rcgle n’eft pas plus courte que la precedente, ^mais elle vous donne cét avantage, que dans toutes Ie$ autres Réglés de Trois quil vous faudra faire pour trouver le prix des bois de chaque ouvrage , vous n’aurez quune feule multiplication à faire du nombre propoféde fclivespar 1J646,
  - HUITIEME QUESTION.
  - UN Ingénieur a obfervé dans une épreuve, quil eft entré pieds cubes de Chaux vive dans 3 l- toiles cubes de maçonnerie de moilon. On demande quelle quantité de chaux il doit mettre en provifion, pour le revêtement dune Citadelle qu’on revécira dans un an, & qui fùivant les profils donnez, contiendra 140/0 toiles cubes de maçonnerie de moillon.
  - toifes cubes pieds cubes toifes cubes pieds cubes»
  - pour 3 q il faut 85*x- de chaux vive, comb. pour 140/0. j^.3;8i7/.
  - Les termes étant difpofez à l’ordinaire, fi vous voulez faire cette Réglé comme la precedente, divifez par 3 ^le quotient fera i/~. lequel fi vous multipliez par 140/0 vous trou-; verez 3/827/ pieds cubes, lefquels étant divifez par 116 vous donneront 16/8 toifes cubes & 147 pieds cubes.
  - NEUVIEME QUESTION.
  - LE cent pefant de livres de gros fer employé dans une Fortification coûte 17 livres 1/ fols deniers, combien à ce prix coûteront./8?/ *rlivres pefant.
  - Les termes étant difpofez à l’ordinaire : dites,
  - Pij
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- - il6 1}Arithmétique
  - livres pefanf. livrés fils deniers. livrés pefant. livres fols déni
  - poo coûtent 17-15-6. combien coûteront yt. 1047-1 8- &
  - Commencez par réduire 17 livres 15 fols 6 deniers en frai étions décimales, à fçavoir en 171775 & divifez ce nombre par 100. qui eft le premier terme, ainfi que dans les deux exemples precedens, le quotient fera o| 17775.(î) lequel fi vous multi-, pliez par 58^57 vous trouverez 1047 livres 1% fols 6 deniers;
  - DIXIEME QDÊSTIONL
  - DA ns certaine Garnifon lorfque la pièce de vin eoutoit 75 livres,on vendoit la pinte 5 fols 6 deniers. Dans le même lieu, ladite piece ne coûtant plus que £0 livres 10 fols * pn demande combien vaudra ladite pinte..
  - livres.. fols.. livret fils.
  - ' 75-------f-.------ÉO l Re'ponfe 4
  - Ç’efl: à dire 4 fols. Sc prefque 6 deniers;
  - ONZIE'ME question:
  - LE Roy a'ordonné que pour donner paflagea une Riviere,, on ralèroit en diligence une Montagne , qui contient zp.8 506 toiles cubes, de par les épreuves particulières quon a faites, on a remarqué.
  - 1°. Quf ayant applique7 a cerrain endroit tout le nombre dc& Soldats^ broüetteurs qu'il peut contenir, ils tranfporterent en un jour 47 toifes cubes.
  - zh. Qu'ayant mis autant d'hortiers qu’il étoit poilible dans un autre endroit, il tranfporterent en un jour x6 toiles cubes.
  - 5Ô. Qu'avec dès Camions traînez par des chevaux' dans un autre endroit, on avoit enleve dans un jour 8z - toifes cubes*
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- - de l'Ingenieur François. 117
  - Ces épreuves fuppolees, on demande en combien de temps la lufdite quantité de 25)83 06 toifes cubes pourraétretranlpor-tée, fuppofànt que les difficultez foient toûjours les mêmes , & que les foldats & les chevaux travaillent toujours avec même vigueur.
  - Premièrement, ajoutez enfemble le nombre des toiles qui peuvent être tranfportées en un jour, à fçavoir 4726 & Sx 8c ayant trouvé leur fomme qui eft 156 toiles cubes : dites par la Réglé de Trois,
  - Si toifes cubes font tranfportées dans un jour, dans combien le feront 25)8506 toifes cubes. Réponfe 15K3 fjoui%. Ceft à dire 5 ans 2 mois 15 jours 8c douze heures, fuppolànt une année biffextile dans le nombre des jours trouvez , 8c que les deux mois de forplus feront chacun de 31 jour, vous ajouterez à ce nombre la quantité de jours que vous jugerez à pro* pos, pour compenfer les fêtes 8c le mauvais temps.
  - Remarquez icy que lors que les épreuves dont nous venons de parler auront été faites en differens nombres de jours, il faudra par diverfes Réglés de Trois les réduire à un même nombre de .jours , 8c dans ce cas la refolürion de la queftion fera trouvée par la réglé de Trois eompofée , que nous expliquerons dans le Chapitre IX.
  - L’Ingeniéur trouvera un très-grand nombre dé ces Réglés de Trois dans la eonftruéfcion des Tables de Trigonométrie, dans l’application que nous en avons faite au calcul des Fortifications, dans notre Traité des Profils , 8c generalement en toutes fortes dé rencontres.
  - Vous ferez là preuve de îa Réglé de Trois , en multipliant le premier terme par le quatrième trouvé. Item le fécond par-te troifiéme , car fi ces deux produits font égaux , la Réglé efl bonne, finon il 1a, faudra recommencer..
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- - xi3
  - ÎJ Arithmétique
  - CHAPITRE VIII.
  - DE L’ARITHMETIQJJE PRATIQUE.
  - De la Réglé de Trois inVerfe.
  - DAns la Règle precedente le premier terme a même rapport au fécond que le troifîéme a au quatrième, & par confequentfionfuppofeque ledit premier terme devienne plus grand, il faudra à même temps que le fécond devienne aulli plus grand, & fi le même premier terme eftfuppofé devenir plus petit, il faiidra que le, fécond devienne auffi plus petit : mais lorfquc cela n arrive pas & que le premier étant fuppofé devenir plus grand, le fécond doit devenir plus petit, ou au contraire , le premier devenant moindre, le fécond doit devenir plus grand, en ce cas il faut fè fervir de la prefente Réglé, quon appelle inverfe , dautant quelle renverfe l’ordre de l’operation que nous avons décrit dans la precedente , laquelle en comparai -fon de celle-cy eft appellée direéte. Voicy trois Maximes qui fervent de fondement à celle-cy.
  - iô. Il faut difpofer -ou arranger les trois termes donnez, ainfî que dans la precedente.
  - 2°. Il faut multiplier le premier par le fécond, ou le fécond par le premier.
  - 3Ô. Il faut divifèr le produit de cette multiplication par le trob fîéme, & le quotient donnera le terme que vous cherchez.
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- - de l'Ingenieur François, n$
  - PREMIERE QUESTION,
  - IL y a une piece de Camelot large de demy aune demy quart, ceft à dire -, dont il faut quatre aunes pour faire un jufte-au-corps, lequel on veut doubler avec du Crefpon qui a demy aune de large : on demande combien d aunes dudit Crefpon doivent être prifes pour ladite doubleure.
  - iô. Auparavant que de chercher fi la Réglé cft direâe ou inverfe, difpofèz les termes ainfi que dans la Réglé de Trois direde, & comme vous voyez icy.
  - de largeur. de longueur. de largeur. de longueur
  - pour g d’aune il faut 4 aunes, cob. faudra-t il pour £ aun. 5 aun.
  - Cela fait confiderez que fi le premier ternie | devenoit plus grand, le fécond terme 4 aunes deviendroit plus petit. D’ou vous devez conclure que la Réglé eftinverfc,& par confèquent, iô. Multipliez le premier & le fécond terme l’un par l’au-tre, & leur produit fera £ , ceft à dire{.
  - 3° Divifez ledit produit J-, par le troifiéme terme \ > ôc le quotient vous donnera j aunes pour la longueur dudit Crefpon.
  - SECONDE QUESTION.
  - QUarantb^-neuf Soldats en 63 jours ont. enlevé certaine mafTe de terre, il en refte une pareille à tranf-porcer, & qui peut contenir 77 Soldats fans qu’ils s’incommodent les uns les autres *. on demande dans combien de jours ils auront tranlporté ladite fécondé mafTe.
  - Soldats. jours. Soldats. jours.
  - 49 ont befoin de 63---77 auront beloin de 40
  - Ç’eft à dire de 40 jours 1 heures & un peu plus.
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- - no L* Arithmétique
  - TROISIEME QUESTION.
  - UN Gouverneur afiiegé avec 5000 hommes a des vivres pour 3 mois * mais il n’attend du fecours que dans 4. on demande combien d’hommes il doit congédier, afin que le relie ayt des vivres à foffifànce pendant lefdits 4 mois,
  - mois. hommes. mois. hommes.
  - 3 peuvent nourrir 5000----4 nourriront 3730.
  - éc par confequent ledit Gouverneur doit licentier 1230 hommes}
  - QUATRIEME QUESTION.
  - UN Entrepreneur veut troquer 2734 me&res de Plâtre a 14- fois la mefore., contre de la Chaux dont ladite me-fiire coûte 19 fols ; on demande combien il faut de mefores de ladite Chaux pour équivaler les 2734 de Plâtre,
  - fois. mefures de Plâtre. fols., mefures de Chaux,
  - 14 {---— 2734 —-----------19-----*101 £
  - îl faut icy remarquer deux chofes : la première, que l’Emî trepreneur pofTeffeur des 2734 mefures de Plâtre à 14 \ fols chacune , eft cenfé pofTedcr en elles la fournie de 1996 livres 13 fols , laquelle eft icy repute'e fixe, & que ledit Entrepreneur ne fçauroit faire valoir davantage, & par confequent, fi vous doublez les 14 ~ fols, vous ferez oblige de prendre la moitié' des 2734 mefures : d’où vous deyez inferçr que la ReJ gle eft inverfe,
  - La fécondé chofe qu i! faut remarquer eft , que le fécond & le quatrième terme font d’un même nom & d’une même nature, puifque tous deux font mention de la meme mefore & quil n’importe pas que dans le fécond elle contienne du Plâtre, & dans le quatrième de la Chaux.
  - CINQUIEME
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- - de tIngénieur François. ni
  - CINQUIEME QUESTION.
  - ON a employé 87 jours a faire un Cavalier daps un BaJ ftion en y tranfportant des terres dans des hottes, qui contenoient demÿ pied cube. On veut former un autre Cavalier fèmblable à cêluy-cy dans le Baftion voifïn , 6c le fervir pour le tranlport de lès terres de brouettes , qui contiennent \ de pied cube, & employer les mêmes travailleurs qui ont fait le precedent : on demande en combien de jours fera formé le^ dit (ècond Cavalier.
  - pied cube'. jours'. pied cube. jours.„
  - 1--------87-^—:---*----------i
  - SIXIEME QUESTION.
  - LE prix de la mefure de bled étant de ^ dunécu, le pair* d un (ol pelé 11 onces : on demande le poids dudit pain d*un fol j Jorfque ladite mefure coûte 1 ^ d’écu.
  - d’écu. onces. d'écu. onces.
  - donnent il —— ~ donneront 71.
  - Ta preuve de la Réglé de Trois inverfe le fait en multipliant le premier terme par le fécond, le troifiéme par le quatrié-me trouvé : car fi ces deux produits font égaux , la Réglé eû bonne, finon il la faudra ^recommencer.
  - Q
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- - m
  - ZfAnthmetiqm
  - CHAPITRE I X.
  - DE L'ARITHMETIQUE PRATIQUE;
  - De la. Règle de Trais composée.
  - O .N- appelle cette Réglé compofee, a caufê qu'élle con* tient ordinairement deux Réglés de Trois, & quelque^ fois davantage , ainfi que vous verrez ; dans les Exemples qui. fuivent,,qui vous la feront mieux comprendre que tous W préceptes que nous vous en pourrions donner.
  - PREMIERE QUESTION:
  - IL a coûté 40.0 livres pour là voiture de 200 boulets de cal non, par un chemin de ijq lieues dé longueur , combien coûtera^ul pour celle de 1174 boulets du même poids, voitu-rez par un chemin de 1-88 lieues, qui a lés mêmes difficulté»-que le precedent. Dites par une Réglé de Trois directe, 100: boulets'voiturez par 1 jp lieues ont coûté 4oaJivres, combien coûteront 1174 boulets voiture» par le&mêmes ijo lieues..
  - boulets. livres. boulets. livres.
  - 20a------ .4p.OL.L-——r- j 1742348.
  - Dites' derechef par une féconde Réglé de Trois directe, pour ijo lieues de chemin piari lequel ôn a mené 1174 boulets on a payé 2548 livres , combien payera-ton pour 188 lieues de chemin, par lequel on veut conduire lés mêmes 1174 boulets,
  - lie - iis, livres. lieues. livres.
  - j jo ——•— 2.348 ;---188, Réponfe
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- - âetlnvenkw François. u}
  - C’eft à dire quepourïa voiture defdits 1174. boulçts par un chemin.qui a 188 lieues de longueur il coûtera 1941 livres rg (ois 6 deniers & j- de denier.
  - SECONDE QUESTION.
  - H U i t Soldats en 4 jours ont tranfporté 18 ^toifes cubes de terre, on demande en combien de temps zo Soldats tranlporteront 64 toiles cubes , (iippofant le même chemin & les mêmes difficulcez.
  - Faites ainfi vôtre première Réglé de Trois, & dites 8 Soldats pendant 4 jours ont remiié toifes de terre,, combien zo Soldats en remueront-ils pendant lefditS4 jours.
  - foldats. toifes. foldats. !toifes..
  - 8—— j 8 ~ —-*—«— xq. 'Reponfe 464. crDmBd êc vous trouverez que zo Soldats en quatre jours doivent tranf. porter.46 4 toifesxubes de .terre-
  - Faites maintenant une fécondé Réglé «de Trois, & dites., 46 ; toifes cubes de terre ont été remuées par zo foldats en 4 jours, enxombien de jours £4 toiles cubes feront elles remuées par lefdits zo foldats.
  - toifes. jours. "toifes’l jours.
  - 46-{ ~— 4--------- 64. Réponfe 5 -ff. 'DireBe.
  - Afin de donner plus d’ouverture pour pareilles queflions à ceux qui commencent, & les accoutumer.à ranger les nombres en plufieurs maniérés, nous refoudrons cette Queftion par une autre voye. Ce que nous pratiquerons encore dans plu-Ceurs des foivantes.
  - Dites donc premièrement, par la Réglé de Trois inverfe,'
  - 8 Soldats en 4 jours ont remüé ;*8 -‘ toifes , dans combien de jours zo Soldats remueront-ils les mêmes a8 toifes.
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- - îi'4 D Arithmétique
  - Soldais. jours. Soldats. jours:
  - g —-w- 4------------20. Réponfe 11.
  - Dites enfùite par la Réglé directe, 18 { toiles cubes ont été tranlportées par i*o Soldats en * jours , en combien de jours #4 toifes cubes feront-elles tranlporte'es par les mêmes z* Soldats. »
  - toifes. jours. toifes. jour si.
  - r8i---------f—-----<?4. Réponfe 5-
  - TROISIEME QUESTION;
  - QUatre Faucheurs ont fauché ïj arpens en 6 jours, ea combien de jours ^Faucheurs couperont.ils 40 arpens*. Dites par une premier-e Réglé de Trois^
  - faucheurs. arpens-. faucheurs. arpens-.
  - ; 4--------— 1 s——3. Réponfc 33-i. DireSn
  - Dites derechef par une fèconde Réglé;
  - arpens. jours arpens. jours.
  - 3 3 + —— 6----------- 40. Réponfe 7^
  - Autre rejolmïon Se lœfcmeme Quefiion.
  - SI 4 faucheurs en &joufr*ct>upent i f arpensen combien de jours ? faucheurs couperont-ils les mêmes arpens. f
  - faucheurs. jours. faucheurs. jours.
  - 4-------6--------9. Réponlc-, fnverfei.
  - En apres, fi pour couper 1$ arpens, 9-fâucheurs ont employé 2 ? jours, combien de jours emploieront les mêmes 9 faucheurs pour couper 40. arpens*.
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- - de l’Ingenieur François. uj
  - arpent. jours. arpens. jours.
  - jj — J------------40* Réponfe j-‘. Dire fie,.
  - QUATRIEME QUESTION.
  - TRois Maçons en un jour font une toife cube de maçonnerie, en combien de jours 360 Maçons feront-ils >610 .toifes cubes de pareille maçonnerie.
  - Dites pour la première Réglé de Trois, y Maçons en 1 jour font une toile, combien de toifes feront 360 Maçons pendant le même jour.
  - Maçons. toife. Maçons. toifes.
  - ---i--------360. Réponfè 120. Dire fie «
  - Dites enfuite pour la féconde Réglé de Trois, G no toifes font faites en un jour par 3,60 Maçons , dans combien de jours feront faites 2.610 toifes par les mêmes 360 Maçons. •
  - toifes. jour. toifes, jours.
  - 12.Q—----i--------’2.6iq. Réponfè DireBe.
  - Autrement:*
  - SI pour faire une toife en un jour il faut trois Maçons £ combien faudra-tï! de Maçons pour faire 2610 toifes pendant ledit jour.
  - toifé. Maçons» toifes- Maçons.
  - 1-----— 3--------2610. ^Reponfe 7830. Dire fie.
  - Derechef fi 783a Maçons en un jour font 2.610 toifes eûtes, en combien de jours 360 Maçons feront-ils. les mémo; 2610 toifes cubes.
  - Maçons. jour. Maçons, jours,
  - 783A--------- x - 3.60. Reponfe 21 j-. Tnwfe*
  - QJij
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- - n6 V Arithmétique
  - CI N QU IE’M E QU^E S TI ON.
  - LA Toife de France vaut 6?pieds,le pied vaut u pouces* l’Aune de Paris contient 3 pieds 7 pouces. i©o aunes de Paris valent 161 aunes de Londres on demande com^ bien il faut-d’aunes de Londres pour e'galer 10 toiles de Fran. ce. Cherchez premièrement quelle partie de là toife contient une aune de Paris, en cette maniéré.
  - pouces. toife. pouces deVaune, de toife.
  - ~7* font .j -------43 -; font ni.
  - Cherchez enfui te combien 161 aunes de Londres ou jl’qo aunes de Paris ( puifqnelles font égalés ) valent de -toiles, en cette maniéré.
  - aune de Paris, de Toife. aunes de "Paris. toifes,
  - ' $ vaut $ —------------xpq vaudrontju
  - Dites enfin.
  - toifes. aunes de Londres. toifes. aunes de Londres,
  - 1x1 3 valent 2,6.1 ——— 1,0 vaudront 11
  - SIXI-É* M E QUESTION.
  - VN pied de Flandre contient 11 pouces du pied de Paris^ 400 pieds quarrez de Flandre font une Verge quarrée dudit lieu : on demande combien cette Verge vaut de toifes quarrées.
  - 16. Multipliez quarre'ment ~ &vous trouverez quun piei quarré de Flandre vaut ~ du pied quarré de Paris.
  - 2A Dites par une Réglé de Trois direfte.
  - pied quarré de Flandre* du pied quarré de Paris, pieds quarrez de Flandre, pieds quarrez de Parisi
  - ï vaut — 400 vaudront 33
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- - de tlngenieur François. ny
  - y>. Dites enfin.
  - pieds quarrez. de Parts, toi fs quarrêe. pieds quarrez de Paris. toifcs quarrêes,
  - $$ valent ï donc 33^-j valent
  - SEPTIEME QUESTION,
  - LE Scaf audit lieu de Flandre contient 400 pieds cubes du pays : on demande la réduction defdits 400 pieds cubes en toiles de France,
  - 1°. Multipliez* cubiquement £ & vous trouverez quun pied cube de Flandre vaut du pied cube de Paris-2°. Dites par une Réglé de Trois,
  - pied cube de Flandre, du pied cube de Paris, pieds cubes deFlandre: pieds cubes de Paris.
  - 1- vaut donc 400 valent 308
  - 5?. Dites enfuite ,
  - 'pjeds cubes de Paris. teife cube.. pieds cubes de Paris. toife cube.
  - z.16,, valent t- donc 3018 — valent 1
  - Ou bien 1(42 £4 toile cube, c’eft à dire 1toife zpieds 6 pouces % lignes, fuivant la derniere maniéré de divifer la toife cube,
  - huitième question:
  - EN certaine Ville d’Italie la meliire dont on fè fert pour-les Solides , eft appellee Trabuc , qui contient 6pieds ( quils appellent JLiprandi ) en longueur , fur autant de largeur, dudit pied de hauteur , c’eft à dire 3a pieds cubes du pays. Le Trabuc de maçonnerie coûte u livres de marché fait : on demande à combien revient la toile cube.
  - 1°. Il faut d’abord fcavoir que la longueur d’un pied Lipran-di contient 1 pied. $ pouces 8 lignes de Paris , c’eft à dire #8 * pouces, ou bien ^ pouces que vous réduirez en partie de pied : en difànty
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- - hS U Arithmétique
  - fen$ef. fied de Paris. fonces. fied de Paris.
  - %l font i donc 5f font ij qu £
  - zb. Pour fçavoir la valeur du pied cube Liprandi , réduit £ celuy de Paris, multipliez cubiquement y. & vous aurez
  - f. Dites*
  - fied cube Cifrandt. fied cübe de Paris, fieds cubes liprandi. fieds cubes de PaYfc*
  - x vaut ^ donc 30 valent I
  - fieds cubes 4e Paris. livres.. fieds cubes de Paris. livres.
  - 4° Dites ni -J valent 12. donc 216 vaudront zi ou bien livres qui font 22. livres 19 fols 1 denier quafi.
  - NEUVIEME QUESTION.
  - QUatre mille tommes afïîegez ont du pain qui pour-roit leur fùffire pendant 4 mois , fi chacun d'eux n en mangeoit que 18 onces par jour, ils trouvent occafion.de renvoyer ypo malades, & leur ordre eft de tenir feulement pendant 3 mois : on demande combien chacun des 3300 hon£ mes qui refient doit avoir de pain par jour.
  - Dites premièrement, 4000 hommes font nourris pendant 4 mois avec certains vivres, pendant combien de mois 330,0 hommes feront ils nourris avec les memes vivres.
  - <bommea. mois. Sommes. -mois.
  - 40.00 — -------4 —:— 3fpp. Réponfe 4 InVerfe.
  - Kota que les certains vivres font les 18 onces de para qui feront mentionnées dans la fécondé Régie de Trois.
  - Dites enfuite, pendant 4^ mois on peut donnée 18 onces par jour 1 chacun defdits 3 joo hommes* combien pourra-t-on donner par jour des mêmes onces à chacun des memes 3300 hommes pendant 3 mois.
  - mois
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- - àe ïïngenitur François* 0,9
  - "iftoît. on et s. mois. oncet.
  - 4 ? "“r: —3* R^ponfe %7y XaVtrJe.
  - Autrement.
  - SI pendant 4 mois certains vivres peuvent iüffire à 4000 hommes, à combien d'hommes Jes mêmes vivres pour-, roient- ils fufEre pendant trois mois.
  - mois. hommes. mois. hommes.
  - 4 ——~ 4000 3. «Réponfe. /«vrÿ?.
  - Enliiite fi i— hommes peuvent avoir chacun 18 onces par jour pendant trois mois, combien des mêmes onces pourront; avoir 3joo hommes chacun pendant le même temps.
  - ."homme*' onces. hommes. ' 5 onces.
  - •“se----— 18 _ ... - 3)00. Re'ponfc ry *.
  - DIX IE ME QUESTION.
  - m
  - VN Fort qui eft fur une colline a une Citerne J ag fond de laquelle il y a deux trous inégaux, le premier étant «ouvert toute d’eau s'écoule en 4\ heures,-mais le fécond étant débouché la même eau s’écoule en é heures : on demande en combien d'heures toute 1-eau secoulera, fion ouvre les deux trous ,a même temps.
  - faites deux Réglés de Trois pour tçavolr quelle partie de l'eau s’écoùle dans-une faeiiïtë/pa^châctitttroii. i s x
  - A Si pendant 4 f heure$4ne 'êdâ éMerê^ft-ytii<léeéq^ile partie^de la me me- eaufera vuidee pendant une heure ?
  - heures. tdu. heure. delùmêmetuu.
  - éi—:—-•»------— ï- Réponfe j.
  - 'zK JSi pendant 6 heures une êauéntierê a coüléy quelle parJ de de la même eau coulera pendant une heures
  - R
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- - }jo L'Arithmétique
  - heures-, eau. heure. de la même eau-
  - 6 —*— i----------i. Re'ponfeq.
  - i°. Ajoutez enfemble^ & f(-qui font toute l’eau qui cou- * 1er a pendant une heure ) & vous aurez J.
  - 4.V Faites enfin une troifie'me Réglé de Trois : & dites, fi i® d une Citerne, font vuidez pendant une heure , dans combien de temps fera vuidée une Citerne entière l
  - de Citerne,. heure. Citerne. he; r:s.
  - ~.*—!— i —— ï. Reponfe
  - ONZIEME QUESTION.
  - UN E Citerne a deux trous, l un fuperieur, par lequel elle fè remplit en deux heures, & un inferieur , par lequel elle fè vui’de en S heures : on fuppofe que l’eau entre & forte continuellement, & on veut fçavoir en combien de temps ladite Citerne demeurera, pleine..
  - i6. Cherchez la portion de la Citerne qui fera remplie pendant une heure, en difant : fi dans deux heures la Citerne en-
  - ^ p *
  - tiere s emplit, quelle partie de ladite Citerne fera remplie pendant, uneheure vous trouverez .7 de la Citerne.
  - iheùres. Citerne, ' heure.- de la,- Citerne,.
  - 2. .-----— t *-*—*—-- u Réponfé
  - ^•-Cherchez quelle,parpie de.Ci tetnçpeut erre vuidee en une heure : & dites ;y;fi^em) 8: heures; Ci ternes eft vuidee,
  - quelle partie delà meiiue CUeraie?fejra^vuidée gendant une heure l
  - heurts. Citerne; “heure:." ; dé lit Citerne,.
  - 8:-----x—------1. Reponfe*;.
  - ^V>Spuftrayez '7 de -h & vous aurez \ qui ferontla portion de ïa Citerne, qui fera remplie pendant une heure,.
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- - de ïlngenieur François. *3*
  - 4Ô. Faites une Réglé de Trois : & dites, fi *r de Citerne font remplies en une heure, dans combien de temps une Citerne entière fora-telle remplie?
  - .deCiterne', . heure. . Citerne. heures. .
  - DOUZIEME QUESTION.
  - UN Officier part de Stràfbourg pour venir à Paris, & doit être 8 jours à faire le chemin : un autre à même temps part de Paris pour aller à Strafbourg , & doit faire le même chemin en iz jours s on demande auquel jour ils fe rencon-. treront. , ' - -
  - 1°. Cherchez quelle portion du cheminfera celuy qui part de Strafbourg pendant ut* jour^ en difont,
  - jours. chemin. jour. dudit chemin',
  - en 8 on Fait- ' 1. donc en a cm fera
  - zh, Cherchez auffi la portion du chemin que fera pendant iin jour, celuy qrn part de Paris i en difànt : !
  - jours, . chemin. é jour., .. , dudit chemin. .
  - en iz 6à Fait v §r H4bÜè en •'•7V*ofrièra1 -g. /
  - 3°. AjoutezenfonAle cesdeuxpbrfioris dechemin ,‘à Ravoir f & vous aurez £ de chemin. .
  - Dites, fi de chemin font parcourus en un jour, dans combien de jours fera parcouru le chemin entier.
  - de chemin. jour. chemin. jours.
  - -1 1 —----X. Réponfe 4f,
  - Ceft à direqu ils fe rencontreront apres 4 jours & 48 minutes.1 La Preuve de cecy èft. ailée par deux Réglés de Trôis, en fiippofant un nombre de lieues, entré Raris & Strafbourg:
  - R ij
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- - i}*
  - TREIZIEME. QIJESTIÆNC
  - DN Trefôrier, Huit jours agrès que Ion valet a deferté, s’âpi perçoit qu’il aemportéuneLwrede change confidera-ble. Il s’informe de là route qu’il a tenue, & apprend qu’il! eft à pied , & ne fait que dixlieues par jour , t il monte àxhe-val pour fe fuivre., & prétend faire quinze lieues par jour: on demande en combien de temps ilTàtrapera.
  - iô., ï| eft. évident, que le Valet a quatre-vingt. lieues d*à£ vance, car. -
  - jdur, tïeuï'*.’ jeun.* tfcu'és.
  - ffen i il'fàit i,o. en 8 il. fera 8o*>
  - ....... " .... ; . . . f" 1
  - zà. Il cff encore évideritr que fi ledit Valet netoic. avancé que de cinq lieues plus que ion Maître, il ne fâudroit qu’un feul jour, audit Maître pour, l’atraper %i par confcquent 3 dites
  - • ..r " liâtes: d'dvanee. ; jdufi : ttiinZs d'mtÀncez . fours. -
  - pour $ÿ IL. fauti,, donc.pour 8c*~il faudra Pour faire la .Preuve, de çettc Regle^V^ites, pour fé Valètx
  - » jour* lieues.: jours. lieues.
  - . fi .en i ’ il ’ Éiic io* donc en i & ib fera * i4.o^
  - Çefquelles; avec quatre-vingt qu’il avoit. d’avance font 140: ISeuës. ' .* •
  - Et pour lé Maître : dites",1 >
  - jeitr. \ licuïs. - joursh lieues»
  - fi en r il'fait ij. en i-£ il fera tqœ Qui font là même nombre, que celles que le. Valet a parcouru ës«Sc par confequent ils feront en même lieu, puifqu anlup-p°fe_qii’ik ajrent-e'té par un même.chemin.
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- - de tlngenieur François.
  - QTT A T Ô R TA FME QUESTION;
  - m.
  - T N Entrepreneur qui a befoin d'argent, a une promeffe de 2,4826 livres, payables dans quatre ans, combien lùy peut - on prêter deflus x argent comptant au denier 20?
  - 1°. Par une Réglé de Trois, ' que vous pourrez faire fans mettre la main à: la plume, vous trouverez que l’interet de 20-livres pendant quatre ans fera4livres, & par confèquent, que le principal. & les interets vaudront 24, livres.
  - zè. Dites par. une Réglé de Trois, 24,livres payantesdans Î4 ans, font à 20 livres payées prefentement, comme 24826 livres payables dans 4 ans r font à 20746. livres 13 fols 4deniers payez prefèn terrien t*
  - Remarquez^ que quelques-unes des Queftions oy-deflùs pouvoient être refoluës par .des voyes plus courtes , mais elles euilènt été moins intelligibles, &~ céfbce qui m’a obligé de ne m*en pas fèrvir. De même que plufieürs defdites (Reliions pouvoient être rapportées à la Réglé de Société ( dont nous parlerons dans le:Chapitre fuivant, ) mais outre que ladite Réglée de Société emprunte tout ce quelle a de la Règle de Trois, jay cru ne pouvoir m’expliquer plûs clairement;, qu’en rapportant ces mêmes Queftîons à ce Chapitre cy* . ^
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- - m
  - Z? Arithmétique
  - CHAPITRE X,
  - . * %
  - DE UA'RltH MEXIQUE PRATIQUE;
  - De la Réglé deJ&cwiL
  - GE T T E Règle fert pour divifer tout nombre propofé en deux ou plufïeurs parties, qui gardent entr*elles un ou plu-ficurs rapports donnez : par exemple, fi je voulois divifer 2.4 en .deux parties, telles que la première fut triple Je la féconde, cette Réglé m’apprendrai trouver 18 & 6. On lappelle de Societéà^ufe que les Marchands s’en fervent tres-fouvenc dans leurs aflociations, mais fbn ufagê efl beaucoup plus étendu. Entr autres l’Ingenieur en a quelquefois befoin,, ainfî qu’on verra dans les Qtfeilions fuivantes. r
  - PREMIERE QUESTION.
  - T Ro’is bataillons ont ordre de faire D
  - fold&ts. fdt.
  - E 2.094 — D 1200
  - f 2.00 pas de circonvallation,1 e p re.
  - foldats. pas.
  - Ç A &op ? F 4^3 SS. < B 604 L G .346—-l C \ H 35>o^-E 2.094 | K 1.200
  - mier que je mar- in ------------— -------------*----——
  - que A., contient .809 hommes , le fécond B en contient*£04. & le rroifiéme C en a & 83. On demande combien chaque bataillon en doit faire pour fa parc.
  - Vous voyez icy qu’on doit partager 1200 pas, en trois parties, qui gardent emr’ellcs les raports que les nombres A. B. & Cont entieux. Ce que nous allons faire par les Réglés
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- - de l*Ingénieur François* ryy
  - fiiyafttes, que vous retiendrez pour les appliquer à d autres pareilles Que fiions. • -
  - iô. .Ajoutez enfemble les trois nombres A B C. & fbit leur fomme appellée E.
  - iô. Faites autant de Réglés de Trois que vous avez de partages à faire, comme icy trois, à fçavôir à t|pis bataillons.
  - f. Toutes ces Réglés de Trois auront pour premier terme E. qui contient la fomme de tous ceux qui doivent entrer en partage, & pour fécond le nombre D. qui doit être partagé. * _,è. Cela fait, la première Réglé de Trois aura pour troifié-
  - rrie terme A. la fcc onde aura B. & la troifîeme aura C.
  - 5è. Pour faire la Preuve , ajoutez enfemble tous lès quatrièmes termes, qui font icy F G H. & fi leur fomme K efl égale à D l’operation efl bien faire , finon il la faut recommencer.
  - Remarquez qu’encre ees Réglés de Trois, if n’y aura que la première qui vous donnera la peine de faire une divifîon Ôc une multiplication , & que les aurres pourront être fairesparune feule multiplication, fi vous voulez vous fërvir de la féconde méthode de faire la Réglé de Trois, que nous avons expliquée dans fon Chapitre.
  - SECONDE QUESTION.
  - QIJatrb Entrepreneurs ont Travaille en avançant dé leur argenten cette maniérér '
  - Le premier a avancé-----:----- *----- A r845?a livres*
  - Le fécond ——----------— ------------- B 37501 livres.
  - Le troifiéme --— -— -------r —<—C ji 571 livres.
  - Le quatrième— ——— -------------— —r— D 64? 2.$ livres..
  - Somme totale des quatre mijes— —>-4— Et 734.87 livres.
  - , Leur Toifé ayant été fait, ils ont touché ..Z0468 z. livrés: on demande de quelle maniéré iis doivent partager leur profit, qui eft F 3; 11 ^livres,. -
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- - 1)6 . L* Arithmétique
  - Suivant ce que nous avons dit dans le premier exemple J Il faut partager E 173487 en quatre parties proportionel-) lés, aux quatre nombres A B C D. Ce que vous forez par autant de Réglés de Trois ^ ainfî que nous avons déjà dit , de vous trouverez que1 le profit
  - du premier fera*-——-------«----—r-~ ---------—r '3 3 *4 ^7^.
  - céluy du fécond ——----------------------------6743
  - céluy du troifiéme —?------------—---——-------- <>4jz —
  - &celuy du quatrième —-—--------—--------------11674--?^
  - Et tous quatre font enfènifcle —---—J— F 3119 j.
  - Ce quifait. connaître que les réglés ont été bien faicesj j ^
  - T ROI S.I I# ME QUESTION.
  - DEux Capitaines ont gagné dans un xonvoy, qui a été pillé fur les ennemis, 815*0 livres î Je premier avoir<48 Joldars, & le fécond n’en avoir que 3.0. On demande la part que.chacun d’eux doit avoir, à proportionnes foldatsqu’il avoifc»
  - Soldats.
  - Suivant la pratique des deux exemples pre-cedens., vous trouve-
  - 48
  - 3P
  - .7*'
  - livres.
  - 8 ii>.o
  - •foldats.
  - r.çz que la part du premier doit être 5040 livres , de ,celle du fécond 31 yo livres, qui font enfernble 8190livres.
  - 'livres. JO^Oé 31 JO.
  - ,8.15)0.
  - qUATRIE'ME QUESTION.
  - ON arrazé ;iQ4 Maifbns.qui nuifibient aux .Fortifications d’une Ville : l'eftimation qui en a été faite ^ monte à j96196 livrés, que le Roy veut payer en deux années \ la première il donné un fond de 65431 livres, quieft refté entre
  - * les
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- - de £ Ingénieur François', içj
  - Xdk mains du Trcforicr. On demande de quelle maniéré if faut dillxibuer cette fomme, à proportion de l'eftimation qui a été faire de chacune dcfdices Maifbns,
  - Si on vouloir fuivre la pracique des Exemples precedens, il faudrait faire autant de Réglés de Trois, qu'il y a de Mailbns à payer, ce 11 à dire 104.
  - Mais comme ce calcul forait fort pénible ,voicy la maniéré de l'abregcr. Cherchez par la Réglé de Trois ce quil fau| payer pour leftimation d'une livre, en cette maniéré.
  - Si pour 1962.96liv. qu’il faut dédomager on paye 63431 liv. combien pour une livre, & ypus trouverez 0 liv. 6 fols 8 den.
  - liv, fols de»,
  - Maintenant puifque vous avez pour une livre— o — 6 — â
  - Vous aurez pour
  - 0—13 — 4
  - I - O - o
  - 1 — 6—8
  - Pour les dizaines de livres..
  - livres.
  - Vous aurez pouK
  - - I — — 4
  - -Z 0 — 0
  - — 2 —. 6—8
  - - 2 — 13—4
  - 3 — O — Q
  - - 3 — c — ,$
  - liv. fols ien..
  - ' 3 6—8
  - 6 — i3—4
  - 10 — 0 — 0
  - 13 — 6 — $
  - 16 — 15 —4
  - 2.0 — 0 — 0
  - 23 — 6 — &
  - k26 — 13—4
  - 30 — Ç) nmm-l
  - 33 — 6 — 8» t 1
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- - m
  - £ Arithmétique
  - Jïnjuite four les centaines de livres;
  - ^ou$ aurez pour*
  - livres, Hv. fols deri;
  - IOO -— 33 — 6 — g
  - 2,00 — — 66 — 13 —4
  - 300. : IOO — 0 — 0
  - 400 133 — 6 — 8
  - J OO 166 — 13 — 4
  - Coo 100 — 0—0
  - 700 — *33 6 — 8
  - 800 2.66 — 13 — 4
  - *>00 — 300 —; 0 — 0
  - 1000 333 6 — 8
  - Enfin pour les mille livres*
  - Y
  - Vous aurez pour<
  - A.
  - livres, îiv. fols déni
  - 1000 — 333 — 6 — 8
  - 2000 — 666 — 13 — 4
  - 3000- — IO©Q 0 — a
  - 4000 — ——-—1333 — 6—8
  - 5000— !C66 — 13 —4
  - 60 00 — 2000 — 0—0
  - 7000 2333 — 6 — 8
  - 8000 2666 — 13 —4
  - pooo-— —— 3000 — 0 — 0
  - 10000— 3333 — 6—8
  - Cette Table qui na coûté qu’une feule Réglé de Trois & plufîeurs additions , fuffira pour diftribuer ladite fbmme de 65432 livres, proportionellement aux valeurs des Maifbns, par exemple , s’il y en a une qui ait été eftime'c 3407 livres * cherchez dans la fufdite Table,
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- - de ïIngénieur François*
  - m
  - Pour 3000 livres pour 400 livres —-pour 7 livres «---------
  - Z.~ 6 — 8
  - qui font en tout
  - ll5$ —*3 — 4
  - Ceft à dire pour une Maifon qui aura été elhmée 3407 livres, il faudra payer *135 livres 13 fols 4 deniers. Vous trou» verez les autres payemens de la même maniéré.
  - CINQUIEME QUESTION.
  - DEux Entrepreneurs affbciez ont gagné 14331 livres, le premier avoit avancé 7804 livres pendant 5 mois, & le lecond 154x8 livres pendant 3 mois.
  - Multipliant l’argent de chacun par le temps qu’il a demeuré en commerce , les produits tiendront lieu de mife pour chacun des alfociez, c cil à dire que multipliant 7804 par y. vous aurez 35*03,0 qui tiendront lieu de mife pour le premier Entrepreneur, & multipliant 13418 par 3. vous aurez 46184 pour la mile du lecond $ de forte qu’il ne relie plus qu a partager ledit profit de 14331 livres à deux alfociez, le premier defquels à contribué 39010. & le lecond 46184 livres. Ce que vous ferez comme dans les trois premiers exemples*
  - 390.10
  - 46184
  - uvres. livres. **9010
  - Si 8/304 ont gagne *4*3*. Combien) *4»/,.
  - X46.X84
  - 39010
  - ÏIXXI
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- - 14°
  - ù Arithmétique
  - CHAPITRE XI
  - DE L’ARITHMETIQJJE PRATIQUE.
  - De T extraction de la Racine quatre e Sun nombre proposé.
  - EXtraire la Racine quarrée d’im nombre donné, eiï chercher un nombre, qui multiplié par luy même, produite ledit nombre donné : par exemple, extraire laRacine quar-rée du nombre 49 eft chercher 7. qui multiplié par foy-même donne 49. Sc le nombre 49. eft appelle quarré,dont la racine eft 7.
  - Mais comme il y a une infinité de nombres qui ne font pas quarrez, ôc qui cependant dans la pratique font Centex comme tels. On cherche la Racine du plus grand quarré quils contiennent, laquelle on peut à l’ayde des frayions, faire approcher de la véritable de plus en plus à lïnfiny , fans toute-fois y pouvoir jamais arriver, dautant quelle eft impoflible.
  - Auparavant que de pratiquer l’extraâion de la Racine quar-rée, il faut fçavoir par cœur les neufpremiers quarrez & leurs Racines : les voicy,
  - Racines. t. 1. 3. 4. y 4. 7. S.
  - Quatre1. 4 9 16. zy 56. 49. 64. Si.
  - Les Réglés qui tervent à cette extraéUon font les luivantes.”
  - Soit propofé le nombre 41306519^0^ il faut extraire la Racine.’ Première Réglé.
  - Commencez par la droite à partager le nombre donné en plufîeurs tranches > chacune defquelles contienne
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- - de TIngénieur François. 141
  - deux figures, excepté la première qui eft fur la gauche qui n en aura qu une, lfcrfque le nombre defdites figures fera impair, 8c autant que le nombre donné aura de tranches , autant de figures aura la Racine, comme icy quatre. 41130 [63 J 23.
  - Seconde Réglé;
  - Pour la première Tranche fur la gauche À
  - SI A B eft un nombre quarré pre-.
  - nez là Racine, 8c s’il ne left pas,!^ g prenez le plus grand quarré qu'il con j ^ tient, qui eft icy 36. 8c le fouftrayezdu-
  - DElFG.HM )Q | 65 j 19 Çê
  - dit nombre À B. que vous effacerez, & écrivez le refidu j. au deffus, comme vous voyez fur B. & apres ou auparavant cette fbuftraétion, il faut écrire la racine dudit plus grand quarré, ( laquelle ne doit jamais exceder 9. 8c qui eft icy 6. ) fur la droite, dans une ligne courbe,ainfi quon a coutume d’écrire le quotient dans la divifion des entiers j 8c c’eft pour cette rai-lon que nous appellerons icy quotient, tout ce quenous écrj-; tons dans ladite ligne courbe.
  - Troisième Réglé."
  - Pom la Tranche D E.
  - SJ
  - AB DE
  - | 30
  - FG
  - <*3
  - IL faut maintenant chercher un di-vifeur, ce qui fe fait en écrivant le double de la Racine trouvée, ( lequel eft icy j; ) de maniéré que la première figure d foit écrite fous D. 8c la fécondé b lous B. 8c que la place fous E demeure vuide? afin d y placer la figure que nous allons trouver;
  - S iij
  - HM
  - *9 (é
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- - 142-
  - L'Arithmétique
  - Quatrième Réglé?
  - S
  - AB
  - #*
  - DEIFGIHM 30 I *31 19
  - %4r
  - d e
  - S O i T divifé le nombre A B D ou B D ou D, ( fuivant ce qui elt relie' lur A B.) par b d. ôc foit le quotient 4. lequel après avoir été écrit dans la courbe , doit être écrit une fécondé fois en c. fous E. ôc le divifeur entier f fera b. d. e. & le dividende A B D Ê. ôc foit le refte de ï$ divifion achevé à la maniéré des entiers, ainfi que vous voyez dans la figure fùivante.
  - Les Réglés cy-dejjus expliquées contiens nent tout ce qui concerne l'extrattion des Racines quarrées, defqueües la troisième & la quatrième fuiront pour les Tranches rejlantes.
  - Pour la Tranche F G,
  - * 34
  - AB DE FGIHM
  - *0 6i\ip \
  - 1** b de
  - ih. Cherchez un divifeur par la troifiéme Réglé, en doü> blant les racines, ceft à dire les figures du quotient j ce divi-
  - feur fera icy d“8f lequel il faut écrire fousD EF- en commençant par écrire f fous F. & en continuant vers la gauche e fous E. ôc d fous D. ôc laiffant la place fous G. vuide pour y placer le quotient que nous allons
  - *\ 34 A-B DE
  - 4*1*0
  - FGrHM 6 31 ap
  - xrouver.
  - 2°. Par la quatrième Réglé, F ôc toutes les figures non effacées dans la derniere operation qui precedent F vers la gauche ( toutes lefquelles k>nt icy DEF.) doivent être le dividende,,^ de f ie divifeur. Cherchez donc le quotient qui
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- - quoy tout le dividende eft D E F G. ôc le divifeur d. e. f. g. & la divifion étant achevée à la maniéré des entiers vous aurez les reftes qui (ont marquez dans cette figure.
  - 'Tour U Tranche Par la troifiéme Réglé, cherchez I mn nouveau divifeur , qui fera icy | Ifgh à fçavoir le double du quo-1 tient & récrivez fousE F G H. laiflànt vuide la place fous M. ainfi que nous avons dit cy- devant.
  - içois.
  - j | 8
  - r, z* 99 \
  - ABjDE F GH M
  - 19
  - I *z Z Z I
  - (de< f§l
  - tfM.
  - I I 8
  - I f M 9* I
  - AB,DE F G HM
  - 4» 2-5> i
  - I M z8j 47
  - I e fgjhm
  - 143
  - ^6417
  - G
  - Z
  - r f# A BIDE
  - #*\ %<t>
  - 001
  - $$ r eo F GHM % r ^6417
  - #1}
  - Derechefpar la quatrième Réglé, le dividende eft E F G H. & le divifeur e f g h. & le quotient trouvé comme cy - deffus eft icy 7 qu* il faut écrire dans la ligne courbe, & encore une fois en m fous M. De forte que le dividende entier eft E F G H M. & le divifeur entier e f g h m. & la divi-fion étant continuée & achevée à l’ordinaire il ne r,efte rien, ainfi que , f , vous voyez dans cette figure. € § im
  - Ce qui fait voir que le nombre propofë eft quarré,
  - S il y avoir un plus grand nombre de Tranches il faudroit toûjours continuer, en fe fervant des fufdites troifiéme & qua-friéme Réglés comme cy- dtifus, mais il ne fera pas neceflaire de tranferire le nombre propofë plufieurs fois, & nous ne lavons fait que pour nous rendre plus intelligibles.
  - La Preuve de lexrraébion ftddite fe fait comme celle de la dfc yifion des entiers, il faut feulement s’imaginer que ladite extra..
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- - *44 L* Àrithmçtiqm
  - ftion cil une divifion dans laquelle le quotient & le divifeur font
  - égaux, ou plûcôc un même nombre, ôc faire la Preuve comme
  - nous l’avons enfeignéedansla quatrième Fropofition du leçon di
  - Chapitre.
  - *7Jremiere Remarque. Si le nombre propofé dont on veut extraire la Racine n’ell pas quarré,il reliera quelque chofe après les operations pareilles à celles que nous venons de faire j mais fi vous voulez apprbcher.fi prés quil vous plaira de la véritable Racine ( quoy qu’il loit impoflible de la trouver julle ) vous le pourrez faire par les nombres décimaux, en ajoûtant au nombre propofé un ou plufieurs couples de zéro. Le premier delquels Couples donnera au quotient des primes, le fécond des fécondes, &c. ôc vous devez connoître par là que fi le nombre propofé étoit un entier joint avec des frabiions, qu’il faudroit les reduù re en fraélions décimales, ôc les avoir en nombre pair, ce qui fèroit aifé en ajoûtant i. 3 ou j zéro, ôcc. lorfquc le nombre des figures décimales feroit impair.
  - Seconde Remarque. L’ufage de la Racine quarrée fervira à fln^ genieur pour luy faire comprendre la conftruétion des Tables de Sinus, qui luy font fi neceflaires, que celuy qui les ignore, ne mérité pas de porter ce nom.
  - Cette même Racine luy lérvira encore pour toifer des fuper* fîcies irregulicres dans la maçonnerie, dans les terres, dans le gazon, Ipecialemenft lorfquc les Inftrumcns .Géométriques lujr manqueront.
  - Elle fert encore en quantité d occafions pour lamefure des lignes droites, par exemple, fi connoiflant la hauteur de la couverture dun Magaziny ôc la diftance des murailles on veut fça-voir la largeur d’un pan de tuifle ou d’ardoile, ôcc. De mêm£, fi on. veut trouver une diftance inaccefïible, comme la largeur dune riviere,pour fçavoir le nombre des batteaux neceflaires pour la conftruélion d’un pont qu’on voudrait faire deflus, ôcc,
  - FIN.
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- - TMe vont la Multiplication des Fraôhons dans les ‘Toi/ez>.
  - Par pieds, ou par pouces, ou par lignes
  - i "i 41 5 i 6 i 7~rs~~v
  - IO I il
  - produïjent
  - î O 1 0 2 0 3 ô 4 ! O 5 O j « 5 0 7 0 8 1 0 9 0 i1 ° 0 1 : 1
  - 2 O 2 0 4 0 <5 0 8 j 0 : 10 1 1 1 0 1 2 1 _4_ ! 1 6 1 i 1 1 1 0
  - 3 O 3 4 0 <5 0 9 ‘ 1 0 1 3 1 7 1 9 2 1 0 2 3 2 < 5 1 2 9
  - ,4 O 0 8 I 0 1 4 1 8 Z ' 0 2 4 2 \ 8 3 0 3 L 1 3 8
  - 5 O 5 0 I°| I 3 1 8 2 1 2 Z 2 : [ 1 3 j ( 4 3 '9 4 2 4 ' 7
  - 6 O 6 I 0 I 6 2 0 2 6 3 0 .3 6 4 D . 4 5 O 5 6
  - 7 O 7 "T 2 I 9 4 2 11 3 <5 ! 4 i 4 I 8 5 3 5 3 [O 8 (5 7
  - 8 O 8 I 4 2 0 2- 1 8 3 4_ 4 0 1 4 8 5 1 . 1 & 0 <5 7 4
  - 9 O 9 I I 2 3 3 0 3 9 4 ! ! 5 3 6 0. 6 9 7 6 8 3
  - IO O IO I 8 2 61 3 4 4 2 5 0 ! 5 10 6 b 7 6 8 4_ jl! 2,
  - 11 j O 11 I I 10 2 9 3 8 4 7 5 6 6 T 7 | 4 8 3 9 2 IO | 1
  - iz ' I 0 1 1 2- 0 3 0 4 0 • 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 10 0 11 ; 0
  - 1 3 ! I 1 2 2 3 3 4 4 5 ! 5 6 6 7 7 7 i 7 9 9 10! 10 111 11
  - 14 I 2 2 4 3 6 4 8 5 1 10 7 0 8 2 9 4_ 10 6 11 8 12 ' 10
  - 15 I 3 4 2 <5 3 9 5 0 6 3 7 6 8 9 IO ; 0 11 3 12 6 13l 9
  - 16 I 2 8 4 0 5 4 6 8 8 0 9 4 IO 8 12 0 x3 i_ J4 ! 6
  - ÏJ I I 5 2 10 4 3 5 8 7 1 8 7 9 11 I I 4 12 9 14 2 15 1 7 •
  - 18 1 I 6 3 0 4 6 6 0 7 6 9 0 10 6 12 0 11 6 11 0 16 (5 ,
  - l9\ I 7 3 2 4 9 6 4. 7 i 11 i9 i 7 11 1 12 7 14 3 i 7 10 lz 5
  - 1.0 j I 8. 3 4 5 0 6 8 8 4 i£0: 0 11 8 13 4_ 15 01 161 8 18 4
  - 21 I 9 3 6 5 3 7 0 8 9 : IO 7 12 1 12 3 14 0 1 15 5>l |7l 19 3
  - zz I LO, 3 8 5 6 7 ' 4 1 9 2 11 ! 0 10 14 8 ; 16 6 18 ! 20 2
  - 13 I I I 3 10 5 9 7 1 8 1 9 7 11 7 *3 5 15 T 3 r9 2 21 1
  - 24 2 O • 4 0 6 0 8 ! 0 [ 10 0 12 1 0 14 0 l6 0 18 0 20 0 22 0
  - 2 I 4 2 6 3 8 T 10 5 12 7 14 7 l6 8 18 9 20 10 22 11
  - 26 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 £1 ' 0 15 2 l7 4 19 6 21 8 23 10
  - 27 ili S 58 1 ^ Ki 2 3 4 6 6 9 9 0 11 7 13 7 15 9 18 '6 20 ! 3 22 7 24 9
  - 2 JL 4 8 7 0 9 4 11 0 14 10 16 4 18 8 21 !0 23 4 25 8
  - 2-9 2 5 4 10 7 3 9 8 72 1 14 6 16 11 . 19 4 21 9 24 2 2 6 7
  - 3° 3i . wT , «V 2 2, 6 7 5 5 0 2 , 7 7 6 9 10 10 0 ; 4 1.2 12 6 11 11 15 i O. ! ^ •17 18 6 1 20 20 0 8 22 2 3 6 3 11 2 5. 0 10 27 28 6 S
  - ,32 2 8 5 4 8 0 io 8 x3. 4 l6 i O 18 8 21 4 24 0 26 8 JJ 4.
  - 33 2 9 5 6 8 3 11 1 0 13' % ï<5 ,6 19 3 22 0 24 9 6 ~3° 3
  - 34 2 10 j_ 8; •s- <> 11 1 4 14 z 1Z 'O 19 10 22 8 25 6 28 4 i 31 2-:
  - 35 2 11 lio 8 17 nrr 8 H 7 17, '7 20 5 23 4 2 6 3 29 ! 2' 32 "3
  - 3* 3 0 6 0 9 !J_ 12 0 15 0 ib 0 21 0 : 24 0 27 r 0 11 0 ! 33 ai
  - H 3 1 6 2 9 1 3 12 4 15 5 18 T 21 7 24 7 7 9 30 10 i 33
  - 38 X 2 6 4 9 1 6 12 A 15 10 !19 0 22 z 25 A. 28 6 31 8 1 34 10
  - 3*9 3 3 6 6 9 9 7 0 1 rs 5 22 9 - ztf 0 Z9 7 32 6 35 9
  - 40 JL JL 6 8 10 0 -U 4 I 6 8 20 0 il 4 2(5 8 il 0 ü ± 36 8
  - 41 3 5 6 10 10 3 *3 8 *7 j 1 20 6 I 23 11 27 4, i 30 9 34 z 37 7
  - 42 J_ 6 7 0 10 6 14 0 1Z 1 6 21 0 1 *4 6 28 0 1,3J 6 .11 0 il (5
  - 43 44 3 3 II 7 7 2 4 10 11 9 0 14 14 4 8 *7 18 s 21 22 <5 0 25 15 I 8 78 . 19 8 j£ 32 .33 3 0 35 il 10 8 39 40 T 4
  - 45 3 9 7 • 6 11 3 15 0 78 9 22 6 z6 3 30 0 33 9 37 6 4i 3
  - 4^ 3 IC 7 8 11 6 *5 4 19 2 *3 0 z 6 10 30 8 . 34 <5 3* LJ il
  - 47 3 11 7 10 11 9 15 8 19 7 23 7 2,7 T 31 4 35 3 39 2 43 1
  - 48 £ 0 8 0 12 0 16 0 20 0 24 0 28 0 32 0 36 0 4J 0 44 0
  - 49' 4 1 8 2 12 3 16 4 20 |T I 24 7 28 17 3 2 7 36 9 40” 10 44 |ï7.
  - 5° j4 2 8 4 12 6 16 8 20 |io 1 25 0 29 .33 JL 37 6 4i 8 45 1 |io
  - 5i 4 3 ' 8 6 12 9 17 0 . 21 h 25 6 29 19 34 0 38" 3 42 6 4 6 9
  - 52 4 4 8 8 13 0 17 4 21 ! 0 z6 0 12 7 34 8 39 0 ±1 4 47 8
  - 53 4 5 8 10 13 3 17 8 22 ! 1 ; 2^ 7 30 11 3 5 4; 39 9 44 2 48 7 ;
  - .54 A 6 ' 9 0 X3 6 18 0 22 ' 6 :1Z 0 il '(5 3± O : 40 £ il 0 49
  - 55 4)7 ! 9 2 ! J3 9 18 18 A. ft 22 11 ~6 32 ; ! I 36 Ti 41 3 45 10 5°. 7|
  - $6 4 1 5 9 '4 14 0 b 23 4 • 28 ’ 0 3 2 ' 8 137 4/ 42 0 U*' 1 8 JM iJ
- p.n.n. - vue 157/176
- - Suite de la Table pour la Multiplication dey Frayions dans les Toi/e
  - Par pieds y ou par pouces > ou par lignes. i I * I 3 I 4 I 5 I é I 7 | 8' | g | io | h
  - poàuijmt
  - 57 4 91 9 6 14 3 19 0 2-3 9 28 1 6 33 3 3* 0 |42 9 47 6 1 52 3
  - il 4 10 9 8 II 6 19 4 11 2 17 1 0 33 10 il 8 6 il 4 il 2
  - 59 4 11 9 10 14 9 19 8 2-4 7 29 6 34 5 39 4 44 3 49 2 54 1
  - 6 o 5 0 10 0 *5 0 20 0 r 25 0 17 1 0 11 0 4? 0 il. 0 17 0 Lii 0
  - 61 5 1 10 2 15 3 20 4 *5 T 3° 35 7 40 T 45 9 50 10 155 11
  - 6z 5 2 10 4 M 6 20 8 2-5 10 IL '0. 3* 2 IL _£ il 6 IL 8 lu 10
  - A 5 3 10 6 15 9 21 0 26 T 31 ~6~ 36 9 42 0 47 3 52- 6 157 9
  - 6 4 J_ 4 10 8 l6 0 21 4 26 8 '32-- 0 17 !_ iL 8 48 0 53 A. il! 8
  - 6 S 5 5 10 10 l6 3 21 8 • 27 1 '32- 6 37 11 43 4 48 9 54 2 i 59 7
  - 66 5 6 11 0 l6 6 22 0 : 2-7 6 111 0 il 6 ii 0 49 6 11 0 1 60 6
  - 67 5 7 111 2 l6 9 22 4 !w 11 33 ~6 39 1 44 T 50 3 55 10 A 5
  - 68 5 8 lu 4 17 0 22 8 !*8 _4_ 'il 0 17 '8' A? _4 IL 0 11 8 62 4
  - 69 5 9 ; 11 6 17 1 3 23 0 28 9 34 T 40 3 46 0 51 57 6 A 3 I
  - .7° 5 io : 11 8 17 1 6 23 4 17 2 11 0 i?. 10 il 8 IL ! <5 il A 64 A
  - 71 5 11 11 11 ° 17 9 2-3 8 29 7 35. ~6~ 41 T 47 4 53 3 59 2 65 1 (
  - 7* 6 0 12 ' 0 l8 0 24 0 .37 0 36 a il 0 48 0 H ! 0 60 o 1 66 0 j
  - 73 ' 6 1 12 !2 l8 3 24 4 30 5 36 T 42 7 48 ~w 54 i 9 60 10 ~66 17
  - 74 6 2 12 u l8 6 24 8 30 10 17 0 li 2 '47 _4_ 55 ! <5 61 8 ! 67 10
  - 75 6 3 12 l8 9 M 0 31 3 37 7" 43 9 50 0 f* 1 3 ~6z ^ i 68 9
  - 76 6 4 12 1 8 19 0 2-5 4 IL 8 ii 0 il A 17. 8 57 ' 0 11. A 69 8
  - 77 6 5 12 jïO 19 3 2-5 U 32-. 1 I38 T I44. 11 51 4 57 9 64 2 70 • 7
  - 7? 6 <5 13 ! 0 19 6 26 0 32 6 17 0 il 6 IL 0 il 6 li 0 7L; 6
  - V 6 7 13 ! 2 19 9 26 4 32- 11 i 39 j6~ 46 I 52- T 59 3 • «5 10 72 1 5
  - 3 80 3 6 8 !13 1 4 20 0 26 8 , 33 _± 17 1° il 8 LL _4 60 0 66 8 73J 1 4
  - 81 s ~6 9 13 1 6 20 3 2-7 0 33 9 40 j LT 47 3 54 0 : 60 9 67 6 i 74 | | 3
  - 82, ¥ -t- 6 6 10 11 JLi 13 U !ïo 20 20 6 9 17 zz 4 8 il 34 2 7 41 1 41 0 T 47 48 10 5 11 55 8 4 61 62 é? 3 68 69- Al 2 ,75 76 2 1
  - 84 7 0 74 10 21 0 28 0 3_! 0 42. i 10 49 0 11 0 «3 0 77 0 77 0
  - «S s 7 1 14 12 21 3 78 T 35 T 421 ~6~ 49 7 T C3 9 70 10 77 11
  - 86 J7 2 11 ! 4 21 6 28 8. 35 10 41! 0 17 2 57 _4_ 64 6 71 8 78 10
  - 87 7 3 14 î 21 9 *7 0 1 3'6 T 43 7" 50 9 s» 0 6S 3 72- 6 79 9
  - 88 7_ 4 14 ! 1 8 22 0 29 4 3* 8 44 0 5i 4 58 8 66 0 73 A 80 8
  - 85, 7 5 14 ! 1° 22 3 29 8 37 1 44 6 51 11 59 4 I 66 9 74 2 81 7
  - 90 7 6 15 ! 1 0 22 6 j 17 0 17 6 il 0 IL 6 60 0 67 6 75 0. 82 6
  - 91 ! 7 7 15 i 2 22 9 30 T 3-7 11 45 ~6 53 I 60 T. I 68 3 75 10 83 5
  - 9* -Z 8 21 4 11 . 0 30 8 38 1 il 0 53 8 61 4 17 0 Tl 8 84 4_
  - 93 7 9 ; 15 6 2-3 3 31 0 ;38 9 46 6 54 3 62 0 69 9 77 I 6 85 3
  - JH TL IC 111. 8 11- 6 IL 4 39 z 47 0 54 10 62 8 Z7 6 78 I4 86 2
  - 95 7 11 15’ 10 ' >3 9 31 8 ,39 7 47 ~6 '55 .5 a 4 71 3 79 2 87 1
  - 8 0 16 i 0 ' ll±. 0 IL 0 s 40 0 il 0 i6 0 64 0 TL 0 ; 80 0 88 0
  - 97 8 1 ~Ï6 2 i 24 3 32 T I40 5 48 LT 5* T 64 T 72- 9 87 10 88 11
  - 9* 8 2 16 4 ' 11 . 6 IL 8 140 10 49 ô 17 2 4 73 6 81 8 89 10
  - 99 8 3 ' 16 6 24 9 33 0 j41 3 49 6 57 9 66 0 74 3 82 6 90 9
  - 100 8 4 16 8 11. 0 33 4 '41 8 17 0 il 4 66 A 75 0 83 4 9i 8
  - zoo 16 8 33 4 5° 0 66 8 83 4 IOO 0 116 8 *33 4 150 0 166 8 183 4
  - 1 300 400 75. 33 0 Ti 11 0 T 71- 100 0 0 100 T3 0 4 125 166 0 T II? 200 0 0 175 2-3 3 0 T 200 266 0 T 225 300 0 0 250 Ï333 ' 0 4 275 366 0 T
  - 500 H 8 i 11 .1 i*5. 0 166 8 208 4 250 0 291 8 311 4 375 0 416 8 il8' A
  - } 600 700 800 906 IOOO l?i 66 75. 83. 0 4 8 0 T IOO1 Il 6; Ï33| 75? [ i66j 0 8 4i 0 Tl 150 175 200 225 250 0 0 0 0 0 200 2-33. 266 300 333 0 4 8 0 T 250 2-91 333 3J75 ,4if 0 8 o4! A' 3OO il? 400 il? 5°° 0 0 0 0 0 35° 408 '466 52-5 sii 0 4 8 0 4 400 466 ÏÏ3 600 6"66 1 0 8 4 0 T 450 1L5 600 67s 7S° 0 0 0 0 0 <roo S»3 666 7S° ^33 0 4 8 0 ± 55° 641 p3 8*5 916 7 0 8 T 0 T
  - ÿ-oitt entendre tufage de cette Table , il ri y qu'on veut .... -
  - Table , il ri y a qu'a lire Id fixisme Proportion du Chapitre P*. & s'en fervir fn’cment lors multiplier un grand nombre de Toifes, par les parties de la même Toife.
- p.n.n. - vue 158/176
- - Table des parties Décimales de la Toife.
  - Pieds communs.
  - _° I 1 I________a | ? | 4 \ S
  - font les parties Décimales de la Toife.
  - O oooooj Q 16666 1 O 1 133333 ° i JOOOO |o 66666 0183333
  - O 01388 1 O 18055 0 34722 O 51388 0 68055 0 ! 84722
  - O 02777 Q 19444 a 36m O 5*777 0 69444 0 l 86111
  - O 04166 O 2083J 0. O 54166 0 70835 T 87500
  - O °sss5 0 22222 0 1 3888-8 Q S 5» 5 51 0 72222 1 0 8 8 8 8 84
  - O 06944 O 236II 0 1 40277 0 56944 0 736U 0 90277,
  - O 08355 O 2^000 0 I41666 Q 38333 0 75000 0 91666|
  - O O972.2 O 263 88 0 43°ss 0 $97^ Q 76388 0 iP305?j
  - O I 111 I O 27777 i 0 44444 .0 61111 O 77777 0194444
  - O O 19l66i 0 45833 O 6250a 0 . 79166 0 95833
  - O 13888 0 3°nsi 0 472 22t Q 630 88 Q. $0555 0 97222.
  - O | *î*77 0 h j 944-' 0 486H 0 652.77 |0 8i944 0 98611
  - Les àouzje lignes du Pouce changeas en parties Décimales delà Toi-
  - \p-
  - font les parties *Decimales delaToîfe.
  - I 0 00115
  - 2 0 00231
  - T 0 00347
  - 4 0 00462,
  - 5 0 100578-
  - ®3' 6 £i |00694
  - ni i 0 00810
  - 0 ! '00925
  - 9 0 0104157
  - 10 0 01157
  - 11 0 01273
  - 12 0^ 0x388
- p.n.n. - vue 159/176
- - j Table des parties Décimales du Pied , confédéré comme
  - un entier & indépendamment de la Toi/e.
  - Pouces communs.
  - G
  - 3 I
  - font les parties Décimales du Pied.
  - ii
  - ooooo
  - 00694
  - 01388
  - 01083
  - 0*777
  - 03472
  - 04166
  - 04861
  - 05555
  - o 06250 06944 07638
  - o 08333
  - 09027
  - 09722
  - 13194
  - 13888
  - 14583
  - 15177
  - O II5972
  - o 16666
  - i736i
  - 18055
  - 18750
  - 19444
  - o j-io 138
  - 20833
  - o ^25000 2
  - O j2l52?
  - O 122222
  - 22916
  - 236H
  - 243OS.
  - Pouces
  - 2638
  - 27083
  - YHZL
  - 28472
  - 29166
  - 29861
  - 3055s
  - 312SQ
  - 31944
  - 0 133333
  - 34027
  - 34722
  - 3 S4I^j 36111!
  - 36805'
  - 37500
  - o 13819 o I3888
  - 41666 4Ï361 4?°15
  - 4375°.
  - 44444
  - O 13 9 S 83,1
  - o : 40 277;
  - 1o 32638
  - communs
  - O '
  - 409723
  - 45138
  - 4S8jl o '46527 o '47222
  - 47916
  - 48611
  - 493 °S
  - 1 7 | 8 1 ___9 j iQ 1
  - font les parties Décimales"du Pied.
  - I 0 ,^8333, o 66666 . o 75000!j o §3333!
  - II
  - D^*l S
  - 3 I 6
  - o[ 50000.
  - 0
  - o 151388.' o J5208 3 : °JS*7771 o j53472 o 154166,
  - o ;5486^1 { ° 15 5 55 5
  - 9| o 56250 56944
  - -1-11J ! o
  - 57638
  - 0 0 590*7 S5>7**
  - 0 0 60416 61111
  - 0 [61805 0 162500 0 163194 063 888
  - o 6^4SL
  - 0^65277 o '65972
  - 67361
  - 68055
  - 68750
  - p9444!
  - o I70138
  - o i7o83 3
  - o {7152 7 o [72221
  - o {729 16
  - 6 573611
  - o l743°S
  - 75094 763^88 j
  - 77083
  - uni
  - I78472
  - o. '81250,
  - —819441
  - o 82638^
  - 85416
  - 86l I I
  - 86807
  - 875OO
  - 88194
  - 88888
  - *0- % 9 5 8 3
  - ^90972
  - j 0 0 | 0. 0 | 0 91666 9.236I 2I?J1 93750 94444
  - 0 0 95138 9 5 s-î ?
  - 0 0 965*7 972*2
  - Cl O 979 ï6 98611
  - ' O '99365
- p.n.n. - vue 160/176
- - ^aOjV-^Ww ^ Q>/»,*,**7
  - bj Table des parties Décimales âe la Livre.
  - Sols. \
  - ° 1 1 1 2. 1 3 1 4 ,1
  - /&#/ les parties Décimales de la Livre.
  - 'O ï 2, T 4 o OO'OOO | 0 jo5000] -4 0 j O J ïoooo O 15000 1°' 20000,
  - ’ o 0 60416 00833 0 q 05416 01833 10416 10833 O O O O 15416 il8!! 16250 16666 0 0 20416 20833
  - 0 o 01250 01666 0 ; 0 06250 06666 O I11250 O Jl 1666 0 0 21250 21666
  - Sis s:-ttf > 0 o 02083 02500 O V 0 < 07083 07500 O 1 •0 1: 12083 12500 O •O 17083 17500 0 O : O O O -0 22083 22500, 22916 2-3333 2-375° 24166
  - ? b | S> IO IX 0 o 02916 03333 0 0 07916 °8335 O : O : O : O : 12916 13333 !$S P 0 17916 18335
  - o 103750 o [04166 0 " 0 5 0875Ô[ 09166! 0 0 0 18750 19166 iis*?
  - o 104583! 0109583! 0 ; 14583 .0 24583
  - Sols.
  - S | * ' | 7 | 8 | 9
  - /0»f les parties Décimales de la Livre.
  - o j 1 2 -: T. 4 0 25000 0 30000 O 535000 0 40000 1° 45000
  - 0 0 25416 25833 0 0 0 0 0 0 30416 .42Ë33 3î25° 3 1666 32083 32500 O O îH1-6 3 S 8 3 3 0 0 40416 40833 0 0 45416 45833
  - 0 0 26250' 26666 0 O 36250 36666 0 0 0 0 41250 41666 42083 42500 > 0 0 46250 46666
  - U ?£ 9 !io Jrr 0 0 27083 27500 O 0 0 G 37083 375°° 37916 38333 0 0 0 0 0 0 47083 475°° 47916 lüü; 4875° 49166
  - 0 [27916 0 i«333 0 0 0 0 132916 33333 3375° 34166 0 0 0 0 42916 43333 4375° 44166
  - O j28750 O 129166 0)3875° O ;39l66
  - O '2.9583 0 34583. i'O '35>585 ïO j 44583- lo 495831
- p.n.n. - vue 161/176
- - Deniers. Deniers.
  - ‘Table des parties Décimales de la Livre.
  - Sols.
  - io | n | jz 73 14
  - font les parties Décimales de la Livre.
  - 0 1° 50000 fo 5*5000 O 60000 0 0 0 0 0 65000 65416 65833 66250 66666 • 0 70000
  - 1 2 3 4 (0 '0 50416 50833 0 0 53416 ? ï 8 3 3 O O 60416 60833 0 0 70416 70833
  - 0 0 5° 51666 0 0 56250 56666 O O ^1250 61666 Cr. O 71250 71666
  - 5 6 0 0 52083 52500 0 0 57°8 3 S7SOO O O 62083 62500 0 0 67083 6759° 0 72083 72500
  - 7 >8 9 10 11 0 0 52916 $3 333 0 0 57916 î8 3 3 3 O O ! 62916 163333 !0 ! O 67916 68333 72916 73333
  - 0 0 S 375° 54166 0 0 58750 59166 0 563750 0 j64i 66 O O 68750 69166 il 73750 74166 74583
  - 0 i54583 0 '59583 0 [64583 6 69583
  - Sols.
  - iS [ 16 \ 17 | 18 | 19
  - font les parties-Décimales de la Livre.
  - 0 1 2 3 4 I 9 10 II 0[75000 0 80000 0 .85000 0 |9oooo|| 0 95000
  - 0 0 *75416 75^3 3 0 0 80416 8083 3 0 [85416 o 85833 0 {5)0416-5 0 o 190833'! 0 95416 95833
  - 0 0 76250 76666 0 j Q 81250 8l666 0 86250 0 86666 0 Î91250I 0 (91666 1 0 1 0 96250 96666
  - 0 I77083 o >7500 O 0 82083 825OO 0 >87083' o (875001 0 92083 ; 0 *92500 1 O ° 97083 97500
  - 0 77916 0 !783 3 3 0 O 1 O O 81916 8 3 3 3 3 ?37î° 84166 0 :87916 lo !883 3 3 O 8875O O 89I66 J O ,92916 0 93333 O O 97916 98353
  - O O 78750 79166, 0 ,9375° 0 194166 0 '94?83 O î O 98750 99166
  - U 79583 0 ; 84583 O 89583 . oi99583_
- p.n.n. - vue 162/176
- - Table pour la mejure des Bois equarris.
  - Pouces.
  - ; v' I z 3 4
  - donner %t les Bafes. donnent les Bafis. donnent les Bafes donnent les Bafes.
  - 1 Toifes. ‘Pieds. Ponces. Toi/es. Pieds Pouces. Toifes. Pieds. Pouces• Toifes. Pieds. Pouces.
  - \ ,°T 0 0 °T 0 0 I 0 0 *7 0 0 2
  - I 0 0 I 0 0 2 0 0 3 0 0 4
  - i b- 2 1 0 0 2 0 i ° 1 4 0 0 6 i ° 0 1 8
  - J_ 1 0 0 3 0 1 0 1 6 0 0 9 : ! » I 1 O
  - t -f 4 5 L- 0 0 4 5 0 0 : 1 8 1 10 0 0 i ; 0 3 0 0 I I ! i
  - f 5^**' 6 1 0 0 1 6 0 1 0 * 0 i 1 6 0 2 1 0
  - T* 5^ F \7 1 © 0 1 7 0 ’ 1 ‘2 0 ! 1 9 0 2 1 4
  - ^ 1 ^ 1 ° 0 8 0 1 4 0 2 0 I O 2 8
  - fi $ 9 ! 0 0 9 0 1 6 0 2 3 I 0 3 0
  - ÿ io. 1 0 0 10 0 1 1 8 0 2 6 0 3 1 4
  - 1 11 1 0 0 11 0 1 1 10 0 2 9 0 3 1 8
  - >r \iz- i ° 1 c 0 2 1 0 0 3 0 0 4 1 0
  - 5 ü 0 1 I 0 2 2 0 . 3 3 0 4 1 4
  - H| 0 1 2 0 i 2 4 0 3 6 0 4 1 8
  - 15! 1, 0 1 3 0 | 2 6 0 3 9 0 5 1 0
  - l6 ; 0 1 i 4 ° 1 2 i 8 0 4 0 0 5 i i
  - 17 0 1 I j 1 1 0 1 2 1 10 0 4 3 0 5 L8
  - Pouces.
  - 5 î 6 7 l 8
  - donnent les Bafes. donnent les donnent les Bafes t donnent les BÎfes.
  - Toifes. Pieds. 1 Poucts. Toifes. Pieds. Pouces. Toifes. Pouces. Toifes. pieds. pouces.
  - °i 0 0 . *T 0 0 3 0 0 3f 0 0 4
  - • I 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 ï
  - 2 0 0 10 0 I 0 0 1 2 0 I 4
  - b- JL 0 I 3 0 1 6 - 0 1 9 0 2 0
  - ? 4 ° 1 I 8 0 2 0 0 2 4 0 j 2 . 8
  - 5 0 1 •2 1 0 2 6 0 : z ii 0 ! ! 3 4
  - 6 7 0 l 0 1 2 2 6 11 0 e 3 3 0 6 0 0 3 „ 4 .* 1 0 0 4 4 0 8
  - F 8 0 3 4. ♦ 0 4 6 •° ‘1 ,. 4 • i 0 5 4^
  - 9_ 0 1 3 9 0 4 6 •0 1 1 î î ; ~r 0 (>- v
  - & I -s 10 0 4 2 0 î 0 0 5 10 1 0 8"”
  - 11 0 4 7 0 S (> 1 0 1 1 1 1 4 .
  - Si 12 0 S 0 î 0 0 1 1 0 * 2 0
  - S! Ü 0 5 5 1 0 6 1 1 7 I 2 8
  - p 1 14 0 5 10 1 1 0 1 2 2 1 3 4
  - 15 * 0 3 1 1 6 1 2 9 1 4 0
  - 16; 1 O ! 8 1 2 0 1 3 4 1 4 8
  - i2L 1 I 1 1 2 <!> 1 3 11 l 1 5 4
- p.n.n. - vue 163/176
- - Suitte de laTable four la me Jure des Bois écpuarris.
  - i Pouces.
  - 9 10 U 12
  - donnent tes Bafes. donnent les Bafes. donnent les Bafes, . |donnent les Bafes.
  - Toifes. "Pieds. i Ponces. Toifes. Pieds. ^ Ponces. Toifes. Pieds. Ponces. Toifes. Pieds. Pouces.
  - °7 0 0 4t 0 0 s O C St 0. 0 < S
  - I 0 0 9 0 6 10 O C 11 0 I ( D
  - 2 i 0 I 6 0 1 8 0 t 10 ! 0 2 < D
  - K 3 ! O 2 3 0 2 6 O 1 i 9 J .o- 3 ( 3
  - S 4 O 3 0 0 3 4 0 8 6 4 j | < D
  - 5 O 3 9 0 4 2 O i. 7 . 0 S < ! < D
  - 6 O 4 6 0 5 0 1 0 I 5 6 1 0 < D
  - P & 7 O 5 3 0 3 10 l_i ! •£> I 1 O
  - .8 9 I I 0 0 0 9 I I 0 1 2 1 I I !" 4 3 11 1 1 2 3 O O
  - "S 10 I 1 6 I 2 4 X ; 2 I 4 O
  - 11 I 2 3 I 3 2 I 1 I S O
  - S 11 I 3 0 I i 4 0 I 0 2 0 ( D
  - £ ï3 I 3 9 I 1 4. 10 I 5 11 2 1 O
  - 14 1 I 4 6 I j 5 8 2 0 10 2 2 1 °
  - M ! 1 S 3 2 1 0 6 2 1 9 1 2 3 1 0
  - 16 2 0 0 I 2 I 1 4 2 2 8 2 4 |°
  - 17 1 2 0 9 2 ‘ 2 2 2 3 7 2 1 O
  - Pouces.
  - J3 ! !4 16
  - donnent les Bafes. donnent les donnent les Bafes. donnent les. Bafes.
  - Toifes.^ Pieds. T onces. Toifes• Pieds. Ponces. Toifes. jPfcfr. Pouces. Toifes. pieds. pouces.
  - 07 0 0 6 4 0 0 7 0 0 7 7 0 0 8
  - I 0 I X 0 I 2 0 1 3 0 1 A y
  - 1 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8
  - J_ 0 3 3 0 3* 6 0 • 3 9 0 4 0
  - S 4 0 4 4 • 0 4 8 0 3 0 . 0 S 4
  - S 5 0 5 5 0 5 10 1 0 3 I 0 8
  - 6 I I 0 6 I 1 0 1 1 1 1 I 0
  - f '7 1 I . 1 i 7 I 2 2 1 1 2 9 I 1 3 4
  - 8 1 2 8 1 1 1 3 4 1 ] 4 0 I 1 4 8
  - JL I 3 9 I 1 4 1 ! y 3 2 1 0 0
  - & c. 10 11 I I 4 5 10 11 1 2 1 S ~1T" 10 2 2 0 1 6 9 2 I 2 j 1 2 8
  - 12 2 1 0 2 2 0 2 3 0 2 4 c )
  - S (N ü H 2 2 1 2 3 2 2 4 3 2 S A
  - v a 2 ~~3 2 2 4 4 2 s 6 3 0 8
  - 15 2 4 3 1 ’ 2 5 6 3 0 9 3 2 c >
  - 16 5 4 3 0 8 . 3 2 0 3 3 A 1 r 1
  - 1 5 0 T 3 1 10 3 3 3 3 4 £ 1
  - ‘Vfage de la precedente Table.
  - Elle fuppofe que les plus groffès pièces de Bois, que vous avez à mefurer, n’excedenr pas en gro fleur les deux plus grandes dimenfions qui y font marquées ; à fçavoir 16 ôC 17 pouces, puifque rarement en trouverez-vous de plus grofTes. Pour vous en fervir, ♦
  - * il faut avoir inclure les deux dimenfions de la gro fleur du Bois (appellée par les Ouvriers équar-riflaêe, ) par Douces , & la longueur par toifes & parties de la toife.
  - J? cherchez au haut de la fable l’une des deux dimenfions de la groflêur, & f autre à la marge, leur commune rencontre vous donnera toifes, pieds &c pouces , lefquels fi vous multipliez par la longueur, mefurée comme dit eft, le produit vous donnera des Solives, des pieds & des pouces de Solives. De maniéré que la Solive fera divifée, de la même maniéré que la Toife l’eft ordinairement ; c’eftàdireen 6 pieds, & chaque pied en U pouces , &c. Et de là vient que nous avons appelle Toiles les fuperficies contenues dans cette Table.
- p.n.n. - vue 164/176
- - Table pour U mejure des Sois ronds, par Pièces ou Solives, qui font la mejure de Paris.
  - H 1 Parties 1 1 M i Parties j 1 ïfS I I 1 il 1 Parties
  - '<* V» J lï | décimales | îii | décimales. | j U! j décimales.
  - ô 60272707 11 *1 1 70442343 z4 7 6 5477i3°8
  - i 0 01090831 *3 1 |8435°439 z5 6 81769375
  - 17 0 02454369 13 7 1 j I98803950 iyf 7 09311858
  - 2 ; Ô 04363324 14 2 ! 13 802876 26 7 374°i75lS
  - 2 7 0 06817693 147 21 119347718 26 7 7 66036070
  - 3 0 09817479 1S % 1 4S43697T ^7 7 [95215799
  - 3 7 0 13362679 *5 7 2 62072148 z7 7 8 ,24940944
  - 4 0 t7+53296 16 2 79252736 28 8 [5 52! 1504
  - 47 0 110893ij Î6~7 2 9*6978740 28^ : 8 .86027486
  - 0 17170775 17 3 15250159 29 1 9 '1738887I
  - 5 7 ;0’ !îi?97^37 17 7 3' 34066994 29 7! 9 49295678
  - 6 i‘o ‘ :59l699i6 l8 JL 5342.9244 30 9 817479OÔ
  - H 0 46087609 187 3 73336910 3° 7 I10 I474S538
  - 7 0 53450719 19 JL 9378999I 31 !io 4828859I
  - 7 7 0 61359243 19 7 4 I478 84^ ^ 3*i 70 8237706°
  - S 0 698I3l84 20 4 363324OO P : I I 17010944
  - 8^ 0 [78812539 20 7 4! 5842I728 5zi I11 52190244
  - 9 0 I883573II 21 ± 81O5647I . 35 I I 87914959
  - 97 0 198447497 21 7 5 O423663O' 53 7i 12 2418509Ô
  - 10 I IO9083IOO 22 J_ 27962204 J1 12 6IOOO636
  - IO 7 I 202641I7 ni S 52233794 34t 12 9836I59$
  - II I 3 WQ? 51 13 S 77049 S 99 .35 £3 36267975
  - 11 7 I 44262399 6 02411420 vî 13 74719768
  - 12 I 57079664 ' 24 ! 6 [2831865*6 5« ï4 1371*6976
  - Vfage de la prejènte ‘Table.
  - * !
  - iô. M'eiürcz le diamètre du cercle du milieu du pilot ou arbre rond, par pouces & demy pouces communs.
  - 2°. Mesurez la longueur dudit arbre par toifes & parties Ordinaires de la Toife.
  - 3°. Cherchez le diamètre fuftlit dans la marge gauche de cette Table, & vis-à* vis, c’eft à dire dans la marge droite, prenez les nombres décimaux quiluy cor-relpondenr.
  - 4Ô. Multipliez lefdits décimaux par la longueur du pilot, le produit vous donnera des folives ou pièces, & des parties décimales de folive.
  - EXE M P L £.
  - Soit propofé à mefure'r un arbre dont le diamètre du cercle du milieu contient pouces , & la longueur ç toifes 4 pieds 6 pouces.
  - Prenez dans la Table les décimaux qui appartiennent à 6 4 pou- (6)
  - ccs qui font .................. 460876
  - multiplicz-les par la longueur ^ — 4 <5
  - 2304380 230438 ____ILSZI9
  - & vous trouverez . . ..... g . , ... 2)650037
  - c’eft à dire 1 Solives 6' — 5".
  - Remarquez iA\ Qtfil fuffira que vous preniez trois parties décimales dans ladite Table.
  - Remarquez 1°. Que vous pburrez apres l’operation faite changer ces parties décimales en pieds & en pouces , qui font celles que nous donnons aux bois équar-ris,mais cela eft fort inutile.
- p.n.n. - vue 165/176
- - Pouces de Flandre. Pouces de Flandre.
  - Table pour mefurer les Bois e'quarris par pieds de Gifle 3 a la manière de Flandre.
  - Multipliez, par Pouces de Flandre.
  - I 1 1 1 3 4 1 s- 1 L 6 8
  - °7 1- 0312 0 |0625 0 0937 O 1250 0 1562* 0 Ti 875 V 1 O 2187 0 2500
  - I ' 0 0625 0 1250 0 i875 O 2500 0 i |3I2Si 0 3750 1 ( O 4375 0 5000
  - 2 0 1250 0 25OO 0 3750 O 5000 0 625°! 0 7500j O 8750 i 0 0 00
  - 3 0 1875 0 < 3750 0 s^s O f 75°° 1 0 ' 9375 ! 1 J12.501 I 3125 1 j 5000
  - 4 0 2500 If- 5000 0 7500 ! 1 0 0 00 ! 1 2500| 1 ! 5°°0 I 75.00 2 0 0 00
  - si 0 13125 i 0 62,50! 0 9375 j; 0 1 0 1 1 h 11 J625 1 18750 I ! 2 i87S 2 5000
  - 6 | 0 37î£ 0 75°°' 1 1250 LL 5°°° 1 I 875O 2 12 5 0 O 2 625° 3 0 0 0 0
  - y 0 4375 0 8750 I* 3 I 7500 1 2 i875 2 6250 3 0625 3 5000
  - 8 0 5 000 i 1 O O OO LL 5000 2 0 0 ooj 2 5000 ' . 3 0 0 OO 1 3 5000 4 0 0 OO
  - 9 0 562$ 1 1 1 1250 1 1 0*75 2 0 i 0 1 2 8125 3 |375° | 3 9375 4 5000
  - 10 0 6 25° 1 2500 f I 87S° 2 5000 ,3 1250, 1 3 75001 ' Jl 375° JL c 0 oo j
  - 11 0 6875 1 375° 1 2 O625 2 7500 3 |4J75 4 I25°j 4 OC 5 50 00
  - 12 0 7500 1 5000 - 2 |2500 .3 0 0 90 3 |7S00 4 5000 5 25°° 6 u O OO
  - 13 0 8liJ 1 6250 '*1437S 3 2500 4 1062 5 4 875° i 5 6875 6 5000
  - 14 0 87JO 1 7500! 2- 625O 3 0 0 l 0 V"> ' 4 ’ 375° 5 2500 6 I250 J7 0 0 OO
  - 15 0 9375 1 87501 2 8l25 3 75° q 4 6875 5 6250 6 5^25 7 5oqo
  - 16 1 0 0 00 2 JOOOO i 3 OOOO 4 0 0 OO _ 5 0 0 OO 6 0 0 00 7 OOOO 8 0 0 00
  - Multipliez* par Pouces de Flandr
  - /> p* •
  - O — 2
  - 1
  - 2
  - 3
  - 4
  - 5
  - 6
  - 9
  - 10
  - 11 12
  - *3
  - i4
  - 15
  - 9 10 1 » 1 12, 1 14 1 *r 1 16
  - 0 2812 —! '3 I25 0 3437 jd 3750 1° 1 4062 0 |4375 liJL 4687 0 5000
  - 0 5625 O | 62,5° 0 6875 0 75oo i 0 1 8l25 ‘ 0 875° 11 0 9375 I 0 0 00
  - 1 H50 I I 2500 I 375° 1 5° oo I i 6250 i 7500 !1 8750. 2 0 0 00
  - h ;687S 11 87S° 2 0625 2 2500 2 4375 2 6250 i1 8125* 3 0 0 00
  - 2 1 25OO 2 j 50 OO 2 75°° 3 0 0 OO, i 3 25°° 3 5000 75°°j ! 4 O O OO
  - [8 1 2 5 Tj 1250 3 4375 3 75° o! 4 0625 4 3750 j 4 687S ! 5 O O OO
  - 3 I37S° i! 75ODj 375°! d. 1250 4* 5000! 4 875° 5 250 0 5 625°, \6 ; 0 0 00
  - 3 9375 4 I 4 8125 7 25OO' 5 6875) 6 1250 6 5625 Iz 0 0 co
  - 4 5000 5 j 0 000 1 5 5000 6 O O OO 6 50 0 O' 7_ 0 000! 7 5 006 1 8 0 0 00
  - 5 O625 5 i 6250 6 1875 6 75°° *7* 3125 z 875° 8 i 4375 j 9 !o 0 00
  - 5 625O 6 ' 2500 6 875° 7 50 00 8 1250 8 7500 , JL 375°| 10 0 0 00
  - 6 1875 6 8750 \z 5625 8 2500 8 9375. 1 9 6250 iioi 3125- 11 0 0 00
  - 6 75° °! 7 50 00 I.8 2500 9 0 000 9 7500 112. 5000 lü 2500 12 0 0 00
  - 7 7 3 I25 875° 8 8 1250 75° 0 8 9 9375 6250 9 10 0 0 0 0 0 10 i 1 5625 3750 I11 ! I 2 375° 2500 12 13 1875 1250 13 14 0 0 00 0 0 00
  - 8( 4375 9 375-0 10 3 I25 11 2500 12 1875 y 1250 14 0625 15 0 000
  - ? 1 00 00 10 0000 11 0000 12 ooooi *3 OO OO 114 0 0 00 15 0000 16 0 0 00
  - "C^/Srg*^ ^ cette Table*
  - 1°. Mefurez par pouces de Flandre* lds deuS: dimenfio'ns deia groSênt d.- la'pîéce qu il faut'm^fui-er.
  - 4Ô. Mefurez par pieds Ôc pouces de Flandre la longueur de ladite pièce.
  - 3Ô. Cherchez une des dimenfions de la grofteur au haut de cette Table, Ôc l’autre dans la marge , vous trouverez dans leur commune rencontre des nombres décimaux, parlefquels fi vous4nultipIiez les pieds & les pouces de la longueur, le produit Vous donnera des pieds de gifte & des parties décimales du pied de gifte.
- p.n.n. - vue 166/176
- - Deux petites Tables pour U mefure des farps ronds, & des fuperficies des farcies.
  - L'INGENIEUR a fouvent befoin de fçavoir la capacité des mefures du Charbon, de la Chaux, du Sable, des Terres pour les bourriquets, & quelquefois de l’eau, lors par exemple, quon la tranfporte du fond dune Valle'e fur le fom-met d’une Montagne, pour y faire du mortier \ & il fe rend* plus intelligible en exprimant lefdites mefures, ( lefquelles font ordinairement fondes, ) par pieds cubes & parties de pied cube. C eft ce qui m’a fait ajoûter aux Tables precedentes, les deux petites qui fùivent, qui faciliteront beaucoup ces fortes de pratiques , lcfqueiles autrement font fujettes à de grandes erreurs ôc à de grands embarras.
  - Ces Tables fuppofent que le diamètre du cercle eft à fà circonférence comme 113a 3; Et que l’entier ou l’unité eft un pied linéaire, ou quarré, ou cube. Et par confequent fi vous voulez vous fèrvir de la fixie'me Propofition du Chapitre V. pour la multiplication il ne faudra pas doubler les frayions.
  - E XP L 1 C AT I ON de la Table.
  - LA colomne A. contient les mefures du Châtelet de Paris prifes fur le vaiffeau.
  - Si les mefures prifes fur le vaiffeau font des pieds, celles de la colomoe B. feront auffi des pieds, celles de la colomne C. des pouces, &c.
  - Si les mefures prifes fur ledit vaiflèau font des pouces , celles de la colomne B. feront auffi des pouces , celles de C, des lignes , &c. c’eft à dire en un mot que les me-
  - Table- pour la mefure des corps ronds , comme Tonneaux, Mannes , Tiotffeaitx , Razieres , Fours a Chaux, &c-
  - ^ « A _ -Si t 1 « 2- 4 ^ 3 C , 4 J°j[ S af- «C 7 gt 8 ^ 9 § IL io, 5 -Si ^ s * -« -S K R t S' Ü ^ 0, 8 1 | ^ S rs n j» b A " & 2 .^C.R s S & s S ; ï 5 ï ïî 05 » Si B] CD 1 E ,
  - 0 I 11 10 0 1 ÎO 9
  - Z 3 9 8 z' 3 7 5 ,
  - 4 5 7 6 4 5 3 z
  - 6 7 5 4 6 6 0 10:
  - 8 9 3 z 8 8 7
  - .J1 1 v® ** “« •? !II <2 ^ •-,3 L l'si, Çi R* < l 2t\ § Rr* 10 11 1 0 5>(S io!3
  - *
- p.n.n. - vue 167/176
- - fur es des A. & B. font toujours de même degré.
  - Exemple qui explique ïujage de U Table.
  - a Cette hauteur ne contient que y J-pouces, mais il en faut ajouter 3 four le tiers de la hauteur du comble.
  - SOit à mefurer la Manne avec laquelle on mefure le Charbon d’Angleterre à Dunquerque laquelle éft cylindrique, & dont chacun des diamètres contient 19 pouces du Châtelet de Paris, & la hauteur io^pouces. a
  - iè. Cherchez dans la Table les nombres qui conviennent au diamètre à Ravoir,
  - pieds pouces lignes points.
  - Pour 1 pied —---------------———-------------o —- n — o — 10
  - Pour 7 pouces ------------------------------o — 6 — 5 — 6
  - Diamètre total A.-----------------— -------* 1 — j—• 6— 4
  - 2,0. Cherchez dans la même Table les nombres qui conviennent à la hauteur à fçavoir,
  - pieds.
  - Pour 10 pouces ------------——-------------o — p — 1 — 8 — 7
  - Pour 6 lignes--------------------------— 0—0 — y— 6, — 5
  - Hauteur totale B ---------:--------------o— <> — 8 — 3 — 0
  - 30* Multipliez le diamètre A par luy-même & vous trouverez z pieds 1 pouce 7 J lignes.
  - 4è. Multipliez ce produit par les nombres de la hauteur B. ôc vous aurez 1 pied cube 8 pouces 8 lignes,pour le contenu de ladite Manne, & comme il en faut 4 pour faire une Raziere audit lieu, fi vous multipliez ces nombres par 4. vous trouverez 6 pieds cubes 10 pouces 8 lignes , pour le contenu fblide d’une Raziere de Dunquerque.
- p.n.n. - vue 168/176
- - PREMIER AVERTISSEMENT.
  - LO R s qu e les Mants, Razieres, Boiflêaux, Fours à Chaux, &c. auront la figure d un cône tronqué ; c’eft à dire lors que les cercles de la baie 8c du fourniet liront inégaux fervez-vous de la pratique fuivante.
  - iè. Ayant mdùré les deux diamètres & la hauteur en pieds 8c pouces du Châtelet, changez ieurs nombres en ceux que vous donnera la Table precedente.
  - z°. Multipliez chaque diamètre par luy-même , & enlîiite l'un par l’autre, & faites une lomme de ces trois produits.
  - 30. Multipliez cette fomme par le tiers de la hauteur, 8c ce dernier produit donnera la lolidité du vaifleau propofé à mefu-rcr en pieds cubes , pouces 8c lignes du Châtelet de Paris, que vous pourrez aifément (fi vous voulez ) réduire en pintes dudit lieu, puifque ledit pied cube contient 36 pintes.
  - SECOND AVERTISSEMENT. .
  - C^I le Vaifleau propofé a la figure d’un Tonneau entier, Jjpour le mefurer avec beaucoup d'exa&itude, il faudra le confiderer comme un compole.
  - de quatre cônes tronquez j a fçavoir de deux depuis la bonde julqu a chacun des deux fonds. Voicy les deux d’un demÿ Tonneau , aufquels 'les deux autres font égaux. A B eft le diamètre du cercle delà baie du premier, ôc C D eft le diamètre du cercle de fon fommet. Sa hauteur E G du demy Tonneau.
  - B 35
  - eft le tiers de la longueur EH *•*
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- - .. Pçiir trouver le diamètre C D cherchez la différence d’entre A B & KL & ayant fouftrait la fixiéme partie de cette différence , du grand diamètre A B le refidu fera le diamètre CD.
  - Le (ècond cône dudit demy Tonneau aura C D pour diamètre de fa bafe , &K L pour diamètre de fon fommet : fa hauteur fera G H égale aux deux tiers de E H. j
  - Ayant mefuré ces deux cônes, fi vous doublez leur femme, vous aurez le contenu du tonneau entier.
  - Mais fi vous ne voulez pas prendre tant de peine, mefurez ledit tonneau comme un cylindre qui a pour diamètre de chacune de fes baies, une ligne égale à la demy femme de A B & K L & pour hauteur le double de E H & ayant trouvé le contenu dudit cylindre,y ajoutant là trente* unième partie,vous aurez la capacité de vôtre tonneau, fort approchante de la véritable.
  - TROISIEME A FE RT ISS E ME NT.
  - LA Table precedente a été conftruite fur ce principe •, à fçavoir qu’un cylindre dont tant le diamètre que la hauteur à io pieds io pouces o lignes \ de ligne ( c’eft à dire pieds) contient mille pieds cubes, & par coniequent fi ayant marqué la fefdite longueur fer une Réglé, vous la diviféz en dix parties égales,chacune de ces parties fera le diamètre &auffi la hauteur d'un cylindre égal à un pied, cube: & fi vous divifez chaque partie encore en dix particules , chacune de ces particules fera le diamètre & aufli la hauteur d’un petit cylindre qui fera la 7— d’un pied cube. Et fi vous avez en main une fèmblable Réglé, vous aurez plutôt fait de vous en fervir que de la Table precedente.
  - Quelquefois on weut mefurer des fuperficies circulaires er les exprimer en pieds quarre% du Châtelet x comme lorfquon toife le plein cintre de la ajoute a un MagaTfn d poudre Jur un de fes pignons , ou celùy
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- - de la galerie dune ‘"Poterne, dun Souterâin , (éfc. En ce tas je <voiï$ confeiüe de <vous ferVir de la Table qui fuit.
  - EXPLICATION
  - de la Table,
  - LA colomne A. contient les mefures du Châtelet prifcs lur le diamètre du cercle.
  - Si les mefures prilcs fur le diamètre font pieds, celles de la co lomne B. feront aufïi pieds, celles de la colomne C. des pouces, &c.
  - Si les mefures prifcs fin* ledit diamètre font des pouces, celles de la colomne B. feront auffi des pouces, celles de C. des lignes, &c. comme dans la Table precedenre.
  - Table pour la mefure des Cercles.
  - 4. s « su A. B C [DjE
  - s 1 v> 1 £ Q IO| 7 7
  - ei 2 § I 9 1 3 3
  - 3 2 7 i10 10
  - -, "'S 4 1 3 6 \ 6 5
  - fl CN'-'v ,|o 4 5 5 3 2 9 1 8
  - 7 .1 6 2 5 3
  - U S .2 «> V, 8 h 7 1 0 11
  - 9 10 *a .a ^ ^ I l 11 10 8 4 6 1
  - <Jr«. •H % 11 il 9- 8 i1'1 9
  - cv, 11 ? s. 10 7 17 A
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  - "S là s £ 1.2 4' |io '7
  - 15 5 * R *3 3 i6 2
  - 'S « 16 £ * là 2 II 9
  - 1 s fcll s ^ lz 18 » Ü fcÆ 15 15 0 1 *1 I 9 15 5 .0
  - I5> 16 10 0 7
  - £ ^ zc .ts-a.. *7 8 8 4
  - Exemple'qui explique ïuftge de, la Table.
  - S O it propofé à mefurer la fuperfîcie d’un Cercle dont le diamètre eft de 4 pieds 8 pouces.
  - Prenez dans la Table les nombres G. qui G. 3 — 6 — 6 —. j-conviennent à 4 pieds, &les nombres H. H. o — 7—1 —. 1 qui conviennent à 8 pouces : leur fomme K. étant multipliée par elle même vous donnera 17 pieds quarrez i~-z —7-. pour la fuperfïcie du cercle donné.
  - K.
  - 4— ! — 7— 6
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- - 4 ' Cette Table pourra auffi vous fervir, pour mefiircrles foli-des qui ont des cercles pour baies , avec autant d'exaétitude que la precedente, ce que vous ferez en vous lèrvant de cette fécondé Table pour trouver feulement les fuperficies des cercles. Car pour les hauteurs’, on ne les doit pas changer comme dans la precedente. Mais on doit fè fervir des pieds & pouces du Châtelet avec lefquels on a mefùré lefdites hauteurs.
  - Siau lieu de cette Table vous voulez vous fervir d une Canne, il faut la divifer en parties égales dont chacune foit de i pied i pouce 6 lignes f points , qui eft le diamètre d’un cercle égal â un pied quarré : Enfuite vous pourrez divi/er chacune de ces parties en dix particules égales, pour avoir des centièmes de pied quarré. Cette Canne divifee de la forte vous fer-vira à mefùrer les fuperficies circulaires comme fi elles étoient quatrées ; la raifbn de cecy eft qu’un cercle qui a pbur diamètre iiz]8379 pieds contient ioooo pieds quarrez.
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- - FA V TES A CORRIGER
  - auparavant que de lire.
  - Remarque^ que les lignes font citées par leurs premiers mots ou leurs premières fellah es.
  - figl. Ligne. Faute. Corrige^
  - 4* ainfi font font font
  - 6. totale parcelles. partielles
  - -6 figure ou exemple 4 8. 7. 6. 9. 8. 8. 7. 69. 8. *
  - 7 requis la marque K le marqué K
  - H rez f en 9 — en 9^
  - 17 De même ou bien 1 ou bien 1 g
  - 2.8 De ~ otez -j ôtez ~ ôtez -1
  - 3° premier exemple de multiplication - multiplie par ~ T multiplié par ~
  - 3° quatrième exemple 7 multipliez par+ pro-1 duifent * ou J
  - de multiplication- ! î'ouj'i.
  - 33 des fradions des fradions de fra- des fradions, de fra-
  - . V par exemple, fix dions 1 1 T 2 il 0 dions de fradions 1 1 1 “ H 6
  - 33 feront réduites K. I L. n4 K 1 l 144"
  - 34m 37 • A qui otez qui
  - 'le quotient J- "Ê“quoûent ——
  - r ? < '
  - 37 fçavoir quelle partie ,eft 1. de ? de J-
  - 2 «
  - 39 cette maniéré 4541 liv. 4542 livr.
  - 4° zéro. l’axiome 1. pr. l’axiome z.precedent
  - 45 que vous voulez qui aie qui ait
  - 45 fradion Sî_ X40 iSt 140
  - 47 equis equis requis
  - 47 dans la première fi- {<}
  - gure A - 4S7 It A- 4S7 1|
  - 47 dans la fecode figure U A — J4X U Â î42>
  - ô 87 y , . B — 87*
  - 57 7. Et par l’autre quart Et par l’autte Et pour l’autre
  - 90 doublez ! doublez doublées —
  - 9i doublez j doublez doublées.
  - 12.8 4°. Dites 1112g 1 -S 112 —
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- - f avertis icy te. Lefleur de trois chofe*;
  - •w > .
  - - ïK Que le mot decadique fignifie la même chofe que décimal
  - -2A Que les Ingénieurs appellent Solives, ce que les Charpentiers de Paris nomment Pièces de bois.
  - 3° Que les cara&eres ii & (1) &c. lignifient une même chofe, & expriment la même multitude de nombres décimaux.
  - EXTRJIT DV PRIVILEGE DV ROY.
  - LE Roy par fes Lettres patentes, données à Verfailles le n. Janvier i£8y. Signées par le Roy en fon Confeil ih F e b v r * > Sç fcellées, a permis au fieur de la Londe, de faire imprimer par tel Imprimeur ou Libraire qu'il voudra choifir, Divers Traitez. & Ouvrages concernant les fortifications, par luy compofez, conjointement ou feparement, pendant le temps & efpace de aix années entières & accomplies, à commencer du jour qu’ils feront achevez d’imprimer i faifant défences à toutes perfonnes de quelle qualité & condition qu’elles foient, de contrefaire ou faire contrefaire lefdits Traitez , à peine de confîfcation des Exemplaires contrefaitsjd’amendc arbitraire , & de tous dépens dommages & intérêts, ainfi qu’il eft plus au long contenu efdit.es Lettres.
  - RegifirJ fur le Livre de la Communauté des Libraires & Imprimeurs de Paris , le 31. lanvier ï68y. fuivant VArrefi du Parlement, du 8. Avril 1553. & ce^uy du Confeil privé du Roy, du 17. février 16 6 j.
  - Signé A N g o Syndic.
  - Et ledit fieur de la Londe a cédé fon droit du prefent Privilège à la veuve Nion , pour l’Arithmetique de l’Ingenieur François feulement, pour en joiiir pendant le temps porté par iccluy > fuiyant l’accord fait entr’eux.
  - * Achevé d'imprimer pour la première fois•» le zi. lui Uct i6$j.
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- - 5^. Us----------VjC.
  - V cl^
  - 1 <T‘ C
  - l***-***'''
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